Galileo Galilei aliandika katika kitabu chake Discourses and Mathematical Proofs mwaka wa 1638 kwamba mnyororo unaoning’inia kwenye misumari miwili unakuwa na umbo la parabola. Alikuwa na hakika na hii na, labda, ndiyo sababu "hakufika chini" ya ukweli na hakugundua curve mpya - mstari wa mnyororo. Curve hii ilielezewa miaka 50 baadaye na Huygens, Leibniz na Jacob Bernoulli. Walikuwa wa kwanza kupata fomula ya curve na kuchunguza sifa zake.

Kielelezo cha 1 kinaonyesha mikunjo mitatu.

Kwa mtazamo wa kwanza, hizi ni curves tofauti, tofauti katika sura. Kwa kweli, hii ni curve sawa - mstari wa mnyororo, na ikiwa unaongeza kiwango cha mstari wa pili kwa mara 2, na ya tatu kwa mara 4, basi inapowekwa juu ya kwanza, curves zote zitaunganishwa kuwa moja.

Kwenye wavuti inayojulikana ya kisayansi "Etudes za Hisabati," mchoro "Mstari wa Mnyororo" unazungumza juu ya safu hii: "Ikiwa utachagua kigezo katika equation kwa njia fulani, basi katikati ya mraba unaozunguka bila kuteleza kwenye safu. mstari wa mnyororo utasonga katika mstari ulionyooka kabisa!” Ni wazi ni lengo gani linahitaji kupatikana, lakini jinsi ya kuifanya, kifungu hiki, ikiwa sio kimya, basi angalau haitoi njia ya busara zaidi. "Uteuzi huu kwa njia fulani" ni nini? Kweli, wacha tuseme waliichukua, kwa nini baadaye? Tatua mlingano na upange curve? Na ikiwa ukubwa wa gurudumu hubadilika, basi tena chagua, kutatua na kujenga? Au labda maneno haya yanamaanisha "Kiini cha njia haijafunuliwa, ujuzi"?

Ninapendekeza njia nyingine ya kutatua shida hii:

1. Kutumia formula Y = a chX / a, tunajenga mstari wa mnyororo na parameter ya kiholela a, kwa mfano, sawa na 10 mm (Mchoro 2);
2. Kwa umbali kutoka kwa vertex sawa na (√2-1), tunachora chord ya usawa. Wacha tupime urefu wa arc iliyopunguzwa na chord. Inapaswa kuwa sawa na 2a;
3. Wacha tunakili curve iliyojengwa kwenye kipande kipya, kata sehemu zinazoenea zaidi ya sehemu na kuizungusha 180 °. Sehemu hii itakuwa sehemu ya "barabara" kwa gurudumu la mraba;
4. Wacha tujenge mraba na upande 2a;
5. Kwa kupiga mraba kando ya sehemu ya mstari wa mnyororo, tunahakikisha kuwa hakuna harakati za wima za kituo chake.

Ikiwa ukubwa wa gurudumu la mraba ulijulikana mapema, basi tutapunguza mchoro kwa uwiano unaohitajika. Lakini tutahifadhi grafu iliyojengwa ya mstari wa mnyororo na tutaitumia zaidi kwa madhumuni sawa. Hakuna haja ya kujenga grafu za mstari na vigezo tofauti, kwani mstari wa catenary ni curve ya sura imara.

Kwa njia, curve iliyoonyeshwa kwenye Mchoro 2 inajengwa kwa kutumia pointi 69 tu na, licha ya hili, ina usahihi mzuri: arc iliyokatwa na chord ina ukubwa wa 19.9999634224 mm na ukubwa uliohesabiwa wa 20 mm.

Vipi kuhusu poligoni nyingine? Kwa wote (isipokuwa pembetatu), unaweza kujenga "mawe ya kutengeneza" yako mwenyewe kutoka kwa sehemu za mstari wa mnyororo, ambao watazunguka bila katikati ya kuzunguka. Utaratibu wa ujenzi ni tofauti kidogo kuliko mraba: mstari wa mnyororo uliojengwa hapo awali pia hutumiwa (Mchoro 2), lakini nafasi ya chord imedhamiriwa na tangents kwa curve (kwa hexagon, kwa mfano, kwa pembe 30 na -30 digrii), na saizi ya upande wa poligoni imedhamiriwa na kipimo cha sehemu ya arc. Hii ni kutokana na ukweli kwamba mraba tu una utegemezi: upande ni sawa na mara mbili ya parameter ya catenary.

Pia ilivutia kuona ni vipi vijipinda vingine vingeonyesha kama "jiwe la kutengeneza" kwa magurudumu ya mraba. Yafuatayo yalijaribiwa: mduara, parabola, mviringo wa Cassini na ovals kadhaa ya sura imara. Kama inavyotarajiwa, hakuna zaidi "bora". Matokeo ya ujenzi na mahesabu ya mwingiliano wa gurudumu la mraba na upande wa mm 400 na curves fulani ni muhtasari katika Jedwali 1.

Jedwali 1

Kama unaweza kuona, mduara unaojulikana na curves za parabola ni duni kwa zircon na kimbunga kinachojulikana kidogo. Au kutakuwa na zaidi ... Na mstari wa mnyororo ... - bila ushindani!

Utangulizi

Nilichagua yafuatayo kama mada ya kazi yangu ya utafiti: "Chain Line".Mstari wa mnyororo uliopinda unavutia sana kusoma, lakini si rahisi kupata fasihi iliyojitolea kwayo.

Wanasayansi wamekuwa wakisoma mstari huu kwa muda mrefu sana. Hata hivyo, hata katika wakati wetu hutumiwa kutatua matatizo kadhaa si tu katika hisabati, bali pia katika fizikia, usanifu na taaluma nyingine nyingi. Kwa maoni yangu, mada hii ni ya kuvutia na muhimu.

Wanasayansi kama vile Galileo Galilei, Christian Huygens, Gottfried Wilhelm Leibniz, Johann Bernouli na wengine walisoma mstari wa catenary.

Madhumuni ya kazi hii ya utafiti ni maelezo ya mali ya msingi ya mstari wa catenary.

Ili kufikia lengo hili, zifuatazo ziliundwa:kazi:

1. Kuchambua fasihi ya kisayansi na kielimu juu ya mada ya utafiti ili kuangazia dhana na kauli kuu;

2. Weka utaratibu na muhtasari wa nyenzo kwenye mada ya utafiti ili kutambua vikundi vya mali ya mstari wa katari;

3. Thibitisha taarifa zinazohitajika katika mada ya utafiti;

4. Anzisha uhusiano kati ya mada ya utafiti na kozi ya jiometri tofauti;

5. Tengeneza wasilisho la kompyuta juu ya mada: "Mstari wa mnyororo."

Njia kuu ya utafiti ikawa uchambuzi wa kinadharia

fasihi ndani ya utafiti;

Umuhimu wa vitendo imedhamiriwa na uwezekano wa kutumia matokeo ya utafiti huu katika mchakato wa elimu ndani ya taaluma "Jiometri" na "Jiometri Tofauti".

1.Taarifa za kihistoria

Katika kitabu cha Galileo “Mazungumzo na Uthibitisho wa Kihisabati...”, kilichochapishwa kwa mara ya kwanza katika Kiitaliano katika jiji la Uholanzi la Leiden mwaka wa 1638, njia ifuatayo ya kuunda kielelezo ilipendekezwa: “Acha tupige misumari miwili kwenye ukuta kwenye ukuta. urefu sawa juu ya upeo wa macho na kwa umbali huo kila mmoja kutoka kwa kila mmoja ili ni sawa na upana wa mara mbili ya mstatili ambayo ni kuhitajika kujenga nusu-parabola; kati ya msumari mmoja na mwingine tutaning’inia mnyororo mwembamba ambao ungening’inia chini na kuwa wa urefu kiasi kwamba sehemu yake ya chini kabisa ni kutoka usawa wa msumari kwa umbali sawa na urefu wa mstatili. Mlolongo huu, kunyongwa, utapangwa kwa namna ya parabola (Mchoro 1), ili kwa kuashiria ufuatiliaji wake kwenye ukuta na mstari wa dotted, tutapata parabola iliyokatwa kwa nusu na perpendicular inayotolewa katikati ya mstari unaounganisha kucha zote mbili.”

Mtini.1
Njia hii ni rahisi na dhahiri, lakini si sahihi. Galileo mwenyewe alielewa hili. Kwa kweli, ikiwa utajenga parabola kulingana na sheria zote, basi kutakuwa na mapungufu kati yake na mnyororo.
Nusu karne tu baada ya kuchapishwa kwa kitabu cha Galileo, mkubwa zaidi kati ya ndugu wawili wa mwanahisabati Bernoulli, Jacob, alipata, kinadharia tu, fomula kamili ya mlolongo wa sagging. Alichukua muda wake kuwasilisha suluhisho lake kwa tatizo hilo, aliwapa changamoto wanahisabati wengine. Suluhisho sahihi lilichapishwa mwaka uliofuata, 1691. Christian Huygens, Gottfried Wilhelm Leibniz na kaka mdogo wa Jacob Johann Bernoulli. Ili kutatua tatizo, wote walitumia, kwanza, sheria za mechanics, na pili, zana zenye nguvu za uchambuzi wa hisabati uliotengenezwa hivi karibuni - derivatives na integrals.
Huygens aliita curve ambayo mnyororo uliosimamishwa kwa ncha mbili iko mstari wa mnyororo.
Kwa kuwa minyororo inakuja kwa urefu tofauti, na mwisho wao unaweza kusimamishwa kwa umbali tofauti kutoka kwa kila mmoja - wakati mwingine karibu, wakati mwingine zaidi - basi hakuna moja tu, lakini mistari mingi ya mnyororo. Lakini zote ni sawa kwa kila mmoja, kama vile, kwa mfano, miduara yoyote ni sawa na kila mmoja.

2. Dhana ya mstari wa catenary na equation yake

Ufafanuzi 1. Mstari wa mnyororo inayoitwa curve ya gorofa, umbo lake ambalo linalingana na uzi mzito unaobadilika na usio na kipimo, uliowekwa kwenye ncha zote mbili na kushuka chini ya ushawishi wa mvuto.
Mstari wa mnyororo umeundwa kama parabola.

Hili lilifikiriwa kwa muda mrefu. Mapema karne ya 17Galileo Galileialionyesha shaka kwamba mnyororo wa kunyongwa kwa kweli ni parabola. Walakini, uthibitisho mkali na hitimisho sahihi lilipatikana nusu karne baadaye - baada yaIsaac NewtonGottfried Wilhelm Leibnizmaendeleo ya misingi ya uchambuzi wa hisabati.

Suluhisho la shida ya katari lilichapishwa mnamo 1691Christian Huygens, Gottfried Wilhelm LeibnizNaJohann Bernoulli.

Hapa chini tutaangalia derivation ya catenary equation na baadhi ya tofauti zake.

Hebu thread nzito ya sare kusimamishwa kwa pointiA, B , ambayo inaweza kuwa katika urefu tofauti (Mchoro 1.2).

Hebu tuchunguze usawa wa kipengele kidogo cha kiholela cha thread ya urefuΔ s .

Kipengele hiki kinatendwa na nguvu iliyosambazwa ya mvuto, iko wapi wiani wa wingi wa nyenzo za nyuzi, ni kuongeza kasi ya mvuto,A - Sehemu ya sehemu ya nyuzi, na nguvu za mvutanoT ( x ) NaT ( x+ Δ x ), kwa mtiririko huo, katika pointix Na (x+ Δ x ).

Hali ya usawa kwa kipengele kilichochaguliwa cha urefuΔ s katika makadirio kwenye mhimiliNg'ombe NaOy zimeandikwa katika fomu:

.

Kutoka kwa equation ya kwanza ni wazi kwamba sehemu ya usawa ya nguvu ya mvutanoT ( x ) daima ni thabiti:

Kugeuka kwa tofauti katika equation ya pili, tunaweza kuiandika kwa fomu:

.

Kwa sababu ya, basi tunapata

au.

Wacha tuzingatie hilo, kwa hivyo equation ya usawa imeandikwa kwa fomu tofauti kama

Kipengele cha urefu Δs inaweza kuonyeshwa kwa fomula

Matokeo yake tunapatamlinganyo wa kutofautisha wa katani:

au.

Equation hii inaruhusu kupunguzwa kwa utaratibu. Baada ya kuteuliway" = z , wacha tuwasilishe kwa namna ya mlinganyo wa mpangilio wa kwanza:

Equation ya mwisho inatatuliwa na njia ya mgawanyo wa vigezo.

Hapa tunaashiria kwa 1/a .
Tangent kwa mstari wa catenary katika hatua ya chini ni sambamba na mhimiliNg'ombe . Kwa hivyo,

Kuanzia hapa tunafafanua mara kwa maraC 1 :

Kwa hivyo tunayo equation ifuatayo:

Wacha tuzidishe pande zote mbili za mlingano huu kwa usemi wa mnyambuliko

Tunapata:

Kuongeza na mlinganyo uliopita, tunapata usemi waz = y" :

Tunaunganisha tena na kupata usemi mzuri wa mwisho wa sura ya katari:

Kwa hivyo mstari wa mnyororo umeelezewahyperbolic cosine . Sura yake imedhamiriwa kwa pekee na parameter, utegemezi ambao umeonyeshwa kwenye Mchoro 1.3.

Mchoro.1.3

3. Mali ya mstari wa catenary

1. Urefu wa safu(Kiambatisho 1)ya mstari wa mnyororo kutoka kwenye kipeo chake hadi sehemu fulani ni sawa na makadirio ya mratibu wa hatua hii kwenye tanjenti inayochorwa katika hatua hii.

Uthibitisho:

1.Urefusmstari wa mnyororo wa arc kipimo kutoka kwa kipeo A ni sawa na makadirioMM' waratibuRM kwenye tangentMT .( mchele.3)

2. S==MM′= ((1) aus = a.

3. Pamoja na kuratibuRM=y uwiano uliounganishwa wa arc. 4. Mwisho hufuata kutoka kwa equation ya catenary na (1) na

rahisi kusoma kutoka kwa pembetatuRM'M , wapiPM = y , MM = s NaRM = a (kulingana na mali kuu ya trakti).

2. Radi ya curvature(Kiambatisho 1)katika hatua ya kiholela kwenye mstari wa mnyororo ni sawa na urefu wa kawaida katika hatua hiyo.

Uthibitisho:

1. Radi ya curvatureMK = R mstari wa mnyororo ni sawa na sehemuM.D. kawaida kutoka kwa uhakikaM kwa mwalimu mkuuX'X na inaonyeshwa na fomula

R=MD=

auR = a.

3. Ikiwa mstari wa mnyororo unaendelea kwenye mstari wa moja kwa moja, basi katikati ya curvature inayofanana na hatua ya kuwasiliana inasonga pamoja na parabola.

Uthibitisho:

1. Kuamua eneo lililofungwa na mstari wa mnyororo, kuratibu zake mbili na mhimili wa abscissa, tutakuwa na:

4. Eneo lililofungwa na mstari wa mnyororo, ordinates mbili na mhimili wa x ni sawia na urefu wa arc inayofanana.

Uthibitisho:

1. EneoS"curvilinear trapezoid"OAMP ( O.A. = a - uratibu wa vertex,RM - mwisho wa kuratibuM arcss = ) ni sawa na eneo la mstatili na pandea , s Hivyo

S = kama = .

5. Jumla ya mikunjo ya mstari wa mnyororo katika pointi ambapo tanjenti ziko pande zote mbili ni thamani isiyobadilika kwa kila mstari wa mnyororo.

Uthibitisho:

1. Hebu kuwa pointi ya mstari wa mnyororo, tangents ambayo ni pande zote perpendicular. Kuamua mgawo wao wa angular, tunayo

2.Kutokana na upenyo wa tanjiti (2),

lakini kulingana naS== MM ′= (= a= ,

iko wapi urefu wa arcs, iliyopimwa kutoka juu ya mstari wa kategoria hadi pointi Kubadilisha maneno haya katika usawa (2) tunapata,

au,

basi kwa msingiR = a itakuwa na.

6. Filamu ya sabuni iliyoinuliwa juu ya pete mbili inachukua sura - uso unaotokana na mzunguko wa mstari wa catenary.

4. Utafiti wa mstari wa catenary uliofafanuliwa kwa kutumia njia ya jiometri ya kutofautisha

Mstari wowote katika jiometri tofauti huzingatiwa katika nafasi;F ( x , y )=0, makutano ya nyuso mbili, equation ya polar.

Njia ya jiometri ya kutofautisha hukuruhusu kukagua mstari wa:

uamuzi wa vipengele vinavyoambatana na mistari ya trihedron;

uamuzi wa curvature na torsion;

kuandika equation ya asili ya mstari;

kuhesabu urefu wa arc ya mstari;

Ni rahisi zaidi kutumia njia ya jiometri ya kutofautisha kwa hesabu za parametric, mistari ambayo hufuata moja kwa moja kutoka kwa equation ya vekta kutoka kwa hoja moja ya scalar.

Wacha tujifunze mstari wa catenary kwa kutumia njia ya jiometri ya kutofautisha.

Kwa hii; kwa hili:

kutoka kwa equation isiyo wazi tunahamia kwenye parametrics;

kufafanua parameterization;

3) pata vekta za msingi zinazoandamana na trihedron ya curve;

4) andika equation ya vitu vya trihedron inayoandamana ya Curve:

equation ya tangent;

equation ya kawaida;

equation ya binormal;

equation ya ndege ya osculating;

equation ya kawaida ya ndege;

equation ya ndege inayoweza kurekebishwa;

5) kupata curvature na torsion ya mstari wa mnyororo katika hatua ya kiholela;

6) andika equation ya mstari wa catenary katika parametrization ya asili.

Kwa hivyo, equation ya mstari wa catenary ina fomu

Equation ya parametric ya mstari wa catenary.

Mstari upo kwenye ndegeXOY , z =0 .

1. Hebu tujue ni aina gani ya parameterization: asili au kiholela.

Wacha tupate derivatives kwa heshima nat :

.

2. Hebu tupate vectors ya derivatives ya kwanza, ya pili na ya tatu.

3. Wacha tupate veta za msingi za trihedron inayoandamana:

kitengo tangent vector.

Vekta ya kitengo cha binormal.

vector ya kawaida ya kitengo.

4. Hebu tuandike milinganyo ya vipengele vya trihedron inayoandamana:

a) Mlinganyo wa tanjiti (Kiambatisho 1) kwa mstari wa kategoria katika sehemu ya kiholela ina fomu:

b) Mlinganyo wa kawaida kuu (Kiambatisho 1) kwa mstari wa kategoria katika sehemu ya kiholela ina fomu:

c) Mlinganyo wa binormal (Kiambatisho 1) kwa mstari wa mnyororo katika sehemu ya kiholela ina fomu:

e) Mlinganyo wa ndege inayozunguka:

Kwa sababuz =0 , ndegeOXY - ndege ya kuwasiliana.

f) Mlinganyo wa ndege ya kawaida (Kiambatisho 1)

g) Mlinganyo wa ndege ya kunyoosha:

5. Hebu tupate curvaturek (Kiambatisho 1) na msokoto (Kiambatisho 1):

6. Hebu tuandike equation ya mstari wa catenary katika parametrization ya asili:

Kwa hivyo, matokeo ya kusoma mali ya mstari wa katuni kwa kutumia njia za jiometri ya kutofautisha ilifanya iweze kudhibitisha mali zifuatazo za mstari wa katani kama mstari wa gorofa:

Nadharia 1. Ndege ya osculating ya mstari wa gorofa inafanana na ndege ya mstari. (tazama mlinganyo wa ndege inayozunguka ya kipengee cha 4 (e)).

Nadharia 2. Kawaida kuu ya mstari wa ndege iko kwenye ndege ya mstari. (tazama mlingano wa kanuni kuu ya kipengee cha 4 (b)).

Nadharia 3. Msokoto wa mstari bapa katika sehemu zote ni sifuri (Angalia msokoto wa mstari wa katani, nukta 5)

Wacha tuthibitishe nadharia hiyo inazungumza na Theorem 3.

Nadharia 4 . Ikiwa katika pointi zote za mstari wa laini torsion ni sifuri, basi mstari ni gorofa.

Uthibitisho:

1. Hebu katika kila hatua ya mstari γ iliyotolewa na milinganyo, msokoto wakesawa na sifuri.

2. Kutoka kwa formula ya mwisho ya Frenet inafuata kwamba wapi haitegemei kutofautishas . Kisha kutoka kwa utambulisho, kutoka hapa au katika kuratibu:, wapi, – kuratibu.

3. Hivyo, pointi zote γ ziko kwenye ndege iliyotolewa na equation. Hii ina maana kwamba γ ni mstari wa gorofa.

Maoni. Kwa mstari wa gorofa tunayox = 0 , kwa hivyo fomula za Frenet huchukua fomu:

Matokeo ya kusoma mali ya mstari wa catenary yanaweza kuonyeshwa kwenye kuchora.

Oksi ndege ya osculating

ndege ya kawaida

ndege ya kunyoosha

5. Maombi

Lango la kuelekea Magharibi

Haijulikani ikiwa kuna mtu yeyote kabla ya Gaudi kujaribu kutengeneza mifano iliyogeuzwa ya majengo ya baadaye kwa kunyongwa uzani kwenye nyuzi. Lakini njia hii imetumiwa na wasanifu wengine wa kisasa. Kwenye ufuo wa jiji kuna upinde wa kuvutia, wenye urefu wa futi 630, unaoashiria mabadiliko katika historia na jiografia ya Marekani. St. Louis wakati mmoja iliunganisha ardhi yenye wakazi kiasi mashariki ya Mississippi na maeneo ya mwitu, makubwa ya Magharibi.

Tao hili lilibuniwa na mmoja wa wasanifu maarufu nchini USA kwa kushirikiana na mtaalamu wa hisabati na mhandisi Hannskarl Bandel ( , 1925-1993). Kwa maana fulani, hatima zao ni sawa: Saarinen na Bandel walizaliwa nje ya Amerika - wa kwanza katika, ya pili - ndani . Kisha wote wawili walivuka bahari: ya kwanza, kwenda kusoma mwaka wa 1934, na ya pili, baada ya vita, kutafuta kazi. Hapa kila mmoja wao alipata bahati yake, na wote wawili wakapata kila mmoja.

Kwa msukumo wa Bandel, Saarinen alichagua umbo la mstari wa mnyororo kwa upinde wake, ambao urefu wake ulikuwa sawa na upana kwenye msingi. Ilibadilika kwa uzuri, ingawa muundo huo ulikuwa wa kupingana. Baada ya yote, mnyororo, ukiachwa peke yake, huwa unachukua nafasi hiyo katika nafasi ambayo ni ilikuwa ndogo, yaani, katikati ya mvuto ilikuwa chini sana. Wakati wa kugeuka, kituo cha chini cha mvuto kitageuka kuwa cha juu, na nishati ya chini itageuka kuwa kiwango cha juu.

Mkanganyiko hapa ni dhahiri. Kazi ya mbunifu sio kufikia kiwango cha chini cha nishati ya muundo - ni muhimu kuwa endelevu. Na ingawa, kwa kweli, nishati ya chini inayowezekana inalingana na msimamo thabiti wa usawa, msimamo huu sio pekee. Nafasi nyingine ya usawa inalingana na upeo wa nishati inayoweza kutokea, ambayo ndio tunaona wakati wa kubadilisha mstari wa kategoria, na vile vile wakati wa kujumlisha njia inayotumiwa na Gaudí.

Sababu za usawa zinaweza kutathminiwa kwa kuchambua sio nishati, lakini usambazaji wa nguvu. Kama unavyojua, ikiwa utaweza kupata habari juu ya nguvu, picha kila wakati inageuka kuwa ya kina zaidi na wazi kuliko ile ambayo inaweza kupatikana kwa kusoma nguvu tu. Katika mlolongo uliosimamishwa, vikosi vitatu vinatenda kwa kila kiungo cha mtu binafsi: nguvu ya mvuto na nguvu ya deformations elastic kutoka kwa majirani wawili wa karibu. Usawa unapatikana wakati jumla ya nguvu zote tatu ni sifuri.

Uhamaji wa mnyororo huhakikisha kwamba nguvu za elastic kwenye mwisho wa kila kiungo huinyosha tu, yaani, daima huelekezwa kwa tangentially kwa mstari.

Bila shaka, hakuna kitu kitakachobadilika ikiwa badala ya mlolongo hutegemea arch imara ya sura sawa: matatizo yanayosababishwa ndani yake na mvuto yatasambazwa kwa namna ambayo nguvu zitafanya kazi kwa tangentially.

Watanyoosha arch, lakini hawatajaribu kuivunja popote. Ikiwa sasa tunageuza arch juu, basi tena karibu hakuna kitu kitabadilika. Mvutano tu utabadilishwa na compression, lakini itachukua hatua katika kila hatua ya arch tu tangentially. Au, ambayo ni kitu kimoja, mzigo kwenye sehemu ya msalaba inayotolewa kwenye hatua ya kiholela ya arch itakuwa perpendicular kwa ndege ya sehemu. Hitimisho hili linaonekana kuwa la kushangaza sana kwa jambo la juu zaidi: eneo la sehemu ya msalaba kuna wima, na nguvu inayofanya juu yake ni ya kawaida kwa nguvu ya mvuto.

Kila kiungo katika mlolongo huathiriwa na nguvu tatu: mvutano kutoka kwa majirani zake na mvuto. Wakati wa kupunguza saizi ya kiungo,

nguvu ya mvuto huwa na sifuri, lakini nguvu ya mvutano haielekei sifuri, huwa tu sambamba kwa kila mmoja.

ina sura karibu na mstari wa mnyororo. Ni muhimu kuzingatia kwamba mnyororo karibu na kuliko mstari wa catenary. Hii ni kutokana na ukweli kwamba urefu wa daraja ni mzito zaidi kuliko mnyororo.

Hitimisho

Lengo kuu la kazi lilikuwa lengosoma mali ya mstari wa catenary.

Ili kufikia lengo hili, yafuatayo yalifanywa:fasihi ya kisayansi na kielimu ilichanganuliwa na dhana na kauli za kimsingi ziliangaziwa; vikundi vya mali vinaonyeshwa; nadharia na kauli katika mada ya utafiti zimethibitishwa; Sifa za mstari wa catenary zilisomwa kwa kutumia njia za jiometri tofauti.

Kwa muhtasari wa matokeo ya kazi, inaweza kuzingatiwa kuwa lengo lilipatikana, na kazi zilitekelezwa katika aya zinazofaa za kazi.

Nyenzo zilizowasilishwa katika kazi hii zinaweza kutumiwa na wanafunzi wote wawilikatika mchakato wa elimu ndani ya mfumo wa taaluma "Jiometri" na "Jiometri ya Tofauti", na pia kwa watoto wa shule katika mchakato wa elimu ndani ya mfumo wa kozi za kuchaguliwa katika hisabati.

Orodha ya fasihi iliyotumika

Vygodsky M.Ya. Mwongozo wa Hisabati ya Juu.§517. M.:AST: Astel, 2006.

Galileo Galileo. Mazungumzo na uthibitisho wa hisabati kuhusu matawi mawili mapya ya sayansi yanayohusiana na mechanics na harakati za ndani za Signor G. Galilei Linceo, mwanafalsafa na mwanahisabati wa kwanza wa Grand Duke wa Tuscany. Na maombi kuhusu vituo vya mvuto wa miili mbalimbali. - L.: Gostekhizd., 1934. p. 273-274.

Markushevich A.I. "Mikondo ya ajabu." M.: Nauka, 1978.p.91

Lyusternik P.A. Mistari mifupi zaidi. Matatizo ya kutofautiana. Mfululizo "Mihadhara Maarufu juu ya Hisabati", toleo la 19, §19. M.-L.: Gostekhizd. 1955.

Merkin D.R. Utangulizi wa mechanics ya filamenti inayoweza kubadilika. M.: Sayansi. 1980. p. 135.

Savelov A.A. Curves gorofa. M.: Fasihi ya Gosizdfiz-mat. 1960.s. 213-216.

Ivanov A.O., Tuzhilin A.A. Mihadhara juu ya jiometri tofauti. M.: Nembo, 2009.

Viro O. Ya., Ivanov O. A., Kharlamov V. M., Netsvetaev N. Yu. SPGU, 2007.

Golovanov N.N., Ilyutko D.P., Nosovsky G.V., Fomenko A.T. Jiometri ya kompyuta. M.: Kituo cha uchapishaji "Chuo", 2006.

Kiambatisho cha 1

Ufafanuzi 1. Mstari wa mnyororo kuitwa curve ya gorofa, umbo lake ambalo linalingana na uzi mzito unaobadilika na usio na kipimo, uliowekwa kwa ncha zote mbili na kushuka chini ya ushawishi wa mvuto.

Ufafanuzi 2 . Tangent inaitwa , kupita kwenye hatua kwenye curve na sanjari nayo katika hatua hii hadi mpangilio wa kwanza., (ni sifa ya nambari ya urefu wa curve hii. Kihistoria, kukokotoa urefu wa curve kuliitwa kunyooshapotofu. Ikiwa urefu wa curve upo na una kikomo, basi curve inasemekana kuwainayoweza kurekebishwa, vinginevyo -isiyoweza kurekebishwa. Urefu wa arc umeonyeshwaS.

Ufafanuzi 7. Mviringo - inayoonyesha curve (uso) katika kitongoji cha hatua yake iliyotolewa kutoka kwa mstari wa tangent (ndege ya tangent). curvature inarejelea vitu vya asili ya jumla zaidi. Curvature imeonyeshwa.

Ufafanuzi 8. Torsion , mkunjo wa pili, kipimo cha kupotoka kwa curve ya anga kutoka. Torsion imeonyeshwa

Ufafanuzi 9 . Inaitwa binormal kawaida pinda katika nafasi perpendicular kwa tangent kwa kuu kawaida .

Ufafanuzi 10. Ndege ikipita kwenye tanjiti na kawaida kuu katika sehemu fulani kwenye curve,kuitwa kugusa ndege katika hatua hii.

Ufafanuzi 11. Ndege ya kawaida kwa mstari uliopinda katika sehemu fulani - ndege inayoelekea kwenye mstari wa tanjiti inayochorwa kupitia sehemu ile ile.

Ufafanuzi 12 . Ndege ya kunyoosha , ndege inapita kwenye tangent na binormal katika hatua fulaniM curve ya anga.

Mstari wa mlolongo ni curve ya gorofa ya transcendental, sura ambayo inachukuliwa chini ya ushawishi wa mvuto na homogeneous, rahisi, inextensible, thread nzito (mnyororo) na mwisho fasta (angalia Mchoro 10).

Ili kupata equation ya mstari wa catenary, tunachagua kipengele kisicho na kikomo cha thread kutoka kwa uhakika A (x, y) hadi kumweka B (x + dx, y + dy) na kuzingatia mfumo wa nguvu zinazofanya juu yake.

Mchele. 10

Katika hatua A, mvutano hufanya kwenye thread, iliyoelekezwa kwa tangentially kwa curve. Hebu tuonyeshe na vipengele vyake pamoja na axes za kuratibu. Ipasavyo, katika hatua B kuna mvutano na vipengele na. Kwa kuongeza, kipengele cha AB kinategemea nguvu ya uvutano, inayoelekezwa chini chini na sawa katika thamani kamili p=qds, ambapo ds ni tofauti ya arc AB, na q ni uzito wa urefu wa kitengo cha thread. Ili mfumo wa nguvu uwe katika usawa, ni muhimu na ya kutosha kwamba jumla ya makadirio kwenye kila mhimili wa nguvu zote za kaimu ni sawa na sifuri. Kusawazisha makadirio ya nguvu kwenye mhimili wa Ox hadi sifuri, tunapata:

H+(H+dH)=0 au dH=0,

hizo. sehemu ya usawa ya mvutano wa thread ni thamani ya mara kwa mara.

Kupanga nguvu kwenye mhimili wa Oy, tunapata:

V-qds+(V+dV)=0 au dV=qds.

Kwa upande mwingine, ikiashiria kwa "a" pembe inayoundwa na tangent kwa curve katika hatua A na mhimili wa Ox, tunapata:

Wacha tutofautishe usawa wa mwisho kwa heshima na x, kwa kuzingatia kwamba H=const:

Kwa kuzingatia kwamba dV=qds na (tazama), tunapata equation ifuatayo ya kutofautisha: ambapo imeashiria Hebu tupate suluhu ya jumla ya mlingano huu. Ili kufanya hivyo, tunafanya uingizwaji:. Kisha equation itachukua fomu:. Kuunganisha usawa wa mwisho juu ya x, tunapata: . Kwa hivyo na hatimaye:

Tulipata familia ya mistari ya mnyororo. Kwa kuchagua vipengele vya kiholela c1 na c2 ili masharti ya awali yatimizwe, tunapata equation inayohitajika kwa mstari wa sag wa thread.

Kwa kudhani kuwa viunga c1 na c2 tayari vimechaguliwa, basi usawa wa katuni unaweza kurahisishwa. Hebu tubadilishe kuratibu:, i.e. Hoja (-c1, c2) inachukuliwa kama asili mpya. Katika mfumo mpya wa kuratibu, equation ya mstari wa kategoria, kuhifadhi nukuu ya awali kwa kuratibu mpya, itachukua fomu:

Ikiwa tutachukua sehemu ya chini ya mstari wa mnyororo kama asili ya kuratibu, basi c1=0, c2=a na hatimaye equation ya mstari wa mnyororo itachukua fomu:

Mstari wa mnyororo ni curve ya gorofa, sura ambayo inachukuliwa na uzi mzito unaobadilika, homogeneous na usio na kipimo, ambao mwisho wake umewekwa kwa pointi mbili (takriban sura hii inachukuliwa na mnyororo, waya wa telegraph, sagging chini ya ushawishi. ya mvuto). Mstari wa catenary ni curve ya transcendental; mlinganyo wake ni y = achx, ambapo chx ni kosine ya hyperbolic.

Equation katika kuratibu za Cartesian:

Urefu wa arc kutoka kipeo hadi sehemu ya kiholela M (x; y):

Eneo lililofungwa na mstari wa mnyororo, ratibu zake mbili na mhimili wa x:

Radius ya curvature:

Maombi:

Arch. Mstari wa mnyororo uliogeuzwa ndio umbo bora kwa matao. Upinde wenye usawa katika mfumo wa mstari wa katani uliogeuzwa hupata kasoro za kukandamiza tu, lakini sio kuvunjika. Kwenye upinde wa St. Louis formula yake imeandikwa kwa miguu:

Hii ni katika mita

Madaraja. Daraja la humpback lina umbo karibu na mstari wa catenary. Inastahili kuzingatia kwamba mnyororo wa daraja la kusimamishwa una umbo la parabola, sio mstari wa katani. Hii ni kutokana na ukweli kwamba urefu wa daraja ni mzito zaidi kuliko mnyororo.

Archimedean ond

Archimedes spiral ni mkunjo bapa ambao unafafanuliwa kwa ncha inayosogea kutoka katikati 0 kwenye kipenyo kinachozunguka kwa usawa.

Ujenzi wa ond ya Archimedean na hatua iliyopewa S - umbali kutoka katikati hadi hatua ya VIII, inafanywa kwa mlolongo ufuatao:

• 1. Kutoka katikati ya 0, chora mduara na radius sawa na hatua S ya ond na ugawanye hatua na mduara katika sehemu kadhaa sawa pointi za mgawanyiko zimehesabiwa;
• 2. Kutoka katikati ya 0 na radii 01, 02, 03, ... kuchora arcs mpaka kuingiliana na radii inayofanana kwenye pointi I, II, III, ...;
• 3. Alama zinazotokana ni za Archimedes ond iliyo na hatua fulani S na kituo cha 0.

Equation ya ond ya Archimedean katika mfumo wa kuratibu wa polar imeandikwa kama ifuatavyo:

ambapo k ni uhamishaji wa uhakika M pamoja na ray r, unapozungushwa kwa pembe sawa na radiani moja. Je, ugeuze mstari ulionyooka na 2? inalingana na kukabiliana na = |BM| = |MA| = k 2? Nambari a inaitwa lami ya ond. Archimedean spiral equation inaweza kuandikwa upya kama ifuatavyo:

Wakati boriti inazunguka kinyume na saa, ond ya mkono wa kulia hupatikana (mstari wa bluu); Matawi yote mawili ya ond (kulia na kushoto) yanaelezewa na equation moja. Maadili chanya? ond ya kulia inalingana, hasi inalingana na ond ya kushoto. Ikiwa nukta M inasogea kwenye mstari wa UV kutoka kwa maadili hasi kupitia katikati ya mzunguko O na zaidi hadi maadili chanya kwenye mstari wa UV, basi uhakika M utaelezea matawi yote mawili ya ond.

Ray OV inayotolewa kutoka hatua ya awali O intersects ond idadi kubwa ya nyakati - pointi B, M, A na kadhalika. Umbali kati ya pointi B na M, M na A ni sawa na lami ya ond

Wakati ond inapojifungua, umbali kutoka kwa hatua O hadi hatua ya M huelekea kutokuwa na mwisho, wakati lami ya ond inabaki thabiti (iliyo na mwisho), ambayo ni, zaidi kutoka katikati, karibu zamu za ond, kwa umbo, zinakaribia. mduara.