- hakika kutakuwa na kazi kwenye trigonometry. Trigonometry mara nyingi haipendi kwa hitaji la kubandika idadi kubwa ya fomula ngumu, iliyojaa sines, cosines, tangents na cotangents. Tovuti tayari ilitoa ushauri juu ya jinsi ya kukumbuka fomula iliyosahaulika, kwa kutumia mfano wa fomula za Euler na Peel.
Na katika nakala hii tutajaribu kuonyesha kuwa inatosha kujua fomula tano tu za trigonometric, na kujua juu ya zingine. wazo la jumla na kuwatoa nje unapokwenda. Ni kama DNA: molekuli haihifadhi ramani kamili za kiumbe hai kilichokamilika. Badala yake, ina maagizo ya kuikusanya kutoka kwa asidi ya amino inayopatikana. Kwa hivyo katika trigonometry, kujua baadhi kanuni za jumla, tutapata kila kitu fomula muhimu kutoka seti ndogo zile ambazo lazima zizingatiwe.
Tutategemea fomula zifuatazo:
Kutoka kwa fomula za hesabu za sine na cosine, tukijua juu ya usawa wa kazi ya kosini na hali isiyo ya kawaida ya kazi ya sine, kubadilisha -b badala ya b, tunapata fomula za tofauti:
- Sine ya tofauti: dhambi(a-b) = dhambiacos(-b)+cosadhambi(-b) = dhambiacosb-cosadhambib
- Cosine ya tofauti: cos(a-b) = cosacos(-b)-dhambiadhambi(-b) = cosacosb+dhambiadhambib
Kuweka = b katika fomula sawa, tunapata fomula za sine na cosine ya pembe mbili:
- Sinus pembe mbili : dhambi2a = dhambi(a+a) = dhambiacosa+cosadhambia = 2dhambiacosa
- Cosine ya pembe mbili: cos2a = cos(a+a) = cosacosa-dhambiadhambia = cos2 a-dhambi2 a
Fomula za pembe zingine nyingi zinapatikana vivyo hivyo:
- Sine ya pembe tatu: dhambi3a = dhambi(2a+a) = dhambi2acosa+cos2adhambia = (2dhambiacosa)cosa+(cos2 a-dhambi2 a)dhambia = 2dhambiacos2 a+dhambiacos2 a-dhambi 3 a = 3 dhambiacos2 a-dhambi 3 a = 3 dhambia(1-dhambi2 a)-dhambi 3 a = 3 dhambia-4dhambi 3a
- Cosine ya pembe tatu: cos3a = cos(2a+a) = cos2acosa-dhambi2adhambia = (cos2 a-dhambi2 a)cosa-(2dhambiacosa)dhambia = cos 3 a- dhambi2 acosa-2dhambi2 acosa = cos 3 a-3 dhambi2 acosa = cos 3 a-3(1- cos2 a)cosa = 4cos 3 a-3 cosa
Kabla hatujaendelea, tuangalie tatizo moja.
Imetolewa: pembe ni ya papo hapo.
Tafuta cosine yake ikiwa
Suluhisho lililotolewa na mwanafunzi mmoja:
Kwa sababu , Hiyo dhambia= 3, a cosa = 4.
(Kutoka kwa ucheshi wa hesabu)
Kwa hivyo, ufafanuzi wa tangent unahusiana na kazi hii kwa sine na cosine. Lakini unaweza kupata fomula inayohusiana na tangent tu na cosine. Ili kuipata, tunachukua kitambulisho kikuu cha trigonometric: dhambi 2 a+cos 2 a= 1 na ugawanye kwa cos 2 a. Tunapata:
Kwa hivyo suluhisho la shida hii litakuwa:
(Kwa kuwa pembe ni ya papo hapo, wakati wa kuchimba mzizi, ishara + inachukuliwa)
Fomula ya tangent ya jumla ni nyingine ambayo ni ngumu kukumbuka. Wacha tuitoe kama hii:
Imeonyeshwa mara moja na
Kutoka kwa fomula ya kosine ya pembe mbili, unaweza kupata fomula za sine na kosine kwa pembe nusu. Ili kufanya hivyo, upande wa kushoto wa formula ya cosine ya pembe mbili:
cos2
a = cos 2
a-dhambi 2
a
tunaongeza moja, na kwa haki - kitengo cha trigonometric, i.e. jumla ya miraba ya sine na kosine.
cos2a+1 = cos2 a-dhambi2 a+cos2 a+dhambi2 a
2cos 2
a = cos2
a+1
Kueleza cosa kupitia cos2
a na kufanya mabadiliko ya anuwai, tunapata:
Ishara inachukuliwa kulingana na quadrant.
Vile vile, kuondoa moja kutoka upande wa kushoto wa usawa na jumla ya miraba ya sine na cosine kutoka kulia, tunapata:
cos2a-1 = cos2 a-dhambi2 a-cos2 a-dhambi2 a
2dhambi 2
a = 1-cos2
a
Na hatimaye, ili kubadilisha jumla ya kazi za trigonometric katika bidhaa, tunatumia mbinu ifuatayo. Wacha tuseme tunahitaji kuwakilisha jumla ya sines kama bidhaa dhambia+dhambib. Hebu tuanzishe vigeuzo x na y hivi kwamba a = x+y, b+x-y. Kisha
dhambia+dhambib = dhambi(x+y)+ dhambi(x-y) = dhambi x cos y+ cos x dhambi y+ dhambi x cos y- cos x dhambi y=2 dhambi x cos y. Hebu sasa tueleze x na y kwa masharti ya a na b.
Kwa kuwa a = x+y, b = x-y, basi . Ndiyo maana
Unaweza kujiondoa mara moja
- Mfumo wa kugawa bidhaa za sine na cosine V kiasi: dhambiacosb = 0.5(dhambi(a+b)+dhambi(a-b))
Tunapendekeza ujizoeze na utengeneze fomula peke yako kwa ajili ya kubadilisha tofauti ya sines na jumla na tofauti ya kosini kuwa bidhaa, na pia kwa kugawanya bidhaa za sine na kosini kuwa jumla. Baada ya kukamilisha mazoezi haya, utakuwa na ujuzi kamili wa kupata fomula za trigonometric na hautapotea hata katika mtihani mgumu zaidi, olympiad au majaribio.
Hebu tushughulikie dhana rahisi: sine na cosine na hesabu cosine mraba na sine mraba.
Sine na cosine husomwa katika trigonometry (utafiti wa pembetatu za pembe-kulia).
Kwa hivyo, kwanza, hebu tukumbuke dhana za msingi za pembetatu sahihi:
Hypotenuse- upande ambao daima uongo kinyume pembe ya kulia(pembe ya digrii 90). Hypotenuse ndio upande mrefu zaidi wa pembetatu ya kulia.
Pande mbili zilizobaki katika pembetatu ya kulia zinaitwa miguu.
Unapaswa pia kukumbuka kuwa pembe tatu katika pembetatu daima huongeza hadi 180 °.
Sasa hebu tuendelee cosine na sine ya alfa ya pembe (∠α)(hii inaweza kuitwa pembe yoyote isiyo ya moja kwa moja katika pembetatu au kutumika kama alama x - "x", ambayo haibadilishi kiini).
Sine ya alfa ya pembe (sin ∠α)- hii ni mtazamo kinyume mguu (upande ulio kinyume na pembe inayolingana) hadi hypotenuse. Ikiwa unatazama takwimu, basi dhambi ∠ABC = AC / BC
Kosine ya alpha ya pembe (cos ∠α)- mtazamo karibu kwa pembe ya mguu kwa hypotenuse. Ukiangalia tena takwimu iliyo hapo juu, cos ∠ABC = AB / BC
Na kukukumbusha tu: cosine na sine hazitakuwa kamwe zaidi ya moja, kwa kuwa roll yoyote ni fupi kuliko hypotenuse (na hypotenuse ni upande mrefu zaidi wa pembetatu yoyote, kwa sababu upande mrefu zaidi iko kinyume na pembe kubwa zaidi katika pembetatu).
Cosine mraba, sine mraba
Sasa hebu tuendelee kwenye zile kuu fomula za trigonometric: Kokotoa cosine mraba na sine mraba.
Ili kuzihesabu, unapaswa kukumbuka kitambulisho cha msingi cha trigonometric:
dhambi 2 α + cos 2 α = 1(mraba wa sine pamoja na mraba wa cosine wa pembe moja daima ni sawa na moja).
Kutoka kitambulisho cha trigonometric tunatoa hitimisho kuhusu sine:
dhambi 2 α = 1 - cos 2 α
alfa ya mraba ya sine sawa na moja toa kosine ya alfa ya pembe mbili na ugawanye zote mbili.
dhambi 2 α = (1 - cos(2α)) / 2
Kutoka kwa kitambulisho cha trigonometric tunapata hitimisho kuhusu cosine:
cos 2 α = 1 - dhambi 2 α
au zaidi chaguo ngumu fomula: alfa ya mraba ya cosine ni sawa na moja pamoja na kosine ya alfa ya pembe mbili na pia gawanya kila kitu kwa mbili.
cos 2 α = (1 + cos(2α)) / 2
Hizi mbili ni zaidi fomula tata sine squared na cosine squared pia huitwa "kupunguza kiwango cha miraba ya utendaji wa trigonometric." Wale. kulikuwa na shahada ya pili, waliishusha hadi ya kwanza na mahesabu yakawa rahisi zaidi.
Suluhisho rahisi zaidi milinganyo ya trigonometric.
Utatuzi wa milinganyo ya trigonometriki ya kiwango chochote cha utata hatimaye huja kwenye kutatua milinganyo rahisi zaidi ya trigonometriki. Na katika hili msaidizi bora tena inageuka kuwa mduara wa trigonometric.
Wacha tukumbuke ufafanuzi wa cosine na sine.
Kosine ya pembe ni abscissa (yaani, kuratibu kando ya mhimili) ya hatua kwenye mduara wa kitengo, inayolingana na mzunguko kupitia pembe fulani.
Sine ya pembe ni kuratibu (yaani, kuratibu kando ya mhimili) ya hatua kwenye duara ya kitengo inayolingana na mzunguko kupitia pembe fulani.
Mwelekeo mzuri wa harakati kwenye mzunguko wa trigonometric ni kinyume cha saa. Mzunguko wa digrii 0 (au radiani 0) hulingana na nukta yenye viwianishi (1;0)
Tunatumia ufafanuzi huu kutatua milinganyo rahisi ya trigonometric.
1. Tatua mlinganyo
Mlinganyo huu unaridhishwa na maadili yote ya pembe ya mzunguko ambayo yanahusiana na pointi kwenye mduara ambao mpangilio wake ni sawa na .
Wacha tuweke alama kwa kuratibu kwenye mhimili wa kuratibu:
Hebu kutekeleza mstari wa usawa sambamba na mhimili wa x hadi inapoingiliana na duara. Tunapata alama mbili ziko kwenye duara na kuwa na mpangilio. Pointi hizi zinalingana na pembe za mzunguko ndani na radiani:
Ikiwa sisi, tukiacha hatua inayolingana na angle ya mzunguko na radians, tunazunguka mduara kamili, basi tutafika kwenye hatua inayolingana na pembe ya mzunguko kwa kila radian na kuwa na kuratibu sawa. Hiyo ni, pembe hii ya mzunguko pia inakidhi equation yetu. Tunaweza kufanya mapinduzi mengi "ya bure" kama tunavyopenda, kurudi kwenye hatua sawa, na maadili haya yote yatatosheleza mlinganyo wetu. Idadi ya mapinduzi "ya kutofanya kazi" itaonyeshwa kwa herufi (au). Kwa kuwa tunaweza kufanya mapinduzi haya katika pande chanya na hasi, (au) tunaweza kuchukua maadili kamili.
Hiyo ni, safu ya kwanza ya suluhisho kwa equation ya asili ina fomu:
, , - seti ya nambari kamili (1)
Vivyo hivyo, safu ya pili ya suluhisho ina fomu:
, wapi,. (2)
Kama unavyoweza kukisia, safu hii ya suluhu ni msingi wa nukta kwenye duara inayolingana na pembe ya kuzunguka kwa .
Msururu huu wa suluhu mbili unaweza kuunganishwa katika ingizo moja:
Ikiwa tuko katika hili tuchukue maelezo(hiyo ni, hata), basi tunapata safu ya kwanza ya suluhisho.
Ikiwa tunachukua (hiyo ni, isiyo ya kawaida) katika kiingilio hiki, basi tunapata safu ya pili ya suluhisho.
2. Sasa hebu tutatue equation
Kwa kuwa hii ni abscissa ya uhakika kwenye mduara wa kitengo kilichopatikana kwa kuzunguka kupitia pembe, tunaweka alama kwenye abscissa kwenye mhimili:
Hebu kutekeleza mstari wa wima sambamba na mhimili hadi inapoingiliana na duara. Tutapata alama mbili ziko kwenye duara na kuwa na abscissa. Pointi hizi zinalingana na pembe za mzunguko ndani na radiani. Kumbuka kwamba tunaposonga mwendo wa saa tunapata pembe hasi ya kuzunguka:
Wacha tuandike safu mbili za suluhisho:
,
,
(Tunafika kwenye hatua tunayotaka kwa kwenda kutoka kwa duara kuu kamili, yaani.
Wacha tuunganishe safu hizi mbili kuwa ingizo moja:
3. Tatua mlinganyo
Mstari wa tanjiti hupitia hatua na viwianishi (1,0) vya mduara wa kitengo sambamba na mhimili wa OY.
Wacha tuweke alama juu yake na mpangilio sawa na 1 (tunatafuta tangent ambayo pembe ni sawa na 1):
Hebu tuunganishe hatua hii kwa asili ya kuratibu na mstari wa moja kwa moja na alama pointi za makutano ya mstari na mzunguko wa kitengo. Sehemu za makutano ya mstari wa moja kwa moja na duara zinalingana na pembe za kuzunguka na :
Kwa kuwa vidokezo vinavyolingana na pembe za mzunguko zinazokidhi equation yetu ziko kwa umbali wa radians kutoka kwa kila mmoja, tunaweza kuandika suluhisho kwa njia hii:
4. Tatua mlinganyo
Mstari wa cotangents hupitia hatua na kuratibu za mzunguko wa kitengo sambamba na mhimili.
Wacha tuweke alama alama na abscissa -1 kwenye mstari wa cotangents:
Hebu tuunganishe hatua hii kwa asili ya mstari wa moja kwa moja na uendelee mpaka inaingiliana na mduara. Mstari huu wa moja kwa moja utavuka mduara kwa pointi zinazolingana na pembe za kuzunguka ndani na radiani:
Kwa kuwa vidokezo hivi vimetenganishwa kutoka kwa kila mmoja kwa umbali sawa na , tunaweza kuandika suluhisho la jumla la equation hii kama ifuatavyo:
Katika mifano iliyopewa inayoonyesha suluhisho la hesabu rahisi zaidi za trigonometric, maadili ya tabular ya kazi za trigonometric yalitumiwa.
Walakini, ikiwa upande wa kulia wa equation una thamani isiyo ya jedwali, basi tunabadilisha thamani hiyo katika suluhisho la jumla la mlinganyo:
SULUHISHO MAALUM:
Wacha tuweke alama kwenye mduara ambao mpangilio wake ni 0:
Wacha tuweke alama kwenye mduara ambao mpangilio wake ni 1:
Wacha tuweke alama kwenye mduara ambao mpangilio wake ni sawa na -1:
Kwa kuwa ni kawaida kuonyesha maadili karibu na sifuri, tunaandika suluhisho kama ifuatavyo:
Wacha tuweke alama kwenye mduara ambao abscissa ni sawa na 0:
5.
Wacha tuweke alama kwenye mduara ambao abscissa ni sawa na 1:
Wacha tuweke alama kwenye mduara ambao abscissa ni sawa na -1:
Na mifano ngumu zaidi:
1.
Sinifu ni sawa na moja ikiwa hoja ni sawa na
Hoja ya sine yetu ni sawa, kwa hivyo tunapata:
Wacha tugawanye pande zote mbili za usawa na 3:
Jibu:
2.
Cosine sawa na sifuri, ikiwa hoja ya cosine ni sawa na
Hoja ya cosine yetu ni sawa na , kwa hivyo tunapata:
Wacha tueleze, kufanya hivi kwanza tunasonga kulia na ishara iliyo kinyume:
Wacha turahisishe upande wa kulia:
Gawa pande zote mbili kwa -2:
Kumbuka kuwa ishara iliyo mbele ya neno haibadiliki, kwani k inaweza kuchukua thamani yoyote kamili.
Jibu:
Na hatimaye, tazama mafunzo ya video "Kuchagua mizizi katika equation ya trigonometric kwa kutumia mzunguko wa trigonometric"
Hii inahitimisha mazungumzo yetu kuhusu kutatua milinganyo rahisi ya trigonometric. Wakati ujao tutazungumzia jinsi ya kuamua.
Sine na cosine awali zilitoka kwa hitaji la kuhesabu idadi katika pembetatu sahihi. Ilibainika kuwa ikiwa kipimo cha digrii ya pembe katika pembetatu ya kulia haibadilishwa, basi uwiano wa kipengele, bila kujali ni kiasi gani pande hizi zinabadilika kwa urefu, daima hubakia sawa.
Hivi ndivyo dhana za sine na cosine zilivyoanzishwa. Sinus angle ya papo hapo katika pembetatu ya kulia ni uwiano upande kinyume kwa hypotenuse, na cosine iko karibu na hypotenuse.
Nadharia za cosines na sines
Lakini kosini na sines zinaweza kutumika kwa zaidi ya pembetatu sahihi. Ili kupata thamani ya pembe iliyo wazi au ya papo hapo au upande wa pembetatu yoyote, inatosha kutumia nadharia ya cosines na sines.
Nadharia ya cosine ni rahisi sana: "Mraba wa upande wa pembetatu sawa na jumla miraba ya pande hizo mbili kando kando ya pande hizo mbili kwa kosini ya pembe kati yake.”
Kuna tafsiri mbili za nadharia ya sine: ndogo na iliyopanuliwa. Kulingana na ndogo: "Katika pembetatu, pembe ni sawia vyama vinavyopingana». Nadharia hii mara nyingi hupanuliwa kwa sababu ya mali ya mduara wa pembetatu: "Katika pembetatu, pembe ni sawia na pande tofauti, na uwiano wao ni sawa na kipenyo cha mduara uliozungukwa."
Viingilio
Derivative ni zana ya hisabati inayoonyesha jinsi chaguo za kukokotoa hubadilika haraka kuhusiana na mabadiliko katika hoja yake. Derivatives hutumiwa katika jiometri, na katika idadi ya taaluma za kiufundi.
Wakati wa kutatua shida, unahitaji kujua maadili ya tabular ya derivatives ya kazi za trigonometric: sine na cosine. Derivative ya sine ni kosine, na kosine ni sine, lakini yenye ishara ya kutoa.
Maombi katika hisabati
Sines na cosine hutumiwa mara nyingi wakati wa kutatua pembetatu za kulia na kazi zinazohusiana nao.
Urahisi wa sines na cosines pia inaonekana katika teknolojia. Ilikuwa rahisi kutathmini pembe na pande kwa kutumia nadharia za cosines na sines, kuvunjika. takwimu tata na vitu katika pembetatu "rahisi". Wahandisi mara nyingi hushughulika na mahesabu ya uwiano wa kipengele na hatua za shahada, alitumia muda mwingi na jitihada kuhesabu cosines na sines ya pembe zisizo za jedwali.
Kisha meza za Bradis zilikuja kuwaokoa, zilizo na maelfu ya maadili ya sines, cosines, tangents na cotangents. pembe tofauti. KATIKA Wakati wa Soviet walimu wengine waliwalazimisha wanafunzi wao kukariri kurasa za meza za Bradis.
Radiani - ukubwa wa angular arcs, urefu sawa na radius au digrii 57.295779513°.
Digrii (katika jiometri) ni 1/360 ya duara au 1/90 ya pembe ya kulia.
π = 3.141592653589793238462… ( thamani ya takriban Nambari za Pi).
Jedwali la Cosine kwa pembe: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.
| Pembe x (katika digrii) | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 120° | 135° | 150° | 180° | 210° | 225° | 240° | 270° | 300° | 315° | 330° | 360° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Pembe x (katika radiani) | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | 2 x π/3 | 3 x π/4 | 5 x π/6 | π | 7 x π/6 | 5 x π/4 | 4 x π/3 | 3 x π/2 | 5 x π/3 | 7 x π/4 | 11 x π/6 | 2 x p |
| kwani x | 1 | √3/2 (0,8660) | √2/2 (0,7071) | 1/2 (0,5) | 0 | -1/2 (-0,5) | -√2/2 (-0,7071) | -√3/2 (-0,8660) | -1 | -√3/2 (-0,8660) | -√2/2 (-0,7071) | -1/2 (-0,5) | 0 | 1/2 (0,5) | √2/2 (0,7071) | √3/2 (0,8660) | 1 |