Mtazamo upande kinyume kwa hypotenuse inaitwa sine angle ya papo hapo pembetatu ya kulia.
\sin \ alpha = \frac(a)(c)
Cosine ya pembe ya papo hapo ya pembetatu ya kulia
Uwiano wa mguu wa karibu na hypotenuse inaitwa cosine ya pembe ya papo hapo pembetatu ya kulia.
\cos \alpha = \frac(b)(c)
Tangenti ya pembe ya papo hapo ya pembetatu ya kulia
Uwiano wa upande wa kinyume na upande wa karibu unaitwa tangent ya pembe ya papo hapo pembetatu ya kulia.
tg \alpha = \frac(a)(b)
Cotangent ya pembe ya papo hapo ya pembetatu ya kulia
Uwiano wa upande wa karibu na upande wa kinyume unaitwa cotangent ya pembe ya papo hapo pembetatu ya kulia.
ctg \alpha = \frac(b)(a)
Sine ya pembe ya kiholela
Mpangilio wa nukta kwenye duara ya kitengo ambayo pembe \ alpha inalingana inaitwa sine ya pembe ya kiholela mzunguko \alpha .
\dhambi \alpha=y
Cosine ya pembe ya kiholela
Abscissa uhakika mduara wa kitengo, ambayo pembe \alpha inalingana inaitwa cosine ya pembe ya kiholela mzunguko \alpha .
\cos \alpha=x
Tanji ya pembe ya kiholela
Uwiano wa sine wa pembe ya mzunguko wa kiholela \alpha kwa kosini yake inaitwa tangent ya pembe ya kiholela mzunguko \alpha .
tan \alpha = y_(A)
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)
Cotangent ya pembe ya kiholela
Uwiano wa cosine wa pembe ya mzunguko wa kiholela \alpha kwa sine yake inaitwa cotangent ya pembe ya kiholela mzunguko \alpha .
ctg\alpha =x_(A)
ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)
Mfano wa kutafuta pembe ya kiholela
Ikiwa \alpha ni pembe fulani ya AOM, ambapo M ni sehemu ya mduara wa kitengo, basi
\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).
Kwa mfano, ikiwa \pembe AOM = -\frac(\pi)(4), basi: mpangilio wa nukta M ni sawa na -\frac(\sqrt(2))(2), abscissa ni sawa na \frac(\sqrt(2))(2) na ndiyo maana
\dhambi \kushoto (-\frac(\pi)(4) \kulia)=-\frac(\sqrt(2))(2);
\cos \kushoto (\frac(\pi)(4) \kulia)=\frac(\sqrt(2))(2);
tg;
ctg \kushoto (-\frac(\pi)(4) \kulia)=-1.
Jedwali la maadili ya sines ya cosines ya tangents ya cotangents
Thamani za pembe kuu zinazotokea mara kwa mara hupewa kwenye jedwali:
| 0^(\ duara) (0) | 30^(\circ)\kushoto(\frac(\pi)(6)\kulia) | 45^(\circ)\kushoto(\frac(\pi)(4)\kulia) | 60^(\circ)\kushoto(\frac(\pi)(3)\kulia) | 90^(\circ)\kushoto(\frac(\pi)(2)\kulia) | 180^(\circ)\kushoto(\pi\kulia) | 270^(\circ)\kushoto(\frac(3\pi)(2)\kulia) | 360^(\circ)\kushoto(2\pi\kulia) | |
| \ dhambi \ alpha | 0 | \frac12 | \frac(\sqrt 2)(2) | \frac(\sqrt 3)(2) | 1 | 0 | −1 | 0 |
| \cos\alpha | 1 | \frac(\sqrt 3)(2) | \frac(\sqrt 2)(2) | \frac12 | 0 | −1 | 0 | 1 |
| tg\alpha | 0 | \frac(\sqrt 3)(3) | 1 | sqrt3 | — | 0 | — | 0 |
| ctg\alpha | — | sqrt3 | 1 | \frac(\sqrt 3)(3) | 0 | — | 0 | — |
Dhana za sine (), kosine (), tangent (), cotangent () zimeunganishwa kwa njia isiyoweza kutenganishwa na dhana ya pembe. Ili kuelewa haya vizuri, kwa mtazamo wa kwanza, dhana tata(ambayo husababisha hali ya kutisha kwa watoto wengi wa shule), na kuhakikisha kwamba "shetani haogopi kama alivyochorwa," hebu tuanze tangu mwanzo na kuelewa dhana ya pembe.
Dhana ya pembe: radian, shahada
Hebu tuangalie picha. Vector "imegeuka" kuhusiana na uhakika kwa kiasi fulani. Kwa hivyo kipimo cha mzunguko huu kuhusiana na nafasi ya awali itakuwa kona.
Nini kingine unahitaji kujua kuhusu dhana ya angle? Kweli, kwa kweli, vitengo vya pembe!
Angle, katika jiometri na trigonometry, inaweza kupimwa kwa digrii na radiani.
Pembe ya (shahada moja) inaitwa pembe ya kati katika mduara, kulingana na arc ya mviringo sawa na sehemu ya mduara. Kwa hivyo, mduara mzima una "vipande" vya arcs za mviringo, au angle iliyoelezwa na mduara ni sawa.
Hiyo ni, takwimu hapo juu inaonyesha angle sawa na, yaani, angle hii inakaa kwenye arc ya mviringo ukubwa wa mduara.
Pembe katika radiani ni pembe ya kati katika duara iliyopunguzwa na safu ya duara ambayo urefu wake ni sawa na radius ya duara. Kweli, umeigundua? Ikiwa sivyo, basi wacha tufikirie kutoka kwa mchoro.
Kwa hivyo, takwimu inaonyesha pembe sawa na radian, ambayo ni, pembe hii inakaa kwenye safu ya mviringo, urefu ambao ni sawa na radius ya duara (urefu ni sawa na urefu au radius. sawa na urefu arcs). Kwa hivyo, urefu wa arc huhesabiwa na formula:
Ambapo ni pembe ya kati katika radiani.
Kweli, ukijua hili, unaweza kujibu ni radians ngapi zilizomo kwenye pembe iliyoelezewa na duara? Ndio, kwa hili unahitaji kukumbuka formula ya mduara. Huyu hapa:
Kweli, sasa hebu tuunganishe fomula hizi mbili na tupate kuwa pembe iliyoelezewa na duara ni sawa. Hiyo ni, kwa kuunganisha thamani katika digrii na radian, tunapata hiyo. Kwa mtiririko huo,. Kama unavyoona, tofauti na "digrii", neno "radian" limeachwa, kwani kitengo cha kipimo kawaida huwa wazi kutoka kwa muktadha.
Je, kuna radian ngapi? Hiyo ni sawa!
Nimeelewa? Kisha endelea na urekebishe:
Je, una matatizo? Kisha angalia majibu:
Pembetatu ya kulia: sine, kosine, tangent, cotangent ya pembe
Kwa hivyo, tuligundua dhana ya pembe. Lakini sine, kosine, tanjiti, na cotangent ya pembe ni nini? Hebu tufikirie. Ili kufanya hivyo, pembetatu sahihi itatusaidia.
Pande za pembetatu ya kulia zinaitwaje? Hiyo ni kweli, hypotenuse na miguu: hypotenuse ni upande ambao uongo kinyume pembe ya kulia(kwa mfano wetu huu ni upande); miguu ni pande mbili zilizobaki na (zile zilizo karibu na pembe ya kulia), na ikiwa tunazingatia miguu inayohusiana na pembe, basi mguu ni mguu wa karibu, na mguu ni kinyume chake. Kwa hiyo, sasa hebu tujibu swali: sine, cosine, tangent na cotangent ya angle ni nini?
Sine ya pembe- hii ni uwiano wa mguu wa kinyume (mbali) kwa hypotenuse.
Katika pembetatu yetu.
Cosine ya pembe- hii ni uwiano wa mguu wa karibu (karibu) na hypotenuse.
Katika pembetatu yetu.
Tangent ya pembe- hii ni uwiano wa upande wa kinyume (mbali) hadi karibu (karibu).
Katika pembetatu yetu.
Cotangent ya pembe- hii ni uwiano wa mguu wa karibu (karibu) hadi kinyume (mbali).
Katika pembetatu yetu.
Ufafanuzi huu ni muhimu kumbuka! Ili iwe rahisi kukumbuka ni mguu gani wa kugawanya katika nini, unahitaji kuelewa wazi kuwa ndani tangent Na kotangent miguu tu hukaa, na hypotenuse inaonekana tu ndani sinus Na kosini. Na kisha unaweza kuja na mlolongo wa vyama. Kwa mfano, hii:
Cosine→gusa→gusa→karibu;
Cotangent→gusa→gusa→karibu.
Kwanza kabisa, unahitaji kukumbuka kuwa sine, cosine, tangent na cotangent kwani uwiano wa pande za pembetatu hautegemei urefu wa pande hizi (kwa pembe sawa). Usiamini? Kisha hakikisha kwa kuangalia picha:
Fikiria, kwa mfano, cosine ya pembe. Kwa ufafanuzi, kutoka kwa pembetatu:, lakini tunaweza kuhesabu cosine ya pembe kutoka kwa pembetatu:. Unaona, urefu wa pande ni tofauti, lakini thamani ya cosine ya pembe moja ni sawa. Kwa hivyo, maadili ya sine, cosine, tangent na cotangent inategemea tu ukubwa wa pembe.
Ikiwa unaelewa ufafanuzi, basi endelea na uimarishe!
Kwa pembetatu iliyoonyeshwa kwenye takwimu hapa chini, tunapata.
Naam, umeipata? Kisha jaribu mwenyewe: hesabu sawa kwa pembe.
Mduara wa kitengo (trigonometric).
Kuelewa dhana za digrii na radiani, tulizingatia mduara na radius sawa na. Mzunguko kama huo unaitwa single. Itakuwa muhimu sana wakati wa kusoma trigonometry. Kwa hiyo, hebu tuangalie kwa undani zaidi.
Kama unavyoona, mduara uliopewa kujengwa ndani Mfumo wa Cartesian kuratibu Radi ya mduara sawa na moja, wakati katikati ya duara iko kwenye asili, nafasi ya kuanzia Vekta ya radius imewekwa kando ya mwelekeo mzuri wa mhimili (kwa mfano wetu, hii ni radius).
Kila hatua kwenye mduara inalingana na nambari mbili: kuratibu mhimili na kuratibu mhimili. Nambari hizi za kuratibu ni nini? Na kwa ujumla, wana uhusiano gani na mada iliyopo? Ili kufanya hivyo, tunahitaji kukumbuka juu ya pembetatu inayozingatiwa ya kulia. Katika takwimu hapo juu, unaweza kuona pembetatu mbili za kulia. Fikiria pembetatu. Ni mstatili kwa sababu ni perpendicular kwa mhimili.
Je, pembetatu ni sawa na nini? Hiyo ni sawa. Kwa kuongeza, tunajua hiyo ni radius ya mzunguko wa kitengo, ambayo ina maana . Hebu tubadilishe thamani hii katika fomula yetu ya cosine. Hiki ndicho kinachotokea:
Je, pembetatu ni sawa na nini? Naam, bila shaka,! Badilisha thamani ya radius kwenye fomula hii na upate:
Kwa hivyo, unaweza kujua ni nini kinachoratibu hatua ya mduara? Naam, hakuna njia? Nini kama wewe kutambua kwamba na ni idadi tu? Je, inalingana na kuratibu gani? Naam, bila shaka, kuratibu! Na inalingana na uratibu gani? Hiyo ni kweli, kuratibu! Kwa hivyo, kipindi.
Nini basi na ni sawa na? Hiyo ni kweli, hebu tutumie ufafanuzi sambamba wa tangent na cotangent na kupata hiyo, a.
Nini ikiwa pembe ni kubwa zaidi? Kwa mfano, kama kwenye picha hii:
Nini kimebadilika katika katika mfano huu? Hebu tufikirie. Ili kufanya hivyo, hebu tugeuke tena kwenye pembetatu ya kulia. Fikiria pembetatu ya kulia: pembe (kama karibu na pembe). Ni maadili gani ya sine, cosine, tangent na cotangent kwa pembe? Hiyo ni kweli, tunafuata ufafanuzi unaolingana wa kazi za trigonometric:
Kweli, kama unavyoona, thamani ya sine ya pembe bado inalingana na kuratibu; thamani ya cosine ya pembe - kuratibu; na maadili ya tangent na cotangent kwa uwiano unaolingana. Kwa hivyo, mahusiano haya yanatumika kwa mzunguko wowote wa vector ya radius.
Tayari imetajwa kuwa nafasi ya awali ya vector ya radius iko kando ya mwelekeo mzuri wa mhimili. Kufikia sasa tumezungusha vekta hii kinyume cha saa, lakini ni nini hufanyika ikiwa tutaizungusha kisaa? Hakuna kitu cha ajabu, utapata pia angle ya thamani fulani, lakini tu itakuwa mbaya. Kwa hivyo, wakati wa kuzungusha vekta ya radius kinyume cha saa, tunapata pembe chanya, na wakati wa kuzunguka saa - hasi.
Kwa hivyo, tunajua kuwa mapinduzi yote ya vekta ya radius karibu na duara ni au. Inawezekana kuzungusha vekta ya radius kwenda au kwa? Naam, bila shaka unaweza! Katika kesi ya kwanza, kwa hiyo, vector ya radius itafanya mapinduzi moja kamili na kuacha kwenye nafasi au.
Katika kesi ya pili, yaani, vector ya radius itafanya mapinduzi matatu kamili na kuacha kwenye nafasi au.
Kwa hivyo, kutoka kwa mifano hapo juu tunaweza kuhitimisha kuwa pembe ambazo hutofautiana na au (ambapo ni nambari yoyote) zinalingana na nafasi sawa ya vekta ya radius.
Kielelezo hapa chini kinaonyesha pembe. Picha sawa inafanana na kona, nk. Orodha hii inaweza kuendelea kwa muda usiojulikana. Pembe hizi zote zinaweza kuandikwa na fomula ya jumla au (iko wapi nambari kamili)
Sasa, ukijua ufafanuzi wa kazi za msingi za trigonometric na kutumia mduara wa kitengo, jaribu kujibu maadili ni nini:
Hapa kuna mduara wa kitengo kukusaidia:
Je, una matatizo? Kisha tufikirie. Kwa hivyo tunajua kwamba:
Kuanzia hapa, tunaamua kuratibu za pointi zinazofanana na hatua fulani za angle. Kweli, wacha tuanze kwa mpangilio: pembe inalingana na hatua na kuratibu, kwa hivyo:
Haipo;
Zaidi ya hayo, kwa kuzingatia mantiki sawa, tunagundua kuwa pembe katika zinahusiana na pointi na kuratibu, kwa mtiririko huo. Kujua hili, ni rahisi kuamua maadili ya kazi za trigonometric katika pointi zinazolingana. Jaribu mwenyewe kwanza, na kisha uangalie majibu.
Majibu:
Haipo
Haipo
Haipo
Haipo
Kwa hivyo, tunaweza kutengeneza meza ifuatayo:
Hakuna haja ya kukumbuka maadili haya yote. Inatosha kukumbuka mawasiliano kati ya kuratibu za alama kwenye mduara wa kitengo na maadili ya kazi za trigonometric:
Lakini maadili ya kazi za trigonometric za pembe ndani na, iliyotolewa kwenye jedwali hapa chini, lazima ikumbukwe:
Usiogope, sasa tutakuonyesha mfano mmoja rahisi sana kukumbuka maadili yanayolingana:
Ili kutumia njia hii, ni muhimu kukumbuka maadili ya sine kwa hatua zote tatu za pembe (), pamoja na thamani ya tangent ya pembe. Kujua maadili haya, ni rahisi sana kurejesha meza nzima - maadili ya cosine huhamishwa kwa mujibu wa mishale, ambayo ni:
Kujua hili, unaweza kurejesha maadili kwa. Nambari "" italingana na denominator "" italingana. Thamani za Cotangent huhamishwa kwa mujibu wa mishale iliyoonyeshwa kwenye takwimu. Ikiwa unaelewa hili na kukumbuka mchoro na mishale, basi itakuwa ya kutosha kukumbuka maadili yote kutoka kwa meza.
Kuratibu za nukta kwenye duara
Inawezekana kupata uhakika (kuratibu zake) kwenye duara, kujua kuratibu za katikati ya mduara, radius yake na angle ya mzunguko?
Naam, bila shaka unaweza! Hebu tutoe nje formula ya jumla kupata viwianishi vya uhakika.
Kwa mfano, hapa kuna duara mbele yetu:
Tunapewa kwamba hatua ni katikati ya mduara. Radi ya mduara ni sawa. Inahitajika kupata kuratibu za hatua iliyopatikana kwa kuzungusha hatua kwa digrii.
Kama inavyoonekana kutoka kwa takwimu, kuratibu kwa uhakika kunalingana na urefu wa sehemu. Urefu wa sehemu unafanana na uratibu wa katikati ya duara, yaani, ni sawa. Urefu wa sehemu unaweza kuonyeshwa kwa kutumia ufafanuzi wa cosine:
Kisha tuna hiyo kwa uratibu wa uhakika.
Kwa kutumia mantiki sawa, tunapata thamani ya y ya kuratibu kwa uhakika. Hivyo,
Kwa hiyo, katika mtazamo wa jumla kuratibu za pointi imedhamiriwa na fomula:
Kuratibu za katikati ya duara,
Radi ya mduara,
Pembe ya mzunguko wa radius ya vekta.
Kama unaweza kuona, kwa mduara wa kitengo tunachozingatia, fomula hizi zimepunguzwa sana, kwani kuratibu za kituo ni sawa na sifuri na radius ni sawa na moja:
Kweli, hebu tujaribu fomula hizi kwa kufanya mazoezi ya kutafuta alama kwenye duara?
1. Tafuta viwianishi vya nukta kwenye mduara wa kitengo uliopatikana kwa kuzungusha uhakika.
2. Tafuta viwianishi vya nukta kwenye mduara wa kitengo uliopatikana kwa kuzungusha uhakika.
3. Tafuta viwianishi vya nukta kwenye mduara wa kitengo uliopatikana kwa kuzungusha uhakika.
4. Hatua ni katikati ya mduara. Radi ya mduara ni sawa. Ni muhimu kupata kuratibu za hatua iliyopatikana kwa kuzungusha vector ya awali ya radius na.
5. Hatua ni katikati ya mduara. Radi ya mduara ni sawa. Ni muhimu kupata kuratibu za hatua iliyopatikana kwa kuzungusha vector ya awali ya radius na.
Je! unatatizika kupata viwianishi vya nukta kwenye duara?
Tatua mifano hii mitano (au pata vizuri kuitatua) na utajifunza kuipata!
1.
Unaweza kutambua hilo. Lakini tunajua ni nini kinacholingana na mapinduzi kamili ya mahali pa kuanzia. Hivyo, hatua inayotakiwa itakuwa katika nafasi sawa na wakati wa kuwasha. Kujua hili, tunapata kuratibu zinazohitajika za uhakika:
2. Mduara wa kitengo umejikita katika hatua, ambayo inamaanisha tunaweza kutumia fomula zilizorahisishwa:
Unaweza kutambua hilo. Tunajua kinacholingana na mbili kasi kamili pa kuanzia. Kwa hivyo, hatua inayotakiwa itakuwa katika nafasi sawa na wakati wa kugeuka. Kujua hili, tunapata kuratibu zinazohitajika za uhakika:
Sine na cosine ni maadili ya meza. Tunakumbuka maana zao na kupata:
Kwa hivyo, hatua inayotakiwa ina kuratibu.
3. Mduara wa kitengo umejikita katika hatua, ambayo inamaanisha tunaweza kutumia fomula zilizorahisishwa:
Unaweza kutambua hilo. Wacha tuonyeshe mfano unaohusika kwenye takwimu:
Radi hufanya pembe sawa na na mhimili. Kujua kwamba maadili ya jedwali ya cosine na sine ni sawa, na baada ya kuamua kwamba cosine hapa inachukua maana hasi, na sine ni chanya, tunayo:
Maelezo zaidi mifano inayofanana hueleweka wakati wa kusoma fomula za kupunguza vitendaji vya trigonometric katika mada.
Kwa hivyo, hatua inayotakiwa ina kuratibu.
4.
Pembe ya kuzunguka kwa radius ya vekta (kwa hali)
Kuamua ishara zinazolingana za sine na cosine, tunaunda mduara wa kitengo na pembe:
Kama unavyoona, thamani, yaani, ni chanya, na thamani, yaani, ni hasi. Kujua maadili ya tabular ya kazi zinazolingana za trigonometric, tunapata kwamba:
Wacha tubadilishe maadili yaliyopatikana kwenye fomula yetu na tupate kuratibu:
Kwa hivyo, hatua inayotakiwa ina kuratibu.
5. Ili kutatua tatizo hili, tunatumia fomula kwa fomu ya jumla, wapi
Kuratibu za katikati ya duara (katika mfano wetu,
Radi ya mduara (kwa hali)
Angle ya mzunguko wa radius ya vector (kwa hali).
Wacha tubadilishe maadili yote kwenye fomula na tupate:
na - maadili ya meza. Wacha tukumbuke na tubadilishe katika fomula:
Kwa hivyo, hatua inayotakiwa ina kuratibu.
MUHTASARI NA FOMU ZA MSINGI
Sine ya pembe ni uwiano wa mguu ulio kinyume (mbali) na hypotenuse.
Cosine ya pembe ni uwiano wa mguu wa karibu (karibu) na hypotenuse.
Tangent ya pembe ni uwiano wa upande wa kinyume (mbali) na upande wa karibu (karibu).
Cotangent ya pembe ni uwiano wa upande wa karibu (karibu) na upande wa kinyume (mbali).
Katika maisha mara nyingi tutalazimika kushughulika matatizo ya hisabati: shuleni, chuo kikuu, na kisha kumsaidia mtoto wako kumaliza kazi ya nyumbani. Watu katika taaluma fulani watakutana na hisabati kila siku. Kwa hivyo, ni muhimu kukumbuka au kukumbuka sheria za hisabati. Katika makala hii tutaangalia mmoja wao: kutafuta upande wa pembetatu sahihi.
Pembetatu ya kulia ni nini
Kwanza, hebu tukumbuke pembetatu sahihi ni nini. Pembetatu ya kulia-Hii takwimu ya kijiometri ya sehemu tatu zinazounganisha pointi ambazo hazilala kwenye mstari sawa sawa, na moja ya pembe za takwimu hii ni digrii 90. Pande zinazounda pembe ya kulia huitwa miguu, na upande ulio kinyume na pembe ya kulia huitwa hypotenuse.
Kutafuta mguu wa pembetatu ya kulia
Kuna njia kadhaa za kujua urefu wa mguu. Ningependa kuzizingatia kwa undani zaidi.
Nadharia ya Pythagorean kupata upande wa pembetatu ya kulia
Ikiwa tunajua hypotenuse na mguu, basi tunaweza kupata urefu wa mguu usiojulikana kwa kutumia theorem ya Pythagorean. Inaonekana kama hii: "Mraba wa hypotenuse sawa na jumla mraba wa miguu." Mfumo: c²=a²+b², ambapo c ni hypotenuse, a na b ni miguu. Tunabadilisha fomula na kupata: a²=c²-b².
Mfano. Hypotenuse ni sentimita 5, na mguu ni sentimita 3. Tunabadilisha fomula: c²=a²+b² → a²=c²-b². Ifuatayo tunatatua: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (cm).
Uwiano wa trigonometric kupata mguu wa pembetatu ya kulia
Unaweza pia kupata mguu usiojulikana ikiwa upande mwingine wowote na pembe ya papo hapo ya pembetatu ya kulia inajulikana. Kuna chaguzi nne za kutafuta mguu kwa kutumia kazi za trigonometric: sine, cosine, tangent, cotangent. Jedwali hapa chini litatusaidia kutatua matatizo. Hebu fikiria chaguzi hizi.
Tafuta mguu wa pembetatu ya kulia kwa kutumia sine
Sini ya pembe (dhambi) ni uwiano wa upande kinyume na hypotenuse. Mfumo: sin=a/c, ambapo a ni mguu kinyume na pembe iliyotolewa, na c ni hypotenuse. Ifuatayo, tunabadilisha fomula na kupata: a=sin*c.
Mfano. Hypotenuse ni 10 cm, angle A ni digrii 30. Kutumia meza, tunahesabu sine ya angle A, ni sawa na 1/2. Kisha, kwa kutumia fomula iliyobadilishwa, tunatatua: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a=5 (cm).
Tafuta mguu wa pembetatu ya kulia kwa kutumia cosine
Cosine ya pembe (cos) ni uwiano mguu wa karibu kwa hypotenuse. Mfumo: cos=b/c, ambapo b ni mguu unaopakana na pembe hii, na c ni hypotenuse. Wacha tubadilishe fomula na tupate: b=cos*c.
Mfano. Angle A ni sawa na digrii 60, hypotenuse ni sawa na cm 10. Kutumia meza, tunahesabu cosine ya angle A, ni sawa na 1/2. Ifuatayo tunatatua: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (cm).
Tafuta mguu wa pembetatu ya kulia kwa kutumia tangent
Tangenti ya pembe (tg) ni uwiano wa upande kinyume na upande wa karibu. Fomula: tg=a/b, ambapo a ni upande ulio kinyume na pembe, na b ni upande wa karibu. Wacha tubadilishe fomula na tupate: a=tg*b.
Mfano. Angle A ni sawa na digrii 45, hypotenuse ni sawa na cm 10. Kutumia meza, tunahesabu tangent ya angle A, ni sawa na Tatua: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (cm).
Tafuta mguu wa pembetatu ya kulia kwa kutumia cotangent
Angle cotangent (ctg) ni uwiano wa upande wa karibu na upande wa kinyume. Mfumo: ctg=b/a, ambapo b ni upande unaopakana na pembe, na ni upande wa kinyume. Kwa maneno mengine, kotangenti ni "tangent iliyogeuzwa." Tunapata: b=ctg*a.
Mfano. Angle A ni digrii 30, mguu wa kinyume ni cm 5. Kulingana na meza, tangent ya angle A ni √3. Tunakokotoa: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (cm).
Kwa hiyo sasa unajua jinsi ya kupata mguu katika pembetatu ya kulia. Kama unaweza kuona, sio ngumu sana, jambo kuu ni kukumbuka kanuni.
Katika makala hii tutaonyesha jinsi ya kutoa ufafanuzi wa sine, kosine, tanjiti na kotanjiti ya pembe na nambari katika trigonometria. Hapa tutazungumza juu ya nukuu, kutoa mifano ya maingizo, na kutoa vielelezo vya picha. Kwa kumalizia, hebu tuchore usawa kati ya ufafanuzi wa sine, cosine, tangent na cotangent katika trigonometry na jiometri.
Urambazaji wa ukurasa.
Ufafanuzi wa sine, kosine, tangent na cotangent
Wacha tuone jinsi wazo la sine, cosine, tangent na cotangent linaundwa ndani kozi ya shule hisabati. Katika masomo ya jiometri, ufafanuzi wa sine, cosine, tangent na cotangent ya angle ya papo hapo katika pembetatu ya kulia hutolewa. Na baadaye trigonometry inasomwa, ambayo inazungumzia sine, cosine, tangent na cotangent ya angle ya mzunguko na namba. Wacha tuwasilishe ufafanuzi huu wote, tutoe mifano na tutoe maoni muhimu.
Pembe ya papo hapo katika pembetatu ya kulia
Kutoka kwa kozi ya jiometri tunajua ufafanuzi wa sine, kosine, tanjiti na cotangent ya pembe ya papo hapo katika pembetatu ya kulia. Zinatolewa kama uwiano wa pande za pembetatu ya kulia. Wacha tutoe muundo wao.
Ufafanuzi.
Sine ya pembe ya papo hapo katika pembetatu ya kulia ni uwiano wa upande kinyume na hypotenuse.
Ufafanuzi.
Cosine ya pembe ya papo hapo katika pembetatu ya kulia ni uwiano wa mguu wa karibu na hypotenuse.
Ufafanuzi.
Tangenti ya pembe ya papo hapo katika pembetatu ya kulia- hii ni uwiano wa upande wa kinyume na upande wa karibu.
Ufafanuzi.
Cotangent ya pembe ya papo hapo katika pembetatu ya kulia- hii ni uwiano wa upande wa karibu na upande wa kinyume.
Majina ya sine, cosine, tangent na cotangent pia yanaletwa hapo - sin, cos, tg na ctg, mtawaliwa.
Kwa mfano, ikiwa ABC ni pembetatu ya kulia yenye pembe ya kulia C, basi sine ya pembe ya papo hapo A sawa na uwiano upande wa kinyume BC kwa hypotenuse AB, yaani, sin∠A=BC/AB.
Ufafanuzi huu hukuruhusu kuhesabu maadili ya sine, cosine, tangent na cotangent ya pembe ya papo hapo kutoka kwa urefu unaojulikana wa pande za pembetatu ya kulia, na vile vile kutoka. maadili yanayojulikana tafuta urefu wa pande nyingine kwa kutumia sine, kosine, tanjiti, kotanji na urefu wa moja ya pande. Kwa mfano, ikiwa tungejua kuwa katika pembetatu ya kulia mguu AC ni sawa na 3 na hypotenuse AB ni sawa na 7, basi tunaweza kuhesabu thamani ya cosine ya pembe ya papo hapo A kwa ufafanuzi: cos∠A=AC/ AB=3/7.
Pembe ya mzunguko
Katika trigonometry, wanaanza kuangalia angle kwa upana zaidi - wao huanzisha dhana ya angle ya mzunguko. Ukubwa wa pembe ya mzunguko, tofauti na pembe ya papo hapo, sio tu kwa digrii 0 hadi 90; pembe ya mzunguko katika digrii (na katika radiani) inaweza kuonyeshwa kwa nambari yoyote halisi kutoka -∞ hadi +∞.
Kwa mwanga huu, ufafanuzi wa sine, cosine, tangent na cotangent hutolewa si ya angle ya papo hapo, lakini ya angle ya ukubwa wa kiholela - angle ya mzunguko. Zinatolewa kupitia viwianishi vya x na y vya hatua A 1, ambayo kinachojulikana kama hatua ya kuanzia A (1, 0) huenda baada ya kuzunguka kwa pembe α karibu na hatua O - mwanzo wa mfumo wa kuratibu wa Cartesian wa mstatili. na katikati ya mzunguko wa kitengo.
Ufafanuzi.
Sine ya pembe ya mzungukoα ni mratibu wa nukta A 1, yaani, sinα=y.
Ufafanuzi.
Cosine ya pembe ya mzungukoα inaitwa abscissa ya uhakika A 1, yaani, cosα=x.
Ufafanuzi.
Tangenti ya pembe ya mzungukoα ni uwiano wa uwiano wa nukta A 1 kwa abscissa yake, yaani, tanα=y/x.
Ufafanuzi.
Kotanji ya pembe ya mzungukoα ni uwiano wa abscissa ya uhakika A 1 kwa kuratibu yake, yaani, ctgα=x/y.
Sine na cosine hufafanuliwa kwa angle yoyote α, kwa kuwa tunaweza daima kuamua abscissa na kuratibu ya uhakika, ambayo hupatikana kwa kuzunguka hatua ya kuanzia kwa angle α. Lakini tangent na cotangent haijafafanuliwa kwa pembe yoyote. Tangenti haijafafanuliwa kwa pembe α ambapo mahali pa kuanzia huenda hadi sehemu yenye sifuri abscissa (0, 1) au (0, -1), na hii hutokea kwa pembe 90°+180° k, k∈Z (π). /2+π·k rad). Hakika, katika pembe kama hizo za mzunguko, usemi tgα=y/x hauna maana, kwani una mgawanyiko kwa sifuri. Kuhusu kotanjiti, haijafafanuliwa kwa pembe α ambapo mahali pa kuanzia huenda hadi mahali na kuratibu sifuri (1, 0) au (-1, 0), na hii hutokea kwa pembe 180° k, k ∈Z. (π·k rad).
Kwa hivyo, sine na kosine hufafanuliwa kwa pembe zozote za mzunguko, tanjiti hufafanuliwa kwa pembe zote isipokuwa 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad), na kotangent imefafanuliwa kwa pembe zote isipokuwa 180° ·k. , k∈Z (π·k rad).
Ufafanuzi huo ni pamoja na majina ambayo tayari tunajulikana sisi sin, cos, tg na ctg, pia hutumika kuteua sine, cosine, tangent na cotangent ya pembe ya mzunguko (wakati mwingine unaweza kupata nyadhifa tan na cot sambamba na tangent na cotangent) . Kwa hivyo sine ya pembe ya mzunguko ya digrii 30 inaweza kuandikwa kama sin30°, maingizo tg(-24°17′) na ctgα yanahusiana na tanjiti ya pembe ya mzunguko -24 digrii dakika 17 na cotangent ya pembe ya mzunguko α. . Kumbuka kwamba wakati wa kuandika kipimo cha radian cha pembe, jina "rad" mara nyingi huachwa. Kwa mfano, kosine ya pembe ya mzunguko ya pi rad tatu kwa kawaida huashiria cos3·π.
Kwa kumalizia hatua hii, ni muhimu kuzingatia kwamba wakati wa kuzungumza juu ya sine, cosine, tangent na cotangent ya angle ya mzunguko, maneno "pembe ya mzunguko" au neno "mzunguko" mara nyingi huachwa. Hiyo ni, badala ya maneno "sine ya pembe ya mzunguko alpha," maneno "sine ya pembe ya alpha" au hata mfupi zaidi, "sine alpha," hutumiwa kwa kawaida. Hali hiyo hiyo inatumika kwa cosine, tangent na cotangent.
Tutasema pia kwamba fasili za sine, kosine, tanjiti na kotanji za pembe ya papo hapo katika pembetatu ya kulia zinapatana na ufafanuzi ambao umetolewa hivi punde wa sine, kosine, tanjiti na kotanjiti ya pembe ya mzunguko kuanzia digrii 0 hadi 90. Tutahalalisha hili.
Nambari
Ufafanuzi.
Sine, kosine, tanjiti na cotangent ya nambari t ni nambari sawa na sine, kosine, tanjiti na kotangenti ya pembe ya mzunguko katika t radiani, mtawalia.
Kwa mfano, cosine ya nambari 8 π kwa ufafanuzi ni nambari sawa na cosine pembe ya 8·π rad. Na kosine ya pembe ya 8·π rad ni sawa na moja, kwa hivyo, kosine ya nambari 8·π ni sawa na 1.
Kuna mbinu nyingine ya kubainisha sine, kosine, tanjiti na kotanjiti ya nambari. Inajumuisha ukweli kwamba kila mtu nambari halisi t imepewa sehemu kwenye duara la kitengo na katikati mwanzoni mfumo wa mstatili kuratibu, na sine, kosine, tangent na cotangent imedhamiriwa kupitia kuratibu za hatua hii. Hebu tuangalie hili kwa undani zaidi.
Wacha tuonyeshe jinsi mawasiliano yanaanzishwa kati ya nambari halisi na vidokezo kwenye duara:
- nambari 0 imepewa sehemu ya kuanzia A (1, 0);
- nambari chanya t inahusishwa na hatua ya mduara wa kitengo ambayo tutapata ikiwa tunasonga kando ya duara kutoka mahali pa kuanzia kwa mwelekeo wa saa na twende njia urefu t;
- nambari hasi t inahusishwa na hatua ya mduara wa kitengo, ambayo tutapata ikiwa tunasonga kando ya mduara kutoka mahali pa kuanzia kwa mwelekeo wa saa na kutembea kwa urefu |t| .
Sasa tunaendelea na ufafanuzi wa sine, cosine, tangent na cotangent ya nambari t. Wacha tuchukue kuwa nambari t inalingana na nukta kwenye duara A 1 (x, y) (kwa mfano, nambari &pi/2; inalingana na nukta A 1 (0, 1)).
Ufafanuzi.
Sine ya nambari t ni mratibu wa nukta kwenye duara la kitengo sambamba na nambari t, yaani, sint=y.
Ufafanuzi.
Cosine ya nambari t inaitwa abscissa ya hatua ya mzunguko wa kitengo sambamba na namba t, yaani, gharama = x.
Ufafanuzi.
Tangenti ya nambari t ni uwiano wa kuratibu na abscissa ya uhakika kwenye mzunguko wa kitengo unaofanana na namba t, yaani, tgt=y/x. Katika uundaji mwingine sawa, tanjenti ya nambari t ni uwiano wa sine ya nambari hii kwa kosine, yaani, tgt=sint/cost.
Ufafanuzi.
Cotangent ya nambari t ni uwiano wa abscissa kwa kuratibu ya nukta kwenye duara ya kitengo inayolingana na nambari t, ambayo ni, ctgt=x/y. Uundaji mwingine ni huu: tanjiti ya nambari t ni uwiano wa kosine ya nambari t hadi sine ya nambari t: ctgt=cost/sint.
Hapa tunaona kwamba fasili zilizotolewa hivi punde zinapatana na ufafanuzi uliotolewa mwanzoni mwa aya hii. Hakika, hoja kwenye mzunguko wa kitengo, sambamba na nambari t , sanjari na hatua iliyopatikana kwa kuzungusha mahali pa kuanzia kwa pembe ya t radians.
Bado inafaa kufafanua jambo hili. Tuseme tuna dhambi ya kuingia3. Tunawezaje kuelewa ikiwa tunazungumza kuhusu sine ya nambari 3 au sine ya pembe ya mzunguko ya radiani 3? Hii kawaida ni wazi kutoka kwa muktadha, in vinginevyo hii ina uwezekano mkubwa sio wa umuhimu wa kimsingi.
Utendakazi wa trigonometriki za hoja ya angular na nambari
Kulingana na data katika aya iliyotangulia ufafanuzi, kila pembe ya mzunguko α inalingana na iliyofafanuliwa vizuri thamani ya dhambiα, kama thamani ya cosα. Kwa kuongezea, pembe zote za mzunguko zaidi ya 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) zinalingana na thamani za tgα, na thamani zingine zaidi ya 180°k, k∈Z (πk rad ) - thamani. ya ctgA. Kwa hiyo sinα, cosα, tanα na ctgα ni kazi za pembe α. Kwa maneno mengine, hizi ni kazi za hoja ya angular.
Vile vile, tunaweza kuzungumza juu ya kazi sine, kosine, tangent na cotangent hoja ya nambari. Hakika, kwa kila nambari halisi t kuna kamili thamani maalum sint, kama gharama. Kwa kuongezea, nambari zote zaidi ya π/2+π · K, k∈Z zinahusiana na maadili TGT, na nambari π · K, k∈Z - maadili CTGT.
Kazi za sine, kosine, tangent na cotangent zinaitwa kazi za msingi za trigonometric.
Kwa kawaida huwa wazi kutokana na muktadha iwapo tunashughulikia utendaji wa trigonometriki za hoja ya angular au hoja ya nambari. Vinginevyo, tunaweza kufikiria tofauti huru kama kipimo cha pembe (hoja ya angular) na hoja ya nambari.
Walakini, shuleni wanasoma zaidi vipengele vya nambari, yaani, chaguo za kukokotoa ambazo hoja zake, kama vile thamani za utendakazi zinazolingana, ni nambari. Kwa hivyo, ikiwa tunazungumzia hasa kuhusu kazi, basi ni vyema kuzingatia kazi za trigonometric kazi za hoja za nambari.
Uhusiano kati ya ufafanuzi kutoka kwa jiometri na trigonometry
Ikiwa tutazingatia pembe ya mzunguko α kuanzia digrii 0 hadi 90, basi ufafanuzi wa sine, kosine, tanjiti na cotangent ya pembe ya mzunguko katika muktadha wa trigonometria yanawiana kikamilifu na ufafanuzi wa sine, kosine, tanjiti na kotanjiti ya an. pembe ya papo hapo katika pembetatu ya kulia, ambayo hutolewa katika kozi ya jiometri. Hebu kuhalalisha hili.
Wacha tuonyeshe mduara wa kitengo katika mfumo wa kuratibu wa Cartesian wa mstatili wa Oxy. Wacha tuweke alama mahali pa kuanzia A(1, 0) . Wacha tuizungushe kwa pembe α kuanzia digrii 0 hadi 90, tunapata uhakika A 1 (x, y). Wacha tuachane na perpendicular A 1 H kutoka kwa uhakika A 1 hadi mhimili wa Ox.
Ni rahisi kuona kwamba katika pembetatu ya kulia A 1 OH sawa na pembe mzunguko α, urefu wa mguu OH ulio karibu na pembe hii ni sawa na abscissa ya uhakika A 1, yaani, |OH|=x, urefu wa mguu A 1 H kinyume na kona ni sawa na kuratibu ya uhakika A 1, yaani, |A 1 H|=y, na urefu wa hypotenuse OA 1 ni sawa na moja, kwa kuwa ni kipenyo cha duara la kitengo. Kisha, kwa ufafanuzi kutoka kwa jiometri, sine ya pembe ya papo hapo α katika pembetatu ya kulia A 1 OH ni sawa na uwiano wa mguu kinyume na hypotenuse, yaani, sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. Na kwa ufafanuzi kutoka trigonometria, sine ya pembe ya mzunguko α ni sawa na mratibu wa nukta A 1, yaani, sinα=y. Hii inaonyesha kuwa kubainisha sine ya pembe ya papo hapo katika pembetatu ya kulia ni sawa na kubainisha sine ya pembe ya mzunguko α wakati α ni kutoka digrii 0 hadi 90.
Vile vile, inaweza kuonyeshwa kuwa ufafanuzi wa cosine, tangent na cotangent ya angle ya papo hapo α ni sawa na ufafanuzi wa cosine, tangent na cotangent ya angle ya mzunguko α.
Bibliografia.
- Jiometri. 7-9 darasa: kitabu cha maandishi kwa elimu ya jumla taasisi / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, nk]. - toleo la 20. M.: Elimu, 2010. - 384 p.: mgonjwa. - ISBN 978-5-09-023915-8.
- Pogorelov A.V. Jiometri: Kitabu cha maandishi. kwa darasa la 7-9. elimu ya jumla taasisi / A. V. Pogorelov. - Toleo la 2 - M.: Elimu, 2001. - 224 p.: mgonjwa. - ISBN 5-09-010803-X.
- Algebra na kazi za msingi : Mafunzo kwa wanafunzi wa darasa la 9 sekondari/ E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Imehaririwa na Daktari wa Sayansi ya Kimwili na Hisabati O. N. Golovin. - 4th ed. M.: Elimu, 1969.
- Aljebra: Kitabu cha kiada kwa daraja la 9. wastani. shule/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Mh. S. A. Telyakovsky - M.: Elimu, 1990. - 272 pp.: mgonjwa - ISBN 5-09-002727-7
- Aljebra na mwanzo wa uchambuzi: Proc. kwa darasa la 10-11. elimu ya jumla taasisi / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn na wengine; Mh. A. N. Kolmogorov - toleo la 14 - M.: Elimu, 2004 - 384 pp.: mgonjwa - ISBN 5-09-013651-3.
- Mordkovich A.G. Algebra na mwanzo wa uchambuzi. Daraja la 10. Saa 2 uk Sehemu ya 1: mafunzo kwa taasisi za elimu (kiwango cha wasifu)/ A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Toleo la 4., ongeza. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 p.: mgonjwa. ISBN 978-5-346-00792-0.
- Aljebra na kuanza uchambuzi wa hisabati. Daraja la 10: kitabu cha maandishi. kwa elimu ya jumla taasisi: msingi na wasifu. viwango /[Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; imehaririwa na A. B. Zhizhchenko. - Toleo la 3. - I.: Elimu, 2010.- 368 p.: mgonjwa.- ISBN 978-5-09-022771-1.
- Bashmakov M.I. Algebra na mwanzo wa uchambuzi: Kitabu cha maandishi. kwa darasa la 10-11. wastani. shule - Toleo la 3. - M.: Elimu, 1993. - 351 p.: mgonjwa. - ISBN 5-09-004617-4.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Hisabati (mwongozo kwa wale wanaoingia shule za ufundi): Proc. posho.- M.; Juu zaidi shule, 1984.-351 p., mgonjwa.