Jinsi ya kutatua kurahisisha misemo. Kubadilisha Semi

Wacha tuzingatie mada ya kubadilisha misemo na nguvu, lakini kwanza tuzingatie mabadiliko kadhaa ambayo yanaweza kufanywa na misemo yoyote, pamoja na ya nguvu. Tutajifunza kufungua mabano, kuleta masharti yanayofanana, fanya kazi na msingi na kielelezo, tumia mali ya digrii.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Maneno ya nguvu ni nini?

KATIKA kozi ya shule Watu wachache hutumia neno " maneno ya nguvu", lakini neno hili linapatikana kila mara katika makusanyo ya kujiandaa kwa Mtihani wa Jimbo la Umoja. Katika hali nyingi, kishazi huashiria misemo ambayo ina digrii katika maingizo yao. Hivi ndivyo tutakavyotafakari katika ufafanuzi wetu.

Ufafanuzi 1

Kujieleza kwa nguvu ni usemi ulio na nguvu.

Wacha tutoe mifano kadhaa ya misemo ya nguvu, kuanzia na nguvu na kiashiria cha asili na kumalizia na shahada yenye kielelezo halisi.

Maneno rahisi zaidi ya nguvu yanaweza kuzingatiwa nguvu za nambari iliyo na kielelezo asilia: 3 2, 7 5 + 1, (2 + 1) 5, (- 0, 1) 4, 2 2 3 3, 3 a 2 - a + a 2, x 3 − 1 , (a 2) 3 . Na pia nguvu zilizo na kipeo cha sifuri: 5 0, (a + 1) 0, 3 + 5 2 - 3, 2 0. Na digrii zilizo na nambari kamili nguvu hasi: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .

Ni ngumu zaidi kufanya kazi na digrii ambayo ina busara na viashiria visivyo na mantiki: 264 1 4 - 3 · 3 · 3 1 2, 2 3, 5 · 2 - 2 2 - 1, 5, 1 a 1 4 · a 1 2 - 2 · a - 1 6 · b 1 2, x π · x 1 - π, 2 3 3 + 5.

Kiashiria kinaweza kuwa tofauti 3 x - 54 - 7 3 x - 58 au logarithm x 2 · l g x - 5 · x l g x.

Tumeshughulikia swali la maneno ya nguvu ni nini. Sasa hebu tuanze kuwageuza.

Aina kuu za mabadiliko ya maneno ya nguvu

Kwanza kabisa, tutaangalia mabadiliko ya msingi ya utambulisho wa misemo ambayo inaweza kufanywa kwa maneno ya nguvu.

Mfano 1

Hesabu thamani ya usemi wa nguvu 2 3 (4 2 − 12).

Suluhisho

Tutafanya mabadiliko yote kwa kufuata utaratibu wa vitendo. KATIKA kwa kesi hii Tutaanza kwa kufanya vitendo katika mabano: tutachukua nafasi ya shahada na thamani ya digital na kuhesabu tofauti ya namba mbili. Tuna 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.

Tunachopaswa kufanya ni kuchukua nafasi ya digrii 2 3 maana yake 8 na kuhesabu bidhaa 8 4 = 32. Hili hapa jibu letu.

Jibu: 2 3 · (4 2 - 12) = 32 .

Mfano 2

Rahisisha usemi kwa kutumia nguvu 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b - 7.

Suluhisho

Usemi tuliopewa katika taarifa ya tatizo una maneno sawa ambayo tunaweza kutoa: 3 a 4 b - 7 − 1 + 2 a 4 b - 7 = 5 a 4 b - 7 - 1.

Jibu: 3 · a 4 · b - 7 − 1 + 2 · a 4 · b - 7 = 5 · a 4 · b - 7 − 1.

Mfano 3

Eleza usemi kwa uwezo 9 - b 3 · π - 1 2 kama bidhaa.

Suluhisho

Wacha tufikirie nambari 9 kama nguvu 3 2 na utumie fomula iliyofupishwa ya kuzidisha:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

Jibu: 9 - b 3 · π - 1 2 = 3 - b 3 · π - 1 3 + b 3 · π - 1 .

Sasa tuendelee kwenye uchambuzi mabadiliko ya utambulisho, ambayo inaweza kutumika hasa kwa maneno ya nguvu.

Kufanya kazi na msingi na kielelezo

Shahada katika msingi au kipeo kinaweza kuwa na nambari, vigeuzi na baadhi ya vielezi. Kwa mfano, (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7 Na . Kufanya kazi na rekodi kama hizo ni ngumu. Ni rahisi zaidi kubadilisha usemi katika msingi wa digrii au usemi katika kipeo kwa usemi sawa sawa.

Mabadiliko ya shahada na kielelezo hufanywa kulingana na sheria zinazojulikana kwetu tofauti na kila mmoja. Jambo muhimu zaidi ni kwamba mabadiliko husababisha usemi unaofanana na ule wa asili.

Madhumuni ya mabadiliko ni kurahisisha usemi asilia au kupata suluhu la tatizo. Kwa mfano, katika mfano tulioutoa hapo juu, (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7 unaweza kufuata hatua za kwenda kwa digrii. 4 , 1 1 , 3 . Kwa kufungua mabano, tunaweza kuwasilisha maneno sawa na msingi wa nguvu (a · (a + 1) − a 2) 2 · (x + 1) na kupata usemi wa nguvu wa zaidi aina rahisi a 2 (x + 1).

Kwa kutumia Sifa za Shahada

Sifa za mamlaka, zilizoandikwa kwa namna ya usawa, ni mojawapo ya zana kuu za kubadilisha maneno na mamlaka. Tunawasilisha hapa kuu, kwa kuzingatia hilo a Na b- hizi ni yoyote nambari chanya, A r Na s- nambari za kweli za kiholela:

Ufafanuzi 2

• a r · a s = a r + s;
• a r: a s = a r - s;
• (a · b) r = a r · b r;
• (a: b) r = a r: b r ;
• (a r) s = a r · s.

Katika hali ambapo tunashughulika na asili, nzima, viashiria vyema digrii, vizuizi vya nambari a na b vinaweza kuwa vikali sana. Kwa hivyo, kwa mfano, ikiwa tunazingatia usawa a m · a n = a m + n, Wapi m Na n – nambari kamili, basi itakuwa kweli kwa maadili yoyote ya a, chanya na hasi, na vile vile kwa a = 0.

Unaweza kutumia mali ya mamlaka bila vikwazo katika hali ambapo misingi ya mamlaka ni chanya au ina vigezo, eneo maadili yanayokubalika ambayo ni kwamba msingi juu yake unakubali tu maadili chanya. Kwa kweli, ndani mtaala wa shule katika hisabati, kazi ya mwanafunzi ni kuchagua mali inayofaa na kuitumia kwa usahihi.

Wakati wa kuandaa kuingia vyuo vikuu, unaweza kukutana na matatizo ambayo matumizi yasiyo sahihi ya mali yatasababisha kupungua kwa DL na matatizo mengine katika kutatua. KATIKA sehemu hii Tutachunguza kesi mbili tu kama hizo. Habari zaidi juu ya mada inaweza kupatikana katika mada "Kubadilisha misemo kwa kutumia mali ya nguvu".

Mfano 4

Hebu wazia usemi huo a 2 , 5 (a 2) − 3: a - 5 , 5 kwa namna ya nguvu yenye msingi a.

Suluhisho

Kwanza, tunatumia mali ya udhihirisho na kubadilisha sababu ya pili kwa kuitumia (a 2) − 3. Kisha tunatumia mali ya kuzidisha na mgawanyiko wa nguvu na msingi sawa:

a 2, 5 · a - 6: a - 5, 5 = a 2, 5 − 6: a - 5, 5 = a - 3, 5: a - 5, 5 = a - 3, 5 - 5, 5 = a - 3, 5 - 5 5) = a 2.

Jibu: a 2, 5 · (a 2) − 3: a - 5, 5 = a 2.

Mabadiliko ya maneno ya nguvu kulingana na mali ya mamlaka yanaweza kufanywa wote kutoka kushoto kwenda kulia na kinyume chake.

Mfano 5

Pata thamani ya usemi wa nguvu 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

Suluhisho

Ikiwa tutatumia usawa (a · b) r = a r · b r, kutoka kulia kwenda kushoto, tunapata bidhaa ya fomu 3 · 7 1 3 · 21 2 3 na kisha 21 1 3 · 21 2 3 . Wacha tuongeze vielelezo wakati wa kuzidisha nguvu na kwa misingi hiyo hiyo: 21 1 3 · 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21.

Kuna njia nyingine ya kufanya mabadiliko:

3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · (3 · 7) 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · 3 2 3 · 7 2 3 = = 3 1 3 · 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Jibu: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Mfano 6

Imepewa usemi wa nguvu a 1, 5 - a 0, 5 - 6, ingiza kigezo kipya t = a 0.5.

Suluhisho

Hebu fikiria shahada ya 1, 5 Vipi ya 0.5 3. Kutumia mali ya digrii hadi digrii (a r) s = a r · s kutoka kulia kwenda kushoto na tunapata (a 0, 5) 3: a 1, 5 - a 0, 5 - 6 = (a 0, 5) 3 - a 0, 5 - 6. Unaweza kutambulisha kwa urahisi utofauti mpya katika usemi unaotokana t = a 0.5: tunapata t 3 − t -6.

Jibu: t 3 − t -6 .

Kubadilisha sehemu zenye nguvu

Kwa kawaida tunashughulika na matoleo mawili ya vielezi vya nguvu na visehemu: usemi huwakilisha sehemu yenye nguvu au huwa na sehemu kama hiyo. Mabadiliko yote ya kimsingi ya sehemu yanatumika kwa misemo kama hiyo bila vizuizi. Wanaweza kupunguzwa, kuletwa kwa denominator mpya, au kufanya kazi tofauti na nambari na denominator. Hebu tuonyeshe hili kwa mifano.

Mfano 7

Rahisisha usemi wa nguvu 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2 .

Suluhisho

Tunashughulika na sehemu, kwa hivyo tutafanya mabadiliko katika nambari na dhehebu:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Weka ishara ya minus mbele ya sehemu ili kubadilisha ishara ya denominator: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

Jibu: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

Sehemu zilizo na mamlaka hupunguzwa hadi denominator mpya kwa njia sawa na sehemu za mantiki. Ili kufanya hivyo, unahitaji kupata sababu ya ziada na kuzidisha nambari na denominator ya sehemu hiyo. Inahitajika kuchagua sababu ya ziada kwa njia ambayo haiendi kwa sifuri kwa maadili yoyote ya anuwai kutoka kwa anuwai ya ODZ kwa usemi wa asili.

Mfano 8

Punguza sehemu ziwe denominata mpya: a) a + 1 a 0, 7 hadi denominator a, b) 1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 kwa denominator x + 8 · y 1 2 .

Suluhisho

a) Wacha tuchague sababu ambayo itaturuhusu kupunguza hadi denominator mpya. a 0, 7 a 0, 3 = a 0, 7 + 0, 3 = a, kwa hivyo, kama sababu ya ziada tutachukua ya 0, 3. Aina mbalimbali za thamani zinazoruhusiwa za kigezo a hujumuisha seti ya zote chanya nambari za kweli. Shahada katika fani hii ya 0, 3 haiendi kwa sifuri.

Hebu tuzidishe nambari na denominator ya sehemu kwa ya 0, 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

b) Wacha tuzingatie dhehebu:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

Hebu tuzidishe usemi huu kwa x 1 3 + 2 · y 1 6, tunapata jumla ya cubes x 1 3 na 2 · y 1 6, i.e. x + 8 · y 1 2 . Hii ni yetu dhehebu mpya, ambayo tunahitaji kupunguza sehemu ya asili.

Hivi ndivyo tulivyopata kipengele cha ziada x 1 3 + 2 · y 1 6 . Juu ya anuwai ya maadili yanayoruhusiwa ya anuwai x Na y usemi x 1 3 + 2 y 1 6 haupotei, kwa hivyo, tunaweza kuzidisha nambari na denominator ya sehemu nayo:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

Jibu: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 na 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 · y 1 2 .

Mfano 9

Punguza sehemu: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

Suluhisho

a) Tunatumia dhehebu kubwa zaidi la kawaida (GCD), ambalo tunaweza kupunguza nambari na denominator. Kwa nambari 30 na 45 ni 15. Tunaweza pia kupunguza kwa x0.5+1 na kwa x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 .

Tunapata:

30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0, 5 + 1)

b) Hapa uwepo wa mambo yanayofanana si dhahiri. Utalazimika kufanya mabadiliko kadhaa ili kupata mambo sawa katika nambari na denominator. Ili kufanya hivyo, tunapanua dhehebu kwa kutumia tofauti za fomula ya mraba:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

Jibu: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

Uendeshaji wa kimsingi na sehemu ni pamoja na kubadilisha sehemu hadi denominator mpya na kupunguza sehemu. Vitendo vyote viwili vinafanywa kwa kufuata sheria kadhaa. Wakati wa kuongeza na kupunguza sehemu, sehemu hupunguzwa kwanza dhehebu la kawaida, baada ya hapo shughuli (kuongeza au kutoa) hufanyika na nambari. Denominator inabakia sawa. Matokeo ya matendo yetu ni sehemu mpya, nambari ambayo ni zao la nambari, na denominator ni bidhaa ya denominators.

Mfano 10

Fanya hatua x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

Suluhisho

Wacha tuanze kwa kutoa sehemu ambazo ziko kwenye mabano. Wacha tuwalete kwa dhehebu la kawaida:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Wacha tuondoe nambari:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

Sasa tunazidisha sehemu:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Wacha tupunguze kwa nguvu x 1 2, tunapata 4 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 .

Zaidi ya hayo, unaweza kurahisisha usemi wa nguvu katika denominator kwa kutumia tofauti ya fomula ya mraba: mraba: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1 .

Jibu: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

Mfano 11

Rahisisha usemi wa sheria-nguvu x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3.
Suluhisho

Tunaweza kupunguza sehemu kwa (x 2 , 7 + 1) 2. Tunapata sehemu x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

Wacha tuendelee kubadilisha nguvu za x x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2, 7 + 1. Sasa unaweza kutumia mali ya mamlaka ya kugawanya kwa misingi sawa: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1 .

Tunahama kutoka kazi ya mwisho kwa sehemu x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Jibu: x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Vizidishi na viashiria hasi Katika hali nyingi, ni rahisi zaidi kuhamisha digrii kutoka kwa nambari hadi kwa denominator na nyuma, kubadilisha ishara ya kielelezo. Kitendo hiki hukuruhusu kurahisisha uamuzi zaidi. Wacha tutoe mfano: usemi wa nguvu (x + 1) - 0, 2 3 · x - 1 inaweza kubadilishwa na x 3 · (x + 1) 0, 2.

Kubadilisha misemo na mizizi na nguvu

Katika matatizo kuna maneno ya nguvu ambayo yana si tu nguvu na viashiria vya sehemu, lakini pia mizizi. Inashauriwa kupunguza maneno kama hayo tu kwa mizizi au kwa nguvu tu. Kwenda digrii ni vyema kwani ni rahisi kufanya kazi nazo. Mpito huu unapendekezwa hasa wakati ODZ ya vigeu vya usemi asilia hukuruhusu kubadilisha mizizi kwa nguvu bila hitaji la kufikia moduli au kugawanya ODZ katika vipindi kadhaa.

Mfano 12

Eleza usemi x 1 9 · x · x 3 6 kama nguvu.

Suluhisho

Masafa ya thamani tofauti zinazoruhusiwa x inafafanuliwa na tofauti mbili x ≥0 na x x 3 ≥ 0, ambayo inafafanua seti [ 0 , + ∞) .

Kwenye seti hii tunayo haki ya kuhama kutoka kwa mizizi hadi kwa nguvu:

x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 9 · x · x 1 3 1 6

Kwa kutumia sifa za mamlaka, tunarahisisha usemi wa nguvu unaotokana.

x 1 9 · x · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 · 1 3 · 6 = = x 1 9 · x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

Jibu: x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 3 .

Kubadilisha nguvu na vigeu katika kipeo

Mabadiliko haya ni rahisi sana kufanya ikiwa utatumia sifa za digrii kwa usahihi. Kwa mfano, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x - 14 7 2 x - 1 = 0.

Tunaweza kuchukua nafasi kwa bidhaa ya mamlaka, vielelezo vyake ambavyo ni jumla ya kutofautisha na nambari. Kwa upande wa kushoto, hii inaweza kufanywa na masharti ya kwanza na ya mwisho ya upande wa kushoto wa usemi:

5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x - 14 7 2 x 7 - 1 = 0, 5 5 2 x - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x = 0 .

Sasa hebu tugawanye pande zote mbili za usawa 7 2 x. Usemi huu wa kutofautisha x huchukua tu maadili chanya:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0, 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Wacha tupunguze sehemu kwa nguvu, tunapata: 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x 7 x - 2 = 0.

Hatimaye, uwiano wa mamlaka na vielelezo sawa hubadilishwa na nguvu za uwiano, na kusababisha equation 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0, ambayo ni sawa na 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x. - 2 = 0 .

Hebu tuanzishe tofauti mpya t = 5 7 x , ambayo inapunguza ufumbuzi wa awali mlingano wa kielelezo kutatua equation ya quadratic 5 · t 2 - 3 · t - 2 = 0 .

Kubadilisha misemo kwa nguvu na logariti

Misemo iliyo na nguvu na logariti pia hupatikana katika shida. Mfano wa misemo kama hii ni: 1 4 1 - 5 · log 2 3 au log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) · log 5 3. Uongofu maneno yanayofanana inafanywa kwa kutumia mbinu na sifa za logariti zilizojadiliwa hapo juu, ambazo tulijadili kwa kina katika mada "Kubadilisha misemo ya logarithmic."

Ukiona hitilafu katika maandishi, tafadhali yaangazie na ubonyeze Ctrl+Enter

Kumbuka 1

Kitendaji cha Boolean kinaweza kuandikwa kwa kutumia usemi wa Boolean na kisha kinaweza kuhamishwa hadi kwenye mzunguko wa kimantiki. Inahitajika kurahisisha misemo ya kimantiki ili kupata mzunguko rahisi zaidi (na kwa hiyo wa bei nafuu) wa kimantiki iwezekanavyo. Kimsingi, kazi ya kimantiki, usemi wa kimantiki na mzunguko wa mantiki-hizo ni tatu lugha mbalimbali, kueleza kuhusu chombo kimoja.

Ili kurahisisha maneno yenye mantiki kutumia sheria za mantiki ya algebra.

Baadhi ya mabadiliko ni sawa na mabadiliko ya fomula katika algebra ya kitambo (kuondoa sababu ya kawaida kwenye mabano, kwa kutumia badiliko na sheria za mchanganyiko nk), na mabadiliko mengine yanategemea mali ambayo shughuli za algebra ya classical hazina (matumizi ya sheria ya usambazaji kwa ushirikiano, sheria za kunyonya, gluing, sheria za de Morgan, nk).

Sheria za aljebra za mantiki zimeundwa kwa msingi shughuli za kimantiki- "SI" - ugeuzaji (kukanusha), "NA" - kiunganishi (kuzidisha kwa kimantiki) na "AU" - mtengano (ongezeko la kimantiki).

Sheria ya kukataa mara mbili ina maana kwamba operesheni ya "NOT" inabadilishwa: ikiwa utaitumia mara mbili, basi mwisho thamani ya mantiki haitabadilika.

Sheria ya kutengwa kati inasema kwamba usemi wowote wa kimantiki ni kweli au uwongo ("hakuna wa tatu"). Kwa hiyo, ikiwa $A=1$, basi $\bar(A)=0$ (na kinyume chake), ambayo ina maana kwamba muunganiko wa kiasi hiki daima ni sawa na sifuri, na mtengano huo daima ni sawa na moja.

$((A + B) → C) \cdot (B → C \cdot D) \cdot C.$

Wacha turahisishe fomula hii:

Kielelezo cha 3.

Inafuata kwamba $A = 0$, $B = 1$, $C = 1$, $D = 1$.

Jibu: Wanafunzi $B$, $C$ na $D$ hucheza chess, lakini mwanafunzi $A$ hachezi.

Wakati wa kurahisisha misemo ya kimantiki, unaweza kufanya mlolongo ufuatao wa vitendo:

1. Badilisha shughuli zote "zisizo za msingi" (usawa, maana, kipekee AU, n.k.) na usemi wao kupitia shughuli za msingi inversion, unganisho na mtengano.
2. Panua ubadilishaji wa misemo changamano kulingana na sheria za De Morgan kwa njia ambayo utendakazi wa kukanusha unabaki tu kwa vigeu vya mtu binafsi.
3. Kisha kurahisisha usemi kwa kutumia mabano yanayofungua, ukiweka mambo ya kawaida nje ya mabano na sheria zingine za aljebra yenye mantiki.

Mfano 2

Hapa, utawala wa De Morgan, sheria ya usambazaji, sheria ya kati iliyotengwa, sheria ya mabadiliko, sheria ya kurudia, tena sheria ya mabadiliko na sheria ya kunyonya hutumiwa mfululizo.

Mwanzoni mwa somo tutapitia mali ya msingi ya mizizi ya mraba, na kisha tutaangalia kadhaa mifano tata kurahisisha misemo iliyo na mizizi ya mraba.

Mada:Kazi. Mali kipeo

Somo:Kubadilisha na kurahisisha misemo ngumu zaidi na mizizi

1. Mapitio ya mali ya mizizi ya mraba

Hebu turudie kwa ufupi nadharia na kukumbuka mali ya msingi ya mizizi ya mraba.

Tabia za mizizi ya mraba:

1. kwa hiyo,;

3. ;

4. .

2. Mifano ya kurahisisha misemo na mizizi

Wacha tuendelee kwenye mifano ya kutumia mali hizi.

Mfano 1: Rahisisha usemi .

Suluhisho. Ili kurahisisha, nambari 120 lazima ibadilishwe kuwa sababu kuu:

Tutafunua mraba wa jumla kwa kutumia fomula inayofaa:

Mfano 2: Rahisisha usemi .

Suluhisho. Hebu tuzingatie kwamba usemi huu hauna maana kwa wote maadili iwezekanavyo kutofautiana, kwa sababu ndani usemi huu mizizi ya mraba na sehemu zipo, ambayo husababisha "kupungua" kwa anuwai ya maadili yanayokubalika. ODZ: ().

Wacha tulete usemi kwenye mabano kwa dhehebu la kawaida na tuandike nambari ya sehemu ya mwisho kama tofauti ya miraba:

Jibu. katika.

Mfano 3: Rahisisha usemi .

Suluhisho. Inaweza kuonekana kuwa mabano ya pili ya nambari yana mwonekano usiofaa na yanahitaji kurahisishwa;

Ili kuweza kutekeleza kizidishi cha kawaida tulirahisisha mizizi kwa kuziweka. Wacha tubadilishe usemi unaosababishwa katika sehemu ya asili:

Baada ya kupunguza sehemu, tunatumia tofauti ya formula ya mraba.

3. Mfano wa kuondokana na kutokuwa na akili

Mfano 4. Jikomboe kutoka kwa kutokuwa na busara (mizizi) katika denominator: a) ; b) .

Suluhisho. a) Ili kuondoa kutokuwa na busara katika dhehebu, tunatumia njia ya kawaida kuzidisha nambari na denominator ya sehemu kwa sababu ya kuunganisha kwa denominator (semi sawa, lakini kwa ishara kinyume). Hii imefanywa ili kukamilisha denominator ya sehemu kwa tofauti ya mraba, ambayo inakuwezesha kuondokana na mizizi kwenye denominator. Wacha tufanye hivi kwa upande wetu:

b) kufanya vitendo sawa:

4. Mfano wa uthibitisho na utambulisho wa mraba kamili katika radical changamano

Mfano 5. Thibitisha usawa .

Ushahidi. Wacha tutumie ufafanuzi wa mzizi wa mraba, ambayo inafuata kwamba mraba wa usemi wa mkono wa kulia lazima uwe sawa na usemi mkali:

. Wacha tufungue mabano kwa kutumia fomula ya mraba wa jumla:

, tulipata usawa sahihi.

Imethibitishwa.

Mfano 6. Rahisisha usemi.

Suluhisho. Usemi huu kwa kawaida huitwa radical tata (mizizi chini ya mzizi). KATIKA katika mfano huu unahitaji kukisia kutenga mraba kamili kutoka kwa usemi mkali. Ili kufanya hivyo, kumbuka kuwa kati ya maneno mawili, ni mgombea wa jukumu la bidhaa mbili katika fomula ya tofauti ya mraba (tofauti, kwa kuwa kuna minus). Hebu tuandike kwa namna ya bidhaa zifuatazo:, basi jukumu la moja ya masharti mraba kamili madai, na kwa jukumu la pili - 1.

Wacha tubadilishe usemi huu chini ya mzizi.

Mara nyingi kazi zinahitaji jibu lililorahisishwa. Ingawa majibu yaliyorahisishwa na ambayo hayajarahisishwa ni sahihi, mwalimu wako anaweza kushusha alama yako ikiwa hutarahisisha jibu lako. Kwa kuongezea, usemi rahisi wa kihesabu ni rahisi kufanya kazi nao. Kwa hiyo, ni muhimu sana kujifunza kurahisisha misemo.

Hatua

Mpangilio sahihi wa shughuli za hisabati

1. Kumbuka mpangilio sahihi wa kufanya shughuli za hisabati. Wakati wa kurahisisha usemi wa hisabati lazima izingatiwe utaratibu fulani vitendo, kwani baadhi shughuli za hisabati kuchukua kipaumbele juu ya wengine na lazima ifanyike kwanza (kwa kweli, kutofuata utaratibu sahihi wa uendeshaji utakuongoza kwenye matokeo mabaya). Kumbuka utaratibu wafuatayo wa shughuli za hisabati: kujieleza katika mabano, ufafanuzi, kuzidisha, mgawanyiko, kuongeza, kutoa.

   • Kumbuka kuwa kujua mpangilio sahihi wa operesheni itakuruhusu kurahisisha misemo rahisi zaidi, lakini ili kurahisisha polynomial (maneno yenye kutofautisha) unahitaji kujua hila maalum (tazama sehemu inayofuata).

2. Anza kwa kutatua usemi kwenye mabano. Katika hisabati, mabano yanaonyesha kwamba usemi ndani yao lazima utathminiwe kwanza. Kwa hivyo, wakati wa kurahisisha usemi wowote wa kihesabu, anza kwa kutatua usemi uliofungwa kwenye mabano (haijalishi ni shughuli gani unahitaji kufanya ndani ya mabano). Lakini kumbuka kwamba wakati wa kufanya kazi na usemi uliofungwa kwenye mabano, lazima ufuate utaratibu wa shughuli, yaani, maneno katika mabano yanazidishwa kwanza, kugawanywa, kuongezwa, kupunguzwa, na kadhalika.

   • Kwa mfano, hebu turahisishe usemi 2x + 4(5 + 2) + 3 2 - (3 + 4/2). Hapa tunaanza na maneno katika mabano: 5 + 2 = 7 na 3 + 4/2 = 3 + 2 =5.
     • Usemi katika jozi ya pili ya mabano hurahisisha hadi 5 kwa sababu 4/2 lazima igawanywe kwanza (kulingana na mpangilio sahihi wa shughuli). Ikiwa hutafuata agizo hili, utapata jibu lisilo sahihi: 3 + 4 = 7 na 7 ÷ 2 = 7/2.
   • Iwapo kuna jozi nyingine ya mabano kwenye mabano, anza kurahisisha kwa kusuluhisha usemi huo katika mabano ya ndani kisha uendelee na kutatua usemi huo kwenye mabano ya nje.

3. Eleza. Baada ya kusuluhisha misemo kwenye mabano, nenda kwa ufafanuzi (kumbuka kuwa nguvu ina kipeo na msingi). Inua usemi unaolingana (au nambari) kwa nguvu na ubadilishe matokeo katika usemi uliopewa.

   • Katika mfano wetu, usemi pekee (nambari) kwa nguvu ni 3 2: 3 2 = 9. Katika usemi uliopewa, badilisha 3 2 na 9 na utapata: 2x + 4 (7) + 9 - 5.

4. Zidisha. Kumbuka kwamba operesheni ya kuzidisha inaweza kuwakilishwa na alama zifuatazo: "x", "∙" au "*". Lakini ikiwa hakuna alama kati ya nambari na kutofautisha (kwa mfano, 2x) au kati ya nambari na nambari kwenye mabano (kwa mfano, 4(7)), basi hii pia ni operesheni ya kuzidisha.

   • Katika mfano wetu, kuna shughuli mbili za kuzidisha: 2x (mbili kuzidishwa na kutofautiana "x") na 4 (7) (nne ikizidishwa na saba). Hatujui thamani ya x, kwa hivyo tutaacha usemi 2x kama ulivyo. 4(7) = 4 x 7 = 28. Sasa unaweza kuandika upya usemi uliopewa kama ifuatavyo: 2x + 28 + 9 - 5.

5. Gawanya. Kumbuka kwamba operesheni ya mgawanyiko inaweza kuwakilishwa na alama zifuatazo: "/", "÷" au "-" (unaweza kuona herufi hii ya mwisho katika sehemu). Kwa mfano, 3/4 ni tatu kugawanywa na nne.

   • Katika mfano wetu, hakuna operesheni ya kugawanya tena, kwani tayari umegawanya 4 na 2 (4/2) wakati wa kutatua usemi kwenye mabano. Kwa hivyo unaweza kwenda hatua ifuatayo. Kumbuka kwamba misemo mingi haina shughuli zote za hisabati (baadhi yao tu).

6. Kunja. Unapoongeza maneno ya usemi, unaweza kuanza na istilahi upande wa mbali kabisa (upande wa kushoto), au unaweza kuongeza masharti ambayo yanaongeza kwa urahisi kwanza. Kwa mfano, katika usemi 49 + 29 + 51 +71, ni rahisi kwanza kuongeza 49 + 51 = 100, kisha 29 + 71 = 100 na hatimaye 100 + 100 = 200. Ni vigumu zaidi kuongeza kama hii: 49 + 29 = 78; 78 + 51 = 129; 129 + 71 = 200.

   • Katika mfano wetu 2x + 28 + 9 + 5 kuna shughuli mbili za kuongeza. Wacha tuanze na neno la nje (kushoto): 2x + 28; huwezi kuongeza 2x na 28 kwa sababu hujui thamani ya kutofautisha "x". Kwa hivyo, ongeza 28 + 9 = 37. Sasa usemi unaweza kuandikwa upya kama ifuatavyo: 2x + 37 - 5.

7. Ondoa. Hii operesheni ya mwisho V kwa mpangilio sahihi kufanya shughuli za hisabati. Katika hatua hii, unaweza pia kuongeza nambari hasi au fanya katika hatua ya kuongeza wanachama - hii haitaathiri matokeo ya mwisho kwa njia yoyote.

   • Katika mfano wetu 2x + 37 - 5 kuna operesheni moja tu ya kutoa: 37 - 5 = 32.

8. Katika hatua hii, baada ya kufanya shughuli zote za hisabati, unapaswa kupata usemi uliorahisishwa. Lakini ikiwa usemi uliopewa una kigezo kimoja au zaidi, basi kumbuka kuwa neno lenye kutofautisha litabaki kama lilivyo. Kutatua (sio kurahisisha) usemi wenye kigezo kunahusisha kupata thamani ya kigezo hicho. Wakati mwingine misemo tofauti inaweza kurahisishwa kwa kutumia mbinu maalum(tazama sehemu inayofuata).

   • Katika mfano wetu, jibu la mwisho ni 2x + 32. Huwezi kuongeza maneno mawili mpaka ujue thamani ya kutofautiana "x". Mara tu unapojua thamani ya kutofautisha, unaweza kurahisisha binomial hii kwa urahisi.

   Kurahisisha misemo changamano

   1. Ongezeko la maneno yanayofanana. Kumbuka kwamba unaweza tu kutoa na kuongeza maneno sawa, yaani, masharti na kutofautiana sawa na kiashiria sawa digrii. Kwa mfano, unaweza kuongeza 7x na 5x, lakini huwezi kuongeza 7x na 5x 2 (kwani vielelezo ni tofauti).

      • Sheria hii inatumika pia kwa washiriki walio na anuwai nyingi. Kwa mfano, unaweza kuongeza 2xy 2 na -3xy 2 , lakini huwezi kuongeza 2xy 2 na -3x 2 y au 2xy 2 na -3y 2 .
      • Hebu tuangalie mfano: x 2 + 3x + 6 - 8x. Hapa maneno kama hayo ni 3x na 8x, kwa hivyo yanaweza kuongezwa pamoja. Usemi uliorahisishwa unaonekana kama hii: x 2 - 5x + 6.

   2. Rahisisha sehemu ya nambari. Katika sehemu kama hiyo, nambari zote mbili na dhehebu zina nambari (bila kutofautisha). Sehemu ya nambari iliyorahisishwa kwa njia kadhaa. Kwanza, gawanya denominator kwa nambari. Pili, onyesha nambari na dhehebu na ughairi mambo kama hayo (kwani kugawanya nambari peke yake kutakupa 1). Kwa maneno mengine, ikiwa nambari na denominator zote zina kipengele sawa, unaweza kuiacha na kupata sehemu iliyorahisishwa.

      • Kwa mfano, fikiria sehemu 36/60. Kwa kutumia kikokotoo, gawanya 36 kwa 60 ili kupata 0.6. Lakini unaweza kurahisisha sehemu hii kwa njia nyingine kwa kuweka nambari na denominator: 36/60 = (6x6)/(6x10) = (6/6)*(6/10). Tangu 6/6 = 1, sehemu iliyorahisishwa ni: 1 x 6/10 = 6/10. Lakini sehemu hii pia inaweza kurahisishwa: 6/10 = (2x3)/(2*5) = (2/2)*(3/5) = 3/5.

   3. Ikiwa sehemu ina kigezo, unaweza kughairi kama vipengele kwa kutofautisha. Fafanua nambari na dhehebu na ughairi mambo kama hayo, hata kama yana utofauti (kumbuka kuwa mambo kama haya yanaweza kuwa na au yasiwe na kutofautisha).

      • Hebu tuangalie mfano: (3x 2 + 3x)/(-3x 2 + 15x). Usemi huu unaweza kuandikwa upya (factored) kwa namna: (x + 1)(3x)/(3x)(5 - x). Kwa kuwa neno la 3x liko katika nambari na denominator, unaweza kulighairi ili kutoa usemi uliorahisishwa: (x + 1)/(5 - x). Hebu tuangalie mfano mwingine: (2x 2 + 4x + 6)/2 = (2(x 2 + 2x + 3))/2 = x 2 + 2x + 3.
      • Tafadhali kumbuka kuwa huwezi kughairi sheria na masharti yoyote - vipengele vinavyofanana tu vilivyo katika nambari na denominata ndizo zimeghairiwa. Kwa mfano, katika usemi (x(x + 2))/x, kigezo (sababu) "x" kiko katika nambari na kiashiria, kwa hivyo "x" inaweza kupunguzwa ili kupata usemi uliorahisishwa: (x + 2) / 1 = x + 2. Hata hivyo, katika usemi (x + 2) / x, kutofautiana "x" haiwezi kupunguzwa (kwa kuwa "x" sio sababu katika nambari).

   4. Fungua mabano. Ili kufanya hivyo, zidisha neno nje ya mabano kwa kila neno kwenye mabano. Wakati mwingine husaidia kurahisisha usemi changamano. Hii inatumika kwa wanachama wote ambao ni nambari kuu, na kwa washiriki walio na kigezo.

      • Kwa mfano, 3 (x 2 + 8) = 3x 2 + 24, na 3x (x 2 + 8) = 3x 3 + 24x.
      • Tafadhali kumbuka kuwa katika maneno ya sehemu Hakuna haja ya kufungua mabano ikiwa sababu sawa iko katika nambari na denominator. Kwa mfano, katika usemi (3 (x 2 + 8))/3x hakuna haja ya kupanua mabano, kwani hapa unaweza kufuta sababu ya 3 na kupata usemi uliorahisishwa (x 2 + 8)/x. Usemi huu ni rahisi kufanya kazi nao; ikiwa ungepanua mabano, utapata usemi changamano ufuatao: (3x 3 + 24x)/3x.

   5. Factor polynomials. Kutumia njia hii, unaweza kurahisisha baadhi ya maneno na polynomials. Factoring ni operesheni kinyume cha ufunguzi mabano, yaani, usemi huo umeandikwa kama bidhaa ya misemo miwili, ambayo kila moja imefungwa kwenye mabano. Katika baadhi ya matukio, factorization inaweza kupunguza usemi sawa. KATIKA kesi maalum(kawaida na milinganyo ya quadratic) factoring itakuruhusu kutatua equation.

      • Fikiria usemi x 2 - 5x + 6. Imewekwa: (x - 3) (x - 2). Kwa hivyo, ikiwa, kwa mfano, usemi umetolewa (x 2 - 5x + 6)/(2(x - 2)), basi unaweza kuandika tena kama (x - 3)(x - 2)/(2(x) - 2)), punguza usemi (x - 2) na upate usemi uliorahisishwa (x - 3)/2.
      • Factoring polynomials hutumiwa kutatua (kupata mizizi) milinganyo (equation ni polynomial sawa na 0). Kwa mfano, fikiria equation x 2 - 5x + 6 = 0. Kwa kuihesabu, unapata (x - 3) (x - 2) = 0. Kwa kuwa usemi wowote unaozidishwa na 0 ni sawa na 0, tunaweza kuiandika kama hii : x - 3 = 0 na x - 2 = 0. Hivyo, x = 3 na x = 2, yaani, umepata mizizi miwili ya equation uliyopewa.

Katika karne ya tano KK, mwanafalsafa wa kale wa Kigiriki Zeno wa Elea alitengeneza aporias yake maarufu, maarufu zaidi ambayo ni "Achilles na Tortoise" aporia. Hivi ndivyo inavyosikika:

Wacha tuseme Achilles anakimbia mara kumi zaidi ya kobe na yuko hatua elfu nyuma yake. Wakati inachukua Achilles kukimbia umbali huu, kobe atatambaa hatua mia katika mwelekeo sawa. Achilles anapokimbia hatua mia moja, kobe hutambaa hatua nyingine kumi, na kadhalika. Mchakato utaendelea ad infinitum, Achilles hatawahi kukutana na kobe.

Hoja hii ikawa mshtuko wa kimantiki kwa vizazi vyote vilivyofuata. Aristotle, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert ... Wote walizingatia aporia ya Zeno kwa njia moja au nyingine. Mshtuko ulikuwa mkali sana hivi kwamba " ...majadiliano yanaendelea hadi leo, ili kufikia maoni ya pamoja kuhusu kiini cha vitendawili jumuiya ya kisayansi hadi sasa haijawezekana... tulihusika katika utafiti wa suala hilo uchambuzi wa hisabati, kuweka nadharia, mpya ya kimwili na mbinu za kifalsafa; hakuna hata mmoja wao aliyeweza kuwa suluhisho linalokubalika kwa ujumla kwa tatizo..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Kila mtu anaelewa kuwa wanadanganywa, lakini hakuna anayeelewa ni nini udanganyifu huo.

Kutoka kwa mtazamo wa hisabati, Zeno katika aporia yake alionyesha wazi mpito kutoka kwa wingi hadi . Mpito huu unamaanisha programu badala ya za kudumu. Ninavyoelewa, vifaa vya hisabati Utumiaji wa vipimo vinavyobadilika ama bado haujaendelezwa, au haujatumika kwa aporia ya Zeno. Kutumia mantiki yetu ya kawaida hutupeleka kwenye mtego. Sisi, kwa sababu ya hali ya kufikiria, tunatumia vitengo vya wakati kila wakati kwa thamani ya kubadilishana. NA hatua ya kimwili Kwa mtazamo, inaonekana kama wakati unapungua hadi ikome kabisa wakati Achilles anapokutana na kobe. Muda ukisimama, Achilles hawezi tena kumshinda kobe.

Ikiwa tunageuza mantiki yetu ya kawaida, kila kitu kitaanguka. Achilles anaendesha na kasi ya mara kwa mara. Kila sehemu inayofuata ya njia yake ni fupi mara kumi kuliko ile iliyotangulia. Ipasavyo, wakati uliotumika kushinda ni mara kumi chini ya ule uliopita. Ikiwa tutatumia wazo la "infinity" katika hali hii, basi itakuwa sahihi kusema "Achilles atakutana na kobe haraka sana."

Jinsi ya kuepuka mtego huu wa kimantiki? Kaa ndani vitengo vya mara kwa mara vipimo vya wakati na usiende kwa idadi inayofanana. Katika lugha ya Zeno inaonekana kama hii:

Kwa wakati inachukua Achilles kukimbia hatua elfu moja, kobe atatambaa hatua mia katika mwelekeo sawa. Kwa muda unaofuata, sawa na wa kwanza, Achilles atakimbia hatua elfu nyingine, na kobe atatambaa hatua mia moja. Sasa Achilles yuko hatua mia nane mbele ya kobe.

Mbinu hii inaelezea vya kutosha ukweli bila vitendawili vyovyote vya kimantiki. Lakini sivyo suluhisho kamili Matatizo. Taarifa ya Einstein kuhusu kutoweza kupinga kasi ya mwanga ni sawa na aporia ya Zeno "Achilles na Tortoise". Bado tunapaswa kujifunza, kufikiria upya na kutatua tatizo hili. Na suluhisho lazima litafutwa sio kwa idadi kubwa sana, lakini kwa vitengo vya kipimo.

Aporia nyingine ya kuvutia ya Zeno inasimulia juu ya mshale unaoruka:

Mshale unaoruka hauna mwendo, kwani kila wakati umepumzika, na kwa kuwa umepumzika kila wakati wa wakati, huwa umepumzika kila wakati.

Katika aporia hii, kitendawili cha kimantiki kinashindwa kwa urahisi sana - inatosha kufafanua kwamba kwa kila wakati mshale wa kuruka unapumzika katika sehemu tofauti za nafasi, ambayo, kwa kweli, ni mwendo. Jambo lingine linafaa kuzingatiwa hapa. Kutoka kwa picha moja ya gari kwenye barabara haiwezekani kuamua ukweli wa harakati zake au umbali wake. Ili kubaini ikiwa gari linasonga, unahitaji picha mbili zilizopigwa kutoka sehemu moja nyakati tofauti wakati, lakini umbali hauwezi kuamua kutoka kwao. Kuamua umbali wa gari, unahitaji picha mbili zilizochukuliwa kutoka pointi tofauti nafasi kwa wakati mmoja kwa wakati, lakini haiwezekani kuamua ukweli wa harakati kutoka kwao (kwa kawaida, data ya ziada bado inahitajika kwa mahesabu, trigonometry itakusaidia). Ninachotaka kuashiria Tahadhari maalum, ni kwamba pointi mbili kwa wakati na pointi mbili katika nafasi ni mambo tofauti ambayo haipaswi kuchanganyikiwa, kwa sababu hutoa fursa tofauti za utafiti.

Jumatano, Julai 4, 2018

Tofauti kati ya seti na seti nyingi zimeelezewa vizuri sana kwenye Wikipedia. Hebu tuone.

Kama unaweza kuona, "hakuwezi kuwa na vipengele viwili vinavyofanana katika seti," lakini ikiwa kuna vipengele vinavyofanana katika seti, seti kama hiyo inaitwa "multiset." Viumbe wenye akili timamu hawatawahi kuelewa mantiki hiyo ya kipuuzi. Hii ni ngazi kuzungumza kasuku na nyani waliofunzwa, ambao hawana akili kutoka kwa neno "kabisa". Wanahisabati hufanya kama wakufunzi wa kawaida, wakituhubiria mawazo yao ya kipuuzi.

Hapo zamani za kale, wahandisi waliojenga daraja hilo walikuwa ndani ya boti chini ya daraja hilo wakati wakifanya majaribio ya daraja hilo. Ikiwa daraja lilianguka, mhandisi wa wastani alikufa chini ya vifusi vya uumbaji wake. Ikiwa daraja lingeweza kuhimili mzigo, mhandisi mwenye talanta alijenga madaraja mengine.

Haijalishi jinsi wataalamu wa hesabu hujificha nyuma ya kifungu "nikomboe, niko nyumbani", au tuseme "masomo ya hisabati dhana dhahania", kuna kitovu kimoja ambacho kinawaunganisha na ukweli. Hiki kitovu ni pesa. nadharia ya hisabati seti kwa wanahisabati wenyewe.

Tulisoma hisabati vizuri sana na sasa tumekaa kwenye daftari la pesa, tukitoa mishahara. Kwa hivyo mtaalamu wa hisabati anakuja kwetu kwa pesa zake. Tunamhesabu kiasi chote na kuiweka kwenye meza yetu katika mirundo tofauti, ambayo tunaweka bili za dhehebu moja. Kisha tunachukua muswada mmoja kutoka kwa kila fungu na kumpa mwanahisabati" seti ya hisabati mishahara." Tunaeleza kwa hisabati kwamba atapokea bili zilizobaki pale tu atakapothibitisha kwamba seti isiyo na vipengele vinavyofanana si sawa na seti yenye vipengele vinavyofanana. Hapa ndipo furaha huanza.

Kwanza kabisa, mantiki ya manaibu itafanya kazi: "Hii inaweza kutumika kwa wengine, lakini sio kwangu!" Kisha wataanza kutuhakikishia kwamba miswada ya dhehebu moja ina nambari tofauti za bili, ambayo inamaanisha kuwa haiwezi kuchukuliwa kuwa vipengele sawa. Sawa, wacha tuhesabu mishahara kwa sarafu - hakuna nambari kwenye sarafu. Hapa mwanahisabati ataanza kukumbuka fizikia kwa bidii: kwenye sarafu tofauti kuna kiasi tofauti matope, muundo wa kioo na mpangilio wa atomi katika kila sarafu ni wa kipekee...

Na sasa nina zaidi maslahi Uliza: mstari uko wapi zaidi ya ambayo vipengele vya multiset hugeuka kuwa vipengele vya seti na kinyume chake? Mstari kama huo haupo - kila kitu kinaamuliwa na shamans, sayansi haiko karibu na kusema uwongo hapa.

Tazama hapa. Tunachagua viwanja vya mpira wa miguu vilivyo na eneo sawa la uwanja. Maeneo ya uwanja ni sawa - ambayo inamaanisha tuna seti nyingi. Lakini tukiangalia majina ya viwanja hivi hivi, tunapata vingi, maana majina ni tofauti. Kama unaweza kuona, seti sawa ya vipengele ni seti na seti nyingi. Ambayo ni sahihi? Na hapa mtaalamu wa hisabati-shaman-sharpist huchota ace ya tarumbeta kutoka kwa sleeve yake na kuanza kutuambia kuhusu seti au multiset. Kwa vyovyote vile, atatusadikisha kwamba yuko sahihi.

Ili kuelewa jinsi shamans ya kisasa inavyofanya kazi na nadharia iliyowekwa, kuifunga kwa ukweli, inatosha kujibu swali moja: vipengele vya seti moja vinatofautianaje na vipengele vya seti nyingine? Nitakuonyesha, bila "kuwaza kama si nzima" au "haiwezekani kwa ujumla."

Jumapili, Machi 18, 2018

Jumla ya nambari za nambari ni densi ya shaman na tambourini, ambayo haina uhusiano wowote na hisabati. Ndio, katika masomo ya hisabati tunafundishwa kupata jumla ya nambari za nambari na kuitumia, lakini ndiyo sababu wao ni shamans, kuwafundisha wazao wao ujuzi na hekima yao, vinginevyo shamans watakufa tu.

Je, unahitaji ushahidi? Fungua Wikipedia na ujaribu kupata ukurasa "Jumla ya nambari za nambari." Yeye hayupo. Hakuna fomula katika hisabati inayoweza kutumika kupata jumla ya tarakimu za nambari yoyote. Baada ya yote, nambari ni alama za picha, kwa msaada ambao tunaandika nambari na katika lugha ya hisabati kazi inasikika kama hii: "Tafuta jumla ya alama za picha zinazowakilisha nambari yoyote." Wanahisabati hawawezi kutatua tatizo hili, lakini shamans wanaweza kufanya hivyo kwa urahisi.

Wacha tujue ni nini na jinsi ya kufanya ili kupata jumla ya nambari nambari iliyopewa. Na kwa hivyo, tuwe na nambari 12345. Ni nini kinachohitajika kufanywa ili kupata jumla ya nambari za nambari hii? Hebu fikiria hatua zote kwa utaratibu.

1. Andika nambari kwenye kipande cha karatasi. Tumefanya nini? Tumebadilisha nambari kuwa ishara ya nambari ya picha. Huu sio operesheni ya hisabati.

2. Tunakata picha moja inayotokana na picha kadhaa zilizo na nambari za kibinafsi. Kukata picha sio operesheni ya kihesabu.

3. Badilisha alama za picha za kibinafsi kuwa nambari. Huu sio operesheni ya hisabati.

4. Ongeza nambari zinazosababisha. Sasa hii ni hisabati.

Jumla ya tarakimu za nambari 12345 ni 15. Hizi ni "kozi za kukata na kushona" zinazofundishwa na shamans ambazo wanahisabati hutumia. Lakini si hayo tu.

Kutoka kwa mtazamo wa hisabati, haijalishi ni katika mfumo gani wa nambari tunaandika nambari. Kwa hiyo, katika mifumo tofauti Katika calculus, jumla ya tarakimu za nambari sawa zitakuwa tofauti. Katika hisabati, mfumo wa nambari unaonyeshwa kama usajili wa kulia wa nambari. NA idadi kubwa 12345 Sitaki kudanganya kichwa changu, hebu tuangalie nambari 26 kutoka kwa makala kuhusu. Hebu tuandike nambari hii katika mifumo ya nambari za binary, octal, desimali na hexadecimal. Hatutaangalia kila hatua chini ya darubini tayari tumefanya hivyo. Hebu tuangalie matokeo.

Kama unaweza kuona, katika mifumo tofauti ya nambari jumla ya nambari za nambari sawa ni tofauti. Matokeo haya hayana uhusiano wowote na hisabati. Ni sawa na ukiamua eneo la mstatili katika mita na sentimita, utapata matokeo tofauti kabisa.

Sufuri inaonekana sawa katika mifumo yote ya nambari na haina jumla ya nambari. Hii ni hoja nyingine inayounga mkono ukweli kwamba. Swali kwa wanahisabati: ni jinsi gani kitu ambacho sio nambari iliyoteuliwa katika hisabati? Je, kwa wanahisabati hakuna chochote isipokuwa nambari? Ninaweza kuruhusu hili kwa shamans, lakini si kwa wanasayansi. Ukweli sio tu juu ya nambari.

Matokeo yaliyopatikana yanapaswa kuzingatiwa kama dhibitisho kwamba mifumo ya nambari ni vitengo vya kipimo kwa nambari. Baada ya yote, hatuwezi kulinganisha nambari na vitengo tofauti vipimo. Ikiwa vitendo sawa na vitengo tofauti vya kipimo cha wingi sawa husababisha matokeo tofauti baada ya kulinganisha, basi hii haina uhusiano wowote na hisabati.

Hisabati halisi ni nini? Hii ni wakati matokeo operesheni ya hisabati haitegemei saizi ya nambari, kitengo cha kipimo kinachotumiwa na ni nani anayefanya kitendo.

Ishara kwenye mlango Anafungua mlango na kusema:

Lo! Je, hii si choo cha wanawake?
- Mwanamke mchanga! Hii ni maabara ya uchunguzi wa utakatifu usio na kikomo wa roho wakati wa kupaa kwao mbinguni! Halo juu na mshale juu. Choo gani kingine?

Kike... Halo juu na mshale chini ni wa kiume.

Ikiwa kazi kama hiyo ya sanaa ya kubuni inaangaza mbele ya macho yako mara kadhaa kwa siku,

Basi haishangazi kwamba ghafla unapata ikoni ya kushangaza kwenye gari lako:

Binafsi, mimi hujitahidi kuona minus digrii nne katika mtu anayepiga kinyesi (picha moja) (muundo wa picha kadhaa: ishara ya minus, nambari ya nne, muundo wa digrii). Na sidhani msichana huyu ni mjinga, hapana mwenye ujuzi katika fizikia. Yeye tu ana stereotype arch ya mtazamo picha za picha. Na wanahisabati wanatufundisha hili kila wakati. Hapa kuna mfano.

1A sio "minus digrii nne" au "moja a". Huyu ni "mtu wa kinyesi" au nambari "ishirini na sita" katika nukuu ya heksadesimali. Watu hao ambao hufanya kazi kila wakati katika mfumo huu wa nambari hugundua nambari na herufi kiotomatiki kama ishara moja ya picha.