Katika video hii tutachambua seti nzima ya milinganyo ya mstari ambayo hutatuliwa kwa kutumia algoriti sawa - ndiyo maana inaitwa rahisi zaidi.
Kwanza, hebu tufafanue: equation ya mstari ni nini na ni ipi inayoitwa rahisi zaidi?
Mlinganyo wa mstari ni ule ambao kuna tofauti moja tu, na kwa kiwango cha kwanza tu.
Equation rahisi zaidi inamaanisha ujenzi:
Equations zingine zote za mstari hupunguzwa kuwa rahisi zaidi kwa kutumia algorithm:
- Panua mabano, ikiwa yapo;
- Hamisha masharti yaliyo na kigezo hadi upande mmoja wa ishara sawa, na istilahi bila kigezo hadi kingine;
- Toa maneno sawa kwa kushoto na kulia kwa ishara sawa;
- Gawanya mlinganyo unaotokana na mgawo wa tofauti $x$.
Kwa kweli, algorithm hii haisaidii kila wakati. Ukweli ni kwamba wakati mwingine baada ya mifumo hii yote mgawo wa kutofautiana $x$ hugeuka kuwa sawa na sifuri. Katika kesi hii, chaguzi mbili zinawezekana:
- Mlinganyo hauna suluhu hata kidogo. Kwa mfano, kitu kama $0\cdot x=8$ kinapotokea, i.e. upande wa kushoto ni sifuri, na upande wa kulia ni nambari nyingine isipokuwa sifuri. Katika video hapa chini tutaangalia sababu kadhaa kwa nini hali hii inawezekana.
- Suluhisho ni nambari zote. Kisa pekee wakati hii inawezekana ni wakati equation imepunguzwa kwa ujenzi $0\cdot x=0$. Ni sawa kabisa kwamba bila kujali $x$ tunayobadilisha, bado itageuka kuwa "sifuri ni sawa na sifuri", i.e. usawa sahihi wa nambari.
Sasa hebu tuone jinsi hii yote inavyofanya kazi kwa kutumia mifano ya maisha halisi.
Mifano ya kutatua milinganyo
Leo tunashughulika na hesabu za mstari, na zile rahisi tu. Kwa ujumla, mlinganyo wa mstari unamaanisha usawa wowote ambao una kigezo kimoja, na huenda kwa daraja la kwanza tu.
Miundo kama hiyo hutatuliwa kwa takriban njia sawa:
- Kwanza kabisa, unahitaji kupanua mabano, ikiwa kuna yoyote (kama katika mfano wetu wa mwisho);
- Kisha kuleta sawa
- Hatimaye, tenga kutofautiana, i.e. songa kila kitu kilichounganishwa na kibadilishaji - masharti ambayo ndani yake - kwa upande mmoja, na uhamishe kila kitu kinachobaki bila hiyo kwa upande mwingine.
Halafu, kama sheria, unahitaji kutoa sawa kwa kila upande wa usawa unaosababishwa, na baada ya hayo yote iliyobaki ni kugawanya kwa mgawo wa "x", na tutapata jibu la mwisho.
Kinadharia, hii inaonekana nzuri na rahisi, lakini kwa mazoezi, hata wanafunzi wa shule ya upili wenye uzoefu wanaweza kufanya makosa ya kukera katika milinganyo rahisi ya mstari. Kwa kawaida, makosa hufanywa ama wakati wa kufungua mabano au wakati wa kuhesabu "pluses" na "minuses".
Kwa kuongeza, hutokea kwamba usawa wa mstari hauna ufumbuzi kabisa, au kwamba suluhisho ni mstari mzima wa nambari, i.e. nambari yoyote. Tutaangalia hila hizi katika somo la leo. Lakini tutaanza, kama ulivyoelewa tayari, na kazi rahisi zaidi.
Mpango wa kutatua milinganyo rahisi ya mstari
Kwanza, wacha niandike tena mpango mzima wa kutatua hesabu rahisi zaidi za mstari:
- Panua mabano, ikiwa yapo.
- Tunatenganisha vigezo, i.e. Tunahamisha kila kitu kilicho na "X" kwa upande mmoja, na kila kitu bila "X" hadi nyingine.
- Tunawasilisha masharti sawa.
- Tunagawanya kila kitu kwa mgawo wa "x".
Kwa kweli, mpango huu haufanyi kazi kila wakati; kuna hila na hila ndani yake, na sasa tutazijua.
Kutatua mifano halisi ya milinganyo rahisi ya mstari
Kazi nambari 1
Hatua ya kwanza inatuhitaji tufungue mabano. Lakini hawako katika mfano huu, kwa hivyo tunaruka hatua hii. Katika hatua ya pili tunahitaji kutenganisha vigezo. Tafadhali kumbuka: tunazungumza tu juu ya masharti ya mtu binafsi. Hebu tuandike:
Tunawasilisha masharti sawa upande wa kushoto na kulia, lakini hii tayari imefanywa hapa. Kwa hivyo, tunaendelea hadi hatua ya nne: gawanya kwa mgawo:
\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]
Kwa hivyo tulipata jibu.
Kazi nambari 2
Tunaweza kuona mabano kwenye tatizo hili, kwa hivyo wacha tuyapanue:
Wote upande wa kushoto na wa kulia tunaona takriban muundo sawa, lakini hebu tufanye kulingana na algorithm, i.e. kutenganisha vigezo:
Hapa kuna baadhi ya zinazofanana:
Hii inafanya kazi katika mizizi gani? Jibu: kwa yoyote. Kwa hivyo, tunaweza kuandika kwamba $x$ ni nambari yoyote.
Kazi nambari 3
Equation ya mstari wa tatu inavutia zaidi:
\[\kushoto(6-x \kulia)+\kushoto(12+x \kulia)-\kushoto(3-2x \kulia)=15\]
Kuna mabano kadhaa hapa, lakini hayazidishwa na chochote, hutanguliwa tu na ishara tofauti. Wacha tuyachambue:
Tunafanya hatua ya pili ambayo tayari tunaijua:
\[-x+x+2x=15-6-12+3\]
Wacha tufanye hesabu:
Tunafanya hatua ya mwisho - gawanya kila kitu kwa mgawo wa "x":
\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]
Mambo ya Kukumbuka Wakati wa Kutatua Milinganyo ya Mistari
Ikiwa tutapuuza kazi rahisi sana, ningependa kusema yafuatayo:
- Kama nilivyosema hapo juu, sio kila equation ya mstari ina suluhisho - wakati mwingine hakuna mizizi;
- Hata ikiwa kuna mizizi, kunaweza kuwa na sifuri kati yao - hakuna chochote kibaya na hilo.
Sifuri ni nambari sawa na zingine; hupaswi kuibagua kwa njia yoyote au kudhani kwamba ikiwa unapata sifuri, basi ulifanya kitu kibaya.
Kipengele kingine kinahusiana na ufunguzi wa mabano. Tafadhali kumbuka: wakati kuna "minus" mbele yao, tunaiondoa, lakini kwenye mabano tunabadilisha ishara kuwa kinyume. Na kisha tunaweza kuifungua kwa kutumia algorithms ya kawaida: tutapata kile tulichoona katika mahesabu hapo juu.
Kuelewa ukweli huu rahisi itakusaidia kuepuka kufanya makosa ya kijinga na ya kuumiza katika shule ya sekondari, wakati kufanya mambo kama hayo huchukuliwa kuwa ya kawaida.
Kutatua milinganyo changamano ya mstari
Wacha tuendelee kwenye milinganyo ngumu zaidi. Sasa ujenzi utakuwa ngumu zaidi na wakati wa kufanya mabadiliko mbalimbali kazi ya quadratic itaonekana. Walakini, hatupaswi kuogopa hii, kwa sababu ikiwa, kulingana na mpango wa mwandishi, tunasuluhisha equation ya mstari, basi wakati wa mchakato wa mabadiliko monomials zote zilizo na kazi ya quadratic lazima zighairi.
Mfano Nambari 1
Ni wazi, hatua ya kwanza ni kufungua mabano. Wacha tufanye hivi kwa uangalifu sana:
Sasa hebu tuangalie faragha:
\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]
Hapa kuna baadhi ya zinazofanana:
Kwa wazi, equation hii haina suluhu, kwa hivyo tutaandika hii katika jibu:
\[\varnothing\]
au hakuna mizizi.
Mfano Nambari 2
Tunafanya vitendo sawa. Hatua ya kwanza:
Wacha tusogeze kila kitu kwa kutofautisha kwenda kushoto, na bila hiyo - kulia:
Hapa kuna baadhi ya zinazofanana:
Ni wazi, equation hii ya mstari haina suluhu, kwa hivyo tutaiandika hivi:
\[\varnothing\],
au hakuna mizizi.
Nuances ya suluhisho
Equations zote mbili zimetatuliwa kabisa. Kwa kutumia misemo hii miwili kama mfano, tulikuwa na hakika tena kwamba hata katika milinganyo rahisi ya mstari, kila kitu kinaweza kuwa si rahisi sana: kunaweza kuwa na moja, au hakuna, au mizizi mingi sana. Kwa upande wetu, tulizingatia hesabu mbili, ambazo zote mbili hazina mizizi.
Lakini ningependa kuteka mawazo yako kwa ukweli mwingine: jinsi ya kufanya kazi na mabano na jinsi ya kuifungua ikiwa kuna ishara ya minus mbele yao. Fikiria usemi huu:
Kabla ya kufungua, unahitaji kuzidisha kila kitu kwa "X". Tafadhali kumbuka: huzidisha kila muda wa mtu binafsi. Ndani kuna maneno mawili - kwa mtiririko huo, maneno mawili na kuongezeka.
Na tu baada ya mabadiliko haya yanayoonekana kuwa ya msingi, lakini muhimu sana na hatari yamekamilika, unaweza kufungua bracket kutoka kwa mtazamo wa ukweli kwamba kuna ishara ya minus baada yake. Ndio, ndio: sasa tu, wakati mabadiliko yamekamilika, tunakumbuka kuwa kuna ishara ya minus mbele ya mabano, ambayo inamaanisha kuwa kila kitu hapa chini kinabadilisha ishara. Wakati huo huo, mabano yenyewe hupotea na, muhimu zaidi, "minus" ya mbele pia hupotea.
Tunafanya vivyo hivyo na equation ya pili:
Sio kwa bahati kwamba mimi huzingatia ukweli huu mdogo, unaoonekana kuwa duni. Kwa sababu kutatua equations daima ni mlolongo wa mabadiliko ya msingi, ambapo kutokuwa na uwezo wa kufanya vitendo rahisi na kwa uwazi husababisha ukweli kwamba wanafunzi wa shule ya upili huja kwangu na tena kujifunza kutatua hesabu rahisi kama hizo.
Bila shaka, siku itakuja ambapo utaboresha ujuzi huu kwa uhakika wa moja kwa moja. Hutalazimika tena kufanya mabadiliko mengi kila wakati; utaandika kila kitu kwenye mstari mmoja. Lakini wakati unajifunza tu, unahitaji kuandika kila hatua tofauti.
Kutatua milinganyo changamano zaidi ya mstari
Kile tutakachosuluhisha sasa hakiwezi kuitwa kazi rahisi zaidi, lakini maana inabaki sawa.
Kazi nambari 1
\[\kushoto(7x+1 \kulia)\kushoto(3x-1 \kulia)-21((x)^(2))=3\]
Wacha tuzidishe vitu vyote katika sehemu ya kwanza:
Wacha tufanye faragha:
Hapa kuna baadhi ya zinazofanana:
Wacha tukamilishe hatua ya mwisho:
\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]
Hapa kuna jibu letu la mwisho. Na, licha ya ukweli kwamba katika mchakato wa kutatua tulikuwa na coefficients na kazi ya quadratic, walighairi kila mmoja, ambayo inafanya equation kuwa mstari na sio quadratic.
Kazi nambari 2
\[\kushoto(1-4x \kulia)\kushoto(1-3x \kulia)=6x\kushoto(2x-1 \kulia)\]
Wacha tutekeleze kwa uangalifu hatua ya kwanza: zidisha kila kipengee kutoka kwa mabano ya kwanza kwa kila kipengele kutoka kwa pili. Lazima kuwe na jumla ya istilahi nne mpya baada ya mabadiliko:
Sasa hebu tufanye kuzidisha kwa uangalifu katika kila neno:
Wacha tuhamishe maneno na "X" kushoto, na yale yasiyo - kulia:
\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]
Hapa kuna maneno sawa:
Kwa mara nyingine tena tumepokea jibu la mwisho.
Nuances ya suluhisho
Ujumbe muhimu zaidi juu ya hesabu hizi mbili ni zifuatazo: mara tu tunapoanza kuzidisha mabano ambayo yana zaidi ya neno moja, hii inafanywa kulingana na sheria ifuatayo: tunachukua muhula wa kwanza kutoka kwa kwanza na kuzidisha na kila kipengele kutoka. ya pili; kisha tunachukua kipengele cha pili kutoka kwa kwanza na vile vile kuzidisha na kila kipengele kutoka kwa pili. Matokeo yake, tutakuwa na masharti manne.
Kuhusu jumla ya algebra
Kwa mfano huu wa mwisho, ningependa kuwakumbusha wanafunzi jumla ya aljebra ni nini. Katika hisabati ya kitamaduni, kwa $1-7$ tunamaanisha ujenzi rahisi: toa saba kutoka kwa moja. Katika algebra, tunamaanisha yafuatayo kwa hili: kwa nambari "moja" tunaongeza nambari nyingine, yaani "minus saba". Hivi ndivyo jumla ya aljebra hutofautiana na jumla ya hesabu ya kawaida.
Mara tu, wakati wa kufanya mabadiliko yote, kila nyongeza na kuzidisha, unapoanza kuona miundo inayofanana na ile iliyoelezwa hapo juu, hautakuwa na shida yoyote katika algebra wakati wa kufanya kazi na polynomials na equations.
Mwishowe, wacha tuangalie mifano michache zaidi ambayo itakuwa ngumu zaidi kuliko ile tuliyotazama hivi punde, na ili kuisuluhisha itabidi kupanua kidogo algorithm yetu ya kawaida.
Kutatua milinganyo na sehemu
Ili kutatua kazi kama hizo, tutalazimika kuongeza hatua moja zaidi kwa algorithm yetu. Lakini kwanza, wacha nikukumbushe algorithm yetu:
- Fungua mabano.
- Vigezo tofauti.
- Lete zinazofanana.
- Gawanya kwa uwiano.
Ole, algorithm hii ya ajabu, kwa ufanisi wake wote, inageuka kuwa haifai kabisa wakati tuna sehemu mbele yetu. Na katika kile tutakachoona hapa chini, tunayo sehemu upande wa kushoto na kulia katika milinganyo yote miwili.
Jinsi ya kufanya kazi katika kesi hii? Ndiyo, ni rahisi sana! Ili kufanya hivyo, unahitaji kuongeza hatua moja zaidi kwa algorithm, ambayo inaweza kufanywa kabla na baada ya hatua ya kwanza, yaani, kuondokana na sehemu. Kwa hivyo algorithm itakuwa kama ifuatavyo:
- Ondoa sehemu.
- Fungua mabano.
- Vigezo tofauti.
- Lete zinazofanana.
- Gawanya kwa uwiano.
Inamaanisha nini "kuondoa sehemu"? Na kwa nini hii inaweza kufanywa baada na kabla ya hatua ya kwanza ya kiwango? Kwa kweli, kwa upande wetu, sehemu zote ni nambari katika denominator yao, i.e. Kila mahali denominator ni nambari tu. Kwa hivyo, ikiwa tutazidisha pande zote mbili za equation kwa nambari hii, tutaondoa sehemu.
Mfano Nambari 1
\[\frac(\kushoto(2x+1 \kulia)\kushoto(2x-3 \kulia))(4)=((x)^(2))-1\]
Wacha tuondoe sehemu katika equation hii:
\[\frac(\kushoto(2x+1 \kulia)\kushoto(2x-3 \kulia)\cdot 4)(4)=\kushoto(((x)^(2))-1 \kulia)\cdot 4\]
Tafadhali kumbuka: kila kitu kinazidishwa na "nne" mara moja, i.e. kwa sababu tu una mabano mawili haimaanishi kwamba unapaswa kuzidisha kila moja kwa "nne." Hebu tuandike:
\[\kushoto(2x+1 \kulia)\kushoto(2x-3 \kulia)=\kushoto(((x)^(2))-1 \kulia)\cdot 4\]
Sasa hebu tupanue:
Tunatenga tofauti:
Tunapunguza maneno sawa:
\[-4x=-1\kushoto| :\kushoto(-4 \kulia) \kulia.\]
\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]
Tumepokea suluhisho la mwisho, wacha tuendelee kwenye mlinganyo wa pili.
Mfano Nambari 2
\[\frac(\kushoto(1-x \kulia)\kushoto(1+5x \kulia))(5)+((x)^(2))=1\]
Hapa tunafanya vitendo vyote sawa:
\[\frac(\kushoto(1-x \kulia)\kushoto(1+5x \kulia)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]
\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]
Tatizo linatatuliwa.
Hiyo, kwa kweli, ndiyo yote nilitaka kukuambia leo.
Pointi muhimu
Matokeo muhimu ni:
- Jua algoriti ya kusuluhisha milinganyo ya mstari.
- Uwezo wa kufungua mabano.
- Usijali ikiwa una kazi za quadratic mahali pengine, zitapunguzwa katika mchakato wa mabadiliko zaidi.
- Kuna aina tatu za mizizi katika milinganyo ya mstari, hata ile rahisi zaidi: mzizi mmoja, mstari mzima wa nambari ni mzizi, na hakuna mizizi kabisa.
Natumai somo hili litakusaidia kujua mada rahisi, lakini muhimu sana kwa uelewa zaidi wa hisabati zote. Ikiwa kitu haijulikani, nenda kwenye tovuti na kutatua mifano iliyotolewa hapo. Endelea kufuatilia, mambo mengi zaidi ya kuvutia yanakungoja!
A+(b + c) inaweza kuandikwa bila mabano: a+(b + c)=a + b + c. Operesheni hii inaitwa kufungua mabano.
Mfano 1. Wacha tufungue mabano katika usemi a + (- b + c).
Suluhisho. a + (-b+c) = a + ((-b) + c)=a + (-b) + c = a-b + c.
Ikiwa kuna ishara "+" mbele ya mabano, basi unaweza kuacha mabano na ishara hii "+" huku ukihifadhi ishara za masharti kwenye mabano. Ikiwa neno la kwanza katika mabano limeandikwa bila ishara, basi lazima liandikwe kwa ishara "+".
Mfano 2. Wacha tupate thamani ya usemi -2.87+ (2.87-7.639).
Suluhisho. Kufungua mabano, tunapata - 2.87 + (2.87 - 7.639) = - - - 2.87 + 2.87 - 7.639 = 0 - 7.639 = - 7.639.
Ili kupata thamani ya usemi - (- 9 + 5), unahitaji kuongeza nambari-9 na 5 na upate nambari iliyo kinyume na jumla inayotokana: -(- 9 + 5)= -(- 4) = 4.
Thamani sawa inaweza kupatikana kwa njia nyingine: kwanza andika nambari zilizo kinyume na maneno haya (yaani kubadilisha ishara zao), na kisha uongeze: 9 + (- 5) = 4. Hivyo, -(- 9 + 5) = 9 - 5 = 4.
Ili kuandika jumla kinyume na jumla ya maneno kadhaa, unahitaji kubadilisha ishara za maneno haya.
Hii ina maana - (a + b) = - a - b.
Mfano 3. Wacha tupate thamani ya usemi 16 - (10 -18 + 12).
Suluhisho. 16-(10 -18 + 12) = 16 + (-(10 -18 + 12)) = = 16 + (-10 +18-12) = 16-10 +18-12 = 12.
Ili kufungua mabano yaliyotanguliwa na ishara "-", unahitaji kubadilisha ishara hii na "+", kubadilisha ishara za maneno yote kwenye mabano kinyume chake, na kisha ufungue mabano.
Mfano 4. Wacha tupate thamani ya usemi 9.36-(9.36 - 5.48).
Suluhisho. 9.36 - (9.36 - 5.48) = 9.36 + (- 9.36 + 5.48) = = 9.36 - 9.36 + 5.48 = 0 -f 5.48 = 5 ,48.
Kupanua mabano na kutumia sifa za kubadilisha na kushirikisha nyongeza kuruhusu kurahisisha mahesabu.
Mfano 5. Hebu tutafute thamani ya usemi (-4-20)+(6+13)-(7-8)-5.
Suluhisho. Kwanza, wacha tufungue mabano, na kisha tupate kando jumla ya yote chanya na kando jumla ya nambari zote hasi na, mwishowe, ongeza matokeo:
(- 4 - 20)+(6+ 13)-(7 - 8) - 5 = -4-20 + 6 + 13-7 + 8-5 = = (6 + 13 + 8)+(- 4 - 20 - 7 - 5)= 27-36=-9.
Mfano 6. Wacha tupate thamani ya usemi
Suluhisho. Kwanza, hebu tufikirie kila neno kama jumla ya sehemu zao kamili na za sehemu, kisha fungua mabano, kisha ongeza nambari kamili na kando. sehemu sehemu na mwishowe ongeza matokeo:
Je, unafunguaje mabano yanayotanguliwa na ishara "+"? Unawezaje kupata thamani ya usemi ambao ni kinyume cha jumla ya nambari kadhaa? Jinsi ya kupanua mabano yaliyotanguliwa na ishara "-"?
1218. Fungua mabano:
a) 3.4+(2.6+ 8.3); c) m+(n-k);
b) 4.57+ (2.6 - 4.57); d) c+(-a + b).
1219. Tafuta maana ya usemi:
1220. Fungua mabano:
a) 85+(7.8+ 98); d) -(80-16) + 84; g) a-(b-k-n);
b) (4.7 -17)+7.5; e) -a + (m-2.6); h) -(a-b + c);
c) 64-(90 + 100); e) c+(- a-b); i) (m-n)-(p-k).
1221. Fungua mabano na utafute maana ya usemi:
1222. Rahisisha usemi:
1223. Andika kiasi maneno mawili na kurahisisha:
a) - 4 - m na m + 6.4; d) a+b na p - b
b) 1.1+a na -26-a; e) - m + n na -k - n;
c) a + 13 na -13 + b; e) m - n na n - m.
1224. Andika tofauti ya misemo miwili na uirahisishe:
1226. Tumia mlinganyo kutatua tatizo:
a) Kuna vitabu 42 kwenye rafu moja, na 34 kwenye rafu nyingine Vitabu kadhaa vilitolewa kwenye rafu ya pili, na vitabu vingi vilichukuliwa kutoka kwenye rafu ya kwanza kama vile vilivyoachwa kwenye rafu ya pili. Baada ya hapo, vitabu 12 vilibaki kwenye rafu ya kwanza. Ni vitabu ngapi viliondolewa kwenye rafu ya pili?
b) Kuna wanafunzi 42 wa darasa la kwanza, wanafunzi 3 chini ya la pili kuliko la tatu. Je, kuna wanafunzi wangapi katika darasa la tatu ikiwa kuna wanafunzi 125 katika madaraja haya matatu?
1227. Tafuta maana ya usemi:
1228. Hesabu kwa mdomo:
1229. Tafuta thamani kuu ya usemi:
1230. Bainisha nambari 4 mfululizo ikiwa:
a) ndogo kati yao ni -12; c) ndogo yao ni n;
b) kubwa zaidi yao ni -18; d) mkubwa wao ni sawa na k.
Mabano hutumiwa kuonyesha mpangilio ambao vitendo hufanywa kwa maneno ya nambari, halisi na tofauti. Ni rahisi kuhama kutoka kwa usemi ulio na mabano hadi usemi sawa bila mabano. Mbinu hii inaitwa kufungua mabano.
Kupanua mabano kunamaanisha kuondoa mabano kutoka kwa usemi.
Hoja moja zaidi inastahili tahadhari maalum, ambayo inahusu upekee wa maamuzi ya kurekodi wakati wa kufungua mabano. Tunaweza kuandika usemi wa awali na mabano na matokeo yaliyopatikana baada ya kufungua mabano kama usawa. Kwa mfano, baada ya kupanua mabano badala ya usemi
3−(5−7) tunapata usemi 3−5+7. Tunaweza kuandika semi hizi zote mbili kama usawa 3−(5−7)=3−5+7.
Na jambo moja muhimu zaidi. Katika hisabati, kufupisha nukuu, ni kawaida kutoandika ishara ya kuongeza ikiwa inaonekana kwanza kwa usemi au kwenye mabano. Kwa mfano, ikiwa tunaongeza nambari mbili chanya, kwa mfano, saba na tatu, basi hatuandiki +7+3, lakini kwa urahisi 7+3, licha ya ukweli kwamba saba pia ni nambari chanya. Vile vile, ikiwa unaona, kwa mfano, usemi (5 + x) - ujue kwamba kabla ya bracket kuna plus, ambayo haijaandikwa, na kabla ya tano kuna plus +(+5+x).
Sheria ya kufungua mabano wakati wa kuongeza
Wakati wa kufungua mabano, ikiwa kuna plus mbele ya mabano, basi hii plus imeachwa pamoja na mabano.
Mfano. Fungua mabano katika usemi 2 + (7 + 3) Kabla ya mabano kuna plus, ambayo ina maana hatubadilishi ishara mbele ya namba katika mabano.
2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3
Sheria ya kufungua mabano wakati wa kutoa
Ikiwa kuna minus kabla ya mabano, basi minus hii imeachwa pamoja na mabano, lakini masharti yaliyokuwa kwenye mabano yanabadilisha ishara yao kinyume chake. Kutokuwepo kwa ishara kabla ya muhula wa kwanza kwenye mabano kunamaanisha + ishara.
Mfano. Panua mabano katika usemi 2 − (7 + 3)
Kuna minus kabla ya mabano, ambayo inamaanisha unahitaji kubadilisha ishara mbele ya nambari kwenye mabano. Katika mabano hakuna ishara kabla ya nambari 7, hii ina maana kwamba saba ni chanya, inachukuliwa kuwa kuna ishara + mbele yake.
2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)
Wakati wa kufungua mabano, tunaondoa kutoka kwa mfano minus iliyokuwa mbele ya mabano, na mabano wenyewe 2 - (+ 7 + 3), na kubadilisha ishara zilizokuwa kwenye mabano kwa kinyume chake.
2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3
Kupanua mabano wakati wa kuzidisha
Ikiwa kuna ishara ya kuzidisha mbele ya mabano, basi kila nambari ndani ya mabano inazidishwa na sababu iliyo mbele ya mabano. Katika hali hii, kuzidisha minus kwa minus kunatoa plus, na kuzidisha minus kwa jumlisha, kama vile kuzidisha jumlisha kwa minus, kunatoa minus.
Kwa hivyo, mabano katika bidhaa hupanuliwa kwa mujibu wa mali ya kusambaza ya kuzidisha.
Mfano. 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7
Unapozidisha mabano kwa mabano, kila neno katika mabano ya kwanza linazidishwa na kila neno kwenye mabano ya pili.
(2 + 3) · (4 + 5) = 2 · 4 + 2 · 5 + 3 · 4 + 3 · 5
Kwa kweli, hakuna haja ya kukumbuka sheria zote, inatosha kukumbuka moja tu, hii: c(a-b)=ca−cb. Kwa nini? Kwa sababu ukibadilisha moja badala ya c, unapata kanuni (a-b)=a-b. Na tukibadilisha toa moja, tunapata kanuni −(a-b)=−a+b. Kweli, ikiwa utabadilisha mabano mengine badala ya c, unaweza kupata sheria ya mwisho.
Kufungua mabano wakati wa kugawa
Ikiwa kuna ishara ya mgawanyiko baada ya mabano, basi kila nambari ndani ya mabano imegawanywa na mgawanyiko baada ya mabano, na kinyume chake.
Mfano. (9 + 6) : 3=9: 3 + 6: 3
Jinsi ya kupanua mabano yaliyowekwa
Ikiwa usemi una mabano yaliyowekwa, hupanuliwa kwa mpangilio, kuanzia na za nje au za ndani.
Katika kesi hii, ni muhimu kwamba wakati wa kufungua moja ya mabano, usiguse mabano yaliyobaki, uandike tena kama ilivyo.
Mfano. 12 - (a + (6 - b) - 3) = 12 - a - (6 - b) + 3 = 12 - a - 6 + b + 3 = 9 - a + b
"Kufungua mabano" - Kitabu cha Hisabati, daraja la 6 (Vilenkin)
Maelezo mafupi:
Katika sehemu hii utajifunza jinsi ya kupanua mabano katika mifano. Ni ya nini? Kila kitu ni kwa kitu sawa na hapo awali - ili iwe rahisi na rahisi kwako kuhesabu, kufanya makosa machache, na kwa kweli (ndoto ya mwalimu wako wa hisabati) ili kutatua kila kitu bila makosa.
Tayari unajua kwamba mabano huwekwa katika nukuu ya hisabati ikiwa ishara mbili za hisabati zinaonekana mfululizo, ikiwa tunataka kuonyesha mchanganyiko wa nambari, upangaji wao. Kupanua mabano kunamaanisha kuondoa herufi zisizo za lazima. Kwa mfano: (-15)+3=-15+3=-12, 18+(-16)=18-16=2. Je, unakumbuka mali ya ugawaji ya kuzidisha kuhusiana na kuongeza? Hakika, katika mfano huo pia tuliondoa mabano ili kurahisisha mahesabu. Sifa iliyotajwa ya kuzidisha pia inaweza kutumika kwa maneno manne, matatu, matano au zaidi. Kwa mfano: 15*(3+8+9+6)=15*3+15*8+15*9+15*6=390. Umeona kuwa unapofungua mabano, nambari ndani yao hazibadilishi ishara ikiwa nambari iliyo mbele ya mabano ni chanya? Baada ya yote, kumi na tano ni nambari nzuri. Na ukitatua mfano huu: -15*(3+8+9+6)=-15*3+(-15)*8+(-15)*9+(-15)*6=-45+( - 120)+(-135)+(-90)=-45-120-135-90=-390. Tulikuwa na nambari hasi minus kumi na tano mbele ya mabano, tulipofungua mabano nambari zote zilianza kubadilisha ishara yao hadi nyingine - kinyume chake - kutoka pamoja hadi minus.
Kulingana na mifano hapo juu, sheria mbili za msingi za kufungua mabano zinaweza kusemwa:
1. Ikiwa una namba nzuri mbele ya mabano, basi baada ya kufungua mabano ishara zote za namba katika mabano hazibadilika, lakini kubaki sawa sawa na zilivyokuwa.
2. Ikiwa una nambari hasi mbele ya mabano, basi baada ya kufungua mabano ishara ya minus haijaandikwa tena, na ishara za namba zote kabisa katika mabano hubadilika ghafla kinyume chake.
Kwa mfano: (13+8)+(9-8)=13+8+9-8=22; (13+8)-(9-8)=13+8-9+8=20. Hebu tuchanganye mifano yetu kidogo: (13+8)+2(9-8)=13+8+2*9-2*8=21+18-16=23. Uligundua kuwa wakati wa kufungua mabano ya pili, tulizidisha na 2, lakini ishara zilibaki sawa na zilivyokuwa. Hapa kuna mfano: (3+8)-2*(9-8)=3+8-2*9+2*8=11-18+16=9, katika mfano huu nambari mbili ni hasi, ni kabla ya mabano yanasimama na ishara ya minus, kwa hivyo wakati wa kuifungua, tulibadilisha ishara za nambari kuwa zile zilizo kinyume (tisa zilikuwa na plus, ikawa minus, nane ilikuwa na minus, ikawa plus).
Wacha tuseme Achilles anakimbia mara kumi zaidi ya kobe na yuko hatua elfu nyuma yake. Katika muda ambao Achilles huchukua kukimbia umbali huu, kobe atatambaa hatua mia kuelekea uelekeo sawa. Achilles anapokimbia hatua mia moja, kobe hutambaa hatua nyingine kumi, na kadhalika. Mchakato utaendelea ad infinitum, Achilles hatawahi kukutana na kobe.
Hoja hii ikawa mshtuko wa kimantiki kwa vizazi vyote vilivyofuata. Aristotle, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert ... Wote walizingatia aporia ya Zeno kwa njia moja au nyingine. Mshtuko ulikuwa mkali sana hivi kwamba " ... majadiliano yanaendelea hadi leo, jumuiya ya kisayansi bado haijaweza kufikia maoni ya pamoja juu ya kiini cha vitendawili ... uchambuzi wa hisabati, nadharia iliyowekwa, mbinu mpya za kimwili na za kifalsafa zilihusika katika utafiti wa suala hilo; ; hakuna hata mmoja wao aliyeweza kuwa suluhisho linalokubalika kwa ujumla kwa tatizo..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Kila mtu anaelewa kuwa wanadanganywa, lakini hakuna anayeelewa ni nini udanganyifu huo.
Kutoka kwa mtazamo wa hisabati, Zeno katika aporia yake alionyesha wazi mpito kutoka kwa wingi hadi . Mpito huu unamaanisha programu badala ya za kudumu. Kwa kadiri ninavyoelewa, vifaa vya hisabati vya kutumia vitengo tofauti vya kipimo bado havijatengenezwa, au havijatumika kwa aporia ya Zeno. Kutumia mantiki yetu ya kawaida hutupeleka kwenye mtego. Sisi, kwa sababu ya hali ya kufikiria, tunatumia vitengo vya wakati kila wakati kwa thamani ya kubadilishana. Kwa mtazamo wa kimaumbile, hii inaonekana kana kwamba muda unapungua hadi unakoma kabisa wakati Achilles anapokutana na kasa. Muda ukisimama, Achilles hawezi tena kumshinda kobe.
Ikiwa tunageuza mantiki yetu ya kawaida, kila kitu kitaanguka. Achilles anaendesha kwa kasi ya mara kwa mara. Kila sehemu inayofuata ya njia yake ni fupi mara kumi kuliko ile iliyotangulia. Ipasavyo, wakati uliotumika kushinda ni mara kumi chini ya ule uliopita. Ikiwa tutatumia wazo la "infinity" katika hali hii, basi itakuwa sahihi kusema "Achilles atakutana na kobe haraka sana."
Jinsi ya kuepuka mtego huu wa kimantiki? Baki katika vitengo vya muda vya mara kwa mara na usibadilishe kwa vitengo vinavyofanana. Katika lugha ya Zeno inaonekana kama hii:
Kwa wakati inachukua Achilles kukimbia hatua elfu moja, kobe atatambaa hatua mia katika mwelekeo sawa. Katika muda unaofuata sawa na wa kwanza, Achilles atakimbia hatua elfu nyingine, na kobe atatambaa hatua mia moja. Sasa Achilles yuko hatua mia nane mbele ya kobe.
Mbinu hii inaelezea vya kutosha ukweli bila vitendawili vyovyote vya kimantiki. Lakini hii sio suluhisho kamili kwa shida. Taarifa ya Einstein kuhusu kutoweza kupinga kasi ya mwanga ni sawa na aporia ya Zeno "Achilles na Tortoise". Bado tunapaswa kujifunza, kufikiria upya na kutatua tatizo hili. Na suluhisho lazima litafutwa sio kwa idadi kubwa sana, lakini kwa vitengo vya kipimo.
Aporia nyingine ya kuvutia ya Zeno inasimulia juu ya mshale unaoruka:
Mshale unaoruka hauna mwendo, kwani kila wakati umepumzika, na kwa kuwa umepumzika kila wakati wa wakati, huwa umepumzika kila wakati.
Katika aporia hii, kitendawili cha kimantiki kinashindwa kwa urahisi sana - inatosha kufafanua kuwa kwa kila wakati mshale wa kuruka unapumzika katika sehemu tofauti za nafasi, ambayo, kwa kweli, ni mwendo. Jambo lingine linapaswa kuzingatiwa hapa. Kutoka kwa picha moja ya gari kwenye barabara haiwezekani kuamua ukweli wa harakati zake au umbali wake. Ili kuamua ikiwa gari linasonga, unahitaji picha mbili zilizopigwa kutoka sehemu moja kwa wakati tofauti, lakini huwezi kuamua umbali kutoka kwao. Kuamua umbali wa gari, unahitaji picha mbili zilizochukuliwa kutoka kwa pointi tofauti katika nafasi kwa wakati mmoja, lakini kutoka kwao huwezi kuamua ukweli wa harakati (bila shaka, bado unahitaji data ya ziada kwa mahesabu, trigonometry itakusaidia. ) Ninachotaka kuzingatia ni kwamba pointi mbili kwa wakati na pointi mbili katika nafasi ni mambo tofauti ambayo haipaswi kuchanganyikiwa, kwa sababu hutoa fursa tofauti za utafiti.
Jumatano, Julai 4, 2018
Tofauti kati ya seti na seti nyingi zimeelezewa vizuri sana kwenye Wikipedia. Hebu tuone.
Kama unavyoona, "hakuwezi kuwa na vipengele viwili vinavyofanana katika seti," lakini ikiwa kuna vipengele vinavyofanana katika seti, seti kama hiyo inaitwa "multiset." Viumbe wenye akili timamu hawatawahi kuelewa mantiki hiyo ya kipuuzi. Hii ni kiwango cha kuzungumza parrots na nyani mafunzo, ambao hawana akili kutoka kwa neno "kabisa". Wanahisabati hufanya kama wakufunzi wa kawaida, wakituhubiria mawazo yao ya kipuuzi.
Hapo zamani za kale, wahandisi waliojenga daraja hilo walikuwa ndani ya boti chini ya daraja hilo wakati wakifanya majaribio ya daraja hilo. Ikiwa daraja lilianguka, mhandisi wa wastani alikufa chini ya vifusi vya uumbaji wake. Ikiwa daraja lingeweza kuhimili mzigo, mhandisi mwenye talanta alijenga madaraja mengine.
Haijalishi jinsi wanahisabati hujificha nyuma ya kifungu "nikumbuke, niko nyumbani," au tuseme, "hisabati husoma dhana dhahania," kuna kitovu kimoja ambacho huwaunganisha na ukweli. Kitovu hiki ni pesa. Hebu tutumie nadharia ya kuweka hisabati kwa wanahisabati wenyewe.
Tulisoma hisabati vizuri sana na sasa tumekaa kwenye daftari la pesa, tukitoa mishahara. Kwa hivyo mtaalamu wa hisabati anakuja kwetu kwa pesa zake. Tunamhesabu kiasi chote na kuiweka kwenye meza yetu katika mirundo tofauti, ambamo tunaweka bili za dhehebu moja. Kisha tunachukua bili moja kutoka kwa kila rundo na kumpa mwanahisabati “mshahara wake wa hisabati.” Hebu tueleze kwa mtaalamu wa hisabati kwamba atapokea bili iliyobaki tu wakati anathibitisha kwamba seti bila vipengele vinavyofanana si sawa na seti yenye vipengele vinavyofanana. Hapa ndipo furaha huanza.
Kwanza kabisa, mantiki ya manaibu itafanya kazi: "Hii inaweza kutumika kwa wengine, lakini sio kwangu!" Kisha wataanza kutuhakikishia kwamba miswada ya dhehebu moja ina nambari tofauti za bili, ambayo inamaanisha kuwa haiwezi kuchukuliwa kuwa vipengele sawa. Sawa, wacha tuhesabu mishahara kwa sarafu - hakuna nambari kwenye sarafu. Hapa mtaalamu wa hisabati ataanza kukumbuka fizikia kwa huzuni: sarafu tofauti zina kiasi tofauti cha uchafu, muundo wa kioo na mpangilio wa atomi ni wa kipekee kwa kila sarafu ...
Na sasa nina swali la kuvutia zaidi: ni wapi mstari zaidi ambayo vipengele vya multiset vinageuka kuwa vipengele vya seti na kinyume chake? Mstari kama huo haupo - kila kitu kinaamuliwa na shamans, sayansi haiko karibu na kusema uwongo hapa.
Tazama hapa. Tunachagua viwanja vya mpira wa miguu vilivyo na eneo sawa la uwanja. Maeneo ya uwanja ni sawa - ambayo inamaanisha tuna seti nyingi. Lakini tukiangalia majina ya viwanja hivi hivi, tunapata vingi, maana majina ni tofauti. Kama unaweza kuona, seti sawa ya vipengele ni seti na seti nyingi. Ambayo ni sahihi? Na hapa mtaalamu wa hisabati-shaman-sharpist huchota ace ya tarumbeta kutoka kwa sleeve yake na kuanza kutuambia kuhusu seti au multiset. Kwa vyovyote vile, atatusadikisha kwamba yuko sahihi.
Ili kuelewa jinsi shamans ya kisasa inavyofanya kazi na nadharia iliyowekwa, kuifunga kwa ukweli, inatosha kujibu swali moja: vipengele vya seti moja vinatofautianaje na vipengele vya seti nyingine? Nitakuonyesha, bila "kuwaza kama si nzima" au "haiwezekani kwa ujumla."
Jumapili, Machi 18, 2018
Jumla ya nambari za nambari ni densi ya shaman na tambourini, ambayo haina uhusiano wowote na hisabati. Ndiyo, katika masomo ya hisabati tunafundishwa kupata jumla ya tarakimu za nambari na kuitumia, lakini ndiyo sababu wao ni shamans, kufundisha kizazi chao ujuzi na hekima yao, vinginevyo shamans watakufa tu.
Je, unahitaji ushahidi? Fungua Wikipedia na ujaribu kutafuta ukurasa "Jumla ya nambari za nambari." Yeye hayupo. Hakuna fomula katika hisabati inayoweza kutumika kupata jumla ya tarakimu za nambari yoyote. Baada ya yote, nambari ni alama za picha ambazo tunaandika nambari, na kwa lugha ya hisabati kazi inasikika kama hii: "Tafuta jumla ya alama za picha zinazowakilisha nambari yoyote." Wanahisabati hawawezi kutatua tatizo hili, lakini shamans wanaweza kufanya hivyo kwa urahisi.
Wacha tuone ni nini na jinsi ya kufanya ili kupata jumla ya nambari za nambari fulani. Na kwa hivyo, tuwe na nambari 12345. Ni nini kinachohitajika kufanywa ili kupata jumla ya nambari za nambari hii? Hebu fikiria hatua zote kwa utaratibu.
1. Andika nambari kwenye kipande cha karatasi. Tumefanya nini? Tumebadilisha nambari kuwa ishara ya nambari ya picha. Huu sio operesheni ya hisabati.
2. Tunakata picha moja inayotokana na picha kadhaa zilizo na nambari za kibinafsi. Kukata picha sio operesheni ya hisabati.
3. Badilisha alama za picha za kibinafsi kuwa nambari. Huu sio operesheni ya hisabati.
4. Ongeza nambari zinazosababisha. Sasa hiyo ni hisabati.
Jumla ya tarakimu za nambari 12345 ni 15. Hizi ni "kozi za kukata na kushona" zinazofundishwa na shamans ambazo wanahisabati hutumia. Lakini si hayo tu.
Kutoka kwa mtazamo wa hisabati, haijalishi ni katika mfumo gani wa nambari tunaandika nambari. Kwa hivyo, katika mifumo tofauti ya nambari jumla ya nambari za nambari sawa zitakuwa tofauti. Katika hisabati, mfumo wa nambari unaonyeshwa kama usajili wa kulia wa nambari. Kwa idadi kubwa 12345, sitaki kudanganya kichwa changu, hebu fikiria namba 26 kutoka kwa makala kuhusu. Hebu tuandike nambari hii katika mifumo ya nambari za binary, octal, desimali na hexadecimal. Hatutaangalia kila hatua chini ya darubini tayari tumefanya hivyo. Hebu tuangalie matokeo.
Kama unaweza kuona, katika mifumo tofauti ya nambari jumla ya nambari za nambari sawa ni tofauti. Matokeo haya hayana uhusiano wowote na hisabati. Ni sawa na ukiamua eneo la mstatili katika mita na sentimita, utapata matokeo tofauti kabisa.
Sufuri inaonekana sawa katika mifumo yote ya nambari na haina jumla ya nambari. Hii ni hoja nyingine inayounga mkono ukweli kwamba. Swali kwa wanahisabati: ni jinsi gani kitu ambacho sio nambari iliyoteuliwa katika hisabati? Je, kwa wanahisabati hakuna chochote isipokuwa nambari? Ninaweza kuruhusu hili kwa shamans, lakini si kwa wanasayansi. Ukweli sio tu juu ya nambari.
Matokeo yaliyopatikana yanapaswa kuzingatiwa kama dhibitisho kwamba mifumo ya nambari ni vitengo vya kipimo kwa nambari. Baada ya yote, hatuwezi kulinganisha nambari na vitengo tofauti vya kipimo. Ikiwa vitendo sawa na vitengo tofauti vya kipimo cha wingi sawa husababisha matokeo tofauti baada ya kulinganisha, basi hii haina uhusiano wowote na hisabati.
Hisabati halisi ni nini? Hii ndio wakati matokeo ya operesheni ya hisabati haitegemei saizi ya nambari, kitengo cha kipimo kinachotumiwa na ni nani anayefanya kitendo hiki.
Lo! Je, hii si choo cha wanawake?
- Mwanamke mchanga! Hii ni maabara ya uchunguzi wa utakatifu usio na kikomo wa roho wakati wa kupaa kwao mbinguni! Halo juu na mshale juu. Choo gani kingine?
Kike... Halo juu na mshale chini ni wa kiume.
Ikiwa kazi kama hiyo ya sanaa ya kubuni inaangaza mbele ya macho yako mara kadhaa kwa siku,
Basi haishangazi kwamba ghafla unapata ikoni ya kushangaza kwenye gari lako:
Binafsi, mimi hujitahidi kuona minus digrii nne katika mtu anayepiga kinyesi (picha moja) (muundo wa picha kadhaa: ishara ya minus, nambari ya nne, muundo wa digrii). Na sidhani msichana huyu ni mpumbavu ambaye hajui fizikia. Ana mtindo dhabiti wa utambuzi wa picha za picha. Na wanahisabati wanatufundisha hili kila wakati. Hapa kuna mfano.
1A sio "minus digrii nne" au "moja a". Huyu ni "mtu wa kinyesi" au nambari "ishirini na sita" katika nukuu ya heksadesimali. Watu hao ambao hufanya kazi kila wakati katika mfumo huu wa nambari hugundua nambari na herufi kiotomatiki kama ishara moja ya picha.