Penyelesaian persamaan trigonometri dan sistem persamaan trigonometri adalah berdasarkan penyelesaian persamaan trigonometri termudah.
Mari kita ingat semula formula asas untuk menyelesaikan persamaan trigonometri termudah.
Menyelesaikan persamaan bentuk sin(x) = a.
Apabila |a|< = 1 x = (-1)^k *arcsin(a) +π*k, где k принадлежит Z.
Untuk |a|>1 tiada penyelesaian.
Menyelesaikan persamaan bentuk cos(x) = a.
Apabila |a|< = 1 x = ±arccos(a) +2*π*k, где k принадлежит Z.
Untuk |a|>1 tiada penyelesaian.
Menyelesaikan persamaan bentuk tg(x) = a.
x = arctan(a) + π*k, dengan k kepunyaan Z.
Menyelesaikan persamaan bentuk cotg(x) = a.
x = arcctg(a)+ π*k, dengan k kepunyaan Z.
Beberapa kes biasa:
sin(x) =1; x = π/2 +2* π*k, dengan k kepunyaan Z.
sin(x) = 0; x = π*k, di mana k kepunyaan Z.
sin(x) = -1; x = - π/2 +2* π*k, dengan k kepunyaan Z.
cos(x) = 1; x = 2* π*k, di mana k kepunyaan Z.
cos(x) = 0; x= π/2 + π*k, dengan k kepunyaan Z.
cos(x) = -1; x = π+2* π*k, di mana k kepunyaan Z.
Mari lihat beberapa contoh:
Contoh 1. Selesaikan persamaan trigonometri 2*(sin(x))^2 + sin(x) -1 = 0.
Persamaan jenis ini diselesaikan dengan mengurangkannya kepada persamaan kuadratik dengan menukar pembolehubah.
Biarkan y = sin(x). Kemudian kita dapat,
2*y^2 + y - 1 = 0.
Kami menyelesaikan persamaan uvadratik yang terhasil menggunakan salah satu kaedah yang diketahui.
y1 = 1/2, y2 = -1.
Akibatnya, kita memperoleh dua persamaan trigonometri mudah yang boleh diselesaikan menggunakan formula yang ditunjukkan di atas.
sin(x) = 1/2, x = ((-1)^k)*arcsin(1/2) + pi*k = ((-1)^k)*pi/6 + pi*k, untuk sebarang keseluruhan k.
sin(x) = -1, x = - pi/2 +2* pi*n, dengan n kepunyaan Z.
Contoh 2. Selesaikan persamaan 6*(sin(x))^2 + 5*cos(x) – 2 = 0.
Menggunakan identiti trigonometri asas, kita gantikan (sin(x))^2 dengan 1 - (cos(x))^2
Kami dapat persamaan kuadratik relatif kepada cos(x):
6*(cos(x))^2 – 5*cos(x) - 4 = 0.
Kami memperkenalkan penggantian y=cos(x).
6*y^2 - 5*y - 4 = 0.
Kami menyelesaikan persamaan kuadratik yang terhasil y1 = -1/2, y2 = 1(1/3).
Oleh kerana y = cos(x), dan kosinus tidak boleh lebih daripada satu, kita mendapat satu persamaan trigonometri mudah.
x = ±2*pi/3+2*pi*k, untuk sebarang integer k.
Contoh 3. tg(x) + 2*ctg(x) = 3.
Mari kita perkenalkan pembolehubah y = tan(x). Kemudian 1/y = katil(x). Kami dapat
Darab dengan y tidak sama dengan sifar, kita mendapat persamaan kuadratik.
y^2 – 3*y + 2 = 0.
Mari selesaikan:
tg(x) = 2, x = arctan(2)+pi*k, untuk sebarang integer k.
tg(x) = 1, x = arctan(1) + pi*k, pi/4 +pi*k, untuk sebarang integer k.
Contoh 4. 3*(sin(x))^2 – 4*sin(x)*cos(x) + (cos(x))^2 = 0.
Persamaan ini boleh dikurangkan kepada kuadratik dengan membahagikan sama ada dengan (cos(x))^2 atau (sin(x))^2. Apabila membahagi dengan (cos(x)^2 kita dapat
3*(tg(x))^2 – 4*tg(x) +1 = 0.
tg(x) = 1, x = pi/4+pi*n, untuk sebarang integer n
tan(x) = 1/3, x = arctan(1/3) + pi*k, untuk sebarang integer k.
Contoh 4. Selesaikan sistem persamaan
( sin(x) = 2*sin(y)
Daripada persamaan roti lebah kita nyatakan y,
Kemudian kita dapat, 2*sin(y) = 2*sin(x-5*pi/3) = 2*(sin(x)*cos(5*pi/3) - cos(x)*sin(5* pi /3)) = 2*(sin(x)*(1/2) –((√3)/2)*cos(x)) = sinx + √3*cos(x).
helo, Rakan-rakan sekalian! Hari ini kita akan melihat tugas dari bahagian C. Ini adalah sistem dua persamaan. Persamaan adalah agak pelik. Terdapat sinus dan kosinus di sini, dan terdapat juga akar. Keupayaan untuk menyelesaikan masalah kuadratik dan mudah diperlukan. Penyelesaian terperinci mereka tidak dibentangkan dalam tugasan yang dibentangkan anda sepatutnya dapat melakukan ini. Menggunakan pautan yang disediakan, anda boleh melihat teori dan tugas praktikal yang berkaitan.
Kesukaran utama dalam contoh yang serupa adalah perlu untuk membandingkan penyelesaian yang diperolehi dengan domain definisi yang ditemui di sini seseorang dengan mudah boleh membuat kesilapan kerana tidak diberi perhatian.
Penyelesaian kepada sistem sentiasa pasangan nombor x dan y, ditulis sebagai (x;y).Pastikan anda menyemak selepas menerima jawapan.Terdapat tiga cara yang dikemukakan kepada anda, bukan, bukan cara, tetapi tiga jalan penaakulan yang boleh anda ambil. Secara peribadi, yang ketiga paling rapat dengan saya. Mari mulakan:
Selesaikan sistem persamaan:
CARA PERTAMA!
Mari kita cari domain takrifan persamaan. Adalah diketahui bahawa ungkapan radikal mempunyai makna bukan negatif:
Pertimbangkan persamaan pertama:
1. Ia sama dengan sifar pada x = 2 atau pada x = 4, tetapi 4 radian tidak tergolong dalam takrif ungkapan (3).
*Sudut 4 radian (229.188 0) terletak pada suku ketiga, di mana nilai sinus adalah negatif. sebab tu
Yang tinggal hanyalah punca x = 2.
Pertimbangkan persamaan kedua untuk x = 2.
Pada nilai x ini, ungkapan 2 – y – y 2 mestilah sama dengan sifar, kerana
Mari selesaikan 2 – y – y 2 = 0, kita dapat y = – 2 atau y = 1.
Perhatikan bahawa untuk y = – 2 punca cos y tidak mempunyai penyelesaian.
*Sudut –2 radian (– 114.549 0) terletak pada suku ketiga, dan di dalamnya nilai kosinus adalah negatif.
Oleh itu, hanya tinggal y = 1.
Oleh itu, penyelesaian kepada sistem ialah pasangan (2;1).
2. Persamaan pertama juga sama dengan sifar pada cos y = 0, iaitu pada
Tetapi dengan mengambil kira domain definisi (2) yang ditemui, kami memperoleh:
Pertimbangkan persamaan kedua untuk y ini.
Ungkapan 2 – y – y 2 dengan y = – Pi/2 tidak sama dengan sifar, yang bermaksud bahawa untuk ia mempunyai penyelesaian syarat berikut mesti dipenuhi:
Kami memutuskan:
Dengan mengambil kira domain definisi (1) yang ditemui, kami memperolehnya
Oleh itu, penyelesaian kepada sistem adalah satu pasangan lagi:
CARA KEDUA!
Mari cari domain definisi untuk ungkapan:
Adalah diketahui bahawa ungkapan di bawah akar mempunyai makna bukan negatif.
Menyelesaikan ketaksamaan 6x – x 2 + 8 ≥ 0, kita dapat 2 ≤ x ≤ 4 (2 dan 4 ialah radian).
Pertimbangkan Kes 1:
Biarkan x = 2 atau x = 4.
Jika x = 4, maka dosa x< 0. Если х = 2, то sin x > 0.
Memandangkan sin x ≠ 0, ternyata dalam kes ini dalam persamaan kedua sistem 2 – y – y 2 = 0.
Menyelesaikan persamaan kita dapati bahawa y = – 2 atau y = 1.
Menganalisis nilai yang diperoleh, kita boleh mengatakan bahawa x = 4 dan y = – 2 bukan punca, kerana kita mendapat sin x< 0 и cos y < 0 соответственно, а выражение стоящее под корнем должно быть ≥ 0 (то есть числом неотрицательным).
Dapat dilihat bahawa x = 2 dan y = 1 termasuk dalam domain definisi.
Oleh itu, penyelesaiannya ialah pasangan (2;1).
Mari kita pertimbangkan Kes 2:
Biar sekarang 2< х < 4, тогда 6х – х 2 + 8 > 0. Berdasarkan ini, kita boleh membuat kesimpulan bahawa dalam persamaan pertama cos y sepatutnya sama dengan sifar.
Menyelesaikan persamaan, kita dapat:
Dalam persamaan kedua, apabila mencari domain definisi ungkapan:
Kami mendapat:
2 – y – y 2 ≥ 0
– 2 ≤ y ≤ 1
Daripada semua penyelesaian kepada persamaan cos y = 0, keadaan ini hanya dipenuhi dengan:
Untuk nilai y yang diberikan, ungkapan 2 – y – y 2 ≠ 0. Oleh itu, dalam persamaan kedua sin x akan sama dengan sifar, kita dapat:
Daripada semua penyelesaian kepada persamaan ini, selang 2< х < 4 принадлежит только
Ini bermakna bahawa penyelesaian kepada sistem akan menjadi pasangan lain:
*Kami tidak menjumpai domain definisi untuk semua ungkapan dalam sistem sekaligus, kami melihat ungkapan daripada persamaan pertama (2 kes) dan kemudian di sepanjang jalan kami menentukan korespondensi penyelesaian yang ditemui dengan kawasan yang ditubuhkan takrifan. Pada pendapat saya, ia tidak begitu mudah, ternyata entah bagaimana mengelirukan.
CARA KETIGA!
Ia serupa dengan yang pertama, tetapi terdapat perbezaan. Juga, kawasan definisi untuk ungkapan ditemui dahulu. Kemudian persamaan pertama dan kedua diselesaikan secara berasingan, dan kemudian penyelesaian kepada sistem dijumpai.
Mari cari domain definisi. Adalah diketahui bahawa ungkapan radikal mempunyai makna bukan negatif:
Menyelesaikan ketaksamaan 6x – x 2 + 8 ≥ 0 kita dapat 2 ≤ x ≤ 4 (1).
Nilai 2 dan 4 ialah radian, 1 radian seperti yang kita ketahui ≈ 57.297 0
Dalam darjah kita boleh menulis kira-kira 114.549 0 ≤ x ≤ 229.188 0.
Menyelesaikan ketaksamaan 2 – y – y 2 ≥ 0 kita dapat – 2 ≤ y ≤ 1 (2).
Dalam darjah kita boleh menulis – 114.549 0 ≤ y ≤ 57.297 0 .
Memutuskan dosa ketidaksamaan x ≥ 0 kita dapat itu
Menyelesaikan ketaksamaan cos y ≥ 0 kita memperolehnya
Adalah diketahui bahawa produk adalah sama dengan sifar apabila salah satu faktor adalah sama dengan sifar (dan yang lain tidak kehilangan maknanya).
Pertimbangkan persamaan pertama:
Bermakna
Penyelesaian kepada cos y = 0 ialah:
Penyelesaian 6x – x 2 + 8 = 0 ialah x = 2 dan x = 4.
Pertimbangkan persamaan kedua:
Bermakna
Penyelesaian untuk sin x = 0 ialah:
Penyelesaian kepada persamaan 2 – y – y 2 = 0 ialah y = – 2 atau y = 1.
Sekarang, dengan mengambil kira domain definisi, mari analisa
nilai yang diperoleh:
Oleh kerana 114.549 0 ≤ x ≤ 229.188 0, maka segmen ini hanya terdapat satu penyelesaian bagi persamaan tersebut sin x = 0, ini ialah x = Pi.
Oleh kerana – 114.549 0 ≤ y ≤ 57.297 0, maka segmen ini mengandungi hanya satu penyelesaian kepada persamaan cos y = 0, ini ialah
Pertimbangkan punca x = 2 dan x = 4.
Betul!
Oleh itu, penyelesaian kepada sistem akan menjadi dua pasang nombor:
*Di sini, dengan mengambil kira domain definisi yang ditemui, kami mengecualikan semua nilai yang diperolehi yang bukan miliknya dan kemudian melalui semua pilihan untuk pasangan yang mungkin. Seterusnya kami menyemak yang mana antara mereka adalah penyelesaian kepada sistem.
Saya mengesyorkan serta-merta pada permulaan menyelesaikan persamaan, ketaksamaan, dan sistemnya, jika terdapat punca, logaritma, fungsi trigonometri, pastikan anda mencari domain definisi. Sudah tentu, terdapat contoh yang lebih mudah untuk diselesaikan dengan segera dan kemudian semak penyelesaiannya, tetapi ini adalah minoriti relatif.
Itu sahaja. Semoga berjaya kepada anda!
Transkrip
1 I. V. Yakovlev Bahan tentang matematik MathUs.ru Sistem persamaan trigonometri Dalam artikel ini kita mempertimbangkan sistem trigonometri dua persamaan dengan dua yang tidak diketahui. Kami akan mengkaji kaedah untuk menyelesaikan sistem tersebut dan pelbagai teknik khas serta-merta di contoh khusus. Ia mungkin berlaku bahawa salah satu persamaan sistem mengandungi fungsi trigonometri bagi x dan y yang tidak diketahui, manakala persamaan lain adalah linear dalam x dan y. Dalam kes ini, kita bertindak dengan cara yang jelas: kita menyatakan salah satu yang tidak diketahui daripada persamaan linear dan menggantikannya ke dalam persamaan sistem yang lain. Masalah 1. Selesaikan sistem: x + y =, sin x + sin y = 1. Penyelesaian. Daripada persamaan pertama kita ungkapkan y melalui x: dan gantikannya ke dalam persamaan kedua: y = x, sin x + sin x) = 1 sin x = 1 sin x = 1. Hasilnya ialah persamaan trigonometri termudah untuk x. Kami menulis penyelesaiannya dalam bentuk dua siri: x 1 = 6 + n, x = n n Z). Ia kekal untuk mencari nilai yang sepadan bagi y: y 1 = x 1 = 5 6 n, y = x = 6 n. Seperti biasa dengan sistem persamaan, jawapan diberikan sebagai senarai pasangan x; y). 6 + n; 5) 5 6 n, 6 + n;) 6 n, n Z. Perhatikan bahawa x dan y berkaitan antara satu sama lain melalui parameter integer n. Iaitu, jika +n muncul dalam ungkapan untuk x, maka n secara automatik muncul dalam ungkapan untuk y, dan dengan n yang sama. Ini adalah akibat daripada hubungan "keras" antara x dan y, diberikan oleh persamaan x + y =. Tugasan. Selesaikan sistem: cos x + cos y = 1, x y =. Penyelesaian. Di sini masuk akal untuk mula-mula mengubah persamaan pertama sistem: 1 + cos x cos y = 1 cos x + cos y = 1 cosx + y) cosx y) = 1. 1
2 Oleh itu, sistem kami adalah bersamaan dengan sistem berikut: cosx + y) cosx y) = 1, x y =. Gantikan x y = ke dalam persamaan pertama: cosx + y) cos = 1 cosx + y) = 1 x + y = n n Z). Akibatnya, kita tiba di sistem: x + y = n, x y =. Kami menambah persamaan ini, bahagi dengan dan cari x; tolak kedua daripada persamaan pertama, bahagi dengan dan cari y: x = + n, y = + n n Z). +n; + n), n Z. Dalam beberapa kes sistem trigonometri boleh dikurangkan kepada sistem persamaan algebra dengan perubahan pembolehubah yang sesuai. Tugasan. Selesaikan sistem: sin x + cos y = 1, sin x cos y = 1. Penyelesaian. Penggantian u = sin x, v = cos y membawa kepada sistem algebra untuk u dan v: u + v = 1, u v = 1. Anda boleh menyelesaikan sendiri sistem ini dengan mudah. Penyelesaiannya adalah unik: u = 1, v = 0. Penggantian songsang membawa kepada dua persamaan trigonometri termudah: sin x = 1, cos y = 0, dari mana + k; + n), k, n Z. x = + k, y = + n k, n Z). Sekarang rekod tindak balas mengandungi dua parameter integer k dan n. Perbezaan dari tugasan sebelumnya ialah dalam sistem ini tiada sambungan "tegar" antara x dan y, contohnya, dalam bentuk persamaan linear), oleh itu x dan y adalah lebih ke tahap yang lebih besar bebas antara satu sama lain.
3 V dalam kes ini Ia akan menjadi satu kesilapan untuk menggunakan hanya satu parameter integer n, menulis jawapan sebagai + n;) + n. Ini akan membawa kepada kerugian nombor tak terhingga 5 penyelesaian sistem. Sebagai contoh, penyelesaian akan hilang ;) timbul pada k = 1 dan n = 0. Masalah 4. Selesaikan sistem: sin x + sin y = 1, cos x + cos y =. Penyelesaian. Mula-mula kita ubah persamaan kedua: 1 sin x + 1 sin y) = sin x + 4 sin y = 1. Sekarang kita buat penggantian: u = sin x, v = sin y. Kami mendapat sistem: u + v = 1, u + 4v = 1. Penyelesaian kepada sistem ini ialah dua pasangan: u 1 = 0, v 1 = 1/ dan u = /, v = 1/6. Yang tinggal hanyalah membuat penggantian terbalik: sin x = 0, sin x = sin y = 1 atau, sin y = 1 6, dan tuliskan jawapannya. k; 1) n 6 + n), 1) k arcsin + k; 1)n arcsin 16 + n), k, n Z. Masalah 5. Selesaikan sistem: cos x + cos y = 1, sin x sin y = 4. Penyelesaian. Di sini, untuk mendapatkan sistem algebra, anda perlu bekerja lebih banyak lagi. Kita tulis persamaan pertama sistem kita dalam bentuk: Dalam persamaan kedua kita ada: cos x + y cos x y = 1. = sin x sin y = cosx y) cosx + y) = = cos x y 1 Oleh itu, asal sistem adalah bersamaan dengan sistem: cos x + y cos x y = 1, cos x y cos x + y = 4. cos x + y) 1 = cos x y cos x + y.
4 Kami membuat penggantian u = cos x y, v = cos x + y dan dapatkan sistem algebra: uv = 1, u v = 4. Penyelesaian kepada sistem ini ialah dua pasangan: u 1 = 1, v 1 = 1/ dan u = 1, v = 1/. Pasangan pertama memberikan sistem: x y = 1, = k, Maka cos x y cos x + y Pasangan kedua memberikan sistem: cos x y cos x + y = 1 x + y x = ± + n + k), y = 1 , = 1 = ± + n k, n Z). = ± + n k). x y = + k, x + y = ± + n k, n Z). Oleh itu x = ± + n + k), y = ± + n k). ±) + n + k); ± + n k), ± + n + k); ±) + n k), k, n Z. Walau bagaimanapun, ia tidak selalu mungkin untuk mengurangkan sistem persamaan trigonometri kepada sistem persamaan algebra. Dalam sesetengah kes, perlu menggunakan pelbagai teknik khas. Kadangkala adalah mungkin untuk memudahkan sistem dengan menambah atau menolak persamaan. Masalah 6. Selesaikan sistem: sin x cos y = 4, cos x sin y = 1 4. Penyelesaian. Menambah dan menolak persamaan ini, kita dapat sistem yang setara: sinx + y) = 1, sinx y) = 1. Dan sistem ini pula, bersamaan dengan gabungan dua sistem: x + y = + k, x + y = x y = + k, atau 6 + n x y = n k, n Z). 4
5 Oleh itu x = + k + n), x = + k + n), y = atau + k n) y = + k n) k + n);)) 6 + k n), + k + n); + k n), k, n Z. 6 Kadangkala anda boleh mendapatkan penyelesaian dengan mendarab persamaan antara satu sama lain. Masalah 7. Selesaikan sistem: tg x = sin y, ctg x = cos y. Penyelesaian. Mari kita ingat bahawa mendarabkan persamaan sistem dengan satu sama lain bermakna menulis persamaan bentuk "hasil darab sisi kiri adalah sama dengan hasil darab sisi kanan." Persamaan yang terhasil akan menjadi akibat daripada sistem asal, iaitu, semua penyelesaian sistem asal memenuhi persamaan yang terhasil). Dalam kes ini, mendarabkan persamaan sistem membawa kepada persamaan: 1 = sin y cos y = sin y, dari mana y = /4 + n n Z). Adalah menyusahkan untuk menggantikan y dalam bentuk ini ke dalam sistem adalah lebih baik untuk membahagikannya kepada dua siri: y 1 = 4 + n Gantikan y 1 ke dalam persamaan pertama sistem: y = 4 + n. tan x = sin y 1 = 1 x 1 = 4 + k k Z). Adalah mudah untuk melihat bahawa menggantikan y 1 ke dalam persamaan kedua sistem akan membawa kepada keputusan yang sama. Sekarang kita gantikan y: tan x = sin y = 1 x = 4 + k k Z). 4 + k;) 4 + n, 4) + k; 4 + n, k, n Z. Kadang-kadang membahagikan persamaan dengan satu sama lain membawa kepada keputusan. Masalah 8. Selesaikan sistem: cos x + cos y = 1, sin x + sin y =. Penyelesaian. Mari kita ubah: cos x + y sin x + y cos x y cos x y = 1, =. 5
6 Marilah kita memperkenalkan tatatanda berikut buat sementara waktu: α = x + y, β = x y. Kemudian sistem yang terhasil akan ditulis semula dalam bentuk: cos α cos β = 1, sin α cos β =. Adalah jelas bahawa cos β 0. Kemudian, membahagikan persamaan kedua dengan yang pertama, kita sampai pada persamaan tg α =, yang merupakan akibat daripada sistem. Kami mempunyai: α = + n n Z), dan sekali lagi, untuk tujuan penggantian selanjutnya ke dalam sistem), adalah mudah untuk kami membahagikan set yang terhasil kepada dua siri: α 1 = + n, α = 4 + n. Menggantikan α 1 ke dalam mana-mana persamaan sistem membawa kepada persamaan: cos β = 1 β 1 = k k Z). Begitu juga, menggantikan α ke dalam mana-mana persamaan sistem memberikan persamaan: cos β = 1 β = + k k Z). Jadi, kita ada: iaitu, di mana α 1 = + n, β 1 = k atau α = 4 + n, β = + k, x + y = + n, x + y = 4 x y atau + n, = k x y = + k, x = + n + k), x = 7 + n + k), y = atau + n k) y = + n k). + n + k);) 7 + n k), + n + k);) + n k), k, n Z. Dalam beberapa kes, asas identiti trigonometri. Masalah 9. Selesaikan sistem: sin x = 1 sin y, cos x = cos y. Penyelesaian. Mari kita kuasa duakan kedua-dua belah setiap persamaan: sin x = 1 sin y), cos x = cos y. 6
7 Mari tambahkan persamaan yang terhasil: = 1 sin y) + cos y = 1 sin y + sin y + cos y = sin y, dari mana sin y = 0 dan y = n n Z). Ini adalah akibat daripada sistem asal; iaitu, untuk sebarang pasangan x; y), yang merupakan penyelesaian kepada sistem, nombor kedua pasangan ini akan mempunyai bentuk n dengan beberapa integer n. Kami membahagikan y kepada dua siri: y 1 = n, y = + n. Kami menggantikan y 1 ke dalam sistem asal: sin x = 1 sin y1 = 1, cos x = cos y1 = 1 Penyelesaian kepada sistem ini ialah siri sin x = 1, cos x = 1. x 1 = 4 + k k Z ). Sila ambil perhatian bahawa sekarang ia tidak mencukupi untuk menggantikan y 1 ke dalam salah satu persamaan sistem. Menggantikan y 1 ke dalam persamaan pertama dan kedua sistem membawa kepada sistem dua persamaan yang berbeza relatif kepada x.) Begitu juga, kita menggantikan y ke dalam sistem asal: Oleh itu sin x = 1 sin y = 1, cos x = cos y = 1 x = 4 + k k Z).)) 4 + k; n, + k; + n, k, n Z. 4 sin x = 1, cos x = 1. Kadang-kadang, dalam perjalanan transformasi, adalah mungkin untuk mendapatkan hubungan mudah antara yang tidak diketahui dan nyata daripada hubungan ini yang tidak diketahui dari segi yang lain. Masalah 10. Selesaikan sistem: 5 cos x cos y =, sin x siny x) + cos y = 1. Penyelesaian. Dalam persamaan kedua sistem, kita menukar hasil gandaan sinus kepada perbezaan kosinus: cosx y) cos y + cos y = 1 cosx y) = 1 x y = n n Z). Dari sini kita menyatakan y dalam sebutan x: y = x + n, 7
8 dan gantikan ke dalam persamaan pertama sistem: 5 cos x cos x = 5 cos x cos x 1) = cos x 5 cos x + = 0. Selebihnya adalah remeh. Kami mendapat: cos x = 1, dari mana x = ± Ia kekal untuk mencari y daripada hubungan yang diperoleh di atas: + k k Z). y = ± + 4k + n. ± + k; ± + 4k + n), k, n Z. Sudah tentu, masalah yang dipertimbangkan tidak meliputi keseluruhan pelbagai sistem persamaan trigonometri. bila-bila masa keadaan yang sukar memerlukan kepintaran, yang dibangunkan hanya dengan amalan penyelesaian pelbagai tugas. Semua jawapan mengandaikan bahawa k, n Z. Masalah 1. Selesaikan sistem: x + y =, cos x cos y = 1. b) x + y =, sin x sin y = 1. + n; n), + n; 4 n); b) n; n). Selesaikan sistem: x + y = 4, tg x tan y = 1 b) 6. x y = 5, sin x = sin y. arctan 1 + n; arctg 1 n), arctg 1 + n; arctg 1 n); b) + n; 6 + n). Selesaikan sistem: sin x + sin y = 1, x y = 4 b). x + y =, sin x sin y = n; 6 + n); b) 6 + n; 6 n) 8
9 4. Selesaikan sistem: sin x + cos y = 0, sin x + cos y = 1. b) sin x + cos y = 1, sin x cos y =. 1) k 6 + k; ± + n), 1) k k; ± + n); b) 1) k 4 + k; + n) 5. Selesaikan sistem: cos x + cos y = 1, tan x + tan y =, sin x sin y = b) 4. ctg x + ctg y = 9 5. ± + k; n); b) arctan 5 + k; arctan 1 + n), arctan 1 + k; arctan 5 + n) 6. Selesaikan sistem: sin x + cos y = 1, cos x cos y = 1. b) sin x + cos x = + sin y + cos y, sin x + sin y = 0. 1 ) k 6 + k; ± + n); b) 4 ± 4 + k; 5 4 ± 4 + n) 7. Selesaikan sistem: sin x + sin y =, cos x cos y = 1. 1) k 4 + k + n); 1)k 4 + k n)), 1) k k + n + 1); 1)k k n 1)) 8. Selesaikan sistem: sin x sin y = 1 4, tg x tan y =, cos x cos y = b) 4. sin x sin y = 4. ± 6 + k + n); ± 6 + k n)); b) ± + k + n); ± + k n)) 9. Selesaikan sistem: 4 sin x cos y = 1, tg x = tan y. b) sin x = cos x cos y, cos x = sin x sin y)k n k) ; 1) k 1 + n + k)); b)) 4 + k ; 4 + k + n 9
10 10. Selesaikan sistem: cos x = tan cos y = tan y +), 4 x +). 4k; n), 4 + k; 4 + n), + k; + n) 11. Selesaikan sistem:) tan 4 + x = cos y,) tan 4 x = sin y. k; 4 + n), + k; 4 + n) 1. Selesaikan sistem: sin x + sin y = 1, cos x cos y =. 6 + n + k); n k)), 6 + n + k); n k)) 1. Selesaikan sistem: tg x + tan y =, cos x cos y = n + k); 4 + n k)) 14. Selesaikan sistem: sin x = sin y, cos x = cos y. 6 + k; 4 + n), 6 + k; 4 + n), k; 4 + n), k; 4 + n) 15. Selesaikan sistem: 6 cos x + 4 cos y = 5, sin x + sin y = 0. arccos 4 + k; arccos n), arccos 4 + k; arccos n) 16. Selesaikan sistem: 4 tg x = tg y, sin x cosx y) = sin y. b) cot x + sin y = sin x, sin x sinx + y) = cos y. k; n); b)) 4 + k ; n, + k; + n) 10
11 17. “Fiztekh”, 010) Selesaikan sistem persamaan 5 sin x cos y =, sin y + cos x =. 4 + k, 6 + n); k, n Z 18. Universiti Negeri Moscow, salinan. untuk warga asing gr-n, 01) Selesaikan sistem persamaan: 4 + cos x = 7 sin y, y x = y 4. + n; 6 + n), + n; n), + n; 6 n), + n; 5 6 n), n Z 19. MGU, VMK, 005) Cari semua penyelesaian sistem persamaan dosa x + y) = 1, xy = 9. xn, 4 + n) xn, di mana xn = 8 + n ± n) 6, n Z, n, 1, 0, 1 0. Universiti Negeri Moscow, geografi. f-t, 005) Selesaikan sistem persamaan 1 sin x sin y =, 6 sin x + cos y =. 1) n n, k), k, n Z 1. Universiti Negeri Moscow, Fakulti Negeri. kawalan, 005) Selesaikan sistem persamaan sin x sin 1 = 0, cos x cos 1 = n, n Z. MIPT, 199) Selesaikan sistem persamaan 10 cos x = 7 cos x cos y, sin x = cos x dosa y. arccos + n, 1)k arcsin 5); 6 + k arccos + n, 1)k+1 arcsin 5), 6 + k k, n Z 11
12. MIPT, 199) Selesaikan sistem persamaan tg x 4 ctg x = tg y, 4 sin x = sin x cos y. arctan 4 + n, arccos 4 + k); + arctan 4 + n, + arccos 4 + k), k, n Z 4. MIPT, 1996) Selesaikan sistem persamaan sin x = sin y, cos y + cos x sin x = 4. ± 6 + n, 1 )k k); k, n Z 5. MIPT, 1996) Selesaikan sistem persamaan sin x +) = sin y cos y, 4 sin y + sin x = 4 + sin x. 1) n 1 + n, 4 + 1)k 4 + k); k, n Z 6. MIPT, 1997) Selesaikan sistem persamaan 9 cos x cos y 5 sin x sin y = 6, 7 cos x cos y sin x sin y = 4. ± n + k, ± 6 + n + k); k, n Z 1
I. V. Yakovlev Bahan mengenai matematik MathUs.ru Minimax masalah dalam trigonometri Helaian ini membincangkan persamaan untuk penyelesaian anggaran bahagian kanan dan kiri digunakan. Untuk menjadi
I. V. Yakovlev Bahan tentang matematik MathUs.ru Persamaan trigonometri dengan modulus Helaian ini dikhaskan kepada persamaan trigonometri di mana fungsi trigonometri dalam kuantiti yang tidak diketahui terkandung
Kerja praktikal: Menyelesaikan persamaan trigonometri pelbagai jenis Pemaju: I. A. Kochetkova, Zh. I. Timoshko Tujuan kerja: 1) Ulang formula trigonometri hujah berganda, formula penambahan,
I V Yakovlev Bahan tentang matematik MathUsru Ketaksamaan trigonometri Diandaikan bahawa pembaca boleh menyelesaikan yang paling mudah ketaksamaan trigonometri Kami beralih kepada lebih banyak lagi tugasan yang kompleks Tugasan
I. V. Yakovlev Bahan matematik MathUs.ru Transformasi dan pengiraan trigonometri Masalah berkaitan dengan transformasi trigonometri dan pengiraan, sebagai peraturan, tidak rumit dan oleh itu jarang berlaku
Kandungan I V Yakovlev Bahan tentang matematik MathUsru Persamaan tidak rasional dan sistem 1 Perakaunan untuk barangan isi rumah 1 Transformasi setara 3 Perubahan pembolehubah 6 4 Pendaraban dengan konjugat 7 5 Sistem persamaan
I. V. Yakovlev Bahan tentang matematik MathUs.ru Persamaan trigonometri yang paling mudah Kami mula mengkaji persamaan trigonometri tema pusat keseluruhan bahagian trigonometri. Biarkan a
Agensi Pentadbiran Pendidikan Wilayah Krasnoyarsk Krasnoyarsk universiti negeri Sekolah sains semula jadi surat-menyurat di Krasnoyarsk State University Mathematics: Modul untuk gred 0 Bahagian pendidikan dan metodologi/ Comp:
Invarian dan masalah dengan parameter G.I Falin, A.I. Falin Lomonosov Moscow State University http://mech.math.msu.su/ falin 1 Pengenalan B matematik moden peranan penting memainkan konsep invarian, iaitu. kebolehubahan
I. V. Yakovlev Bahan mengenai matematik MthUs.ru Penyelidikan fungsi trigonometri Ingat bahawa fungsi fx) dipanggil berkala jika terdapat nombor T 0 supaya bagi mana-mana x daripada domain definisi
Topik 14 “Persamaan dan sistem algebra persamaan tak linear» Polinomial darjah n ialah polinomial berbentuk P n () a 0 n + a 1 n-1 + + a n-1 + a n, di mana a 0, a 1, a n-1, a n nombor yang diberi, a 0,
I. V. Yakovlev Bahan mengenai matematik MathUs.ru Masalah latihan Simetri dalam masalah dengan parameter 1. (MSU, Fakulti Sains Tanah, 001) Untuk nilai b apakah persamaan mempunyai tepat satu punca? tan b = log
Kementerian Sains dan Pendidikan Persekutuan Rusia Universiti Geodesi dan Kartografi Negeri Moscow T. M. Koroleva, E. G. Markaryan, Yu. M. Neiman MANUAL DALAM MATEMATIK UNTUK PEMOHON
Pelajaran algebra dalam gred 10 Topik pelajaran: Kaedah menyelesaikan persamaan trigonometri Tujuan pelajaran: Generalisasi dan sistematisasi pengetahuan pelajar tentang topik tersebut. Objektif pelajaran: 1) Pendidikan - Meluaskan dan mendalami
Contoh penyelesaian ujian L.I. Terekhina, I.I. Betulkan 1 Ujian 1 Algebra linear buat keputusan persamaan matriks((3 1 2 1 X + 2 4 2 3 3 (1 0 = 3 2 3 Mari kita darab dahulu matriks dengan
MENGINTEGRASIKAN FUNGSI TRIGONOMETRI Mengintegrasikan hasil sinus dan kosinus pelbagai hujah Formula trigonometri k m [ (m k (m k ], (k m [ (m k (m k ]), (k m [ (m k (m k)
Kementerian Pendidikan dan Sains Persekutuan Rusia Moscow Institut Fizik dan Teknologi(universiti negeri) Sambilan sekolah fizikal dan teknik MATEMATIK Transformasi yang sama. Penyelesaian
Persamaan dan ketaksamaan tidak rasional Kandungan Persamaan tidak rasional Kaedah menaikkan kedua-dua belah persamaan kepada kuasa yang sama Tugasan Tugasan Tugasan Tugasan Menggantikan persamaan tidak rasional dengan yang bercampur
Kementerian Pendidikan Republik Belarus Negeri Molodechno sekolah politeknik Kerja praktikal: Menyelesaikan persamaan trigonometri dikurangkan kepada yang paling mudah. Pemaju: I.
KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN SAINS PERSEKUTUAN RUSIA UNIVERSITI NEGERI TOMSK Fakulti Gunaan Matematik dan Sibernetik Jabatan Teori Kebarangkalian dan statistik matematik HAD Berkaedah
darjah 10, peringkat asas Tugasan 1 Pilihan 0 (demonstrasi, dengan penyelesaian) Surat-menyurat sekolah matematik 009/010 tahun akademik 1 Ungkapkan ungkapan sebagai polinomial pandangan standard dan cari dia
Kuliah “INDEFINITE INTEGRAL” Disusun oleh: VPBelkin Lecture Kamiran tak tentu Konsep asas Sifat kamiran tak tentu 3 Jadual asas antiterbitan 3 4 Contoh biasa 3 5 Protozoa
4. Trigonometri Kini segala-galanya bersedia untuk memberikan definisi yang ketat tentang fungsi trigonometri. Pada pandangan pertama mereka mungkin kelihatan agak pelik; bagaimanapun, kami akan menunjukkan bahawa pasti
Topik HAD FUNGSI Nombor A dipanggil had fungsi y = f), dengan x cenderung kepada infiniti, jika untuk sebarang nombor ε>, walau bagaimanapun kecil, terdapat nombor positif s supaya untuk semua >S,
Agensi persekutuan Negeri dengan pendidikan institusi pendidikan lebih tinggi pendidikan vokasional Negeri Ukhta universiti teknikal(USTU) FUNGSI HAD Metodologi
BUKAN DEMIDOV ASAS TRIGONOMETRI Panduan kajian untuk warganegara asing Kementerian Pendidikan dan Sains Persekutuan Rusia Pendidikan Negeri Persekutuan institusi belanjawan profesional yang lebih tinggi
Topik 1 Nombor sebenar dan tindakan ke atas mereka 4 jam 11 Perkembangan konsep nombor 1 Pada mulanya, nombor hanya difahami nombor asli, yang cukup untuk dikira item individu banyak
Menyelesaikan persamaan trigonometri Menyelesaikan persamaan trigonometri Objektif: Untuk membiasakan diri dengan jenis persamaan trigonometri Untuk membiasakan diri dengan cara untuk menyelesaikan persamaan. Membangunkan kemahiran aplikasi
I. V. Yakovlev Bahan tentang matematik MathUs.ru Simetri dalam masalah dengan parameter Simetri adalah salah satu daripada konsep utama matematik dan fizik. Adakah anda biasa dengan simetri geometri angka dan umumnya pelbagai
Ujian. Diberi matriks A, B dan D. Cari AB 9D jika: 4 7 () 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Darab matriks A 3 dan B 3. Hasil akan menjadi C bersaiz 3 3, yang terdiri daripada elemen
Kuliah 13: Klasifikasi kuadrik pada satah Ural universiti persekutuan, Institut Matematik dan sains komputer, Jabatan Algebra dan Matematik Diskret Ucapan pengenalan Dalam tiga sebelumnya
Kelas. Kuasa dengan eksponen sebenar sewenang-wenangnya, sifatnya. Fungsi kuasa, sifatnya, graf.. Ingat sifat darjah c penunjuk rasional. a a a a untuk masa semula jadi
Gred 8.3, Matematik (buku teks Makarychev) tahun akademik 2016-2017 Topik modul 5 “Akar kuasa dua. Darjah dengan penunjuk integer” Ujian menguji bahagian teori dan praktikal. TOPIK Tahu Boleh Tahu
Jabatan Matematik Tinggi VSTU-VGASU, Prof. Sedaev A.A. 06 DIHASILKAN?.. dari awal?.. UNTUK C H A Y N I K O V?... INI BUKAN MUDAH Pembaca yang dihormati. Jika anda menghadapi keperluan untuk mencari
Kementerian Pendidikan dan Sains Persekutuan Rusia PENYELIDIKAN KEBANGSAAN Jabatan UNIVERSITI AWAM NEGERI MOSCOW mekanik gunaan dan ahli matematik DIFFERENTIAL BIASA
Topik: Transformasi ungkapan trigonometri Dengan mengambil kira ODZ dalam persamaan trigonometri Persediaan untuk Peperiksaan Negeri Bersepadu (tugas 9; ; 8) Definisi: Domain takrifan persamaan f g atau luas nilai yang boleh diterima
Moscow institut penerbangan(kebangsaan universiti penyelidikan) Jabatan " Matematik yang lebih tinggi" Hadkan Fungsi Terbitan beberapa pembolehubah Garis panduan dan pilihan ujian
Bab 4 Had Fungsi 4 1 KONSEP HAD FUNGSI Bab ini memfokuskan kepada konsep had fungsi. Ia ditentukan apa had fungsi pada infiniti, dan kemudian had pada satu titik, had
Topik 7 Kedudukan matriks Asas Teorem minor pada kedudukan matriks dan akibatnya Sistem persamaan linear m dengan tidak diketahui Teorem Kronecker-Capelli Sistem asas penyelesaian sistem homogen linear
Topik 1-8: Nombor kompleks A. Ya. Ovsyannikov Universiti Persekutuan Ural Institut Matematik dan Sains Komputer Jabatan Algebra dan Matematik Diskret dan geometri untuk mekanik (1 semester)
KONSEP ASAS ANALISIS MATEMATIK konsep yang boleh diterangkan, tetapi tidak boleh ditakrifkan dengan ketat, kerana sebarang percubaan untuk memberikan definisi yang ketat pasti akan menggantikan konsep yang ditakrifkan dengannya.
Kaedah pengasingan pembolehubah (kaedah Fourier) Prinsip umum kaedah pengasingan pembolehubah Bagi persamaan pembezaan separa termudah, pemisahan pembolehubah ialah pencarian penyelesaian dalam bentuk hanya dalam t. u(x,t
64 Algebra gred ke-7 (5 jam seminggu, 175 jam) Komponen algebra (3 jam seminggu) 105 jam dan komponen Geometrik (2 jam seminggu) 70 jam Digunakan alat bantu mengajar: 1. Arefieva, I. G. Algebra: buku teks. elaun
Kementerian Pendidikan Persekutuan Rusia Universiti Minyak dan Gas Negeri Rusia dinamakan sempena IM Gubkin VI Ivanov Garis Panduan untuk mempelajari topik "PERSAMAAN BERBEZA" (untuk pelajar
Pelajaran praktikal Topik: Fungsi Domain definisi dan set nilai fungsi Matlamat: Membangunkan kemahiran mencari domain definisi fungsi dan mengira nilai separa fungsi Untuk melengkapkan
PENYELESAIAN KEPADA TUGASAN PILIHAN 0 Marilah kami mengingatkan anda bahawa penyelesaian kepada tugasan hanya dari bahagian diserahkan untuk ujian Penyelesaian kepada tugasan daripada bahagian dilakukan dalam draf dan tidak menjejaskan penilaian dalam apa-apa cara apabila menyelesaikan tugasan
57(07) D DG Demyanov INDETERMINATE INTEGRAL Manual pendidikan dan rujukan Chelyabinsk 00 UDC 57 (0765) Demyanov DG Kamiran tak tentu: Manual pendidikan dan rujukan / Disunting oleh SA Ufimtsev Chelyabinsk: Rumah penerbitan
Phystech 0, 0 kelas, penyelesaian kepada tiket cos x cosx Selesaikan persamaan = cos x sin x Jawapan x = k 6 +, x = + k 6, x = + k, k Ζ Penyelesaian Terdapat dua kemungkinan kes cos x cos x dosa x dosa x a) cos x 0 Maka = = tan x = x =
FORMULA TRIGONOMETRI Kejayaan menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan trigonometri, membuktikan identiti trigonometri dan menyelesaikan masalah pengiraan sebahagian besarnya ditentukan oleh pengetahuan asas
Pelajaran 14 Nombor kompleks. LODU dengan pekali malar. 14.1 Nombor kompleks Nombor kompleks dipanggil ungkapan bentuk z = x+iy, di mana x R. Terdapat padanan satu dengan satu antara set
Soalan: Apakah nombor yang dipanggil nombor asli? Jawapan Nombor asli ialah nombor yang digunakan untuk mengira Apakah kelas dan pangkat dalam tatatanda nombor? Apakah nombor yang dipanggil apabila menambah? Merumuskan konsonan
NOMBOR KOMPLEKS AA KIRSANOV PSKOV BBK 57 K45 Diterbitkan oleh keputusan Jabatan Algebra dan Geometri, dan Majlis Editorial dan Penerbitan PSPI dinamakan sempena SM Kirov Pengulas: Medvedeva IN, Calon Fizik dan Matematik, Profesor Madya
Syarahan Persamaan pembezaan-perintah ke- (DU-) Pandangan umum persamaan pembezaan tertib n akan ditulis: (n) F, = 0 () Persamaan urutan ke (n =) akan berbentuk F(,) = 0 Persamaan yang serupa
PERSAMAAN BERBEZA Khabarovsk 01 AGENSI PERSEKUTUAN UNTUK PENDIDIKAN Institusi pendidikan bajet negeri pendidikan profesional tinggi "Negeri Pasifik
Kementerian Pendidikan dan Sains Persekutuan Rusia St. Petersburg Universiti Seni Bina dan Kejuruteraan Awam V B SMIRNOVA, L E MOROZOVA PERSAMAAN PEMBEZAAN BIASA Pendidikan
MATEMATIK, kelas Jawapan dan kriteria, April Pilihan/tugasan JAWAPAN B B B4 B B7 C 4 7 4 arccos 7 44.7 9 8 + n, n, 4 8 7 4,4,8 4 4, 4, 9, 4 (;) ( log ;) + n, 8 49 8.7 (4;) (; +), 8 9, 4 8 + 7
Keadaan masalah 1 Peringkat perbandaran Darjah 8 1. Dua nombor ditulis di papan tulis. Satu daripadanya dinaikkan sebanyak 6 kali, dan satu lagi dikurangkan untuk 2015, manakala jumlah nombor tidak berubah. Cari sekurang-kurangnya sepasang ini
Kamiran tak tentu Pengenalan Definisi Fungsi F() dipanggil antiterbitan untuk fungsi tertentu f() jika F() f(), atau, yang sama, df f d Fungsi ini f() boleh mempunyai antiderivatif yang berbeza,
Institut Fizik dan Teknologi Moscow Persamaan dan ketaksamaan tidak rasional Manual kaedah mengenai persiapan untuk Olimpik Disusun oleh: Parkevich Egor Vadimovich Moscow 04 Pengenalan Dalam kerja ini kita akan melihat
ASAS KALKULUS VEKTOR Vektor dipanggil ciri kuantitatif, yang mempunyai bukan sahaja nilai berangka, tetapi juga arah Kadangkala mereka mengatakan bahawa vektor ialah sistem Vektor segmen terarah
Persamaan eksponen. Kaedah penyelesaian. Dubova Maria Igorevna 7 78-57 Persamaan eksponen ialah persamaan yang mengandungi pembolehubah hanya dalam eksponen. Mari kita lihat beberapa jenis persamaan eksponen,
MAV(S)OU "TsO 1" Matematik gred 1 Trigonometri UJIAN 1, Jadual, ujian, ujian Cikgu Nemova N.M. Kelayakan pertama 15 tahun persekolahan Nota penerangan. Diberi bahan didaktik dimaksudkan
Kamiran antiterbitan dan tak tentu Konsep asas dan formula 1. Takrif kamiran antiterbitan dan tak tentu. Definisi. Fungsi F(x) dipanggil antiterbitan untuk fungsi f(x) pada selang
PELAJARAN AMALI Mengintegrasikan pecahan rasional Pecahan rasional ialah pecahan daripada bentuk P Q, di mana P dan Q ialah polinomial. Pecahan rasional dipanggil betul jika darjah polinomial P lebih rendah daripada darjah
I. V. Yakovlev Bahan mengenai matematik MthUs.ru Artikel itu ditulis dengan kerjasama A. G. Malkova Persamaan trigonometri termudah. Artikel sebelumnya ditumpukan kepada idea utama untuk menyelesaikan masalah trigonometri yang paling mudah
Topik Kamiran tak tentu Kaedah asas pengamiran Penyepaduan mengikut bahagian Biarkan u dan v menjadi dua fungsi boleh beza bagi hujah yang sama D(u v) udv vdu (77) Ambil daripada kedua-duanya.
Kementerian Pendidikan dan Sains Persekutuan Rusia Institut Fizik dan Teknologi Moscow (universiti negeri) Sekolah korespondensi fizik dan teknologi MATEMATIK Persamaan kuadratik Tugasan untuk gred 8
Masalah satu langkah dengan integer (formal) muka surat 1 09/06/2012 1) Selesaikan ketaksamaan: x 7 17. 2) Darab 612 dengan 100000. 3) Apakah perbezaan antara nombor 661 dan 752? 4) Bandingkan ungkapan: 54 6 dan 7.
KULIAH N Persamaan pembezaan tertib lebih tinggi, kaedah penyelesaian Masalah Cauchy Persamaan pembezaan linear tertib lebih tinggi Homogen persamaan linear Persamaan pembezaan tertib yang lebih tinggi,
Kaedah untuk menyelesaikan persamaan trigonometri
Pengenalan 2
Kaedah untuk menyelesaikan persamaan trigonometri 5
Algebra 5
Menyelesaikan persamaan menggunakan syarat kesamaan fungsi trigonometri dengan nama yang sama 7
Pemfaktoran 8
Pengurangan kepada persamaan homogen 10
Pengenalan sudut bantu 11
Tukar produk kepada jumlah 14
Penggantian sejagat 14
Kesimpulan 17
pengenalan
Sehingga gred kesepuluh, susunan tindakan banyak latihan yang membawa kepada matlamat, sebagai peraturan, ditakrifkan dengan jelas. Contohnya, persamaan dan ketaksamaan linear dan kuadratik, persamaan pecahan dan persamaan dikurangkan kepada kuadratik, dsb. Tanpa mengkaji secara terperinci prinsip menyelesaikan setiap contoh yang disebutkan, kami perhatikan perkara umum yang diperlukan untuk penyelesaian yang berjaya.
Dalam kebanyakan kes, anda perlu menetapkan jenis tugas tugasan itu, ingat urutan tindakan yang membawa kepada matlamat, dan lakukan tindakan ini. Jelas sekali, kejayaan atau kegagalan seseorang pelajar dalam menguasai teknik untuk menyelesaikan persamaan bergantung terutamanya pada sejauh mana dia dapat menentukan jenis persamaan dengan betul dan mengingati urutan semua peringkat penyelesaiannya. Sudah tentu, ini mengandaikan bahawa pelajar mempunyai kemahiran untuk melakukan transformasi identiti dan pengkomputeran.
Situasi yang sama sekali berbeza timbul apabila seorang pelajar sekolah menghadapi persamaan trigonometri. Lebih-lebih lagi, tidak sukar untuk menetapkan fakta bahawa persamaan itu adalah trigonometri. Kesukaran timbul apabila mencari susunan tindakan yang akan membawa kepada hasil positif. Dan di sini pelajar menghadapi dua masalah. Oleh penampilan persamaan sukar ditentukan jenisnya. Dan tanpa mengetahui jenisnya, hampir mustahil untuk dipilih formula yang diperlukan daripada beberapa dozen yang ada.
Untuk membantu pelajar mencari jalan yang betul dalam maze kompleks persamaan trigonometri, ia mula-mula diperkenalkan kepada persamaan yang, selepas memperkenalkan pembolehubah baru, dikurangkan kepada persamaan kuadratik. Kemudian mereka menyelesaikan persamaan homogen dan yang boleh dikurangkan kepada mereka. Segala-galanya berakhir, sebagai peraturan, dengan persamaan, untuk menyelesaikan yang anda perlukan untuk memfaktorkan sebelah kiri, kemudian menyamakan setiap faktor kepada sifar.
Menyedari bahawa sedozen setengah persamaan yang dibincangkan dalam pelajaran jelas tidak mencukupi untuk menetapkan pelajar dalam pelayaran bebas melalui "laut" trigonometrik, guru menambah beberapa lagi cadangannya sendiri.
Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri, anda perlu mencuba:
Bawa semua fungsi yang disertakan dalam persamaan kepada "sudut yang sama";
Kurangkan persamaan kepada "fungsi yang serupa";
Faktorkan bahagian kiri persamaan, dsb.
Tetapi walaupun mengetahui jenis asas persamaan trigonometri dan beberapa prinsip untuk mencari penyelesaian mereka, ramai pelajar masih mendapati diri mereka buntu dengan setiap persamaan yang berbeza sedikit daripada yang diselesaikan sebelum ini. Masih tidak jelas apa yang perlu diusahakan apabila mempunyai persamaan ini atau itu, mengapa dalam satu kes perlu menggunakan formula sudut berganda, dalam satu lagi - separuh, dan dalam ketiga - formula penambahan, dsb.
Definisi 1. Persamaan trigonometri ialah persamaan di mana yang tidak diketahui terkandung di bawah tanda fungsi trigonometri.
Definisi 2. Mereka mengatakan bahawa dalam persamaan trigonometri sudut yang sama, jika semua fungsi trigonometri yang disertakan di dalamnya mempunyai hujah yang sama. Persamaan trigonometri dikatakan mempunyai fungsi yang sama jika ia mengandungi hanya satu daripada fungsi trigonometri.
Definisi 3. Kuasa monomial yang mengandungi fungsi trigonometri ialah jumlah eksponen bagi kuasa fungsi trigonometri yang termasuk di dalamnya.
Definisi 4. Suatu persamaan dipanggil homogen jika semua monomial yang termasuk di dalamnya mempunyai darjah yang sama. Darjah ini dipanggil susunan persamaan.
Definisi 5. Persamaan trigonometri yang mengandungi hanya fungsi dosa Dan cos, dipanggil homogen jika semua monomial berkenaan dengan fungsi trigonometri mempunyai ijazah yang sama, dan fungsi trigonometri itu sendiri ada sudut yang sama dan bilangan monomial setiap 1 lebih banyak pesanan persamaan
Kaedah untuk menyelesaikan persamaan trigonometri.
Menyelesaikan persamaan trigonometri terdiri daripada dua peringkat: mengubah persamaan untuk mendapatkan bentuk termudah dan menyelesaikan persamaan trigonometri termudah yang terhasil. Terdapat tujuh kaedah asas untuk menyelesaikan persamaan trigonometri.
saya. Kaedah algebra. Kaedah ini terkenal dari algebra. (Kaedah penggantian dan penggantian berubah).
Selesaikan persamaan.
1)
Mari kita perkenalkan notasi x=2 dosa3 t, kita dapat
Menyelesaikan persamaan ini, kita dapat: 
atau 
mereka. boleh ditulis
Apabila merekodkan penyelesaian yang terhasil kerana kehadiran tanda-tanda 
ijazah 
tiada gunanya menulisnya.
Jawapan: 
Mari kita nyatakan 
Kami mendapat persamaan kuadratik 
. Akarnya adalah nombor 
Dan 
. Oleh itu, persamaan ini dikurangkan kepada persamaan trigonometri termudah 
Dan 
. Menyelesaikan mereka, kita dapati itu 
atau 
.
Jawapan: 
; 
.
Mari kita nyatakan 
tidak memenuhi syarat 
Bermakna 
Jawapan: 
Mari kita ubah bahagian kiri persamaan:
Oleh itu, persamaan awal ini boleh ditulis sebagai:
, iaitu
Setelah ditetapkan 
, kita dapat 
Menyelesaikan persamaan kuadratik ini kita ada:
tidak memenuhi syarat 
Kami menulis penyelesaian kepada persamaan asal:
Jawapan: 
Penggantian 
mengurangkan persamaan ini kepada persamaan kuadratik 
. Akarnya adalah nombor 
Dan 
. Kerana 
, Itu persamaan yang diberikan tidak mempunyai akar.
Jawapan: tiada akar.
II. Menyelesaikan persamaan menggunakan syarat kesamaan fungsi trigonometri dengan nama yang sama.
A) 
, Jika
b) 
, Jika
V) 
, Jika 
Dengan menggunakan syarat ini, pertimbangkan untuk menyelesaikan persamaan berikut:
6) 
Menggunakan apa yang dikatakan dalam bahagian a) kita dapati bahawa persamaan mempunyai penyelesaian jika dan hanya jika 
.
Menyelesaikan persamaan ini, kita dapati 
.
Kami mempunyai dua kumpulan penyelesaian: 
.
7) Selesaikan persamaan: 
.
Dengan menggunakan keadaan item b) kita simpulkan bahawa 
.
Menyelesaikan persamaan kuadratik ini, kita dapat:
.
8) Selesaikan persamaan 
.
daripada persamaan yang diberikan kami membuat kesimpulan bahawa . Menyelesaikan persamaan kuadratik ini, kita dapati itu 
.
III. Pemfaktoran.
Kami menganggap kaedah ini dengan contoh.
9) Selesaikan persamaan 
.
Penyelesaian. Mari kita alihkan semua sebutan persamaan ke kiri: .
Mari tukar dan memfaktorkan ungkapan di sebelah kiri persamaan: 
.
.
.
1)
2) 
Kerana 
Dan 
tidak menerima nilai sifar
pada masa yang sama, kemudian kita bahagikan kedua-dua bahagian
persamaan untuk 
, 
Jawapan: 
10) Selesaikan persamaan:
Penyelesaian.
atau 
Jawapan: 
11) Selesaikan persamaan
Penyelesaian:
1)
2)
3)
, 
Jawapan: 
IV. Pengurangan kepada persamaan homogen.
Untuk membuat keputusan persamaan homogen perlu:
Gerakkan semua ahlinya ke sebelah kiri;
Keluarkan semuanya faktor biasa di luar kurungan;
Samakan semua faktor dan kurungan kepada sifar;
Tanda kurung sama dengan sifar memberikan persamaan homogen darjah yang lebih rendah, yang harus dibahagikan dengan 
(atau 
) dalam ijazah senior;
Selesaikan hasilnya persamaan algebra secara relatifnya 
.
Mari lihat contoh:
12) Selesaikan persamaan:
Penyelesaian.
Mari bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan 
, 
Memperkenalkan sebutan 
, nama
punca persamaan ini: 
oleh itu 1) 
2) 
Jawapan: 
13) Selesaikan persamaan:
Penyelesaian. Dengan menggunakan rumus sudut berganda dan identiti trigonometri asas, kami mengurangkan persamaan ini kepada separuh hujah:
Selepas mengurangkan istilah yang sama, kami mempunyai:
Membahagikan persamaan terakhir homogen dengan 
, kita dapat
Saya akan menunjukkan 
, kita mendapat persamaan kuadratik 
, yang puncanya ialah nombor 
Justeru 
Ungkapan 
pergi ke sifar pada 
, iaitu di 
, 
.
Penyelesaian kepada persamaan yang kami perolehi tidak termasuk nombor ini.
Jawapan: 
, .
V. Pengenalan sudut bantu.
Pertimbangkan persamaan bentuk
di mana a, b, c- pekali, x- tidak diketahui.
Mari bahagikan kedua-dua belah persamaan ini dengan 
Sekarang pekali persamaan mempunyai sifat sinus dan kosinus, iaitu: modulus setiap daripada mereka tidak melebihi satu, dan jumlah kuasa duanya adalah sama dengan 1.
Kemudian kita boleh menetapkan mereka dengan sewajarnya 
(Di sini 
- sudut bantu) dan persamaan kami dalam bentuk: .
Kemudian 
Dan keputusannya
Ambil perhatian bahawa notasi yang diperkenalkan boleh ditukar ganti.
14) Selesaikan persamaan: 
Penyelesaian. Di sini 
, jadi kita bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan 
Jawapan: 
15) Selesaikan persamaan
Penyelesaian. Kerana 
, maka persamaan ini adalah bersamaan dengan persamaan
Kerana 
, maka wujudlah sudut sedemikian 
, 
(mereka. 
).
Kami ada 
Kerana 
, maka akhirnya kita dapat:
.
Perhatikan bahawa persamaan bentuk mempunyai penyelesaian jika dan hanya jika 
16) Selesaikan persamaan:
Untuk menyelesaikan persamaan ini, kami mengumpulkan fungsi trigonometri dengan hujah yang sama
Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan dua
Mari kita ubah jumlah fungsi trigonometri kepada produk:
Jawapan: 
VI. Menukar produk kepada jumlah.
Formula yang sepadan digunakan di sini.
17) Selesaikan persamaan:
Penyelesaian. Mari kita ubah bahagian kiri menjadi jumlah:
VII.Penggantian sejagat.
, 
formula ini adalah benar untuk semua orang 
Penggantian 
dipanggil universal.
18) Selesaikan persamaan: 
Penyelesaian: Gantikan dan 
kepada ekspresi mereka melalui 
dan menandakan 
.
Kami dapat persamaan rasional 
, yang bertukar kepada segi empat sama 
.
Punca-punca persamaan ini ialah nombor 
.
Oleh itu, masalah dikurangkan kepada menyelesaikan dua persamaan 
.
Kami dapati itu 
.
Lihat nilai 
tidak memenuhi persamaan asal, yang disemak dengan menyemak - penggantian nilai yang diberikan t ke dalam persamaan asal.
Jawapan: 
.
Komen. Persamaan 18 boleh diselesaikan dengan cara lain.
Mari bahagikan kedua-dua belah persamaan ini dengan 5 (iaitu dengan 
): 
.
Kerana 
, maka terdapat nombor sedemikian 
, Apa 
Dan 
. Oleh itu persamaan mengambil bentuk: 
atau 
. Dari sini kita dapati itu 
di mana 
.
19) Selesaikan persamaan 
.
Penyelesaian. Sejak fungsi 
Dan 
mempunyai nilai tertinggi, sama dengan 1, maka jumlahnya ialah 2 jika 
Dan 
, serentak, iaitu 
.
Jawapan: 
.
Apabila menyelesaikan persamaan ini, sempadan fungsi dan telah digunakan.
Kesimpulan.
Apabila mengerjakan topik "Menyelesaikan persamaan trigonometri," adalah berguna untuk setiap guru mengikuti cadangan berikut:
Sistematisasi kaedah untuk menyelesaikan persamaan trigonometri.
Pilih sendiri langkah-langkah untuk melakukan analisis persamaan dan tanda-tanda kesesuaian menggunakan kaedah penyelesaian tertentu.
Fikirkan cara untuk memantau sendiri aktiviti anda dalam melaksanakan kaedah tersebut.
Belajar untuk mengarang persamaan "anda sendiri" untuk setiap kaedah yang sedang dikaji.
Lampiran No. 1
Selesaikan persamaan homogen atau boleh dikurangkan kepada persamaan homogen.
1. | Rep. |
Rep. |
|
Rep. |
|
5. | Rep. |
Rep. |
|
7. | Rep. |
Rep. |
|
