Contoh diberikan tentang pengiraan terbitan menggunakan formula untuk terbitan bagi fungsi kompleks.
Di sini kami memberikan contoh pengiraan derivatif bagi fungsi berikut:
;
;
;
;
.
Jika fungsi boleh diwakili sebagai fungsi kompleks dalam bentuk berikut:
,
maka terbitannya ditentukan oleh formula:
.
Dalam contoh di bawah, kami akan menulis formula ini seperti berikut:
.
mana .
Di sini, subskrip atau , terletak di bawah tanda terbitan, menandakan pembolehubah yang mana pembezaan dilakukan.
Biasanya, dalam jadual derivatif, derivatif fungsi daripada pembolehubah x diberikan. Walau bagaimanapun, x ialah parameter formal. Pembolehubah x boleh digantikan oleh mana-mana pembolehubah lain. Oleh itu, apabila membezakan fungsi daripada pembolehubah, kita hanya menukar, dalam jadual derivatif, pembolehubah x kepada pembolehubah u.
Contoh mudah
Contoh 1
Cari terbitan bagi fungsi kompleks
.
Penyelesaian
Mari kita tulis fungsi yang diberikan dalam bentuk yang setara:
.
Dalam jadual derivatif kita dapati:
;
.
Menurut formula untuk derivatif fungsi kompleks, kita mempunyai:
.
Di sini.
Jawab
Contoh 2
Cari terbitan
.
Penyelesaian
Kami mengambil pemalar 5 daripada tanda terbitan dan daripada jadual terbitan kami dapati:
.
.
Di sini.
Jawab
Contoh 3
Cari terbitan
.
Penyelesaian
Kami mengeluarkan pemalar -1
untuk tanda derivatif dan daripada jadual derivatif kita dapati:
;
Daripada jadual derivatif kita dapati:
.
Kami menggunakan formula untuk terbitan fungsi kompleks:
.
Di sini.
Jawab
Contoh yang lebih kompleks
Dalam contoh yang lebih kompleks, kami menggunakan peraturan untuk membezakan fungsi kompleks beberapa kali. Dalam kes ini, kita mengira derivatif dari hujung. Iaitu, kita memecahkan fungsi kepada bahagian komponennya dan mencari terbitan bahagian paling mudah yang digunakan jadual derivatif. Kami juga menggunakan peraturan untuk membezakan jumlah, produk dan pecahan. Kemudian kita membuat penggantian dan menggunakan formula untuk terbitan fungsi kompleks.
Contoh 4
Cari terbitan
.
Penyelesaian
Mari pilih bahagian termudah formula dan cari terbitannya. .
.
Di sini kami telah menggunakan notasi
.
Kami mencari terbitan bahagian seterusnya bagi fungsi asal menggunakan keputusan yang diperolehi. Kami menggunakan peraturan untuk membezakan jumlah:
.
Sekali lagi kita menggunakan peraturan pembezaan fungsi kompleks.
.
Di sini.
Jawab
Contoh 5
Cari terbitan bagi fungsi itu
.
Penyelesaian
Mari pilih bahagian termudah formula dan cari terbitannya daripada jadual terbitan. .
Kami menggunakan peraturan pembezaan fungsi kompleks.
.
Di sini
.
Dan teorem pada terbitan fungsi kompleks, rumusannya adalah seperti berikut:
Biarkan 1) fungsi $u=\varphi (x)$ mempunyai pada satu ketika $x_0$ terbitan $u_(x)"=\varphi"(x_0)$, 2) fungsi $y=f(u)$ mempunyai pada titik yang sepadan $u_0=\varphi (x_0)$ terbitan $y_(u)"=f"(u)$. Kemudian fungsi kompleks $y=f\left(\varphi (x) \right)$ pada titik yang disebutkan juga akan mempunyai derivatif yang sama dengan hasil darab derivatif bagi fungsi $f(u)$ dan $\varphi ( x)$:
$$ \kiri(f(\varphi (x))\kanan)"=f_(u)"\kiri(\varphi (x_0) \kanan)\cdot \varphi"(x_0) $$
atau, dalam tatatanda yang lebih pendek: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.
Dalam contoh dalam bahagian ini, semua fungsi mempunyai bentuk $y=f(x)$ (iaitu, kami menganggap hanya fungsi satu pembolehubah $x$). Sehubungan itu, dalam semua contoh derivatif $y"$ diambil berkenaan dengan pembolehubah $x$. Untuk menekankan bahawa derivatif diambil berkenaan dengan pembolehubah $x$, $y"_x$ selalunya ditulis dan bukannya $y "$.
Contoh No. 1, No. 2 dan No. 3 menggariskan proses terperinci untuk mencari terbitan fungsi kompleks. Contoh No. 4 bertujuan untuk pemahaman yang lebih lengkap tentang jadual terbitan dan masuk akal untuk membiasakan diri dengannya.
Adalah dinasihatkan, selepas mengkaji bahan dalam contoh No. 1-3, untuk meneruskan ke menyelesaikan secara bebas contoh No. 5, No. 6 dan No. 7. Contoh #5, #6 dan #7 mengandungi penyelesaian ringkas supaya pembaca boleh menyemak ketepatan keputusannya.
Contoh No 1
Cari terbitan bagi fungsi $y=e^(\cos x)$.
Kita perlu mencari terbitan bagi fungsi kompleks $y"$. Oleh kerana $y=e^(\cos x)$, maka $y"=\left(e^(\cos x)\kanan)"$. Kepada cari derivatif $ \left(e^(\cos x)\right)"$ kita menggunakan formula No. 6 daripada jadual terbitan. Untuk menggunakan formula No. 6, kita perlu mengambil kira bahawa dalam kes kita $u=\cos x$. Penyelesaian selanjutnya terdiri daripada hanya menggantikan ungkapan $\cos x$ dan bukannya $u$ ke dalam formula No. 6:
$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$
Sekarang kita perlu mencari nilai ungkapan $(\cos x)"$. Kita beralih semula ke jadual derivatif, memilih formula No. 10 daripadanya. Menggantikan $u=x$ ke dalam formula No. 10, kita ada : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$ Sekarang kita meneruskan kesamaan (1.1), menambahnya dengan hasil yang ditemui:
$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \tag (1.2) $$
Oleh kerana $x"=1$, kami meneruskan kesamaan (1.2):
$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$
Jadi, daripada kesamaan (1.3) kita ada: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$. Sememangnya, penjelasan dan kesamaan perantaraan biasanya dilangkau, menuliskan dapatan terbitan dalam satu baris, seperti dalam kesamaan (1.3), terbitan bagi fungsi kompleks telah ditemui, yang tinggal hanyalah menulis jawapannya.
Jawab: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.
Contoh No. 2
Cari terbitan bagi fungsi $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$.
Kita perlu mengira derivatif $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Sebagai permulaan, kami perhatikan bahawa pemalar (iaitu nombor 9) boleh dikeluarkan daripada tanda terbitan:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \kanan)" \tag (2.1) $$
Sekarang mari kita beralih kepada ungkapan $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Untuk memilih formula yang dikehendaki daripada jadual terbitan lebih mudah, saya akan membentangkan ungkapan yang dipersoalkan dalam bentuk ini: $\left(\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. Kini jelas bahawa adalah perlu menggunakan formula No. 2 , iaitu $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$ Kami menggantikan $u=\arctg(. 4\cdot \) ke dalam formula ini ln x)$ dan $\alpha=12$:
Menambah kesaksamaan (2.1) dengan hasil yang diperoleh, kami mempunyai:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \kanan)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \tag (2.2) $$
Dalam keadaan ini, kesilapan sering dilakukan apabila penyelesai pada langkah pertama memilih formula $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ dan bukannya formula $\left(u^\ alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Maksudnya ialah terbitan fungsi luaran mesti didahulukan. Untuk memahami fungsi mana yang akan berada di luar ungkapan $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$, bayangkan anda sedang mengira nilai ungkapan $\arctg^(12)(4\cdot 5^ x)$ pada beberapa nilai $x$. Mula-mula anda akan mengira nilai $5^x$, kemudian darabkan hasilnya dengan 4, mendapat $4\cdot 5^x$. Sekarang kita ambil arctangent daripada hasil ini, memperoleh $\arctg(4\cdot 5^x)$. Kemudian kita naikkan nombor yang terhasil kepada kuasa kedua belas, mendapat $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$. Tindakan terakhir, i.e. meningkatkan kepada kuasa 12 akan menjadi fungsi luaran. Dan dari sinilah kita mesti mula mencari derivatif, yang dilakukan dalam kesamarataan (2.2).
Sekarang kita perlu mencari $(\arctg(4\cdot \ln x))"$. Kami menggunakan formula No. 19 jadual terbitan, menggantikan $u=4\cdot \ln x$ ke dalamnya:
$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$
Mari ringkaskan ungkapan yang terhasil sedikit, dengan mengambil kira $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$.
$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$
Kesaksamaan (2.2) kini akan menjadi:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \kanan)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" \tag (2.3) $$
Ia kekal untuk mencari $(4\cdot \ln x)"$. Mari kita ambil pemalar (iaitu 4) daripada tanda terbitan: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x)" $. Untuk Untuk mencari $(\ln x)"$ kami menggunakan formula No. 8, menggantikan $u=x$ ke dalamnya: $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x "$. Oleh kerana $x"=1$, maka $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x ) $. Menggantikan hasil yang diperoleh ke dalam formula (2.3), kami memperoleh:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \kanan)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)).
Biar saya ingatkan anda bahawa terbitan fungsi kompleks paling kerap ditemui dalam satu baris, seperti yang ditulis dalam kesamaan terakhir. Oleh itu, apabila menyediakan pengiraan standard atau kerja kawalan, tidak perlu sama sekali untuk menerangkan penyelesaian secara terperinci.
Jawab: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.
Contoh No. 3
Cari $y"$ bagi fungsi $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$.
Mula-mula, mari kita ubah sedikit fungsi $y$, menyatakan radikal (akar) sebagai kuasa: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9 ^x) \kanan)^(\frac(3)(7))$. Sekarang mari kita mula mencari derivatif. Oleh kerana $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$, maka:
$$ y"=\kiri(\kiri(\sin(5\cdot 9^x)\kanan)^(\frac(3)(7))\kanan)" \tag (3.1) $$
Kami menggunakan formula No. 2 daripada jadual terbitan, menggantikan $u=\sin(5\cdot 9^x)$ dan $\alpha=\frac(3)(7)$ ke dalamnya:
$$ \kiri(\kiri(\sin(5\cdot 9^x)\kanan)^(\frac(3)(7)\kanan)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\kanan)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \kiri(\sin(5\cdot 9^x)\kanan)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$
Mari kita meneruskan kesamaan (3.1) menggunakan hasil yang diperoleh:
$$ y"=\kiri(\kiri(\sin(5\cdot 9^x)\kanan)^(\frac(3)(7))\kanan)"=\frac(3)(7)\cdot \kiri(\sin(5\cdot 9^x)\kanan)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$
Sekarang kita perlu mencari $(\sin(5\cdot 9^x))"$. Untuk ini kita menggunakan formula No. 9 daripada jadual derivatif, menggantikan $u=5\cdot 9^x$ ke dalamnya:
$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$
Setelah menambah kesaksamaan (3.2) dengan hasil yang diperoleh, kami mempunyai:
$$ y"=\kiri(\kiri(\sin(5\cdot 9^x)\kanan)^(\frac(3)(7))\kanan)"=\frac(3)(7)\cdot \kiri(\sin(5\cdot 9^x)\kanan)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\kanan)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)" \tag (3.3) $$
Ia kekal untuk mencari $(5\cdot 9^x)"$. Mula-mula, mari kita ambil pemalar (nombor $5$) di luar tanda terbitan, iaitu $(5\cdot 9^x)"=5\cdot (9 ^x) "$. Untuk mencari derivatif $(9^x)"$, gunakan formula No. 5 jadual derivatif, menggantikan $a=9$ dan $u=x$ ke dalamnya: $(9^x )"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. Oleh kerana $x"=1$, maka $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. Sekarang kita boleh meneruskan kesamaan (3.3):
$$ y"=\kiri(\kiri(\sin(5\cdot 9^x)\kanan)^(\frac(3)(7))\kanan)"=\frac(3)(7)\cdot \kiri(\sin(5\cdot 9^x)\kanan)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\kanan)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\kanan) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$
Kita boleh kembali dari kuasa kepada radikal (iaitu, akar), menulis $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ dalam bentuk $\ frac(1)(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\\ cdot 9^x)))$. Kemudian derivatif akan ditulis dalam bentuk ini:
$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\kanan)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))).
Jawab: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\\ cdot 9^x)))$.
Contoh No. 4
Tunjukkan bahawa formula No. 3 dan No. 4 dalam jadual terbitan ialah kes khas formula No. 2 dalam jadual ini.
Formula No. 2 jadual terbitan mengandungi terbitan bagi fungsi $u^\alpha$. Menggantikan $\alpha=-1$ ke dalam formula No. 2, kita dapat:
$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$
Oleh kerana $u^(-1)=\frac(1)(u)$ dan $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$, maka kesamaan (4.1) boleh ditulis semula seperti berikut: $ \left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. Ini ialah formula No. 3 jadual derivatif.
Mari kita beralih semula kepada formula No. 2 jadual terbitan. Mari kita gantikan $\alpha=\frac(1)(2)$ ke dalamnya:
$$\kiri(u^(\frac(1)(2))\kanan)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$
Oleh kerana $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ dan $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1 )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, maka kesamaan (4.2) boleh ditulis semula seperti berikut:
$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$
Kesamaan yang terhasil $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ ialah formula No. 4 jadual derivatif. Seperti yang anda lihat, formula No. 3 dan No. 4 jadual terbitan diperoleh daripada formula No. 2 dengan menggantikan nilai $\alpha$ yang sepadan.