Penyebut biasa terendah digunakan untuk memudahkan persamaan yang diberikan. Kaedah ini digunakan apabila anda tidak boleh menulis persamaan yang diberikan dengan satu ungkapan rasional pada setiap sisi persamaan (dan gunakan kaedah pendaraban silang silang). Kaedah ini digunakan apabila anda diberi persamaan rasional dengan 3 atau lebih pecahan (dalam kes dua pecahan, lebih baik menggunakan pendaraban silang silang).
Cari penyebut sepunya terendah bagi pecahan (atau gandaan sepunya terkecil). NOZ ialah nombor terkecil, yang boleh dibahagi sama rata oleh setiap penyebut.
- Kadangkala NPD ialah nombor yang jelas. Sebagai contoh, jika diberi persamaan: x/3 + 1/2 = (3x +1)/6, maka jelaslah bahawa gandaan sepunya terkecil bagi nombor 3, 2 dan 6 ialah 6.
- Jika NCD tidak jelas, tuliskan gandaan penyebut terbesar dan cari di antaranya satu yang akan menjadi gandaan penyebut yang lain. Selalunya NOD boleh didapati dengan hanya mendarab dua penyebut. Sebagai contoh, jika persamaan diberi x/8 + 2/6 = (x - 3)/9, maka NOS = 8*9 = 72.
- Jika satu atau lebih penyebut mengandungi pembolehubah, prosesnya menjadi agak rumit (tetapi tidak mustahil). Dalam kes ini, NOC ialah ungkapan (mengandungi pembolehubah) yang dibahagikan dengan setiap penyebut. Sebagai contoh, dalam persamaan 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1), kerana ungkapan ini dibahagikan dengan setiap penyebut: 3x(x-1)/(x -1 ) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).
Darab kedua-dua pengangka dan penyebut setiap pecahan dengan nombor yang sama dengan hasil pembahagian NOC dengan penyebut yang sepadan bagi setiap pecahan. Memandangkan anda sedang mendarab kedua-dua pengangka dan penyebut dengan nombor yang sama, anda secara berkesan mendarab pecahan dengan 1 (contohnya, 2/2 = 1 atau 3/3 = 1).
- Jadi dalam contoh kita, darab x/3 dengan 2/2 untuk mendapatkan 2x/6, dan 1/2 darab dengan 3/3 untuk mendapatkan 3/6 (pecahan 3x +1/6 tidak perlu didarab kerana ia adalah penyebut ialah 6).
- Teruskan sama apabila pembolehubah berada dalam penyebut. Dalam contoh kedua kita, NOZ = 3x(x-1), jadi darab 5/(x-1) dengan (3x)/(3x) untuk mendapatkan 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x didarab dengan 3(x-1)/3(x-1) dan anda mendapat 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) didarab dengan (x-1)/(x-1) dan anda mendapat 2(x-1)/3x(x-1).
Cari x. Sekarang anda telah mengurangkan pecahan kepada penyebut biasa, anda boleh menyingkirkan penyebut. Untuk melakukan ini, darabkan setiap sisi persamaan dengan penyebut sepunya. Kemudian selesaikan persamaan yang terhasil, iaitu, cari “x”. Untuk melakukan ini, asingkan pembolehubah pada satu sisi persamaan.
- Dalam contoh kami: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Anda boleh menambah 2 pecahan dengan penyebut yang sama, jadi tulis persamaan sebagai: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 6 dan singkirkan penyebutnya: 2x+3 = 3x +1. Selesaikan dan dapatkan x = 2.
- Dalam contoh kedua kami (dengan pembolehubah dalam penyebut), persamaan kelihatan seperti (selepas pengurangan kepada penyebut sepunya): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x -1) + 2 (x-1)/3x(x-1). Dengan mendarab kedua-dua belah persamaan dengan N3, anda menyingkirkan penyebut dan mendapatkan: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1), atau 15x = 3x - 3 + 2x -2, atau 15x = x - 5 Selesaikan dan dapatkan: x = -5/14.
Penyelesaian persamaan rasional pecahan
Persamaan rasional adalah persamaan di mana kedua-dua belah kiri dan kanan berada ungkapan rasional.
(Ingat: ungkapan rasional ialah integer dan ungkapan pecahan tanpa radikal, melibatkan operasi tambah, tolak, darab atau bahagi - contohnya: 6x; (m – n)2; x/3y, dsb.)
Persamaan rasional pecahan biasanya dikurangkan kepada bentuk:
di mana P(x) Dan Q(x) ialah polinomial.
Untuk menyelesaikan persamaan tersebut, darabkan kedua-dua belah persamaan dengan Q(x), yang boleh membawa kepada kemunculan punca luar. Oleh itu, apabila menyelesaikan persamaan rasional pecahan, adalah perlu untuk menyemak punca yang ditemui.
Persamaan rasional dipanggil keseluruhan, atau algebra, jika ia tidak dibahagikan dengan ungkapan yang mengandungi pembolehubah.
Contoh persamaan rasional keseluruhan:
5x – 10 = 3(10 – x)
3x
- = 2x – 10
4
Jika dalam persamaan rasional terdapat pembahagian dengan ungkapan yang mengandungi pembolehubah (x), maka persamaan itu dipanggil rasional pecahan.
Contoh persamaan rasional pecahan:
15
x + - = 5x – 17
x
Persamaan rasional pecahan biasanya diselesaikan dengan cara berikut:
1) cari penyebut sepunya bagi pecahan dan darab kedua-dua belah persamaan dengannya;
2) selesaikan persamaan keseluruhan yang terhasil;
3) kecualikan daripada akarnya yang mengurangkan penyebut sepunya pecahan kepada sifar.
Contoh penyelesaian integer dan persamaan rasional pecahan.
Contoh 1. Mari kita selesaikan keseluruhan persamaan
x – 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6
Penyelesaian:
Mencari penyebut biasa terendah. Ini ialah 6. Bahagi 6 dengan penyebut dan darab hasil yang terhasil dengan pengangka setiap pecahan. Kami memperoleh persamaan yang setara dengan ini:
3(x – 1) + 4x 5x
------ = --
6 6
Sebab di sebelah kiri dan kanan penyebut yang sama, ia boleh ditinggalkan. Kemudian kita mendapat persamaan yang lebih mudah:
3(x – 1) + 4x = 5x.
Kami menyelesaikannya dengan membuka kurungan dan menggabungkan istilah yang serupa:
3x – 3 + 4x = 5x
3x + 4x – 5x = 3
Contoh diselesaikan.
Contoh 2. Selesaikan persamaan rasional pecahan
x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x – 5 x x(x – 5)
Mencari penyebut biasa. Ini ialah x(x – 5). Jadi:
x 2 – 3x x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x – 5) x(x – 5) x(x – 5)
Sekarang kita menyingkirkan penyebut sekali lagi, kerana ia adalah sama untuk semua ungkapan. Kami mengurangkan istilah yang sama, menyamakan persamaan dengan sifar dan mendapat persamaan kuadratik:
x 2 – 3x + x – 5 = x + 5
x 2 – 3x + x – 5 – x – 5 = 0
x 2 – 3x – 10 = 0.
Setelah menyelesaikan persamaan kuadratik, kita dapati puncanya: –2 dan 5.
Mari kita semak sama ada nombor ini adalah punca kepada persamaan asal.
Pada x = –2, penyebut sepunya x(x – 5) tidak lenyap. Ini bermakna –2 ialah punca bagi persamaan asal.
Pada x = 5, penyebut sepunya menjadi sifar, dan dua daripada tiga ungkapan menjadi tidak bermakna. Ini bermakna nombor 5 bukan punca persamaan asal.
Jawapan: x = –2
Lagi contoh
Contoh 1.
x 1 =6, x 2 = - 2.2.
Jawapan: -2,2;6.
Contoh 2.
\(\bullet\) Persamaan rasional ialah persamaan yang diwakili dalam bentuk \[\dfrac(P(x))(Q(x))=0\] dengan \(P(x), \Q(x)\ ) - polinomial (jumlah "X" dalam pelbagai kuasa, didarab dengan pelbagai nombor).
Ungkapan di sebelah kiri persamaan dipanggil ungkapan rasional.
ODZ (wilayah nilai yang boleh diterima) bagi persamaan rasional ialah semua nilai \(x\) yang penyebutnya TIDAK hilang, iaitu, \(Q(x)\ne 0\) .
\(\bullet\) Contohnya, persamaan \[\dfrac(x+2)(x-3)=0,\qquad \dfrac 2(x^2-1)=3, \qquad x^5-3x=2\] adalah persamaan rasional.
Yang pertama Persamaan ODZ– ini semua \(x\) supaya \(x\ne 3\) (tulis \(x\in (-\infty;3)\cup(3;+\infty)\)); dalam persamaan kedua – ini semua adalah \(x\) supaya \(x\ne -1; x\ne 1\) (tulis \(x\in (-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty)\)); dan dalam persamaan ketiga tiada sekatan pada ODZ, iaitu, ODZ adalah semua \(x\) (mereka menulis \(x\in\mathbb(R)\)). \(\bullet\) Teorem:
1) Hasil darab dua faktor adalah sama dengan sifar jika dan hanya jika salah satu daripadanya sama dengan sifar, dan yang lain tidak kehilangan makna, oleh itu, persamaan \(f(x)\cdot g(x)=0\) adalah bersamaan dengan sistem \[\begin(cases) \left[ \begin(berkumpul)\begin(aligned) &f(x)=0\\ &g(x)=0 \end(aligned) \end(berkumpul) \right.\\ \ teks(persamaan ODZ)\tamat(kes)\] 2) Pecahan adalah sama dengan sifar jika dan hanya jika pengangkanya sama dengan sifar dan penyebutnya tidak sama dengan sifar, oleh itu, persamaan \(\dfrac(f(x))(g(x))=0\ ) adalah bersamaan dengan sistem persamaan \[\begin(cases) f(x)=0\\ g(x)\ne 0 \end(cases)\]\(\bullet\) Mari kita lihat beberapa contoh.
1) Selesaikan persamaan \(x+1=\dfrac 2x\) . Mari kita cari ODZ bagi persamaan ini - ini ialah \(x\ne 0\) (kerana \(x\) berada dalam penyebut).
Ini bermakna ODZ boleh ditulis seperti berikut: .
Mari kita pindahkan semua istilah ke dalam satu bahagian dan bawakannya ke penyebut yang sama: \[\dfrac((x+1)\cdot x)x-\dfrac 2x=0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac(x^2+x-2)x=0\quad\Leftrightarrow\quad \begin( kes) x^2+x-2=0\\x\ne 0\end(cases)\] Penyelesaian kepada persamaan pertama sistem ialah \(x=-2, x=1\) . Kami melihat bahawa kedua-dua akar adalah bukan sifar. Oleh itu, jawapannya ialah: \(x\in \(-2;1\)\) .
2) Selesaikan persamaan \(\kiri(\dfrac4x - 2\kanan)\cdot (x^2-x)=0\). Mari cari ODZ bagi persamaan ini. Kami melihat bahawa satu-satunya nilai \(x\) yang bahagian kirinya tidak masuk akal ialah \(x=0\) . Jadi, ODZ boleh ditulis seperti ini: \(x\in (-\infty;0)\cup(0;+\infty)\).
Oleh itu, persamaan ini bersamaan dengan sistem:
\[\begin(cases) \left[ \begin(berkumpul)\begin(aligned) &\dfrac 4x-2=0\\ &x^2-x=0 \end(aligned) \end(berkumpul) \right. \\ x\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(berkumpul)\begin(aligned) &\dfrac 4x=2\\ &x(x-1)= 0 \tamat(diselaraskan) \tamat(berkumpul) \kanan.\\ x\ne 0 \end(huruf) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(berkumpul)\mula(aligned) &x =2\\ &x=1\\ &x=0 \end(aligned) \end(berkumpul) \kanan.\\ x\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin(berkumpul) \mulakan(diselaraskan) &x=2\\ &x=1 \tamat(diselaraskan) \tamat(berkumpul) \kanan.\] Sesungguhnya, walaupun fakta bahawa \(x=0\) ialah punca faktor kedua, jika anda menggantikan \(x=0\) ke dalam persamaan asal, maka ia tidak akan masuk akal, kerana ungkapan \(\dfrac 40\) tidak ditakrifkan.
Oleh itu, penyelesaian kepada persamaan ini ialah \(x\in \(1;2\)\) .
3) Selesaikan persamaan \[\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1)\] Dalam persamaan kita \(4x^2-1\ne 0\) , dari mana \((2x-1)(2x+1)\ne 0\) , iaitu, \(x\ne -\frac12; \frac12 \) .
Mari kita alihkan semua istilah ke sebelah kiri dan bawanya kepada penyebut biasa:
\(\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1) \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac(x^2+4x- 3+x+x^2)(4x^2-1)=0\quad \Anak panah kiri \quad \dfrac(2x^2+5x-3)(4x^2-1)=0 \quad \Anak panah kiri\)
\(\Anak panah kiri \quad \begin(cases) 2x^2+5x-3=0\\ 4x^2-1\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) (2x-1 )(x+3)=0\\ (2x-1)(2x+1)\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(berkumpul) \begin( sejajar) &x=\dfrac12\\ &x=-3 \end(aligned)\end(berkumpul) \kanan.\\ x\ne \dfrac 12\\ x\ne -\dfrac 12 \end(cases) \quad \ Anak panah kiri \quad x=-3\)
Jawapan: \(x\in \(-3\)\) .
Komen. Jika jawapan terdiri daripada set nombor terhingga, maka ia boleh ditulis dipisahkan dengan koma bernoktah dalam kurungan kerinting, seperti yang ditunjukkan dalam contoh sebelumnya.
Masalah yang memerlukan penyelesaian persamaan rasional dihadapi setiap tahun dalam Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik, jadi apabila bersiap sedia untuk lulus ujian pensijilan, graduan semestinya mengulang teori mengenai topik ini sendiri. Graduan mengambil kedua-dua asas dan tahap profil peperiksaan. Setelah menguasai teori dan menanganinya latihan amali mengenai topik "Persamaan Rasional", pelajar akan dapat menyelesaikan masalah dengan apa-apa bilangan tindakan dan bergantung pada menerima markah kompetitif berdasarkan keputusan lulus Peperiksaan Negeri Bersepadu.
Bagaimana untuk menyediakan peperiksaan menggunakan portal pendidikan Shkolkovo?
Kadangkala anda boleh mencari sumber yang membentangkan sepenuhnya teori asas untuk penyelesaian masalah matematik ternyata agak sukar. Buku teks mungkin tidak ada di tangan. Dan cari formula yang diperlukan kadangkala ia boleh menjadi agak sukar walaupun di Internet.
Portal pendidikan Shkolkovo akan membebaskan anda daripada keperluan untuk mencari bahan yang diperlukan dan akan membantu anda bersedia dengan baik untuk lulus ujian pensijilan.
Semua teori yang diperlukan mengenai topik "Persamaan Rasional" pakar kami menyediakan dan membentangkan secara maksimum borang yang boleh diakses. Selepas mengkaji maklumat yang disampaikan, pelajar akan dapat mengisi kekosongan pengetahuan.
Untuk persiapan yang berjaya Kepada Peperiksaan Negeri Bersepadu untuk graduan ia adalah perlu bukan sahaja untuk membangkitkan asas bahan teori mengenai topik "Persamaan Rasional", tetapi untuk berlatih menyelesaikan tugasan pada contoh khusus. Banyak pilihan tugas dibentangkan dalam bahagian "Katalog".
Untuk setiap latihan di tapak, pakar kami telah menulis algoritma penyelesaian dan menunjukkan jawapan yang betul. Pelajar boleh berlatih menyelesaikan masalah darjah yang berbeza-beza kesukaran bergantung kepada tahap penyediaan. Senarai tugas dalam bahagian yang sepadan sentiasa ditambah dan dikemas kini.
Kaji bahan teori dan asah kemahiran menyelesaikan masalah mengenai topik "Persamaan Rasional", sama seperti yang termasuk dalam Ujian Peperiksaan Negeri Bersatu, boleh dilakukan secara online. Jika perlu, mana-mana tugasan yang dibentangkan boleh ditambah ke bahagian "Kegemaran". Diulang lagi teori asas mengenai topik "Persamaan Rasional", pelajar sekolah menengah akan dapat kembali kepada masalah pada masa hadapan untuk membincangkan kemajuan penyelesaiannya dengan guru dalam pelajaran algebra.
Mengekalkan privasi anda adalah penting bagi kami. Atas sebab ini, kami telah membangunkan Dasar Privasi yang menerangkan cara kami menggunakan dan menyimpan maklumat anda. Sila semak amalan privasi kami dan beritahu kami jika anda mempunyai sebarang soalan.
Pengumpulan dan penggunaan maklumat peribadi
Maklumat peribadi merujuk kepada data yang boleh digunakan untuk mengenal pasti atau menghubungi orang tertentu.
Anda mungkin diminta untuk memberikan maklumat peribadi anda pada bila-bila masa apabila anda menghubungi kami.
Di bawah ialah beberapa contoh jenis maklumat peribadi yang mungkin kami kumpulkan dan cara kami boleh menggunakan maklumat tersebut.
Apakah maklumat peribadi yang kami kumpulkan:
- Apabila anda menghantar permohonan di tapak, kami mungkin mengumpul pelbagai maklumat, termasuk nama, nombor telefon, alamat anda E-mel dan lain-lain.
Cara kami menggunakan maklumat peribadi anda:
- Dikumpul oleh kami maklumat peribadi membolehkan kami menghubungi anda dan memaklumkan anda tentang tawaran unik, promosi dan acara lain serta acara akan datang.
- Dari semasa ke semasa, kami mungkin menggunakan maklumat peribadi anda untuk menghantar notis dan komunikasi penting.
- Kami juga mungkin menggunakan maklumat peribadi untuk tujuan dalaman seperti pengauditan, analisis data dan pelbagai kajian untuk menambah baik perkhidmatan yang kami sediakan dan memberikan anda cadangan mengenai perkhidmatan kami.
- Jika anda menyertai cabutan hadiah, peraduan atau promosi yang serupa, kami mungkin menggunakan maklumat yang anda berikan untuk mentadbir program tersebut.
Pendedahan maklumat kepada pihak ketiga
Kami tidak mendedahkan maklumat yang diterima daripada anda kepada pihak ketiga.
Pengecualian:
- Jika perlu, mengikut undang-undang, prosedur kehakiman, V perbicaraan, dan/atau berdasarkan permintaan awam atau permintaan daripada Agensi-agensi kerajaan di wilayah Persekutuan Rusia - mendedahkan maklumat peribadi anda. Kami juga mungkin mendedahkan maklumat tentang anda jika kami menentukan bahawa pendedahan tersebut perlu atau sesuai untuk keselamatan, penguatkuasaan undang-undang atau tujuan kepentingan awam yang lain.
- Sekiranya berlaku penyusunan semula, penggabungan atau penjualan, kami mungkin memindahkan maklumat peribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga pengganti yang berkenaan.
Perlindungan maklumat peribadi
Kami mengambil langkah berjaga-jaga - termasuk pentadbiran, teknikal dan fizikal - untuk melindungi maklumat peribadi anda daripada kehilangan, kecurian dan penyalahgunaan, serta akses tanpa kebenaran, pendedahan, pengubahan dan pemusnahan.
Menghormati privasi anda di peringkat syarikat
Untuk memastikan maklumat peribadi anda selamat, kami menyampaikan piawaian privasi dan keselamatan kepada pekerja kami dan menguatkuasakan amalan privasi dengan ketat.