Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan rasional dengan pecahan. Pelajaran video “Persamaan rasional

Objektif pelajaran:

Pendidikan:

pembentukan konsep persamaan rasional pecahan;
pertimbangkan pelbagai cara untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan;
pertimbangkan algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan, termasuk syarat pecahan itu sama dengan sifar;
mengajar menyelesaikan persamaan rasional pecahan menggunakan algoritma;
menyemak tahap penguasaan topik dengan menjalankan ujian.

Perkembangan:

pembangunan keupayaan untuk beroperasi dengan betul dengan pengetahuan yang diperoleh dan berfikir secara logik;
pembangunan kemahiran intelek dan operasi mental- analisis, sintesis, perbandingan dan sintesis;
pembangunan inisiatif, keupayaan untuk membuat keputusan, dan tidak berhenti di situ;
pembangunan pemikiran kritis;
pembangunan kemahiran penyelidikan.

Mendidik:

didikan minat kognitif kepada subjek;
memupuk kebebasan dalam membuat keputusan tugas pendidikan;
memupuk kemahuan dan ketabahan untuk mencapai keputusan akhir.

Jenis pelajaran: pelajaran - penerangan tentang bahan baharu.

Kemajuan pelajaran

1. Detik organisasi.

Hello kawan-kawan! Terdapat persamaan yang ditulis di papan tulis, lihat dengan teliti. Bolehkah anda menyelesaikan semua persamaan ini? Mana yang tidak dan mengapa?

Persamaan di mana bahagian kiri dan kanan adalah ungkapan rasional pecahan dipanggil persamaan rasional pecahan. Pada pendapat anda, apakah yang akan kita pelajari dalam kelas hari ini? Merumus tajuk pelajaran. Jadi, buka buku nota anda dan tulis topik pelajaran "Menyelesaikan persamaan rasional pecahan."

2. Mengemas kini pengetahuan. Tinjauan hadapan, kerja lisan dengan kelas.

Dan sekarang kita akan mengulangi bahan teori utama yang perlu kita pelajari topik baru. Sila jawab soalan berikut:

Apakah persamaan? ( Kesamaan dengan pembolehubah atau pembolehubah.)
Apakah nama persamaan nombor 1? ( Linear.) Penyelesaian persamaan linear. (Pindahkan segala-galanya dengan yang tidak diketahui sebelah kiri persamaan, semua nombor berada di sebelah kanan. memimpin istilah yang serupa. Cari faktor yang tidak diketahui).
Apakah nama persamaan nombor 3? ( Segi empat.) Penyelesaian persamaan kuadratik. (Pemilihan persegi penuh, dengan formula, menggunakan teorem Vieta dan akibatnya.)
Apakah perkadaran? ( Kesamaan dua nisbah.) Harta utama perkadaran. ( Jika perkadaran itu betul, maka hasil darab sebutan ekstremnya adalah sama dengan hasil darab sebutan tengah.)
Apakah sifat yang digunakan semasa menyelesaikan persamaan? ( 1. Jika anda memindahkan sebutan dalam persamaan dari satu bahagian ke bahagian lain, menukar tandanya, anda akan mendapat persamaan yang setara dengan yang diberikan. 2. Jika kedua-dua belah persamaan didarab atau dibahagikan dengan nombor bukan sifar yang sama, anda mendapat persamaan yang setara dengan yang diberikan.)
Bilakah pecahan sama dengan sifar? ( Pecahan adalah sama dengan sifar apabila pengangkanya sama dengan sifar, dan penyebutnya bukan sifar.)

3. Penjelasan bahan baharu.

Selesaikan persamaan No. 2 dalam buku nota anda dan di papan tulis.

Jawab: 10.

yang mana persamaan rasional pecahan Bolehkah anda cuba menyelesaikan menggunakan sifat asas perkadaran? (No. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

Selesaikan persamaan No. 4 dalam buku nota anda dan di papan tulis.

Jawab: 1,5.

Apakah persamaan rasional pecahan yang boleh anda cuba selesaikan dengan mendarab kedua-dua belah persamaan dengan penyebut? (No. 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1›0, x 1 =3, x 2 =4.

Jawab: 3;4.

Sekarang cuba selesaikan persamaan nombor 7 menggunakan salah satu kaedah berikut.


(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 =0 x 2 =5 D=49
x 3 =5 x 4 =-2			x 3 =5 x 4 =-2
Jawab: 0;5;-2.			Jawab: 5;-2.

Terangkan mengapa ini berlaku? Mengapakah terdapat tiga punca dalam satu kes dan dua dalam kes yang lain? Apakah nombor punca bagi persamaan rasional pecahan ini?

Sehingga kini, pelajar masih belum menemui konsep akar luar, sememangnya amat sukar untuk mereka memahami mengapa ini berlaku. Sekiranya tiada seorang pun di dalam kelas dapat memberikan penjelasan yang jelas tentang situasi ini, maka guru akan mengemukakan soalan-soalan yang memimpin.

Bagaimanakah persamaan No. 2 dan 4 berbeza daripada persamaan No. 5,6,7? ( Dalam persamaan No. 2 dan 4 terdapat nombor dalam penyebut, No. 5-7 adalah ungkapan dengan pembolehubah.)
Apakah punca persamaan? ( Nilai pembolehubah di mana persamaan menjadi persamaan sebenar .)
Bagaimana untuk mengetahui sama ada nombor adalah punca persamaan? ( Buat semakan.)

Apabila menguji, sesetengah pelajar menyedari bahawa mereka perlu membahagi dengan sifar. Mereka membuat kesimpulan bahawa nombor 0 dan 5 bukan punca persamaan yang diberikan. Persoalannya timbul: adakah terdapat cara untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan yang membolehkan kita menghapuskan kesilapan ini? Ya, kaedah ini adalah berdasarkan syarat bahawa pecahan adalah sama dengan sifar.

x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 =-2.

Jika x=5, maka x(x-5)=0, yang bermaksud 5 ialah punca luar.

Jika x=-2, maka x(x-5)≠0.

Jawab: -2.

Mari cuba rumuskan algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan dengan cara ini. Kanak-kanak merumus algoritma itu sendiri.

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan:

Gerakkan semuanya ke sebelah kiri.
Kurangkan pecahan kepada penyebut sepunya.
Buat sistem: pecahan sama dengan sifar apabila pengangkanya sama dengan sifar dan penyebutnya tidak sama dengan sifar.
Selesaikan persamaan.
Periksa ketidaksamaan untuk mengecualikan akar luar.
Tulis jawapannya.

Perbincangan: bagaimana untuk memformalkan penyelesaian jika sifat asas perkadaran digunakan dan kedua-dua belah persamaan didarab dengan penyebut biasa. (Tambah pada penyelesaian: kecualikan daripada akarnya yang membuat penyebut biasa hilang).

4. Pemahaman awal bahan baru.

Bekerja secara berpasangan. Pelajar memilih cara untuk menyelesaikan persamaan itu sendiri bergantung kepada jenis persamaan. Tugasan dari buku teks "Algebra 8", Yu.N. Makarychev, 2007: No. 600(b,c,i); No. 601(a,e,g). Guru memantau penyiapan tugasan, menjawab sebarang soalan yang timbul dan memberi bantuan kepada pelajar berprestasi rendah. Ujian kendiri: jawapan ditulis di papan tulis.

b) 2 – akar luar. Jawapan: 3.

c) 2 – akar luar. Jawapan: 1.5.

a) Jawapan: -12.5.

g) Jawapan: 1;1.5.

5. Menetapkan kerja rumah.

Baca perenggan 25 daripada buku teks, analisis contoh 1-3.
Ketahui algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan.
Selesaikan dalam buku nota No. 600 (a, d, e); No. 601(g,h).
Cuba selesaikan No. 696(a) (pilihan).

6. Menyelesaikan tugas kawalan mengenai topik yang dipelajari.

Kerja dilakukan di atas kepingan kertas.

Contoh tugasan:

A) Antara persamaan yang manakah adalah rasional pecahan?

B) Pecahan bersamaan dengan sifar apabila pengangkanya ____________________ dan penyebutnya ialah _______________________.

S) Adakah nombor -3 punca persamaan nombor 6?

D) Selesaikan persamaan No. 7.

Kriteria penilaian untuk tugasan:

“5” diberikan jika pelajar menyelesaikan lebih daripada 90% tugasan dengan betul.
"4" - 75%-89%
"3" - 50%-74%
“2” diberikan kepada pelajar yang telah menyelesaikan kurang daripada 50% tugasan.
Penarafan 2 tidak diberikan dalam jurnal, 3 adalah pilihan.

7. Refleksi.

Pada helaian kerja bebas, tulis:

1 – jika pelajaran itu menarik dan boleh difahami oleh anda;
2 - menarik, tetapi tidak jelas;
3 - tidak menarik, tetapi boleh difahami;
4 - tidak menarik, tidak jelas.

8. Merumuskan pelajaran.

Jadi, hari ini dalam pelajaran kita berkenalan dengan persamaan rasional pecahan, belajar bagaimana untuk menyelesaikan persamaan ini dalam pelbagai cara, menguji pengetahuan mereka dengan bantuan latihan kerja bebas. Anda akan mempelajari hasil kerja bebas anda dalam pelajaran seterusnya, dan di rumah anda akan berpeluang untuk menyatukan pengetahuan anda.

Kaedah untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan yang manakah, pada pendapat anda, lebih mudah, lebih mudah diakses dan lebih rasional? Tanpa mengira kaedah untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan, apakah yang perlu anda ingat? Apakah "kelicikan" persamaan rasional pecahan?

Terima kasih semua, pelajaran sudah tamat.

Penyebut sepunya terendah digunakan untuk memudahkan persamaan ini. Kaedah ini digunakan apabila anda tidak boleh menulis persamaan yang diberikan dengan satu ungkapan rasional pada setiap sisi persamaan (dan gunakan kaedah pendaraban silang silang). Kaedah ini digunakan apabila anda diberi persamaan rasional dengan 3 atau lebih pecahan (dalam kes dua pecahan, lebih baik menggunakan pendaraban silang silang).

Cari penyebut sepunya terendah bagi pecahan (atau gandaan sepunya terkecil). NOZ ialah nombor terkecil, yang boleh dibahagi sama rata oleh setiap penyebut.

Kadangkala NPD ialah nombor yang jelas. Sebagai contoh, jika diberi persamaan: x/3 + 1/2 = (3x +1)/6, maka jelaslah bahawa gandaan sepunya terkecil bagi nombor 3, 2 dan 6 ialah 6.
Jika NCD tidak jelas, tuliskan gandaan penyebut terbesar dan cari di antaranya satu yang akan menjadi gandaan penyebut yang lain. Selalunya NOD boleh didapati dengan hanya mendarab dua penyebut. Sebagai contoh, jika persamaan diberi x/8 + 2/6 = (x - 3)/9, maka NOS = 8*9 = 72.
Jika satu atau lebih penyebut mengandungi pembolehubah, prosesnya menjadi agak rumit (tetapi tidak mustahil). Dalam kes ini, NOC ialah ungkapan (mengandungi pembolehubah) yang dibahagikan dengan setiap penyebut. Sebagai contoh, dalam persamaan 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1), kerana ungkapan ini dibahagikan dengan setiap penyebut: 3x(x-1)/(x -1 ) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).

Darab kedua-dua pengangka dan penyebut setiap pecahan dengan nombor yang sama dengan hasil pembahagian NOC dengan penyebut yang sepadan bagi setiap pecahan.

Memandangkan anda sedang mendarab kedua-dua pengangka dan penyebut dengan nombor yang sama, anda secara berkesan mendarab pecahan dengan 1 (contohnya, 2/2 = 1 atau 3/3 = 1).
Jadi dalam contoh kita, darab x/3 dengan 2/2 untuk mendapatkan 2x/6, dan 1/2 darab dengan 3/3 untuk mendapatkan 3/6 (pecahan 3x +1/6 tidak perlu didarab kerana ia adalah penyebut ialah 6).

Teruskan sama apabila pembolehubah berada dalam penyebut. Dalam contoh kedua kita, NOZ = 3x(x-1), jadi darab 5/(x-1) dengan (3x)/(3x) untuk mendapatkan 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x didarab dengan 3(x-1)/3(x-1) dan anda mendapat 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) didarab dengan (x-1)/(x-1) dan anda mendapat 2(x-1)/3x(x-1). Sekarang anda telah mengurangkan pecahan kepada penyebut biasa, anda boleh menyingkirkan penyebutnya. Untuk melakukan ini, darabkan setiap sisi persamaan dengan penyebut sepunya. Kemudian selesaikan persamaan yang terhasil, iaitu, cari “x”. Untuk melakukan ini, asingkan pembolehubah pada satu sisi persamaan.

Dalam contoh kami: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Anda boleh menambah 2 pecahan dengan penyebut yang sama, jadi tulis persamaan sebagai: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 6 dan singkirkan penyebutnya: 2x+3 = 3x +1. Selesaikan dan dapatkan x = 2.
Dalam contoh kedua kami (dengan pembolehubah dalam penyebut), persamaan kelihatan seperti (selepas pengurangan kepada penyebut sepunya): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x -1) + 2 (x-1)/3x(x-1). Dengan mendarab kedua-dua belah persamaan dengan N3, anda menyingkirkan penyebut dan mendapatkan: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1), atau 15x = 3x - 3 + 2x -2, atau 15x = x - 5 Selesaikan dan dapatkan: x = -5/14.

Smirnova Anastasia Yurievna

Jenis pelajaran: pengajaran mempelajari bahan baharu.

Bentuk organisasi aktiviti pendidikan : hadapan, individu.

Tujuan pelajaran: untuk memperkenalkan jenis persamaan baru - persamaan rasional pecahan, untuk memberi idea tentang algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan.

Objektif pelajaran.

Pendidikan:

pembentukan konsep persamaan rasional pecahan;
pertimbangkan algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan, termasuk syarat pecahan itu sama dengan sifar;
mengajar menyelesaikan persamaan rasional pecahan menggunakan algoritma.

Perkembangan:

mewujudkan keadaan untuk membangunkan kemahiran dalam menggunakan pengetahuan yang diperoleh;
menggalakkan perkembangan minat kognitif pelajar dalam mata pelajaran;
membangunkan keupayaan pelajar untuk menganalisis, membandingkan dan membuat kesimpulan;
pembangunan kemahiran saling mengawal dan mengawal diri, perhatian, ingatan, lisan dan menulis, kemerdekaan.

Mendidik:

memupuk minat kognitif dalam subjek;
memupuk kemerdekaan dalam menyelesaikan masalah pendidikan;
memupuk kemahuan dan ketabahan untuk mencapai keputusan akhir.

peralatan: buku teks, papan hitam, krayon.

Buku teks "Algebra 8". Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Moscow "Pencerahan". 2010

hidup topik ini lima jam diperuntukkan. Ini adalah pelajaran pertama. Perkara utama ialah mengkaji algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan dan mengamalkan algoritma ini dalam latihan.

Kemajuan pelajaran

1. Detik organisasi.

Hello kawan-kawan! Hari ini saya ingin memulakan pelajaran kita dengan quatrain:
Untuk memudahkan hidup semua orang,
Apa yang akan diputuskan, apa yang mungkin,
Senyum, semoga berjaya kepada semua orang,
Supaya tiada masalah,
Kami tersenyum sesama sendiri dan mencipta mood yang baik dan mula bekerja.

Terdapat persamaan yang ditulis di papan tulis, lihat dengan teliti. Bolehkah anda menyelesaikan semua persamaan ini? Mana yang tidak dan mengapa?

2. Mengemas kini pengetahuan. Tinjauan hadapan, kerja lisan dengan kelas.

Dan sekarang kita akan mengulangi bahan teori utama yang kita perlukan untuk mengkaji topik baru. Sila jawab soalan berikut:

Apakah persamaan? ( Kesamaan dengan pembolehubah atau pembolehubah.)
Apakah nama persamaan nombor 1? ( Linear.) Kaedah untuk menyelesaikan persamaan linear. ( Gerakkan semua yang tidak diketahui ke sebelah kiri persamaan, semua nombor ke kanan. Berikan istilah yang serupa. Cari faktor yang tidak diketahui).
Apakah nama persamaan nombor 3? ( Segi empat.) Kaedah untuk menyelesaikan persamaan kuadratik. (H tentang formula)
Apakah perkadaran? ( Kesamaan dua nisbah.) Harta utama perkadaran. ( Jika perkadaran itu betul, maka hasil darab sebutan ekstremnya adalah sama dengan hasil darab sebutan tengah.)
Apakah sifat yang digunakan semasa menyelesaikan persamaan? ( 1. Jika anda memindahkan sebutan dalam persamaan dari satu bahagian ke bahagian lain, menukar tandanya, anda akan mendapat persamaan yang setara dengan yang diberikan. 2. Jika kedua-dua belah persamaan didarab atau dibahagikan dengan nombor bukan sifar yang sama, anda mendapat persamaan yang setara dengan yang diberikan.)
Bilakah pecahan sama dengan sifar? ( Pecahan sama dengan sifar apabila pengangkanya sifar dan penyebutnya bukan sifar..)

3. Penjelasan bahan baharu.

Selesaikan persamaan No. 2 dalam buku nota anda dan di papan tulis.

Jawab: 10.

Apakah persamaan rasional pecahan yang boleh anda cuba selesaikan menggunakan sifat asas kadaran? (No. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

Selesaikan persamaan No. 4 dalam buku nota anda dan di papan tulis.

Jawab: 1,5.

Apakah persamaan rasional pecahan yang boleh anda cuba selesaikan dengan mendarab kedua-dua belah persamaan dengan penyebut? (No. 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1›0, x 1 =3, x 2 =4.

Jawab: 3;4.

Kita akan melihat penyelesaian persamaan seperti persamaan No. 7 dalam pelajaran berikut.

Terangkan mengapa ini berlaku? Mengapakah terdapat tiga punca dalam satu kes dan dua dalam kes yang lain? Apakah nombor punca bagi persamaan rasional pecahan ini?

Bagaimanakah persamaan No. 2 dan 4 berbeza daripada persamaan No. 5 dan 6? ( Dalam persamaan No. 2 dan 4 terdapat nombor dalam penyebut, No. 5-6 - ungkapan dengan pembolehubah.)
Apakah punca persamaan? ( Nilai pembolehubah di mana persamaan menjadi benar.)
Bagaimana untuk mengetahui sama ada nombor adalah punca persamaan? ( Buat semakan.)

Apabila menguji, sesetengah pelajar menyedari bahawa mereka perlu membahagi dengan sifar. Mereka membuat kesimpulan bahawa nombor 0 dan 5 bukanlah punca persamaan ini. Persoalannya timbul: adakah terdapat cara untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan yang membolehkan kita menghapuskan ralat ini? Ya, kaedah ini adalah berdasarkan syarat bahawa pecahan itu sama dengan sifar.

Mari cuba rumuskan algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan dengan cara ini. Kanak-kanak merumus algoritma itu sendiri.

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan:

Gerakkan semuanya ke sebelah kiri.
Kurangkan pecahan kepada penyebut sepunya.
Buat sistem: pecahan sama dengan sifar apabila pengangkanya sama dengan sifar dan penyebutnya tidak sama dengan sifar.
Selesaikan persamaan.
Periksa ketidaksamaan untuk mengecualikan akar luar.
Tulis jawapannya.

4. Pemahaman awal bahan baru.

Bekerja secara berpasangan. Pelajar memilih cara untuk menyelesaikan persamaan itu sendiri bergantung kepada jenis persamaan. Tugasan dari buku teks "Algebra 8", Yu.N. Makarychev, 2007: No. 600(b,c); No. 601(a,e). Guru memantau penyiapan tugasan, menjawab sebarang soalan yang timbul dan memberi bantuan kepada pelajar berprestasi rendah. Ujian kendiri: jawapan ditulis di papan tulis.

b) 2 - akar luar. Jawapan: 3.

c) 2 - akar luar. Jawapan: 1.5.

a) Jawapan: -12.5.

5. Menetapkan kerja rumah.

Baca perenggan 25 daripada buku teks, analisis contoh 1-3.
Ketahui algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan.
Selesaikan dalam buku nota No. 600 (d, d); No. 601(g,h).

6. Merumuskan pelajaran.

Jadi, hari ini dalam pelajaran kita berkenalan dengan persamaan rasional pecahan dan belajar untuk menyelesaikan persamaan ini dalam pelbagai cara. Tidak kira bagaimana anda menyelesaikan persamaan rasional pecahan, apakah yang perlu anda ingat? Apakah "kelicikan" persamaan rasional pecahan?

Terima kasih semua, pelajaran sudah tamat.

Pembentangan dan pelajaran mengenai topik: "Persamaan rasional. Algoritma dan contoh penyelesaian persamaan rasional"

Bahan tambahan
Pengguna yang dihormati, jangan lupa tinggalkan komen, ulasan, hasrat anda! Semua bahan telah disemak oleh program anti-virus.

Alat bantu pendidikan dan simulator di kedai dalam talian Integral untuk gred 8
Manual untuk buku teks oleh Makarychev Yu.N. Manual untuk buku teks oleh Mordkovich A.G.

Pengenalan kepada Persamaan Tidak Rasional

Kawan-kawan, kami belajar bagaimana untuk menyelesaikan persamaan kuadratik. Tetapi matematik tidak terhad kepada mereka sahaja. Hari ini kita akan belajar bagaimana untuk menyelesaikan persamaan rasional. Konsep persamaan rasional dalam banyak cara serupa dengan konsep nombor rasional. Hanya sebagai tambahan kepada nombor, kini kami telah memperkenalkan beberapa pembolehubah $x$. Dan dengan itu kita mendapat ungkapan di mana operasi tambah, tolak, darab, bahagi dan naikkan kepada kuasa integer hadir.

Biarkan $r(x)$ menjadi ungkapan rasional. Ungkapan sedemikian boleh menjadi polinomial mudah dalam pembolehubah $x$ atau nisbah polinomial (operasi bahagi diperkenalkan, seperti untuk nombor rasional).
Persamaan $r(x)=0$ dipanggil persamaan rasional.
Mana-mana persamaan bentuk $p(x)=q(x)$, di mana $p(x)$ dan $q(x)$ adalah ungkapan rasional, juga akan persamaan rasional.

Mari kita lihat contoh penyelesaian persamaan rasional.

Contoh 1.
Selesaikan persamaan: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.

Penyelesaian.
Mari kita alihkan semua ungkapan ke sebelah kiri: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
Jika bahagian kiri persamaan diwakili nombor biasa, maka kita akan membawa dua pecahan kepada penyebut yang sama.
Mari kita lakukan ini: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x ) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
Kami mendapat persamaan: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.

Pecahan adalah sama dengan sifar jika dan hanya jika pengangka pecahan adalah sifar dan penyebutnya bukan sifar. Kemudian kita secara berasingan menyamakan pengangka kepada sifar dan mencari punca pengangka.
$3(x^2+2x-3)=0$ atau $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
Sekarang mari kita semak penyebut pecahan: $(x-3)*x≠0$.
Hasil darab dua nombor adalah sama dengan sifar apabila sekurang-kurangnya satu daripada nombor ini sama dengan sifar. Kemudian: $x≠0$ atau $x-3≠0$.
$x≠0$ atau $x≠3$.
Akar yang diperoleh dalam pengangka dan penyebut tidak bertepatan. Jadi kita tuliskan kedua-dua punca pembilang dalam jawapan.
Jawapan: $x=1$ atau $x=-3$.

Jika tiba-tiba salah satu punca pengangka bertepatan dengan punca penyebut, maka ia harus dikecualikan. Akar sedemikian dipanggil luar!

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional:

1. Pindahkan semua ungkapan yang terkandung dalam persamaan kepada sebelah kiri daripada tanda sama.
2. Tukarkan bahagian persamaan ini kepada pecahan algebra: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. Samakan pengangka yang terhasil kepada sifar, iaitu selesaikan persamaan $p(x)=0$.
4. Samakan penyebut kepada sifar dan selesaikan persamaan yang terhasil. Jika akar penyebut bertepatan dengan akar pengangka, maka ia harus dikecualikan daripada jawapan.

Contoh 2.
Selesaikan persamaan: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.

Penyelesaian.
Mari kita selesaikan mengikut mata algoritma.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. Samakan pengangka dengan sifar: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. Samakan penyebut dengan sifar:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ dan $x=-1$.
Salah satu punca $x=1$ bertepatan dengan punca pembilang, maka kita tidak menulisnya dalam jawapan.
Jawapan: $x=-1$.

Adalah mudah untuk menyelesaikan persamaan rasional menggunakan kaedah perubahan pembolehubah. Mari kita tunjukkan ini.

Contoh 3.
Selesaikan persamaan: $x^4+12x^2-64=0$.

Penyelesaian.
Mari perkenalkan pengganti: $t=x^2$.
Kemudian persamaan kami akan mengambil bentuk:
$t^2+12t-64=0$ - persamaan kuadratik biasa.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; $4.
Mari kita perkenalkan penggantian terbalik: $x^2=4$ atau $x^2=-16$.
Punca-punca persamaan pertama ialah sepasang nombor $x=±2$. Perkara kedua ialah ia tidak mempunyai akar.
Jawapan: $x=±2$.

Contoh 4.
Selesaikan persamaan: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
Penyelesaian.
Mari perkenalkan pembolehubah baharu: $t=x^2+x+1$.
Kemudian persamaan akan mengambil bentuk: $t=\frac(15)(t+2)$.
Seterusnya kita akan meneruskan mengikut algoritma.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; $3.
4. $t≠-2$ - akarnya tidak bertepatan.
Mari perkenalkan penggantian terbalik.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
Mari kita selesaikan setiap persamaan secara berasingan:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - tidak akar.
Dan persamaan kedua: $x^2+x-2=0$.
Punca-punca persamaan ini ialah nombor $x=-2$ dan $x=1$.
Jawapan: $x=-2$ dan $x=1$.

Contoh 5.
Selesaikan persamaan: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.

Penyelesaian.
Mari perkenalkan pengganti: $t=x+\frac(1)(x)$.
Kemudian:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ atau $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
Kami mendapat persamaan: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
Punca-punca persamaan ini ialah pasangan:
$t=-3$ dan $t=2$.
Mari kita perkenalkan penggantian terbalik:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
Kami akan membuat keputusan secara berasingan.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
Mari kita selesaikan persamaan kedua:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
Punca bagi persamaan ini ialah nombor $x=1$.
Jawapan: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.

Masalah untuk diselesaikan secara bebas

Selesaikan persamaan:

1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.

2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.

"Menyelesaikan persamaan rasional pecahan"

Objektif pelajaran:

Pendidikan:

pembentukan konsep persamaan rasional pecahan; pertimbangkan pelbagai cara untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan; pertimbangkan algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan, termasuk syarat pecahan itu sama dengan sifar; mengajar menyelesaikan persamaan rasional pecahan menggunakan algoritma; menyemak tahap penguasaan topik dengan menjalankan ujian.

Perkembangan:

pembangunan keupayaan untuk beroperasi dengan betul dengan pengetahuan yang diperoleh dan berfikir secara logik; pembangunan kemahiran intelek dan operasi mental - analisis, sintesis, perbandingan dan generalisasi; pembangunan inisiatif, keupayaan untuk membuat keputusan, dan tidak berhenti di situ; pembangunan pemikiran kritis; pembangunan kemahiran penyelidikan.

Mendidik:

memupuk minat kognitif dalam subjek; memupuk kemerdekaan dalam menyelesaikan masalah pendidikan; memupuk kemahuan dan ketabahan untuk mencapai keputusan akhir.

Jenis pelajaran: pelajaran - penerangan tentang bahan baharu.

Kemajuan pelajaran

1. Detik organisasi.

Hello kawan-kawan! Terdapat persamaan yang ditulis di papan tulis, lihat dengan teliti. Bolehkah anda menyelesaikan semua persamaan ini? Mana yang tidak dan mengapa?

2. Mengemas kini pengetahuan. Tinjauan hadapan, kerja lisan dengan kelas.

Dan sekarang kita akan mengulangi bahan teori utama yang kita perlukan untuk mengkaji topik baru. Sila jawab soalan berikut:

1. Apakah persamaan? ( Kesamaan dengan pembolehubah atau pembolehubah.)

2. Apakah nama persamaan No. 1? ( Linear.) Kaedah untuk menyelesaikan persamaan linear. ( Gerakkan semua yang tidak diketahui ke sebelah kiri persamaan, semua nombor ke kanan. Berikan istilah yang serupa. Cari faktor yang tidak diketahui).

3. Apakah nama persamaan No. 3? ( Segi empat.) Kaedah untuk menyelesaikan persamaan kuadratik. ( Mengasingkan segi empat sama lengkap menggunakan formula menggunakan teorem Vieta dan akibatnya.)

4. Apakah perkadaran? ( Kesamaan dua nisbah.) Harta utama perkadaran. ( Jika perkadaran itu betul, maka hasil darab sebutan ekstremnya adalah sama dengan hasil darab sebutan tengah.)

5. Apakah sifat yang digunakan semasa menyelesaikan persamaan? ( 1. Jika anda memindahkan sebutan dalam persamaan dari satu bahagian ke bahagian lain, menukar tandanya, anda akan mendapat persamaan yang setara dengan yang diberikan. 2. Jika kedua-dua belah persamaan didarab atau dibahagikan dengan nombor bukan sifar yang sama, anda mendapat persamaan yang setara dengan yang diberikan.)

6. Bilakah pecahan sama dengan sifar? ( Pecahan sama dengan sifar apabila pengangkanya sifar dan penyebutnya bukan sifar..)

3. Penjelasan bahan baharu.

Selesaikan persamaan No. 2 dalam buku nota anda dan di papan tulis.

Jawab: 10.

Apakah persamaan rasional pecahan yang boleh anda cuba selesaikan menggunakan sifat asas kadaran? (No. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x2-4x-2x+8 = x2+3x+2x+6

x2-6x-x2-5x = 6-8

Selesaikan persamaan No. 4 dalam buku nota anda dan di papan tulis.

Jawab: 1,5.

Apakah persamaan rasional pecahan yang boleh anda cuba selesaikan dengan mendarab kedua-dua belah persamaan dengan penyebut? (No. 6).

D=1›0, x1=3, x2=4.

Jawab: 3;4.

Sekarang cuba selesaikan persamaan nombor 7 menggunakan salah satu kaedah berikut.


(x2-2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x2-2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0			x2-2x-5-x-5=0
x(x-5)(x2-3x-10)=0
x=0 x-5=0 x2-3x-10=0
x1=0 x2=5 D=49

Jawab: 0;5;-2.			Jawab: 5;-2.

Terangkan mengapa ini berlaku? Mengapakah terdapat tiga punca dalam satu kes dan dua dalam kes yang lain? Apakah nombor punca bagi persamaan rasional pecahan ini?

Dalam persamaan No. 2 dan 4 terdapat nombor dalam penyebut, No. 5-7 adalah ungkapan dengan pembolehubah

Nilai pembolehubah di mana persamaan menjadi benar

Buat semakan

x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.

Jika x=5, maka x(x-5)=0, yang bermaksud 5 ialah punca luar.

Jika x=-2, maka x(x-5)≠0.

Jawab: -2.

Mari cuba rumuskan algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan dengan cara ini. Kanak-kanak merumus algoritma itu sendiri.

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan:

1. Gerakkan semuanya ke sebelah kiri.

2. Kurangkan pecahan kepada penyebut sepunya.

3. Buat sistem: pecahan sama dengan sifar apabila pengangkanya sama dengan sifar dan penyebutnya tidak sama dengan sifar.

4. Selesaikan persamaan.

5. Semak ketaksamaan untuk mengecualikan akar luar.

6. Tulis jawapan.

Perbincangan: bagaimana untuk memformalkan penyelesaian jika sifat asas perkadaran dan pendaraban kedua-dua belah persamaan dengan penyebut sepunya digunakan. (Tambah pada penyelesaian: kecualikan daripada akarnya yang membuat penyebut biasa hilang).

4. Pemahaman awal bahan baru.

Bekerja secara berpasangan. Pelajar memilih cara untuk menyelesaikan persamaan itu sendiri bergantung kepada jenis persamaan. Tugasan daripada buku teks "Algebra 8", 2007: Bil. 000 (b, c, i); No. 000(a, d, g). Guru memantau penyiapan tugasan, menjawab sebarang soalan yang timbul dan memberi bantuan kepada pelajar berprestasi rendah. Ujian kendiri: jawapan ditulis di papan tulis.

b) 2 – akar luar. Jawapan: 3.

c) 2 – akar luar. Jawapan: 1.5.

a) Jawapan: -12.5.

g) Jawapan: 1;1.5.

5. Menetapkan kerja rumah.

2. Ketahui algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan.

3. Selesaikan dalam buku nota No. 000 (a, d, e); No. 000(g, h).

4. Cuba selesaikan No. 000(a) (pilihan).

6. Menyelesaikan tugas kawalan mengenai topik yang dipelajari.

Kerja dilakukan di atas kepingan kertas.

Contoh tugasan:

A) Antara persamaan yang manakah adalah rasional pecahan?

B) Pecahan bersamaan dengan sifar apabila pengangkanya ____________________ dan penyebutnya ialah _______________________.

S) Adakah nombor -3 punca persamaan nombor 6?

D) Selesaikan persamaan No. 7.

Kriteria penilaian untuk tugasan:

“5” diberikan jika pelajar menyelesaikan lebih daripada 90% tugasan dengan betul. “4” - 75%-89% “3” - 50%-74% “2” diberikan kepada pelajar yang telah menyelesaikan kurang daripada 50% tugasan. Penarafan 2 tidak diberikan dalam jurnal, 3 adalah pilihan.

7. Refleksi.

Pada helaian kerja bebas, tulis:

1 – jika pelajaran itu menarik dan boleh difahami oleh anda; 2 - menarik, tetapi tidak jelas; 3 - tidak menarik, tetapi boleh difahami; 4 - tidak menarik, tidak jelas.

8. Merumuskan pelajaran.

Jadi, hari ini dalam pelajaran kami berkenalan dengan persamaan rasional pecahan, belajar menyelesaikan persamaan ini dalam pelbagai cara, dan menguji pengetahuan kami dengan bantuan kerja pendidikan bebas. Anda akan mempelajari hasil kerja bebas anda dalam pelajaran seterusnya, dan di rumah anda akan berpeluang untuk menyatukan pengetahuan anda.

Terima kasih semua, pelajaran sudah tamat.