Menggunakan pembaris. Adalah lebih baik bahawa ia diperbuat daripada bahan lembaran yang nipis yang mungkin. Jika permukaan yang dihamparkan tidak rata, meter tukang jahit akan membantu. Dan jika anda tidak mempunyai pembaris nipis, dan jika anda tidak keberatan menindik kad itu, ia adalah mudah untuk menggunakan kompas untuk mengukur, sebaik-baiknya dengan dua jarum. Kemudian anda boleh memindahkannya ke kertas graf dan mengukur panjang segmen di sepanjangnya.
Jalan di antara dua titik jarang lurus. Peranti yang mudah - meter lengkung - akan membantu anda mengukur panjang garisan. Untuk menggunakannya, mula-mula putar penggelek untuk menjajarkan anak panah dengan sifar. Jika curvimeter adalah elektronik, tidak perlu menetapkannya kepada sifar secara manual - hanya tekan butang set semula. Sambil memegang roller, tekan ke titik permulaan segmen supaya tanda pada badan (terletak di atas roller) menghala terus ke titik ini. Kemudian gerakkan roller di sepanjang garisan sehingga tanda sejajar dengan titik akhir. Baca testimoni. Sila ambil perhatian bahawa sesetengah curvimeter mempunyai dua skala, satu daripadanya bergraduat dalam sentimeter, dan satu lagi dalam inci.
Cari penunjuk skala pada peta - ia biasanya terletak di sudut kanan bawah. Kadang-kadang penunjuk ini adalah sekeping panjang yang ditentukur, di sebelahnya ditunjukkan jarak yang sepadan dengannya. Ukur panjang ruas ini dengan pembaris. Jika ternyata, sebagai contoh, ia mempunyai panjang 4 sentimeter, dan di sebelahnya ditunjukkan bahawa ia sepadan dengan 200 meter, bahagikan nombor kedua dengan yang pertama, dan anda akan mengetahui bahawa semua orang di peta sepadan hingga 50 meter di atas tanah. Pada sesetengah orang, bukannya segmen, terdapat frasa siap pakai, yang mungkin kelihatan, sebagai contoh, seperti berikut: "Terdapat 150 meter dalam satu sentimeter." Juga, skala boleh ditunjukkan dalam bentuk nisbah bentuk berikut: 1:100000. Dalam kes ini, kita boleh mengira bahawa satu sentimeter pada peta sepadan dengan 1000 meter di atas tanah, kerana 100000/100 (sentimeter dalam satu meter) = 1000 m.
Darabkan jarak yang diukur dengan pembaris atau lengkung, dinyatakan dalam sentimeter, dengan bilangan meter yang ditunjukkan pada peta atau dikira dalam satu sentimeter. Hasilnya ialah jarak sebenar, yang dinyatakan, masing-masing, dalam kilometer.
Mana-mana peta ialah imej kecil bagi beberapa wilayah. Pekali yang menunjukkan berapa banyak imej dikurangkan berhubung dengan objek sebenar dipanggil skala. Mengetahuinya, anda boleh menentukannya jarak Oleh . Untuk peta berasaskan kertas sebenar, skala adalah nilai tetap. Untuk peta maya, elektronik, nilai ini berubah bersama-sama dengan perubahan dalam pembesaran imej peta pada skrin monitor.
Arahan
Jarak dengan peta boleh diukur menggunakan alat "Pembaris" dalam pakej geoinformasi Google Earth dan Peta Yandex, asas untuk peta yang mengandungi satelit satelit. Hanya hidupkan alat ini dan klik pada titik yang menandakan permulaan laluan anda dan titik di mana anda merancang untuk menyelesaikannya. Nilai jarak boleh didapati dalam mana-mana unit ukuran tertentu.
Setiap titik A pada satah dicirikan oleh koordinatnya (x, y). Mereka bertepatan dengan koordinat vektor 0A yang keluar dari titik 0 - asal koordinat.
Biarkan A dan B ialah titik arbitrari bagi satah dengan koordinat (x 1 y 1) dan (x 2, y 2), masing-masing.
Maka vektor AB jelas mempunyai koordinat (x 2 - x 1, y 2 - y 1). Adalah diketahui bahawa kuasa dua panjang vektor adalah sama dengan jumlah kuasa dua koordinatnya. Oleh itu, jarak d antara titik A dan B, atau, apa yang sama, panjang vektor AB, ditentukan daripada keadaan
d 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.
$$ d = \sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2) $$
Formula yang terhasil membolehkan anda mencari jarak antara mana-mana dua titik pada satah, jika hanya koordinat titik ini diketahui
Setiap kali kita bercakap tentang koordinat titik tertentu pada satah, kita maksudkan sistem koordinat x0y yang jelas. Secara umum, sistem koordinat pada satah boleh dipilih dengan cara yang berbeza. Jadi, bukannya sistem koordinat x0y, kita boleh mempertimbangkan sistem koordinat xִy, yang diperolehi hasil daripada memutarkan paksi koordinat lama di sekitar titik permulaan 0 lawan arah jam anak panah di sudut α .
Jika titik tertentu satah dalam sistem koordinat x0y mempunyai koordinat (x, y), maka dalam sistem koordinat baru xִy ia akan mempunyai koordinat yang berbeza (x, y).
Sebagai contoh, pertimbangkan titik M, terletak pada paksi 0x dan dipisahkan dari titik 0 pada jarak 1.
Jelas sekali, dalam sistem koordinat x0y titik ini mempunyai koordinat (cos α , dosa α ), dan dalam sistem koordinat xִy koordinat ialah (1,0).
Koordinat mana-mana dua titik pada satah A dan B bergantung kepada bagaimana sistem koordinat ditentukan dalam satah ini. Dan di sini jarak antara titik ini tidak bergantung kepada kaedah menentukan sistem koordinat .
Bahan lainJarak antara dua titik pada satah.
Sistem koordinat
Setiap titik A pada satah dicirikan oleh koordinatnya (x, y). Mereka bertepatan dengan koordinat vektor 0A yang keluar dari titik 0 - asal koordinat.
Biarkan A dan B ialah titik arbitrari bagi satah dengan koordinat (x 1 y 1) dan (x 2, y 2), masing-masing.
Maka vektor AB jelas mempunyai koordinat (x 2 - x 1, y 2 - y 1). Adalah diketahui bahawa kuasa dua panjang vektor adalah sama dengan jumlah kuasa dua koordinatnya. Oleh itu, jarak d antara titik A dan B, atau, apa yang sama, panjang vektor AB, ditentukan daripada keadaan
d 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.
d = \/ (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2
Formula yang terhasil membolehkan anda mencari jarak antara mana-mana dua titik pada satah, jika hanya koordinat titik ini diketahui
Setiap kali kita bercakap tentang koordinat titik tertentu pada satah, kita maksudkan sistem koordinat x0y yang jelas. Secara umumnya, sistem koordinat pada satah boleh dipilih dengan cara yang berbeza. Jadi, bukannya sistem koordinat x0y, anda boleh mempertimbangkan sistem koordinat x"0y", yang diperoleh dengan memutarkan paksi koordinat lama di sekitar titik permulaan 0 lawan arah jam anak panah di sudut α .
Jika titik tertentu satah dalam sistem koordinat x0y mempunyai koordinat (x, y), maka dalam sistem koordinat baharu x"0y" ia akan mempunyai koordinat yang berbeza (x, y").
Sebagai contoh, pertimbangkan titik M, terletak pada paksi 0x dan dipisahkan dari titik 0 pada jarak 1.
Jelas sekali, dalam sistem koordinat x0y titik ini mempunyai koordinat (cos α , dosa α ), dan dalam sistem koordinat x"0y" koordinat ialah (1,0).
Koordinat mana-mana dua titik pada satah A dan B bergantung kepada bagaimana sistem koordinat ditentukan dalam satah ini. Tetapi jarak antara titik ini tidak bergantung pada kaedah menentukan sistem koordinat. Kami akan menggunakan secara signifikan keadaan penting ini dalam perenggan seterusnya.
Senaman
I. Cari jarak antara titik satah dengan koordinat:
1) (3.5) dan (3.4); 3) (0.5) dan (5, 0); 5) (-3,4) dan (9, -17);
2) (2, 1) dan (- 5, 1); 4) (0, 7) dan (3,3); 6) (8, 21) dan (1, -3).
II. Cari perimeter segitiga yang sisinya diberikan oleh persamaan:
x + y - 1 = 0, 2x - y - 2 = 0 dan y = 1.
III. Dalam sistem koordinat x0y, titik M dan N mempunyai koordinat (1, 0) dan (0,1), masing-masing. Cari koordinat titik-titik ini dalam sistem koordinat baharu, yang diperoleh dengan memutarkan paksi lama di sekeliling titik permulaan dengan sudut 30° lawan jam.
IV. Dalam sistem koordinat x0y, titik M dan N mempunyai koordinat (2, 0) dan (\ / 3/2, - 1/2) masing-masing. Cari koordinat titik ini dalam sistem koordinat baharu, yang diperoleh dengan memutarkan paksi lama di sekeliling titik permulaan dengan sudut 30° mengikut arah jam.
§ 1 Integer dan persamaan rasional pecahan
Dalam pelajaran ini kita akan melihat konsep seperti persamaan rasional, ungkapan rasional, ungkapan keseluruhan, ungkapan pecahan. Mari kita pertimbangkan untuk menyelesaikan persamaan rasional.
Persamaan rasional ialah persamaan di mana sisi kiri dan kanan adalah ungkapan rasional.
Ungkapan rasional ialah:
pecahan.
Ungkapan integer terdiri daripada nombor, pembolehubah, kuasa integer menggunakan operasi tambah, tolak, darab dan bahagi dengan nombor selain sifar.
Sebagai contoh:
Ungkapan pecahan melibatkan pembahagian dengan pembolehubah atau ungkapan dengan pembolehubah. Sebagai contoh:
Ungkapan pecahan tidak masuk akal untuk semua nilai pembolehubah yang disertakan di dalamnya. Contohnya, ungkapan
pada x = -9 ia tidak masuk akal, kerana pada x = -9 penyebutnya menjadi sifar.
Ini bermakna persamaan rasional boleh menjadi integer atau pecahan.
Persamaan rasional keseluruhan ialah persamaan rasional di mana bahagian kiri dan kanan adalah ungkapan keseluruhan.
Sebagai contoh:
Persamaan rasional pecahan ialah persamaan rasional di mana sama ada bahagian kiri atau kanan adalah ungkapan pecahan.
Sebagai contoh:
§ 2 Penyelesaian keseluruhan persamaan rasional
Mari kita pertimbangkan penyelesaian bagi keseluruhan persamaan rasional.
Sebagai contoh:
Mari kita darab kedua-dua belah persamaan dengan penyebut sepunya terkecil bagi penyebut pecahan yang termasuk di dalamnya.
Untuk ini:
1. cari penyebut sepunya untuk penyebut 2, 3, 6. Ia bersamaan dengan 6;
2. cari faktor tambahan bagi setiap pecahan. Untuk melakukan ini, bahagikan penyebut biasa 6 dengan setiap penyebut
faktor tambahan bagi pecahan
faktor tambahan bagi pecahan
3. darabkan pengangka bagi pecahan dengan faktor tambahan yang sepadan. Oleh itu, kita memperoleh persamaan
yang setara dengan persamaan yang diberikan
Mari buka kurungan di sebelah kiri, gerakkan bahagian kanan ke kiri, tukar tanda istilah apabila mengalihkannya ke yang bertentangan.
Mari kita bawa sebutan serupa bagi polinomial dan dapatkan
Kami melihat bahawa persamaan adalah linear.
Setelah menyelesaikannya, kita dapati bahawa x = 0.5.
§ 3 Penyelesaian persamaan rasional pecahan
Mari kita pertimbangkan untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan.
Sebagai contoh:
1.Darab kedua-dua belah persamaan dengan penyebut sepunya terkecil bagi penyebut pecahan rasional yang termasuk di dalamnya.
Mari kita cari penyebut sepunya untuk penyebut x + 7 dan x - 1.
Ia sama dengan hasil darabnya (x + 7)(x - 1).
2. Mari kita cari faktor tambahan bagi setiap pecahan rasional.
Untuk melakukan ini, bahagikan penyebut sepunya (x + 7)(x - 1) dengan setiap penyebut. Pengganda tambahan untuk pecahan
sama dengan x - 1,
faktor tambahan bagi pecahan
sama dengan x+7.
3. Darabkan pengangka bagi pecahan dengan faktor tambahan yang sepadan.
Kami memperoleh persamaan (2x - 1)(x - 1) = (3x + 4)(x + 7), yang bersamaan dengan persamaan ini
4. Darab binomial dengan binomial di kiri dan kanan dan dapatkan persamaan berikut
5. Kami menggerakkan bahagian kanan ke kiri, menukar tanda setiap istilah apabila memindahkan ke sebaliknya:
6. Mari kita kemukakan sebutan yang serupa bagi polinomial:
7. Kedua-dua bahagian boleh dibahagikan dengan -1. Kami mendapat persamaan kuadratik:
8. Setelah menyelesaikannya, kita akan mencari puncanya
Sejak dalam Persamaan.
sisi kiri dan kanan adalah ungkapan pecahan, dan dalam ungkapan pecahan, untuk beberapa nilai pembolehubah, penyebut boleh menjadi sifar, maka perlu untuk memeriksa sama ada penyebut biasa tidak pergi ke sifar apabila x1 dan x2 ditemui .
Pada x = -27, penyebut sepunya (x + 7)(x - 1) tidak lenyap pada x = -1, penyebut sepunya juga bukan sifar.
Oleh itu, kedua-dua punca -27 dan -1 ialah punca-punca persamaan.
Apabila menyelesaikan persamaan rasional pecahan, adalah lebih baik untuk segera menunjukkan julat nilai yang boleh diterima. Hapuskan nilai-nilai di mana penyebut biasa pergi ke sifar.
Mari kita pertimbangkan contoh lain untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan.
Sebagai contoh, mari kita selesaikan persamaan
Kami memfaktorkan penyebut pecahan di sebelah kanan persamaan
Kami mendapat persamaan
Mari kita cari penyebut sepunya untuk penyebut (x - 5), x, x(x - 5).
Ia akan menjadi ungkapan x(x - 5).
Sekarang mari kita cari julat nilai persamaan yang boleh diterima
Untuk melakukan ini, kita samakan penyebut sepunya kepada sifar x(x - 5) = 0.
Kami memperoleh persamaan, penyelesaian yang kami dapati bahawa pada x = 0 atau pada x = 5 penyebut sepunya pergi ke sifar.
Ini bermakna x = 0 atau x = 5 tidak boleh menjadi punca persamaan kita.
Pengganda tambahan kini boleh didapati.
Faktor tambahan bagi pecahan rasional
faktor tambahan bagi pecahan
akan menjadi (x - 5),
dan faktor tambahan pecahan itu
Kami mendarabkan pengangka dengan faktor tambahan yang sepadan.
Kami mendapat persamaan x(x - 3) + 1(x - 5) = 1(x + 5).
Mari buka kurungan di kiri dan kanan, x2 - 3x + x - 5 = x + 5.
Mari kita alihkan syarat dari kanan ke kiri, menukar tanda syarat yang dipindahkan:
X2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0
Dan selepas membawa sebutan yang serupa, kita memperoleh persamaan kuadratik x2 - 3x - 10 = 0. Setelah menyelesaikannya, kita dapati punca x1 = -2; x2 = 5.
Tetapi kita telah mengetahui bahawa pada x = 5 penyebut sepunya x(x - 5) pergi ke sifar. Oleh itu, punca persamaan kita
akan menjadi x = -2.
§ 4 Ringkasan ringkas pelajaran
Penting untuk diingat:
Apabila menyelesaikan persamaan rasional pecahan, teruskan seperti berikut:
1. Cari penyebut sepunya bagi pecahan yang termasuk dalam persamaan. Selain itu, jika penyebut pecahan boleh difaktorkan, maka faktorkannya dan kemudian cari penyebut sepunya.
2. Darab kedua-dua belah persamaan dengan penyebut sepunya: cari faktor tambahan, darabkan pengangka dengan faktor tambahan.
3.Selesaikan keseluruhan persamaan yang terhasil.
4. Hilangkan dari akarnya yang membuat penyebut biasa hilang.
Senarai literatur yang digunakan:
- Makarychev Yu.N., N.G. Mindyuk, Neshkov K.I., Suvorova S.B. / Disunting oleh Teleyakovsky S.A. Algebra: buku teks. untuk darjah 8. pendidikan umum institusi. - M.: Pendidikan, 2013.
- Mordkovich A.G. Algebra. Darjah 8: Dalam dua bahagian. Bahagian 1: Buku teks. untuk pendidikan am institusi. - M.: Mnemosyne.
- Rurukin A.N. Perkembangan pelajaran dalam algebra: gred 8 - M.: VAKO, 2010.
- Algebra gred 8: rancangan pengajaran berdasarkan buku teks oleh Yu.N. Makarycheva, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkova, S.B. Suvorova / Auth.-comp. T.L. Afanasyeva, L.A. Tapilina. -Volgograd: Guru, 2005.