Pelajaran ini merangkumi konsep pecahan algebra. Orang ramai menghadapi pecahan dalam situasi kehidupan yang paling mudah: apabila perlu untuk membahagikan objek kepada beberapa bahagian, sebagai contoh, untuk memotong kek sama rata kepada sepuluh orang. Jelas sekali, semua orang mendapat sekeping kek. Dalam kes ini, kita berhadapan dengan konsep pecahan berangka, tetapi situasi mungkin berlaku apabila objek dibahagikan kepada nombor bahagian yang tidak diketahui, contohnya, dengan x. Dalam kes ini, konsep ungkapan pecahan timbul. Anda telah pun mengenali seluruh ungkapan (tidak mengandungi pembahagian kepada ungkapan dengan pembolehubah) dan sifatnya dalam gred 7. Seterusnya kita akan melihat konsep pecahan rasional, serta nilai pembolehubah yang boleh diterima.
Ungkapan rasional terbahagi kepada ungkapan integer dan pecahan.
Definisi.Pecahan rasional ialah ungkapan pecahan bagi bentuk , di mana polinomial. - penyebut pengangka.
Contohungkapan rasional:
- ungkapan pecahan; - ekspresi keseluruhan. Dalam ungkapan pertama, sebagai contoh, pengangkanya ialah , dan penyebutnya ialah .
Maknanya pecahan algebra, seperti sesiapa sahaja ungkapan algebra, bergantung pada nilai berangka pembolehubah yang disertakan di dalamnya. Khususnya, dalam contoh pertama nilai pecahan bergantung pada nilai pembolehubah dan , dan dalam contoh kedua hanya pada nilai pembolehubah .
Mari kita pertimbangkan tugas biasa pertama: mengira nilai pecahan rasional untuk nilai berbeza pembolehubah yang disertakan di dalamnya.
Contoh 1. Hitung nilai pecahan bagi a) , b) , c)
Penyelesaian. Mari kita gantikan nilai pembolehubah ke dalam pecahan yang ditunjukkan: a) , b) , c) - tidak wujud (kerana anda tidak boleh membahagi dengan sifar).
Jawapan: a) 3; b) 1; c) tidak wujud.
Seperti yang anda lihat, dua masalah biasa timbul untuk mana-mana pecahan: 1) mengira pecahan, 2) mencari nilai yang sah dan tidak sah pembolehubah huruf.
Definisi.Nilai Pembolehubah yang Sah- nilai pembolehubah di mana ungkapan itu masuk akal. Set semua kemungkinan nilai pembolehubah dipanggil ODZ atau domain.
Nilai pembolehubah literal mungkin tidak sah jika penyebut pecahan pada nilai ini ialah sifar. Dalam semua kes lain, nilai pembolehubah adalah sah, kerana pecahan boleh dikira.
Contoh 2.
Penyelesaian. Untuk ungkapan ini masuk akal, adalah perlu dan mencukupi bahawa penyebut pecahan tidak sama dengan sifar. Oleh itu, hanya nilai pembolehubah tersebut akan menjadi tidak sah yang mana penyebutnya sama dengan sifar. Penyebut pecahan ialah , jadi kita selesaikan persamaan linear:
Oleh itu, memandangkan nilai pembolehubah, pecahan itu tidak mempunyai makna.
Jawapan: -5.
Daripada penyelesaian contoh, peraturan untuk mencari nilai pembolehubah yang tidak sah berikut - penyebut pecahan adalah sama dengan sifar dan punca-punca persamaan yang sepadan ditemui.
Mari kita lihat beberapa contoh yang serupa.
Contoh 3. Tetapkan pada nilai pembolehubah yang mana pecahan itu tidak masuk akal .
Penyelesaian..
Jawab..
Contoh 4. Tetapkan pada nilai pembolehubah yang mana pecahan itu tidak masuk akal.
Penyelesaian..
Terdapat rumusan lain masalah ini - cari domain atau julat nilai ungkapan yang boleh diterima (APV). Ini bermakna mencari semua nilai sah pembolehubah. Dalam contoh kami, ini semua nilai kecuali . Adalah mudah untuk menggambarkan domain definisi pada paksi nombor.
Untuk melakukan ini, kami akan memotong titik di atasnya, seperti yang ditunjukkan dalam rajah:
nasi. 1
Oleh itu, domain definisi pecahan akan ada semua nombor kecuali 3.
Jawab..
Contoh 5. Tetapkan pada nilai pembolehubah yang mana pecahan itu tidak masuk akal.
Penyelesaian..
Mari kita gambarkan penyelesaian yang terhasil pada paksi berangka:
nasi. 2
Jawab..
Contoh 6.
Penyelesaian.. Kami telah memperoleh kesamaan dua pembolehubah, kami akan memberikan contoh berangka: atau, dsb.
Mari kita gambarkan penyelesaian ini pada graf dalam sistem koordinat Cartes:
nasi. 3. Graf bagi suatu fungsi
Koordinat mana-mana titik yang terletak pada graf ini tidak termasuk dalam julat nilai pecahan yang boleh diterima.
Jawab..
Dalam contoh yang dibincangkan, kami menghadapi situasi di mana pembahagian dengan sifar berlaku. Sekarang pertimbangkan kes di mana situasi yang lebih menarik timbul dengan pembahagian jenis.
Contoh 7. Tetapkan pada nilai pembolehubah yang mana pecahan itu tidak masuk akal.
Penyelesaian..
Ternyata pecahan itu tidak masuk akal pada . Tetapi seseorang boleh berhujah bahawa ini tidak berlaku kerana: 
.
Nampaknya jika ungkapan akhir adalah sama dengan 8 pada , maka yang asal juga boleh dikira, dan oleh itu masuk akal pada . Walau bagaimanapun, jika kita menggantikannya ke dalam ungkapan asal, kita dapat - ia tidak masuk akal.
Jawab..
Untuk memahami contoh ini dengan lebih terperinci, mari kita selesaikan masalah berikut: pada nilai apakah pecahan yang ditunjukkan sama dengan sifar?
48. Jenis ungkapan algebra.
Ungkapan algebra dibina daripada nombor dan pembolehubah menggunakan tanda tambah, tolak, darab, bahagi, naikkan kepada kuasa rasional dan mengekstrak akar dan menggunakan tanda kurung.
Contoh ungkapan algebra:
Jika ungkapan algebra tidak mengandungi pembahagian kepada pembolehubah dan pengekstrakan akar daripada pembolehubah (khususnya, eksponen dengan eksponen pecahan), maka ia dipanggil integer. Daripada yang ditulis di atas, ungkapan 1, 2 dan 6 ialah integer.
Jika ungkapan algebra terdiri daripada nombor dan pembolehubah menggunakan operasi tambah, tolak, darab, eksponen dengan eksponen dan pembahagian semula jadi, dan pembahagian kepada ungkapan dengan pembolehubah digunakan, maka ia dipanggil pecahan. Jadi, daripada yang ditulis di atas, ungkapan 3 dan 4 adalah pecahan.
Ungkapan integer dan pecahan dipanggil ungkapan rasional. Jadi, daripada ungkapan rasional yang ditulis di atas, ungkapan 1, 2, 3, 4 dan 6 ialah.
Jika ungkapan algebra melibatkan pengambilan punca pembolehubah (atau menaikkan pembolehubah kepada kuasa pecahan), maka ungkapan algebra sedemikian dipanggil tidak rasional. Oleh itu, daripada yang ditulis di atas, ungkapan 5 dan 7 adalah tidak rasional.
Jadi, ungkapan algebra boleh menjadi rasional dan tidak rasional. Ungkapan rasional pula dibahagikan kepada integer dan pecahan.
49. Nilai pembolehubah yang sah. Domain takrifan ungkapan algebra.
Nilai pembolehubah yang mana ungkapan algebra masuk akal dipanggil nilai pembolehubah yang boleh diterima. Set semua nilai pembolehubah yang dibenarkan dipanggil domain definisi ungkapan algebra.
Seluruh ungkapan masuk akal untuk sebarang nilai pembolehubah yang disertakan di dalamnya. Jadi, untuk sebarang nilai pembolehubah, keseluruhan ungkapan 1, 2, 6 dari perenggan 48 masuk akal.
Ungkapan pecahan tidak masuk akal untuk nilai pembolehubah yang menjadikan penyebut sifar. Oleh itu, ungkapan pecahan 3 dari perenggan 48 masuk akal untuk semua o, kecuali , dan ungkapan pecahan 4 masuk akal untuk semua a, b, c, kecuali untuk nilai a
Ungkapan tidak rasional tidak masuk akal untuk nilai-nilai pembolehubah yang bertukar menjadi nombor negatif ungkapan yang terkandung di bawah tanda punca kuasa genap atau di bawah tanda peningkatan kepada kuasa pecahan. Oleh itu, ungkapan tidak rasional 5 masuk akal hanya untuk a, b yang mana dan ungkapan tidak rasional 7 hanya masuk akal untuk dan (lihat perenggan 48).
Jika dalam ungkapan algebra pembolehubah diberikan nilai yang sah, maka ungkapan berangka akan diperolehi; nilainya dipanggil nilai ungkapan algebra untuk nilai pembolehubah yang dipilih.
Contoh. Cari nilai ungkapan apabila
Penyelesaian. Kami ada
50. Konsep penjelmaan identik bagi sesuatu ungkapan. identiti.
Mari kita pertimbangkan dua ungkapan Apabila kita mempunyai . Nombor 0 dan 3 dipanggil nilai masing-masing. ungkapan untuk Mari kita cari nilai yang sepadan dengan ungkapan yang sama untuk
Nilai yang sepadan bagi dua ungkapan boleh sama antara satu sama lain (contohnya, dalam contoh yang dipertimbangkan, kesamaan adalah benar), atau ia boleh berbeza antara satu sama lain (contohnya, dalam contoh yang dipertimbangkan).
Nilai pembolehubah yang sah,
termasuk dalam ungkapan pecahan
Matlamat: membangunkan keupayaan untuk mencari nilai pembolehubah yang boleh diterima termasuk dalam ungkapan pecahan.
Semasa kelas
I. Detik organisasi.
II. Kerja lisan.
– Gantikan beberapa nombor dan bukannya * dan namakan pecahan yang terhasil:
A); b); V); G);
d); e); dan); h).
III. Penjelasan bahan baru.
Penjelasan bahan baru berlaku dalam tiga peringkat:
1. Mengemaskini pengetahuan pelajar.
2. Pertimbangan soalan sama ada pecahan rasional sentiasa masuk akal.
3. Terbitan peraturan untuk mencari nilai pembolehubah yang boleh diterima termasuk dalam pecahan rasional.
Apabila mengemas kini pengetahuan, pelajar boleh ditanya perkara berikut:
soalan:
– Apakah pecahan yang dipanggil rasional?
– Adakah setiap pecahan merupakan ungkapan pecahan?
– Bagaimana untuk mencari nilai pecahan rasional untuk nilai tertentu pembolehubah yang disertakan di dalamnya?
Untuk menjelaskan isu nilai yang boleh diterima bagi pembolehubah yang termasuk dalam pecahan rasional, anda boleh meminta pelajar menyelesaikan tugasan.
Tugasan: Cari nilai pecahan untuk nilai pembolehubah yang ditentukan:
Pada X = 4; 0; 1.
Dengan menyiapkan tugasan ini, pelajar memahami bahawa apabila X= 1 adalah mustahil untuk mencari nilai pecahan. Ini membolehkan mereka membuat kesimpulan berikut: anda tidak boleh menggantikan nombor ke dalam pecahan rasional yang menjadikan penyebutnya sifar (kesimpulan ini mesti dirumus dan diucapkan dengan lantang oleh pelajar sendiri).
Selepas ini, guru memberitahu pelajar bahawa semua nilai pembolehubah yang mana ungkapan rasional masuk akal dipanggil nilai sah pembolehubah.
1) Jika ungkapan adalah integer, maka semua nilai pembolehubah yang disertakan di dalamnya akan sah.
2) Untuk mencari nilai pembolehubah yang boleh diterima bagi ungkapan pecahan, anda perlu menyemak nilai apa yang penyebut pergi ke sifar. Nombor yang ditemui tidak akan menjadi nilai yang sah.
IV. Pembentukan kemahiran dan kebolehan.
1. № 10, № 11.
Jawapan kepada soalan tentang nilai pembolehubah yang boleh diterima yang termasuk dalam ungkapan pecahan mungkin terdengar berbeza. Sebagai contoh, apabila mempertimbangkan pecahan rasional, kita boleh mengatakan bahawa semua nombor kecuali X= 4, atau bahawa nilai pembolehubah yang dibenarkan tidak termasuk nombor 4, iaitu X ≠ 4.
Kedua-dua rumusan adalah betul; perkara utama adalah untuk memastikan bahawa format adalah betul.
CONTOH BORANG:
4X (X + 1) = 0
Jawapan: X≠ 0 dan X≠ 1 (atau semua nombor kecuali 0 dan –1).
3. No. 14 (a, c), No. 15.
Apabila menyelesaikan tugasan ini, pelajar harus memberi perhatian kepada keperluan untuk mengambil kira nilai pembolehubah yang dibenarkan.
G) 
Jawapan: X = 0.
Pantau rasional untuk semua alasan.
Dalam kelas dengan tahap latihan yang tinggi, anda juga boleh melakukan No. 18 dan No. 20.
Penyelesaian
Daripada semua pecahan dengan pengangka positif yang sama, pecahan yang lebih besar ialah pecahan yang mempunyai penyebut terkecil. Iaitu, adalah perlu untuk mencari pada nilai apa A ungkapan A 2 + 5 mengambil nilai terkecil.
Sejak ungkapan itu A 2 tidak boleh negatif untuk sebarang nilai A, kemudian ungkapan A 2 + 5 akan mengambil nilai terkecil apabila A = 0.
Jawapan: A = 0.
Berhujah yang sama, kami mendapati bahawa ia adalah perlu untuk mencari nilai A, yang mana ungkapan ( A– 3) 2 + 1 mengambil nilai terkecil.
Jawapan: A = 3.
Penyelesaian
.
Untuk menjawab soalan, anda perlu menukar ungkapan dalam penyebut pecahan terlebih dahulu.
Pecahan akan mengambil nilai terbesar jika ungkapan (2 X +
+ di) 2 + 9 mengambil nilai terkecil. Sejak (2 X + di) 2 tidak boleh mengambil nilai negatif, maka nilai terkecil ungkapan (2 X + di) 2 + 9 sama dengan 9.
Maka nilai pecahan asal ialah = 2.
V. Ringkasan pelajaran.
Soalan lazim:
– Apakah nilai yang dipanggil nilai yang boleh diterima bagi pembolehubah yang disertakan dalam ungkapan?
– Apakah nilai yang sah untuk pembolehubah keseluruhan ungkapan?
– Bagaimana untuk mencari nilai yang sah untuk pembolehubah dalam ungkapan pecahan?
– Adakah terdapat pecahan rasional yang semua nilai pembolehubah adalah sah? Berikan contoh pecahan tersebut.
Kerja rumah: No. 12, No. 14 (b, d), No. 212.