Teorem Vieta (lebih tepat, songsang teorem kepada teorem Vieta) membolehkan anda mengurangkan masa untuk menyelesaikan persamaan kuadratik. Anda hanya perlu tahu cara menggunakannya. Bagaimana untuk belajar menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan teorem Vieta? Tak susah pun kalau difikirkan sedikit.
Sekarang kita hanya akan bercakap tentang penyelesaian dengan teorem Vieta bagi persamaan kuadratik terkurang. persamaan kuadratik ialah persamaan di mana a, iaitu, pekali x², sama dengan satu. Ia juga mungkin untuk menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak diberikan menggunakan teorem Vieta, tetapi sekurang-kurangnya satu punca bukan integer. Mereka lebih sukar untuk meneka.
Teorem songsang kepada teorem Vieta menyatakan: jika nombor x1 dan x2 adalah sedemikian
maka x1 dan x2 ialah punca-punca persamaan kuadratik
Apabila menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan teorem Vieta, hanya 4 pilihan yang mungkin. Jika anda mengingati garis penaakulan, anda boleh belajar mencari akar keseluruhan dengan cepat.
I. Jika q ialah nombor positif,
ini bermakna punca x1 dan x2 ialah nombor dengan tanda yang sama (sejak hanya apabila mendarab nombor dengan tanda yang sama ia ternyata nombor positif).
I.a. Jika -p ialah nombor positif, (masing-masing, ms<0), то оба корня x1 и x2 — nombor positif(kerana kami menambah nombor tanda yang sama dan mendapat nombor positif).
I.b. Jika -p - nombor negatif, (masing-masing, p>0), maka kedua-dua punca adalah nombor negatif (kami menambah nombor tanda yang sama dan mendapat nombor negatif).
II. Jika q ialah nombor negatif,
ini bermakna punca x1 dan x2 mempunyai tanda yang berbeza (apabila mendarab nombor, nombor negatif diperoleh hanya apabila tanda faktor berbeza). Dalam kes ini, x1+x2 bukan lagi jumlah, tetapi perbezaan (lagipun, apabila menambah nombor dengan tanda yang berbeza kita tolak yang kecil daripada yang lebih besar). Oleh itu, x1+x2 menunjukkan berapa banyak punca x1 dan x2 berbeza, iaitu berapa banyak satu punca lebih besar daripada yang lain (dalam nilai mutlak).
II.a. Jika -p ialah nombor positif, (iaitu, ms<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.
II.b. Jika -p ialah nombor negatif, (p>0), maka punca (modulo) yang lebih besar ialah nombor negatif.
Mari kita pertimbangkan untuk menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan teorem Vieta menggunakan contoh.
Selesaikan persamaan kuadratik yang diberikan menggunakan teorem Vieta:
Di sini q=12>0, jadi punca x1 dan x2 ialah nombor dengan tanda yang sama. Jumlahnya ialah -p=7>0, jadi kedua-dua punca ialah nombor positif. Kami memilih integer yang hasil darabnya bersamaan dengan 12. Ini ialah 1 dan 12, 2 dan 6, 3 dan 4. Jumlahnya ialah 7 untuk pasangan 3 dan 4. Ini bermakna 3 dan 4 ialah punca-punca persamaan.
DALAM dalam contoh ini q=16>0, yang bermaksud bahawa punca-punca x1 dan x2 ialah nombor yang mempunyai tanda yang sama. Jumlahnya ialah -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.
Di sini q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, maka bilangan yang lebih besar adalah positif. Jadi puncanya ialah 5 dan -3.
q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.
Terdapat beberapa hubungan dalam persamaan kuadratik. Yang utama ialah hubungan antara akar dan pekali. Juga dalam persamaan kuadratik terdapat beberapa hubungan yang diberikan oleh teorem Vieta.
Dalam topik ini, kami akan membentangkan teorem Vieta itu sendiri dan buktinya untuk persamaan kuadratik, songsang teorem kepada teorem Vieta, dan menganalisis beberapa contoh penyelesaian masalah. Dalam bahan kami akan memberi perhatian khusus kepada pertimbangan formula Vieta, yang mentakrifkan hubungan antara punca sebenar persamaan algebra darjah n dan pekalinya.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Rumusan dan pembuktian teorem Vieta
Formula untuk punca-punca persamaan kuadratik a x 2 + b x + c = 0 daripada bentuk x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a, di mana D = b 2 − 4 a c, mewujudkan hubungan x 1 + x 2 = - b a, x 1 x 2 = c a. Ini disahkan oleh teorem Vieta.
Teorem 1
Dalam persamaan kuadratik a x 2 + b x + c = 0, Di mana x 1 Dan x 2– akar, jumlah akar akan sama dengan nisbah pekali b Dan a, yang diambil dengan tanda yang bertentangan, dan hasil darab akar akan sama dengan nisbah pekali c Dan a, iaitu x 1 + x 2 = - b a, x 1 x 2 = c a.
Bukti 1
Kami menawarkan kepada anda skema berikut untuk melaksanakan pembuktian: ambil rumus punca, karang jumlah dan hasil darab punca persamaan kuadratik dan kemudian ubah ungkapan yang terhasil untuk memastikan ia sama. - b a Dan c a masing-masing.
Mari kita buat hasil tambah punca x 1 + x 2 = - b + D 2 · a + - b - D 2 · a. Mari kita bawa pecahan kepada penyebut sepunya - b + D 2 · a + - b - D 2 · a = - b + D + - b - D 2 · a. Mari buka kurungan dalam pengangka pecahan yang terhasil dan kemukakan sebutan serupa: - b + D + - b - D 2 · a = - b + D - b - D 2 · a = - 2 · b 2 · a . Mari kita kurangkan pecahan dengan: 2 - b a = - b a.
Ini adalah bagaimana kami membuktikan hubungan pertama teorem Vieta, yang berkaitan dengan jumlah punca persamaan kuadratik.
Sekarang mari kita beralih kepada hubungan kedua.
Untuk melakukan ini, kita perlu menyusun hasil darab punca persamaan kuadratik: x 1 · x 2 = - b + D 2 · a · - b - D 2 · a.
Mari kita ingat peraturan untuk mendarab pecahan dan tulis hasil darab terakhir seperti berikut: - b + D · - b - D 4 · a 2.
Mari kita darabkan kurungan dengan kurungan dalam pengangka pecahan, atau gunakan rumus perbezaan kuasa dua untuk mengubah hasil darab ini dengan lebih cepat: - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 .
Mari kita gunakan takrif punca kuasa dua untuk membuat peralihan berikut: - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2 . Formula D = b 2 − 4 a c sepadan dengan diskriminasi persamaan kuadratik, oleh itu, menjadi pecahan dan bukannya D boleh diganti b 2 − 4 a c:
b 2 - D 4 a 2 = b 2 - (b 2 - 4 a c) 4 a 2
Mari buka kurungan, tambah istilah serupa dan dapatkan: 4 · a · c 4 · a 2 . Jika kita memendekkannya kepada 4 a, maka yang tinggal ialah c a . Beginilah cara kami membuktikan hubungan kedua teorem Vieta untuk hasil darab akar.
Bukti teorem Vieta boleh ditulis dalam bentuk yang sangat singkat jika kita meninggalkan penjelasan:
x 1 + x 2 = - b + D 2 a + - b - D 2 a = - b + D + - b - D 2 a = - 2 b 2 a = - b a , x 1 x 2 = - b + D 2 · a · - b - D 2 · a = - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2 = = D = b 2 - 4 · a · c = b 2 - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 4 · a · c 4 · a 2 = c a .
Apabila diskriminasi persamaan kuadratik adalah sama dengan sifar, persamaan itu akan mempunyai satu punca sahaja. Untuk dapat menggunakan teorem Vieta kepada persamaan sedemikian, kita boleh mengandaikan bahawa persamaan, dengan diskriminasi sama dengan sifar, mempunyai dua punca yang sama. Memang bila D=0 punca persamaan kuadratik ialah: - b 2 · a, kemudian x 1 + x 2 = - b 2 · a + - b 2 · a = - b + (- b) 2 · a = - 2 · b 2 · a = - b a dan x 1 · x 2 = - b 2 · a · - b 2 · a = - b · - b 4 · a 2 = b 2 4 · a 2 , dan sejak D = 0, iaitu b 2 - 4 · a · c = 0, dari mana b 2 = 4 · a · c, kemudian b 2 4 · a 2 = 4 · a · c 4 · a 2 = c a.
Selalunya dalam amalan, teorem Vieta digunakan pada persamaan kuadratik terkurang bentuk x 2 + p x + q = 0, di mana pekali utama a adalah sama dengan 1. Dalam hal ini, teorem Vieta dirumus khusus untuk persamaan jenis ini. Ini tidak mengehadkan keluasan kerana fakta bahawa mana-mana persamaan kuadratik boleh digantikan dengan persamaan yang setara. Untuk melakukan ini, anda perlu membahagikan kedua-dua bahagiannya dengan nombor yang berbeza daripada sifar.
Mari kita berikan satu lagi rumusan teorem Vieta.
Teorem 2
Jumlah punca dalam persamaan kuadratik yang diberikan x 2 + p x + q = 0 akan sama dengan pekali x, yang diambil dengan tanda bertentangan, hasil darab akar akan sama dengan sebutan bebas, i.e. x 1 + x 2 = − p, x 1 x 2 = q.
Teorem bertukar kepada teorem Vieta
Jika anda melihat dengan teliti pada rumusan kedua teorem Vieta, anda boleh melihatnya untuk akarnya x 1 Dan x 2 persamaan kuadratik terkurang x 2 + p x + q = 0 hubungan berikut akan menjadi sah: x 1 + x 2 = − p, x 1 · x 2 = q. Daripada hubungan ini x 1 + x 2 = − p, x 1 x 2 = q ia mengikuti bahawa x 1 Dan x 2 ialah punca-punca persamaan kuadratik x 2 + p x + q = 0. Jadi kita sampai kepada pernyataan yang bertentangan dengan teorem Vieta.
Kami kini mencadangkan untuk merasmikan pernyataan ini sebagai teorem dan melaksanakan pembuktiannya.
Teorem 3
Jika nombor x 1 Dan x 2 adalah begitu x 1 + x 2 = − p Dan x 1 x 2 = q, Itu x 1 Dan x 2 ialah punca-punca persamaan kuadratik terkurang x 2 + p x + q = 0.
Bukti 2
Menggantikan kemungkinan hlm Dan q kepada ekspresi mereka melalui x 1 Dan x 2 membolehkan anda mengubah persamaan x 2 + p x + q = 0 menjadi setara .
Jika kita menggantikan nombor itu ke dalam persamaan yang terhasil x 1 bukannya x, maka kita mendapat kesamarataan x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = 0. Ini adalah kesaksamaan untuk mana-mana x 1 Dan x 2 bertukar menjadi kesamaan berangka sebenar 0 = 0 , kerana x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 − x 1 2 − x 2 x 1 + x 1 x 2 = 0. Ini bermakna bahawa x 1– punca persamaan x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, Jadi apa x 1 juga merupakan punca bagi persamaan setara x 2 + p x + q = 0.
Penggantian ke dalam persamaan x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0 nombor x 2 bukannya x membolehkan kita memperoleh kesaksamaan x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = 0. Persamaan ini boleh dianggap benar, kerana x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 − x 1 x 2 − x 2 2 + x 1 x 2 = 0. Ternyata begitu x 2 ialah punca persamaan x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, dan oleh itu persamaan x 2 + p x + q = 0.
Kebalikan teorem Vieta telah terbukti.
Contoh penggunaan teorem Vieta
Sekarang mari kita mula menganalisis contoh paling tipikal mengenai topik tersebut. Mari kita mulakan dengan menganalisis masalah yang memerlukan aplikasi songsang teorem kepada teorem Vieta. Ia boleh digunakan untuk menyemak nombor yang dihasilkan oleh pengiraan untuk melihat sama ada ia adalah punca bagi persamaan kuadratik yang diberikan. Untuk melakukan ini, anda perlu mengira jumlah dan perbezaannya, dan kemudian semak kesahihan hubungan x 1 + x 2 = - b a, x 1 · x 2 = a c.
Pemenuhan kedua-dua hubungan menunjukkan bahawa nombor yang diperoleh semasa pengiraan adalah punca persamaan. Jika kita melihat bahawa sekurang-kurangnya satu syarat tidak dipenuhi, maka nombor ini tidak boleh menjadi punca persamaan kuadratik yang diberikan dalam pernyataan masalah.
Contoh 1
Manakah antara pasangan nombor 1) x 1 = − 5, x 2 = 3, atau 2) x 1 = 1 - 3, x 2 = 3 + 3, atau 3) x 1 = 2 + 7 2, x 2 = 2 - 7 2 ialah pasangan punca-punca persamaan kuadratik 4 x 2 − 16 x + 9 = 0?
Penyelesaian
Mari kita cari pekali bagi persamaan kuadratik 4 x 2 − 16 x + 9 = 0. Ini ialah a = 4, b = − 16, c = 9. Menurut teorem Vieta, jumlah punca-punca persamaan kuadratik mestilah sama dengan - b a, iaitu, 16 4 = 4 , dan hasil darab akar mestilah sama c a, iaitu, 9 4 .
Mari kita semak nombor yang diperoleh dengan mengira jumlah dan hasil darab nombor daripada tiga pasangan yang diberikan dan membandingkannya dengan nilai yang diperoleh.
Dalam kes pertama x 1 + x 2 = − 5 + 3 = − 2. Nilai ini berbeza daripada 4, oleh itu, semakan tidak perlu diteruskan. Menurut teorem yang bertentangan dengan teorem Vieta, kita boleh segera membuat kesimpulan bahawa pasangan nombor pertama bukanlah punca persamaan kuadratik ini.
Dalam kes kedua, x 1 + x 2 = 1 - 3 + 3 + 3 = 4. Kami melihat bahawa syarat pertama dipenuhi. Tetapi syarat kedua bukan: x 1 · x 2 = 1 - 3 · 3 + 3 = 3 + 3 - 3 · 3 - 3 = - 2 · 3. Nilai yang kita dapat berbeza dengan 9 4 . Ini bermakna pasangan nombor kedua bukanlah punca bagi persamaan kuadratik.
Mari kita teruskan untuk mempertimbangkan pasangan ketiga. Di sini x 1 + x 2 = 2 + 7 2 + 2 - 7 2 = 4 dan x 1 x 2 = 2 + 7 2 2 - 7 2 = 2 2 - 7 2 2 = 4 - 7 4 = 16 4 - 7 4 = 9 4. Kedua-dua syarat dipenuhi, yang bermaksud itu x 1 Dan x 2 ialah punca-punca bagi persamaan kuadratik tertentu.
Jawapan: x 1 = 2 + 7 2 , x 2 = 2 - 7 2
Kita juga boleh menggunakan kebalikan teorem Vieta untuk mencari punca-punca persamaan kuadratik. Cara paling mudah ialah memilih punca integer bagi persamaan kuadratik yang diberikan dengan pekali integer. Pilihan lain boleh dipertimbangkan. Tetapi ini boleh merumitkan pengiraan dengan ketara.
Untuk memilih punca, kami menggunakan fakta bahawa jika jumlah dua nombor adalah sama dengan pekali kedua persamaan kuadratik, diambil dengan tanda tolak, dan hasil darab nombor ini adalah sama dengan sebutan bebas, maka nombor ini adalah punca persamaan kuadratik ini.
Contoh 2
Sebagai contoh, kita menggunakan persamaan kuadratik x 2 − 5 x + 6 = 0. Nombor x 1 Dan x 2 boleh menjadi punca bagi persamaan ini jika dua kesamaan dipenuhi x 1 + x 2 = 5 Dan x 1 x 2 = 6. Jom pilih nombor ini. Ini adalah nombor 2 dan 3, kerana 2 + 3 = 5 Dan 2 3 = 6. Ternyata 2 dan 3 adalah punca bagi persamaan kuadratik ini.
Sebaliknya teorem Vieta boleh digunakan untuk mencari punca kedua apabila yang pertama diketahui atau jelas. Untuk melakukan ini, kita boleh menggunakan hubungan x 1 + x 2 = - b a, x 1 · x 2 = c a.
Contoh 3
Pertimbangkan persamaan kuadratik 512 x 2 − 509 x − 3 = 0. Ia adalah perlu untuk mencari punca-punca persamaan ini.
Penyelesaian
Punca pertama persamaan ialah 1, kerana jumlah pekali persamaan kuadratik ini ialah sifar. Ternyata begitu x 1 = 1.
Sekarang mari kita cari punca kedua. Untuk ini, anda boleh menggunakan hubungan x 1 x 2 = c a. Ternyata begitu 1 x 2 = − 3,512, di mana x 2 = - 3,512.
Jawapan: punca persamaan kuadratik yang dinyatakan dalam pernyataan masalah 1 Dan - 3 512 .
Adalah mungkin untuk memilih punca menggunakan teorem songsang kepada teorem Vieta hanya dalam kes mudah. Dalam kes lain, adalah lebih baik untuk mencari menggunakan formula untuk punca-punca persamaan kuadratik melalui diskriminasi.
Terima kasih kepada kebalikan teorem Vieta, kita juga boleh membina persamaan kuadratik menggunakan punca sedia ada x 1 Dan x 2. Untuk melakukan ini, kita perlu mengira jumlah akar, yang memberikan pekali untuk x dengan tanda berlawanan bagi persamaan kuadratik yang diberikan, dan hasil darab akar-akar, yang memberikan sebutan bebas.
Contoh 4
Tulis persamaan kuadratik yang puncanya ialah nombor − 11 Dan 23 .
Penyelesaian
Mari kita anggap itu x 1 = − 11 Dan x 2 = 23. Jumlah dan hasil darab nombor ini akan sama: x 1 + x 2 = 12 Dan x 1 x 2 = − 253. Ini bermakna pekali kedua ialah 12, sebutan bebas − 253.
Mari kita buat persamaan: x 2 − 12 x − 253 = 0.
Jawab: x 2 − 12 x − 253 = 0 .
Kita boleh menggunakan teorem Vieta untuk menyelesaikan masalah yang melibatkan tanda-tanda punca persamaan kuadratik. Hubungan antara teorem Vieta berkaitan dengan tanda-tanda akar persamaan kuadratik terkurang x 2 + p x + q = 0 seperti berikut:
- jika persamaan kuadratik mempunyai punca nyata dan jika sebutan pintasan q ialah nombor positif, maka akar-akar ini akan mempunyai tanda yang sama "+" atau "-";
- jika persamaan kuadratik mempunyai punca dan jika sebutan pintasan q ialah nombor negatif, maka satu punca akan menjadi “+”, dan yang kedua “-”.
Kedua-dua pernyataan ini adalah akibat daripada formula x 1 x 2 = q dan peraturan untuk mendarab nombor positif dan negatif, serta nombor dengan tanda yang berbeza.
Contoh 5
Merupakan punca-punca persamaan kuadratik x 2 − 64 x − 21 = 0 positif?
Penyelesaian
Menurut teorem Vieta, punca-punca persamaan ini tidak boleh kedua-duanya positif, kerana ia mesti memenuhi kesamaan x 1 x 2 = − 21. Ini adalah mustahil dengan positif x 1 Dan x 2.
Jawapan: Tidak
Contoh 6
Pada nilai parameter apa r persamaan kuadratik x 2 + (r + 2) x + r − 1 = 0 akan mempunyai dua akar sebenar dengan tanda yang berbeza.
Penyelesaian
Mari kita mulakan dengan mencari nilai yang mana r, yang mana persamaan akan mempunyai dua punca. Mari kita cari yang membezakan dan lihat apa r ia akan mengambil nilai-nilai positif. D = (r + 2) 2 − 4 1 (r − 1) = r 2 + 4 r + 4 − 4 r + 4 = r 2 + 8. Nilai ungkapan r2+8 positif untuk apa-apa sebenar r, oleh itu, diskriminasi akan lebih besar daripada sifar untuk mana-mana sebenar r. Ini bermakna bahawa persamaan kuadratik asal akan mempunyai dua punca untuk sebarang nilai sebenar parameter r.
Sekarang mari kita lihat apabila akar mempunyai tanda yang berbeza. Ini boleh dilakukan jika produk mereka negatif. Menurut teorem Vieta, hasil darab punca persamaan kuadratik terkurang adalah sama dengan sebutan bebas. Ini bermakna bahawa penyelesaian yang betul ialah nilai tersebut r, yang mana sebutan bebas r − 1 adalah negatif. Mari kita selesaikan ketaksamaan linear r − 1< 0 , получаем r < 1 .
Jawapan: di r< 1 .
Formula Vieta
Terdapat beberapa formula yang boleh digunakan untuk menjalankan operasi dengan punca dan pekali bukan sahaja kuadratik, tetapi juga kubik dan jenis persamaan lain. Mereka dipanggil formula Vieta.
Untuk persamaan algebra darjah n daripada bentuk a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + . . . + a n - 1 x + a n = 0 persamaan dianggap mempunyai n akar sebenar x 1 , x 2 , … , x n, antaranya mungkin sama:
x 1 + x 2 + x 3 + . . . + x n = - a 1 a 0 , x 1 · x 2 + x 1 · x 3 + . . . + x n - 1 · x n = a 2 a 0 , x 1 · x 2 · x 3 + x 1 · x 2 · x 4 + . . . + x n - 2 · x n - 1 · x n = - a 3 a 0 , . . . x 1 · x 2 · x 3 · . . . · x n = (- 1) n · a n a 0
Definisi 1
Formula Vieta membantu kami memperoleh:
- teorem tentang penguraian polinomial kepada faktor linear;
- penentuan polinomial yang sama melalui kesamaan semua pekali sepadannya.
Oleh itu, polinomial a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + . . . + a n - 1 · x + a n dan pengembangannya kepada faktor linear bentuk a 0 · (x - x 1) · (x - x 2) · . . . · (x - x n) adalah sama.
Jika kita membuka kurungan dalam produk terakhir dan menyamakan pekali yang sepadan, kita memperoleh formula Vieta. Mengambil n = 2, kita boleh mendapatkan formula Vieta untuk persamaan kuadratik: x 1 + x 2 = - a 1 a 0, x 1 · x 2 = a 2 a 0.
Definisi 2
Formula Vieta untuk persamaan padu:
x 1 + x 2 + x 3 = - a 1 a 0 , x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = a 2 a 0 , x 1 x 2 x 3 = - a 3 a 0
Bahagian kiri formula Vieta mengandungi polinomial simetri asas yang dipanggil.
Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter
Mana-mana persamaan kuadratik lengkap ax 2 + bx + c = 0 boleh diingatkan x 2 + (b/a)x + (c/a) = 0, jika anda membahagikan setiap sebutan dahulu dengan pekali a sebelum x 2. Dan jika kita memperkenalkan tatatanda baharu (b/a) = hlm Dan (c/a) = q, maka kita akan mempunyai persamaan x 2 + px + q = 0, yang dalam matematik dipanggil persamaan kuadratik yang diberikan.
Punca bagi persamaan kuadratik terkurang dan pekali hlm Dan q bersambung antara satu sama lain. Ini disahkan Teorem Vieta, dinamakan sempena ahli matematik Perancis Francois Vieta, yang hidup pada akhir abad ke-16.
Teorem. Jumlah punca bagi persamaan kuadratik terkurang x 2 + px + q = 0 sama dengan pekali kedua hlm, diambil dengan tanda yang bertentangan, dan hasil darab akar - kepada istilah bebas q.
Mari kita tulis hubungan ini dalam bentuk berikut:
biarlah x 1 Dan x 2 punca yang berbeza bagi persamaan yang diberikan x 2 + px + q = 0. Mengikut teorem Vieta x 1 + x 2 = -p Dan x 1 x 2 = q.
Untuk membuktikannya, mari kita gantikan setiap punca x 1 dan x 2 ke dalam persamaan. Kami mendapat dua persamaan sebenar:
x 1 2 + px 1 + q = 0
x 2 2 + px 2 + q = 0
Mari kita tolak yang kedua daripada kesamaan pertama. Kami mendapat: 
x 1 2 – x 2 2 + p(x 1 – x 2) = 0
Kami mengembangkan dua sebutan pertama menggunakan formula perbezaan kuasa dua:
(x 1 – x 2)(x 1 – x 2) + p(x 1 – x 2) = 0
Mengikut syarat, akar x 1 dan x 2 adalah berbeza. Oleh itu, kita boleh mengurangkan kesamaan kepada (x 1 – x 2) ≠ 0 dan menyatakan p.
(x 1 + x 2) + p = 0;
(x 1 + x 2) = -p.
Persamaan pertama telah terbukti.
Untuk membuktikan kesamaan kedua, kita gantikan ke dalam persamaan pertama
x 1 2 + px 1 + q = 0 bukannya pekali p, nombor yang sama ialah (x 1 + x 2):
x 1 2 – (x 1 + x 2) x 1 + q = 0
Mengubah sisi kiri persamaan, kita dapat:
x 1 2 – x 2 2 – x 1 x 2 + q = 0;
x 1 x 2 = q, iaitu apa yang perlu dibuktikan.
Teorem Vieta bagus kerana Walaupun tanpa mengetahui punca-punca persamaan kuadratik, kita boleh mengira jumlah dan hasil darabnya .
Teorem Vieta membantu menentukan punca integer bagi persamaan kuadratik tertentu. Tetapi ini menyebabkan kesukaran kepada ramai pelajar kerana fakta bahawa mereka tidak mengetahui algoritma tindakan yang jelas, terutamanya jika akar persamaan mempunyai tanda yang berbeza.
Jadi, persamaan kuadratik di atas mempunyai bentuk x 2 + px + q = 0, di mana x 1 dan x 2 ialah puncanya. Mengikut teorem Vieta, x 1 + x 2 = -p dan x 1 x 2 = q.
Kesimpulan berikut boleh dibuat.
Jika sebutan terakhir dalam persamaan didahului oleh tanda tolak, maka akar x 1 dan x 2 mempunyai tanda yang berbeza. Di samping itu, tanda akar yang lebih kecil bertepatan dengan tanda pekali kedua dalam persamaan.
Berdasarkan fakta bahawa apabila menambah nombor dengan tanda yang berbeza, moduli mereka ditolak, dan hasil yang terhasil didahului oleh tanda nombor modulo yang lebih besar, anda harus meneruskan seperti berikut:
- tentukan faktor nombor q supaya perbezaannya sama dengan nombor p;
- letakkan tanda pekali kedua persamaan di hadapan nombor yang lebih kecil daripada nombor yang terhasil; punca kedua akan mempunyai tanda yang bertentangan.
Mari lihat beberapa contoh.
Contoh 1.
Selesaikan persamaan x 2 – 2x – 15 = 0.
Penyelesaian.
Mari cuba selesaikan persamaan ini menggunakan peraturan yang dicadangkan di atas. Kemudian kita boleh mengatakan dengan pasti bahawa persamaan ini akan mempunyai dua punca yang berbeza, kerana D = b 2 – 4ac = 4 – 4 · (-15) = 64 > 0.
Sekarang, daripada semua faktor nombor 15 (1 dan 15, 3 dan 5), kami memilih mereka yang perbezaannya ialah 2. Ini akan menjadi nombor 3 dan 5. Kami meletakkan tanda tolak di hadapan nombor yang lebih kecil, i.e. tanda pekali kedua persamaan. Oleh itu, kita memperoleh punca-punca persamaan x 1 = -3 dan x 2 = 5.
Jawab. x 1 = -3 dan x 2 = 5.
Contoh 2.
Selesaikan persamaan x 2 + 5x – 6 = 0.
Penyelesaian.
Mari kita semak sama ada persamaan ini mempunyai punca. Untuk melakukan ini, kami mendapati diskriminasi:
D = b 2 – 4ac = 25 + 24 = 49 > 0. Persamaan mempunyai dua punca yang berbeza.
Kemungkinan faktor nombor 6 ialah 2 dan 3, 6 dan 1. Perbezaannya ialah 5 untuk pasangan 6 dan 1. Dalam contoh ini, pekali bagi sebutan kedua mempunyai tanda tambah, jadi nombor yang lebih kecil akan mempunyai tanda yang sama. . Tetapi sebelum nombor kedua akan ada tanda tolak.
Jawapan: x 1 = -6 dan x 2 = 1.
Teorem Vieta juga boleh ditulis untuk persamaan kuadratik lengkap. Jadi, jika persamaan kuadratik ax 2 + bx + c = 0 mempunyai punca x 1 dan x 2, maka kesamaan berlaku untuk mereka
x 1 + x 2 = -(b/a) Dan x 1 x 2 = (c/a). Walau bagaimanapun, aplikasi teorem ini dalam persamaan kuadratik lengkap agak bermasalah, kerana jika ada punca, sekurang-kurangnya satu daripadanya ialah nombor pecahan. Dan bekerja dengan memilih pecahan agak sukar. Tetapi masih ada jalan keluar.
Pertimbangkan persamaan kuadratik lengkap ax 2 + bx + c = 0. Darabkan sisi kiri dan kanannya dengan pekali a. Persamaan akan mengambil bentuk (ax) 2 + b(ax) + ac = 0. Sekarang mari kita perkenalkan pembolehubah baru, contohnya t = ax.
Dalam kes ini, persamaan yang terhasil akan bertukar menjadi persamaan kuadratik terkurang dalam bentuk t 2 + bt + ac = 0, punca-punca t 1 dan t 2 (jika ada) boleh ditentukan oleh teorem Vieta.
Dalam kes ini, punca-punca persamaan kuadratik asal ialah
x 1 = (t 1 / a) dan x 2 = (t 2 / a).
Contoh 3.
Selesaikan persamaan 15x 2 – 11x + 2 = 0.
Penyelesaian.
Mari kita buat persamaan bantu. Mari kita darabkan setiap sebutan persamaan dengan 15:
15 2 x 2 – 11 15x + 15 2 = 0.
Kami membuat penggantian t = 15x. Kami ada:
t 2 – 11t + 30 = 0.
Menurut teorem Vieta, punca-punca persamaan ini ialah t 1 = 5 dan t 2 = 6.
Kami kembali kepada penggantian t = 15x:
5 = 15x atau 6 = 15x. Jadi x 1 = 5/15 dan x 2 = 6/15. Kami mengurangkan dan mendapat jawapan akhir: x 1 = 1/3 dan x 2 = 2/5.
Jawab. x 1 = 1/3 dan x 2 = 2/5.
Untuk menguasai penyelesaian persamaan kuadratik menggunakan teorem Vieta, pelajar perlu berlatih sebanyak mungkin. Inilah sebenarnya rahsia kejayaan.
laman web, apabila menyalin bahan sepenuhnya atau sebahagian, pautan ke sumber diperlukan.