Kami akan memulakan kajian trigonometri kami dengan segi tiga tepat. Mari kita tentukan sinus dan kosinus, serta tangen dan kotangen sudut akut. Ini adalah asas trigonometri.
Biar kami ingatkan anda itu sudut tepat ialah sudut sama dengan 90 darjah. Dalam erti kata lain, separuh sudut berpaling.
Sudut tajam- kurang daripada 90 darjah.
Sudut cakah- lebih daripada 90 darjah. Berhubung dengan sudut sedemikian, "bodoh" bukanlah satu penghinaan, tetapi istilah matematik :-)
Mari kita lukis segi tiga tepat. Sudut tegak biasanya dilambangkan dengan . Sila ambil perhatian bahawa bahagian yang bertentangan dengan sudut ditunjukkan oleh huruf yang sama, hanya kecil. Oleh itu, sisi bertentangan sudut A ditetapkan .
Sudut ditunjukkan oleh yang sepadan huruf Yunani.
Hipotenus bagi segi tiga tegak ialah sisi yang bertentangan sudut tepat.
kaki- sisi terletak bertentangan sudut akut.
Kaki yang terletak bertentangan dengan sudut dipanggil bertentangan(berbanding dengan sudut). Kaki yang lain, yang terletak pada salah satu sisi sudut, dipanggil bersebelahan.
Resdung sudut lancip dalam segi tiga tepat ialah nisbah kaki bertentangan kepada hipotenus:
kosinus sudut akut dalam segi tiga tepat - nisbah kaki bersebelahan kepada hipotenus:
Tangen sudut akut dalam segi tiga tepat - nisbah sisi bertentangan dengan yang bersebelahan:
Takrifan lain (bersamaan): tangen bagi sudut akut ialah nisbah sinus sudut kepada kosinusnya:
Kotangen sudut akut dalam segi tiga tepat - nisbah sisi bersebelahan dengan yang bertentangan (atau, yang sama, nisbah kosinus kepada sinus):
Perhatikan hubungan asas untuk sinus, kosinus, tangen, dan kotangen di bawah. Mereka akan berguna kepada kita apabila menyelesaikan masalah.
Mari kita buktikan sebahagian daripada mereka.
Okay, kami telah memberikan definisi dan formula yang ditulis. Tetapi mengapa kita masih memerlukan sinus, kosinus, tangen dan kotangen?
Kami tahu itu hasil tambah sudut mana-mana segi tiga adalah sama dengan.
Kami tahu hubungan antara pihak segi tiga tepat. Ini ialah teorem Pythagoras: .
Ternyata dengan mengetahui dua sudut dalam segitiga, anda boleh mencari yang ketiga. Mengetahui dua sisi segi tiga tepat, anda boleh mencari yang ketiga. Ini bermakna bahawa sudut mempunyai nisbah mereka sendiri, dan sisi mempunyai sendiri. Tetapi apakah yang perlu anda lakukan jika dalam segi tiga tepat anda tahu satu sudut (kecuali sudut tepat) dan satu sisi, tetapi anda perlu mencari sisi yang lain?
Inilah yang dihadapi orang pada masa lalu apabila membuat peta kawasan dan langit berbintang. Lagipun, tidak selalu mungkin untuk mengukur secara langsung semua sisi segitiga.
Sinus, kosinus dan tangen - mereka juga dipanggil fungsi sudut trigonometri- memberi hubungan antara pihak Dan sudut segi tiga. Mengetahui sudut, anda boleh menemui semuanya fungsi trigonometri mengikut jadual khas. Dan mengetahui sinus, kosinus dan tangen bagi sudut segitiga dan salah satu sisinya, anda boleh mencari yang lain.
Kami juga akan melukis jadual nilai sinus, kosinus, tangen dan kotangen untuk sudut "baik" dari ke.
Sila ambil perhatian dua sempang merah di dalam jadual. Pada nilai sudut yang sesuai, tangen dan kotangen tidak wujud.
Mari kita lihat beberapa masalah trigonometri daripada Bank Tugas FIPI.
1. Dalam segitiga, sudutnya ialah , . Cari .
Masalahnya diselesaikan dalam masa empat saat.
Kerana ia , .
2. Dalam segitiga, sudutnya ialah , , . Cari .
Mari cari menggunakan teorem Pythagoras.
Masalah selesai.
Selalunya dalam masalah terdapat segi tiga dengan sudut dan atau dengan sudut dan. Ingat nisbah asas untuk mereka dengan hati!
Untuk segi tiga dengan sudut dan kaki bertentangan sudut di adalah sama dengan separuh daripada hipotenus.
Segitiga bersudut dan adalah sama kaki. Di dalamnya, hipotenus adalah kali lebih besar daripada kaki.
Kami melihat masalah menyelesaikan segi tiga tepat - iaitu, mencari pihak yang tidak dikenali atau sudut. Tetapi bukan itu sahaja! DALAM Pilihan Peperiksaan Negeri Bersatu dalam matematik terdapat banyak masalah di mana sinus, kosinus, tangen atau kotangen sudut luar segitiga muncul. Lebih lanjut mengenai perkara ini dalam artikel seterusnya.
Belakang ke hadapan
Perhatian! Pratonton slaid adalah untuk tujuan maklumat sahaja dan mungkin tidak mewakili semua ciri pembentangan. Jika anda berminat kerja ini, sila muat turun versi penuh.
Objektif pelajaran:
- memperkenalkan konsep sinus, kosinus dan tangen bagi sudut akut bagi segi tiga tegak;
- menunjukkan bagaimana sinus, kosinus dan tangen digunakan dalam menyelesaikan masalah;
- pembangunan kemahiran memerhati, membandingkan, menganalisis dan membuat kesimpulan.
Semasa kelas
Mengemas kini pengetahuan (mengenal pasti masalah utama pelajaran)
Dijalankan dalam bentuk tinjauan hadapan.
cikgu. Di papan tulis anda melihat ringkasan 6 masalah< Рисунок 1>. Ingat yang manakah antara masalah ini yang anda sudah tahu bagaimana untuk menyelesaikannya? Selesaikan masalah ini. Merumus teorem yang sepadan.
Gambar 1
pelajar:
Tugasan 1. Jawapan: 5. Dalam segi tiga tegak, kaki terletak bertentangan dengan sudut 30° sama dengan separuh hipotenus.
Tugasan 2. Jawapan: 41°. Jumlah sudut pedalaman segitiga ialah 180°.
Tugasan 3. Jawapan: 10. Kuadrat hipotenus segi tiga tegak adalah sama dengan hasil tambah kuasa dua kaki.
Masalah 4-6 kita tidak boleh membuat keputusan.
cikgu. Mengapa anda tidak boleh menyelesaikan masalah 4-6? Apakah persoalan yang timbul?
pelajar. Kita tak tahu apa itu tgB, sinA, cosB.
cikgu. sinA, cosB, tanB dibaca: “sinus sudut A”, “kosinus sudut B” dan “tangen sudut B”. Hari ini kita akan mempelajari maksud setiap ungkapan ini dan belajar cara menyelesaikan masalah seperti 4-6.
Pengenalan bahan baru
Dijalankan dalam bentuk perbualan heuristik.
cikgu. Lukis segi tiga tegak dengan kaki 3 dan 4, 6 dan 8. Labelkannya ABC dan A 1 B 1 C 1 supaya B dan B 1 ialah sudut bertentangan dengan kaki 4 dan 8, dan sudut tegak ialah C, C 1. Adakah sudut B dan B1 sama? kenapa?
pelajar. Sama kerana segi tiga adalah serupa. AC: BC = A 1 C 1: B 1 C 1 (3: 4 = 6: 8) dan sudut di antaranya adalah betul.<Рисунок 2>
cikgu. Kesamaan apakah hubungan lain yang diikuti daripada kesamaan segitiga ABC dan A 1 B 1 C 1?
pelajar. BC: AB = B 1 C 1: A 1 B 1, AC: AB = A 1 C 1: A 1 B 1.
cikgu. AC: AB = A 1 C 1: A 1 B 1 = sinB = sinB 1.
BC: AB = B 1 C 1: A 1 B 1 = cosB = cosB 1. AC: BC = A 1 C 1: B 1 C 1 = tgB = tgB 1. Kaki AC bertentangan dengan sudut B, dan kaki BC bersebelahan dengan sudut ini. Nyatakan takrif sinus, kosinus dan tangen.
pelajar. Sinus bagi sudut akut segi tiga tepat ialah nisbah sisi bertentangan dengan hipotenus.
Kosinus sudut akut segi tiga tegak ialah nisbah kaki bersebelahan dengan hipotenus.
Tangen bagi sudut akut segi tiga tegak ialah nisbah sisi bertentangan dengan sisi bersebelahan.
cikgu. Tuliskan sinus, kosinus dan tangen sudut A sendiri (slaid 1). Formula yang terhasil (1), (2), (3):
(1)
Jadi, kita telah mempelajari sinus, kosinus dan tangen bagi sudut akut bagi segi tiga tegak. Secara umumnya, konsep sinus, kosinus dan tangen mempunyai sejarah yang panjang. Dengan mengkaji hubungan antara sisi dan sudut segitiga, saintis purba menemui cara untuk mengira pelbagai elemen segi tiga. Pengetahuan ini digunakan terutamanya untuk menyelesaikan masalah astronomi praktikal, untuk menentukan jarak yang tidak boleh diakses.
Penyatuan
cikgu. Mari selesaikan masalah No. 591 (a, b).
Tugasan dipaparkan pada skrin (slaid 2). Tugasan "a" diselesaikan di papan tulis dengan penjelasan penuh; "b" - secara bebas, diikuti dengan memeriksa satu sama lain.
Cari sinus, kosinus dan tangen bagi sudut A dan B bagi segi tiga ABC dengan sudut tegak C, jika: a) BC = 8, AB = 17; b) BC = 21, AC = 20.
Penyelesaian. a) = . = , menggunakan teorem Pythagoras kita dapati AC = 15,
= ; b), menggunakan teorem Pythagoras kita dapati AB = 29, . . .cikgu. Sekarang mari kita kembali kepada masalah 4–6<Рисунок 1>. Mari kita bincangkan apa yang diketahui dalam masalah 4–6 dan apa yang perlu ditemui?
Tugasan 4. Apa yang diketahui? Apa yang anda perlu cari?
pelajar. BC = 7 dan tan B = 3.5 diketahui. Kita perlu mencari AC.
cikgu. Apakah tg B?
pelajar. .
cikgu. Kami bekerja dengan formula. Formula terdiri daripada tiga komponen. Namakan mereka. Apakah komponen yang diketahui? Komponen manakah yang tidak diketahui? Bolehkah anda mencarinya? Cari ia.
pelajar. AC = BC * tg B = 7 * 3.5 = 24.5
cikgu. Menggunakan contoh ini, selesaikan masalah 5 dan 6<Рисунок 1>. 1 pelajar bekerja di papan tertutup
cikgu.
1. Beritahu saya, adakah anda berjaya mencari perkara yang tidak diketahui?
2. Apakah urutan tindakan anda?
3. Mungkin ada penyelesaian lain?
pelajar.1. ya. Dengan mudah. Mengikut contoh. Masalah 5. Jawapan: 10. Masalah 6. Jawapan: 2.5
2. Mula-mula, kita menggantikan sinus dan kosinus sudut yang sepadan mengikut takrifan dengan nisbah yang sepadan, kemudian kita meletakkan data yang diketahui dalam perkadaran yang terhasil, selepas itu kita mencari yang tidak diketahui.
cikgu. yang mana kesimpulan umum bolehkah ia dilakukan selepas menyelesaikan masalah 4–6? Apakah masalah baharu yang telah kita pelajari untuk selesaikan dalam segi tiga tepat? Fikir dan rumuskan kesimpulan anda.
pelajar. Jika dalam segi tiga tepat anda mengetahui satu sisi dan nisbah sisi itu kepada salah satu sisi yang lain, atau satu sisi dan nisbah satu sisi yang lain kepada sisi yang diketahui (sama ada sinus, kosinus, atau tangen), maka anda boleh cari bahagian kedua ini.
Penyelesaian masalah.
Sekarang cuba selesaikan masalah ini 7–9<Рисунок 3>.
Rajah 3
pelajar. Kami tidak tahu bagaimana untuk menyelesaikannya.
cikgu. Mari kita kembali kepada masalah 1<Рисунок 1>. Mari kita ubah keadaan masalah. Biarkan NK = 5, NM = 10. Cari sudut M.
pelajar. Sudut M adalah sama dengan 30°, kerana kaki yang bertentangan dengan sudut M adalah sama dengan separuh hipotenus.
cikgu. Iaitu, ternyata jika sinus sudut ialah 0.5, maka sudutnya ialah 30°. Sekarang mari kita selesaikan masalah No. 592 (a, c, d)
No. 592. Bina satu sudut a, jika: a) c) d) .
Penyelesaian.
a) Di sisi sudut tepat kita akan meletakkan segmen panjang 1 dan 2 dan menyambungkan hujung segmen. Dalam segi tiga yang terhasil, sudut bertentangan kaki 1 ialah sudut yang dikehendaki a;
c) 0.2 = . Pada satu sisi sudut tepat dari bucunya, kita letakkan segmen panjang 1. Bina bulatan jejari 5 dengan pusat di hujung segmen yang diberhentikan. Titik persilangan bulatan dengan sisi kedua sudut kanan disambungkan ke hujung segmen yang dibentangkan pada sisi pertama sudut. Dalam segi tiga yang terhasil, sudut yang bersebelahan dengan kaki panjang 1 ialah sudut a; (slaid 4)
e) Pada satu sisi sudut tepat dari bucunya, kita letakkan segmen panjang 1. Bina bulatan jejari 2 dengan pusat di hujung segmen yang diberhentikan. Titik persilangan bulatan dengan sisi kedua sudut kanan disambungkan ke hujung segmen yang dibentangkan pada sisi pertama sudut. Dalam segi tiga yang terhasil, sudut yang bertentangan dengan kaki panjang 1 ialah sudut yang dikehendaki a.(slaid 5)
Anda telah membina sudut, yang bermaksud anda telah menemui sudut. Mereka boleh diukur dan dibentangkan dalam bentuk jadual.
Begitu juga, anda boleh menyelesaikan masalah 7-9<Рисунок 3>
Merumuskan
cikgu. Sila jawab soalan:
1. Apakah sinus, kosinus dan tangen bagi sudut tegak dalam segi tiga tepat?
2. Terdapat 6 unsur dalam segi tiga tegak. Apakah masalah baharu yang telah anda pelajari untuk selesaikan hari ini? Apakah perintah tindakan anda? Uji keupayaan anda untuk melakukan tindakan ini dengan betul (Kad individu diedarkan).
Anggaran kandungan kad: 1. B segi tiga ABC sudut C ialah garis lurus, BC = 2, Cari AB. 2. Dalam segi tiga ABC, sudut C ialah garis lurus, AC = 8, . Cari AB. 3. Dalam segi tiga ABC, sudut C adalah sama dengan 90°, AC = 6, . Cari matahari.
Pelajar membandingkan kerja mereka dengan penyelesaian siap pakai pada kad yang sepadan.
Tugasan kerja rumah: soalan 15 di muka surat 159; No. 591 (c, d), 592 (b, d, f) (slaid 6)
Rujukan
- Geometri. Darjah 7–9: buku teks. Untuk organisasi pendidikan/ [ L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev dan lain-lain]. – ed ke-2. – M.: Pendidikan, 2014.
Trigonometri - bahagian sains matematik, yang meneroka fungsi trigonometri dan penggunaannya dalam geometri. Perkembangan trigonometri bermula di Yunani purba. Semasa Zaman Pertengahan sumbangan penting Para saintis dari Timur Tengah dan India menyumbang kepada perkembangan sains ini.
Artikel ini didedikasikan untuk konsep asas dan definisi trigonometri. Ia membincangkan takrifan fungsi trigonometri asas: sinus, kosinus, tangen dan kotangen. Maknanya dijelaskan dan digambarkan dalam konteks geometri.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Pada mulanya, takrifan fungsi trigonometri yang hujahnya ialah sudut dinyatakan dalam sebutan nisbah sisi segi tiga tepat.
Definisi fungsi trigonometri
Sinus suatu sudut (sin α) ialah nisbah kaki yang bertentangan dengan sudut ini kepada hipotenus.
Kosinus sudut (cos α) - nisbah kaki bersebelahan dengan hipotenus.
Sudut tangen (t g α) - nisbah sisi bertentangan dengan sisi bersebelahan.
Kotangen sudut (c t g α) - nisbah sisi bersebelahan dengan sisi bertentangan.
Takrifan ini diberikan untuk sudut akut segi tiga tegak!
Mari beri ilustrasi.
DALAM segi tiga ABC dengan sudut tegak C sinus sudut A sama dengan nisbah kaki BC kepada hipotenus AB.
Takrif sinus, kosinus, tangen dan kotangen membolehkan anda mengira nilai-nilai fungsi ini daripada panjang sisi segitiga yang diketahui.
Penting untuk diingat!
Julat nilai sinus dan kosinus adalah dari -1 hingga 1. Dengan kata lain, sinus dan kosinus mengambil nilai dari -1 hingga 1. Julat nilai tangen dan kotangen ialah keseluruhan garis nombor, iaitu, fungsi ini boleh mengambil sebarang nilai.
Takrifan yang diberikan di atas digunakan untuk sudut akut. Dalam trigonometri, konsep sudut putaran diperkenalkan, yang nilainya, tidak seperti sudut akut, tidak terhad kepada 0 hingga 90 darjah Sudut putaran dalam darjah atau radian dinyatakan dengan sebarang nombor nyata dari - ∞ hingga + ∞. .
Dalam konteks ini, kita boleh mentakrifkan sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi sudut magnitud arbitrari. Mari kita bayangkan bulatan unit dengan pusatnya pada asal sistem koordinat Cartes.
Titik permulaan A dengan koordinat (1, 0) diputar mengelilingi pusat bulatan unit ke beberapa sudut α dan pergi ke titik A 1 . Takrifan diberikan dari segi koordinat titik A 1 (x, y).
Sinus (sin) sudut putaran
Sinus bagi sudut putaran α ialah ordinat bagi titik A 1 (x, y). dosa α = y
Kosinus (cos) sudut putaran
Kosinus bagi sudut putaran α ialah absis bagi titik A 1 (x, y). cos α = x
Tangen (tg) sudut putaran
Tangen bagi sudut putaran α ialah nisbah ordinat titik A 1 (x, y) kepada absisnya. t g α = y x
Kotangen (ctg) sudut putaran
Kotangen bagi sudut putaran α ialah nisbah absis titik A 1 (x, y) kepada ordinatnya. c t g α = x y
Sinus dan kosinus ditakrifkan untuk sebarang sudut putaran. Ini adalah logik, kerana absis dan ordinat titik selepas putaran boleh ditentukan pada mana-mana sudut. Keadaannya berbeza dengan tangen dan kotangen. Tangen tidak ditentukan apabila titik selepas putaran pergi ke titik dengan absis sifar (0, 1) dan (0, - 1). Dalam kes sedemikian, ungkapan untuk tangen t g α = y x hanya tidak masuk akal, kerana ia mengandungi pembahagian dengan sifar. Keadaannya serupa dengan kotangen. Perbezaannya ialah kotangen tidak ditakrifkan dalam kes di mana ordinat titik pergi ke sifar.
Penting untuk diingat!
Sinus dan kosinus ditakrifkan untuk sebarang sudut α.
Tangen ditakrifkan untuk semua sudut kecuali α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)
Kotangen ditakrifkan untuk semua sudut kecuali α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)
Apabila membuat keputusan contoh praktikal jangan sebut "sinus sudut putaran α". Perkataan "sudut putaran" hanya ditinggalkan, membayangkan bahawa ia sudah jelas daripada konteks apa yang dibincangkan.
Nombor
Bagaimana pula dengan takrif sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi suatu nombor, dan bukannya sudut putaran?
Sinus, kosinus, tangen, kotangen bagi suatu nombor
Sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi suatu nombor t ialah nombor yang masing-masing sama dengan sinus, kosinus, tangen dan kotangen dalam t radian.
Sebagai contoh, sinus nombor 10 π adalah sama dengan sinus sudut putaran 10 π rad.
Terdapat satu lagi pendekatan untuk menentukan sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi suatu nombor. Mari kita lihat dengan lebih dekat.
Sesiapa nombor sebenar t titik pada bulatan unit dikaitkan dengan pusat pada asal sistem koordinat Cartesan segi empat tepat. Sinus, kosinus, tangen dan kotangen ditentukan melalui koordinat titik ini.
Titik permulaan pada bulatan ialah titik A dengan koordinat (1, 0).
Nombor positif t
Nombor negatif t sepadan dengan titik di mana titik permulaan akan pergi jika ia bergerak mengelilingi bulatan mengikut lawan jam dan akan pergi jalan t.
Sekarang bahawa hubungan antara nombor dan titik pada bulatan telah diwujudkan, kita beralih kepada definisi sinus, kosinus, tangen dan kotangen.
Sinus (dosa) t
Sinus nombor t- koordinat titik pada bulatan unit yang sepadan dengan nombor t. dosa t = y
Kosinus (cos) bagi t
Kosinus bagi suatu nombor t- absis titik bulatan unit yang sepadan dengan nombor t. cos t = x
Tangen (tg) daripada t
Tangen bagi suatu nombor t- nisbah ordinat kepada absis titik pada bulatan unit yang sepadan dengan nombor t. t g t = y x = sin t cos t
Takrifan terkini adalah mengikut dan tidak bercanggah dengan takrifan yang diberikan pada permulaan perenggan ini. Satu titik pada bulatan sepadan dengan nombor t, bertepatan dengan titik di mana titik permulaan pergi selepas berpusing dengan sudut t radian.
Fungsi trigonometri bagi argumen sudut dan angka
Setiap nilai sudut α sepadan dengan nilai tertentu sinus dan kosinus sudut ini. Sama seperti semua sudut α selain daripada α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) sepadan dengan nilai tangen tertentu. Cotangent, seperti yang dinyatakan di atas, ditakrifkan untuk semua α kecuali α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).
Kita boleh mengatakan bahawa sin α, cos α, t g α, c t g α ialah fungsi alfa sudut, atau fungsi hujah sudut.
Begitu juga, kita boleh bercakap tentang sinus, kosinus, tangen dan kotangen sebagai fungsi hujah angka. Setiap nombor nyata t sepadan dengan nilai sinus atau kosinus tertentu bagi suatu nombor t. Semua nombor selain daripada π 2 + π · k, k ∈ Z, sepadan dengan nilai tangen. Cotangent, begitu juga, ditakrifkan untuk semua nombor kecuali π · k, k ∈ Z.
Fungsi asas trigonometri
Sinus, kosinus, tangen dan kotangen ialah fungsi trigonometri asas.
Ia biasanya jelas daripada konteks hujah fungsi trigonometri (hujah sudut atau hujah angka) yang sedang kita hadapi.
Mari kita kembali kepada takrifan yang diberikan pada awal-awal lagi dan sudut alfa, yang terletak dalam julat dari 0 hingga 90 darjah. Takrif trigonometri sinus, kosinus, tangen dan kotangen adalah selaras sepenuhnya dengan definisi geometri, diberi menggunakan nisbah bidang segi tiga tepat. Jom tunjuk.
Ambil bulatan unit dengan pusat pada segi empat tepat Sistem kartesian koordinat Mari kita putarkan titik permulaan A (1, 0) dengan sudut sehingga 90 darjah dan lukiskan serenjang dengan paksi absis dari titik A 1 (x, y) yang terhasil. Dalam segi tiga tegak yang terhasil, sudut A 1 O H adalah sama dengan sudut putaran α, panjang kaki O H adalah sama dengan absis titik A 1 (x, y). Panjang kaki yang bertentangan dengan sudut adalah sama dengan ordinat titik A 1 (x, y), dan panjang hipotenus adalah sama dengan satu, kerana ia adalah jejari bagi bulatan unit.
Selaras dengan definisi dari geometri, sinus sudut α adalah sama dengan nisbah sisi bertentangan dengan hipotenus.
sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y
Ini bermakna penentuan sinus sudut akut dalam segi tiga tepat melalui nisbah bidang adalah bersamaan dengan penentuan sinus sudut putaran α, dengan alfa terletak dalam julat dari 0 hingga 90 darjah.
Begitu juga, kesesuaian definisi boleh ditunjukkan untuk kosinus, tangen dan kotangen.
Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter
Dalam artikel ini kami akan menunjukkan cara memberi takrif sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi sudut dan nombor dalam trigonometri. Di sini kita akan bercakap tentang notasi, memberikan contoh entri, dan memberikan ilustrasi grafik. Kesimpulannya, mari kita lukiskan selari antara definisi sinus, kosinus, tangen dan kotangen dalam trigonometri dan geometri.
Navigasi halaman.
Definisi sinus, kosinus, tangen dan kotangen
Mari kita lihat bagaimana idea sinus, kosinus, tangen dan kotangen terbentuk kursus sekolah matematik. Dalam pelajaran geometri, takrif sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi sudut akut dalam segi tiga tepat diberikan. Dan kemudian trigonometri dikaji, yang bercakap tentang sinus, kosinus, tangen dan kotangen sudut putaran dan nombor. Mari kita kemukakan semua definisi ini, berikan contoh dan berikan ulasan yang diperlukan.
Sudut akut dalam segi tiga tepat
Daripada kursus geometri kita mengetahui takrif sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi sudut akut dalam segi tiga tegak. Mereka diberikan sebagai nisbah sisi segi tiga tepat. Mari kita berikan formulasi mereka.
Definisi.
Sinus sudut lancip dalam segi tiga tegak ialah nisbah sisi bertentangan dengan hipotenus.
Definisi.
Kosinus sudut lancip dalam segi tiga tegak ialah nisbah kaki bersebelahan dengan hipotenus.
Definisi.
Tangen bagi sudut lancip dalam segi tiga tegak– ini ialah nisbah sisi bertentangan dengan sisi bersebelahan.
Definisi.
Kotangen sudut lancip dalam segi tiga tegak- ini ialah nisbah sisi bersebelahan dengan sisi bertentangan.
Penamaan untuk sinus, kosinus, tangen dan kotangen juga diperkenalkan di sana - sin, cos, tg dan ctg, masing-masing.
Sebagai contoh, jika ABC ialah segi tiga tegak dengan sudut tegak C, maka sinus sudut akut A adalah sama dengan nisbah sisi bertentangan BC dengan hipotenus AB, iaitu sin∠A=BC/AB.
Takrifan ini membolehkan anda mengira nilai sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi sudut akut daripada panjang sisi segi tiga tepat yang diketahui, serta dari nilai yang diketahui cari panjang sisi yang lain menggunakan sinus, kosinus, tangen, kotangen dan panjang salah satu sisi. Sebagai contoh, jika kita tahu bahawa dalam segi tiga tepat kaki AC adalah sama dengan 3 dan hipotenus AB adalah sama dengan 7, maka kita boleh mengira nilai kosinus sudut akut A mengikut takrifan: cos∠A=AC/ AB=3/7.
Sudut putaran
Dalam trigonometri, mereka mula melihat sudut dengan lebih luas - mereka memperkenalkan konsep sudut putaran. Magnitud sudut putaran, tidak seperti sudut akut, tidak terhad kepada 0 hingga 90 darjah, sudut putaran dalam darjah (dan dalam radian) boleh dinyatakan dengan sebarang nombor nyata dari −∞ hingga +∞.
Dalam hal ini, takrif sinus, kosinus, tangen dan kotangen diberikan bukan sudut akut, tetapi sudut saiz sewenang-wenangnya - sudut putaran. Ia diberikan melalui koordinat x dan y titik A 1, yang dipanggil titik permulaan A(1, 0) selepas putarannya dengan sudut α di sekeliling titik O - permulaan sistem koordinat Cartesan segi empat tepat dan pusat bulatan unit.
Definisi.
Sinus sudut putaranα ialah ordinat bagi titik A 1, iaitu sinα=y.
Definisi.
Kosinus sudut putaranα dipanggil absis titik A 1, iaitu cosα=x.
Definisi.
Tangen sudut putaranα ialah nisbah ordinat titik A 1 kepada absisnya, iaitu tanα=y/x.
Definisi.
Kotangen sudut putaranα ialah nisbah absis titik A 1 kepada ordinatnya, iaitu ctgα=x/y.
Sinus dan kosinus ditakrifkan untuk sebarang sudut α, kerana kita sentiasa boleh menentukan absis dan ordinat titik, yang diperoleh dengan memutarkan titik permulaan dengan sudut α. Tetapi tangen dan kotangen tidak ditakrifkan untuk sebarang sudut. Tangen tidak ditakrifkan untuk sudut α di mana titik permulaan pergi ke titik dengan absis sifar (0, 1) atau (0, -1), dan ini berlaku pada sudut 90°+180° k, k∈Z (π). /2+π·k rad). Sesungguhnya, pada sudut putaran sedemikian, ungkapan tgα=y/x tidak masuk akal, kerana ia mengandungi pembahagian dengan sifar. Bagi kotangen, ia tidak ditakrifkan untuk sudut α di mana titik permulaan pergi ke titik dengan koordinat sifar (1, 0) atau (−1, 0), dan ini berlaku untuk sudut 180° k, k ∈Z (π·k rad).
Jadi, sinus dan kosinus ditakrifkan untuk mana-mana sudut putaran, tangen ditakrifkan untuk semua sudut kecuali 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad), dan kotangen ditakrifkan untuk semua sudut kecuali 180° ·k , k∈Z (π·k rad).
Takrifan termasuk sebutan yang telah diketahui oleh kita sin, cos, tg dan ctg, ia juga digunakan untuk menentukan sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi sudut putaran (kadangkala anda boleh mencari sebutan tan dan cot yang sepadan dengan tangen dan kotangen) . Jadi sinus sudut putaran 30 darjah boleh ditulis sebagai sin30°, entri tg(−24°17′) dan ctgα sepadan dengan tangen sudut putaran −24 darjah 17 minit dan kotangen sudut putaran α . Ingat bahawa apabila menulis ukuran radian sudut, sebutan "rad" selalunya ditinggalkan. Contohnya, kosinus sudut putaran tiga pi rad biasanya dilambangkan sebagai cos3·π.
Sebagai kesimpulan perkara ini, perlu diperhatikan bahawa apabila bercakap tentang sinus, kosinus, tangen dan kotangen sudut putaran, frasa "sudut putaran" atau perkataan "putaran" sering ditinggalkan. Iaitu, bukannya frasa "sinus alfa sudut putaran", frasa "sinus sudut alfa" atau, lebih pendek lagi, "sinus alfa" biasanya digunakan. Perkara yang sama berlaku untuk kosinus, tangen, dan kotangen.
Kami juga akan mengatakan bahawa takrif sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi sudut akut dalam segi tiga tepat adalah konsisten dengan takrifan yang baru diberikan untuk sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi sudut putaran antara 0 hingga 90 darjah. Kami akan membenarkan ini.
Nombor
Definisi.
Sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi suatu nombor t ialah nombor sama dengan sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi sudut putaran dalam t radian, masing-masing.
Contohnya, kosinus bagi nombor 8 π mengikut takrifan ialah nombor sama dengan kosinus sudut 8·π rad. Dan kosinus sudut ialah 8 π rad sama dengan satu, oleh itu, kosinus bagi nombor 8·π adalah sama dengan 1.
Terdapat satu lagi pendekatan untuk menentukan sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi suatu nombor. Ia terdiri daripada fakta bahawa setiap nombor nyata t dikaitkan dengan titik pada bulatan unit dengan pusat pada asal sistem koordinat segi empat tepat, dan sinus, kosinus, tangen dan kotangen ditentukan melalui koordinat titik ini. Mari kita lihat ini dengan lebih terperinci.
Mari kita tunjukkan bagaimana surat-menyurat diwujudkan antara nombor nyata dan titik pada bulatan:
- nombor 0 diberikan titik permulaan A(1, 0);
- nombor positif t dikaitkan dengan titik pada bulatan unit yang akan kita sampaii jika kita bergerak sepanjang bulatan dari titik permulaan mengikut arah lawan jam dan mari kita berjalan di laluan panjang t;
- nombor negatif t dikaitkan dengan titik bulatan unit, yang akan kita sampaii jika kita bergerak sepanjang bulatan dari titik permulaan mengikut arah jam dan berjalan di laluan sepanjang |t| .
Sekarang kita beralih kepada takrif sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi nombor t. Mari kita andaikan bahawa nombor t sepadan dengan titik pada bulatan A 1 (x, y) (contohnya, nombor &pi/2; sepadan dengan titik A 1 (0, 1)).
Definisi.
Sinus nombor t ialah ordinat titik pada bulatan unit yang sepadan dengan nombor t, iaitu sint=y.
Definisi.
Kosinus nombor t dipanggil absis titik bulatan unit yang sepadan dengan nombor t, iaitu kos=x.
Definisi.
Tangen nombor t ialah nisbah ordinat kepada absis titik pada bulatan unit yang sepadan dengan nombor t, iaitu tgt=y/x. Dalam rumusan setara yang lain, tangen bagi suatu nombor t ialah nisbah sinus nombor ini kepada kosinus, iaitu, tgt=sint/kos.
Definisi.
Kotangen nombor t ialah nisbah absis kepada ordinat titik pada bulatan unit yang sepadan dengan nombor t, iaitu ctgt=x/y. Rumusan lain ialah ini: tangen bagi nombor t ialah nisbah kosinus nombor t kepada sinus nombor t: ctgt=kos/sint.
Di sini kita perhatikan bahawa takrifan yang baru diberikan adalah konsisten dengan takrifan yang diberikan pada permulaan perenggan ini. Sesungguhnya, titik pada bulatan unit yang sepadan dengan nombor t bertepatan dengan titik yang diperoleh dengan memutarkan titik permulaan dengan sudut t radian.
Ia masih bernilai menjelaskan perkara ini. Katakan kita mempunyai entri sin3. Bagaimanakah kita boleh memahami sama ada kita bercakap tentang sinus nombor 3 atau sinus sudut putaran 3 radian? Ini biasanya jelas dari konteks, dalam sebaliknya ini berkemungkinan besar bukan kepentingan asas.
Fungsi trigonometri bagi argumen sudut dan angka
Mengikut data dalam perenggan sebelumnya definisi, setiap sudut putaran α sepadan dengan nilai sinα yang sangat spesifik, serta nilai cosα. Di samping itu, semua sudut putaran selain daripada 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) sepadan dengan nilai tgα, dan nilai selain daripada 180°k, k∈Z (πk rad ) – nilai daripada ctgα . Oleh itu sinα, cosα, tanα dan ctgα ialah fungsi bagi sudut α. Dalam erti kata lain, ini adalah fungsi hujah sudut.
Kita boleh bercakap sama tentang fungsi sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi hujah berangka. Sesungguhnya, setiap nombor nyata t sepadan dengan sint nilai yang sangat khusus, serta kos. Di samping itu, semua nombor selain daripada π/2+π·k, k∈Z sepadan dengan nilai tgt, dan nombor π·k, k∈Z - nilai ctgt.
Fungsi sinus, kosinus, tangen dan kotangen dipanggil fungsi asas trigonometri.
Ia biasanya jelas dari konteks sama ada kita berurusan dengan fungsi trigonometri hujah sudut atau hujah berangka. Jika tidak, kita boleh menganggap pembolehubah bebas sebagai ukuran sudut ( hujah sudut), dan hujah angka.
Walau bagaimanapun, di sekolah mereka terutamanya belajar fungsi angka, iaitu, fungsi yang hujahnya, seperti nilai fungsi yang sepadan, ialah nombor. Oleh itu, jika kita bercakap tentang khususnya mengenai fungsi, adalah dinasihatkan untuk mempertimbangkan fungsi trigonometri sebagai fungsi hujah berangka.
Hubungan antara definisi dari geometri dan trigonometri
Jika kita menganggap sudut putaran α antara 0 hingga 90 darjah, maka takrif sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi sudut putaran dalam konteks trigonometri adalah selaras sepenuhnya dengan takrif sinus, kosinus, tangen dan kotangen sesuatu sudut akut dalam segi tiga tepat, yang diberikan dalam kursus geometri. Mari kita mewajarkan ini.
Mari kita gambarkan bulatan unit dalam sistem koordinat Cartesian segi empat tepat Oksi. Mari kita tandakan titik permulaan A(1, 0) . Mari kita putarkannya dengan sudut α antara 0 hingga 90 darjah, kita dapat titik A 1 (x, y). Mari kita lepaskan serenjang A 1 H dari titik A 1 ke paksi Lembu.
Adalah mudah untuk melihat bahawa dalam segi tiga tegak, sudut A 1 OH adalah sama dengan sudut putaran α, panjang kaki OH bersebelahan dengan sudut ini adalah sama dengan absis titik A 1, iaitu |OH |=x, panjang kaki A 1 H bertentangan dengan sudut adalah sama dengan ordinat titik A 1, iaitu |A 1 H|=y, dan panjang hipotenus OA 1 adalah sama dengan satu, kerana ia ialah jejari bagi bulatan unit. Kemudian, mengikut takrifan daripada geometri, sinus sudut akut α dalam segi tiga tepat A 1 OH adalah sama dengan nisbah kaki bertentangan dengan hipotenus, iaitu sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. Dan mengikut takrifan daripada trigonometri, sinus sudut putaran α adalah sama dengan ordinat titik A 1, iaitu sinα=y. Ini menunjukkan bahawa penentuan sinus sudut akut dalam segi tiga tepat adalah bersamaan dengan penentuan sinus sudut putaran α apabila α adalah dari 0 hingga 90 darjah.
Begitu juga, dapat ditunjukkan bahawa takrifan kosinus, tangen dan kotangen bagi sudut akut α adalah konsisten dengan takrifan kosinus, tangen dan kotangen bagi sudut putaran α.
Bibliografi.
- Geometri. 7-9 darjah: buku teks untuk pendidikan am institusi / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, dll]. - ed ke-20. M.: Pendidikan, 2010. - 384 p.: sakit. - ISBN 978-5-09-023915-8.
- Pogorelov A.V. Geometri: Buku teks. untuk 7-9 darjah. pendidikan umum institusi / A. V. Pogorelov. - 2nd ed. - M.: Pendidikan, 2001. - 224 p.: sakit. - ISBN 5-09-010803-X.
- Algebra dan fungsi asas : Tutorial untuk pelajar tingkatan 9 sekolah Menengah/ E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Disunting oleh Doktor Sains Fizikal dan Matematik O. N. Golovin - edisi ke-4. M.: Pendidikan, 1969.
- Algebra: Buku teks untuk darjah 9. purata sekolah/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Teleyakovsky - M.: Pendidikan, 1990. - 272 ms. - ISBN 5-09-002727-7
- Algebra dan permulaan analisis: Proc. untuk gred 10-11. pendidikan umum institusi / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn dan lain-lain; Ed. A. N. Kolmogorov - ed ke-14 - M.: Pendidikan, 2004. - 384 ms. - ISBN 5-09-013651-3.
- Mordkovich A. G. Algebra dan permulaan analisis. Darjah 10. Pada 2 p. Bahagian 1: tutorial untuk institusi pendidikan (tahap profil)/ A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - ed. ke-4, tambah. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 p.: sakit. ISBN 978-5-346-00792-0.
- Algebra dan bermula analisis matematik. darjah 10: buku teks. untuk pendidikan am institusi: asas dan profil. peringkat /[Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; diedit oleh A. B. Zhizhchenko. - ed ke-3. - I.: Education, 2010.- 368 p.: ill.- ISBN 978-5-09-022771-1.
- Bashmakov M. I. Algebra dan permulaan analisis: Buku teks. untuk gred 10-11. purata sekolah - ed ke-3. - M.: Pendidikan, 1993. - 351 p.: sakit. - ISBN 5-09-004617-4.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematik (manual untuk mereka yang memasuki sekolah teknik): Proc. elaun.- M.; Lebih tinggi sekolah, 1984.-351 hlm., sakit.
Salah satu bidang matematik yang paling sukar dihadapi oleh pelajar ialah trigonometri. Ia tidak menghairankan: untuk menguasai bidang pengetahuan ini secara bebas, anda memerlukan pemikiran spatial, keupayaan untuk mencari sinus, kosinus, tangen, kotangen menggunakan formula, memudahkan ungkapan, dan dapat menggunakan nombor pi dalam pengiraan. Di samping itu, anda perlu boleh menggunakan trigonometri semasa membuktikan teorem, dan ini memerlukan sama ada memori matematik yang dibangunkan atau keupayaan untuk memperoleh rantai logik yang kompleks.
Asal-usul trigonometri
Membiasakan diri dengan sains ini harus bermula dengan definisi sinus, kosinus dan tangen sudut, tetapi pertama-tama anda perlu memahami apa yang dilakukan oleh trigonometri secara umum.
Dari segi sejarah, objek utama kajian dalam cabang sains matematik ini ialah segi tiga tepat. Kehadiran sudut 90 darjah memungkinkan untuk menjalankan pelbagai operasi yang membolehkan seseorang menentukan nilai semua parameter rajah yang dipersoalkan menggunakan dua sisi dan satu sudut atau dua sudut dan satu sisi. Pada masa lalu, orang melihat corak ini dan mula menggunakannya secara aktif dalam pembinaan bangunan, navigasi, astronomi dan juga dalam seni.
Peringkat pertama
Pada mulanya, orang bercakap tentang hubungan antara sudut dan sisi secara eksklusif menggunakan contoh segi tiga tepat. Kemudian formula khas ditemui yang memungkinkan untuk meluaskan sempadan penggunaan dalam Kehidupan seharian cabang matematik ini.
Kajian trigonometri di sekolah hari ini bermula dengan segi tiga tepat, selepas itu pelajar menggunakan pengetahuan yang diperoleh dalam fizik dan menyelesaikan masalah abstrak. persamaan trigonometri, kerja yang bermula di sekolah menengah.
Trigonometri sfera
Kemudian, apabila sains mencapai tahap perkembangan seterusnya, formula dengan sinus, kosinus, tangen, dan kotangen mula digunakan dalam geometri sfera, di mana peraturan yang berbeza digunakan, dan jumlah sudut dalam segi tiga sentiasa lebih daripada 180 darjah. Bahagian ini tidak dipelajari di sekolah, tetapi perlu mengetahui kewujudannya sekurang-kurangnya kerana permukaan bumi, dan permukaan mana-mana planet lain adalah cembung, yang bermaksud bahawa sebarang tanda permukaan akan berada di dalamnya ruang tiga dimensi"berbentuk arka".
Ambil glob dan benang. Pasangkan benang pada mana-mana dua titik pada glob supaya ia tegang. Sila ambil perhatian - ia telah mengambil bentuk arka. Geometri sfera berurusan dengan bentuk sedemikian, yang digunakan dalam geodesi, astronomi dan bidang teori dan gunaan lain.
Segitiga kanan
Setelah mempelajari sedikit tentang cara menggunakan trigonometri, mari kembali kepada asas trigonometri untuk memahami lebih lanjut apakah sinus, kosinus, tangen, pengiraan apa yang boleh dilakukan dengan bantuan mereka dan formula apa yang perlu digunakan.
Langkah pertama ialah memahami konsep yang berkaitan dengan segi tiga tepat. Pertama, hipotenus ialah sisi yang bertentangan dengan sudut 90 darjah. Ia adalah yang terpanjang. Kami ingat bahawa mengikut teorem Pythagoras, ia nilai berangka sama dengan punca hasil tambah kuasa dua dua sisi yang lain.
Contohnya, jika kedua-dua sisi masing-masing ialah 3 dan 4 sentimeter, panjang hipotenus ialah 5 sentimeter. Ngomong-ngomong, orang Mesir kuno tahu tentang ini kira-kira empat setengah ribu tahun yang lalu.
Dua sisi yang tinggal, yang membentuk sudut tegak, dipanggil kaki. Di samping itu, kita mesti ingat bahawa jumlah sudut dalam segitiga ialah sistem segi empat tepat koordinat ialah 180 darjah.
Definisi
Akhir sekali, dengan pemahaman yang kukuh tentang asas geometri, seseorang boleh beralih kepada definisi sinus, kosinus dan tangen sesuatu sudut.
Sinus suatu sudut ialah nisbah kaki bertentangan (iaitu, sisi bertentangan dengan sudut yang dikehendaki) kepada hipotenus. Kosinus sudut ialah nisbah sisi bersebelahan dengan hipotenus.
Ingat bahawa sinus atau kosinus tidak boleh lebih daripada satu! kenapa? Kerana hipotenus secara lalai adalah yang paling panjang Tidak kira berapa panjang kaki itu, ia akan lebih pendek daripada hipotenus, yang bermaksud nisbah mereka akan sentiasa kurang daripada satu. Oleh itu, jika dalam jawapan anda kepada masalah anda mendapat sinus atau kosinus dengan nilai lebih daripada 1, cari ralat dalam pengiraan atau penaakulan. Jawapan ini jelas tidak betul.
Akhirnya, tangen suatu sudut ialah nisbah sebelah bertentangan kepada yang bersebelahan. Membahagi sinus dengan kosinus akan memberikan hasil yang sama. Lihat: mengikut formula, kita bahagikan panjang sisi dengan hipotenus, kemudian bahagikan dengan panjang sisi kedua dan darab dengan hipotenus. Oleh itu, kita mendapat hubungan yang sama seperti dalam definisi tangen.
Cotangent, dengan itu, ialah nisbah sisi yang bersebelahan dengan sudut ke sisi yang bertentangan. Kami mendapat hasil yang sama dengan membahagikan satu dengan tangen.
Jadi, kita telah melihat definisi sinus, kosinus, tangen dan kotangen, dan kita boleh beralih kepada formula.
Formula paling mudah
Dalam trigonometri anda tidak boleh melakukan tanpa formula - bagaimana untuk mencari sinus, kosinus, tangen, kotangen tanpanya? Tetapi inilah yang diperlukan apabila menyelesaikan masalah.
Formula pertama yang perlu anda ketahui apabila mula belajar trigonometri mengatakan bahawa jumlah kuasa dua sinus dan kosinus sudut adalah sama dengan satu. Formula ini adalah akibat langsung daripada teorem Pythagoras, tetapi ia menjimatkan masa jika anda perlu mengetahui saiz sudut dan bukannya sisi.
Ramai pelajar tidak dapat mengingati formula kedua, yang juga sangat popular apabila menyelesaikan tugas sekolah: hasil tambah satu dan kuasa dua tangen sudut adalah sama dengan satu dibahagikan dengan kuasa dua kosinus sudut itu. Lihat lebih dekat: ini adalah pernyataan yang sama seperti dalam formula pertama, hanya kedua-dua belah identiti dibahagikan dengan kuasa dua kosinus. Ternyata operasi matematik yang mudah dilakukan formula trigonometri sama sekali tidak dapat dikenali. Ingat: mengetahui apakah sinus, kosinus, tangen dan kotangen, peraturan penukaran dan beberapa formula asas anda boleh pada bila-bila masa menarik balik yang diperlukan lagi formula kompleks pada sehelai kertas.
Formula untuk sudut berganda dan penambahan hujah
Dua lagi formula yang perlu anda pelajari adalah berkaitan dengan nilai sinus dan kosinus untuk jumlah dan perbezaan sudut. Mereka dibentangkan dalam rajah di bawah. Sila ambil perhatian bahawa dalam kes pertama, sinus dan kosinus didarab kedua-dua kali, dan dalam kes kedua, hasil darab berpasangan sinus dan kosinus ditambah.
Terdapat juga formula yang dikaitkan dengan hujah dalam bentuk sudut berganda. Mereka sepenuhnya diperolehi daripada yang sebelumnya - sebagai latihan cuba dapatkannya sendiri dengan mengambil sudut alfa sama dengan sudut beta.
Akhir sekali, ambil perhatian bahawa formula sudut dua kali boleh disusun semula untuk mengurangkan kuasa sinus, kosinus, alfa tangen.
Teorem
Dua teorem utama dalam trigonometri asas ialah teorem sinus dan teorem kosinus. Dengan bantuan teorem ini, anda boleh dengan mudah memahami cara mencari sinus, kosinus dan tangen, dan oleh itu luas rajah, dan saiz setiap sisi, dsb.
Teorem sinus menyatakan bahawa dengan membahagikan panjang setiap sisi segitiga dengan sudut bertentangan, kita dapat nombor yang sama. Selain itu, nombor ini akan sama dengan dua jejari bulatan yang dihadkan, iaitu, bulatan yang mengandungi semua titik segi tiga yang diberikan.
Teorem kosinus menyamaratakan teorem Pythagoras, mengunjurkannya ke mana-mana segi tiga. Ternyata daripada hasil tambah kuasa dua dua sisi, tolak hasil darabnya dengan kosinus berganda sudut bersebelahan - nilai yang terhasil akan sama dengan kuasa dua sisi ketiga. Oleh itu, teorem Pythagoras ternyata menjadi kes khas teorem kosinus.
Kesilapan yang tidak berhati-hati
Walaupun mengetahui apa itu sinus, kosinus dan tangen, adalah mudah untuk membuat kesilapan disebabkan oleh ketiadaan fikiran atau kesilapan dalam pengiraan yang paling mudah. Untuk mengelakkan kesilapan sedemikian, mari kita lihat yang paling popular.
Pertama, anda tidak seharusnya menukar pecahan kepada perpuluhan sehingga anda mendapat keputusan akhir - anda boleh meninggalkan jawapan sebagai pecahan sepunya, melainkan dinyatakan sebaliknya dalam syarat. Transformasi sedemikian tidak boleh dipanggil kesilapan, tetapi harus diingat bahawa pada setiap peringkat masalah akar baru mungkin muncul, yang, menurut idea pengarang, harus dikurangkan. Dalam kes ini, anda akan membuang masa anda untuk perkara yang tidak perlu operasi matematik. Ini benar terutamanya untuk nilai seperti punca tiga atau punca dua, kerana ia ditemui dalam masalah pada setiap langkah. Perkara yang sama berlaku untuk membundarkan nombor "hodoh".
Selanjutnya, ambil perhatian bahawa teorem kosinus digunakan untuk mana-mana segi tiga, tetapi bukan teorem Pythagoras! Jika anda tersilap terlupa untuk menolak dua kali hasil darab sisi yang didarab dengan kosinus sudut di antara mereka, anda bukan sahaja akan mendapat hasil yang salah sepenuhnya, tetapi anda juga akan menunjukkan kekurangan pemahaman sepenuhnya tentang subjek. Ini lebih teruk daripada kesilapan yang tidak berhati-hati.
Ketiga, jangan mengelirukan nilai untuk sudut 30 dan 60 darjah untuk sinus, kosinus, tangen, kotangen. Ingat nilai ini, kerana sinus ialah 30 darjah sama dengan kosinus 60, dan sebaliknya. Sangat mudah untuk mengelirukan mereka, akibatnya anda pasti akan mendapat hasil yang salah.
Permohonan
Ramai pelajar tidak tergesa-gesa untuk mula belajar trigonometri kerana mereka tidak memahami maksud praktikalnya. Apakah sinus, kosinus, tangen untuk seorang jurutera atau ahli astronomi? Ini adalah konsep yang anda boleh mengira jaraknya bintang yang jauh, ramalkan kejatuhan meteorit, hantar siasatan penyelidikan ke planet lain. Tanpa mereka, adalah mustahil untuk membina bangunan, mereka bentuk kereta, mengira beban pada permukaan atau trajektori objek. Dan ini hanya yang paling contoh yang jelas! Lagipun, trigonometri dalam satu bentuk atau yang lain digunakan di mana-mana, dari muzik ke perubatan.
Akhirnya
Jadi anda sinus, kosinus, tangen. Anda boleh menggunakannya dalam pengiraan dan berjaya menyelesaikan masalah sekolah.
Keseluruhan trigonometri datang kepada fakta bahawa menggunakan parameter segitiga yang diketahui anda perlu mengira yang tidak diketahui. Terdapat enam parameter secara keseluruhan: panjang tiga sisi dan saiz tiga penjuru. Satu-satunya perbezaan dalam tugas terletak pada fakta bahawa data input yang berbeza diberikan.
Anda kini tahu cara mencari sinus, kosinus, tangen berdasarkan panjang kaki atau hipotenus yang diketahui. Oleh kerana istilah ini tidak lebih daripada nisbah, dan nisbah ialah pecahan, matlamat utama masalah trigonometri adalah mencari punca-punca persamaan biasa atau sistem persamaan. Dan di sini matematik sekolah biasa akan membantu anda.