Fungsi trigonometri hujah berangka kami menyelesaikannya. Kami mengambil titik A pada bulatan dan mencari sinus dan kosinus bagi sudut β yang terhasil.
Kami menetapkan titik sebagai A, tetapi dalam algebra ia sering ditetapkan sebagai t dan semua formula/fungsi dengannya diberikan. Kami juga tidak akan menyimpang dari kanun. Itu. t - ini akan menjadi nombor tertentu, oleh itu fungsi angka(contohnya sint)
Adalah logik bahawa kerana kita mempunyai bulatan dengan jejari satu, maka
Fungsi trigonometri bagi hujah sudut Kami juga berjaya menganalisisnya - mengikut kanun, kami akan menulis untuk fungsi sedemikian: sin α°, bermakna dengan α° mana-mana sudut dengan bilangan darjah yang kita perlukan.
Sinar sudut ini akan memberi kita titik kedua pada bulatan (OA - titik A) dan titik C dan B yang sepadan untuk fungsi hujah berangka, jika kita memerlukannya: sin t = sin α°
Garis sinus, kosinus, tangen dan kotangen
Jangan pernah lupakan itu Paksi Y ialah garis sinus, Paksi X ialah garis kosinus! Titik yang diperoleh daripada bulatan ditanda pada paksi ini.
A garis tangen dan kotangen adalah selari dengannya dan melalui titik (1; 0) dan (0; 1) masing-masing.
Pelajaran video "Fungsi trigonometri hujah sudut" menyediakan bahan visual untuk menjalankan pelajaran matematik mengenai topik yang berkaitan. Video ini direka bentuk supaya bahan yang sedang dipelajari dipersembahkan semudah mungkin untuk difahami oleh pelajar, mudah diingat, dan mendedahkan dengan baik perkaitan antara maklumat yang tersedia tentang fungsi trigonometri daripada bahagian mengkaji segi tiga dan definisinya menggunakan unit bulatan. Ia boleh menjadi sebahagian daripada pelajaran yang bebas, kerana ia merangkumi topik ini sepenuhnya, ditambah dengan komen penting semasa penyiaran.
Untuk menunjukkan dengan jelas hubungan antara takrifan fungsi trigonometri yang berbeza, kesan animasi digunakan. Menyerlahkan teks dengan fon berwarna, binaan yang jelas dan mudah difahami dan menambahkan ulasan membantu anda menguasai dan mengingati bahan dengan cepat serta mencapai matlamat pelajaran dengan cepat. Hubungan antara definisi fungsi trigonometri ditunjukkan dengan jelas melalui kesan animasi dan penonjolan warna, menggalakkan pemahaman dan pengekalan bahan. Manual ini bertujuan untuk meningkatkan keberkesanan latihan.
Pelajaran dimulakan dengan pengenalan topik. Kemudian takrif sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi sudut akut segi tiga tepat dipanggil semula. Takrifan yang diserlahkan dalam bingkai mengingatkan kita bahawa sinus dan kosinus terbentuk kerana nisbah kaki kepada hipotenus, tangen dan kotangen dibentuk oleh nisbah kaki. Pelajar juga diingatkan tentang bahan yang dipelajari baru-baru ini bahawa apabila mempertimbangkan titik pada bulatan unit, absis titik ialah kosinus, dan ordinat ialah sinus nombor yang sepadan dengan titik itu. Perkaitan antara konsep ini ditunjukkan menggunakan pembinaan. Skrin memaparkan bulatan unit diletakkan supaya pusatnya bertepatan dengan asal. Daripada asal koordinat, sinar dibina yang menjadikan sudut α dengan separuh paksi absis positif. Sinar ini bersilang dengan bulatan unit di titik O. Dari titik itu, serenjang turun ke paksi absis dan ordinat, menunjukkan bahawa koordinat titik ini menentukan kosinus dan sinus bagi sudut α. Adalah diperhatikan bahawa panjang lengkok AO dari titik persilangan bulatan unit dengan arah positif paksi absis ke titik O adalah bahagian yang sama dari keseluruhan lengkok dengan sudut α dari 360°. Ini membolehkan anda mencipta perkadaran α/360=t/2π, yang dipaparkan serta-merta dan diserlahkan dalam warna merah untuk hafalan. Daripada perkadaran ini nilai t=πα/180° diperolehi. Dengan mengambil kira perkara ini, hubungan antara takrif sinus dan kosinus ditentukan: sinα°= sint= sinπα/180, cosα°=cost=cosπα/180. Sebagai contoh, mencari sin60° diberikan. Menggantikan ukuran darjah sudut ke dalam formula, kita mendapat sin π·60°/180°. Mengurangkan pecahan sebanyak 60, kita mendapat sin π/3, yang sama dengan √3/2. Adalah diperhatikan bahawa jika 60° ialah ukuran darjah suatu sudut, maka π/3 dipanggil ukuran radian bagi suatu sudut. Terdapat dua kemungkinan tatatanda untuk nisbah ukuran darjah sudut kepada ukuran radian: 60°=π/3 dan 60°=π/3 rad.
Konsep sudut satu darjah ditakrifkan sebagai sudut pusat yang dicangkum oleh lengkok yang panjangnya 1/360 mewakili sebahagian daripada lilitan. Takrifan berikut mendedahkan konsep sudut satu radian - sudut pusat berdasarkan lengkok panjang satu, atau sama dengan jejari bulatan. Definisi ditandakan sebagai penting dan diserlahkan untuk diingati.
Untuk menukar satu darjah ukuran sudut kepada ukuran radian dan sebaliknya, gunakan formula α°=πα/180 rad. Formula ini diserlahkan dalam bingkai pada skrin. Daripada formula ini ia mengikuti bahawa 1° = π/180 rad. Dalam kes ini, satu radian sepadan dengan sudut 180°/π≈57.3°. Adalah diperhatikan bahawa apabila mencari nilai fungsi trigonometri pembolehubah bebas t, ia boleh dianggap sebagai argumen berangka dan sudut.
Berikut menunjukkan contoh penggunaan pengetahuan yang diperoleh dalam menyelesaikan masalah matematik. Dalam contoh 1, anda perlu menukar nilai daripada darjah kepada radian 135° dan 905°. Di sebelah kanan skrin terdapat formula yang menunjukkan hubungan antara darjah dan radian. Selepas menggantikan nilai ke dalam formula, kita dapat (π/180)·135. Selepas mengurangkan pecahan ini sebanyak 45, kita mendapat nilai 135° = 3π/4. Untuk menukar sudut 905° kepada ukuran radian, formula yang sama digunakan. Selepas menggantikan nilai ke dalamnya, ternyata (π/180)·905=181π/36 rad.
Dalam contoh kedua, masalah songsang diselesaikan - ukuran darjah sudut yang dinyatakan dalam radian π/12, -21π/20, 2.4π ditemui. Di sebelah kanan skrin, kami mengimbas kembali formula yang dikaji untuk sambungan antara darjah dan ukuran radian sudut 1 rad = 180°/π. Setiap contoh diselesaikan dengan menggantikan ukuran radian ke dalam formula. Menggantikan π/12, kita dapat (180°/π)·(π/12)=15°. Nilai sudut yang tinggal didapati sama -21π/20=-189° dan 2.4π=432°.
Pelajaran video "Fungsi trigonometri hujah sudut" disyorkan untuk digunakan dalam pelajaran matematik tradisional untuk meningkatkan kecekapan pembelajaran. Bahan tersebut akan membantu memastikan keterlihatan pembelajaran semasa pembelajaran jarak jauh mengenai topik ini. Penjelasan terperinci dan boleh difahami tentang topik dan penyelesaian kepada masalah mengenainya boleh membantu pelajar menguasai bahan secara bebas.
DEKOD TEKS:
"Fungsi trigonometri bagi hujah sudut."
Kita sudah tahu dari geometri bahawa sinus (kosinus) sudut akut segi tiga tepat ialah nisbah kaki kepada hipotenus, dan tangen (kotangen) ialah nisbah kaki. Dan dalam algebra kita memanggil absis titik pada bulatan unit sebagai kosinus, dan ordinat titik ini sinus. Mari kita pastikan bahawa semua ini saling berkait rapat.
Mari letakkan sudut dengan ukuran darjah α° (darjah alfa), seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 1: bucu sudut serasi dengan pusat bulatan unit (dengan asal sistem koordinat), dan satu sisi sudut adalah serasi dengan sinar positif paksi absis. Sisi kedua sudut memotong bulatan pada titik O. Ordinasi titik O ialah sinus sudut alfa, dan absis bagi titik ini ialah kosinus alfa.
Perhatikan bahawa lengkok AO adalah bahagian yang sama pada panjang bulatan unit dengan sudut alfa dari sudut tiga ratus enam puluh darjah. Mari kita nyatakan panjang lengkok AO dengan t(te), maka kita akan menyusun perkadaran =
(alfa adalah untuk mempercayai enam puluh sebagai te adalah kepada dua pi).
Oleh itu, untuk mencari sinus atau kosinus bagi sudut alfa darjah, anda boleh menggunakan formula:
sin α° = sint = sin (darjah alfa sinus adalah sama dengan sinus te dan sama dengan sinus separa pi alfa hingga seratus lapan puluh),
cosα° = kos = cos (kosinus darjah alfa adalah sama dengan kosinus te dan sama dengan kosinus separa pi alfa hingga seratus lapan puluh).
Sebagai contoh, sin 60° = sin = sin = (sinus enam puluh darjah adalah sama dengan sinus pi dengan tiga, mengikut jadual nilai asas sinus, sama dengan punca tiga dengan dua).
Adalah dipercayai bahawa 60° ialah ukuran darjah sudut, dan (pi dengan tiga) ialah ukuran radian sudut yang sama, iaitu, 60° = gembira(Enam puluh darjah sama dengan pi darab tiga radian). Untuk ringkasnya, kami bersetuju dengan penetapan itu gembira tinggalkan, iaitu, entri berikut boleh diterima: 60°= (tunjukkan singkatan ukuran radian = rad.)
Sudut satu darjah ialah sudut pusat yang menyerikan lengkok yang merupakan (satu tiga ratus enam puluh) bahagian lengkok. Sudut satu radian ialah sudut pusat yang terletak pada lengkok panjang satu, iaitu lengkok yang panjangnya sama dengan jejari bulatan (kami menganggap sudut pusat bulatan unit untuk menunjukkan sudut dalam radian pi pada bulatan).
Mari kita ingat formula penting untuk menukar darjah kepada radian:
α° = gembira. (alfa sama dengan pi alpha dibahagikan dengan seratus lapan puluh, radian) Secara khusus, 1° = gembira(satu darjah sama dengan pi dibahagikan dengan seratus lapan puluh, radian).
Daripada ini kita dapati bahawa satu radian adalah sama dengan nisbah seratus lapan puluh darjah kepada pi dan lebih kurang sama dengan lima puluh tujuh koma tiga darjah: 1 gembira= ≈ 57.3°.
Daripada perkara di atas: apabila kita bercakap tentang sebarang fungsi trigonometri, contohnya tentang fungsi s = sint (es adalah sama dengan sinus te), pembolehubah bebas t(te) boleh dianggap sebagai argumen berangka dan argumen sudut.
Mari lihat contoh.
CONTOH 1. Tukar daripada darjah kepada radian: a) 135°; b) 905°.
Penyelesaian. Mari kita gunakan formula untuk menukar darjah kepada radian:
a) 135° = 1° ∙ 135 = gembira ∙ 135 = gembira
(seratus tiga puluh lima darjah adalah sama dengan pi darab seratus lapan puluh radian didarab dengan seratus tiga puluh lima, dan selepas pengurangan bersamaan tiga pi darab empat radian)
b) Begitu juga, dengan menggunakan formula untuk menukar ukuran darjah kepada ukuran radian, kita perolehi
905° = gembira ∙ 905 = gembira.
(sembilan ratus lima darjah sama dengan seratus lapan puluh satu pi darab tiga puluh enam radian).
CONTOH 2. Ungkapkan dalam darjah: a) ; b) - ; c) 2.4π
(pi lebih dua belas; tolak dua puluh satu pi lebih dua puluh; dua koma empat pi).
Penyelesaian. a) Mari ungkapkan pi sebanyak dua belas dalam darjah, gunakan formula untuk menukar ukuran radian sudut kepada darjah dalam 1 gembira=, kita dapat
gembira = 1 gembira∙ = ∙ = 15° (pi darab dua belas radian adalah sama dengan hasil darab satu radian dan pi darab dua belas. Menggantikan seratus lapan puluh untuk pi bukannya satu radian dan mengurangkan, kita mendapat lima belas darjah)
Sama seperti b) - = 1 gembira∙ (-) = ∙ (-)= - 189° (tolak dua puluh satu pi darab dua puluh sama dengan tolak seratus lapan puluh sembilan darjah),
c) 2.4π = 1 gembira∙ 2.4π = ∙ 2.4π = 432° (dua koma empat pi bersamaan dengan empat ratus tiga puluh dua darjah).
Walau apa pun nombor nyata t yang diambil, ia boleh dikaitkan dengan nombor sin t yang ditakrifkan secara unik. Benar, peraturan padanan agak rumit seperti yang kita lihat di atas, ia adalah seperti berikut.
Untuk mencari nilai sin t menggunakan nombor t, anda perlukan:
1) letakkan bulatan nombor dalam satah koordinat supaya pusat bulatan bertepatan dengan asal koordinat, dan titik permulaan A bulatan jatuh pada titik (1; 0);
2) cari titik pada bulatan yang sepadan dengan nombor t;
3) cari ordinat bagi titik ini.
Ordinat ini ialah sin t.
Sebenarnya, kita bercakap tentang fungsi u = sin t, dengan t ialah sebarang nombor nyata.
Semua fungsi ini dipanggil fungsi trigonometri bagi hujah berangka t.
Terdapat beberapa hubungan yang menghubungkan nilai pelbagai fungsi trigonometri; kami telah memperoleh beberapa hubungan ini:
sin 2 t+cos 2 t = 1
Daripada dua formula terakhir adalah mudah untuk mendapatkan hubungan yang menghubungkan tg t dan ctg t:
Semua formula ini digunakan dalam kes di mana, mengetahui nilai fungsi trigonometri, adalah perlu untuk mengira nilai fungsi trigonometri yang lain.
Istilah "sinus", "kosinus", "tangen" dan "kotangen" sebenarnya biasa, namun, mereka masih digunakan dalam tafsiran yang sedikit berbeza: dalam geometri dan fizik mereka menganggap sinus, kosinus, tangen dan kotangen. di kepala(bukan
nombor, seperti dalam perenggan sebelumnya).
Dari geometri diketahui bahawa sinus (kosinus) sudut akut ialah nisbah kaki segi tiga tepat kepada hipotenusnya, dan tangen (kotangen) sudut ialah nisbah kaki segi tiga tepat. Pendekatan berbeza kepada konsep sinus, kosinus, tangen dan kotangen telah dibangunkan dalam perenggan sebelumnya. Malah, pendekatan ini saling berkaitan.
Mari kita ambil sudut dengan ukuran darjah b o dan letakkannya dalam model “bulatan berangka dalam sistem koordinat segi empat tepat” seperti yang ditunjukkan dalam Rajah. 14
puncak sudut serasi dengan pusat
bulatan (dengan asal sistem koordinat),
dan satu sisi sudut serasi dengan
sinar positif paksi-x. noktah
persilangan sisi kedua sudut dengan
nyatakan dengan bulatan huruf M. Ordina-
Rajah 14 b o, dan absis bagi titik ini ialah kosinus bagi sudut b o.
Untuk mencari sinus atau kosinus sudut b o adalah tidak perlu untuk membuat binaan yang sangat kompleks ini setiap masa.
Adalah cukup untuk ambil perhatian bahawa lengkok AM membentuk bahagian yang sama pada panjang bulatan nombor dengan sudut b o dibuat dari sudut 360°. Jika panjang lengkok AM dilambangkan dengan huruf t, kita dapat:
Oleh itu,
Sebagai contoh,
Adalah dipercayai bahawa 30° ialah ukuran darjah sudut, dan ukuran radian sudut yang sama: 30° = rad. sama sekali:
Khususnya, saya gembira dari mana, sebaliknya, kita memperolehnya.
Jadi apakah 1 radian? Terdapat pelbagai ukuran panjang segmen: sentimeter, meter, ela, dll. Terdapat juga pelbagai ukuran untuk menunjukkan magnitud sudut. Kami menganggap sudut pusat bulatan unit. Sudut 1° ialah sudut pusat yang dicangkum oleh lengkok yang merupakan sebahagian daripada bulatan. Sudut 1 radian ialah sudut pusat yang dicangkum oleh lengkok panjang 1, i.e. pada lengkok yang panjangnya sama dengan jejari bulatan. Daripada formula, kita dapati bahawa 1 rad = 57.3°.
Apabila mempertimbangkan fungsi u = sin t (atau mana-mana fungsi trigonometri lain), kita boleh menganggap pembolehubah bebas t sebagai hujah berangka, seperti yang berlaku dalam perenggan sebelumnya, tetapi kita juga boleh menganggap pembolehubah ini sebagai ukuran bagi sudut, i.e. hujah sudut. Oleh itu, apabila bercakap tentang fungsi trigonometri, dalam erti kata tertentu tidak ada perbezaan untuk menganggapnya sebagai fungsi hujah berangka atau sudut.
Pelajaran dan pembentangan tentang topik: "Fungsi trigonometri bagi hujah sudut, ukuran darjah sudut dan radian"
Bahan tambahan
Pengguna yang dihormati, jangan lupa tinggalkan komen, ulasan, hasrat anda. Semua bahan telah disemak oleh program anti-virus.
Manual dan simulator di kedai dalam talian Integral untuk gred 10 dari 1C
Kami menyelesaikan masalah dalam geometri. Tugas membina interaktif
Kami menyelesaikan masalah dalam geometri. Tugas interaktif untuk membina di angkasa
Apa yang akan kita kaji:
1. Mari kita ingat geometri.
2. Definisi hujah sudut.
3. Ukuran darjah sudut.
4. Ukuran sudut sinaran.
5. Apakah radian?
6. Contoh dan tugasan untuk penyelesaian bebas.
Pengulangan geometri
Lelaki, dalam fungsi kami:
y= sin(t), y= cos(t), y= tg(t), y= ctg(t)
Pembolehubah t boleh mengambil bukan sahaja nilai berangka, iaitu, menjadi argumen berangka, tetapi ia juga boleh dianggap sebagai ukuran sudut - argumen sudut.
Mari ingat geometri!
Bagaimanakah kita mentakrifkan sinus, kosinus, tangen, kotangen di sana?
Sinus sudut - nisbah sisi bertentangan dengan hipotenus
Kosinus sudut - nisbah kaki bersebelahan dengan hipotenus
Tangen bagi sudut ialah nisbah sisi bertentangan dengan sisi bersebelahan.
Kotangen sudut ialah nisbah sisi bersebelahan dengan sisi bertentangan.
Definisi fungsi trigonometri bagi hujah sudut
Mari kita takrifkan fungsi trigonometri sebagai fungsi hujah sudut pada bulatan nombor:Dengan menggunakan bulatan nombor dan sistem koordinat, kita sentiasa boleh mencari sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi suatu sudut dengan mudah:
Mari letakkan bucu sudut α kita di tengah bulatan, i.e. ke pusat paksi koordinat, dan letakkan salah satu sisi supaya ia bertepatan dengan arah positif paksi absis (OA)
Kemudian sisi kedua memotong bulatan nombor di titik M.
Ordinasikan titik M: sinus sudut α
Abscissa titik M: kosinus sudut α
Ambil perhatian bahawa panjang lengkok AM ialah bahagian bulatan unit yang sama dengan sudut α kita dari 360 darjah: 
di mana t ialah panjang lengkok AM.
Ukuran darjah sudut
1) Kawan-kawan, kami mendapat formula untuk menentukan ukuran darjah sudut melalui panjang lengkok bulatan nombor, mari kita lihat dengan lebih dekat:Kemudian kita menulis fungsi trigonometri dalam bentuk:
Contohnya:
Ukuran sudut radian
Apabila mengira darjah atau ukuran radian sesuatu sudut, ingat! : Contohnya:
By the way! Penamaan rad. anda boleh menurunkannya!
Apakah radian?
Rakan-rakan yang dihormati, kita berhadapan dengan konsep baru - Radian. Jadi apa itu?Terdapat pelbagai ukuran panjang, masa, berat, contohnya: meter, kilometer, saat, jam, gram, kilogram dan lain-lain. Jadi Radian adalah salah satu ukuran sudut. Perlu dipertimbangkan sudut pusat, iaitu, yang terletak di tengah bulatan nombor.
Sudut 1 darjah ialah sudut pusat yang dicangkum oleh lengkok bersamaan dengan 1/360 lilitan.
Sudut 1 radian ialah sudut pusat yang dicangkum oleh lengkok bersamaan dengan 1 dalam bulatan unit, dan dalam bulatan arbitrari dengan lengkok sama dengan jejari bulatan.
Contoh:
Contoh penukaran daripada ukuran darjah sudut kepada ukuran radian, dan sebaliknya
Masalah untuk diselesaikan secara bebas
1. Cari ukuran radian sudut:a) 55° b) 450° c) 15° d) 302°
2. Cari:
a) sin(150°) b) cos(45°) c) tg(120°)
3. Cari ukuran darjah sudut: 