Resdung sudut akutα bagi segi tiga tegak ialah nisbah bertentangan kaki ke hipotenus.
Ia dilambangkan seperti berikut: sin α.

kosinus Sudut akut α bagi segi tiga tegak ialah nisbah kaki bersebelahan dengan hipotenus.
Ia ditetapkan seperti berikut: cos α.

Tangen sudut akut α ialah nisbah kaki bertentangan ke kaki sebelah.
Ia ditetapkan seperti berikut: tg α.

Kotangen sudut akut α ialah nisbah kaki bersebelahan kepada yang bertentangan.
Ia ditetapkan seperti berikut: ctg α.

Sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi sesuatu sudut hanya bergantung pada saiz sudut itu.

Peraturan:

Identiti asas trigonometri dalam segi tiga tepat:

(α - sudut akut bertentangan dengan kaki b dan bersebelahan dengan kaki a . sebelah Dengan – hipotenus. β – sudut akut kedua).

b dosa α = - c	sin 2 α + cos 2 α = 1
a cos α = - c	1 1 + tan 2 α = -- cos 2 α
b tan α = - a	1 1 + cotg 2 α = -- dosa 2 α
a ctg α = - b	1 1 1 + -- = -- tan 2 α sin 2 α
sinα tg α = -- cos α

Apabila sudut akut bertambahdosa α dantg α meningkat, dancos α berkurangan.

Untuk sebarang sudut akut α:

sin (90° – α) = cos α

cos (90° – α) = sin α

Contoh-penjelasan:

Biarkan dalam segi tiga tepat ABC
AB = 6,
BC = 3,
sudut A = 30º.

Mari kita cari sinus sudut A dan kosinus sudut B.

Penyelesaian .

1) Mula-mula, kita dapati nilai sudut B. Semuanya mudah di sini: kerana dalam segi tiga tepat jumlah sudut akut ialah 90º, maka sudut B = 60º:

B = 90º – 30º = 60º.

2) Mari kita mengira dosa A. Kita tahu sinus itu sama dengan nisbah sisi bertentangan dengan hipotenus. Untuk sudut A, sisi bertentangan ialah sisi BC. Jadi:

SM 3 1
dosa A = -- = - = -
AB 6 2

3) Sekarang mari kita hitung kos B. Kita tahu bahawa kosinus adalah sama dengan nisbah kaki bersebelahan dengan hipotenus. Untuk sudut B, kaki yang bersebelahan ialah sisi BC yang sama. Ini bermakna kita sekali lagi perlu membahagikan BC dengan AB - iaitu, melakukan tindakan yang sama seperti semasa mengira sinus sudut A:

SM 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2

Hasilnya ialah:
sin A = cos B = 1/2.

sin 30º = cos 60º = 1/2.

Ia berikutan daripada ini bahawa dalam segi tiga tepat sinus satu sudut akut ialah sama dengan kosinus satu lagi sudut akut - dan sebaliknya. Inilah maksud kedua formula kami:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α

Mari kita pastikan ini sekali lagi:

1) Biarkan α = 60º. Menggantikan nilai α ke dalam formula sinus, kita dapat:
sin (90º – 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.

2) Biarkan α = 30º. Menggantikan nilai α ke dalam formula kosinus, kita dapat:
cos (90° – 30º) = sin 30º.
cos 60° = sin 30º.

(Untuk maklumat lanjut tentang trigonometri, lihat bahagian Algebra)

Saya rasa awak layak lebih daripada ini. Inilah kunci saya kepada trigonometri:

• Lukiskan kubah, dinding dan siling
• Fungsi trigonometri tidak lebih daripada peratusan ketiga-tiga bentuk ini.

Metafora untuk sinus dan kosinus: kubah

Daripada hanya melihat segi tiga itu sendiri, bayangkan mereka beraksi dengan mencari beberapa contoh istimewa daripada kehidupan.

Bayangkan anda berada di tengah-tengah kubah dan ingin menggantung skrin projektor filem. Anda menuding jari anda pada kubah pada sudut tertentu "x", dan skrin harus digantung dari titik ini.

Sudut yang anda tunjuk menentukan:

• sinus(x) = sin(x) = ketinggian skrin (dari lantai ke titik pelekap kubah)
• kosinus(x) = cos(x) = jarak dari anda ke skrin (mengikut tingkat)
• hipotenus, jarak dari anda ke bahagian atas skrin, sentiasa sama, sama dengan jejari kubah

Adakah anda mahu skrin menjadi sebesar mungkin? Gantungkannya tepat di atas anda.

Adakah anda mahu skrin digantung sejauh mungkin daripada anda? Gantungnya lurus berserenjang. Skrin akan mempunyai ketinggian sifar dalam kedudukan ini dan akan tergantung paling jauh, seperti yang anda minta.

Ketinggian dan jarak dari skrin adalah berkadar songsang: semakin dekat skrin digantung, semakin tinggi ketinggiannya.

Sinus dan kosinus adalah peratusan

Tidak ada sesiapa pun sepanjang tahun pengajian saya, malangnya, menjelaskan kepada saya bahawa fungsi trigonometri sinus dan kosinus tidak lebih daripada peratusan. Nilai mereka berjulat dari +100% hingga 0 hingga -100%, atau dari maksimum positif hingga sifar hingga maksimum negatif.

Katakan saya membayar cukai sebanyak 14 rubel. Anda tidak tahu berapa harganya. Tetapi jika anda mengatakan bahawa saya membayar 95% cukai, anda akan faham bahawa saya hanya ditipu.

Ketinggian mutlak tidak bermakna apa-apa. Tetapi jika nilai sinus ialah 0.95, maka saya faham bahawa TV itu tergantung hampir di bahagian atas kubah anda. Tidak lama lagi dia akan sampai ketinggian maksimum di tengah-tengah kubah, dan kemudian mula menurun semula.

Bagaimanakah kita boleh mengira peratusan ini? Ia sangat mudah: bahagikan ketinggian skrin semasa dengan maksimum yang mungkin (jejari kubah, juga dipanggil hipotenus).

sebab tu kita diberitahu bahawa "kosinus = sisi bertentangan / hipotenus." Ini semua tentang mendapatkan minat! Adalah lebih baik untuk menentukan sinus sebagai "peratusan ketinggian semasa daripada maksimum yang mungkin." (Sinus menjadi negatif jika sudut anda menghala ke "bawah tanah." Kosinus menjadi negatif jika sudut menghala ke arah titik kubah di belakang anda.)

Mari kita permudahkan pengiraan dengan menganggap kita berada di tengah bulatan unit(jejari = 1). Kita boleh melangkau bahagian dan hanya mengambil sinus yang sama dengan ketinggian.

Setiap bulatan pada asasnya adalah satu unit, dibesarkan atau dikecilkan dalam skala kepada saiz yang betul. Jadi tentukan sambungan bulatan unit dan gunakan hasilnya pada saiz bulatan khusus anda.

Eksperimen: ambil mana-mana sudut dan lihat apa peratusan ketinggian kepada lebar yang dipaparkan:

Graf pertumbuhan nilai sinus bukan sekadar garis lurus. 45 darjah pertama meliputi 70% ketinggian, tetapi 10 darjah terakhir (dari 80° hingga 90°) meliputi hanya 2%.

Ini akan menjadikannya lebih jelas kepada anda: jika anda berjalan dalam bulatan, pada 0° anda naik hampir menegak, tetapi apabila anda menghampiri bahagian atas kubah, ketinggian berubah semakin berkurangan.

Tangen dan sekan. dinding

Suatu hari jiran membina tembok betul-betul bersebelahan ke kubah anda. Menangis pandangan anda dari tingkap dan harga yang baik untuk dijual semula!

Tetapi adakah mungkin untuk menang dalam situasi ini?

Sudah tentu YA. Bagaimana jika kita menggantung skrin filem tepat di dinding jiran kita? Anda menyasarkan sudut (x) dan dapatkan:

• tan(x) = tan(x) = ketinggian skrin pada dinding
• jarak dari anda ke dinding: 1 (ini adalah jejari kubah anda, dinding tidak bergerak ke mana-mana dari anda, bukan?)
• secant(x) = sec(x) = "panjang tangga" daripada anda berdiri di tengah-tengah kubah ke bahagian atas skrin yang digantung

Mari kita jelaskan beberapa perkara mengenai tangen, atau ketinggian skrin.

• ia bermula pada 0, dan boleh mencapai ketinggian yang tidak terhingga. Anda boleh meregangkan skrin lebih tinggi dan lebih tinggi pada dinding untuk mencipta kanvas yang tidak berkesudahan untuk menonton filem kegemaran anda! (Untuk yang besar, sudah tentu, anda perlu membelanjakan banyak wang).
• tangen hanyalah versi sinus yang lebih besar! Dan sementara peningkatan dalam sinus menjadi perlahan apabila anda bergerak ke arah bahagian atas kubah, tangen terus berkembang!

Sekansu juga mempunyai sesuatu untuk dibanggakan:

• Titikan bermula pada 1 (tangga berada di atas lantai, dari anda ke dinding) dan mula naik dari sana
• Sekan sentiasa lebih panjang daripada tangen. Tangga senget yang anda gunakan untuk menggantung skrin anda mestilah lebih panjang daripada skrin itu sendiri, bukan? (Dengan saiz yang tidak realistik, apabila skrin sangat panjang dan tangga perlu diletakkan hampir menegak, saiznya hampir sama. Tetapi walaupun begitu keratan akan menjadi sedikit lebih lama).

Ingat, nilai adalah peratus. Jika anda memutuskan untuk menggantung skrin pada sudut 50 darjah, tan(50)=1.19. Skrin anda adalah 19% lebih besar daripada jarak ke dinding (jejari kubah).

(Masukkan x=0 dan semak intuisi anda - tan(0) = 0 dan saat(0) = 1.)

Kotangen dan kosekan. Siling

Hebatnya, jiran anda kini telah memutuskan untuk membina bumbung di atas kubah anda. (Apa masalah dia? Rupa-rupanya dia tidak mahu anda mengintipnya semasa dia berjalan di halaman dalam keadaan berbogel...)

Nah, sudah tiba masanya untuk membina jalan keluar ke bumbung dan bercakap dengan jiran anda. Anda memilih sudut kecenderungan dan memulakan pembinaan:

• jarak menegak antara alur keluar bumbung dan lantai sentiasa 1 (jejari kubah)
• kotangen(x) = cot(x) = jarak antara bahagian atas kubah dan titik keluar
• cosecant(x) = csc(x) = panjang laluan anda ke bumbung

Tangen dan secant menerangkan dinding, dan COtangent dan COsecant menerangkan siling.

Kesimpulan intuitif kami kali ini adalah serupa dengan yang sebelumnya:

• Jika anda mengambil sudut sama dengan 0°, jalan keluar anda ke bumbung akan kekal selama-lamanya, kerana ia tidak akan sampai ke siling. Masalah.
• "Tangga" terpendek ke bumbung akan diperoleh jika anda membinanya pada sudut 90 darjah ke lantai. Kotangen akan sama dengan 0 (kami tidak bergerak di sepanjang bumbung sama sekali, kami keluar dengan ketat secara berserenjang), dan kosekan akan sama dengan 1 ("panjang tangga" akan menjadi minimum).

Visualisasikan sambungan

Jika ketiga-tiga kes dilukis dalam kombinasi kubah-dinding-siling, hasilnya akan seperti berikut:

Nah, ia masih segi tiga yang sama, meningkat dalam saiz untuk mencapai dinding dan siling. Kami mempunyai sisi menegak (sinus, tangen), sisi mendatar (kosinus, kotangen) dan "hipotenus" (secant, cosecant). (Dengan anak panah anda boleh melihat di mana setiap elemen sampai. Kosekan ialah jumlah jarak dari anda ke bumbung).

Sedikit sihir. Semua segi tiga berkongsi kesamaan yang sama:

Daripada teorem Pythagoras (a 2 + b 2 = c 2) kita lihat bagaimana sisi setiap segi tiga disambungkan. Di samping itu, nisbah "tinggi kepada lebar" juga harus sama untuk semua segi tiga. (Hanya berundur dari yang paling segi tiga besar kepada kurang. Ya, saiznya telah berubah, tetapi nisbah aspek akan kekal sama).

Mengetahui sisi mana dalam setiap segi tiga sama dengan 1 (jejari kubah), kita boleh mengira dengan mudah bahawa "sin/cos = tan/1".

Saya sentiasa cuba mengingati fakta ini melalui visualisasi mudah. Dalam gambar anda melihat dengan jelas kebergantungan ini dan memahami dari mana asalnya. Teknik ini banyak lebih baik daripada hafalan formula kering.

Jangan lupa tentang sudut lain

Psst... Jangan tersangkut pada satu graf, memikirkan bahawa tangen sentiasa kurang daripada 1. Jika anda meningkatkan sudut, anda boleh mencapai siling tanpa mencapai dinding:

Sambungan Pythagoras sentiasa berfungsi, tetapi saiz relatif mungkin berbeza.

(Anda mungkin perasan bahawa nisbah sinus dan kosinus sentiasa terkecil kerana ia terkandung dalam kubah).

Untuk meringkaskan: apa yang perlu kita ingat?

Bagi kebanyakan kita, saya akan katakan ini sudah cukup:

• trigonometri menerangkan anatomi objek matematik seperti bulatan dan selang berulang
• Analogi kubah/dinding/bumbung menunjukkan hubungan antara fungsi trigonometri yang berbeza
• Fungsi trigonometri menghasilkan peratusan, yang kami gunakan pada senario kami.

Anda tidak perlu menghafal formula seperti 1 2 + cot 2 = csc 2 . Mereka hanya sesuai untuk ujian bodoh, di mana pengetahuan tentang sesuatu fakta diteruskan sebagai memahaminya. Luangkan sedikit masa untuk melukis separuh bulatan dalam bentuk kubah, dinding dan bumbung, labelkan elemen, dan semua formula akan datang kepada anda di atas kertas.

Aplikasi: Fungsi Songsang

Mana-mana fungsi trigonometri mengambil sudut sebagai parameter input dan mengembalikan hasilnya sebagai peratusan. sin(30) = 0.5. Ini bermakna sudut 30 darjah mengambil 50% daripada ketinggian maksimum.

Fungsi trigonometri songsang ditulis sebagai sin -1 atau arcsin. Ia juga sering ditulis asin dalam pelbagai bahasa pengaturcaraan.

Jika ketinggian kita ialah 25% daripada ketinggian kubah, apakah sudut kita?

Dalam jadual perkadaran kami, anda boleh menemui nisbah di mana bahagian dibahagikan dengan 1. Contohnya, bahagian dengan 1 (hipotenus kepada mendatar) akan sama dengan 1 dibahagikan dengan kosinus:

Katakan sekan kita ialah 3.5, i.e. 350% daripada jejari bulatan unit. Apakah sudut kecondongan ke dinding yang sepadan dengan nilai ini?

Lampiran: Beberapa contoh

Contoh: Cari sinus sudut x.

Tugas yang membosankan. Mari kita rumitkan "cari sinus" yang cetek kepada "Berapa ketinggian sebagai peratusan maksimum (hipotenus)?"

Pertama, perhatikan bahawa segi tiga diputar. Tidak ada yang salah dengan itu. Segitiga juga mempunyai ketinggian, ia ditunjukkan dalam warna hijau dalam rajah.

Apakah hipotenus sama dengan? Menurut teorem Pythagoras, kita tahu bahawa:

3 2 + 4 2 = hipotenus 2 25 = hipotenus 2 5 = hipotenus

baiklah! Sinus ialah peratusan ketinggian sisi terpanjang segitiga, atau hipotenus. Dalam contoh kami, sinus ialah 3/5 atau 0.60.

Sudah tentu, kita boleh pergi beberapa cara. Sekarang kita tahu bahawa sinus ialah 0.60, kita hanya boleh mencari arcsine:

Asin(0.6)=36.9

Berikut adalah pendekatan lain. Perhatikan bahawa segi tiga itu "menghadap ke dinding," jadi kita boleh menggunakan tangen dan bukannya sinus. Ketinggian ialah 3, jarak ke dinding ialah 4, jadi tangen ialah ¾ atau 75%. Kita boleh menggunakan arctangent untuk pergi dari nilai peratusan kembali ke sudut:

Tan = 3/4 = 0.75 atan(0.75) = 36.9 Contoh: Adakah anda akan berenang ke pantai?

Anda berada di dalam bot dan anda mempunyai bahan api yang mencukupi untuk perjalanan sejauh 2 km. Anda kini berada 0.25 km dari pantai. Pada sudut maksimum ke pantai manakah anda boleh berenang ke sana supaya anda mempunyai bahan api yang mencukupi? Tambahan kepada pernyataan masalah: kami hanya mempunyai jadual nilai kosinus arka.

Apa yang kita ada? garis pantai boleh diwakili sebagai "dinding" dalam segi tiga terkenal kami, dan "panjang tangga" yang dilekatkan pada dinding adalah jarak maksimum yang mungkin untuk diliputi oleh bot ke pantai (2 km). Satu bahagian muncul.

Pertama, anda perlu pergi ke peratusan. Kami mempunyai 2 / 0.25 = 8, iaitu, kita boleh berenang jarak yang 8 kali jarak lurus ke pantai (atau ke dinding).

Timbul persoalan: "Apakah bahagian 8?" Tetapi kita tidak boleh menjawabnya, kerana kita hanya mempunyai kosinus arka.

Kami menggunakan kebergantungan terbitan kami sebelum ini untuk mengaitkan sekan dengan kosinus: "sec/1 = 1/cos"

Pemecatan 8 adalah sama dengan kosinus ⅛. Sudut yang kosinusnya ialah ⅛ adalah sama dengan acos(1/8) = 82.8. Dan ini adalah sudut terbesar yang kita mampu di atas bot dengan jumlah bahan api yang ditentukan.

Tidak teruk, bukan? Tanpa analogi kubah-dinding-siling, saya akan tersesat dalam sekumpulan formula dan pengiraan. Memvisualisasikan masalah ini sangat memudahkan pencarian untuk penyelesaian, dan juga menarik untuk melihat fungsi trigonometri yang akhirnya akan membantu.

Fikirkan apabila menyelesaikan setiap masalah dengan cara berikut: Adakah saya berminat dengan kubah (sin/cos), dinding (tan/sec) atau siling (katil bayi/csc)?

Dan trigonometri akan menjadi lebih menyeronokkan. Pengiraan mudah untuk anda!

Peperiksaan Negeri Bersatu untuk 4? Tidakkah anda akan meledak dengan kebahagiaan?

Soalannya, seperti yang mereka katakan, adalah menarik... Ada kemungkinan, adalah mungkin untuk lulus dengan 4! Dan pada masa yang sama tidak meletus... Syarat utama adalah kerap bersenam. Berikut adalah persediaan asas untuk Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik. Dengan semua rahsia dan misteri Peperiksaan Negeri Bersatu, yang anda tidak akan baca dalam buku teks... Kaji bahagian ini, tentukan lebih banyak tugas daripada pelbagai sumber- dan semuanya akan berjaya! Diandaikan bahawa bahagian asas "A C cukup untuk anda!" ia tidak mendatangkan masalah kepada anda. Tetapi jika tiba-tiba ... Ikuti pautan, jangan malas!

Dan kita akan mulakan dengan topik yang hebat dan dahsyat.

Trigonometri

Perhatian!
Ada tambahan
bahan dalam Seksyen Khas 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak sangat..."
Dan bagi mereka yang “sangat…”)

Topik ini menimbulkan banyak masalah kepada pelajar. Ia dianggap sebagai salah satu yang paling teruk. Apakah sinus dan kosinus? Apakah tangen dan kotangen? apa dah jadi bulatan nombor? Sebaik sahaja anda bertanya soalan yang tidak berbahaya ini, orang itu menjadi pucat dan cuba mengalihkan perbualan... Tetapi sia-sia. ini konsep mudah. Dan topik ini tidak lebih sukar daripada yang lain. Anda hanya perlu memahami dengan jelas jawapan kepada soalan-soalan ini dari awal lagi. Ianya sangat penting. Jika anda faham, anda akan menyukai trigonometri. Jadi,

Apakah sinus dan kosinus? Apakah tangen dan kotangen?

Mari kita mulakan dengan zaman dahulu. Jangan risau, kami akan melalui semua 20 abad trigonometri dalam kira-kira 15 minit Dan, tanpa menyedarinya, kami akan mengulangi sekeping geometri dari gred 8.

Mari kita lukis segi tiga tepat dengan sisi a, b, c dan sudut X. Ini dia.

Biar saya ingatkan bahawa sisi yang membentuk sudut tegak dipanggil kaki. a dan c– kaki. Terdapat dua daripada mereka. Bahagian selebihnya dipanggil hipotenus. Dengan– hipotenus.

Segitiga dan segitiga, fikirkan! Apa nak buat dengan dia? Tetapi orang purba tahu apa yang perlu dilakukan! Mari kita ulangi perbuatan mereka. Mari kita ukur sisi V. Dalam rajah, sel-sel dilukis khas, seperti dalam Tugasan Peperiksaan Negeri Bersepadu Ia berlaku. V sebelah sama dengan empat sel. OKEY. Mari kita ukur sisi A.

Tiga sel. Sekarang mari bahagikan panjang sisi A V setiap panjang sisi Sekarang mari bahagikan panjang sisi. Atau, seperti yang mereka katakan, mari kita ambil sikap V. Kepada= 3/4.

a/v V Sebaliknya, anda boleh membahagikan sama dengan empat sel. OKEY. Mari kita ukur sisi pada V Kami mendapat 4/3. boleh bahagikan dengan Dengan. Dengan Hipotenus Tidak mustahil untuk mengira dengan sel, tetapi ia sama dengan 5. Kami dapat kualiti tinggi

= 4/5. Ringkasnya, anda boleh membahagikan panjang sisi dengan satu sama lain dan mendapatkan beberapa nombor. Jadi apa? Apa gunanya dalam hal ini aktiviti yang menarik

? Belum ada lagi. Senaman yang sia-sia, secara terang-terangan.) Sekarang mari kita lakukan ini. Mari besarkan segitiga. Mari kita panjangkan sisi dalam dan dengan X, tetapi supaya segi tiga itu kekal segi empat tepat. Sudut , sudah tentu, tidak berubah. Untuk melihat ini, tuding tetikus anda pada gambar atau sentuhnya (jika anda mempunyai tablet). parti a, b dan c akan bertukar menjadi m, n, k

, dan, sudah tentu, panjang sisi akan berubah.

Tetapi hubungan mereka tidak! Kepada Sikap Kepada ialah: = 3/4, menjadi m/n = 6/8 = 3/4. Hubungan pihak lain yang berkaitan juga . Anda boleh menukar panjang sisi dalam segi tiga tepat yang anda suka, tambah, kurangkan, tanpa mengubah sudut x – hubungan antara pihak yang berkenaan tidak akan berubah . Anda boleh menyemaknya, atau anda boleh mengambil perkataan orang purba untuknya.

Tetapi ini sudah sangat penting! Nisbah sisi dalam segi tiga tepat tidak bergantung dalam apa cara sekalipun pada panjang sisi (pada sudut yang sama). Ini sangat penting sehingga hubungan antara pihak telah mendapat nama istimewanya sendiri. Nama awak, kononnya.) Temui saya.

Apakah sinus sudut x ? Ini ialah nisbah sisi bertentangan dengan hipotenus:

sinx = a/c

Berapakah kosinus bagi sudut x ? Ini ialah nisbah kaki bersebelahan dengan hipotenus:

Denganosx= kualiti tinggi

Apakah tangen x ? Ini ialah nisbah sisi bertentangan dengan sisi bersebelahan:

tgx =Kepada

Berapakah kotangen bagi sudut x ? Ini ialah nisbah sisi bersebelahan dengan sebaliknya:

ctgx = v/a

Semuanya sangat mudah. Sinus, kosinus, tangen dan kotangen ialah beberapa nombor. tidak berdimensi. Hanya nombor. Setiap sudut mempunyai sendiri.

Mengapa saya mengulangi semuanya dengan membosankan? Kemudian apa ini perlu ingat. Penting untuk diingati. Penghafalan dapat dipermudahkan. Adakah ungkapan "Mari kita mulakan dari jauh..." biasa? Jadi mulakan dari jauh.

Resdung sudut ialah nisbah jauh dari sudut kaki ke hipotenus. kosinus– nisbah jiran kepada hipotenus.

Tangen sudut ialah nisbah jauh dari sudut kaki kepada yang berhampiran. Kotangen- sebaliknya.

Ia lebih mudah, bukan?

Nah, jika anda ingat bahawa dalam tangen dan kotangen hanya ada kaki, dan dalam sinus dan kosinus hipotenus muncul, maka semuanya akan menjadi agak mudah.

Seluruh keluarga mulia ini - sinus, kosinus, tangen dan kotangen juga dipanggil fungsi trigonometri.

Dan kini soalan untuk dipertimbangkan.

Mengapa kita katakan sinus, kosinus, tangen dan kotangen sudut? Kita bercakap tentang hubungan antara pihak, seperti... Apa kaitannya dengannya? sudut?

Jom tengok gambar kedua. Betul-betul sama seperti yang pertama.

Tuding tetikus anda pada gambar. Saya menukar sudut X. Meningkatnya daripada x kepada x. Semua hubungan telah berubah! Sikap Kepada ialah 3/4, dan nisbah yang sepadan t/v menjadi 6/4.

Dan semua hubungan lain menjadi berbeza!

Oleh itu, nisbah sisi tidak bergantung dalam apa cara sekalipun pada panjangnya (pada satu sudut x), tetapi bergantung secara mendadak pada sudut ini! Dan hanya dari dia. Oleh itu, istilah sinus, kosinus, tangen dan kotangen merujuk kepada sudut. Sudut di sini adalah yang utama.

Ia mesti difahami dengan jelas bahawa sudut itu berkait rapat dengan fungsi trigonometrinya. Setiap sudut mempunyai sinus dan kosinus sendiri. Dan hampir setiap orang mempunyai tangen dan kotangen mereka sendiri. Ia penting. Adalah dipercayai bahawa jika kita diberi sudut, maka sinus, kosinus, tangen dan kotangennya kami tahu ! Dan begitu juga sebaliknya. Memandangkan sinus, atau mana-mana fungsi trigonometri lain, ia bermakna kita tahu sudut.

Terdapat jadual khas di mana bagi setiap sudut diterangkan fungsi trigonometrinya. Mereka dipanggil jadual Bradis. Mereka telah disusun sangat lama dahulu. Apabila belum ada kalkulator atau komputer...

Sudah tentu, adalah mustahil untuk mengingati fungsi trigonometri semua sudut. Anda dikehendaki mengenali mereka hanya untuk beberapa sudut, lebih lanjut mengenainya kemudian. Tetapi jampi Saya tahu sudut, bermakna saya tahu fungsi trigonometrinya” - sentiasa berfungsi!

Jadi kami mengulangi sekeping geometri dari gred 8. Adakah kita memerlukannya untuk Peperiksaan Negeri Bersatu? Perlu. Berikut ialah masalah biasa daripada Peperiksaan Negeri Bersepadu. Untuk menyelesaikan masalah ini, gred 8 sudah memadai. Gambar yang diberi:

Semua. Tiada lagi data. Kita perlu mencari panjang sisi pesawat.

Sel-sel tidak banyak membantu, segi tiga itu entah bagaimana kedudukannya tidak betul.... Sengaja, saya rasa... Dari maklumat terdapat panjang hipotenus. 8 sel. Atas sebab tertentu, sudut itu diberikan.

Di sinilah anda perlu segera mengingati tentang trigonometri. Terdapat sudut, yang bermaksud kita tahu semua fungsi trigonometrinya. Antara empat fungsi yang manakah harus kita gunakan? Mari lihat, apa yang kita tahu? Kita tahu hipotenus dan sudut, tetapi kita perlu mencari bersebelahan kateter ke sudut ini! Sudah jelas, kosinus perlu dilaksanakan! Di sini kita pergi. Kami hanya menulis, mengikut takrifan kosinus (nisbah bersebelahan kaki ke hipotenus):

cosC = BC/8

Sudut C ialah 60 darjah, kosinusnya ialah 1/2. Anda perlu tahu ini, tanpa sebarang jadual! Itu dia:

1/2 = BC/8

peringkat rendah persamaan linear. Tidak diketahui - matahari. Bagi mereka yang terlupa cara menyelesaikan persamaan, ikuti pautan, selebihnya selesaikan:

BC = 4

Apabila orang purba menyedari bahawa setiap sudut mempunyai set fungsi trigonometri sendiri, mereka mempunyai soalan yang munasabah. Adakah sinus, kosinus, tangen dan kotangen ada kaitan antara satu sama lain? Supaya mengetahui satu fungsi sudut, anda boleh mencari yang lain? Tanpa mengira sudut itu sendiri?

Mereka sangat resah...)

Hubungan antara fungsi trigonometri satu sudut.

Sudah tentu, sinus, kosinus, tangen dan kotangen dari sudut yang sama adalah berkaitan antara satu sama lain. Sebarang hubungan antara ungkapan diberikan dalam matematik dengan formula. Dalam trigonometri terdapat sejumlah besar formula. Tetapi di sini kita akan melihat yang paling asas. Formula ini dipanggil: identiti asas trigonometri. Di sini mereka:

Anda perlu mengetahui formula ini dengan teliti. Tanpa mereka, pada umumnya tiada kaitan dalam trigonometri. Tiga lagi identiti tambahan mengikuti daripada identiti asas ini:

Saya memberi amaran kepada anda dengan segera bahawa tiga formula terakhir cepat hilang dari ingatan anda. Atas sebab tertentu.) Sudah tentu, anda boleh memperoleh formula ini daripada tiga pertama. Tetapi, dalam Masa susah... Anda faham.)

DALAM tugasan standard, seperti di bawah, terdapat cara untuk melakukannya tanpa formula yang boleh dilupakan ini. DAN mengurangkan ralat secara mendadak kerana kealpaan, dan dalam pengiraan juga. Amalan ini terdapat dalam Bahagian 555, pelajaran "Hubungan antara fungsi trigonometri sudut yang sama."

Dalam tugasan apakah dan bagaimana identiti trigonometri asas digunakan? Tugas yang paling popular ialah mencari beberapa fungsi sudut jika yang lain diberikan. Dalam Peperiksaan Negeri Bersepadu tugas seperti itu hadir dari tahun ke tahun.) Contohnya:

Cari nilai sinx, jika x ialah sudut lancip dan cosx=0.8.

Tugasnya hampir asas. Kami sedang mencari formula yang mengandungi sinus dan kosinus. Berikut adalah formulanya:

sin 2 x + cos 2 x = 1

Gantikan di sini kuantiti yang diketahui, iaitu, 0.8 bukannya kosinus:

sin 2 x + 0.8 2 = 1

Nah, kami mengira seperti biasa:

sin 2 x + 0.64 = 1

sin 2 x = 1 - 0.64

Itu sahaja. Kami telah mengira kuasa dua sinus, yang tinggal hanyalah mengekstrak punca kuasa dua dan jawapannya sudah sedia! Punca 0.36 ialah 0.6.

Tugasnya hampir asas. Tetapi perkataan “hampir” ada sebabnya... Hakikatnya jawapan sinx= - 0.6 juga sesuai... (-0.6) 2 juga akan menjadi 0.36.

Terdapat dua jawapan yang berbeza. Dan anda memerlukan satu. Yang kedua salah. Macam mana nak jadi!? Ya, seperti biasa.) Baca tugasan dengan teliti. Atas sebab tertentu ia berkata:... jika x ialah sudut lancip... Dan dalam tugas, setiap perkataan mempunyai makna, ya... Frasa ini adalah maklumat tambahan untuk penyelesaiannya.

Sudut lancip ialah sudut kurang daripada 90°. Dan di sudut sedemikian Semua fungsi trigonometri - sinus, kosinus, dan tangen dengan kotangen - positif. Itu. Kami hanya membuang jawapan negatif di sini. Kita ada hak.

Sebenarnya, pelajar darjah lapan tidak memerlukan kehalusan seperti itu. Mereka hanya berfungsi dengan segi tiga tepat, di mana sudut hanya boleh menjadi akut. Dan mereka tidak tahu, yang gembira, bahawa terdapat kedua-dua sudut negatif dan sudut 1000°... Dan semua sudut yang mengerikan ini mempunyai fungsi trigonometri mereka sendiri, kedua-dua tambah dan tolak...

Tetapi untuk pelajar sekolah menengah, tanpa mengambil kira tanda itu, tidak mungkin. Banyak ilmu melipatgandakan kesedihan, ya...) Dan untuk keputusan yang betul Tugasan mesti mengandungi maklumat tambahan (jika perlu). Sebagai contoh, ia boleh diberikan melalui entri berikut:

Atau cara lain. Anda akan lihat dalam contoh di bawah.) Untuk menyelesaikan contoh tersebut anda perlu tahu suku yang manakah ia jatuh ke dalam? sudut yang ditentukan x dan apakah tanda fungsi trigonometri yang dikehendaki dalam sukuan ini.

Asas trigonometri ini dibincangkan dalam pelajaran tentang apa itu bulatan trigonometri, ukuran sudut pada bulatan ini, ukuran radian sudut. Kadangkala anda perlu mengetahui jadual sinus, kosinus tangen dan kotangen.

Jadi, mari kita perhatikan perkara yang paling penting:

Nasihat praktikal:

1. Ingat takrif sinus, kosinus, tangen dan kotangen. Ia akan menjadi sangat berguna.

2. Kami faham dengan jelas: sinus, kosinus, tangen dan kotangen bersambung rapat dengan sudut. Kita tahu satu perkara, bermakna kita tahu yang lain.

3. Kami faham dengan jelas: sinus, kosinus, tangen dan kotangen satu sudut berkaitan antara satu sama lain mengikut asas identiti trigonometri. Kami tahu satu fungsi, yang bermaksud kami boleh (jika kami mempunyai maklumat tambahan yang diperlukan) mengira semua yang lain.

Sekarang mari buat keputusan, seperti biasa. Pertama, tugas dalam skop gred 8. Tetapi pelajar sekolah menengah boleh melakukannya juga...)

1. Kira nilai tgA jika ctgA = 0.4.

2. β ialah sudut dalam segi tiga tegak. Cari nilai tanβ jika sinβ = 12/13.

3. Tentukan sinus bagi sudut akut x jika tgх = 4/3.

4. Cari maksud ungkapan:

6sin 2 5° - 3 + 6cos 2 5°

5. Cari maksud ungkapan:

(1-cosx)(1+cosx), jika sinx = 0.3

Jawapan (dipisahkan dengan koma bertitik, berantakan):

0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5

Terjadi? Hebat! Pelajar darjah lapan sudah boleh mendapatkan A mereka.)

Tidakkah semuanya berjaya? Tugasan 2 dan 3 entah bagaimana tidak begitu baik...? Tiada masalah! Terdapat satu helah yang indah untuk tugasan yang serupa. Semuanya boleh diselesaikan secara praktikal tanpa formula sama sekali! Nah, oleh itu, tanpa kesilapan. Teknik ini diterangkan dalam pelajaran: “Hubungan antara fungsi trigonometri satu sudut” dalam Bahagian 555. Semua tugas lain juga diuruskan di sana.

Ini adalah masalah Jenis Peperiksaan Negeri Bersatu, tetapi dalam versi yang dilucutkan. Peperiksaan Negeri Bersatu - ringan). Dan kini hampir tugas yang sama, tetapi dalam format penuh. Untuk pelajar sekolah menengah yang membebankan ilmu.)

6. Cari nilai tanβ jika sinβ = 12/13, dan

7. Tentukan sinх jika tgх = 4/3, dan x tergolong dalam selang (- 540°; - 450°).

8. Cari nilai ungkapan sinβ cosβ jika ctgβ = 1.

Jawapan (bercelaru):

0,8; 0,5; -2,4.

Di sini dalam masalah 6 sudut tidak dinyatakan dengan jelas... Tetapi dalam masalah 8 ia tidak dinyatakan sama sekali! Ini sengaja). Maklumat tambahan bukan sahaja diambil dari tugas, tetapi juga dari kepala.) Tetapi jika anda membuat keputusan, satu tugas yang betul dijamin!

Bagaimana jika anda belum membuat keputusan? Hmm... Nah, Seksyen 555 akan membantu di sini. Di sana penyelesaian untuk semua tugas ini diterangkan secara terperinci, sukar untuk tidak difahami.

Pelajaran ini memberikan pemahaman yang sangat terhad tentang fungsi trigonometri. Dalam darjah 8. Dan para penatua masih mempunyai soalan ...

Contohnya, jika sudut X(lihat gambar kedua di halaman ini) - buat bodoh!? Segitiga itu akan runtuh sepenuhnya! Jadi apa yang patut kita buat? Tidak akan ada kaki, tiada hipotenus... Sinus telah hilang...

Jika orang zaman dahulu tidak menemui jalan keluar dari situasi ini, kita tidak akan mempunyai telefon bimbit, TV, atau elektrik sekarang. Ya Ya! Asas teori semua perkara ini tanpa fungsi trigonometri adalah sifar tanpa kayu. Tetapi orang zaman dahulu tidak mengecewakan. Bagaimana mereka keluar adalah dalam pelajaran seterusnya.

Jika anda suka laman web ini...

By the way, saya ada beberapa lagi tapak yang menarik untuk anda.)

Anda boleh berlatih menyelesaikan contoh dan mengetahui tahap anda. Menguji dengan pengesahan segera. Mari belajar - dengan minat!)

Anda boleh berkenalan dengan fungsi dan derivatif.

Salah satu bidang matematik yang paling sukar dihadapi oleh pelajar ialah trigonometri. Ia tidak menghairankan: untuk menguasai bidang pengetahuan ini secara bebas, anda memerlukan pemikiran spatial, keupayaan untuk mencari sinus, kosinus, tangen, kotangen menggunakan formula, memudahkan ungkapan, dan dapat menggunakan nombor pi dalam pengiraan. Di samping itu, anda perlu boleh menggunakan trigonometri semasa membuktikan teorem, dan ini memerlukan sama ada memori matematik yang dibangunkan atau keupayaan untuk memperoleh rantai logik yang kompleks.

Asal-usul trigonometri

Membiasakan diri dengan sains ini harus bermula dengan definisi sinus, kosinus dan tangen sudut, tetapi pertama-tama anda perlu memahami apa yang dilakukan oleh trigonometri secara umum.

Dari segi sejarah, objek utama kajian dalam bahagian ini sains matematik ialah segi tiga tepat. Kehadiran sudut 90 darjah memungkinkan untuk menjalankan pelbagai operasi yang membolehkan seseorang menentukan nilai semua parameter rajah yang dipersoalkan menggunakan dua sisi dan satu sudut atau dua sudut dan satu sisi. Pada masa lalu, orang melihat corak ini dan mula menggunakannya secara aktif dalam pembinaan bangunan, navigasi, astronomi dan juga dalam seni.

Peringkat pertama

Pada mulanya, orang bercakap tentang hubungan antara sudut dan sisi secara eksklusif menggunakan contoh segi tiga tepat. Kemudian formula khas ditemui yang memungkinkan untuk meluaskan sempadan penggunaan dalam Kehidupan seharian cabang matematik ini.

Kajian trigonometri di sekolah hari ini bermula dengan segi tiga tepat, selepas itu pelajar menggunakan pengetahuan yang diperoleh dalam fizik dan menyelesaikan masalah abstrak. persamaan trigonometri, kerja yang bermula di sekolah menengah.

Trigonometri sfera

Kemudian, apabila sains mencapai tahap perkembangan seterusnya, formula dengan sinus, kosinus, tangen, dan kotangen mula digunakan dalam geometri sfera, di mana peraturan yang berbeza digunakan, dan jumlah sudut dalam segi tiga sentiasa lebih daripada 180 darjah. Bahagian ini tidak dipelajari di sekolah, tetapi perlu mengetahui kewujudannya sekurang-kurangnya kerana permukaan bumi, dan permukaan mana-mana planet lain adalah cembung, yang bermaksud bahawa sebarang tanda permukaan akan berada di dalamnya ruang tiga dimensi"berbentuk arka".

Ambil glob dan benang. Pasangkan benang pada mana-mana dua titik pada glob supaya ia tegang. Sila ambil perhatian - ia telah mengambil bentuk arka. Geometri sfera memperkatakan bentuk sedemikian, yang digunakan dalam geodesi, astronomi dan bidang teori dan gunaan lain.

Segitiga kanan

Setelah mengetahui serba sedikit tentang cara-cara menggunakan trigonometri, mari kembali kepada asas trigonometri untuk memahami lebih lanjut apakah sinus, kosinus, tangen, pengiraan apa yang boleh dilakukan dengan bantuan mereka dan formula apa yang perlu digunakan.

Langkah pertama ialah memahami konsep yang berkaitan dengan segi tiga tepat. Pertama, hipotenus ialah sisi yang bertentangan dengan sudut 90 darjah. Ia adalah yang terpanjang. Kami ingat bahawa mengikut teorem Pythagoras, ia nilai berangka sama dengan punca hasil tambah kuasa dua dua sisi yang lain.

Sebagai contoh, jika kedua-dua sisi masing-masing ialah 3 dan 4 sentimeter, panjang hipotenus ialah 5 sentimeter. Ngomong-ngomong, orang Mesir kuno tahu tentang ini kira-kira empat setengah ribu tahun yang lalu.

Dua sisi yang tinggal, yang membentuk sudut tegak, dipanggil kaki. Di samping itu, kita mesti ingat bahawa jumlah sudut dalam segitiga dalam sistem koordinat segi empat tepat adalah sama dengan 180 darjah.

Definisi

Akhir sekali, dengan pemahaman yang kukuh tentang asas geometri, seseorang boleh beralih kepada definisi sinus, kosinus dan tangen sesuatu sudut.

Sinus suatu sudut ialah nisbah kaki bertentangan (iaitu, sisi bertentangan dengan sudut yang dikehendaki) kepada hipotenus. Kosinus sudut ialah nisbah sisi bersebelahan dengan hipotenus.

Ingat bahawa sinus atau kosinus tidak boleh lebih daripada satu! kenapa? Kerana hipotenus secara lalai adalah yang paling panjang Tidak kira berapa panjang kaki itu, ia akan lebih pendek daripada hipotenus, yang bermaksud nisbah mereka akan sentiasa kurang daripada satu. Oleh itu, jika dalam jawapan anda kepada masalah anda mendapat sinus atau kosinus dengan nilai lebih daripada 1, cari ralat dalam pengiraan atau penaakulan. Jawapan ini jelas tidak betul.

Akhir sekali, tangen suatu sudut ialah nisbah sisi bertentangan dengan sisi bersebelahan. Membahagi sinus dengan kosinus akan memberikan hasil yang sama. Lihat: mengikut formula, kita bahagikan panjang sisi dengan hipotenus, kemudian bahagikan dengan panjang sisi kedua dan darab dengan hipotenus. Oleh itu, kita mendapat hubungan yang sama seperti dalam definisi tangen.

Cotangent, dengan itu, ialah nisbah sisi yang bersebelahan dengan sudut ke sisi yang bertentangan. Kami mendapat hasil yang sama dengan membahagikan satu dengan tangen.

Jadi, kita telah melihat definisi sinus, kosinus, tangen dan kotangen, dan kita boleh beralih kepada formula.

Formula paling mudah

Dalam trigonometri anda tidak boleh melakukan tanpa formula - bagaimana untuk mencari sinus, kosinus, tangen, kotangen tanpanya? Tetapi inilah yang diperlukan apabila menyelesaikan masalah.

Formula pertama yang anda perlu tahu apabila mula belajar trigonometri mengatakan bahawa jumlah kuasa dua sinus dan kosinus sudut adalah sama dengan satu. Formula ini adalah akibat langsung daripada teorem Pythagoras, tetapi ia menjimatkan masa jika anda perlu mengetahui saiz sudut dan bukannya sisi.

Ramai pelajar tidak dapat mengingati formula kedua, yang juga sangat popular apabila menyelesaikan tugas sekolah: hasil tambah satu dan kuasa dua tangen sudut adalah sama dengan satu dibahagikan dengan kuasa dua kosinus sudut itu. Lihat lebih dekat: ini adalah pernyataan yang sama seperti dalam formula pertama, hanya kedua-dua belah identiti dibahagikan dengan kuasa dua kosinus. Ternyata operasi matematik yang mudah dilakukan formula trigonometri sama sekali tidak dapat dikenali. Ingat: mengetahui apakah sinus, kosinus, tangen dan kotangen, peraturan penukaran dan beberapa formula asas anda boleh pada bila-bila masa menarik balik yang diperlukan lagi formula kompleks pada sehelai kertas.

Formula untuk sudut berganda dan penambahan hujah

Dua lagi formula yang perlu anda pelajari adalah berkaitan dengan nilai sinus dan kosinus untuk jumlah dan perbezaan sudut. Mereka dibentangkan dalam rajah di bawah. Sila ambil perhatian bahawa dalam kes pertama, sinus dan kosinus didarab kedua-dua kali, dan dalam kes kedua, hasil berpasangan sinus dan kosinus ditambah.

Terdapat juga formula yang dikaitkan dengan hujah dalam bentuk sudut berganda. Ia sepenuhnya diperoleh daripada yang sebelumnya - sebagai amalan, cuba dapatkannya sendiri dengan mengambil sudut alfa yang sama dengan sudut beta.

Akhir sekali, ambil perhatian bahawa formula sudut dua kali boleh disusun semula untuk mengurangkan kuasa sinus, kosinus, alfa tangen.

Teorem

Dua teorem utama dalam trigonometri asas ialah teorem sinus dan teorem kosinus. Dengan bantuan teorem ini, anda boleh dengan mudah memahami cara mencari sinus, kosinus dan tangen, dan oleh itu luas rajah, dan saiz setiap sisi, dsb.

Teorem sinus menyatakan bahawa dengan membahagikan panjang setiap sisi segitiga dengan sudut bertentangan, kita dapat nombor yang sama. Selain itu, nombor ini akan bersamaan dengan dua jejari bulatan yang dihadkan, iaitu bulatan yang mengandungi semua titik segi tiga yang diberikan.

Teorem kosinus menyamaratakan teorem Pythagoras, mengunjurkannya ke mana-mana segi tiga. Ternyata daripada hasil tambah kuasa dua dua sisi, tolak hasil darabnya dengan kosinus berganda sudut bersebelahan - nilai yang terhasil akan sama dengan kuasa dua sisi ketiga. Oleh itu, teorem Pythagoras ternyata menjadi kes khas teorem kosinus.

Kesilapan yang tidak berhati-hati

Walaupun mengetahui apa itu sinus, kosinus dan tangen, adalah mudah untuk membuat kesilapan disebabkan oleh ketiadaan fikiran atau kesilapan dalam pengiraan yang paling mudah. Untuk mengelakkan kesilapan sedemikian, mari kita lihat yang paling popular.

Pertama, anda tidak seharusnya menukar pecahan kepada perpuluhan sehingga anda mendapat keputusan akhir - anda boleh meninggalkan jawapan sebagai pecahan sepunya, melainkan dinyatakan sebaliknya dalam syarat. Transformasi sedemikian tidak boleh dipanggil kesilapan, tetapi harus diingat bahawa pada setiap peringkat masalah akar baru mungkin muncul, yang, menurut idea pengarang, harus dikurangkan. Dalam kes ini, anda akan membuang masa anda untuk perkara yang tidak perlu operasi matematik. Ini benar terutamanya untuk nilai seperti punca tiga atau punca dua, kerana ia ditemui dalam masalah pada setiap langkah. Perkara yang sama berlaku untuk membundarkan nombor "hodoh".

Selanjutnya, ambil perhatian bahawa teorem kosinus digunakan untuk mana-mana segi tiga, tetapi bukan teorem Pythagoras! Jika anda tersilap terlupa untuk menolak dua kali hasil darab sisi yang didarab dengan kosinus sudut di antara mereka, anda bukan sahaja akan mendapat hasil yang salah sepenuhnya, tetapi anda juga akan menunjukkan kekurangan pemahaman sepenuhnya tentang subjek. Ini lebih teruk daripada kesilapan yang tidak berhati-hati.

Ketiga, jangan mengelirukan nilai untuk sudut 30 dan 60 darjah untuk sinus, kosinus, tangen, kotangen. Ingat nilai ini, kerana sinus 30 darjah adalah sama dengan kosinus 60, dan sebaliknya. Sangat mudah untuk mengelirukan mereka, akibatnya anda pasti akan mendapat hasil yang salah.

Permohonan

Ramai pelajar tidak tergesa-gesa untuk mula belajar trigonometri kerana mereka tidak memahami maksud praktikalnya. Apakah sinus, kosinus, tangen untuk seorang jurutera atau ahli astronomi? Ini adalah konsep yang anda boleh mengira jaraknya bintang yang jauh, ramalkan kejatuhan meteorit, hantar siasatan penyelidikan ke planet lain. Tanpa mereka, adalah mustahil untuk membina bangunan, mereka bentuk kereta, mengira beban pada permukaan atau trajektori objek. Dan ini hanya yang paling contoh yang jelas! Lagipun, trigonometri dalam satu bentuk atau yang lain digunakan di mana-mana, dari muzik ke perubatan.

Akhirnya

Jadi anda sinus, kosinus, tangen. Anda boleh menggunakannya dalam pengiraan dan berjaya menyelesaikan masalah sekolah.

Keseluruhan trigonometri datang kepada fakta bahawa menggunakan parameter segitiga yang diketahui anda perlu mengira yang tidak diketahui. Terdapat enam parameter secara keseluruhan: panjang tiga sisi dan saiz tiga penjuru. Satu-satunya perbezaan dalam tugas terletak pada fakta bahawa data input yang berbeza diberikan.

Anda kini tahu cara mencari sinus, kosinus, tangen berdasarkan panjang kaki atau hipotenus yang diketahui. Oleh kerana istilah ini tidak lebih daripada nisbah, dan nisbah ialah pecahan, matlamat utama masalah trigonometri adalah mencari punca-punca persamaan biasa atau sistem persamaan. Dan di sini matematik sekolah biasa akan membantu anda.

Dalam artikel ini kami akan menunjukkan cara memberi takrif sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi sudut dan nombor dalam trigonometri. Di sini kita akan bercakap tentang notasi, memberi contoh entri, dan memberikan ilustrasi grafik. Kesimpulannya, mari kita lukiskan selari antara definisi sinus, kosinus, tangen dan kotangen dalam trigonometri dan geometri.

Navigasi halaman.

Definisi sinus, kosinus, tangen dan kotangen

Mari kita lihat bagaimana idea sinus, kosinus, tangen dan kotangen terbentuk kursus sekolah matematik. Dalam pelajaran geometri, takrif sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi sudut akut dalam segi tiga tepat diberikan. Dan kemudian trigonometri dikaji, yang bercakap tentang sinus, kosinus, tangen dan kotangen sudut putaran dan nombor. Marilah kita kemukakan semua definisi ini, berikan contoh dan berikan ulasan yang diperlukan.

Sudut akut dalam segi tiga tepat

Daripada kursus geometri kita mengetahui definisi sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi sudut akut dalam segi tiga tegak. Mereka diberikan sebagai nisbah sisi segi tiga tepat. Mari kita berikan formulasi mereka.

Definisi.

Sinus sudut lancip dalam segi tiga tegak ialah nisbah sisi bertentangan dengan hipotenus.

Definisi.

Kosinus sudut lancip dalam segi tiga tegak ialah nisbah kaki bersebelahan dengan hipotenus.

Definisi.

Tangen bagi sudut lancip dalam segi tiga tegak– ini ialah nisbah sisi bertentangan dengan sisi bersebelahan.

Definisi.

Kotangen sudut lancip dalam segi tiga tegak- ini ialah nisbah sisi bersebelahan dengan sisi bertentangan.

Penamaan untuk sinus, kosinus, tangen dan kotangen juga diperkenalkan di sana - sin, cos, tg dan ctg, masing-masing.

Sebagai contoh, jika ABC ialah segi tiga tegak dengan sudut tegak C, maka sinus sudut akut A adalah sama dengan nisbah sisi bertentangan BC dengan hipotenus AB, iaitu sin∠A=BC/AB.

Takrifan ini membolehkan anda mengira nilai sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi sudut akut daripada panjang sisi segi tiga tepat yang diketahui, serta dari nilai yang diketahui cari panjang sisi yang lain menggunakan sinus, kosinus, tangen, kotangen dan panjang salah satu sisi. Sebagai contoh, jika kita tahu bahawa dalam segi tiga tepat kaki AC adalah sama dengan 3 dan hipotenus AB adalah sama dengan 7, maka kita boleh mengira nilai kosinus sudut akut A mengikut takrifan: cos∠A=AC/ AB=3/7.

Sudut putaran

Dalam trigonometri, mereka mula melihat sudut dengan lebih luas - mereka memperkenalkan konsep sudut putaran. Magnitud sudut putaran, tidak seperti sudut akut, tidak terhad kepada 0 hingga 90 darjah, sudut putaran dalam darjah (dan dalam radian) boleh dinyatakan dengan sebarang nombor nyata dari −∞ hingga +∞.

Dalam hal ini, takrif sinus, kosinus, tangen dan kotangen diberikan bukan sudut akut, tetapi sudut saiz sewenang-wenangnya - sudut putaran. Ia diberikan melalui koordinat x dan y titik A 1, yang dipanggil titik permulaan A(1, 0) selepas putarannya dengan sudut α di sekeliling titik O - permulaan sistem koordinat Cartesan segi empat tepat dan pusat bulatan unit.

Definisi.

Sinus sudut putaranα ialah ordinat bagi titik A 1, iaitu sinα=y.

Definisi.

Kosinus sudut putaranα dipanggil absis titik A 1, iaitu cosα=x.

Definisi.

Tangen sudut putaranα ialah nisbah ordinat titik A 1 kepada absisnya, iaitu tanα=y/x.

Definisi.

Kotangen sudut putaranα ialah nisbah absis titik A 1 kepada ordinatnya, iaitu ctgα=x/y.

Sinus dan kosinus ditakrifkan untuk sebarang sudut α, kerana kita sentiasa boleh menentukan absis dan ordinat titik, yang diperoleh dengan memutarkan titik permulaan dengan sudut α. Tetapi tangen dan kotangen tidak ditakrifkan untuk sebarang sudut. Tangen tidak ditakrifkan untuk sudut α di mana titik permulaan pergi ke titik dengan absis sifar (0, 1) atau (0, -1), dan ini berlaku pada sudut 90°+180° k, k∈Z (π). /2+π·k rad). Sesungguhnya, pada sudut putaran sedemikian, ungkapan tgα=y/x tidak masuk akal, kerana ia mengandungi pembahagian dengan sifar. Bagi kotangen, ia tidak ditakrifkan untuk sudut α di mana titik permulaan pergi ke titik dengan koordinat sifar (1, 0) atau (−1, 0), dan ini berlaku untuk sudut 180° k, k ∈Z (π·k rad).

Jadi, sinus dan kosinus ditakrifkan untuk sebarang sudut putaran, tangen ditakrifkan untuk semua sudut kecuali 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad), dan kotangen ditakrifkan untuk semua sudut kecuali 180° ·k , k∈Z (π·k rad).

Takrifan termasuk sebutan yang telah diketahui oleh kita sin, cos, tg dan ctg, ia juga digunakan untuk menentukan sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi sudut putaran (kadangkala anda boleh mencari sebutan tan dan cot yang sepadan dengan tangen dan kotangen) . Jadi sinus sudut putaran 30 darjah boleh ditulis sebagai sin30°, entri tg(−24°17′) dan ctgα sepadan dengan tangen sudut putaran −24 darjah 17 minit dan kotangen sudut putaran α . Ingat bahawa apabila menulis ukuran radian sudut, sebutan "rad" selalunya ditinggalkan. Sebagai contoh, kosinus sudut putaran tiga rad pi biasanya dilambangkan sebagai cos3·π.

Sebagai kesimpulan perkara ini, perlu diperhatikan bahawa apabila bercakap tentang sinus, kosinus, tangen dan kotangen sudut putaran, frasa "sudut putaran" atau perkataan "putaran" sering ditinggalkan. Iaitu, bukannya frasa "sinus alfa sudut putaran", frasa "sinus sudut alfa" atau, lebih pendek lagi, "sinus alfa" biasanya digunakan. Perkara yang sama berlaku untuk kosinus, tangen, dan kotangen.

Kami juga akan mengatakan bahawa takrif sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi sudut akut dalam segi tiga tegak adalah konsisten dengan takrifan yang baru diberikan untuk sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi sudut putaran antara 0 hingga 90 darjah. Kami akan membenarkan ini.

Nombor

Definisi.

Sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi suatu nombor t ialah nombor sama dengan sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi sudut putaran dalam t radian, masing-masing.

Sebagai contoh, kosinus bagi nombor 8 π mengikut takrifan ialah nombor sama dengan kosinus sudut 8·π rad. Dan kosinus sudut ialah 8 π rad sama dengan satu, oleh itu, kosinus bagi nombor 8·π adalah sama dengan 1.

Terdapat satu lagi pendekatan untuk menentukan sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi suatu nombor. Ia terdiri daripada fakta bahawa setiap orang nombor sebenar t ditugaskan pada titik pada bulatan unit dengan pusat pada permulaan sistem segi empat tepat koordinat, dan sinus, kosinus, tangen dan kotangen ditentukan melalui koordinat titik ini. Mari kita lihat ini dengan lebih terperinci.

Mari kita tunjukkan bagaimana surat-menyurat diwujudkan antara nombor nyata dan titik pada bulatan:

• nombor 0 diberikan titik permulaan A(1, 0);
• nombor positif t dikaitkan dengan titik bulatan unit yang akan kita sampaii jika kita bergerak sepanjang bulatan dari titik permulaan mengikut arah lawan jam dan mari kita berjalan di laluan panjang t;
• nombor negatif t dikaitkan dengan titik bulatan unit, yang akan kita capai jika kita bergerak sepanjang bulatan dari titik permulaan mengikut arah jam dan berjalan di laluan sepanjang |t| .

Sekarang kita beralih kepada takrif sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi nombor t. Mari kita andaikan bahawa nombor t sepadan dengan titik pada bulatan A 1 (x, y) (contohnya, nombor &pi/2; sepadan dengan titik A 1 (0, 1)).

Definisi.

Sinus nombor t ialah ordinat titik pada bulatan unit yang sepadan dengan nombor t, iaitu sint=y.

Definisi.

Kosinus nombor t dipanggil absis titik bulatan unit yang sepadan dengan nombor t, iaitu kos=x.

Definisi.

Tangen nombor t ialah nisbah ordinat kepada absis titik pada bulatan unit yang sepadan dengan nombor t, iaitu tgt=y/x. Dalam rumusan setara yang lain, tangen bagi nombor t ialah nisbah sinus nombor ini kepada kosinus, iaitu, tgt=sint/kos.

Definisi.

Kotangen nombor t ialah nisbah absis kepada ordinat titik pada bulatan unit yang sepadan dengan nombor t, iaitu ctgt=x/y. Rumusan lain ialah ini: tangen bagi nombor t ialah nisbah kosinus nombor t kepada sinus nombor t: ctgt=kos/sint.

Di sini kita perhatikan bahawa takrifan yang baru diberikan adalah konsisten dengan takrifan yang diberikan pada permulaan perenggan ini. Sesungguhnya, titik pada bulatan unit sepadan dengan nombor t bertepatan dengan titik yang diperoleh dengan memutarkan titik permulaan dengan sudut t radian.

Ia masih bernilai menjelaskan perkara ini. Katakan kita mempunyai entri sin3. Bagaimanakah kita boleh memahami sama ada kita bercakap tentang sinus nombor 3 atau sinus sudut putaran 3 radian? Ini biasanya jelas daripada konteks, dalam sebaliknya ini berkemungkinan besar bukan kepentingan asas.

Fungsi trigonometri bagi argumen sudut dan angka

Mengikut data dalam perenggan sebelumnya definisi, setiap sudut putaran α sepadan sepenuhnya nilai tertentu sinα adalah sama dengan nilai cosα. Di samping itu, semua sudut putaran selain daripada 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) sepadan dengan nilai tgα, dan nilai selain daripada 180°k, k∈Z (πk rad ) – nilai daripada ctgα . Oleh itu sinα, cosα, tanα dan ctgα ialah fungsi bagi sudut α. Dalam erti kata lain, ini adalah fungsi hujah sudut.

Begitu juga, kita boleh bercakap tentang fungsi sinus, kosinus, tangen dan kotangen hujah angka. Sesungguhnya, setiap nombor nyata t sepadan dengan sint nilai yang sangat khusus, serta kos. Di samping itu, semua nombor selain daripada π/2+π·k, k∈Z sepadan dengan nilai tgt, dan nombor π·k, k∈Z - nilai ​​ctgt.

Fungsi sinus, kosinus, tangen dan kotangen dipanggil fungsi asas trigonometri.

Ia biasanya jelas dari konteks sama ada kita berurusan dengan fungsi trigonometri hujah sudut atau hujah berangka. Jika tidak, kita boleh menganggap pembolehubah bebas sebagai ukuran sudut (argumen sudut) dan argumen berangka.

Walau bagaimanapun, di sekolah kami terutamanya mengkaji fungsi berangka, iaitu, fungsi yang hujahnya, serta nilai fungsi yang sepadan, adalah nombor. Oleh itu, jika kita bercakap tentang khususnya mengenai fungsi, adalah dinasihatkan untuk mempertimbangkan fungsi trigonometri sebagai fungsi hujah berangka.

Hubungan antara definisi dari geometri dan trigonometri

Jika kita menganggap sudut putaran α berjulat dari 0 hingga 90 darjah, maka takrif sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi sudut putaran dalam konteks trigonometri adalah selaras sepenuhnya dengan takrif sinus, kosinus, tangen dan kotangen sesuatu sudut akut dalam segi tiga tepat, yang diberikan dalam kursus geometri. Mari kita mewajarkan ini.

Mari kita menggambarkannya dalam segi empat tepat Sistem kartesian koordinat bulatan unit Oxy. Mari kita tandakan titik permulaan A(1, 0) . Mari kita putarkannya dengan sudut α antara 0 hingga 90 darjah, kita dapat titik A 1 (x, y). Mari kita lepaskan serenjang A 1 H dari titik A 1 ke paksi Lembu.

Adalah mudah untuk melihat bahawa dalam sudut segi tiga tepat A 1 OH sama dengan sudut putaran α, panjang kaki OH bersebelahan dengan sudut ini adalah sama dengan absis titik A 1, iaitu |OH|=x, panjang kaki A 1 H bertentangan dengan sudut adalah sama dengan ordinat titik A 1, iaitu |A 1 H|=y, dan panjang hipotenus OA 1 adalah sama dengan satu, kerana ia ialah jejari bagi bulatan unit. Kemudian, mengikut takrifan daripada geometri, sinus sudut akut α dalam segi tiga tepat A 1 OH adalah sama dengan nisbah kaki bertentangan dengan hipotenus, iaitu sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. Dan mengikut takrifan daripada trigonometri, sinus sudut putaran α adalah sama dengan ordinat titik A 1, iaitu sinα=y. Ini menunjukkan bahawa penentuan sinus sudut akut dalam segi tiga tepat adalah bersamaan dengan penentuan sinus sudut putaran α apabila α adalah dari 0 hingga 90 darjah.

Begitu juga, dapat ditunjukkan bahawa takrifan kosinus, tangen dan kotangen bagi sudut akut α adalah konsisten dengan takrifan kosinus, tangen dan kotangen bagi sudut putaran α.

Bibliografi.

1. Geometri. 7-9 darjah: buku teks untuk pendidikan am institusi / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, dll]. - ed ke-20. M.: Pendidikan, 2010. - 384 p.: sakit. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. Pogorelov A.V. Geometri: Buku teks. untuk 7-9 darjah. pendidikan umum institusi / A. V. Pogorelov. - 2nd ed. - M.: Pendidikan, 2001. - 224 p.: sakit. - ISBN 5-09-010803-X.
3. Algebra dan fungsi asas : Tutorial untuk pelajar tingkatan 9 sekolah Menengah/ E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Disunting oleh Doktor Sains Fizikal dan Matematik O. N. Golovin - edisi ke-4. M.: Pendidikan, 1969.
4. Algebra: Buku teks untuk darjah 9. purata sekolah/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Teleyakovsky - M.: Pendidikan, 1990. - 272 ms. - ISBN 5-09-002727-7
5. Algebra dan permulaan analisis: Proc. untuk gred 10-11. pendidikan umum institusi / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn dan lain-lain; Ed. A. N. Kolmogorov - ed ke-14 - M.: Pendidikan, 2004. - 384 ms. - ISBN 5-09-013651-3.
6. Mordkovich A. G. Algebra dan permulaan analisis. Darjah 10. Pada 2 p. Bahagian 1: tutorial untuk institusi pendidikan (tahap profil)/ A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - ed. ke-4, tambah. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 p.: sakit. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. Algebra dan bermula analisis matematik. darjah 10: buku teks. untuk pendidikan am institusi: asas dan profil. peringkat /[Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; diedit oleh A. B. Zhizhchenko. - ed ke-3. - I.: Education, 2010.- 368 p.: ill.- ISBN 978-5-09-022771-1.
8. Bashmakov M. I. Algebra dan permulaan analisis: Buku teks. untuk gred 10-11. purata sekolah - ed ke-3. - M.: Pendidikan, 1993. - 351 p.: sakit. - ISBN 5-09-004617-4.
9. Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematik (manual untuk pemohon ke sekolah teknik): Proc. elaun.- M.; Lebih tinggi sekolah, 1984.-351 hlm., sakit.