Contoh operasi dengan logaritma. Logaritma hasil darab dan logaritma hasil bagi

Kami terus mengkaji logaritma. Dalam artikel ini kita akan bercakap tentang mengira logaritma, proses ini dipanggil logaritma. Mula-mula kita akan memahami pengiraan logaritma mengikut definisi. Seterusnya, mari kita lihat bagaimana nilai logaritma ditemui menggunakan sifatnya. Selepas ini, kami akan menumpukan pada pengiraan logaritma melalui nilai awal yang ditentukan bagi logaritma lain. Akhir sekali, mari belajar cara menggunakan jadual logaritma. Keseluruhan teori disediakan dengan contoh dengan penyelesaian terperinci.

Navigasi halaman.

Mengira logaritma mengikut takrifan

Dalam kes yang paling mudah adalah mungkin untuk melaksanakan dengan cepat dan mudah mencari logaritma mengikut definisi. Mari kita lihat dengan lebih dekat bagaimana proses ini berlaku.

Intipatinya adalah untuk mewakili nombor b dalam bentuk a c, dari mana, mengikut takrifan logaritma, nombor c ialah nilai logaritma. Iaitu, mengikut takrifan, rantaian kesamaan berikut sepadan dengan mencari logaritma: log a b=log a a c =c.

Jadi, pengiraan logaritma mengikut takrifan adalah untuk mencari nombor c supaya a c = b, dan nombor c itu sendiri ialah nilai logaritma yang dikehendaki.

Dengan mengambil kira maklumat dalam perenggan sebelumnya, apabila nombor di bawah tanda logaritma diberikan oleh kuasa tertentu asas logaritma, anda boleh segera menunjukkan apa logaritma itu sama dengan - ia sama dengan eksponen. Mari tunjukkan penyelesaian kepada contoh.

Contoh.

Cari log 2 2 −3, dan juga hitung logaritma asli bagi nombor e 5,3.

Penyelesaian.

Takrifan logaritma membolehkan kita dengan segera mengatakan bahawa log 2 2 −3 =−3. Sesungguhnya, nombor di bawah tanda logaritma adalah sama dengan asas 2 kepada kuasa −3.

Begitu juga, kita dapati logaritma kedua: lne 5.3 =5.3.

Jawapan:

log 2 2 −3 =−3 dan lne 5,3 =5,3.

Jika nombor b di bawah tanda logaritma tidak dinyatakan sebagai kuasa asas logaritma, maka anda perlu melihat dengan teliti untuk melihat sama ada mungkin untuk menghasilkan perwakilan nombor b dalam bentuk a c . Selalunya perwakilan ini agak jelas, terutamanya apabila nombor di bawah tanda logaritma adalah sama dengan asas kepada kuasa 1, atau 2, atau 3, ...

Contoh.

Hitung logaritma log 5 25 , dan .

Penyelesaian.

Adalah mudah untuk melihat bahawa 25=5 2, ini membolehkan anda mengira logaritma pertama: log 5 25=log 5 5 2 =2.

Mari kita teruskan untuk mengira logaritma kedua. Nombor itu boleh diwakili sebagai kuasa 7: (lihat jika perlu). Oleh itu, .

Mari kita tulis semula logaritma ketiga dalam bentuk berikut. Sekarang anda boleh melihatnya , dari mana kami membuat kesimpulan bahawa . Oleh itu, mengikut takrifan logaritma .

Secara ringkas, penyelesaiannya boleh ditulis seperti berikut: .

Jawapan:

log 5 25=2 , Dan .

Apabila terdapat nombor asli yang cukup besar di bawah tanda logaritma, tidak ada salahnya untuk memasukkannya ke dalam faktor perdana. Ia sering membantu untuk mewakili nombor sedemikian sebagai beberapa kuasa asas logaritma, dan oleh itu mengira logaritma ini mengikut takrifan.

Contoh.

Cari nilai logaritma itu.

Penyelesaian.

Sesetengah sifat logaritma membolehkan anda menentukan nilai logaritma dengan segera. Sifat-sifat ini termasuk sifat logaritma satu dan sifat logaritma nombor yang sama dengan asas: log 1 1=log a a 0 =0 dan log a a=log a a 1 =1. Iaitu, apabila di bawah tanda logaritma terdapat nombor 1 atau nombor a sama dengan asas logaritma, maka dalam kes ini logaritma adalah sama dengan 0 dan 1, masing-masing.

Contoh.

Apakah yang sama dengan logaritma dan log10?

Penyelesaian.

Sejak , maka daripada takrifan logaritma ia berikut .

Dalam contoh kedua, nombor 10 di bawah tanda logaritma bertepatan dengan asasnya, jadi logaritma perpuluhan sepuluh adalah sama dengan satu, iaitu, lg10=lg10 1 =1.

Jawapan:

DAN lg10=1 .

Ambil perhatian bahawa pengiraan logaritma mengikut takrifan (yang kita bincangkan dalam perenggan sebelumnya) membayangkan penggunaan log kesamaan a a p =p, yang merupakan salah satu sifat logaritma.

Dalam amalan, apabila nombor di bawah tanda logaritma dan asas logaritma mudah diwakili sebagai kuasa nombor tertentu, adalah sangat mudah untuk menggunakan formula , yang sepadan dengan salah satu sifat logaritma. Mari kita lihat contoh mencari logaritma yang menggambarkan penggunaan formula ini.

Contoh.

Kira logaritma.

Penyelesaian.

Jawapan:

Sifat logaritma yang tidak disebutkan di atas juga digunakan dalam pengiraan, tetapi kita akan membincangkannya dalam perenggan berikut.

Mencari logaritma melalui logaritma lain yang diketahui

Maklumat dalam perenggan ini meneruskan topik penggunaan sifat logaritma semasa mengiranya. Tetapi di sini perbezaan utama ialah sifat logaritma digunakan untuk menyatakan logaritma asal dari segi logaritma lain, yang nilainya diketahui. Mari kita berikan contoh untuk penjelasan. Katakan kita tahu bahawa log 2 3≈1.584963, maka kita boleh mencari, sebagai contoh, log 2 6 dengan melakukan sedikit transformasi menggunakan sifat-sifat logaritma: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Dalam contoh di atas, sudah cukup untuk kita menggunakan sifat logaritma produk. Walau bagaimanapun, lebih kerap adalah perlu untuk menggunakan senjata sifat logaritma yang lebih luas untuk mengira logaritma asal melalui yang diberikan.

Contoh.

Kira logaritma 27 hingga asas 60 jika anda tahu bahawa log 60 2=a dan log 60 5=b.

Penyelesaian.

Jadi kita perlu mencari log 60 27 . Adalah mudah untuk melihat bahawa 27 = 3 3 , dan logaritma asal, disebabkan oleh sifat logaritma kuasa, boleh ditulis semula sebagai 3·log 60 3 .

Sekarang mari kita lihat bagaimana untuk menyatakan log 60 3 dari segi logaritma yang diketahui. Sifat logaritma nombor yang sama dengan asas membolehkan kita menulis log kesamaan 60 60=1. Sebaliknya, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Oleh itu, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Oleh itu, log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.

Akhir sekali, kita mengira logaritma asal: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Jawapan:

log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Secara berasingan, adalah bernilai menyebut maksud formula untuk peralihan kepada asas baru logaritma bentuk . Ia membolehkan anda beralih daripada logaritma dengan mana-mana asas kepada logaritma dengan asas tertentu, yang nilainya diketahui atau mungkin untuk mencarinya. Biasanya, dari logaritma asal, menggunakan formula peralihan, mereka berpindah ke logaritma dalam salah satu asas 2, e atau 10, kerana untuk pangkalan ini terdapat jadual logaritma yang membolehkan nilainya dikira dengan tahap tertentu. ketepatan. Dalam perenggan seterusnya kami akan menunjukkan bagaimana ini dilakukan.

Jadual logaritma dan kegunaannya

Untuk pengiraan anggaran nilai logaritma boleh digunakan jadual logaritma. Jadual logaritma asas 2 yang paling biasa digunakan, jadual logaritma asli dan jadual logaritma perpuluhan. Apabila bekerja dalam sistem nombor perpuluhan, adalah mudah untuk menggunakan jadual logaritma berdasarkan asas sepuluh. Dengan bantuannya kita akan belajar mencari nilai logaritma.

Jadual yang dibentangkan membolehkan anda mencari nilai logaritma perpuluhan nombor dari 1,000 hingga 9,999 (dengan tiga tempat perpuluhan) dengan ketepatan satu persepuluh ribu. Kami akan menganalisis prinsip mencari nilai logaritma menggunakan jadual logaritma perpuluhan menggunakan contoh khusus - ia lebih jelas dengan cara ini. Mari cari log1.256.

Dalam lajur kiri jadual logaritma perpuluhan kita dapati dua digit pertama nombor 1.256, iaitu, kita dapati 1.2 (nombor ini dibulatkan dengan warna biru untuk kejelasan). Digit ketiga nombor 1.256 (digit 5) terdapat pada baris pertama atau terakhir di sebelah kiri garis berkembar (nombor ini dibulatkan dengan warna merah). Digit keempat nombor asal 1.256 (digit 6) terdapat pada baris pertama atau terakhir di sebelah kanan garis berkembar (nombor ini dibulatkan dengan garis hijau). Sekarang kita dapati nombor dalam sel jadual logaritma di persimpangan baris bertanda dan lajur bertanda (nombor ini diserlahkan dalam oren). Jumlah nombor yang ditanda memberikan nilai logaritma perpuluhan yang dikehendaki tepat kepada tempat perpuluhan keempat, iaitu, log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

Adakah mungkin, menggunakan jadual di atas, untuk mencari nilai logaritma perpuluhan nombor yang mempunyai lebih daripada tiga digit selepas titik perpuluhan, serta nilai yang melampaui julat dari 1 hingga 9.999? Ya awak boleh. Mari tunjukkan bagaimana ini dilakukan dengan contoh.

Jom kira lg102.76332. Mula-mula anda perlu menulis nombor dalam bentuk piawai: 102.76332=1.0276332·10 2. Selepas ini, mantissa harus dibundarkan ke tempat perpuluhan ketiga, kita ada 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, manakala logaritma perpuluhan asal adalah lebih kurang sama dengan logaritma nombor yang terhasil, iaitu, kita ambil log102.76332≈lg1.028·10 2. Sekarang kita menggunakan sifat logaritma: lg1.028 10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Akhir sekali, kita dapati nilai logaritma lg1.028 daripada jadual logaritma perpuluhan lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Akibatnya, keseluruhan proses pengiraan logaritma kelihatan seperti ini: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2≈0.012+2=2.012.

Sebagai kesimpulan, perlu diperhatikan bahawa menggunakan jadual logaritma perpuluhan anda boleh mengira nilai anggaran mana-mana logaritma. Untuk melakukan ini, cukup menggunakan formula peralihan untuk pergi ke logaritma perpuluhan, cari nilainya dalam jadual, dan lakukan pengiraan yang tinggal.

Sebagai contoh, mari kita hitung log 2 3 . Menurut formula untuk peralihan kepada asas baru logaritma, kita mempunyai . Daripada jadual logaritma perpuluhan kita dapati log3≈0.4771 dan log2≈0.3010. Oleh itu, .

Bibliografi.

Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. dan lain-lain Algebra dan permulaan analisis: Buku teks untuk gred 10 - 11 institusi pendidikan am.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (manual untuk mereka yang memasuki sekolah teknik).

\(a^(b)=c\) \(\Anak panah kiri\) \(\log_(a)(c)=b\)

Mari kita jelaskan dengan lebih ringkas. Sebagai contoh, \(\log_(2)(8)\) adalah sama dengan kuasa yang \(2\) mesti dinaikkan untuk mendapatkan \(8\). Daripada ini jelas bahawa \(\log_(2)(8)=3\).

Contoh:	\(\log_(5)(25)=2\)	kerana \(5^(2)=25\)
	\(\log_(3)(81)=4\)	kerana \(3^(4)=81\)
	\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)	kerana \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Hujah dan asas logaritma

Mana-mana logaritma mempunyai "anatomi" berikut:

Hujah logaritma biasanya ditulis pada tahapnya, dan pangkalan ditulis dalam subskrip lebih dekat dengan tanda logaritma. Dan entri ini berbunyi seperti ini: "logaritma dua puluh lima kepada asas lima."

Bagaimana untuk mengira logaritma?

Untuk mengira logaritma, anda perlu menjawab soalan: kepada kuasa apakah asas harus dibangkitkan untuk mendapatkan hujah?

Sebagai contoh, hitung logaritma: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Kepada kuasa apakah \(4\) mesti dinaikkan untuk mendapatkan \(16\)? Jelas sekali yang kedua. Itulah sebabnya:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Pada kuasa apakah \(\sqrt(5)\) mesti dinaikkan untuk mendapatkan \(1\)? Kuasa apa yang menjadikan mana-mana nombor satu? Sifar, sudah tentu!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Apakah kuasa \(\sqrt(7)\) mesti dinaikkan untuk mendapatkan \(\sqrt(7)\)? Pertama, sebarang nombor kepada kuasa pertama adalah sama dengan dirinya sendiri.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Pada kuasa apakah \(3\) mesti dinaikkan untuk mendapatkan \(\sqrt(3)\)? Daripada kita tahu itu adalah kuasa pecahan, yang bermaksud punca kuasa dua ialah kuasa \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Contoh : Kira logaritma \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Penyelesaian :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Kita perlu mencari nilai logaritma, mari kita nyatakan ia sebagai x. Sekarang mari kita gunakan definisi logaritma: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Anak panah kiri\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Apakah yang menghubungkan \(4\sqrt(2)\) dan \(8\)? Dua, kerana kedua-dua nombor boleh diwakili oleh dua: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		Di sebelah kiri kita menggunakan sifat darjah: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) dan \((a^(m))^(n)= a^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Asasnya adalah sama, kita beralih kepada kesamaan penunjuk
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Darab kedua-dua belah persamaan dengan \(\frac(2)(5)\)
		Punca yang terhasil ialah nilai logaritma

Jawab : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Mengapakah logaritma dicipta?

Untuk memahami perkara ini, mari kita selesaikan persamaan: \(3^(x)=9\). Hanya padankan \(x\) untuk membuat persamaan berfungsi. Sudah tentu, \(x=2\).

Sekarang selesaikan persamaan: \(3^(x)=8\).Apakah x sama dengan? Itulah maksudnya.

Orang yang paling bijak akan berkata: "X kurang sedikit daripada dua." Bagaimana sebenarnya untuk menulis nombor ini? Untuk menjawab soalan ini, logaritma telah dicipta. Terima kasih kepadanya, jawapan di sini boleh ditulis sebagai \(x=\log_(3)(8)\).

Saya ingin menekankan bahawa \(\log_(3)(8)\), seperti sebarang logaritma hanyalah nombor. Ya, ia kelihatan luar biasa, tetapi ia pendek. Kerana jika kita mahu menulisnya sebagai perpuluhan, ia akan kelihatan seperti ini: \(1.892789260714.....\)

Contoh : Selesaikan persamaan \(4^(5x-4)=10\)

Penyelesaian :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) dan \(10\) tidak boleh dibawa ke pangkalan yang sama. Ini bermakna anda tidak boleh melakukannya tanpa logaritma. Mari kita gunakan definisi logaritma: \(a^(b)=c\) \(\Anak panah kiri\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Mari kita balikkan persamaan supaya X berada di sebelah kiri
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Sebelum kita. Mari kita gerakkan \(4\) ke kanan. Dan jangan takut dengan logaritma, perlakukan ia seperti nombor biasa.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Bahagikan persamaan dengan 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Ini adalah akar kita. Ya, ia kelihatan luar biasa, tetapi mereka tidak memilih jawapannya.

Jawab : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Logaritma perpuluhan dan semula jadi

Seperti yang dinyatakan dalam takrifan logaritma, asasnya boleh menjadi sebarang nombor positif kecuali satu \((a>0, a\neq1)\). Dan di antara semua asas yang mungkin, terdapat dua yang sering berlaku sehingga notasi pendek khas dicipta untuk logaritma dengannya:

Logaritma asli: logaritma yang tapaknya ialah nombor Euler \(e\) (sama dengan lebih kurang \(2.7182818…\)), dan logaritma ditulis sebagai \(\ln(a)\).

Itu dia, \(\ln(a)\) adalah sama dengan \(\log_(e)(a)\)

Logaritma Perpuluhan: Logaritma yang tapaknya ialah 10 ditulis \(\lg(a)\).

Itu dia, \(\lg(a)\) adalah sama dengan \(\log_(10)(a)\), dengan \(a\) ialah beberapa nombor.

Identiti logaritma asas

Logaritma mempunyai banyak sifat. Salah satu daripadanya dipanggil "Identiti Logaritma Asas" dan kelihatan seperti ini:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Sifat ini mengikuti terus dari definisi. Mari kita lihat dengan tepat bagaimana formula ini terhasil.

Mari kita ingat notasi pendek definisi logaritma:

jika \(a^(b)=c\), maka \(\log_(a)(c)=b\)

Iaitu, \(b\) adalah sama dengan \(\log_(a)(c)\). Kemudian kita boleh menulis \(\log_(a)(c)\) dan bukannya \(b\) dalam formula \(a^(b)=c\). Ternyata \(a^(\log_(a)(c))=c\) - identiti logaritma utama.

Anda boleh mencari sifat logaritma yang lain. Dengan bantuan mereka, anda boleh memudahkan dan mengira nilai ungkapan dengan logaritma, yang sukar untuk dikira secara langsung.

Contoh : Cari nilai ungkapan \(36^(\log_(6)(5))\)

Penyelesaian :

Jawab : \(25\)

Bagaimana untuk menulis nombor sebagai logaritma?

Seperti yang dinyatakan di atas, sebarang logaritma hanyalah nombor. Sebaliknya juga benar: sebarang nombor boleh ditulis sebagai logaritma. Sebagai contoh, kita tahu bahawa \(\log_(2)(4)\) adalah sama dengan dua. Kemudian daripada dua anda boleh menulis \(\log_(2)(4)\).

Tetapi \(\log_(3)(9)\) juga sama dengan \(2\), yang bermaksud kita juga boleh menulis \(2=\log_(3)(9)\) . Begitu juga dengan \(\log_(5)(25)\), dan dengan \(\log_(9)(81)\), dsb. Iaitu, ternyata

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Oleh itu, jika kita perlu, kita boleh menulis dua sebagai logaritma dengan mana-mana asas di mana-mana sahaja (sama ada dalam persamaan, dalam ungkapan, atau dalam ketaksamaan) - kita hanya menulis asas kuasa dua sebagai hujah.

Ia sama dengan triple – ia boleh ditulis sebagai \(\log_(2)(8)\), atau sebagai \(\log_(3)(27)\), atau sebagai \(\log_(4)( 64) \)... Di sini kita menulis pangkalan dalam kubus sebagai hujah:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Dan dengan empat:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Dan dengan tolak satu:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)

Dan dengan satu pertiga:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Sebarang nombor \(a\) boleh diwakili sebagai logaritma dengan asas \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Contoh : Cari maksud ungkapan \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Penyelesaian :

Jawab : \(1\)

(dari bahasa Yunani λόγος - "perkataan", "hubungan" dan ἀριθμός - "nombor") nombor b berdasarkan a(log α b) dipanggil nombor sedemikian c, Dan b= a c, iaitu rekod log α b=c Dan b=ac adalah setara. Logaritma masuk akal jika a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Dalam kata lain logaritma nombor b berdasarkan A dirumuskan sebagai eksponen yang mana nombor mesti dinaikkan a untuk mendapatkan nombor b(logaritma hanya wujud untuk nombor positif).

Daripada rumusan ini, pengiraan x= log α b, adalah bersamaan dengan menyelesaikan persamaan a x =b.

Sebagai contoh:

log 2 8 = 3 kerana 8 = 2 3 .

Mari kita tekankan bahawa rumusan logaritma yang ditunjukkan memungkinkan untuk menentukan dengan segera nilai logaritma, apabila nombor di bawah tanda logaritma bertindak sebagai kuasa tertentu asas. Sesungguhnya, perumusan logaritma memungkinkan untuk mewajarkan bahawa jika b=a c, kemudian logaritma nombor itu b berdasarkan a sama Dengan. Jelas juga bahawa topik logaritma berkait rapat dengan topik tersebut kuasa sesuatu nombor.

Mengira logaritma dipanggil logaritma. Logaritma ialah operasi matematik untuk mengambil logaritma. Apabila mengambil logaritma, hasil darab faktor diubah menjadi jumlah sebutan.

Potensi ialah operasi matematik songsang bagi logaritma. Semasa potensiasi, asas tertentu dinaikkan kepada tahap ekspresi di mana potensiasi dilakukan. Dalam kes ini, jumlah istilah diubah menjadi hasil darab faktor.

Selalunya, logaritma sebenar digunakan dengan asas 2 (perduaan), nombor Euler e ≈ 2.718 (logaritma asli) dan 10 (perpuluhan).

Pada peringkat ini adalah dinasihatkan untuk dipertimbangkan sampel logaritma log 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.

Dan entri lg(-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 tidak masuk akal, kerana pada yang pertama nombor negatif diletakkan di bawah tanda logaritma, di kedua terdapat nombor negatif di pangkalan, dan pada yang ketiga terdapat nombor negatif di bawah tanda logaritma dan unit di pangkalan.

Syarat untuk menentukan logaritma.

Perlu dipertimbangkan secara berasingan syarat a > 0, a ≠ 1, b > 0. di mana kita mendapat definisi logaritma. Mari kita pertimbangkan mengapa sekatan ini diambil. Kesamaan bentuk x = log α akan membantu kita dengan ini b, dipanggil identiti logaritma asas, yang secara langsung mengikut takrifan logaritma yang diberikan di atas.

Jom ambil syarat a≠1. Oleh kerana satu kepada mana-mana kuasa adalah sama dengan satu, maka kesamaan x=log α b hanya boleh wujud apabila b=1, tetapi log 1 1 akan menjadi sebarang nombor nyata. Untuk menghapuskan kekaburan ini, kami ambil a≠1.

Mari kita buktikan keperluan syarat itu a>0. Pada a=0 mengikut rumusan logaritma boleh wujud hanya apabila b=0. Dan sewajarnya kemudian log 0 0 boleh menjadi sebarang nombor nyata bukan sifar, kerana sifar kepada mana-mana kuasa bukan sifar adalah sifar. Kekaburan ini boleh dihapuskan dengan syarat a≠0. Dan bila a<0 kita perlu menolak analisis nilai rasional dan tidak rasional logaritma, kerana ijazah dengan eksponen rasional dan tidak rasional ditakrifkan hanya untuk asas bukan negatif. Atas sebab inilah syarat itu ditetapkan a>0.

Dan syarat terakhir b>0 berikutan daripada ketidaksamaan a>0, kerana x=log α b, dan nilai darjah dengan asas positif a sentiasa positif.

Ciri-ciri logaritma.

Logaritma bercirikan tersendiri ciri-ciri, yang membawa kepada penggunaan meluas untuk memudahkan pengiraan yang teliti. Apabila bergerak "ke dalam dunia logaritma," pendaraban diubah menjadi penambahan yang lebih mudah, pembahagian diubah menjadi penolakan, dan eksponen dan pengekstrakan akar diubah, masing-masing, kepada pendaraban dan pembahagian oleh eksponen.

Perumusan logaritma dan jadual nilainya (untuk fungsi trigonometri) pertama kali diterbitkan pada tahun 1614 oleh ahli matematik Scotland John Napier. Jadual logaritma, diperbesar dan diperincikan oleh saintis lain, digunakan secara meluas dalam pengiraan saintifik dan kejuruteraan, dan kekal relevan sehingga penggunaan kalkulator elektronik dan komputer.

sifat utama.

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

alasan yang sama

Log6 4 + log6 9.

Sekarang mari kita merumitkan sedikit tugas.

Contoh penyelesaian logaritma

Bagaimana jika asas atau hujah logaritma ialah kuasa? Kemudian eksponen darjah ini boleh dikeluarkan dari tanda logaritma mengikut peraturan berikut:

Sudah tentu, semua peraturan ini masuk akal jika ODZ logaritma diperhatikan: a > 0, a ≠ 1, x >

Tugasan. Cari maksud ungkapan:

Peralihan kepada asas baharu

Biarkan logaritma logax diberikan. Kemudian untuk sebarang nombor c supaya c > 0 dan c ≠ 1, kesamaan adalah benar:

Tugasan. Cari maksud ungkapan:

Lihat juga:

Sifat asas logaritma

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Eksponennya ialah 2.718281828…. Untuk mengingati eksponen, anda boleh mengkaji peraturan: eksponen adalah sama dengan 2.7 dan dua kali tahun kelahiran Leo Nikolaevich Tolstoy.

Sifat asas logaritma

Mengetahui peraturan ini, anda akan mengetahui nilai sebenar eksponen dan tarikh lahir Leo Tolstoy.

Contoh untuk logaritma

Ungkapan logaritma

Contoh 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Menggunakan sifat 3.5 kami mengira

4. di mana .

Contoh 2. Cari x jika

Contoh 3. Biarkan nilai logaritma diberikan

Kira log(x) jika

Sifat asas logaritma

Logaritma, seperti mana-mana nombor, boleh ditambah, ditolak dan diubah dalam semua cara. Tetapi kerana logaritma bukan nombor biasa, terdapat peraturan di sini, yang dipanggil sifat utama.

Anda pastinya perlu mengetahui peraturan ini - tanpanya, tiada satu masalah logaritma yang serius boleh diselesaikan. Di samping itu, terdapat sangat sedikit daripada mereka - anda boleh mempelajari segala-galanya dalam satu hari. Jadi mari kita mulakan.

Menambah dan menolak logaritma

Pertimbangkan dua logaritma dengan asas yang sama: logax dan logay. Kemudian mereka boleh ditambah dan ditolak, dan:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

Jadi, jumlah logaritma adalah sama dengan logaritma hasil darab, dan perbezaannya adalah sama dengan logaritma hasil bagi. Sila ambil perhatian: perkara utama di sini ialah alasan yang sama. Jika alasannya berbeza, peraturan ini tidak berfungsi!

Formula ini akan membantu anda mengira ungkapan logaritma walaupun bahagian individunya tidak dipertimbangkan (lihat pelajaran "Apakah itu logaritma"). Lihat contoh dan lihat:

Oleh kerana logaritma mempunyai asas yang sama, kami menggunakan formula jumlah:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Tugasan. Cari nilai ungkapan: log2 48 − log2 3.

Asasnya adalah sama, kami menggunakan formula perbezaan:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Tugasan. Cari nilai ungkapan: log3 135 − log3 5.

Sekali lagi pangkalannya adalah sama, jadi kami mempunyai:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Seperti yang anda lihat, ungkapan asal terdiri daripada logaritma "buruk", yang tidak dikira secara berasingan. Tetapi selepas transformasi, nombor normal sepenuhnya diperolehi. Banyak ujian berdasarkan fakta ini. Ya, ungkapan seperti ujian ditawarkan dalam semua kesungguhan (kadangkala hampir tiada perubahan) pada Peperiksaan Negeri Bersepadu.

Mengeluarkan eksponen daripada logaritma

Adalah mudah untuk melihat bahawa peraturan terakhir mengikuti dua yang pertama. Tetapi lebih baik untuk mengingatinya - dalam beberapa kes ia akan mengurangkan jumlah pengiraan dengan ketara.

Sudah tentu, semua peraturan ini masuk akal jika ODZ logaritma diperhatikan: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Dan satu lagi perkara: belajar menggunakan semua formula bukan sahaja dari kiri ke kanan, tetapi juga sebaliknya , iaitu Anda boleh memasukkan nombor sebelum logaritma masuk ke dalam logaritma itu sendiri. Inilah yang paling kerap diperlukan.

Tugasan. Cari nilai ungkapan: log7 496.

Mari kita buang darjah dalam hujah menggunakan formula pertama:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Tugasan. Cari maksud ungkapan:

Ambil perhatian bahawa penyebut mengandungi logaritma, asas dan hujahnya adalah kuasa tepat: 16 = 24; 49 = 72. Kami ada:

Saya rasa contoh terakhir memerlukan beberapa penjelasan. Ke mana perginya logaritma? Sehingga saat terakhir kita bekerja hanya dengan penyebut.

Formula logaritma. Penyelesaian contoh logaritma.

Kami membentangkan asas dan hujah logaritma yang berdiri di sana dalam bentuk kuasa dan mengeluarkan eksponen - kami mendapat pecahan "tiga tingkat".

Sekarang mari kita lihat pecahan utama. Pengangka dan penyebut mengandungi nombor yang sama: log2 7. Oleh kerana log2 7 ≠ 0, kita boleh mengurangkan pecahan - 2/4 akan kekal dalam penyebut. Mengikut peraturan aritmetik, empat boleh dipindahkan ke pengangka, iaitu apa yang telah dilakukan. Hasilnya ialah jawapan: 2.

Peralihan kepada asas baharu

Bercakap tentang peraturan untuk menambah dan menolak logaritma, saya secara khusus menekankan bahawa ia hanya berfungsi dengan asas yang sama. Bagaimana jika sebabnya berbeza? Bagaimana jika mereka bukan kuasa tepat nombor yang sama?

Formula untuk peralihan kepada asas baharu datang untuk menyelamatkan. Mari kita rumuskan dalam bentuk teorem:

Biarkan logaritma logax diberikan. Kemudian untuk sebarang nombor c supaya c > 0 dan c ≠ 1, kesamaan adalah benar:

Khususnya, jika kita menetapkan c = x, kita mendapat:

Daripada formula kedua ia mengikuti bahawa asas dan hujah logaritma boleh ditukar, tetapi dalam kes ini keseluruhan ungkapan "terbalik", i.e. logaritma muncul dalam penyebut.

Formula ini jarang ditemui dalam ungkapan berangka biasa. Adalah mungkin untuk menilai betapa mudahnya mereka hanya apabila menyelesaikan persamaan logaritma dan ketaksamaan.

Namun, terdapat masalah yang tidak dapat diselesaikan sama sekali kecuali dengan berpindah ke asas baru. Mari kita lihat beberapa perkara ini:

Tugasan. Cari nilai ungkapan: log5 16 log2 25.

Ambil perhatian bahawa hujah kedua-dua logaritma mengandungi kuasa yang tepat. Mari kita keluarkan penunjuk: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Sekarang mari kita "terbalikkan" logaritma kedua:

Memandangkan produk tidak berubah apabila menyusun semula faktor, kami dengan tenang mendarab empat dan dua, dan kemudian berurusan dengan logaritma.

Tugasan. Cari nilai ungkapan: log9 100 lg 3.

Asas dan hujah logaritma pertama adalah kuasa yang tepat. Mari kita tulis ini dan singkirkan penunjuk:

Sekarang mari kita buang logaritma perpuluhan dengan berpindah ke pangkalan baharu:

Identiti logaritma asas

Selalunya dalam proses penyelesaian adalah perlu untuk mewakili nombor sebagai logaritma kepada asas tertentu. Dalam kes ini, formula berikut akan membantu kami:

Dalam kes pertama, nombor n menjadi eksponen dalam hujah. Nombor n boleh menjadi apa-apa sahaja, kerana ia hanyalah nilai logaritma.

Formula kedua sebenarnya adalah definisi yang diparafrasa. Itulah namanya: .

Sebenarnya, apakah yang berlaku jika nombor b dinaikkan kepada kuasa sedemikian sehingga nombor b kepada kuasa ini memberikan nombor a? Betul: hasilnya adalah nombor yang sama a. Baca perenggan ini dengan teliti sekali lagi - ramai orang terjebak padanya.

Seperti formula untuk berpindah ke pangkalan baharu, identiti logaritma asas kadangkala merupakan satu-satunya penyelesaian yang mungkin.

Tugasan. Cari maksud ungkapan:

Ambil perhatian bahawa log25 64 = log5 8 - hanya mengambil kuasa dua daripada asas dan hujah logaritma. Dengan mengambil kira peraturan untuk mendarab kuasa dengan asas yang sama, kami mendapat:

Jika ada yang tidak tahu, ini adalah tugas sebenar dari Peperiksaan Negeri Bersepadu :)

Unit logaritma dan sifar logaritma

Sebagai kesimpulan, saya akan memberikan dua identiti yang hampir tidak boleh dipanggil sifat - sebaliknya, ia adalah akibat daripada takrifan logaritma. Mereka sentiasa muncul dalam masalah dan, secara mengejutkan, mencipta masalah walaupun untuk pelajar "maju".

logaa = 1 ialah. Ingat sekali dan untuk semua: logaritma kepada mana-mana asas a asas itu sendiri adalah sama dengan satu.
loga 1 = 0 ialah. Asas a boleh menjadi apa-apa, tetapi jika hujah mengandungi satu, logaritma adalah sama dengan sifar! Kerana a0 = 1 adalah akibat langsung dari definisi.

Itu semua sifatnya. Pastikan anda berlatih mempraktikkannya! Muat turun helaian panduan pada permulaan pelajaran, cetak dan selesaikan masalah.

Lihat juga:

Logaritma b kepada asas a menandakan ungkapan. Untuk mengira logaritma bermakna mencari kuasa x () di mana kesamaan itu dipenuhi

Sifat asas logaritma

Adalah perlu untuk mengetahui sifat di atas, kerana hampir semua masalah dan contoh yang berkaitan dengan logaritma diselesaikan berdasarkan mereka. Selebihnya sifat eksotik boleh diperoleh melalui manipulasi matematik dengan formula ini

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Apabila mengira formula untuk jumlah dan perbezaan logaritma (3.4) anda sering terjumpa. Selebihnya agak rumit, tetapi dalam beberapa tugas, ia amat diperlukan untuk memudahkan ungkapan kompleks dan mengira nilainya.

Kes biasa logaritma

Beberapa logaritma biasa ialah logaritma yang asasnya ialah sepuluh, eksponen atau dua.
Logaritma kepada asas sepuluh biasanya dipanggil logaritma perpuluhan dan hanya dilambangkan dengan lg(x).

Jelas dari rakaman itu bahawa asas tidak ditulis dalam rakaman. Sebagai contoh

Logaritma asli ialah logaritma yang tapaknya ialah eksponen (ditandakan dengan ln(x)).

Eksponennya ialah 2.718281828…. Untuk mengingati eksponen, anda boleh mengkaji peraturan: eksponen adalah sama dengan 2.7 dan dua kali tahun kelahiran Leo Nikolaevich Tolstoy. Mengetahui peraturan ini, anda akan mengetahui nilai sebenar eksponen dan tarikh lahir Leo Tolstoy.

Dan satu lagi logaritma penting kepada asas dua dilambangkan dengan

Terbitan logaritma fungsi adalah sama dengan satu dibahagikan dengan pembolehubah

Logaritma kamiran atau antiterbitan ditentukan oleh hubungan

Bahan yang diberikan sudah cukup untuk anda menyelesaikan kelas masalah yang luas berkaitan dengan logaritma dan logaritma. Untuk membantu anda memahami bahan tersebut, saya hanya akan memberikan beberapa contoh biasa daripada kurikulum sekolah dan universiti.

Contoh untuk logaritma

Ungkapan logaritma

Contoh 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Menggunakan sifat 3.5 kami mengira

2.
Dengan sifat perbezaan logaritma yang kita ada

3.
Menggunakan sifat 3.5 kita dapati

4. di mana .

Ungkapan yang kelihatan kompleks dipermudahkan untuk dibentuk menggunakan beberapa peraturan

Mencari nilai logaritma

Contoh 2. Cari x jika

Penyelesaian. Untuk pengiraan, kami memohon kepada penggal terakhir 5 dan 13 sifat

Kami meletakkannya dalam rekod dan berkabung

Oleh kerana asas adalah sama, kami menyamakan ungkapan

Logaritma. Tahap pertama.

Biarkan nilai logaritma diberikan

Kira log(x) jika

Penyelesaian: Mari kita ambil logaritma pembolehubah untuk menulis logaritma melalui hasil tambah sebutannya

Ini hanyalah permulaan perkenalan kita dengan logaritma dan sifatnya. Amalkan pengiraan, perkayakan kemahiran praktikal anda - tidak lama lagi anda akan memerlukan pengetahuan yang anda peroleh untuk menyelesaikan persamaan logaritma. Setelah mempelajari kaedah asas untuk menyelesaikan persamaan tersebut, kami akan mengembangkan pengetahuan anda kepada topik lain yang sama penting - ketaksamaan logaritma...

Sifat asas logaritma

Logaritma, seperti mana-mana nombor, boleh ditambah, ditolak dan diubah dalam semua cara. Tetapi kerana logaritma bukan nombor biasa, terdapat peraturan di sini, yang dipanggil sifat utama.

Menambah dan menolak logaritma

Pertimbangkan dua logaritma dengan asas yang sama: logax dan logay. Kemudian mereka boleh ditambah dan ditolak, dan:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

Formula ini akan membantu anda mengira ungkapan logaritma walaupun bahagian individunya tidak dipertimbangkan (lihat pelajaran "Apakah itu logaritma"). Lihat contoh dan lihat:

Tugasan. Cari nilai ungkapan: log6 4 + log6 9.

Oleh kerana logaritma mempunyai asas yang sama, kami menggunakan formula jumlah:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Tugasan. Cari nilai ungkapan: log2 48 − log2 3.

Asasnya adalah sama, kami menggunakan formula perbezaan:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Tugasan. Cari nilai ungkapan: log3 135 − log3 5.

Sekali lagi pangkalannya adalah sama, jadi kami mempunyai:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Mengeluarkan eksponen daripada logaritma

Sekarang mari kita merumitkan sedikit tugas. Bagaimana jika asas atau hujah logaritma ialah kuasa? Kemudian eksponen darjah ini boleh dikeluarkan dari tanda logaritma mengikut peraturan berikut:

Adalah mudah untuk melihat bahawa peraturan terakhir mengikuti dua yang pertama. Tetapi lebih baik untuk mengingatinya - dalam beberapa kes ia akan mengurangkan jumlah pengiraan dengan ketara.

Bagaimana untuk menyelesaikan logaritma

Inilah yang paling kerap diperlukan.

Tugasan. Cari nilai ungkapan: log7 496.

Mari kita buang darjah dalam hujah menggunakan formula pertama:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Tugasan. Cari maksud ungkapan:

Ambil perhatian bahawa penyebut mengandungi logaritma, asas dan hujahnya adalah kuasa tepat: 16 = 24; 49 = 72. Kami ada:

Saya rasa contoh terakhir memerlukan beberapa penjelasan. Ke mana perginya logaritma? Sehingga saat terakhir kita bekerja hanya dengan penyebut. Kami membentangkan asas dan hujah logaritma yang berdiri di sana dalam bentuk kuasa dan mengeluarkan eksponen - kami mendapat pecahan "tiga tingkat".

Peralihan kepada asas baharu

Formula untuk peralihan kepada asas baharu datang untuk menyelamatkan. Mari kita rumuskan dalam bentuk teorem:

Biarkan logaritma logax diberikan. Kemudian untuk sebarang nombor c supaya c > 0 dan c ≠ 1, kesamaan adalah benar:

Khususnya, jika kita menetapkan c = x, kita mendapat:

Daripada formula kedua ia mengikuti bahawa asas dan hujah logaritma boleh ditukar, tetapi dalam kes ini keseluruhan ungkapan "terbalik", i.e. logaritma muncul dalam penyebut.

Formula ini jarang ditemui dalam ungkapan berangka biasa. Adalah mungkin untuk menilai betapa mudahnya mereka hanya apabila menyelesaikan persamaan logaritma dan ketaksamaan.

Namun, terdapat masalah yang tidak dapat diselesaikan sama sekali kecuali dengan berpindah ke asas baru. Mari kita lihat beberapa perkara ini:

Tugasan. Cari nilai ungkapan: log5 16 log2 25.

Ambil perhatian bahawa hujah kedua-dua logaritma mengandungi kuasa yang tepat. Mari kita keluarkan penunjuk: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Sekarang mari kita "terbalikkan" logaritma kedua:

Memandangkan produk tidak berubah apabila menyusun semula faktor, kami dengan tenang mendarab empat dan dua, dan kemudian berurusan dengan logaritma.

Tugasan. Cari nilai ungkapan: log9 100 lg 3.

Asas dan hujah logaritma pertama adalah kuasa yang tepat. Mari kita tulis ini dan singkirkan penunjuk:

Sekarang mari kita buang logaritma perpuluhan dengan berpindah ke pangkalan baharu:

Identiti logaritma asas

Selalunya dalam proses penyelesaian adalah perlu untuk mewakili nombor sebagai logaritma kepada asas tertentu. Dalam kes ini, formula berikut akan membantu kami:

Dalam kes pertama, nombor n menjadi eksponen dalam hujah. Nombor n boleh menjadi apa-apa sahaja, kerana ia hanyalah nilai logaritma.

Formula kedua sebenarnya adalah definisi yang diparafrasa. Itulah namanya: .

Seperti formula untuk berpindah ke pangkalan baharu, identiti logaritma asas kadangkala merupakan satu-satunya penyelesaian yang mungkin.

Tugasan. Cari maksud ungkapan:

Ambil perhatian bahawa log25 64 = log5 8 - hanya mengambil kuasa dua daripada asas dan hujah logaritma. Dengan mengambil kira peraturan untuk mendarab kuasa dengan asas yang sama, kami mendapat:

Jika ada yang tidak tahu, ini adalah tugas sebenar dari Peperiksaan Negeri Bersepadu :)

Unit logaritma dan sifar logaritma

logaa = 1 ialah. Ingat sekali dan untuk semua: logaritma kepada mana-mana asas a asas itu sendiri adalah sama dengan satu.
loga 1 = 0 ialah. Asas a boleh menjadi apa-apa, tetapi jika hujah mengandungi satu, logaritma adalah sama dengan sifar! Kerana a0 = 1 adalah akibat langsung dari definisi.

Itu semua sifatnya. Pastikan anda berlatih mempraktikkannya! Muat turun helaian panduan pada permulaan pelajaran, cetak dan selesaikan masalah.

Dengan video ini saya memulakan siri pelajaran panjang tentang persamaan logaritma. Sekarang anda mempunyai tiga contoh di hadapan anda, berdasarkan mana kita akan belajar untuk menyelesaikan masalah paling mudah, yang dipanggil - protozoa.

log 0.5 (3x − 1) = −3

log (x + 3) = 3 + 2 log 5

Izinkan saya mengingatkan anda bahawa persamaan logaritma termudah adalah seperti berikut:

log a f(x) = b

Dalam kes ini, adalah penting bahawa pembolehubah x hadir hanya di dalam hujah, iaitu, hanya dalam fungsi f (x). Dan nombor a dan b hanyalah nombor, dan tidak sekali-kali adalah fungsi yang mengandungi pembolehubah x.

Kaedah penyelesaian asas

Terdapat banyak cara untuk menyelesaikan struktur sedemikian. Sebagai contoh, kebanyakan guru di sekolah menawarkan kaedah ini: Ungkapkan dengan segera fungsi f (x) menggunakan formula f ( x) = a b . Iaitu, apabila anda menghadapi pembinaan yang paling mudah, anda boleh segera beralih kepada penyelesaian tanpa tindakan dan pembinaan tambahan.

Ya, sudah tentu, keputusan itu akan betul. Walau bagaimanapun, masalah dengan formula ini ialah kebanyakan pelajar tidak faham, dari mana asalnya dan mengapa kita menaikkan huruf a kepada huruf b.

Akibatnya, saya sering melihat kesilapan yang sangat menjengkelkan apabila, sebagai contoh, surat ini ditukar. Formula ini mesti sama ada difahami atau dijejalkan, dan kaedah kedua membawa kepada kesilapan pada saat yang paling tidak sesuai dan paling penting: semasa peperiksaan, ujian, dsb.

Itulah sebabnya saya mencadangkan kepada semua pelajar saya untuk meninggalkan formula sekolah standard dan menggunakan pendekatan kedua untuk menyelesaikan persamaan logaritma, yang, seperti yang anda mungkin meneka dari namanya, dipanggil bentuk kanonik.

Idea di sebalik bentuk kanonik adalah mudah. Mari kita lihat masalah kita sekali lagi: di sebelah kiri kita mempunyai log a, dan dengan huruf a kita maksudkan nombor, dan dalam keadaan apa pun fungsi yang mengandungi pembolehubah x. Akibatnya, surat ini tertakluk kepada semua sekatan yang dikenakan pada asas logaritma. iaitu:

1 ≠ a > 0

Sebaliknya, dari persamaan yang sama kita melihat bahawa logaritma mestilah sama dengan nombor b, dan tiada sekatan dikenakan pada huruf ini, kerana ia boleh mengambil sebarang nilai - baik positif dan negatif. Semuanya bergantung pada nilai yang diambil oleh fungsi f(x).

Dan di sini kita ingat peraturan indah kita bahawa sebarang nombor b boleh diwakili sebagai logaritma kepada asas a a kepada kuasa b:

b = log a a b

Bagaimana untuk mengingati formula ini? Ya, sangat mudah. Mari kita tulis pembinaan berikut:

b = b 1 = b log a a

Sudah tentu, dalam kes ini semua sekatan yang kami tulis pada mulanya timbul. Sekarang mari kita gunakan sifat asas logaritma dan perkenalkan pengganda b sebagai kuasa a. Kita mendapatkan:

b = b 1 = b log a a = log a a b

Akibatnya, persamaan asal akan ditulis semula seperti berikut:

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

Itu sahaja. Fungsi baharu tidak lagi mengandungi logaritma dan boleh diselesaikan menggunakan teknik algebra piawai.

Sudah tentu, seseorang kini akan membantah: mengapa perlu menghasilkan beberapa jenis formula kanonik sama sekali, mengapa melakukan dua langkah tambahan yang tidak perlu jika mungkin untuk segera beralih dari reka bentuk asal ke formula akhir? Ya, jika hanya kerana kebanyakan pelajar tidak memahami dari mana formula ini datang dan, akibatnya, kerap melakukan kesilapan semasa mengaplikasikannya.

Tetapi urutan tindakan ini, yang terdiri daripada tiga langkah, membolehkan anda menyelesaikan persamaan logaritma asal, walaupun anda tidak faham dari mana datangnya formula akhir. By the way, entri ini dipanggil formula kanonik:

log a f (x ) = log a a b

Kemudahan bentuk kanonik juga terletak pada fakta bahawa ia boleh digunakan untuk menyelesaikan kelas persamaan logaritma yang sangat luas, dan bukan hanya yang paling mudah yang sedang kita pertimbangkan hari ini.

Contoh penyelesaian

Sekarang mari kita lihat contoh sebenar. Jadi, mari kita putuskan:

log 0.5 (3x − 1) = −3

Mari kita tulis semula seperti ini:

log 0.5 (3x − 1) = log 0.5 0.5 −3

Ramai pelajar tergesa-gesa dan cuba segera menaikkan angka 0.5 kepada kuasa yang datang kepada kita dari masalah asal. Sesungguhnya, apabila anda sudah terlatih dalam menyelesaikan masalah sedemikian, anda boleh segera melakukan langkah ini.

Walau bagaimanapun, jika anda kini baru mula mempelajari topik ini, adalah lebih baik untuk tidak tergesa-gesa ke mana-mana untuk mengelakkan kesilapan yang menyinggung perasaan. Jadi, kita mempunyai bentuk kanonik. Kami ada:

3x − 1 = 0.5 −3

Ini bukan lagi persamaan logaritma, tetapi linear berkenaan dengan pembolehubah x. Untuk menyelesaikannya, mari kita lihat nombor 0.5 kepada kuasa −3. Perhatikan bahawa 0.5 ialah 1/2.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

Tukar semua pecahan perpuluhan kepada pecahan biasa apabila menyelesaikan persamaan logaritma.

Kami menulis semula dan mendapat:

3x − 1 = 8
3x = 9
x = 3

Itu sahaja, kami mendapat jawapannya. Masalah pertama telah diselesaikan.

Tugasan kedua

Mari kita beralih kepada tugas kedua:

Seperti yang kita lihat, persamaan ini bukan lagi yang paling mudah. Jika hanya kerana terdapat perbezaan di sebelah kiri, dan tidak satu logaritma untuk satu pangkalan.

Oleh itu, kita perlu entah bagaimana menyingkirkan perbezaan ini. Dalam kes ini, semuanya sangat mudah. Mari kita lihat lebih dekat pada pangkalan: di sebelah kiri ialah nombor di bawah akar:

Cadangan am: dalam semua persamaan logaritma, cuba untuk menyingkirkan radikal, iaitu, daripada entri dengan akar dan beralih kepada fungsi kuasa, semata-mata kerana eksponen kuasa ini mudah dikeluarkan daripada tanda logaritma dan, akhirnya, seperti itu. entri memudahkan dan mempercepatkan pengiraan dengan ketara. Mari kita tuliskan seperti ini:

Sekarang mari kita ingat sifat luar biasa logaritma: kuasa boleh diperolehi daripada hujah, dan juga dari asas. Dalam kes alasan, perkara berikut berlaku:

log a k b = 1/k loga b

Dalam erti kata lain, nombor yang berada dalam kuasa asas dibawa ke hadapan dan pada masa yang sama songsang, iaitu, ia menjadi nombor salingan. Dalam kes kami, darjah asas ialah 1/2. Oleh itu, kita boleh mengeluarkannya sebagai 2/1. Kita mendapatkan:

5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18

Sila ambil perhatian: dalam apa jua keadaan, anda tidak boleh menyingkirkan logaritma pada langkah ini. Ingat matematik gred 4-5 dan susunan operasi: pendaraban dilakukan terlebih dahulu, dan kemudian penambahan dan penolakan. Dalam kes ini, kita tolak satu daripada unsur yang sama daripada 10 unsur:

9 log 5 x = 18
log 5 x = 2

Sekarang persamaan kita kelihatan seperti sepatutnya. Ini adalah pembinaan yang paling mudah, dan kami menyelesaikannya menggunakan bentuk kanonik:

log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x = 25

Itu sahaja. Masalah kedua telah selesai.

Contoh ketiga

Mari kita beralih kepada tugas ketiga:

log (x + 3) = 3 + 2 log 5

Izinkan saya mengingatkan anda tentang formula berikut:

log b = log 10 b

Jika atas sebab tertentu anda keliru dengan log notasi b , maka apabila melakukan semua pengiraan anda boleh menulis log 10 b . Anda boleh bekerja dengan logaritma perpuluhan dengan cara yang sama seperti yang lain: ambil kuasa, tambah dan mewakili sebarang nombor dalam bentuk lg 10.

Sifat-sifat inilah yang sekarang akan kita gunakan untuk menyelesaikan masalah, kerana ia bukanlah yang paling mudah yang kita tulis pada awal pelajaran kita.

Pertama, ambil perhatian bahawa faktor 2 di hadapan lg 5 boleh ditambah dan menjadi kuasa asas 5. Di samping itu, sebutan bebas 3 juga boleh diwakili sebagai logaritma - ini sangat mudah diperhatikan dari notasi kami.

Nilai sendiri: sebarang nombor boleh diwakili sebagai log ke pangkalan 10:

3 = log 10 10 3 = log 10 3

Mari kita tulis semula masalah asal dengan mengambil kira perubahan yang diperoleh:

log (x − 3) = log 1000 + log 25
log (x − 3) = log 1000 25
log (x − 3) = log 25,000

Di hadapan kita sekali lagi adalah bentuk kanonik, dan kita memperolehnya tanpa melalui peringkat transformasi, iaitu persamaan logaritma termudah tidak muncul di mana-mana.

Inilah yang saya bincangkan pada awal pelajaran. Bentuk kanonik membolehkan anda menyelesaikan kelas masalah yang lebih luas daripada formula sekolah standard yang diberikan oleh kebanyakan guru sekolah.

Nah, itu sahaja, kita menyingkirkan tanda logaritma perpuluhan, dan kita mendapat pembinaan linear yang mudah:

x + 3 = 25,000
x = 24,997

Semua! Masalah selesai.

Nota mengenai skop

Di sini saya ingin membuat teguran penting berkenaan dengan skop definisi. Pasti sekarang akan ada pelajar dan guru yang akan berkata: "Apabila kita menyelesaikan ungkapan dengan logaritma, kita mesti ingat bahawa hujah f (x) mesti lebih besar daripada sifar!" Dalam hal ini, persoalan logik timbul: mengapa kita tidak memerlukan ketidaksamaan ini untuk dipenuhi dalam mana-mana masalah yang dipertimbangkan?

Jangan risau. Dalam kes ini, tiada akar tambahan akan muncul. Dan ini adalah satu lagi helah hebat yang membolehkan anda mempercepatkan penyelesaian. Hanya ketahui bahawa jika dalam masalah pembolehubah x berlaku hanya di satu tempat (atau lebih tepat, dalam satu hujah tunggal logaritma tunggal), dan tidak ada tempat lain dalam kes kami pembolehubah x muncul, kemudian tuliskan domain definisi tidak perlu, kerana ia akan dilaksanakan secara automatik.

Nilaikan sendiri: dalam persamaan pertama kita mendapat bahawa 3x − 1, iaitu hujah hendaklah sama dengan 8. Ini secara automatik bermakna 3x − 1 akan lebih besar daripada sifar.

Dengan kejayaan yang sama kita boleh menulis bahawa dalam kes kedua x harus sama dengan 5 2, iaitu ia pasti lebih besar daripada sifar. Dan dalam kes ketiga, di mana x + 3 = 25,000, iaitu, sekali lagi, jelas lebih besar daripada sifar. Dalam erti kata lain, skop dipenuhi secara automatik, tetapi hanya jika x berlaku hanya dalam hujah satu logaritma sahaja.

Itu sahaja yang anda perlu tahu untuk menyelesaikan masalah paling mudah. Peraturan ini sahaja, bersama dengan peraturan transformasi, akan membolehkan anda menyelesaikan kelas masalah yang sangat luas.

Tetapi mari kita jujur: untuk akhirnya memahami teknik ini, untuk mempelajari cara menggunakan bentuk kanonik persamaan logaritma, tidak cukup untuk hanya menonton satu pelajaran video. Oleh itu, sekarang, muat turun pilihan untuk penyelesaian bebas yang dilampirkan pada pelajaran video ini dan mula menyelesaikan sekurang-kurangnya satu daripada dua karya bebas ini.

Ia akan membawa anda secara literal beberapa minit. Tetapi kesan latihan sedemikian akan menjadi lebih tinggi daripada jika anda hanya menonton pelajaran video ini.

Saya harap pelajaran ini akan membantu anda memahami persamaan logaritma. Gunakan bentuk kanonik, ringkaskan ungkapan menggunakan peraturan untuk bekerja dengan logaritma - dan anda tidak akan takut dengan sebarang masalah. Itu sahaja yang saya ada untuk hari ini.

Mengambil kira domain definisi

Sekarang mari kita bincangkan tentang domain takrifan fungsi logaritma, dan bagaimana ini mempengaruhi penyelesaian persamaan logaritma. Pertimbangkan pembinaan borang

log a f (x) = b

Ungkapan sedemikian dipanggil yang paling mudah - ia mengandungi hanya satu fungsi, dan nombor a dan b hanyalah nombor, dan dalam keadaan apa pun fungsi yang bergantung pada pembolehubah x. Ia boleh diselesaikan dengan sangat mudah. Anda hanya perlu menggunakan formula:

b = log a a b

Formula ini adalah salah satu sifat utama logaritma, dan apabila menggantikan ungkapan asal kami, kami mendapat yang berikut:

log a f (x) = log a a b

f (x) = a b

Ini adalah formula biasa dari buku teks sekolah. Ramai pelajar mungkin akan mempunyai soalan: memandangkan dalam ungkapan asal fungsi f (x) berada di bawah tanda log, sekatan berikut dikenakan ke atasnya:

f(x) > 0

Had ini terpakai kerana logaritma nombor negatif tidak wujud. Jadi, mungkin, akibat daripada had ini, semakan pada jawapan perlu diperkenalkan? Mungkin mereka perlu dimasukkan ke dalam sumber?

Tidak, dalam persamaan logaritma yang paling mudah, pemeriksaan tambahan tidak diperlukan. Dan itulah sebabnya. Lihat formula akhir kami:

f (x) = a b

Hakikatnya ialah nombor a dalam apa jua keadaan lebih besar daripada 0 - keperluan ini juga dikenakan oleh logaritma. Nombor a ialah asas. Dalam kes ini, tiada sekatan dikenakan ke atas bilangan b. Tetapi ini tidak penting, kerana tidak kira apa kuasa kita menaikkan nombor positif, kita masih akan mendapat nombor positif pada output. Oleh itu, keperluan f (x) > 0 dipenuhi secara automatik.

Apa yang benar-benar bernilai diperiksa ialah domain fungsi di bawah tanda log. Mungkin terdapat struktur yang agak kompleks, dan anda pasti perlu memerhatikannya semasa proses penyelesaian. Jom tengok.

Tugas pertama:

Langkah pertama: tukarkan pecahan di sebelah kanan. Kita mendapatkan:

Kami menyingkirkan tanda logaritma dan mendapatkan persamaan tidak rasional biasa:

Daripada akar yang diperoleh, hanya yang pertama sesuai dengan kita, kerana punca kedua adalah kurang daripada sifar. Satu-satunya jawapan ialah nombor 9. Itu sahaja, masalah selesai. Tiada semakan tambahan diperlukan untuk memastikan bahawa ungkapan di bawah tanda logaritma adalah lebih besar daripada 0, kerana ia bukan sahaja lebih besar daripada 0, tetapi mengikut keadaan persamaan ia adalah sama dengan 2. Oleh itu, keperluan "lebih besar daripada sifar ” berpuas hati secara automatik.

Mari kita beralih kepada tugas kedua:

Semuanya sama di sini. Kami menulis semula pembinaan, menggantikan triple:

Kami menyingkirkan tanda-tanda logaritma dan mendapatkan persamaan tidak rasional:

Kami menyebelahi kedua-dua belah pihak dengan mengambil kira sekatan dan mendapatkan:

4 − 6x − x 2 = (x − 4) 2

4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16

x 2 + 8x + 16 −4 + 6x + x 2 = 0

2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2

x 2 + 7x + 6 = 0

Kami menyelesaikan persamaan yang terhasil melalui diskriminasi:

D = 49 − 24 = 25

x 1 = −1

x 2 = −6

Tetapi x = −6 tidak sesuai dengan kita, kerana jika kita menggantikan nombor ini ke dalam ketidaksamaan kita, kita mendapat:

−6 + 4 = −2 < 0

Dalam kes kami, ia dikehendaki lebih besar daripada 0 atau, dalam kes yang melampau, sama. Tetapi x = −1 sesuai dengan kita:

−1 + 4 = 3 > 0

Satu-satunya jawapan dalam kes kami ialah x = -1. Itulah penyelesaiannya. Mari kita kembali ke permulaan pengiraan kita.

Pengambilan utama daripada pelajaran ini ialah anda tidak perlu menyemak kekangan pada fungsi dalam persamaan logaritma mudah. Kerana semasa proses penyelesaian semua kekangan dipenuhi secara automatik.

Walau bagaimanapun, ini sama sekali tidak bermakna anda boleh melupakan tentang menyemak sama sekali. Dalam proses mengusahakan persamaan logaritma, ia mungkin bertukar menjadi tidak rasional, yang akan mempunyai sekatan dan keperluannya sendiri untuk bahagian kanan, yang telah kita lihat hari ini dalam dua contoh berbeza.

Jangan ragu untuk menyelesaikan masalah sedemikian dan berhati-hati terutamanya jika terdapat akar dalam hujah.

Persamaan logaritma dengan asas yang berbeza

Kami terus mengkaji persamaan logaritma dan melihat dua lagi teknik yang agak menarik yang digunakan untuk menyelesaikan pembinaan yang lebih kompleks. Tetapi pertama-tama, mari kita ingat bagaimana masalah paling mudah diselesaikan:

log a f (x) = b

Dalam entri ini, a dan b ialah nombor, dan dalam fungsi f (x) pembolehubah x mesti ada, dan hanya di sana, iaitu, x mesti hanya dalam hujah. Kami akan mengubah persamaan logaritma tersebut menggunakan bentuk kanonik. Untuk melakukan ini, ambil perhatian bahawa

b = log a a b

Lebih-lebih lagi, a b adalah tepat hujah. Mari kita tulis semula ungkapan ini seperti berikut:

log a f (x) = log a a b

Inilah yang kita cuba capai, supaya terdapat logaritma untuk mendasarkan a pada kedua-dua kiri dan kanan. Dalam kes ini, kita boleh, secara kiasan, memotong tanda log, dan dari sudut pandangan matematik kita boleh mengatakan bahawa kita hanya menyamakan hujah:

f (x) = a b

Hasilnya, kami akan mendapat ungkapan baharu yang akan lebih mudah untuk diselesaikan. Mari kita gunakan peraturan ini untuk masalah kita hari ini.

Jadi, reka bentuk pertama:

Pertama sekali, saya perhatikan bahawa di sebelah kanan adalah pecahan yang penyebutnya ialah log. Apabila anda melihat ungkapan seperti ini, adalah idea yang baik untuk mengingati sifat logaritma yang indah:

Diterjemah ke dalam bahasa Rusia, ini bermakna sebarang logaritma boleh diwakili sebagai hasil bagi dua logaritma dengan sebarang asas c. Sudah tentu 0< с ≠ 1.

Jadi: formula ini mempunyai satu kes khas yang indah, apabila pembolehubah c sama dengan pembolehubah b. Dalam kes ini kita mendapat pembinaan seperti:

Ini betul-betul pembinaan yang kita lihat dari tanda di sebelah kanan dalam persamaan kita. Mari gantikan pembinaan ini dengan log a b , kita dapat:

Dalam erti kata lain, berbanding dengan tugas asal, kami menukar hujah dan asas logaritma. Sebaliknya, kami terpaksa membalikkan pecahan.

Marilah kita ingat bahawa mana-mana darjah boleh diperolehi daripada asas mengikut peraturan berikut:

Dalam erti kata lain, pekali k, iaitu kuasa asas, dinyatakan sebagai pecahan terbalik. Mari kita jadikannya sebagai pecahan terbalik:

Faktor pecahan tidak boleh ditinggalkan di hadapan, kerana dalam kes ini kita tidak akan dapat mewakili notasi ini sebagai bentuk kanonik (lagipun, dalam bentuk kanonik tidak ada faktor tambahan sebelum logaritma kedua). Oleh itu, mari kita tambahkan pecahan 1/4 kepada hujah sebagai kuasa:

Sekarang kita menyamakan hujah yang asasnya sama (dan asas kita benar-benar sama), dan tulis:

x + 5 = 1

x = −4

Itu sahaja. Kami mendapat jawapan kepada persamaan logaritma pertama. Sila ambil perhatian: dalam masalah asal, pembolehubah x muncul dalam satu log sahaja, dan ia muncul dalam hujahnya. Oleh itu, tidak perlu menyemak domain, dan nombor x = −4 kami sememangnya jawapannya.

Sekarang mari kita beralih kepada ungkapan kedua:

log 56 = log 2 log 2 7 − 3log (x + 4)

Di sini, sebagai tambahan kepada logaritma biasa, kita perlu bekerja dengan log f (x). Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan sedemikian? Bagi pelajar yang tidak bersedia, ia mungkin kelihatan seperti ini adalah satu jenis tugas yang sukar, tetapi sebenarnya semuanya boleh diselesaikan dengan cara asas.

Lihat dengan teliti istilah lg 2 log 2 7. Apa yang boleh kita katakan mengenainya? Asas dan hujah log dan lg adalah sama, dan ini sepatutnya memberikan beberapa idea. Mari kita ingat sekali lagi bagaimana kuasa dikeluarkan dari bawah tanda logaritma:

log a b n = nlog a b

Dalam erti kata lain, apakah kuasa b dalam hujah menjadi faktor di hadapan log itu sendiri. Mari gunakan formula ini pada ungkapan lg 2 log 2 7. Jangan takut dengan lg 2 - ini adalah ungkapan yang paling biasa. Anda boleh menulis semula seperti berikut:

Semua peraturan yang digunakan untuk mana-mana logaritma lain adalah sah untuknya. Khususnya, faktor di hadapan boleh ditambah kepada tahap hujah. Mari kita tuliskannya:

Selalunya, pelajar tidak melihat tindakan ini secara langsung, kerana tidak baik untuk memasukkan satu log di bawah tanda yang lain. Malah, tiada apa-apa jenayah mengenai perkara ini. Selain itu, kami mendapat formula yang mudah dikira jika anda mengingati peraturan penting:

Formula ini boleh dianggap sebagai definisi dan sebagai salah satu sifatnya. Walau apa pun, jika anda menukar persamaan logaritma, anda harus mengetahui formula ini dengan cara yang sama seperti anda mengetahui perwakilan log sebarang nombor.

Mari kita kembali kepada tugas kita. Kami menulis semula dengan mengambil kira hakikat bahawa sebutan pertama di sebelah kanan tanda sama adalah sama dengan lg 7. Kami mempunyai:

lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)

Mari kita gerakkan lg 7 ke kiri, kita dapat:

lg 56 − lg 7 = −3lg (x + 4)

Kami menolak ungkapan di sebelah kiri kerana ia mempunyai asas yang sama:

lg (56/7) = −3lg (x + 4)

Sekarang mari kita lihat lebih dekat pada persamaan yang kita dapat. Ia boleh dikatakan bentuk kanonik, tetapi terdapat faktor −3 di sebelah kanan. Mari tambahkannya pada hujah lg yang betul:

log 8 = log (x + 4) −3

Di hadapan kita adalah bentuk kanonik persamaan logaritma, jadi kita memotong tanda-tanda lg dan menyamakan hujah:

(x + 4) −3 = 8

x + 4 = 0.5

Itu sahaja! Kami menyelesaikan persamaan logaritma kedua. Dalam kes ini, tiada semakan tambahan diperlukan, kerana dalam masalah asal x hadir hanya dalam satu hujah.

Izinkan saya menyenaraikan isi penting pelajaran ini sekali lagi.

Formula utama yang diajar dalam semua pelajaran di halaman ini khusus untuk menyelesaikan persamaan logaritma ialah bentuk kanonik. Dan jangan takut dengan fakta bahawa kebanyakan buku teks sekolah mengajar anda untuk menyelesaikan masalah sedemikian secara berbeza. Alat ini berfungsi dengan sangat berkesan dan membolehkan anda menyelesaikan kelas masalah yang lebih luas daripada yang paling mudah yang kami pelajari pada awal pelajaran kami.

Di samping itu, untuk menyelesaikan persamaan logaritma adalah berguna untuk mengetahui sifat asas. Iaitu:

Formula untuk berpindah ke satu pangkalan dan kes khas apabila kami membalikkan log (ini sangat berguna kepada kami dalam masalah pertama);
Formula untuk menambah dan menolak kuasa daripada tanda logaritma. Di sini, ramai pelajar tersangkut dan tidak nampak bahawa ijazah yang dikeluarkan dan diperkenalkan itu sendiri boleh mengandungi log f (x). Tidak ada yang salah dengan itu. Kita boleh memperkenalkan satu log mengikut tanda yang lain dan pada masa yang sama memudahkan penyelesaian masalah dengan ketara, yang kita perhatikan dalam kes kedua.

Sebagai kesimpulan, saya ingin menambah bahawa tidak perlu menyemak domain definisi dalam setiap kes ini, kerana di mana-mana pembolehubah x hadir hanya dalam satu tanda log, dan pada masa yang sama berada dalam hujahnya. Akibatnya, semua keperluan skop dipenuhi secara automatik.

Masalah dengan asas berubah-ubah

Hari ini kita akan melihat persamaan logaritma, yang bagi kebanyakan pelajar kelihatan tidak standard, jika tidak sepenuhnya tidak dapat diselesaikan. Kita bercakap tentang ungkapan berdasarkan bukan pada nombor, tetapi pada pembolehubah dan juga fungsi. Kami akan menyelesaikan pembinaan tersebut menggunakan teknik standard kami, iaitu melalui bentuk kanonik.

Pertama, mari kita ingat bagaimana masalah paling mudah diselesaikan, berdasarkan nombor biasa. Jadi, pembinaan paling mudah dipanggil

log a f (x) = b

Untuk menyelesaikan masalah tersebut kita boleh menggunakan formula berikut:

b = log a a b

Kami menulis semula ungkapan asal kami dan mendapat:

log a f (x) = log a a b

Kemudian kita menyamakan hujah, iaitu kita menulis:

f (x) = a b

Oleh itu, kami menyingkirkan tanda log dan menyelesaikan masalah biasa. Dalam kes ini, punca-punca yang diperoleh daripada penyelesaian akan menjadi punca-punca persamaan logaritma asal. Di samping itu, rekod apabila kedua-dua kiri dan kanan berada dalam logaritma yang sama dengan tapak yang sama tepat dipanggil bentuk kanonik. Untuk rekod sedemikian, kami akan cuba mengurangkan reka bentuk hari ini. Jadi, mari kita pergi.

Tugas pertama:

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1

Gantikan 1 dengan log x − 2 (x − 2) 1 . Darjah yang kita perhatikan dalam hujah sebenarnya adalah nombor b yang berdiri di sebelah kanan tanda sama. Oleh itu, mari kita tulis semula ungkapan kita. Kita mendapatkan:

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = log x − 2 (x − 2)

Apa yang kita nampak? Di hadapan kita adalah bentuk kanonik persamaan logaritma, jadi kita boleh menyamakan hujah dengan selamat. Kita mendapatkan:

2x 2 − 13x + 18 = x − 2

Tetapi penyelesaiannya tidak berakhir di sana, kerana persamaan ini tidak bersamaan dengan yang asal. Lagipun, pembinaan yang terhasil terdiri daripada fungsi yang ditakrifkan pada keseluruhan garis nombor, dan logaritma asal kami tidak ditakrifkan di mana-mana dan tidak selalu.

Oleh itu, kita mesti menulis domain definisi secara berasingan. Jangan membelah rambut dan mula-mula tulis semua keperluan:

Pertama, hujah bagi setiap logaritma mestilah lebih besar daripada 0:

2x 2 − 13x + 18 > 0

x − 2 > 0

Kedua, asas mestilah bukan sahaja lebih besar daripada 0, tetapi juga berbeza daripada 1:

x − 2 ≠ 1

Akibatnya, kami mendapat sistem:

Tetapi jangan risau: apabila memproses persamaan logaritma, sistem sedemikian boleh dipermudahkan dengan ketara.

Nilaikan sendiri: dalam satu pihak, kami dikehendaki bahawa fungsi kuadratik lebih besar daripada sifar, dan sebaliknya, fungsi kuadratik ini disamakan dengan ungkapan linear tertentu, yang juga memerlukan ia lebih besar daripada sifar.

Dalam kes ini, jika kita memerlukan x − 2 > 0, maka keperluan 2x 2 − 13x + 18 > 0 secara automatik akan dipenuhi Oleh itu, kita boleh memotong ketaksamaan yang mengandungi fungsi kuadratik dengan selamat. Oleh itu, bilangan ungkapan yang terkandung dalam sistem kami akan dikurangkan kepada tiga.

Sudah tentu, dengan kejayaan yang sama kita boleh memotong ketaksamaan linear, iaitu, memotong x − 2 > 0 dan memerlukan 2x 2 − 13x + 18 > 0. Tetapi anda akan bersetuju bahawa menyelesaikan ketaksamaan linear termudah adalah lebih cepat. dan lebih mudah, daripada kuadratik, walaupun di bawah syarat bahawa sebagai hasil daripada menyelesaikan keseluruhan sistem ini kita mendapat punca yang sama.

Secara umum, cuba untuk mengoptimumkan pengiraan apabila boleh. Dan dalam kes persamaan logaritma, potong ketaksamaan yang paling sukar.

Mari kita tulis semula sistem kami:

Berikut ialah sistem tiga ungkapan, dua daripadanya, sebenarnya, telah kita uruskan. Mari kita tulis persamaan kuadratik secara berasingan dan selesaikannya:

2x 2 − 14x + 20 = 0

x 2 − 7x + 10 = 0

Di hadapan kita adalah trinomial kuadratik terkurang dan, oleh itu, kita boleh menggunakan formula Vieta. Kita mendapatkan:

(x − 5)(x − 2) = 0

x 1 = 5

x 2 = 2

Sekarang kita kembali ke sistem kita dan mendapati bahawa x = 2 tidak sesuai dengan kita, kerana kita dikehendaki bahawa x lebih besar daripada 2.

Tetapi x = 5 sesuai dengan kita dengan sempurna: nombor 5 adalah lebih besar daripada 2, dan pada masa yang sama 5 tidak sama dengan 3. Oleh itu, satu-satunya penyelesaian kepada sistem ini ialah x = 5.

Itu sahaja, masalah selesai, termasuk mengambil kira ODZ. Mari kita beralih kepada persamaan kedua. Pengiraan yang lebih menarik dan bermaklumat menanti kami di sini:

Langkah pertama: seperti kali terakhir, kami membawa keseluruhan perkara ini kepada bentuk kanonik. Untuk melakukan ini, kita boleh menulis nombor 9 seperti berikut:

Anda tidak perlu menyentuh pangkal dengan akar, tetapi lebih baik untuk mengubah hujah. Mari kita beralih dari akar kepada kuasa dengan eksponen yang rasional. Mari kita tulis:

Biarkan saya tidak menulis semula keseluruhan persamaan logaritma besar kami, tetapi segera menyamakan hujah:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

Sebelum kita ialah trinomial kuadratik yang baru dikurangkan, mari kita gunakan formula Vieta dan tulis:

(x + 3)(x + 1) = 0

x 1 = −3

x 2 = −1

Jadi, kami mendapat punca, tetapi tiada siapa yang menjamin kami bahawa ia akan sesuai dengan persamaan logaritma asal. Lagipun, tanda log mengenakan sekatan tambahan (di sini kita sepatutnya menulis sistem, tetapi disebabkan sifat rumit keseluruhan struktur, saya memutuskan untuk mengira domain definisi secara berasingan).

Pertama sekali, ingat bahawa hujah mestilah lebih besar daripada 0, iaitu:

Ini adalah keperluan yang dikenakan oleh skop definisi.

Marilah kita segera ambil perhatian bahawa kerana kita menyamakan dua ungkapan pertama sistem antara satu sama lain, kita boleh memotong mana-mana daripadanya. Mari kita potong yang pertama kerana ia kelihatan lebih mengancam daripada yang kedua.

Di samping itu, ambil perhatian bahawa penyelesaian kepada ketaksamaan kedua dan ketiga akan menjadi set yang sama (kubus beberapa nombor lebih besar daripada sifar, jika nombor ini sendiri lebih besar daripada sifar; begitu juga, dengan punca darjah ketiga - ketaksamaan ini adalah sama sepenuhnya, jadi kita boleh memotongnya).

Tetapi dengan ketidaksamaan ketiga ini tidak akan berfungsi. Mari kita buang tanda radikal di sebelah kiri dengan menaikkan kedua-dua bahagian menjadi kiub. Kita mendapatkan:

Jadi kami mendapat keperluan berikut:

− 2 ≠ x > −3

Manakah antara punca kita: x 1 = −3 atau x 2 = −1 memenuhi keperluan ini? Jelas sekali, hanya x = −1, kerana x = −3 tidak memenuhi ketaksamaan pertama (kerana ketaksamaan kita adalah ketat). Jadi, kembali kepada masalah kita, kita mendapat satu punca: x = -1. Itu sahaja, masalah selesai.

Sekali lagi, perkara utama tugas ini:

Jangan ragu untuk menggunakan dan menyelesaikan persamaan logaritma menggunakan bentuk kanonik. Pelajar yang membuat tatatanda sedemikian, dan bukannya bergerak terus daripada masalah asal kepada pembinaan seperti log a f (x) = b, membuat kesilapan yang jauh lebih sedikit daripada mereka yang tergesa-gesa ke suatu tempat, melangkau langkah pengiraan pertengahan;
Sebaik sahaja asas pembolehubah muncul dalam logaritma, masalahnya tidak lagi menjadi yang paling mudah. Oleh itu, apabila menyelesaikannya, adalah perlu untuk mengambil kira domain definisi: hujah mestilah lebih besar daripada sifar, dan asas bukan sahaja lebih besar daripada 0, tetapi ia juga tidak boleh sama dengan 1.

Keperluan akhir boleh digunakan untuk jawapan akhir dengan cara yang berbeza. Sebagai contoh, anda boleh menyelesaikan keseluruhan sistem yang mengandungi semua keperluan untuk domain definisi. Sebaliknya, anda boleh terlebih dahulu menyelesaikan masalah itu sendiri, dan kemudian ingat domain definisi, secara berasingan menyelesaikannya dalam bentuk sistem dan menerapkannya pada akar yang diperolehi.

Kaedah yang manakah untuk dipilih semasa menyelesaikan persamaan logaritma tertentu terpulang kepada anda. Walau apa pun, jawapannya akan sama.