Konsep sinus (), kosinus (), tangen (), kotangen () berkait rapat dengan konsep sudut. Untuk memahami ini dengan baik, pada pandangan pertama, konsep yang kompleks(yang menyebabkan keadaan seram dalam ramai pelajar sekolah), dan untuk memastikan bahawa "syaitan tidak seram seperti yang dilukis," mari kita mulakan dari awal lagi dan memahami konsep sudut.

Konsep sudut: radian, darjah

Jom tengok gambar. Vektor telah "berpusing" relatif kepada titik dengan jumlah tertentu. Jadi ukuran putaran ini berbanding dengan kedudukan awal adalah sudut.

Apa lagi yang anda perlu tahu tentang konsep sudut? Sudah tentu, unit sudut!

Sudut, dalam kedua-dua geometri dan trigonometri, boleh diukur dalam darjah dan radian.

Sudut (satu darjah) dipanggil sudut pusat dalam bulatan, berdasarkan lengkok bulat yang sama dengan sebahagian daripada bulatan. Oleh itu, keseluruhan bulatan terdiri daripada "kepingan" lengkok bulat, atau sudut yang diterangkan oleh bulatan adalah sama.

Iaitu, rajah di atas menunjukkan sudut yang sama dengan, iaitu, sudut ini terletak pada lengkok bulat sebesar lilitan.

Sudut dalam radian ialah sudut pusat dalam bulatan yang dicangkum oleh lengkok bulat yang panjangnya sama dengan jejari bulatan. Nah, adakah anda memikirkannya? Jika tidak, mari kita fikirkan daripada lukisan itu.

Jadi, angka itu menunjukkan sudut yang sama dengan radian, iaitu, sudut ini terletak pada lengkok bulat, yang panjangnya sama dengan jejari bulatan (panjangnya sama dengan panjang atau jejari sama panjang arka). Oleh itu, panjang lengkok dikira dengan formula:

Di manakah sudut pusat dalam radian.

Nah, mengetahui perkara ini, bolehkah anda menjawab berapa banyak radian yang terkandung dalam sudut yang diterangkan oleh bulatan? Ya, untuk ini anda perlu mengingati formula untuk lilitan. Inilah dia:

Nah, sekarang mari kita kaitkan kedua-dua formula ini dan mendapati bahawa sudut yang diterangkan oleh bulatan adalah sama. Iaitu, dengan mengaitkan nilai dalam darjah dan radian, kita mendapatnya. Masing-masing, . Seperti yang anda lihat, tidak seperti "darjah", perkataan "radian" ditinggalkan, kerana unit ukuran biasanya jelas daripada konteks.

Berapakah jumlah radian yang ada? betul!

faham? Kemudian teruskan dan betulkan:

Mengalami kesukaran? lepas tu tengok jawapan:

Segitiga kanan: sinus, kosinus, tangen, kotangen sudut

Jadi, kami mengetahui konsep sudut. Tetapi apakah sinus, kosinus, tangen, dan kotangen bagi sudut? Mari kita fikirkan. Untuk melakukan ini, segi tiga tepat akan membantu kami.

Apakah sisi segi tiga tepat dipanggil? Betul, hipotenus dan kaki: hipotenus ialah sisi yang terletak bertentangan sudut tepat(dalam contoh kami ini adalah sebelah); kaki adalah dua sisi yang tinggal dan (yang bersebelahan dengan sudut kanan), dan jika kita menganggap kaki relatif kepada sudut, maka kaki adalah kaki bersebelahan, dan kaki adalah bertentangan. Jadi, sekarang mari kita jawab soalan: apakah sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi sudut?

Sinus sudut- ini ialah nisbah kaki bertentangan (jauh) kepada hipotenus.

Dalam segitiga kami.

Kosinus sudut- ini ialah nisbah kaki bersebelahan (dekat) dengan hipotenus.

Dalam segitiga kami.

Tangen sudut- ini ialah nisbah bahagian yang bertentangan (jauh) kepada yang bersebelahan (dekat).

Dalam segitiga kami.

Kotangen sudut- ini adalah nisbah kaki bersebelahan (dekat) dengan bertentangan (jauh).

Dalam segitiga kami.

Definisi ini adalah perlu ingat! Untuk menjadikannya lebih mudah untuk mengingati kaki mana yang hendak dibahagikan kepada apa, anda perlu memahami dengan jelasnya tangen Dan kotangen hanya kaki duduk, dan hipotenus hanya muncul di dalam resdung Dan kosinus. Dan kemudian anda boleh membuat rangkaian persatuan. Sebagai contoh, yang ini:

Kosinus→sentuh→sentuh→bersebelahan;

Cotangent→sentuh→sentuh→bersebelahan.

Pertama sekali, anda perlu ingat bahawa sinus, kosinus, tangen dan kotangen kerana nisbah sisi segitiga tidak bergantung pada panjang sisi ini (pada sudut yang sama). Tidak percaya saya? Kemudian pastikan dengan melihat gambar:

Pertimbangkan, sebagai contoh, kosinus sudut. Mengikut definisi, dari segi tiga: , tetapi kita boleh mengira kosinus sudut daripada segi tiga: . Anda lihat, panjang sisi adalah berbeza, tetapi nilai kosinus satu sudut adalah sama. Oleh itu, nilai sinus, kosinus, tangen dan kotangen bergantung semata-mata pada magnitud sudut.

Jika anda memahami takrifannya, teruskan dan satukan definisi tersebut!

Untuk segi tiga yang ditunjukkan dalam rajah di bawah, kita dapati.

Nah, adakah anda mendapatnya? Kemudian cuba sendiri: hitung yang sama untuk sudut.

Bulatan unit (trigonometri).

Memahami konsep darjah dan radian, kami menganggap bulatan dengan jejari sama dengan. Bulatan sedemikian dipanggil bujang. Ia akan sangat berguna apabila belajar trigonometri. Oleh itu, mari kita lihat dengan lebih terperinci.

Seperti yang anda lihat, bulatan yang diberi terbina dalam Sistem kartesian koordinat Jejari bulatan sama dengan satu, manakala pusat bulatan terletak pada asal, kedudukan permulaan Vektor jejari ditetapkan sepanjang arah positif paksi (dalam contoh kami, ini adalah jejari).

Setiap titik pada bulatan sepadan dengan dua nombor: koordinat paksi dan koordinat paksi. Apakah nombor koordinat ini? Dan secara umum, apakah kaitan mereka dengan topik yang sedang dibincangkan? Untuk melakukan ini, kita perlu ingat tentang segi tiga tepat yang dianggap. Dalam rajah di atas, anda boleh melihat dua segi tiga tepat keseluruhan. Pertimbangkan segitiga. Ia adalah segi empat tepat kerana ia berserenjang dengan paksi.

Apakah segi tiga sama dengan? betul tu. Di samping itu, kita tahu bahawa ini adalah jejari bulatan unit, yang bermaksud . Mari kita gantikan nilai ini ke dalam formula kita untuk kosinus. Inilah yang berlaku:

Apakah segi tiga sama dengan? Sudah tentu! Gantikan nilai jejari ke dalam formula ini dan dapatkan:

Jadi, bolehkah anda memberitahu apakah koordinat titik kepunyaan bulatan? Nah, tidak mungkin? Bagaimana jika anda menyedarinya dan hanya nombor? Koordinat yang manakah ia sepadan? Sudah tentu, koordinat! Dan koordinat apa yang sesuai dengannya? Betul, koordinat! Oleh itu, tempoh.

Apakah itu dan sama dengan? Betul, mari kita gunakan takrifan yang sepadan bagi tangen dan kotangen dan dapatkannya, a.

Bagaimana jika sudut lebih besar? Sebagai contoh, seperti dalam gambar ini:

Apakah yang telah berubah dalam contoh ini? Mari kita fikirkan. Untuk melakukan ini, mari kita pusing semula ke segi tiga tepat. Pertimbangkan segi tiga tegak: sudut (bersebelahan dengan sudut). Apakah nilai sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi suatu sudut? Betul, kami mematuhi takrifan fungsi trigonometri yang sepadan:

Nah, seperti yang anda lihat, nilai sinus sudut masih sepadan dengan koordinat; nilai kosinus sudut - koordinat; dan nilai tangen dan kotangen kepada nisbah yang sepadan. Oleh itu, hubungan ini digunakan untuk sebarang putaran vektor jejari.

Telah disebutkan bahawa kedudukan awal vektor jejari adalah di sepanjang arah positif paksi. Setakat ini kita telah memutarkan vektor ini mengikut arah jam, tetapi apa yang berlaku jika kita memutarkannya mengikut arah jam? Tiada apa-apa yang luar biasa, anda juga akan mendapat sudut nilai tertentu, tetapi hanya ia akan menjadi negatif. Oleh itu, apabila memutarkan vektor jejari lawan jam, kita dapat sudut positif, dan apabila berputar mengikut arah jam - negatif.

Jadi, kita tahu bahawa seluruh revolusi vektor jejari di sekeliling bulatan ialah atau. Adakah mungkin untuk memutarkan vektor jejari ke atau ke? Sudah tentu anda boleh! Dalam kes pertama, oleh itu, vektor jejari akan membuat satu pusingan penuh dan berhenti pada kedudukan atau.

Dalam kes kedua, iaitu, vektor jejari akan membuat tiga pusingan penuh dan berhenti pada kedudukan atau.

Oleh itu, daripada contoh di atas kita boleh membuat kesimpulan bahawa sudut yang berbeza dengan atau (di mana ada sebarang integer) sepadan dengan kedudukan vektor jejari yang sama.

Rajah di bawah menunjukkan satu sudut. Imej yang sama sepadan dengan sudut, dsb. Senarai ini boleh diteruskan selama-lamanya. Semua sudut ini boleh ditulis dengan formula am atau (di mana terdapat sebarang integer)

Sekarang, mengetahui takrifan fungsi trigonometri asas dan menggunakan bulatan unit, cuba jawab apakah nilainya:

Berikut ialah bulatan unit untuk membantu anda:

Mengalami kesukaran? Kemudian mari kita fikirkan. Jadi kita tahu bahawa:

Dari sini, kami menentukan koordinat titik yang sepadan dengan ukuran sudut tertentu. Baiklah, mari kita mulakan mengikut urutan: sudut pada sepadan dengan titik dengan koordinat, oleh itu:

Tidak wujud;

Selanjutnya, mematuhi logik yang sama, kami mendapati bahawa sudut dalam sepadan dengan titik dengan koordinat, masing-masing. Mengetahui ini, adalah mudah untuk menentukan nilai fungsi trigonometri dalam mata yang sepadan. Cuba sendiri dahulu, dan kemudian semak jawapannya.

Jawapan:

tidak wujud

tidak wujud

tidak wujud

tidak wujud

Oleh itu, kita boleh membuat jadual berikut:

Tidak perlu mengingati semua nilai ini. Cukup untuk mengingati korespondensi antara koordinat titik pada bulatan unit dan nilai fungsi trigonometri:

Tetapi nilai-nilai fungsi trigonometri sudut dalam dan, diberikan dalam jadual di bawah, mesti diingat:

Jangan takut, sekarang kami akan tunjukkan satu contoh agak mudah untuk mengingati nilai yang sepadan:

Untuk menggunakan kaedah ini, adalah penting untuk mengingati nilai sinus untuk ketiga-tiga ukuran sudut (), serta nilai tangen sudut. Mengetahui nilai-nilai ini, agak mudah untuk memulihkan keseluruhan jadual - nilai kosinus dipindahkan mengikut anak panah, iaitu:

Mengetahui ini, anda boleh memulihkan nilai untuk. Pengangka " " akan sepadan dan penyebut " " akan sepadan. Nilai kotangen dipindahkan mengikut anak panah yang ditunjukkan dalam rajah. Jika anda memahami ini dan mengingati rajah dengan anak panah, maka sudah cukup untuk mengingati semua nilai dari jadual.

Koordinat titik pada bulatan

Adakah mungkin untuk mencari titik (koordinatnya) pada bulatan, mengetahui koordinat pusat bulatan, jejari dan sudut putarannya?

Sudah tentu anda boleh! Mari kita keluarkan formula am untuk mencari koordinat sesuatu titik.

Sebagai contoh, berikut ialah bulatan di hadapan kita:

Kami diberi bahawa titik adalah pusat bulatan. Jejari bulatan adalah sama. Ia adalah perlu untuk mencari koordinat titik yang diperoleh dengan memutarkan titik mengikut darjah.

Seperti yang dapat dilihat dari rajah, koordinat titik sepadan dengan panjang segmen. Panjang segmen sepadan dengan koordinat pusat bulatan, iaitu, ia adalah sama. Panjang segmen boleh dinyatakan menggunakan definisi kosinus:

Kemudian kita mempunyai itu untuk koordinat titik.

Menggunakan logik yang sama, kita mencari nilai koordinat y untuk titik itu. Oleh itu,

Jadi, dalam pandangan umum koordinat titik ditentukan oleh formula:

Koordinat pusat bulatan,

Jejari bulatan,

Sudut putaran jejari vektor.

Seperti yang anda lihat, untuk bulatan unit yang sedang kita pertimbangkan, formula ini dikurangkan dengan ketara, kerana koordinat pusat adalah sama dengan sifar dan jejari adalah sama dengan satu:

Baiklah, mari cuba formula ini dengan berlatih mencari titik pada bulatan?

1. Cari koordinat titik pada bulatan unit yang diperoleh dengan memutarkan titik pada.

2. Cari koordinat titik pada bulatan unit yang diperoleh dengan memutarkan titik pada.

3. Cari koordinat titik pada bulatan unit yang diperoleh dengan memutarkan titik pada.

4. Titik ialah pusat bulatan. Jejari bulatan adalah sama. Ia adalah perlu untuk mencari koordinat titik yang diperoleh dengan memutarkan vektor jejari awal dengan.

5. Titik ialah pusat bulatan. Jejari bulatan adalah sama. Ia adalah perlu untuk mencari koordinat titik yang diperoleh dengan memutarkan vektor jejari awal dengan.

Menghadapi masalah mencari koordinat titik pada bulatan?

Selesaikan lima contoh ini (atau pandai menyelesaikannya) dan anda akan belajar mencarinya!

1.

Anda boleh perasan itu. Tetapi kita tahu apa yang sepadan dengan revolusi penuh titik permulaan. Oleh itu, titik yang dikehendaki akan berada dalam kedudukan yang sama seperti semasa menghidupkan. Mengetahui ini, kami dapati koordinat titik yang diperlukan:

2. Bulatan unit berpusat pada satu titik, yang bermaksud kita boleh menggunakan formula yang dipermudahkan:

Anda boleh perasan itu. Kami tahu apa yang sepadan dengan dua kelajuan penuh titik permulaan. Oleh itu, titik yang diingini akan berada dalam kedudukan yang sama seperti apabila beralih ke. Mengetahui ini, kami dapati koordinat titik yang diperlukan:

Sinus dan kosinus ialah nilai jadual. Kami mengingat kembali maknanya dan mendapat:

Oleh itu, titik yang dikehendaki mempunyai koordinat.

3. Bulatan unit berpusat pada satu titik, yang bermaksud kita boleh menggunakan formula yang dipermudahkan:

Anda boleh perasan itu. Mari kita gambarkan contoh yang dipersoalkan dalam rajah:

Jejari membuat sudut sama dengan dan dengan paksi. Mengetahui bahawa nilai jadual kosinus dan sinus adalah sama, dan setelah menentukan bahawa kosinus di sini mengambil nilai negatif, dan sinus adalah positif, kita mempunyai:

Butiran lanjut contoh yang serupa difahami apabila mengkaji formula untuk mengurangkan fungsi trigonometri dalam topik.

Oleh itu, titik yang dikehendaki mempunyai koordinat.

4.

Sudut putaran jejari vektor (mengikut keadaan)

Untuk menentukan tanda-tanda sinus dan kosinus yang sepadan, kami membina bulatan dan sudut unit:

Seperti yang anda lihat, nilai, iaitu, adalah positif, dan nilai, iaitu, adalah negatif. Mengetahui nilai jadual bagi fungsi trigonometri yang sepadan, kami memperoleh bahawa:

Mari gantikan nilai yang diperoleh ke dalam formula kami dan cari koordinat:

Oleh itu, titik yang dikehendaki mempunyai koordinat.

5. Untuk menyelesaikan masalah ini, kami menggunakan formula dalam bentuk umum, di mana

Koordinat pusat bulatan (dalam contoh kita,

Jejari bulatan (mengikut keadaan)

Sudut putaran jejari vektor (mengikut keadaan).

Mari kita gantikan semua nilai ke dalam formula dan dapatkan:

dan - nilai jadual. Mari kita ingat dan gantikannya ke dalam formula:

Oleh itu, titik yang dikehendaki mempunyai koordinat.

RINGKASAN DAN FORMULA ASAS

Sinus suatu sudut ialah nisbah kaki (jauh) bertentangan dengan hipotenus.

Kosinus sudut ialah nisbah kaki bersebelahan (dekat) dengan hipotenus.

Tangen bagi suatu sudut ialah nisbah sisi bertentangan (jauh) dengan sisi bersebelahan (dekat).

Kotangen suatu sudut ialah nisbah sisi bersebelahan (dekat) dengan sisi bertentangan (jauh).

Peringkat pertengahan

Segitiga kanan. Panduan Bergambar Lengkap (2019)

SEGITIGA SEGI SEGI SEGempat tepat. PERINGKAT PENYERTAAN.

Dalam masalah, sudut kanan tidak diperlukan sama sekali - kiri bawah, jadi anda perlu belajar mengenali segi tiga tepat dalam bentuk ini,

dan dalam ini

dan dalam ini

Apa yang bagus tentang segi tiga tepat? Nah... pertama sekali, ada yang istimewa nama yang indah untuk pihaknya.

Perhatian kepada lukisan!

Ingat dan jangan keliru: terdapat dua kaki, dan hanya ada satu hipotenus(satu-satunya, unik dan terpanjang)!

Nah, kita telah membincangkan nama-nama, kini perkara yang paling penting: Teorem Pythagoras.

Teorem Pythagoras.

Teorem ini adalah kunci untuk menyelesaikan banyak masalah yang melibatkan segi tiga tepat. Pythagoras membuktikannya sepenuhnya zaman berzaman, dan sejak itu dia telah membawa banyak manfaat kepada mereka yang mengenalinya. Dan perkara terbaik mengenainya ialah ia mudah.

Jadi, Teorem Pythagoras:

Adakah anda masih ingat jenaka: "Seluar Pythagoras adalah sama di semua sisi!"?

Mari kita lukis seluar Pythagoras yang sama dan lihatnya.

Nampak tak macam seluar pendek? Nah, di mana pihak dan di manakah mereka sama? Mengapa dan dari mana gurauan itu datang? Dan jenaka ini bersambung tepat dengan teorem Pythagoras, atau lebih tepat lagi dengan cara Pythagoras sendiri merumuskan teoremnya. Dan dia merumuskannya seperti ini:

"Jumlah kawasan segi empat sama, dibina di atas kaki, adalah sama dengan kawasan persegi, dibina di atas hipotenus."

Adakah bunyinya agak berbeza? Oleh itu, apabila Pythagoras melukis pernyataan teoremnya, ini betul-betul gambar yang keluar.

Dalam gambar ini, jumlah kawasan petak kecil adalah sama dengan luas petak besar. Dan supaya kanak-kanak lebih ingat bahawa jumlah segi empat sama kaki adalah sama dengan segi empat sama hipotenus, seseorang yang cerdik membuat jenaka tentang seluar Pythagoras ini.

Mengapa kita sekarang merumuskan teorem Pythagoras?

Adakah Pythagoras menderita dan bercakap tentang segi empat sama?

Anda lihat, pada zaman dahulu tidak ada... algebra! Tiada tanda-tanda dan sebagainya. Tiada inskripsi. Bolehkah anda bayangkan betapa dahsyatnya pelajar zaman dahulu yang miskin mengingati segala-galanya dengan perkataan??! Dan kita boleh bergembira kerana kita mempunyai rumusan mudah teorem Pythagoras. Mari kita ulangi sekali lagi untuk mengingatinya dengan lebih baik:

Ia sepatutnya mudah sekarang:

Kuasa dua hipotenus sama dengan jumlah segi empat sama kaki.

Nah, teorem yang paling penting tentang segi tiga tepat telah dibincangkan. Jika anda berminat dengan cara ia dibuktikan, baca peringkat teori berikut, dan sekarang mari kita teruskan... ke hutan gelap... trigonometri! Kepada perkataan yang dahsyat sinus, kosinus, tangen dan kotangen.

Sinus, kosinus, tangen, kotangen dalam segi tiga tegak.

Malah, semuanya tidak begitu menakutkan sama sekali. Sudah tentu, takrif "sebenar" sinus, kosinus, tangen dan kotangen harus dilihat dalam artikel. Tetapi saya benar-benar tidak mahu, bukan? Kita boleh bergembira: untuk menyelesaikan masalah tentang segi tiga tepat, anda boleh mengisi perkara mudah berikut:

Mengapa semuanya hanya mengenai sudut? Di manakah sudut? Untuk memahami perkara ini, anda perlu tahu bagaimana pernyataan 1 - 4 ditulis dalam perkataan. Lihat, fahami dan ingat!

1.
Sebenarnya bunyinya seperti ini:

Bagaimana dengan sudut? Adakah terdapat kaki yang bertentangan dengan sudut, iaitu kaki yang bertentangan (untuk sudut)? Sudah tentu ada! Ini adalah kaki!

Bagaimana dengan sudut? Lihat dengan teliti. Kaki yang manakah bersebelahan dengan sudut? Sudah tentu, kaki. Ini bermakna bahawa untuk sudut kaki adalah bersebelahan, dan

Sekarang, perhatikan! Lihat apa yang kami dapat:

Lihat betapa hebatnya:

Sekarang mari kita beralih kepada tangen dan kotangen.

Bagaimanakah saya boleh menulis ini dalam perkataan sekarang? Apakah kaki yang berkaitan dengan sudut? Bertentangan, tentu saja - ia "berbaring" bertentangan dengan sudut. Bagaimana dengan kaki? Bersebelahan dengan sudut. Jadi apa yang kita ada?

Lihat bagaimana pengangka dan penyebut telah bertukar tempat?

Dan kini sudut lagi dan membuat pertukaran:

Sambung semula

Mari kita tulis secara ringkas semua yang telah kita pelajari.

Teorem Pythagoras:

Teorem utama mengenai segi tiga tepat ialah teorem Pythagoras.

Teorem Pythagoras

By the way, adakah anda masih ingat apa itu kaki dan hipotenus? Jika tidak begitu baik, maka lihat gambar - segarkan pengetahuan anda

Ada kemungkinan bahawa anda telah menggunakan teorem Pythagoras berkali-kali, tetapi pernahkah anda terfikir mengapa teorem tersebut adalah benar? Bagaimana saya boleh membuktikannya? Mari kita lakukan seperti orang Yunani kuno. Mari kita lukis segi empat sama dengan sisi.

Lihat betapa bijaknya kami membahagikan sisinya kepada panjang dan!

Sekarang mari kita sambungkan titik yang ditanda

Di sini kami, bagaimanapun, mencatat sesuatu yang lain, tetapi anda sendiri melihat lukisan itu dan fikirkan mengapa ini berlaku.

Apakah luasnya bersamaan? persegi yang lebih besar? Betul, . Bagaimana pula dengan kawasan yang lebih kecil? Pastinya, . Jumlah kawasan empat penjuru kekal. Bayangkan bahawa kami membawa mereka berdua pada satu masa dan menyandarkan mereka antara satu sama lain dengan hipotenus mereka. Apa yang berlaku? Dua segi empat tepat. Ini bermakna bahawa kawasan "potongan" adalah sama.

Mari kita susun semuanya sekarang.

Mari tukar:

Jadi kami melawat Pythagoras - kami membuktikan teoremnya dengan cara kuno.

Segitiga kanan dan trigonometri

Untuk segi tiga tegak, hubungan berikut berlaku:

Resdung sudut akut sama dengan nisbah sisi bertentangan dengan hipotenus

Kosinus sudut akut adalah sama dengan nisbah kaki bersebelahan dengan hipotenus.

Tangen sudut akut adalah sama dengan nisbah sisi bertentangan dengan sisi bersebelahan.

Kotangen bagi sudut akut adalah sama dengan nisbah sisi bersebelahan dengan sisi bertentangan.

Dan sekali lagi semua ini dalam bentuk tablet:

Ia sangat mudah!

Tanda-tanda kesamaan segi tiga tepat

I. Pada dua pihak

II. Dengan kaki dan hipotenus

III. Mengikut hipotenus dan sudut akut

IV. Sepanjang kaki dan sudut akut

a)

b)

Perhatian! Adalah sangat penting di sini bahawa kaki adalah "sesuai". Sebagai contoh, jika ia berlaku seperti ini:

MAKA SEGITIGA TIDAK SAMA, walaupun pada hakikatnya ia mempunyai satu sudut akut yang sama.

Ia adalah perlu itu dalam kedua-dua segi tiga kaki adalah bersebelahan, atau dalam kedua-dua ia bertentangan.

Pernahkah anda perasan bagaimana tanda-tanda kesamaan segi tiga tegak berbeza daripada tanda-tanda kesamaan segi tiga biasa? Lihat topik "dan perhatikan fakta bahawa untuk kesamaan segitiga "biasa", tiga elemen mereka mestilah sama: dua sisi dan sudut di antara mereka, dua sudut dan sisi di antara mereka, atau tiga sisi. Tetapi untuk kesamaan segi tiga tepat, hanya dua elemen yang sepadan sudah cukup. Hebat kan?

Keadaannya lebih kurang sama dengan tanda-tanda persamaan segi tiga tegak.

Tanda-tanda persamaan segi tiga tegak

I. Sepanjang sudut lancip

II. Pada dua belah pihak

III. Dengan kaki dan hipotenus

Median dalam segi tiga tepat

Kenapa jadi begini?

Daripada segi tiga tepat, pertimbangkan keseluruhan segi empat tepat.

Mari kita lukis pepenjuru dan pertimbangkan satu titik - titik persilangan pepenjuru. Apakah yang anda tahu tentang pepenjuru segi empat tepat?

Dan apa yang berikut daripada ini?

Jadi ternyata begitu

1. - median:

Ingat fakta ini! Sangat membantu!

Apa yang lebih memeranjatkan ialah perkara sebaliknya juga berlaku.

Apakah kebaikan yang boleh diperolehi daripada fakta bahawa median yang ditarik ke hipotenus adalah sama dengan separuh hipotenus? Jom tengok gambar

Lihat dengan teliti. Kami mempunyai: , iaitu, jarak dari titik ke ketiga-tiga bucu segitiga ternyata sama. Tetapi terdapat hanya satu titik dalam segi tiga, jarak dari ketiga-tiga bucu segitiga adalah sama, dan ini ialah PUSAT BULATAN. Jadi apa yang berlaku?

Jadi mari kita mulakan dengan "selain itu...".

Mari kita lihat dan.

Tetapi segi tiga yang serupa semua sudut adalah sama!

Perkara yang sama boleh dikatakan tentang dan

Sekarang mari kita lukiskannya bersama-sama:

Apakah faedah yang boleh diperolehi daripada persamaan "triple" ini?

Nah, sebagai contoh - dua formula untuk ketinggian segi tiga tepat.

Mari kita tuliskan hubungan pihak yang berkaitan:

Untuk mencari ketinggian, kita selesaikan perkadaran dan dapatkan formula pertama "Ketinggian dalam segi tiga tepat":

Jadi, mari kita terapkan persamaan: .

Apa yang akan berlaku sekarang?

Sekali lagi kami menyelesaikan perkadaran dan dapatkan formula kedua:

Anda perlu mengingati kedua-dua formula ini dengan baik dan menggunakan formula yang lebih mudah. Mari kita tulis mereka sekali lagi

Teorem Pythagoras:

Dalam segi tiga tegak, kuasa dua hipotenus adalah sama dengan hasil tambah kuasa dua kaki: .

Tanda-tanda kesamaan segi tiga tepat:

• pada dua sisi:
• dengan kaki dan hipotenus: atau
• sepanjang kaki dan sudut akut bersebelahan: atau
• sepanjang kaki dan sudut akut yang bertentangan: atau
• oleh hipotenus dan sudut akut: atau.

Tanda-tanda persamaan segi tiga tepat:

• satu sudut akut: atau
• daripada perkadaran dua kaki:
• daripada perkadaran kaki dan hipotenus: atau.

Sinus, kosinus, tangen, kotangen dalam segi tiga tegak

• Sinus sudut akut segi tiga tepat ialah nisbah sisi bertentangan dengan hipotenus:
• Kosinus sudut akut segi tiga tegak ialah nisbah kaki bersebelahan dengan hipotenus:
• Tangen bagi sudut akut segi tiga tegak ialah nisbah sisi bertentangan dengan sisi bersebelahan:
• Kotangen bagi sudut akut segi tiga tegak ialah nisbah sisi bersebelahan dengan sisi bertentangan: .

Ketinggian segi tiga tepat: atau.

Dalam segi tiga tegak, median yang dilukis dari bucu sudut tepat adalah sama dengan separuh hipotenus: .

Luas segi tiga tepat:

• melalui kaki:

Trigonometri - bahagian sains matematik, yang mengkaji fungsi trigonometri dan penggunaannya dalam geometri. Perkembangan trigonometri bermula di Yunani purba. Semasa Zaman Pertengahan sumbangan penting Para saintis dari Timur Tengah dan India menyumbang kepada perkembangan sains ini.

Artikel ini didedikasikan untuk konsep asas dan definisi trigonometri. Ia membincangkan takrifan fungsi trigonometri asas: sinus, kosinus, tangen dan kotangen. Maknanya dijelaskan dan digambarkan dalam konteks geometri.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pada mulanya, takrifan fungsi trigonometri yang hujahnya ialah sudut dinyatakan dalam sebutan nisbah sisi segi tiga tepat.

Definisi fungsi trigonometri

Sinus suatu sudut (sin α) ialah nisbah kaki yang bertentangan dengan sudut ini dengan hipotenus.

Kosinus sudut (cos α) ialah nisbah kaki bersebelahan dengan hipotenus.

Sudut tangen (t g α) - nisbah sisi bertentangan dengan sisi bersebelahan.

Kotangen sudut (c t g α) - nisbah sisi bersebelahan dengan sisi bertentangan.

Takrifan ini diberikan untuk sudut akut segi tiga tegak!

Mari beri ilustrasi.

DALAM segi tiga ABC dengan sudut tegak C, sinus sudut A adalah sama dengan nisbah kaki BC kepada hipotenus AB.

Takrif sinus, kosinus, tangen dan kotangen membolehkan anda mengira nilai-nilai fungsi ini daripada panjang sisi segitiga yang diketahui.

Penting untuk diingat!

Julat nilai sinus dan kosinus adalah dari -1 hingga 1. Dengan kata lain, sinus dan kosinus mengambil nilai dari -1 hingga 1. Julat nilai tangen dan kotangen ialah keseluruhan garis nombor, iaitu, fungsi ini boleh mengambil sebarang nilai.

Takrifan yang diberikan di atas digunakan untuk sudut akut. Dalam trigonometri, konsep sudut putaran diperkenalkan, yang nilainya, tidak seperti sudut akut, tidak terhad kepada 0 hingga 90 darjah Sudut putaran dalam darjah atau radian dinyatakan dengan sebarang nombor nyata dari - ∞ hingga + ∞.

Dalam konteks ini, kita boleh mentakrifkan sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi sudut magnitud arbitrari. Mari kita bayangkan bulatan unit dengan pusatnya pada asal sistem koordinat Cartes.

Titik awal A dengan koordinat (1, 0) berputar mengelilingi pusat bulatan unit melalui sudut α tertentu dan pergi ke titik A 1. Takrifan diberikan dari segi koordinat titik A 1 (x, y).

Sinus (sin) sudut putaran

Sinus bagi sudut putaran α ialah ordinat bagi titik A 1 (x, y). dosa α = y

Kosinus (cos) sudut putaran

Kosinus bagi sudut putaran α ialah absis bagi titik A 1 (x, y). cos α = x

Tangen (tg) sudut putaran

Tangen bagi sudut putaran α ialah nisbah ordinat titik A 1 (x, y) kepada absisnya. t g α = y x

Kotangen (ctg) sudut putaran

Kotangen bagi sudut putaran α ialah nisbah absis titik A 1 (x, y) kepada ordinatnya. c t g α = x y

Sinus dan kosinus ditakrifkan untuk sebarang sudut putaran. Ini adalah logik, kerana absis dan ordinat titik selepas putaran boleh ditentukan pada mana-mana sudut. Keadaannya berbeza dengan tangen dan kotangen. Tangen tidak ditentukan apabila titik selepas putaran pergi ke titik dengan absis sifar (0, 1) dan (0, - 1). Dalam kes sedemikian, ungkapan untuk tangen t g α = y x tidak masuk akal, kerana ia mengandungi pembahagian dengan sifar. Keadaannya sama dengan kotangen. Perbezaannya ialah kotangen tidak ditakrifkan dalam kes di mana ordinat titik pergi ke sifar.

Penting untuk diingat!

Sinus dan kosinus ditakrifkan untuk sebarang sudut α.

Tangen ditakrifkan untuk semua sudut kecuali α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)

Kotangen ditakrifkan untuk semua sudut kecuali α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Apabila membuat keputusan contoh praktikal jangan sebut "sinus sudut putaran α". Perkataan "sudut putaran" hanya ditinggalkan, membayangkan bahawa ia sudah jelas daripada konteks apa yang dibincangkan.

Nombor

Bagaimana pula dengan takrif sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi suatu nombor, dan bukannya sudut putaran?

Sinus, kosinus, tangen, kotangen bagi suatu nombor

Sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi suatu nombor t ialah nombor yang masing-masing sama dengan sinus, kosinus, tangen dan kotangen dalam t radian.

Sebagai contoh, sinus nombor 10 π adalah sama dengan sinus sudut putaran 10 π rad.

Terdapat satu lagi pendekatan untuk menentukan sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi suatu nombor. Mari kita lihat lebih dekat.

Sesiapa sahaja nombor sebenar t satu titik pada bulatan unit dikaitkan dengan pusat pada asal sistem koordinat Cartesan segi empat tepat. Sinus, kosinus, tangen dan kotangen ditentukan melalui koordinat titik ini.

Titik permulaan pada bulatan ialah titik A dengan koordinat (1, 0).

Nombor positif t

Nombor negatif t sepadan dengan titik di mana titik permulaan akan pergi jika ia bergerak mengelilingi bulatan mengikut lawan jam dan akan pergi jalan t.

Sekarang bahawa hubungan antara nombor dan titik pada bulatan telah diwujudkan, kita beralih kepada definisi sinus, kosinus, tangen dan kotangen.

Sinus (dosa) t

Sinus nombor t- ordinat titik pada bulatan unit yang sepadan dengan nombor t. dosa t = y

Kosinus (cos) bagi t

Kosinus bagi suatu nombor t- abscissa titik bulatan unit sepadan dengan nombor t. cos t = x

Tangen (tg) daripada t

Tangen bagi suatu nombor t- nisbah ordinat kepada absis titik pada bulatan unit yang sepadan dengan nombor t. t g t = y x = sin t cos t

Definisi terkini adalah mengikut dan tidak bercanggah dengan definisi yang diberikan pada permulaan perenggan ini. Satu titik pada bulatan sepadan dengan nombor t, bertepatan dengan titik di mana titik permulaan pergi selepas berpusing dengan sudut t radian.

Fungsi trigonometri bagi argumen sudut dan angka

Setiap nilai sudut α sepadan dengan nilai tertentu sinus dan kosinus sudut ini. Sama seperti semua sudut α selain daripada α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) sepadan dengan nilai tangen tertentu. Cotangent, seperti yang dinyatakan di atas, ditakrifkan untuk semua α kecuali α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).

Kita boleh mengatakan bahawa sin α, cos α, t g α, c t g α ialah fungsi alfa sudut, atau fungsi hujah sudut.

Begitu juga, kita boleh bercakap tentang sinus, kosinus, tangen dan kotangen sebagai fungsi hujah angka. Setiap nombor nyata t sepadan dengan nilai sinus atau kosinus tertentu bagi suatu nombor t. Semua nombor selain daripada π 2 + π · k, k ∈ Z, sepadan dengan nilai tangen. Cotangent, begitu juga, ditakrifkan untuk semua nombor kecuali π · k, k ∈ Z.

Fungsi asas trigonometri

Sinus, kosinus, tangen dan kotangen ialah fungsi trigonometri asas.

Ia biasanya jelas daripada konteks hujah fungsi trigonometri (hujah sudut atau hujah angka) yang kita hadapi.

Mari kita kembali kepada takrifan yang diberikan pada awal-awal lagi dan sudut alfa, yang terletak dalam julat dari 0 hingga 90 darjah. Takrif trigonometri sinus, kosinus, tangen dan kotangen adalah selaras sepenuhnya dengan definisi geometri, diberi menggunakan nisbah bidang segi tiga tepat. Jom tunjuk.

Mari kita ambil bulatan unit dengan pusat dalam sistem koordinat Cartesan segi empat tepat. Mari kita putarkan titik permulaan A (1, 0) dengan sudut sehingga 90 darjah dan lukiskan serenjang dengan paksi absis dari titik A 1 (x, y) yang terhasil. Dalam segi tiga tegak yang terhasil, sudut A 1 O H sama dengan sudut pusing α, panjang kaki O H adalah sama dengan absis titik A 1 (x, y). Panjang kaki yang bertentangan dengan sudut adalah sama dengan ordinat titik A 1 (x, y), dan panjang hipotenus adalah sama dengan satu, kerana ia adalah jejari bagi bulatan unit.

Selaras dengan definisi dari geometri, sinus sudut α adalah sama dengan nisbah sisi bertentangan dengan hipotenus.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Ini bermakna penentuan sinus sudut akut dalam segi tiga tepat melalui nisbah bidang adalah bersamaan dengan penentuan sinus sudut putaran α, dengan alfa terletak dalam julat dari 0 hingga 90 darjah.

Begitu juga, kesesuaian definisi boleh ditunjukkan untuk kosinus, tangen dan kotangen.

Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter

Dalam artikel ini kami akan menunjukkan cara memberi takrif sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi sudut dan nombor dalam trigonometri. Di sini kita akan bercakap tentang notasi, memberi contoh entri, dan memberikan ilustrasi grafik. Kesimpulannya, mari kita lukiskan selari antara definisi sinus, kosinus, tangen dan kotangen dalam trigonometri dan geometri.

Navigasi halaman.

Definisi sinus, kosinus, tangen dan kotangen

Mari kita lihat bagaimana idea sinus, kosinus, tangen dan kotangen terbentuk kursus sekolah matematik. Dalam pelajaran geometri, takrif sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi sudut akut dalam segi tiga tepat diberikan. Dan kemudian trigonometri dikaji, yang bercakap tentang sinus, kosinus, tangen dan kotangen sudut putaran dan nombor. Marilah kita kemukakan semua definisi ini, berikan contoh dan berikan ulasan yang diperlukan.

Sudut akut dalam segi tiga tepat

Daripada kursus geometri kita mengetahui takrif sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi sudut akut dalam segi tiga tegak. Mereka diberikan sebagai nisbah sisi segi tiga tepat. Mari kita berikan formulasi mereka.

Definisi.

Sinus sudut lancip dalam segi tiga tegak ialah nisbah sisi bertentangan dengan hipotenus.

Definisi.

Kosinus sudut lancip dalam segi tiga tegak ialah nisbah kaki bersebelahan dengan hipotenus.

Definisi.

Tangen bagi sudut lancip dalam segi tiga tegak– ini ialah nisbah sisi bertentangan dengan sisi bersebelahan.

Definisi.

Kotangen sudut lancip dalam segi tiga tegak- ini ialah nisbah sisi bersebelahan dengan sisi bertentangan.

Penamaan untuk sinus, kosinus, tangen dan kotangen juga diperkenalkan di sana - sin, cos, tg dan ctg, masing-masing.

Sebagai contoh, jika ABC ialah segi tiga tegak dengan sudut tegak C, maka sinus sudut akut A adalah sama dengan nisbah sisi bertentangan BC dengan hipotenus AB, iaitu sin∠A=BC/AB.

Takrifan ini membolehkan anda mengira nilai sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi sudut akut daripada panjang sisi segi tiga tepat yang diketahui, serta dari nilai yang diketahui cari panjang sisi yang lain menggunakan sinus, kosinus, tangen, kotangen dan panjang salah satu sisi. Sebagai contoh, jika kita tahu bahawa dalam segi tiga tepat kaki AC adalah sama dengan 3 dan hipotenus AB adalah sama dengan 7, maka kita boleh mengira nilai kosinus sudut akut A mengikut takrifan: cos∠A=AC/ AB=3/7.

Sudut putaran

Dalam trigonometri, mereka mula melihat sudut dengan lebih luas - mereka memperkenalkan konsep sudut putaran. Magnitud sudut putaran, tidak seperti sudut akut, tidak terhad kepada 0 hingga 90 darjah, sudut putaran dalam darjah (dan dalam radian) boleh dinyatakan dengan sebarang nombor nyata dari −∞ hingga +∞.

Dalam hal ini, takrif sinus, kosinus, tangen dan kotangen diberikan bukan sudut akut, tetapi sudut saiz sewenang-wenangnya - sudut putaran. Ia diberikan melalui koordinat x dan y titik A 1, yang dipanggil titik permulaan A(1, 0) selepas putarannya dengan sudut α di sekeliling titik O - permulaan sistem koordinat Cartesan segi empat tepat dan pusat bulatan unit.

Definisi.

Sinus sudut putaranα ialah ordinat bagi titik A 1, iaitu sinα=y.

Definisi.

Kosinus sudut putaranα dipanggil absis titik A 1, iaitu cosα=x.

Definisi.

Tangen sudut putaranα ialah nisbah ordinat titik A 1 kepada absisnya, iaitu tanα=y/x.

Definisi.

Kotangen sudut putaranα ialah nisbah absis titik A 1 kepada ordinatnya, iaitu ctgα=x/y.

Sinus dan kosinus ditakrifkan untuk sebarang sudut α, kerana kita sentiasa boleh menentukan absis dan ordinat titik, yang diperoleh dengan memutarkan titik permulaan dengan sudut α. Tetapi tangen dan kotangen tidak ditakrifkan untuk sebarang sudut. Tangen tidak ditakrifkan untuk sudut α di mana titik permulaan pergi ke titik dengan absis sifar (0, 1) atau (0, -1), dan ini berlaku pada sudut 90°+180° k, k∈Z (π). /2+π·k rad). Sesungguhnya, pada sudut putaran sedemikian, ungkapan tgα=y/x tidak masuk akal, kerana ia mengandungi pembahagian dengan sifar. Bagi kotangen, ia tidak ditakrifkan untuk sudut α di mana titik permulaan pergi ke titik dengan koordinat sifar (1, 0) atau (−1, 0), dan ini berlaku untuk sudut 180° k, k ∈Z (π·k rad).

Jadi, sinus dan kosinus ditakrifkan untuk mana-mana sudut putaran, tangen ditakrifkan untuk semua sudut kecuali 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad), dan kotangen ditakrifkan untuk semua sudut kecuali 180° ·k , k∈Z (π·k rad).

Takrifan termasuk sebutan yang telah diketahui oleh kita sin, cos, tg dan ctg, ia juga digunakan untuk menentukan sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi sudut putaran (kadangkala anda boleh mencari sebutan tan dan cot yang sepadan dengan tangen dan kotangen) . Jadi sinus sudut putaran 30 darjah boleh ditulis sebagai sin30°, entri tg(−24°17′) dan ctgα sepadan dengan tangen sudut putaran −24 darjah 17 minit dan kotangen sudut putaran α . Ingat bahawa apabila menulis ukuran radian sudut, sebutan "rad" selalunya ditinggalkan. Contohnya, kosinus sudut putaran tiga pi rad biasanya dilambangkan sebagai cos3·π.

Sebagai kesimpulan perkara ini, perlu diperhatikan bahawa apabila bercakap tentang sinus, kosinus, tangen dan kotangen sudut putaran, frasa "sudut putaran" atau perkataan "putaran" sering ditinggalkan. Iaitu, bukannya frasa "sinus alfa sudut putaran", frasa "sinus sudut alfa" atau, lebih pendek lagi, "sinus alfa" biasanya digunakan. Perkara yang sama berlaku untuk kosinus, tangen, dan kotangen.

Kami juga akan mengatakan bahawa takrif sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi sudut akut dalam segi tiga tepat adalah konsisten dengan takrifan yang baru diberikan untuk sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi sudut putaran antara 0 hingga 90 darjah. Kami akan membenarkan ini.

Nombor

Definisi.

Sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi suatu nombor t ialah nombor sama dengan sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi sudut putaran dalam t radian, masing-masing.

Contohnya, kosinus bagi nombor 8 π mengikut takrifan ialah nombor sama dengan kosinus sudut 8·π rad. Dan kosinus sudut 8·π rad adalah sama dengan satu, oleh itu, kosinus bagi nombor 8·π adalah sama dengan 1.

Terdapat satu lagi pendekatan untuk menentukan sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi suatu nombor. Ia terdiri daripada fakta bahawa setiap nombor nyata t dikaitkan dengan titik pada bulatan unit dengan pusat pada permulaan sistem segi empat tepat koordinat, dan sinus, kosinus, tangen dan kotangen ditentukan melalui koordinat titik ini. Mari kita lihat ini dengan lebih terperinci.

Mari kita tunjukkan bagaimana surat-menyurat diwujudkan antara nombor nyata dan titik pada bulatan:

• nombor 0 diberikan titik permulaan A(1, 0);
• nombor positif t dikaitkan dengan titik bulatan unit yang akan kita sampaii jika kita bergerak sepanjang bulatan dari titik permulaan mengikut arah lawan jam dan mari kita berjalan di laluan panjang t;
• nombor negatif t dikaitkan dengan titik bulatan unit, yang akan kita sampaii jika kita bergerak sepanjang bulatan dari titik permulaan mengikut arah jam dan berjalan di laluan sepanjang |t| .

Sekarang kita beralih kepada takrif sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi nombor t. Mari kita andaikan bahawa nombor t sepadan dengan titik pada bulatan A 1 (x, y) (contohnya, nombor &pi/2; sepadan dengan titik A 1 (0, 1)).

Definisi.

Sinus nombor t ialah ordinat titik pada bulatan unit yang sepadan dengan nombor t, iaitu sint=y.

Definisi.

Kosinus nombor t dipanggil absis titik bulatan unit yang sepadan dengan nombor t, iaitu, kos=x.

Definisi.

Tangen nombor t ialah nisbah ordinat kepada absis titik pada bulatan unit yang sepadan dengan nombor t, iaitu tgt=y/x. Dalam rumusan setara yang lain, tangen bagi nombor t ialah nisbah sinus nombor ini kepada kosinus, iaitu, tgt=sint/kos.

Definisi.

Kotangen nombor t ialah nisbah absis kepada ordinat titik pada bulatan unit yang sepadan dengan nombor t, iaitu ctgt=x/y. Rumusan lain ialah ini: tangen bagi nombor t ialah nisbah kosinus nombor t kepada sinus nombor t: ctgt=kos/sint.

Di sini kita perhatikan bahawa takrifan yang baru diberikan adalah konsisten dengan takrifan yang diberikan pada permulaan perenggan ini. Sesungguhnya, titik pada bulatan unit sepadan dengan nombor t bertepatan dengan titik yang diperoleh dengan memutarkan titik permulaan dengan sudut t radian.

Ia masih bernilai menjelaskan perkara ini. Katakan kita mempunyai entri sin3. Bagaimanakah kita boleh memahami sama ada kita bercakap tentang sinus nombor 3 atau sinus sudut putaran 3 radian? Ini biasanya jelas daripada konteks, dalam sebaliknya ini berkemungkinan besar bukan kepentingan asas.

Fungsi trigonometri bagi argumen sudut dan angka

Mengikut data dalam perenggan sebelumnya definisi, setiap sudut putaran α sepadan dengan yang jelas nilai dosaα, seperti nilai cosα. Di samping itu, semua sudut putaran selain daripada 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) sepadan dengan nilai tgα, dan nilai selain daripada 180°k, k∈Z (πk rad ) – nilai daripada ctgα . Oleh itu sinα, cosα, tanα dan ctgα ialah fungsi bagi sudut α. Dalam erti kata lain, ini adalah fungsi hujah sudut.

Kita boleh bercakap sama tentang fungsi sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi hujah berangka. Sesungguhnya, setiap nombor nyata t sepadan dengan sint nilai yang sangat khusus, serta kos. Di samping itu, semua nombor selain daripada π/2+π·k, k∈Z sepadan dengan nilai tgt, dan nombor π·k, k∈Z - nilai ​​ctgt.

Fungsi sinus, kosinus, tangen dan kotangen dipanggil fungsi asas trigonometri.

Ia biasanya jelas dari konteks sama ada kita berurusan dengan fungsi trigonometri hujah sudut atau hujah berangka. Jika tidak, kita boleh menganggap pembolehubah bebas sebagai ukuran sudut ( hujah sudut), dan hujah angka.

Walau bagaimanapun, di sekolah mereka terutamanya belajar fungsi angka, iaitu, fungsi yang hujahnya, seperti nilai fungsi yang sepadan, ialah nombor. Oleh itu, jika kita bercakap tentang khususnya mengenai fungsi, adalah dinasihatkan untuk mempertimbangkan fungsi trigonometri sebagai fungsi hujah berangka.

Hubungan antara definisi dari geometri dan trigonometri

Jika kita menganggap sudut putaran α antara 0 hingga 90 darjah, maka takrif sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi sudut putaran dalam konteks trigonometri adalah selaras sepenuhnya dengan takrif sinus, kosinus, tangen dan kotangen sesuatu sudut akut dalam segi tiga tepat, yang diberikan dalam kursus geometri. Mari kita mewajarkan ini.

Mari kita gambarkan bulatan unit dalam sistem koordinat Cartesian segi empat tepat Oksi. Mari kita tandakan titik permulaan A(1, 0) . Mari kita putarkannya dengan sudut α antara 0 hingga 90 darjah, kita dapat titik A 1 (x, y). Mari kita lepaskan serenjang A 1 H dari titik A 1 ke paksi Lembu.

Adalah mudah untuk melihat bahawa dalam segi tiga tegak, sudut A 1 OH adalah sama dengan sudut putaran α, panjang kaki OH bersebelahan dengan sudut ini adalah sama dengan absis titik A 1, iaitu |OH |=x, panjang kaki A 1 H bertentangan dengan sudut adalah sama dengan ordinat titik A 1, iaitu |A 1 H|=y, dan panjang hipotenus OA 1 adalah sama dengan satu, kerana ia ialah jejari bagi bulatan unit. Kemudian, mengikut takrifan daripada geometri, sinus sudut akut α dalam segi tiga tepat A 1 OH adalah sama dengan nisbah kaki bertentangan dengan hipotenus, iaitu sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. Dan mengikut takrifan daripada trigonometri, sinus sudut putaran α adalah sama dengan ordinat titik A 1, iaitu sinα=y. Ini menunjukkan bahawa penentuan sinus sudut akut dalam segi tiga tepat adalah bersamaan dengan penentuan sinus sudut putaran α apabila α adalah dari 0 hingga 90 darjah.

Begitu juga, dapat ditunjukkan bahawa takrifan kosinus, tangen dan kotangen bagi sudut akut α adalah konsisten dengan takrifan kosinus, tangen dan kotangen bagi sudut putaran α.

Rujukan.

1. Geometri. 7-9 darjah: buku teks untuk pendidikan am institusi / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, dll]. - ed ke-20. M.: Pendidikan, 2010. - 384 p.: sakit. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. Pogorelov A.V. Geometri: Buku teks. untuk 7-9 darjah. pendidikan am institusi / A. V. Pogorelov. - 2nd ed. - M.: Pendidikan, 2001. - 224 p.: sakit. - ISBN 5-09-010803-X.
3. Algebra dan fungsi asas : Tutorial untuk pelajar tingkatan 9 sekolah menengah/ E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Disunting oleh Doktor Sains Fizikal dan Matematik O. N. Golovin - edisi ke-4. M.: Pendidikan, 1969.
4. Algebra: Buku teks untuk darjah 9. purata sekolah/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Teleyakovsky - M.: Pendidikan, 1990. - 272 ms. - ISBN 5-09-002727-7
5. Algebra dan permulaan analisis: Proc. untuk gred 10-11. pendidikan am institusi / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn dan lain-lain; Ed. A. N. Kolmogorov - ed ke-14 - M.: Pendidikan, 2004. - 384 ms. - ISBN 5-09-013651-3.
6. Mordkovich A. G. Algebra dan permulaan analisis. darjah 10. Pada 2 p. Bahagian 1: tutorial untuk institusi pendidikan (tahap profil)/ A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - ed. ke-4, tambah. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 p.: sakit. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. Algebra dan bermula analisis matematik. darjah 10: buku teks. untuk pendidikan am institusi: asas dan profil. peringkat /[Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; disunting oleh A. B. Zhizhchenko. - ed ke-3. - I.: Education, 2010.- 368 p.: ill.- ISBN 978-5-09-022771-1.
8. Bashmakov M. I. Algebra dan permulaan analisis: Buku teks. untuk gred 10-11. purata sekolah - ed ke-3. - M.: Pendidikan, 1993. - 351 p.: sakit. - ISBN 5-09-004617-4.
9. Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematik (manual untuk mereka yang memasuki sekolah teknik): Proc. elaun.- M.; Lebih tinggi sekolah, 1984.-351 hlm., sakit.