Terbitan bagi fungsi ialah salah satu daripada topik yang sukar V kurikulum sekolah. Tidak setiap graduan akan menjawab soalan tentang apa itu derivatif.
Artikel ini menerangkan dengan cara yang mudah dan jelas apa itu derivatif dan mengapa ia diperlukan.. Sekarang kami tidak akan berusaha untuk ketelitian matematik dalam pembentangan. Perkara yang paling penting ialah memahami maksudnya.
Mari kita ingat definisi:
Derivatif ialah kadar perubahan fungsi.
Rajah menunjukkan graf bagi tiga fungsi. Mana satu yang anda fikir berkembang lebih cepat?
Jawapannya jelas - yang ketiga. Ia mempunyai kadar perubahan tertinggi, iaitu terbitan terbesar.
Ini satu lagi contoh.
Kostya, Grisha dan Matvey mendapat pekerjaan pada masa yang sama. Mari lihat bagaimana pendapatan mereka berubah sepanjang tahun:
Graf menunjukkan semuanya sekaligus, bukan? Pendapatan Kostya meningkat lebih daripada dua kali ganda dalam tempoh enam bulan. Dan pendapatan Grisha juga meningkat, tetapi hanya sedikit. Dan pendapatan Matvey menurun kepada sifar. Keadaan permulaan adalah sama, tetapi kadar perubahan fungsi, iaitu terbitan, - berbeza. Bagi Matvey, derivatif pendapatannya secara amnya negatif.
Secara intuitif, kami dengan mudah menganggarkan kadar perubahan fungsi. Tetapi bagaimana kita melakukan ini?
Apa yang kita benar-benar melihat ialah seberapa curam graf fungsi naik (atau turun). Dengan kata lain, berapa cepatkah y berubah apabila x berubah? Jelas sekali, fungsi yang sama dalam titik yang berbeza mungkin mempunyai makna yang berbeza derivatif - iaitu, ia boleh berubah lebih cepat atau lebih perlahan.
Terbitan bagi suatu fungsi dilambangkan .
Kami akan menunjukkan kepada anda cara mencarinya menggunakan graf.
Satu graf bagi beberapa fungsi telah dilukis. Mari kita ambil satu titik dengan abscissa di atasnya. Mari kita lukis tangen pada graf fungsi pada ketika ini. Kami ingin menganggarkan betapa curamnya graf fungsi naik. Nilai yang sesuai untuk ini ialah tangen sudut tangen.
Terbitan bagi fungsi pada satu titik adalah sama dengan tangen sudut tangen yang dilukis pada graf fungsi pada titik ini.
Sila ambil perhatian bahawa sebagai sudut kecondongan tangen kita mengambil sudut antara tangen dan arah positif paksi.
Kadangkala pelajar bertanya apakah tangen kepada graf fungsi. Ini adalah garis lurus yang hanya mempunyai satu titik biasa dengan graf, dan seperti yang ditunjukkan dalam rajah kami. Ia kelihatan seperti tangen kepada bulatan.
Jom cari. Kita ingat bahawa tangen sudut akut dalam segi tiga tepat sama dengan nisbah kaki bertentangan kepada yang bersebelahan. Dari segi tiga:
Kami mendapati terbitan menggunakan graf tanpa mengetahui formula fungsi itu. Masalah sebegini sering ditemui dalam Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik di bawah nombor.
Terdapat satu lagi hubungan penting. Ingat bahawa garis lurus diberikan oleh persamaan
Kuantiti dalam persamaan ini dipanggil kecerunan garis lurus. Ia sama dengan tangen sudut kecondongan garis lurus ke paksi.
.
Kami dapat itu
Mari kita ingat formula ini. Ia menyatakan makna geometri bagi terbitan.
Terbitan fungsi pada satu titik adalah sama dengan kecerunan tangen yang dilukis pada graf fungsi pada titik itu.
Dalam erti kata lain, terbitan adalah sama dengan tangen sudut tangen.
Kami telah mengatakan bahawa fungsi yang sama boleh mempunyai derivatif yang berbeza pada titik yang berbeza. Mari lihat bagaimana derivatif berkaitan dengan kelakuan fungsi.
Mari kita lukis graf bagi beberapa fungsi. Biarkan fungsi ini meningkat di beberapa kawasan, dan berkurangan di kawasan lain, dan dengan pada kelajuan yang berbeza. Dan biarkan fungsi ini mempunyai mata maksimum dan minimum.
Pada satu ketika fungsi meningkat. Tangen kepada graf yang dilukis pada titik terbentuk sudut tajam; dengan arah paksi positif. Ini bermakna derivatif pada titik adalah positif.
Pada ketika itu fungsi kita berkurangan. Tangen pada titik ini membentuk sudut tumpul; dengan arah paksi positif. Sejak tangen sudut cakah adalah negatif, pada titik terbitan adalah negatif.
Inilah yang berlaku:
Jika fungsi bertambah, terbitannya adalah positif.
Jika ia berkurangan, terbitannya adalah negatif.
Apakah yang akan berlaku pada mata maksimum dan minimum? Kita melihat bahawa pada titik (titik maksimum) dan (titik minimum) tangen adalah mendatar. Oleh itu, tangen sudut tangen pada titik-titik ini sama dengan sifar, dan terbitan juga sifar.
Titik - titik maksimum. Pada ketika ini, peningkatan dalam fungsi digantikan dengan penurunan. Akibatnya, tanda derivatif berubah pada titik dari "tambah" kepada "tolak".
Pada titik - titik minimum - terbitan juga sifar, tetapi tandanya berubah daripada "tolak" kepada "tambah".
Kesimpulan: menggunakan derivatif kita boleh mengetahui segala-galanya yang menarik minat kita tentang kelakuan sesuatu fungsi.
Jika derivatif adalah positif, maka fungsi meningkat.
Jika terbitan negatif, maka fungsi berkurangan.
Pada titik maksimum, derivatif adalah sifar dan menukar tanda daripada "tambah" kepada "tolak".
Pada titik minimum, terbitan juga sifar dan menukar tanda daripada "tolak" kepada "tambah".
Mari kita tulis kesimpulan ini dalam bentuk jadual:
| bertambah | titik maksimum | berkurangan | titik minimum | bertambah | |
| + | 0 | - | 0 | + |
Mari kita buat dua penjelasan kecil. Anda akan memerlukan salah satu daripada mereka apabila menyelesaikan masalah. Satu lagi - pada tahun pertama, dengan kajian yang lebih serius tentang fungsi dan derivatif.
Ada kemungkinan bahawa terbitan fungsi pada satu titik adalah sama dengan sifar, tetapi fungsi itu tidak mempunyai maksimum atau minimum pada ketika ini. Inilah yang dipanggil :
Pada satu titik, tangen kepada graf adalah mendatar dan terbitan adalah sifar. Walau bagaimanapun, sebelum titik fungsi meningkat - dan selepas titik ia terus meningkat. Tanda derivatif tidak berubah - ia kekal positif seperti dahulu.
Ia juga berlaku bahawa pada titik maksimum atau minimum derivatif tidak wujud. Pada graf, ini sepadan dengan pecahan mendadak, apabila mustahil untuk melukis tangen pada titik tertentu.
Bagaimana untuk mencari derivatif jika fungsi diberikan bukan oleh graf, tetapi oleh formula? Dalam kes ini ia terpakai
Tugasan.
Fungsi y=f(x) ditakrifkan pada selang (-5; 6). Rajah menunjukkan graf bagi fungsi y=f(x). Cari di antara titik-titik x 1, x 2, ..., x 7 titik-titik yang terbitan bagi fungsi f(x) adalah sama dengan sifar. Sebagai tindak balas, tulis bilangan mata yang ditemui.
Penyelesaian:
Prinsip dalam menyelesaikan masalah ini ialah: terdapat tiga tingkah laku yang mungkin fungsi pada selang ini:
1) apabila fungsi meningkat (derivatif terdapat lebih besar daripada sifar)
2) apabila fungsi berkurangan (di mana terbitan kurang daripada sifar)
3) apabila fungsi tidak bertambah atau berkurang (di mana terbitan sama ada sifar atau tidak wujud)
Kami berminat dengan pilihan ketiga.
Derivatif adalah sama dengan sifar di mana fungsinya lancar dan tidak wujud pada titik pecah. Mari kita lihat semua perkara ini.
x 1 - fungsi bertambah, yang bermaksud terbitan f′(x) >0
x 2 - fungsi mengambil minimum dan licin, yang bermaksud terbitan f ′(x) = 0
x 3 - fungsi mengambil maksimum, tetapi pada ketika ini terdapat rehat, yang bermaksud terbitan f ′(x) tidak wujud
x 4 - fungsi mengambil maksimum, tetapi pada ketika ini terdapat rehat, yang bermaksud terbitan f ′(x) tidak wujud
x 5 - terbitan f ′(x) = 0
x 6 - fungsi bertambah, yang bermaksud terbitan f'(x) >0
x 7 - fungsi mengambil minimum dan lancar, yang bermaksud terbitan f ′(x) = 0
Kami melihat bahawa f ′(x) = 0 pada titik x 2, x 5 dan x 7, sejumlah 3 mata.
Mengkaji fungsi menggunakan terbitannya. Dalam artikel ini kita akan menganalisis beberapa tugasan yang berkaitan dengan kajian graf fungsi. Dalam masalah sedemikian, graf fungsi y = f (x) diberikan dan soalan ditimbulkan berkaitan dengan menentukan bilangan titik di mana terbitan fungsi itu positif (atau negatif), serta lain-lain. Ia diklasifikasikan sebagai tugas untuk menggunakan derivatif untuk kajian fungsi.
Menyelesaikan masalah sedemikian, dan secara amnya masalah yang berkaitan dengan penyelidikan, hanya boleh dilakukan dengan pemahaman penuh tentang sifat terbitan untuk mengkaji graf fungsi dan terbitan. Oleh itu, saya amat mengesyorkan agar anda mempelajari teori yang berkaitan. Anda boleh belajar dan juga menonton (tetapi ia mengandungi ringkasan ringkas).
Kami juga akan mempertimbangkan masalah di mana graf terbitan diberikan dalam artikel akan datang, jangan ketinggalan! Jadi, tugasan:
Rajah menunjukkan graf bagi fungsi y = f (x), ditakrifkan pada selang (−6; 8). takrifkan:
1. Bilangan titik integer di mana terbitan fungsi adalah negatif;
2. Bilangan titik di mana tangen kepada graf fungsi adalah selari dengan garis lurus y = 2;
1. Terbitan bagi fungsi adalah negatif pada selang di mana fungsi berkurangan, iaitu, pada selang (−6; –3), (0; 4.2), (6.9; 8). Mereka mengandungi titik integer −5, −4, 1, 2, 3, 4, dan 7. Kami mendapat 7 mata.
2. Langsung y= 2 selari dengan paksiOhy= 2 hanya pada titik ekstrem (pada titik di mana graf mengubah tingkah lakunya daripada meningkat kepada menurun atau sebaliknya). Terdapat empat perkara tersebut: –3; 0; 4.2; 6.9
Tentukan sendiri:
Tentukan bilangan titik integer di mana terbitan fungsi itu positif.
Rajah menunjukkan graf bagi fungsi y = f (x), ditakrifkan pada selang (−5; 5). takrifkan:
2. Bilangan titik integer di mana tangen kepada graf fungsi adalah selari dengan garis lurus y = 3;
3. Bilangan titik di mana terbitan adalah sifar;
1. Daripada sifat terbitan sesuatu fungsi diketahui bahawa ia adalah positif pada selang di mana fungsi meningkat, iaitu pada selang (1.4; 2.5) dan (4.4; 5). Mereka mengandungi hanya satu keseluruhan titik x = 2.
2. Langsung y= 3 selari dengan paksiOh. Tangen akan selari dengan garisy= 3 hanya pada titik ekstrem (pada titik di mana graf mengubah tingkah lakunya daripada meningkat kepada menurun atau sebaliknya).
Terdapat empat perkara tersebut: –4.3; 1.4; 2.5; 4.4
3. Derivatif adalah sifar pada empat mata(pada titik ekstrem), kami telah menunjukkannya.
Tentukan sendiri:
Tentukan bilangan titik integer di mana terbitan bagi fungsi f(x) adalah negatif.
Rajah menunjukkan graf bagi fungsi y = f (x), ditakrifkan pada selang (−2; 12). Cari:
1. Bilangan titik integer di mana terbitan fungsi adalah positif;
2. Bilangan titik integer di mana terbitan fungsi adalah negatif;
3. Bilangan titik integer di mana tangen kepada graf fungsi adalah selari dengan garis lurus y = 2;
4. Bilangan titik di mana terbitan adalah sifar.
1. Daripada sifat terbitan sesuatu fungsi diketahui bahawa ia adalah positif pada selang di mana fungsi bertambah, iaitu pada selang (–2; 1), (2; 4), (7; 9) dan ( 10; 11). Ia mengandungi mata integer: –1, 0, 3, 8. Terdapat empat daripadanya secara keseluruhan.
2. Terbitan bagi fungsi adalah negatif pada selang di mana fungsi berkurangan, iaitu pada selang (1; 2), (4; 7), (9; 10), (11; 12). Mereka mengandungi mata integer 5 dan 6. Kami mendapat 2 mata.
3. Langsung y= 2 selari dengan paksiOh. Tangen akan selari dengan garisy= 2 hanya pada titik ekstrem (pada titik di mana graf mengubah tingkah lakunya daripada meningkat kepada menurun atau sebaliknya). Terdapat tujuh perkara tersebut: 1; 2; 4; 7; 9; 10; sebelas.
4. Derivatif adalah sama dengan sifar pada tujuh mata (pada titik ekstrem), kami telah menunjukkannya.
Apabila membuat keputusan pelbagai tugas geometri, mekanik, fizik dan cabang pengetahuan lain menjadi perlu menggunakan proses analisis yang sama daripada fungsi ini y=f(x) menerima ciri baharu yang dipanggil fungsi terbitan(atau hanya terbitan) bagi fungsi tertentu f(x) dan ditetapkan oleh simbol
Proses yang mana daripada fungsi tertentu f(x) dapatkan ciri baharu f" (x), dipanggil pembezaan dan ia terdiri daripada tiga langkah berikut: 1) berikan hujah x kenaikan
x dan tentukan kenaikan yang sepadan bagi fungsi itu
y = f(x+
x) -f(x); 2) membina hubungan 
3) mengira x malar dan
x0, kita dapati 
, yang kami nyatakan dengan f" (x), seolah-olah menekankan bahawa fungsi yang terhasil hanya bergantung pada nilai x, di mana kita pergi ke had. Definisi:
Terbitan y " =f " (x)
fungsi yang diberikan y=f(x)
untuk x tertentu dipanggil had nisbah pertambahan fungsi kepada pertambahan hujah, dengan syarat kenaikan hujah cenderung kepada sifar, jika, sudah tentu, had ini wujud, i.e. terhingga. Oleh itu, 
, atau 
Perhatikan bahawa jika pada beberapa nilai x, contohnya apabila x=a, sikap 
di
x0 tidak cenderung had terhingga, maka dalam kes ini mereka mengatakan bahawa fungsi f(x) di x=a(atau pada titik x=a) tidak mempunyai terbitan atau tidak boleh dibezakan pada titik itu x=a.
2. Makna geometri bagi terbitan.
Pertimbangkan graf bagi fungsi y = f (x), boleh dibezakan di sekitar titik x 0
f(x)
Mari kita pertimbangkan garis lurus arbitrari yang melalui titik pada graf fungsi - titik A(x 0, f (x 0)) dan bersilang dengan graf pada satu titik B(x;f(x)). Garis (AB) sedemikian dipanggil secant. Daripada ∆ABC: AC = ∆x; ВС =∆у; tgβ=∆y/∆x.
Sejak AC || Lembu, kemudian ALO = BAC = β (sebagai sepadan untuk selari). Tetapi ALO ialah sudut kecondongan potongan AB ke arah positif paksi Lembu. Ini bermakna tanβ = k - cerun lurus AB.
Sekarang kita akan mengurangkan ∆х, i.e. ∆х→ 0. Dalam kes ini, titik B akan menghampiri titik A mengikut graf, dan sekan AB akan berputar. Kedudukan mengehadkan sekan AB pada ∆x→ 0 akan menjadi garis lurus (a), dipanggil tangen kepada graf fungsi y = f (x) pada titik A.
Jika kita pergi ke had sebagai ∆x → 0 dalam kesamaan tgβ =∆y/∆x, kita dapat 
ortg =f "(x 0), sejak 
-sudut kecondongan tangen ke arah positif paksi Lembu 
, mengikut takrifan terbitan. Tetapi tg = k ialah pekali sudut tangen, yang bermaksud k = tg = f "(x 0).
Jadi, makna geometri bagi terbitan adalah seperti berikut:
Terbitan fungsi pada titik x 0 sama dengan kecerunan tangen kepada graf fungsi yang dilukis pada titik dengan absis x 0 .
3. Makna fizikal terbitan.
Pertimbangkan pergerakan titik sepanjang garis lurus. Biarkan koordinat titik pada bila-bila masa x(t) diberikan. Adalah diketahui (dari kursus fizik) bahawa kelajuan purata dalam satu tempoh masa adalah sama dengan nisbah jarak yang dilalui dalam tempoh masa ini kepada masa, i.e.
Vav = ∆x/∆t. Mari kita pergi ke had dalam kesamaan terakhir sebagai ∆t → 0.
lim Vav (t) = (t 0) - kelajuan serta merta pada masa t 0, ∆t → 0.
dan lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (mengikut takrif terbitan).
Jadi, (t) =x"(t).
Makna fizikal terbitan adalah seperti berikut: terbitan fungsiy = f(x) pada titikx 0 ialah kadar perubahan fungsif(x) pada titikx 0
Derivatif digunakan dalam fizik untuk mencari halaju daripada fungsi koordinat lawan masa yang diketahui, pecutan daripada fungsi halaju lawan masa yang diketahui.
(t) = x"(t) - kelajuan,
a(f) = "(t) - pecutan, atau
Jika hukum pergerakan titik bahan dalam bulatan diketahui, maka seseorang boleh mencari halaju sudut dan pecutan sudut semasa pergerakan putaran:
φ = φ(t) - perubahan sudut mengikut masa,
ω = φ"(t) - halaju sudut,
ε = φ"(t) - pecutan sudut, atau ε = φ"(t).
Jika hukum taburan jisim rod tidak homogen diketahui, maka ketumpatan linear rod tidak homogen boleh didapati:
m = m(x) - jisim,
x , l - panjang rod,
p = m"(x) - ketumpatan linear.
Menggunakan derivatif, masalah daripada teori keanjalan dan getaran harmonik diselesaikan. Jadi, mengikut undang-undang Hooke
F = -kx, x – koordinat pembolehubah, k – pekali keanjalan spring. Meletakkan ω 2 =k/m, kita memperoleh persamaan pembezaan bagi bandul spring x"(t) + ω 2 x(t) = 0,
di mana ω = √k/√m kekerapan ayunan (l/c), k - kekakuan spring (H/m).
Persamaan dalam bentuk y" + ω 2 y = 0 dipanggil persamaan ayunan harmonik (mekanikal, elektrik, elektromagnet). Penyelesaian kepada persamaan tersebut ialah fungsi
y = Asin(ωt + φ 0) atau y = Acos(ωt + φ 0), di mana
A - amplitud ayunan, ω - frekuensi kitaran,
φ 0 - fasa permulaan.
Menunjukkan perkaitan antara tanda terbitan dan sifat kemonotonan fungsi.
Sila berhati-hati tentang perkara berikut. Lihat, jadual APA diberikan kepada anda! Fungsi atau terbitannya
Jika diberi graf terbitan, maka kita hanya akan berminat dengan tanda fungsi dan sifar. Kami tidak berminat dengan mana-mana "bukit" atau "lubang" pada dasarnya!
Tugasan 1.
Rajah menunjukkan graf bagi fungsi yang ditakrifkan pada selang. Tentukan bilangan titik integer di mana terbitan fungsi adalah negatif.
Penyelesaian:
Dalam rajah, kawasan fungsi yang berkurangan diserlahkan dalam warna:
Kawasan penurunan fungsi ini mengandungi 4 nilai integer.
Tugasan 2.
Rajah menunjukkan graf bagi fungsi yang ditakrifkan pada selang. Cari bilangan titik di mana tangen kepada graf fungsi itu selari atau bertepatan dengan garis.
Penyelesaian:
Apabila tangen kepada graf fungsi selari (atau bertepatan) dengan garis lurus (atau, yang merupakan perkara yang sama), mempunyai cerun , sama dengan sifar, maka tangen juga mempunyai pekali sudut.
Ini pula bermakna tangen adalah selari dengan paksi, kerana cerun ialah tangen sudut kecondongan tangen kepada paksi.
Oleh itu, kita dapati titik ekstrem (mata maksimum dan minimum) pada graf - pada titik inilah fungsi tangen kepada graf akan selari dengan paksi.
Terdapat 4 mata sedemikian.
Tugasan 3.
Rajah menunjukkan graf terbitan bagi fungsi yang ditakrifkan pada selang. Cari bilangan titik di mana tangen kepada graf fungsi itu selari atau bertepatan dengan garis.
Penyelesaian:
Oleh kerana tangen kepada graf fungsi adalah selari (atau bertepatan) dengan garis yang mempunyai kecerunan, maka tangen juga mempunyai kecerunan.
Ini pula bermakna bahawa pada titik sentuhan.
Oleh itu, kita melihat berapa banyak titik pada graf mempunyai ordinat sama dengan .
Seperti yang anda lihat, terdapat empat perkara sedemikian.
Tugasan 4.
Rajah menunjukkan graf bagi fungsi yang ditakrifkan pada selang. Cari bilangan titik di mana terbitan fungsi itu ialah 0.
Penyelesaian:
Derivatif adalah sama dengan sifar pada titik ekstrem. Kami mempunyai 4 daripadanya:
Tugasan 5.
Rajah menunjukkan graf fungsi dan sebelas titik pada paksi-x:. Pada berapa banyak titik ini adalah terbitan bagi fungsi negatif?
Penyelesaian:
Pada selang fungsi menurun, terbitannya mengambil nilai negatif. Dan fungsi berkurangan pada titik. Terdapat 4 mata sedemikian.
Tugasan 6.
Rajah menunjukkan graf bagi fungsi yang ditakrifkan pada selang. Cari jumlah titik ekstrem bagi fungsi itu.
Penyelesaian:
Titik melampau– ini adalah mata maksimum (-3, -1, 1) dan mata minimum (-2, 0, 3).
Jumlah mata ekstrem: -3-1+1-2+0+3=-2.
Tugasan 7.
Rajah menunjukkan graf terbitan bagi fungsi yang ditakrifkan pada selang. Cari selang pertambahan fungsi. Dalam jawapan anda, nyatakan jumlah mata integer yang disertakan dalam selang ini.
Penyelesaian:
Angka itu menyerlahkan selang di mana terbitan fungsi itu bukan negatif.
Tiada titik integer pada selang peningkatan kecil terdapat empat nilai integer: , , dan .
Jumlah mereka:
Tugasan 8.
Rajah menunjukkan graf terbitan bagi fungsi yang ditakrifkan pada selang. Cari selang pertambahan fungsi. Dalam jawapan anda, nyatakan panjang yang terbesar.
Penyelesaian:
Dalam rajah, semua selang di mana terbitan positif diserlahkan dalam warna, yang bermaksud fungsi itu sendiri meningkat pada selang ini.
Panjang yang terbesar ialah 6.
Tugasan 9.
Rajah menunjukkan graf terbitan bagi fungsi yang ditakrifkan pada selang. Pada titik manakah pada segmen ia mengambil nilai yang paling besar?
Penyelesaian:
Mari lihat bagaimana graf berkelakuan pada segmen, yang merupakan perkara yang kita minati hanya tanda terbitan .
Tanda terbitan pada ialah tolak, kerana graf pada segmen ini berada di bawah paksi.