Selepas penyediaan artileri awal, contoh dengan 3-4-5 fungsi sarang akan menjadi kurang menakutkan. Dua contoh berikut mungkin kelihatan rumit kepada sesetengah orang, tetapi jika anda memahaminya (seseorang akan menderita), maka hampir semua perkara lain dalam kalkulus pembezaan akan kelihatan seperti jenaka kanak-kanak.
Contoh 2
Cari terbitan bagi suatu fungsi
Seperti yang telah dinyatakan, apabila mencari derivatif fungsi kompleks, pertama sekali, adalah perlu Betul FAHAM pelaburan anda. Dalam kes di mana terdapat keraguan, saya mengingatkan anda tentang teknik yang berguna: kami mengambil nilai percubaan "x", sebagai contoh, dan cuba (secara mental atau dalam draf) untuk menggantikan nilai ini ke dalam "ungkapan yang mengerikan".
1) Mula-mula kita perlu mengira ungkapan, yang bermaksud jumlahnya ialah pembenaman terdalam.
2) Kemudian anda perlu mengira logaritma:
4) Kemudian kubus kosinus:
5) Pada langkah kelima perbezaannya:
6) Dan akhirnya, fungsi terluar ialah punca kuasa dua: 
Formula untuk membezakan fungsi kompleks 
digunakan dalam susunan terbalik, dari fungsi paling luar hingga paling dalam. Kami memutuskan:
Nampaknya tiada ralat:
1) Ambil terbitan punca kuasa dua.
2) Ambil terbitan perbezaan menggunakan peraturan 
3) Terbitan bagi rangkap tiga ialah sifar. Dalam sebutan kedua kita mengambil terbitan darjah (kubus).
4) Ambil terbitan kosinus.
6) Dan akhirnya, kami mengambil terbitan daripada pembenaman terdalam.
Ia mungkin kelihatan terlalu sukar, tetapi ini bukanlah contoh yang paling kejam. Ambil, sebagai contoh, koleksi Kuznetsov dan anda akan menghargai semua keindahan dan kesederhanaan terbitan yang dianalisis. Saya perhatikan bahawa mereka suka memberikan perkara yang sama dalam peperiksaan untuk menyemak sama ada pelajar memahami cara mencari terbitan fungsi kompleks atau tidak faham.
Contoh berikut adalah untuk anda selesaikan sendiri.
Contoh 3
Cari terbitan bagi suatu fungsi
Petunjuk: Mula-mula kita menggunakan peraturan lineariti dan peraturan pembezaan produk
Penyelesaian penuh dan jawapan pada akhir pelajaran.
Sudah tiba masanya untuk beralih kepada sesuatu yang lebih kecil dan lebih bagus.
Ia bukan perkara biasa bagi contoh untuk menunjukkan hasil bukan dua, tetapi tiga fungsi. Bagaimana untuk mencari terbitan hasil darab tiga faktor?
Contoh 4
Cari terbitan bagi suatu fungsi 
Mula-mula kita lihat, adakah mungkin untuk menukar hasil darab tiga fungsi kepada hasil darab dua fungsi? Sebagai contoh, jika kita mempunyai dua polinomial dalam produk, kita boleh membuka kurungan. Tetapi dalam contoh yang sedang dipertimbangkan, semua fungsi adalah berbeza: darjah, eksponen dan logaritma.
Dalam kes sedemikian adalah perlu secara berurutan gunakan peraturan pembezaan produk 
dua kali
Caranya ialah dengan "y" kita menandakan hasil darab dua fungsi: , dan dengan "ve" kita menandakan logaritma: . Mengapa ini boleh dilakukan? Adakah ia benar-benar 
- ini bukan hasil dua faktor dan peraturan itu tidak berfungsi?! Tidak ada yang rumit:
Kini ia kekal untuk menggunakan peraturan untuk kali kedua untuk kurungan:
Anda juga boleh berpintal dan meletakkan sesuatu daripada kurungan, tetapi dalam kes ini, lebih baik untuk meninggalkan jawapan tepat dalam borang ini - lebih mudah untuk menyemak.
Contoh yang dipertimbangkan boleh diselesaikan dengan cara kedua:
Kedua-dua penyelesaian adalah benar-benar setara.
Contoh 5
Cari terbitan bagi suatu fungsi
Ini adalah contoh untuk penyelesaian bebas dalam sampel ia diselesaikan menggunakan kaedah pertama.
Mari kita lihat contoh serupa dengan pecahan.
Contoh 6
Cari terbitan bagi suatu fungsi 
Terdapat beberapa cara yang anda boleh pergi di sini:
Atau seperti ini:
Tetapi penyelesaiannya akan ditulis dengan lebih padat jika kita mula-mula menggunakan peraturan pembezaan hasil bagi 
, mengambil untuk keseluruhan pengangka:
Pada prinsipnya, contoh itu diselesaikan, dan jika dibiarkan begitu, ia tidak akan menjadi ralat. Tetapi jika anda mempunyai masa, anda dinasihatkan untuk menyemak draf untuk melihat sama ada jawapannya boleh dipermudahkan?
Mari kita kurangkan ungkapan pengangka kepada penyebut biasa dan singkirkan struktur tiga tingkat pecahan:
Kelemahan penyederhanaan tambahan ialah terdapat risiko membuat kesilapan bukan semasa mencari derivatif, tetapi semasa transformasi sekolah cetek. Sebaliknya, guru sering menolak tugasan dan meminta untuk "mengingatkannya" terbitan.
Contoh yang lebih mudah untuk diselesaikan sendiri:
Contoh 7
Cari terbitan bagi suatu fungsi
Kami terus menguasai kaedah mencari derivatif, dan kini kami akan mempertimbangkan kes biasa apabila logaritma "mengerikan" dicadangkan untuk pembezaan
Masalah mencari derivatif bagi fungsi yang diberikan adalah antara yang utama dalam kursus matematik sekolah menengah dan di institusi pengajian tinggi. Adalah mustahil untuk meneroka fungsi sepenuhnya dan membina grafnya tanpa mengambil terbitannya. Terbitan fungsi boleh didapati dengan mudah jika anda mengetahui peraturan asas pembezaan, serta jadual terbitan fungsi asas. Mari kita fikirkan cara untuk mencari terbitan fungsi.
Terbitan fungsi ialah had nisbah kenaikan fungsi kepada kenaikan argumen apabila kenaikan argumen cenderung kepada sifar.
Memahami definisi ini agak sukar, kerana konsep had tidak dipelajari sepenuhnya di sekolah. Tetapi untuk mencari derivatif pelbagai fungsi, tidak perlu memahami definisi; mari kita serahkan kepada ahli matematik dan terus mencari terbitan.
Proses mencari derivatif dipanggil pembezaan. Apabila kita membezakan fungsi, kita akan memperoleh fungsi baru.
Untuk menetapkannya, kami akan menggunakan huruf Latin f, g, dsb.
Terdapat banyak tatatanda yang berbeza untuk derivatif. Kami akan menggunakan pukulan. Sebagai contoh, menulis g" bermakna kita akan mencari terbitan bagi fungsi g.
Jadual terbitan
Untuk menjawab persoalan bagaimana mencari derivatif, adalah perlu untuk menyediakan jadual derivatif bagi fungsi utama. Untuk mengira derivatif fungsi asas, tidak perlu melakukan pengiraan yang kompleks. Cukup sekadar melihat nilainya dalam jadual derivatif.
- (dosa x)"=cos x
- (cos x)"= –sin x
- (x n)"=n x n-1
- (e x)"=e x
- (ln x)"=1/x
- (a x)"=a x ln a
- (log a x)"=1/x ln a
- (tg x)"=1/cos 2 x
- (ctg x)"= – 1/sin 2 x
- (arcsin x)"= 1/√(1-x 2)
- (arccos x)"= - 1/√(1-x 2)
- (arctg x)"= 1/(1+x 2)
- (arcctg x)"= - 1/(1+x 2)
Contoh 1. Cari terbitan bagi fungsi y=500.
Kami melihat bahawa ini adalah tetap. Daripada jadual derivatif diketahui bahawa terbitan pemalar adalah sama dengan sifar (formula 1).
Contoh 2. Cari terbitan bagi fungsi y=x 100.
Ini ialah fungsi kuasa yang eksponennya ialah 100, dan untuk mencari terbitannya, anda perlu mendarabkan fungsi dengan eksponen dan mengurangkannya dengan 1 (formula 3).
(x 100)"=100 x 99
Contoh 3. Cari terbitan bagi fungsi y=5 x
Ini ialah fungsi eksponen, mari kita hitung terbitannya menggunakan formula 4.
Contoh 4. Cari terbitan bagi fungsi y= log 4 x
Kami mencari terbitan logaritma menggunakan formula 7.
(log 4 x)"=1/x ln 4
Peraturan pembezaan
Sekarang mari kita fikirkan cara untuk mencari terbitan fungsi jika ia tiada dalam jadual. Kebanyakan fungsi yang dikaji bukan asas, tetapi merupakan gabungan fungsi asas menggunakan operasi mudah (tambah, tolak, darab, bahagi dan darab dengan nombor). Untuk mencari derivatif mereka, anda perlu mengetahui peraturan pembezaan. Di bawah, huruf f dan g menunjukkan fungsi, dan C ialah pemalar.
1. Pekali malar boleh dikeluarkan daripada tanda terbitan
Contoh 5. Cari terbitan bagi fungsi y= 6*x 8
Kami mengeluarkan faktor tetap 6 dan membezakan hanya x 4. Ini ialah fungsi kuasa, terbitan yang didapati menggunakan formula 3 jadual terbitan.
(6*x 8)" = 6*(x 8)"=6*8*x 7 =48* x 7
2. Terbitan jumlah adalah sama dengan hasil tambah terbitan
(f + g)"=f" + g"
Contoh 6. Cari terbitan bagi fungsi y= x 100 +sin x
Fungsi ialah hasil tambah dua fungsi, derivatif yang boleh kita temui daripada jadual. Oleh kerana (x 100)"=100 x 99 dan (sin x)"=cos x. Derivatif jumlah akan sama dengan jumlah derivatif ini:
(x 100 +sin x)"= 100 x 99 +cos x
3. Terbitan perbezaan adalah sama dengan perbezaan terbitan
(f – g)"=f" – g"
Contoh 7. Cari terbitan bagi fungsi y= x 100 – cos x
Fungsi ini ialah perbezaan dua fungsi, derivatifnya juga boleh kita temui daripada jadual. Maka terbitan perbezaan adalah sama dengan perbezaan derivatif dan jangan lupa untuk menukar tanda, kerana (cos x)"= – sin x.
(x 100 – cos x)"= 100 x 99 + sin x
Contoh 8. Cari terbitan bagi fungsi y=e x +tg x– x 2.
Fungsi ini mempunyai kedua-dua jumlah dan perbezaan, mari kita cari derivatif bagi setiap istilah:
(e x)"=e x, (tg x)"=1/cos 2 x, (x 2)"=2 x. Maka terbitan bagi fungsi asal adalah sama dengan:
(e x +tg x– x 2)"= e x +1/cos 2 x –2 x
4. Terbitan produk
(f * g)"=f" * g + f * g"
Contoh 9. Cari terbitan bagi fungsi y= cos x *e x
Untuk melakukan ini, kita mula-mula mencari terbitan bagi setiap faktor (cos x)"=–sin x dan (e x)"=e x. Sekarang mari kita gantikan semuanya ke dalam formula produk. Kami mendarabkan derivatif fungsi pertama dengan kedua dan menambah hasil darab fungsi pertama dengan terbitan kedua.
(cos x* e x)"= e x cos x – e x *sin x
5. Terbitan hasil bagi
(f / g)"= f" * g – f * g"/ g 2
Contoh 10. Cari terbitan bagi fungsi y= x 50 /sin x
Untuk mencari terbitan hasil bagi, mula-mula kita cari terbitan pengangka dan penyebut secara berasingan: (x 50)"=50 x 49 dan (sin x)"= cos x. Menggantikan terbitan hasil bagi ke dalam formula, kita dapat:
(x 50 /sin x)"= 50x 49 *sin x – x 50 *cos x/sin 2 x
Terbitan fungsi kompleks
Fungsi kompleks ialah fungsi yang diwakili oleh komposisi beberapa fungsi. Terdapat juga peraturan untuk mencari derivatif fungsi kompleks:
(u (v))"=u"(v)*v"
Mari kita fikirkan cara mencari terbitan bagi fungsi sedemikian. Biarkan y= u(v(x)) ialah fungsi kompleks. Mari kita panggil fungsi u luaran, dan v - dalaman.
Contohnya:
y=sin (x 3) ialah fungsi kompleks.
Maka y=sin(t) ialah fungsi luar
t=x 3 - dalaman.
Mari cuba kira terbitan bagi fungsi ini. Mengikut formula, anda perlu mendarabkan derivatif fungsi dalaman dan luaran.
(sin t)"=cos (t) - terbitan bagi fungsi luaran (di mana t=x 3)
(x 3)"=3x 2 - terbitan bagi fungsi dalaman
Kemudian (sin (x 3))"= cos (x 3)* 3x 2 ialah terbitan bagi fungsi kompleks.
Tarikh: 11/20/2014
Apakah derivatif?
Jadual derivatif.
Derivatif adalah salah satu konsep utama matematik yang lebih tinggi. Dalam pelajaran ini kita akan memperkenalkan konsep ini. Mari berkenalan, tanpa rumusan dan pembuktian matematik yang ketat.
Kenalan ini akan membolehkan anda:
Memahami intipati tugasan mudah dengan derivatif;
Selesaikan tugas paling mudah ini dengan jayanya;
Sediakan untuk pelajaran yang lebih serius tentang terbitan.
Pertama - kejutan yang menyenangkan.)
Definisi derivatif yang ketat adalah berdasarkan teori had dan perkara itu agak rumit. Ini menjengkelkan. Tetapi aplikasi praktikal derivatif, sebagai peraturan, tidak memerlukan pengetahuan yang begitu luas dan mendalam!
Untuk berjaya menyelesaikan kebanyakan tugas di sekolah dan universiti, sudah cukup untuk mengetahui hanya beberapa istilah- untuk memahami tugas, dan hanya beberapa peraturan- untuk menyelesaikannya. Itu sahaja. Ini membuatkan saya gembira.
Mari kita mula berkenalan?)
Terma dan sebutan.
Terdapat banyak operasi matematik yang berbeza dalam matematik asas. Penambahan, penolakan, pendaraban, eksponen, logaritma, dsb. Jika anda menambah satu lagi operasi pada operasi ini, matematik asas menjadi lebih tinggi. Operasi baru ini dipanggil pembezaan. Definisi dan maksud operasi ini akan dibincangkan dalam pelajaran berasingan.
Adalah penting untuk memahami di sini bahawa pembezaan hanyalah operasi matematik pada fungsi. Kami mengambil sebarang fungsi dan, mengikut peraturan tertentu, mengubahnya. Hasilnya akan menjadi fungsi baharu. Fungsi baru ini dipanggil: terbitan.
Pembezaan- tindakan pada fungsi.
Derivatif- hasil daripada tindakan ini.
Sama seperti, contohnya, jumlah- hasil penambahan. Ataupun persendirian- hasil pembahagian.
Mengetahui istilah, anda sekurang-kurangnya dapat memahami tugas.) Rumusannya adalah seperti berikut: cari terbitan bagi suatu fungsi; ambil derivatif; membezakan fungsi; mengira derivatif dll. Ini sahaja satu dan sama. Sudah tentu, terdapat juga tugas yang lebih kompleks, di mana mencari derivatif (pembezaan) akan menjadi salah satu langkah dalam menyelesaikan masalah.
Derivatif ditunjukkan dengan tanda sempang di bahagian atas sebelah kanan fungsi. seperti ini: y" atau f"(x) atau S"(t) dan seterusnya.
Membaca strok igrek, strok daripada x, strok daripada te, baik, anda faham...)
Perdana juga boleh menunjukkan terbitan bagi fungsi tertentu, contohnya: (2x+3)", (x 3 )" , (sinx)" dll. Selalunya derivatif dilambangkan menggunakan pembezaan, tetapi kami tidak akan mempertimbangkan tatatanda sedemikian dalam pelajaran ini.
Mari kita anggap bahawa kita telah belajar untuk memahami tugasan. Apa yang tinggal ialah belajar cara menyelesaikannya.) Biar saya ingatkan anda sekali lagi: mencari derivatif ialah transformasi fungsi mengikut peraturan tertentu. Yang menghairankan, terdapat sangat sedikit peraturan ini.
Untuk mencari terbitan fungsi, anda perlu mengetahui hanya tiga perkara. Tiga tiang di mana semua pembezaan berdiri. Inilah tiga tiang ini:
1. Jadual derivatif (formula pembezaan).
3. Terbitan bagi fungsi kompleks.
Mari kita mulakan mengikut urutan. Dalam pelajaran ini kita akan melihat jadual derivatif.
Jadual derivatif.
Terdapat bilangan fungsi yang tidak terhingga di dunia. Di antara set ini terdapat fungsi yang paling penting untuk kegunaan praktikal. Fungsi ini terdapat dalam semua undang-undang alam. Daripada fungsi ini, seperti dari batu bata, anda boleh membina semua yang lain. Kelas fungsi ini dipanggil fungsi asas. Fungsi-fungsi ini yang dipelajari di sekolah - linear, kuadratik, hiperbola, dll.
Pembezaan fungsi "dari awal", i.e. Berdasarkan definisi derivatif dan teori had, ini adalah perkara yang agak intensif buruh. Dan ahli matematik juga orang, ya, ya!) Jadi mereka memudahkan kehidupan mereka (dan kita). Mereka mengira derivatif fungsi asas sebelum kita. Hasilnya ialah jadual derivatif, di mana semuanya sudah sedia.)
Ini dia, plat ini untuk fungsi yang paling popular. Di sebelah kiri ialah fungsi asas, di sebelah kanan ialah derivatifnya.
| Fungsi y |
Terbitan fungsi y y" |
|
| 1 | C (nilai malar) | C" = 0 |
| 2 | x | x" = 1 |
| 3 | x n (n - sebarang nombor) | (x n)" = nx n-1 |
| x 2 (n = 2) | (x 2)" = 2x | |
 |
||
 |
 |
|
| 4 | dosa x | (dosa x)" = cosx |
| kerana x | (cos x)" = - dosa x | |
| tg x |  |
|
| ctg x |  |
|
| 5 | arcsin x |  |
| arccos x |  |
|
| arctan x |  |
|
| arcctg x |  |
|
| 4 | a x |  |
| e x | ||
| 5 | log a x |  |
| ln x ( a = e) |
Saya mengesyorkan memberi perhatian kepada kumpulan ketiga fungsi dalam jadual terbitan ini. Derivatif fungsi kuasa ialah salah satu formula yang paling biasa, jika bukan yang paling biasa! Adakah anda mendapat petunjuk?) Ya, adalah dinasihatkan untuk mengetahui jadual terbitan dengan teliti. By the way, ini tidaklah sesukar yang disangka. Cuba selesaikan lebih banyak contoh, jadual itu sendiri akan diingati!)
Mencari nilai jadual derivatif, seperti yang anda faham, bukanlah tugas yang paling sukar. Oleh itu, selalunya dalam tugas sedemikian terdapat cip tambahan. Sama ada dalam perkataan tugas, atau dalam fungsi asal, yang nampaknya tidak terdapat dalam jadual...
Mari lihat beberapa contoh:
1. Cari terbitan bagi fungsi y = x 3
Tiada fungsi sedemikian dalam jadual. Tetapi terdapat terbitan fungsi kuasa dalam bentuk umum (kumpulan ketiga). Dalam kes kami n=3. Jadi kita gantikan tiga dan bukannya n dan tuliskan hasilnya dengan teliti:
(x 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2
Itu sahaja.
Jawapan: y" = 3x 2
2. Cari nilai terbitan bagi fungsi y = sinx pada titik x = 0.
Tugas ini bermakna anda mesti mencari terbitan sinus, dan kemudian menggantikan nilainya x = 0 ke dalam derivatif ini. Tepat dalam susunan itu! Jika tidak, ia berlaku bahawa mereka segera menggantikan sifar ke dalam fungsi asal... Kami diminta untuk mencari bukan nilai fungsi asal, tetapi nilai terbitannya. Biar saya ingatkan anda bahawa derivatif ialah fungsi baharu.
Menggunakan tablet kita mencari sinus dan terbitan yang sepadan:
y" = (sin x)" = cosx
Kami menggantikan sifar ke dalam derivatif:
y"(0) = cos 0 = 1
Ini akan menjadi jawapannya.
3. Bezakan fungsi:
Apa, adakah ia memberi inspirasi?) Tiada fungsi sedemikian dalam jadual derivatif.
Izinkan saya mengingatkan anda bahawa untuk membezakan fungsi adalah semata-mata untuk mencari terbitan fungsi ini. Jika anda terlupa trigonometri asas, mencari derivatif fungsi kami agak menyusahkan. Meja tidak membantu...
Tetapi jika kita melihat bahawa fungsi kita adalah kosinus sudut berganda, maka semuanya menjadi lebih baik serta-merta!
Ya, ya! Ingat bahawa mengubah fungsi asal sebelum pembezaan agak boleh diterima! Dan ia berlaku untuk menjadikan hidup lebih mudah. Menggunakan formula kosinus sudut berganda:
Itu. fungsi rumit kami tidak lebih daripada y = cosx. Dan ini adalah fungsi jadual. Kami segera mendapat:
Jawapan: y" = - dosa x.
Contoh untuk graduan dan pelajar lanjutan:
4. Cari terbitan bagi fungsi:
Tiada fungsi sedemikian dalam jadual derivatif, sudah tentu. Tetapi jika anda masih ingat matematik asas, operasi dengan kuasa... Maka sangat mungkin untuk memudahkan fungsi ini. seperti ini:
Dan x kuasa satu persepuluh sudah menjadi fungsi jadual! Kumpulan ketiga, n=1/10. Kami menulis secara langsung mengikut formula:
Itu sahaja. Ini akan menjadi jawapannya.
Saya berharap segala-galanya jelas dengan tonggak pertama pembezaan - jadual derivatif. Ia kekal untuk berurusan dengan dua ikan paus yang tinggal. Dalam pelajaran seterusnya kita akan mempelajari peraturan pembezaan.
Dalam pelajaran ini kita akan belajar menggunakan formula dan peraturan pembezaan.
Contoh. Cari terbitan bagi fungsi.
1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Mengaplikasikan peraturan saya, formula 4, 2 dan 1. Kami mendapat:
y’=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.
2. y=3x 6 -2x+5. Kami menyelesaikan dengan cara yang sama, menggunakan formula dan formula yang sama 3.
y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.
Mengaplikasikan peraturan saya, formula 3, 5
Dan 6
Dan 1.
Mengaplikasikan peraturan IV, formula 5
Dan 1
.
Dalam contoh kelima, mengikut peraturan saya terbitan jumlah itu adalah sama dengan jumlah terbitan, dan kami baru menemui terbitan sebutan pertama (contoh 4 ), oleh itu, kita akan mencari derivatif ke-2 Dan ke-3 terma, dan untuk 1hb summand kita boleh segera menulis hasilnya.
Jom bezakan ke-2 Dan ke-3 istilah mengikut formula 4
. Untuk melakukan ini, kita menukar punca kuasa ketiga dan keempat dalam penyebut kepada kuasa dengan eksponen negatif, dan kemudian, mengikut 4
formula, kita dapati derivatif kuasa.
Lihat contoh ini dan hasilnya. Adakah anda menangkap coraknya? baiklah. Ini bermakna kami mempunyai formula baharu dan boleh menambahkannya pada jadual derivatif kami.
Mari kita selesaikan contoh keenam dan dapatkan formula lain.
Mari kita gunakan peraturan IV dan formula 4
. Mari kita kurangkan pecahan yang terhasil.
Mari kita lihat fungsi ini dan terbitannya. Anda, sudah tentu, memahami corak dan bersedia untuk menamakan formula:
Belajar formula baru!
Contoh.
1. Cari pertambahan hujah dan pertambahan fungsi y= x 2, jika nilai awal hujah adalah sama dengan 4 , dan baharu - 4,01 .
Penyelesaian.
Nilai hujah baharu x=x 0 +Δx. Mari kita gantikan data: 4.01=4+Δх, maka pertambahan hujah Δх=4.01-4=0.01. Kenaikan fungsi, mengikut definisi, adalah sama dengan perbezaan antara nilai baharu dan sebelumnya bagi fungsi tersebut, i.e. Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). Memandangkan kita mempunyai fungsi y=x2, Itu Δу=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =
2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.
Jawapan: pertambahan hujah Δх=0.01; kenaikan fungsi Δу=0,0801.
Kenaikan fungsi boleh didapati secara berbeza: Δy=y (x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4.01) -y(4)=4.01 2 -4 2 =16.0801-16=0.0801.
2. Cari sudut kecondongan tangen kepada graf fungsi itu y=f(x) pada titik x 0, Jika f "(x 0) = 1.
Penyelesaian.
Nilai terbitan pada titik tangen x 0 dan ialah nilai tangen sudut tangen (makna geometri terbitan). Kami ada: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°, kerana tg45°=1.
Jawapan: tangen kepada graf fungsi ini membentuk sudut dengan arah positif paksi Ox sama dengan 45°.
3. Terbitkan formula untuk terbitan fungsi y=xn.
Pembezaan ialah tindakan mencari terbitan bagi suatu fungsi.
Apabila mencari derivatif, gunakan formula yang diterbitkan berdasarkan takrifan derivatif, dengan cara yang sama seperti kami memperoleh formula untuk darjah derivatif: (x n)" = nx n-1.
Ini adalah formulanya.
Jadual derivatif Ia akan lebih mudah untuk menghafal dengan menyebut rumusan lisan:
1. Terbitan bagi kuantiti tetap ialah sifar.
2. X perdana adalah sama dengan satu.
3. Faktor malar boleh dikeluarkan daripada tanda terbitan.
4. Terbitan darjah adalah sama dengan hasil darab pangkat ini dengan darjah dengan asas yang sama, tetapi eksponennya kurang satu.
5. Terbitan punca adalah sama dengan satu dibahagikan dengan dua punca yang sama.
6. Terbitan satu dibahagikan dengan x adalah sama dengan tolak satu dibahagikan dengan x kuasa dua.
7. Terbitan sinus adalah sama dengan kosinus.
8. Terbitan kosinus adalah sama dengan tolak sinus.
9. Terbitan tangen adalah sama dengan satu dibahagikan dengan kuasa dua kosinus.
10. Terbitan kotangen adalah sama dengan tolak satu dibahagikan dengan kuasa dua sinus.
Kami mengajar peraturan pembezaan.
1.
Terbitan bagi hasil tambah algebra adalah sama dengan hasil tambah algebra terbitan bagi sebutan tersebut.
2. Terbitan produk adalah sama dengan hasil darab terbitan faktor pertama dan kedua ditambah hasil darab faktor pertama dan terbitan kedua.
3. Terbitan "y" dibahagikan dengan "ve" adalah sama dengan pecahan di mana pengangkanya ialah "y perdana didarab dengan "ve" tolak "y didarab dengan ve perdana", dan penyebutnya ialah "ve kuasa dua".
4. Kes khas formula 3.
Jom belajar sama-sama!
Muka surat 1 daripada 1 1
Di mana kami mengkaji derivatif yang paling mudah, dan juga membiasakan diri dengan peraturan pembezaan dan beberapa teknik teknikal untuk mencari derivatif. Oleh itu, jika anda tidak begitu mahir dengan derivatif fungsi atau beberapa perkara dalam artikel ini tidak sepenuhnya jelas, maka baca terlebih dahulu pelajaran di atas. Sila dapatkan suasana yang serius - bahannya tidak mudah, tetapi saya masih akan cuba membentangkannya secara ringkas dan jelas.
Dalam amalan, anda perlu berurusan dengan terbitan fungsi kompleks dengan kerap, malah saya akan katakan, hampir selalu, apabila anda diberi tugas untuk mencari derivatif.
Kami melihat jadual pada peraturan (No. 5) untuk membezakan fungsi kompleks:
Mari kita fikirkan. Pertama sekali, mari kita perhatikan entri tersebut. Di sini kita mempunyai dua fungsi – dan , dan fungsi itu, secara kiasan, bersarang dalam fungsi . Fungsi jenis ini (apabila satu fungsi bersarang dalam yang lain) dipanggil fungsi kompleks.
Saya akan memanggil fungsi itu fungsi luaran, dan fungsi – fungsi dalaman (atau bersarang)..
! Takrifan ini bukan teori dan tidak sepatutnya muncul dalam reka bentuk akhir tugasan. Saya menggunakan ungkapan tidak formal "fungsi luaran", fungsi "dalaman" hanya untuk memudahkan anda memahami bahan tersebut.
Untuk menjelaskan keadaan, pertimbangkan:
Contoh 1
Cari terbitan bagi suatu fungsi
Di bawah sinus kita mempunyai bukan sahaja huruf "X", tetapi keseluruhan ungkapan, jadi mencari terbitan terus dari jadual tidak akan berfungsi. Kami juga mendapati bahawa adalah mustahil untuk menggunakan empat peraturan pertama di sini, nampaknya terdapat perbezaan, tetapi hakikatnya adalah bahawa sinus tidak boleh "koyak menjadi kepingan":
Dalam contoh ini, sudah jelas secara intuitif daripada penjelasan saya bahawa fungsi ialah fungsi kompleks, dan polinomial ialah fungsi dalaman (pembenaman), dan fungsi luaran.
Langkah pertama perkara yang perlu anda lakukan apabila mencari terbitan bagi fungsi kompleks ialah faham mana fungsi dalaman dan luaran.
Dalam kes contoh mudah, nampak jelas bahawa polinomial tertanam di bawah sinus. Tetapi bagaimana jika semuanya tidak jelas? Bagaimana untuk menentukan dengan tepat fungsi mana yang luaran dan yang mana dalaman? Untuk melakukan ini, saya cadangkan menggunakan teknik berikut, yang boleh dilakukan secara mental atau dalam draf.
Mari kita bayangkan bahawa kita perlu menggunakan kalkulator untuk mengira nilai ungkapan di (bukannya satu boleh ada sebarang nombor).
Apa yang akan kita kira dahulu? Pertama sekali anda perlu melakukan tindakan berikut: , oleh itu polinomial akan menjadi fungsi dalaman: 
Kedua perlu dicari, jadi sinus – akan menjadi fungsi luaran: 
Selepas kita HABIS dengan fungsi dalaman dan luaran, sudah tiba masanya untuk menggunakan peraturan pembezaan fungsi kompleks 
.
Mari kita mula membuat keputusan. Daripada pelajaran Bagaimana untuk mencari derivatif? kami ingat bahawa reka bentuk penyelesaian kepada mana-mana derivatif sentiasa bermula seperti ini - kami melampirkan ungkapan dalam kurungan dan meletakkan pukulan di bahagian atas sebelah kanan:
Pada mulanya kita dapati terbitan bagi fungsi luaran (sinus), lihat jadual terbitan bagi fungsi asas dan perhatikan bahawa . Semua formula jadual juga boleh digunakan jika "x" digantikan dengan ungkapan kompleks, dalam kes ini:
Sila ambil perhatian bahawa fungsi dalaman tidak berubah, kami tidak menyentuhnya.
Nah, itu agak jelas
Hasil penggunaan formula 
dalam bentuk akhir ia kelihatan seperti ini:
Faktor malar biasanya diletakkan pada permulaan ungkapan:
Jika terdapat sebarang salah faham, tulis penyelesaiannya di atas kertas dan baca penjelasannya sekali lagi.
Contoh 2
Cari terbitan bagi suatu fungsi
Contoh 3
Cari terbitan bagi suatu fungsi
Seperti biasa, kami menulis: 
Mari kita fikirkan di mana kita mempunyai fungsi luaran dan di mana kita mempunyai fungsi dalaman. Untuk melakukan ini, kami cuba (secara mental atau dalam draf) untuk mengira nilai ungkapan pada . Apa yang perlu anda lakukan dahulu? Pertama sekali, anda perlu mengira apa asasnya sama dengan: oleh itu, polinomial ialah fungsi dalaman: 
Dan, barulah eksponenisasi dilakukan, oleh itu, fungsi kuasa ialah fungsi luaran: 
Mengikut formula 
, mula-mula anda perlu mencari derivatif fungsi luaran, dalam kes ini, darjah. Kami mencari formula yang diperlukan dalam jadual: . Kami ulang lagi: sebarang formula jadual adalah sah bukan sahaja untuk "X", tetapi juga untuk ungkapan yang kompleks. Oleh itu, hasil penggunaan peraturan untuk membezakan fungsi kompleks 
seterusnya:
Saya menekankan sekali lagi bahawa apabila kita mengambil terbitan fungsi luar, fungsi dalaman kita tidak berubah: 
Sekarang yang tinggal hanyalah untuk mencari derivatif yang sangat mudah bagi fungsi dalaman dan mengubah hasilnya sedikit:
Contoh 4
Cari terbitan bagi suatu fungsi
Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri (jawab di akhir pelajaran).
Untuk menyatukan pemahaman anda tentang derivatif fungsi kompleks, saya akan memberikan contoh tanpa ulasan, cuba fikirkan sendiri, sebab di mana luaran dan di mana fungsi dalaman, mengapa tugas diselesaikan dengan cara ini?
Contoh 5
a) Cari terbitan bagi fungsi itu
b) Cari terbitan bagi fungsi itu
Contoh 6
Cari terbitan bagi suatu fungsi 
Di sini kita mempunyai akar, dan untuk membezakan akar, ia mesti diwakili sebagai kuasa. Oleh itu, mula-mula kita bawa fungsi ke dalam bentuk yang sesuai untuk pembezaan:
Menganalisis fungsi, kita sampai pada kesimpulan bahawa jumlah tiga istilah adalah fungsi dalaman, dan menaikkan kuasa adalah fungsi luaran. Kami menggunakan peraturan pembezaan fungsi kompleks 
:
Kami sekali lagi mewakili darjah sebagai radikal (akar), dan untuk derivatif fungsi dalaman kami menggunakan peraturan mudah untuk membezakan jumlah:
sedia. Anda juga boleh mengurangkan ungkapan kepada penyebut biasa dalam kurungan dan menulis semuanya sebagai satu pecahan. Ia cantik, sudah tentu, tetapi apabila anda mendapat derivatif panjang yang menyusahkan, adalah lebih baik untuk tidak melakukan ini (mudah untuk keliru, membuat kesilapan yang tidak perlu, dan ia akan menyusahkan guru untuk menyemak).
Contoh 7
Cari terbitan bagi suatu fungsi
Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri (jawab di akhir pelajaran).
Adalah menarik untuk diperhatikan bahawa kadangkala bukannya peraturan untuk membezakan fungsi kompleks, anda boleh menggunakan peraturan untuk membezakan hasil bagi. 
, tetapi penyelesaian sedemikian akan kelihatan seperti penyelewengan yang luar biasa. Berikut adalah contoh biasa:
Contoh 8
Cari terbitan bagi suatu fungsi
Di sini anda boleh menggunakan peraturan pembezaan hasil bagi 
, tetapi adalah lebih menguntungkan untuk mencari derivatif melalui peraturan pembezaan fungsi kompleks:
Kami menyediakan fungsi untuk pembezaan - kami memindahkan tolak keluar dari tanda terbitan, dan menaikkan kosinus ke dalam pengangka:
Kosinus ialah fungsi dalaman, eksponensial ialah fungsi luaran.
Mari kita gunakan peraturan kita 
:
Kami mencari terbitan fungsi dalaman dan menetapkan semula kosinus ke bawah:
sedia. Dalam contoh yang dipertimbangkan, adalah penting untuk tidak keliru dalam tanda-tanda. Dengan cara ini, cuba selesaikan menggunakan peraturan 
, jawapan mesti sepadan.
Contoh 9
Cari terbitan bagi suatu fungsi
Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri (jawab di akhir pelajaran).
Setakat ini kami telah melihat kes di mana kami hanya mempunyai satu sarang dalam fungsi yang kompleks. Dalam tugas praktikal, anda sering boleh mencari derivatif, di mana, seperti anak patung bersarang, satu di dalam satu lagi, 3 atau bahkan 4-5 fungsi bersarang sekaligus.
Contoh 10
Cari terbitan bagi suatu fungsi
Mari kita fahami lampiran fungsi ini. Mari cuba mengira ungkapan menggunakan nilai eksperimen. Bagaimanakah kita akan bergantung pada kalkulator?
Mula-mula anda perlu mencari , yang bermaksud arcsine ialah benam paling dalam:
Lengkok satu ini kemudiannya hendaklah diduakan:
Dan akhirnya, kami meningkatkan tujuh kepada satu kuasa: 
Iaitu, dalam contoh ini kita mempunyai tiga fungsi berbeza dan dua embeddings, manakala fungsi paling dalam ialah arcsine, dan fungsi paling luar ialah fungsi eksponen.
Mari kita mula membuat keputusan
Mengikut peraturan 
Mula-mula anda perlu mengambil terbitan fungsi luar. Kami melihat jadual derivatif dan mencari derivatif bagi fungsi eksponen: Satu-satunya perbezaan ialah bukannya "x" kami mempunyai ungkapan kompleks, yang tidak menafikan kesahihan formula ini. Jadi, hasil daripada menggunakan peraturan untuk membezakan fungsi kompleks 
seterusnya.