Menyelesaikan persamaan dengan dua pembolehubah. Sistem dengan persamaan tak linear

Menyelesaikan persamaan dalam integer adalah salah satu masalah matematik tertua. Sudah pada awal milenium ke-2 SM. e. Orang Babylon tahu bagaimana untuk menyelesaikan sistem persamaan sedemikian dengan dua pembolehubah. Bidang matematik ini mencapai perkembangan terbesar di Yunani Purba. Sumber utama kami ialah Aritmetik Diophantus, yang mengandungi pelbagai jenis persamaan. Di dalamnya, Diophantus (selepas namanya, nama persamaannya ialah persamaan Diophantine) menjangkakan beberapa kaedah untuk mengkaji persamaan darjah ke-2 dan ke-3, yang hanya berkembang pada abad ke-19.

Persamaan Diophantine yang paling mudah ialah ax + y = 1 (persamaan dengan dua pembolehubah, darjah pertama) x2 + y2 = z2 (persamaan dengan tiga pembolehubah, darjah kedua)

Persamaan algebra telah dikaji sepenuhnya; penyelesaiannya merupakan salah satu masalah terpenting dalam algebra pada abad ke-16 dan ke-17.

Menjelang permulaan abad ke-19, karya P. Fermat, L. Euler, K. Gauss menyiasat persamaan Diophantine dalam bentuk: ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, di mana a, b, c , d, e, f ialah nombor; x, y pembolehubah tidak diketahui.

Ini ialah persamaan darjah ke-2 dengan dua yang tidak diketahui.

K. Gauss membangunkan teori umum bentuk kuadratik, yang merupakan asas untuk menyelesaikan beberapa jenis persamaan dengan dua pembolehubah (persamaan Diophantine). Terdapat sejumlah besar persamaan Diophantine tertentu yang boleh diselesaikan menggunakan kaedah asas. /p>

Bahan teori.

Dalam bahagian kerja ini, konsep asas matematik akan diterangkan, istilah akan ditakrifkan, dan teorem pengembangan akan dirumus menggunakan kaedah pekali tak tentu, yang telah dikaji dan dipertimbangkan semasa menyelesaikan persamaan dengan dua pembolehubah.

Definisi 1: Persamaan bentuk ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, dengan a, b, c, d, e, f ialah nombor; x, y pembolehubah yang tidak diketahui dipanggil persamaan darjah kedua dengan dua pembolehubah.

Dalam kursus matematik sekolah, persamaan kuadratik ax2 + bx + c = 0 dikaji, di mana a, b, c daripada nombor x ialah pembolehubah, dengan satu pembolehubah. Terdapat banyak cara untuk menyelesaikan persamaan ini:

1. Mencari akar menggunakan diskriminasi;

2. Mencari punca bagi pekali genap dalam (mengikut D1=);

3. Mencari punca menggunakan teorem Vieta;

4. Mencari punca dengan mengasingkan kuasa dua sempurna binomial.

Menyelesaikan persamaan bermakna mencari semua puncanya atau membuktikan bahawa ia tidak wujud.

Definisi 2: Punca persamaan ialah nombor yang, apabila digantikan dengan persamaan, membentuk kesamaan sebenar.

Definisi 3: Penyelesaian kepada persamaan dengan dua pembolehubah dipanggil sepasang nombor (x, y) apabila digantikan ke dalam persamaan, ia bertukar menjadi kesamaan sebenar.

Proses mencari penyelesaian kepada persamaan selalunya terdiri daripada menggantikan persamaan dengan persamaan yang setara, tetapi yang lebih mudah untuk diselesaikan. Persamaan sedemikian dipanggil setara.

Definisi 4: Dua persamaan dikatakan setara jika setiap penyelesaian bagi satu persamaan ialah penyelesaian bagi persamaan lain, dan sebaliknya, dan kedua-dua persamaan dianggap dalam domain yang sama.

Untuk menyelesaikan persamaan dengan dua pembolehubah, gunakan teorem pada penguraian persamaan menjadi jumlah kuasa dua lengkap (dengan kaedah pekali tak tentu).

Untuk persamaan tertib kedua ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 (1), pengembangan a(x + py + q)2 + r(y + s)2 + h (2) berlaku

Mari kita rumuskan keadaan di mana pengembangan (2) berlaku untuk persamaan (1) dua pembolehubah.

Teorem: Jika pekali a, b, c persamaan (1) memenuhi syarat a0 dan 4ab – c20, maka pengembangan (2) ditentukan dengan cara yang unik.

Dengan kata lain, persamaan (1) dengan dua pembolehubah boleh dikurangkan kepada bentuk (2) menggunakan kaedah pekali tak tentu jika syarat teorem dipenuhi.

Mari kita lihat contoh bagaimana kaedah pekali tak tentu dilaksanakan.

KAEDAH No 1. Selesaikan persamaan menggunakan kaedah pekali tidak ditentukan

2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.

1. Mari kita semak pemenuhan syarat teorem, a=2, b=1, c=2, yang bermaksud a=2.4av – c2= 4∙2∙1- 22= 40.

2. Syarat teorem dipenuhi; ia boleh dikembangkan mengikut formula (2).

3. 2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 2(x + py + q)2 + r(y + s)2 +h, berdasarkan syarat teorem, kedua-dua bahagian identiti adalah setara. Marilah kita permudahkan bahagian kanan identiti.

4. 2(x + py + q)2 + r(y +s)2 +h =

2(x2+ p2y2 + q2 + 2pxy + 2pqy + 2qx) + r(y2 + 2sy + s2) + h =

2x2+ 2p2y2 + 2q2 + 4pxy + 4pqy + 4qx + ry2 + 2rsy + rs2 + h =

X2(2) + y2(2p2 + r) + xy(4p) + x(4q) + y(4pq + 2rs) + (2q2 + rs2 + h).

5. Kami menyamakan pekali untuk pembolehubah yang sama dengan darjahnya.

x2 2 = 2 y21 = 2p2 + r) xy2 = 4p x2 = 4q y0 = 4pq + 2rs x01 = 2q2 + rs2 + h

6. Mari dapatkan sistem persamaan, selesaikan dan cari nilai pekali.

7. Gantikan pekali ke dalam (2), maka persamaan akan menjadi bentuk

2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 2(x + 0.5y + 0.5)2 + 0.5(y -1)2 +0

Oleh itu, persamaan asal adalah bersamaan dengan persamaan

2(x + 0.5y + 0.5)2 + 0.5(y -1)2 = 0 (3), persamaan ini bersamaan dengan sistem dua persamaan linear.

Jawapan: (-1; 1).

Jika anda memberi perhatian kepada jenis pengembangan (3), anda akan melihat bahawa ia adalah sama dalam bentuk untuk mengasingkan segi empat sama lengkap daripada persamaan kuadratik dengan satu pembolehubah: ax2 + inx + c = a(x +)2 +.

Mari gunakan teknik ini apabila menyelesaikan persamaan dengan dua pembolehubah. Mari kita selesaikan, menggunakan pemilihan segi empat sama lengkap, persamaan kuadratik dengan dua pembolehubah yang telah diselesaikan menggunakan teorem.

KAEDAH No. 2: Selesaikan persamaan 2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.

Penyelesaian: 1. Mari kita bayangkan 2x2 sebagai hasil tambah dua sebutan x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.

2. Mari kumpulkan istilah sedemikian supaya kita boleh melipatnya menggunakan formula segi empat sama lengkap.

(x2 + y2 + 2xy) + (x2 + 2x +1) = 0.

3. Pilih petak lengkap daripada ungkapan dalam kurungan.

(x + y)2 + (x + 1)2 = 0.

4. Persamaan ini bersamaan dengan sistem persamaan linear.

Jawapan: (-1;1).

Jika anda membandingkan keputusan, anda dapat melihat bahawa persamaan yang diselesaikan dengan kaedah No. 1 menggunakan teorem dan kaedah pekali tak tentu dan persamaan yang diselesaikan dengan kaedah No. 2 menggunakan pengekstrakan kuasa dua lengkap mempunyai punca yang sama.

Kesimpulan: Persamaan kuadratik dengan dua pembolehubah boleh dikembangkan menjadi jumlah kuasa dua dengan dua cara:

➢ Kaedah pertama ialah kaedah pekali tak tentu, yang berdasarkan teorem dan pengembangan (2).

➢ Cara kedua ialah menggunakan transformasi identiti yang membolehkan anda memilih petak lengkap berurutan.

Sudah tentu, apabila menyelesaikan masalah, kaedah kedua adalah lebih baik, kerana ia tidak memerlukan pengembangan menghafal (2) dan syarat.

Kaedah ini juga boleh digunakan untuk persamaan kuadratik dengan tiga pembolehubah. Mengasingkan kuasa dua sempurna dalam persamaan sedemikian adalah lebih intensif buruh. Saya akan melakukan transformasi jenis ini pada tahun hadapan.

Adalah menarik untuk diperhatikan bahawa fungsi yang mempunyai bentuk: f(x,y) = ax2 + vxy + cy2 + dx + ey + f dipanggil fungsi kuadratik bagi dua pembolehubah. Fungsi kuadratik memainkan peranan penting dalam pelbagai cabang matematik:

Dalam pengaturcaraan matematik (pengaturcaraan kuadratik)

Dalam algebra linear dan geometri (bentuk kuadratik)

Dalam teori persamaan pembezaan (mengurangkan persamaan linear tertib kedua kepada bentuk kanonik).

Apabila menyelesaikan pelbagai masalah ini, seseorang pada asasnya perlu menggunakan prosedur mengasingkan kuasa dua lengkap daripada persamaan kuadratik (satu, dua atau lebih pembolehubah).

Garisan yang persamaannya diterangkan oleh persamaan kuadratik dua pembolehubah dipanggil lengkung tertib kedua.

Ini adalah bulatan, elips, hiperbola.

Apabila membina graf bagi lengkung ini, kaedah mengasingkan segi empat sama lengkap secara berurutan juga digunakan.

Mari kita lihat bagaimana kaedah memilih petak lengkap secara berurutan berfungsi menggunakan contoh khusus.

Bahagian praktikal.

Selesaikan persamaan menggunakan kaedah mengasingkan segi empat sama lengkap secara berurutan.

1. 2x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0; x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0;

(x +1)2 + (x + y)2 = 0;

Jawapan:(-1;1).

2. x2 + 5y2 + 2xy + 4y + 1 = 0; x2 + 4y2 + y2 + 2xy + 4y + 1 = 0;

(x + y)2 + (2y + 1)2 = 0;

Jawapan:(0.5; - 0.5).

3. 3x2 + 4y2 - 6xy - 2y + 1 = 0;

3x2 + 3y2 + y2 – 6xy – 2y +1 = 0;

3x2 +3y2 – 6xy + y2 –2y +1 = 0;

3(x2 - 2xy + y2) + y2 - 2y + 1 = 0;

3(x2 - 2xy + y2)+(y2 - 2y + 1)=0;

3(x-y)2 + (y-1)2 = 0;

Jawapan:(-1;1).

Selesaikan persamaan:

1. 2x2 + 3y2 – 4xy + 6y +9 =0

(kurangkan kepada bentuk: 2(x-y)2 + (y +3)2 = 0)

Jawapan: (-3; -3)

2. – 3x2 – 2y2 – 6xy –2y + 1=0

(kurangkan kepada bentuk: -3(x+y)2 + (y –1)2= 0)

Jawapan: (-1; 1)

3. x2 + 3y2+2xy + 28y +98 =0

(kurangkan kepada bentuk: (x+y)2 +2(y+7)2 =0)

Jawapan: (7; -7)

Kesimpulan.

Dalam kerja saintifik ini, persamaan dengan dua pembolehubah darjah kedua telah dikaji dan kaedah untuk menyelesaikannya telah dipertimbangkan. Tugas telah selesai, kaedah penyelesaian yang lebih pendek telah dirumus dan diterangkan, berdasarkan mengasingkan kuasa dua lengkap dan menggantikan persamaan dengan sistem persamaan yang setara, hasilnya prosedur untuk mencari punca persamaan dengan dua pembolehubah telah telah dipermudahkan.

Perkara penting dalam kerja ini ialah teknik yang dimaksudkan digunakan apabila menyelesaikan pelbagai masalah matematik yang berkaitan dengan fungsi kuadratik, membina lengkung tertib kedua, dan mencari nilai ungkapan terbesar (terkecil).

Oleh itu, teknik penguraian persamaan tertib kedua dengan dua pembolehubah menjadi jumlah kuasa dua mempunyai aplikasi yang paling banyak dalam matematik.

Subjek:Fungsi linear

Pelajaran:Persamaan linear dalam dua pembolehubah dan grafnya

Kami menjadi biasa dengan konsep paksi koordinat dan satah koordinat. Kita tahu bahawa setiap titik pada satah secara unik mentakrifkan sepasang nombor (x; y), dengan nombor pertama ialah absis titik, dan yang kedua ialah ordinat.

Kita akan sering menemui persamaan linear dalam dua pembolehubah, penyelesaiannya ialah sepasang nombor yang boleh diwakili pada satah koordinat.

Persamaan bentuk:

Di mana a, b, c ialah nombor, dan

Ia dipanggil persamaan linear dengan dua pembolehubah x dan y. Penyelesaian kepada persamaan sedemikian ialah mana-mana pasangan nombor x dan y, menggantikan mana ke dalam persamaan itu kita akan memperoleh kesamaan berangka yang betul.

Sepasang nombor akan digambarkan pada satah koordinat sebagai titik.

Untuk persamaan sedemikian, kita akan melihat banyak penyelesaian, iaitu, banyak pasangan nombor, dan semua titik yang sepadan akan terletak pada garis lurus yang sama.

Mari lihat contoh:

Untuk mencari penyelesaian kepada persamaan ini anda perlu memilih pasangan nombor x dan y yang sepadan:

Biarkan , maka persamaan asal bertukar menjadi persamaan dengan satu yang tidak diketahui:

Iaitu, pasangan nombor pertama yang merupakan penyelesaian kepada persamaan (0; 3) yang diberikan. Kami mendapat titik A(0; 3)

biarlah . Kami mendapat persamaan asal dengan satu pembolehubah: , dari sini, kita mendapat titik B(3; 0)

Mari letakkan pasangan nombor dalam jadual:

Mari kita plot titik pada graf dan lukis garis lurus:

Perhatikan bahawa mana-mana titik pada garis tertentu akan menjadi penyelesaian kepada persamaan yang diberikan. Mari kita semak - ambil titik dengan koordinat dan gunakan graf untuk mencari koordinat kedua. Adalah jelas bahawa pada ketika ini. Mari kita gantikan pasangan nombor ini ke dalam persamaan. Kami mendapat 0=0 - kesamaan berangka yang betul, yang bermaksud titik yang terletak pada garis adalah penyelesaian.

Buat masa ini, kami tidak dapat membuktikan bahawa sebarang titik yang terletak pada garis yang dibina adalah penyelesaian kepada persamaan, jadi kami menerima ini sebagai benar dan akan membuktikannya kemudian.

Contoh 2 - graf persamaan:

Mari kita buat jadual; kita hanya memerlukan dua mata untuk membina garis lurus, tetapi kita akan mengambil yang ketiga untuk kawalan:

Dalam lajur pertama kami mengambil yang mudah, kami akan menemuinya daripada:

, ,

Dalam lajur kedua kami mengambil yang mudah, mari cari x:

, , ,

Mari semak dan cari:

, ,

Mari bina graf:

Mari kita darabkan persamaan yang diberikan dengan dua:

Daripada transformasi sedemikian, set penyelesaian tidak akan berubah dan graf akan kekal sama.

Kesimpulan: kami belajar menyelesaikan persamaan dengan dua pembolehubah dan membina graf mereka, kami mengetahui bahawa graf persamaan sedemikian ialah garis lurus dan mana-mana titik pada garis ini adalah penyelesaian kepada persamaan

1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. dan lain-lain. Algebra 7. edisi ke-6. M.: Pencerahan. 2010

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7. M.: VENTANA-GRAF

3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. dan lain-lain Algebra 7.M.: Pencerahan. 2006

2. Portal untuk tontonan keluarga ().

Tugasan 1: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7, No. 960, Seni 210;

Tugasan 2: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7, No. 961, Seni 210;

Tugasan 3: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7, No. 962, Seni 210;

Dalam kursus matematik gred 7, kami bertemu buat kali pertama persamaan dengan dua pembolehubah, tetapi ia hanya dikaji dalam konteks sistem persamaan dengan dua yang tidak diketahui. Itulah sebabnya satu siri masalah di mana syarat-syarat tertentu diperkenalkan pada pekali persamaan yang mengehadkannya tidak dapat dilihat. Selain itu, kaedah untuk menyelesaikan masalah seperti "Selesaikan persamaan dalam nombor asli atau integer" juga diabaikan, walaupun masalah seperti ini semakin kerap ditemui dalam bahan Peperiksaan Negeri Bersepadu dan dalam peperiksaan kemasukan.

Persamaan yang manakah akan dipanggil persamaan dengan dua pembolehubah?

Jadi, sebagai contoh, persamaan 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20, atau xy = 12 ialah persamaan dalam dua pembolehubah.

Pertimbangkan persamaan 2x – y = 1. Ia menjadi benar apabila x = 2 dan y = 3, jadi pasangan nilai pembolehubah ini adalah penyelesaian kepada persamaan yang dipersoalkan.

Oleh itu, penyelesaian kepada mana-mana persamaan dengan dua pembolehubah ialah satu set pasangan tertib (x; y), nilai pembolehubah yang menjadikan persamaan ini menjadi kesamaan berangka sebenar.

Persamaan dengan dua tidak diketahui boleh:

A) mempunyai satu penyelesaian. Contohnya, persamaan x 2 + 5y 2 = 0 mempunyai penyelesaian unik (0; 0);

b) mempunyai pelbagai penyelesaian. Contohnya, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 mempunyai 4 penyelesaian: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

V) tiada penyelesaian. Contohnya, persamaan x 2 + y 2 + 1 = 0 tidak mempunyai penyelesaian;

G) mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga. Sebagai contoh, x + y = 3. Penyelesaian kepada persamaan ini ialah nombor yang jumlahnya sama dengan 3. Set penyelesaian kepada persamaan ini boleh ditulis dalam bentuk (k; 3 – k), dengan k ialah sebarang nyata nombor.

Kaedah utama untuk menyelesaikan persamaan dengan dua pembolehubah ialah kaedah berdasarkan ungkapan pemfaktoran, mengasingkan kuasa dua lengkap, menggunakan sifat persamaan kuadratik, ungkapan terhad, dan kaedah anggaran. Persamaan biasanya ditukar kepada bentuk yang mana sistem untuk mencari yang tidak diketahui boleh diperolehi.

Pemfaktoran

Contoh 1.

Selesaikan persamaan: xy – 2 = 2x – y.

Penyelesaian.

Kami mengumpulkan syarat untuk tujuan pemfaktoran:

(xy + y) – (2x + 2) = 0. Daripada setiap kurungan kita ambil faktor sepunya:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y – 2) = 0. Kami ada:

y = 2, x – sebarang nombor nyata atau x = -1, y – sebarang nombor nyata.

Oleh itu, jawapannya ialah semua pasangan bentuk (x; 2), x € R dan (-1; y), y € R.

Kesamaan nombor bukan negatif kepada sifar

Contoh 2.

Selesaikan persamaan: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Penyelesaian.

Pengelompokan:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Kini setiap kurungan boleh dilipat menggunakan formula perbezaan kuasa dua.

(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.

Jumlah dua ungkapan bukan negatif adalah sifar hanya jika 3x – 2 = 0 dan 2y – 3 = 0.

Ini bermakna x = 2/3 dan y = 3/2.

Jawapan: (2/3; 3/2).

Kaedah anggaran

Contoh 3.

Selesaikan persamaan: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.

Penyelesaian.

Dalam setiap kurungan kami menyerlahkan petak lengkap:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Mari kita anggarkan maksud ungkapan dalam kurungan.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 dan (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, maka bahagian kiri persamaan sentiasa sekurang-kurangnya 2. Kesamaan adalah mungkin jika:

(x + 1) 2 + 1 = 1 dan (y – 2) 2 + 2 = 2, yang bermaksud x = -1, y = 2.

Jawapan: (-1; 2).

Mari kita berkenalan dengan kaedah lain untuk menyelesaikan persamaan dengan dua pembolehubah darjah kedua. Kaedah ini terdiri daripada merawat persamaan sebagai segi empat sama berkenaan dengan beberapa pembolehubah.

Contoh 4.

Selesaikan persamaan: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

Penyelesaian.

Mari kita selesaikan persamaan sebagai persamaan kuadratik untuk x. Mari cari yang membezakannya:

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Persamaan akan mempunyai penyelesaian hanya apabila D = 0, iaitu, jika y = 4. Kami menggantikan nilai y ke dalam persamaan asal dan mendapati bahawa x = 3.

Jawapan: (3; 4).

Selalunya dalam persamaan dengan dua yang tidak diketahui mereka menunjukkan sekatan ke atas pembolehubah.

Contoh 5.

Selesaikan persamaan dalam nombor bulat: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Penyelesaian.

Mari kita tulis semula persamaan dalam bentuk x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Bahagian kanan persamaan yang terhasil apabila dibahagikan dengan 5 memberikan baki 2. Oleh itu, x 2 tidak boleh dibahagikan dengan 5. Tetapi kuasa dua a nombor tidak boleh dibahagikan dengan 5 memberikan baki 1 atau 4. Oleh itu, kesamaan adalah mustahil dan tiada penyelesaian.

Jawapan: tiada akar.

Contoh 6.

Selesaikan persamaan: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

Penyelesaian.

Mari kita serlahkan petak lengkap dalam setiap kurungan:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Bahagian kiri persamaan sentiasa lebih besar daripada atau sama dengan 3. Kesamaan mungkin dengan syarat |x| – 2 = 0 dan y + 3 = 0. Oleh itu, x = ± 2, y = -3.

Jawapan: (2; -3) dan (-2; -3).

Contoh 7.

Bagi setiap pasangan integer negatif (x;y) yang memenuhi persamaan
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, hitung hasil tambah (x + y). Sila nyatakan jumlah terkecil dalam jawapan anda.

Penyelesaian.

Mari pilih petak lengkap:

(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Oleh kerana x dan y ialah integer, kuasa duanya juga adalah integer. Kami mendapat jumlah kuasa dua dua integer bersamaan dengan 37 jika kita menambah 1 + 36. Oleh itu:

(x – y) 2 = 36 dan (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 dan (y + 2) 2 = 36.

Menyelesaikan sistem ini dan mengambil kira bahawa x dan y adalah negatif, kita mencari penyelesaian: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Jawapan: -17.

Jangan putus asa jika anda menghadapi kesukaran menyelesaikan persamaan dengan dua perkara yang tidak diketahui. Dengan sedikit latihan, anda boleh mengendalikan sebarang persamaan.

Masih ada soalan? Tidak tahu bagaimana untuk menyelesaikan persamaan dalam dua pembolehubah?
Untuk mendapatkan bantuan daripada tutor -.
Pelajaran pertama adalah percuma!

blog.site, apabila menyalin bahan sepenuhnya atau sebahagian, pautan ke sumber asal diperlukan.

Persamaan tak linear dengan dua tidak diketahui

Definisi 1. Biarkan A sedikit set pasangan nombor (x; y). Mereka mengatakan bahawa set A diberikan fungsi angka z daripada dua pembolehubah

x dan y , jika peraturan ditentukan dengan bantuan setiap pasangan nombor daripada set A dikaitkan dengan nombor tertentu. Menentukan fungsi berangka z bagi dua pembolehubah x dan y selalunya menandakan

Jadi: di mana (x , y) f

di mana (x , y) = – sebarang fungsi selain daripada fungsi ,

ax+oleh+c

di mana a, b, c diberi nombor. Definisi 3. Menyelesaikan persamaan (2) x; y panggil sepasang nombor (

), yang mana formula (2) ialah kesamaan sebenar.

Contoh 1. Selesaikan persamaan

Oleh kerana kuasa dua mana-mana nombor adalah bukan negatif, ia mengikuti daripada formula (4) bahawa x dan y yang tidak diketahui memenuhi sistem persamaan.

penyelesaiannya ialah pasangan nombor (6; 3).

Jawapan: (6; 3)

Contoh 2. Selesaikan persamaan Oleh itu, penyelesaian kepada persamaan (6) ialah bilangan pasangan nombor yang tidak terhingga

(1 + y ; y) ,

baik hati

di mana y ialah sebarang nombor.

linear Definisi 4.

Menyelesaikan sistem persamaan x; y panggil sepasang nombor (

) , apabila menggantikannya ke dalam setiap persamaan sistem ini, kesamaan yang betul diperolehi.

Sistem dua persamaan, satu daripadanya adalah linear, mempunyai bentuk(x , y)

Contoh 4. Menyelesaikan sistem persamaan

Penyelesaian . Mari kita ungkapkan y yang tidak diketahui daripada persamaan pertama sistem (7) melalui x yang tidak diketahui dan gantikan ungkapan yang terhasil ke dalam persamaan kedua sistem:

x 1 = - 1 , x 2 = 9 .

Menyelesaikan persamaan

y 1 = 8 - x 1 = 9 ,
y 2 = 8 - x 2 = - 1 .

Oleh itu,

Sistem dua persamaan, satu daripadanya adalah homogen

Sistem dua persamaan, satu daripadanya adalah homogen, mempunyai bentuk Sistem dua persamaan, satu daripadanya adalah linear, mempunyai bentuk(x , y) di mana a, b, c diberi nombor, dan

– fungsi dua pembolehubah x dan y.

Contoh 6. Menyelesaikan sistem persamaan

3x 2 + 2Penyelesaian . Mari kita selesaikan persamaan homogen - y 2 = 0 ,

3x 2 + 17Penyelesaian . Mari kita selesaikan persamaan homogen + 10y 2 = 0 ,

menganggapnya sebagai persamaan kuadratik berkenaan dengan x yang tidak diketahui: x = - 5y Dalam kes

5y 2 = - 20 ,

, daripada persamaan kedua sistem (11) kita memperoleh persamaan

yang tidak mempunyai akar.

Dalam kes

daripada persamaan kedua sistem (11) kita memperoleh persamaan y 1 = 3 , y 2 = - 3 . Mencari untuk setiap nilai ini y nilai x yang sepadan, kami memperoleh dua penyelesaian kepada sistem: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3) .

Jawapan: (- 2 ; 3), (2 ; - 3)

Contoh penyelesaian sistem persamaan jenis lain

Contoh 8. Selesaikan sistem persamaan (MIPT)

Penyelesaian . Marilah kita memperkenalkan u dan v yang tidak diketahui baru, yang dinyatakan melalui x dan y mengikut formula:

Untuk menulis semula sistem (12) dari segi yang tidak diketahui baru, kami mula-mula menyatakan x dan y yang tidak diketahui dalam sebutan u dan v. Daripada sistem (13) ia mengikutinya

Mari kita selesaikan sistem linear (14) dengan menghapuskan pembolehubah x daripada persamaan kedua sistem ini.

Untuk tujuan ini, kami melakukan transformasi berikut pada sistem (14):
Kami akan membiarkan persamaan pertama sistem tidak berubah;

daripada persamaan kedua kita tolak persamaan pertama dan gantikan persamaan kedua sistem dengan perbezaan yang terhasil.

Akibatnya, sistem (14) diubah menjadi sistem yang setara

dari mana kita dapati

Menggunakan formula (13) dan (15), kami menulis semula sistem asal (12) dalam bentuk

Persamaan pertama sistem (16) adalah linear, jadi kita boleh menyatakan daripadanya u yang tidak diketahui melalui v yang tidak diketahui dan menggantikan ungkapan ini ke dalam persamaan kedua sistem.

Arahan
Kaedah PenggantianUngkapkan satu pembolehubah dan gantikannya kepada persamaan yang lain. Anda boleh menyatakan sebarang pembolehubah mengikut budi bicara anda. Sebagai contoh, nyatakan y daripada persamaan kedua:
x-y=2 => y=x-2Kemudian gantikan semuanya ke dalam persamaan pertama:
2x+(x-2)=10 Gerakkan semuanya tanpa “x” ke sebelah kanan dan hitung:
2x+x=10+2
3x=12 Seterusnya, untuk mendapatkan x, bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan 3:
x=4 Jadi, anda mendapati “x. Cari "y. Untuk melakukan ini, gantikan "x" ke dalam persamaan yang anda nyatakan "y":
y=x-2=4-2=2

y=2.
2*4+2=10
4-2=2
Buat pemeriksaan. Untuk melakukan ini, gantikan nilai yang terhasil ke dalam persamaan:

Yang tidak diketahui telah ditemui dengan betul!
Satu cara untuk menambah atau menolak persamaan Singkirkan sebarang pembolehubah dengan segera. Dalam kes kami, ini lebih mudah dilakukan dengan "y.
Oleh kerana dalam "y terdapat tanda "+", dan dalam yang kedua "-", maka anda boleh melakukan operasi penambahan, i.e. Kami menambah bahagian kiri ke kiri, dan kanan ke kanan:
2x+y+(x-y)=10+2Tukar:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4Ganti "x" ke dalam mana-mana persamaan dan cari "y":
2*4+y=10
8+y=10
y=10-8

y=2Dengan kaedah pertama anda boleh melihat bahawa ia didapati dengan betul.
Sekiranya tidak ada pembolehubah yang jelas, maka perlu mengubah sedikit persamaan.
Dalam persamaan pertama kita mempunyai "2x", dan dalam persamaan kedua kita hanya mempunyai "x". Agar x dikurangkan semasa penambahan, darabkan persamaan kedua dengan 2:
x-y=2
2x+y-(2x-2y)=10-4 Perhatikan bahawa jika terdapat tolak sebelum kurungan, maka selepas dibuka, tukarkannya kepada sebaliknya:
2x+y-2x+2y=6
3у=6
cari y=2x dengan menyatakan daripada sebarang persamaan, i.e.
x=4

Video mengenai topik

Petua 2: Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan linear dalam dua pembolehubah

Persamaan, ditulis dalam bentuk am ax+bу+c=0, dipanggil persamaan linear dengan dua pembolehubah. Persamaan sedemikian itu sendiri mengandungi bilangan penyelesaian yang tidak terhingga, jadi dalam masalah ia sentiasa ditambah dengan sesuatu - persamaan lain atau syarat mengehadkan. Bergantung kepada syarat yang disediakan oleh masalah, selesaikan persamaan linear dengan dua pembolehubah mengikuti dengan cara yang berbeza.

Anda akan perlukan

- persamaan linear dengan dua pembolehubah;
- persamaan kedua atau syarat tambahan.

Diberi sistem dua persamaan linear, selesaikannya seperti berikut. Pilih satu daripada persamaan di mana pekalinya pembolehubah lebih kecil dan nyatakan salah satu pembolehubah, contohnya, x. Kemudian gantikan nilai yang mengandungi y ini ke dalam persamaan kedua. Dalam persamaan yang terhasil hanya akan ada satu pembolehubah y, gerakkan semua bahagian dengan y ke sebelah kiri, dan yang bebaskan ke kanan. Cari y dan gantikan kepada mana-mana persamaan asal untuk mencari x.

Terdapat satu lagi cara untuk menyelesaikan sistem dua persamaan. Darab satu daripada persamaan dengan nombor supaya pekali salah satu pembolehubah, seperti x, adalah sama dalam kedua-dua persamaan. Kemudian tolak satu daripada persamaan daripada yang lain (jika bahagian kanan tidak sama dengan 0, ingat untuk menolak bahagian kanan dengan cara yang sama). Anda akan melihat bahawa pembolehubah x telah hilang dan hanya tinggal satu pembolehubah y. Selesaikan persamaan yang terhasil, dan gantikan nilai y yang ditemui ke dalam mana-mana kesamaan asal. Cari x.

Cara ketiga untuk menyelesaikan sistem dua persamaan linear ialah grafik. Lukis sistem koordinat dan graf dua garis yang persamaannya diberikan dalam sistem anda. Untuk melakukan ini, gantikan mana-mana dua nilai x ke dalam persamaan dan cari y yang sepadan - ini akan menjadi koordinat titik kepunyaan garis. Cara paling mudah untuk mencari persilangan dengan paksi koordinat adalah dengan hanya menggantikan nilai x=0 dan y=0. Koordinat titik persilangan kedua-dua garis ini akan menjadi tugas.

Jika terdapat hanya satu persamaan linear dalam keadaan masalah, maka anda telah diberikan syarat tambahan yang melaluinya anda boleh mencari penyelesaian. Baca masalah dengan teliti untuk mencari syarat ini. Jika pembolehubah x dan y menunjukkan jarak, kelajuan, berat - jangan ragu untuk menetapkan had x≥0 dan y≥0. Ada kemungkinan x atau y menyembunyikan bilangan epal, dsb. – maka nilai hanya boleh . Jika x adalah umur anak lelaki, jelas bahawa dia tidak boleh lebih tua daripada bapanya, jadi nyatakan ini dalam keadaan masalah.

Sumber:

bagaimana untuk menyelesaikan persamaan dengan satu pembolehubah

Dengan sendirinya persamaan dengan tiga tidak diketahui mempunyai banyak penyelesaian, jadi selalunya ia ditambah dengan dua lagi persamaan atau syarat. Bergantung pada data awal, perjalanan keputusan akan bergantung pada sebahagian besarnya.

Anda akan perlukan

- sistem tiga persamaan dengan tiga tidak diketahui.

Jika dua daripada tiga sistem hanya mempunyai dua daripada tiga yang tidak diketahui, cuba nyatakan beberapa pembolehubah dari segi yang lain dan gantikannya ke dalam persamaan dengan tiga tidak diketahui. Matlamat anda dalam kes ini adalah untuk mengubahnya menjadi normal persamaan dengan orang yang tidak dikenali. Jika ini , penyelesaian selanjutnya agak mudah - gantikan nilai yang ditemui ke dalam persamaan lain dan cari semua yang tidak diketahui lain.

Sesetengah sistem persamaan boleh ditolak daripada satu persamaan dengan persamaan yang lain. Lihat jika mungkin untuk mendarab satu daripada atau pembolehubah supaya dua yang tidak diketahui dibatalkan sekaligus. Jika ada peluang sedemikian, ambil kesempatan daripadanya, kemungkinan besar, penyelesaian seterusnya tidak akan sukar. Ingat bahawa apabila mendarab dengan nombor, anda mesti mendarab kedua-dua bahagian kiri dan bahagian kanan. Begitu juga, apabila menolak persamaan, anda mesti ingat bahawa bahagian kanan juga mesti ditolak.

Jika kaedah sebelumnya tidak membantu, gunakan kaedah umum untuk menyelesaikan sebarang persamaan dengan tiga tidak diketahui. Untuk melakukan ini, tulis semula persamaan dalam bentuk a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3. Sekarang buat matriks pekali untuk x (A), matriks yang tidak diketahui (X) dan matriks pembolehubah bebas (B). Sila ambil perhatian bahawa dengan mendarab matriks pekali dengan matriks tidak diketahui, anda akan mendapat matriks sebutan bebas, iaitu, A*X=B.

Cari matriks A kepada kuasa (-1) dengan mencari dahulu , ambil perhatian bahawa ia tidak sepatutnya sama dengan sifar. Selepas ini, darabkan matriks yang terhasil dengan matriks B, hasilnya anda akan menerima matriks X yang dikehendaki, menunjukkan semua nilai.

Anda juga boleh mencari penyelesaian kepada sistem tiga persamaan menggunakan kaedah Cramer. Untuk melakukan ini, cari penentu tertib ketiga ∆ sepadan dengan matriks sistem. Kemudian secara berturut-turut cari tiga lagi penentu ∆1, ∆2 dan ∆3, menggantikan nilai sebutan bebas dan bukannya nilai lajur yang sepadan. Sekarang cari x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Sumber:

penyelesaian kepada persamaan dengan tiga yang tidak diketahui

Menyelesaikan sistem persamaan adalah mencabar dan mengujakan. Lebih kompleks sistem, lebih menarik untuk menyelesaikannya. Selalunya dalam matematik sekolah menengah terdapat sistem persamaan dengan dua yang tidak diketahui, tetapi dalam matematik yang lebih tinggi mungkin terdapat lebih banyak pembolehubah. Sistem boleh diselesaikan menggunakan beberapa kaedah.

Kaedah yang paling biasa untuk menyelesaikan sistem persamaan ialah penggantian. Untuk melakukan ini, anda perlu menyatakan satu pembolehubah dari segi yang lain dan menggantikannya dengan yang kedua persamaan sistem, dengan itu memimpin persamaan kepada satu pembolehubah. Sebagai contoh, diberikan persamaan berikut: 2x-3y-1=0;x+y-3=0.

Daripada ungkapan kedua adalah mudah untuk menyatakan salah satu pembolehubah, memindahkan semua yang lain ke sebelah kanan ungkapan, tidak lupa untuk menukar tanda pekali: x = 3-y.

Buka kurungan: 6-2y-3y-1=0;-5y+5=0;y=1 Kami menggantikan nilai y yang terhasil ke dalam ungkapan: x=3-y;x=3-1;x=2. .

Dalam ungkapan pertama, semua sebutan ialah 2, anda boleh mengeluarkan 2 daripada kurungan kepada sifat taburan pendaraban: 2*(2x-y-3)=0. Sekarang kedua-dua bahagian ungkapan boleh dikurangkan dengan nombor ini, dan kemudian dinyatakan sebagai y, kerana pekali modulus untuknya adalah sama dengan satu: -y = 3-2x atau y = 2x-3.

Sama seperti dalam kes pertama, kami menggantikan ungkapan ini ke dalam yang kedua persamaan dan kita dapat: 3x+2*(2x-3)-8=0;3x+4x-6-8=0;7x-14=0;7x=14;x=2 Gantikan nilai yang terhasil ke dalam ungkapan: y=2x -3;y=4-3=1.

Kita melihat bahawa pekali untuk y adalah sama dalam nilai, tetapi berbeza dalam tanda, oleh itu, jika kita menambah persamaan ini, kita akan menyingkirkan sepenuhnya y: 4x+3x-2y+2y-6-8=0; 14=0; x=2 Gantikan nilai x ke dalam mana-mana dua persamaan sistem dan dapatkan y=1.

Video mengenai topik

Biquadratik persamaan mewakili persamaan darjah keempat, bentuk amnya diwakili oleh ungkapan ax^4 + bx^2 + c = 0. Penyelesaiannya adalah berdasarkan penggunaan kaedah penggantian yang tidak diketahui. Dalam kes ini, x^2 digantikan dengan pembolehubah lain. Oleh itu, hasilnya adalah segi empat sama biasa persamaan, yang perlu diselesaikan.

Selesaikan kuadratik persamaan, hasil daripada penggantian. Untuk melakukan ini, mula-mula hitung nilai mengikut formula: D = b^2? 4ac. Dalam kes ini, pembolehubah a, b, c ialah pekali persamaan kita.

Cari punca bagi persamaan biquadratik. Untuk melakukan ini, ambil punca kuasa dua penyelesaian yang diperolehi. Jika terdapat satu penyelesaian, maka akan ada dua - nilai positif dan negatif punca kuasa dua. Jika terdapat dua penyelesaian, persamaan biquadratik akan mempunyai empat punca.

Video mengenai topik

Salah satu kaedah klasik untuk menyelesaikan sistem persamaan linear ialah kaedah Gauss. Ia terdiri daripada penghapusan berurutan pembolehubah, apabila sistem persamaan menggunakan transformasi mudah diubah menjadi sistem berperingkat, dari mana semua pembolehubah ditemui secara berurutan, bermula dengan yang terakhir.

Pertama, bawa sistem persamaan ke dalam bentuk di mana semua yang tidak diketahui berada dalam susunan yang ditetapkan dengan ketat. Sebagai contoh, semua X yang tidak diketahui akan muncul pertama pada setiap baris, semua Y akan datang selepas X, semua Z akan datang selepas Y, dan seterusnya. Seharusnya tidak ada yang tidak diketahui di sebelah kanan setiap persamaan. Tentukan secara mental pekali di hadapan setiap yang tidak diketahui, serta pekali di sebelah kanan setiap persamaan.