Persamaan linear dalam dua pembolehubah ialah sebarang persamaan yang mempunyai bentuk berikut: a*x + b*y =с. Di sini x dan y ialah dua pembolehubah, a,b,c ialah beberapa nombor.
Di bawah adalah beberapa contoh persamaan linear.
1. 10*x + 25*y = 150;
Seperti persamaan dengan satu tidak diketahui, persamaan linear dengan dua pembolehubah (tidak diketahui) juga mempunyai penyelesaian. Contohnya, persamaan linear x-y=5, dengan x=8 dan y=3 bertukar menjadi identiti yang betul 8-3=5. Dalam kes ini, pasangan nombor x=8 dan y=3 dikatakan sebagai penyelesaian kepada persamaan linear x-y=5. Anda juga boleh mengatakan bahawa sepasang nombor x=8 dan y=3 memenuhi persamaan linear x-y=5.
Menyelesaikan Persamaan Linear
Oleh itu, penyelesaian kepada persamaan linear a*x + b*y = c ialah sebarang pasangan nombor (x,y) yang memenuhi persamaan ini, iaitu menukarkan persamaan dengan pembolehubah x dan y menjadi kesamaan berangka yang betul. Perhatikan bagaimana pasangan nombor x dan y ditulis di sini. Entri ini lebih pendek dan lebih mudah. Anda hanya perlu ingat bahawa tempat pertama dalam rekod sedemikian ialah nilai pembolehubah x, dan yang kedua ialah nilai pembolehubah y.
Sila ambil perhatian bahawa nombor x=11 dan y=8, x=205 dan y=200 x= 4.5 dan y= -0.5 juga memenuhi persamaan linear x-y=5, dan oleh itu adalah penyelesaian kepada persamaan linear ini.
Menyelesaikan persamaan linear dengan dua yang tidak diketahui bukan satu-satunya. Setiap persamaan linear dalam dua yang tidak diketahui mempunyai banyak penyelesaian yang berbeza. Iaitu, ada tak terhingga banyak berbeza dua nombor x dan y yang menukarkan persamaan linear kepada identiti sebenar.
Jika beberapa persamaan dengan dua pembolehubah mempunyai penyelesaian yang sama, maka persamaan tersebut dipanggil persamaan setara. Perlu diingatkan bahawa jika persamaan dengan dua tidak diketahui tidak mempunyai penyelesaian, maka ia juga dianggap setara.
Sifat asas persamaan linear dengan dua tidak diketahui
1. Mana-mana istilah dalam persamaan boleh dipindahkan dari satu bahagian ke bahagian yang lain, tetapi perlu menukar tandanya kepada sebaliknya. Persamaan yang terhasil akan bersamaan dengan yang asal.
2. Kedua-dua belah persamaan boleh dibahagikan dengan sebarang nombor yang bukan sifar. Akibatnya, kita memperoleh persamaan yang setara dengan yang asal.
Menyelesaikan persamaan dalam integer adalah salah satu masalah matematik tertua. Sudah pada awal milenium ke-2 SM. e. Orang Babylon tahu bagaimana untuk menyelesaikan sistem persamaan sedemikian dengan dua pembolehubah. Bidang matematik ini mencapai perkembangan terbesar di Greece Purba. Sumber utama kami ialah Aritmetik Diophantus, yang mengandungi pelbagai jenis persamaan. Di dalamnya, Diophantus (selepas namanya, nama persamaannya ialah persamaan Diophantine) menjangkakan beberapa kaedah untuk mengkaji persamaan darjah ke-2 dan ke-3, yang hanya berkembang pada abad ke-19.
Persamaan Diophantine yang paling mudah ialah ax + y = 1 (persamaan dengan dua pembolehubah, darjah pertama) x2 + y2 = z2 (persamaan dengan tiga pembolehubah, darjah kedua)
Persamaan algebra telah dikaji sepenuhnya; penyelesaiannya adalah salah satu masalah terpenting dalam algebra pada abad ke-16 dan ke-17.
Menjelang permulaan abad ke-19, karya P. Fermat, L. Euler, K. Gauss menyiasat persamaan Diophantine dalam bentuk: ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, di mana a, b, c , d, e, f ialah nombor; x, y pembolehubah tidak diketahui.
Ini ialah persamaan darjah ke-2 dengan dua yang tidak diketahui.
K. Gauss membangunkan teori umum bentuk kuadratik, yang merupakan asas untuk menyelesaikan beberapa jenis persamaan dengan dua pembolehubah (persamaan Diophantine). Terdapat sejumlah besar persamaan Diophantine tertentu yang boleh diselesaikan menggunakan kaedah asas. /p>
Bahan teori.
Dalam bahagian kerja ini, konsep asas matematik akan diterangkan, istilah akan ditakrifkan, dan teorem pengembangan akan dirumus menggunakan kaedah pekali tak tentu, yang telah dikaji dan dipertimbangkan semasa menyelesaikan persamaan dengan dua pembolehubah.
Definisi 1: Persamaan bentuk ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, dengan a, b, c, d, e, f ialah nombor; x, y pembolehubah yang tidak diketahui dipanggil persamaan darjah kedua dengan dua pembolehubah.
Dalam kursus matematik sekolah, persamaan kuadratik ax2 + bx + c = 0 dikaji, di mana a, b, c nombor x ialah pembolehubah, dengan satu pembolehubah. Terdapat banyak cara untuk menyelesaikan persamaan ini:
1. Mencari akar menggunakan diskriminasi;
2. Mencari punca bagi pekali genap dalam (mengikut D1=);
3. Mencari punca menggunakan teorem Vieta;
4. Mencari punca dengan mengasingkan kuasa dua sempurna binomial.
Menyelesaikan persamaan bermakna mencari semua puncanya atau membuktikan bahawa ia tidak wujud.
Definisi 2: Punca persamaan ialah nombor yang, apabila digantikan dengan persamaan, membentuk kesamaan sebenar.
Definisi 3: Penyelesaian kepada persamaan dengan dua pembolehubah dipanggil sepasang nombor (x, y) apabila digantikan ke dalam persamaan, ia bertukar menjadi kesamaan sebenar.
Proses mencari penyelesaian kepada persamaan selalunya terdiri daripada menggantikan persamaan dengan persamaan yang setara, tetapi yang lebih mudah untuk diselesaikan. Persamaan sedemikian dipanggil setara.
Definisi 4: Dua persamaan dikatakan setara jika setiap penyelesaian bagi satu persamaan ialah penyelesaian bagi persamaan lain, dan sebaliknya, dan kedua-dua persamaan dianggap dalam domain yang sama.
Untuk menyelesaikan persamaan dengan dua pembolehubah, gunakan teorem pada penguraian persamaan menjadi jumlah kuasa dua lengkap (dengan kaedah pekali tak tentu).
Untuk persamaan tertib kedua ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 (1), pengembangan a(x + py + q)2 + r(y + s)2 + h (2) berlaku
Mari kita rumuskan keadaan di mana pengembangan (2) berlaku untuk persamaan (1) dua pembolehubah.
Teorem: Jika pekali a, b, c persamaan (1) memenuhi syarat a0 dan 4ab – c20, maka pengembangan (2) ditentukan dengan cara yang unik.
Dengan kata lain, persamaan (1) dengan dua pembolehubah boleh dikurangkan kepada bentuk (2) menggunakan kaedah pekali tak tentu jika syarat teorem dipenuhi.
Mari kita lihat contoh bagaimana kaedah pekali tak tentu dilaksanakan.
KAEDAH No 1. Selesaikan persamaan menggunakan kaedah pekali tidak ditentukan
2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.
1. Mari kita semak pemenuhan syarat teorem, a=2, b=1, c=2, yang bermaksud a=2.4av – c2= 4∙2∙1- 22= 40.
2. Syarat teorem dipenuhi; ia boleh dikembangkan mengikut formula (2).
3. 2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 2(x + py + q)2 + r(y + s)2 + h, berdasarkan syarat teorem, kedua-dua bahagian identiti adalah setara. Marilah kita permudahkan bahagian kanan identiti.
4. 2(x + py + q)2 + r(y +s)2 +h =
2(x2+ p2y2 + q2 + 2pxy + 2pqy + 2qx) + r(y2 + 2sy + s2) + h =
2x2+ 2p2y2 + 2q2 + 4pxy + 4pqy + 4qx + ry2 + 2rsy + rs2 + h =
X2(2) + y2(2p2 + r) + xy(4p) + x(4q) + y(4pq + 2rs) + (2q2 + rs2 + h).
5. Kami menyamakan pekali untuk pembolehubah yang sama dengan kuasanya.
x2 2 = 2 y21 = 2p2 + r) xy2 = 4p x2 = 4q y0 = 4pq + 2rs x01 = 2q2 + rs2 + h
6. Mari dapatkan sistem persamaan, selesaikan dan cari nilai pekali.
7. Gantikan pekali kepada (2), maka persamaan akan menjadi bentuk
2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 2(x + 0.5y + 0.5)2 + 0.5(y -1)2 +0
Oleh itu, persamaan asal adalah bersamaan dengan persamaan
2(x + 0.5y + 0.5)2 + 0.5(y -1)2 = 0 (3), persamaan ini bersamaan dengan sistem dua persamaan linear.
Jawapan: (-1; 1).
Jika anda memberi perhatian kepada jenis pengembangan (3), anda akan melihat bahawa ia adalah sama dalam bentuk untuk mengasingkan segi empat sama lengkap daripada persamaan kuadratik dengan satu pembolehubah: ax2 + inx + c = a(x +)2 +.
Mari gunakan teknik ini apabila menyelesaikan persamaan dengan dua pembolehubah. Mari kita selesaikan, menggunakan pemilihan segi empat sama lengkap, persamaan kuadratik dengan dua pembolehubah yang telah diselesaikan menggunakan teorem.
KAEDAH No. 2: Selesaikan persamaan 2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.
Penyelesaian: 1. Mari kita bayangkan 2x2 sebagai hasil tambah dua sebutan x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.
2. Mari kumpulkan istilah sedemikian supaya kita boleh melipatnya menggunakan formula segi empat sama lengkap.
(x2 + y2 + 2xy) + (x2 + 2x +1) = 0.
3. Pilih petak lengkap daripada ungkapan dalam kurungan.
(x + y)2 + (x + 1)2 = 0.
4. Persamaan ini bersamaan dengan sistem persamaan linear.
Jawapan: (-1;1).
Jika anda membandingkan keputusan, anda boleh melihat bahawa persamaan yang diselesaikan dengan kaedah No. 1 menggunakan teorem dan kaedah pekali tidak ditentukan dan persamaan yang diselesaikan dengan kaedah No. 2 menggunakan pengekstrakan kuasa dua lengkap mempunyai punca yang sama.
Kesimpulan: Persamaan kuadratik dengan dua pembolehubah boleh dikembangkan menjadi jumlah kuasa dua dengan dua cara:
➢ Kaedah pertama ialah kaedah pekali tak tentu, yang berdasarkan teorem dan pengembangan (2).
➢ Cara kedua ialah menggunakan transformasi identiti, yang membolehkan anda memilih petak lengkap secara berurutan.
Sudah tentu, apabila menyelesaikan masalah, kaedah kedua adalah lebih baik, kerana ia tidak memerlukan pengembangan menghafal (2) dan syarat.
Kaedah ini juga boleh digunakan untuk persamaan kuadratik dengan tiga pembolehubah. Mengasingkan segi empat sama lengkap dalam persamaan sedemikian adalah lebih intensif buruh. Saya akan melakukan transformasi jenis ini pada tahun hadapan.
Adalah menarik untuk diperhatikan bahawa fungsi yang mempunyai bentuk: f(x,y) = ax2 + vxy + cy2 + dx + ey + f dipanggil fungsi kuadratik bagi dua pembolehubah. Fungsi kuadratik memainkan peranan penting dalam pelbagai cabang matematik:
Dalam pengaturcaraan matematik (pengaturcaraan kuadratik)
Dalam algebra linear dan geometri (bentuk kuadratik)
Dalam teori persamaan pembezaan (mengurangkan persamaan linear tertib kedua kepada bentuk kanonik).
Apabila menyelesaikan pelbagai masalah ini, seseorang pada asasnya perlu menggunakan prosedur mengasingkan kuasa dua lengkap daripada persamaan kuadratik (satu, dua atau lebih pembolehubah).
Garis yang persamaannya diterangkan oleh persamaan kuadratik dua pembolehubah dipanggil lengkung tertib kedua.
Ini adalah bulatan, elips, hiperbola.
Apabila membina graf bagi lengkung ini, kaedah mengasingkan segi empat sama lengkap secara berurutan juga digunakan.
Mari kita lihat bagaimana kaedah memilih petak lengkap secara berurutan berfungsi menggunakan contoh khusus.
Bahagian praktikal.
Selesaikan persamaan menggunakan kaedah mengasingkan segi empat sama lengkap secara berurutan.
1. 2x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0; x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0;
(x +1)2 + (x + y)2 = 0;
Jawapan:(-1;1).
2. x2 + 5y2 + 2xy + 4y + 1 = 0; x2 + 4y2 + y2 + 2xy + 4y + 1 = 0;
(x + y)2 + (2y + 1)2 = 0;
Jawapan:(0.5; - 0.5).
3. 3x2 + 4y2 - 6xy - 2y + 1 = 0;
3x2 + 3y2 + y2 – 6xy – 2y +1 = 0;
3x2 +3y2 – 6xy + y2 –2y +1 = 0;
3(x2 - 2xy + y2) + y2 - 2y + 1 = 0;
3(x2 - 2xy + y2)+(y2 - 2y + 1)=0;
3(x-y)2 + (y-1)2 = 0;
Jawapan:(-1;1).
Selesaikan persamaan:
1. 2x2 + 3y2 – 4xy + 6y +9 =0
(kurangkan kepada bentuk: 2(x-y)2 + (y +3)2 = 0)
Jawapan: (-3; -3)
2. – 3x2 – 2y2 – 6xy –2y + 1=0
(kurangkan kepada bentuk: -3(x+y)2 + (y –1)2= 0)
Jawapan: (-1; 1)
3. x2 + 3y2+2xy + 28y +98 =0
(kurangkan kepada bentuk: (x+y)2 +2(y+7)2 =0)
Jawapan: (7; -7)
Kesimpulan.
Dalam kerja saintifik ini, persamaan dengan dua pembolehubah darjah kedua telah dikaji dan kaedah untuk menyelesaikannya telah dipertimbangkan. Tugas telah selesai, kaedah penyelesaian yang lebih pendek telah dirumus dan diterangkan, berdasarkan mengasingkan kuasa dua lengkap dan menggantikan persamaan dengan sistem persamaan yang setara, hasilnya prosedur untuk mencari punca persamaan dengan dua pembolehubah telah telah dipermudahkan.
Perkara penting dalam kerja ini ialah teknik yang dimaksudkan digunakan semasa menyelesaikan pelbagai masalah matematik yang berkaitan dengan fungsi kuadratik, membina lengkung tertib kedua dan mencari nilai ungkapan terbesar (terkecil).
Oleh itu, teknik penguraian persamaan tertib kedua dengan dua pembolehubah menjadi jumlah kuasa dua mempunyai aplikasi yang paling banyak dalam matematik.
Pendekatan penulis terhadap topik ini bukanlah secara kebetulan. Persamaan dengan dua pembolehubah pertama kali ditemui dalam kursus gred 7. Satu persamaan dengan dua pembolehubah mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga. Ini jelas ditunjukkan oleh graf fungsi linear, diberikan sebagai ax + by=c. Dalam kursus sekolah, pelajar mempelajari sistem dua persamaan dengan dua pembolehubah. Akibatnya, keseluruhan siri masalah dengan syarat terhad pada pekali persamaan, serta kaedah untuk menyelesaikannya, hilang dari pandangan guru dan, oleh itu, pelajar.
Kita bercakap tentang menyelesaikan persamaan dengan dua yang tidak diketahui dalam integer atau nombor asli.
Di sekolah, nombor asli dan integer dipelajari dalam gred 4-6. Pada masa mereka lulus dari sekolah, tidak semua pelajar mengingati perbezaan antara set nombor ini.
Walau bagaimanapun, masalah seperti "selesaikan persamaan bentuk ax + by=c dalam integer" semakin banyak ditemui pada peperiksaan kemasukan ke universiti dan dalam bahan Peperiksaan Negeri Bersepadu.
Menyelesaikan persamaan yang tidak pasti membangunkan pemikiran logik, kecerdasan, dan perhatian kepada analisis.
Saya mencadangkan membangunkan beberapa pelajaran mengenai topik ini. Saya tidak mempunyai cadangan yang jelas tentang masa pelajaran ini. Sesetengah elemen juga boleh digunakan dalam gred 7 (untuk kelas yang kuat). Pelajaran ini boleh diambil sebagai asas dan membangunkan kursus elektif kecil mengenai latihan pra vokasional dalam gred 9. Dan, sudah tentu, bahan ini boleh digunakan dalam gred 10-11 untuk persediaan menghadapi peperiksaan.
Objektif pelajaran:
- pengulangan dan generalisasi pengetahuan mengenai topik "Persamaan tertib pertama dan kedua"
- memupuk minat kognitif dalam subjek
- membangunkan keupayaan untuk menganalisis, membuat generalisasi, memindahkan pengetahuan kepada situasi baru
Pelajaran 1.
Kemajuan pelajaran.
1) Org. seketika.
2) Mengemas kini pengetahuan asas.
Definisi. Persamaan linear dalam dua pembolehubah ialah persamaan bentuk
mx + ny = k, dengan m, n, k ialah nombor, x, y ialah pembolehubah.
Contoh: 5x+2y=10
Definisi. Penyelesaian kepada persamaan dengan dua pembolehubah ialah sepasang nilai pembolehubah yang mengubah persamaan menjadi kesamaan sebenar.
Persamaan dengan dua pembolehubah yang mempunyai penyelesaian yang sama dipanggil setara.
1. 5x+2y=12 (2)y = -2.5x+6
Persamaan ini boleh mempunyai sebarang bilangan penyelesaian. Untuk melakukan ini, cukup untuk mengambil sebarang nilai x dan mencari nilai y yang sepadan.
Biarkan x = 2, y = -2.5 2+6 = 1
x = 4, y = -2.5 4+6 =- 4
Pasangan nombor (2;1); (4;-4) – penyelesaian kepada persamaan (1).
Persamaan ini mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga.
3) Latar belakang sejarah
Persamaan tak tentu (Diophantine) ialah persamaan yang mengandungi lebih daripada satu pembolehubah.
Pada abad ke-3. AD – Diophantus dari Alexandria menulis "Aritmetik", di mana dia mengembangkan set nombor kepada yang rasional dan memperkenalkan simbolisme algebra.
Diophantus juga mempertimbangkan masalah menyelesaikan persamaan tak tentu dan dia memberi kaedah untuk menyelesaikan persamaan tak tentu darjah kedua dan ketiga.
4) Mempelajari bahan baharu.
Definisi: Persamaan Diophantine tak homogen tertib pertama dengan dua x yang tidak diketahui, y ialah persamaan dalam bentuk mx + ny = k, dengan m, n, k, x, y Z k0
Pernyataan 1.
Jika sebutan bebas k dalam persamaan (1) tidak boleh dibahagikan dengan pembahagi sepunya terbesar (GCD) bagi nombor m dan n, maka persamaan (1) tidak mempunyai penyelesaian integer.
Contoh: 34x – 17y = 3.
GCD (34; 17) = 17, 3 tidak boleh dibahagi sama rata dengan 17, tiada penyelesaian dalam integer.
Biarkan k dibahagikan dengan gcd (m, n). Dengan membahagikan semua pekali, kita boleh memastikan bahawa m dan n menjadi relatif perdana.
Kenyataan 2.
Jika m dan n persamaan (1) adalah nombor perdana secara relatif, maka persamaan ini mempunyai sekurang-kurangnya satu penyelesaian.
Pernyataan 3.
Jika pekali m dan n persamaan (1) ialah nombor koprima, maka persamaan ini mempunyai banyak penyelesaian tak terhingga:
Di mana (; ) ialah sebarang penyelesaian kepada persamaan (1), t Z
Definisi. Persamaan Diophantine homogen tertib pertama dengan dua x yang tidak diketahui, y ialah persamaan dalam bentuk mx + ny = 0, di mana (2)
Kenyataan 4.
Jika m dan n ialah nombor koprima, maka sebarang penyelesaian kepada persamaan (2) mempunyai bentuk 
5) Kerja rumah. Selesaikan persamaan dalam nombor bulat:
- 9x – 18y = 5
- x + y= xy
- Beberapa orang kanak-kanak sedang memetik epal. Setiap lelaki mengumpul 21 kg, dan perempuan mengumpul 15 kg. Secara keseluruhan mereka mengumpul 174 kg. Berapa ramai lelaki dan berapa ramai perempuan yang memetik epal?
Komen. Pelajaran ini tidak menyediakan contoh penyelesaian persamaan dalam integer. Oleh itu, kanak-kanak menyelesaikan kerja rumah berdasarkan pernyataan 1 dan pemilihan.
Pelajaran 2.
1) Momen organisasi
2) Menyemak kerja rumah
1) 9x – 18y = 5
5 tidak boleh dibahagikan dengan 9; tidak ada penyelesaian dalam nombor bulat.
Menggunakan kaedah pemilihan anda boleh mencari penyelesaian
Jawapan: (0;0), (2;2)
3) Mari kita buat persamaan:
Biarkan lelaki itu ialah x, x Z, dan perempuan y, y Z, maka kita boleh mencipta persamaan 21x + 15y = 174
Ramai pelajar, setelah menulis persamaan, tidak akan dapat menyelesaikannya.
Jawapan: 4 lelaki, 6 perempuan.
3) Mempelajari bahan baharu
Apabila menghadapi kesukaran dalam menyiapkan kerja rumah, pelajar menjadi yakin tentang keperluan untuk mempelajari kaedah mereka untuk menyelesaikan persamaan yang tidak pasti. Mari lihat sebahagian daripada mereka.
I. Kaedah untuk mempertimbangkan baki bahagian.
Contoh. Selesaikan persamaan dalam nombor bulat 3x – 4y = 1.
Bahagian kiri persamaan boleh dibahagikan dengan 3, oleh itu bahagian kanan mesti boleh dibahagikan. Mari kita pertimbangkan tiga kes.
Jawapan: di mana m Z.
Kaedah yang diterangkan mudah digunakan jika nombor m dan n tidak kecil, tetapi boleh diuraikan kepada faktor mudah.
Contoh: Selesaikan persamaan dalam nombor bulat.
Biarkan y = 4n, kemudian 16 - 7y = 16 – 7 4n = 16 – 28n = 4*(4-7n) dibahagikan dengan 4.
y = 4n+1, maka 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 1) = 16 – 28n – 7 = 9 – 28n tidak boleh dibahagikan dengan 4.
y = 4n+2, maka 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 2) = 16 – 28n – 14 = 2 – 28n tidak boleh dibahagikan dengan 4.
y = 4n+3, maka 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 3) = 16 – 28n – 21 = -5 – 28n tidak boleh dibahagikan dengan 4.
Oleh itu y = 4n, maka
4x = 16 – 7 4n = 16 – 28n, x = 4 – 7n
Jawapan: , di mana n Z.
II. Persamaan tidak pasti darjah ke-2
Hari ini dalam pelajaran kita hanya akan menyentuh penyelesaian persamaan Diophantine tertib kedua.
Dan daripada semua jenis persamaan, kita akan mempertimbangkan kes apabila kita boleh menggunakan formula perbezaan kuasa dua atau kaedah pemfaktoran lain.
Contoh: Selesaikan persamaan dalam nombor bulat.
13 ialah nombor perdana, jadi ia hanya boleh difaktorkan dalam empat cara: 13 = 13 1 = 1 13 = (-1)(-13) = (-13)(-1)
Mari kita pertimbangkan kes-kes ini
Jawapan: (7;-3), (7;3), (-7;3), (-7;-3).
4) Kerja rumah.
Contoh. Selesaikan persamaan dalam nombor bulat:
(x - y)(x + y)=4
| 2x = 4 | 2x = 5 | 2x = 5 |
| x = 2 | x = 5/2 | x = 5/2 |
| y = 0 | tidak sesuai | tidak sesuai |
| 2x = -4 | tidak sesuai | tidak sesuai |
| x = -2 | ||
| y = 0 |
Jawapan: (-2;0), (2;0).
Jawapan: (-10;9), (-5;3), (-2;-3), (-1;-9), (1;9), (2;3), (5;-3) , (10;-9).
V) 
Jawapan: (2;-3), (-1;-1), (-4;0), (2;2), (-1;3), (-4;5).
Keputusan. Apakah yang dimaksudkan untuk menyelesaikan persamaan dalam nombor bulat?
Apakah kaedah untuk menyelesaikan persamaan tidak pasti yang anda tahu?
Permohonan:
Latihan untuk latihan.
1) Selesaikan dalam nombor bulat.
| a) 8x + 12y = 32 | x = 1 + 3n, y = 2 - 2n, n Z |
| b) 7x + 5y = 29 | x = 2 + 5n, y = 3 – 7n, n Z |
| c) 4x + 7y = 75 | x = 3 + 7n, y = 9 – 4n, n Z |
| d) 9x – 2y = 1 | x = 1 – 2m, y = 4 + 9m, m Z |
| e) 9x – 11y = 36 | x = 4 + 11n, y = 9n, n Z |
| e) 7x – 4y = 29 | x = 3 + 4n, y = -2 + 7n, n Z |
| g) 19x – 5y = 119 | x = 1 + 5p, y = -20 + 19p, p Z |
| h) 28x – 40y = 60 | x = 45 + 10t, y = 30 + 7t, t Z |
2) Cari penyelesaian integer bukan negatif kepada persamaan.
Dalam kursus matematik gred 7, kami bertemu buat kali pertama persamaan dengan dua pembolehubah, tetapi ia hanya dikaji dalam konteks sistem persamaan dengan dua yang tidak diketahui. Itulah sebabnya satu siri masalah di mana syarat-syarat tertentu diperkenalkan pada pekali persamaan yang mengehadkannya tidak dapat dilihat. Selain itu, kaedah untuk menyelesaikan masalah seperti "Selesaikan persamaan dalam nombor asli atau integer" juga diabaikan, walaupun masalah seperti ini semakin kerap ditemui dalam bahan Peperiksaan Negeri Bersatu dan dalam peperiksaan kemasukan.
Persamaan yang manakah akan dipanggil persamaan dengan dua pembolehubah?
Jadi, sebagai contoh, persamaan 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20, atau xy = 12 ialah persamaan dalam dua pembolehubah.
Pertimbangkan persamaan 2x – y = 1. Ia menjadi benar apabila x = 2 dan y = 3, jadi pasangan nilai pembolehubah ini adalah penyelesaian kepada persamaan yang dipersoalkan.
Oleh itu, penyelesaian kepada mana-mana persamaan dengan dua pembolehubah ialah satu set pasangan tertib (x; y), nilai pembolehubah yang menjadikan persamaan ini menjadi kesamaan berangka sebenar.
Persamaan dengan dua tidak diketahui boleh:
A) mempunyai satu penyelesaian. Contohnya, persamaan x 2 + 5y 2 = 0 mempunyai penyelesaian unik (0; 0);
b) mempunyai pelbagai penyelesaian. Contohnya, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 mempunyai 4 penyelesaian: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);
V) tiada penyelesaian. Contohnya, persamaan x 2 + y 2 + 1 = 0 tidak mempunyai penyelesaian;
G) mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga. Sebagai contoh, x + y = 3. Penyelesaian kepada persamaan ini ialah nombor yang jumlahnya sama dengan 3. Set penyelesaian kepada persamaan ini boleh ditulis dalam bentuk (k; 3 – k), dengan k ialah sebarang nyata nombor.
Kaedah utama untuk menyelesaikan persamaan dengan dua pembolehubah ialah kaedah berdasarkan ungkapan pemfaktoran, mengasingkan kuasa dua lengkap, menggunakan sifat persamaan kuadratik, ungkapan terhad, dan kaedah anggaran. Persamaan biasanya ditukar kepada bentuk yang mana sistem untuk mencari yang tidak diketahui boleh diperolehi.
Pemfaktoran
Contoh 1.
Selesaikan persamaan: xy – 2 = 2x – y.
Penyelesaian.
Kami mengumpulkan syarat untuk tujuan pemfaktoran:
(xy + y) – (2x + 2) = 0. Daripada setiap kurungan kita ambil faktor sepunya:
y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;
(x + 1)(y – 2) = 0. Kami ada:
y = 2, x – sebarang nombor nyata atau x = -1, y – sebarang nombor nyata.
Oleh itu, jawapannya ialah semua pasangan bentuk (x; 2), x € R dan (-1; y), y € R.
Kesamaan nombor bukan negatif kepada sifar
Contoh 2.
Selesaikan persamaan: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).
Penyelesaian.
Pengelompokan:
(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Kini setiap kurungan boleh dilipat menggunakan formula perbezaan kuasa dua.
(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.
Jumlah dua ungkapan bukan negatif adalah sifar hanya jika 3x – 2 = 0 dan 2y – 3 = 0.
Ini bermakna x = 2/3 dan y = 3/2.
Jawapan: (2/3; 3/2).
Kaedah anggaran
Contoh 3.
Selesaikan persamaan: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.
Penyelesaian.
Dalam setiap kurungan kami memilih segi empat sama lengkap:
((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Mari kita anggarkan 
maksud ungkapan dalam kurungan.
(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 dan (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, maka bahagian kiri persamaan sentiasa sekurang-kurangnya 2. Kesamaan adalah mungkin jika:
(x + 1) 2 + 1 = 1 dan (y – 2) 2 + 2 = 2, yang bermaksud x = -1, y = 2.
Jawapan: (-1; 2).
Mari kita berkenalan dengan kaedah lain untuk menyelesaikan persamaan dengan dua pembolehubah darjah kedua. Kaedah ini terdiri daripada merawat persamaan sebagai segi empat sama berkenaan dengan beberapa pembolehubah.
Contoh 4.
Selesaikan persamaan: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.
Penyelesaian.
Mari kita selesaikan persamaan sebagai persamaan kuadratik untuk x. Mari cari yang membezakannya:
D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Persamaan akan mempunyai penyelesaian hanya apabila D = 0, iaitu, jika y = 4. Kami menggantikan nilai y ke dalam persamaan asal dan mendapati bahawa x = 3.
Jawapan: (3; 4).
Selalunya dalam persamaan dengan dua yang tidak diketahui mereka menunjukkan sekatan ke atas pembolehubah.
Contoh 5.
Selesaikan persamaan dalam nombor bulat: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.
Penyelesaian.
Mari kita tulis semula persamaan dalam bentuk x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Bahagian kanan persamaan yang terhasil apabila dibahagikan dengan 5 memberikan baki 2. Oleh itu, x 2 tidak boleh dibahagikan dengan 5. Tetapi kuasa dua a nombor tidak boleh dibahagikan dengan 5 memberikan baki 1 atau 4. Oleh itu, kesamaan adalah mustahil dan tiada penyelesaian.
Jawapan: tiada akar.
Contoh 6.
Selesaikan persamaan: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.
Penyelesaian.
Mari kita serlahkan petak lengkap dalam setiap kurungan:
((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Bahagian kiri persamaan sentiasa lebih besar daripada atau sama dengan 3. Kesamaan mungkin dengan syarat |x| – 2 = 0 dan y + 3 = 0. Oleh itu, x = ± 2, y = -3.
Jawapan: (2; -3) dan (-2; -3).
Contoh 7.
Bagi setiap pasangan integer negatif (x;y) yang memenuhi persamaan
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, hitung hasil tambah (x + y). Sila nyatakan jumlah terkecil dalam jawapan anda.
Penyelesaian.
Mari pilih petak lengkap:
(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;
(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Oleh kerana x dan y ialah integer, kuasa duanya juga adalah integer. Kami mendapat jumlah kuasa dua dua integer bersamaan dengan 37 jika kita menambah 1 + 36. Oleh itu:
(x – y) 2 = 36 dan (y + 2) 2 = 1 
(x – y) 2 = 1 dan (y + 2) 2 = 36.
Menyelesaikan sistem ini dan mengambil kira bahawa x dan y adalah negatif, kita mencari penyelesaian: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).
Jawapan: -17.
Jangan putus asa jika anda menghadapi kesukaran menyelesaikan persamaan dengan dua perkara yang tidak diketahui. Dengan sedikit latihan, anda boleh mengendalikan sebarang persamaan.
Masih ada soalan? Tidak tahu bagaimana untuk menyelesaikan persamaan dalam dua pembolehubah?
Untuk mendapatkan bantuan daripada tutor, daftar.
Pelajaran pertama adalah percuma!
laman web, apabila menyalin bahan sepenuhnya atau sebahagian, pautan ke sumber diperlukan.
Kesaksamaan f(x; y) = 0 mewakili persamaan dengan dua pembolehubah. Penyelesaian kepada persamaan sedemikian ialah sepasang nilai pembolehubah yang mengubah persamaan dengan dua pembolehubah menjadi kesamaan sebenar.
Jika kita mempunyai persamaan dengan dua pembolehubah, maka, mengikut tradisi, kita mesti meletakkan x di tempat pertama dan y di tempat kedua.
Pertimbangkan persamaan x – 3y = 10. Pasangan (10; 0), (16; 2), (-2; -4) ialah penyelesaian kepada persamaan yang sedang dipertimbangkan, manakala pasangan (1; 5) bukan penyelesaian.
Untuk mencari pasangan penyelesaian lain bagi persamaan ini, adalah perlu untuk menyatakan satu pembolehubah dalam sebutan yang lain - contohnya, x dalam sebutan y. Akibatnya, kita mendapat persamaan
x = 10 + 3y. Mari kita hitung nilai x dengan memilih nilai arbitrari bagi y.
Jika y = 7, maka x = 10 + 3 ∙ 7 = 10 + 21 = 31.
Jika y = -2, maka x = 10 + 3 ∙ (-2) = 10 – 6 = 4.
Oleh itu, pasangan (31; 7), (4; -2) juga merupakan penyelesaian kepada persamaan yang diberikan.
Jika persamaan dengan dua pembolehubah mempunyai punca yang sama, maka persamaan tersebut dipanggil setara.
Untuk persamaan dengan dua pembolehubah, teorem pada transformasi setara persamaan adalah sah.
Pertimbangkan graf persamaan dengan dua pembolehubah.
Biarkan persamaan dengan dua pembolehubah f(x; y) = 0 diberikan Semua penyelesaiannya boleh diwakili oleh titik pada satah koordinat, mendapatkan set titik tertentu pada satah. Set titik pada satah ini dipanggil graf bagi persamaan f(x; y) = 0.
Oleh itu, graf bagi persamaan y – x 2 = 0 ialah parabola y = x 2; graf bagi persamaan y – x = 0 ialah garis lurus; graf persamaan y – 3 = 0 ialah garis lurus selari dengan paksi x, dsb.
Persamaan bentuk ax + by = c, di mana x dan y ialah pembolehubah dan a, b dan c ialah nombor, dipanggil linear; nombor a, b dipanggil pekali pembolehubah, c ialah sebutan bebas.
Graf persamaan linear ax + by = c ialah:
Mari kita lukiskan persamaan 2x – 3y = -6.
1. Kerana tiada satu pun pekali pembolehubah adalah sama dengan sifar, maka graf persamaan ini akan menjadi garis lurus.
2. Untuk membina garis lurus, kita perlu mengetahui sekurang-kurangnya dua titiknya. Gantikan nilai x ke dalam persamaan dan dapatkan nilai y dan sebaliknya:
jika x = 0, maka y = 2; (0 ∙ x – 3y = -6);
jika y = 0, maka x = -3; (2x – 3 ∙ 0 = -6). 
Jadi, kami mendapat dua mata pada graf: (0; 2) dan (-3; 0).
3. Mari kita lukis garis lurus melalui titik yang diperoleh dan dapatkan graf persamaan
2x – 3y = -6.
Jika persamaan linear ax + by = c mempunyai bentuk 0 ∙ x + 0 ∙ y = c, maka kita mesti mempertimbangkan dua kes:
1. c = 0. Dalam kes ini, mana-mana pasangan (x; y) memenuhi persamaan, dan oleh itu graf persamaan ialah keseluruhan satah koordinat;
2. c ≠ 0. Dalam kes ini, persamaan tidak mempunyai penyelesaian, yang bermaksud grafnya tidak mengandungi satu titik.
blog.site, apabila menyalin bahan sepenuhnya atau sebahagian, pautan ke sumber asal diperlukan.