Cari nilai terbesar atau terkecil bagi sesuatu fungsi. Bagaimana untuk mencari nilai terbesar fungsi pada selang

Pernyataan masalah 2:

Diberi fungsi yang ditakrifkan dan berterusan pada selang tertentu. Anda perlu mencari nilai terbesar (terkecil) bagi fungsi pada selang ini.

Asas teori.
Teorem (Teorem Weierstrass Kedua):

Jika fungsi ditakrifkan dan berterusan dalam selang tertutup, maka ia mencapai nilai maksimum dan minimum dalam selang ini.

Fungsi ini boleh mencapai nilai terbesar dan terkecil sama ada dengan titik dalaman jurang atau di sempadannya. Mari kita gambarkan semua pilihan yang mungkin.

Penjelasan:
1) Fungsi mencapai nilai terbesarnya pada sempadan kiri selang pada titik , dan nilai minimumnya pada sempadan kanan selang pada titik .
2) Fungsi mencapai nilai terbesarnya pada titik (ini ialah titik maksimum), dan nilai minimumnya pada sempadan kanan selang pada titik.
3) Fungsi mencapai nilai maksimumnya pada sempadan kiri selang pada titik , dan nilai minimumnya pada titik (ini ialah titik minimum).
4) Fungsi adalah malar pada selang, i.e. ia mencapai nilai minimum dan maksimum pada mana-mana titik dalam selang, dan nilai minimum dan maksimum adalah sama antara satu sama lain.
5) Fungsi mencapai nilai terbesarnya pada titik , dan nilai minimumnya pada titik (walaupun pada hakikatnya fungsi itu mempunyai kedua-dua maksimum dan minimum pada selang ini).
6) Fungsi mencapai nilai terbesarnya pada satu titik (ini ialah titik maksimum), dan nilai minimumnya pada satu titik (ini ialah titik minimum).
Ulasan:

"Maksimum" dan " nilai maksimum" - Perkara yang berbeza. Ini berikutan daripada definisi maksimum dan pemahaman intuitif frasa "nilai maksimum".

Algoritma untuk menyelesaikan masalah 2.

4) Pilih yang terbesar (terkecil) daripada nilai yang diperoleh dan tulis jawapannya.

Contoh 4:

Tentukan nilai terbesar dan terkecil bagi suatu fungsi pada segmen.
Penyelesaian:
1) Cari terbitan bagi fungsi itu.

2) Cari titik pegun (dan titik yang disyaki ekstrem) dengan menyelesaikan persamaan. Beri perhatian kepada titik di mana tiada terbitan terhingga dua sisi.

3) Kira nilai fungsi pada titik pegun dan pada sempadan selang.

4) Pilih yang terbesar (terkecil) daripada nilai yang diperoleh dan tulis jawapannya.

Fungsi pada segmen ini mencapai nilai terbesarnya pada titik dengan koordinat .

Fungsi pada segmen ini mencapai nilai minimumnya pada titik dengan koordinat .

Anda boleh mengesahkan ketepatan pengiraan dengan melihat graf fungsi yang dikaji.

Ulasan: Fungsi mencapai nilai terbesarnya pada titik maksimum, dan minimumnya pada sempadan segmen.

Kes khas.

Katakan anda perlu mencari nilai maksimum dan minimum bagi beberapa fungsi pada segmen. Selepas melengkapkan titik pertama algoritma, i.e. pengiraan terbitan, ia menjadi jelas bahawa, sebagai contoh, ia hanya memerlukan nilai negatif ke atas keseluruhan segmen yang dipertimbangkan. Ingat bahawa jika derivatif adalah negatif, maka fungsinya berkurangan. Kami mendapati bahawa fungsi berkurangan sepanjang keseluruhan segmen. Keadaan ini ditunjukkan dalam graf No. 1 pada permulaan artikel.

Fungsi berkurangan pada segmen, i.e. ia tidak mempunyai titik ekstrem. Dari gambar itu jelas bahawa fungsi itu akan mengambil nilai terkecilnya pada sempadan kanan segmen, dan nilai tertinggi- disebelah kiri. jika derivatif pada segmen adalah positif di mana-mana, maka fungsi meningkat. Nilai terkecil berada di sempadan kiri segmen, yang terbesar adalah di sebelah kanan.

Masalah kecil dan agak mudah seumpamanya yang berfungsi sebagai penyelamat untuk pelajar terapung. Ia adalah pertengahan bulan Julai, jadi sudah tiba masanya untuk berehat dengan komputer riba anda di pantai. Dimainkan pada awal pagi arnab cerah teori agar tidak lama lagi memberi tumpuan kepada amalan, yang, walaupun didakwa mudah, mengandungi serpihan kaca di dalam pasir. Dalam hal ini, saya mengesyorkan agar anda mempertimbangkan dengan teliti beberapa contoh halaman ini. Untuk penyelesaian tugas amali mesti boleh cari derivatif dan memahami bahan artikel Selang monotonisitas dan keterlaluan fungsi.

Pertama, secara ringkas tentang perkara utama. Dalam pelajaran tentang kesinambungan fungsi Saya memberikan definisi kesinambungan pada satu titik dan kesinambungan pada selang waktu. Tingkah laku teladan fungsi pada segmen dirumuskan dengan cara yang sama. Suatu fungsi adalah selanjar pada selang waktu jika:

1) ia berterusan pada selang;
2) berterusan pada satu titik di sebelah kanan dan pada titik itu dibiarkan.

Dalam perenggan kedua kita bercakap tentang apa yang dipanggil kesinambungan satu pihak berfungsi pada satu titik. Terdapat beberapa pendekatan untuk mentakrifkannya, tetapi saya akan berpegang pada baris yang saya mulakan sebelum ini:

Fungsi adalah berterusan pada titik di sebelah kanan, jika ia ditakrifkan pada titik tertentu dan had sebelah kanannya bertepatan dengan nilai fungsi pada titik tertentu: . Ia berterusan pada titik itu dibiarkan, jika ditakrifkan pada titik tertentu dan had sebelah kirinya adalah sama dengan nilai pada titik ini:

Bayangkan bahawa titik hijau adalah paku dengan jalur elastik ajaib yang dilekatkan padanya:

Mental ambil garis merah di tangan anda. Jelas sekali, tidak kira sejauh mana kita meregangkan graf ke atas dan ke bawah (di sepanjang paksi), fungsi itu akan tetap kekal terhad– pagar di bahagian atas, pagar di bahagian bawah, dan produk kami meragut di paddock. Oleh itu, fungsi yang berterusan pada selang adalah terhad padanya. Dalam perjalanan analisis matematik, fakta yang kelihatan mudah ini dinyatakan dan dibuktikan dengan tegas. Teorem pertama Weierstrass....Ramai orang marah kerana pernyataan asas dibuktikan dengan membosankan dalam matematik, tetapi ini mempunyai makna yang penting. Katakan penduduk tertentu Zaman Pertengahan terry menarik graf ke langit melebihi had keterlihatan, ini telah dimasukkan. Sebelum penciptaan teleskop, fungsi terhad di angkasa tidak jelas sama sekali! Sebenarnya, bagaimana anda tahu apa yang menanti kita di kaki langit? Lagipun, Bumi pernah dianggap rata, jadi hari ini teleportasi biasa pun memerlukan bukti =)

mengikut Teorem kedua Weierstrass, berterusan pada segmenfungsi mencapainya tepat tepi atas dan anda tepi bawah tepat .

Nombor juga dipanggil nilai maksimum fungsi pada segmen dan ditandakan dengan , dan nombornya ialah nilai minimum fungsi pada segmen bertanda .

Dalam kes kami:

Catatan : secara teori, rakaman adalah perkara biasa .

Secara kasarnya, nilai terbesar adalah di mana paling banyak titik tinggi grafik, dan yang terkecil – di mana yang paling banyak titik rendah.

Penting! Seperti yang telah ditekankan dalam artikel tentang ekstrem fungsi, nilai fungsi terbesar Dan nilai fungsi terkecil – TIDAK SAMA, Apa fungsi maksimum Dan fungsi minimum. Jadi, dalam contoh yang sedang dipertimbangkan, nombor adalah minimum fungsi, tetapi bukan nilai minimum.

By the way, apa yang berlaku di luar segmen? Ya, walaupun banjir, dalam konteks masalah yang sedang dipertimbangkan, ini tidak menarik minat kita langsung. Tugas itu hanya melibatkan mencari dua nombor dan itu sahaja!

Lebih-lebih lagi, penyelesaiannya adalah analitikal semata-mata, oleh itu tidak perlu membuat lukisan!

Algoritma terletak di permukaan dan mencadangkan dirinya dari angka di atas:

1) Cari nilai fungsi dalam titik kritikal, yang tergolong segmen ini .

Tangkap roti lain: di sini tidak perlu menyemak keadaan yang mencukupi melampau, kerana, seperti yang ditunjukkan, kehadiran minimum atau maksimum belum menjamin, apakah nilai minimum atau maksimum. Fungsi demonstrasi mencapai maksimum dan, dengan kehendak takdir, nombor yang sama adalah nilai terbesar fungsi pada segmen. Tetapi, sudah tentu, kebetulan seperti itu tidak selalu berlaku.

Jadi, pada langkah pertama, lebih cepat dan lebih mudah untuk mengira nilai-nilai fungsi pada titik kritikal kepunyaan segmen, tanpa mengganggu sama ada terdapat extrema di dalamnya atau tidak.

2) Kami mengira nilai fungsi di hujung segmen.

3) Antara nilai fungsi yang terdapat dalam perenggan 1 dan 2, pilih yang terkecil dan terbanyak nombor besar, tulis jawapan.

Kami duduk di tepi pantai laut biru dan memukul air cetek dengan tumit kami:

Contoh 1

Cari yang terhebat dan nilai terkecil berfungsi pada selang waktu

Penyelesaian:
1) Mari kita hitung nilai fungsi pada titik kritikal kepunyaan segmen ini:

Mari kita hitung nilai fungsi dalam kedua titik kritikal:

2) Mari kita hitung nilai fungsi di hujung segmen:

3) Keputusan "Tebal" diperoleh dengan eksponen dan logaritma, yang merumitkan perbandingannya dengan ketara. Atas sebab ini, mari kita melengkapkan diri dengan kalkulator atau Excel dan mengira nilai anggaran, tidak lupa bahawa:

Sekarang semuanya jelas.

Jawab:

Contoh rasional pecahan untuk keputusan bebas:

Contoh 6

Cari maksimum dan nilai minimum berfungsi pada selang waktu

Dan untuk menyelesaikannya, anda memerlukan pengetahuan minimum tentang topik tersebut. Yang seterusnya berakhir tahun akademik, semua orang mahu pergi bercuti, dan untuk mendekatkan masa ini, saya akan terus kepada intinya:

Mari kita mulakan dengan kawasan. Kawasan yang dimaksudkan dalam keadaan tersebut ialah terhad tertutup set titik pada satah. Sebagai contoh, set titik yang dibatasi oleh segi tiga, termasuk seluruh segi tiga (jika dari sempadan"cucuk keluar" sekurang-kurangnya satu titik, maka wilayah itu tidak akan ditutup lagi). Dalam amalan, terdapat juga kawasan yang berbentuk segi empat tepat, bulat, dan lebih besar sedikit. bentuk kompleks. Perlu diingatkan bahawa secara teori analisis matematik definisi yang ketat diberikan batasan, pengasingan, sempadan, dll., tetapi saya fikir semua orang menyedari konsep ini pada tahap intuitif, dan kini tiada lagi yang diperlukan.

Kawasan rata secara piawai dilambangkan dengan huruf , dan, sebagai peraturan, ditentukan secara analitikal - oleh beberapa persamaan (tidak semestinya linear); kurang kerap ketidaksamaan. Peribahasa biasa: "kawasan tertutup, dibatasi oleh garisan ».

Bahagian integral Tugas yang dimaksudkan ialah membina kawasan dalam lukisan. Bagaimana hendak melakukannya? Anda perlu melukis semua garisan yang disenaraikan (dalam dalam kes ini 3 lurus) dan menganalisis apa yang berlaku. Kawasan yang dicari biasanya berlorek ringan, dan sempadannya ditandai dengan garis tebal:

Kawasan yang sama juga boleh ditetapkan ketaksamaan linear: , yang atas sebab tertentu sering ditulis sebagai senarai terhitung dan bukannya sistem.
Oleh kerana sempadan itu adalah milik wilayah, maka semua ketidaksamaan, sudah tentu, longgar.

Dan kini intipati tugas itu. Bayangkan bahawa paksi keluar terus ke arah anda dari asal. Pertimbangkan fungsi yang berterusan dalam setiap titik kawasan. Graf fungsi ini mewakili beberapa permukaan, dan kebahagiaan kecil ialah untuk menyelesaikan masalah hari ini kita tidak perlu tahu rupa permukaan ini. Ia boleh terletak lebih tinggi, lebih rendah, bersilang dengan pesawat - semua ini tidak penting. Dan yang berikut adalah penting: mengikut Teorem Weierstrass, berterusan V terhad ditutup kawasan fungsi mencapai nilai terbesarnya (tertinggi") dan paling kurang ("paling rendah") nilai yang perlu dicari. Nilai sedemikian dicapai atau V titik pegun, kepunyaan wilayahD , atau pada titik-titik yang terletak di sempadan kawasan ini. Ini membawa kepada algoritma penyelesaian yang mudah dan telus:

Contoh 1

Dalam terhad kawasan tertutup

Penyelesaian: Pertama sekali, anda perlu menggambarkan kawasan dalam lukisan. Malangnya, secara teknikalnya sukar bagi saya untuk membuat model interaktif masalah itu, dan oleh itu saya akan segera membentangkan ilustrasi terakhir, yang menunjukkan semua perkara "mencurigakan" yang ditemui semasa penyelidikan. Mereka biasanya disenaraikan satu demi satu apabila ia ditemui:

Berdasarkan mukadimah, keputusan boleh dibahagikan kepada dua perkara:

I) Cari titik pegun. Ini adalah tindakan standard yang kami lakukan berulang kali dalam kelas. tentang ekstrem beberapa pembolehubah:

Mendapati titik pegun kepunyaan kawasan-kawasan: (tanda pada lukisan), yang bermaksud kita harus mengira nilai fungsi pada titik tertentu:

- seperti dalam artikel Nilai terbesar dan terkecil fungsi pada segmen, keputusan penting Saya akan highlight dalam huruf tebal. Adalah mudah untuk mengesannya dalam buku nota dengan pensel.

Perhatikan kebahagiaan kedua kita - tidak ada gunanya menyemak keadaan yang mencukupi untuk ekstrem. kenapa? Walaupun pada satu ketika fungsi itu mencapai, sebagai contoh, minimum tempatan, maka ini TIDAK BERMAKSUD bahawa nilai yang terhasil akan yang minimum di seluruh rantau ini (lihat permulaan pelajaran tentang keterlaluan tanpa syarat) .

Apa yang perlu dilakukan jika titik pegun TIDAK tergolong dalam kawasan itu? Hampir tiada! Perlu diingatkan itu dan teruskan ke perkara seterusnya.

II) Kami meneroka sempadan rantau ini.

Memandangkan sempadan terdiri daripada sisi segi tiga, adalah mudah untuk membahagikan kajian kepada 3 subseksyen. Tetapi lebih baik tidak melakukannya bagaimanapun. Dari sudut pandangan saya, adalah lebih berfaedah untuk terlebih dahulu mempertimbangkan segmen selari paksi koordinat, dan pertama sekali, mereka yang berbaring di atas kapak itu sendiri. Untuk memahami keseluruhan urutan dan logik tindakan, cuba kaji pengakhiran "dalam satu nafas":

1) Mari kita berurusan dengan bahagian bawah segi tiga. Untuk melakukan ini, gantikan terus ke dalam fungsi:

Sebagai alternatif, anda boleh melakukannya seperti ini:

Secara geometri ini bermakna satah koordinat (yang juga diberikan oleh persamaan)"mengukir" daripada permukaan parabola "ruang", yang bahagian atasnya serta-merta disyaki. Mari kita ketahui di mana dia berada:

– nilai yang terhasil "jatuh" ke dalam kawasan itu, dan ia mungkin berubah pada ketika itu (ditanda pada lukisan) fungsi mencapai nilai terbesar atau terkecil di seluruh rantau. Satu cara atau yang lain, mari kita lakukan pengiraan:

"Calon" yang lain, sudah tentu, penghujung segmen. Mari kita hitung nilai fungsi pada titik (ditanda pada lukisan):

Di sini, secara kebetulan, anda boleh melakukan semakan mini lisan menggunakan versi "dilucutkan":

2) Untuk penyelidikan sebelah kanan kami menggantikan segitiga ke dalam fungsi dan "menyesuaikan perkara":

Di sini kami akan segera melakukan semakan kasar, "membunyikan" hujung segmen yang telah diproses:
, Hebat.

Keadaan geometri adalah berkaitan titik sebelumnya:

– nilai yang terhasil juga "masuk ke dalam bidang minat kita," yang bermaksud kita perlu mengira apakah fungsi pada titik yang muncul bersamaan dengan:

Mari kita periksa hujung kedua segmen:

Menggunakan fungsi , mari kita lakukan semakan kawalan:

3) Mungkin semua orang boleh meneka bagaimana untuk meneroka bahagian yang tinggal. Kami menggantikannya ke dalam fungsi dan menjalankan penyederhanaan:

Hujung segmen telah pun dikaji, tetapi dalam draf kami masih menyemak sama ada kami telah menemui fungsi dengan betul :
– bertepatan dengan keputusan subperenggan pertama;
– bertepatan dengan keputusan subperenggan ke-2.

Ia kekal untuk mengetahui sama ada terdapat sesuatu yang menarik di dalam segmen:

- Terdapat! Menggantikan garis lurus ke dalam persamaan, kita mendapat ordinat "menarik" ini:

Kami menandakan titik pada lukisan dan mencari nilai yang sepadan bagi fungsi:

Mari semak pengiraan menggunakan versi "belanjawan". :
, pesanan.

Dan langkah terakhir: Kami melihat dengan teliti semua nombor "berani", saya mengesyorkan bahawa pemula juga membuat satu senarai:

daripada mana kita memilih nilai terbesar dan terkecil. Jawab Mari kita menulis dalam gaya masalah mencari nilai terbesar dan terkecil fungsi pada segmen:

Sekiranya berlaku, saya akan mengulas lagi makna geometri keputusan:
– di sini adalah titik tertinggi permukaan di rantau ini;
– di sini ialah titik terendah permukaan di kawasan itu.

Dalam tugasan yang dianalisis, kami mengenal pasti 7 mata "mencurigakan", tetapi bilangannya berbeza-beza mengikut tugasan. Untuk kawasan segi tiga, "set penyelidikan" minimum terdiri daripada tiga mata. Ini berlaku apabila fungsi, sebagai contoh, menentukan kapal terbang– jelas sekali bahawa tiada titik pegun, dan fungsi itu boleh mencapai nilai maksimum/paling kecil hanya pada bucu segi tiga. Tetapi terdapat hanya satu atau dua contoh yang serupa - biasanya anda perlu berurusan dengan beberapa permukaan urutan ke-2.

Jika anda cuba menyelesaikan tugas sedemikian sedikit, maka segitiga boleh membuat kepala anda berputar, dan itulah sebabnya saya bersedia untuk anda contoh luar biasa supaya menjadi segi empat sama :))

Contoh 2

Cari nilai terbesar dan terkecil bagi sesuatu fungsi dalam kawasan tertutup yang dibatasi oleh garisan

Contoh 3

Cari nilai terbesar dan terkecil fungsi dalam kawasan tertutup terhad.

Perhatian istimewa Beri perhatian kepada susunan rasional dan teknik mengkaji sempadan wilayah, serta rantaian pemeriksaan perantaraan, yang hampir sepenuhnya akan mengelakkan ralat pengiraan. Secara umumnya, anda boleh menyelesaikannya dengan cara yang anda suka, tetapi dalam beberapa masalah, contohnya, dalam Contoh 2, terdapat setiap peluang untuk menjadikan hidup anda lebih sukar. Sampel anggaran menyelesaikan tugasan pada akhir pelajaran.

Mari kita sistematikkan algoritma penyelesaian, jika tidak dengan ketekunan saya sebagai labah-labah, ia entah bagaimana tersesat dalam benang panjang komen contoh pertama:

– Pada langkah pertama, kami membina kawasan, adalah dinasihatkan untuk menaunginya dan menyerlahkan sempadan dengan garis tebal. Semasa penyelesaian, mata akan muncul yang perlu ditanda pada lukisan.

– Cari titik pegun dan hitung nilai fungsi hanya pada mereka yang tergolong dalam wilayah tersebut. Kami menyerlahkan nilai yang terhasil dalam teks (contohnya, bulatkan dengan pensel). Jika titik pegun BUKAN milik rantau ini, maka kami menandakan fakta ini dengan ikon atau secara lisan. Sekiranya tiada titik pegun sama sekali, maka kami membuat kesimpulan bertulis bahawa ia tidak hadir. Walau apa pun, perkara ini tidak boleh dilangkau!

– Kami sedang meneroka sempadan rantau ini. Pertama, adalah berfaedah untuk memahami garis lurus yang selari dengan paksi koordinat (jika ada). Kami juga menyerlahkan nilai fungsi yang dikira pada titik "mencurigakan". Banyak yang telah dikatakan di atas tentang teknik penyelesaian dan sesuatu yang lain akan dikatakan di bawah - baca, baca semula, mendalaminya!

– Daripada nombor yang dipilih, pilih nilai terbesar dan terkecil dan berikan jawapannya. Kadang-kadang ia berlaku bahawa fungsi mencapai nilai sedemikian pada beberapa titik sekaligus - dalam kes ini, semua titik ini harus ditunjukkan dalam jawapan. Biarkan, sebagai contoh, dan ternyata ini adalah nilai terkecil. Kemudian kita tuliskan itu

Contoh terakhir didedikasikan untuk orang lain idea yang berguna yang akan berguna dalam amalan:

Contoh 4

Cari nilai terbesar dan terkecil fungsi dalam kawasan tertutup .

Saya telah mengekalkan rumusan pengarang, di mana kawasan itu diberikan dalam bentuk ketaksamaan berganda. Keadaan ini boleh ditulis oleh sistem yang setara atau dalam bentuk yang lebih tradisional untuk masalah ini:

Saya mengingatkan anda bahawa dengan tak linear kami mengalami ketidaksamaan pada, dan jika anda tidak memahami makna geometri tatatanda, maka sila jangan berlengah dan jelaskan keadaan sekarang;-)

Penyelesaian, seperti biasa, bermula dengan membina kawasan yang mewakili sejenis "sole":

Hmm, kadang-kadang anda perlu mengunyah bukan sahaja granit sains ...

I) Cari titik pegun:

Sistem ini adalah impian orang bodoh :)

Titik pegun kepunyaan rantau itu, iaitu, terletak pada sempadannya.

Jadi, tidak mengapa... pelajaran berjalan lancar - inilah yang dimaksudkan dengan minum teh yang betul =)

II) Kami meneroka sempadan rantau ini. Tanpa berlengah lagi, mari kita mulakan dengan paksi-x:

1) Jika , maka

Mari kita cari di mana puncak parabola itu:
– hargai detik sebegitu – anda telah “memukul” sehingga ke tahap yang semuanya sudah jelas. Tetapi kami masih tidak lupa tentang menyemak:

Mari kita hitung nilai fungsi di hujung segmen:

2) C bawah Mari kita fikirkan "bahagian bawah" "dalam sekali duduk" - kami menggantikannya ke dalam fungsi tanpa sebarang kompleks, dan kami hanya akan berminat dalam segmen:

Kawalan:

Ini sudah membawa sedikit keterujaan kepada pemanduan membosankan di sepanjang trek berliku. Mari cari titik kritikal:

Mari buat keputusan persamaan kuadratik, adakah anda masih ingat apa-apa lagi tentang ini? ...Namun, ingat, sudah tentu, jika tidak, anda tidak akan membaca baris ini =) Jika dalam dua contoh sebelumnya pengiraan dalam perpuluhan(yang, by the way, jarang), maka yang biasa menanti kami di sini pecahan sepunya. Kami mencari punca "X" dan menggunakan persamaan untuk menentukan koordinat "permainan" yang sepadan bagi mata "calon":

Mari kita hitung nilai fungsi pada titik yang ditemui:

Semak sendiri fungsinya.

Sekarang kita teliti trofi yang dimenangi dan tulis jawab:

Ini adalah "calon", ini adalah "calon"!

Untuk menyelesaikannya sendiri:

Contoh 5

Cari nilai terkecil dan terbesar bagi sesuatu fungsi di kawasan tertutup

Entri dengan pendakap kerinting berbunyi seperti ini: "satu set mata sedemikian."

Kadang-kadang dalam contoh yang serupa guna Kaedah pengganda Lagrange, tetapi tidak mungkin terdapat keperluan sebenar untuk menggunakannya. Jadi, sebagai contoh, jika fungsi dengan kawasan yang sama "de" diberikan, maka selepas penggantian ke dalamnya - dengan terbitan daripada tiada kesukaran; Lebih-lebih lagi, semuanya disediakan dalam "satu baris" (dengan tanda) tanpa perlu mempertimbangkan separuh bulatan atas dan bawah secara berasingan. Tetapi, sudah tentu, terdapat lebih banyak lagi kes kompleks, di mana tanpa fungsi Lagrange (di mana, sebagai contoh, ialah persamaan bulatan yang sama) Sukar untuk bertahan – sama seperti sukar untuk bertahan tanpa rehat yang baik!

Selamat berseronok semua dan jumpa lagi musim depan!

Penyelesaian dan jawapan:

Contoh 2: Penyelesaian: Mari kita gambarkan kawasan dalam lukisan:

Nilai terbesar (terkecil) fungsi ialah nilai terbesar (terkecil) diterima bagi ordinat pada selang yang dipertimbangkan.

Untuk mencari nilai terbesar atau terkecil fungsi, anda perlu:

Semak titik pegun yang termasuk dalam segmen tertentu.
Kira nilai fungsi pada hujung segmen dan pada titik pegun dari langkah 3
Pilih nilai terbesar atau terkecil daripada hasil yang diperoleh.

Untuk mencari mata maksimum atau minimum anda perlu:

Cari terbitan bagi fungsi $f"(x)$
Cari titik pegun dengan menyelesaikan persamaan $f"(x)=0$
Faktorkan terbitan bagi suatu fungsi.
Lukis garis koordinat, letakkan titik pegun di atasnya dan tentukan tanda terbitan dalam selang yang terhasil, menggunakan tatatanda dalam langkah 3.
Cari mata maksimum atau minimum mengikut peraturan: jika pada satu titik derivatif berubah tanda dari tambah ke tolak, maka ini akan menjadi titik maksimum (jika dari tolak ke tambah, maka ini akan menjadi titik minimum). Dalam amalan, adalah mudah untuk menggunakan imej anak panah pada selang: pada selang di mana terbitan positif, anak panah dilukis ke atas dan sebaliknya.

Jadual terbitan beberapa fungsi asas:

Fungsi	Derivatif
$c$	$0$
$x$	$1$
$x^n, n∈N$	$nx^(n-1), n∈N$
$(1)/(x)$	$-(1)/(x^2)$
$(1)/x(^n), n∈N$	$-(n)/(x^(n+1)), n∈N$
$√^n(x), n∈N$	$(1)/(n√^n(x^(n-1)), n∈N$
$sinx$	$cosx$
$cosx$	$-sinx$
$tgx$	$(1)/(cos^2x)$
$ctgx$	$-(1)/(sin^2x)$
$cos^2x$	$-dosa2x$
$sin^2x$	$sin2x$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^xlna$
$lnx$	$(1)/(x)$
$log_(a)x$	$(1)/(xlna)$

Peraturan asas pembezaan

1. Terbitan jumlah dan perbezaan adalah sama dengan terbitan bagi setiap sebutan

$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$

Cari terbitan bagi fungsi $f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$

Terbitan jumlah dan perbezaan adalah sama dengan terbitan bagi setiap sebutan

$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$

2. Terbitan produk.

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

Cari terbitan $f(x)=4x∙cosx$

$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$

3. Terbitan hasil bagi

$((f(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$

Cari terbitan $f(x)=(5x^5)/(e^x)$

$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$

4. Terbitan fungsi kompleks sama dengan hasil derivatif fungsi luaran kepada terbitan fungsi dalam

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$

Cari titik minimum bagi fungsi $y=2x-ln⁡(x+11)+4$

1. Jom cari fungsi ODZ: $x+11>0; x>-11$

2. Cari terbitan bagi fungsi $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$

3. Cari titik pegun dengan menyamakan terbitan kepada sifar

$(2x+21)/(x+11)=0$

Suatu pecahan sama dengan sifar jika pengangkanya sama dengan sifar, dan penyebutnya bukan sifar

$2x+21=0; x≠-11$

4. Mari kita lukis garis koordinat, letakkan titik pegun di atasnya dan tentukan tanda terbitan dalam selang yang terhasil. Untuk melakukan ini, gantikan sebarang nombor dari kawasan paling kanan ke dalam terbitan, sebagai contoh, sifar.

$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$

5. Pada titik minimum, tanda derivatif berubah daripada tolak kepada tambah, oleh itu, titik $-10.5$ ialah titik minimum.

Jawapan: $-10.5$

Cari nilai terbesar bagi fungsi $y=6x^5-90x^3-5$ pada segmen $[-5;1]$

1. Cari terbitan bagi fungsi $y′=30x^4-270x^2$

2. Samakan terbitan kepada sifar dan cari titik pegun

$30x^4-270x^2=0$

Kami akan mengeluarkannya pengganda biasa$30x^2$ dalam kurungan

$30x^2(x^2-9)=0$

$30x^2(x-3)(x+3)=0$

Mari samakan setiap faktor kepada sifar

$x^2=0 ; x-3=0; x+3=0$

$x=0;x=3;x=-3$

3. Pilih titik pegun kepunyaan segmen yang diberikan $[-5;1]$

Titik pegun $x=0$ dan $x=-3$ sesuai dengan kita

4. Kira nilai fungsi pada hujung segmen dan pada titik pegun dari langkah 3

Dari sudut pandangan praktikal, minat yang paling besar ialah menggunakan derivatif untuk mencari nilai terbesar dan terkecil sesuatu fungsi. Apakah kaitan ini? Memaksimumkan keuntungan, meminimumkan kos, menentukan beban optimum peralatan... Dalam erti kata lain, dalam banyak bidang kehidupan kita perlu menyelesaikan masalah mengoptimumkan beberapa parameter. Dan ini adalah tugas mencari nilai terbesar dan terkecil fungsi.

Perlu diingatkan bahawa nilai terbesar dan terkecil sesuatu fungsi biasanya dicari pada selang X tertentu, iaitu sama ada keseluruhan domain fungsi atau sebahagian daripada domain definisi. Selang X itu sendiri boleh menjadi segmen, selang terbuka , selang tak terhingga.

Dalam artikel ini kita akan bercakap tentang mencari nilai terbesar dan terkecil secara eksplisit fungsi yang diberikan satu pembolehubah y=f(x) .

Navigasi halaman.

Nilai terbesar dan terkecil bagi fungsi - definisi, ilustrasi.

Mari kita lihat secara ringkas definisi utama.

Nilai terbesar bagi fungsi tersebut itu untuk sesiapa sahaja ketidaksamaan adalah benar.

Nilai terkecil bagi fungsi tersebut y=f(x) pada selang X dipanggil nilai sedemikian itu untuk sesiapa sahaja ketidaksamaan adalah benar.

Takrifan ini adalah intuitif: nilai terbesar (paling kecil) bagi sesuatu fungsi ialah nilai terbesar (paling kecil) diterima pada selang yang dipertimbangkan di abscissa.

Titik pegun– ini adalah nilai hujah di mana terbitan fungsi menjadi sifar.

Mengapakah kita memerlukan titik pegun apabila mencari nilai terbesar dan terkecil? Jawapan kepada soalan ini diberikan oleh teorem Fermat. Daripada teorem ini, jika fungsi boleh dibezakan mempunyai ekstrem (minimum tempatan atau maksimum tempatan) pada satu titik, maka titik ini adalah pegun. Oleh itu, fungsi sering mengambil nilai terbesar (terkecil) pada selang X pada salah satu titik pegun dari selang ini.

Juga, fungsi selalunya boleh mengambil nilai terbesar dan minimumnya pada titik di mana terbitan pertama fungsi ini tidak wujud, dan fungsi itu sendiri ditakrifkan.

Mari jawab dengan segera salah satu soalan yang paling biasa mengenai topik ini: "Adakah sentiasa mungkin untuk menentukan nilai terbesar (terkecil) fungsi"? Tidak tidak selalu. Kadangkala sempadan selang X bertepatan dengan sempadan domain takrifan fungsi, atau selang X adalah tak terhingga. Dan beberapa fungsi pada infiniti dan di sempadan domain definisi boleh mengambil kedua-dua nilai infiniti besar dan infiniti kecil. Dalam kes ini, tiada apa yang boleh dikatakan tentang nilai terbesar dan terkecil fungsi tersebut.

Untuk kejelasan, kami akan memberikan ilustrasi grafik. Lihat gambar dan banyak lagi akan menjadi lebih jelas.

Pada segmen

Dalam rajah pertama, fungsi mengambil nilai terbesar (maks y) dan terkecil (min y) pada titik pegun yang terletak di dalam segmen [-6;6].

Pertimbangkan kes yang digambarkan dalam rajah kedua. Jom tukar segmen kepada . Dalam contoh ini, nilai terkecil bagi fungsi dicapai pada titik pegun, dan yang terbesar - pada titik dengan absis yang sepadan dengan sempadan kanan selang.

Dalam Rajah 3, titik sempadan segmen [-3;2] ialah absis bagi titik yang sepadan dengan nilai terbesar dan terkecil bagi fungsi.

Pada selang waktu terbuka

Dalam rajah keempat, fungsi mengambil nilai terbesar (maks y) dan terkecil (min y) pada titik pegun yang terletak di dalam. selang terbuka (-6;6) .

Pada selang , tiada kesimpulan boleh dibuat tentang nilai terbesar.

Pada infiniti

Dalam contoh yang dibentangkan dalam rajah ketujuh, fungsi mengambil nilai terbesar (maks y) pada titik pegun dengan abscissa x=1, dan nilai terkecil (min y) dicapai pada sempadan kanan selang. Pada infiniti tolak, nilai fungsi secara asimptotik menghampiri y=3.

Sepanjang selang itu, fungsi tidak mencapai nilai terkecil mahupun terbesar. Apabila x=2 menghampiri dari kanan, nilai fungsi cenderung kepada tolak infiniti (garisan x=2 ialah asimtot menegak), dan kerana absis cenderung kepada tambah infiniti, nilai fungsi secara asymptotically menghampiri y=3. Ilustrasi grafik contoh ini ditunjukkan dalam Rajah 8.

Algoritma untuk mencari nilai terbesar dan terkecil bagi fungsi berterusan pada segmen.

Mari kita tulis algoritma yang membolehkan kita mencari nilai terbesar dan terkecil fungsi pada segmen.

Kami mencari domain takrifan fungsi dan menyemak sama ada ia mengandungi keseluruhan segmen.
Kami mendapati semua titik di mana terbitan pertama tidak wujud dan yang terkandung dalam segmen (biasanya titik tersebut ditemui dalam fungsi dengan hujah di bawah tanda modulus dan dalam fungsi kuasa dengan eksponen pecahan-rasional). Jika tiada mata seperti itu, maka teruskan ke titik seterusnya.
Kami menentukan semua titik pegun yang termasuk dalam segmen. Untuk melakukan ini, kami menyamakannya dengan sifar, menyelesaikan persamaan yang terhasil dan pilih punca yang sesuai. Jika tiada titik pegun atau tiada satu pun daripadanya jatuh ke dalam segmen, kemudian teruskan ke titik seterusnya.
Kami mengira nilai fungsi pada titik pegun terpilih (jika ada), pada titik di mana terbitan pertama tidak wujud (jika ada), serta pada x=a dan x=b.
Daripada nilai fungsi yang diperoleh, kami memilih yang terbesar dan terkecil - masing-masing akan menjadi nilai terbesar dan terkecil fungsi yang diperlukan.

Mari analisa algoritma untuk menyelesaikan contoh untuk mencari nilai terbesar dan terkecil fungsi pada segmen.

Contoh.

Cari nilai terbesar dan terkecil bagi sesuatu fungsi

pada segmen;
pada segmen [-4;-1] .

Penyelesaian.

Domain fungsi ialah keseluruhan set nombor nyata, kecuali sifar, iaitu . Kedua-dua segmen termasuk dalam domain definisi.

Cari terbitan bagi fungsi berkenaan dengan:

Jelas sekali, terbitan fungsi wujud di semua titik segmen dan [-4;-1].

Kami menentukan titik pegun daripada persamaan. Hanya satu akar sebenar ialah x=2 . Titik pegun ini jatuh ke dalam segmen pertama.

Untuk kes pertama, kami mengira nilai fungsi pada hujung segmen dan pada titik pegun, iaitu, untuk x=1, x=2 dan x=4:

Oleh itu, nilai terbesar fungsi dicapai pada x=1, dan nilai terkecil – pada x=2.

Untuk kes kedua, kami mengira nilai fungsi hanya pada hujung segmen [-4;-1] (kerana ia tidak mengandungi satu titik pegun):