ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಲಾಗರಿಥಮ್ಸ್. ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಇಂದು ನಾವು ಸರಳವಾದ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕೆಂದು ಕಲಿಯುತ್ತೇವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಅಥವಾ ಬೇರುಗಳ ಆಯ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ನೀವು ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಕಲಿತರೆ, ಅದು ತುಂಬಾ ಸುಲಭವಾಗುತ್ತದೆ.

ಸರಳವಾದ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು ಲಾಗ್ a f (x) = b ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ, ಇಲ್ಲಿ a, b ಸಂಖ್ಯೆಗಳು (a > 0, a ≠ 1), f (x) ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಎಲ್ಲಾ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಲಕ್ಷಣವೆಂದರೆ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ವೇರಿಯಬಲ್ x ನ ಉಪಸ್ಥಿತಿ. ಇದು ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ನೀಡಿದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಸರಳ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಇತರ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ವಿಶೇಷ ರೂಪಾಂತರಗಳಿಂದ ಸರಳವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ("ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು" ನೋಡಿ). ಆದಾಗ್ಯೂ, ಹಲವಾರು ಸೂಕ್ಷ್ಮತೆಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು: ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಬೇರುಗಳು ಉದ್ಭವಿಸಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು? ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯ ಬಲಕ್ಕೆ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎಡಕ್ಕೆ ಅದೇ ತಳದಲ್ಲಿ ಲಾಗರಿಥಮ್ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಲು ಸಾಕು. ನಂತರ ನೀವು ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಬಹುದು. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

log a f (x) = b ⇒ log a f (x) = log a a b ⇒ f (x) = a b

ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಇದರ ಬೇರುಗಳು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಾಗಿವೆ.

ಪದವಿಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ಹೊರನೋಟಕ್ಕೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮತ್ತು ಬೆದರಿಕೆಯಾಗಿ ಕಾಣುತ್ತವೆ, ಒಳಗೊಳ್ಳದೆ ಅಕ್ಷರಶಃ ಒಂದೆರಡು ಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸೂತ್ರಗಳು. ಇಂದು ನಾವು ಅಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಅಲ್ಲಿ ನಿಮಗೆ ಬೇಕಾಗಿರುವುದು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪಕ್ಕೆ ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದು ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ಗಾಗಿ ಹುಡುಕುವಾಗ ಗೊಂದಲಕ್ಕೀಡಾಗಬಾರದು.

ಇಂದು, ನೀವು ಬಹುಶಃ ಶೀರ್ಷಿಕೆಯಿಂದ ಊಹಿಸಿದಂತೆ, ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆಗಾಗಿ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ವೀಡಿಯೊ ಪಾಠದ ಮುಖ್ಯ "ಟ್ರಿಕ್" ಡಿಗ್ರಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಅಥವಾ ಬದಲಿಗೆ, ಆಧಾರ ಮತ್ತು ವಾದದಿಂದ ಪದವಿಯನ್ನು ಕಳೆಯುವುದು. ನಿಯಮವನ್ನು ನೋಡೋಣ:

ಅಂತೆಯೇ, ನೀವು ಬೇಸ್ನಿಂದ ಪದವಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು:

ನಾವು ನೋಡುವಂತೆ, ನಾವು ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ನಿಂದ ಪದವಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿದಾಗ ನಾವು ಮುಂದೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ನಾವು ಬೇಸ್ನಿಂದ ಪದವಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿದಾಗ ನಾವು ಕೇವಲ ಒಂದು ಅಂಶವಲ್ಲ, ಆದರೆ ತಲೆಕೆಳಗಾದ ಅಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು.

ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಅತ್ಯಂತ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ವಿಷಯ. ಈ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು, ನಂತರ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಸಹಜವಾಗಿ, ಈ ಪರಿವರ್ತನೆಗಳನ್ನು ಮಾಡುವಾಗ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯ ಸಂಭವನೀಯ ವಿಸ್ತರಣೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕೆಲವು ಮೋಸಗಳು ಅಥವಾ ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯ ಕಿರಿದಾಗುವಿಕೆ ಇವೆ. ನಿಮಗಾಗಿ ನಿರ್ಣಯಿಸಿ:

ಲಾಗ್ 3 x 2 = 2 ∙ ಲಾಗ್ 3 x

ಮೊದಲ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ x 0 ಅನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಬಹುದು, ಅಂದರೆ x ≠ 0, ನಂತರ ಎರಡನೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾವು x ನೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ ತೃಪ್ತರಾಗಿದ್ದೇವೆ, ಅದು ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ 0 ಗಿಂತ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಡೊಮೇನ್ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವೆಂದರೆ ವಾದವು 0 ಗಿಂತ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾನು ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ ಅದ್ಭುತ ಸೂತ್ರ 8ನೇ-9ನೇ ತರಗತಿಯ ಬೀಜಗಣಿತ ಕೋರ್ಸ್‌ನಿಂದ:

ಅಂದರೆ, ನಾವು ನಮ್ಮ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬೇಕು:

ಲಾಗ್ 3 x 2 = 2 ∙ ಲಾಗ್ 3 |x |

ನಂತರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯ ಯಾವುದೇ ಕಿರಿದಾಗುವಿಕೆ ಸಂಭವಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇಂದಿನ ವೀಡಿಯೊ ಟ್ಯುಟೋರಿಯಲ್ ನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಚೌಕಗಳು ಇರುವುದಿಲ್ಲ. ನೀವು ನಮ್ಮ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನೋಡಿದರೆ, ನೀವು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ನೋಡುತ್ತೀರಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಈ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅದನ್ನು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಇನ್ನೂ ಅಗತ್ಯವಾಗಿದೆ ಸರಿಯಾದ ಕ್ಷಣನೀವು ನೋಡಿದಾಗ ಚತುರ್ಭುಜ ಕಾರ್ಯಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಅಥವಾ ಬೇಸ್ನಲ್ಲಿ, ನೀವು ಈ ನಿಯಮವನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೀರಿ.

ಆದ್ದರಿಂದ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣ ಹೀಗಿದೆ:

ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದಗಳನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ನೋಡಲು ನಾನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸುತ್ತೇನೆ.

ಮೊದಲ ಪದವನ್ನು ಶಕ್ತಿಯಾಗಿ ಪುನಃ ಬರೆಯೋಣ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸೂಚಕ:

ನಾವು ಎರಡನೇ ಪದವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ: ಲಾಗ್ 3 (1 - x). ಇಲ್ಲಿ ಏನನ್ನೂ ಮಾಡುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ, ಎಲ್ಲವೂ ಈಗಾಗಲೇ ಇಲ್ಲಿ ರೂಪಾಂತರಗೊಂಡಿದೆ.

ಅಂತಿಮವಾಗಿ, 0, 5. ನಾನು ಹಿಂದಿನ ಪಾಠಗಳಲ್ಲಿ ಹೇಳಿದಂತೆ, ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದಗಳಿಗಿಂತ ಚಲಿಸುವಂತೆ ನಾನು ಹೆಚ್ಚು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ನಾವಿದನ್ನು ಮಾಡೋಣ:

0,5 = 5/10 = 1/2

ಫಲಿತಾಂಶದ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ನಮ್ಮ ಮೂಲ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯೋಣ:

ಲಾಗ್ 3 (1 - x ) = 1

ಈಗ ನಾವು ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪಕ್ಕೆ ಹೋಗೋಣ:

ಲಾಗ್ 3 (1 - x ) = ಲಾಗ್ 3 3

ವಾದಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕುತ್ತೇವೆ:

1 - x = 3

-x = 2

x = -2

ಅಷ್ಟೆ, ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅದನ್ನು ಇನ್ನೂ ಸುರಕ್ಷಿತವಾಗಿ ಪ್ಲೇ ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಮೂಲ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ ನೋಡೋಣ ಮತ್ತು ನೋಡಿ:

1 - x > 0

−x > -1

X< 1

ನಮ್ಮ ಮೂಲ x = -2 ಈ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ x = -2 ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. ಈಗ ನಾವು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ, ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಸಮರ್ಥನೆಯನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಅಷ್ಟೆ, ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಎರಡನೇ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಹೋಗೋಣ:

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ನೋಡೋಣ.

ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಬರೆಯೋಣ:

ನಾವು ಮೊದಲ ಅವಧಿಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿದ್ದೇವೆ. ನಾವು ಎರಡನೇ ಅವಧಿಯೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:

ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಕೊನೆಯ ಪದವು ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿದೆ:

ಫಲಿತಾಂಶದ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿನ ಪದಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ನಾವು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಲಾಗ್ 3 x = 1

ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪಕ್ಕೆ ಹೋಗೋಣ:

ಲಾಗ್ 3 x = ಲಾಗ್ 3 3

ನಾವು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕುತ್ತೇವೆ, ವಾದಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

x = 3

ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ, ಸುರಕ್ಷಿತ ಬದಿಯಲ್ಲಿರಲು, ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ ನೋಡೋಣ ಮತ್ತು ನೋಡೋಣ. ಮೂಲ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ, ವೇರಿಯಬಲ್ x ವಾದದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಇರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ,

x > 0

ಎರಡನೇ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನಲ್ಲಿ, x ಮೂಲ ಅಡಿಯಲ್ಲಿದೆ, ಆದರೆ ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ವಾದದಲ್ಲಿ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೂಲವು 0 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರಬೇಕು, ಅಂದರೆ, ಮೂಲಭೂತ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ 0 ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿರಬೇಕು. ನಾವು ನಮ್ಮ ಮೂಲ x = 3 ಅನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಇದು ಈ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, x = 3 ಮೂಲ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. ಅಷ್ಟೆ, ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಇಂದಿನ ವೀಡಿಯೊ ಟ್ಯುಟೋರಿಯಲ್ ನಲ್ಲಿ ಎರಡು ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶಗಳಿವೆ:

1) ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸಲು ಹಿಂಜರಿಯದಿರಿ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಅಧಿಕಾರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಹಿಂಜರಿಯದಿರಿ, ನಮ್ಮ ಮೂಲ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುವಾಗ: ವಾದದಿಂದ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವಾಗ, ಅದನ್ನು ಬದಲಾವಣೆಗಳಿಲ್ಲದೆ ಸರಳವಾಗಿ ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ ಗುಣಕವಾಗಿ, ಮತ್ತು ಬೇಸ್ನಿಂದ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವಾಗ, ಈ ಶಕ್ತಿಯು ವಿಲೋಮವಾಗುತ್ತದೆ.

2) ಎರಡನೆಯ ಅಂಶವು ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣ ಸೂತ್ರದ ರೂಪಾಂತರದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆ ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ. ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನಾನು ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ:

a = ಲಾಗ್ ಬಿ ಬಿ ಎ

ಸಹಜವಾಗಿ, "ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ ಬಿ" ಎಂಬ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ, ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವಿಧಿಸಲಾದ ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಾನು ಅರ್ಥೈಸುತ್ತೇನೆ, ಅಂದರೆ.

1 ≠ b > 0

ಅಂತಹ ಬಿ, ಮತ್ತು ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಆಧಾರವನ್ನು ತಿಳಿದಿರುವ ಕಾರಣ, ಈ ಅವಶ್ಯಕತೆಯು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ಪೂರೈಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಅಂತಹ ಬಿ - ಈ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಯಾವುದಾದರೂ - ಈ ಪರಿವರ್ತನೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ನಾವು ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ನಾವು ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಬಹುದು.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಬೇರುಗಳ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವುದು

ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನ ಸೂಚ್ಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಸಂಭವಿಸಬಹುದು. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಇದನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಇದು ತಪ್ಪುಗಳು ಮತ್ತು ತಪ್ಪು ಉತ್ತರಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ.

ಸರಳವಾದ ವಿನ್ಯಾಸಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ. ಸರಳವಾದ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆ:

ಲಾಗ್ a f (x) = b

ಒಂದು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಒಂದು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ x ಇರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನಾವು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ? ನಾವು ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, b = log a a b ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಊಹಿಸಿ, ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪುನಃ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

log a f (x) = log a a b

ಈ ನಮೂದನ್ನು ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇಂದಿನ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಯಾವುದೇ ಸ್ವತಂತ್ರ ಮತ್ತು ಪರೀಕ್ಷಾ ಕೆಲಸದಲ್ಲಿಯೂ ನೀವು ಎದುರಿಸುವ ಯಾವುದೇ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀವು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬೇಕು.

ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪಕ್ಕೆ ಹೇಗೆ ಬರುವುದು ಮತ್ತು ಯಾವ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಅಭ್ಯಾಸದ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ. ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ನೀವು ಅಂತಹ ದಾಖಲೆಯನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ ತಕ್ಷಣ, ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೀವು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಏಕೆಂದರೆ ಮುಂದಿನ ನಡೆಒಂದು ನಮೂದು ಇರುತ್ತದೆ:

f (x) = a b

ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನಾವು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ವಾದಗಳನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಸಮೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಯಾಕೆ ಇಷ್ಟೆಲ್ಲಾ ಮಾತು? ಸತ್ಯವೆಂದರೆ ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪವು ಸರಳವಾದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಇತರರಿಗೂ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ನಾವು ಇಂದು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ. ನೋಡೋಣ.

ಮೊದಲ ಕಾರ್ಯ:

ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಸಮಸ್ಯೆ ಏನು? ಕಾರ್ಯವು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದು ಸತ್ಯ. ಒಂದು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಇನ್ನೊಂದರಿಂದ ಸರಳವಾಗಿ ಕಳೆಯುವ ಮೂಲಕ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಆದರೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರದೇಶದೊಂದಿಗೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ: ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಬೇರುಗಳು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಬಲಕ್ಕೆ ಸರಿಸೋಣ:

ಈ ನಮೂದು ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚು ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಇನ್ನೂ ಒಂದು ಸೂಕ್ಷ್ಮ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿದೆ: ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪದಲ್ಲಿ, ವಾದಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರಬೇಕು. ಮತ್ತು ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾವು ಬೇಸ್ 3 ರಲ್ಲಿ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಬೇಸ್ 1/3 ರಲ್ಲಿ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ. ಈ ಆಧಾರಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ತರಬೇಕು ಎಂದು ಅವನಿಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಶಕ್ತಿಗಳು ಯಾವುವು ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳೋಣ:

ತದನಂತರ ನಾವು ಲಾಗ್‌ನ ಹೊರಗಿನ “−1” ಘಾತವನ್ನು ಗುಣಕವಾಗಿ ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ: ತಳದಲ್ಲಿದ್ದ ಪದವಿಯನ್ನು ತಿರುಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಭಾಗವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಭಿನ್ನ ನೆಲೆಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಬಹುತೇಕ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ, ಆದರೆ ಪ್ರತಿಯಾಗಿ ನಾವು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ "−1" ಅಂಶವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಈ ಅಂಶವನ್ನು ಶಕ್ತಿಯನ್ನಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಮೂಲಕ ವಾದಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗೋಣ:

ಸಹಜವಾಗಿ, ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ ನಂತರ, ನಾವು ಧೈರ್ಯದಿಂದ ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ದಾಟುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ವಾದಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, “−1” ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿದಾಗ, ಭಾಗವನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ತಿರುಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ - ಅನುಪಾತವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾನು ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ.

ಅನುಪಾತದ ಮೂಲ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸೋಣ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಅಡ್ಡಲಾಗಿ ಗುಣಿಸೋಣ:

(x - 4) (2x - 1) = (x - 5) (3x - 4)

2x 2 - x - 8x + 4 = 3x 2 - 4x - 15x + 20

2x 2 - 9x + 4 = 3x 2 - 19x + 20

x 2 - 10x + 16 = 0

ನಮ್ಮ ಮುಂದೆ ಏನಿದೆ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ವಿಯೆಟಾದ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ:

(x - 8)(x - 2) = 0

x 1 = 8; x 2 = 2

ಅಷ್ಟೇ. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೀವು ಭಾವಿಸುತ್ತೀರಾ? ಇಲ್ಲ! ಅಂತಹ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು 0 ಅಂಕಗಳನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣವು ವೇರಿಯಬಲ್ x ನೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ ವಿನೋದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಗೊಂದಲಕ್ಕೊಳಗಾಗಿದ್ದಾರೆ: ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಯಾವುದು? ಸಹಜವಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ವಾದಗಳು (ನಮಗೆ ಎರಡು ಇವೆ) ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರಬೇಕು:

(x - 4)/(3x - 4) > 0

(x - 5)/(2x - 1) > 0

ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕು, ಸರಳ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಬೇಕು, ಛೇದಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಛೇದಕದಲ್ಲಿ ಯಾವ ಬೇರುಗಳು ಇರುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಮಾತ್ರ ನೋಡಬೇಕು.

ನಾನು ಪ್ರಾಮಾಣಿಕವಾಗಿ ಹೇಳುತ್ತೇನೆ: ಈ ತಂತ್ರವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಲು ಹಕ್ಕನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನೀವು ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ, ಆದರೆ ಅದರಲ್ಲಿ ತುಂಬಾ ಇದೆ. ಅನಗತ್ಯ ಕ್ರಮಗಳು. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ನಮ್ಮ ಪರಿಹಾರದ ಮೂಲಕ ಹೋಗೋಣ ಮತ್ತು ನೋಡೋಣ: ನಾವು ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಎಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸಬೇಕು? ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನಿಖರವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಬೇರುಗಳು ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಾಗ ನೀವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು.

1. ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ಎರಡು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ನಂತರ ನಾವು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಬಲಕ್ಕೆ ಸರಿಸಿದ್ದೇವೆ, ಆದರೆ ಇದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರದೇಶದ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರಲಿಲ್ಲ.
2. ನಂತರ ನಾವು ಬೇಸ್ನಿಂದ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುತ್ತೇವೆ, ಆದರೆ ಇನ್ನೂ ಎರಡು ಲಾಗರಿಥಮ್ಗಳು ಇವೆ, ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲೂ ವೇರಿಯಬಲ್ x ಇರುತ್ತದೆ.
3. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ನಾವು ಲಾಗ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ದಾಟುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಕ್ಲಾಸಿಕ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಭಾಗಶಃ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಮೀಕರಣ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವುದು ಕೊನೆಯ ಹಂತದಲ್ಲಿದೆ! ನಾವು ಭಾಗಶಃ-ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ತೆರಳಿದ ತಕ್ಷಣ, ಲಾಗ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು, ವೇರಿಯಬಲ್ x ನ ಅಗತ್ಯತೆಗಳು ನಾಟಕೀಯವಾಗಿ ಬದಲಾಗಿದೆ!

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಪರಿಹಾರದ ಪ್ರಾರಂಭದಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾದ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ - ವಾದಗಳನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಸಮೀಕರಿಸುವ ಮೊದಲು.

ಇಲ್ಲಿಯೇ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್‌ಗೆ ಅವಕಾಶವಿದೆ. ಒಂದೆಡೆ, ಎರಡೂ ವಾದಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರಬೇಕು. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ನಾವು ಈ ವಾದಗಳನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ಸಮೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದಾದರೂ ಸಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಎರಡನೆಯದು ಸಹ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ!

ಆದ್ದರಿಂದ ಎರಡು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಪೂರೈಸುವುದು ಅತಿಯಾಗಿ ಕೊಲ್ಲುವುದು ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ಈ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸಲು ಸಾಕು. ಯಾವುದು? ಸರಳವಾದದ್ದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬಲಭಾಗದ ಭಾಗವನ್ನು ನೋಡೋಣ:

(x - 5)/(2x - 1) > 0

ಇದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿದೆ ಭಾಗಶಃ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಅಸಮಾನತೆ, ಮಧ್ಯಂತರ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಇಡುವುದು? ನಮ್ಮ ಎಲ್ಲಾ ಬೇರುಗಳಿಗಿಂತ ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 1 ಬಿಲಿಯನ್. ಮತ್ತು ನಾವು ಅದರ ಭಾಗವನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ, ಅಂದರೆ x = 5 ರೂಟ್‌ನ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಪ್ಲಸ್ ಚಿಹ್ನೆ ಇರುತ್ತದೆ.

ನಂತರ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಎಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ ಬಹುಸಂಖ್ಯೆಯ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ. ಕಾರ್ಯವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, x ∈ (−∞; -1/2)∪(5; +∞).

ಈಗ ಉತ್ತರಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಸೋಣ: x = 8 ಮತ್ತು x = 2. ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಇವುಗಳು ಇನ್ನೂ ಉತ್ತರಗಳಲ್ಲ, ಆದರೆ ಉತ್ತರಕ್ಕಾಗಿ ಅಭ್ಯರ್ಥಿಗಳು ಮಾತ್ರ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಸೆಟ್‌ಗೆ ಯಾವುದು ಸೇರಿದೆ? ಸಹಜವಾಗಿ, x = 8. ಆದರೆ x = 2 ಅದರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ನಮಗೆ ಸರಿಹೊಂದುವುದಿಲ್ಲ.

ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ, ಮೊದಲ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಉತ್ತರವು x = 8 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಈಗ ನಾವು ಸರಿಯಾದದನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ, ತಿಳುವಳಿಕೆಯುಳ್ಳ ನಿರ್ಧಾರವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು.

ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಹೋಗೋಣ:

ಲಾಗ್ 5 (x - 9) = ಲಾಗ್ 0.5 4 - ಲಾಗ್ 5 (x - 5) + 3

ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗವಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಅದನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಬೇಕು ಎಂದು ನಾನು ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, 0.5 ಅನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯೋಣ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಗ. ಈ ನೆಲೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ತಕ್ಷಣ ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಇದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯವಾದ ಕ್ಷಣ! ನಾವು ಬೇಸ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಎರಡರಲ್ಲೂ ಡಿಗ್ರಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ, ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸೂಚಕಗಳನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯಬಹುದು:

ನಮ್ಮ ಮೂಲ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯೋಣ:

ಲಾಗ್ 5 (x - 9) = 1 - ಲಾಗ್ 5 (x - 5)

ನಾವು ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪಕ್ಕೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಹತ್ತಿರವಾದ ವಿನ್ಯಾಸವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ನಾವು ಗೊಂದಲಕ್ಕೊಳಗಾಗಿದ್ದೇವೆ. ಬೇಸ್ 5 ಗೆ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಆಗಿ ಒಂದನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸೋಣ:

ಲಾಗ್ 5 (x - 9) = ಲಾಗ್ 5 5 1 - ಲಾಗ್ 5 (x - 5)

ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ (ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅವರ ವಾದಗಳನ್ನು ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ):

ಲಾಗ್ 5 (x - 9) = ಲಾಗ್ 5 5/(x - 5)

ಅದ್ಭುತ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ! ನಾವು ಲಾಗ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ದಾಟುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ವಾದಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ:

(x - 9)/1 = 5/(x - 5)

ಇದು ಅಡ್ಡವಾಗಿ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ:

(x - 9)(x - 5) = 5 1

x 2 - 9x - 5x + 45 = 5

x 2 - 14x + 40 = 0

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ನಾವು ಕಡಿಮೆ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ವಿಯೆಟಾದ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಇದನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು:

(x - 10)(x - 4) = 0

x 1 = 10

x 2 = 4

ನಮಗೆ ಎರಡು ಬೇರುಗಳಿವೆ. ಆದರೆ ಇವು ಅಂತಿಮ ಉತ್ತರಗಳಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅಭ್ಯರ್ಥಿಗಳು ಮಾತ್ರ, ಏಕೆಂದರೆ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

ನಾನು ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ: ಯಾವಾಗ ಹುಡುಕುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ ಪ್ರತಿವಾದಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್-x - 9 ಅಥವಾ 5/(x - 5)-ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿರಬೇಕೆಂದು ಬಯಸುವುದು ಸಾಕು. ಮೊದಲ ವಾದವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:

x - 9 > 0

x > 9

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, x = 10 ಮಾತ್ರ ಈ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಅಂತಿಮ ಉತ್ತರವಾಗಿದೆ. ಇಡೀ ಸಮಸ್ಯೆ ಬಗೆಹರಿದಿದೆ.

ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ, ಇಂದಿನ ಪಾಠದ ಪ್ರಮುಖ ಆಲೋಚನೆಗಳು:

1. ವೇರಿಯೇಬಲ್ x ಹಲವಾರು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡ ತಕ್ಷಣ, ಸಮೀಕರಣವು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿರುವುದನ್ನು ನಿಲ್ಲಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ ನೀವು ಸುಲಭವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು.
2. ನಾವು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ಬರೆದರೆ ಡೊಮೇನ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದನ್ನು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಸರಳಗೊಳಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ನಾವು ಲಾಗ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಿದಾಗ ನಿಖರವಾಗಿ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ. ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ವಾದಗಳನ್ನು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸಮೀಕರಿಸಿದಾಗ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಮಾತ್ರ ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನದಾಗಿರಬೇಕು.

ಸಹಜವಾಗಿ, ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಯಾವ ವಾದವನ್ನು ಬಳಸಬೇಕೆಂದು ನಾವೇ ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸರಳವಾದದನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದು ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ನಾವು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ (x - 9) - ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯ, ಭಿನ್ನರಾಶಿ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಎರಡನೇ ವಾದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ. ಒಪ್ಪುತ್ತೇನೆ, ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು x − 9 > 0 5/(x - 5) > 0 ಗಿಂತ ತುಂಬಾ ಸುಲಭ. ಫಲಿತಾಂಶವು ಒಂದೇ ಆಗಿದ್ದರೂ.

ಈ ಹೇಳಿಕೆಯು ODZ ಗಾಗಿ ಹುಡುಕಾಟವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸರಳಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಜಾಗರೂಕರಾಗಿರಿ: ವಾದಗಳು ನಿಖರವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ನೀವು ಎರಡರ ಬದಲಿಗೆ ಒಂದು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ!

ಸಹಜವಾಗಿ, ಯಾರಾದರೂ ಈಗ ಕೇಳುತ್ತಾರೆ: ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಏನಾಗುತ್ತದೆ? ಹೌದು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಹಂತದಲ್ಲೇ, ನಾವು ವೇರಿಯಬಲ್ ಹೊಂದಿರುವ ಎರಡು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ಅಪಾಯವಿದೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಬೇರುಗಳು.

ನಿಮಗಾಗಿ ನಿರ್ಣಯಿಸಿ: ಮೊದಲು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಾದಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರಬೇಕು, ಆದರೆ ಗುಣಿಸಿದ ನಂತರ ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ ಸಾಕು. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವ ಸಂದರ್ಭವು ತಪ್ಪಿಹೋಗುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ನೀವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರೆ, ಯಾವುದೇ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ವೇರಿಯಬಲ್ x ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಬೇಡಿ - ಇದು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಅನಗತ್ಯ ಬೇರುಗಳ ನೋಟಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಹೆಜ್ಜೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಉತ್ತಮ, ಒಂದು ಪದವನ್ನು ಇನ್ನೊಂದು ಬದಿಗೆ ಸರಿಸಿ ಮತ್ತು ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪವನ್ನು ರಚಿಸುವುದು.

ಸರಿ, ಅಂತಹ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸದೆ ನೀವು ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದಿದ್ದರೆ ಏನು ಮಾಡಬೇಕು, ನಾವು ಮುಂದಿನ ವೀಡಿಯೊ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸುತ್ತೇವೆ. :)

ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿನ ಶಕ್ತಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ

ಇಂದು ನಾವು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಜಾರು ವಿಷಯವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ವಾದಗಳು ಮತ್ತು ನೆಲೆಗಳಿಂದ ಅಧಿಕಾರವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುತ್ತೇವೆ.

ನಾನು ಕೂಡ ಹೇಳುತ್ತೇನೆ ನಾವು ಮಾತನಾಡುತ್ತೇವೆಸಮ ಅಧಿಕಾರಗಳ ತೆಗೆದುಹಾಕುವಿಕೆಯ ಬಗ್ಗೆ, ಏಕೆಂದರೆ ನೈಜ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಹೆಚ್ಚಿನ ತೊಂದರೆಗಳು ಉಂಟಾಗುತ್ತವೆ.

ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ. ನಾವು ಲಾಗ್ a f (x) = b ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು b = log a a b ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು b ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಹೊರಹಾಕುತ್ತದೆ:

log a f (x) = log a a b

ನಂತರ ನಾವು ವಾದಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ:

f (x) = a b

ಅಂತಿಮ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಅವರು ಯಾವುದೇ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತಾರೆ, ಅದು ಮೊದಲ ನೋಟದಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟೇ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮತ್ತು ಭಯಾನಕವೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ. ಮೊದಲ ಕಾರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ:

ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಟಿಪ್ಪಣಿ: ನಾನು ಹೇಳಿದಂತೆ, ಎಲ್ಲವೂ ದಶಮಾಂಶಗಳುಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾದವುಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು ಉತ್ತಮ:

0,5 = 5/10 = 1/2

ಈ ಸಂಗತಿಯನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ನಮ್ಮ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯೋಣ. 1/1000 ಮತ್ತು 100 ಇವೆರಡೂ ಹತ್ತರ ಶಕ್ತಿಗಳಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ತದನಂತರ ಅವು ಎಲ್ಲಿದ್ದರೂ ಅಧಿಕಾರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ: ವಾದಗಳಿಂದ ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಆಧಾರದಿಂದ:

ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ: "ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಲ್ಲಿಂದ ಬಂತು?" ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಏಕೆ ಸರಳವಾಗಿ ಬರೆಯಬಾರದು (x - 1)? ಸಹಜವಾಗಿ, ಈಗ ನಾವು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ (x - 1), ಆದರೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅಂತಹ ಸಂಕೇತದ ಹಕ್ಕನ್ನು ನಮಗೆ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ಮತ್ತೊಂದು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಈಗಾಗಲೇ ಹೊಂದಿದೆ (x - 1), ಮತ್ತು ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರಬೇಕು.

ಆದರೆ ನಾವು ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ತಳದಿಂದ ಚೌಕವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿದಾಗ, ನಾವು ನಿಖರವಾಗಿ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಅನ್ನು ಬೇಸ್ನಲ್ಲಿ ಬಿಡಬೇಕು. ಏಕೆ ಎಂದು ನಾನು ವಿವರಿಸುತ್ತೇನೆ.

ಸತ್ಯವೆಂದರೆ, ಗಣಿತದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಪದವಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಮೂಲವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ನಾವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ (x - 1) 2 ಅನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಎರಡನೇ ಮೂಲವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಆದರೆ ವರ್ಗಮೂಲವು ಮಾಡ್ಯುಲಸ್‌ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚೇನೂ ಅಲ್ಲ. ನಿಖರವಾಗಿ ಘಟಕ, ಏಕೆಂದರೆ x - 1 ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೂ ಸಹ, ವರ್ಗ ಮಾಡಿದಾಗ, "ಮೈನಸ್" ಇನ್ನೂ ಸುಟ್ಟುಹೋಗುತ್ತದೆ. ಮೂಲದ ಮತ್ತಷ್ಟು ಹೊರತೆಗೆಯುವಿಕೆ ನಮಗೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ - ಯಾವುದೇ ಮೈನಸಸ್ ಇಲ್ಲದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಆಕ್ರಮಣಕಾರಿ ತಪ್ಪುಗಳನ್ನು ಮಾಡುವುದನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು, ಒಮ್ಮೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ನೆನಪಿಡಿ:

ಅದೇ ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿಸಲಾದ ಯಾವುದೇ ಕ್ರಿಯೆಯ ಸಮ ಶಕ್ತಿಯ ಮೂಲವು ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅದರ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ನಮ್ಮ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ ನೋಡೋಣ. ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಾ, ನಾವು ಅದನ್ನು ನೋವುರಹಿತವಾಗಿ ತೆಗೆದುಹಾಕಬಹುದು ಎಂದು ನಾನು ವಾದಿಸಿದೆ. ಇದು ಸತ್ಯ. ಈಗ ನಾನು ಏಕೆ ವಿವರಿಸುತ್ತೇನೆ. ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನಾವು ಎರಡು ಆಯ್ಕೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ:

1. x − 1 > 0 ⇒ |x - 1| = x - 1
2. x - 1< 0 ⇒ |х − 1| = −х + 1

ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಆಯ್ಕೆಗಳನ್ನು ತಿಳಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಆದರೆ ಒಂದು ಕ್ಯಾಚ್ ಇದೆ: ಮೂಲ ಸೂತ್ರವು ಈಗಾಗಲೇ ಯಾವುದೇ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಇಲ್ಲದೆ ಕಾರ್ಯವನ್ನು (x - 1) ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ, x - 1 > 0 ಎಂದು ತಕ್ಷಣವೇ ಬರೆಯಲು ನಮಗೆ ಹಕ್ಕಿದೆ.

ಪರಿಹಾರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ನಾವು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಯಾವುದೇ ಮಾಡ್ಯೂಲ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಇತರ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆಯೇ ಈ ಅವಶ್ಯಕತೆಯನ್ನು ಪೂರೈಸಬೇಕು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಎರಡನೆಯ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದರಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಅರ್ಥವಿಲ್ಲ - ಅದು ಎಂದಿಗೂ ಉದ್ಭವಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಅಸಮಾನತೆಯ ಶಾಖೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ನಾವು ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪಡೆದರೂ ಸಹ, ಅವುಗಳನ್ನು ಅಂತಿಮ ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಈಗ ನಾವು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪದಿಂದ ಅಕ್ಷರಶಃ ಒಂದು ಹೆಜ್ಜೆ ದೂರದಲ್ಲಿದ್ದೇವೆ. ಘಟಕವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸೋಣ:

1 = ಲಾಗ್ x - 1 (x - 1) 1

ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಅಂಶ −4 ಅನ್ನು ನಾವು ವಾದದಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಲಾಗ್ x - 1 10 −4 = ಲಾಗ್ x - 1 (x - 1)

ನಮ್ಮ ಮುಂದೆ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕುತ್ತೇವೆ:

10 -4 = x - 1

ಆದರೆ ಆಧಾರವು ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ (ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಅಲ್ಲ), ಈ ಕಾರ್ಯವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಹೀಗಿರುತ್ತದೆ:

x - 1 > 0 ಅವಶ್ಯಕತೆಯು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ತೃಪ್ತಿಗೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ (ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, x - 1 = 10 -4), ನಮ್ಮ ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನಿಂದ ಅಸಮಾನತೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಅಳಿಸಬಹುದು. ಎರಡನೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸಹ ದಾಟಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ x - 1 = 0.0001< 1. Итого получаем:

x = 1 + 0.0001 = 1.0001

ಲಾಗರಿಥಮ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳನ್ನು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ಪೂರೈಸುವ ಏಕೈಕ ಮೂಲ ಇದು (ಆದಾಗ್ಯೂ, ನಮ್ಮ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಪೂರೈಸಿದಂತೆ ಎಲ್ಲಾ ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾಗಿದೆ).

ಆದ್ದರಿಂದ ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣ:

3 ಲಾಗ್ 3 x x = 2 ಲಾಗ್ 9 x x 2

ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಹೇಗೆ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ? ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಆಧಾರಗಳು - 3x ಮತ್ತು 9x - ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಪದವಿಗಳುಪರಸ್ಪರ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಹಿಂದಿನ ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ ನಾವು ಬಳಸಿದ ಪರಿವರ್ತನೆಯು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಪದವಿಗಳಾದರೂ ತೊಲಗಲಿ. ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಎರಡನೇ ವಾದದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಪದವಿ ಇದೆ:

3 ಲಾಗ್ 3 x x = 2 ∙ 2 ಲಾಗ್ 9 x |x |

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ವೇರಿಯಬಲ್ x ಸಹ ತಳದಲ್ಲಿದೆ, ಅಂದರೆ. x > 0 ⇒ |x| = x. ನಮ್ಮ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯೋಣ:

3 ಲಾಗ್ 3 x x = 4 ಲಾಗ್ 9 x x

ವಾದಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುವ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ನಾವು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ, ಆದರೆ ವಿವಿಧ ಕಾರಣಗಳು. ಮುಂದೆ ಏನು ಮಾಡಬೇಕು? ಇಲ್ಲಿ ಹಲವು ಆಯ್ಕೆಗಳಿವೆ, ಆದರೆ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡನ್ನು ಮಾತ್ರ ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅದು ಅತ್ಯಂತ ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಮುಖ್ಯವಾಗಿ, ಇವುಗಳು ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ತ್ವರಿತ ಮತ್ತು ಅರ್ಥವಾಗುವ ತಂತ್ರಗಳಾಗಿವೆ.

ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಮೊದಲ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದೇವೆ: ಯಾವುದೇ ಅಸ್ಪಷ್ಟ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ವೇರಿಯಬಲ್ ಬೇಸ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರ ಬೇಸ್‌ಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಡ್ಯೂಸ್ಗೆ. ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸೂತ್ರವು ಸರಳವಾಗಿದೆ:

ಸಹಜವಾಗಿ, ವೇರಿಯಬಲ್ ಸಿ ಪಾತ್ರವು ಇರಬೇಕು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ: 1 ≠ c > 0. ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ c = 2. ಈಗ ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಮ್ಮ ಮುಂದೆ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ನಾವು ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸುತ್ತೇವೆ:

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಲಾಗ್ 2 x ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವುದು ಉತ್ತಮ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ.

ಲಾಗ್ 2 x = 0;

3 ಲಾಗ್ 2 9x = 4 ಲಾಗ್ 2 3x

ನಾವು ಪ್ರತಿ ಲಾಗ್ ಅನ್ನು ಎರಡು ಪದಗಳಾಗಿ ಒಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಲಾಗ್ 2 9x = ಲಾಗ್ 2 9 + ಲಾಗ್ 2 x = 2 ಲಾಗ್ 2 3 + ಲಾಗ್ 2 x;

ಲಾಗ್ 2 3x = ಲಾಗ್ 2 3 + ಲಾಗ್ 2 x

ಈ ಸತ್ಯಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯೋಣ:

3 (2 ಲಾಗ್ 2 3 + ಲಾಗ್ 2 x ) = 4 (ಲಾಗ್ 2 3 + ಲಾಗ್ 2 x )

6 ಲಾಗ್ 2 3 + 3 ಲಾಗ್ 2 x = 4 ಲಾಗ್ 2 3 + 4 ಲಾಗ್ 2 x

2 ಲಾಗ್ 2 3 = ಲಾಗ್ 2 x

ಈಗ ಉಳಿದಿರುವುದು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಎರಡನ್ನು ನಮೂದಿಸುವುದು (ಇದು ಶಕ್ತಿಯಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ: 3 2 = 9):

ಲಾಗ್ 2 9 = ಲಾಗ್ 2 x

ನಮಗೆ ಮೊದಲು ಕ್ಲಾಸಿಕ್ ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪವಾಗಿದೆ, ನಾವು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ನಿರೀಕ್ಷೆಯಂತೆ, ಈ ಮೂಲವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ. ಕಾರಣಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ:

ಆದರೆ ರೂಟ್ x = 9 ಈ ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಇದು ಅಂತಿಮ ನಿರ್ಧಾರವಾಗಿದೆ.

ನಿಂದ ತೀರ್ಮಾನ ಈ ನಿರ್ಧಾರಸರಳ: ದೀರ್ಘ ವಿನ್ಯಾಸಗಳಿಂದ ಭಯಪಡಬೇಡಿ! ಪ್ರಾರಂಭದಲ್ಲಿಯೇ ನಾವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಹೊಸ ನೆಲೆಯನ್ನು ಆರಿಸಿದ್ದೇವೆ - ಮತ್ತು ಇದು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಸಂಕೀರ್ಣಗೊಳಿಸಿತು.

ಆದರೆ ನಂತರ ಪ್ರಶ್ನೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ: ಯಾವ ಆಧಾರ ಸೂಕ್ತ? ನಾನು ಇದನ್ನು ಎರಡನೇ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಮಾತನಾಡುತ್ತೇನೆ.

ನಮ್ಮ ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ ನೋಡೋಣ:

3 ಲಾಗ್ 3x x = 2 ಲಾಗ್ 9x x 2

3 ಲಾಗ್ 3x x = 2 ∙ 2 ಲಾಗ್ 9x |x |

x > 0 ⇒ |x| = x

3 ಲಾಗ್ 3 x x = 4 ಲಾಗ್ 9 x x

ಈಗ ಸ್ವಲ್ಪ ಯೋಚಿಸೋಣ: ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆ ಅಥವಾ ಕಾರ್ಯವು ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ? ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಆಯ್ಕೆ c = x ಇರುತ್ತದೆ - ಈಗಾಗಲೇ ವಾದಗಳಲ್ಲಿ ಏನಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, log a b = log c b / log c a ಸೂತ್ರವು ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ:

ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಸರಳವಾಗಿ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ವಾದ ಮತ್ತು ಆಧಾರವು ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ.

ಈ ಸೂತ್ರವು ತುಂಬಾ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ ಒಂದು ಗಂಭೀರವಾದ ಅಪಾಯವಿದೆ. ನಾವು ಬೇಸ್ ಬದಲಿಗೆ ವೇರಿಯಬಲ್ x ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿದರೆ, ಈ ಹಿಂದೆ ಗಮನಿಸದ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ಅದರ ಮೇಲೆ ವಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ ಮಿತಿ ಇರಲಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, x = 1 ಆಗಿರುವಾಗ ನಾವು ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಬೇಕು. ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಮ್ಮ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ:

3 ಲಾಗ್ 3 1 = 4 ಲಾಗ್ 9 1

ಸರಿಯಾಗುತ್ತಿದೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಮಾನತೆ. ಆದ್ದರಿಂದ x = 1 ಒಂದು ಮೂಲವಾಗಿದೆ. ಪರಿಹಾರದ ಪ್ರಾರಂಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ಹಿಂದಿನ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಮೂಲವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ.

ಆದರೆ ಈಗ ನಾವು ಇದನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ನೋಡಿದ್ದೇವೆ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣ, x ≠ 1 ಎಂದು ನಾವು ಸುರಕ್ಷಿತವಾಗಿ ಊಹಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ ನಮ್ಮ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

3 ಲಾಗ್ x 9x = 4 ಲಾಗ್ x 3x

ನಾವು ಮೊದಲಿನಂತೆಯೇ ಅದೇ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಎರಡೂ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಲಾಗ್ x x = 1 ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ:

3 (ಲಾಗ್ x 9 + ಲಾಗ್ x x ) = 4 (ಲಾಗ್ x 3 + ಲಾಗ್ x x )

3 ಲಾಗ್ x 9 + 3 = 4 ಲಾಗ್ x 3 + 4

3 ಲಾಗ್ x 3 2 - 4 ಲಾಗ್ x 3 = 4 - 3

2 ಲಾಗ್ x 3 = 1

ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪಕ್ಕೆ ಬಂದಿದ್ದೇವೆ:

ಲಾಗ್ x 9 = ಲಾಗ್ x x 1

x=9

ನಮಗೆ ಎರಡನೇ ಮೂಲ ಸಿಕ್ಕಿತು. ಇದು ಅವಶ್ಯಕತೆ x ≠ 1 ಅನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, x = 1 ಜೊತೆಗೆ x = 9 ಅಂತಿಮ ಉತ್ತರವಾಗಿದೆ.

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಪರಿಮಾಣವು ಸ್ವಲ್ಪ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ನಿಜವಾದ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಹಂತಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ತುಂಬಾ ಕಡಿಮೆ ಇರುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ನೀವು ಪ್ರತಿ ಹಂತವನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ವಿವರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಇಂದಿನ ಪಾಠದ ಪ್ರಮುಖ ನಿಯಮವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ: ಸಮಸ್ಯೆಯು ಸಮ ಪದವಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದೇ ಪದವಿಯ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆಗ ಔಟ್ಪುಟ್ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ಗೆ ನೀವು ಗಮನ ನೀಡಿದರೆ ಈ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಬಹುದು.

ಆದರೆ ಜಾಗರೂಕರಾಗಿರಿ: ಈ ಪಾಠದ ನಂತರ, ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸುತ್ತಾರೆ. ಆದರೆ ನಿರ್ಧರಿಸುವಾಗ ನಿಜವಾದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳುಅವರು ಸಂಪೂರ್ಣ ತಾರ್ಕಿಕ ಸರಪಳಿಯನ್ನು ಪುನರುತ್ಪಾದಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಸಮೀಕರಣವು ಅನಗತ್ಯ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಉತ್ತರವು ತಪ್ಪಾಗಿದೆ ಎಂದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ.

ಈ ವೀಡಿಯೊದೊಂದಿಗೆ ನಾನು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಪಾಠಗಳ ದೀರ್ಘ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇನೆ. ಈಗ ನಿಮ್ಮ ಮುಂದೆ ಮೂರು ಉದಾಹರಣೆಗಳಿವೆ, ಅದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನಾವು ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಹರಿಸಲು ಕಲಿಯುತ್ತೇವೆ ಸರಳ ಕಾರ್ಯಗಳು, ಇದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ - ಪ್ರೊಟೊಜೋವಾ.

ಲಾಗ್ 0.5 (3x - 1) = -3

ಲಾಗ್ (x + 3) = 3 + 2 ಲಾಗ್ 5

ಸರಳವಾದ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆ ಎಂದು ನಾನು ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ:

ಲಾಗ್ a f (x) = b

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ವೇರಿಯೇಬಲ್ x ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ನ ಒಳಗೆ ಮಾತ್ರ ಇರುವುದು ಮುಖ್ಯ, ಅಂದರೆ, f (x) ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ. ಮತ್ತು a ಮತ್ತು b ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಕೇವಲ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ವೇರಿಯಬಲ್ x ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಕಾರ್ಯಗಳು.

ಮೂಲ ಪರಿಹಾರ ವಿಧಾನಗಳು

ಅಂತಹ ರಚನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಹಲವು ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಶಿಕ್ಷಕರು ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ನೀಡುತ್ತಾರೆ: ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು f (x) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ f ( x) = ಎ ಬಿ . ಅಂದರೆ, ನೀವು ಸರಳವಾದ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಕಂಡಾಗ, ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಕ್ರಮಗಳು ಮತ್ತು ನಿರ್ಮಾಣಗಳಿಲ್ಲದೆ ನೀವು ತಕ್ಷಣವೇ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಹೋಗಬಹುದು.

ಹೌದು, ಖಂಡಿತ, ನಿರ್ಧಾರ ಸರಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಸೂತ್ರದ ಸಮಸ್ಯೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಅರ್ಥವಾಗದ, ಅದು ಎಲ್ಲಿಂದ ಬರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಾವು ಅಕ್ಷರವನ್ನು ಬಿ ಅಕ್ಷರಕ್ಕೆ ಏಕೆ ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾನು ಆಗಾಗ್ಗೆ ತುಂಬಾ ಕಿರಿಕಿರಿ ತಪ್ಪುಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇನೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿದಾಗ. ಈ ಸೂತ್ರನೀವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಅಥವಾ ಕ್ರ್ಯಾಮ್ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ವಿಧಾನವು ಅತ್ಯಂತ ಅಸಮರ್ಪಕ ಮತ್ತು ಅತ್ಯಂತ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ತಪ್ಪುಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ: ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು, ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು, ಇತ್ಯಾದಿ.

ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ನನ್ನ ಎಲ್ಲಾ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಶಾಲಾ ಸೂತ್ರವನ್ನು ತ್ಯಜಿಸಲು ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಎರಡನೇ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲು ನಾನು ಸಲಹೆ ನೀಡುತ್ತೇನೆ, ಇದನ್ನು ನೀವು ಬಹುಶಃ ಹೆಸರಿನಿಂದ ಊಹಿಸಿದಂತೆ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪ.

ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪದ ಕಲ್ಪನೆಯು ಸರಳವಾಗಿದೆ. ನಮ್ಮ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ನೋಡೋಣ: ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾವು ಲಾಗ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು a ಅಕ್ಷರದಿಂದ ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅರ್ಥೈಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ವೇರಿಯಬಲ್ x ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಕಾರ್ಯ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಈ ಪತ್ರವು ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವಿಧಿಸಲಾದ ಎಲ್ಲಾ ನಿರ್ಬಂಧಗಳಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳೆಂದರೆ:

1 ≠ a > 0

ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಅದೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಇರಬೇಕು ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ b , ಮತ್ತು ಈ ಪತ್ರದ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ವಿಧಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು - ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಎರಡೂ. ಎಫ್ (x) ಕಾರ್ಯವು ಯಾವ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಎಲ್ಲವೂ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ನಮ್ಮ ಅದ್ಭುತವಾದ ನಿಯಮವನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ b ಅನ್ನು a ದ ಮೂಲದಿಂದ b ಗೆ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಆಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು:

b = log a a b

ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಹೇಗೆ ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು? ಹೌದು, ತುಂಬಾ ಸರಳ. ಕೆಳಗಿನ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಬರೆಯೋಣ:

b = b 1 = b log a a

ಸಹಜವಾಗಿ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಬರೆದ ಎಲ್ಲಾ ನಿರ್ಬಂಧಗಳು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ. ಈಗ ನಾವು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಬಳಸೋಣ ಮತ್ತು ಗುಣಕ b ಅನ್ನು a ಯ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿ ಪರಿಚಯಿಸೋಣ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

b = b 1 = b log a a = log a a b

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪುನಃ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

ಅಷ್ಟೇ. ನವೀನ ಲಕ್ಷಣಗಳುಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಬೀಜಗಣಿತ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು.

ಸಹಜವಾಗಿ, ಯಾರಾದರೂ ಈಗ ಆಕ್ಷೇಪಿಸುತ್ತಾರೆ: ಕೆಲವು ರೀತಿಯ ಅಂಗೀಕೃತ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಏಕೆ ತರುವುದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿತ್ತು, ಮೂಲ ವಿನ್ಯಾಸದಿಂದ ಅಂತಿಮ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ತಕ್ಷಣವೇ ಚಲಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ ಎರಡು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಅನಗತ್ಯ ಹಂತಗಳನ್ನು ಏಕೆ ಮಾಡಬೇಕು? ಹೌದು, ಈ ಸೂತ್ರವು ಎಲ್ಲಿಂದ ಬರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳದ ಕಾರಣ ಮತ್ತು ಅದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಅದನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವಾಗ ನಿಯಮಿತವಾಗಿ ತಪ್ಪುಗಳನ್ನು ಮಾಡುತ್ತಾರೆ.

ಆದರೆ ಈ ಕ್ರಮಗಳ ಅನುಕ್ರಮವು ಮೂರು ಹಂತಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಅಂತಿಮ ಸೂತ್ರವು ಎಲ್ಲಿಂದ ಬರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಿಮಗೆ ಅರ್ಥವಾಗದಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಮೂಲ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂದಹಾಗೆ, ಅಂಗೀಕೃತ ಸೂತ್ರಈ ನಮೂದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

log a f (x) = log a a b

ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪದ ಅನುಕೂಲವು ತುಂಬಾ ವಿಶಾಲವಾದ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು ಮತ್ತು ನಾವು ಇಂದು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತಿರುವ ಸರಳವಾದವುಗಳಲ್ಲ.

ಪರಿಹಾರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಈಗ ನೋಡೋಣ ನಿಜವಾದ ಉದಾಹರಣೆಗಳು. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ:

ಲಾಗ್ 0.5 (3x - 1) = -3

ಅದನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಪುನಃ ಬರೆಯೋಣ:

ಲಾಗ್ 0.5 (3x - 1) = ಲಾಗ್ 0.5 0.5 -3

ಅನೇಕ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಹಸಿವಿನಲ್ಲಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು ಮೂಲ ಸಮಸ್ಯೆಯಿಂದ ನಮಗೆ ಬಂದ ಶಕ್ತಿಗೆ 0.5 ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ಹೆಚ್ಚಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತಾರೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ನೀವು ಈಗಾಗಲೇ ಚೆನ್ನಾಗಿ ತರಬೇತಿ ಪಡೆದಿರುವಾಗ, ನೀವು ತಕ್ಷಣ ಈ ಹಂತವನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು.

ಹೇಗಾದರೂ, ನೀವು ಈಗ ಈ ವಿಷಯವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತಿದ್ದರೆ, ಆಕ್ರಮಣಕಾರಿ ತಪ್ಪುಗಳನ್ನು ಮಾಡುವುದನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು ಎಲ್ಲಿಯೂ ಹೊರದಬ್ಬುವುದು ಉತ್ತಮ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

3x - 1 = 0.5 -3

ಇದು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವಲ್ಲ, ಆದರೆ ವೇರಿಯಬಲ್ x ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ರೇಖೀಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಮೊದಲು ಸಂಖ್ಯೆ 0.5 ರಿಂದ −3 ರ ಶಕ್ತಿಗೆ ನೋಡೋಣ. 0.5 1/2 ಎಂದು ಗಮನಿಸಿ.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಎಲ್ಲಾ ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಿ.

ನಾವು ಪುನಃ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

3x - 1 = 8
3x = 9
x = 3

ಅಷ್ಟೆ, ನಮಗೆ ಉತ್ತರ ಸಿಕ್ಕಿತು. ಮೊದಲ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಎರಡನೇ ಕಾರ್ಯ

ಎರಡನೇ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಹೋಗೋಣ:

ನಾವು ನೋಡುವಂತೆ, ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಸರಳವಾಗಿಲ್ಲ. ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ಬೇಸ್‌ಗೆ ಒಂದೇ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಹೇಗಾದರೂ ಈ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಬೇಕು. IN ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿಎಲ್ಲವೂ ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಬೇಸ್ಗಳನ್ನು ಹತ್ತಿರದಿಂದ ನೋಡೋಣ: ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಮೂಲ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೆ:

ಸಾಮಾನ್ಯ ಶಿಫಾರಸು: ಎಲ್ಲಾ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ, ರಾಡಿಕಲ್ಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ, ಅಂದರೆ, ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗಿನ ನಮೂದುಗಳಿಂದ ಮತ್ತು ಮುಂದುವರಿಯಿರಿ ಶಕ್ತಿ ಕಾರ್ಯಗಳು, ಈ ಶಕ್ತಿಗಳ ಘಾತಾಂಕಗಳನ್ನು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸುಲಭವಾಗಿ ತೆಗೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಅಂತಹ ಸಂಕೇತವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಸರಳಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವೇಗಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಅದನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯೋಣ:

ಈಗ ನಾವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಅದ್ಭುತ ಆಸ್ತಿಲಾಗರಿಥಮ್: ಅಧಿಕಾರಗಳನ್ನು ವಾದದಿಂದ ಮತ್ತು ಆಧಾರದಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಆಧಾರಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳು ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ:

ಲಾಗ್ ಎ ಕೆ ಬಿ = 1/ಕೆ ಲೋಗಾ ಬಿ

ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಮೂಲ ಶಕ್ತಿಯಲ್ಲಿದ್ದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮುಂದಕ್ಕೆ ತರಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ತಲೆಕೆಳಗಾದ, ಅಂದರೆ ಅದು ಆಗುತ್ತದೆ. ಪರಸ್ಪರ ಸಂಖ್ಯೆ. ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮೂಲ ಪದವಿ 1/2 ಆಗಿತ್ತು. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಅದನ್ನು 2/1 ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

5 2 ಲಾಗ್ 5 x - ಲಾಗ್ 5 x = 18
10 ಲಾಗ್ 5 x - ಲಾಗ್ 5 x = 18

ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ: ಯಾವುದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನೀವು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಬಾರದು. 4 ನೇ-5 ನೇ ತರಗತಿಯ ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಕ್ರಮವನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ: ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಮೊದಲು ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಮಾತ್ರ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು 10 ಅಂಶಗಳಿಂದ ಒಂದೇ ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಕಳೆಯುತ್ತೇವೆ:

9 ಲಾಗ್ 5 x = 18
ಲಾಗ್ 5 x = 2

ಈಗ ನಮ್ಮ ಸಮೀಕರಣವು ತೋರುತ್ತಿದೆ. ಇದು ಸರಳವಾದ ನಿರ್ಮಾಣವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ನಾವು ಅದನ್ನು ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಲಾಗ್ 5 x = ಲಾಗ್ 5 5 2
x = 5 2
x = 25

ಅಷ್ಟೇ. ಎರಡನೇ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಮೂರನೇ ಉದಾಹರಣೆ

ಮೂರನೇ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಹೋಗೋಣ:

ಲಾಗ್ (x + 3) = 3 + 2 ಲಾಗ್ 5

ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನಾನು ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ:

ಲಾಗ್ ಬಿ = ಲಾಗ್ 10 ಬಿ

ಕೆಲವು ಕಾರಣಗಳಿಂದ ನೀವು ಲಾಗ್ ಬಿ ಸಂಕೇತದಿಂದ ಗೊಂದಲಕ್ಕೊಳಗಾಗಿದ್ದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವಾಗ ನೀವು ಲಾಗ್ 10 ಬಿ ಅನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ನೀವು ಇತರರೊಂದಿಗೆ ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ದಶಮಾಂಶ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಬಹುದು: ಅಧಿಕಾರಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ, ಎಲ್ಜಿ 10 ರೂಪದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿ.

ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನಾವು ಈಗ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ನಮ್ಮ ಪಾಠದ ಪ್ರಾರಂಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ಬರೆದ ಸರಳವಾದದ್ದಲ್ಲ.

ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, lg 5 ರ ಮುಂದೆ ಅಂಶ 2 ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಬೇಸ್ 5 ರ ಶಕ್ತಿಯಾಗಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಜೊತೆಗೆ, ಉಚಿತ ಪದ 3 ಅನ್ನು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಆಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು - ಇದು ನಮ್ಮ ಸಂಕೇತದಿಂದ ಗಮನಿಸುವುದು ತುಂಬಾ ಸುಲಭ.

ನಿಮಗಾಗಿ ನಿರ್ಣಯಿಸಿ: ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬೇಸ್ 10 ಗೆ ಲಾಗ್ ಆಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು:

3 = ಲಾಗ್ 10 10 3 = ಲಾಗ್ 10 3

ಪಡೆದ ಬದಲಾವಣೆಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಮೂಲ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯೋಣ:

ಲಾಗ್ (x - 3) = ಲಾಗ್ 1000 + ಲಾಗ್ 25
ಲಾಗ್ (x - 3) = ಲಾಗ್ 1000 25
ಲಾಗ್ (x - 3) = ಲಾಗ್ 25,000

ನಾವು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ರೂಪಾಂತರದ ಹಂತವನ್ನು ಹಾದುಹೋಗದೆ ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ, ಅಂದರೆ ಸರಳವಾದ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು ಎಲ್ಲಿಯೂ ಕಾಣಿಸಲಿಲ್ಲ.

ಪಾಠದ ಪ್ರಾರಂಭದಲ್ಲಿ ನಾನು ಮಾತನಾಡಿದ್ದು ಇದನ್ನೇ. ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪವು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ವ್ಯಾಪಕವಾದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ ಶಾಲೆಯ ಸೂತ್ರ, ಇದನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿನ ಶಾಲಾ ಶಿಕ್ಷಕರು ನೀಡುತ್ತಾರೆ.

ಸರಿ, ಅದು ಇಲ್ಲಿದೆ, ನಾವು ದಶಮಾಂಶ ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಾವು ಸರಳ ರೇಖೀಯ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

x + 3 = 25,000
x = 24,997

ಎಲ್ಲಾ! ಸಮಸ್ಯೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.

ವ್ಯಾಪ್ತಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಒಂದು ಟಿಪ್ಪಣಿ

ಇಲ್ಲಿ ನಾನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಟೀಕೆ ಮಾಡಲು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ. ಖಂಡಿತವಾಗಿ ಈಗ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಮತ್ತು ಶಿಕ್ಷಕರು ಹೇಳುವರು: "ನಾವು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಎಫ್ (x) ವಾದವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರಬೇಕು ಎಂದು ನಾವು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಡಬೇಕು!" ಈ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ, ಒಂದು ತಾರ್ಕಿಕ ಪ್ರಶ್ನೆಯು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ: ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಯಾವುದೇ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಈ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ನಾವು ಏಕೆ ಪೂರೈಸಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ?

ಚಿಂತಿಸಬೇಡ. ಈ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಬೇರುಗಳು ಕಾಣಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಮತ್ತು ಇದು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ವೇಗಗೊಳಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುವ ಮತ್ತೊಂದು ಉತ್ತಮ ಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ವೇರಿಯೇಬಲ್ x ಒಂದೇ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಸಂಭವಿಸಿದರೆ (ಅಥವಾ ಬದಲಿಗೆ, ಒಂದೇ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಒಂದೇ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ನಲ್ಲಿ), ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಬೇರೆಲ್ಲಿಯೂ ವೇರಿಯಬಲ್ x ಕಾಣಿಸದಿದ್ದರೆ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ. ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ನಿಮಗಾಗಿ ನಿರ್ಣಯಿಸಿ: ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ನಾವು 3x - 1 ಅನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ, ಅಂದರೆ ವಾದವು 8 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು. ಇದರರ್ಥ ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ 3x - 1 ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಅದೇ ಯಶಸ್ಸಿನೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಎರಡನೇ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ x 5 2 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು, ಅಂದರೆ ಅದು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅಲ್ಲಿ x + 3 = 25,000, ಅಂದರೆ, ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ, ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ವ್ಯಾಪ್ತಿ ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ತೃಪ್ತಿಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಆದರೆ x ಕೇವಲ ಒಂದು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಸಂಭವಿಸಿದರೆ ಮಾತ್ರ.

ಸರಳವಾದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನೀವು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾದದ್ದು ಅಷ್ಟೆ. ಈ ನಿಯಮವು ಮಾತ್ರ, ರೂಪಾಂತರದ ನಿಯಮಗಳೊಂದಿಗೆ, ನೀವು ಬಹಳ ವ್ಯಾಪಕವಾದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ.

ಆದರೆ ನಾವು ಪ್ರಾಮಾಣಿಕವಾಗಿರಲಿ: ಈ ತಂತ್ರವನ್ನು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪವನ್ನು ಹೇಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ತಿಳಿಯಲು, ಕೇವಲ ಒಂದು ವೀಡಿಯೊ ಪಾಠವನ್ನು ವೀಕ್ಷಿಸಲು ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ ಇದೀಗ ಆಯ್ಕೆಗಳನ್ನು ಡೌನ್‌ಲೋಡ್ ಮಾಡಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ನಿರ್ಧಾರ, ಈ ವೀಡಿಯೊ ಪಾಠಕ್ಕೆ ಲಗತ್ತಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಈ ಎರಡು ಸ್ವತಂತ್ರ ಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನಾದರೂ ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ.

ಇದು ನಿಮಗೆ ಅಕ್ಷರಶಃ ಕೆಲವು ನಿಮಿಷಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ನೀವು ಈ ವೀಡಿಯೊ ಪಾಠವನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ವೀಕ್ಷಿಸಿದರೆ ಅಂತಹ ತರಬೇತಿಯ ಪರಿಣಾಮವು ತುಂಬಾ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಈ ಪಾಠವು ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ. ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪವನ್ನು ಬಳಸಿ, ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಿ - ಮತ್ತು ನೀವು ಯಾವುದೇ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಹೆದರುವುದಿಲ್ಲ. ಇವತ್ತಿಗೆ ನನ್ನದು ಅಷ್ಟೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು

ಈಗ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡೋಣ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಕಾರ್ಯ, ಹಾಗೆಯೇ ಇದು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರದ ಮೇಲೆ ಹೇಗೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುತ್ತದೆ. ರೂಪದ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ

ಲಾಗ್ a f (x) = b

ಅಂತಹ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ - ಇದು ಕೇವಲ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು a ಮತ್ತು b ಕೇವಲ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ವೇರಿಯಬಲ್ x ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವ ಕಾರ್ಯ. ಇದನ್ನು ಬಹಳ ಸರಳವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ನೀವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗಿದೆ:

b = log a a b

ಈ ಸೂತ್ರವು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ಮೂಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

log a f (x) = log a a b

f (x) = a b

ಇದು ಪರಿಚಿತ ಸೂತ್ರವಾಗಿದೆ ಶಾಲಾ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳು. ಅನೇಕ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಬಹುಶಃ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತಾರೆ: ಮೂಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ f (x) ಕಾರ್ಯವು ಲಾಗ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿದೆ, ಕೆಳಗಿನ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ಅದರ ಮೇಲೆ ವಿಧಿಸಲಾಗಿದೆ:

f(x) > 0

ಈ ಮಿತಿಯು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳುಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಬಹುಶಃ, ಈ ಮಿತಿಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಉತ್ತರಗಳ ಪರಿಶೀಲನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಬೇಕೇ? ಬಹುಶಃ ಅವುಗಳನ್ನು ಮೂಲಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸಬೇಕೇ?

ಇಲ್ಲ, ಸರಳವಾದ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ತಪಾಸಣೆ ಅನಗತ್ಯ. ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ. ನಮ್ಮ ಅಂತಿಮ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೋಡೋಣ:

f (x) = a b

ಸತ್ಯವೆಂದರೆ ಸಂಖ್ಯೆ a ಯಾವುದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ 0 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ - ಈ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನಿಂದ ವಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯೆ ಎ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಂಖ್ಯೆ ಬಿ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ವಿಧಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ಇದು ಅಪ್ರಸ್ತುತವಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ನಾವು ಯಾವ ಶಕ್ತಿಗೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಿದರೂ, ನಾವು ಇನ್ನೂ ಔಟ್ಪುಟ್ನಲ್ಲಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಅಗತ್ಯ f (x) > 0 ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ತೃಪ್ತಿಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಲಾಗ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ. ಸಾಕಷ್ಟು ಸಂಕೀರ್ಣ ರಚನೆಗಳು ಇರಬಹುದು, ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ನೀವು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಅವುಗಳ ಮೇಲೆ ಕಣ್ಣಿಡಬೇಕು. ನೋಡೋಣ.

ಮೊದಲ ಕಾರ್ಯ:

ಮೊದಲ ಹಂತ: ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಭಾಗವನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸಿ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ನಾವು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಮೀಕರಣ:

ಪಡೆದ ಬೇರುಗಳಲ್ಲಿ, ಮೊದಲನೆಯದು ಮಾತ್ರ ನಮಗೆ ಸರಿಹೊಂದುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಎರಡನೆಯ ಮೂಲವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ. ಒಂದೇ ಉತ್ತರವು ಸಂಖ್ಯೆ 9 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಷ್ಟೆ, ಸಮಸ್ಯೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. ಲಾಗರಿಥಮ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ 0 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಯಾವುದೇ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಪರಿಶೀಲನೆಗಳ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಕೇವಲ 0 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಸಮೀಕರಣದ ಸ್ಥಿತಿಯ ಪ್ರಕಾರ ಇದು 2 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಗತ್ಯವು "ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದು" ” ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ತೃಪ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಎರಡನೇ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಹೋಗೋಣ:

ಇಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವೂ ಒಂದೇ. ನಾವು ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ, ಟ್ರಿಪಲ್ ಅನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ:

ನಾವು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ನಾವು ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2

4 - 6x - x 2 = x 2 + 8x + 16

x 2 + 8x + 16 -4 + 6x + x 2 = 0

2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2

x 2 + 7x + 6 = 0

ನಾವು ತಾರತಮ್ಯದ ಮೂಲಕ ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ:

D = 49 - 24 = 25

x 1 = -1

x 2 = -6

ಆದರೆ x = -6 ನಮಗೆ ಸರಿಹೊಂದುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ನಾವು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಮ್ಮ ಅಸಮಾನತೆಗೆ ಬದಲಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

−6 + 4 = −2 < 0

ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಇದು 0 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರಬೇಕು ಅಥವಾ ವಿಪರೀತ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿರಬೇಕು. ಆದರೆ x = -1 ನಮಗೆ ಸರಿಹೊಂದುತ್ತದೆ:

−1 + 4 = 3 > 0

ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಉತ್ತರವು x = -1 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಅದಕ್ಕೇ ಪರಿಹಾರ. ನಮ್ಮ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಪ್ರಾರಂಭಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ ನೋಡೋಣ.

ಸರಳ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯದ ಮೇಲಿನ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ನೀವು ಪರಿಶೀಲಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂಬುದು ಈ ಪಾಠದಿಂದ ಮುಖ್ಯವಾದ ಟೇಕ್ಅವೇ ಆಗಿದೆ. ಏಕೆಂದರೆ ಪರಿಹಾರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ನಿರ್ಬಂಧಗಳು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ತೃಪ್ತಿಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನೀವು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಮರೆತುಬಿಡಬಹುದು ಎಂದರ್ಥ. ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ, ಅದು ಅಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿ ಬದಲಾಗಬಹುದು, ಅದು ತನ್ನದೇ ಆದ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗದ ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ನಾವು ಇಂದು ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ನೋಡಿದ್ದೇವೆ.

ಅಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಹಿಂಜರಿಯಬೇಡಿ ಮತ್ತು ವಾದದಲ್ಲಿ ಮೂಲವಿದ್ದರೆ ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಜಾಗರೂಕರಾಗಿರಿ.

ವಿಭಿನ್ನ ನೆಲೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ನಾವು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಹರಿಸಲು ಫ್ಯಾಶನ್ ಆಗಿರುವ ಇನ್ನೂ ಎರಡು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿನ್ಯಾಸಗಳು. ಆದರೆ ಮೊದಲು, ಸರಳವಾದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಸೋಣ:

ಲಾಗ್ a f (x) = b

ಈ ನಮೂದುನಲ್ಲಿ, a ಮತ್ತು b ಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು f (x) ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ x ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಇರಬೇಕು ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ, ಅಂದರೆ, x ವಾದದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಇರಬೇಕು. ನಾವು ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಂತಹ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಗಮನಿಸಿ

b = log a a b

ಇದಲ್ಲದೆ, a b ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ವಾದವಾಗಿದೆ. ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪುನಃ ಬರೆಯೋಣ:

log a f (x) = log a a b

ಇದು ನಿಖರವಾಗಿ ನಾವು ಸಾಧಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಎರಡರಲ್ಲೂ a ಅನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಇರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಸಾಂಕೇತಿಕವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಲಾಗ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ದಾಟಬಹುದು ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ನಾವು ವಾದಗಳನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಸಮೀಕರಿಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು:

f (x) = a b

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ಹೊಸ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಅದು ಪರಿಹರಿಸಲು ಹೆಚ್ಚು ಸುಲಭವಾಗುತ್ತದೆ. ಇಂದಿನ ನಮ್ಮ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಈ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸೋಣ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೊದಲ ವಿನ್ಯಾಸ:

ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಛೇದವು ಲಾಗ್ ಆಗಿರುವ ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾನು ಗಮನಿಸುತ್ತೇನೆ. ಈ ರೀತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ನೀವು ನೋಡಿದಾಗ, ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಅದ್ಭುತ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಒಳ್ಳೆಯದು:

ರಷ್ಯನ್ ಭಾಷೆಗೆ ಅನುವಾದಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದರರ್ಥ ಯಾವುದೇ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಯಾವುದೇ ಬೇಸ್ ಸಿ ಯೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಅಂಶವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಸಹಜವಾಗಿ 0< с ≠ 1.

ಆದ್ದರಿಂದ: ಈ ಸೂತ್ರವು ಒಂದು ಅದ್ಭುತವಾದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ವೇರಿಯಬಲ್ c ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾದಾಗ ಬಿ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ಅಂತಹ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಇದು ನಮ್ಮ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ನಾವು ನೋಡುವ ನಿರ್ಮಾಣವಾಗಿದೆ. ಈ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಲಾಗ್ a b ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸೋಣ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಮೂಲ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ, ನಾವು ವಾದ ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಮೂಲವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಬದಲಾಗಿ, ನಾವು ಭಾಗವನ್ನು ಹಿಮ್ಮುಖಗೊಳಿಸಬೇಕಾಗಿತ್ತು.

ಕೆಳಗಿನ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ಯಾವುದೇ ಪದವಿಯನ್ನು ಮೂಲದಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಬೇಸ್ನ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿರುವ ಗುಣಾಂಕ k ಅನ್ನು ವಿಲೋಮ ಭಾಗವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅದನ್ನು ತಲೆಕೆಳಗಾದ ಭಾಗವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸೋಣ:

ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಅಂಶವನ್ನು ಮುಂದೆ ಬಿಡಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಈ ಪ್ರವೇಶಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪವಾಗಿ (ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಮೊದಲು ಯಾವುದೇ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಅಂಶವಿಲ್ಲ). ಆದ್ದರಿಂದ, ವಾದಕ್ಕೆ 1/4 ಭಾಗವನ್ನು ಶಕ್ತಿಯಾಗಿ ಸೇರಿಸೋಣ:

ಈಗ ನಾವು ವಾದಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅದರ ಆಧಾರಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ (ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ನೆಲೆಗಳು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ), ಮತ್ತು ಬರೆಯಿರಿ:

x + 5 = 1

x = -4

ಅಷ್ಟೇ. ನಾವು ಮೊದಲ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಉತ್ತರವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ: ಮೂಲ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ, ವೇರಿಯೇಬಲ್ x ಕೇವಲ ಒಂದು ಲಾಗ್‌ನಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಅದರ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ಸಂಖ್ಯೆ x = -4 ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಉತ್ತರವಾಗಿದೆ.

ಈಗ ಎರಡನೇ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಹೋಗೋಣ:

ಲಾಗ್ 56 = ಲಾಗ್ 2 ಲಾಗ್ 2 7 - 3 ಲಾಗ್ (x + 4)

ಇಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ನಾವು ಲಾಗ್ ಎಫ್ (x) ನೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು? ಸಿದ್ಧವಿಲ್ಲದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗೆ ಇದು ಕೆಲವು ರೀತಿಯ ಕಠಿಣ ಕೆಲಸ ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು.

lg 2 ಲಾಗ್ 2 7 ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಹತ್ತಿರದಿಂದ ನೋಡಿ. ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ನಾವು ಏನು ಹೇಳಬಹುದು? ಲಾಗ್ ಮತ್ತು ಎಲ್ಜಿಯ ಆಧಾರಗಳು ಮತ್ತು ವಾದಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಇದು ಕೆಲವು ವಿಚಾರಗಳನ್ನು ನೀಡಬೇಕು. ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಅಧಿಕಾರವನ್ನು ಹೇಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ನೆನಪಿಸೋಣ:

log a b n = nlog a b

ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ವಾದದಲ್ಲಿ b ಯ ಶಕ್ತಿಯು ಲಾಗ್‌ನ ಮುಂದೆ ಒಂದು ಅಂಶವಾಗುತ್ತದೆ. lg 2 ಲಾಗ್ 2 7 ಎಂಬ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸೋಣ. lg 2 ನಿಂದ ಭಯಪಡಬೇಡಿ - ಇದು ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ನೀವು ಅದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು:

ಯಾವುದೇ ಇತರ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುವ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳು ಅದಕ್ಕೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಮುಂಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಅಂಶವನ್ನು ವಾದದ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸಬಹುದು. ಅದನ್ನು ಬರೆಯೋಣ:

ಆಗಾಗ್ಗೆ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಈ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ನೋಡುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಇನ್ನೊಂದು ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಲಾಗ್ ಅನ್ನು ನಮೂದಿಸುವುದು ಉತ್ತಮವಲ್ಲ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಇದರ ಬಗ್ಗೆ ಯಾವುದೇ ಅಪರಾಧವಿಲ್ಲ. ಇದಲ್ಲದೆ, ನೀವು ಪ್ರಮುಖ ನಿಯಮವನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಂಡರೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸುಲಭವಾದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಾಗಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಯಾವುದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನೀವು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತಿದ್ದರೆ, ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಲಾಗ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ನೀವು ತಿಳಿದಿರುವಂತೆಯೇ ನೀವು ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ತಿಳಿದಿರಬೇಕು.

ನಮ್ಮ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗೋಣ. ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಮೊದಲ ಪದವು ಎಲ್ಜಿ 7 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ನಾವು ಅದನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ.

lg 56 = lg 7 - 3lg (x + 4)

ಎಲ್ಜಿ 7 ಅನ್ನು ಎಡಕ್ಕೆ ಸರಿಸೋಣ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

lg 56 - lg 7 = -3lg (x + 4)

ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ನಾವು ಕಳೆಯುತ್ತೇವೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳು ಒಂದೇ ಆಧಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ:

lg (56/7) = -3lg (x + 4)

ಈಗ ನಾವು ಪಡೆದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹತ್ತಿರದಿಂದ ನೋಡೋಣ. ಇದು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಅಂಶ -3 ಇದೆ. ಅದನ್ನು ಸರಿಯಾದ ಎಲ್ಜಿ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ಗೆ ಸೇರಿಸೋಣ:

ಲಾಗ್ 8 = ಲಾಗ್ (x + 4) -3

ನಮ್ಮ ಮುಂದೆ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಎಲ್ಜಿ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ದಾಟುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ವಾದಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ:

(x + 4) -3 = 8

x + 4 = 0.5

ಅಷ್ಟೇ! ನಾವು ಎರಡನೇ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಪರಿಶೀಲನೆಗಳ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಮೂಲ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ x ಕೇವಲ ಒಂದು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ನಲ್ಲಿದೆ.

ನಾನು ಅದನ್ನು ಮತ್ತೆ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡುತ್ತೇನೆ ಮುಖ್ಯ ಅಂಶಗಳುಈ ಪಾಠ.

ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಮೀಸಲಾಗಿರುವ ಈ ಪುಟದಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಪಾಠಗಳಲ್ಲಿ ಕಲಿಸಲಾಗುವ ಮುಖ್ಯ ಸೂತ್ರವು ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪವಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಶಾಲಾ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ ನೀವು ಪರಿಹರಿಸಲು ಕಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಭಯಪಡಬೇಡಿ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳುವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ. ಈ ಉಪಕರಣವು ತುಂಬಾ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ಪಾಠದ ಪ್ರಾರಂಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ಸರಳವಾದವುಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ವ್ಯಾಪಕವಾದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.

ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಲು ಇದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳೆಂದರೆ:

1. ಒಂದು ಬೇಸ್‌ಗೆ ಚಲಿಸುವ ಸೂತ್ರ ಮತ್ತು ನಾವು ರಿವರ್ಸ್ ಲಾಗ್ ಮಾಡಿದಾಗ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣ (ಇದು ಮೊದಲ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ನಮಗೆ ತುಂಬಾ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ);
2. ಲಾಗರಿಥಮ್ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಅಧಿಕಾರಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮತ್ತು ಕಳೆಯುವ ಸೂತ್ರ. ಇಲ್ಲಿ, ಅನೇಕ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಸಿಕ್ಕಿಹಾಕಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಮತ್ತು ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಪದವಿಯು ಲಾಗ್ ಎಫ್ (x) ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು ಎಂದು ನೋಡುವುದಿಲ್ಲ. ಅದರಲ್ಲಿ ತಪ್ಪೇನಿಲ್ಲ. ಇನ್ನೊಂದರ ಚಿಹ್ನೆಯ ಪ್ರಕಾರ ನಾವು ಒಂದು ಲಾಗ್ ಅನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಸರಳಗೊಳಿಸಬಹುದು, ಇದು ಎರಡನೇ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಅನಿವಾರ್ಯವಲ್ಲ ಎಂದು ನಾನು ಸೇರಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಎಲ್ಲೆಡೆ ವೇರಿಯಬಲ್ x ಲಾಗ್‌ನ ಒಂದು ಚಿಹ್ನೆಯಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಇರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಅದರ ವಾದದಲ್ಲಿದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ವ್ಯಾಪ್ತಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳನ್ನು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ಪೂರೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವೇರಿಯಬಲ್ ಬೇಸ್ನೊಂದಿಗೆ ತೊಂದರೆಗಳು

ಇಂದು ನಾವು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಅನೇಕ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಪ್ರಮಾಣಿತವಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ, ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗದಿದ್ದರೂ. ಇದರ ಬಗ್ಗೆಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅಸ್ಥಿರ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ. ನಮ್ಮ ಪ್ರಮಾಣಿತ ತಂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಅಂತಹ ನಿರ್ಮಾಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪದ ಮೂಲಕ.

ಮೊದಲಿಗೆ, ಸರಳವಾದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ನೆನಪಿಸೋಣ ನಿಯಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸರಳವಾದ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

ಲಾಗ್ a f (x) = b

ಅಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು:

b = log a a b

ನಾವು ನಮ್ಮ ಮೂಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

log a f (x) = log a a b

ನಂತರ ನಾವು ವಾದಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ ನಾವು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:

f (x) = a b

ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಲಾಗ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪರಿಹಾರದಿಂದ ಪಡೆದ ಬೇರುಗಳು ಮೂಲ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಜೊತೆಗೆ, ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಎರಡೂ ಒಂದೇ ಬೇಸ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಒಂದೇ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನಲ್ಲಿರುವಾಗ ದಾಖಲೆಯನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ದಾಖಲೆಗೆ ನಾವು ಇಂದಿನ ವಿನ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಹೋಗೋಣ.

ಮೊದಲ ಕಾರ್ಯ:

ಲಾಗ್ x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = 1

1 ಅನ್ನು ಲಾಗ್ x - 2 (x - 2) 1 ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿ. ವಾದದಲ್ಲಿ ನಾವು ಗಮನಿಸುವ ಪ್ರಮಾಣವು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯ ಬಲಕ್ಕೆ ನಿಂತಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆ b ಆಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ನಮ್ಮ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯೋಣ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಲಾಗ್ x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = ಲಾಗ್ x - 2 (x - 2)

ನಾವು ಏನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ? ನಮಗೆ ಮೊದಲು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ವಾದಗಳನ್ನು ಸುರಕ್ಷಿತವಾಗಿ ಸಮೀಕರಿಸಬಹುದು. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

2x 2 - 13x + 18 = x - 2

ಆದರೆ ಪರಿಹಾರವು ಅಲ್ಲಿಗೆ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ನಿರ್ಮಾಣವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ಮೂಲ ಲಾಗರಿಥಮ್ಗಳನ್ನು ಎಲ್ಲೆಡೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಯಾವಾಗಲೂ ಅಲ್ಲ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಬರೆಯಬೇಕು. ನಾವು ಕೂದಲನ್ನು ವಿಭಜಿಸಬಾರದು ಮತ್ತು ಮೊದಲು ಎಲ್ಲಾ ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯೋಣ:

ಮೊದಲಿಗೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ 0 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರಬೇಕು:

2x 2 - 13x + 18 > 0

x - 2 > 0

ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಬೇಸ್ 0 ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿರಬಾರದು, ಆದರೆ 1 ರಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರಬೇಕು:

x - 2 ≠ 1

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಆದರೆ ಗಾಬರಿಯಾಗಬೇಡಿ: ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೊಳಿಸುವಾಗ, ಅಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಸರಳಗೊಳಿಸಬಹುದು.

ನಿಮಗಾಗಿ ನಿರ್ಣಯಿಸಿ: ಒಂದೆಡೆ, ಚತುರ್ಭುಜ ಕಾರ್ಯವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಈ ಚತುರ್ಭುಜ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ರೇಖೀಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ, ಇದು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನದಾಗಿರಬೇಕು.

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಮಗೆ x − 2 > 0 ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ, 2x 2 - 13x + 18 > 0 ಅವಶ್ಯಕತೆಯು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ತೃಪ್ತಿಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸುರಕ್ಷಿತವಾಗಿ ದಾಟಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ, ನಮ್ಮ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮೂರಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಹಜವಾಗಿ, ನಾವು ಚೆನ್ನಾಗಿ ದಾಟಬಹುದು ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆ, ಅಂದರೆ, x - 2 > 0 ಅನ್ನು ದಾಟಿಸಿ ಮತ್ತು 2x 2 - 13x + 18 > 0 ಅನ್ನು ಬೇಡಿಕೊಳ್ಳಿ. ಆದರೆ ಸರಳವಾದ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್‌ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ವೇಗವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸುಲಭವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೀವು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ನಾವು ಅದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಸಾಧ್ಯವಾದಾಗಲೆಲ್ಲಾ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾಗಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ. ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅತ್ಯಂತ ಕಷ್ಟಕರವಾದ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ದಾಟಿ.

ನಮ್ಮ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯೋಣ:

ಇಲ್ಲಿ ಮೂರು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಇದೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ವ್ಯವಹರಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಬರೆಯೋಣ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ:

2x 2 - 14x + 20 = 0

x 2 - 7x + 10 = 0

ನಮ್ಮ ಮುಂದೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಚತುರ್ಭುಜ ತ್ರಿಪದಿಮತ್ತು, ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ವಿಯೆಟಾದ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

(x - 5)(x - 2) = 0

x 1 = 5

x 2 = 2

ಈಗ ನಾವು ನಮ್ಮ ಸಿಸ್ಟಮ್‌ಗೆ ಹಿಂತಿರುಗುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು x = 2 ನಮಗೆ ಸರಿಹೊಂದುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಏಕೆಂದರೆ x 2 ಕ್ಕಿಂತ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಿರಬೇಕು.

ಆದರೆ x = 5 ನಮಗೆ ಸರಿಹೊಂದುತ್ತದೆ: ಸಂಖ್ಯೆ 5 2 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ 5 3 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಂದೇ ಪರಿಹಾರಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ x = 5 ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಅಷ್ಟೆ, ODZ ಅನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸೇರಿದಂತೆ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಹೋಗೋಣ. ಹೆಚ್ಚು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಮತ್ತು ತಿಳಿವಳಿಕೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಇಲ್ಲಿ ನಮಗೆ ಕಾಯುತ್ತಿವೆ:

ಮೊದಲ ಹಂತ: ಹಾಗೆ ಕಳೆದ ಬಾರಿ, ನಾವು ಈ ಸಂಪೂರ್ಣ ವಿಷಯವನ್ನು ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪಕ್ಕೆ ತರುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು 9 ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು:

ನೀವು ಮೂಲದೊಂದಿಗೆ ಬೇಸ್ ಅನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಿಸಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ವಾದವನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು ಉತ್ತಮ. ತರ್ಕಬದ್ಧ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಮೂಲದಿಂದ ಶಕ್ತಿಗೆ ಚಲಿಸೋಣ. ಬರೆಯೋಣ:

ನಮ್ಮ ಸಂಪೂರ್ಣ ದೊಡ್ಡ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯಬೇಡಿ, ಆದರೆ ತಕ್ಷಣವೇ ವಾದಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಿಸಿ:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

ನಮಗೆ ಮೊದಲು ಹೊಸದಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್, ನಾವು ವಿಯೆಟಾದ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸೋಣ ಮತ್ತು ಬರೆಯೋಣ:

(x + 3)(x + 1) = 0

x 1 = -3

x 2 = -1

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ, ಆದರೆ ಅವು ಮೂಲ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸರಿಹೊಂದುತ್ತವೆ ಎಂದು ಯಾರೂ ನಮಗೆ ಖಾತರಿ ನೀಡಲಿಲ್ಲ. ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ಲಾಗ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ವಿಧಿಸುತ್ತವೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ನಿರ್ಬಂಧಗಳು(ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಬರೆದಿರಬೇಕು, ಆದರೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ರಚನೆಯ ತೊಡಕಿನ ಸ್ವಭಾವದಿಂದಾಗಿ, ನಾನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಿರ್ಧರಿಸಿದೆ).

ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ಗಳು 0 ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿರಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ:

ಇವುಗಳು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಿಂದ ವಿಧಿಸಲಾದ ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳಾಗಿವೆ.

ನಾವು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮೊದಲ ಎರಡು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಸಮೀಕರಿಸುವುದರಿಂದ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದನ್ನಾದರೂ ನಾವು ದಾಟಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ತಕ್ಷಣ ಗಮನಿಸೋಣ. ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ದಾಟೋಣ ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಎರಡನೆಯದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಅಪಾಯಕಾರಿಯಾಗಿದೆ.

ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಎರಡನೆಯ ಮತ್ತು ಮೂರನೆಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರವು ಒಂದೇ ಸೆಟ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ (ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಘನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ; ಅದೇ ರೀತಿ, ಮೂರನೇ ಪದವಿಯ ಮೂಲದೊಂದಿಗೆ - ಈ ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸದೃಶವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಅದನ್ನು ದಾಟಬಹುದು).

ಆದರೆ ಮೂರನೇ ಅಸಮಾನತೆಯೊಂದಿಗೆ ಇದು ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ. ಎರಡೂ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಘನಕ್ಕೆ ಏರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕೋಣ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

− 2 ≠ x > −3

ನಮ್ಮ ಮೂಲಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದು: x 1 = -3 ಅಥವಾ x 2 = -1 ಈ ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ? ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, x = -1 ಮಾತ್ರ, ಏಕೆಂದರೆ x = -3 ಮೊದಲ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವುದಿಲ್ಲ (ನಮ್ಮ ಅಸಮಾನತೆ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಕಾರಣ). ಆದ್ದರಿಂದ, ನಮ್ಮ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ, ನಾವು ಒಂದು ಮೂಲವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: x = -1. ಅಷ್ಟೆ, ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ, ಈ ಕಾರ್ಯದ ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶಗಳು:

1. ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಮತ್ತು ಪರಿಹರಿಸಲು ಹಿಂಜರಿಯಬೇಡಿ. ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯುವ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು, ಮೂಲ ಸಮಸ್ಯೆಯಿಂದ ನೇರವಾಗಿ ಲಾಗ್ a f (x) = b ನಂತಹ ನಿರ್ಮಾಣಕ್ಕೆ ಹೋಗುವುದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನದನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತಾರೆ ಕಡಿಮೆ ತಪ್ಪುಗಳುಎಲ್ಲೋ ಆತುರದಲ್ಲಿರುವವರಿಗಿಂತ, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಮಧ್ಯಂತರ ಹಂತಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡುವುದು;
2. ಲಾಗರಿಥಮ್ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡ ತಕ್ಷಣ ವೇರಿಯಬಲ್ ಬೇಸ್, ಕಾರ್ಯವು ಸರಳವಾಗಿರುವುದನ್ನು ನಿಲ್ಲಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಅವಶ್ಯಕ: ವಾದಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ಬೇಸ್ಗಳು 0 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿರಬಾರದು, ಆದರೆ ಅವು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರಬಾರದು.

ಅಂತಿಮ ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳನ್ನು ಅಂತಿಮ ಉತ್ತರಗಳಿಗೆ ವಿವಿಧ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಪೂರ್ಣ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನೀವು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ನೀವು ಮೊದಲು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸ್ವತಃ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ನಂತರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ, ಅದನ್ನು ಸಿಸ್ಟಮ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಪಡೆದ ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಿ.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಯಾವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಆರಿಸಬೇಕು ಎಂಬುದು ನಿಮಗೆ ಬಿಟ್ಟದ್ದು. ಯಾವುದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಉತ್ತರವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸೂಚನೆಗಳು

ನೀಡಿರುವ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ 10 ರ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ, ಅದರ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ: lg b ಎಂಬುದು ದಶಮಾಂಶ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಆಗಿದೆ. ಲಾಗರಿಥಮ್ ಸಂಖ್ಯೆ e ಅನ್ನು ಅದರ ಆಧಾರವಾಗಿ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಬರೆಯಿರಿ: ln b - ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್. ಯಾವುದೇ ಫಲಿತಾಂಶವು b ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಮೂಲ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಬೇಕಾದ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿಯಲಾಗಿದೆ.

ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾಗ, ನೀವು ಅವುಗಳನ್ನು ಒಂದೊಂದಾಗಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕು: (u+v)" = u"+v";

ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾಗ, ಮೊದಲ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಎರಡನೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮೊದಲ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಸೇರಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ: (u*v)" = u"*v +v"*u;

ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಂಶದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಲಾಭಾಂಶದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಗುಣಲಬ್ಧದಿಂದ ಭಾಜಕ ಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಭಾಜಕದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲಾಭಾಂಶದ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಮತ್ತು ಭಾಗಿಸಿ ಇದೆಲ್ಲವನ್ನೂ ಭಾಜಕ ಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

ನೀಡಿದರೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯ, ನಂತರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಆಂತರಿಕ ಕಾರ್ಯಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯ ಒಂದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ. y=u(v(x)), ನಂತರ y"(x)=y"(u)*v"(x) ಎಂದು ಬಿಡಿ.

ಮೇಲೆ ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನೀವು ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *X));
ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳೂ ಇವೆ. y=e^(x^2+6x+5) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲಿ, ನೀವು x=1 ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.
1) ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ ಪಾಯಿಂಟ್ ನೀಡಲಾಗಿದೆ y"(1)=8*e^0=8

ವಿಷಯದ ಕುರಿತು ವೀಡಿಯೊ

ಉಪಯುಕ್ತ ಸಲಹೆ

ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ತಿಳಿಯಿರಿ. ಇದು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಸಮಯವನ್ನು ಉಳಿಸುತ್ತದೆ.

ಮೂಲಗಳು:

• ಸ್ಥಿರಾಂಕದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಮೀಕರಣ ಮತ್ತು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಮೀಕರಣದ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೇನು? ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯಬಲ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿದ್ದರೆ ವರ್ಗ ಮೂಲ, ನಂತರ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅಭಾಗಲಬ್ಧವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸೂಚನೆಗಳು

ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮುಖ್ಯ ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ವಿಧಾನ ಸಮೀಕರಣಗಳುಒಂದು ಚೌಕಕ್ಕೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ. ಇದು ನೈಸರ್ಗಿಕವಾಗಿದೆ, ನೀವು ಮಾಡಬೇಕಾದ ಮೊದಲನೆಯದು ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕುವುದು. ಈ ವಿಧಾನವು ತಾಂತ್ರಿಕವಾಗಿ ಕಷ್ಟಕರವಲ್ಲ, ಆದರೆ ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಇದು ತೊಂದರೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಮೀಕರಣವು v(2x-5)=v(4x-7) ಆಗಿದೆ. ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುವ ಮೂಲಕ ನೀವು 2x-5=4x-7 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ. ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಕಷ್ಟವೇನಲ್ಲ; x=1. ಆದರೆ ಸಂಖ್ಯೆ 1 ನೀಡಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಸಮೀಕರಣಗಳು. ಏಕೆ? x ನ ಮೌಲ್ಯದ ಬದಲಿಗೆ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಬದಲಿಸಿ ಮತ್ತು ಬಲ ಮತ್ತು ಎಡ ಬದಿಗಳು ಅರ್ಥವಾಗದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ. ವರ್ಗಮೂಲಕ್ಕೆ ಈ ಮೌಲ್ಯವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, 1 ಒಂದು ಬಾಹ್ಯ ಮೂಲವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅದರ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದ ನಂತರ, ಬಾಹ್ಯ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕತ್ತರಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಕಂಡುಬರುವ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ.

ಇನ್ನೊಂದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.
2х+vx-3=0
ಸಹಜವಾಗಿ, ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹಿಂದಿನ ಸಮೀಕರಣದಂತೆಯೇ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಸಂಯುಕ್ತಗಳನ್ನು ಸರಿಸಿ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರದ, ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ವರ್ಗ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಮೀಕರಣ ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ. ಆದರೆ ಇನ್ನೊಂದು, ಹೆಚ್ಚು ಸೊಗಸಾದ. ಹೊಸ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ನಮೂದಿಸಿ; vх=y. ಅದರಂತೆ, ನೀವು 2y2+y-3=0 ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತೀರಿ. ಅಂದರೆ, ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣ. ಅದರ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ; y1=1 ಮತ್ತು y2=-3/2. ಮುಂದೆ, ಎರಡನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ ಸಮೀಕರಣಗಳು vх=1; vх=-3/2. ಎರಡನೆಯ ಸಮೀಕರಣವು ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ; ಮೊದಲಿನಿಂದ ನಾವು x=1 ಎಂದು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಬೇರುಗಳನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಮರೆಯದಿರಿ.

ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು ನೀವು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ ಗುರುತಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳುಗುರಿಯನ್ನು ಸಾಧಿಸುವವರೆಗೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಸರಳವಾದ ಸಹಾಯದಿಂದ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳುಕೈಯಲ್ಲಿರುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುವುದು.

ನಿಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ

• - ಕಾಗದ;
• - ಪೆನ್.

ಸೂಚನೆಗಳು

ಅಂತಹ ರೂಪಾಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಸರಳವಾದವು ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರಗಳಾಗಿವೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಮೊತ್ತದ ವರ್ಗ (ವ್ಯತ್ಯಾಸ), ವರ್ಗಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ, ಮೊತ್ತ (ವ್ಯತ್ಯಾಸ), ಮೊತ್ತದ ಘನ (ವ್ಯತ್ಯಾಸ)). ಜೊತೆಗೆ, ಅನೇಕ ಮತ್ತು ಇವೆ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸೂತ್ರಗಳು, ಇದು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಒಂದೇ ಗುರುತುಗಳು.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಎರಡು ಪದಗಳ ಮೊತ್ತದ ವರ್ಗ ಚೌಕಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆಮೊದಲನೆಯ ಜೊತೆಗೆ ಮೊದಲನೆಯ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು ಎರಡನೆಯದರಿಂದ ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸಿ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ವರ್ಗವನ್ನು ಸೇರಿಸಿ, ಅಂದರೆ (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab +b^2.

ಎರಡನ್ನೂ ಸರಳಗೊಳಿಸಿ

ಪರಿಹಾರದ ಸಾಮಾನ್ಯ ತತ್ವಗಳು

ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದ ಪ್ರಕಾರ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿ ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಅಥವಾ ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ, ಇದು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ. ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ಪರಿಹಾರ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಒಂದು ಕಾರ್ಯವಿದೆ, ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಸಮಗ್ರತೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಈ ಕಾರ್ಯಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೂಲಕ ಈ ತತ್ವಮತ್ತು ಮುಖ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತದೆ.
ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಯಾವ ಟೇಬಲ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಸೂಕ್ತವೆಂದು ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ. ಇದನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಸಮಗ್ರತೆಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುವ ಹಲವಾರು ರೂಪಾಂತರಗಳ ನಂತರ ಮಾತ್ರ ಕೋಷ್ಟಕ ರೂಪವು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗುತ್ತದೆ.

ವೇರಿಯಬಲ್ ಬದಲಿ ವಿಧಾನ

ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯ, ಅವರ ವಾದವು ಕೆಲವು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ನಂತರ ವೇರಿಯಬಲ್ ಬದಲಿ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಇಂಟಿಗ್ರಾಂಡ್‌ನ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ನಲ್ಲಿನ ಬಹುಪದವನ್ನು ಕೆಲವು ಹೊಸ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿ. ಹೊಸ ಮತ್ತು ಹಳೆಯ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ಏಕೀಕರಣದ ಹೊಸ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ. ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಲ್ಲಿ ಹೊಸ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಆದ್ದರಿಂದ ನೀವು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ ಹೊಸ ರೀತಿಯಹಿಂದಿನ ಅವಿಭಾಜ್ಯ, ಹತ್ತಿರ ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ಕೋಷ್ಟಕಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಎರಡನೇ ರೀತಿಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಎರಡನೇ ವಿಧದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಇಂಟಿಗ್ರಾಂಡ್‌ನ ವೆಕ್ಟರ್ ರೂಪವಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿಂದ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಪದಗಳಿಗೆ ಪರಿವರ್ತನೆಗಾಗಿ ನೀವು ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಒಂದು ನಿಯಮವೆಂದರೆ ಆಸ್ಟ್ರೋಗ್ರಾಡ್ಸ್ಕಿ-ಗಾಸ್ ಸಂಬಂಧ. ಈ ಕಾನೂನುನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಡೈವರ್ಜೆನ್ಸ್‌ನ ಮೇಲೆ ಕೆಲವು ವೆಕ್ಟರ್ ಕಾರ್ಯದ ರೋಟರ್ ಫ್ಲಕ್ಸ್‌ನಿಂದ ಟ್ರಿಪಲ್ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್‌ಗೆ ಹೋಗಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.

ಏಕೀಕರಣ ಮಿತಿಗಳ ಪರ್ಯಾಯ

ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡ ನಂತರ, ಏಕೀಕರಣದ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಮೊದಲು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬದಲಿಸಿ ಗರಿಷ್ಠ ಮಟ್ಟಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿ. ನೀವು ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ. ಮುಂದೆ, ಕಡಿಮೆ ಮಿತಿಯಿಂದ ಪಡೆದ ಮತ್ತೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗೆ ಕಳೆಯಿರಿ. ಏಕೀಕರಣದ ಮಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅನಂತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಬದಲಿಸುವಾಗ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಕಾರ್ಯಮಿತಿಗೆ ಹೋಗುವುದು ಮತ್ತು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಏನು ಶ್ರಮಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.
ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಅಥವಾ ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಸಮಗ್ರತೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ನೀವು ಏಕೀಕರಣದ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಅವಿಭಾಜ್ಯತೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಏಕೀಕರಣದ ಮಿತಿಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಮತಲಗಳಾಗಿರಬಹುದು, ಅದು ಏಕೀಕರಣಗೊಳ್ಳುವ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಮಿತಿಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ.

ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಶಕ್ತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ಅವುಗಳ ಘಾತಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಸೇರಿಸುತ್ತವೆ (a b *a c = a b+c). ಈ ಗಣಿತದ ಕಾನೂನುಆರ್ಕಿಮಿಡೀಸ್‌ನಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ, 8 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ, ಗಣಿತಜ್ಞ ವಿರಾಸೆನ್ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಘಾತಾಂಕಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ರಚಿಸಿದನು. ಅವರಿಗಾಗಿ ಸೇವೆ ಸಲ್ಲಿಸಿದವರು ಮತ್ತಷ್ಟು ತೆರೆಯುವಿಕೆಲಾಗರಿಥಮ್ಸ್. ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀವು ಸರಳವಾದ ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಮೂಲಕ ತೊಡಕಿನ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲೆಡೆ ಕಾಣಬಹುದು. ಈ ಲೇಖನವನ್ನು ಓದಲು ನೀವು 10 ನಿಮಿಷಗಳನ್ನು ಕಳೆದರೆ, ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ಯಾವುವು ಮತ್ತು ಅವರೊಂದಿಗೆ ಹೇಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ನಿಮಗೆ ವಿವರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸರಳ ಮತ್ತು ಪ್ರವೇಶಿಸಬಹುದಾದ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ.

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ

ಲಾಗರಿಥಮ್ ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ: ಲಾಗ್ a b=c, ಅಂದರೆ, ಯಾವುದೇ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆ(ಅಂದರೆ, ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ) "b" ಅನ್ನು ಅದರ ಮೂಲ "a" ಮೂಲಕ "c" ನ ಶಕ್ತಿ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂತಿಮವಾಗಿ "b" ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಲು "a" ಅನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಬೇಕು. ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸೋಣ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಲಾಗ್ 2 ಇದೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ 8. ಉತ್ತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ? ಇದು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ, ನೀವು 2 ರಿಂದ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಶಕ್ತಿಗೆ 8 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ನಿಮ್ಮ ತಲೆಯಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಮಾಡಿದ ನಂತರ, ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆ 3 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ! ಮತ್ತು ಇದು ನಿಜ, ಏಕೆಂದರೆ 2 ರಿಂದ 3 ರ ಶಕ್ತಿಯು 8 ಎಂದು ಉತ್ತರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ವಿಧಗಳು

ಅನೇಕ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಮತ್ತು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ, ಈ ವಿಷಯವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಮತ್ತು ಅಗ್ರಾಹ್ಯವೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಲಾಗರಿಥಮ್ಗಳು ಅಷ್ಟು ಭಯಾನಕವಲ್ಲ, ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಅವುಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಮತ್ತು ಅವರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಕೆಲವು ನಿಯಮಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು. ಮೂರು ಇವೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಜಾತಿಗಳುಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು:

1. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ln a, ಇಲ್ಲಿ ಆಧಾರವು ಯೂಲರ್ ಸಂಖ್ಯೆ (e = 2.7).
2. ದಶಮಾಂಶ a, ಅಲ್ಲಿ ಆಧಾರವು 10 ಆಗಿರುತ್ತದೆ.
3. a>1 ಅನ್ನು ಆಧಾರವಾಗಿಸಲು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ b ನ ಲಾಗರಿಥಮ್.

ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಇದು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಒಂದು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗೆ ಸರಳೀಕರಣ, ಕಡಿತ ಮತ್ತು ನಂತರದ ಕಡಿತವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಸರಿಯಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ನೀವು ಅವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಕ್ರಮಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು.

ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಕೆಲವು ನಿರ್ಬಂಧಗಳು

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಹಲವಾರು ನಿಯಮಗಳು-ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ಮೂಲತತ್ವವಾಗಿ ಸ್ವೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಅವು ಚರ್ಚೆಗೆ ಒಳಪಡುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಸತ್ಯ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ, ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಮ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲು ಸಹ ಅಸಾಧ್ಯ. ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ತಮ್ಮದೇ ಆದ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಇದನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ ನೀವು ದೀರ್ಘ ಮತ್ತು ಸಾಮರ್ಥ್ಯದ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಲಿಯಬಹುದು:

• ಮೂಲ "a" ಯಾವಾಗಲೂ ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರಬೇಕು ಮತ್ತು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರಬಾರದು, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಅದರ ಅರ್ಥವನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ "1" ಮತ್ತು "0" ಯಾವಾಗಲೂ ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ;
• a > 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, b >0 ಆಗಿದ್ದರೆ, "c" ಸಹ ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರಬೇಕು ಎಂದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು?

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 10 x = 100 ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಉತ್ತರವನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಇದು ತುಂಬಾ ಸುಲಭ, ನಾವು 100 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಹತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಮೂಲಕ ನೀವು ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಆರಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಸಹಜವಾಗಿ 10 2 = 100.

ಈಗ ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ. ನಾವು ಲಾಗ್ 10 100 = 2 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಮೂಲವನ್ನು ನಮೂದಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಎಲ್ಲಾ ಕ್ರಿಯೆಗಳು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತವೆ.

ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಅಜ್ಞಾತ ಪದವಿಡಿಗ್ರಿಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದೊಂದಿಗೆ ಹೇಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಬೇಕೆಂದು ನೀವು ಕಲಿಯಬೇಕು. ಇದು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ನೀವು ತಾಂತ್ರಿಕ ಮನಸ್ಸು ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರ ಕೋಷ್ಟಕದ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಕೆಲವು ಘಾತಗಳನ್ನು ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ ಊಹಿಸಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯಗಳುನಿಮಗೆ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಟೇಬಲ್ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣದ ಬಗ್ಗೆ ಏನೂ ತಿಳಿದಿಲ್ಲದವರೂ ಸಹ ಇದನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು ಗಣಿತದ ವಿಷಯಗಳು. ಎಡ ಕಾಲಮ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ (ಬೇಸ್ a), ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಸಾಲು ಎ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಪವರ್ ಸಿ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ. ಛೇದಕದಲ್ಲಿ, ಕೋಶಗಳು ಉತ್ತರದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ (a c =b). ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 10 ನೇ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಮೊದಲ ಕೋಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸಿ, ನಾವು ಮೌಲ್ಯ 100 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅದನ್ನು ನಮ್ಮ ಎರಡು ಕೋಶಗಳ ಛೇದಕದಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲವೂ ತುಂಬಾ ಸರಳ ಮತ್ತು ಸುಲಭವಾಗಿದ್ದು, ಅತ್ಯಂತ ನಿಜವಾದ ಮಾನವತಾವಾದಿ ಸಹ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ!

ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಗಳು

ಕೆಲವು ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಘಾತವು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಯಾವುದೇ ಗಣಿತ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳುಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 3 4 =81 ಅನ್ನು 81 ರ ಆಧಾರ 3 ಲಾಗರಿಥಮ್ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು (ಲಾಗ್ 3 81 = 4). ಫಾರ್ ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಶಕ್ತಿಗಳುನಿಯಮಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ: 2 -5 = 1/32 ನಾವು ಅದನ್ನು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ, ನಾವು ಲಾಗ್ 2 (1/32) = -5 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಅತ್ಯಂತ ಆಕರ್ಷಕ ವಿಭಾಗವೆಂದರೆ "ಲಾಗರಿಥಮ್ಸ್" ವಿಷಯ. ಅವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ತಕ್ಷಣ ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಈಗ ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಹೇಗೆ ಕಾಣುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಹೇಗೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವುದು ಎಂದು ನೋಡೋಣ.

ಕೆಳಗಿನ ರೂಪದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ: ಲಾಗ್ 2 (x-1) > 3 - ಇದು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಅಸಮಾನತೆ, ಅಜ್ಞಾತ ಮೌಲ್ಯ "x" ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿರುವುದರಿಂದ. ಮತ್ತು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ಬೇಸ್ ಎರಡಕ್ಕೆ ಬಯಸಿದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಮೂರಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಗಳ ನಡುವಿನ ಪ್ರಮುಖ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೆಂದರೆ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳೊಂದಿಗಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಲಾಗರಿಥಮ್ 2 x = √9) ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉತ್ತರಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳು, ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಪ್ರದೇಶ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಮೌಲ್ಯಗಳು, ಮತ್ತು ಈ ಕಾರ್ಯದ ಬ್ರೇಕ್‌ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳು. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಉತ್ತರವು ಸಮೀಕರಣದ ಉತ್ತರದಲ್ಲಿರುವಂತೆ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಳ ಸೆಟ್ ಅಲ್ಲ, ಬದಲಿಗೆ ನಿರಂತರ ಸರಣಿಅಥವಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್.

ಲಾಗರಿಥಮ್ಸ್ ಬಗ್ಗೆ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯಗಳು

ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಪ್ರಾಚೀನ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ತಿಳಿದಿಲ್ಲದಿರಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಅಥವಾ ಅಸಮಾನತೆಗಳಿಗೆ ಬಂದಾಗ, ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಲಾಗರಿಥಮ್ಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲಭೂತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಮತ್ತು ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ನಾವು ನಂತರ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ; ಮೊದಲು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ನೋಡೋಣ.

1. ಮುಖ್ಯ ಗುರುತು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ: a logaB =B. ಇದು a 0 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿರುವಾಗ ಮಾತ್ರ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ, ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು B ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ.
2. ಉತ್ಪನ್ನದ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರ: log d (s 1 *s 2) = log d s 1 + log d s 2. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಪೂರ್ವಾಪೇಕ್ಷಿತಆಗಿದೆ: d, s 1 ಮತ್ತು s 2 > 0; a≠1. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರದೊಂದಿಗೆ ಈ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ನೀವು ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೀಡಬಹುದು. a s 1 = f 1 ಅನ್ನು ಲಾಗ್ ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು a s 2 = f 2 ಅನ್ನು ಲಾಗ್ ಮಾಡೋಣ, ನಂತರ a f1 = s 1, a f2 = s 2. ನಾವು s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಡಿಗ್ರಿಗಳು ), ಮತ್ತು ನಂತರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ: ಲಾಗ್ a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, ಇದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕಾದದ್ದು.
3. ಅಂಶದ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. ಸೂತ್ರದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮುಂದಿನ ನೋಟ: log a q b n = n/q log a b.

ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು "ಲಾಗರಿಥಮ್ ಪದವಿಯ ಆಸ್ತಿ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಆಶ್ಚರ್ಯವೇನಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಗಣಿತವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಪೋಸ್ಟ್ಯುಲೇಟ್ಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ.

a b = t ಅನ್ನು ಲಾಗ್ ಮಾಡೋಣ, ಅದು t =b ಎಂದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಎರಡೂ ಭಾಗಗಳನ್ನು ವಿದ್ಯುತ್ m ಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸಿದರೆ: a tn = b n ;

ಆದರೆ a tn = (a q) nt/q = b n, ಆದ್ದರಿಂದ a q b n = (n*t)/t ಅನ್ನು ಲಾಗ್ ಮಾಡಿ, ನಂತರ a q b n = n/q ಲಾಗ್ a b ಅನ್ನು ಲಾಗ್ ಮಾಡಿ. ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳಲ್ಲಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ. ಅವು ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳು ಸಹ ಸೇರಿವೆ ಕಡ್ಡಾಯ ಭಾಗಗಣಿತ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು. ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯಕ್ಕೆ ಪ್ರವೇಶಕ್ಕಾಗಿ ಅಥವಾ ಉತ್ತೀರ್ಣರಾಗಲು ಪ್ರವೇಶ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳುಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಹೇಗೆ ಎಂದು ನೀವು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು.

ದುರದೃಷ್ಟವಶಾತ್, ಪರಿಹರಿಸಲು ಮತ್ತು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಒಂದೇ ಯೋಜನೆ ಅಥವಾ ಯೋಜನೆ ಇಲ್ಲ ಅಪರಿಚಿತ ಮೌಲ್ಯಲಾಗರಿಥಮ್‌ನಂತಹ ಯಾವುದೇ ವಿಷಯವಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ನೀವು ಅದನ್ನು ಪ್ರತಿ ಗಣಿತದ ಅಸಮಾನತೆ ಅಥವಾ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ಕೆಲವು ನಿಯಮಗಳು. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಬಹುದೇ ಅಥವಾ ಕಾರಣವಾಗಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಸಾಮಾನ್ಯ ನೋಟ. ಉದ್ದವಾದವುಗಳನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಿ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳುನೀವು ಅವರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಬಳಸಿದರೆ ಸಾಧ್ಯ. ಅವರನ್ನು ಶೀಘ್ರವಾಗಿ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ನಾವು ಯಾವ ರೀತಿಯ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕು: ಉದಾಹರಣೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅಥವಾ ದಶಮಾಂಶವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆಗಳು ln100, ln1026. ಬೇಸ್ 10 ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ 100 ಮತ್ತು 1026 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಅವರ ಪರಿಹಾರವು ಕುದಿಯುತ್ತದೆ. ಪರಿಹಾರಗಳಿಗಾಗಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ಸ್ಅರ್ಜಿ ಸಲ್ಲಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಗುರುತುಗಳುಅಥವಾ ಅವರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು. ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೋಡೋಣ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳುವಿವಿಧ ರೀತಿಯ.

ಲಾಗರಿಥಮ್ ಫಾರ್ಮುಲಾಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಳಸುವುದು: ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರಗಳೊಂದಿಗೆ

ಆದ್ದರಿಂದ, ಲಾಗರಿಥಮ್ಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

1. ಉತ್ಪನ್ನದ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಬಹುದು ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಬಿ ಸರಳ ಅಂಶಗಳಾಗಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಲಾಗ್ 2 4 + ಲಾಗ್ 2 128 = ಲಾಗ್ 2 (4*128) = ಲಾಗ್ 2 512. ಉತ್ತರವು 9 ಆಗಿದೆ.
2. ಲಾಗ್ 4 8 = ಲಾಗ್ 2 2 2 3 = 3/2 ಲಾಗ್ 2 2 = 1.5 - ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಲಾಗರಿಥಮ್ ಪವರ್‌ನ ನಾಲ್ಕನೇ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ತೋರಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮತ್ತು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆ. ನೀವು ಬೇಸ್ ಅನ್ನು ಅಂಶೀಕರಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ನಂತರ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಘಾತಾಂಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು.

ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಿಂದ ನಿಯೋಜನೆಗಳು

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ ಪ್ರವೇಶ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಬಹಳಷ್ಟು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ( ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಎಲ್ಲಾ ಶಾಲೆ ಬಿಟ್ಟವರಿಗೆ). ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಈ ಕಾರ್ಯಗಳು ಭಾಗ A ಯಲ್ಲಿ (ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಸುಲಭವಾದ ಪರೀಕ್ಷಾ ಭಾಗ) ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ C ಯಲ್ಲಿಯೂ (ಅತ್ಯಂತ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮತ್ತು ಬೃಹತ್ ಕಾರ್ಯಗಳು) ಇರುತ್ತವೆ. ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ "ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ಸ್" ವಿಷಯದ ನಿಖರ ಮತ್ತು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಜ್ಞಾನದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಅಧಿಕೃತರಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಆಯ್ಕೆಗಳು. ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೋಡೋಣ.

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಲಾಗ್ 2 (2x-1) = 4. ಪರಿಹಾರ:
ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯೋಣ, ಅದನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ಲಾಗ್ 2 (2x-1) = 2 2 ಅನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಿ, ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ನಾವು 2x-1 = 2 4 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ 2x = 17; x = 8.5.

• ಎಲ್ಲಾ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಬೇಸ್‌ಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದು ಉತ್ತಮ, ಇದರಿಂದ ಪರಿಹಾರವು ತೊಡಕಿನ ಮತ್ತು ಗೊಂದಲಮಯವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.
• ಲಾಗರಿಥಮ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಲಾಗರಿಥಮ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೂಲವಾಗಿ ಇರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಘಾತವನ್ನು ಗುಣಕವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡಾಗ, ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬೇಕು.

ನಿಮ್ಮ ಗೌಪ್ಯತೆಯನ್ನು ಕಾಪಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ನಮಗೆ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ, ನಾವು ನಿಮ್ಮ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಳಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸಂಗ್ರಹಿಸುತ್ತೇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಗೌಪ್ಯತಾ ನೀತಿಯನ್ನು ನಾವು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ. ದಯವಿಟ್ಟು ನಮ್ಮ ಗೌಪ್ಯತೆ ಅಭ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ ಮತ್ತು ನೀವು ಯಾವುದೇ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ನಮಗೆ ತಿಳಿಸಿ.

ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯ ಸಂಗ್ರಹ ಮತ್ತು ಬಳಕೆ

ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಅಥವಾ ಸಂಪರ್ಕಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದಾದ ಡೇಟಾವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ನೀವು ನಮ್ಮನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸಿದಾಗ ಯಾವುದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ನಿಮ್ಮ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಒದಗಿಸಲು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಕೇಳಬಹುದು.

ನಾವು ಸಂಗ್ರಹಿಸಬಹುದಾದ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯ ಪ್ರಕಾರಗಳ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ನಾವು ಹೇಗೆ ಬಳಸಬಹುದು.

ನಾವು ಯಾವ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸುತ್ತೇವೆ:

• ನೀವು ಸೈಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಅರ್ಜಿಯನ್ನು ಸಲ್ಲಿಸಿದಾಗ, ನಿಮ್ಮ ಹೆಸರು, ದೂರವಾಣಿ ಸಂಖ್ಯೆ, ವಿಳಾಸ ಸೇರಿದಂತೆ ವಿವಿಧ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ನಾವು ಸಂಗ್ರಹಿಸಬಹುದು ಇಮೇಲ್ಇತ್ಯಾದಿ

ನಿಮ್ಮ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ನಾವು ಹೇಗೆ ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

• ನಮ್ಮಿಂದ ಸಂಗ್ರಹಿಸಲಾಗಿದೆ ವಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿನಿಮ್ಮನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸಲು ಮತ್ತು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿಸಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ ಅನನ್ಯ ಕೊಡುಗೆಗಳು, ಪ್ರಚಾರಗಳು ಮತ್ತು ಇತರ ಈವೆಂಟ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಮುಂಬರುವ ಈವೆಂಟ್‌ಗಳು.
• ಕಾಲಕಾಲಕ್ಕೆ, ಪ್ರಮುಖ ಸೂಚನೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಂವಹನಗಳನ್ನು ಕಳುಹಿಸಲು ನಾವು ನಿಮ್ಮ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.
• ಲೆಕ್ಕಪರಿಶೋಧನೆ, ಡೇಟಾ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ಆಂತರಿಕ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗಾಗಿ ನಾವು ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಬಹುದು ವಿವಿಧ ಅಧ್ಯಯನಗಳುನಾವು ಒದಗಿಸುವ ಸೇವೆಗಳನ್ನು ಸುಧಾರಿಸಲು ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ಸೇವೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಶಿಫಾರಸುಗಳನ್ನು ನಿಮಗೆ ಒದಗಿಸಲು.
• ನೀವು ಬಹುಮಾನ ಡ್ರಾ, ಸ್ಪರ್ಧೆ ಅಥವಾ ಅಂತಹುದೇ ಪ್ರಚಾರದಲ್ಲಿ ಭಾಗವಹಿಸಿದರೆ, ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ನೀವು ಒದಗಿಸುವ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ನಾವು ಬಳಸಬಹುದು.

ಮೂರನೇ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುವುದು

ನಿಮ್ಮಿಂದ ಪಡೆದ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ನಾವು ಮೂರನೇ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ವಿನಾಯಿತಿಗಳು:

• ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ, ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ, ನ್ಯಾಯಾಂಗ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನ, ವಿ ವಿಚಾರಣೆ, ಮತ್ತು/ಅಥವಾ ಸಾರ್ವಜನಿಕ ವಿನಂತಿಗಳು ಅಥವಾ ವಿನಂತಿಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಸರ್ಕಾರಿ ಸಂಸ್ಥೆಗಳುರಷ್ಯಾದ ಒಕ್ಕೂಟದ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ - ನಿಮ್ಮ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸಿ. ಭದ್ರತೆ, ಕಾನೂನು ಜಾರಿ ಅಥವಾ ಇತರ ಸಾರ್ವಜನಿಕ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗಾಗಿ ಅಂತಹ ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುವಿಕೆ ಅಗತ್ಯ ಅಥವಾ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸಿದರೆ ನಿಮ್ಮ ಬಗ್ಗೆ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಸಹ ನಾವು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸಬಹುದು.
• ಮರುಸಂಘಟನೆ, ವಿಲೀನ ಅಥವಾ ಮಾರಾಟದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಸಂಗ್ರಹಿಸುವ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಉತ್ತರಾಧಿಕಾರಿ ಮೂರನೇ ವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಬಹುದು.

ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯ ರಕ್ಷಣೆ

ನಿಮ್ಮ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ನಷ್ಟ, ಕಳ್ಳತನ ಮತ್ತು ದುರುಪಯೋಗದಿಂದ ರಕ್ಷಿಸಲು ನಾವು ಮುನ್ನೆಚ್ಚರಿಕೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ - ಆಡಳಿತಾತ್ಮಕ, ತಾಂತ್ರಿಕ ಮತ್ತು ಭೌತಿಕ ಸೇರಿದಂತೆ - ಅನಧಿಕೃತ ಪ್ರವೇಶ, ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುವಿಕೆ, ಬದಲಾವಣೆ ಮತ್ತು ನಾಶ.

ಕಂಪನಿ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ನಿಮ್ಮ ಗೌಪ್ಯತೆಯನ್ನು ಗೌರವಿಸುವುದು

ನಿಮ್ಮ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯು ಸುರಕ್ಷಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು, ನಾವು ನಮ್ಮ ಉದ್ಯೋಗಿಗಳಿಗೆ ಗೌಪ್ಯತೆ ಮತ್ತು ಭದ್ರತಾ ಮಾನದಂಡಗಳನ್ನು ಸಂವಹನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಗೌಪ್ಯತೆ ಅಭ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಜಾರಿಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ.