ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಯಾವಾಗಲೂ ಚೌಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪ್ರತಿ ಶಾಲಾ ಮಕ್ಕಳಿಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆಕಾಲುಗಳು, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಈ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ ಮತ್ತು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಪ್ರಮೇಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಅದನ್ನು ಹತ್ತಿರದಿಂದ ನೋಡೋಣ.
ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ
ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಮುಂದುವರಿಯುವ ಮೊದಲು, ಇದರಲ್ಲಿ ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ನ ವರ್ಗವು ವರ್ಗವಾಗಿರುವ ಕಾಲುಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಾವು ಪ್ರಮೇಯವು ನಿಜವಾಗಿರುವ ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕು.
ತ್ರಿಕೋನ - ಫ್ಲಾಟ್ ಫಿಗರ್ಮೂರು ಕೋನಗಳು ಮತ್ತು ಮೂರು ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ. ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನವು, ಅದರ ಹೆಸರೇ ಸೂಚಿಸುವಂತೆ, ಒಂದು ಲಂಬ ಕೋನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಈ ಕೋನವು 90 o ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಇಂದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳುಎಲ್ಲಾ ತ್ರಿಕೋನಗಳಿಗೆ, ಈ ಆಕೃತಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 180 o ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ, ಅಂದರೆ ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ, ಲಂಬ ಕೋನಗಳಲ್ಲದ ಎರಡು ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 180 o - 90 o = 90 o ಆಗಿದೆ. ಕೊನೆಯ ಸತ್ಯಅಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಕೋನ ಬಲ ತ್ರಿಕೋನ, ಇದು ನೇರವಲ್ಲ, ಯಾವಾಗಲೂ 90 o ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುತ್ತದೆ.
ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಇರುವ ಬದಿ ಬಲ ಕೋನ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇತರ ಎರಡು ಬದಿಗಳು ತ್ರಿಕೋನದ ಕಾಲುಗಳು, ಅವು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಅವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರಬಹುದು. ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯಿಂದ ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ ತ್ರಿಕೋನದ ಒಂದು ಬದಿಯ ವಿರುದ್ಧ ಕೋನವು ಹೆಚ್ಚು ಇರುತ್ತದೆ, ಆ ಬದಿಯ ಉದ್ದವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ (90 o ಕೋನದ ಎದುರು ಇರುತ್ತದೆ) ಯಾವಾಗಲೂ ಯಾವುದೇ ಕಾಲುಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಕೋನಗಳ ಎದುರು ಇರುತ್ತದೆ< 90 o).
ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಗಣಿತದ ಸಂಕೇತ
ಈ ಪ್ರಮೇಯವು ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ನ ವರ್ಗವು ಕಾಲುಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಹಿಂದೆ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಈ ಸೂತ್ರೀಕರಣವನ್ನು ಗಣಿತೀಯವಾಗಿ ಬರೆಯಲು, ಬಲ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಇದರಲ್ಲಿ ಬದಿಗಳು a, b ಮತ್ತು c ಕ್ರಮವಾಗಿ ಎರಡು ಕಾಲುಗಳು ಮತ್ತು ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ನ ವರ್ಗವು ಕಾಲುಗಳ ಚೌಕಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ರೂಪಿಸಲಾದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು: c 2 = a 2 + b 2. ಇಲ್ಲಿಂದ ಅಭ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಮುಖ್ಯವಾದ ಇತರ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು: a = √(c 2 - b 2), b = √(c 2 - a 2) ಮತ್ತು c = √(a 2 + b 2).
ಒಂದು ಆಯತಾಕಾರದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ ಸಮಕೋನ ತ್ರಿಕೋನ, ಅಂದರೆ, a = b, ಸೂತ್ರೀಕರಣ: ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ನ ವರ್ಗವು ಕಾಲುಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ: c 2 = a 2 + b 2 = 2a 2, ಇದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಸಮಾನತೆ: c = a√2.
ಐತಿಹಾಸಿಕ ಉಲ್ಲೇಖ
ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯ, ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ನ ವರ್ಗವು ಕಾಲುಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ, ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಗ್ರೀಕ್ ತತ್ವಜ್ಞಾನಿ ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ಗಮನ ಹರಿಸುವುದಕ್ಕಿಂತ ಮುಂಚೆಯೇ ತಿಳಿದಿತ್ತು. ಅನೇಕ ಪಪೈರಿ ಪ್ರಾಚೀನ ಈಜಿಪ್ಟ್, ಹಾಗೆಯೇ ಬ್ಯಾಬಿಲೋನಿಯನ್ನರ ಜೇಡಿಮಣ್ಣಿನ ಮಾತ್ರೆಗಳು ಈ ಜನರು ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳ ಗುರುತಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದಾರೆ ಎಂದು ದೃಢಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೊದಲನೆಯದು ಈಜಿಪ್ಟಿನ ಪಿರಮಿಡ್‌ಗಳು, ಖಫ್ರೆ ಪಿರಮಿಡ್, ಇದರ ನಿರ್ಮಾಣವು 26 ನೇ ಶತಮಾನದ BC ಯಲ್ಲಿದೆ (ಪೈಥಾಗರಸ್ನ ಜೀವನಕ್ಕಿಂತ 2000 ವರ್ಷಗಳ ಮೊದಲು), 3x4x5 ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಆಕಾರ ಅನುಪಾತದ ಜ್ಞಾನದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ.
ಹಾಗಾದರೆ ಈಗ ಪ್ರಮೇಯವು ಗ್ರೀಕ್ ಹೆಸರನ್ನು ಏಕೆ ಹೊಂದಿದೆ? ಉತ್ತರ ಸರಳವಾಗಿದೆ: ಪೈಥಾಗರಸ್ ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಗಣಿತೀಯವಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ ಮೊದಲಿಗ. ಉಳಿದಿರುವ ಬ್ಯಾಬಿಲೋನಿಯನ್ ಮತ್ತು ಈಜಿಪ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಲಿಖಿತ ಮೂಲಗಳುಇದು ಅದರ ಬಳಕೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತ್ರ ಹೇಳುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಯಾವುದೇ ಗಣಿತದ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುವುದಿಲ್ಲ.
ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪೈಥಾಗರಸ್ ಪ್ರಶ್ನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು ಎಂದು ನಂಬಲಾಗಿದೆ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ತ್ರಿಕೋನಗಳು, 90 o ಕೋನದಿಂದ ಹೈಪೋಟೆನ್ಯೂಸ್ಗೆ ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಎತ್ತರವನ್ನು ಎಳೆಯುವ ಮೂಲಕ ಅವನು ಪಡೆದುಕೊಂಡನು.
ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸುವ ಉದಾಹರಣೆ
ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಸರಳ ಕಾರ್ಯ: ಇಳಿಜಾರಾದ ಮೆಟ್ಟಿಲು L ನ ಉದ್ದವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ, ಅದು H = 3 ಮೀಟರ್ ಎತ್ತರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಮೆಟ್ಟಿಲು ಅದರ ಪಾದಕ್ಕೆ ಇರುವ ಗೋಡೆಯಿಂದ ದೂರವು P = 2.5 ಮೀಟರ್ ಆಗಿದೆ.
IN ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ H ಮತ್ತು P ಕಾಲುಗಳು, ಮತ್ತು L ಎಂಬುದು ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್. ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ನ ಉದ್ದವು ಕಾಲುಗಳ ಚೌಕಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: L 2 = H 2 + P 2, ಅಲ್ಲಿಂದ L = √(H 2 + P 2) = √(3 2 + 2.5 2) = 3.905 ಮೀಟರ್ ಅಥವಾ 3 ಮೀ ಮತ್ತು 90, 5 ಸೆಂ.
ಏಕೆ ಎಂದು ಕೇಳಿದಾಗ ನೀವು ನೂರು ಪ್ರತಿಶತ ಖಚಿತವಾಗಿರಬಹುದಾದ ಒಂದು ವಿಷಯ ಚೌಕಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್, ಯಾವುದೇ ವಯಸ್ಕನು ಧೈರ್ಯದಿಂದ ಉತ್ತರಿಸುತ್ತಾನೆ: "ಕಾಲುಗಳ ಚೌಕಗಳ ಮೊತ್ತ." ಈ ಪ್ರಮೇಯವು ಎಲ್ಲರ ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿ ಭದ್ರವಾಗಿ ನೆಲೆಯೂರಿದೆ. ವಿದ್ಯಾವಂತ ವ್ಯಕ್ತಿ, ಆದರೆ ನೀವು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿರುವುದು ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಯಾರನ್ನಾದರೂ ಕೇಳುವುದು ಮತ್ತು ತೊಂದರೆಗಳು ಉಂಟಾಗಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳೋಣ ಮತ್ತು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ವಿವಿಧ ರೀತಿಯಲ್ಲಿಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆ.
ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಜೀವನಚರಿತ್ರೆ
ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಪರಿಚಿತವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಕೆಲವು ಕಾರಣಗಳಿಂದಾಗಿ ಅದನ್ನು ಜಗತ್ತಿಗೆ ತಂದ ವ್ಯಕ್ತಿಯ ಜೀವನಚರಿತ್ರೆ ಅಷ್ಟೊಂದು ಜನಪ್ರಿಯವಾಗಿಲ್ಲ. ಇದನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪೈಥಾಗರಸ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ವಿವಿಧ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಅನ್ವೇಷಿಸುವ ಮೊದಲು, ನೀವು ಅವರ ವ್ಯಕ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು.
ಪೈಥಾಗರಸ್ - ತತ್ವಜ್ಞಾನಿ, ಗಣಿತಜ್ಞ, ಚಿಂತಕ ಮೂಲತಃ ಇಂದಿನಿಂದ ಈ ಮಹಾನ್ ವ್ಯಕ್ತಿಯ ನೆನಪಿಗಾಗಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ ದಂತಕಥೆಗಳಿಂದ ಅವರ ಜೀವನ ಚರಿತ್ರೆಯನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವುದು ತುಂಬಾ ಕಷ್ಟ. ಆದರೆ ಅವರ ಅನುಯಾಯಿಗಳ ಕೃತಿಗಳಿಂದ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ, ಸಮೋಸ್ನ ಪೈಥಾಗರಸ್ ಸಮೋಸ್ ದ್ವೀಪದಲ್ಲಿ ಜನಿಸಿದರು. ಅವರ ತಂದೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಲ್ಲು ಕತ್ತರಿಸುವವರಾಗಿದ್ದರು, ಆದರೆ ಅವರ ತಾಯಿ ಉದಾತ್ತ ಕುಟುಂಬದಿಂದ ಬಂದವರು.
ದಂತಕಥೆಯ ಮೂಲಕ ನಿರ್ಣಯಿಸುವುದು, ಪೈಥಾಗರಸ್ನ ಜನನವನ್ನು ಪೈಥಿಯಾ ಎಂಬ ಮಹಿಳೆ ಭವಿಷ್ಯ ನುಡಿದರು, ಅವರ ಗೌರವಾರ್ಥವಾಗಿ ಹುಡುಗನಿಗೆ ಹೆಸರಿಸಲಾಯಿತು. ಅವಳ ಭವಿಷ್ಯವಾಣಿಯ ಪ್ರಕಾರ, ಹುಟ್ಟಿದ ಹುಡುಗ ಮಾನವೀಯತೆಗೆ ಬಹಳಷ್ಟು ಪ್ರಯೋಜನವನ್ನು ಮತ್ತು ಒಳ್ಳೆಯದನ್ನು ತರಬೇಕಾಗಿತ್ತು. ಅವನು ನಿಖರವಾಗಿ ಏನು ಮಾಡಿದ್ದಾನೆ.
ಪ್ರಮೇಯದ ಜನನ
ತನ್ನ ಯೌವನದಲ್ಲಿ, ಪೈಥಾಗರಸ್ ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಈಜಿಪ್ಟ್ ಋಷಿಗಳನ್ನು ಭೇಟಿ ಮಾಡಲು ಈಜಿಪ್ಟ್ಗೆ ತೆರಳಿದರು. ಅವರೊಂದಿಗೆ ಭೇಟಿಯಾದ ನಂತರ, ಅವರಿಗೆ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಅವಕಾಶ ನೀಡಲಾಯಿತು, ಅಲ್ಲಿ ಅವರು ಈಜಿಪ್ಟಿನ ತತ್ತ್ವಶಾಸ್ತ್ರ, ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಔಷಧದ ಎಲ್ಲಾ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಸಾಧನೆಗಳನ್ನು ಕಲಿತರು.
ಬಹುಶಃ ಈಜಿಪ್ಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಪೈಥಾಗರಸ್ ಪಿರಮಿಡ್‌ಗಳ ಗಾಂಭೀರ್ಯ ಮತ್ತು ಸೌಂದರ್ಯದಿಂದ ಪ್ರೇರಿತನಾಗಿ ತನ್ನದೇ ಆದದನ್ನು ರಚಿಸಿದನು. ದೊಡ್ಡ ಸಿದ್ಧಾಂತ. ಇದು ಓದುಗರಿಗೆ ಆಘಾತವಾಗಬಹುದು, ಆದರೆ ಆಧುನಿಕ ಇತಿಹಾಸಕಾರರುಪೈಥಾಗರಸ್ ತನ್ನ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಿಲ್ಲ ಎಂದು ಅವರು ನಂಬುತ್ತಾರೆ. ಆದರೆ ಅವರು ತಮ್ಮ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ತಮ್ಮ ಅನುಯಾಯಿಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ರವಾನಿಸಿದರು, ಅವರು ನಂತರ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಗಣಿತದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿದರು.
ಅದು ಇರಲಿ, ಇಂದು ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಒಂದು ವಿಧಾನ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು. ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಕರು ತಮ್ಮ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿಖರವಾಗಿ ನಿರ್ವಹಿಸಿದ್ದಾರೆಂದು ಇಂದು ನಾವು ಊಹಿಸಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ನಾವು ವಿವಿಧ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ.
ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯ
ನೀವು ಯಾವುದೇ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುವ ಮೊದಲು, ನೀವು ಯಾವ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತೀರಿ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಹೀಗಿದೆ: "ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ 90 °, ಕಾಲುಗಳ ಚೌಕಗಳ ಮೊತ್ತವು ಹೈಪೋಟೆನ್ಯೂಸ್ನ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ."
ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಒಟ್ಟು 15 ವಿಭಿನ್ನ ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ. ಇದು ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಜನಪ್ರಿಯವಾದವುಗಳಿಗೆ ಗಮನ ಕೊಡುತ್ತೇವೆ.
ವಿಧಾನ ಒಂದು
ಮೊದಲಿಗೆ, ನಮಗೆ ಏನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ. ಈ ಡೇಟಾವು ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಇತರ ವಿಧಾನಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಲಭ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ.
ಕಾಲುಗಳು a, b ಮತ್ತು c ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಹೊಂದಿರುವ ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ನಮಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನೀವು ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದಿಂದ ಒಂದು ಚೌಕವನ್ನು ಸೆಳೆಯಬೇಕು ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಪುರಾವೆಯ ಮೊದಲ ವಿಧಾನವು ಆಧರಿಸಿದೆ.
ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನೀವು ಲೆಗ್ ಬಿ ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ವಿಭಾಗವನ್ನು a ಉದ್ದದ ಲೆಗ್‌ಗೆ ಸೇರಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ. ಇದು ಎರಡು ಮಾಡಬೇಕು ಸಮಾನ ಬದಿಗಳುಚೌಕ. ಎರಡು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಸೆಳೆಯಲು ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆ, ಮತ್ತು ಚೌಕವು ಸಿದ್ಧವಾಗಿದೆ.
ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಆಕೃತಿಯ ಒಳಗೆ ನೀವು ಇನ್ನೊಂದು ಚೌಕವನ್ನು ಒಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಸೆಳೆಯಬೇಕು ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆಮೂಲ ತ್ರಿಕೋನ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಶೃಂಗಗಳಿಂದ ас ಮತ್ತು св ನೀವು ಎರಡನ್ನು ಸೆಳೆಯಬೇಕು ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಚೌಕದ ಮೂರು ಬದಿಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮೂಲ ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದ ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಆಗಿದೆ. ನಾಲ್ಕನೇ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಸೆಳೆಯುವುದು ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆ.
ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಂಕಿ ಅಂಶವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ಹೊರಗಿನ ಚೌಕದ ಪ್ರದೇಶವು (a + b) 2 ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು. ನೀವು ಆಕೃತಿಯೊಳಗೆ ನೋಡಿದರೆ, ಆಂತರಿಕ ಚೌಕದ ಜೊತೆಗೆ ನಾಲ್ಕು ಬಲ ತ್ರಿಕೋನಗಳಿವೆ ಎಂದು ನೀವು ನೋಡಬಹುದು. ಪ್ರತಿಯೊಂದರ ಪ್ರದೇಶವು 0.5av ಆಗಿದೆ.
ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರದೇಶವು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ: 4 * 0.5ab + c 2 = 2av + c 2
ಆದ್ದರಿಂದ (a + b) 2 = 2ab + c 2
ಮತ್ತು, ಆದ್ದರಿಂದ, c 2 =a 2 +b 2
ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.
ವಿಧಾನ ಎರಡು: ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ತ್ರಿಕೋನಗಳು
ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ವಿಭಾಗದಿಂದ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ. ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನದ ಕಾಲು ಅದರ ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಮತ್ತು 90 ° ಕೋನದ ಶೃಂಗದಿಂದ ಹೊರಹೊಮ್ಮುವ ಹೈಪೋಟೆನ್ಯೂಸ್ನ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸರಾಸರಿ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅದು ಹೇಳುತ್ತದೆ.
ಆರಂಭಿಕ ಡೇಟಾ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಪುರಾವೆಯೊಂದಿಗೆ ಈಗಿನಿಂದಲೇ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ. AB ಬದಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಒಂದು ವಿಭಾಗದ CD ಅನ್ನು ಸೆಳೆಯೋಣ. ಮೇಲಿನ ಹೇಳಿಕೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಬದಿಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:
AC=√AB*AD, SV=√AB*DV.
ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಹೇಗೆ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಿಸಲು, ಎರಡೂ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಬೇಕು.
AC 2 = AB * AD ಮತ್ತು CB 2 = AB * DV
ಈಗ ನಾವು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.
AC 2 + CB 2 = AB * (AD * DV), ಇಲ್ಲಿ AD + DV = AB
ಇದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ:
AC 2 + CB 2 =AB*AB
ಆದ್ದರಿಂದ:
AC 2 + CB 2 = AB 2
ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿವಿಧ ವಿಧಾನಗಳಿಗೆ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಬಹುಮುಖ ವಿಧಾನದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಆಯ್ಕೆಯು ಸರಳವಾದವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ.
ಮತ್ತೊಂದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ವಿಧಾನ
ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ವಿವಿಧ ವಿಧಾನಗಳ ವಿವರಣೆಗಳು ನಿಮ್ಮದೇ ಆದ ಅಭ್ಯಾಸವನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುವವರೆಗೆ ಏನನ್ನೂ ಅರ್ಥೈಸುವುದಿಲ್ಲ. ಅನೇಕ ತಂತ್ರಗಳು ಗಣಿತದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಮೂಲ ತ್ರಿಕೋನದಿಂದ ಹೊಸ ಅಂಕಿಗಳ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನೂ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ.
ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಬದಿಯಲ್ಲಿ BC ಯಿಂದ ಮತ್ತೊಂದು ಬಲ ತ್ರಿಕೋನ VSD ಅನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಹೀಗಾಗಿ, ಈಗ ಸಾಮಾನ್ಯ ಲೆಗ್ BC ಯೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ತ್ರಿಕೋನಗಳಿವೆ.
ಪ್ರದೇಶ ಎಂದು ತಿಳಿಯುವುದು ಇದೇ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳುಅವುಗಳ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೇಖೀಯ ಆಯಾಮಗಳ ಚೌಕಗಳಂತೆ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಹೊಂದಿರಿ, ನಂತರ:
S avs * c 2 - S avd * in 2 = S avd * a 2 - S vsd * a 2
S avs *(2 ರಿಂದ 2 ರವರೆಗೆ) = a 2 *(S avd -S vsd)
2 ರಿಂದ 2 =a 2
c 2 =a 2 +b 2
ಗ್ರೇಡ್ 8 ಗಾಗಿ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ವಿವಿಧ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ, ಈ ಆಯ್ಕೆಯು ಅಷ್ಟೇನೂ ಸೂಕ್ತವಲ್ಲ, ನೀವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.
ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸುಲಭವಾದ ಮಾರ್ಗ. ವಿಮರ್ಶೆಗಳು
ಇತಿಹಾಸಕಾರರ ಪ್ರಕಾರ, ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಮೊದಲು ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಬಳಸಲಾಯಿತು ಪುರಾತನ ಗ್ರೀಸ್. ಇದು ಸರಳವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ನೀವು ಚಿತ್ರವನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಚಿತ್ರಿಸಿದರೆ, 2 + ಬಿ 2 = ಸಿ 2 ಎಂಬ ಹೇಳಿಕೆಯ ಪುರಾವೆಯು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಗೋಚರಿಸುತ್ತದೆ.
ಗಾಗಿ ಷರತ್ತುಗಳು ಈ ವಿಧಾನಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಸ್ವಲ್ಪ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, ಆಯತಾಕಾರದ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ ತ್ರಿಕೋನ ABC- ಸಮದ್ವಿಬಾಹು.
ನಾವು ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ AC ಅನ್ನು ಚೌಕದ ಬದಿಯಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೂರು ಬದಿಗಳನ್ನು ಸೆಳೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇದರ ಜೊತೆಗೆ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಚೌಕದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಕರ್ಣೀಯ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಸೆಳೆಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಆದ್ದರಿಂದ ಅದರ ಒಳಗೆ ನೀವು ನಾಲ್ಕು ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ.
ನೀವು AB ಮತ್ತು CB ಕಾಲುಗಳಿಗೆ ಚೌಕವನ್ನು ಸೆಳೆಯಬೇಕು ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲೂ ಒಂದು ಕರ್ಣೀಯ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ. ನಾವು ಶೃಂಗ A ನಿಂದ ಮೊದಲ ಸಾಲನ್ನು ಸೆಳೆಯುತ್ತೇವೆ, ಎರಡನೆಯದು C ನಿಂದ.
ಈಗ ನೀವು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ನೋಡಬೇಕು. ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ AC ಯಲ್ಲಿ ಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ನಾಲ್ಕು ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಮತ್ತು ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ಇರುವುದರಿಂದ, ಇದು ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.
ಮೂಲಕ, ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಈ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳು, ಪ್ರಸಿದ್ಧ ನುಡಿಗಟ್ಟು: "ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ಯಾಂಟ್ಗಳು ಎಲ್ಲಾ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ."
ಜೆ. ಗಾರ್ಫೀಲ್ಡ್ ಅವರಿಂದ ಪುರಾವೆ
ಜೇಮ್ಸ್ ಗಾರ್ಫೀಲ್ಡ್ ಯುನೈಟೆಡ್ ಸ್ಟೇಟ್ಸ್ ಆಫ್ ಅಮೇರಿಕದ ಇಪ್ಪತ್ತನೇ ಅಧ್ಯಕ್ಷರಾಗಿದ್ದಾರೆ. ಯುನೈಟೆಡ್ ಸ್ಟೇಟ್ಸ್ನ ಆಡಳಿತಗಾರನಾಗಿ ಇತಿಹಾಸದಲ್ಲಿ ತನ್ನ ಛಾಪನ್ನು ಮೂಡಿಸುವುದರ ಜೊತೆಗೆ, ಅವರು ಪ್ರತಿಭಾನ್ವಿತ ಸ್ವಯಂಶಿಕ್ಷಕರಾಗಿದ್ದರು.
ಅವರ ವೃತ್ತಿಜೀವನದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಅವರು ಸಾಮಾನ್ಯ ಶಿಕ್ಷಕರಾಗಿದ್ದರು ಸರಕಾರಿ ಶಾಲೆ, ಆದರೆ ಶೀಘ್ರದಲ್ಲೇ ಅತ್ಯುನ್ನತ ನಿರ್ದೇಶಕರಾದರು ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಸಂಸ್ಥೆಗಳು. ಸ್ವ-ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯ ಬಯಕೆಯು ಅವನಿಗೆ ನೀಡಲು ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಟ್ಟಿತು ಹೊಸ ಸಿದ್ಧಾಂತಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆ. ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಅದರ ಪರಿಹಾರದ ಉದಾಹರಣೆ ಹೀಗಿದೆ.
ಮೊದಲು ನೀವು ಕಾಗದದ ತುಂಡು ಮೇಲೆ ಎರಡು ಬಲ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಸೆಳೆಯಬೇಕು ಇದರಿಂದ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರ ಕಾಲು ಎರಡನೆಯ ಮುಂದುವರಿಕೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಶೃಂಗಗಳು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿರಬೇಕು.
ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ನ ಪ್ರದೇಶವು ಅದರ ಬೇಸ್ಗಳ ಅರ್ಧ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಅದರ ಎತ್ತರದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
S=a+b/2 * (a+b)
ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ಅನ್ನು ಮೂರು ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಆಕೃತಿ ಎಂದು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ಅದರ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಕಾಣಬಹುದು:
S=av/2 *2 + s 2/2
ಈಗ ನಾವು ಎರಡು ಮೂಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸಮಾನಗೊಳಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ
2ab/2 + c/2=(a+b) 2/2
c 2 =a 2 +b 2
ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಪುಟಗಳನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು. ಬೋಧನಾ ನೆರವು. ಆದರೆ ಈ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದಿದ್ದಾಗ ಅದರಲ್ಲಿ ಏನಾದರೂ ಅರ್ಥವಿದೆಯೇ?
ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್
ದುರದೃಷ್ಟವಶಾತ್, ಆಧುನಿಕದಲ್ಲಿ ಶಾಲೆಯ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮಗಳುಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಳಸಲು ಉದ್ದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು. ಪದವೀಧರರು ತಮ್ಮ ಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ಕೌಶಲ್ಯಗಳನ್ನು ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಹೇಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು ಎಂದು ತಿಳಿಯದೆ ಶೀಘ್ರದಲ್ಲೇ ಶಾಲೆಯನ್ನು ಬಿಡುತ್ತಾರೆ.
ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಿಮ್ಮಲ್ಲಿ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿ ದೈನಂದಿನ ಜೀವನದಲ್ಲಿಎಲ್ಲರೂ ಮಾಡಬಹುದು. ಮತ್ತು ಒಳಗೆ ಮಾತ್ರವಲ್ಲ ವೃತ್ತಿಪರ ಚಟುವಟಿಕೆ, ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮನೆಕೆಲಸಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ. ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳು ಅತ್ಯಂತ ಅಗತ್ಯವಾದಾಗ ಹಲವಾರು ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.
ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರದ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧ
ಕಾಗದದ ಮೇಲೆ ನಕ್ಷತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸಬಹುದು ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರ ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರ, ಇದು ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಚಲನೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಬೆಳಕಿನ ಕಿರಣಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ. ಬೆಳಕು ಎರಡೂ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ ಅದೇ ವೇಗ. ಬೆಳಕಿನ ಕಿರಣವು ಚಲಿಸುವ ಪಥವನ್ನು AB ಎಂದು ಕರೆಯೋಣ ಎಲ್. ಮತ್ತು A ಬಿಂದುವಿನಿಂದ B ಗೆ ಹೋಗಲು ಬೆಳಕು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಅರ್ಧ ಸಮಯವನ್ನು ನಾವು ಕರೆಯೋಣ ಟಿ. ಮತ್ತು ಕಿರಣದ ವೇಗ - ಸಿ. ಇದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ: c*t=l
ನೀವು ಇನ್ನೊಂದು ಸಮತಲದಿಂದ ಇದೇ ಕಿರಣವನ್ನು ನೋಡಿದರೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, v ವೇಗದೊಂದಿಗೆ ಚಲಿಸುವ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಲೈನರ್‌ನಿಂದ, ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ ದೇಹಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿದಾಗ, ಅವುಗಳ ವೇಗವು ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸ್ಥಾಯಿ ಅಂಶಗಳು ಸಹ ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ v ವೇಗದೊಂದಿಗೆ ಚಲಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತವೆ.
ಕಾಮಿಕ್ ಲೈನರ್ ಬಲಕ್ಕೆ ಸಾಗುತ್ತಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ. ನಂತರ ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಬಿಂದುಗಳು, ಅದರ ನಡುವೆ ಕಿರಣವು ಧಾವಿಸುತ್ತದೆ, ಎಡಕ್ಕೆ ಚಲಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಕಿರಣವು A ನಿಂದ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಚಲಿಸಿದಾಗ, ಪಾಯಿಂಟ್ A ಗೆ ಚಲಿಸಲು ಸಮಯವಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರಕಾರ, ಬೆಳಕು ಈಗಾಗಲೇ ತಲುಪುತ್ತದೆ ಹೊಸ ಪಾಯಿಂಟ್ C. A ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಚಲಿಸಿದ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ದೂರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ಲೈನರ್‌ನ ವೇಗವನ್ನು ಕಿರಣದ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಪ್ರಯಾಣದ ಸಮಯದಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ (t").
ಮತ್ತು ಈ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಬೆಳಕಿನ ಕಿರಣವು ಎಷ್ಟು ದೂರ ಪ್ರಯಾಣಿಸಬಹುದೆಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ಹೊಸ ಅಕ್ಷರ s ನೊಂದಿಗೆ ಅರ್ಧ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಗುರುತಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಬೇಕು:
ಬೆಳಕಿನ C ಮತ್ತು B ಬಿಂದುಗಳು, ಹಾಗೆಯೇ ಸ್ಪೇಸ್ ಲೈನರ್, ಶೃಂಗಗಳು ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸಿದರೆ ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಭುಜ, ನಂತರ A ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಲೈನರ್‌ವರೆಗಿನ ವಿಭಾಗವು ಅದನ್ನು ಎರಡು ಬಲ ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳು, ಬೆಳಕಿನ ಕಿರಣವು ಪ್ರಯಾಣಿಸಬಹುದಾದ ದೂರವನ್ನು ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.
ಈ ಉದಾಹರಣೆಯು ಹೆಚ್ಚು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಕೆಲವರು ಮಾತ್ರ ಇದನ್ನು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಪ್ರಯತ್ನಿಸಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಅದೃಷ್ಟಶಾಲಿಯಾಗಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಾಪಂಚಿಕ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.
ಮೊಬೈಲ್ ಸಿಗ್ನಲ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಮಿಷನ್ ಶ್ರೇಣಿ
ಸ್ಮಾರ್ಟ್‌ಫೋನ್‌ಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವಿಲ್ಲದೆ ಆಧುನಿಕ ಜೀವನವನ್ನು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ಮೊಬೈಲ್ ಸಂವಹನಗಳ ಮೂಲಕ ಚಂದಾದಾರರನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದಿದ್ದರೆ ಅವರು ಎಷ್ಟು ಪ್ರಯೋಜನವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ?!
ಮೊಬೈಲ್ ಸಂವಹನಗಳ ಗುಣಮಟ್ಟವು ಮೊಬೈಲ್ ಆಪರೇಟರ್ನ ಆಂಟೆನಾ ಇರುವ ಎತ್ತರವನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಮೊಬೈಲ್ ಟವರ್‌ನಿಂದ ಫೋನ್ ಎಷ್ಟು ದೂರದಲ್ಲಿ ಸಿಗ್ನಲ್ ಪಡೆಯಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ನೀವು ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು.
ಸ್ಥಾಯಿ ಗೋಪುರದ ಅಂದಾಜು ಎತ್ತರವನ್ನು ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಎಂದು ಹೇಳೋಣ ಇದರಿಂದ ಅದು 200 ಕಿಲೋಮೀಟರ್ ತ್ರಿಜ್ಯದೊಳಗೆ ಸಿಗ್ನಲ್ ಅನ್ನು ವಿತರಿಸಬಹುದು.
AB (ಗೋಪುರದ ಎತ್ತರ) = x;
BC (ಸಿಗ್ನಲ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಮಿಷನ್ ತ್ರಿಜ್ಯ) = 200 ಕಿಮೀ;
OS (ತ್ರಿಜ್ಯ ಗ್ಲೋಬ್) = 6380 ಕಿಮೀ;
OB=OA+ABOB=r+x
ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಕನಿಷ್ಠ ಎತ್ತರಗೋಪುರವು 2.3 ಕಿಲೋಮೀಟರ್ ಉದ್ದವಿರಬೇಕು.
ದೈನಂದಿನ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯ
ವಿಚಿತ್ರವೆಂದರೆ, ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ದೈನಂದಿನ ವಿಷಯಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ವಾರ್ಡ್ರೋಬ್ನ ಎತ್ತರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು. ಮೊದಲ ನೋಟದಲ್ಲಿ, ಅಂತಹದನ್ನು ಬಳಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ ಸಂಕೀರ್ಣ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು, ಏಕೆಂದರೆ ನೀವು ಕೇವಲ ಟೇಪ್ ಅಳತೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಳತೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಆದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಅಳತೆಗಳನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಅಸೆಂಬ್ಲಿ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಏಕೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಅನೇಕ ಜನರು ಆಶ್ಚರ್ಯ ಪಡುತ್ತಾರೆ.
ಸಂಗತಿಯೆಂದರೆ ವಾರ್ಡ್ರೋಬ್ ಅನ್ನು ಸಮತಲ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಮಾತ್ರ ಗೋಡೆಯ ವಿರುದ್ಧ ಎತ್ತರಿಸಿ ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ರಚನೆಯನ್ನು ಎತ್ತುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ, ಕ್ಯಾಬಿನೆಟ್ನ ಬದಿಯು ಕೋಣೆಯ ಎತ್ತರ ಮತ್ತು ಕರ್ಣೀಯವಾಗಿ ಎರಡೂ ಮುಕ್ತವಾಗಿ ಚಲಿಸಬೇಕು.
800 ಎಂಎಂ ಆಳದೊಂದಿಗೆ ವಾರ್ಡ್ರೋಬ್ ಇದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನೆಲದಿಂದ ಸೀಲಿಂಗ್ಗೆ ದೂರ - 2600 ಮಿಮೀ. ಅನುಭವಿ ಪೀಠೋಪಕರಣ ತಯಾರಕರು ಕ್ಯಾಬಿನೆಟ್ನ ಎತ್ತರವು ಕೋಣೆಯ ಎತ್ತರಕ್ಕಿಂತ 126 ಮಿಮೀ ಕಡಿಮೆ ಇರಬೇಕು ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ. ಆದರೆ ನಿಖರವಾಗಿ 126 ಮಿಮೀ ಏಕೆ? ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ.
ಆದರ್ಶ ಕ್ಯಾಬಿನೆಟ್ ಆಯಾಮಗಳೊಂದಿಗೆ, ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ:
AC =√AB 2 +√BC 2
AC=√2474 2 +800 2 =2600 mm - ಎಲ್ಲವೂ ಸರಿಹೊಂದುತ್ತದೆ.
ಕ್ಯಾಬಿನೆಟ್ನ ಎತ್ತರವು 2474 ಮಿಮೀ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ 2505 ಮಿಮೀ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ. ನಂತರ:
AC=√2505 2 +√800 2 =2629 mm.
ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಕೋಣೆಯಲ್ಲಿ ಅನುಸ್ಥಾಪನೆಗೆ ಈ ಕ್ಯಾಬಿನೆಟ್ ಸೂಕ್ತವಲ್ಲ. ಏಕೆಂದರೆ ಅದನ್ನು ಲಂಬವಾದ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಎತ್ತುವುದು ಅದರ ದೇಹಕ್ಕೆ ಹಾನಿಯನ್ನುಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ.
ಬಹುಶಃ, ವಿವಿಧ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳಿಂದ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ವಿಭಿನ್ನ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದ ನಂತರ, ಅದು ನಿಜಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು. ಈಗ ನೀವು ನಿಮ್ಮ ದೈನಂದಿನ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಉಪಯುಕ್ತವಲ್ಲ, ಆದರೆ ಸರಿಯಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿಶ್ವಾಸ ಹೊಂದಿರಬಹುದು.
ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯ: ಕಾಲುಗಳ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಚೌಕಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಮೊತ್ತ ( ಎಮತ್ತು ಬಿ), ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಚೌಕದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ( ಸಿ).
ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣ:
ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಮೂಲತಃ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ:
ಬೀಜಗಣಿತದ ಸೂತ್ರೀಕರಣ:
ಅಂದರೆ, ತ್ರಿಕೋನದ ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಸಿ, ಮತ್ತು ಮೂಲಕ ಕಾಲುಗಳ ಉದ್ದಗಳು ಎಮತ್ತು ಬಿ :
ಎ 2 + ಬಿ 2 = ಸಿ 2ಪ್ರಮೇಯದ ಎರಡೂ ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ, ಆದರೆ ಎರಡನೆಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿದೆ; ಇದು ಪ್ರದೇಶದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಅಗತ್ಯವಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಅಂದರೆ, ಎರಡನೇ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಪ್ರದೇಶದ ಬಗ್ಗೆ ಏನನ್ನೂ ತಿಳಿಯದೆ ಮತ್ತು ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳ ಉದ್ದವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅಳೆಯುವ ಮೂಲಕ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು.
ಕಾನ್ವರ್ಸ್ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯ:
ಪುರಾವೆ
ಆನ್ ಈ ಕ್ಷಣವಿ ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಸಾಹಿತ್ಯಈ ಪ್ರಮೇಯದ 367 ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ದಾಖಲಿಸಲಾಗಿದೆ. ಬಹುಶಃ, ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಅಂತಹ ಪ್ರಭಾವಶಾಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಏಕೈಕ ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ವೈವಿಧ್ಯತೆಯನ್ನು ರೇಖಾಗಣಿತದ ಪ್ರಮೇಯದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯಿಂದ ಮಾತ್ರ ವಿವರಿಸಬಹುದು.
ಸಹಜವಾಗಿ, ಕಲ್ಪನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಸಣ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾದವು: ಪ್ರದೇಶದ ವಿಧಾನದಿಂದ ಪುರಾವೆಗಳು, ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ ಮತ್ತು ವಿಲಕ್ಷಣ ಪುರಾವೆಗಳು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬಳಸುವುದು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು).
ಇದೇ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಮೂಲಕ
ಬೀಜಗಣಿತದ ಸೂತ್ರೀಕರಣದ ಕೆಳಗಿನ ಪುರಾವೆಯು ಪುರಾವೆಗಳಲ್ಲಿ ಸರಳವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಮೂಲತತ್ವಗಳಿಂದ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಇದು ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸುವುದಿಲ್ಲ.
ಅವಕಾಶ ಎಬಿಸಿಲಂಬ ಕೋನದೊಂದಿಗೆ ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನವಿದೆ ಸಿ. ನಿಂದ ಎತ್ತರವನ್ನು ಸೆಳೆಯೋಣ ಸಿಮತ್ತು ಅದರ ಮೂಲವನ್ನು ಸೂಚಿಸಿ ಎಚ್. ತ್ರಿಕೋನ ACHತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ ಎಬಿಸಿಎರಡು ಮೂಲೆಗಳಲ್ಲಿ. ಅಂತೆಯೇ, ತ್ರಿಕೋನ CBHಇದೇ ಎಬಿಸಿ. ಸಂಕೇತವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ಮೂಲಕ
ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಯಾವುದು ಸಮಾನವಾಗಿದೆ
ಅದನ್ನು ಸೇರಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಪ್ರದೇಶದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುವ ಪುರಾವೆಗಳು
ಕೆಳಗಿನ ಪುರಾವೆಗಳು, ಅದರ ಹೊರತಾಗಿಯೂ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಸರಳತೆ, ಅಷ್ಟು ಸರಳವಲ್ಲ. ಅವರೆಲ್ಲರೂ ಪ್ರದೇಶದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ, ಅದರ ಪುರಾವೆಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟಕರವಾದ ಪುರಾವೆಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯ ಸ್ವತಃ.
ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಕ ಪುರಾವೆ
- ಚಿತ್ರ 1 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ನಾಲ್ಕು ಸಮಾನ ಬಲ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸೋಣ.
- ಬದಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಿಒಂದು ಚೌಕವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಎರಡು ತೀವ್ರ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 90 ° ಮತ್ತು ನೇರ ಕೋನವು 180 ° ಆಗಿದೆ.
- ಇಡೀ ಆಕೃತಿಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಒಂದು ಕಡೆ, ಬದಿಯ (a + b) ಇರುವ ಚೌಕದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ನಾಲ್ಕು ಚೌಕಗಳುತ್ರಿಕೋನಗಳು ಮತ್ತು ಎರಡು ಒಳ ಚೌಕಗಳು.
ಕ್ಯೂ.ಇ.ಡಿ.
ಸಮಾನತೆಯ ಮೂಲಕ ಪುರಾವೆಗಳು
ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸೊಗಸಾದ ಪುರಾವೆ
ಅಂತಹ ಒಂದು ಪುರಾವೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಚೌಕವನ್ನು ಕಾಲುಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಎರಡು ಚೌಕಗಳಾಗಿ ಮರುಹೊಂದಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಪುರಾವೆ
ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಪುರಾವೆಗಾಗಿ ರೇಖಾಚಿತ್ರ
ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಪುರಾವೆಗಾಗಿ ವಿವರಣೆ
ಯೂಕ್ಲಿಡ್‌ನ ಪುರಾವೆಯ ಕಲ್ಪನೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ: ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ನಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಚೌಕದ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಪ್ರದೇಶವು ಕಾಲುಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಚೌಕಗಳ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಪ್ರದೇಶಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ, ಮತ್ತು ನಂತರ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಎರಡು ಸಣ್ಣ ಚೌಕಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಅದರ ಮೇಲೆ ನಾವು ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಚೌಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಲಂಬ ಕೋನ C ಯ ಶೃಂಗದಿಂದ ಹೈಪೋಟೆನ್ಯೂಸ್ AB ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಒಂದು ಕಿರಣವನ್ನು ಸೆಳೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಹೈಪೋಟೆನ್ಯೂಸ್ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಚದರ ABIK ಅನ್ನು ಎರಡು ಆಯತಗಳಾಗಿ ಕತ್ತರಿಸುತ್ತದೆ - BHJI ಮತ್ತು HAKJ, ಕ್ರಮವಾಗಿ. ಈ ಆಯತಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳು ಅನುಗುಣವಾದ ಕಾಲುಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಚೌಕಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳಿಗೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ.
ಚದರ DECA ನ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು AHJK ಆಯತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಸಹಾಯಕ ವೀಕ್ಷಣೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ: ಅದೇ ಎತ್ತರ ಮತ್ತು ಬೇಸ್ ಹೊಂದಿರುವ ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರದೇಶ ಆಯತವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಆಯತದ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಬೇಸ್ ಮತ್ತು ಎತ್ತರದ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ. ಈ ಅವಲೋಕನದಿಂದ ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ತ್ರಿಕೋನ ACK ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು AHK ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ), ಇದು ಆಯತ AHJK ನ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ACK ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಚದರ DECA ಯ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಈಗ ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಮಾಡಬೇಕಾದ ಏಕೈಕ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಎಸಿಕೆ ಮತ್ತು ಬಿಡಿಎ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು (ಬಿಡಿಎ ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಮೇಲಿನ ಆಸ್ತಿಯ ಪ್ರಕಾರ ಚೌಕದ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ). ಸಮಾನತೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ. ಅವುಗಳೆಂದರೆ - AB=AK,AD=AC - CAK ಮತ್ತು BAD ಕೋನಗಳ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಚಲನೆಯ ವಿಧಾನದಿಂದ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಸುಲಭ: ನಾವು ತ್ರಿಕೋನ CAK ಅನ್ನು ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ 90° ತಿರುಗಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಂತರ ಎರಡು ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಬದಿಗಳು ಇದರಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತವೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಪ್ರಶ್ನೆಯು ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ (ಚೌಕದ ಶೃಂಗದಲ್ಲಿರುವ ಕೋನವು 90° ಆಗಿರುವುದರಿಂದ).
ಚೌಕ BCFG ಮತ್ತು ಆಯತ BHJI ಪ್ರದೇಶಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಹೋಲುತ್ತದೆ.
ಹೀಗಾಗಿ, ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ನಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಚೌಕದ ಪ್ರದೇಶವು ಕಾಲುಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಚೌಕಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಈ ಪುರಾವೆಯ ಹಿಂದಿನ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಮೇಲಿನ ಅನಿಮೇಷನ್‌ನಿಂದ ಮತ್ತಷ್ಟು ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ.
ಲಿಯೊನಾರ್ಡೊ ಡಾ ವಿನ್ಸಿಯ ಪುರಾವೆ
ಲಿಯೊನಾರ್ಡೊ ಡಾ ವಿನ್ಸಿಯ ಪುರಾವೆ
ಪುರಾವೆಯ ಮುಖ್ಯ ಅಂಶಗಳು ಸಮ್ಮಿತಿ ಮತ್ತು ಚಲನೆ.
ಸಮ್ಮಿತಿ, ವಿಭಾಗದಿಂದ ನೋಡಬಹುದಾದಂತೆ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಸಿIಚೌಕವನ್ನು ಕತ್ತರಿಸುತ್ತಾನೆ ಎಬಿಎಚ್ಜೆ ಎರಡು ಒಂದೇ ಭಾಗಗಳಾಗಿ (ತ್ರಿಕೋನಗಳಿಂದ ಎಬಿಸಿಮತ್ತು ಜೆಎಚ್Iನಿರ್ಮಾಣದಲ್ಲಿ ಸಮಾನ). 90 ಡಿಗ್ರಿ ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ ತಿರುಗುವಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಮಬ್ಬಾದ ಅಂಕಿಗಳ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ ಸಿಎಜೆI ಮತ್ತು ಜಿಡಿಎಬಿ . ನಾವು ಮಬ್ಬಾಗಿರುವ ಆಕೃತಿಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಕಾಲುಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಚೌಕಗಳ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಪ್ರದೇಶಗಳು ಮತ್ತು ಮೂಲ ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಈಗ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಇದು ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ನಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಚೌಕದ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಜೊತೆಗೆ ಮೂಲ ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರದೇಶವಾಗಿದೆ. ಪುರಾವೆಯ ಕೊನೆಯ ಹಂತವನ್ನು ಓದುಗರಿಗೆ ಬಿಡಲಾಗಿದೆ.
ಅಪರಿಮಿತ ವಿಧಾನದಿಂದ ಪುರಾವೆ
ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಕೆಳಗಿನ ಪುರಾವೆಗಳು 20 ನೇ ಶತಮಾನದ ಮೊದಲಾರ್ಧದಲ್ಲಿ ವಾಸಿಸುತ್ತಿದ್ದ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಹಾರ್ಡಿಗೆ ಕಾರಣವೆಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡುವುದು ಮತ್ತು ಬದಿಯಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದು ಎ, ಅಪರಿಮಿತ ಸೈಡ್ ಇನ್ಕ್ರಿಮೆಂಟ್ಗಳಿಗಾಗಿ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು ಜೊತೆಗೆಮತ್ತು ಎ(ತ್ರಿಕೋನ ಹೋಲಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು):
ಅಪರಿಮಿತ ವಿಧಾನದಿಂದ ಪುರಾವೆ
ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ
ಇನ್ನಷ್ಟು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಎರಡೂ ಕಾಲುಗಳ ಹೆಚ್ಚಳದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಅನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಲು
ಸಂಯೋಜಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆಮತ್ತು ಬಳಸುವುದು ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಸಿ 2 = ಎ 2 + ಬಿ 2 + ಸ್ಥಿರ.ಹೀಗಾಗಿ ನಾವು ಬಯಸಿದ ಉತ್ತರವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತೇವೆ
ಸಿ 2 = ಎ 2 + ಬಿ 2 .ನೋಡಲು ಎಷ್ಟು ಸುಲಭ ಚತುರ್ಭುಜ ಅವಲಂಬನೆಧನ್ಯವಾದಗಳು ಅಂತಿಮ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ರೇಖೀಯ ಅನುಪಾತತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ಏರಿಕೆಗಳ ನಡುವೆ, ಮೊತ್ತವು ವಿವಿಧ ಕಾಲುಗಳ ಹೆಚ್ಚಳದಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರ ಕೊಡುಗೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ.
ಕಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಅನುಭವಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸಿದರೆ ಸರಳವಾದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು (ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕಾಲು ಬಿ) ನಂತರ ಏಕೀಕರಣ ಸ್ಥಿರಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು
- ಚೌಕಗಳ ಬದಲಿಗೆ ನಾವು ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಇತರ ರೀತಿಯ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದರೆ, ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಕೆಳಗಿನ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವು ನಿಜವಾಗಿದೆ: ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ, ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಅಂಕಿಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಮೊತ್ತವು ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ನಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ:
- ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ನಿಯಮಿತ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಮೊತ್ತವು ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ನಿಯಮಿತ ತ್ರಿಕೋನ, ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ.
- ಕಾಲುಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಅರ್ಧವೃತ್ತಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಮೊತ್ತವು (ವ್ಯಾಸದಂತೆ) ಹೈಪೋಟೆನ್ಯೂಸ್ನಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಅರ್ಧವೃತ್ತದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎರಡು ವೃತ್ತಗಳ ಆರ್ಕ್‌ಗಳಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಆಕೃತಿಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಈ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಹಿಪೊಕ್ರೆಟಿಕ್ ಲುನುಲೇ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಕಥೆ
ಚು-ಪೈ 500-200 BC. ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಶಾಸನವಿದೆ: ಎತ್ತರ ಮತ್ತು ತಳದ ಉದ್ದಗಳ ಚೌಕಗಳ ಮೊತ್ತವು ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ನ ಉದ್ದದ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ.
ಪ್ರಾಚೀನ ಚೀನೀ ಪುಸ್ತಕ ಚು-ಪೈ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಾರೆ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ತ್ರಿಕೋನ 3, 4 ಮತ್ತು 5 ಬದಿಗಳೊಂದಿಗೆ: ಅದೇ ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ, ಬಶಾರದ ಹಿಂದೂ ರೇಖಾಗಣಿತದ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ.
ಕ್ಯಾಂಟರ್ (ಗಣಿತದ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಜರ್ಮನ್ ಇತಿಹಾಸಕಾರ) 3² + 4² = 5² ಸಮಾನತೆ ಈಜಿಪ್ಟಿನವರಿಗೆ 2300 BC ಯಲ್ಲಿ ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿತ್ತು ಎಂದು ನಂಬುತ್ತಾರೆ. ಇ., ಕಿಂಗ್ ಅಮೆನೆಮ್ಹೆಟ್ I ರ ಸಮಯದಲ್ಲಿ (ಬರ್ಲಿನ್ ಮ್ಯೂಸಿಯಂನ ಪ್ಯಾಪಿರಸ್ 6619 ರ ಪ್ರಕಾರ). ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಪ್ರಕಾರ, ಹಾರ್ಪಿಡೊನಾಪ್ಟ್ಸ್ ಅಥವಾ "ಹಗ್ಗ ಎಳೆಯುವವರು", 3, 4 ಮತ್ತು 5 ರ ಬದಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲಂಬ ಕೋನಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದ್ದಾರೆ.
ಅವರ ನಿರ್ಮಾಣದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪುನರುತ್ಪಾದಿಸುವುದು ತುಂಬಾ ಸುಲಭ. 12 ಮೀ ಉದ್ದದ ಹಗ್ಗವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅದಕ್ಕೆ 3 ಮೀಟರ್ ದೂರದಲ್ಲಿ ಬಣ್ಣದ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಕಟ್ಟೋಣ. ಒಂದು ತುದಿಯಿಂದ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ತುದಿಯಿಂದ 4 ಮೀಟರ್. ಬಲ ಕೋನವು 3 ಮತ್ತು 4 ಮೀಟರ್ ಉದ್ದದ ಬದಿಗಳ ನಡುವೆ ಸುತ್ತುವರಿಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಮರದ ಚೌಕವನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ ಅವರ ನಿರ್ಮಾಣದ ವಿಧಾನವು ಅತಿರೇಕವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹಾರ್ಪಿಡೊನಾಪ್ಟಿಯನ್ನರಿಗೆ ಆಕ್ಷೇಪಿಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎಲ್ಲಾ ಬಡಗಿಗಳು ಇದನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಈಜಿಪ್ಟಿನ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಸಾಧನವು ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬಡಗಿಗಳ ಕಾರ್ಯಾಗಾರವನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳು.
ಬ್ಯಾಬಿಲೋನಿಯನ್ನರಲ್ಲಿ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಬಗ್ಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು ತಿಳಿದಿದೆ. ಒಂದು ಪಠ್ಯದಲ್ಲಿ ಹಮ್ಮುರಾಬಿಯ ಕಾಲಕ್ಕೆ, ಅಂದರೆ ಕ್ರಿ.ಪೂ. 2000ಕ್ಕೆ ಹಿಂದಿನದು. ಇ., ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನದ ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ನ ಅಂದಾಜು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಇದರಿಂದ ನಾವು ಮೆಸೊಪಟ್ಯಾಮಿಯಾದಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನಗಳೊಂದಿಗೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು. ಒಂದೆಡೆ, ಈಜಿಪ್ಟ್ ಮತ್ತು ಬ್ಯಾಬಿಲೋನಿಯನ್ ಗಣಿತದ ಬಗ್ಗೆ ಪ್ರಸ್ತುತ ಮಟ್ಟದ ಜ್ಞಾನದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಮತ್ತು ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಗ್ರೀಕ್ ಮೂಲಗಳ ವಿಮರ್ಶಾತ್ಮಕ ಅಧ್ಯಯನದ ಮೇಲೆ, ವ್ಯಾನ್ ಡೆರ್ ವಾರ್ಡೆನ್ (ಡಚ್ ಗಣಿತಜ್ಞ) ಈ ಕೆಳಗಿನ ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ ಬಂದರು:
ಸಾಹಿತ್ಯ
ರಷ್ಯನ್ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ
- ಸ್ಕೋಪೆಟ್ಸ್ Z. A.ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಚಿಕಣಿಗಳು. ಎಂ., 1990
- ಎಲೆನ್ಸ್ಕಿ ಶ್ಚ್.ಪೈಥಾಗರಸ್ನ ಹೆಜ್ಜೆಯಲ್ಲಿ. ಎಂ., 1961
- ವ್ಯಾನ್ ಡೆರ್ ವಾರ್ಡನ್ ಬಿ.ಎಲ್.ಜಾಗೃತಿ ವಿಜ್ಞಾನ. ಪ್ರಾಚೀನ ಈಜಿಪ್ಟ್, ಬ್ಯಾಬಿಲೋನ್ ಮತ್ತು ಗ್ರೀಸ್ನ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ. ಎಂ., 1959
- ಗ್ಲೇಜರ್ ಜಿ.ಐ.ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ಇತಿಹಾಸ. ಎಂ., 1982
- W. ಲಿಟ್ಜ್ಮನ್, "ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯ" M., 1960.
- ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪುರಾವೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಬಗ್ಗೆ ಸೈಟ್, ವಿ. ಲಿಟ್ಜ್ಮನ್ ಪುಸ್ತಕದಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ, ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಫೈಲ್‌ಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
- ಡಿ ವಿ ಅನೋಸೊವ್ ಅವರ ಪುಸ್ತಕದಿಂದ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಟ್ರಿಪಲ್ ಅಧ್ಯಾಯ "ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ನೋಟ ಮತ್ತು ಅದರಿಂದ ಏನಾದರೂ"
- ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳ ಬಗ್ಗೆ G. ಗ್ಲೇಸರ್, ರಷ್ಯನ್ ಅಕಾಡೆಮಿ ಆಫ್ ಎಜುಕೇಶನ್, ಮಾಸ್ಕೋದ ಶಿಕ್ಷಣತಜ್ಞ
ಇಂಗ್ಲಿಷನಲ್ಲಿ
- ವೋಲ್ಫ್ರಾಮ್ ಮ್ಯಾಥ್ ವರ್ಲ್ಡ್ ನಲ್ಲಿ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯ
- ಕಟ್-ದಿ-ನಾಟ್, ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಭಾಗ, ಸುಮಾರು 70 ಪುರಾವೆಗಳು ಮತ್ತು ವ್ಯಾಪಕವಾದ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಮಾಹಿತಿ (ಇಂಗ್ಲಿಷ್)
ವಿಕಿಮೀಡಿಯಾ ಫೌಂಡೇಶನ್. 2010.
ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯ
ಅಂತೆಯೇ, ತ್ರಿಕೋನ CBH ಎಬಿಸಿಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಸಂಕೇತವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ಮೂಲಕ 
1. ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ನಾಲ್ಕು ಸಮಾನ ಬಲ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಇರಿಸಿ. 
ಯೂಕ್ಲಿಡ್‌ನ ಪುರಾವೆಯ ಕಲ್ಪನೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ: ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ನಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಚೌಕದ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಪ್ರದೇಶವು ಕಾಲುಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಚೌಕಗಳ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಪ್ರದೇಶಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ, ಮತ್ತು ನಂತರ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಎರಡು ಸಣ್ಣ ಚೌಕಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಅದರ ಮೇಲೆ ನಾವು ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಚೌಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಲಂಬ ಕೋನ C ಯ ಶೃಂಗದಿಂದ ಹೈಪೋಟೆನ್ಯೂಸ್ AB ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಒಂದು ಕಿರಣವನ್ನು ಸೆಳೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಹೈಪೋಟೆನ್ಯೂಸ್ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಚದರ ABIK ಅನ್ನು ಎರಡು ಆಯತಗಳಾಗಿ ಕತ್ತರಿಸುತ್ತದೆ - BHJI ಮತ್ತು HAKJ, ಕ್ರಮವಾಗಿ. ಈ ಆಯತಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳು ಅನುಗುಣವಾದ ಕಾಲುಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಚೌಕಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳಿಗೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ಚದರ DECA ನ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು AHJK ಆಯತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಸಹಾಯಕ ವೀಕ್ಷಣೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ: ಅದೇ ಎತ್ತರ ಮತ್ತು ಬೇಸ್ ಹೊಂದಿರುವ ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರದೇಶ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಆಯತವು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಆಯತದ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಬೇಸ್ ಮತ್ತು ಎತ್ತರದ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ. ಈ ಅವಲೋಕನದಿಂದ ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ತ್ರಿಕೋನ ACK ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು AHK ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ), ಇದು ಆಯತ AHJK ನ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ACK ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಚದರ DECA ಯ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಈಗ ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಮಾಡಬೇಕಾದ ಏಕೈಕ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಎಸಿಕೆ ಮತ್ತು ಬಿಡಿಎ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು (ಬಿಡಿಎ ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಮೇಲಿನ ಆಸ್ತಿಯ ಪ್ರಕಾರ ಚೌಕದ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ). ಸಮಾನತೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ. ಅವುಗಳೆಂದರೆ - AB=AK,AD=AC - CAK ಮತ್ತು BAD ಕೋನಗಳ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಚಲನೆಯ ವಿಧಾನದಿಂದ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಸುಲಭ: ನಾವು ತ್ರಿಕೋನ CAK ಅನ್ನು ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ 90° ತಿರುಗಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಂತರ ಎರಡು ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಬದಿಗಳು ಇದರಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತವೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಪ್ರಶ್ನೆಯು ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ (ಚೌಕದ ಶೃಂಗದಲ್ಲಿರುವ ಕೋನವು 90° ಆಗಿರುವುದರಿಂದ). ಚೌಕ BCFG ಮತ್ತು ಆಯತ BHJI ಪ್ರದೇಶಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ನಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಚೌಕದ ಪ್ರದೇಶವು ಕಾಲುಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಚೌಕಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ. 
ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ, ಸಮ್ಮಿತಿಯಿಂದ ನೋಡಬಹುದಾದಂತೆ, ವಿಭಾಗ CI ಚೌಕ ABHJ ಅನ್ನು ಎರಡು ಒಂದೇ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ಕತ್ತರಿಸುತ್ತದೆ (ಇದರಿಂದ ಸರಾಸರಿ ಮಟ್ಟ
ಬಲ ತ್ರಿಕೋನ. ಸಂಪೂರ್ಣ ಇಲ್ಲಸ್ಟ್ರೇಟೆಡ್ ಗೈಡ್ (2019)
ಬಲ ತ್ರಿಕೋನ. ಮೊದಲ ಹಂತ.
ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ, ಬಲ ಕೋನವು ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ - ಕೆಳಗಿನ ಎಡ, ಆದ್ದರಿಂದ ನೀವು ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬಲ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಕಲಿಯಬೇಕು,
ಮತ್ತು ಇದರಲ್ಲಿ
ಮತ್ತು ಇದರಲ್ಲಿ 
ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಯಾವುದು ಒಳ್ಳೆಯದು? ಸರಿ... ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ವಿಶೇಷಗಳಿವೆ ಸುಂದರ ಹೆಸರುಗಳುಅವನ ಬದಿಗಳಿಗೆ.
ರೇಖಾಚಿತ್ರಕ್ಕೆ ಗಮನ!
ನೆನಪಿಡಿ ಮತ್ತು ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸಬೇಡಿ: ಎರಡು ಕಾಲುಗಳಿವೆ, ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಒಂದು ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಇದೆ(ಒಂದು ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ, ಅನನ್ಯ ಮತ್ತು ಉದ್ದವಾದ)!
ಸರಿ, ನಾವು ಹೆಸರುಗಳನ್ನು ಚರ್ಚಿಸಿದ್ದೇವೆ, ಈಗ ಅತ್ಯಂತ ಮುಖ್ಯವಾದ ವಿಷಯ: ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯ.
ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯ.
ಬಲ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅನೇಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಈ ಪ್ರಮೇಯವು ಪ್ರಮುಖವಾಗಿದೆ. ಪೈಥಾಗರಸ್ ಅದನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು ಅನಾದಿ ಕಾಲ, ಮತ್ತು ಅಂದಿನಿಂದ ಅವಳು ಅವಳನ್ನು ತಿಳಿದಿರುವವರಿಗೆ ಬಹಳಷ್ಟು ಪ್ರಯೋಜನವನ್ನು ತಂದಿದ್ದಾಳೆ. ಮತ್ತು ಅದರ ಉತ್ತಮ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಅದು ಸರಳವಾಗಿದೆ.
ಆದ್ದರಿಂದ, ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯ:
ನೀವು ಜೋಕ್ ನೆನಪಿದೆಯೇ: "ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ಯಾಂಟ್ಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ!"?
ಇದೇ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ಯಾಂಟ್‌ಗಳನ್ನು ಸೆಳೆಯೋಣ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ. 
ಇದು ಕೆಲವು ರೀತಿಯ ಕಿರುಚಿತ್ರಗಳಂತೆ ಕಾಣುತ್ತಿಲ್ಲವೇ? ಸರಿ, ಯಾವ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಅವು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ? ಜೋಕ್ ಏಕೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿಂದ ಬಂತು? ಮತ್ತು ಈ ಜೋಕ್ ನಿಖರವಾಗಿ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿದೆ, ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ಪೈಥಾಗರಸ್ ಸ್ವತಃ ತನ್ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ರೂಪಿಸಿದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ. ಮತ್ತು ಅವನು ಅದನ್ನು ಈ ರೀತಿ ರೂಪಿಸಿದನು:
"ಸಂ ಚೌಕಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳು, ಕಾಲುಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ, ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಚದರ ಪ್ರದೇಶ, ಹೈಪೋಟೆನ್ಯೂಸ್ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ."
ಇದು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಸ್ವಲ್ಪ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆಯೇ? ಆದ್ದರಿಂದ, ಪೈಥಾಗರಸ್ ತನ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸಿದಾಗ, ಇದು ನಿಖರವಾಗಿ ಹೊರಬಂದ ಚಿತ್ರವಾಗಿದೆ.
ಈ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸಣ್ಣ ಚೌಕಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಮೊತ್ತವು ದೊಡ್ಡ ಚೌಕದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಕಾಲುಗಳ ಚೌಕಗಳ ಮೊತ್ತವು ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ನ ಚೌಕಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಮಕ್ಕಳು ಚೆನ್ನಾಗಿ ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ, ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ಯಾಂಟ್ಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಹಾಸ್ಯದ ಯಾರಾದರೂ ಈ ಹಾಸ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಬಂದರು.
ನಾವು ಈಗ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಏಕೆ ರೂಪಿಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆ?
ಪೈಥಾಗರಸ್ ಬಳಲುತ್ತಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು ಚೌಕಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡಿದ್ದಾರೆಯೇ?
ನೀವು ನೋಡಿ, ಪ್ರಾಚೀನ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ... ಬೀಜಗಣಿತ ಇರಲಿಲ್ಲ! ಯಾವುದೇ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಇರಲಿಲ್ಲ ಇತ್ಯಾದಿ. ಯಾವುದೇ ಶಾಸನಗಳು ಇರಲಿಲ್ಲ. ಬಡ ಪ್ರಾಚೀನ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಪದಗಳಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಎಷ್ಟು ಭಯಾನಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೀವು ಊಹಿಸಬಹುದೇ?! ಮತ್ತು ನಾವು ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಸರಳ ಸೂತ್ರೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ನಾವು ಸಂತೋಷಪಡಬಹುದು. ಅದನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಲು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಪುನರಾವರ್ತಿಸೋಣ:
ಇದು ಈಗ ಸುಲಭವಾಗಿರಬೇಕು:
| ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ನ ವರ್ಗವು ಕಾಲುಗಳ ಚೌಕಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. |
ಸರಿ, ಬಲ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಪ್ರಮುಖವಾದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದರ ಕುರಿತು ನೀವು ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಕೆಳಗಿನ ಹಂತದ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಓದಿ, ಮತ್ತು ಈಗ ನಾವು ಮುಂದುವರಿಯೋಣ... ಕತ್ತಲ ಕಾಡು... ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ! ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್, ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಮತ್ತು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ ಎಂಬ ಭಯಾನಕ ಪದಗಳಿಗೆ.
ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್, ಸ್ಪರ್ಶಕ, ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್.
ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಎಲ್ಲವೂ ತುಂಬಾ ಭಯಾನಕವಲ್ಲ. ಸಹಜವಾಗಿ, ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್, ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಮತ್ತು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ನ "ನೈಜ" ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ನೋಡಬೇಕು. ಆದರೆ ನಾನು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಬಯಸುವುದಿಲ್ಲ, ಅಲ್ಲವೇ? ನಾವು ಹಿಗ್ಗು ಮಾಡಬಹುದು: ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದ ಬಗ್ಗೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ನೀವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸರಳ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಭರ್ತಿ ಮಾಡಬಹುದು:
ಎಲ್ಲವೂ ಕೇವಲ ಮೂಲೆಯಲ್ಲಿ ಏಕೆ? ಮೂಲೆ ಎಲ್ಲಿದೆ? ಇದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, 1 - 4 ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಪದಗಳಲ್ಲಿ ಹೇಗೆ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ನೋಡಿ, ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಿ ಮತ್ತು ನೆನಪಿಡಿ!
1.
ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಇದು ಈ ರೀತಿ ಧ್ವನಿಸುತ್ತದೆ:
ಕೋನದ ಬಗ್ಗೆ ಏನು? ಮೂಲೆಯ ಎದುರು ಇರುವ ಕಾಲು ಇದೆಯೇ, ಅಂದರೆ ವಿರುದ್ಧ (ಕೋನಕ್ಕೆ) ಕಾಲು ಇದೆಯೇ? ಸಹಜವಾಗಿ ಹೊಂದಿವೆ! ಇದು ಕಾಲು!
ಕೋನದ ಬಗ್ಗೆ ಏನು? ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ನೋಡಿ. ಯಾವ ಕಾಲು ಮೂಲೆಯ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿದೆ? ಸಹಜವಾಗಿ, ಕಾಲು. ಇದರರ್ಥ ಕೋನಕ್ಕೆ ಲೆಗ್ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿದೆ, ಮತ್ತು
ಈಗ, ಗಮನ ಕೊಡಿ! ನಮಗೆ ಸಿಕ್ಕಿರುವುದನ್ನು ನೋಡಿ:
ಇದು ಎಷ್ಟು ತಂಪಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೋಡಿ:
ಈಗ ನಾವು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಮತ್ತು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್‌ಗೆ ಹೋಗೋಣ.
ಈಗ ನಾನು ಇದನ್ನು ಪದಗಳಲ್ಲಿ ಹೇಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು? ಕೋನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಲೆಗ್ ಯಾವುದು? ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಸಹಜವಾಗಿ - ಅದು ಮೂಲೆಯ ಎದುರು “ಸುಳ್ಳು”. ಕಾಲಿನ ಬಗ್ಗೆ ಏನು? ಮೂಲೆಯ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿದೆ. ಹಾಗಾದರೆ ನಮಗೆ ಏನು ಸಿಕ್ಕಿದೆ?
ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವು ಹೇಗೆ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡಿ?
ಮತ್ತು ಈಗ ಮತ್ತೆ ಮೂಲೆಗಳು ಮತ್ತು ವಿನಿಮಯವನ್ನು ಮಾಡಿದೆ:
ಸಾರಾಂಶ
ನಾವು ಕಲಿತ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಬರೆಯೋಣ.
 |
ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯ: |
ಬಲ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಮುಖ್ಯ ಪ್ರಮೇಯವೆಂದರೆ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯ.
ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯ
ಅಂದಹಾಗೆ, ಕಾಲುಗಳು ಮತ್ತು ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಯಾವುದು ಎಂದು ನಿಮಗೆ ಚೆನ್ನಾಗಿ ನೆನಪಿದೆಯೇ? ತುಂಬಾ ಚೆನ್ನಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡಿ - ನಿಮ್ಮ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ರಿಫ್ರೆಶ್ ಮಾಡಿ
ನೀವು ಈಗಾಗಲೇ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಹಲವು ಬಾರಿ ಬಳಸಿರುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿದೆ, ಆದರೆ ಅಂತಹ ಪ್ರಮೇಯ ಏಕೆ ನಿಜ ಎಂದು ನೀವು ಎಂದಾದರೂ ಯೋಚಿಸಿದ್ದೀರಾ? ನಾನು ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು? ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಕರಂತೆಯೇ ಮಾಡೋಣ. ಒಂದು ಬದಿಯೊಂದಿಗೆ ಚೌಕವನ್ನು ಸೆಳೆಯೋಣ.
ನಾವು ಎಷ್ಟು ಜಾಣತನದಿಂದ ಅದರ ಬದಿಗಳನ್ನು ಉದ್ದಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ನೋಡಿ!
ಈಗ ಗುರುತಿಸಲಾದ ಚುಕ್ಕೆಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸೋಣ
ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಬೇರೆ ಯಾವುದನ್ನಾದರೂ ಗಮನಿಸಿದ್ದೇವೆ, ಆದರೆ ನೀವೇ ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ಅನ್ನು ನೋಡಿ ಮತ್ತು ಇದು ಏಕೆ ಎಂದು ಯೋಚಿಸಿ.
ಪ್ರದೇಶವು ಯಾವುದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ? ದೊಡ್ಡ ಚೌಕ? ಸರಿ, . ಸಣ್ಣ ಪ್ರದೇಶದ ಬಗ್ಗೆ ಏನು? ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ, . ನಾಲ್ಕು ಮೂಲೆಗಳ ಒಟ್ಟು ಪ್ರದೇಶವು ಉಳಿದಿದೆ. ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಒಂದು ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಎರಡನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಹೈಪೊಟೆನಸ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಸ್ಪರ ಒಲವು ತೋರಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಏನಾಯಿತು? ಎರಡು ಆಯತಗಳು. ಇದರರ್ಥ "ಕಟ್ಗಳ" ಪ್ರದೇಶವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಈಗ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸೋಣ.
ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ:
ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಪೈಥಾಗರಸ್ಗೆ ಭೇಟಿ ನೀಡಿದ್ದೇವೆ - ನಾವು ಅವರ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಪ್ರಾಚೀನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ.
ಬಲ ತ್ರಿಕೋನ ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ
ಬಲ ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕಾಗಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧಗಳು ಹಿಡಿದಿರುತ್ತವೆ:
ಸೈನಸ್ ತೀವ್ರ ಕೋನ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎದುರು ಕಾಲುಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ಗೆ
ತೀವ್ರ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಪಕ್ಕದ ಕಾಲುಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ಗೆ.
ತೀವ್ರ ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಎದುರು ಭಾಗದ ಪಕ್ಕದ ಬದಿಯ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ತೀವ್ರ ಕೋನದ ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ ಪಕ್ಕದ ಬದಿಯ ವಿರುದ್ಧದ ಭಾಗದ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಮತ್ತು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಇದೆಲ್ಲವೂ ಟ್ಯಾಬ್ಲೆಟ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ:
ಇದು ತುಂಬಾ ಆರಾಮದಾಯಕವಾಗಿದೆ!
ಬಲ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳು
I. ಎರಡು ಕಡೆ
II. ಲೆಗ್ ಮತ್ತು ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಮೂಲಕ
III. ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಮತ್ತು ತೀವ್ರ ಕೋನದಿಂದ
IV. ಲೆಗ್ ಮತ್ತು ತೀವ್ರ ಕೋನದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ
a) 
b) 
ಗಮನ! ಕಾಲುಗಳು "ಸೂಕ್ತ" ಎಂದು ಇಲ್ಲಿ ಬಹಳ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇದು ಈ ರೀತಿ ಹೋದರೆ:
ನಂತರ ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಅವರು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ತೀವ್ರ ಕೋನವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ ಎಂಬ ಅಂಶದ ಹೊರತಾಗಿಯೂ.
ಅಗತ್ಯವಿದೆ ಎರಡೂ ತ್ರಿಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಲು ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿದೆ, ಅಥವಾ ಎರಡರಲ್ಲೂ ಅದು ವಿರುದ್ಧವಾಗಿತ್ತು.
ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳಿಂದ ಹೇಗೆ ಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ಗಮನಿಸಿದ್ದೀರಾ? "ಸಾಮಾನ್ಯ" ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಸಮಾನತೆಗಾಗಿ, ಅವುಗಳ ಮೂರು ಅಂಶಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರಬೇಕು ಎಂಬ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಗಮನ ಕೊಡಿ "ವಿಷಯವನ್ನು ನೋಡೋಣ: ಎರಡು ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ, ಎರಡು ಕೋನಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಬದಿ, ಅಥವಾ ಮೂರು ಬದಿಗಳು. ಆದರೆ ಬಲ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಸಮಾನತೆಗೆ, ಕೇವಲ ಎರಡು ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಶಗಳು ಸಾಕು. ಗ್ರೇಟ್, ಸರಿ?
ಬಲ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಹೋಲಿಕೆಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯು ಸರಿಸುಮಾರು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.
ಬಲ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಹೋಲಿಕೆಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳು
I. ತೀವ್ರ ಕೋನದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ
II. ಎರಡು ಕಡೆ
III. ಲೆಗ್ ಮತ್ತು ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಮೂಲಕ
ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಮಧ್ಯಮ
ಯಾಕೆ ಹೀಗೆ?
ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಲಿಗೆ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಆಯತವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.
ಕರ್ಣವನ್ನು ಸೆಳೆಯೋಣ ಮತ್ತು ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ - ಕರ್ಣಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದು. ಆಯತದ ಕರ್ಣಗಳ ಬಗ್ಗೆ ನಿಮಗೆ ಏನು ಗೊತ್ತು?
ಮತ್ತು ಇದರಿಂದ ಏನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ?
ಆದ್ದರಿಂದ ಅದು ಬದಲಾಯಿತು
- - ಮಧ್ಯಮ:
ಈ ಸತ್ಯವನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ! ಬಹಳಷ್ಟು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ!
ಇನ್ನೂ ಆಶ್ಚರ್ಯದ ಸಂಗತಿಯೆಂದರೆ ಇದಕ್ಕೆ ತದ್ವಿರುದ್ಧವೂ ನಿಜ.
ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ಗೆ ಎಳೆಯಲಾದ ಮಧ್ಯಭಾಗವು ಅರ್ಧ ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಏನು ಪ್ರಯೋಜನವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು? ಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡೋಣ
ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ನೋಡಿ. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: , ಅಂದರೆ, ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ತ್ರಿಕೋನದ ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಶೃಂಗಗಳಿಗೆ ಇರುವ ಅಂತರವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿದೆ, ತ್ರಿಕೋನದ ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಶೃಂಗಗಳಿಂದ ದೂರವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿದೆ. ಹಾಗಾದರೆ ಏನಾಯಿತು?
ಆದ್ದರಿಂದ ಇದರೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ "ಇದಲ್ಲದೆ...".
ನೋಡೋಣ ಮತ್ತು.
ಆದರೆ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಸಮಾನ ಕೋನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ!
ಮತ್ತು ಬಗ್ಗೆ ಅದೇ ಹೇಳಬಹುದು
ಈಗ ಅದನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಸೆಳೆಯೋಣ:
ಈ "ಟ್ರಿಪಲ್" ಹೋಲಿಕೆಯಿಂದ ಯಾವ ಪ್ರಯೋಜನವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು?
ಸರಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ - ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನದ ಎತ್ತರಕ್ಕೆ ಎರಡು ಸೂತ್ರಗಳು.
ಅನುಗುಣವಾದ ಪಕ್ಷಗಳ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಬರೆಯೋಣ:
ಎತ್ತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಮೊದಲ ಸೂತ್ರ "ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಎತ್ತರ":
ಆದ್ದರಿಂದ, ಹೋಲಿಕೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸೋಣ: .
ಈಗ ಏನಾಗುತ್ತದೆ?
ಮತ್ತೆ ನಾವು ಅನುಪಾತವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
ನೀವು ಈ ಎರಡೂ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾದದನ್ನು ಬಳಸಬೇಕು. ಅವುಗಳನ್ನು ಮತ್ತೆ ಬರೆಯೋಣ
ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯ:
ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ, ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ನ ವರ್ಗವು ಕಾಲುಗಳ ಚೌಕಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ: .
ಬಲ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳು:
- ಎರಡು ಕಡೆ:
- ಲೆಗ್ ಮತ್ತು ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಮೂಲಕ: ಅಥವಾ
- ಲೆಗ್ ಮತ್ತು ಪಕ್ಕದ ತೀವ್ರ ಕೋನದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ: ಅಥವಾ
- ಕಾಲಿನ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಮತ್ತು ವಿರುದ್ಧ ತೀವ್ರ ಕೋನ: ಅಥವಾ
- ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಮತ್ತು ತೀವ್ರ ಕೋನದಿಂದ: ಅಥವಾ.
ಬಲ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಹೋಲಿಕೆಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳು:
- ಒಂದು ತೀವ್ರ ಮೂಲೆ: ಅಥವಾ
- ಎರಡು ಕಾಲುಗಳ ಅನುಪಾತದಿಂದ:
- ಲೆಗ್ ಮತ್ತು ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ನ ಅನುಪಾತದಿಂದ: ಅಥವಾ.
ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್, ಸ್ಪರ್ಶಕ, ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್
- ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದ ತೀವ್ರ ಕೋನದ ಸೈನ್ ಹೈಪೋಟೆನ್ಯೂಸ್ಗೆ ಎದುರು ಭಾಗದ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ:
- ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದ ತೀವ್ರ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಪಕ್ಕದ ಕಾಲಿನ ಹೈಪೋಟೆನ್ಯೂಸ್ಗೆ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ:
- ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದ ತೀವ್ರ ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಎದುರು ಭಾಗದ ಪಕ್ಕದ ಬದಿಯ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ:
- ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದ ತೀವ್ರ ಕೋನದ ಕೋಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಪಕ್ಕದ ಬದಿಯ ವಿರುದ್ಧ ಭಾಗದ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ: .
ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದ ಎತ್ತರ: ಅಥವಾ.
ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ, ಲಂಬ ಕೋನದ ಶೃಂಗದಿಂದ ಚಿತ್ರಿಸಿದ ಮಧ್ಯಭಾಗವು ಅರ್ಧ ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ: .
ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರದೇಶ:
- ಕಾಲುಗಳ ಮೂಲಕ: