ಕಾಲುಗಳ ಎರಡು ಚೌಕಗಳ ಮೊತ್ತವು ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ನ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಹೇಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಬೇಕು

ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯ- ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ

ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳ ನಡುವೆ.

ಇದನ್ನು ಗ್ರೀಕ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಪೈಥಾಗರಸ್ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ ಎಂದು ನಂಬಲಾಗಿದೆ, ಅವರ ನಂತರ ಇದನ್ನು ಹೆಸರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣ.

ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಮೂಲತಃ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ:

IN ಬಲ ತ್ರಿಕೋನಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಚೌಕದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಚೌಕಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ,

ಕಾಲುಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸೂತ್ರೀಕರಣ.

ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ, ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ನ ಉದ್ದದ ವರ್ಗ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆಕಾಲಿನ ಉದ್ದದ ಚೌಕಗಳು.

ಅಂದರೆ, ತ್ರಿಕೋನದ ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್‌ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಸಿ, ಮತ್ತು ಮೂಲಕ ಕಾಲುಗಳ ಉದ್ದಗಳು ಎಮತ್ತು ಬಿ:

ಎರಡೂ ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳು ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಎರಡನೆಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿದೆ, ಅದು ಅಲ್ಲ

ಪ್ರದೇಶದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಎರಡನೇ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಪ್ರದೇಶದ ಬಗ್ಗೆ ಏನನ್ನೂ ತಿಳಿಯದೆ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು

ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳ ಉದ್ದವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅಳೆಯುವ ಮೂಲಕ.

ಕಾನ್ವರ್ಸ್ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯ.

ತ್ರಿಕೋನದ ಒಂದು ಬದಿಯ ವರ್ಗವು ಇತರ ಎರಡು ಬದಿಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ

ಬಲ ತ್ರಿಕೋನ.

ಅಥವಾ, ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ:

ಪ್ರತಿ ಮೂವರಿಗೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎ, ಬಿಮತ್ತು ಸಿ, ಅಂದರೆ

ಕಾಲುಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಲ ತ್ರಿಕೋನವಿದೆ ಎಮತ್ತು ಬಿಮತ್ತು ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಸಿ.

ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯ.

ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕಾಗಿ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯ.

ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆಗಳು.

ಆನ್ ಈ ಕ್ಷಣವಿ ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಸಾಹಿತ್ಯಈ ಪ್ರಮೇಯದ 367 ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ದಾಖಲಿಸಲಾಗಿದೆ. ಬಹುಶಃ ಪ್ರಮೇಯ

ಅಂತಹ ಪ್ರಭಾವಶಾಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಏಕೈಕ ಪ್ರಮೇಯವೆಂದರೆ ಪೈಥಾಗರಸ್. ಅಂತಹ ವೈವಿಧ್ಯತೆ

ಜ್ಯಾಮಿತಿಗೆ ಪ್ರಮೇಯದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯಿಂದ ಮಾತ್ರ ವಿವರಿಸಬಹುದು.

ಸಹಜವಾಗಿ, ಕಲ್ಪನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಸಣ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾದವುಗಳು:

ಪುರಾವೆ ಪ್ರದೇಶದ ವಿಧಾನ, ಅಕ್ಷೀಯಮತ್ತು ವಿಲಕ್ಷಣ ಪುರಾವೆ(ಉದಾಹರಣೆಗೆ,

ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ).

1. ಇದೇ ರೀತಿಯ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆ.

ಬೀಜಗಣಿತದ ಸೂತ್ರೀಕರಣದ ಕೆಳಗಿನ ಪುರಾವೆಯು ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಪುರಾವೆಗಳಲ್ಲಿ ಸರಳವಾಗಿದೆ

ನೇರವಾಗಿ ಮೂಲತತ್ವಗಳಿಂದ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಇದು ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಅವಕಾಶ ಎಬಿಸಿಲಂಬ ಕೋನದೊಂದಿಗೆ ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನವಿದೆ ಸಿ. ನಿಂದ ಎತ್ತರವನ್ನು ಸೆಳೆಯೋಣ ಸಿಮತ್ತು ಸೂಚಿಸಿ

ಅದರ ಅಡಿಪಾಯದ ಮೂಲಕ ಎಚ್.

ತ್ರಿಕೋನ ACHತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ ಎಬಿಎರಡು ಮೂಲೆಗಳಲ್ಲಿ ಸಿ. ಅಂತೆಯೇ, ತ್ರಿಕೋನ CBHಇದೇ ಎಬಿಸಿ.

ಸಂಕೇತವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ಮೂಲಕ:

ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

,

ಇದು ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ -

ಮಡಚಿದ ಎ 2 ಮತ್ತು ಬಿ 2, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಅಥವಾ, ಇದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕಾದದ್ದು.

2. ಪ್ರದೇಶದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆ.

ಕೆಳಗಿನ ಪುರಾವೆಗಳು, ಅದರ ಹೊರತಾಗಿಯೂ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಸರಳತೆ, ಅಷ್ಟು ಸರಳವಲ್ಲ. ಅವರೆಲ್ಲರೂ

ಪ್ರದೇಶದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ, ಅದರ ಪುರಾವೆಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟಕರವಾದ ಪುರಾವೆಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯ ಸ್ವತಃ.

• ಸಮ ಪೂರಕತೆಯ ಮೂಲಕ ಪುರಾವೆ.

ನಾಲ್ಕು ಸಮಾನ ಆಯತಾಕಾರದ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಮಾಡೋಣ

ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ತ್ರಿಕೋನ

ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ.

ಬದಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಿ- ಚೌಕ,

ಎರಡರ ಮೊತ್ತದಿಂದ ಚೂಪಾದ ಮೂಲೆಗಳು 90°, ಎ

ತೆರೆದ ಕೋನ - ​​180 °.

ಇಡೀ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವು ಒಂದು ಕಡೆ,

ಬದಿಯೊಂದಿಗೆ ಚೌಕದ ಪ್ರದೇಶ ( a+b), ಮತ್ತು ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಮೊತ್ತ ನಾಲ್ಕು ಚೌಕಗಳುತ್ರಿಕೋನಗಳು ಮತ್ತು

ಕ್ಯೂ.ಇ.ಡಿ.

3. ಅನಂತವಾದ ವಿಧಾನದಿಂದ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆ.

​

ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡುವುದು ಮತ್ತು

ಬದಿಯ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ನೋಡುವುದುಎ, ನಾವು ಮಾಡಬಲ್ಲೆವು

ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಅನಂತವಾಗಿ ಬರೆಯಿರಿ

ಸಣ್ಣ ಅಡ್ಡ ಏರಿಕೆಗಳುಜೊತೆಗೆಮತ್ತು ಎ(ಸಾಮ್ಯತೆಯನ್ನು ಬಳಸಿ

ತ್ರಿಕೋನಗಳು):

ವೇರಿಯಬಲ್ ಬೇರ್ಪಡಿಕೆ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ಇನ್ನಷ್ಟು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಎರಡೂ ಕಾಲುಗಳ ಹೆಚ್ಚಳದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಅನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಲು:

ಸಂಯೋಜಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆಮತ್ತು ಬಳಸುವುದು ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಬಯಸಿದ ಉತ್ತರವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತೇವೆ:

ನೋಡಲು ಎಷ್ಟು ಸುಲಭ ಚತುರ್ಭುಜ ಅವಲಂಬನೆರೇಖೀಯ ಕಾರಣದಿಂದ ಅಂತಿಮ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ

ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ಏರಿಕೆಗಳ ನಡುವಿನ ಅನುಪಾತ, ಆದರೆ ಮೊತ್ತವು ಸ್ವತಂತ್ರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ

ವಿವಿಧ ಕಾಲುಗಳ ಹೆಚ್ಚಳದಿಂದ ಕೊಡುಗೆಗಳು.

ಕಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಅನುಭವಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸಿದರೆ ಸರಳವಾದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು

(ವಿ ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿಕಾಲು ಬಿ) ನಂತರ ಏಕೀಕರಣ ಸ್ಥಿರಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಸೃಜನಶೀಲತೆಯ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕಾರಣವಾಗಿದೆ ಮಾನವಿಕತೆಗಳು, ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ವೈಜ್ಞಾನಿಕವಾಗಿ ಬಿಟ್ಟು, ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ವಿಧಾನಮತ್ತು ಸೂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಒಣ ಭಾಷೆ. ಗೆ ಗಣಿತ ಮಾನವೀಯ ವಿಷಯಗಳುನೀವು ಸಂಬಂಧಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ಸೃಜನಶೀಲತೆ ಇಲ್ಲದೆ ನೀವು "ಎಲ್ಲಾ ವಿಜ್ಞಾನಗಳ ರಾಣಿ" ಯಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ದೂರ ಹೋಗುವುದಿಲ್ಲ - ಜನರಿಗೆ ಇದು ತಿಳಿದಿದೆ ದೀರ್ಘಕಾಲದವರೆಗೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಪೈಥಾಗರಸ್ ಕಾಲದಿಂದಲೂ.

ಶಾಲೆಯ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳು, ದುರದೃಷ್ಟವಶಾತ್, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯಗಳು, ಮೂಲತತ್ವಗಳು ಮತ್ತು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಕ್ರ್ಯಾಮ್ ಮಾಡುವುದು ಮುಖ್ಯ ಎಂದು ವಿವರಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಅದರ ಮೂಲಭೂತ ತತ್ವಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಮತ್ತು ಅನುಭವಿಸುವುದು ಮುಖ್ಯ. ಮತ್ತು ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ನಿಮ್ಮ ಮನಸ್ಸನ್ನು ಕ್ಲೀಷೆಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸತ್ಯಗಳಿಂದ ಮುಕ್ತಗೊಳಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ - ಅಂತಹ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಎಲ್ಲಾ ದೊಡ್ಡ ಆವಿಷ್ಕಾರಗಳು ಜನಿಸುತ್ತವೆ.

ಅಂತಹ ಆವಿಷ್ಕಾರಗಳು ಇಂದು ನಾವು ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ತಿಳಿದಿರುವದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ. ಅದರ ಸಹಾಯದಿಂದ, ಗಣಿತವು ಕೇವಲ ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಉತ್ತೇಜಕವಾಗಿರಬೇಕು ಎಂದು ನಾವು ತೋರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮತ್ತು ಈ ಸಾಹಸವು ದಟ್ಟವಾದ ಕನ್ನಡಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ದಡ್ಡರಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿ ಬಲವಾದ ಮತ್ತು ಆತ್ಮದಲ್ಲಿ ಬಲವಾದ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರಿಗೂ.

ಸಮಸ್ಯೆಯ ಇತಿಹಾಸದಿಂದ

ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು "ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗಿದ್ದರೂ, ಪೈಥಾಗರಸ್ ಸ್ವತಃ ಅದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಿಲ್ಲ. ಬಲ ತ್ರಿಕೋನ ಮತ್ತು ಅದರ ವಿಶೇಷ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಹಳ ಹಿಂದೆಯೇ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಈ ವಿಷಯದ ಬಗ್ಗೆ ಎರಡು ಧ್ರುವೀಯ ದೃಷ್ಟಿಕೋನಗಳಿವೆ. ಒಂದು ಆವೃತ್ತಿಯ ಪ್ರಕಾರ, ಪೈಥಾಗರಸ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡ ಮೊದಲ ವ್ಯಕ್ತಿ. ಇನ್ನೊಬ್ಬರ ಪ್ರಕಾರ, ಪುರಾವೆಯು ಪೈಥಾಗರಸ್ನ ಕರ್ತೃತ್ವಕ್ಕೆ ಸೇರಿಲ್ಲ.

ಇಂದು ನೀವು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಯಾರು ಸರಿ ಮತ್ತು ಯಾರು ತಪ್ಪು ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ತಿಳಿದಿರುವ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಪೈಥಾಗರಸ್ನ ಪುರಾವೆ, ಅದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಉಳಿದುಕೊಂಡಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಯೂಕ್ಲಿಡ್‌ನ ಅಂಶಗಳ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಪುರಾವೆಯು ಪೈಥಾಗರಸ್‌ಗೆ ಸೇರಿರಬಹುದು ಎಂಬ ಸಲಹೆಗಳಿವೆ ಮತ್ತು ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಅದನ್ನು ಮಾತ್ರ ದಾಖಲಿಸಿದ್ದಾರೆ.

ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದ ಬಗ್ಗೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಈಜಿಪ್ಟಿನ ಮೂಲಗಳಲ್ಲಿ ಫರೋ ಅಮೆನೆಮ್ಹಾಟ್ I ರ ಕಾಲದಿಂದ, ರಾಜ ಹಮ್ಮುರಾಬಿ ಆಳ್ವಿಕೆಯ ಬ್ಯಾಬಿಲೋನಿಯನ್ ಮಣ್ಣಿನ ಮಾತ್ರೆಗಳಲ್ಲಿ, ಪ್ರಾಚೀನ ಭಾರತೀಯ ಗ್ರಂಥ “ಸುಲ್ವಾ ಸೂತ್ರ” ಮತ್ತು ಪ್ರಾಚೀನ ಚೀನೀ ಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಇಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ಝೌ-ಬಿ ಸುವಾನ್ ಜಿನ್”.

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಪ್ರಾಚೀನ ಕಾಲದಿಂದಲೂ ಗಣಿತಜ್ಞರ ಮನಸ್ಸನ್ನು ಆಕ್ರಮಿಸಿಕೊಂಡಿದೆ. ಇಂದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಸುಮಾರು 367 ವಿವಿಧ ಪುರಾವೆಗಳಿಂದ ಇದು ದೃಢೀಕರಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಇದರಲ್ಲಿ, ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಪ್ರಮೇಯವು ಅದರೊಂದಿಗೆ ಸ್ಪರ್ಧಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಪುರಾವೆಗಳ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಲೇಖಕರಲ್ಲಿ ನಾವು ಲಿಯೊನಾರ್ಡೊ ಡಾ ವಿನ್ಸಿ ಮತ್ತು ಇಪ್ಪತ್ತನೇ ಯುಎಸ್ ಅಧ್ಯಕ್ಷ ಜೇಮ್ಸ್ ಗಾರ್ಫೀಲ್ಡ್ ಅವರನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಇದೆಲ್ಲವೂ ಗಣಿತಕ್ಕೆ ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ತೀವ್ರ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ಹೇಳುತ್ತದೆ: ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಅದರಿಂದ ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿವೆ ಅಥವಾ ಹೇಗಾದರೂ ಅದರೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿವೆ.

ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆಗಳು

IN ಶಾಲಾ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳುಅವರು ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತಾರೆ. ಆದರೆ ಪ್ರಮೇಯದ ಸಾರವು ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ವಿಜ್ಞಾನವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಮೊದಲು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಪುರಾವೆ 1

ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕಾಗಿ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಸರಳ ಪುರಾವೆಗಾಗಿ, ನೀವು ಹೊಂದಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ ಆದರ್ಶ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು: ತ್ರಿಕೋನವು ಆಯತಾಕಾರದಲ್ಲದೇ ಸಮದ್ವಿಬಾಹುಗಳಾಗಿರಲಿ. ಪ್ರಾಚೀನ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಿದ ನಿಖರವಾಗಿ ಈ ರೀತಿಯ ತ್ರಿಕೋನ ಎಂದು ನಂಬಲು ಕಾರಣವಿದೆ.

ಹೇಳಿಕೆ "ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದ ಹೈಪೋಟೆನ್ಯೂಸ್ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಚೌಕವು ಅದರ ಕಾಲುಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಚೌಕಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ"ಕೆಳಗಿನ ರೇಖಾಚಿತ್ರದೊಂದಿಗೆ ವಿವರಿಸಬಹುದು:

ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ಬಲ ತ್ರಿಕೋನ ಎಬಿಸಿಯನ್ನು ನೋಡಿ: ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಎಸಿಯಲ್ಲಿ, ನೀವು ಮೂಲ ಎಬಿಸಿಗೆ ಸಮಾನವಾದ ನಾಲ್ಕು ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಚೌಕವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ಮತ್ತು AB ಮತ್ತು BC ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಚೌಕವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಎರಡು ರೀತಿಯ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಮೂಲಕ, ಈ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಮೀಸಲಾದ ಹಲವಾರು ಹಾಸ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಟೂನ್ಗಳ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ. ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾದದ್ದು ಬಹುಶಃ "ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ಯಾಂಟ್ಗಳು ಎಲ್ಲಾ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ":

ಪುರಾವೆ 2

ಈ ವಿಧಾನವು ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ರೇಖಾಗಣಿತವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಭಾಸ್ಕರಿಯ ಪ್ರಾಚೀನ ಭಾರತೀಯ ಪುರಾವೆಯ ಒಂದು ರೂಪಾಂತರವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು.

ಬದಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಲ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ a, b ಮತ್ತು c(ಚಿತ್ರ 1). ನಂತರ ಎರಡು ಕಾಲುಗಳ ಉದ್ದದ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಬದಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಚೌಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ - (a+b). ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಚೌಕಗಳಲ್ಲಿ, ಚಿತ್ರ 2 ಮತ್ತು 3 ರಂತೆ ನಿರ್ಮಾಣಗಳನ್ನು ಮಾಡಿ.

ಮೊದಲ ಚೌಕದಲ್ಲಿ, ಚಿತ್ರ 1 ರಲ್ಲಿರುವಂತೆ ನಾಲ್ಕು ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ. ಫಲಿತಾಂಶವು ಎರಡು ಚೌಕಗಳು: ಒಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿ a, ಎರಡನೆಯದು ಬದಿಯೊಂದಿಗೆ ಬಿ.

ಎರಡನೇ ಚೌಕದಲ್ಲಿ, ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ನಾಲ್ಕು ರೀತಿಯ ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಒಂದು ಬದಿಯೊಂದಿಗೆ ಚೌಕವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಸಿ.

ಚಿತ್ರ 2 ರಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಚೌಕಗಳ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಗಳ ಮೊತ್ತವು ನಾವು ಚಿತ್ರ 3 ರಲ್ಲಿ c ಬದಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಿದ ಚೌಕದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ ಚೌಕಗಳ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು. 2 ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ. ಮತ್ತು ಚಿತ್ರ 3 ರಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಲಾದ ಚೌಕದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ. ಚೌಕದಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಲಾದ ನಾಲ್ಕು ಸಮಾನ ಬಲ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಒಂದು ಬದಿಯೊಂದಿಗೆ ದೊಡ್ಡ ಚೌಕದ ಪ್ರದೇಶದಿಂದ ಕಳೆಯುವ ಮೂಲಕ (a+b).

ಇದೆಲ್ಲವನ್ನೂ ಬರೆಯುವಾಗ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: a 2 +b 2 =(a+b) 2 – 2ab. ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯಿರಿ, ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಬೀಜಗಣಿತ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯಿರಿ a 2 +b 2 = a 2 +b 2. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಚಿತ್ರ 3 ರಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಲಾದ ಪ್ರದೇಶ. ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಚೌಕವನ್ನು ಸಹ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು S=c 2. ಆ. a 2 +b 2 =c 2- ನೀವು ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದೀರಿ.

ಪುರಾವೆ 3

ಪ್ರಾಚೀನ ಭಾರತೀಯ ಪುರಾವೆಯನ್ನು 12 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ "ಜ್ಞಾನದ ಕಿರೀಟ" ("ಸಿದ್ಧಾಂತ ಶಿರೋಮಣಿ") ಎಂಬ ಗ್ರಂಥದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಮುಖ್ಯ ವಾದವಾಗಿ ಲೇಖಕರು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಮತ್ತು ಅನುಯಾಯಿಗಳ ಗಣಿತದ ಪ್ರತಿಭೆ ಮತ್ತು ವೀಕ್ಷಣಾ ಕೌಶಲ್ಯಗಳನ್ನು ಉದ್ದೇಶಿಸಿ ಮನವಿಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ: " ನೋಡು!”

ಆದರೆ ನಾವು ಈ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಚೌಕದ ಒಳಗೆ, ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಿದಂತೆ ನಾಲ್ಕು ಬಲ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ. ನಾವು ದೊಡ್ಡ ಚೌಕದ ಬದಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ, ಇದನ್ನು ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ, ಜೊತೆಗೆ. ತ್ರಿಕೋನದ ಕಾಲುಗಳನ್ನು ಕರೆಯೋಣ ಎಮತ್ತು ಬಿ. ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ, ಒಳ ಚೌಕದ ಬದಿ (ಎ-ಬಿ).

ಚೌಕದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ S=c 2ಹೊರಗಿನ ಚೌಕದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು. ಮತ್ತು ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಒಳಗಿನ ಚೌಕದ ಪ್ರದೇಶ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ನಾಲ್ಕು ಬಲ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

ಅವರು ಒಂದೇ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಚೌಕದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನೀವು ಎರಡೂ ಆಯ್ಕೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಮತ್ತು ಇದು ನಿಮಗೆ ಬರೆಯುವ ಹಕ್ಕನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. ಪರಿಹಾರದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನೀವು ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತೀರಿ c 2 =a 2 +b 2. ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಪುರಾವೆ 4

ಈ ಕುತೂಹಲಕಾರಿ ಪುರಾತನ ಚೀನೀ ಪುರಾವೆಯನ್ನು "ವಧುವಿನ ಕುರ್ಚಿ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಯಿತು - ಎಲ್ಲಾ ನಿರ್ಮಾಣಗಳಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಕುರ್ಚಿಯಂತಹ ಆಕೃತಿಯ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ:

ಎರಡನೇ ಪುರಾವೆಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಚಿತ್ರ 3 ರಲ್ಲಿ ನೋಡಿದ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಇದು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಸಿ ಬದಿಯೊಂದಿಗೆ ಒಳಗಿನ ಚೌಕವನ್ನು ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ ಪ್ರಾಚೀನ ಭಾರತೀಯ ಪುರಾವೆಗಳಂತೆಯೇ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಚಿತ್ರ 1 ರಲ್ಲಿನ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಿಂದ ನೀವು ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ಎರಡು ಹಸಿರು ಬಲ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಿದರೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಸರಿಸಿ ವಿರುದ್ಧ ಬದಿಗಳುನೀಲಕ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಹೈಪೊಟೆನಸ್‌ಗಳಿಗೆ ಸೈಡ್ ಸಿ ಮತ್ತು ಹೈಪೊಟೆನಸ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಚೌಕವನ್ನು ಲಗತ್ತಿಸಿ, ನೀವು "ವಧುವಿನ ಕುರ್ಚಿ" (ಚಿತ್ರ 2) ಎಂಬ ಆಕೃತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ. ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ, ನೀವು ಕಾಗದದ ಚೌಕಗಳು ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನಗಳೊಂದಿಗೆ ಅದೇ ರೀತಿ ಮಾಡಬಹುದು. "ವಧುವಿನ ಕುರ್ಚಿ" ಎರಡು ಚೌಕಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡಿದೆ ಎಂದು ನೀವು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಿ: ಒಂದು ಬದಿಯೊಂದಿಗೆ ಸಣ್ಣವುಗಳು ಬಿಮತ್ತು ಒಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡದು ಎ.

ಈ ನಿರ್ಮಾಣಗಳು ಪ್ರಾಚೀನ ಚೀನೀ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಮತ್ತು ನಾವು ಅವರನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ, ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ ಬರಲು ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಟ್ಟವು c 2 =a 2 +b 2.

ಪುರಾವೆ 5

ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಇದು ಇನ್ನೊಂದು ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಗಾರ್ಫೀಲ್ಡ್ ವಿಧಾನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ ಎಬಿಸಿ. ನಾವು ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ BC 2 = AC 2 + AB 2.

ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಲೆಗ್ ಅನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸಿ ಎಸಿಮತ್ತು ಒಂದು ವಿಭಾಗವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ ಸಿಡಿ, ಇದು ಕಾಲಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಬಿ. ಲಂಬವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿ ಕ್ರಿ.ಶಸಾಲಿನ ವಿಭಾಗ ED. ವಿಭಾಗಗಳು EDಮತ್ತು ಎಸಿಸಮಾನವಾಗಿವೆ. ಚುಕ್ಕೆಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸಿ ಇಮತ್ತು IN, ಮತ್ತು ಇಮತ್ತು ಜೊತೆಗೆಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಂತೆ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯಿರಿ:

ಗೋಪುರವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಆಶ್ರಯಿಸುತ್ತೇವೆ: ಫಲಿತಾಂಶದ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ನಾವು ಎರಡು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಸಮೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಹುಡುಕಿ ABEDಅದನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಮೂರು ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮಾಡಬಹುದು. ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು, ERU, ಆಯತಾಕಾರದ ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ಕೂಡ. ಅದನ್ನೂ ಮರೆಯಬಾರದು AB=CD, AC=EDಮತ್ತು BC=SE- ಇದು ರೆಕಾರ್ಡಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಲು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಓವರ್ಲೋಡ್ ಮಾಡಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, S ABED =2*1/2(AB*AC)+1/2ВС 2.

ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ ABED- ಇದು ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ಆಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಅದರ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ: S ABED =(DE+AB)*1/2AD. ನಮ್ಮ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಗೆ, ವಿಭಾಗವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರ ಮತ್ತು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ ಕ್ರಿ.ಶವಿಭಾಗಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಎಸಿಮತ್ತು ಸಿಡಿ.

ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಎರಡೂ ಮಾರ್ಗಗಳನ್ನು ಬರೆಯೋಣ, ಅವುಗಳ ನಡುವೆ ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಇರಿಸಿ: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). ಸಂಕೇತದ ಬಲಭಾಗವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಲು ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವ ಮತ್ತು ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ವಿಭಾಗಗಳ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. ಈಗ ನಾವು ಆವರಣಗಳನ್ನು ತೆರೆಯೋಣ ಮತ್ತು ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. ಎಲ್ಲಾ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿದ ನಂತರ, ನಮಗೆ ಬೇಕಾದುದನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: BC 2 = AC 2 + AB 2. ನಾವು ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ.

ಸಹಜವಾಗಿ, ಈ ಪುರಾವೆಗಳ ಪಟ್ಟಿ ಪೂರ್ಣವಾಗಿಲ್ಲ. ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ಸ್ಟೀರಿಯೊಮೆಟ್ರಿ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಮತ್ತು ಭೌತವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ಸಹ: ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆಯೇ ದ್ರವವನ್ನು ಚದರ ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನ ಸಂಪುಟಗಳಲ್ಲಿ ಸುರಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ದ್ರವವನ್ನು ಸುರಿಯುವುದರ ಮೂಲಕ, ನೀವು ಪ್ರದೇಶಗಳ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸ್ವತಃ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು.

ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ತ್ರಿವಳಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಕೆಲವು ಪದಗಳು

ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಶಾಲಾ ಪಠ್ಯಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿಲ್ಲ. ಏತನ್ಮಧ್ಯೆ, ಅವರು ತುಂಬಾ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಮತ್ತು ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ. ಅನೇಕವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಟ್ರಿಪಲ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು. ಅವುಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಮುಂದಿನ ಶಿಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ನಿಮಗೆ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಬಹುದು.

ಹಾಗಾದರೆ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ತ್ರಿವಳಿಗಳು ಯಾವುವು? ಅದನ್ನೇ ಅವರು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು, ಮೂರರಲ್ಲಿ ಸಂಗ್ರಹಿಸಲಾಗಿದೆ, ಎರಡು ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತವು ಚೌಕದಲ್ಲಿನ ಮೂರನೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಟ್ರಿಪಲ್ ಆಗಿರಬಹುದು:

• ಪ್ರಾಚೀನ (ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ);
• ಪ್ರಾಚೀನವಲ್ಲ (ಟ್ರಿಪಲ್‌ನ ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ, ನೀವು ಹೊಸ ಟ್ರಿಪಲ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ, ಅದು ಪ್ರಾಚೀನವಲ್ಲ).

ನಮ್ಮ ಯುಗದ ಮುಂಚೆಯೇ, ಪ್ರಾಚೀನ ಈಜಿಪ್ಟಿನವರು ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ತ್ರಿವಳಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉನ್ಮಾದದಿಂದ ಆಕರ್ಷಿತರಾಗಿದ್ದರು: ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಅವರು 3, 4 ಮತ್ತು 5 ಘಟಕಗಳ ಬದಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಮೂಲಕ, ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಟ್ರಿಪಲ್‌ನಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಯಾವುದೇ ತ್ರಿಕೋನವು ಪೂರ್ವನಿಯೋಜಿತವಾಗಿ ಆಯತಾಕಾರದದ್ದಾಗಿದೆ.

ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ತ್ರಿವಳಿಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20 ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) , (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), ( 14, 48, 50), (30, 40, 50), ಇತ್ಯಾದಿ.

ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್

ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ವಾಸ್ತುಶಿಲ್ಪ ಮತ್ತು ನಿರ್ಮಾಣ, ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿಯೂ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನಿರ್ಮಾಣದ ಬಗ್ಗೆ ಮೊದಲು: ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ವಿವಿಧ ಹಂತಗಳುತೊಂದರೆಗಳು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ರೋಮನೆಸ್ಕ್ ವಿಂಡೋವನ್ನು ನೋಡಿ:

ನಾವು ವಿಂಡೋದ ಅಗಲವನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ ಬಿ, ನಂತರ ಪ್ರಮುಖ ಅರ್ಧವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಬಹುದು ಆರ್ಮತ್ತು ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ b: R=b/2. ಸಣ್ಣ ಅರ್ಧವೃತ್ತಗಳ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಸಹ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು ಬೌ: ಆರ್=ಬಿ/4. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ನಾವು ವಿಂಡೋದ ಆಂತರಿಕ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯದಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ (ಅದನ್ನು ಕರೆಯೋಣ ಪ).

ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ ಆರ್. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ, ಅದನ್ನು ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಚುಕ್ಕೆಗಳ ರೇಖೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ತ್ರಿಕೋನದ ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಎರಡು ತ್ರಿಜ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ: b/4+p. ಒಂದು ಕಾಲು ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಬಿ/4, ಇನ್ನೊಂದು b/2-p. ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. ಮುಂದೆ, ನಾವು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ b 2 /16+ bp/2+p 2 =b 2 /16+b 2 /4-bp+p 2. ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ bp/2=b 2 /4-bp. ತದನಂತರ ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳನ್ನು ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ ಬಿ, ಪಡೆಯಲು ಇದೇ ರೀತಿಯವುಗಳನ್ನು ನಾವು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ 3/2*p=b/4. ಮತ್ತು ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಅದನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ p=b/6- ಇದು ನಮಗೆ ಬೇಕಾಗಿರುವುದು.

ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನೀವು ಗೇಬಲ್ ಛಾವಣಿಯ ರಾಫ್ಟ್ರ್ಗಳ ಉದ್ದವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಸಿಗ್ನಲ್ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ತಲುಪಲು ಸೆಲ್ ಫೋನ್ ಟವರ್ ಎಷ್ಟು ಎತ್ತರದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ ವಸಾಹತು. ಮತ್ತು ಟೌನ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ನಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಸ್ಮಸ್ ಮರವನ್ನು ಸಮರ್ಥವಾಗಿ ಸ್ಥಾಪಿಸಿ. ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಈ ಪ್ರಮೇಯವು ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳ ಪುಟಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ವಾಸಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ನಿಜ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ.

ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ, ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಪ್ರಾಚೀನ ಕಾಲದಿಂದಲೂ ಬರಹಗಾರರನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸಿದೆ ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ಮುಂದುವರೆಸಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಹತ್ತೊಂಬತ್ತನೇ ಶತಮಾನದ ಜರ್ಮನ್ ಬರಹಗಾರ ಅಡೆಲ್ಬರ್ಟ್ ವಾನ್ ಚಾಮಿಸ್ಸೊ ಅವರು ಸಾನೆಟ್ ಬರೆಯಲು ಪ್ರೇರೇಪಿಸಿದರು:

ಸತ್ಯದ ಬೆಳಕು ಬೇಗ ಕರಗುವುದಿಲ್ಲ
ಆದರೆ, ಮಿಂಚಿದ ನಂತರ, ಅದು ಕರಗುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿಲ್ಲ
ಮತ್ತು, ಸಾವಿರಾರು ವರ್ಷಗಳ ಹಿಂದೆ,
ಇದು ಅನುಮಾನ ಅಥವಾ ವಿವಾದಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಅದು ನಿಮ್ಮ ನೋಟವನ್ನು ಮುಟ್ಟಿದಾಗ ಬುದ್ಧಿವಂತ
ಸತ್ಯದ ಬೆಳಕು, ದೇವರುಗಳಿಗೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳು;
ಮತ್ತು ನೂರು ಎತ್ತುಗಳು, ಹತ್ಯೆ, ಸುಳ್ಳು -
ಅದೃಷ್ಟದ ಪೈಥಾಗರಸ್‌ನಿಂದ ರಿಟರ್ನ್ ಗಿಫ್ಟ್.

ಅಂದಿನಿಂದ ಎತ್ತುಗಳು ಹತಾಶವಾಗಿ ಘರ್ಜಿಸುತ್ತಿವೆ:
ಬುಲ್ ಬುಡಕಟ್ಟು ಜನಾಂಗವನ್ನು ಶಾಶ್ವತವಾಗಿ ಎಚ್ಚರಿಸಿದೆ
ಈವೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಸಮಯ ಬರಲಿದೆ ಎಂದು ಅವರಿಗೆ ತೋರುತ್ತದೆ,
ಮತ್ತು ಅವರು ಮತ್ತೆ ಬಲಿಯಾಗುತ್ತಾರೆ
ಕೆಲವು ದೊಡ್ಡ ಪ್ರಮೇಯ.

(ವಿಕ್ಟರ್ ಟೊಪೊರೊವ್ ಅವರಿಂದ ಅನುವಾದ)

ಮತ್ತು ಇಪ್ಪತ್ತನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ, ಸೋವಿಯತ್ ಬರಹಗಾರ ಎವ್ಗೆನಿ ವೆಲ್ಟಿಸ್ಟೋವ್ ತನ್ನ ಪುಸ್ತಕ "ದಿ ಅಡ್ವೆಂಚರ್ಸ್ ಆಫ್ ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನಿಕ್ಸ್" ನಲ್ಲಿ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆಗಳಿಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಧ್ಯಾಯವನ್ನು ಮೀಸಲಿಟ್ಟರು. ಮತ್ತು ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಒಂದು ಮೂಲಭೂತ ಕಾನೂನು ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಜಗತ್ತಿಗೆ ಧರ್ಮವಾಗಿದ್ದರೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಬಹುದಾದ ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಪ್ರಪಂಚದ ಕಥೆಯ ಮತ್ತೊಂದು ಅರ್ಧ ಅಧ್ಯಾಯ. ಅಲ್ಲಿ ವಾಸಿಸುವುದು ತುಂಬಾ ಸುಲಭ, ಆದರೆ ಹೆಚ್ಚು ನೀರಸವಾಗಿರುತ್ತದೆ: ಉದಾಹರಣೆಗೆ, "ಸುತ್ತಿನ" ಮತ್ತು "ತುಪ್ಪುಳಿನಂತಿರುವ" ಪದಗಳ ಅರ್ಥವನ್ನು ಅಲ್ಲಿ ಯಾರೂ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ.

ಮತ್ತು "ದಿ ಅಡ್ವೆಂಚರ್ಸ್ ಆಫ್ ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನಿಕ್ಸ್" ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ, ಲೇಖಕರು, ಗಣಿತ ಶಿಕ್ಷಕ ತಾರಾಟಾರ್ ಅವರ ಬಾಯಿಯ ಮೂಲಕ ಹೀಗೆ ಹೇಳುತ್ತಾರೆ: "ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಚಿಂತನೆಯ ಚಲನೆ, ಹೊಸ ಆಲೋಚನೆಗಳು." ಇದು ನಿಖರವಾಗಿ ಈ ಸೃಜನಶೀಲ ಚಿಂತನೆಯ ಹಾರಾಟವೇ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಹುಟ್ಟುಹಾಕುತ್ತದೆ - ಇದು ಹಲವಾರು ವಿಭಿನ್ನ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುದು ಏನೂ ಅಲ್ಲ. ಪರಿಚಿತರ ಗಡಿಗಳನ್ನು ಮೀರಿ ಹೋಗಲು ಮತ್ತು ಪರಿಚಿತ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಹೊಸ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನೋಡಲು ಇದು ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ತೀರ್ಮಾನ

ಈ ಲೇಖನವನ್ನು ನೀವು ಮೀರಿ ನೋಡಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡಲು ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ ಶಾಲಾ ಪಠ್ಯಕ್ರಮಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು "ಜ್ಯಾಮಿತಿ 7-9" (L.S. ಅಟನಾಸ್ಯನ್, V.N. ರುಡೆಂಕೊ) ಮತ್ತು "ಜ್ಯಾಮಿತಿ 7-11" (A.V. ಪೊಗೊರೆಲೋವ್) ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಮತ್ತು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಇತರ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಮಾರ್ಗಗಳನ್ನು ಕಲಿಯಿರಿ. ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಪ್ರಮೇಯ. ಮತ್ತು ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ದೈನಂದಿನ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ಹೇಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದರ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡಿ.

ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಈ ಮಾಹಿತಿಯು ಹೆಚ್ಚಿನದಕ್ಕೆ ಅರ್ಹತೆ ಪಡೆಯಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಂಕಗಳುಗಣಿತ ಪಾಠಗಳಲ್ಲಿ - ವಿಷಯದ ಬಗ್ಗೆ ಮಾಹಿತಿ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಮೂಲಗಳುಯಾವಾಗಲೂ ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಶಂಸಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಗಣಿತವು ಹೇಗೆ ಎಂಬ ಭಾವನೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ನಾವು ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ವಿಜ್ಞಾನ. ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳುಅದರಲ್ಲಿ ಸೃಜನಶೀಲತೆಗೆ ಯಾವಾಗಲೂ ಸ್ಥಾನವಿದೆ ಎಂದು. ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಈ ಲೇಖನವು ನಿಮಗೆ ಸ್ಫೂರ್ತಿ ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ ಸ್ವತಂತ್ರ ಹುಡುಕಾಟಗಳುಮತ್ತು ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಇತರ ವಿಜ್ಞಾನಗಳಲ್ಲಿ ಉತ್ತೇಜಕ ಸಂಶೋಧನೆಗಳು.

ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದ ಪುರಾವೆಗಳು ನಿಮಗೆ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಕಾಮೆಂಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ನಮಗೆ ತಿಳಿಸಿ. ನಿಮ್ಮ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಈ ಮಾಹಿತಿಯು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೀವು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೀರಾ? ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಈ ಲೇಖನದ ಬಗ್ಗೆ ನಿಮ್ಮ ಅನಿಸಿಕೆಗಳನ್ನು ನಮಗೆ ಬರೆಯಿರಿ - ನಿಮ್ಮೊಂದಿಗೆ ಈ ಎಲ್ಲವನ್ನು ಚರ್ಚಿಸಲು ನಾವು ಸಂತೋಷಪಡುತ್ತೇವೆ.

blog.site, ವಸ್ತುವನ್ನು ಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅಥವಾ ಭಾಗಶಃ ನಕಲಿಸುವಾಗ, ಮೂಲ ಮೂಲಕ್ಕೆ ಲಿಂಕ್ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ನ ವರ್ಗವು ಯಾವಾಗಲೂ ಕಾಲುಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಪ್ರತಿ ಶಾಲಾಮಕ್ಕಳಿಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಈ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ ಮತ್ತು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಪ್ರಮೇಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಅದನ್ನು ಹತ್ತಿರದಿಂದ ನೋಡೋಣ.

ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ

ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಮುಂದುವರಿಯುವ ಮೊದಲು, ಇದರಲ್ಲಿ ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ನ ವರ್ಗವು ವರ್ಗವಾಗಿರುವ ಕಾಲುಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಾವು ಪ್ರಮೇಯವು ನಿಜವಾಗಿರುವ ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕು.

ತ್ರಿಕೋನ - ಫ್ಲಾಟ್ ಫಿಗರ್ಮೂರು ಕೋನಗಳು ಮತ್ತು ಮೂರು ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ. ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನವು, ಅದರ ಹೆಸರೇ ಸೂಚಿಸುವಂತೆ, ಒಂದು ಲಂಬ ಕೋನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಈ ಕೋನವು 90 o ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಇಂದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳುಎಲ್ಲಾ ತ್ರಿಕೋನಗಳಿಗೆ, ಈ ಆಕೃತಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 180 o ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ, ಅಂದರೆ ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ, ಲಂಬ ಕೋನಗಳಲ್ಲದ ಎರಡು ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 180 o - 90 o = 90 o ಆಗಿದೆ. ಕೊನೆಯ ಸತ್ಯಬಲ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಕೋನವು ಯಾವಾಗಲೂ 90 o ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುತ್ತದೆ ಎಂದರ್ಥ.

ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಇರುವ ಬದಿ ಲಂಬ ಕೋನ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇತರ ಎರಡು ಬದಿಗಳು ತ್ರಿಕೋನದ ಕಾಲುಗಳು, ಅವು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಅವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರಬಹುದು. ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯಿಂದ ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ತ್ರಿಕೋನದ ಒಂದು ಬದಿಯ ವಿರುದ್ಧ ಕೋನವು ಹೆಚ್ಚು ಇರುತ್ತದೆ, ಆ ಬದಿಯ ಉದ್ದವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ (90 o ಕೋನದ ಎದುರು ಇರುತ್ತದೆ) ಯಾವಾಗಲೂ ಯಾವುದೇ ಕಾಲುಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಕೋನಗಳ ಎದುರು ಇರುತ್ತದೆ< 90 o).

ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಗಣಿತದ ಸಂಕೇತ

ಈ ಪ್ರಮೇಯವು ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ನ ವರ್ಗವು ಕಾಲುಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಹಿಂದೆ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಈ ಸೂತ್ರೀಕರಣವನ್ನು ಗಣಿತೀಯವಾಗಿ ಬರೆಯಲು, ಬಲ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಇದರಲ್ಲಿ ಬದಿಗಳು a, b ಮತ್ತು c ಕ್ರಮವಾಗಿ ಎರಡು ಕಾಲುಗಳು ಮತ್ತು ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ನ ವರ್ಗವು ಕಾಲುಗಳ ಚೌಕಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ರೂಪಿಸಲಾದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು: c 2 = a 2 + b 2. ಇಲ್ಲಿಂದ ಅಭ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಮುಖ್ಯವಾದ ಇತರ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು: a = √(c 2 - b 2), b = √(c 2 - a 2) ಮತ್ತು c = √(a 2 + b 2).

ಒಂದು ಆಯತಾಕಾರದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ ಸಮಕೋನ ತ್ರಿಕೋನ, ಅಂದರೆ, a = b, ಸೂತ್ರೀಕರಣ: ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ನ ವರ್ಗವು ಕಾಲುಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ: c 2 = a 2 + b 2 = 2a 2, ಇದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಸಮಾನತೆ: c = a√2.

ಐತಿಹಾಸಿಕ ಉಲ್ಲೇಖ

ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯ, ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ನ ವರ್ಗವು ಕಾಲುಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ, ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಗ್ರೀಕ್ ತತ್ವಜ್ಞಾನಿ ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ಗಮನ ಹರಿಸುವುದಕ್ಕಿಂತ ಮುಂಚೆಯೇ ತಿಳಿದಿತ್ತು. ಅನೇಕ ಪಪೈರಿ ಪ್ರಾಚೀನ ಈಜಿಪ್ಟ್, ಹಾಗೆಯೇ ಬ್ಯಾಬಿಲೋನಿಯನ್ನರ ಜೇಡಿಮಣ್ಣಿನ ಮಾತ್ರೆಗಳು ಈ ಜನರು ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳ ಗುರುತಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದಾರೆ ಎಂದು ದೃಢಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೊದಲನೆಯದು ಈಜಿಪ್ಟಿನ ಪಿರಮಿಡ್‌ಗಳು, ಖಫ್ರೆ ಪಿರಮಿಡ್, ಇದರ ನಿರ್ಮಾಣವು 26 ನೇ ಶತಮಾನದ BC ಯಲ್ಲಿದೆ (ಪೈಥಾಗರಸ್‌ನ ಜೀವನಕ್ಕಿಂತ 2000 ವರ್ಷಗಳ ಮೊದಲು), 3x4x5 ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಆಕಾರ ಅನುಪಾತದ ಜ್ಞಾನದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಹಾಗಾದರೆ ಈಗ ಪ್ರಮೇಯವು ಗ್ರೀಕ್ ಹೆಸರನ್ನು ಏಕೆ ಹೊಂದಿದೆ? ಉತ್ತರ ಸರಳವಾಗಿದೆ: ಪೈಥಾಗರಸ್ ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಗಣಿತೀಯವಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ ಮೊದಲಿಗ. ಉಳಿದಿರುವ ಬ್ಯಾಬಿಲೋನಿಯನ್ ಮತ್ತು ಈಜಿಪ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಲಿಖಿತ ಮೂಲಗಳುಇದು ಅದರ ಬಳಕೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತ್ರ ಹೇಳುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಯಾವುದೇ ಗಣಿತದ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪೈಥಾಗರಸ್ ಪ್ರಶ್ನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ ಎಂದು ನಂಬಲಾಗಿದೆ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ತ್ರಿಕೋನಗಳು, ಅವರು ಎತ್ತರವನ್ನು ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ 90 o ಕೋನದಿಂದ ಹೈಪೋಟೆನ್ಯೂಸ್‌ಗೆ ಎಳೆಯುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದರು.

ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸುವ ಉದಾಹರಣೆ

ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಸರಳ ಕಾರ್ಯ: ಇಳಿಜಾರಾದ ಮೆಟ್ಟಿಲು L ನ ಉದ್ದವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ, ಅದು H = 3 ಮೀಟರ್ ಎತ್ತರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಮೆಟ್ಟಿಲು ಅದರ ಪಾದಕ್ಕೆ ಇರುವ ಗೋಡೆಯಿಂದ ದೂರವು P = 2.5 ಮೀಟರ್ ಆಗಿದೆ.

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, H ಮತ್ತು P ಕಾಲುಗಳು, ಮತ್ತು L ಎಂಬುದು ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್. ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ನ ಉದ್ದವು ಕಾಲುಗಳ ಚೌಕಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: L 2 = H 2 + P 2, ಅಲ್ಲಿಂದ L = √(H 2 + P 2) = √(3 2 + 2.5 2 ) = 3.905 ಮೀಟರ್ ಅಥವಾ 3 ಮೀ ಮತ್ತು 90, 5 ಸೆಂ.

ಎಂದಿಗೂ ಮರೆಯಲಾಗದ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯ. ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದ ಹೈಪೋಟೆನ್ಯೂಸ್ನ ವರ್ಗವು ಅದರ ಕಾಲುಗಳ ಚೌಕಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ, ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ನಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಚೌಕದ ಪ್ರದೇಶವು ಅದರ ಕಾಲುಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಚೌಕಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ತ್ರಿಕೋನದ ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್‌ನ ಉದ್ದವನ್ನು c ಯಿಂದ ಮತ್ತು ಕಾಲುಗಳ ಉದ್ದವನ್ನು a ಮತ್ತು b ನಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ:

ಹೈಪೋಟೆನ್ಯೂಸ್- ಇದು ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಈ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಇವೆ ಕಾಲು.

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಬಲ ಕೋನಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿರುವ ಬದಿಯಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಕಾಲುಗಳು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಬದಿಗಳಾಗಿವೆ.

ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ, ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ನ ವರ್ಗವು ಕಾಲುಗಳ ಚೌಕಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಅಂದರೆ, AB = AC + BC.

ಸಂವಾದವೂ ನಿಜ - ಈ ಸಮಾನತೆಯು ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಇದ್ದರೆ, ಈ ತ್ರಿಕೋನವು ಲಂಬಕೋನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಈ ಆಸ್ತಿ ಅನೇಕ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ಸ್ವಲ್ಪ ವಿಭಿನ್ನವಾದ ಸೂತ್ರೀಕರಣವಿದೆ: ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ನಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಚೌಕದ ಪ್ರದೇಶವು ಕಾಲುಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಚೌಕಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ನ ವರ್ಗವು ಕಾಲುಗಳ ಚೌಕಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ... ಶಾಲೆಯಿಂದ ಹೃದಯದಿಂದ. ಇದು ಶಾಶ್ವತವಾಗಿ ನೆನಪಿನಲ್ಲಿ ಉಳಿಯುವ ನಿಯಮಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ.)))

ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ನ ವರ್ಗವು ಕಾಲುಗಳ ಚೌಕಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಇದು ನಿಖರವಾಗಿದೆ, ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ನ ವರ್ಗವು ಕಾಲುಗಳ ಚೌಕಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಹಜವಾಗಿ, ಇದು ನಮಗೆ ಕಲಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಮತ್ತು ಈ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಬಹಳ ಹಿಂದೆಯೇ ಕಲಿಸಲ್ಪಟ್ಟದ್ದನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯ ದಿನಚರಿಯ ನಡುವೆ ತುಂಬಾ ಸಂತೋಷವಾಗಿದೆ.

ಇದು ಈ ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್‌ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಅದು ಒಂದು ಮೀಟರ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಚೌಕವು ಒಂದು ಚದರ ಮೀಟರ್. ಮತ್ತು ಅದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 39.37 ಇಂಚುಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಚೌಕವು 1550 ಚದರ ಇಂಚುಗಳು, ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ಏನನ್ನೂ ಮಾಡಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ನ ಚೌಕವು ಕಾಲುಗಳ ಚೌಕಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ - ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯ (ಮೂಲಕ, ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ಸುಲಭವಾದ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್)

ಹೌದು, ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ನ ವರ್ಗವು ಕಾಲುಗಳ ಚೌಕಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ನಾವು ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಕಲಿಸಿದಂತಿದೆ. ಎಷ್ಟು ವರ್ಷಗಳು ಕಳೆದಿವೆ, ಮತ್ತು ಈ ಪ್ರೀತಿಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ನಾವು ಇನ್ನೂ ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ನಾನು ಬಹುಶಃ ಕಷ್ಟಪಟ್ಟು ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತೇನೆ ಮತ್ತು ಶಾಲಾ ಪಠ್ಯಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇನೆ.

ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ಯಾಂಟ್ ಎಲ್ಲಾ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅವರು ಹೇಳಿದರು

ನೀವು ನಿದ್ದೆ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಇದ್ದಕ್ಕಿದ್ದಂತೆ ಬೆಂಕಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡರೆ, ನೀವು ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ತಿಳಿದಿರಬೇಕು))) ಕಾಲುಗಳ ಚೌಕಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಶಿಕ್ಷಕರು ನಮಗೆ ಹೇಳಿದರು.

ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ನ ವರ್ಗವು ತ್ರಿಕೋನದ (ಕಾಲುಗಳು) ಇತರ ಎರಡು ಬದಿಗಳ ಚೌಕಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನೀವು ಇದನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಅಥವಾ ಇದು ಏಕೆ ಎಂದು ನೀವು ಒಮ್ಮೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

ಮೊದಲಿಗೆ, ಸಮಾನ ಕಾಲುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಲ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಹೈಪೋಟೆನ್ಯೂಸ್ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಬದಿಯೊಂದಿಗೆ ಚೌಕದೊಳಗೆ ಇರಿಸಿ.

ದೊಡ್ಡ ಚೌಕದ ಪ್ರದೇಶವು ನಾಲ್ಕು ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ತ್ರಿಕೋನಗಳುಅದರ ಒಳಗೆ.

ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು ನಮಗೆ ಬೇಕಾದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯೋಣ.



ಕಾಲುಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಎಲ್ಲವೂ ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ:

ದೊಡ್ಡ ಚೌಕದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ನಾಲ್ಕು ಒಂದೇ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿರುವ ಚೌಕದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.



ಯಾರು ಏನೇ ಹೇಳಲಿ, ನಾವು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಕಾಲುಗಳ ಚೌಕಗಳ ಮೊತ್ತವು ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ನ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾದ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಹೀಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ:

ಈ ಪ್ರಮೇಯವು ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಒಂದು ಕೋನವು 90 ಡಿಗ್ರಿಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಲಂಬ ಕೋನದ ಬದಿಗಳನ್ನು ಕಾಲುಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಓರೆಯಾದ ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನೀವು ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರತಿ ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಬೇಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಮೂರು ಚೌಕಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸಿದರೆ, ಕಾಲಿನ ಸಮೀಪವಿರುವ ಎರಡು ಚೌಕಗಳ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಬಳಿಯ ಚೌಕದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯ: ಕಾಲುಗಳ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಚೌಕಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಮೊತ್ತ ( ಎಮತ್ತು ಬಿ), ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಚೌಕದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ( ಸಿ).

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣ:

ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಮೂಲತಃ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಬೀಜಗಣಿತದ ಸೂತ್ರೀಕರಣ:

ಅಂದರೆ, ತ್ರಿಕೋನದ ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್‌ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಸಿ, ಮತ್ತು ಮೂಲಕ ಕಾಲುಗಳ ಉದ್ದಗಳು ಎಮತ್ತು ಬಿ :

ಎ 2 + ಬಿ 2 = ಸಿ 2

ಪ್ರಮೇಯದ ಎರಡೂ ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ, ಆದರೆ ಎರಡನೆಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿದೆ, ಇದು ಪ್ರದೇಶದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಅಗತ್ಯವಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಅಂದರೆ, ಎರಡನೇ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಪ್ರದೇಶದ ಬಗ್ಗೆ ಏನನ್ನೂ ತಿಳಿಯದೆ ಮತ್ತು ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳ ಉದ್ದವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅಳೆಯುವ ಮೂಲಕ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು.

ಕಾನ್ವರ್ಸ್ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯ:

ಪುರಾವೆ

ಈ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಈ ಪ್ರಮೇಯದ 367 ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ದಾಖಲಿಸಲಾಗಿದೆ. ಬಹುಶಃ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಅಂತಹ ಪ್ರಭಾವಶಾಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಏಕೈಕ ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ವೈವಿಧ್ಯತೆಯನ್ನು ರೇಖಾಗಣಿತದ ಪ್ರಮೇಯದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯಿಂದ ಮಾತ್ರ ವಿವರಿಸಬಹುದು.

ಸಹಜವಾಗಿ, ಕಲ್ಪನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಸಣ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾದವು: ಪ್ರದೇಶದ ವಿಧಾನದಿಂದ ಪುರಾವೆಗಳು, ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ ಮತ್ತು ವಿಲಕ್ಷಣ ಪುರಾವೆಗಳು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು).

ಇದೇ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಮೂಲಕ

ಬೀಜಗಣಿತದ ಸೂತ್ರೀಕರಣದ ಕೆಳಗಿನ ಪುರಾವೆಯು ಪುರಾವೆಗಳಲ್ಲಿ ಸರಳವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಮೂಲತತ್ವಗಳಿಂದ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಇದು ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಅವಕಾಶ ಎಬಿಸಿಲಂಬ ಕೋನದೊಂದಿಗೆ ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನವಿದೆ ಸಿ. ನಿಂದ ಎತ್ತರವನ್ನು ಸೆಳೆಯೋಣ ಸಿಮತ್ತು ಅದರ ಮೂಲವನ್ನು ಸೂಚಿಸಿ ಎಚ್. ತ್ರಿಕೋನ ACHತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ ಎಬಿಸಿಎರಡು ಮೂಲೆಗಳಲ್ಲಿ. ಅಂತೆಯೇ, ತ್ರಿಕೋನ CBHಇದೇ ಎಬಿಸಿ. ಸಂಕೇತವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ಮೂಲಕ

ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಯಾವುದು ಸಮಾನವಾಗಿದೆ

ಅದನ್ನು ಸೇರಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಪ್ರದೇಶದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುವ ಪುರಾವೆಗಳು

ಕೆಳಗಿನ ಪುರಾವೆಗಳು, ಅವುಗಳ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಸರಳತೆಯ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಅಷ್ಟು ಸರಳವಾಗಿಲ್ಲ. ಅವರೆಲ್ಲರೂ ಪ್ರದೇಶದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ, ಅದರ ಪುರಾವೆಯು ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ.

ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಕ ಪುರಾವೆ

1. ಚಿತ್ರ 1 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ನಾಲ್ಕು ಸಮಾನ ಬಲ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸೋಣ.
2. ಬದಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಿಒಂದು ಚೌಕವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಎರಡು ತೀವ್ರ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 90 ° ಮತ್ತು ನೇರ ಕೋನವು 180 ° ಆಗಿದೆ.
3. ಇಡೀ ಆಕೃತಿಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಒಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿ (a + b) ಒಂದು ಚೌಕದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ನಾಲ್ಕು ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಮತ್ತು ಎರಡು ಆಂತರಿಕ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಚೌಕಗಳು.

ಕ್ಯೂ.ಇ.ಡಿ.

ಸಮಾನತೆಯ ಮೂಲಕ ಪುರಾವೆಗಳು

ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸೊಗಸಾದ ಪುರಾವೆ

ಅಂತಹ ಒಂದು ಪುರಾವೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಚೌಕವನ್ನು ಕಾಲುಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಎರಡು ಚೌಕಗಳಾಗಿ ಮರುಹೊಂದಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಪುರಾವೆ

ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಪುರಾವೆಗಾಗಿ ರೇಖಾಚಿತ್ರ

ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಪುರಾವೆಗಾಗಿ ವಿವರಣೆ

ಯೂಕ್ಲಿಡ್‌ನ ಪುರಾವೆಯ ಕಲ್ಪನೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ: ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್‌ನಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಚೌಕದ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಪ್ರದೇಶವು ಕಾಲುಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಚೌಕಗಳ ಅರ್ಧ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಪ್ರದೇಶಗಳು ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಎರಡು ಸಣ್ಣ ಚೌಕಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಅದರ ಮೇಲೆ ನಾವು ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಚೌಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಲಂಬ ಕೋನ C ಯ ಶೃಂಗದಿಂದ ಹೈಪೋಟೆನ್ಯೂಸ್ AB ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಒಂದು ಕಿರಣವನ್ನು ಸೆಳೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಹೈಪೋಟೆನ್ಯೂಸ್ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಚದರ ABIK ಅನ್ನು ಎರಡು ಆಯತಗಳಾಗಿ ಕತ್ತರಿಸುತ್ತದೆ - BHJI ಮತ್ತು HAKJ, ಕ್ರಮವಾಗಿ. ಈ ಆಯತಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳು ಅನುಗುಣವಾದ ಕಾಲುಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಚೌಕಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳಿಗೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ.

ಚದರ DECA ಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು AHJK ಆಯತದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ, ನಾವು ಸಹಾಯಕ ವೀಕ್ಷಣೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ: ಅದೇ ಎತ್ತರ ಮತ್ತು ಬೇಸ್ ಹೊಂದಿರುವ ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರದೇಶ. ಆಯತವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಆಯತದ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಬೇಸ್ ಮತ್ತು ಎತ್ತರದ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ. ಈ ಅವಲೋಕನದಿಂದ, ತ್ರಿಕೋನದ ACK ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು AHK ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ), ಇದು ಆಯತ AHJK ನ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ACK ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಚದರ DECA ಯ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಈಗ ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಮಾಡಬೇಕಾದ ಏಕೈಕ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಎಸಿಕೆ ಮತ್ತು ಬಿಡಿಎ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು (ಬಿಡಿಎ ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಮೇಲಿನ ಆಸ್ತಿಯ ಪ್ರಕಾರ ಚೌಕದ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ). ಈ ಸಮಾನತೆಯು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳೆಂದರೆ - AB=AK,AD=AC - CAK ಮತ್ತು BAD ಕೋನಗಳ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಚಲನೆಯ ವಿಧಾನದಿಂದ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ: ನಾವು ತ್ರಿಕೋನ CAK ಅನ್ನು ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ 90° ತಿರುಗಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಂತರ ಎರಡು ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಬದಿಗಳು ಇವೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಪ್ರಶ್ನೆಯು ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ (ಚೌಕದ ಶೃಂಗದಲ್ಲಿರುವ ಕೋನವು 90° ಆಗಿರುವುದರಿಂದ).

ಚೌಕ BCFG ಮತ್ತು ಆಯತ BHJI ಪ್ರದೇಶಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಹೋಲುತ್ತದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ನಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಚೌಕದ ಪ್ರದೇಶವು ಕಾಲುಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಚೌಕಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಈ ಪುರಾವೆಯ ಹಿಂದಿನ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಮೇಲಿನ ಅನಿಮೇಷನ್‌ನಿಂದ ಮತ್ತಷ್ಟು ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಲಿಯೊನಾರ್ಡೊ ಡಾ ವಿನ್ಸಿಯ ಪುರಾವೆ

ಲಿಯೊನಾರ್ಡೊ ಡಾ ವಿನ್ಸಿಯ ಪುರಾವೆ

ಪುರಾವೆಯ ಮುಖ್ಯ ಅಂಶಗಳು ಸಮ್ಮಿತಿ ಮತ್ತು ಚಲನೆ.

ಸಮ್ಮಿತಿ, ವಿಭಾಗದಿಂದ ನೋಡಬಹುದಾದಂತೆ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಸಿIಚೌಕವನ್ನು ಕತ್ತರಿಸುತ್ತಾನೆ ಎಬಿಎಚ್ಜೆ ಎರಡು ಒಂದೇ ಭಾಗಗಳಾಗಿ (ತ್ರಿಕೋನಗಳಿಂದ ಎಬಿಸಿಮತ್ತು ಜೆಎಚ್Iನಿರ್ಮಾಣದಲ್ಲಿ ಸಮಾನ). 90 ಡಿಗ್ರಿ ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ ತಿರುಗುವಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಮಬ್ಬಾದ ಅಂಕಿಗಳ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ ಸಿಎಜೆI ಮತ್ತು ಜಿಡಿಎಬಿ . ನಾವು ಮಬ್ಬಾಗಿರುವ ಆಕೃತಿಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಕಾಲುಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಚೌಕಗಳ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಪ್ರದೇಶಗಳು ಮತ್ತು ಮೂಲ ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಈಗ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಇದು ಹೈಪೋಟೆನ್ಯೂಸ್‌ನಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಚೌಕದ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಜೊತೆಗೆ ಮೂಲ ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರದೇಶವಾಗಿದೆ. ಪುರಾವೆಯ ಕೊನೆಯ ಹಂತವನ್ನು ಓದುಗರಿಗೆ ಬಿಡಲಾಗಿದೆ.

ಅಪರಿಮಿತ ವಿಧಾನದಿಂದ ಪುರಾವೆ

ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಕೆಳಗಿನ ಪುರಾವೆಗಳು 20 ನೇ ಶತಮಾನದ ಮೊದಲಾರ್ಧದಲ್ಲಿ ವಾಸಿಸುತ್ತಿದ್ದ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಹಾರ್ಡಿಗೆ ಕಾರಣವೆಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡುವುದು ಮತ್ತು ಬದಿಯಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದು ಎ, ಅಪರಿಮಿತ ಪಾರ್ಶ್ವ ಏರಿಕೆಗಳಿಗಾಗಿ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು ಜೊತೆಗೆಮತ್ತು ಎ(ತ್ರಿಕೋನ ಹೋಲಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು):

ಅಪರಿಮಿತ ವಿಧಾನದಿಂದ ಪುರಾವೆ

ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿನ ಏರಿಕೆಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್‌ನಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ

ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಸಿ 2 = ಎ 2 + ಬಿ 2 + ಸ್ಥಿರ.

ಹೀಗಾಗಿ ನಾವು ಬಯಸಿದ ಉತ್ತರವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತೇವೆ

ಸಿ 2 = ಎ 2 + ಬಿ 2 .

ನೋಡಲು ಸುಲಭವಾದಂತೆ, ಅಂತಿಮ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಅವಲಂಬನೆಯು ಕಾರಣದಿಂದ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ರೇಖೀಯ ಅನುಪಾತತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ಏರಿಕೆಗಳ ನಡುವೆ, ಮೊತ್ತವು ವಿಭಿನ್ನ ಕಾಲುಗಳ ಹೆಚ್ಚಳದಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರ ಕೊಡುಗೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ.

ಕಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಅನುಭವಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸಿದರೆ ಸರಳವಾದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು (ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕಾಲು ಬಿ) ನಂತರ ಏಕೀಕರಣ ಸ್ಥಿರಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು

• ಚೌಕಗಳ ಬದಲಿಗೆ ನಾವು ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಇತರ ರೀತಿಯ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದರೆ, ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಕೆಳಗಿನ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವು ನಿಜವಾಗಿದೆ: ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ, ಪ್ರದೇಶಗಳ ಮೊತ್ತ ಇದೇ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳುಕಾಲುಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ನಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ:
  • ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ನಿಯಮಿತ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಮೊತ್ತವು ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ನಿಯಮಿತ ತ್ರಿಕೋನ, ಹೈಪೋಟೆನ್ಯೂಸ್ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ.
  • ಕಾಲುಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಅರ್ಧವೃತ್ತಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಮೊತ್ತವು (ವ್ಯಾಸದಂತೆ) ಹೈಪೋಟೆನ್ಯೂಸ್ನಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಅರ್ಧವೃತ್ತದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎರಡು ವೃತ್ತಗಳ ಆರ್ಕ್‌ಗಳಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಆಕೃತಿಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಈ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಹಿಪೊಕ್ರೆಟಿಕ್ ಲುನುಲೇ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕಥೆ

ಚು-ಪೈ 500-200 BC. ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಶಾಸನವಿದೆ: ಎತ್ತರ ಮತ್ತು ತಳದ ಉದ್ದಗಳ ಚೌಕಗಳ ಮೊತ್ತವು ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ನ ಉದ್ದದ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಾಚೀನ ಚೀನೀ ಪುಸ್ತಕ ಚು-ಪೈ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಾರೆ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ತ್ರಿಕೋನ 3, 4 ಮತ್ತು 5 ಬದಿಗಳೊಂದಿಗೆ: ಅದೇ ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ, ಬಶಾರದ ಹಿಂದೂ ರೇಖಾಗಣಿತದ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಕ್ಯಾಂಟರ್ (ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಜರ್ಮನ್ ಇತಿಹಾಸಕಾರ) 3² + 4² = 5² ಸಮಾನತೆ ಈಜಿಪ್ಟಿನವರಿಗೆ 2300 BC ಯಲ್ಲಿ ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿತ್ತು ಎಂದು ನಂಬುತ್ತಾರೆ. ಇ., ಕಿಂಗ್ ಅಮೆನೆಮ್ಹಾಟ್ I ರ ಸಮಯದಲ್ಲಿ (ಬರ್ಲಿನ್ ಮ್ಯೂಸಿಯಂನ ಪ್ಯಾಪಿರಸ್ 6619 ರ ಪ್ರಕಾರ). ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಪ್ರಕಾರ, ಹಾರ್ಪಿಡೊನಾಪ್ಟ್ಸ್ ಅಥವಾ "ಹಗ್ಗ ಎಳೆಯುವವರು", 3, 4 ಮತ್ತು 5 ರ ಬದಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲಂಬ ಕೋನಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದ್ದಾರೆ.

ಅವರ ನಿರ್ಮಾಣ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪುನರುತ್ಪಾದಿಸುವುದು ತುಂಬಾ ಸುಲಭ. 12 ಮೀ ಉದ್ದದ ಹಗ್ಗವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅದಕ್ಕೆ 3 ಮೀಟರ್ ದೂರದಲ್ಲಿ ಬಣ್ಣದ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಕಟ್ಟೋಣ. ಒಂದು ತುದಿಯಿಂದ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ತುದಿಯಿಂದ 4 ಮೀಟರ್. ಬಲ ಕೋನವು 3 ಮತ್ತು 4 ಮೀಟರ್ ಉದ್ದದ ಬದಿಗಳ ನಡುವೆ ಸುತ್ತುವರಿಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಮರದ ಚೌಕವನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ ಅವರ ನಿರ್ಮಾಣದ ವಿಧಾನವು ಅತಿರೇಕವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹಾರ್ಪಿಡೊನಾಪ್ಟಿಯನ್ನರಿಗೆ ಆಕ್ಷೇಪಿಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎಲ್ಲಾ ಬಡಗಿಗಳು ಇದನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಈಜಿಪ್ಟಿನ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಸಾಧನವು ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬಡಗಿಗಳ ಕಾರ್ಯಾಗಾರವನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳು.

ಬ್ಯಾಬಿಲೋನಿಯನ್ನರಲ್ಲಿ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಬಗ್ಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು ತಿಳಿದಿದೆ. ಒಂದು ಪಠ್ಯದಲ್ಲಿ ಹಮ್ಮುರಾಬಿಯ ಕಾಲಕ್ಕೆ, ಅಂದರೆ ಕ್ರಿ.ಪೂ. 2000ಕ್ಕೆ ಹಿಂದಿನದು. e., ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನದ ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ನ ಅಂದಾಜು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಇದರಿಂದ ನಾವು ಮೆಸೊಪಟ್ಯಾಮಿಯಾದಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನಗಳೊಂದಿಗೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು. ಒಂದೆಡೆ, ಈಜಿಪ್ಟ್ ಮತ್ತು ಬ್ಯಾಬಿಲೋನಿಯನ್ ಗಣಿತದ ಬಗ್ಗೆ ಪ್ರಸ್ತುತ ಮಟ್ಟದ ಜ್ಞಾನದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಮತ್ತು ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಗ್ರೀಕ್ ಮೂಲಗಳ ವಿಮರ್ಶಾತ್ಮಕ ಅಧ್ಯಯನದ ಮೇಲೆ, ವ್ಯಾನ್ ಡೆರ್ ವಾರ್ಡೆನ್ (ಡಚ್ ಗಣಿತಜ್ಞ) ಈ ಕೆಳಗಿನ ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ ಬಂದರು:

ಸಾಹಿತ್ಯ

ರಷ್ಯನ್ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ

• ಸ್ಕೋಪೆಟ್ಸ್ Z. A.ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಚಿಕಣಿಗಳು. ಎಂ., 1990
• ಎಲೆನ್ಸ್ಕಿ ಶ್ಚ್.ಪೈಥಾಗರಸ್ನ ಹೆಜ್ಜೆಯಲ್ಲಿ. ಎಂ., 1961
• ವ್ಯಾನ್ ಡೆರ್ ವಾರ್ಡನ್ ಬಿ.ಎಲ್.ಜಾಗೃತಿ ವಿಜ್ಞಾನ. ಪ್ರಾಚೀನ ಈಜಿಪ್ಟ್, ಬ್ಯಾಬಿಲೋನ್ ಮತ್ತು ಗ್ರೀಸ್ನ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ. ಎಂ., 1959
• ಗ್ಲೇಜರ್ ಜಿ.ಐ.ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ಇತಿಹಾಸ. ಎಂ., 1982
• W. ಲಿಟ್ಜ್ಮನ್, "ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯ" M., 1960.
  • ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪುರಾವೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಬಗ್ಗೆ ಸೈಟ್, ವಿ. ಲಿಟ್ಜ್‌ಮನ್ ಪುಸ್ತಕದಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ, ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಫೈಲ್‌ಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
• ಡಿ ವಿ ಅನೋಸೊವ್ ಅವರ ಪುಸ್ತಕದಿಂದ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಟ್ರಿಪಲ್ ಅಧ್ಯಾಯ "ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ನೋಟ ಮತ್ತು ಅದರಿಂದ ಏನಾದರೂ"
• ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳ ಬಗ್ಗೆ G. ಗ್ಲೇಸರ್, ರಷ್ಯನ್ ಅಕಾಡೆಮಿ ಆಫ್ ಎಜುಕೇಶನ್, ಮಾಸ್ಕೋದ ಶಿಕ್ಷಣತಜ್ಞ

ಇಂಗ್ಲಿಷನಲ್ಲಿ

• ವೋಲ್ಫ್ರಾಮ್ ಮ್ಯಾಥ್ ವರ್ಲ್ಡ್ ನಲ್ಲಿ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯ
• ಕಟ್-ದಿ-ನಾಟ್, ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಭಾಗ, ಸುಮಾರು 70 ಪುರಾವೆಗಳು ಮತ್ತು ವ್ಯಾಪಕವಾದ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಮಾಹಿತಿ (ಇಂಗ್ಲಿಷ್)

ವಿಕಿಮೀಡಿಯಾ ಫೌಂಡೇಶನ್. 2010.