ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ. ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ

ಸೂಚನೆಗಳು

ಸೂಚನೆ

ಅವಧಿ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಸ್ಪರ್ಶಕವು 180 ಡಿಗ್ರಿಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ.

ಉಪಯುಕ್ತ ಸಲಹೆ

ಒಂದು ವೇಳೆ ಇಳಿಜಾರುಗಳುಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಅಂತಹ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು 0 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅಂತಹ ಸಾಲುಗಳು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಛೇದಿಸುವ ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಎರಡೂ ಸರಳ ರೇಖೆಗಳನ್ನು (ಅಥವಾ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು) ಹೊಸ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಸರಿಸಲು ಅವಶ್ಯಕ ಸಮಾನಾಂತರ ವರ್ಗಾವಣೆಛೇದನದ ಮೊದಲು. ಇದರ ನಂತರ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

ನಿಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ

ಸೂಚನೆಗಳು

ಆದ್ದರಿಂದ, ವೆಕ್ಟರ್ V = (a, b, c) ಮತ್ತು ಪ್ಲೇನ್ A x + B y + C z = 0 ಅನ್ನು ನೀಡೋಣ, ಅಲ್ಲಿ A, B ಮತ್ತು C ಸಾಮಾನ್ಯ N ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು. ನಂತರ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ α ವೆಕ್ಟರ್ V ಮತ್ತು N ನಡುವೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ: cos α = (a + b + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²)).

ಡಿಗ್ರಿ ಅಥವಾ ರೇಡಿಯನ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಕೋನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ನೀವು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ಕೊಸೈನ್ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ವಿಲೋಮವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. arccosine:α = arsсos ((a + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²))).

ಉದಾಹರಣೆ: ಹುಡುಕಿ ಮೂಲೆಯಲ್ಲಿನಡುವೆ ವೆಕ್ಟರ್(5, -3, 8) ಮತ್ತು ವಿಮಾನ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ 2 x – 5 y + 3 z = 0. ಪರಿಹಾರ: ಸಮತಲದ N = (2, -5, 3) ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ. ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಬದಲಿಸಿ ತಿಳಿದಿರುವ ಮೌಲ್ಯಗಳುಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0.8 → α = 36.87°.

ವಿಷಯದ ಕುರಿತು ವೀಡಿಯೊ

ಅದೇ ಸುತ್ತಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನೇರ ರೇಖೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದು, ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿದೆ. ಸ್ಪರ್ಶದ ಮತ್ತೊಂದು ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯವೆಂದರೆ ಅದು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಂಪರ್ಕದ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಎಳೆಯುವ ತ್ರಿಜ್ಯಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಸ್ಪರ್ಶಕ ಮತ್ತು ತ್ರಿಜ್ಯವು ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಮೂಲೆಯಲ್ಲಿ. AB ಮತ್ತು AC ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಎರಡು ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳನ್ನು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ A ನಿಂದ ಎಳೆದರೆ, ಅವು ಯಾವಾಗಲೂ ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ( ಮೂಲೆಯಲ್ಲಿಎಬಿಸಿ) ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿ ತಯಾರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸೂಚನೆಗಳು

ಕೋನವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ನೀವು OB ಮತ್ತು OS ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಮತ್ತು ವೃತ್ತದ ಮಧ್ಯಭಾಗದಿಂದ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಪ್ರಾರಂಭದ ಬಿಂದುವಿನ ಅಂತರವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು - O. ಆದ್ದರಿಂದ, ABO ಮತ್ತು ACO ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, OB ತ್ರಿಜ್ಯವು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 10 cm, ಮತ್ತು AO ವೃತ್ತದ ಮಧ್ಯಭಾಗಕ್ಕೆ ಇರುವ ಅಂತರವು 15 cm. ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಉದ್ದವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ: AB = ವರ್ಗ ಮೂಲ AO2 ನಿಂದ - OB2 ಅಥವಾ 152 - 102 = 225 - 100 = 125;

ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಎಲ್ ಮತ್ತು ಮೀ ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಒಳಕ್ಕೆ ಬಿಡಿ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು: l: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, m: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

ಈ ಸಾಲುಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು: = (A 1 , B 1) – ಗೆ l ಗೆ,

= (A 2, B 2) - ಲೈನ್ ಮೀ ಗೆ.

l ಮತ್ತು m ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು j ಆಗಿರಲಿ.

ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಅಥವಾ p ಗೆ ಸೇರಿಸುವುದರಿಂದ, ನಂತರ , ಅಂದರೆ, cos j = .

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ.

ಪ್ರಮೇಯ. j ಎಂಬುದು ಸಮತಲದ ಮೇಲಿನ ಎರಡು ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವಾಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು ಈ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಕಾರ್ಟಿಸಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ಮತ್ತು A 2 x + B 2 y + C 2 ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಿ. = 0. ನಂತರ cos j = .

ವ್ಯಾಯಾಮಗಳು.

1) ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಿ:

(1) ಎರಡೂ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ; (2) ಎರಡೂ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ; (3) ಒಂದು ಸಾಲನ್ನು ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇನ್ನೊಂದು ಸಾಲನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ; (4) ಎರಡೂ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

2) j ಎಂಬುದು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವಾಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು ಈ ಸರಳ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಕಾರ್ಟಿಸಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ y = k 1 x + b 1 ಮತ್ತು y =k 2 x + b 2 ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ.

ನಂತರ ತನ್ ಜೆ = .

3) ಅನ್ವೇಷಿಸಿ ಪರಸ್ಪರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ಟೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಭರ್ತಿ ಮಾಡಿ:

ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಅಂತರ.

ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆ l ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣ Ax + By + C = 0 ಮೂಲಕ ನೀಡೋಣ. M(x 0 , y 0) ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ನೇರ ರೇಖೆ l ಗೆ ಅಂತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

ಪಾಯಿಂಟ್ M ನಿಂದ ನೇರ ರೇಖೆ l ಗೆ ಇರುವ ಅಂತರವು ಲಂಬವಾಗಿರುವ HM (H О l, HM ^ l) ನ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ.

l ರೇಖೆಗೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಕೋಲಿನಿಯರ್, ಆದ್ದರಿಂದ | | = | | | | ಮತ್ತು | | =

H ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು (x,y) ಆಗಿರಲಿ.

ಪಾಯಿಂಟ್ H ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿರುವುದರಿಂದ l, ನಂತರ Ax + By + C = 0 (*).

ವಾಹಕಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು: = (x 0 - x, y 0 - y), = (A, B).

| | = = =

(C = -Ax - ಮೂಲಕ, ನೋಡಿ (*))

ಪ್ರಮೇಯ.ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆ l ಅನ್ನು Ax + By + C = 0 ಎಂಬ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಿ. ನಂತರ M(x 0 , y 0) ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಈ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಅಂತರವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ: r ( ಎಂ; ಎಲ್) = .

ವ್ಯಾಯಾಮಗಳು.

1) ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಸಾಲಿಗೆ ಇರುವ ಅಂತರವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಒಂದು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಿ: (1) ರೇಖೆಯನ್ನು ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ; (2) ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣಗಳು; (3) ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

2) 3x – y = 0 ರೇಖೆಗೆ ವೃತ್ತದ ಸ್ಪರ್ಶದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ, Q (-2,4) ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರದೊಂದಿಗೆ.

3) ಕೋನಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವ ರೇಖೆಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ, ಛೇದಕದಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡಿದೆನೇರ ರೇಖೆಗಳು 2x + y - 1 = 0 ಮತ್ತು x + y + 1 = 0, ವಿಭಜಿಸಲಾಗಿದೆ.

§ 27. ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ವಿಮಾನಗಳು

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ವಿಮಾನಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ನಾವು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವೆಕ್ಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅದರ ಯಾವುದೇ ಪ್ರತಿನಿಧಿಯು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ.ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಯು ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿದ್ದರೆ, ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಪ್ರತಿನಿಧಿಗಳು ಈ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತಾರೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಟೀಸಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನೀಡಲಿ.

ಸಮತಲವನ್ನು ನೀಡೋಣ, = (A, B, C) - ಈ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್, ಪಾಯಿಂಟ್ M (x 0, y 0, z 0) ಸಮತಲ a ಗೆ ಸೇರಿದೆ.

ಸಮತಲದ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ N(x, y, z), ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್, ಅಂದರೆ ಅವುಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮ: = 0. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಕೊನೆಯ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬರೆಯೋಣ: A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0.

ಲೆಟ್ -ಆಕ್ಸ್ 0 - ಬೈ 0 - ಸಿಝ್ 0 = ಡಿ, ನಂತರ ಏಕ್ಸ್ + ಬೈ + ಸಿಝ್ + ಡಿ = 0.

ನಾವು K (x, y) ಬಿಂದುವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ ಅಂದರೆ Ax + By + Cz + D = 0. D = -Ax 0 ರಿಂದ - 0 - Cz 0 ರಿಂದ, ನಂತರ A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0.ನಿರ್ದೇಶಿತ ವಿಭಾಗದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು = (x - x 0, y - y 0, z - z 0), ಕೊನೆಯ ಸಮಾನತೆ ಎಂದರೆ ^, ಮತ್ತು, ಆದ್ದರಿಂದ, K О a.

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ:

ಪ್ರಮೇಯ.ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿರುವ ಯಾವುದೇ ವಿಮಾನವನ್ನು Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ (A, B, C) ಈ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು.

ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವೂ ನಿಜ.

ಪ್ರಮೇಯ.ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) ರೂಪದ ಯಾವುದೇ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮತಲವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು (A, B, C) ಸಾಮಾನ್ಯದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ವಿಮಾನಕ್ಕೆ ವೆಕ್ಟರ್.

ಪುರಾವೆ.

Ax 0 + ಮೂಲಕ 0 + Cz 0 + D = 0 ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ = (A, B, C) (≠ q) ಪಾಯಿಂಟ್ M (x 0, y 0, z 0) ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ.

ಒಂದು ಸಮತಲ (ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಒಂದು) ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಪಾಯಿಂಟ್ ಎಂ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ. ಹಿಂದಿನ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಈ ಸಮತಲವನ್ನು Ax + By + Cz + D = 0 ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮತಲ ಸಮೀಕರಣ.

ಉದಾಹರಣೆ.

M (0,2,4), N (1,-1,0) ಮತ್ತು K (-1,0,5) ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸಮತಲದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯೋಣ.

1. ಸಮತಲಕ್ಕೆ (MNK) ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ. ಏಕೆಂದರೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಅಲ್ಲ ಕೊಲಿನಿಯರ್ ವಾಹಕಗಳುಮತ್ತು , ನಂತರ ವೆಕ್ಟರ್ ಕೊಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿದೆ.

= (1, -3, -4), = (-1, -2, 1);

´ = ,

´ = (-11, 3, -5).

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿ ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ = (-11, 3, -5) ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

2. ನಾವು ಈಗ ಮೊದಲ ಪ್ರಮೇಯದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಬಳಸೋಣ:

ಈ ಸಮತಲದ ಸಮೀಕರಣ A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0, ಅಲ್ಲಿ (A, B, C) ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು, (x 0 , y 0 , z 0) - ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪಾಯಿಂಟ್ M).

11(x - 0) + 3(y - 2) - 5(z - 4) = 0

11x + 3y - 5z + 14 = 0

ಉತ್ತರ: -11x + 3y - 5z + 14 = 0.

ವ್ಯಾಯಾಮಗಳು.

1) ಇದ್ದರೆ ಸಮತಲದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ

(1) ಸಮತಲವು 3x + y + z = 0 ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾದ M (-2,3,0) ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ;

(2) ಸಮತಲವು (ಆಕ್ಸ್) ಅಕ್ಷವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು x + 2y - 5z + 7 = 0 ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

2) ನೀಡಲಾದ ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸಮತಲದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

§ 28. ಅರ್ಧ-ಸ್ಥಳದ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ*

ಕಾಮೆಂಟ್*. ಸ್ವಲ್ಪ ವಿಮಾನವನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಲಿ. ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅರ್ಧ ಜಾಗನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮತಲದ ಒಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ನಾವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ವಿಭಾಗವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮತಲವನ್ನು ಛೇದಿಸದಿದ್ದರೆ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳು ಒಂದೇ ಅರ್ಧ ಜಾಗದಲ್ಲಿವೆ. ಈ ವಿಮಾನಎಂದು ಕರೆದರು ಈ ಅರ್ಧ ಜಾಗದ ಗಡಿ. ಈ ವಿಮಾನ ಮತ್ತು ಅರ್ಧ ಜಾಗದ ಒಕ್ಕೂಟವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುವುದು ಮುಚ್ಚಿದ ಅರ್ಧ ಜಾಗ.

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಟೀಸಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಲಿ.

ಪ್ರಮೇಯ. Ax + By + Cz + D = 0 ಎಂಬ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಸಮತಲವನ್ನು ನೀಡೋಣ. ನಂತರ ಪ್ಲೇನ್ a ಜಾಗವನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವ ಎರಡು ಅರ್ಧ-ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಅಸಮಾನತೆಯ Ax + By + Cz + D > 0 ನಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. , ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಅರ್ಧ-ಸ್ಪೇಸ್ ಅನ್ನು ಅಸಮಾನತೆಯ Ax + By + Cz + D ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ< 0.

ಪುರಾವೆ.

ಈ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಮಲಗಿರುವ M (x 0, y 0, z 0) ಬಿಂದುವಿನಿಂದ a ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ = (A, B, C) ಅನ್ನು ನಾವು ಯೋಜಿಸೋಣ: = , M О a, MN ^ a. ವಿಮಾನವು ಜಾಗವನ್ನು ಎರಡು ಅರ್ಧ-ಸ್ಥಳಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ: ಬಿ 1 ಮತ್ತು ಬಿ 2. ಪಾಯಿಂಟ್ N ಈ ಅರ್ಧ-ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯ ನಷ್ಟವಿಲ್ಲದೆ, ನಾವು N О b 1 ಎಂದು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಅರ್ಧ-ಸ್ಪೇಸ್ b 1 ಅನ್ನು ಅಸಮಾನತೆಯ Ax + By + Cz + D > 0 ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ.

1) ಅರ್ಧ-ಸ್ಥಳ ಬಿ 1 ನಲ್ಲಿ K(x,y,z) ಬಿಂದುವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಕೋನ Ð NMK ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ ಮತ್ತು - ತೀವ್ರ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ: > 0. ಈ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಬರೆಯೋಣ: A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) > 0, ಅಂದರೆ, Ax + By + Cy - Ax 0 - ಬೈ 0 - C z 0 > 0.

M О b 1 ರಿಂದ, ನಂತರ Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0, ಆದ್ದರಿಂದ -Ax 0 - 0 - C z 0 = D. ಆದ್ದರಿಂದ, ಕೊನೆಯ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು: Ax + By + Cz + D > 0.

2) Ax + By + Cz + D > 0 ಪಾಯಿಂಟ್ L(x,y) ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ.

D ಅನ್ನು (-Ax 0 - 0 - C z 0 ಮೂಲಕ) ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯೋಣ (M О b 1 ರಿಂದ, Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0): A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) > 0.

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್ (x - x 0,y - y 0, z - z 0) ಒಂದು ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) ವಾಹಕಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಮತ್ತು . ವಾಹಕಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ತೀವ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್ L О b 1 .

ಅಂತೆಯೇ, ಅರ್ಧ-ಸ್ಪೇಸ್ b 2 ಅನ್ನು ಅಸಮಾನತೆಯ Ax + By + Cz + D ನಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು< 0.

ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು.

1) ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ ಪುರಾವೆಯು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ M ಬಿಂದುವಿನ ಆಯ್ಕೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ a.

2) ಒಂದೇ ಅರ್ಧ-ಸ್ಥಳವನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ ಅಸಮಾನತೆಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.

ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವೂ ನಿಜ.

ಪ್ರಮೇಯ. Ax + By + Cz + D > 0 (ಅಥವಾ Ax + By + Cz + D) ರೂಪದ ಯಾವುದೇ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆ< 0) (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) задает в пространстве в декартовой системе координат полупространство с границей Ax + By + Cz + D = 0.

ಪುರಾವೆ.

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) ಸಮೀಕರಣವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮತಲವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ a (ನೋಡಿ § ...). ಹಿಂದಿನ ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತಾಗಿರುವಂತೆ, ಸಮತಲವು ಜಾಗವನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವ ಎರಡು ಅರ್ಧ-ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಅಸಮಾನತೆಯ Ax Ax + By + Cz + D > 0 ನಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು.

1) ಮುಚ್ಚಿದ ಅರ್ಧ-ಸ್ಥಳವನ್ನು ಕಠಿಣವಲ್ಲದ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಯಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಿಲ್ಲದ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಯು ಮುಚ್ಚಿದ ಅರ್ಧ-ಸ್ಥಳವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.

2) ಯಾವುದಾದರು ಪೀನ ಬಹುಮುಖಿಮುಚ್ಚಿದ ಅರ್ಧ-ಸ್ಥಳಗಳ ಛೇದಕ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು (ಇವುಗಳ ಗಡಿಗಳು ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ನ ಮುಖಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಿಮಾನಗಳು), ಅಂದರೆ, ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ - ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ.

ವ್ಯಾಯಾಮಗಳು.

1) ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾದ ಎರಡು ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಅಫೈನ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು

2) ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾದ ಯಾವುದೇ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿಲ್ಲ ಎಂಬುದು ನಿಜವೇ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳುಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ ಪೀನ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ?

ವ್ಯಾಯಾಮ.

1) ಕಾರ್ಟೀಸಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಎರಡು ವಿಮಾನಗಳ ಸಂಬಂಧಿತ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ತನಿಖೆ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಟೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಭರ್ತಿ ಮಾಡಿ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.ಎರಡು ಸಾಲುಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, ನಂತರ ಚೂಪಾದ ಮೂಲೆಈ ಸರಳ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವೆ ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

k 1 = k 2 ಆಗಿದ್ದರೆ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ. k 1 = -1/ k 2 ಆಗಿದ್ದರೆ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳು ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಪ್ರಮೇಯ. A 1 = λA, B 1 = λB ಗುಣಾಂಕಗಳು ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿದ್ದಾಗ Ax + Bу + C = 0 ಮತ್ತು A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ಗೆರೆಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ. C 1 = λC ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸಾಲುಗಳು ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಎರಡು ರೇಖೆಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಈ ರೇಖೆಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ.

ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ ಈ ಹಂತ

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಾಲಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. M 1 (x 1, y 1) ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ನೇರ ರೇಖೆ ಮತ್ತು y = kx + b ನೇರ ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಸಾಲಿಗೆ ಅಂತರ

ಪ್ರಮೇಯ. M(x 0, y 0) ಬಿಂದುವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, Ax + Bу + C = 0 ರೇಖೆಯ ಅಂತರವನ್ನು ಹೀಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

.

ಪುರಾವೆ. M 1 (x 1, y 1) ಬಿಂದುವು M ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಸರಳ ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಆಧಾರವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ M ಮತ್ತು M 1 ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರ:

(1)

ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ x 1 ಮತ್ತು y 1 ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು:

ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣವು ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ ಪಾಯಿಂಟ್ ನೀಡಲಾಗಿದೆ M 0 ಕೊಟ್ಟಿರುವ ನೇರ ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಾವು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಿದರೆ:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

ನಂತರ, ಪರಿಹರಿಸುವುದು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (1) ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ. ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

ಕೆ 1 = -3; ಕೆ 2 = 2; tgφ = ; φ= ಪು /4.

ಉದಾಹರಣೆ. 3x – 5y + 7 = 0 ಮತ್ತು 10x + 6y – 3 = 0 ಸಾಲುಗಳು ಲಂಬವಾಗಿವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ. ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 * k 2 = -1, ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಾಲುಗಳು ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ. A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) ತ್ರಿಕೋನದ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. C ಶೃಂಗದಿಂದ ಎಳೆಯಲಾದ ಎತ್ತರದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ. AB ಬದಿಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: ; 4 x = 6 y - 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಎತ್ತರದ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: Ax + By + C = 0 ಅಥವಾ y = kx + b. ಕೆ = . ನಂತರ y = . ಏಕೆಂದರೆ ಎತ್ತರವು ಪಾಯಿಂಟ್ ಸಿ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ ಈ ಸಮೀಕರಣ: ಎಲ್ಲಿಂದ b = 17. ಒಟ್ಟು: .

ಉತ್ತರ: 3 x + 2 y – 34 = 0.

ನಲ್ಲಿ ನೀಡಿದ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ ಈ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ. ಎರಡು ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ. ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆ ಮತ್ತು ಲಂಬತೆಯ ಸ್ಥಿತಿ. ಎರಡು ಸಾಲುಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು

1. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ ಎ(X 1 , ವೈ 1) ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ, ಇಳಿಜಾರಿನ ಮೂಲಕ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಕೆ,

ವೈ - ವೈ 1 = ಕೆ(X - X 1). (1)

ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಗಳ ಪೆನ್ಸಿಲ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ ಎ(X 1 , ವೈ 1), ಇದನ್ನು ಕಿರಣ ಕೇಂದ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

2. ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ: ಎ(X 1 , ವೈ 1) ಮತ್ತು ಬಿ(X 2 , ವೈ 2), ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ:

ಎರಡು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

3. ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ ಎಮತ್ತು ಬಿಮೊದಲ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ತಿರುಗಿಸಬೇಕಾದ ಕೋನವಾಗಿದೆ ಎಈ ರೇಖೆಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಿನ ಸುತ್ತಲೂ ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ ಅದು ಎರಡನೇ ಸಾಲಿನೊಂದಿಗೆ ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಬಿ. ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಇಳಿಜಾರಿನೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನೀಡಿದರೆ

ವೈ = ಕೆ 1 X + ಬಿ 1 ,

ವೈ = ಕೆ 2 X + ಬಿ 2 , (4)

ನಂತರ ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಅಂಶದಲ್ಲಿ, ಮೊದಲ ಸಾಲಿನ ಇಳಿಜಾರು ಎರಡನೇ ಸಾಲಿನ ಇಳಿಜಾರಿನಿಂದ ಕಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು.

ಒಂದು ಸಾಲಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ನೋಟ

ಎ 1 X + ಬಿ 1 ವೈ + ಸಿ 1 = 0,

ಎ 2 X + ಬಿ 2 ವೈ + ಸಿ 2 = 0, (6)

ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

4. ಎರಡು ಸಾಲುಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಯ ಷರತ್ತುಗಳು:

a) ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ (4) ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ನೀಡಿದರೆ, ನಂತರ ಅಗತ್ಯ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿಅವುಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಯು ಅವುಗಳ ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ:

ಕೆ 1 = ಕೆ 2 . (8)

ಬಿ) ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ (6) ಸಮೀಕರಣಗಳ ಮೂಲಕ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ನೀಡಿದಾಗ, ಅವುಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಷರತ್ತು ಎಂದರೆ ಅವುಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿನ ಅನುಗುಣವಾದ ಪ್ರಸ್ತುತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ.

5. ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು:

a) ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕದೊಂದಿಗೆ (4) ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನೀಡಿದಾಗ, ಅವುಗಳ ಲಂಬತೆಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಷರತ್ತು ಎಂದರೆ ಅವುಗಳ ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕಗಳು ವಿಲೋಮ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಚಿಹ್ನೆಯಲ್ಲಿ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ.

ಈ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸಹ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು

ಕೆ 1 ಕೆ 2 = -1. (11)

ಬಿ) ರೇಖೆಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನೀಡಿದರೆ (6), ನಂತರ ಅವುಗಳ ಲಂಬತೆಯ ಸ್ಥಿತಿ (ಅಗತ್ಯ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು) ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವುದು

ಎ 1 ಎ 2 + ಬಿ 1 ಬಿ 2 = 0. (12)

6. ಎರಡು ಸಾಲುಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ (6). ರೇಖೆಗಳು (6) ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ ವೇಳೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ

1. M ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ, ಅದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಸಾಲಿಗೆ ಎಲ್.

ಓಹ್-ಓಹ್-ಓಹ್-ಓಹ್-ಓಹ್, ಅದು ಕಠಿಣವಾಗಿದೆ, ಅವನು ಸ್ವತಃ ಒಂದು ವಾಕ್ಯವನ್ನು ಓದುತ್ತಿದ್ದಂತೆ =) ಆದಾಗ್ಯೂ, ವಿಶ್ರಾಂತಿ ನಂತರ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಇಂದಿನಿಂದ ನಾನು ಸೂಕ್ತವಾದ ಪರಿಕರಗಳನ್ನು ಖರೀದಿಸಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೊದಲ ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಮುಂದುವರಿಯೋಣ, ಲೇಖನದ ಅಂತ್ಯದ ವೇಳೆಗೆ ನಾನು ಹರ್ಷಚಿತ್ತದಿಂದ ಮನಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಕಾಪಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇನೆ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ.

ಎರಡು ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಸ್ಥಾನ

ಪ್ರೇಕ್ಷಕರು ಕೋರಸ್ನಲ್ಲಿ ಹಾಡಿದಾಗ ಇದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳು ಮಾಡಬಹುದು:

1) ಹೊಂದಾಣಿಕೆ;

2) ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರಲಿ:

3) ಅಥವಾ ಒಂದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಿ: .

ಡಮ್ಮೀಸ್‌ಗೆ ಸಹಾಯ : ದಯವಿಟ್ಟು ನೆನಪಿಡಿ ಗಣಿತದ ಚಿಹ್ನೆಛೇದಕಗಳು, ಇದು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಸಂಕೇತ ಎಂದರೆ ರೇಖೆಯು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿರುವ ರೇಖೆಯೊಂದಿಗೆ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ.

ಎರಡು ಸಾಲುಗಳ ಸಂಬಂಧಿತ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು?

ಮೊದಲ ಪ್ರಕರಣದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ:

ಎರಡು ಸಾಲುಗಳು ಅವುಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ, ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವಂತಹ "ಲಂಬ್ಡಾ" ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೆ

ಸರಳ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಂದ ಮೂರು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ರಚಿಸೋಣ: . ಪ್ರತಿ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಸಾಲುಗಳು ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಸಮೀಕರಣದ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಾಂಕಗಳಿದ್ದರೆ -1 (ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿ), ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣದ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಂದ ಗುಣಿಸಿ 2 ರಿಂದ ಕತ್ತರಿಸಿ, ನೀವು ಅದೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ: .

ಎರಡನೇ ಪ್ರಕರಣ, ಸಾಲುಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವಾಗ:

ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ: , ಆದರೆ.

ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ, ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಅನುಪಾತವನ್ನು ನಾವು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.

ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಪ್ರಕರಣ, ರೇಖೆಗಳು ಛೇದಿಸಿದಾಗ:

ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಪ್ರಮಾಣಾನುಗುಣವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ, ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಯಾವುದೇ "ಲ್ಯಾಂಬ್ಡಾ" ಮೌಲ್ಯವಿಲ್ಲ

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸರಳ ರೇಖೆಗಳಿಗಾಗಿ ನಾವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ , ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ: , ಅಂದರೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅಸಮಂಜಸವಾಗಿದೆ(ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳಿಲ್ಲ). ಹೀಗಾಗಿ, ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ತೀರ್ಮಾನ: ರೇಖೆಗಳು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ

IN ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳುನೀವು ಈಗ ಚರ್ಚಿಸಿದ ಪರಿಹಾರ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಅಂದಹಾಗೆ, ಇದು ನಾವು ವರ್ಗದಲ್ಲಿ ನೋಡಿರುವ ಕೊಲಿನಿಯರಿಟಿಗಾಗಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಹಳ ನೆನಪಿಸುತ್ತದೆ ವಾಹಕಗಳ ರೇಖೀಯ (ಇನ್) ಅವಲಂಬನೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ. ವಾಹಕಗಳ ಆಧಾರ. ಆದರೆ ಹೆಚ್ಚು ಸುಸಂಸ್ಕೃತ ಪ್ಯಾಕೇಜಿಂಗ್ ಇದೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 1

ಸಾಲುಗಳ ಸಂಬಂಧಿತ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

ಪರಿಹಾರನೇರ ರೇಖೆಗಳ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಿಸುವ ಅಧ್ಯಯನದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ:

ಎ) ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನಾವು ರೇಖೆಗಳ ದಿಕ್ಕಿನ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: .


, ಅಂದರೆ ವಾಹಕಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಅಲ್ಲ ಮತ್ತು ರೇಖೆಗಳು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ.

ಒಂದು ವೇಳೆ, ನಾನು ಅಡ್ಡಹಾದಿಯಲ್ಲಿ ಚಿಹ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಲ್ಲು ಹಾಕುತ್ತೇನೆ:

ಉಳಿದವರು ಕಲ್ಲಿನ ಮೇಲೆ ಜಿಗಿಯುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಮತ್ತಷ್ಟು ಅನುಸರಿಸುತ್ತಾರೆ, ನೇರವಾಗಿ ಕಶ್ಚೆ ಇಮ್ಮಾರ್ಟಲ್ =)

ಬಿ) ರೇಖೆಗಳ ದಿಕ್ಕಿನ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ರೇಖೆಗಳು ಒಂದೇ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಅಂದರೆ ಅವು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಅಥವಾ ಕಾಕತಾಳೀಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಇಲ್ಲಿ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಎಣಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಅಪರಿಚಿತರ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಪ್ರಮಾಣಾನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು .

ಸಮಾನತೆ ನಿಜವೇ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ಹೀಗಾಗಿ,

ಸಿ) ರೇಖೆಗಳ ದಿಕ್ಕಿನ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ಈ ವಾಹಕಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:
ಆದ್ದರಿಂದ, ದಿಕ್ಕಿನ ವಾಹಕಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಸಾಲುಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಅಥವಾ ಕಾಕತಾಳೀಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಅನುಪಾತದ ಗುಣಾಂಕ "ಲ್ಯಾಂಬ್ಡಾ" ಅನ್ನು ಕೊಲಿನಿಯರ್ ದಿಕ್ಕಿನ ವಾಹಕಗಳ ಅನುಪಾತದಿಂದ ನೇರವಾಗಿ ನೋಡಲು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಮೀಕರಣಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮೂಲಕವೂ ಇದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು: .

ಈಗ ಸಮಾನತೆ ನಿಜವೇ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಎರಡೂ ಉಚಿತ ಪದಗಳು ಶೂನ್ಯ, ಆದ್ದರಿಂದ:

ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೌಲ್ಯವು ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅದನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ).

ಹೀಗಾಗಿ, ಸಾಲುಗಳು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ.

ಉತ್ತರ:

ಮೌಖಿಕವಾಗಿ ಚರ್ಚಿಸಿದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸೆಕೆಂಡುಗಳಲ್ಲಿ ಅಕ್ಷರಶಃ ಪರಿಹರಿಸಲು ನೀವು ಶೀಘ್ರದಲ್ಲೇ ಕಲಿಯುವಿರಿ (ಅಥವಾ ಈಗಾಗಲೇ ಕಲಿತಿದ್ದೀರಿ). ಈ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ, ನಾನು ಏನನ್ನೂ ನೀಡುವುದರಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಅರ್ಥವಿಲ್ಲ ಸ್ವತಂತ್ರ ನಿರ್ಧಾರ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅಡಿಪಾಯದಲ್ಲಿ ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರಮುಖ ಇಟ್ಟಿಗೆಯನ್ನು ಹಾಕುವುದು ಉತ್ತಮ:

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾದ ರೇಖೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರ್ಮಿಸುವುದು?

ಇದರ ಅಜ್ಞಾನಕ್ಕಾಗಿ ಸರಳವಾದ ಕಾರ್ಯನೈಟಿಂಗೇಲ್ ರಾಬರ್ ತೀವ್ರವಾಗಿ ಶಿಕ್ಷಿಸುತ್ತಾನೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2

ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ: ಅಜ್ಞಾತ ರೇಖೆಯನ್ನು ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸೋಣ. ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯು ಅವಳ ಬಗ್ಗೆ ಏನು ಹೇಳುತ್ತದೆ? ನೇರ ರೇಖೆಯು ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ರೇಖೆಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ನೇರ ರೇಖೆಯ "tse" ನ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ "de" ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸಹ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.

ನಾವು ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ಉತ್ತರ:

ಉದಾಹರಣೆ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಸರಳವಾಗಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಪರೀಕ್ಷೆಯು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಮುಂದಿನ ಹಂತಗಳು:

1) ಸಾಲುಗಳು ಒಂದೇ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತೇವೆ (ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಸರಳೀಕರಿಸದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳು ಕೊಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ).

2) ಪಾಯಿಂಟ್ ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.

ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಮೌಖಿಕವಾಗಿ ಸುಲಭವಾಗಿ ನಿರ್ವಹಿಸಬಹುದು. ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನೋಡಿ, ಮತ್ತು ನಿಮ್ಮಲ್ಲಿ ಅನೇಕರು ಯಾವುದೇ ರೇಖಾಚಿತ್ರವಿಲ್ಲದೆಯೇ ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಯನ್ನು ತ್ವರಿತವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತಾರೆ.

ಇಂದು ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಸೃಜನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಏಕೆಂದರೆ ನೀವು ಇನ್ನೂ ಬಾಬಾ ಯಾಗದೊಂದಿಗೆ ಸ್ಪರ್ಧಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅವಳು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ಎಲ್ಲಾ ರೀತಿಯ ಒಗಟುಗಳ ಪ್ರೇಮಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 3

ರೇಖೆಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ

ತರ್ಕಬದ್ಧ ಮತ್ತು ಅಷ್ಟೊಂದು ತರ್ಕಬದ್ಧವಾಗಿಲ್ಲ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಮಾರ್ಗಪರಿಹಾರಗಳು. ಕಡಿಮೆ ಮಾರ್ಗವು ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿದೆ.

ನಾವು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಅವರಿಗೆ ಹಿಂತಿರುಗುತ್ತೇವೆ. ಕಾಕತಾಳೀಯ ರೇಖೆಗಳ ಪ್ರಕರಣವು ಹೆಚ್ಚು ಆಸಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಶಾಲಾ ಪಠ್ಯಕ್ರಮ:

ಎರಡು ಸಾಲುಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ?

ನೇರವಾಗಿದ್ದರೆ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಿ, ನಂತರ ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು

ರೇಖೆಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ? ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

ಇಲ್ಲಿ ನೀವು ಹೋಗಿ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥಎರಡು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳುಇಬ್ಬರು ಅಪರಿಚಿತರೊಂದಿಗೆ- ಇವುಗಳು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಛೇದಿಸುವ (ಹೆಚ್ಚಾಗಿ) ​​ರೇಖೆಗಳು.

ಉದಾಹರಣೆ 4

ರೇಖೆಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಪರಿಹಾರ: ಪರಿಹರಿಸಲು ಎರಡು ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ - ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ.

ಗ್ರಾಫಿಕ್ ವಿಧಾನಕೊಟ್ಟಿರುವ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಸೆಳೆಯುವುದು ಮತ್ತು ರೇಖಾಚಿತ್ರದಿಂದ ನೇರವಾಗಿ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು:

ಇಲ್ಲಿ ನಮ್ಮ ಪಾಯಿಂಟ್: . ಪರಿಶೀಲಿಸಲು, ನೀವು ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ರೇಖೆಯ ಪ್ರತಿ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಬೇಕು, ಅವು ಅಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ, ನಾವು ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೋಡಿದ್ದೇವೆ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳುಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ, ಎರಡು ಅಪರಿಚಿತರು.

ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನವು ಸಹಜವಾಗಿ, ಕೆಟ್ಟದ್ದಲ್ಲ, ಆದರೆ ಗಮನಾರ್ಹ ಅನಾನುಕೂಲತೆಗಳಿವೆ. ಇಲ್ಲ, ಏಳನೇ ತರಗತಿಯ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಈ ರೀತಿ ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತಾರೆ ಎಂಬುದು ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ, ಸರಿಯಾದ ಮತ್ತು ನಿಖರವಾದ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ರಚಿಸಲು ಸಮಯ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಕೆಲವು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಅಷ್ಟು ಸುಲಭವಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಛೇದನದ ಬಿಂದುವು ನೋಟ್ಬುಕ್ ಹಾಳೆಯ ಹೊರಗೆ ಮೂವತ್ತನೇ ಸಾಮ್ರಾಜ್ಯದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲೋ ನೆಲೆಗೊಂಡಿರಬಹುದು.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಛೇದಕ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹುಡುಕುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ:

ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪದದಿಂದ-ಅವಧಿಯ ಸೇರ್ಪಡೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಯಿತು. ಸಂಬಂಧಿತ ಕೌಶಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲು, ಪಾಠವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು?

ಉತ್ತರ:

ಚೆಕ್ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿದೆ - ಛೇದಕ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸಬೇಕು.

ಉದಾಹರಣೆ 5

ರೇಖೆಗಳು ಛೇದಿಸಿದರೆ ಅವುಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹಲವಾರು ಹಂತಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. ಸ್ಥಿತಿಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ಇದು ಅಗತ್ಯವೆಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ:
1) ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.
2) ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.
3) ರೇಖೆಗಳ ಸಂಬಂಧಿತ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
4) ಸಾಲುಗಳು ಛೇದಿಸಿದರೆ, ಛೇದನದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯು ಅನೇಕರಿಗೆ ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿದೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು, ಮತ್ತು ನಾನು ಇದನ್ನು ಪದೇ ಪದೇ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುತ್ತೇನೆ.

ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರಮತ್ತು ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಉತ್ತರ:

ನಾವು ಪಾಠದ ಎರಡನೇ ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಹೋಗುವ ಮೊದಲು ಒಂದು ಜೋಡಿ ಬೂಟುಗಳು ಸಹ ಧರಿಸಿರಲಿಲ್ಲ:

ಲಂಬ ರೇಖೆಗಳು. ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಸಾಲಿಗೆ ಇರುವ ಅಂತರ.
ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ

ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಮತ್ತು ಅತ್ಯಂತ ಆರಂಭಿಸೋಣ ಪ್ರಮುಖ ಕಾರ್ಯ. ಮೊದಲ ಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರ್ಮಿಸುವುದು ಎಂದು ನಾವು ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಈಗ ಕೋಳಿ ಕಾಲುಗಳ ಮೇಲೆ ಗುಡಿಸಲು 90 ಡಿಗ್ರಿಗಳಷ್ಟು ತಿರುಗುತ್ತದೆ:

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಒಂದಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ರೇಖೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರ್ಮಿಸುವುದು?

ಉದಾಹರಣೆ 6

ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ: ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ ಅದು ತಿಳಿದಿದೆ. ರೇಖೆಯ ನಿರ್ದೇಶನ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಒಳ್ಳೆಯದು. ಸಾಲುಗಳು ಲಂಬವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಟ್ರಿಕ್ ಸರಳವಾಗಿದೆ:

ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು "ತೆಗೆದುಹಾಕುತ್ತೇವೆ" : , ಇದು ನೇರ ರೇಖೆಯ ನಿರ್ದೇಶನ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ಬಿಂದು ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸೋಣ:

ಉತ್ತರ:

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸ್ಕೆಚ್ ಅನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸೋಣ:

ಹಾಂ... ಕಿತ್ತಳೆ ಬಣ್ಣದ ಆಕಾಶ, ಕಿತ್ತಳೆ ಸಮುದ್ರ, ಕಿತ್ತಳೆ ಬಣ್ಣದ ಒಂಟೆ.

ಪರಿಹಾರದ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಪರಿಶೀಲನೆ:

1) ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ದಿಕ್ಕಿನ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸಹಾಯದಿಂದ ವಾಹಕಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನಸಾಲುಗಳು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಲಂಬವಾಗಿವೆ ಎಂಬ ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ ನಾವು ಬರುತ್ತೇವೆ: .

ಮೂಲಕ, ನೀವು ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು, ಇದು ಇನ್ನೂ ಸುಲಭವಾಗಿದೆ.

2) ಪಾಯಿಂಟ್ ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ .

ಪರೀಕ್ಷೆ, ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ, ಮೌಖಿಕವಾಗಿ ನಿರ್ವಹಿಸಲು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 7

ಸಮೀಕರಣವು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ಲಂಬ ರೇಖೆಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅವಧಿ.

ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಕ್ರಮಗಳಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಪಾಯಿಂಟ್ ಮೂಲಕ ಪರಿಹಾರ ಬಿಂದುವನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ.

ನಮ್ಮ ರೋಚಕ ಪ್ರಯಾಣ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ:

ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಸಾಲಿಗೆ ಅಂತರ

ನಮ್ಮ ಮುಂದೆ ನದಿಯ ನೇರ ಪಟ್ಟಿ ಇದೆ ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ಕಾರ್ಯವು ಕಡಿಮೆ ಮಾರ್ಗದಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ತಲುಪುವುದು. ಯಾವುದೇ ಅಡೆತಡೆಗಳಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಲಂಬವಾಗಿ ಚಲಿಸುವುದು ಅತ್ಯಂತ ಸೂಕ್ತವಾದ ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ರೇಖೆಗೆ ಇರುವ ಅಂತರವು ಲಂಬವಾದ ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ.

ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ದೂರವನ್ನು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಗ್ರೀಕ್ ಅಕ್ಷರ"ro", ಉದಾಹರಣೆಗೆ: - "em" ಬಿಂದುವಿನಿಂದ "de" ನೇರ ರೇಖೆಯ ಅಂತರ.

ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಸಾಲಿಗೆ ಅಂತರ ಸೂತ್ರದಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ

ಉದಾಹರಣೆ 8

ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಸಾಲಿಗೆ ಇರುವ ಅಂತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ಪರಿಹಾರ: ನೀವು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿರುವುದು ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಬದಲಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳುವುದು:

ಉತ್ತರ:

ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಮಾಡೋಣ:

ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ರೇಖೆಗೆ ಕಂಡುಬರುವ ದೂರವು ನಿಖರವಾಗಿ ಕೆಂಪು ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ. ನೀವು ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ರಚಿಸಿದರೆ ಚೆಕ್ಕರ್ ಪೇಪರ್ 1 ಘಟಕದ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ. = 1 ಸೆಂ (2 ಕೋಶಗಳು), ನಂತರ ದೂರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಆಡಳಿತಗಾರನೊಂದಿಗೆ ಅಳೆಯಬಹುದು.

ಅದೇ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಮತ್ತೊಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:

ಸರಳ ರೇಖೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುವ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. . ಹಂತಗಳನ್ನು ನೀವೇ ನಿರ್ವಹಿಸಲು ನಾನು ಸಲಹೆ ನೀಡುತ್ತೇನೆ, ಆದರೆ ಮಧ್ಯಂತರ ಫಲಿತಾಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ನಾನು ಪರಿಹಾರ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತೇನೆ:

1) ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ರೇಖೆಯನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

2) ರೇಖೆಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: .

ಈ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ಎರಡೂ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ.

3) ಬಿಂದುವು ವಿಭಾಗದ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಮಧ್ಯದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ನಾವು ತಿಳಿದಿದ್ದೇವೆ. ಮೂಲಕ ಒಂದು ವಿಭಾಗದ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರಗಳುನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಅಂತರವೂ 2.2 ಯೂನಿಟ್ ಆಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಒಳ್ಳೆಯದು.

ಇಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿ ತೊಂದರೆಗಳು ಉಂಟಾಗಬಹುದು, ಆದರೆ ಮೈಕ್ರೊಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಗೋಪುರದಲ್ಲಿ ಉತ್ತಮ ಸಹಾಯವಾಗಿದೆ, ಇದು ನಿಮಗೆ ಎಣಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು. ನಾನು ನಿಮಗೆ ಹಲವು ಬಾರಿ ಸಲಹೆ ನೀಡಿದ್ದೇನೆ ಮತ್ತು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇನೆ.

ಎರಡು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ?

ಉದಾಹರಣೆ 9

ಎರಡು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ನೀವೇ ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಇದು ಮತ್ತೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ನಾನು ನಿಮಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಸುಳಿವು ನೀಡುತ್ತೇನೆ: ಇದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅನಂತವಾದ ಹಲವು ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ. ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸುವುದು, ಆದರೆ ನಿಮಗಾಗಿ ಊಹಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುವುದು ಉತ್ತಮ, ನಿಮ್ಮ ಜಾಣ್ಮೆ ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗೊಂಡಿದೆ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ.

ಎರಡು ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮೂಲೆಯೂ ಜಂಬ್ ಆಗಿದೆ:


ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಸಣ್ಣ ಕೋನ ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರಿಂದ ಅದು ಚೂಪಾಗಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, ಕೆಂಪು ಚಾಪದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾದ ಕೋನವನ್ನು ಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಮತ್ತು ಅವನ "ಹಸಿರು" ನೆರೆಹೊರೆಯವರು ಅಥವಾ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಆಧಾರಿತ"ರಾಸ್ಪ್ಬೆರಿ" ಮೂಲೆಯಲ್ಲಿ.

ರೇಖೆಗಳು ಲಂಬವಾಗಿದ್ದರೆ, 4 ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೂ ಕೋನವನ್ನು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

ಕೋನಗಳು ಹೇಗೆ ಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ? ದೃಷ್ಟಿಕೋನ. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಕೋನವನ್ನು "ಸ್ಕ್ರೋಲ್" ಮಾಡುವ ದಿಕ್ಕು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ನಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಆಧಾರಿತ ಕೋನವನ್ನು ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ವೇಳೆ .

ನಾನು ಇದನ್ನು ನಿನಗೆ ಯಾಕೆ ಹೇಳಿದೆ? ಕೋನದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಪಡೆಯಬಹುದು ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ. ಸತ್ಯವೆಂದರೆ ನಾವು ಕೋನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವ ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ, ಅದು ಸುಲಭವಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮಬಹುದು ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಫಲಿತಾಂಶ, ಮತ್ತು ಇದು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಆಶ್ಚರ್ಯದಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಾರದು. ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕೋನವು ಕೆಟ್ಟದ್ದಲ್ಲ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಕೋನಕ್ಕಾಗಿ, ಬಾಣದೊಂದಿಗೆ (ಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ) ಅದರ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಮರೆಯದಿರಿ.

ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ?ಎರಡು ಕೆಲಸದ ಸೂತ್ರಗಳಿವೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 10

ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಪರಿಹಾರಮತ್ತು ವಿಧಾನ ಒಂದು

ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ:

ನೇರವಾಗಿದ್ದರೆ ಲಂಬವಾಗಿಲ್ಲ, ಅದು ಆಧಾರಿತಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಬಹುದು:

ನಾವು ಛೇದದ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಗಮನ ಹರಿಸೋಣ - ಇದು ನಿಖರವಾಗಿ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನನೇರ ರೇಖೆಗಳ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಿಸುವುದು:

ವೇಳೆ , ನಂತರ ಸೂತ್ರದ ಛೇದವು ಶೂನ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ವಾಹಕಗಳು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ರೇಖೆಗಳು ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಸೂತ್ರೀಕರಣದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ಲಂಬವಾಗಿರದ ಬಗ್ಗೆ ಮೀಸಲಾತಿ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ.

ಮೇಲಿನದನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ಎರಡು ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಔಪಚಾರಿಕಗೊಳಿಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ:

1) ರೇಖೆಗಳ ದಿಕ್ಕಿನ ವಾಹಕಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:
, ಅಂದರೆ ಸಾಲುಗಳು ಲಂಬವಾಗಿಲ್ಲ.

2) ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯಮೂಲೆಯನ್ನು ಸ್ವತಃ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸುಲಭ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಆರ್ಕ್ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ನ ವಿಚಿತ್ರತೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ (ನೋಡಿ. ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು):

ಉತ್ತರ:

ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ ನಾವು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ ಸರಿಯಾದ ಬೆಲೆ, ಹಾಗೆಯೇ ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯ (ಆದ್ಯತೆ ಎರಡೂ ಡಿಗ್ರಿ ಮತ್ತು ರೇಡಿಯನ್‌ಗಳಲ್ಲಿ), ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಬಳಸಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸರಿ, ಮೈನಸ್, ಮೈನಸ್, ದೊಡ್ಡ ವಿಷಯವಿಲ್ಲ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿವರಣೆ ಇಲ್ಲಿದೆ:

ಕೋನವು ನಕಾರಾತ್ಮಕ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಹೊರಹೊಮ್ಮಿರುವುದು ಆಶ್ಚರ್ಯವೇನಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಹೇಳಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸರಳ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಕೋನದ "ಬಿಚ್ಚುವುದು" ಅದರೊಂದಿಗೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಪ್ರಾರಂಭವಾಯಿತು.

ನೀವು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಧನಾತ್ಮಕ ಕೋನವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಬಯಸಿದರೆ, ನೀವು ರೇಖೆಗಳನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು, ಅಂದರೆ, ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ , ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ, ನೀವು ನೇರವಾಗಿ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಬೇಕು .

ನಾನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಹೇಳುತ್ತೇನೆ. ಎರಡು ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ ಕೋನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆಅವುಗಳ ದಿಕ್ಕಿನ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ದಿಕ್ಕಿನ ವಾಹಕಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನೀವು ನಿರ್ವಹಿಸಿದರೆ a = (x 1; y 1; z 1) ಮತ್ತು b = (x 2; y 2; z 2), ನಂತರ ನೀವು ಕೋನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್:

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಸೂತ್ರವು ಹೇಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡೋಣ:

ಕಾರ್ಯ. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ಘನದಲ್ಲಿ, E ಮತ್ತು F ಅಂಕಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ - ಕ್ರಮವಾಗಿ A 1 B 1 ಮತ್ತು B 1 C 1 ಅಂಚುಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳು. AE ಮತ್ತು BF ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಘನದ ಅಂಚನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸದ ಕಾರಣ, ನಾವು AB = 1 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿದ್ದೇವೆ. ನಾವು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇವೆ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು: ಮೂಲವು A ಹಂತದಲ್ಲಿದೆ, x, y, z ಅಕ್ಷಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ AB, AD ಮತ್ತು AA 1 ರ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ. ಯುನಿಟ್ ವಿಭಾಗವು AB = 1 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈಗ ನಮ್ಮ ಸಾಲುಗಳಿಗೆ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

ವೆಕ್ಟರ್ AE ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ನಮಗೆ A = (0; 0; 0) ಮತ್ತು E = (0.5; 0; 1) ಅಂಕಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ. ಪಾಯಿಂಟ್ ಇ ಎ 1 ಬಿ 1 ವಿಭಾಗದ ಮಧ್ಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ತುದಿಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವೆಕ್ಟರ್ AE ಯ ಮೂಲವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲದೊಂದಿಗೆ ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಆದ್ದರಿಂದ AE = (0.5; 0; 1).

ಈಗ BF ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಅಂತೆಯೇ, ನಾವು ಬಿ = (1; 0; 0) ಮತ್ತು ಎಫ್ = (1; 0.5; 1) ಅಂಕಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತೇವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಎಫ್ ಬಿ 1 ಸಿ 1 ವಿಭಾಗದ ಮಧ್ಯಭಾಗವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:
BF = (1 - 1; 0.5 - 0; 1 - 0) = (0; 0.5; 1).

ಆದ್ದರಿಂದ, ದಿಕ್ಕಿನ ವಾಹಕಗಳು ಸಿದ್ಧವಾಗಿವೆ. ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ದಿಕ್ಕಿನ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಆಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

ಕಾರ್ಯ. ನಿಯಮಿತ ತ್ರಿಕೋನ ಪ್ರಿಸ್ಮ್ ABCA 1 B 1 C 1 ನಲ್ಲಿ, ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಚುಗಳು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, D ಮತ್ತು E ಅಂಕಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ - ಕ್ರಮವಾಗಿ A 1 B 1 ಮತ್ತು B 1 C 1 ಅಂಚುಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳು. AD ಮತ್ತು BE ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪ್ರಮಾಣಿತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ: ಮೂಲವು A ಹಂತದಲ್ಲಿದೆ, x ಅಕ್ಷವನ್ನು AB, z - AA 1 ಉದ್ದಕ್ಕೂ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. y-ಅಕ್ಷವನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಿಸೋಣ ಇದರಿಂದ OXY ಪ್ಲೇನ್ ABC ಪ್ಲೇನ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಯುನಿಟ್ ವಿಭಾಗವು AB = 1 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಗತ್ಯವಿರುವ ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

ಮೊದಲಿಗೆ, ವೆಕ್ಟರ್ AD ಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಅಂಕಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ: A = (0; 0; 0) ಮತ್ತು D = (0.5; 0; 1), ಏಕೆಂದರೆ ಡಿ - ಎ 1 ಬಿ 1 ವಿಭಾಗದ ಮಧ್ಯಭಾಗ. ವೆಕ್ಟರ್ AD ಯ ಆರಂಭವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದರಿಂದ, ನಾವು AD = (0.5; 0; 1) ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಈಗ ವೆಕ್ಟರ್ BE ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಪಾಯಿಂಟ್ ಬಿ = (1; 0; 0) ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಸುಲಭ. ಪಾಯಿಂಟ್ ಇ ಜೊತೆ - ವಿಭಾಗದ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಸಿ 1 ಬಿ 1 - ಇದು ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ:

ಕಾರ್ಯ. ನಿಯಮಿತ ಷಡ್ಭುಜೀಯ ಪ್ರಿಸ್ಮ್‌ನಲ್ಲಿ ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಚುಗಳು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, K ಮತ್ತು L ಅಂಕಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ - ಕ್ರಮವಾಗಿ A 1 B 1 ಮತ್ತು B 1 C 1 ಅಂಚುಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳು . AK ಮತ್ತು BL ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ನಾವು ಪ್ರಿಸ್ಮ್‌ಗಾಗಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ: ನಾವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲವನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ತಳದ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಇರಿಸುತ್ತೇವೆ, x ಅಕ್ಷವನ್ನು FC ಉದ್ದಕ್ಕೂ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, y ಅಕ್ಷವನ್ನು AB ಮತ್ತು DE ವಿಭಾಗಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು z ಅಕ್ಷವನ್ನು ಲಂಬವಾಗಿ ಮೇಲಕ್ಕೆ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯುನಿಟ್ ವಿಭಾಗವು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ AB = 1 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಮಗೆ ಆಸಕ್ತಿಯ ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಬರೆಯೋಣ:

K ಮತ್ತು L ಅಂಕಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ A 1 B 1 ಮತ್ತು B 1 C 1 ವಿಭಾಗಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ ಮೂಲಕ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ. ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಾದ ಎಕೆ ಮತ್ತು ಬಿಎಲ್‌ಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ಈಗ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ಕಾರ್ಯ. ನಿಯಮಿತ ಚತುರ್ಭುಜದಲ್ಲಿ ಪಿರಮಿಡ್ SABCD, ಎಲ್ಲಾ ಅಂಚುಗಳು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂಕಗಳು E ಮತ್ತು F ಅನ್ನು ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ - ಕ್ರಮವಾಗಿ SB ಮತ್ತು SC ಬದಿಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳು. AE ಮತ್ತು BF ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪ್ರಮಾಣಿತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ: ಮೂಲವು A ಹಂತದಲ್ಲಿದೆ, x ಮತ್ತು y ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ AB ಮತ್ತು AD ಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು z ಅಕ್ಷವನ್ನು ಲಂಬವಾಗಿ ಮೇಲಕ್ಕೆ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಘಟಕ ವಿಭಾಗವು AB = 1 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

E ಮತ್ತು F ಅಂಕಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ SB ಮತ್ತು SC ವಿಭಾಗಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ತುದಿಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ. ನಮಗೆ ಆಸಕ್ತಿಯಿರುವ ಅಂಶಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಬರೆಯೋಣ:
A = (0; 0; 0); ಬಿ = (1; 0; 0)

ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ AE ಮತ್ತು BF ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ವೆಕ್ಟರ್ AE ಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಪಾಯಿಂಟ್ E ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಪಾಯಿಂಟ್ A ಮೂಲವಾಗಿದೆ. ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ: