ಸಮೀಕರಣಗಳು cos x a. ಇತರ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧ

ಐದನೇ ಶತಮಾನ BC ಯಲ್ಲಿ, ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಕ್ ತತ್ವಜ್ಞಾನಿ ಎಲೆಯಾದ ಝೆನೋ ತನ್ನ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಅಪೋರಿಯಾಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಿದನು, ಅದರಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾದ "ಅಕಿಲ್ಸ್ ಮತ್ತು ಆಮೆ" ಅಪೋರಿಯಾ. ಅದು ಹೇಗೆ ಧ್ವನಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಇಲ್ಲಿದೆ:

ಅಕಿಲ್ಸ್ ಆಮೆಗಿಂತ ಹತ್ತು ಪಟ್ಟು ವೇಗವಾಗಿ ಓಡುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಹಿಂದೆ ಸಾವಿರ ಹೆಜ್ಜೆಗಳಿವೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ. ಈ ದೂರವನ್ನು ಓಡಲು ಅಕಿಲ್ಸ್ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಆಮೆ ಅದೇ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ನೂರು ಹೆಜ್ಜೆಗಳನ್ನು ತೆವಳುತ್ತದೆ. ಅಕಿಲ್ಸ್ ನೂರು ಹೆಜ್ಜೆ ಓಡಿದಾಗ, ಆಮೆ ಇನ್ನೂ ಹತ್ತು ಹೆಜ್ಜೆ ತೆವಳುತ್ತದೆ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಅನಂತವಾಗಿ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ, ಅಕಿಲ್ಸ್ ಎಂದಿಗೂ ಆಮೆಯನ್ನು ಹಿಡಿಯುವುದಿಲ್ಲ.

ಈ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯು ಎಲ್ಲಾ ನಂತರದ ಪೀಳಿಗೆಗೆ ತಾರ್ಕಿಕ ಆಘಾತವಾಯಿತು. ಅರಿಸ್ಟಾಟಲ್, ಡಯೋಜಿನೆಸ್, ಕಾಂಟ್, ಹೆಗೆಲ್, ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್... ಇವರೆಲ್ಲರೂ ಒಂದಲ್ಲ ಒಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಝೆನೋನ ಅಪೋರಿಯಾವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದರು. ಆಘಾತವು ತುಂಬಾ ಪ್ರಬಲವಾಗಿತ್ತು " ... ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳ ಸಾರದ ಬಗ್ಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಭಿಪ್ರಾಯವನ್ನು ತಲುಪಲು ಚರ್ಚೆಗಳು ಇಂದಿಗೂ ಮುಂದುವರೆದಿದೆ ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಸಮುದಾಯಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ಅದು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಲ್ಲ... ನಾವು ಸಮಸ್ಯೆಯ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ತೊಡಗಿದ್ದೇವೆ ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ, ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಹೊಸ ಭೌತಿಕ ಮತ್ತು ತಾತ್ವಿಕ ವಿಧಾನಗಳು; ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೂ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸ್ವೀಕರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಪರಿಹಾರವಾಗಲಿಲ್ಲ ..."[ವಿಕಿಪೀಡಿಯಾ, "ಝೆನೋಸ್ ಅಪೋರಿಯಾ". ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ತಾವು ಮೂರ್ಖರಾಗುತ್ತಿದ್ದಾರೆಂದು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ, ಆದರೆ ವಂಚನೆಯು ಏನನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಯಾರೂ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ.

ಗಣಿತದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಝೆನೋ ತನ್ನ ಅಪೋರಿಯಾದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮಾಣದಿಂದ ವರೆಗಿನ ಪರಿವರ್ತನೆಯನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಿದನು. ಈ ಪರಿವರ್ತನೆಯು ಶಾಶ್ವತವಾದವುಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ನಾನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡಂತೆ, ಗಣಿತದ ಉಪಕರಣಮಾಪನದ ವೇರಿಯಬಲ್ ಘಟಕಗಳ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಇನ್ನೂ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ ಅಥವಾ ಝೆನೋದ ಅಪೋರಿಯಾಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ನಮ್ಮ ಸಾಮಾನ್ಯ ತರ್ಕವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದು ನಮ್ಮನ್ನು ಬಲೆಗೆ ಕೊಂಡೊಯ್ಯುತ್ತದೆ. ನಾವು, ಚಿಂತನೆಯ ಜಡತ್ವದಿಂದಾಗಿ, ಪರಸ್ಪರ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಯದ ನಿರಂತರ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ಜೊತೆಗೆ ಭೌತಿಕ ಬಿಂದುದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಅಕಿಲ್ಸ್ ಆಮೆಯನ್ನು ಹಿಡಿದ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಅದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿಲ್ಲುವವರೆಗೆ ಸಮಯ ನಿಧಾನವಾಗುತ್ತಿರುವಂತೆ ತೋರುತ್ತಿದೆ. ಸಮಯ ನಿಂತರೆ, ಅಕಿಲ್ಸ್ ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಆಮೆಯನ್ನು ಮೀರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

ನಾವು ನಮ್ಮ ಸಾಮಾನ್ಯ ತರ್ಕವನ್ನು ತಿರುಗಿಸಿದರೆ, ಎಲ್ಲವೂ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಬೀಳುತ್ತದೆ. ಅಕಿಲ್ಸ್ ಜೊತೆ ಓಡುತ್ತಾನೆ ಸ್ಥಿರ ವೇಗ. ಅವನ ಹಾದಿಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನಂತರದ ವಿಭಾಗವು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಹತ್ತು ಪಟ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಅದನ್ನು ಜಯಿಸಲು ಕಳೆದ ಸಮಯವು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಹತ್ತು ಪಟ್ಟು ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ನಾವು "ಅನಂತ" ಎಂಬ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿದರೆ, "ಅಕಿಲ್ಸ್ ಆಮೆಯನ್ನು ಅನಂತವಾಗಿ ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಹಿಡಿಯುತ್ತಾನೆ" ಎಂದು ಹೇಳುವುದು ಸರಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಈ ತಾರ್ಕಿಕ ಬಲೆ ತಪ್ಪಿಸುವುದು ಹೇಗೆ? ಒಳಗೆ ಇರಿ ಸ್ಥಿರ ಘಟಕಗಳುಸಮಯದ ಅಳತೆಗಳು ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಪ್ರಮಾಣಗಳಿಗೆ ಹೋಗಬೇಡಿ. ಝೆನೋ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಇದು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

ಅಕಿಲ್ಸ್ ಸಾವಿರ ಹೆಜ್ಜೆಗಳನ್ನು ಓಡಿಸಲು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಆಮೆ ಅದೇ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ನೂರು ಹೆಜ್ಜೆಗಳನ್ನು ತೆವಳುತ್ತದೆ. ಮುಂದಿನ ಸಮಯದ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ, ಮೊದಲನೆಯದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಕಿಲ್ಸ್ ಇನ್ನೂ ಸಾವಿರ ಹೆಜ್ಜೆಗಳನ್ನು ಓಡಿಸುತ್ತಾನೆ, ಮತ್ತು ಆಮೆ ನೂರು ಹೆಜ್ಜೆಗಳನ್ನು ತೆವಳುತ್ತದೆ. ಈಗ ಅಕಿಲ್ಸ್ ಆಮೆಗಿಂತ ಎಂಟು ನೂರು ಹೆಜ್ಜೆ ಮುಂದಿದ್ದಾರೆ.

ಈ ವಿಧಾನವು ಯಾವುದೇ ತಾರ್ಕಿಕ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳಿಲ್ಲದೆ ವಾಸ್ತವವನ್ನು ಸಮರ್ಪಕವಾಗಿ ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಹಾಗಲ್ಲ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರಸಮಸ್ಯೆಗಳು. ಬೆಳಕಿನ ವೇಗದ ಎದುರಿಸಲಾಗದ ಬಗ್ಗೆ ಐನ್‌ಸ್ಟೈನ್ ಹೇಳಿಕೆಯು ಝೆನೋನ ಅಪೋರಿಯಾ "ಅಕಿಲ್ಸ್ ಮತ್ತು ಆಮೆ" ಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ನಾವು ಇನ್ನೂ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಬೇಕು, ಪುನರ್ವಿಮರ್ಶಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕು. ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಅನಂತ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅಳತೆಯ ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ ಹುಡುಕಬೇಕು.

Zeno ನ ಮತ್ತೊಂದು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಅಪೋರಿಯಾ ಹಾರುವ ಬಾಣದ ಬಗ್ಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ:

ಹಾರುವ ಬಾಣವು ಚಲನರಹಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಪ್ರತಿ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ವಿಶ್ರಾಂತಿಯಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಪ್ರತಿ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ವಿಶ್ರಾಂತಿಯಲ್ಲಿರುವುದರಿಂದ ಅದು ಯಾವಾಗಲೂ ವಿಶ್ರಾಂತಿಯಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ.

ಈ ಅಪೋರಿಯಾದಲ್ಲಿ, ತಾರ್ಕಿಕ ವಿರೋಧಾಭಾಸವನ್ನು ಬಹಳ ಸರಳವಾಗಿ ನಿವಾರಿಸಲಾಗಿದೆ - ಪ್ರತಿ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಹಾರುವ ಬಾಣವು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ವಿವಿಧ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ವಿಶ್ರಾಂತಿ ಪಡೆಯುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಲು ಸಾಕು, ಅದು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಚಲನೆಯಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಇನ್ನೊಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು. ರಸ್ತೆಯಲ್ಲಿರುವ ಕಾರಿನ ಒಂದು ಛಾಯಾಚಿತ್ರದಿಂದ ಅದರ ಚಲನೆಯ ಸತ್ಯ ಅಥವಾ ಅದರ ಅಂತರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಅಸಾಧ್ಯ. ಒಂದು ಕಾರು ಚಲಿಸುತ್ತಿದೆಯೇ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ನಿಮಗೆ ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ತೆಗೆದ ಎರಡು ಛಾಯಾಚಿತ್ರಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ ವಿಭಿನ್ನ ಕ್ಷಣಗಳುಸಮಯ, ಆದರೆ ದೂರವನ್ನು ಅವರಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಕಾರಿಗೆ ದೂರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ನಿಮಗೆ ಎರಡು ಛಾಯಾಚಿತ್ರಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ ವಿವಿಧ ಅಂಕಗಳುಒಂದು ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಳಾವಕಾಶ, ಆದರೆ ಅವುಗಳಿಂದ ಚಲನೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಅಸಾಧ್ಯ (ನೈಸರ್ಗಿಕವಾಗಿ, ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಡೇಟಾ ಇನ್ನೂ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಗೆ ಅಗತ್ಯವಿದೆ, ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ). ನಾನು ಏನು ಸೂಚಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ ವಿಶೇಷ ಗಮನ, ಸಮಯದ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳು ಗೊಂದಲಕ್ಕೀಡಾಗಬಾರದು, ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ಸಂಶೋಧನೆಗೆ ವಿಭಿನ್ನ ಅವಕಾಶಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತವೆ.

ಬುಧವಾರ, ಜುಲೈ 4, 2018

ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ಮಲ್ಟಿಸೆಟ್ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ವಿಕಿಪೀಡಿಯಾದಲ್ಲಿ ಚೆನ್ನಾಗಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ನೋಡೋಣ.

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, "ಒಂದು ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಎರಡು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಅಂಶಗಳು ಇರಬಾರದು" ಆದರೆ ಒಂದು ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಅಂಶಗಳಿದ್ದರೆ, ಅಂತಹ ಗುಂಪನ್ನು "ಮಲ್ಟಿಸೆಟ್" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮಂಜಸವಾದ ಜೀವಿಗಳು ಅಂತಹ ಅಸಂಬದ್ಧ ತರ್ಕವನ್ನು ಎಂದಿಗೂ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. ಇದು ಮಟ್ಟವಾಗಿದೆ ಮಾತನಾಡುವ ಗಿಳಿಗಳುಮತ್ತು ತರಬೇತಿ ಪಡೆದ ಕೋತಿಗಳು, "ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ" ಪದದಿಂದ ಯಾವುದೇ ಬುದ್ಧಿವಂತಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಗಣಿತಜ್ಞರು ಸಾಮಾನ್ಯ ತರಬೇತುದಾರರಂತೆ ವರ್ತಿಸುತ್ತಾರೆ, ಅವರ ಅಸಂಬದ್ಧ ವಿಚಾರಗಳನ್ನು ನಮಗೆ ಬೋಧಿಸುತ್ತಾರೆ.

ಒಂದಾನೊಂದು ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಸೇತುವೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದ ಎಂಜಿನಿಯರ್‌ಗಳು ಸೇತುವೆಯ ಕೆಳಗೆ ದೋಣಿಯಲ್ಲಿ ಸೇತುವೆಯ ಪರೀಕ್ಷೆ ನಡೆಸುತ್ತಿದ್ದರು. ಸೇತುವೆ ಕುಸಿದರೆ, ಸಾಧಾರಣ ಎಂಜಿನಿಯರ್ ತನ್ನ ಸೃಷ್ಟಿಯ ಅವಶೇಷಗಳಡಿಯಲ್ಲಿ ಸತ್ತರು. ಸೇತುವೆಯು ಭಾರವನ್ನು ತಡೆದುಕೊಳ್ಳುವಂತಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಭಾವಂತ ಎಂಜಿನಿಯರ್ ಇತರ ಸೇತುವೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದರು.

ಗಣಿತಜ್ಞರು "ಸ್ಕ್ರೂ ಮಿ, ನಾನು ಮನೆಯಲ್ಲಿದ್ದೇನೆ" ಅಥವಾ "ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಅಧ್ಯಯನಗಳು" ಎಂಬ ಪದಗುಚ್ಛದ ಹಿಂದೆ ಹೇಗೆ ಮರೆಮಾಡಿದರೂ ಪರವಾಗಿಲ್ಲ. ಅಮೂರ್ತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು", ಒಂದು ಹೊಕ್ಕುಳಬಳ್ಳಿಯು ಅವುಗಳನ್ನು ವಾಸ್ತವದೊಂದಿಗೆ ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗದಂತೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಹೊಕ್ಕುಳಬಳ್ಳಿಯು ಹಣವಾಗಿದೆ. ಅನ್ವಯಿಸು ಗಣಿತದ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಣಿತಜ್ಞರಿಗೆ ಸ್ವತಃ ಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಗಣಿತವನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಈಗ ನಾವು ನಗದು ರಿಜಿಸ್ಟರ್‌ನಲ್ಲಿ ಕುಳಿತು ಸಂಬಳ ನೀಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಒಬ್ಬ ಗಣಿತಜ್ಞ ತನ್ನ ಹಣಕ್ಕಾಗಿ ನಮ್ಮ ಬಳಿಗೆ ಬರುತ್ತಾನೆ. ನಾವು ಅವನಿಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಎಣಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ನಮ್ಮ ಮೇಜಿನ ಮೇಲೆ ವಿವಿಧ ರಾಶಿಗಳಲ್ಲಿ ಇಡುತ್ತೇವೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ನಾವು ಒಂದೇ ಪಂಗಡದ ಬಿಲ್‌ಗಳನ್ನು ಹಾಕುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ ನಾವು ಪ್ರತಿ ಸ್ಟಾಕ್‌ನಿಂದ ಒಂದು ಬಿಲ್ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ಗಣಿತಜ್ಞರಿಗೆ ನೀಡುತ್ತೇವೆ. ಗಣಿತದ ಸೆಟ್ಸಂಬಳಗಳು." ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಅಂಶಗಳಿಲ್ಲದ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದಾಗ ಮಾತ್ರ ಉಳಿದ ಬಿಲ್‌ಗಳನ್ನು ಅವನು ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತಾನೆ ಎಂದು ನಾವು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ವಿವರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇಲ್ಲಿ ವಿನೋದವು ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ.

ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ನಿಯೋಗಿಗಳ ತರ್ಕವು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ: "ಇದನ್ನು ಇತರರಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ನನಗೆ ಅಲ್ಲ!" ನಂತರ ಅವರು ಒಂದೇ ಪಂಗಡದ ಬಿಲ್‌ಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಬಿಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ಭರವಸೆ ನೀಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತಾರೆ, ಅಂದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಸರಿ, ಸಂಬಳವನ್ನು ನಾಣ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಎಣಿಸೋಣ - ನಾಣ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಲ್ಲ. ಇಲ್ಲಿ ಗಣಿತಜ್ಞನು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಉದ್ರಿಕ್ತವಾಗಿ ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತಾನೆ: ವಿವಿಧ ನಾಣ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಇದೆ ವಿವಿಧ ಪ್ರಮಾಣಗಳುಮಣ್ಣು, ಸ್ಫಟಿಕ ರಚನೆಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ನಾಣ್ಯದಲ್ಲಿ ಪರಮಾಣುಗಳ ಜೋಡಣೆ ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆ...

ಮತ್ತು ಈಗ ನಾನು ಹೆಚ್ಚು ಹೊಂದಿದ್ದೇನೆ ಆಸಕ್ತಿ ಕೇಳಿ: ಮಲ್ಟಿಸೆಟ್‌ನ ಅಂಶಗಳು ಸೆಟ್‌ನ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಬದಲಾಗುವ ರೇಖೆಯು ಎಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ? ಅಂತಹ ಒಂದು ಸಾಲು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ - ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಶಾಮನ್ನರು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತಾರೆ, ವಿಜ್ಞಾನವು ಇಲ್ಲಿ ಸುಳ್ಳು ಹೇಳಲು ಸಹ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿಲ್ಲ.

ಇಲ್ಲಿ ನೋಡು. ನಾವು ಅದೇ ಮೈದಾನ ಪ್ರದೇಶದೊಂದಿಗೆ ಫುಟ್ಬಾಲ್ ಕ್ರೀಡಾಂಗಣಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ - ಇದರರ್ಥ ನಾವು ಮಲ್ಟಿಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಆದರೆ ಇದೇ ಸ್ಟೇಡಿಯಂಗಳ ಹೆಸರುಗಳನ್ನು ನೋಡಿದರೆ ನಮಗೆ ಹಲವು ಸಿಗುತ್ತವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಹೆಸರುಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ. ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಅಂಶಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ಮಲ್ಟಿಸೆಟ್ ಎರಡೂ ಆಗಿದೆ. ಯಾವುದು ಸರಿ? ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ ಗಣಿತಜ್ಞ-ಶಾಮನ್-ಶಾರ್ಪಿಸ್ಟ್ ತನ್ನ ತೋಳಿನಿಂದ ಟ್ರಂಪ್‌ಗಳ ಏಸ್ ಅನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ನಮಗೆ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಅಥವಾ ಮಲ್ಟಿಸೆಟ್ ಬಗ್ಗೆ ಹೇಳಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತಾನೆ. ಯಾವುದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅವರು ಸರಿ ಎಂದು ನಮಗೆ ಮನವರಿಕೆ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ.

ಆಧುನಿಕ ಶಾಮನ್ನರು ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದೊಂದಿಗೆ ಹೇಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತಾರೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ಅದನ್ನು ವಾಸ್ತವಕ್ಕೆ ಜೋಡಿಸಿ, ಒಂದು ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಿಸಲು ಸಾಕು: ಒಂದು ಗುಂಪಿನ ಅಂಶಗಳು ಮತ್ತೊಂದು ಗುಂಪಿನ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಹೇಗೆ ಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ? ನಾನು ನಿಮಗೆ ತೋರಿಸುತ್ತೇನೆ, ಯಾವುದೇ "ಒಂದೇ ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಲ್ಲ" ಅಥವಾ "ಒಂದೇ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ."

ಭಾನುವಾರ, ಮಾರ್ಚ್ 18, 2018

ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕೆಗಳ ಮೊತ್ತವು ತಂಬೂರಿಯೊಂದಿಗೆ ಶಾಮನ್ನರ ನೃತ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದು ಗಣಿತದೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಹೌದು, ಗಣಿತದ ಪಾಠಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಬಳಸಲು ನಮಗೆ ಕಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಅವರು ಶಾಮನ್ನರು, ಅವರ ವಂಶಸ್ಥರಿಗೆ ಅವರ ಕೌಶಲ್ಯ ಮತ್ತು ಬುದ್ಧಿವಂತಿಕೆಯನ್ನು ಕಲಿಸಲು, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಶಾಮನ್ನರು ಸಾಯುತ್ತಾರೆ.

ನಿಮಗೆ ಪುರಾವೆ ಬೇಕೇ? ವಿಕಿಪೀಡಿಯಾವನ್ನು ತೆರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು "ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕೆಗಳ ಮೊತ್ತ" ಪುಟವನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ. ಅವಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ. ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕಿಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸೂತ್ರವಿಲ್ಲ. ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳು, ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯುವ ಸಹಾಯದಿಂದ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಈ ರೀತಿ ಧ್ವನಿಸುತ್ತದೆ: "ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹುಡುಕಿ." ಗಣಿತಜ್ಞರು ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಶಾಮನ್ನರು ಇದನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಮಾಡಬಹುದು.

ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು ಏನು ಮತ್ತು ಹೇಗೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ ನೀಡಿದ ಸಂಖ್ಯೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು 12345 ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದೋಣ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಏನು ಮಾಡಬೇಕು? ಎಲ್ಲಾ ಹಂತಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

1. ಕಾಗದದ ತುಂಡು ಮೇಲೆ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ. ನಾವೇನು ​​ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ? ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂಕೇತವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಇದು ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಲ್ಲ.

2. ನಾವು ಒಂದು ಫಲಿತಾಂಶದ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಹಲವಾರು ಚಿತ್ರಗಳಾಗಿ ಕತ್ತರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಚಿತ್ರವನ್ನು ಕತ್ತರಿಸುವುದು ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಲ್ಲ.

3. ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಿ. ಇದು ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಲ್ಲ.

4. ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ. ಈಗ ಇದು ಗಣಿತ.

12345 ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕೆಗಳ ಮೊತ್ತವು 15 ಆಗಿದೆ. ಇವು ಗಣಿತಜ್ಞರು ಬಳಸುವ ಶಾಮನ್ನರು ಕಲಿಸುವ "ಕತ್ತರಿಸುವ ಮತ್ತು ಹೊಲಿಗೆ ಕೋರ್ಸ್‌ಗಳು". ಆದರೆ ಇಷ್ಟೇ ಅಲ್ಲ.

ಗಣಿತದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ನಾವು ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ ಎಂಬುದು ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ರಲ್ಲಿ ವಿವಿಧ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳುಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕೆಗಳ ಮೊತ್ತವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಲಕ್ಕೆ ಸಬ್‌ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್‌ನಂತೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಜೊತೆಗೆ ಒಂದು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆ 12345 ನನ್ನ ತಲೆಯನ್ನು ಮೋಸಗೊಳಿಸಲು ನಾನು ಬಯಸುವುದಿಲ್ಲ, ಬಗ್ಗೆ ಲೇಖನದಿಂದ 26 ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬೈನರಿ, ಅಷ್ಟಮ, ದಶಮಾಂಶ ಮತ್ತು ಹೆಕ್ಸಾಡೆಸಿಮಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಬರೆಯೋಣ. ನಾವು ಪ್ರತಿ ಹಂತವನ್ನು ಸೂಕ್ಷ್ಮದರ್ಶಕದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನೋಡುವುದಿಲ್ಲ; ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕೆಗಳ ಮೊತ್ತವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಫಲಿತಾಂಶಕ್ಕೂ ಗಣಿತಕ್ಕೂ ಯಾವುದೇ ಸಂಬಂಧವಿಲ್ಲ. ನೀವು ಮೀಟರ್ ಮತ್ತು ಸೆಂಟಿಮೀಟರ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಆಯತದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿದರೆ, ನೀವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ.

ಶೂನ್ಯವು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಂಕೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಇದು ಸತ್ಯದ ಪರವಾಗಿ ಮತ್ತೊಂದು ವಾದವಾಗಿದೆ. ಗಣಿತಜ್ಞರಿಗೆ ಪ್ರಶ್ನೆ: ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲದ ವಿಷಯವನ್ನು ಹೇಗೆ ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ? ಏನು, ಗಣಿತಜ್ಞರಿಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಏನೂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ? ನಾನು ಶಾಮನ್ನರಿಗೆ ಇದನ್ನು ಅನುಮತಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳಿಗೆ ಅಲ್ಲ. ರಿಯಾಲಿಟಿ ಕೇವಲ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಅಲ್ಲ.

ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮಾಪನದ ಘಟಕಗಳು ಎಂದು ಪುರಾವೆಯಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕು. ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ವಿವಿಧ ಘಟಕಗಳುಅಳತೆಗಳು. ಒಂದೇ ಪ್ರಮಾಣದ ಮಾಪನದ ವಿಭಿನ್ನ ಘಟಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಅದೇ ಕ್ರಮಗಳು ಅವುಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಿದ ನಂತರ ವಿಭಿನ್ನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾದರೆ, ಗಣಿತದೊಂದಿಗೆ ಇದಕ್ಕೂ ಯಾವುದೇ ಸಂಬಂಧವಿಲ್ಲ.

ನಿಜವಾದ ಗಣಿತ ಎಂದರೇನು? ಈ ವೇಳೆ ಫಲಿತಾಂಶ ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಸಂಖ್ಯೆಯ ಗಾತ್ರ, ಬಳಸಿದ ಅಳತೆಯ ಘಟಕ ಮತ್ತು ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಯಾರು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತಾರೆ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಬಾಗಿಲಿನ ಮೇಲೆ ಸಹಿ ಮಾಡಿ ಅವನು ಬಾಗಿಲು ತೆರೆದು ಹೇಳುತ್ತಾನೆ:

ಓಹ್! ಇದು ಮಹಿಳೆಯರ ಶೌಚಾಲಯವಲ್ಲವೇ?
- ಯುವತಿ! ಸ್ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಆರೋಹಣ ಮಾಡುವಾಗ ಆತ್ಮಗಳ ಅವಿನಾಭಾವ ಪವಿತ್ರತೆಯ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕಾಗಿ ಇದು ಪ್ರಯೋಗಾಲಯವಾಗಿದೆ! ಮೇಲೆ ಹಾಲೋ ಮತ್ತು ಮೇಲಕ್ಕೆ ಬಾಣ. ಬೇರೆ ಯಾವ ಶೌಚಾಲಯ?

ಹೆಣ್ಣು... ಮೇಲಿನ ಪ್ರಭಾವಲಯ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಬಾಣ ಪುರುಷ.

ಅಂತಹ ವಿನ್ಯಾಸದ ಕಲೆಯು ದಿನಕ್ಕೆ ಹಲವಾರು ಬಾರಿ ನಿಮ್ಮ ಕಣ್ಣುಗಳ ಮುಂದೆ ಹೊಳೆಯುತ್ತಿದ್ದರೆ,

ನಿಮ್ಮ ಕಾರಿನಲ್ಲಿ ನೀವು ಇದ್ದಕ್ಕಿದ್ದಂತೆ ವಿಚಿತ್ರ ಐಕಾನ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡರೆ ಆಶ್ಚರ್ಯವೇನಿಲ್ಲ:

ವೈಯಕ್ತಿಕವಾಗಿ, ನಾನು ಪೂಪಿಂಗ್ ವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಮೈನಸ್ ನಾಲ್ಕು ಡಿಗ್ರಿಗಳನ್ನು ನೋಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇನೆ (ಒಂದು ಚಿತ್ರ) (ಹಲವಾರು ಚಿತ್ರಗಳ ಸಂಯೋಜನೆ: ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆ, ಸಂಖ್ಯೆ ನಾಲ್ಕು, ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಪದನಾಮ). ಮತ್ತು ಈ ಹುಡುಗಿ ಮೂರ್ಖ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಇಲ್ಲ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಜ್ಞಾನವುಳ್ಳವರು. ಅವಳು ಕೇವಲ ಗ್ರಹಿಕೆಯ ಕಮಾನು ಸ್ಟೀರಿಯೊಟೈಪ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾಳೆ ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಚಿತ್ರಗಳು. ಮತ್ತು ಗಣಿತಜ್ಞರು ಇದನ್ನು ಸಾರ್ವಕಾಲಿಕ ನಮಗೆ ಕಲಿಸುತ್ತಾರೆ. ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ ಇಲ್ಲಿದೆ.

1A "ಮೈನಸ್ ನಾಲ್ಕು ಡಿಗ್ರಿ" ಅಥವಾ "ಒಂದು a" ಅಲ್ಲ. ಇದು "ಪೂಪಿಂಗ್ ಮ್ಯಾನ್" ಅಥವಾ ಹೆಕ್ಸಾಡೆಸಿಮಲ್ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ "ಇಪ್ಪತ್ತಾರು" ಸಂಖ್ಯೆ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವ ಜನರು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಅಕ್ಷರವನ್ನು ಒಂದು ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಚಿಹ್ನೆಯಾಗಿ ಗ್ರಹಿಸುತ್ತಾರೆ.

ಕೊಸೈನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ [-1; 1], ಅಂದರೆ. -1 ≤ cos α ≤ 1. ಆದ್ದರಿಂದ, ವೇಳೆ |a| > 1, ನಂತರ cos x = a ಸಮೀಕರಣವು ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, cos x = -1.5 ಸಮೀಕರಣವು ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

ಹಲವಾರು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

cos x = 1/2 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ.

cos x ಎಂಬುದು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ತ್ರಿಜ್ಯದೊಂದಿಗೆ ವೃತ್ತದ ಮೇಲಿನ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಎಂದು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ, ಪಾಯಿಂಟ್ P (1; 0) ಅನ್ನು ಮೂಲದ ಸುತ್ತಲೂ x ಕೋನದಿಂದ ತಿರುಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ 1/2 ವೃತ್ತದ M 1 ಮತ್ತು M 2 ನ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿದೆ. 1/2 = cos π/3 ರಿಂದ, ನಾವು ಪಾಯಿಂಟ್ P (1; 0) ನಿಂದ x 1 = π/3 ಕೋನದಿಂದ ತಿರುಗುವ ಮೂಲಕ ಪಾಯಿಂಟ್ M 1 ಅನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು, ಹಾಗೆಯೇ x = π/3 + 2πk, ಅಲ್ಲಿ k = +/-1, +/-2,…

ಪಾಯಿಂಟ್ M 2 ಅನ್ನು ಪಾಯಿಂಟ್ P (1; 0) ನಿಂದ x 2 = -π/3 ಕೋನದಿಂದ ತಿರುಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಹಾಗೆಯೇ ಕೋನಗಳಿಂದ -π/3 + 2πk, ಅಲ್ಲಿ k = +/-1, +/-2 ,...

ಆದ್ದರಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಬೇರುಗಳು cos ಸಮೀಕರಣಗಳು x = 1/2 ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು
x = π/3 + 2πk
x = -π/3 + 2πk,

ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದ ಎರಡು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಒಂದಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು:

x = +/-π/3 + 2πk, k € Z.

cos x = -1/2 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ.

M 1 ಮತ್ತು M 2 ವೃತ್ತದ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳು - 1/2 ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ರಿಂದ -1/2 = cos 2π/3, ನಂತರ ಕೋನ x 1 = 2π/3, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಕೋನ x 2 = -2π/3.

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, cos x = -1/2 ಸಮೀಕರಣದ ಎಲ್ಲಾ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು: x = +/-2π/3 + 2πk, k € Z.

ಹೀಗಾಗಿ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮೀಕರಣಗಳು cos x = 1/2 ಮತ್ತು cos x = -1/2 ಹೊಂದಿದೆ ಅನಂತ ಸೆಟ್ಬೇರುಗಳು. 0 ≤ x ≤ π ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ, ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮೀಕರಣವು ಕೇವಲ ಒಂದು ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ: x 1 = π/3 ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಾಗಿದೆ cos x = 1/2 ಮತ್ತು x 1 = 2π/3 ಸಮೀಕರಣ cos ನ ಮೂಲವಾಗಿದೆ. x = -1/2.

π/3 ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು 1/2 ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆರ್ಕೋಸಿನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ: ಆರ್ಕೋಸ್ 1/2 = π/3, ಮತ್ತು 2π/3 ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆರ್ಕೋಸಿನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (-1/2) ಮತ್ತು ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ : ಆರ್ಕೋಸ್ (-1/2) = 2π/3 .

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಸಮೀಕರಣವು cos x = a, ಅಲ್ಲಿ -1 ≤ a ≤ 1, ಮಧ್ಯಂತರ 0 ≤ x ≤ π ನಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ಒಂದು ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ≥ 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಮೂಲವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ; ಒಂದು ವೇಳೆ< 0, то в промежутке (π/2; π]. Этот корень называют арккосинусом числа а и обозначают: arccos а.

ಹೀಗಾಗಿ, ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆರ್ಕ್ ಕೊಸೈನ್ a € [-1; 1 ] ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ € ಅದರ ಕೊಸೈನ್ ಒಂದು ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಆರ್ಕೋಸ್ а = α, cos α = а ಮತ್ತು 0 ≤ а ≤ π (1).

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಆರ್ಕೋಸ್ √3/2 = π/6, ಏಕೆಂದರೆ cos π/6 = √3/2 ಮತ್ತು 0 ≤ π/6 ≤ π;
ಆರ್ಕೋಸ್ (-√3/2) = 5π/6, ಕಾಸ್ 5π/6 = -√3/2 ಮತ್ತು 0 ≤ 5π/6 ≤ π.

1 ಮತ್ತು 2 ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಮಾಡಿದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿಯೇ, ಸಮೀಕರಣದ ಎಲ್ಲಾ ಬೇರುಗಳು cos x = a, ಅಲ್ಲಿ |a| ≤ 1, ಸೂತ್ರದಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ

x = +/-ಆರ್ಕೋಸ್ a + 2 πn, n € Z (2).

cos x = -0.75 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ (2) ನಾವು x = +/-ಆರ್ಕೋಸ್ (-0.75) + 2 πn, n € Z ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಪ್ರೊಟ್ರಾಕ್ಟರ್ ಬಳಸಿ ಕೋನವನ್ನು ಅಳೆಯುವ ಮೂಲಕ ಆರ್ಕೋಸ್ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು (-0.75) ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಸರಿಸುಮಾರು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಆರ್ಕ್ ಕೊಸೈನ್‌ನ ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ವಿಶೇಷ ಕೋಷ್ಟಕಗಳು (ಬ್ರಾಡಿಸ್ ಕೋಷ್ಟಕಗಳು) ಅಥವಾ ಮೈಕ್ರೋಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಬಳಸಿ ಸಹ ಕಾಣಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಆರ್ಕೋಸ್ (-0.75) ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮೈಕ್ರೊಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್‌ನಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯ 2.4188583. ಆದ್ದರಿಂದ, ಆರ್ಕೋಸ್ (-0.75) ≈ 2.42. ಆದ್ದರಿಂದ, ಆರ್ಕೋಸ್ (-0.75) ≈ 139 °.

ಉತ್ತರ: ಆರ್ಕೋಸ್ (-0.75) ≈ 139°.

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ (4cos x – 1)(2cos 2x + 1) = 0.

ಪರಿಹಾರ.

1) 4cos x – 1 = 0, cos x = 1/4, x = +/-arcos 1/4 + 2 πn, n € Z.

2) 2cos 2x + 1 = 0, cos 2x = -1/2, 2x = +/-2π/3 + 2 πn, x = +/-π/3 + πn, n € Z.

ಉತ್ತರ. x = +/-ಆರ್ಕೋಸ್ 1/4 + 2 πn, x = +/-π/3 + πn.

ಯಾವುದೇ € [-1; 1] ಆರ್ಕೋಸ್ (-а) = π - ಆರ್ಕೋಸ್ а (3) ಸೂತ್ರವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಈ ಸೂತ್ರವು ಆರ್ಕ್ ಕೊಸೈನ್‌ಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳುಆರ್ಕ್ ಕೊಸೈನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೂಲಕ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

ಆರ್ಕೋಸ್ (-1/2) = π - ಆರ್ಕೋಸ್ 1/2 = π - π/3 = 2π/3;

ಆರ್ಕೋಸ್ (-√2/2) = π – ಆರ್ಕೋಸ್ √2/2 = π – π/4 = 3π/4

ಸೂತ್ರದಿಂದ (2) ಇದು ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, cos x = a = 0, a = 1 ಮತ್ತು a = -1 ಅನ್ನು ಸರಳ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು:

cos x = 0 x = π/2 + πn, n € Z (4)

cos x = 1 x = 2πn, n € Z (5)

cos x = -1 x = π + 2πn, n € Z (6).

ವೆಬ್‌ಸೈಟ್, ವಿಷಯವನ್ನು ಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅಥವಾ ಭಾಗಶಃ ನಕಲಿಸುವಾಗ, ಮೂಲಕ್ಕೆ ಲಿಂಕ್ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

\(\cos(⁡30^°)=\)\(\frac(\sqrt(3))(2)\)
\(\cos⁡\)\(\frac(π)(3)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\)
\(\cos⁡2=-0.416...\)

ವಾದ ಮತ್ತು ಅರ್ಥ

ತೀವ್ರ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್

ತೀವ್ರ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ಬಲ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು - ಇದು ಪಕ್ಕದ ಕಾಲಿನ ಹೈಪೋಟೆನ್ಯೂಸ್ಗೆ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ :

1) ಕೋನವನ್ನು ನೀಡೋಣ ಮತ್ತು ಈ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕು.

2) ಈ ಕೋನದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸೋಣ.

3) ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಬದಿಗಳನ್ನು ಅಳತೆ ಮಾಡಿದ ನಂತರ, ನಾವು ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು.

ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕೊಸೈನ್

ಸಂಖ್ಯೆಯ ವೃತ್ತವು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನೀವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ಹೇಗಾದರೂ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುವಿರಿ: \(\frac(π)(2)\) , \(\frac(3π)(4)\) , \(-2π\ ).

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, \(\frac(π)(6)\) ಸಂಖ್ಯೆಗೆ - ಕೊಸೈನ್ \(\frac(\sqrt(3))(2)\) ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಗೆ \(-\)\(\frac(3π)(4)\) ಇದು \(-\)\(\frac(\sqrt(2))(2)\) (ಅಂದಾಜು \) ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ (-0 ,71\)).

ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಎದುರಾಗುವ ಇತರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಕೊಸೈನ್‌ಗಾಗಿ, ನೋಡಿ.

ಕೊಸೈನ್ ಮೌಲ್ಯವು ಯಾವಾಗಲೂ \(-1\) ನಿಂದ \(1\) ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಕೋನ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು.

ಯಾವುದೇ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್

ಇವರಿಗೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳು ಸಂಖ್ಯೆ ವೃತ್ತನೀವು ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ಮಾತ್ರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ತೀವ್ರ ಕೋನ, ಆದರೆ ಮೊಂಡಾದ, ಋಣಾತ್ಮಕ, ಮತ್ತು \(360°\) ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ( ಪೂರ್ಣ ತಿರುವು) ಇದನ್ನು ಹೇಗೆ ಮಾಡುವುದು \(100\) ಬಾರಿ ಕೇಳುವುದಕ್ಕಿಂತ ಒಮ್ಮೆ ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ, ಆದ್ದರಿಂದ ಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡಿ.

ಈಗ ವಿವರಣೆ: ನಾವು ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕು ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ KOAಜೊತೆಗೆ ಪದವಿ ಅಳತೆ\(150°\) ನಲ್ಲಿ ಬಿಂದುವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವುದು ಬಗ್ಗೆವೃತ್ತದ ಮಧ್ಯಭಾಗದೊಂದಿಗೆ, ಮತ್ತು ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಸರಿ- \(x\) ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ. ಇದರ ನಂತರ, \(150°\) ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ ಪಕ್ಕಕ್ಕೆ ಇರಿಸಿ. ನಂತರ ಬಿಂದುವಿನ ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಎಈ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ನಮಗೆ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಡಿಗ್ರಿ ಅಳತೆಯೊಂದಿಗೆ ಕೋನದಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, \(-60°\) ನಲ್ಲಿ (ಕೋನ KOV), ನಾವು ಅದೇ ರೀತಿ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ಆದರೆ ನಾವು \(60°\) ಅನ್ನು ಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ ಹೊಂದಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಕೋನವು \(360°\) (ಕೋನ) ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಸಿಬಿಎಸ್) - ಎಲ್ಲವೂ ಮೂರ್ಖತನದಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ, ಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ ಪೂರ್ಣ ತಿರುವು ಪಡೆದ ನಂತರವೇ ನಾವು ಎರಡನೇ ವಲಯಕ್ಕೆ ಹೋಗಿ “ಪದವಿಗಳ ಕೊರತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಿರಿ”. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, \(405°\) ಕೋನವನ್ನು \(360° + 45°\) ಎಂದು ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಒಂದು ಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸಲು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, \(960°\) ನಲ್ಲಿ, ನೀವು ಎರಡು ತಿರುವುಗಳನ್ನು (\(360°+360°+240°\)) ಮತ್ತು \(2640 ರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕೋನವನ್ನು ಮಾಡಬೇಕು ಎಂದು ಊಹಿಸುವುದು ಸುಲಭ. °\) - ಸಂಪೂರ್ಣ ಏಳು.

ನೀವು ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದಾದಂತೆ, ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕೊಸೈನ್ ಮತ್ತು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಎರಡನ್ನೂ ಬಹುತೇಕ ಒಂದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಪಾಯಿಂಟ್ ಕಂಡುಬರುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕ್ವಾರ್ಟರ್ಸ್ ಮೂಲಕ ಕೊಸೈನ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳು

ಕೊಸೈನ್ ಅಕ್ಷವನ್ನು ಬಳಸಿ (ಅಂದರೆ, ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಕೆಂಪು ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಲಾದ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷ), ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ (ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ) ವೃತ್ತದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಕೊಸೈನ್ಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಸುಲಭ:

ಅಕ್ಷದ ಮೇಲಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳು \(0\) ನಿಂದ \(1\) ವರೆಗೆ ಇದ್ದರೆ, ಕೊಸೈನ್ ಪ್ಲಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (I ಮತ್ತು IV ಕ್ವಾರ್ಟರ್ಸ್ - ಹಸಿರು ಪ್ರದೇಶ),
- ಅಕ್ಷದ ಮೇಲಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳು \(0\) ನಿಂದ \(-1\) ವರೆಗೆ ಇದ್ದರೆ, ಕೊಸೈನ್ ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (II ಮತ್ತು III ಕ್ವಾರ್ಟರ್ಸ್ - ನೇರಳೆ ಪ್ರದೇಶ).

ಇತರ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧ:

- ಅದೇ ಕೋನ (ಅಥವಾ ಸಂಖ್ಯೆ): ಮುಖ್ಯ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಗುರುತು\(\sin^2⁡x+\cos^2⁡x=1\)
- ಅದೇ ಕೋನ (ಅಥವಾ ಸಂಖ್ಯೆ): ಸೂತ್ರದ ಮೂಲಕ \(1+tg^2⁡x=\)\(\frac(1)(\cos^2⁡x)\)
- ಮತ್ತು ಅದೇ ಕೋನದ ಸೈನ್ (ಅಥವಾ ಸಂಖ್ಯೆ): \(ctgx=\)\(\frac(\cos(x))(\sin⁡x)\)
ಇತರ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸುವ ಸೂತ್ರಗಳಿಗಾಗಿ, ನೋಡಿ.

ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರ \(\cos⁡x=a\)

ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವು \(\cos⁡x=a\), ಇಲ್ಲಿ \(a\) ಸಂಖ್ಯೆಯು \(1\) ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿಲ್ಲ ಮತ್ತು \(-1\) ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ. \(a∈[-1;1]\):

\(\cos ⁡x=a\) \(⇔\) \(x=±\arccos⁡a+2πk, k∈Z\)

ಒಂದು ವೇಳೆ \(a>1\) ಅಥವಾ \(a<-1\), то решений у уравнения нет.

ಉದಾಹರಣೆ . ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ \(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\).
ಪರಿಹಾರ:

ಸಂಖ್ಯೆಯ ವೃತ್ತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ:
1) ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ.
2) ವೃತ್ತವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ.
3) ಕೊಸೈನ್ ಅಕ್ಷದಲ್ಲಿ (ಅಕ್ಷ \(y\)) ಪಾಯಿಂಟ್ \(\frac(1)(2)\) .
4) ಈ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಕೊಸೈನ್ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಎಳೆಯಿರಿ.
5) ಲಂಬ ಮತ್ತು ವೃತ್ತದ ಛೇದಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ.
6) ಈ ಬಿಂದುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಹಿ ಮಾಡೋಣ: \(\frac(π)(3)\) ,\(-\)\(\frac(π)(3)\) .
7) \(x=t+2πk\), \(k∈Z\) ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬರೆಯೋಣ:
\(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\);

ಉತ್ತರ: \(x=±\frac(π)(3)+2πk\) \(k∈Z\)

ಕಾರ್ಯ \(y=\cos(x)\)

ನಾವು \(x\) ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ರೇಡಿಯನ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಕೋನಗಳನ್ನು ಮತ್ತು \(y\) ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಈ ಕೋನಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಕೊಸೈನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಈ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ x ನ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ: \(D(\cos(⁡x))=R\)
- ಮೌಲ್ಯಗಳ ಶ್ರೇಣಿ - \(-1\) ನಿಂದ \(1\) ವರೆಗೆ: \(E(\cos(x))=[-1;1]\)
- ಸಹ: \(\cos⁡(-x)=\cos(x)\)
- ಅವಧಿಯೊಂದಿಗೆ ಆವರ್ತಕ \(2π\): \(\cos⁡(x+2π)=\cos(x)\)
- ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳೊಂದಿಗೆ ಛೇದನದ ಬಿಂದುಗಳು:
abscissa axis: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+πn\),\(;0)\), ಅಲ್ಲಿ \(n ϵ Z\)
Y ಅಕ್ಷ: \((0;1)\)
- ಚಿಹ್ನೆಯ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು:
ಕಾರ್ಯವು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ: \((-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\) \(\frac(π)(2)\) \(+2πn) \), ಅಲ್ಲಿ \(n ϵ Z\)
ಕಾರ್ಯವು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\)\(\frac(3π)(2)\) \(+2πn)\ ), ಅಲ್ಲಿ \(n ϵ Z\)
- ಹೆಚ್ಚಳ ಮತ್ತು ಇಳಿಕೆಯ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು:
ಕಾರ್ಯವು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ: \((π+2πn;2π+2πn)\), ಅಲ್ಲಿ \(n ϵ Z\)
ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ: \((2πn;π+2πn)\), ಅಲ್ಲಿ \(n ϵ Z\)
- ಕಾರ್ಯದ ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ:
ಕಾರ್ಯವು \(x=2πn\) ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ \(y=1\), ಅಲ್ಲಿ \(n ϵ Z\)
ಕಾರ್ಯವು \(x=π+2πn\) ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ \(y=-1\) ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ \(n ϵ Z\).

ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

\(2\sin(⁡x) = \sqrt(3)\)
tg\((3x)=-\) \(\frac(1)(\sqrt(3))\)
\(4\cos^2⁡x+4\sin⁡x-1=0\)
\(\cos⁡4x+3\cos⁡2x=1\)

ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು:

ಯಾವುದೇ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಕಾರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಬೇಕು:

\(\sin⁡t=a\), \(\cos⁡t=a\), tg\(t=a\), ctg\(t=a\)

ಇಲ್ಲಿ \(t\) ಒಂದು x ಜೊತೆಗಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ, \(a\) ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸರಳವಾದ. () ಅಥವಾ ವಿಶೇಷ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅವುಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು:

ಉದಾಹರಣೆ . ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ \(\sin⁡x=-\)\(\frac(1)(2)\).
ಪರಿಹಾರ:

ಉತ್ತರ: \(\ಎಡ[ \begin(gathered)x=-\frac(π)(6)+2πk, \\ x=-\frac(5π)(6)+2πn, \end(ಸಂಗ್ರಹಿಸಲಾಗಿದೆ)\ಬಲ.\) \(k,n∈Z\)

ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬೇರುಗಳ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅರ್ಥವೇನು, ನೋಡಿ.

ಗಮನ!\(\sin⁡x=a\) ಮತ್ತು \(\cos⁡x=a\) ಸಮೀಕರಣಗಳು \(a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)\) ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಏಕೆಂದರೆ ಯಾವುದೇ x ಗಾಗಿ ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ \(-1\) ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು \(1\) ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

\(-1≤\sin x≤1\) \(-1≤\cos⁡x≤1\)

ಉದಾಹರಣೆ . \(\cos⁡x=-1,1\) ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.
ಪರಿಹಾರ: \(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
ಉತ್ತರ : ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳಿಲ್ಲ.

ಉದಾಹರಣೆ . ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣ tg\(⁡x=1\) ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.
ಪರಿಹಾರ:

ಸಂಖ್ಯೆಯ ವೃತ್ತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ: 1) ವೃತ್ತವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ) 2) ಅಕ್ಷಗಳು \(x\) ಮತ್ತು \(y\) ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಅಕ್ಷವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ (ಇದು \(0;1)\) ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ. 3) ಸ್ಪರ್ಶಕ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ, ಪಾಯಿಂಟ್ \(1\) ಅನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ. 4) ಈ ಬಿಂದು ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲವನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸಿ - ನೇರ ರೇಖೆ. 5) ಈ ರೇಖೆಯ ಛೇದಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಯ ವೃತ್ತವನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ. 6) ಈ ಬಿಂದುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಹಿ ಮಾಡೋಣ: \(\frac(π)(4)\) ,\(\frac(5π)(4)\) 7) ಈ ಬಿಂದುಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ. ಅವು ಪರಸ್ಪರ ನಿಖರವಾಗಿ \(π\) ದೂರದಲ್ಲಿ ಇರುವುದರಿಂದ, ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು:

ಉತ್ತರ: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πk\), \(k∈Z\).

ಉದಾಹರಣೆ . ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ \(\cos⁡(3x+\frac(π)(4))=0\).
ಪರಿಹಾರ:

ಸಂಖ್ಯೆ ವೃತ್ತವನ್ನು ಮತ್ತೆ ಬಳಸೋಣ. 1) ವೃತ್ತವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ, ಅಕ್ಷಗಳು \(x\) ಮತ್ತು \(y\). 2) ಕೊಸೈನ್ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ (\(x\) ಅಕ್ಷ), ಗುರುತು \(0\). 3) ಈ ಹಂತದ ಮೂಲಕ ಕೊಸೈನ್ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಎಳೆಯಿರಿ. 4) ಲಂಬ ಮತ್ತು ವೃತ್ತದ ಛೇದಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ. 5) ಈ ಬಿಂದುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಹಿ ಮಾಡೋಣ: \(-\) \(\frac(π)(2)\),\(\frac(π)(2)\). 6) ನಾವು ಈ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಕೊಸೈನ್‌ಗೆ ಸಮೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ (ಕೊಸೈನ್‌ನ ಒಳಗಡೆ ಏನು). \(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\) \(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x+\)\(\frac(\frac( π)(4)\) \(=-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) 8) ಎಂದಿನಂತೆ, ನಾವು \(x\) ಅನ್ನು ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ. \(π\), ಹಾಗೆಯೇ \(1\), \(2\), \(\frac(1)(4)\), ಇತ್ಯಾದಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಮರೆಯಬೇಡಿ. ಇವುಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಂತೆಯೇ ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ. ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ತಾರತಮ್ಯವಿಲ್ಲ! \(3x=-\)\(\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=-\)\ (\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\) \(3x=-\)\(\frac(3π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\) \(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\)

ಉತ್ತರ: \(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) , \(k∈Z\).

ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದು ಸೃಜನಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇಲ್ಲಿ ನೀವು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ವಿಶೇಷ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ:
- ವಿಧಾನ (ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಜನಪ್ರಿಯವಾಗಿದೆ).
- ವಿಧಾನ.
- ಸಹಾಯಕ ವಾದಗಳ ವಿಧಾನ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ

ಉದಾಹರಣೆ . ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ \(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)
ಪರಿಹಾರ:

\(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)	ಬದಲಿಯನ್ನು ಮಾಡೋಣ \(t=\cos⁡x\).
	ನಮ್ಮ ಸಮೀಕರಣವು ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ನೀವು ಅದನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು.
\(D=25-4 \cdot 2 \cdot 2=25-16=9\)
\(t_1=\)\(\frac(5-3)(4)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\) ; \(t_2=\)\(\frac(5+3)(4)\) \(=2\)	ನಾವು ರಿವರ್ಸ್ ಬದಲಿ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.
\(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\); \(\cos⁡x=2\)	ಸಂಖ್ಯೆಯ ವೃತ್ತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಎರಡನೆಯ ಸಮೀಕರಣವು ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ \(\cos⁡x∈[-1;1]\) ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ x ಗೆ ಎರಡು ಸಮಾನವಾಗಿರಬಾರದು.
	ಈ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಇರುವ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯೋಣ.

ಉತ್ತರ: \(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\).

ODZ ಅಧ್ಯಯನದೊಂದಿಗೆ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆ:

ಉದಾಹರಣೆ (ಯುಎಸ್ಇ) . ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ \(=0\)

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	ಒಂದು ಭಾಗವಿದೆ ಮತ್ತು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ ಇದೆ - ಅಂದರೆ ನಾವು ಅದನ್ನು ಬರೆಯಬೇಕಾಗಿದೆ. ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಒಂದು ಭಾಗ ಎಂದು ನಾನು ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ: ctg\(x=\)\(\frac(\cos⁡x)(\sin⁡x)\) ಆದ್ದರಿಂದ, ctg\(x\): \(\sin⁡x≠0\) ಗಾಗಿ ODZ.
ODZ: ctg\(x ≠0\); \(\sin⁡x≠0\) \(x≠±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\); \(x≠πn\); \(k,n∈Z\)	ಸಂಖ್ಯೆಯ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ "ಪರಿಹಾರ-ಅಲ್ಲದ" ವನ್ನು ಗುರುತಿಸೋಣ.
\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	ctg\(x\) ನಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿನ ಛೇದವನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕೋಣ. ನಾವು ಇದನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ನಾವು ctg\(x ≠0\) ಮೇಲೆ ಬರೆದಿದ್ದೇವೆ.
\(2\cos^2⁡x-\sin⁡(2x)=0\)	ಸೈನ್‌ಗಾಗಿ ಡಬಲ್ ಕೋನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸೋಣ: \(\sin⁡(2x)=2\sin⁡x\cos⁡x\).
\(2\cos^2⁡x-2\sin⁡x\cos⁡x=0\)	ನಿಮ್ಮ ಕೈಗಳು ಕೊಸೈನ್‌ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಲು ತಲುಪಿದರೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಹಿಂದಕ್ಕೆ ಎಳೆಯಿರಿ! ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗದಿದ್ದರೆ ನೀವು ವೇರಿಯಬಲ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇವುಗಳು: \(x^2+1.5^x\)). ಬದಲಿಗೆ, \(\cos⁡x\) ಅನ್ನು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ಹೊರಗಿಡೋಣ.
\(\cos⁡x (2\cos⁡x-2\sin⁡x)=0\)	ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಎರಡು ಭಾಗಗಳಾಗಿ "ವಿಭಜಿಸೋಣ".
\(\cos⁡x=0\); \(2\cos⁡x-2\sin⁡x=0\)	ಸಂಖ್ಯೆ ವೃತ್ತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ. ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು \(2\) ರಿಂದ ಭಾಗಿಸೋಣ ಮತ್ತು \(\sin⁡x\) ಅನ್ನು ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ಸರಿಸೋಣ.
\(x=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\). \(\cos⁡x=\sin⁡x\)	ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬೇರುಗಳನ್ನು ODZ ನಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಬರೆಯುವುದಿಲ್ಲ. ಎರಡನೆಯ ಸಮೀಕರಣವು ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಅದನ್ನು \(\sin⁡x\) (\(\sin⁡x=0\) ನಿಂದ ಭಾಗಿಸೋಣ ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ \(\cos⁡x=1\) ಅಥವಾ \(\cos⁡) ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವಾಗುವುದಿಲ್ಲ x=-1\)).
	ನಾವು ಮತ್ತೆ ವೃತ್ತವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.
\(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\)	ಈ ಬೇರುಗಳನ್ನು ODZ ನಿಂದ ಹೊರಗಿಡಲಾಗಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ನೀವು ಅವುಗಳನ್ನು ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು.

ಉತ್ತರ: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\).

ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸುಲಭದ ವಿಷಯವಲ್ಲ. ಅವು ತುಂಬಾ ವೈವಿಧ್ಯಮಯವಾಗಿವೆ.) ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇವು:

sin 2 x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = cot(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

ಇತ್ಯಾದಿ...

ಆದರೆ ಈ (ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಇತರ) ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ರಾಕ್ಷಸರು ಎರಡು ಸಾಮಾನ್ಯ ಮತ್ತು ಕಡ್ಡಾಯ ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ. ಮೊದಲನೆಯದು - ನೀವು ಅದನ್ನು ನಂಬುವುದಿಲ್ಲ - ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳಿವೆ.) ಎರಡನೆಯದು: x ನೊಂದಿಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ ಇದೇ ಕಾರ್ಯಗಳ ಒಳಗೆ.ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ! X ಎಲ್ಲೋ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡರೆ ಹೊರಗೆ,ಉದಾಹರಣೆಗೆ, sin2x + 3x = 3,ಇದು ಈಗಾಗಲೇ ಮಿಶ್ರ ಪ್ರಕಾರದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ವೈಯಕ್ತಿಕ ವಿಧಾನದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಈ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ನಾವು ದುಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದಿಲ್ಲ.) ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತೇವೆ ಸರಳವಾದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು.ಏಕೆ? ಹೌದು ಏಕೆಂದರೆ ಪರಿಹಾರ ಯಾವುದಾದರುತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಎರಡು ಹಂತಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ. ಮೊದಲ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ವಿವಿಧ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಮೂಲಕ ದುಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡನೆಯದರಲ್ಲಿ, ಈ ಸರಳವಾದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ದಾರಿಯಿಲ್ಲ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ನೀವು ಎರಡನೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಮೊದಲ ಹಂತವು ಹೆಚ್ಚು ಅರ್ಥವಿಲ್ಲ.)

ಪ್ರಾಥಮಿಕ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಹೇಗೆ ಕಾಣುತ್ತವೆ?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

ಇಲ್ಲಿ ಎ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಯಾವುದಾದರು.

ಮೂಲಕ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಒಳಗೆ ಶುದ್ಧ X ಇಲ್ಲದಿರಬಹುದು, ಆದರೆ ಕೆಲವು ರೀತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ, ಹಾಗೆ:

cos(3x+π /3) = 1/2

ಇತ್ಯಾದಿ ಇದು ಜೀವನವನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವುದಿಲ್ಲ.

ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು?

ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಎರಡು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಮೊದಲ ಮಾರ್ಗ: ತರ್ಕ ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ವೃತ್ತವನ್ನು ಬಳಸುವುದು. ನಾವು ಈ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಎರಡನೆಯ ಮಾರ್ಗ - ಮೆಮೊರಿ ಮತ್ತು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು - ಮುಂದಿನ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗುವುದು.

ಮೊದಲ ಮಾರ್ಗವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಮರೆಯಲು ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿದೆ.) ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ರೀತಿಯ ಟ್ರಿಕಿ ಪ್ರಮಾಣಿತವಲ್ಲದ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ಒಳ್ಳೆಯದು. ತರ್ಕವು ಸ್ಮರಣೆಗಿಂತ ಪ್ರಬಲವಾಗಿದೆ!)

ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ವೃತ್ತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು.

ನಾವು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ತರ್ಕ ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ವೃತ್ತವನ್ನು ಬಳಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಹೇಗೆ ಎಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲವೇ? ಆದಾಗ್ಯೂ... ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ನಿಮಗೆ ಕಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ...) ಆದರೆ ಇದು ಅಪ್ರಸ್ತುತವಾಗುತ್ತದೆ. ಪಾಠಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ "ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ವೃತ್ತ...... ಅದು ಏನು?" ಮತ್ತು "ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಕೋನಗಳನ್ನು ಅಳೆಯುವುದು." ಅಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವೂ ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ...)

ಓಹ್, ನಿಮಗೆ ಗೊತ್ತಾ!? ಮತ್ತು "ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ವೃತ್ತದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಕೆಲಸ" ಸಹ ಮಾಸ್ಟರಿಂಗ್!? ಅಭಿನಂದನೆಗಳು. ಈ ವಿಷಯವು ನಿಮಗೆ ಹತ್ತಿರ ಮತ್ತು ಅರ್ಥವಾಗುವಂತಹದ್ದಾಗಿದೆ.) ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಸಂತೋಷಕರವಾದದ್ದು ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ವೃತ್ತವು ನೀವು ಯಾವ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೀರಿ ಎಂಬುದರ ಬಗ್ಗೆ ಕಾಳಜಿ ವಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್, ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್, ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ - ಎಲ್ಲವೂ ಅವನಿಗೆ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದೇ ಒಂದು ಪರಿಹಾರ ತತ್ವವಿದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಯಾವುದೇ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಕನಿಷ್ಠ ಇದು:

cosx = 0.5

ನಾವು X ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಮಾನವ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಮಾತನಾಡುವುದು, ನಿಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿದೆ ಕೋಸೈನ್ 0.5 ಆಗಿರುವ ಕೋನವನ್ನು (x) ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ನಾವು ಹಿಂದೆ ವೃತ್ತವನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಳಸಿದ್ದೇವೆ? ನಾವು ಅದರ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಕೋನವನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಡಿಗ್ರಿ ಅಥವಾ ರೇಡಿಯನ್‌ಗಳಲ್ಲಿ. ಮತ್ತು ಈಗಿನಿಂದಲೇ ಕಂಡಿತು ಈ ಕೋನದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು. ಈಗ ನಾವು ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಮಾಡೋಣ. 0.5 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಮತ್ತು ತಕ್ಷಣವೇ ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ಸೆಳೆಯೋಣ ಸರಿ ನೊಡೋಣ ಮೂಲೆಯಲ್ಲಿ. ಉತ್ತರವನ್ನು ಬರೆಯಲು ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆ.) ಹೌದು, ಹೌದು!

ವೃತ್ತವನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು 0.5 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿ ಗುರುತಿಸಿ. ಕೊಸೈನ್ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ, ಸಹಜವಾಗಿ. ಹೀಗೆ:

ಈಗ ಈ ಕೊಸೈನ್ ನಮಗೆ ನೀಡುವ ಕೋನವನ್ನು ಸೆಳೆಯೋಣ. ಚಿತ್ರದ ಮೇಲೆ ನಿಮ್ಮ ಮೌಸ್ ಅನ್ನು ಸುಳಿದಾಡಿ (ಅಥವಾ ನಿಮ್ಮ ಟ್ಯಾಬ್ಲೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಿಸಿ), ಮತ್ತು ನೀವು ನೋಡುತ್ತೀರಿಈ ಮೂಲೆಯಲ್ಲಿ X.

ಯಾವ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ 0.5 ಆಗಿದೆ?

x = π /3

cos 60°= cos( π /3) = 0,5

ಕೆಲವರು ಸಂದೇಹದಿಂದ ನಕ್ಕರು, ಹೌದು ... ಹಾಗೆ, ಎಲ್ಲವೂ ಈಗಾಗಲೇ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದಾಗ ವೃತ್ತವನ್ನು ಮಾಡುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆಯೇ ... ನೀವು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ನಕ್ಕಬಹುದು ...) ಆದರೆ ಇದು ತಪ್ಪಾದ ಉತ್ತರವಾಗಿದೆ. ಅಥವಾ ಬದಲಿಗೆ, ಸಾಕಷ್ಟಿಲ್ಲ. 0.5 ರ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ನೀಡುವ ಇತರ ಕೋನಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗುಂಪೇ ಇಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ವೃತ್ತದ ಅಭಿಜ್ಞರು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ.

ನೀವು ಚಲಿಸುವ ಬದಿಯನ್ನು ತಿರುಗಿಸಿದರೆ OA ಪೂರ್ಣ ತಿರುವು, ಪಾಯಿಂಟ್ ಎ ಅದರ ಮೂಲ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಮರಳುತ್ತದೆ. ಅದೇ ಕೊಸೈನ್ 0.5 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆ. ಕೋನವು ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ 360° ಅಥವಾ 2π ರೇಡಿಯನ್‌ಗಳಿಂದ, ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ - ಇಲ್ಲ.ಹೊಸ ಕೋನ 60° + 360° = 420° ಕೂಡ ನಮ್ಮ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ

ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂತಹ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ರಾಂತಿಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು ... ಮತ್ತು ಈ ಎಲ್ಲಾ ಹೊಸ ಕೋನಗಳು ನಮ್ಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರಗಳಾಗಿವೆ. ಮತ್ತು ಅವರೆಲ್ಲರೂ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಹೇಗಾದರೂ ಬರೆಯಬೇಕಾಗಿದೆ. ಎಲ್ಲಾ.ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನಿರ್ಧಾರವು ಲೆಕ್ಕಕ್ಕೆ ಬರುವುದಿಲ್ಲ, ಹೌದು...)

ಗಣಿತವು ಇದನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಮತ್ತು ಸೊಗಸಾಗಿ ಮಾಡಬಹುದು. ಒಂದು ಚಿಕ್ಕ ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ ಅನಂತ ಸೆಟ್ನಿರ್ಧಾರಗಳು. ನಮ್ಮ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಅದು ಹೇಗೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಇಲ್ಲಿದೆ:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

ನಾನು ಅದನ್ನು ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇನೆ. ಇನ್ನೂ ಬರೆಯಿರಿ ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿಕೆಲವು ನಿಗೂಢ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಮೂರ್ಖತನದಿಂದ ಚಿತ್ರಿಸುವುದಕ್ಕಿಂತ ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಆಹ್ಲಾದಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಸರಿ?)

π /3 - ಇದು ನಾವು ಅದೇ ಮೂಲೆಯಲ್ಲಿದೆ ಕಂಡಿತುವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಕೊಸೈನ್ ಟೇಬಲ್ ಪ್ರಕಾರ.

2π ರೇಡಿಯನ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ರಾಂತಿಯಾಗಿದೆ.

ಎನ್ - ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾದವುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ಅಂದರೆ. ಸಂಪೂರ್ಣ rpm ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ ಎನ್ 0, ± 1, ± 2, ± 3 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.... ಹೀಗೆ. ಕಿರು ನಮೂದು ಸೂಚಿಸಿದಂತೆ:

n ∈ Z

ಎನ್ ಸೇರಿದೆ ( ∈ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಸೆಟ್ ( Z ) ಮೂಲಕ, ಪತ್ರದ ಬದಲಿಗೆ ಎನ್ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಬಳಸಬಹುದು ಕೆ, ಎಂ, ಟಿ ಇತ್ಯಾದಿ

ಈ ಸಂಕೇತವು ನೀವು ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಎಂದರ್ಥ ಎನ್ . ಕನಿಷ್ಠ -3, ಕನಿಷ್ಠ 0, ಕನಿಷ್ಠ +55. ನೀವು ಏನು ಬೇಕಾದರೂ. ನೀವು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಉತ್ತರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿದರೆ, ನೀವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕೋನವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ, ಅದು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ನಮ್ಮ ಕಠಿಣ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.)

ಅಥವಾ, ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, x = π /3 ಅನಂತ ಗುಂಪಿನ ಏಕೈಕ ಮೂಲವಾಗಿದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು, π /3 ಗೆ ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣ ಕ್ರಾಂತಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲು ಸಾಕು ( ಎನ್ ) ರೇಡಿಯನ್‌ಗಳಲ್ಲಿ. ಆ. 2πn ರೇಡಿಯನ್.

ಎಲ್ಲಾ? ಸಂ. ನಾನು ಉದ್ದೇಶಪೂರ್ವಕವಾಗಿ ಸಂತೋಷವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತೇನೆ. ಉತ್ತಮವಾಗಿ ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಲು.) ನಮ್ಮ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಉತ್ತರಗಳ ಭಾಗವನ್ನು ಮಾತ್ರ ನಾವು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ್ದೇವೆ. ನಾನು ಈ ಪರಿಹಾರದ ಮೊದಲ ಭಾಗವನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯುತ್ತೇನೆ:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - ಕೇವಲ ಒಂದು ಮೂಲವಲ್ಲ, ಆದರೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಬೇರುಗಳ ಸರಣಿಯನ್ನು ಸಣ್ಣ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ.

ಆದರೆ 0.5 ರ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ನೀಡುವ ಕೋನಗಳೂ ಇವೆ!

ನಾವು ಉತ್ತರವನ್ನು ಬರೆದ ನಮ್ಮ ಚಿತ್ರಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ ನೋಡೋಣ. ಇಲ್ಲಿ ಅವಳು:

ಚಿತ್ರದ ಮೇಲೆ ನಿಮ್ಮ ಮೌಸ್ ಅನ್ನು ಸುಳಿದಾಡಿ ಮತ್ತು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆಇನ್ನೊಂದು ಕೋನ 0.5 ರ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನೀಡುತ್ತದೆ.ಇದು ಯಾವುದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೀವು ಯೋಚಿಸುತ್ತೀರಿ? ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಒಂದೇ... ಹೌದು! ಇದು ಕೋನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ X , ಋಣಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ವಿಳಂಬವಾಗಿದೆ. ಇದು ಮೂಲೆ -X. ಆದರೆ ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ x ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದ್ದೇವೆ. π /3 ಅಥವಾ 60°. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಸುರಕ್ಷಿತವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು:

x 2 = - π /3

ಸರಿ, ಸಹಜವಾಗಿ, ಪೂರ್ಣ ಕ್ರಾಂತಿಗಳ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ಎಲ್ಲಾ ಕೋನಗಳನ್ನು ನಾವು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

ಈಗ ಅಷ್ಟೆ.) ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ನಾವು ಕಂಡಿತು(ಯಾರು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ, ಸಹಜವಾಗಿ)) ಎಲ್ಲಾಕೋಸೈನ್ 0.5 ಅನ್ನು ನೀಡುವ ಕೋನಗಳು. ಮತ್ತು ನಾವು ಈ ಕೋನಗಳನ್ನು ಸಣ್ಣ ಗಣಿತದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆದಿದ್ದೇವೆ. ಉತ್ತರವು ಎರಡು ಅನಂತ ಸರಣಿಯ ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

ಇದು ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ.

ಭರವಸೆ, ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ತತ್ವವೃತ್ತವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ನಾವು ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಕೊಸೈನ್ (ಸೈನ್, ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್, ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್) ಅನ್ನು ಗುರುತಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಕೋನಗಳನ್ನು ಸೆಳೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಉತ್ತರವನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ.ಸಹಜವಾಗಿ, ನಾವು ಯಾವ ಮೂಲೆಗಳು ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಕಂಡಿತುವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಅದು ಅಷ್ಟು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಲ್ಲ. ಸರಿ, ಇಲ್ಲಿ ತರ್ಕ ಅಗತ್ಯವಿದೆ ಎಂದು ನಾನು ಹೇಳಿದೆ.)

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇನ್ನೊಂದು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೋಡೋಣ:

ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ 0.5 ಸಂಖ್ಯೆಯು ಏಕೈಕ ಸಂಭವನೀಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಅಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ!) ಬೇರುಗಳು ಮತ್ತು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿಗಿಂತ ಅದನ್ನು ಬರೆಯಲು ನನಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ.

ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ತತ್ವದ ಪ್ರಕಾರ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ವೃತ್ತವನ್ನು ಸೆಳೆಯುತ್ತೇವೆ, ಗುರುತು (ಸೈನ್ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ, ಸಹಜವಾಗಿ!) 0.5. ಈ ಸೈನ್ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಎಲ್ಲಾ ಕೋನಗಳನ್ನು ನಾವು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಸೆಳೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಈ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಮೊದಲು ಕೋನವನ್ನು ನಿಭಾಯಿಸೋಣ X ಮೊದಲ ತ್ರೈಮಾಸಿಕದಲ್ಲಿ. ನಾವು ಸೈನ್ಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಈ ಕೋನದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಸರಳ ವಿಷಯ:

x = π /6

ನಾವು ಪೂರ್ಣ ತಿರುವುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸ್ಪಷ್ಟ ಆತ್ಮಸಾಕ್ಷಿಯೊಂದಿಗೆ, ಉತ್ತರಗಳ ಮೊದಲ ಸರಣಿಯನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

ಅರ್ಧ ಕೆಲಸ ಮುಗಿದಿದೆ. ಆದರೆ ಈಗ ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ ಎರಡನೇ ಮೂಲೆ...ಇದು ಕೊಸೈನ್‌ಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದಕ್ಕಿಂತ ಮೋಸದಾಯಕವಾಗಿದೆ, ಹೌದು... ಆದರೆ ತರ್ಕವು ನಮ್ಮನ್ನು ಉಳಿಸುತ್ತದೆ! ಎರಡನೇ ಕೋನವನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು x ಮೂಲಕ? ಹೌದು ಸುಲಭ! ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿನ ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಕೆಂಪು ಮೂಲೆಯಲ್ಲಿವೆ X ಕೋನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ X . ಋಣಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ π ಕೋನದಿಂದ ಮಾತ್ರ ಅದನ್ನು ಎಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಅದು ಕೆಂಪು ಬಣ್ಣದ್ದಾಗಿದೆ.) ಮತ್ತು ಉತ್ತರಕ್ಕಾಗಿ ನಮಗೆ ಒಂದು ಕೋನ ಬೇಕು, ಸರಿಯಾಗಿ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಧನಾತ್ಮಕ ಅರೆ-ಅಕ್ಷ OX ನಿಂದ, ಅಂದರೆ. 0 ಡಿಗ್ರಿ ಕೋನದಿಂದ.

ನಾವು ಕರ್ಸರ್ ಅನ್ನು ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ಮೇಲೆ ಸುಳಿದಾಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಚಿತ್ರವನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣಗೊಳಿಸದಂತೆ ನಾನು ಮೊದಲ ಮೂಲೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿದೆ. ನಾವು ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿರುವ ಕೋನವು (ಹಸಿರು ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗಿದೆ) ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

π - x

X ಇದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ π /6 . ಆದ್ದರಿಂದ, ಎರಡನೇ ಕೋನವು ಹೀಗಿರುತ್ತದೆ:

π - π /6 = 5π /6

ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ನಾವು ಪೂರ್ಣ ಕ್ರಾಂತಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಬಗ್ಗೆ ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಉತ್ತರಗಳ ಎರಡನೇ ಸರಣಿಯನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

ಅಷ್ಟೇ. ಸಂಪೂರ್ಣ ಉತ್ತರವು ಎರಡು ಸರಣಿಯ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ತತ್ವವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಮತ್ತು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಸಹಜವಾಗಿ, ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಮತ್ತು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಹೇಗೆ ಸೆಳೆಯುವುದು ಎಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ.

ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ, ನಾನು ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್‌ನ ಟೇಬಲ್ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದೇನೆ: 0.5. ಆ. ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗೆ ತಿಳಿದಿರುವ ಅರ್ಥಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ ಮಾಡಬೇಕು.ಈಗ ನಮ್ಮ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸೋಣ ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಮೌಲ್ಯಗಳು.ನಿರ್ಧರಿಸಿ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಿ!)

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಈ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ:

ಚಿಕ್ಕ ಕೋಷ್ಟಕಗಳಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಕೊಸೈನ್ ಮೌಲ್ಯವಿಲ್ಲ. ಈ ಭಯಾನಕ ಸತ್ಯವನ್ನು ನಾವು ತಣ್ಣಗೆ ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸುತ್ತೇವೆ. ವೃತ್ತವನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ, ಕೊಸೈನ್ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ 2/3 ಅನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಕೋನಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ. ನಾವು ಈ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಮೊದಲ ತ್ರೈಮಾಸಿಕದಲ್ಲಿ ಕೋನದಲ್ಲಿ ಮೊದಲು ನೋಡೋಣ. x ಎಂದರೆ ಏನು ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ನಾವು ತಕ್ಷಣ ಉತ್ತರವನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ! ನಮಗೆ ಗೊತ್ತಿಲ್ಲ... ಸೋಲು!? ಶಾಂತ! ಗಣಿತವು ತನ್ನದೇ ಆದ ಜನರನ್ನು ತೊಂದರೆಯಲ್ಲಿ ಬಿಡುವುದಿಲ್ಲ! ಈ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ಅವಳು ಆರ್ಕ್ ಕೊಸೈನ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಂದಳು. ಗೊತ್ತಿಲ್ಲ? ವ್ಯರ್ಥ್ವವಾಯಿತು. ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ, ನೀವು ಯೋಚಿಸುವುದಕ್ಕಿಂತ ಇದು ತುಂಬಾ ಸುಲಭವಾಗಿದೆ. ಈ ಲಿಂಕ್‌ನಲ್ಲಿ "ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳ" ಬಗ್ಗೆ ಒಂದೇ ಒಂದು ಟ್ರಿಕಿ ಕಾಗುಣಿತವಿಲ್ಲ... ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಇದು ಅತಿಯಾದದ್ದು.

ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವುದಾದರೆ, ನಿಮಗೆ ನೀವೇ ಹೇಳಿ: "X ಎಂಬುದು ಕೋಸೈನ್ 2/3 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ." ಮತ್ತು ತಕ್ಷಣವೇ, ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಆರ್ಕ್ ಕೊಸೈನ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ನಾವು ಬರೆಯಬಹುದು:

ನಾವು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಕ್ರಾಂತಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ಮೊದಲ ಸರಣಿಯನ್ನು ಶಾಂತವಾಗಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:

x 1 = ಆರ್ಕೋಸ್ 2/3 + 2π n, n ∈ Z

ಎರಡನೇ ಕೋನದ ಬೇರುಗಳ ಎರಡನೇ ಸರಣಿಯನ್ನು ಬಹುತೇಕ ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲವೂ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಕೇವಲ ಎಕ್ಸ್ (ಆರ್ಕೋಸ್ 2/3) ಮಾತ್ರ ಮೈನಸ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಇರುತ್ತದೆ:

x 2 = - ಆರ್ಕೋಸ್ 2/3 + 2π n, n ∈ Z

ಮತ್ತು ಅದು ಇಲ್ಲಿದೆ! ಇದು ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ. ಟೇಬಲ್ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗಿಂತಲೂ ಸುಲಭ. ಯಾವುದನ್ನೂ ನೆನಪಿಡುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ.) ಮೂಲಕ, ಈ ಚಿತ್ರವು ಆರ್ಕ್ ಕೊಸೈನ್ ಮೂಲಕ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಗಮನಹರಿಸುವವರು ಗಮನಿಸುತ್ತಾರೆ. ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ, cosx = 0.5 ಸಮೀಕರಣದ ಚಿತ್ರದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ನಿಖರವಾಗಿ! ಸಾಮಾನ್ಯ ತತ್ವವು ಅಷ್ಟೆ! ನಾನು ಉದ್ದೇಶಪೂರ್ವಕವಾಗಿ ಎರಡು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸಿದೆ. ವೃತ್ತವು ನಮಗೆ ಕೋನವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ X ಅದರ ಕೊಸೈನ್ ಮೂಲಕ. ಇದು ಟ್ಯಾಬ್ಯುಲರ್ ಕೊಸೈನ್ ಅಥವಾ ಅಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಇದು ಯಾವ ರೀತಿಯ ಕೋನ, π /3, ಅಥವಾ ಆರ್ಕ್ ಕೊಸೈನ್ ಯಾವುದು - ಅದು ನಮಗೆ ಬಿಟ್ಟದ್ದು.

ಸೈನ್ ಜೊತೆ ಅದೇ ಹಾಡು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

ಮತ್ತೆ ವೃತ್ತವನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ, ಸೈನ್ ಅನ್ನು 1/3 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿ ಗುರುತಿಸಿ, ಕೋನಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ. ನಾವು ಪಡೆಯುವ ಚಿತ್ರ ಇದು:

ಮತ್ತು ಮತ್ತೆ ಚಿತ್ರವು ಸಮೀಕರಣದಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ sinx = 0.5.ಮತ್ತೆ ನಾವು ಮೊದಲ ತ್ರೈಮಾಸಿಕದಲ್ಲಿ ಮೂಲೆಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅದರ ಸೈನ್ 1/3 ಆಗಿದ್ದರೆ X ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ? ಯಾವ ತೊಂದರೆಯಿಲ್ಲ!

ಈಗ ಬೇರುಗಳ ಮೊದಲ ಪ್ಯಾಕ್ ಸಿದ್ಧವಾಗಿದೆ:

x 1 = ಆರ್ಕ್‌ಸಿನ್ 1/3 + 2π n, n ∈ Z

ಎರಡನೇ ಕೋನದೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸೋಣ. 0.5 ರ ಟೇಬಲ್ ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಇದು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

π - x

ಇಲ್ಲಿಯೂ ಅದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ! x ಮಾತ್ರ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ, ಆರ್ಕ್‌ಸಿನ್ 1/3. ಏನೀಗ!? ನೀವು ಎರಡನೇ ಪ್ಯಾಕ್ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಸುರಕ್ಷಿತವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು:

x 2 = π - ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ 1/3 + 2π n, n ∈ Z

ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರವಾಗಿದೆ. ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಚಿತವಲ್ಲದಿದ್ದರೂ ಸಹ. ಆದರೆ ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ.)

ವೃತ್ತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಮಾರ್ಗವು ಸ್ಪಷ್ಟ ಮತ್ತು ಅರ್ಥವಾಗುವಂತಹದ್ದಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಬೇರುಗಳ ಆಯ್ಕೆಯೊಂದಿಗೆ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ, ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳಲ್ಲಿ ಉಳಿಸುವವನು ಅವನು - ಅವುಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಯಾವಾಗಲೂ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ, ಪ್ರಮಾಣಿತ ಪದಗಳಿಗಿಂತ ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟಕರವಾದ ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ.

ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸೋಣವೇ?)

ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:

ಈ ಪಾಠದಿಂದ ಮೊದಲ, ಸರಳ, ನೇರವಾಗಿ.

ಈಗ ಅದು ಹೆಚ್ಚು ಜಟಿಲವಾಗಿದೆ.

ಸುಳಿವು: ಇಲ್ಲಿ ನೀವು ವೃತ್ತದ ಬಗ್ಗೆ ಯೋಚಿಸಬೇಕು. ವೈಯಕ್ತಿಕವಾಗಿ.)

ಮತ್ತು ಈಗ ಅವರು ಬಾಹ್ಯವಾಗಿ ಸರಳರಾಗಿದ್ದಾರೆ ... ಅವುಗಳನ್ನು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳು ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

ಸಿಂಕ್ಸ್ = 0

ಸಿಂಕ್ಸ್ = 1

cosx = 0

cosx = -1

ಸುಳಿವು: ಇಲ್ಲಿ ನೀವು ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಸರಣಿ ಉತ್ತರಗಳಿವೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ... ಮತ್ತು ಎರಡು ಸರಣಿಯ ಉತ್ತರಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಒಂದನ್ನು ಹೇಗೆ ಬರೆಯುವುದು. ಹೌದು, ಆದ್ದರಿಂದ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಒಂದು ಮೂಲವು ಕಳೆದುಹೋಗುವುದಿಲ್ಲ!)

ಸರಿ, ತುಂಬಾ ಸರಳ):

ಸಿಂಕ್ಸ್ = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

ಸುಳಿವು: ಇಲ್ಲಿ ನೀವು ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಕೋಸಿನ್ ಏನೆಂದು ತಿಳಿಯಬೇಕು? ಆರ್ಕ್ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್, ಆರ್ಕೋಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಎಂದರೇನು? ಸರಳವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು. ಆದರೆ ನೀವು ಯಾವುದೇ ಟೇಬಲ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ!)

ಉತ್ತರಗಳು, ಸಹಜವಾಗಿ, ಅವ್ಯವಸ್ಥೆ:

x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - ಆರ್ಕ್ಸಿನ್0.3 + 2

ಎಲ್ಲವೂ ಕಾರ್ಯರೂಪಕ್ಕೆ ಬರುವುದಿಲ್ಲವೇ? ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಪಾಠವನ್ನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಓದಿ. ಮಾತ್ರ ಚಿಂತನಶೀಲವಾಗಿ(ಇಂತಹ ಹಳೆಯ ಪದವಿದೆ...) ಮತ್ತು ಲಿಂಕ್‌ಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ. ಮುಖ್ಯ ಲಿಂಕ್‌ಗಳು ವೃತ್ತದ ಬಗ್ಗೆ. ಇಲ್ಲದೇ ಹೋದರೆ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ ಕಣ್ಣಿಗೆ ಬಟ್ಟೆ ಕಟ್ಟಿಕೊಂಡು ರಸ್ತೆ ದಾಟಿದಂತೆ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಇದು ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತದೆ.)

ನೀವು ಈ ಸೈಟ್ ಅನ್ನು ಇಷ್ಟಪಟ್ಟರೆ...

ಅಂದಹಾಗೆ, ನಾನು ನಿಮಗಾಗಿ ಇನ್ನೂ ಒಂದೆರಡು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಸೈಟ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇನೆ.)

ನೀವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದನ್ನು ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಬಹುದು ಮತ್ತು ನಿಮ್ಮ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ತ್ವರಿತ ಪರಿಶೀಲನೆಯೊಂದಿಗೆ ಪರೀಕ್ಷೆ. ಕಲಿಯೋಣ - ಆಸಕ್ತಿಯಿಂದ!)

ನೀವು ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು.