ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವುದು: ವಿಧಾನಗಳು, ಉದಾಹರಣೆಗಳು, ಪರಿಹಾರಗಳು. ಬೇರುಗಳಿಂದ ಅಧಿಕಾರಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಹಿಂದಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆ, ಉದಾಹರಣೆಗಳು, ಪರಿಹಾರಗಳು ಶಕ್ತಿಗಳು ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು

ಅದನ್ನು ವಿಂಗಡಿಸುವ ಸಮಯ ಬಂದಿದೆ ಮೂಲ ಹೊರತೆಗೆಯುವ ವಿಧಾನಗಳು. ಅವು ಬೇರುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿವೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಸಮಾನತೆಯ ಮೇಲೆ, ಇದು ಯಾವುದೇ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ b.

ಬೇರುಗಳನ್ನು ಒಂದೊಂದಾಗಿ ಹೊರತೆಗೆಯುವ ಮುಖ್ಯ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ನಾವು ಕೆಳಗೆ ನೋಡುತ್ತೇವೆ.

ಸರಳವಾದ ಪ್ರಕರಣದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ - ಚೌಕಗಳ ಟೇಬಲ್, ಘನಗಳ ಟೇಬಲ್, ಇತ್ಯಾದಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವುದು.

ಚೌಕಗಳು, ಘನಗಳು, ಇತ್ಯಾದಿಗಳ ಕೋಷ್ಟಕಗಳಾಗಿದ್ದರೆ. ನೀವು ಅದನ್ನು ಕೈಯಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿದೆ, ಇದು ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಕೊಳೆಯುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ.

ಬೆಸ ಘಾತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಏನು ಸಾಧ್ಯ ಎಂಬುದನ್ನು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಮೂಲ ಮೌಲ್ಯದ ಅಂಕೆಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ನಾವೀಗ ಆರಂಭಿಸೋಣ.

ಚೌಕಗಳ ಟೇಬಲ್, ಘನಗಳ ಟೇಬಲ್, ಇತ್ಯಾದಿಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು.

ಸರಳವಾದ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಚೌಕಗಳು, ಘನಗಳು, ಇತ್ಯಾದಿಗಳ ಕೋಷ್ಟಕಗಳು ನಿಮಗೆ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಈ ಕೋಷ್ಟಕಗಳು ಯಾವುವು?

0 ರಿಂದ 99 ರವರೆಗಿನ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವು (ಕೆಳಗೆ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ) ಎರಡು ವಲಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಟೇಬಲ್ನ ಮೊದಲ ವಲಯವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಾಲು ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾಲಮ್ ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಬೂದು ಹಿನ್ನೆಲೆಯಲ್ಲಿ ಇದೆ, ಇದು 0 ರಿಂದ 99 ರವರೆಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾವು 8 ಹತ್ತಾರು ಸಾಲು ಮತ್ತು 3 ಘಟಕಗಳ ಕಾಲಮ್ ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡೋಣ, ಇದರೊಂದಿಗೆ ನಾವು 83 ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಎರಡನೇ ವಲಯವು ಮೇಜಿನ ಉಳಿದ ಭಾಗವನ್ನು ಆಕ್ರಮಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕೋಶವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಾಲು ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾಲಮ್ನ ಛೇದಕದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು 0 ರಿಂದ 99 ರವರೆಗಿನ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ನಾವು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದ 8 ಹತ್ತಾರು ಸಾಲು ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್ 3 ರ ಛೇದಕದಲ್ಲಿ 6,889 ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಸೆಲ್ ಇದೆ, ಅದು ಸಂಖ್ಯೆ 83 ರ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ.

ಘನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕಗಳು, 0 ರಿಂದ 99 ರವರೆಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಾಲ್ಕನೇ ಶಕ್ತಿಗಳ ಕೋಷ್ಟಕಗಳು, ಮತ್ತು ಹೀಗೆ ಚೌಕಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತವೆ, ಅವುಗಳು ಮಾತ್ರ ಘನಗಳು, ನಾಲ್ಕನೇ ಶಕ್ತಿಗಳು ಇತ್ಯಾದಿಗಳನ್ನು ಎರಡನೇ ವಲಯದಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು.

ಚೌಕಗಳು, ಘನಗಳು, ನಾಲ್ಕನೇ ಶಕ್ತಿಗಳು ಇತ್ಯಾದಿಗಳ ಕೋಷ್ಟಕಗಳು. ವರ್ಗಮೂಲಗಳು, ಘನಮೂಲಗಳು, ನಾಲ್ಕನೇ ಬೇರುಗಳು ಇತ್ಯಾದಿಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲು ನಿಮಗೆ ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಈ ಕೋಷ್ಟಕಗಳಲ್ಲಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪ್ರಕಾರ. ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವಾಗ ಅವುಗಳ ಬಳಕೆಯ ತತ್ವವನ್ನು ನಾವು ವಿವರಿಸೋಣ.

ನಾವು a ಸಂಖ್ಯೆಯ n ನೇ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಬೇಕು ಎಂದು ಹೇಳೋಣ, ಆದರೆ a ಸಂಖ್ಯೆಯು n ನೇ ಶಕ್ತಿಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿದೆ. ಈ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು b ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಅಂದರೆ a=b n. ನಂತರ ಆದ್ದರಿಂದ, b ಸಂಖ್ಯೆಯು n ನೇ ಪದವಿಯ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಮೂಲವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ, 19,683 ರ ಘನಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲು ಕ್ಯೂಬ್ ಟೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಳಸುವುದು ಎಂದು ತೋರಿಸೋಣ. ಘನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ನಾವು 19,683 ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಅದರಿಂದ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯು 27 ಸಂಖ್ಯೆಯ ಘನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, .

n ನೇ ಶಕ್ತಿಗಳ ಕೋಷ್ಟಕಗಳು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲು ತುಂಬಾ ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅವುಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕೈಯಲ್ಲಿ ಇರುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಕಂಪೈಲ್ ಮಾಡಲು ಸ್ವಲ್ಪ ಸಮಯ ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಅನುಗುಣವಾದ ಕೋಷ್ಟಕಗಳಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿರದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ನೀವು ಬೇರಿನ ಹೊರತೆಗೆಯುವ ಇತರ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಆಶ್ರಯಿಸಬೇಕು.

ಅಮೂಲಾಗ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಅಪವರ್ತನೆ ಮಾಡುವುದು

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಅನುಕೂಲಕರ ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ (ಸಹಜವಾಗಿ, ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆದರೆ) ಮೂಲಭೂತ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವುದು. ಅವನ ಪಾಯಿಂಟ್ ಇದು: ಅದರ ನಂತರ ಅದನ್ನು ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವುದು ತುಂಬಾ ಸುಲಭ, ಅದು ನಿಮಗೆ ಮೂಲ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಅಂಶವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸೋಣ.

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ n ನೇ ಮೂಲವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೌಲ್ಯವು b ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಮಾನತೆ a=b n ನಿಜವಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಂತೆ b ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು p 1 , p 2 , ..., p m ರೂಪದಲ್ಲಿ p 1 ·p 2 ·…·p m , ಮತ್ತು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಸಂಖ್ಯೆ a (p 1 ·p 2 ·…·p m) n ಎಂದು ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವುದು ಅನನ್ಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಸಂಖ್ಯೆ a ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ವಿಭಜನೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, ಇದು ಮೂಲದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವಂತೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಎಂದು.

ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ವಿಭಜನೆಯಾಗುವುದನ್ನು (p 1 ·p 2 ·...·p m) n ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗದಿದ್ದರೆ, ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಯ n ನೇ ಮೂಲವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಹೊರತೆಗೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.

ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಇದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ.

144 ರ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ವರ್ಗಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ನೀವು ನೋಡಿದರೆ, 144 = 12 2 ಅನ್ನು ನೀವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ನೋಡಬಹುದು, ಇದರಿಂದ 144 ರ ವರ್ಗಮೂಲವು 12 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ.

ಆದರೆ ಈ ಬಿಂದುವಿನ ಬೆಳಕಿನಲ್ಲಿ, ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಸಂಖ್ಯೆ 144 ಅನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮೂಲವನ್ನು ಹೇಗೆ ಹೊರತೆಗೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರ ಕುರಿತು ನಾವು ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಈ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಕೊಳೆಯೋಣ 144 ರಿಂದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳು:

ಅಂದರೆ, 144=2·2·2·2·3·3. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ವಿಭಜನೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಬಹುದು: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. ಆದ್ದರಿಂದ, .

ಪದವಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ರೂಪಿಸಬಹುದು: .

ಉತ್ತರ:

ವಸ್ತುವನ್ನು ಕ್ರೋಢೀಕರಿಸಲು, ಇನ್ನೂ ಎರಡು ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ಮೂಲ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಸಂಖ್ಯೆ 243 ರ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನವು 243=3 5 ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, .

ಉತ್ತರ:

ಉದಾಹರಣೆ.

ಮೂಲ ಮೌಲ್ಯವು ಪೂರ್ಣಾಂಕವೇ?

ಪರಿಹಾರ.

ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಿಸಲು, ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಘನವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದೇ ಎಂದು ನೋಡೋಣ.

ನಮ್ಮಲ್ಲಿ 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2 ಇದೆ. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶ 7 ರ ಶಕ್ತಿಯು ಮೂರರ ಗುಣಕವಲ್ಲದ ಕಾರಣ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಘನವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, 285,768 ರ ಘನಮೂಲವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಹೊರತೆಗೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಉತ್ತರ:

ಸಂ.

ಭಾಗಶಃ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವುದು

ಭಾಗಶಃ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೂಲವನ್ನು ಹೇಗೆ ಹೊರತೆಗೆಯುವುದು ಎಂದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಸಮಯ ಇದು. ಫ್ರಾಕ್ಷನಲ್ ರಾಡಿಕಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು p/q ಎಂದು ಬರೆಯೋಣ. ಅಂಶದ ಮೂಲದ ಆಸ್ತಿಯ ಪ್ರಕಾರ, ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನತೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲು ನಿಯಮ: ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಮೂಲವು ಛೇದದ ಮೂಲದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದ ಅಂಶದ ಮೂಲ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಿಂದ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ.

25/169 ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ವರ್ಗಮೂಲ ಯಾವುದು?

ಪರಿಹಾರ.

ಚೌಕಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಮೂಲ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಅಂಶದ ವರ್ಗಮೂಲವು 5 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಛೇದದ ವರ್ಗಮೂಲವು 13 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ . ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿ 25/169 ರ ಮೂಲದ ಹೊರತೆಗೆಯುವಿಕೆಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ.

ಉತ್ತರ:

ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಮೂಲಭೂತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಿದ ನಂತರ ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗ ಅಥವಾ ಮಿಶ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ.

474.552 ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗದ ಘನಮೂಲವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ಮೂಲ ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಗವಾಗಿ ಊಹಿಸೋಣ: 474.552=474552/1000. ನಂತರ . ಫಲಿತಾಂಶದ ಭಾಗದ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದದಲ್ಲಿರುವ ಘನ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ. ಏಕೆಂದರೆ 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 =78 3 ಮತ್ತು 1 000 = 10 3, ನಂತರ ಮತ್ತು . ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆ .

ಉತ್ತರ:

ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೂಲವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು

ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವುದರ ಮೇಲೆ ವಾಸಿಸಲು ಇದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ. ಬೇರುಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ, ಮೂಲ ಘಾತಾಂಕವು ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಮೂಲ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಇರಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಿದ್ದೇವೆ. ನಾವು ಈ ನಮೂದುಗಳಿಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅರ್ಥವನ್ನು ನೀಡಿದ್ದೇವೆ: ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ -a ಮತ್ತು ಮೂಲ 2 n−1 ನ ಬೆಸ ಘಾತ, . ಈ ಸಮಾನತೆ ನೀಡುತ್ತದೆ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಬೆಸ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲು ನಿಯಮ: ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲು, ನೀವು ವಿರುದ್ಧ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೂಲವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶದ ಮುಂದೆ ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹಾಕಬೇಕು.

ಉದಾಹರಣೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ಮೂಲ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ಮೂಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ ಇದರಿಂದ ಮೂಲ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಇರುತ್ತದೆ: . ಈಗ ಮಿಶ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಗದೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿ: . ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಗದ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲು ನಾವು ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ: . ಫಲಿತಾಂಶದ ಭಾಗದ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದದಲ್ಲಿನ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ: .

ಪರಿಹಾರದ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಸಾರಾಂಶ ಇಲ್ಲಿದೆ: .

ಉತ್ತರ:

ಮೂಲ ಮೌಲ್ಯದ ಬಿಟ್ವೈಸ್ ನಿರ್ಣಯ

ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮೇಲೆ ಚರ್ಚಿಸಿದ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ nth ಶಕ್ತಿಯಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗದ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯು ಮೂಲದಲ್ಲಿದೆ. ಆದರೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಚಿಹ್ನೆಯವರೆಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೂಲದ ಅರ್ಥವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವ ಅವಶ್ಯಕತೆಯಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲು, ನೀವು ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕೆಗಳ ಸಾಕಷ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಪಡೆಯಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.

ಈ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನ ಮೊದಲ ಹಂತವೆಂದರೆ ಮೂಲ ಮೌಲ್ಯದ ಅತ್ಯಂತ ಮಹತ್ವದ ಬಿಟ್ ಯಾವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, 0, 10, 100, ... ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮೀರಿದ ಕ್ಷಣದವರೆಗೆ n ಗೆ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಏರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ ನಾವು ಹಿಂದಿನ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಪವರ್ n ಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸಿದ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅನುಗುಣವಾದ ಅತ್ಯಂತ ಮಹತ್ವದ ಅಂಕಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಐದು ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವಾಗ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ಈ ಹಂತವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. 0, 10, 100, ... ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ ಮತ್ತು ನಾವು 5 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುವವರೆಗೆ ಅವುಗಳನ್ನು ವರ್ಗ ಮಾಡಿ. ನಮ್ಮಲ್ಲಿ 0 2 =0 ಇದೆ<5 , 10 2 =100>5, ಅಂದರೆ ಅತ್ಯಂತ ಮಹತ್ವದ ಅಂಕೆಯು ಒಂದು ಅಂಕಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಬಿಟ್‌ನ ಮೌಲ್ಯ, ಹಾಗೆಯೇ ಕೆಳಗಿನವುಗಳು ರೂಟ್ ಹೊರತೆಗೆಯುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನ ಮುಂದಿನ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ.

ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ನಂತರದ ಹಂತಗಳು ರೂಟ್‌ನ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯದ ಮುಂದಿನ ಬಿಟ್‌ಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಮೂಲಕ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಮೂಲ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸುವ ಗುರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಅತ್ಯಧಿಕದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಹಂತಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೊದಲ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಮೂಲ ಮೌಲ್ಯವು 2 ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಎರಡನೆಯದು - 2.2, ಮೂರನೆಯದು - 2.23, ಮತ್ತು ಹೀಗೆ 2.236067977. ಬಿಟ್‌ಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ವಿವರಿಸೋಣ.

ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳಾದ 0, 1, 2, ..., 9 ಮೂಲಕ ಹುಡುಕುವ ಮೂಲಕ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ n ನೇ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಮೂಲಭೂತ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಪದವಿಯ ಮೌಲ್ಯವು ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮೀರಿದರೆ, ಹಿಂದಿನ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಕಿಯ ಮೌಲ್ಯವು ಕಂಡುಬಂದಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಸಂಭವಿಸದಿದ್ದರೆ ಮೂಲ ಹೊರತೆಗೆಯುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನ ಮುಂದಿನ ಹಂತಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಈ ಅಂಕಿಯ ಮೌಲ್ಯವು 9 ಆಗಿದೆ.

ಐದು ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವ ಅದೇ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಅಂಶಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸೋಣ.

ಮೊದಲು ನಾವು ಘಟಕಗಳ ಅಂಕೆಗಳ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಸಂಖ್ಯೆ 5 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುವವರೆಗೆ ನಾವು ಕ್ರಮವಾಗಿ 0, 1, 2, ..., 9 ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೂಲಕ ಹೋಗುತ್ತೇವೆ, 0 2, 1 2, ..., 9 2 ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಈ ಎಲ್ಲಾ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಟೇಬಲ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ:

ಆದ್ದರಿಂದ ಘಟಕಗಳ ಅಂಕೆಗಳ ಮೌಲ್ಯವು 2 ಆಗಿದೆ (2 2 ರಿಂದ<5 , а 2 3 >5) ಹತ್ತನೇ ಸ್ಥಾನದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು ಮುಂದುವರಿಯೋಣ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9 ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಸಂಖ್ಯೆ 5 ರೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿ:

2.2 ರಿಂದ 2<5 , а 2,3 2 >5, ನಂತರ ಹತ್ತನೇ ಸ್ಥಾನದ ಮೌಲ್ಯವು 2 ಆಗಿದೆ. ನೂರನೇ ಸ್ಥಾನದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನೀವು ಮುಂದುವರಿಯಬಹುದು:

ಐದು ಮೂಲಗಳ ಮುಂದಿನ ಮೌಲ್ಯವು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಬಂದಿದೆ, ಅದು 2.23 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ನೀವು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸಬಹುದು: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

ವಸ್ತುವನ್ನು ಕ್ರೋಢೀಕರಿಸಲು, ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನೂರರಷ್ಟು ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಮೂಲದ ಹೊರತೆಗೆಯುವಿಕೆಯನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಮೊದಲು ನಾವು ಅತ್ಯಂತ ಮಹತ್ವದ ಅಂಕೆ ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು 0, 10, 100, ಇತ್ಯಾದಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಘನಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು 2,151,186 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುವವರೆಗೆ. ನಮ್ಮಲ್ಲಿ 0 3 =0 ಇದೆ<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186 , ಆದ್ದರಿಂದ ಅತ್ಯಂತ ಗಮನಾರ್ಹವಾದ ಅಂಕೆಯು ಹತ್ತಾರು ಅಂಕೆಯಾಗಿದೆ.

ಅದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ.

10 3 ರಿಂದ<2 151,186 , а 20 3 >2 151.186, ನಂತರ ಹತ್ತಾರು ಸ್ಥಳದ ಮೌಲ್ಯವು 1 ಆಗಿದೆ. ಘಟಕಗಳಿಗೆ ಹೋಗೋಣ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಒಂದು ಅಂಕಿಯ ಮೌಲ್ಯವು 2 ಆಗಿದೆ. ನಾವು ಹತ್ತನೇ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಹೋಗೋಣ.

12.9 3 ಕೂಡ ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಸಂಖ್ಯೆ 2 151.186 ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುವುದರಿಂದ, ಹತ್ತನೇ ಸ್ಥಾನದ ಮೌಲ್ಯವು 9 ಆಗಿದೆ. ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನ ಕೊನೆಯ ಹಂತವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ; ಇದು ನಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಮೂಲ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಮೂಲ ಮೌಲ್ಯವು ನೂರರಷ್ಟು ನಿಖರವಾಗಿದೆ: .

ಈ ಲೇಖನದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲು ಇನ್ನೂ ಹಲವು ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ ಎಂದು ನಾನು ಹೇಳಲು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ. ಆದರೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ, ನಾವು ಮೇಲೆ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದವುಗಳು ಸಾಕು.

ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ.

ಮಕರಿಚೆವ್ ಯು.ಎನ್., ಮಿಂಡ್ಯುಕ್ ಎನ್.ಜಿ., ನೆಶ್ಕೋವ್ ಕೆ.ಐ., ಸುವೊರೊವಾ ಎಸ್.ಬಿ. ಬೀಜಗಣಿತ: 8 ನೇ ತರಗತಿಗೆ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ. ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಸಂಸ್ಥೆಗಳು.
ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ ಎ.ಎನ್., ಅಬ್ರಮೊವ್ ಎ.ಎಮ್., ಡಡ್ನಿಟ್ಸಿನ್ ಯು.ಪಿ. ಮತ್ತು ಇತರರು ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಆರಂಭಗಳು: ಸಾಮಾನ್ಯ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆಗಳ 10 - 11 ನೇ ತರಗತಿಗಳಿಗೆ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ.
ಗುಸೆವ್ ವಿ.ಎ., ಮೊರ್ಡ್ಕೊವಿಚ್ ಎ.ಜಿ. ಗಣಿತ (ತಾಂತ್ರಿಕ ಶಾಲೆಗಳಿಗೆ ಪ್ರವೇಶಿಸುವವರಿಗೆ ಕೈಪಿಡಿ).

ಬೇರುಗಳು ಮತ್ತು ಶಕ್ತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸಲು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬೇರುಗಳು ಮತ್ತು ಶಕ್ತಿಗಳ ನಡುವೆ ಹಿಂದಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಮುಂದಕ್ಕೆ ಹೋಗಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ನಾವು ಅಂತಹ ಪರಿವರ್ತನೆಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳಿಗೆ ಆಧಾರವಾಗಿರುವುದು ಮತ್ತು ಯಾವ ಹಂತದಲ್ಲಿ ದೋಷಗಳು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಪರಿಹಾರಗಳ ವಿವರವಾದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಈ ಎಲ್ಲವನ್ನು ವಿಶಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಒದಗಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಪುಟ ಸಂಚರಣೆ.

ಆಂಶಿಕ ಘಾತಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಶಕ್ತಿಗಳಿಂದ ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಪರಿವರ್ತನೆ

ಆಂಶಿಕ ಘಾತವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪದವಿಯಿಂದ ಮೂಲಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯು ಪದವಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ: ಭಾಗಶಃ ಘಾತ m/n ನೊಂದಿಗೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ a ದ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು, m ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮತ್ತು n ಒಂದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು m ನ n ನೇ ಮೂಲ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ a>0 , m∈Z, n∈ N. ಶೂನ್ಯದ ಭಾಗಶಃ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ , ಒಂದೇ ವ್ಯತ್ಯಾಸದೊಂದಿಗೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ m ಅನ್ನು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ನೈಸರ್ಗಿಕವಾದದ್ದು, ಆದ್ದರಿಂದ ಶೂನ್ಯದಿಂದ ವಿಭಜನೆಯು ಸಂಭವಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಪದವಿಯನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಮೂಲದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೀವು ಇಲ್ಲಿಗೆ ಹೋಗಬಹುದು ಮತ್ತು ಪದವಿಯನ್ನು ಮೂಲದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು. ಆದರೆ ನೀವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ಮೂಲಕ್ಕೆ ಚಲಿಸಬಾರದು, ಏಕೆಂದರೆ ಪದವಿ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಅರ್ಥವಿಲ್ಲ (ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮಟ್ಟವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ), ಮೂಲವು ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೂ ಸಹ.

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಶಕ್ತಿಯಿಂದ ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯಲ್ಲಿ ಟ್ರಿಕಿ ಏನೂ ಇಲ್ಲ. ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಘಾತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಶಕ್ತಿಗಳ ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಪರಿವರ್ತನೆಯನ್ನು ಮೂಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಾಗಿ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳ ODZ ನಲ್ಲಿ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ವೇರಿಯಬಲ್ x ನ ಸಂಪೂರ್ಣ ODZ ನಲ್ಲಿ ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಮೂಲದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು . ಮತ್ತು ಪದವಿಯಿಂದ ಮೂಲಕ್ಕೆ ಹೋಗಿ , ಮೂಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಾಗಿ ODZ ನಿಂದ x, y ಮತ್ತು z ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳ ಯಾವುದೇ ಸೆಟ್‌ಗೆ ಅಂತಹ ಬದಲಿ ನಡೆಯುತ್ತದೆ.

ಬೇರುಗಳನ್ನು ಶಕ್ತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವುದು

ರಿವರ್ಸ್ ರಿಪ್ಲೇಸ್ಮೆಂಟ್ ಸಹ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಆಂಶಿಕ ಘಾತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಶಕ್ತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದು. ಇದು ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಬಲದಿಂದ ಎಡಕ್ಕೆ, ಅಂದರೆ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸೂಚಿಸಲಾದ ಪರಿವರ್ತನೆಯು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೀವು ಪದವಿಯನ್ನು ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ರೂಪದ ಭಾಗಶಃ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಮೂಲದಿಂದ ಪದವಿಗೆ ಹೋಗಬಹುದು.

ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಒಂದು ಸಮಾನತೆ ಅರ್ಥವಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಮೂಲ ಇನ್ನೂ ಅರ್ಥ ಮಾಡಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬೇರುಗಳು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿವೆ, ಆದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಶಕ್ತಿಗಳಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳನ್ನು ಶಕ್ತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವೇ? ನೀವು ಪೂರ್ವಭಾವಿ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಿದರೆ ಅದು ಸಾಧ್ಯ, ಅದು ಅವುಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಹೋಗುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಅದನ್ನು ಭಾಗಶಃ ಘಾತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಶಕ್ತಿಗಳಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಯಾವುವು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರ್ವಹಿಸುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ತೋರಿಸೋಣ.

ರೂಟ್ನ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನೀವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು: . ಮತ್ತು 4 ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಕೊನೆಯ ಮೂಲವನ್ನು ಶಕ್ತಿಯಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು. ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬೆಸ ಮೂಲವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು−a (ಅಲ್ಲಿ a ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ), ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ , ಎರಡರ ಘನಮೂಲವನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ಪದವಿಯಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಮೂಲವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದು ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ .

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ನೆಲೆಗೊಂಡಿರುವ ಬೇರುಗಳನ್ನು ತಳದಲ್ಲಿ ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಶಕ್ತಿಗಳಿಂದ ಹೇಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ. ಅದನ್ನು ಬದಲಿಸಲು ಹೊರದಬ್ಬುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ನಾವು A ಅಕ್ಷರವನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದೇವೆ. ನಾವು ಇದರ ಅರ್ಥವನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀಡೋಣ. ಸಮಾನತೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನಾನು ಮೂಲವನ್ನು ಪದವಿಯೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ. ಆದರೆ ಅಂತಹ ಬದಲಿಯು x−3≥0 ಸ್ಥಿತಿಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ODZ ನಿಂದ ವೇರಿಯಬಲ್ x ನ ಉಳಿದ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ (ಷರತ್ತು x−3 ಅನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ<0 ) она не подходит, так как формула не имеет смысла для отрицательных a . Если обратить внимание на ОДЗ, то несложно заметить ее сужение при переходе от выражения к выражению , а помните, что мы договорились не прибегать к преобразованиям, сужающим ОДЗ.

ಸೂತ್ರದ ಈ ತಪ್ಪಾದ ಅನ್ವಯದಿಂದಾಗಿ, ಬೇರುಗಳಿಂದ ಅಧಿಕಾರಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುವಾಗ ದೋಷಗಳು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಶಕ್ತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಉತ್ತರವನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಹುಟ್ಟುಹಾಕುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಷರತ್ತು b>0 ಅನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಮತ್ತು ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ಪರಿವರ್ತನೆ ಇದೆ , ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಮೂಲಕ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ. ಇತ್ತೀಚಿನ ಪರಿವರ್ತನೆಯು ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಹುಟ್ಟುಹಾಕುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು DZ ಅನ್ನು ಕಿರಿದಾಗಿಸುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ತಾರ್ಕಿಕ ಪ್ರಶ್ನೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ: "ಒಡಿಜೆಡ್‌ನಿಂದ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಮೂಲದಿಂದ ಶಕ್ತಿಗೆ ಸರಿಯಾಗಿ ಚಲಿಸುವುದು ಹೇಗೆ?" ಕೆಳಗಿನ ಹೇಳಿಕೆಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಈ ಬದಲಿಯನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ:

ರೆಕಾರ್ಡ್ ಮಾಡಿದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸಮರ್ಥಿಸುವ ಮೊದಲು, ಬೇರುಗಳಿಂದ ಅಧಿಕಾರಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆಗಾಗಿ ಅವುಗಳ ಬಳಕೆಯ ಹಲವಾರು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನಾವು ನೀಡುತ್ತೇವೆ. ಮೊದಲಿಗೆ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ ನೋಡೋಣ. ಅದನ್ನು ಬದಲಿಸಬೇಕಾಗಿರುವುದು , ಆದರೆ ಮೂಲಕ (ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ m=2 ಸಮ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ, n=3 ನೈಸರ್ಗಿಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ). ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆ: .

ಈಗ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಭರವಸೆ ಸಮರ್ಥನೆ.

m ಬೆಸ ಪೂರ್ಣಾಂಕ, ಮತ್ತು n ಸಹ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಾಗಿ ODZ ನಿಂದ ಯಾವುದೇ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ A ಯ ಮೌಲ್ಯವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ (m ಆಗಿದ್ದರೆ<0 ) или неотрицательно (если m>0) ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ, .

ಎರಡನೇ ಫಲಿತಾಂಶಕ್ಕೆ ಹೋಗೋಣ. m ಧನಾತ್ಮಕ ಬೆಸ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮತ್ತು n ಬೆಸ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಲಿ. ODZ ನಿಂದ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ A ಯ ಮೌಲ್ಯವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿಲ್ಲ, , ಮತ್ತು ಇದು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ,

ಕೆಳಗಿನ ಫಲಿತಾಂಶವು ಋಣಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಬೆಸ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ m ಮತ್ತು ಬೆಸ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ n ಗಾಗಿ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. ODZ ನಿಂದ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ A ಯ ಮೌಲ್ಯವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, , ಮತ್ತು ಇದು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ,

ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಕೊನೆಯ ಫಲಿತಾಂಶ. m ಸಮ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿರಲಿ, n ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಲಿ. ODZ ನಿಂದ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ A ಯ ಮೌಲ್ಯವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ (m<0 ) или неотрицательно (если m>0 ), . ಮತ್ತು ಇದು ನಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ, . ಹೀಗಾಗಿ, m ಸಮ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದ್ದರೆ, n ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ, ನಂತರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಾಗಿ ODZ ನಿಂದ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಅದನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು.

ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ.

ಬೀಜಗಣಿತಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಆರಂಭ: ಪ್ರೊ. 10-11 ಶ್ರೇಣಿಗಳಿಗೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆಗಳು / A. N. ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್, A. M. ಅಬ್ರಮೊವ್, ಯು. P. ಡುಡ್ನಿಟ್ಸಿನ್ ಮತ್ತು ಇತರರು; ಸಂ. A. N. ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ - 14 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ - ಎಮ್.: ಶಿಕ್ಷಣ, 2004. - 384 pp.: ISBN 5-09-013651-3.
ಬೀಜಗಣಿತಮತ್ತು ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಪ್ರಾರಂಭ. 11 ನೇ ತರಗತಿ: ಶೈಕ್ಷಣಿಕ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಶಿಕ್ಷಣಕ್ಕಾಗಿ ಸಂಸ್ಥೆಗಳು: ಮೂಲ ಮತ್ತು ಪ್ರೊಫೈಲ್. ಮಟ್ಟಗಳು / [ಯು. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. ಫೆಡೋರೊವಾ, M. I. ಶಬುನಿನ್]; ಸಂಪಾದಿಸಿದ್ದಾರೆ A. B. ಝಿಝ್ಚೆಂಕೊ. – M.: ಶಿಕ್ಷಣ, 2009.- 336 ಪುಟಗಳು: ill.- ISBN 979-5-09-016551-8.

ಎಕ್ಸೆಲ್ ಅಂತರ್ನಿರ್ಮಿತ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ನಿರ್ವಾಹಕರನ್ನು ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲು ಮತ್ತು ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಲು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಎಕ್ಸೆಲ್ ನಲ್ಲಿ SQRT ಕಾರ್ಯದ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಅಂತರ್ನಿರ್ಮಿತ SQRT ಕಾರ್ಯವು ಧನಾತ್ಮಕ ವರ್ಗಮೂಲ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹಿಂದಿರುಗಿಸುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೆನುವಿನಲ್ಲಿ, ಇದು ಗಣಿತ ವರ್ಗದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿದೆ.

ಕಾರ್ಯ ಸಿಂಟ್ಯಾಕ್ಸ್: = ರೂಟ್ (ಸಂಖ್ಯೆ).

ಕಾರ್ಯವು ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಮಾತ್ರ ಮತ್ತು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ವಾದವಾಗಿದೆ. ವಾದವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಎಕ್ಸೆಲ್ #NUM ದೋಷವನ್ನು ಹಿಂತಿರುಗಿಸುತ್ತದೆ.

ನೀವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅಥವಾ ಸೆಲ್ಗೆ ಒಂದು ಉಲ್ಲೇಖವನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾ ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಆಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಕಾರ್ಯವು 36 ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಹಿಂತಿರುಗಿಸುತ್ತದೆ. ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ.

ABS ಕಾರ್ಯವು -36 ರ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹಿಂದಿರುಗಿಸುತ್ತದೆ. ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವಾಗ ದೋಷಗಳನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು ಇದರ ಬಳಕೆಯು ನಮಗೆ ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಟ್ಟಿತು.

ಕಾರ್ಯವು 13 ರ ಮೊತ್ತದ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಮತ್ತು ಸೆಲ್ C1 ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿತು.

ಎಕ್ಸೆಲ್ ನಲ್ಲಿ ಘಾತೀಯ ಕ್ರಿಯೆ

ಕಾರ್ಯ ಸಿಂಟ್ಯಾಕ್ಸ್: =POWER(ಮೌಲ್ಯ, ಸಂಖ್ಯೆ). ಎರಡೂ ವಾದಗಳು ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

ಮೌಲ್ಯವು ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯಾ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಬೇಕಾದ ಶಕ್ತಿಯ ಸೂಚಕವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಸೆಲ್ C2 ನಲ್ಲಿ - ಸಂಖ್ಯೆ 10 ಅನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುವ ಫಲಿತಾಂಶ.

ಕಾರ್ಯವು 100 ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ¾ ಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸಿತು.

ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಘಾತೀಯೀಕರಣ

ಎಕ್ಸೆಲ್‌ನಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಲು, ನೀವು ಗಣಿತ ಆಪರೇಟರ್ "^" ಅನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಅದನ್ನು ನಮೂದಿಸಲು, Shift + 6 ಒತ್ತಿರಿ (ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಕೀಬೋರ್ಡ್ ವಿನ್ಯಾಸದೊಂದಿಗೆ).

ನಮೂದಿಸಿದ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಸೂತ್ರದಂತೆ ಪರಿಗಣಿಸಲು ಎಕ್ಸೆಲ್ ಸಲುವಾಗಿ, "=" ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಮೊದಲು ಇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮುಂದಿನದು ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿಸಬೇಕಾದ ಸಂಖ್ಯೆ. ಮತ್ತು "^" ಚಿಹ್ನೆಯ ನಂತರ ಪದವಿಯ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಈ ಗಣಿತದ ಸೂತ್ರದ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯದ ಬದಲಿಗೆ, ನೀವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೋಶಗಳಿಗೆ ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.

ನೀವು ಬಹು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬೇಕಾದರೆ ಇದು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸಂಪೂರ್ಣ ಕಾಲಮ್‌ಗೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನಕಲಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಕಾಲಮ್ A ನಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮೂರನೇ ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ನಾವು ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ.

n ನೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವುದು

ರೂಟ್ ಎಕ್ಸೆಲ್ ನಲ್ಲಿ ವರ್ಗಮೂಲ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. 3 ನೇ, 4 ನೇ ಮತ್ತು ಇತರ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಮೂಲವನ್ನು ಹೇಗೆ ಹೊರತೆಗೆಯುವುದು?

ಗಣಿತದ ನಿಯಮಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ನೆನಪಿಸೋಣ: n ನೇ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲು, ನೀವು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು 1/n ಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸಬೇಕು.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಘನ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲು, ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು 1/3 ರ ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಎಕ್ಸೆಲ್ ನಲ್ಲಿ ವಿವಿಧ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸೋಣ.

ಸೂತ್ರವು ಸಂಖ್ಯೆ 21 ರ ಘನಮೂಲದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹಿಂತಿರುಗಿಸಿದೆ. ಭಾಗಶಃ ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸಲು, "^" ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಲಾಗಿದೆ.

ಅಭಿನಂದನೆಗಳು: ಇಂದು ನಾವು ಬೇರುಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ - 8 ನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಮನಮುಟ್ಟುವ ವಿಷಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ :)

ಅನೇಕ ಜನರು ಬೇರುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಗೊಂದಲಕ್ಕೊಳಗಾಗುತ್ತಾರೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಅಲ್ಲ (ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ಏನು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ - ಒಂದೆರಡು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಮತ್ತು ಇನ್ನೂ ಒಂದೆರಡು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು), ಆದರೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಶಾಲಾ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳ ಲೇಖಕರು ಮಾತ್ರ ಅಂತಹ ಕಾಡಿನ ಮೂಲಕ ಬೇರುಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತಾರೆ. ಈ ಬರಹವನ್ನು ತಾವೇ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಮತ್ತು ನಂತರವೂ ಉತ್ತಮ ವಿಸ್ಕಿಯ ಬಾಟಲಿಯೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ :)

ಆದ್ದರಿಂದ, ಈಗ ನಾನು ಮೂಲಕ್ಕೆ ಅತ್ಯಂತ ಸರಿಯಾದ ಮತ್ತು ಅತ್ಯಂತ ಸಮರ್ಥವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇನೆ - ನೀವು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾದ ಏಕೈಕ. ತದನಂತರ ನಾನು ವಿವರಿಸುತ್ತೇನೆ: ಇದೆಲ್ಲವೂ ಏಕೆ ಬೇಕು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಹೇಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಬೇಕು.

ಆದರೆ ಮೊದಲು, ಅನೇಕ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ ಕಂಪೈಲರ್‌ಗಳು ಕೆಲವು ಕಾರಣಗಳಿಗಾಗಿ "ಮರೆತು" ಎಂಬ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶವನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ:

ಬೇರುಗಳು ಸಮ ಪದವಿಯಲ್ಲಿರಬಹುದು (ನಮ್ಮ ನೆಚ್ಚಿನ $\sqrt(a)$, ಹಾಗೆಯೇ ಎಲ್ಲಾ ರೀತಿಯ $\sqrt(a)$ ಮತ್ತು $\sqrt(a)$) ಮತ್ತು ಬೆಸ ಡಿಗ್ರಿ (ಎಲ್ಲಾ ರೀತಿಯ $\sqrt) (a)$, $\ sqrt(a)$, ಇತ್ಯಾದಿ). ಮತ್ತು ಬೆಸ ಪದವಿಯ ಮೂಲದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಸಮ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಸ್ವಲ್ಪ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ.

ಬಹುಶಃ 95% ಎಲ್ಲಾ ದೋಷಗಳು ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ತಪ್ಪುಗ್ರಹಿಕೆಗಳು ಈ ಫಕಿಂಗ್ "ಸ್ವಲ್ಪ ವಿಭಿನ್ನ" ನಲ್ಲಿ ಮರೆಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಪರಿಭಾಷೆಯನ್ನು ಒಮ್ಮೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ತೆರವುಗೊಳಿಸೋಣ:

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಸಹ ರೂಟ್ ಎನ್ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ $a$ ಯಾವುದಾದರೂ ಆಗಿದೆ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ$b$ ಸಂಖ್ಯೆಯು $((b)^(n))=a$ ಆಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ $a$ನ ಬೆಸ ಮೂಲವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ $b$ ಆಗಿದ್ದು, ಅದೇ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ $((b)^(n))=a$.

ಯಾವುದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮೂಲವನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

\(ಎ)\]

ಅಂತಹ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ $n$ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮೂಲ ಘಾತಾಂಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು $a$ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, $n=2$ ಗೆ ನಾವು ನಮ್ಮ "ಮೆಚ್ಚಿನ" ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (ಅಂದರೆ, ಇದು ಸಮ ಪದವಿಯ ಮೂಲವಾಗಿದೆ), ಮತ್ತು $n=3$ ಗೆ ನಾವು ಘನಮೂಲವನ್ನು (ಬೆಸ ಡಿಗ್ರಿ) ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗಳು. ವರ್ಗಮೂಲಗಳ ಕ್ಲಾಸಿಕ್ ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \ಅಂತ್ಯ(ಅಲೈನ್)\]

ಮೂಲಕ, $\sqrt(0)=0$, ಮತ್ತು $\sqrt(1)=1$. ಇದು ಸಾಕಷ್ಟು ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ $((0)^(2))=0$ ಮತ್ತು $(1)^(2))=1$.

ಘನ ಬೇರುಗಳು ಸಹ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ - ಅವರಿಗೆ ಭಯಪಡುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \ಅಂತ್ಯ(ಅಲೈನ್)\]

ಸರಿ, ಒಂದೆರಡು "ವಿಲಕ್ಷಣ ಉದಾಹರಣೆಗಳು":

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \ಅಂತ್ಯ(ಅಲೈನ್)\]

ಸಮ ಮತ್ತು ಬೆಸ ಪದವಿಯ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೇನು ಎಂದು ನಿಮಗೆ ಅರ್ಥವಾಗದಿದ್ದರೆ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಓದಿ. ಇದು ಅತೀ ಮುಖ್ಯವಾದುದು!

ಈ ಮಧ್ಯೆ, ನಾವು ಬೇರುಗಳ ಒಂದು ಅಹಿತಕರ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ, ಈ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ನಾವು ಸಮ ಮತ್ತು ಬೆಸ ಘಾತಗಳಿಗೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.

ಬೇರುಗಳು ಏಕೆ ಬೇಕು?

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಓದಿದ ನಂತರ, ಅನೇಕ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಕೇಳುತ್ತಾರೆ: "ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಇದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದಾಗ ಏನು ಧೂಮಪಾನ ಮಾಡಿದರು?" ಮತ್ತು ನಿಜವಾಗಿಯೂ: ಈ ಎಲ್ಲಾ ಬೇರುಗಳು ಏಕೆ ಬೇಕು?

ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಿಸಲು, ಒಂದು ಕ್ಷಣ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಶಾಲೆಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ ನೋಡೋಣ. ನೆನಪಿಡಿ: ಆ ದೂರದ ಕಾಲದಲ್ಲಿ, ಮರಗಳು ಹಸಿರಾಗಿರುವಾಗ ಮತ್ತು dumplings ರುಚಿಯಾದಾಗ, ನಮ್ಮ ಮುಖ್ಯ ಕಾಳಜಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಗುಣಿಸುವುದು. ಸರಿ, "ಐದು ಐದು - ಇಪ್ಪತ್ತೈದು" ನಂತಹ ಏನಾದರೂ, ಅಷ್ಟೆ. ಆದರೆ ನೀವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ತ್ರಿವಳಿಗಳು, ಚತುರ್ಭುಜಗಳು ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಗುಣಿಸಬಹುದು:

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ವಿಷಯವಲ್ಲ. ತಂತ್ರವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ: ಗಣಿತಜ್ಞರು ಸೋಮಾರಿಗಳು, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವರು ಹತ್ತು ಐದು ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಲು ಕಷ್ಟಪಟ್ಟರು:

ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಅವರು ಪದವಿಗಳನ್ನು ಪಡೆದರು. ದೀರ್ಘ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್‌ಗೆ ಬದಲಾಗಿ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಪರ್‌ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಆಗಿ ಏಕೆ ಬರೆಯಬಾರದು? ಈ ರೀತಿಯ ಏನಾದರೂ:

ಇದು ತುಂಬಾ ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ! ಎಲ್ಲಾ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಗಣನೀಯವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಸುಮಾರು 5,183 ಅನ್ನು ಬರೆಯಲು ನೀವು ಚರ್ಮಕಾಗದದ ಹಾಳೆಗಳು ಮತ್ತು ನೋಟ್‌ಬುಕ್‌ಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ವ್ಯರ್ಥ ಮಾಡಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಈ ದಾಖಲೆಯನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶಕ್ತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಯಿತು, ಅದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಗುಂಪಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಕಂಡುಬಂದಿವೆ, ಆದರೆ ಸಂತೋಷವು ಅಲ್ಪಕಾಲಿಕವಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮಿತು.

ಪದವಿಗಳ "ಆವಿಷ್ಕಾರ" ಕ್ಕಾಗಿ ಆಯೋಜಿಸಲಾದ ಭವ್ಯವಾದ ಕುಡಿಯುವ ಪಾರ್ಟಿಯ ನಂತರ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಮೊಂಡುತನದ ಕೆಲವು ಗಣಿತಜ್ಞರು ಇದ್ದಕ್ಕಿದ್ದಂತೆ ಕೇಳಿದರು: "ನಮಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪದವಿ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ಆದರೆ ಸಂಖ್ಯೆಯೇ ತಿಳಿದಿಲ್ಲವೇ?" ಈಗ, ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆ $b$ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, 5 ನೇ ಶಕ್ತಿಗೆ 243 ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, $b$ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಯಾವುದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಗೆ ಊಹಿಸಬಹುದು?

ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಮೊದಲ ನೋಟದಲ್ಲಿ ತೋರುತ್ತಿರುವುದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಜಾಗತಿಕವಾಗಿದೆ. ಏಕೆಂದರೆ ಹೆಚ್ಚಿನ "ಸಿದ್ಧ" ಶಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ಅಂತಹ "ಆರಂಭಿಕ" ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಲ್ಲ ಎಂದು ಅದು ಬದಲಾಯಿತು. ನಿಮಗಾಗಿ ನಿರ್ಣಯಿಸಿ:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Rightarrow b=4\cdot 4\cdot 4\Rightarrow b=4. \\ \ಅಂತ್ಯ(ಅಲೈನ್)\]

ಒಂದು ವೇಳೆ $((b)^(3))=50$? ನಾವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ, ಅದು ಮೂರು ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ನಮಗೆ 50 ನೀಡುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಈ ಸಂಖ್ಯೆ ಏನು? 3 3 = 27 ರಿಂದ ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ 3 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿದೆ< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. ಅಂದರೆ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಮೂರರಿಂದ ನಾಲ್ಕು ನಡುವೆ ಎಲ್ಲೋ ಇರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅದು ಏನೆಂದು ನಿಮಗೆ ಅರ್ಥವಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಇದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಗಣಿತಜ್ಞರು $n$th ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಂದರು. ಇದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಮೂಲಭೂತ ಚಿಹ್ನೆ $\sqrt(*)$ ಅನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಯಿತು. $b$ ಅನ್ನು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲು, ಇದು ಸೂಚಿಸಿದ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ ನಮಗೆ ಹಿಂದೆ ತಿಳಿದಿರುವ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ

\[\sqrt[n](a)=b\Rightarrow ((b)^(n))=a\]

ನಾನು ವಾದಿಸುವುದಿಲ್ಲ: ಆಗಾಗ್ಗೆ ಈ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ - ನಾವು ಅಂತಹ ಹಲವಾರು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಮೇಲೆ ನೋಡಿದ್ದೇವೆ. ಆದರೆ ಇನ್ನೂ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ನೀವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಯೋಚಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಅದರಿಂದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಪದವಿಯ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದರೆ, ನೀವು ಭಯಾನಕ ಬಮ್ಮರ್ಗೆ ಒಳಗಾಗುತ್ತೀರಿ.

ಅಲ್ಲೇನಿದೆ! ಅತ್ಯಂತ ಸರಳವಾದ ಮತ್ತು ಅತ್ಯಂತ ಪರಿಚಿತವಾದ $\sqrt(2)$ ಅನ್ನು ಸಹ ನಮ್ಮ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ - ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಅಥವಾ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಾಗಿ. ಮತ್ತು ನೀವು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್‌ನಲ್ಲಿ ನಮೂದಿಸಿದರೆ, ನೀವು ಇದನ್ನು ನೋಡುತ್ತೀರಿ:

\[\sqrt(2)=1.414213562...\]

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ದಶಮಾಂಶ ಬಿಂದುವಿನ ನಂತರ ಯಾವುದೇ ತರ್ಕವನ್ನು ಪಾಲಿಸದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂತ್ಯವಿಲ್ಲದ ಅನುಕ್ರಮವಿದೆ. ಇತರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಹೋಲಿಸಲು ನೀವು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸುತ್ತಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

\[\sqrt(2)=1.4142...\ಅಂದಾಜು 1.4 \lt 1.5\]

ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆ ಇಲ್ಲಿದೆ:

\[\sqrt(3)=1.73205...\ಅಂದಾಜು 1.7 \gt 1.5\]

ಆದರೆ ಈ ಎಲ್ಲಾ ಸುತ್ತುಗಳು, ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಸಾಕಷ್ಟು ಒರಟು; ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ನೀವು ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು ಸಹ ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ನೀವು ಸ್ಪಷ್ಟವಲ್ಲದ ದೋಷಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಹಿಡಿಯಬಹುದು (ಮೂಲಕ, ಹೋಲಿಕೆ ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಕೌಶಲ್ಯವನ್ನು ಪ್ರೊಫೈಲ್ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಪರೀಕ್ಷಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ).

ಆದ್ದರಿಂದ, ಗಂಭೀರವಾದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ನೀವು ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲದೆ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ - ಅವರು ನಮಗೆ ಬಹಳ ಹಿಂದಿನಿಂದಲೂ ಪರಿಚಿತವಾಗಿರುವ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಂತೆಯೇ ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ $\mathbb(R)$ ಗಳ ಒಂದೇ ಸಮಾನ ಪ್ರತಿನಿಧಿಗಳು.

$\frac(p)(q)$ ರೂಪದ ಭಾಗವಾಗಿ ಮೂಲವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಅಸಮರ್ಥತೆ ಎಂದರೆ ಈ ಮೂಲವು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲ. ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದಕ್ಕಾಗಿ ವಿಶೇಷವಾಗಿ ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಲಾದ ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಅಥವಾ ಇತರ ನಿರ್ಮಾಣಗಳ ಸಹಾಯದಿಂದ (ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು, ಅಧಿಕಾರಗಳು, ಮಿತಿಗಳು, ಇತ್ಯಾದಿ) ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಅವುಗಳನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ಇನ್ನೊಂದು ಬಾರಿ ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚು.

ಎಲ್ಲಾ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ನಂತರ, ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಇನ್ನೂ ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ ಉಳಿಯುವ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\ಸುಮಾರು 2.236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\ಅಂದಾಜು -1.2599... \\ \end(align)\]

ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ, ಮೂಲದ ನೋಟದಿಂದ ದಶಮಾಂಶ ಬಿಂದುವಿನ ನಂತರ ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಬರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಲು ಅಸಾಧ್ಯವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನೀವು ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಅನ್ನು ಎಣಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಅತ್ಯಾಧುನಿಕ ದಿನಾಂಕದ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಸಹ ನಮಗೆ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೊದಲ ಕೆಲವು ಅಂಕೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಉತ್ತರಗಳನ್ನು $\sqrt(5)$ ಮತ್ತು $\sqrt(-2)$ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಸರಿಯಾಗಿದೆ.

ಇದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಅವುಗಳನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಯಿತು. ಉತ್ತರಗಳನ್ನು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿ ದಾಖಲಿಸಲು.

ಎರಡು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಏಕೆ ಬೇಕು?

ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಎಲ್ಲಾ ವರ್ಗಮೂಲಗಳನ್ನು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸುವ ಓದುಗರು ಬಹುಶಃ ಈಗಾಗಲೇ ಗಮನಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಸರಿ, ಕನಿಷ್ಠ ಮೊದಲಿನಿಂದಲೂ. ಆದರೆ ಘನ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಶಾಂತವಾಗಿ ಹೊರತೆಗೆಯಬಹುದು - ಅದು ಧನಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬಹುದು.

ಇದು ಏಕೆ ನಡೆಯುತ್ತಿದೆ? $y=((x)^(2))$ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನೋಡೋಣ:

ಚತುರ್ಭುಜ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ: ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ

ಈ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು $\sqrt(4)$ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, $ ((x)_(1))=2$ ಮತ್ತು $ ((x )_(2)) =-2$. ಇದು ಸಾಕಷ್ಟು ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ

ಮೊದಲ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಎಲ್ಲವೂ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ - ಇದು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಮೂಲವಾಗಿದೆ:

ಆದರೆ ಎರಡನೆಯ ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ ಏನು ಮಾಡಬೇಕು? ನಾಲ್ಕು ಒಂದೇ ಬಾರಿಗೆ ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಂತೆ? ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆ −2 ಅನ್ನು ವರ್ಗ ಮಾಡಿದರೆ, ನಾವು 4 ಅನ್ನು ಸಹ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ $\sqrt(4)=-2$ ಅನ್ನು ಏಕೆ ಬರೆಯಬಾರದು? ಮತ್ತು ಶಿಕ್ಷಕರು ಅಂತಹ ಪೋಸ್ಟ್‌ಗಳನ್ನು ಅವರು ನಿಮ್ಮನ್ನು ತಿನ್ನಲು ಬಯಸುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ಏಕೆ ನೋಡುತ್ತಾರೆ?

ತೊಂದರೆ ಏನೆಂದರೆ, ನೀವು ಯಾವುದೇ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ವಿಧಿಸದಿದ್ದರೆ, ಕ್ವಾಡ್ ಎರಡು ವರ್ಗಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ - ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ. ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಹ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ - ಇದನ್ನು ಅದೇ ಗ್ರಾಫ್‌ನಿಂದ ನೋಡಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಎಂದಿಗೂ ಅಕ್ಷದ ಕೆಳಗೆ ಬೀಳುವುದಿಲ್ಲ ವೈ, ಅಂದರೆ ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಸಮ ಘಾತವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ:

ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪ್ರತಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯು $n$ ಘಾತದೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ;
ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ, $n$ ಸಹ ಹೊಂದಿರುವ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಸಮ ಡಿಗ್ರಿ $n$ ನ ಮೂಲದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ ಉತ್ತರವು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಬೇಕು ಎಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ ನಾವು ಅಸ್ಪಷ್ಟತೆಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕುತ್ತೇವೆ.

ಆದರೆ ಬೆಸ $n$ ಗೆ ಅಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆ ಇಲ್ಲ. ಇದನ್ನು ನೋಡಲು, $y=((x)^(3))$ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನೋಡೋಣ:

ಘನ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ ಘನ ಮೂಲವನ್ನು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು

ಈ ಗ್ರಾಫ್ನಿಂದ ಎರಡು ತೀರ್ಮಾನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು:

ಘನ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಶಾಖೆಗಳು, ನಿಯಮಿತ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಎರಡೂ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ ಅನಂತಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತವೆ - ಎರಡೂ ಮೇಲಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಕೆಳಕ್ಕೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಸಮತಲವಾಗಿರುವ ರೇಖೆಯನ್ನು ಯಾವ ಎತ್ತರದಲ್ಲಿ ಸೆಳೆಯುತ್ತೇವೆಯೋ, ಈ ರೇಖೆಯು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ನಮ್ಮ ಗ್ರಾಫ್ನೊಂದಿಗೆ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಘನಮೂಲವನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಹೊರತೆಗೆಯಬಹುದು;
ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಅಂತಹ ಛೇದಕವು ಯಾವಾಗಲೂ ಅನನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನೀವು ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು "ಸರಿಯಾದ" ಮೂಲವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಬೇಕು ಎಂಬುದರ ಕುರಿತು ನೀವು ಯೋಚಿಸಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಬೆಸ ಪದವಿಗೆ ಬೇರುಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಸಮ ಪದವಿಗಿಂತ ಸರಳವಾಗಿದೆ (ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಅವಶ್ಯಕತೆಯಿಲ್ಲ).

ಹೆಚ್ಚಿನ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ ಈ ಸರಳ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸದಿರುವುದು ವಿಷಾದದ ಸಂಗತಿ. ಬದಲಾಗಿ, ನಮ್ಮ ಮಿದುಳುಗಳು ಎಲ್ಲಾ ರೀತಿಯ ಅಂಕಗಣಿತದ ಬೇರುಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಮೇಲೇರಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತವೆ.

ಹೌದು, ನಾನು ವಾದಿಸುವುದಿಲ್ಲ: ಅಂಕಗಣಿತದ ಮೂಲ ಯಾವುದು ಎಂದು ನೀವು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಮತ್ತು ನಾನು ಇದನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ವಿವರವಾಗಿ ಮಾತನಾಡುತ್ತೇನೆ. ಇಂದು ನಾವು ಅದರ ಬಗ್ಗೆಯೂ ಮಾತನಾಡುತ್ತೇವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಇಲ್ಲದೆ $n$-ನೇ ಗುಣಾಕಾರದ ಬೇರುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಆಲೋಚನೆಗಳು ಅಪೂರ್ಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಆದರೆ ಮೊದಲು ನಾನು ಮೇಲೆ ನೀಡಿದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಹೇರಳವಾದ ನಿಯಮಗಳಿಂದಾಗಿ, ಅಂತಹ ಅವ್ಯವಸ್ಥೆ ನಿಮ್ಮ ತಲೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ, ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ನೀವು ಏನನ್ನೂ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ.

ನೀವು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿರುವುದು ಸಮ ಮತ್ತು ಬೆಸ ಸೂಚಕಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಬೇರುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ನೀವು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾದ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಸಂಗ್ರಹಿಸೋಣ:

ಸಮ ಪದವಿಯ ಮೂಲವು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಮಾತ್ರ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಯಾವಾಗಲೂ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಅಂತಹ ಮೂಲವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ.

ಆದರೆ ಬೆಸ ಪದವಿಯ ಮೂಲವು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಸ್ವತಃ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಬಹುದು: ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಇದು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ, ಕ್ಯಾಪ್ ಸುಳಿವುಗಳಂತೆ, ಅದು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಕಷ್ಟವೇ? ಇಲ್ಲ, ಇದು ಕಷ್ಟವಲ್ಲ. ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ? ಹೌದು, ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ! ಈಗ ನಾವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಮಿತಿಗಳು

ಬೇರುಗಳು ಅನೇಕ ವಿಚಿತ್ರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ - ಇದನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗುವುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈಗ ನಾವು ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಮುಖವಾದ "ಟ್ರಿಕ್" ಅನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಸಮ ಸೂಚ್ಯಂಕದೊಂದಿಗೆ ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಸೂತ್ರವಾಗಿ ಬರೆಯೋಣ:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\ಎಡ| x\ಬಲ|\]

ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನಾವು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸಮ ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ಶಕ್ತಿಯ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆದರೆ, ನಾವು ಮೂಲ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅದರ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್. ಇದು ಸುಲಭವಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಸರಳ ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದೆ (ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ $x$ ಅನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲು ಸಾಕು, ಮತ್ತು ನಂತರ ಋಣಾತ್ಮಕವಾದವುಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿ). ಶಿಕ್ಷಕರು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಾರೆ, ಇದನ್ನು ಪ್ರತಿ ಶಾಲೆಯ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು (ಅಂದರೆ, ಮೂಲಭೂತ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮೀಕರಣಗಳು) ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಷಯಕ್ಕೆ ಬಂದ ತಕ್ಷಣ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸರ್ವಾನುಮತದಿಂದ ಮರೆತುಬಿಡುತ್ತಾರೆ.

ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ಒಂದು ನಿಮಿಷಕ್ಕೆ ಎಲ್ಲಾ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಮರೆತುಬಿಡೋಣ ಮತ್ತು ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\ಕ್ವಾಡ್ \sqrt(((\ಎಡ(-3 \ಬಲ))^(4))=?\]

ಇವು ತುಂಬಾ ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಜನರು ಮೊದಲ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತಾರೆ, ಆದರೆ ಅನೇಕ ಜನರು ಎರಡನೆಯದರಲ್ಲಿ ಸಿಲುಕಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ. ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಲ್ಲದೆ ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ ಅಮೇಧ್ಯವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಯಾವಾಗಲೂ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:

ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಾಲ್ಕನೇ ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸರಿ, ಇದು ಒಂದು ರೀತಿಯ ಸುಲಭ. ಗುಣಾಕಾರ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ ಕಂಡುಬರುವ ಹೊಸ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀವು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ;
ಮತ್ತು ಈಗ ಈ ಹೊಸ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ನಾಲ್ಕನೇ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ. ಆ. ಬೇರುಗಳು ಮತ್ತು ಶಕ್ತಿಗಳ "ಕಡಿತ" ಸಂಭವಿಸುವುದಿಲ್ಲ - ಇವು ಅನುಕ್ರಮ ಕ್ರಿಯೆಗಳಾಗಿವೆ.

ಮೊದಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ನೋಡೋಣ: $\sqrt(((3)^(4)))$. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ನೀವು ಮೊದಲು ರೂಟ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

ನಂತರ ನಾವು 81 ಸಂಖ್ಯೆಯ ನಾಲ್ಕನೇ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಈಗ ಎರಡನೇ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಅದೇ ರೀತಿ ಮಾಡೋಣ. ಮೊದಲಿಗೆ, ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆ −3 ಅನ್ನು ನಾಲ್ಕನೇ ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅದಕ್ಕೆ ಅದನ್ನು 4 ಬಾರಿ ಗುಣಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ ಎಡ(-3 \ಬಲ)=81\]

ನಾವು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಉತ್ಪನ್ನದಲ್ಲಿನ ಒಟ್ಟು ಮೈನಸ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ 4 ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅವೆಲ್ಲವೂ ಪರಸ್ಪರ ರದ್ದುಗೊಳಿಸುತ್ತವೆ (ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ಮೈನಸ್‌ಗೆ ಮೈನಸ್ ಪ್ಲಸ್ ನೀಡುತ್ತದೆ). ನಂತರ ನಾವು ಮತ್ತೆ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುತ್ತೇವೆ:

ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ, ಈ ಸಾಲನ್ನು ಬರೆಯಲಾಗಲಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಉತ್ತರವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಯಾವುದೇ ಮಿದುಳು ಅಲ್ಲ. ಆ. ಅದೇ ಸಮ ಶಕ್ತಿಯ ಸಮ ಮೂಲವು ಮೈನಸಸ್‌ಗಳನ್ನು "ಸುಡುತ್ತದೆ", ಮತ್ತು ಈ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಫಲಿತಾಂಶವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಮಾಡ್ಯೂಲ್‌ನಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3 \right|=3; \\ & \sqrt(((\ಎಡ(-3 \ಬಲ))^(4)))=\ಎಡ| -3 \right|=3. \\ \ಅಂತ್ಯ(ಅಲೈನ್)\]

ಈ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಸಮ ಪದವಿಯ ಮೂಲದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದೊಂದಿಗೆ ಉತ್ತಮ ಒಪ್ಪಂದದಲ್ಲಿವೆ: ಫಲಿತಾಂಶವು ಯಾವಾಗಲೂ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಚಿಹ್ನೆಯು ಯಾವಾಗಲೂ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಮೂಲವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ.

ಕಾರ್ಯವಿಧಾನದ ಬಗ್ಗೆ ಗಮನಿಸಿ

$\sqrt(((a)^(2)))$ ಎಂದರೆ ನಾವು ಮೊದಲು $a$ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೌಲ್ಯದ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಯಾವುದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ $((a)^(2))\ge 0$ ರಿಂದ ಮೂಲ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಯಾವಾಗಲೂ ನಕಾರಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆ ಇರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಖಚಿತವಾಗಿ ಹೇಳಬಹುದು;
ಆದರೆ ಸಂಕೇತ $(\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ನಾವು ಮೊದಲು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ $a$ ನ ಮೂಲವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಮಾತ್ರ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ ಎಂದರ್ಥ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂಖ್ಯೆ $a$ ಯಾವುದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬಾರದು - ಇದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಕಡ್ಡಾಯ ಅವಶ್ಯಕತೆಯಾಗಿದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಆಲೋಚನೆಯಿಲ್ಲದೆ ಬೇರುಗಳು ಮತ್ತು ಡಿಗ್ರಿಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಾರದು, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಮೂಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು "ಸರಳಗೊಳಿಸುವುದು" ಎಂದು ಆರೋಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಏಕೆಂದರೆ ಮೂಲವು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಘಾತಾಂಕವು ಸಮವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಎಲ್ಲಾ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಸಹ ಸೂಚಕಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ.

ಮೂಲ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವುದು

ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ, ಬೆಸ ಘಾತಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬೇರುಗಳು ತಮ್ಮದೇ ಆದ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಇದು ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ ಸಹ ಒಂದರೊಂದಿಗೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ. ಅವುಗಳೆಂದರೆ:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ, ಬೆಸ ಪದವಿಯ ಬೇರುಗಳ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನೀವು ಮೈನಸ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಬಹುದು. ಇದು ತುಂಬಾ ಉಪಯುಕ್ತವಾದ ಆಸ್ತಿಯಾಗಿದ್ದು ಅದು ಎಲ್ಲಾ ಅನಾನುಕೂಲಗಳನ್ನು "ಎಸೆಯಲು" ನಿಮಗೆ ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \ಅಂತ್ಯ(ಜೋಡಣೆ)\]

ಈ ಸರಳ ಆಸ್ತಿಯು ಅನೇಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸರಳಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಈಗ ನೀವು ಚಿಂತಿಸಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ: ಋಣಾತ್ಮಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಮೂಲದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮರೆಮಾಡಿದರೆ, ಆದರೆ ಮೂಲದಲ್ಲಿನ ಪದವಿ ಸಮವಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮಿದರೆ ಏನು? ಬೇರುಗಳ ಹೊರಗಿನ ಎಲ್ಲಾ ಮೈನಸಸ್‌ಗಳನ್ನು "ಎಸೆಯಲು" ಸಾಕು, ನಂತರ ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಗುಣಿಸಬಹುದು, ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅನೇಕ ಅನುಮಾನಾಸ್ಪದ ಕೆಲಸಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು, ಇದು "ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ" ಬೇರುಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಮ್ಮನ್ನು ಮುನ್ನಡೆಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಖಾತರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ದೋಷ.

ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ ಮತ್ತೊಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ದೃಶ್ಯಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತದೆ - ಹೆಚ್ಚಿನ ಶಾಲೆಗಳಲ್ಲಿ ಅವರು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತಾರೆ. ಮತ್ತು ಅದು ಇಲ್ಲದೆ ನಮ್ಮ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯು ಅಪೂರ್ಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಮ್ಮನ್ನು ಭೇಟಿಯಾಗಿ!

ಅಂಕಗಣಿತದ ಮೂಲ

ಮೂಲ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಥವಾ ವಿಪರೀತ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರಬಹುದು ಎಂದು ಒಂದು ಕ್ಷಣ ಊಹಿಸೋಣ. ಸಮ/ಬೆಸ ಸೂಚಕಗಳನ್ನು ಮರೆತುಬಿಡೋಣ, ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ ಎಲ್ಲಾ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಮರೆತುಬಿಡೋಣ - ನಾವು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ. ಹಾಗಾದರೆ ಏನು?

ತದನಂತರ ನಾವು ಅಂಕಗಣಿತದ ಮೂಲವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ - ಇದು ನಮ್ಮ “ಪ್ರಮಾಣಿತ” ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳೊಂದಿಗೆ ಭಾಗಶಃ ಅತಿಕ್ರಮಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅವುಗಳಿಂದ ಇನ್ನೂ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. $((b)^(n))=a$ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಯ $n$ನೇ ಪದವಿಯ ಅಂಕಗಣಿತದ ಮೂಲ $b$.

ನಾವು ನೋಡುವಂತೆ, ನಾವು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಸಮಾನತೆಯಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಬದಲಾಗಿ, ಒಂದು ಹೊಸ ನಿರ್ಬಂಧವು ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿತು: ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಈಗ ಯಾವಾಗಲೂ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಮೂಲವು ಸಹ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲ.

ಅಂಕಗಣಿತದ ಮೂಲವು ಸಾಮಾನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೇಗೆ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿರುವ ಚೌಕ ಮತ್ತು ಘನ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ:

ಅಂಕಗಣಿತದ ಮೂಲ ಹುಡುಕಾಟ ಪ್ರದೇಶ - ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಇಂದಿನಿಂದ ನಾವು ಮೊದಲ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ತ್ರೈಮಾಸಿಕದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳ ತುಣುಕುಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ - ಅಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು $x$ ಮತ್ತು $y$ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ (ಅಥವಾ ಕನಿಷ್ಠ ಶೂನ್ಯ). ರೂಟ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹಾಕಲು ನಮಗೆ ಹಕ್ಕಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ನೀವು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಸೂಚಕವನ್ನು ನೋಡಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಏಕೆಂದರೆ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ನೀವು ಕೇಳಬಹುದು: "ಸರಿ, ನಮಗೆ ಅಂತಹ ತಟಸ್ಥ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಏಕೆ ಬೇಕು?" ಅಥವಾ: "ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನಾವು ಏಕೆ ಪಡೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ?"

ಸರಿ, ನಾನು ಕೇವಲ ಒಂದು ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇನೆ ಏಕೆಂದರೆ ಹೊಸ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಘಾತೀಯತೆಯ ನಿಯಮ:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ: ನಾವು ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಯಾವುದೇ ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಮೂಲ ಘಾತವನ್ನು ಅದೇ ಶಕ್ತಿಯಿಂದ ಗುಣಿಸಬಹುದು - ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶವು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ! ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಇಲ್ಲಿವೆ:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \end(align)\]

ಹಾಗಾದರೆ ಏನು ದೊಡ್ಡ ವಿಷಯ? ನಾವು ಇದನ್ನು ಮೊದಲು ಏಕೆ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಲಿಲ್ಲ? ಕಾರಣ ಇಲ್ಲಿದೆ. ಸರಳವಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ: $\sqrt(-2)$ - ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯು ನಮ್ಮ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ತಿಳುವಳಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಸಾಕಷ್ಟು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಮೂಲದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹವಲ್ಲ. ಅದನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಮೊದಲ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ನಾವು ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮೈನಸ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿದ್ದೇವೆ (ನಾವು ಪ್ರತಿ ಹಕ್ಕನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಘಾತವು ಬೆಸವಾಗಿದೆ), ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದೇವೆ. ಆ. ಗಣಿತದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

WTF?! ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವುದು ಹೇಗೆ? ಅಸಾದ್ಯ. ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಘಾತೀಯತೆಯ ಸೂತ್ರವು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಧರ್ಮದ್ರೋಹವನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತದೆ.

ಅಂತಹ ಅಸ್ಪಷ್ಟತೆಯನ್ನು ಹೋಗಲಾಡಿಸುವ ಸಲುವಾಗಿಯೇ ಅಂಕಗಣಿತದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಯಿತು. ಪ್ರತ್ಯೇಕ ದೊಡ್ಡ ಪಾಠವನ್ನು ಅವರಿಗೆ ಮೀಸಲಿಡಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ನಾವು ಅವರ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಈಗ ಅವರ ಮೇಲೆ ವಾಸಿಸುವುದಿಲ್ಲ - ಪಾಠವು ಈಗಾಗಲೇ ತುಂಬಾ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ.

ಬೀಜಗಣಿತ ಮೂಲ: ಹೆಚ್ಚು ತಿಳಿಯಲು ಬಯಸುವವರಿಗೆ

ಈ ವಿಷಯವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ ಹಾಕಬೇಕೆ ಅಥವಾ ಬೇಡವೇ ಎಂದು ನಾನು ಬಹಳ ಸಮಯ ಯೋಚಿಸಿದೆ. ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ನಾನು ಅದನ್ನು ಇಲ್ಲಿಯೇ ಬಿಡಲು ನಿರ್ಧರಿಸಿದೆ. ಈ ವಸ್ತುವು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಇನ್ನೂ ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಬಯಸುವವರಿಗೆ ಉದ್ದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ - ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಸರಾಸರಿ "ಶಾಲಾ" ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಒಲಿಂಪಿಯಾಡ್ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ: ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ $n$ ನೇ ಮೂಲ ಮತ್ತು ಸಮ ಮತ್ತು ಬೆಸ ಘಾತಾಂಕಗಳಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ವಿಭಜನೆಯ "ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ" ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಜೊತೆಗೆ, ಸಮಾನತೆ ಮತ್ತು ಇತರ ಸೂಕ್ಷ್ಮತೆಗಳ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲದ ಹೆಚ್ಚು "ವಯಸ್ಕ" ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಿದೆ. ಇದನ್ನು ಬೀಜಗಣಿತ ಮೂಲ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಯಾವುದೇ $a$ ನ ಬೀಜಗಣಿತದ $n$ನೇ ಮೂಲವು $((b)^(n))=a$ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ $b$ಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಾಪಿತ ಪದನಾಮವಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಮೇಲ್ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಡ್ಯಾಶ್ ಅನ್ನು ಹಾಕುತ್ತೇವೆ:

\[\ overline(\sqrt[n](a))=\left$ b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right$ \]

ಪಾಠದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೆಂದರೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೂಲವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲ, ಆದರೆ ಒಂದು ಸೆಟ್. ಮತ್ತು ನಾವು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದರಿಂದ, ಈ ಸೆಟ್ ಕೇವಲ ಮೂರು ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಬರುತ್ತದೆ:

ಖಾಲಿ ಸೆಟ್. ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಸಮ ಪದವಿಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೂಲವನ್ನು ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾದಾಗ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ;
ಒಂದೇ ಅಂಶವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಒಂದು ಸೆಟ್. ಬೆಸ ಶಕ್ತಿಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಬೇರುಗಳು, ಹಾಗೆಯೇ ಶೂನ್ಯದ ಸಮ ಶಕ್ತಿಗಳ ಬೇರುಗಳು ಈ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸೇರುತ್ತವೆ;
ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಸೆಟ್ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರಬಹುದು - ಅದೇ $((x)_(1))$ ಮತ್ತು $((x)_(2))=-((x)_(1))$ ಗ್ರಾಫ್ ಚತುರ್ಭುಜ ಕಾರ್ಯ. ಅಂತೆಯೇ, ಸಕಾರಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಸಮ ಪದವಿಯ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವಾಗ ಮಾತ್ರ ಅಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸಾಧ್ಯ.

ಕೊನೆಯ ಪ್ರಕರಣವು ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾದ ಪರಿಗಣನೆಗೆ ಅರ್ಹವಾಗಿದೆ. ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಒಂದೆರಡು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಿ:

\[\ಓವರ್‌ಲೈನ್(\sqrt(4));\ಕ್ವಾಡ್ \ಓವರ್‌ಲೈನ್(\sqrt(-27));\ಕ್ವಾಡ್ \ಓವರ್‌ಲೈನ್(\sqrt(-16)).\]

ಪರಿಹಾರ. ಮೊದಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಸರಳವಾಗಿದೆ:

\[\ಓವರ್‌ಲೈನ್(\sqrt(4))=\ಎಡ$2;-2 \ಬಲ$\]

ಇದು ಸೆಟ್ನ ಭಾಗವಾಗಿರುವ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ವರ್ಗವು ನಾಲ್ಕು ನೀಡುತ್ತದೆ.

\[\ಓವರ್‌ಲೈನ್(\sqrt(-27))=\ಎಡ$-3 \ಬಲ$\]

ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಕೇವಲ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಗುಂಪನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಮೂಲ ಘಾತವು ಬೆಸವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಇದು ಸಾಕಷ್ಟು ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿದೆ.

ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಕೊನೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ:

\[\ಓವರ್‌ಲೈನ್(\sqrt(-16))=\ವರ್ನಥಿಂಗ್ \]

ನಾವು ಖಾಲಿ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಏಕೆಂದರೆ ನಾಲ್ಕನೇ (ಅಂದರೆ, ಸಹ!) ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿಸಿದಾಗ, ನಮಗೆ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ -16 ಅನ್ನು ನೀಡುವ ಒಂದೇ ಒಂದು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ ಇಲ್ಲ.

ಅಂತಿಮ ಟಿಪ್ಪಣಿ. ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ: ನಾವು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ನಾನು ಎಲ್ಲೆಡೆ ಗಮನಿಸಿದ್ದು ಆಕಸ್ಮಿಕವಾಗಿ ಅಲ್ಲ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸಹ ಇರುವುದರಿಂದ - ಅಲ್ಲಿ $\sqrt(-16)$ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಮತ್ತು ಇನ್ನೂ ಅನೇಕ ವಿಚಿತ್ರವಾದ ವಿಷಯಗಳನ್ನು.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಆಧುನಿಕ ಶಾಲಾ ಗಣಿತ ಕೋರ್ಸ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಂದಿಗೂ ಕಂಡುಬರುವುದಿಲ್ಲ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳಿಂದ ಅವುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ನಮ್ಮ ಅಧಿಕಾರಿಗಳು ವಿಷಯವನ್ನು "ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ತುಂಬಾ ಕಷ್ಟ" ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತಾರೆ.

ಅಷ್ಟೇ. ಮುಂದಿನ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ನಾವು ಬೇರುಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಸರಳಗೊಳಿಸಬೇಕೆಂದು ಕಲಿಯುತ್ತೇವೆ.

ಶಕ್ತಿಗಳು ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು. ಋಣಾತ್ಮಕ ಜೊತೆ ಪದವಿ ,

ಶೂನ್ಯ ಮತ್ತು ಭಾಗಶಃ ಸೂಚಕ. ಅರ್ಥವಿಲ್ಲದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ.

ಡಿಗ್ರಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು.

1. ಒಂದೇ ಆಧಾರದೊಂದಿಗೆ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ಅವುಗಳ ಘಾತಾಂಕಗಳು ಕೂಡುತ್ತವೆ:

ಒಂದು ಮೀ · a n = a m + n.

2. ಅದೇ ಬೇಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಡಿಗ್ರಿಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವಾಗ, ಅವುಗಳ ಘಾತಾಂಕಗಳು ಕಡಿತಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ .

3. ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಪ್ರಮಾಣವು ಈ ಅಂಶಗಳ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

(ಎಬಿಸಿ… ) n = a n· ಬಿ ಎನ್ · ಸಿ ಎನ್…

4. ಅನುಪಾತದ (ಭಾಗ) ಪ್ರಮಾಣವು ಡಿವಿಡೆಂಡ್ (ಸಂಖ್ಯೆ) ಮತ್ತು ಭಾಜಕ (ಛೇದ) ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ:

(a/b ) n = a n / b n .

5. ಶಕ್ತಿಗೆ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವಾಗ, ಅವುಗಳ ಘಾತಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

(ಒಂದು ಮೀ ) n = a m n.

ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ ಎರಡೂ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ ಓದಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ (2 · 3 · 5 / 15)² = 2² 3² 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .

ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು. ಕೆಳಗಿನ ಎಲ್ಲಾ ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ, ಚಿಹ್ನೆ ಅರ್ಥ ಅಂಕಗಣಿತದ ಮೂಲ(ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ).

1. ಹಲವಾರು ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೂಲವು ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಈ ಅಂಶಗಳ ಮೂಲಗಳು:

2. ಅನುಪಾತದ ಮೂಲವು ಲಾಭಾಂಶ ಮತ್ತು ಭಾಜಕದ ಬೇರುಗಳ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

3. ಒಂದು ಶಕ್ತಿಗೆ ಮೂಲವನ್ನು ಏರಿಸುವಾಗ, ಈ ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿಸಿದರೆ ಸಾಕು ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಸಂಖ್ಯೆ:

4. ನಾವು ಇನ್ ಮೂಲ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಿದರೆಮೀ ಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸಿಮೀ ನೇ ಶಕ್ತಿಯು ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ, ನಂತರ ಮೂಲದ ಮೌಲ್ಯವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ:

5. ನಾವು ಇನ್ ಮೂಲ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿದರೆಮೀ ಒಮ್ಮೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಿರಿಮೀ ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಯ th ಶಕ್ತಿ, ನಂತರ ಮೂಲದ ಮೌಲ್ಯವು ಅಲ್ಲಬದಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಪದವಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವುದು. ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ನಾವು ಪದವಿಗಳನ್ನು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಘಾತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದೇವೆ;ಆದರೆ ಜೊತೆ ಕ್ರಿಯೆಗಳು ಡಿಗ್ರಿಗಳು ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳು ಸಹ ಕಾರಣವಾಗಬಹುದು ಋಣಾತ್ಮಕ, ಶೂನ್ಯಮತ್ತು ಭಾಗಶಃಸೂಚಕಗಳು. ಈ ಎಲ್ಲಾ ಘಾತಗಳಿಗೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

ಋಣಾತ್ಮಕ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಪದವಿ. ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶಕ್ತಿ c ಋಣಾತ್ಮಕ (ಪೂರ್ಣಾಂಕ) ಘಾತಾಂಕವನ್ನು ಒಂದು ಭಾಗಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶಕ್ತಿಯಿಂದನಕಾರಾತ್ಮಕ ಸೂಚಕ:

ಟಿಈಗ ಸೂತ್ರ ಒಂದು ಮೀ: ಒಂದು ಎನ್= ಒಂದು ಮೀ - ಎನ್ ಮಾತ್ರ ಬಳಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲಮೀ, ಹೆಚ್ಚು ಎನ್, ಆದರೆ ಜೊತೆಗೆ ಮೀ, ಕಡಿಮೆ ಎನ್ .

ಉದಾಹರಣೆ ಎ 4 :ಎ 7 = ಎ 4 - 7 = ಎ - 3 .

ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಯಸಿದರೆಒಂದು ಮೀ : ಒಂದು ಎನ್= ಒಂದು ಮೀ - ಎನ್ಯಾವಾಗ ನ್ಯಾಯಯುತವಾಗಿತ್ತುm = n, ನಮಗೆ ಪದವಿ ಶೂನ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

ಶೂನ್ಯ ಸೂಚ್ಯಂಕದೊಂದಿಗೆ ಪದವಿ. ಘಾತಾಂಕ ಶೂನ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶಕ್ತಿಯು 1 ಆಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗಳು. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

ಆಂಶಿಕ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಪದವಿ. ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಲುಮತ್ತು ವಿದ್ಯುತ್ m/n ಗೆ , ನೀವು ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಬೇಕು m ನ n ನೇ ಶಕ್ತಿ - ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶಕ್ತಿಎ:

ಅರ್ಥವಿಲ್ಲದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ. ಅಂತಹ ಹಲವಾರು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿವೆ.ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸಿದರೆ X, ನಂತರ ವಿಭಾಗ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: 0 = 0 · X. ಆದರೆ ಈ ಸಮಾನತೆ ಯಾವಾಗ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ x, ಇದು ಸಾಬೀತು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿತ್ತು.

ಪ್ರಕರಣ 3.

0 0 - ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ.

ನಿಜವಾಗಿಯೂ,

ಮೂರು ಮುಖ್ಯ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:

1) X = 0 – ಈ ಮೌಲ್ಯವು ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುವುದಿಲ್ಲ

(ಯಾಕೆ?).

2) ಯಾವಾಗ X> 0 ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: x/x = 1, ಅಂದರೆ. 1 = 1, ಅಂದರೆ

ಏನು X- ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ; ಆದರೆ ಅದನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು

ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ X> 0, ಉತ್ತರX > 0 ;

3) ಯಾವಾಗ X < 0 получаем: – x/x= 1, ಅಂದರೆ ಇ . –1 = 1, ಆದ್ದರಿಂದ,

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರವಿಲ್ಲ.

ಹೀಗಾಗಿ, X > 0.