ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ 2 ತ್ರಿಕೋನ ಮತ್ತು ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ನ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶಗಳು. "ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ, ತ್ರಿಕೋನ, ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ಪ್ರದೇಶ

1) ಶುಭಾಶಯ

2) ಪಾಠದ ಪ್ರೇರಣೆ ಶಿಕ್ಷಕರು ಪಾಠಕ್ಕಾಗಿ ತರಗತಿಯ ಸಿದ್ಧತೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತಾರೆ; ವಿಷಯವನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ.

ಬೋರ್ಡ್‌ನಲ್ಲಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಓದಿ (ವಿಷಯದ ಹಾಳೆ) ಮತ್ತು ಪ್ರಶ್ನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸಿ:

ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಿಂದ ಆಕ್ರಮಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿರುವ ಸಮತಲದ ಆ ಭಾಗದ ಗಾತ್ರವು ... (ಪ್ರದೇಶ)

ಒಂದು ಚತುರ್ಭುಜದ ಎದುರು ಬದಿಗಳು ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ - ....(ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ)

ಒಂದೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಇರದ ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಮೂರು ವಿಭಾಗಗಳಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ಆಕೃತಿಯನ್ನು .... (ತ್ರಿಕೋನ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಎರಡು ಬದಿಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ಮತ್ತು ಇತರ ಎರಡು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರದ ಆಕೃತಿಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ... (ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್)

ಫಲಿತಾಂಶದ ಪದಗಳಿಂದ, ನಮ್ಮ ಇಂದಿನ ಪಾಠದ ವಿಷಯವನ್ನು ರಚಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಪಾಠದ ವಿಷಯ.... ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ, ತ್ರಿಕೋನ, ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ಪ್ರದೇಶಗಳು.

ಪ್ರದೇಶಗಳು, ನಾವು ಯಾವ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು ಮತ್ತು ಹೇಗೆ?

ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿನ ಅಂಕಿಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ.

ಬೇರೆ ಪರಿಹಾರಗಳಿವೆಯೇ?

ಏನಾಯಿತು?

ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಯಾವ ಪ್ರಯತ್ನಗಳನ್ನು ಮಾಡಲಾಗಿದೆ?

ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಯಾರು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದರು? ನನಗೆ ಹೇಳು.

ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ.

ಕಾರ್ಯ.

ಅದೇ ಪ್ರದೇಶದೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಆಯತವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನು "ಮರು ಎಳೆಯುವುದು" ಹೇಗೆ?

ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನು ಒಂದು ಆಯತಕ್ಕೆ ಪುನಃ ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದರರ್ಥ ಅದರ ಪ್ರದೇಶವು ಆಯತದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜಕ್ಕೆ ಆಯತದ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಅಗಲ ಎಷ್ಟು?

ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಅದರ ತಳ ಮತ್ತು ಅದರ ಎತ್ತರದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದಲ್ಲಿ, ಬೇಸ್ ಯಾವುದೇ ಬದಿಯಾಗಿರಬಹುದು. ಮತ್ತು ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು, ಎತ್ತರವನ್ನು ಬೇಸ್ಗೆ ಎಳೆಯಬೇಕು.

ಈ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ.

ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರದ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ.

ನೀವು ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಹೇಗೆ ಪುನಃ ಚಿತ್ರಿಸಬಹುದು ಅಥವಾ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಬಹುದು?

ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಅದರ ತಳ ಮತ್ತು ಎತ್ತರದ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ತ್ರಿಕೋನವು ಲಂಬಕೋನವಾಗಿದ್ದರೆ ಏನು?

ಅಂಜೂರವನ್ನು ನೋಡಿ.

ಇದನ್ನು ಒಂದು ಆಯತಕ್ಕೆ "ಮರು ಎಳೆಯಬಹುದು".

ಮತ್ತು ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದರ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

ಎಸ್ = ಎ * ಬಿ . ಆಯತದ ಉದ್ದವು ಲೆಗ್ನ ಅರ್ಧದಷ್ಟು, ಮತ್ತು ಅಗಲವು ಇನ್ನೊಂದು ಕಾಲು.

ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರದೇಶವು ಅದರ ಕಾಲುಗಳ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ.

ಟ್ರೆಪೆಜಿಯಮ್ ಅನ್ನು ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ "ಮರು ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗಿದೆ" ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡಿ. ಮತ್ತು ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ತ್ರಿಕೋನದ ತಳವು ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ತಳದ ಉದ್ದಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನದ ಎತ್ತರವು ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ನ ಎತ್ತರವಾಗಿದೆ.

ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ನ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಅದರ ಬೇಸ್ಗಳ ಅರ್ಧ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಅದರ ಎತ್ತರದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

1) ಎಸ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಉಗಿ. , ವೇಳೆ ಎ=5, ಗಂ =4.

2) ಎಸ್ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ. , ವೇಳೆ ಎ=3,5; ಗಂ =2.

3) ಎಸ್ ಲ್ಯಾಡರ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ. , ವೇಳೆ ಎ=4,5; ಬಿ = 2,5; ಗಂ =3.

ಪರೀಕ್ಷಾ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿ (ಅನುಬಂಧವನ್ನು ನೋಡಿ)

ಸ್ವತಂತ್ರ ಕೆಲಸದ ಪೀರ್ ವಿಮರ್ಶೆ.

ಹೊಸ ವಿಷಯದ ಕುರಿತು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು:

ಸಂ. 675(a,d), 676(a,b), 677(a,b)

ದುರ್ಬಲ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಸಾಧನೆ ಮಾಡುವ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ, ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಕೆಲಸವನ್ನು ಸಿದ್ಧಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ರೆಕಾರ್ಡ್ ಮಾಡುವ ಉದಾಹರಣೆ ಇರುವ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸೇರಿವೆ.

ಹೊಸ ವಿಷಯದ ಕುರಿತು ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಗೆ ಉತ್ತರಿಸಲು ಶಿಕ್ಷಕರು ಅವಕಾಶ ನೀಡುತ್ತಾರೆ.

ಹುಡುಗರೇ, ಅದನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸೋಣ!

ಇಂದು ನೀವು ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಏನು ಕಲಿತಿದ್ದೀರಿ?

ನೀವು ಏನು ಮಾಡಲು ಕಲಿತಿದ್ದೀರಿ?

ಏನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಕಷ್ಟವಾಯಿತು?

ಶಿಕ್ಷಕರು ಮನೆಕೆಲಸದ ಬಗ್ಗೆ ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ.

ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ 23 ಸಂ. 675(b,c), 676(c,d), 677(c,d)

ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಒಳ್ಳೆಯದು!

ಪಾಠ ಮುಗಿಯಿತು. ವಿದಾಯ!

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶ- ಈ ಆಕೃತಿಯ ಗಾತ್ರವನ್ನು ತೋರಿಸುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಕೃತಿಯ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣ (ಈ ಆಕೃತಿಯ ಮುಚ್ಚಿದ ಬಾಹ್ಯರೇಖೆಯಿಂದ ಸೀಮಿತವಾದ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಭಾಗ). ಪ್ರದೇಶದ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಅದರಲ್ಲಿರುವ ಚದರ ಘಟಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ತ್ರಿಕೋನ ಪ್ರದೇಶದ ಸೂತ್ರಗಳು

ಅಕ್ಕಪಕ್ಕ ಮತ್ತು ಎತ್ತರದ ಮೂಲಕ ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರ
ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರದೇಶತ್ರಿಕೋನದ ಒಂದು ಬದಿಯ ಉದ್ದದ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಬದಿಗೆ ಎಳೆಯಲಾದ ಎತ್ತರದ ಉದ್ದ
ಮೂರು ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರ
ಮೂರು ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ಕೆತ್ತಲಾದ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರ
ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರದೇಶತ್ರಿಕೋನದ ಅರೆ ಪರಿಧಿಯ ಮತ್ತು ಕೆತ್ತಲಾದ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಚದರ ಪ್ರದೇಶದ ಸೂತ್ರಗಳು

ಅಡ್ಡ ಉದ್ದವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಚೌಕದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರ
ಚದರ ಪ್ರದೇಶಅದರ ಬದಿಯ ಉದ್ದದ ಚೌಕಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಕರ್ಣೀಯ ಉದ್ದದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಒಂದು ಚೌಕದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರ
ಚದರ ಪ್ರದೇಶಅದರ ಕರ್ಣೀಯ ಉದ್ದದ ಅರ್ಧ ಚೌಕಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
S= 1 2
2

ಆಯತ ಪ್ರದೇಶದ ಸೂತ್ರ

ಒಂದು ಆಯತದ ಪ್ರದೇಶ

ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶ ಸೂತ್ರಗಳು

ಅಡ್ಡ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಎತ್ತರದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರ
ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶ
ಎರಡು ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರ
ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶಅದರ ಬದಿಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಸೈನ್ನಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
a b sin α

ರೋಂಬಸ್ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರಗಳು

ಅಡ್ಡ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಎತ್ತರವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ರೋಂಬಸ್ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರ
ರೋಂಬಸ್ನ ಪ್ರದೇಶಅದರ ಬದಿಯ ಉದ್ದದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎತ್ತರದ ಉದ್ದವನ್ನು ಈ ಬದಿಗೆ ಇಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಅಡ್ಡ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಕೋನವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ರೋಂಬಸ್ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರ
ರೋಂಬಸ್ನ ಪ್ರದೇಶಅದರ ಬದಿಯ ಉದ್ದದ ಚೌಕದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ರೋಂಬಸ್ನ ಬದಿಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಸೈನ್ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಅದರ ಕರ್ಣಗಳ ಉದ್ದವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ರೋಂಬಸ್ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರ
ರೋಂಬಸ್ನ ಪ್ರದೇಶಅದರ ಕರ್ಣಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ಪ್ರದೇಶದ ಸೂತ್ರಗಳು

ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ಗಾಗಿ ಹೆರಾನ್ ಸೂತ್ರ
ಅಲ್ಲಿ S ಎಂಬುದು ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ನ ಪ್ರದೇಶವಾಗಿದೆ,
- ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ನ ಬೇಸ್ಗಳ ಉದ್ದಗಳು,
- ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ನ ಬದಿಗಳ ಉದ್ದಗಳು,

ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶ

ಪ್ರಮೇಯ 1

ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಅದರ ಬದಿಯ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಎಳೆಯುವ ಎತ್ತರದ ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಇಲ್ಲಿ $a$ ಎಂಬುದು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಒಂದು ಬದಿಯಾಗಿದೆ, $h$ ಎಂಬುದು ಈ ಬದಿಗೆ ಎಳೆಯಲಾದ ಎತ್ತರವಾಗಿದೆ.

ಪುರಾವೆ.

ನಮಗೆ $AD=BC=a$ ಜೊತೆಗೆ $ABCD$ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನು ನೀಡೋಣ. $DF$ ಮತ್ತು $AE$ (Fig. 1) ಎತ್ತರವನ್ನು ನಾವು ಸೆಳೆಯೋಣ.

ಚಿತ್ರ 1.

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, $FDAE$ ಚಿತ್ರವು ಒಂದು ಆಯತವಾಗಿದೆ.

\[\angle BAE=(90)^0-\angle A,\ \] \[\angle CDF=\angle D-(90)^0=(180)^0-\angle A-(90)^0 =(90)^0-\angle A=\angle BAE\]

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, $\triangle BAE=\triangle CDF$ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಸಮಾನತೆಗೆ $I$ ಮಾನದಂಡದಿಂದ $CD=AB,\ DF=AE=h$. ನಂತರ

ಆದ್ದರಿಂದ, ಆಯತದ ಪ್ರದೇಶದ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ:

ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 2

ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಅದರ ಪಕ್ಕದ ಬದಿಗಳ ಉದ್ದದ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಈ ಬದಿಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಸೈನ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಗಣಿತದ ಪ್ರಕಾರ ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು

ಇಲ್ಲಿ $a,\b$ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಬದಿಗಳು, $\alpha$ ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವಾಗಿದೆ.

ಪುರಾವೆ.

ನಮಗೆ $BC=a,\ CD=b,\ \angle C=\alpha $ ಜೊತೆಗೆ $ABCD$ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನು ನೀಡೋಣ. ನಾವು ಎತ್ತರವನ್ನು ಸೆಳೆಯೋಣ $DF=h$ (ಚಿತ್ರ 2).

ಚಿತ್ರ 2.

ಸೈನ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಆದ್ದರಿಂದ

ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ $1$:

ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರದೇಶ

ಪ್ರಮೇಯ 3

ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಅದರ ಬದಿಯ ಉದ್ದದ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಎಳೆಯುವ ಎತ್ತರ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಗಣಿತದ ಪ್ರಕಾರ ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು

ಇಲ್ಲಿ $a$ ಎಂಬುದು ತ್ರಿಕೋನದ ಒಂದು ಬದಿಯಾಗಿದೆ, $h$ ಎಂಬುದು ಈ ಬದಿಗೆ ಎಳೆಯಲಾದ ಎತ್ತರವಾಗಿದೆ.

ಪುರಾವೆ.

ಚಿತ್ರ 3.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ $1$:

ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 4

ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಅದರ ಪಕ್ಕದ ಬದಿಗಳ ಉದ್ದದ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಈ ಬದಿಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಸೈನ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಗಣಿತದ ಪ್ರಕಾರ ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು

ಇಲ್ಲಿ $a,\b$ ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳು, $\alpha$ ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವಾಗಿದೆ.

ಪುರಾವೆ.

ನಮಗೆ $AB=a$ ಜೊತೆಗೆ $ABC$ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ನೀಡೋಣ. $CH=h$ ಎತ್ತರವನ್ನು ಸೆಳೆಯೋಣ. ಅದನ್ನು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ $ABCD$ (Fig. 3) ಗೆ ನಿರ್ಮಿಸೋಣ.

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಸಮಾನತೆಯ $I$ ಮಾನದಂಡದ ಮೂಲಕ, $\triangle ACB=\triangle CDB$. ನಂತರ

ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ $1$:

ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ಪ್ರದೇಶ

ಪ್ರಮೇಯ 5

ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ನ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಅದರ ತಳದ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಎತ್ತರದ ಮೊತ್ತದ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಉತ್ಪನ್ನವೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಗಣಿತದ ಪ್ರಕಾರ ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು

ಪುರಾವೆ.

ನಮಗೆ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ $ABCK$ ನೀಡೋಣ, ಇಲ್ಲಿ $AK=a,\ BC=b$. ನಾವು ಅದರಲ್ಲಿ ಎತ್ತರದ $BM=h$ ಮತ್ತು $KP=h$, ಹಾಗೆಯೇ ಕರ್ಣ $BK$ (Fig. 4) ಅನ್ನು ಸೆಳೆಯೋಣ.

ಚಿತ್ರ 4.

ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ $3$, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಮಾದರಿ ಕಾರ್ಯ

ಉದಾಹರಣೆ 1

ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನದ ಅಡ್ಡ ಉದ್ದವು $a.$ ಆಗಿದ್ದರೆ ಅದರ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ಪರಿಹಾರ.

ತ್ರಿಕೋನವು ಸಮಬಾಹುವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಕೋನಗಳು $(60)^0$ ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನಂತರ, ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ $4$, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

ಉತ್ತರ:$\frac(a^2\sqrt(3))(4)$.

ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬದಿಯೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಬಳಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.

ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಕರೆಯಲು ನಾವು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳೋಣ ಆಧಾರದ, ಮತ್ತು ಬೇಸ್ ಹೊಂದಿರುವ ರೇಖೆಗೆ ಎದುರು ಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಲಂಬವಾಗಿ ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ಎತ್ತರ.

ಪ್ರಮೇಯ

ಪುರಾವೆ

S ಪ್ರದೇಶದೊಂದಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ABCD ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. AD ಅನ್ನು ಆಧಾರವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ ಮತ್ತು ВН ಮತ್ತು СК ಎತ್ತರಗಳನ್ನು ಸೆಳೆಯೋಣ (ಚಿತ್ರ 182). S = AD VN ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ.

ಅಕ್ಕಿ. 182

ABCD ಆಯತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು S ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಮೊದಲು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ABCD ಒಂದು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ABCD ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನ DCK ಯಿಂದ ಕೂಡಿದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಇದು ಒಂದು ಆಯತ НВСК ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನ АВН ರಚಿತವಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಬಲ ತ್ರಿಕೋನಗಳು DCK ಮತ್ತು ABH ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಮತ್ತು ತೀವ್ರ ಕೋನದಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಅವುಗಳ ಹೈಪೋಟೆನಸ್‌ಗಳು AB ಮತ್ತು CD ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ವಿರುದ್ಧ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು 1 ಮತ್ತು 2 ಕೋನಗಳು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳು AB ಮತ್ತು CD ಸೆಕೆಂಟ್ AD ಯೊಂದಿಗೆ ಛೇದಿಸಿದಾಗ ಅನುಗುಣವಾದ ಕೋನಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ) , ಆದ್ದರಿಂದ ಅವರ ಪ್ರದೇಶಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ABCD ಮತ್ತು ಆಯತ NVSK ಯ ಪ್ರದೇಶಗಳು ಸಹ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, NVSK ಆಯತದ ಪ್ರದೇಶವು S ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆಯತದ ಪ್ರದೇಶದ ಮೇಲೆ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ S = BC BN, ಮತ್ತು ನಂತರ BC = AD, ನಂತರ S = AD BN. ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರದೇಶ

ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಆಧಾರದ. ಬೇಸ್ ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದರೆ, "ಎತ್ತರ" ಎಂಬ ಪದವು ಬೇಸ್ಗೆ ಎಳೆಯಲಾದ ತ್ರಿಕೋನದ ಎತ್ತರವನ್ನು ಅರ್ಥೈಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮೇಯ

ಪುರಾವೆ

S ತ್ರಿಕೋನ ABC ಯ ಪ್ರದೇಶವಾಗಿರಲಿ (ಚಿತ್ರ 183). AB ಅನ್ನು ತ್ರಿಕೋನದ ಆಧಾರವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ ಮತ್ತು ಎತ್ತರ CH ಅನ್ನು ಸೆಳೆಯೋಣ. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತು ಮಾಡೋಣ .

ಅಕ್ಕಿ. 183

ಚಿತ್ರ 183 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ತ್ರಿಕೋನ ABC ಅನ್ನು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ABDC ಗೆ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸೋಣ. ABC ಮತ್ತು DCB ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಮೂರು ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (BC ಅವುಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಗವಾಗಿದೆ, AB = CD ಮತ್ತು AC = BD ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ABDC ಯ ವಿರುದ್ಧ ಬದಿಗಳಾಗಿ), ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ತ್ರಿಕೋನ ABC ಯ S ಪ್ರದೇಶವು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ABDC ಯ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. . ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಫಲಿತಾಂಶ 1

ಫಲಿತಾಂಶ 2

ಸಮಾನ ಕೋನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಅನುಪಾತದ ಮೇಲೆ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ನಾವು ಕೊರೊಲರಿ 2 ಅನ್ನು ಬಳಸೋಣ.

ಪ್ರಮೇಯ

ಪುರಾವೆ

S ಮತ್ತು S 1 ತ್ರಿಕೋನಗಳ ABC ಮತ್ತು A 1 B 1 C 1 ಪ್ರದೇಶಗಳಾಗಿರಲಿ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ∠A = ∠A 1 (Fig. 184, a). ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತು ಮಾಡೋಣ .

ಅಕ್ಕಿ. 184

ತ್ರಿಕೋನ ABC ಯಲ್ಲಿ A 1 B 1 C 1 ಅನ್ನು ಅತಿಕ್ರಮಿಸೋಣ ಇದರಿಂದ ಶೃಂಗ A 1 ಶೃಂಗವನ್ನು A ನೊಂದಿಗೆ ಜೋಡಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು A 1 B 1 ಮತ್ತು A 1 C 1 ಅತಿಕ್ರಮಿಸುವ ಕಿರಣಗಳು AB ಮತ್ತು AC, ಕ್ರಮವಾಗಿ (Fig. 184, b). ತ್ರಿಕೋನಗಳು ABC ಮತ್ತು AB 1 C ಸಾಮಾನ್ಯ ಎತ್ತರವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ - CH, ಆದ್ದರಿಂದ .

ತ್ರಿಕೋನಗಳು AB 1 C ಮತ್ತು AB 1 C 1 ಸಹ ಸಾಮಾನ್ಯ ಎತ್ತರವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ - B 1 H 1, ಆದ್ದರಿಂದ . ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿ, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ಪ್ರದೇಶ

ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ನೀವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಇದನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೀರಿ: ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಿ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಈ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಮೊತ್ತವು ನೀಡಿರುವ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 185, a). ಈ ತಂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್‌ನ ಎತ್ತರವನ್ನು ಬೇಸ್‌ಗಳ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಇನ್ನೊಂದು ಬೇಸ್ ಹೊಂದಿರುವ ರೇಖೆಗೆ ಎಳೆಯುವ ಲಂಬ ಎಂದು ಕರೆಯಲು ನಾವು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳೋಣ. ಚಿತ್ರ 185 ರಲ್ಲಿ, b, ವಿಭಾಗ BH (ಹಾಗೆಯೇ ವಿಭಾಗ DH 1) ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ABCD ಯ ಎತ್ತರವಾಗಿದೆ.

ಅಕ್ಕಿ. 185

ಪ್ರಮೇಯ

ಪುರಾವೆ

AD ಮತ್ತು BC, ಎತ್ತರ BH ಮತ್ತು ಪ್ರದೇಶ S ನೊಂದಿಗೆ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ABCD ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ (Fig. 185, b ನೋಡಿ).

ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತು ಮಾಡೋಣ

ಕರ್ಣೀಯ BD ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ಅನ್ನು ABD ಮತ್ತು BCD ಎಂಬ ಎರಡು ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ S = S ABD + S BCD.

ನಾವು AD ಮತ್ತು ВН ತ್ರಿಕೋನ ABD ಯ ಮೂಲ ಮತ್ತು ಎತ್ತರವಾಗಿ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ, ಮತ್ತು ವಿಭಾಗಗಳು ВС ಮತ್ತು DH 1 ತ್ರಿಕೋನ BCD ಯ ಮೂಲ ಮತ್ತು ಎತ್ತರ. ನಂತರ

ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಕಾರ್ಯಗಳು

459. a ಬೇಸ್ ಆಗಿರಲಿ, h ಎತ್ತರ, ಮತ್ತು S ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ. ಹುಡುಕಿ: a) S, a = 15 cm, h = 12 cm; ಬಿ) a, S = 34 cm 2 ಆಗಿದ್ದರೆ, h = 8.5 cm; ಸಿ) a, S = 162 cm 2 ಆಗಿದ್ದರೆ, h = 1/2a; d) h, h = 3a ಆಗಿದ್ದರೆ, S = 27.

460. ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಕರ್ಣವು 13 ಸೆಂಟಿಮೀಟರ್‌ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಬದಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

461. ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪಕ್ಕದ ಬದಿಗಳು 12 cm ಮತ್ತು 14 cm, ಮತ್ತು ಅದರ ತೀವ್ರ ಕೋನವು 30 ° ಆಗಿದೆ. ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

462. ರೋಂಬಸ್ನ ಬದಿಯು 6 ಸೆಂ, ಮತ್ತು ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು 150 ° ಆಗಿದೆ. ರೋಂಬಸ್ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

463. ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಬದಿಯು 8.1 ಸೆಂ.ಮೀ., ಮತ್ತು ಕರ್ಣೀಯ, 14 ಸೆಂ.ಮೀ.ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದರೊಂದಿಗೆ 30 ° ಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

464. a ಮತ್ತು b ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪಕ್ಕದ ಬದಿಗಳಾಗಿರಲಿ, S ಪ್ರದೇಶ, a h 1 ಮತ್ತು h 2 ಅದರ ಎತ್ತರಗಳು. ಹುಡುಕಿ: a) h 2 a = 18 cm, b = 30 cm, h 1 = 6 cm, h 2 > h 1 ; b) h 1, a = 10 cm, 6 = 15 cm, h 2 = 6 cm, h 2 > h 1 c) h 1 ಮತ್ತು h 2, S = 54 cm 2, a = 4.5 cm, b = 6 ಸೆಂ.ಮೀ.

465. ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ತೀವ್ರ ಕೋನವು 30 ° ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಚೂಪಾದ ಕೋನದ ಶೃಂಗದಿಂದ ಚಿತ್ರಿಸಿದ ಎತ್ತರಗಳು 2 ಸೆಂ ಮತ್ತು 3 ಸೆಂ.ಮೀ.

466. ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಕರ್ಣವು ಅದರ ಬದಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅದರ ಉದ್ದನೆಯ ಭಾಗವು 15.2 ಸೆಂ ಮತ್ತು ಅದರ ಒಂದು ಕೋನವು 45 ° ಆಗಿದ್ದರೆ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

467. ಚೌಕವಲ್ಲದ ಚೌಕ ಮತ್ತು ರೋಂಬಸ್ ಒಂದೇ ಪರಿಧಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಈ ಅಂಕಿಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡಿ.

468. a ಬೇಸ್ ಆಗಿರಲಿ, h ಎತ್ತರ ಮತ್ತು S ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ. ಹುಡುಕಿ: a) S, a = 7 cm, h = 11 cm; b) S, a = 2√3 cm, h = 5 cm; ಸಿ) h, S = 37.8 cm 2 ವೇಳೆ, a - 14 cm; d) a, S = 12 cm 2 ಆಗಿದ್ದರೆ, h = 3√2 cm.

469. ಎಬಿಸಿ ತ್ರಿಕೋನದ AB ಮತ್ತು BC ಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ 16 cm ಮತ್ತು 22 cm ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು AB ಬದಿಗೆ ಎಳೆಯಲಾದ ಎತ್ತರವು 11 cm ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

470. ತ್ರಿಕೋನದ ಎರಡು ಬದಿಗಳು 7.5 ಸೆಂ ಮತ್ತು 3.2 ಸೆಂಟಿಮೀಟರ್‌ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

471. ಡಿ ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಅದರ ಕಾಲುಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ: a) 4 cm ಮತ್ತು 11 cm; b) 1.2 dm ಮತ್ತು 3 dm.

472. ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರದೇಶವು 168 ಸೆಂ 2 ಆಗಿದೆ. ಅವುಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಅನುಪಾತವು 7/12 ಆಗಿದ್ದರೆ ಅದರ ಕಾಲುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

473. ABCಯ ತ್ರಿಕೋನದ C ಶೃಂಗದ ಮೂಲಕ, AB ಬದಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ m ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ರೇಖೆಯ ಮೀ ಮತ್ತು ಬೇಸ್ ಎಬಿ ಮೇಲಿನ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಸಮಾನ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.

474. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಅದರ ಮಧ್ಯಭಾಗದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದ ಎರಡು ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡಿ.

475. ಎಬಿಸಿ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ. ಎ ಶೃಂಗದ ಮೂಲಕ ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ ಇದರಿಂದ ಅವರು ಈ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಸಮಾನ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮೂರು ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತಾರೆ.

476. ರೋಂಬಸ್ನ ಪ್ರದೇಶವು ಅದರ ಕರ್ಣಗಳ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ. ಅದರ ಕರ್ಣಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ರೋಂಬಸ್ನ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ: a) 3.2 dm ಮತ್ತು 14 cm; ಬಿ) 4.6 ಡಿಎಂ ಮತ್ತು 2 ಡಿಎಂ.

477. ರೋಂಬಸ್‌ನ ಕರ್ಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕಿಂತ 1.5 ಪಟ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ರೋಂಬಸ್‌ನ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ 27 ಸೆಂ 2 ಆಗಿದ್ದರೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

478. ಪೀನ ಚತುರ್ಭುಜದಲ್ಲಿ, ಕರ್ಣಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶವು ಅದರ ಕರ್ಣಗಳ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.

479. ಎಬಿಸಿ ತ್ರಿಕೋನದ ಎಬಿ ಮತ್ತು ಎಸಿ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಡಿ ಮತ್ತು ಇ ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳು ಇರುತ್ತವೆ. ಹುಡುಕಿ: a) S ADE, AB = 5 cm, AC = 6 cm, AD = 3 cm, AE = 2 cm, S ABC = 10 cm 2 ; b) AD, AB = 8 cm, AC = 3 cm, AE = 2 cm, S ABC = 10 cm 2, S ADE = 2 cm 2 ಆಗಿದ್ದರೆ.

480. AB ಮತ್ತು CD ಬೇಸ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ABCD ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

a) AB = 21 cm, CD = 17 cm, ಎತ್ತರ BH 7 cm;
b) ∠D = 30°, AB = 2 cm, CD = 10 cm, DA = 8 cm;
c) BC ⊥ AB, AB = 5 cm, BC = 8 cm, CD = 13 cm.

481. ಆಯತಾಕಾರದ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ, ಅದರ ಎರಡು ಸಣ್ಣ ಬದಿಗಳು 6 ಸೆಂ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಕೋನವು 135 ° ಆಗಿದೆ.

482. ಐಸೊಸೆಲ್ಸ್ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್‌ನ ಚೂಪಾದ ಕೋನವು 135° ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಈ ಕೋನದ ಶೃಂಗದಿಂದ ಎಳೆಯಲ್ಪಟ್ಟ ಎತ್ತರವು ದೊಡ್ಡ ತಳವನ್ನು 1.4 ಸೆಂ.ಮೀ ಮತ್ತು 3.4 ಸೆಂ.ಮೀ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ.

ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಉತ್ತರಗಳು

459. a) 180 cm 2; ಬಿ) 4 ಸೆಂ; ಸಿ) 18 ಸೆಂ; ಡಿ) 9.

460. 156 ಸೆಂ 2.

461.84 ಸೆಂ 2.

462. 18 ಸೆಂ 2.

463.56.7 cm2.

464. a) 10 cm; ಬಿ) 4 ಸೆಂ; ಸಿ) 12 ಸೆಂ ಮತ್ತು 9 ಸೆಂ.

465. 12 ಸೆಂ 2.

466. 115.52 ಸೆಂ 2.

467. ಒಂದು ಚೌಕದ ಪ್ರದೇಶವು ಹೆಚ್ಚು.

468. a) 38.5 cm 2; ಬಿ) 5√3 ಸೆಂ 2; ಸಿ) ಡಿ) 4√2 ಸೆಂ.

470.5.625 ಸೆಂ.ಮೀ.

471. a) 22 cm 2; ಬಿ) 1.8 ಡಿಎಂ 2.

472. 14 ಸೆಂ ಮತ್ತು 24 ಸೆಂ.

473. ಸೂಚನೆ. ಪ್ರಮೇಯ 38 ಬಳಸಿ.

474. ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ.

475. ಸೂಚನೆ. ಮೊದಲಿಗೆ, ಕ್ರಿ.ಪೂ. ಭಾಗವನ್ನು ಮೂರು ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಿ.

476. a) 224 cm 2; ಬಿ) 4.6 ಡಿಎಂ 2. ಸೂಚನೆ. ರೋಂಬಸ್‌ನ ಕರ್ಣಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.

477. 6 ಸೆಂ ಮತ್ತು 9 ಸೆಂ.

479. a) 2 cm 2; ಬಿ) 2.4 ಸೆಂ. ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ 53 ರಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿ.

480. a) 133 cm 2; ಬಿ) 24 ಸೆಂ 2; ಸಿ) 72 ಸೆಂ 2.

481.54 ಸೆಂ 2.

ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶ

ಪ್ರಮೇಯ 1

ಪುರಾವೆ.

ಚಿತ್ರ 1.

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, $FDAE$ ಚಿತ್ರವು ಒಂದು ಆಯತವಾಗಿದೆ.

\[\angle BAE=(90)^0-\angle A,\ \] \[\angle CDF=\angle D-(90)^0=(180)^0-\angle A-(90)^0 =(90)^0-\angle A=\angle BAE\]

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, $\triangle BAE=\triangle CDF$ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಸಮಾನತೆಗೆ $I$ ಮಾನದಂಡದಿಂದ $CD=AB,\ DF=AE=h$. ನಂತರ

ಆದ್ದರಿಂದ, ಆಯತದ ಪ್ರದೇಶದ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ:

ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 2

ಗಣಿತದ ಪ್ರಕಾರ ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು

ಇಲ್ಲಿ $a,\b$ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಬದಿಗಳು, $\alpha$ ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವಾಗಿದೆ.

ಪುರಾವೆ.

ಚಿತ್ರ 2.

ಸೈನ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಆದ್ದರಿಂದ

ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ $1$:

ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರದೇಶ

ಪ್ರಮೇಯ 3

ಗಣಿತದ ಪ್ರಕಾರ ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು

ಪುರಾವೆ.

ಚಿತ್ರ 3.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ $1$:

ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 4

ಗಣಿತದ ಪ್ರಕಾರ ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು

ಇಲ್ಲಿ $a,\b$ ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳು, $\alpha$ ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವಾಗಿದೆ.

ಪುರಾವೆ.

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಸಮಾನತೆಯ $I$ ಮಾನದಂಡದ ಮೂಲಕ, $\triangle ACB=\triangle CDB$. ನಂತರ

ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ $1$:

ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ಪ್ರದೇಶ

ಪ್ರಮೇಯ 5

ಗಣಿತದ ಪ್ರಕಾರ ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು

ಪುರಾವೆ.

ಚಿತ್ರ 4.

ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ $3$, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಮಾದರಿ ಕಾರ್ಯ

ಉದಾಹರಣೆ 1

ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನದ ಅಡ್ಡ ಉದ್ದವು $a.$ ಆಗಿದ್ದರೆ ಅದರ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ಪರಿಹಾರ.

ತ್ರಿಕೋನವು ಸಮಬಾಹುವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಕೋನಗಳು $(60)^0$ ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನಂತರ, ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ $4$, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

ಉತ್ತರ:$\frac(a^2\sqrt(3))(4)$.