", ಅಂದರೆ, ಮೊದಲ ಪದವಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು. ಈ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು.

ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದರೇನು?

ಪ್ರಮುಖ!

ಸಮೀಕರಣದ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಅಜ್ಞಾತವು ನಿಂತಿರುವ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಮಟ್ಟದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಜ್ಞಾತವು "2" ಆಗಿರುವ ಗರಿಷ್ಠ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೀರಿ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

• 5x 2 - 14x + 17 = 0
• -x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0.25x = 0
• x 2 - 8 = 0

ಪ್ರಮುಖ! ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

A x 2 + b x + c = 0

"a", "b" ಮತ್ತು "c" ಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

• "a" ಮೊದಲ ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಗುಣಾಂಕವಾಗಿದೆ;
• "b" ಎರಡನೇ ಗುಣಾಂಕವಾಗಿದೆ;
• "ಸಿ" ಒಂದು ಉಚಿತ ಸದಸ್ಯ.

"a", "b" ಮತ್ತು "c" ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನೀವು ನಿಮ್ಮ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು "ax 2 + bx + c = 0" ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಬೇಕು.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ "a", "b" ಮತ್ತು "c" ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡೋಣ.

5x 2 - 14x + 17 = 0 −7x 2 - 13x + 8 = 0 -x 2 + x +

ಸಮೀಕರಣ	ಆಡ್ಸ್
a = 5 b = -14 c = 17
a = -7 b = -13 c = 8

1

3

= 0

• a = -1
• b = 1
• c =

  1

  3

x 2 + 0.25x = 0

• a = 1
• b = 0.25
• c = 0

x 2 - 8 = 0

• a = 1
• b = 0
• c = -8

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ವಿಶೇಷ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುವ ಸೂತ್ರ.

ನೆನಪಿಡಿ!

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿದೆ:

• ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು "ax 2 + bx + c = 0" ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪಕ್ಕೆ ತರಲು. ಅಂದರೆ, "0" ಮಾತ್ರ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಉಳಿಯಬೇಕು;
• ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ:

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಳಸುವುದು ಎಂಬುದರ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ.

X 2 - 3x - 4 = 0

"x 2 - 3x - 4 = 0" ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪ "ax 2 + bx + c = 0" ಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸರಳೀಕರಣಗಳ ಅಗತ್ಯವಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ನಾವು ಅರ್ಜಿ ಸಲ್ಲಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸೂತ್ರ.

ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ "a", "b" ಮತ್ತು "c" ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ.

x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

ಯಾವುದೇ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.

"x 1;2 =" ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ
"D" ಅಕ್ಷರಕ್ಕೆ "b 2 - 4ac" ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ತಾರತಮ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ತಾರತಮ್ಯದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು "ಏನು ತಾರತಮ್ಯ" ಎಂಬ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ.

x 2 + 9 + x = 7x

ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ, "ಎ", "ಬಿ" ಮತ್ತು "ಸಿ" ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ತುಂಬಾ ಕಷ್ಟ. ಮೊದಲು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪ "ax 2 + bx + c = 0" ಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡೋಣ.

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x - 7x = 0
x 2 + 9 - 6x = 0
x 2 - 6x + 9 = 0

ಈಗ ನೀವು ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =

6

2

x = 3
ಉತ್ತರ: x = 3

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲದ ಸಂದರ್ಭಗಳಿವೆ. ಸೂತ್ರವು ರೂಟ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ.

ಆಧುನಿಕ ಸಮಾಜದಲ್ಲಿ, ಸ್ಕ್ವೇರ್ಡ್ ವೇರಿಯಬಲ್ ಹೊಂದಿರುವ ಸಮೀಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವು ಚಟುವಟಿಕೆಯ ಹಲವು ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಬಹುದು ಮತ್ತು ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಮತ್ತು ತಾಂತ್ರಿಕ ಬೆಳವಣಿಗೆಗಳಲ್ಲಿ ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮುದ್ರ ಮತ್ತು ನದಿ ಹಡಗುಗಳು, ವಿಮಾನಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ಷಿಪಣಿಗಳ ವಿನ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ ಇದರ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. ಅಂತಹ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ವಸ್ತುಗಳು ಸೇರಿದಂತೆ ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ದೇಹಗಳ ಚಲನೆಯ ಪಥಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರದೊಂದಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಆರ್ಥಿಕ ಮುನ್ಸೂಚನೆಯಲ್ಲಿ, ಕಟ್ಟಡಗಳ ವಿನ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ನಿರ್ಮಾಣದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ದೈನಂದಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೈಕಿಂಗ್ ಟ್ರಿಪ್‌ಗಳಲ್ಲಿ, ಕ್ರೀಡಾಕೂಟಗಳಲ್ಲಿ, ಖರೀದಿಗಳನ್ನು ಮಾಡುವಾಗ ಅಂಗಡಿಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಇತರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಅವು ಬೇಕಾಗಬಹುದು.

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಅದರ ಘಟಕ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸೋಣ

ಸಮೀಕರಣದ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನ ಡಿಗ್ರಿಯ ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು 2 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಸೂತ್ರಗಳ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಮಾತನಾಡಿದರೆ, ಸೂಚಿಸಿದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು, ಅವರು ಹೇಗೆ ನೋಡಿದರೂ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಎಡಭಾಗವು ಮೂರು ಪದಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವಾಗ ಯಾವಾಗಲೂ ರೂಪಕ್ಕೆ ತರಬಹುದು. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ: ಕೊಡಲಿ 2 (ಅಂದರೆ, ಅದರ ಗುಣಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ವೇರಿಯೇಬಲ್), bx (ಅದರ ಗುಣಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಚೌಕವಿಲ್ಲದ ಅಜ್ಞಾತ) ಮತ್ತು c (ಉಚಿತ ಘಟಕ, ಅಂದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ). ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಇದೆಲ್ಲವೂ 0 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಬಹುಪದವು ಅದರ ಘಟಕ ಪದಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಕೊಡಲಿ 2 ಅನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಅದನ್ನು ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಪರಿಹಾರದೊಂದಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳು, ಹುಡುಕಲು ಸುಲಭವಾದ ಅಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮೊದಲು ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕು.

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಂತೆ ತೋರುತ್ತಿದ್ದರೆ, ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ಕೊಡಲಿ 2 ಮತ್ತು bx, ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಹಾಕುವ ಮೂಲಕ x ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸುಲಭವಾದ ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಈಗ ನಮ್ಮ ಸಮೀಕರಣವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ: x(ax+b). ಮುಂದೆ, x=0, ಅಥವಾ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಲ್ಲಿ ಬರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ: ax+b=0. ಇದು ಗುಣಾಕಾರದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರಿಂದ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ನಿಯಮವು ಎರಡು ಅಂಶಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ 0 ಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ

x=0 ಅಥವಾ 8x - 3 = 0

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: 0 ಮತ್ತು 0.375.

ಈ ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಪ್ರಭಾವದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ದೇಹಗಳ ಚಲನೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಬಹುದು, ಇದು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾದ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಚಲಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿತು. ಇಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ಸಂಕೇತವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ: y = v 0 t + gt 2/2. ಅಗತ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಬಲಭಾಗವನ್ನು 0 ಗೆ ಸಮೀಕರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯ ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಮೂಲಕ, ದೇಹವು ಏರುವ ಕ್ಷಣದಿಂದ ಅದು ಬೀಳುವ ಕ್ಷಣಕ್ಕೆ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸಮಯವನ್ನು ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು, ಹಾಗೆಯೇ ಇತರ ಪ್ರಮಾಣಗಳು. ಆದರೆ ನಾವು ಈ ಬಗ್ಗೆ ನಂತರ ಮಾತನಾಡುತ್ತೇವೆ.

ಒಂದು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸುವುದು

ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ನಿಯಮವು ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಕಾರದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

X 2 - 33x + 200 = 0

ಈ ಚತುರ್ಭುಜ ತ್ರಿಪದಿ ಪೂರ್ಣಗೊಂಡಿದೆ. ಮೊದಲಿಗೆ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಅಂಶೀಕರಿಸೋಣ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ಇವೆ: (x-8) ಮತ್ತು (x-25) = 0. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು 8 ಮತ್ತು 25 ಎಂಬ ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ.

ಗ್ರೇಡ್ 9 ರಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಈ ವಿಧಾನವು ಎರಡನೆಯದು ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಮೂರನೇ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ಆದೇಶಗಳ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. ಬಲಭಾಗವನ್ನು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಅಪವರ್ತಿಸುವಾಗ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಮೂರು ಇವೆ, ಅಂದರೆ (x+1), (x-3) ಮತ್ತು (x+ 3)

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಮೂರು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ: -3; -1; 3.

ವರ್ಗ ಮೂಲ

ಅಪೂರ್ಣವಾದ ಎರಡನೇ-ಕ್ರಮದ ಸಮೀಕರಣದ ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರಕರಣವು ಅಕ್ಷರಗಳ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿದ್ದು ಅದು ಬಲಭಾಗವನ್ನು ಕೊಡಲಿ 2 ಮತ್ತು ಸಿ ಘಟಕಗಳಿಂದ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ, ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಉಚಿತ ಪದವನ್ನು ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ನಂತರ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಂದ ಹೊರತೆಗೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡು ಬೇರುಗಳಿವೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು. ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಪದವನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಸಮಾನತೆಗಳು ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದಾಗ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಮಾತ್ರ ವಿನಾಯಿತಿಯಾಗಿರಬಹುದು. ನಂತರದ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಮೇಲಿನ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಪ್ರಕಾರದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕು.

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು -4 ಮತ್ತು 4 ಆಗಿರುತ್ತವೆ.

ಭೂಪ್ರದೇಶದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ

ಈ ರೀತಿಯ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಅಗತ್ಯವು ಪ್ರಾಚೀನ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿತು, ಏಕೆಂದರೆ ಆ ದೂರದ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ಬೆಳವಣಿಗೆಯು ಭೂ ಪ್ಲಾಟ್‌ಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಧಿಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿನ ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಅಗತ್ಯದಿಂದ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ.

ಈ ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಸಹ ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕು.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಂದು ಆಯತಾಕಾರದ ಭೂಮಿ ಇದೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ, ಅದರ ಉದ್ದವು ಅಗಲಕ್ಕಿಂತ 16 ಮೀಟರ್ ಹೆಚ್ಚಾಗಿದೆ. ಅದರ ಪ್ರದೇಶವು 612 ಮೀ 2 ಎಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ನೀವು ಸೈಟ್ನ ಉದ್ದ, ಅಗಲ ಮತ್ತು ಪರಿಧಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

ಪ್ರಾರಂಭಿಸಲು, ಮೊದಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸೋಣ. ನಾವು ಪ್ರದೇಶದ ಅಗಲವನ್ನು x ನಿಂದ ಸೂಚಿಸೋಣ, ನಂತರ ಅದರ ಉದ್ದ (x+16) ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಏನು ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದರ ಪ್ರಕಾರ ಪ್ರದೇಶವು x(x+16) ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಇದು ನಮ್ಮ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಪ್ರಕಾರ, 612 ಆಗಿದೆ. ಇದರರ್ಥ x(x+16) = 612.

ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು, ಮತ್ತು ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ನಿಖರವಾಗಿ, ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮಾಡಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಏಕೆ? ಎಡಭಾಗವು ಇನ್ನೂ ಎರಡು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೂ, ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು 0 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ತಾರತಮ್ಯ

ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ನಾವು ಅಗತ್ಯವಾದ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ನಂತರ ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ನೋಟವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ: x 2 + 16x - 612 = 0. ಇದರರ್ಥ ನಾವು ಹಿಂದೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಮಾನದಂಡಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ್ದೇವೆ, ಅಲ್ಲಿ a=1, b=16, c= -612.

ಇದು ಒಂದು ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿರಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ ಯೋಜನೆಯ ಪ್ರಕಾರ ಅಗತ್ಯ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ: D = b 2 - 4ac. ಈ ಸಹಾಯಕ ಪ್ರಮಾಣವು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವಂತೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಸಂಭವನೀಯ ಆಯ್ಕೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. D>0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ಇವೆ; D=0 ಗಾಗಿ ಒಂದು ಮೂಲವಿದೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ ಡಿ<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

ಬೇರುಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸೂತ್ರದ ಬಗ್ಗೆ

ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ತಾರತಮ್ಯವು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ: 256 - 4(-612) = 2704. ಇದು ನಮ್ಮ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಉತ್ತರವಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ನಿಮಗೆ k ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸಬೇಕು. ಬೇರುಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಇದು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.

ಇದರರ್ಥ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ: x 1 =18, x 2 =-34. ಈ ಸಂದಿಗ್ಧತೆಯಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ಆಯ್ಕೆಯು ಪರಿಹಾರವಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಭೂಮಿಯ ಕಥಾವಸ್ತುವಿನ ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ಋಣಾತ್ಮಕ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ x (ಅಂದರೆ, ಕಥಾವಸ್ತುವಿನ ಅಗಲ) 18 ಮೀ +16=34, ಮತ್ತು ಪರಿಧಿ 2(34+ 18)=104(m2).

ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳು

ನಾವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ವಿವರವಾದ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗುವುದು.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಸಮಾನತೆಯ ಎಡಭಾಗಕ್ಕೆ ಸರಿಸೋಣ, ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಮಾಡೋಣ, ಅಂದರೆ, ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

ಸಮಾನವಾದವುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದರಿಂದ, ನಾವು ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ: D = 49 - 48 = 1. ಇದರರ್ಥ ನಮ್ಮ ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ ಅವುಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ, ಅಂದರೆ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದು 4/3 ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

2) ಈಗ ಬೇರೆ ರೀತಿಯ ರಹಸ್ಯಗಳನ್ನು ಬಿಡೋಣ.

ಇಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳಿವೆಯೇ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ x 2 - 4x + 5 = 1? ಸಮಗ್ರ ಉತ್ತರವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ನಾವು ಬಹುಪದವನ್ನು ಅನುಗುಣವಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸೋಣ ಮತ್ತು ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ. ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಅನಿವಾರ್ಯವಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಸಮಸ್ಯೆಯ ಮೂಲತತ್ವವಲ್ಲ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, D = 16 - 20 = -4, ಅಂದರೆ ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ.

ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯ

ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ನಂತರದ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಂಡಾಗ ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಂಭವಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಹಲವು ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆ: ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು. 16 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಫ್ರಾನ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ವಾಸಿಸುತ್ತಿದ್ದ ಮತ್ತು ಅವರ ಗಣಿತದ ಪ್ರತಿಭೆ ಮತ್ತು ನ್ಯಾಯಾಲಯದಲ್ಲಿನ ಸಂಪರ್ಕಗಳಿಂದಾಗಿ ಅದ್ಭುತ ವೃತ್ತಿಜೀವನವನ್ನು ಮಾಡಿದ ನಂತರ ಅವಳನ್ನು ಹೆಸರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅವರ ಭಾವಚಿತ್ರವನ್ನು ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು.

ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಫ್ರೆಂಚ್ ಗಮನಿಸಿದ ಮಾದರಿಯು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿತ್ತು. ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ -p=b/a ಗೆ ಸೇರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು q=c/a ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅವರು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು.

ಈಗ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

3x 2 + 21x - 54 = 0

ಸರಳತೆಗಾಗಿ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ:

x 2 + 7x - 18 = 0

ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸೋಣ, ಇದು ನಮಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ: ಬೇರುಗಳ ಮೊತ್ತ -7 ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ -18. ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು -9 ಮತ್ತು 2 ಎಂದು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಪರಿಶೀಲಿಸಿದ ನಂತರ, ಈ ವೇರಿಯಬಲ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಎಂದು ನಾವು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಗ್ರಾಫ್ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣ

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿವೆ. ಇದರ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಮೊದಲೇ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಈಗ ಕೆಲವು ಗಣಿತದ ಒಗಟುಗಳನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ನೋಡೋಣ. ವಿವರಿಸಿದ ಪ್ರಕಾರದ ಯಾವುದೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ದೃಷ್ಟಿಗೋಚರವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಅಂತಹ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಗ್ರಾಫ್ನಂತೆ ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅದರ ವಿವಿಧ ಪ್ರಕಾರಗಳನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಯಾವುದೇ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಶೃಂಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಅದರ ಶಾಖೆಗಳು ಹೊರಹೊಮ್ಮುವ ಒಂದು ಬಿಂದು. a>0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅವು ಅನಂತಕ್ಕೆ ಎತ್ತರಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಯಾವಾಗ a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

ಕಾರ್ಯಗಳ ದೃಶ್ಯ ನಿರೂಪಣೆಗಳು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಪದಗಳಿಗಿಂತ ಸೇರಿದಂತೆ ಯಾವುದೇ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು x ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನ ಮೌಲ್ಯವು ಗ್ರಾಫ್ ರೇಖೆಯು 0x ನೊಂದಿಗೆ ಛೇದಿಸುವ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ abscissa ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವಾಗಿದೆ. x 0 = -b/2a ನೀಡಿರುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಶೃಂಗದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಾರ್ಯದ ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನೀವು y 0 ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು, ಅಂದರೆ, ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಶೃಂಗದ ಎರಡನೇ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ.

ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಶಾಖೆಗಳ ಛೇದಕ

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಬಹಳಷ್ಟು ಉದಾಹರಣೆಗಳಿವೆ, ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮಾದರಿಗಳೂ ಇವೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ. 0 ಋಣಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಮಾತ್ರ a>0 ಗಾಗಿ 0x ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಗ್ರಾಫ್ನ ಛೇದನವು ಸಾಧ್ಯ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಒಂದು<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಡಿ<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಗ್ರಾಫ್ನಿಂದ ನೀವು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಸಹ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವೂ ನಿಜ. ಅಂದರೆ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ದೃಶ್ಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ಸುಲಭವಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಬಲಭಾಗವನ್ನು 0 ಗೆ ಸಮೀಕರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಮತ್ತು 0x ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಛೇದನದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು, ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ.

ಇತಿಹಾಸದಿಂದ

ಸ್ಕ್ವೇರ್ಡ್ ವೇರಿಯಬಲ್ ಹೊಂದಿರುವ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ, ಹಳೆಯ ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಅವರು ಗಣಿತದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಮಾಡಲಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅಂಕಿಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿದರು. ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿನ ಭವ್ಯವಾದ ಆವಿಷ್ಕಾರಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಜ್ಯೋತಿಷ್ಯ ಮುನ್ಸೂಚನೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಲು ಪ್ರಾಚೀನರಿಗೆ ಅಂತಹ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಬೇಕಾಗಿದ್ದವು.

ಆಧುನಿಕ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ಸೂಚಿಸುವಂತೆ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದವರಲ್ಲಿ ಬ್ಯಾಬಿಲೋನ್ ನಿವಾಸಿಗಳು ಮೊದಲಿಗರು. ಇದು ನಮ್ಮ ಯುಗಕ್ಕೆ ನಾಲ್ಕು ಶತಮಾನಗಳ ಮೊದಲು ಸಂಭವಿಸಿತು. ಸಹಜವಾಗಿ, ಅವರ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಪ್ರಸ್ತುತ ಅಂಗೀಕರಿಸಲ್ಪಟ್ಟವುಗಳಿಗಿಂತ ಆಮೂಲಾಗ್ರವಾಗಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಾಚೀನವಾಗಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೆಸೊಪಟ್ಯಾಮಿಯಾದ ಗಣಿತಜ್ಞರಿಗೆ ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿದಿರಲಿಲ್ಲ. ಯಾವುದೇ ಆಧುನಿಕ ಶಾಲಾ ಮಕ್ಕಳಿಗೆ ತಿಳಿದಿರುವ ಇತರ ಸೂಕ್ಷ್ಮತೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಅವರಿಗೆ ಪರಿಚಯವಿರಲಿಲ್ಲ.

ಬಹುಶಃ ಬ್ಯಾಬಿಲೋನ್‌ನ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳಿಗಿಂತ ಮುಂಚೆಯೇ, ಭಾರತದ ಬೌಧಯಾಮ ಋಷಿ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರು. ಇದು ಕ್ರಿಸ್ತನ ಯುಗಕ್ಕೆ ಸುಮಾರು ಎಂಟು ಶತಮಾನಗಳ ಮೊದಲು ಸಂಭವಿಸಿತು. ನಿಜ, ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ಅವರು ನೀಡಿದ ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳು ಸರಳವಾದವು. ಅವನ ಜೊತೆಗೆ, ಚೀನೀ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಸಹ ಹಳೆಯ ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದ್ದರು. ಯುರೋಪ್ನಲ್ಲಿ, ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು 13 ನೇ ಶತಮಾನದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಲಾಯಿತು, ಆದರೆ ನಂತರ ಅವುಗಳನ್ನು ನ್ಯೂಟನ್, ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್ ಮತ್ತು ಇತರ ಮಹಾನ್ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ತಮ್ಮ ಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಿದರು.

ಈ ಗಣಿತ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮದೊಂದಿಗೆ ನೀವು ಮಾಡಬಹುದು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಉತ್ತರವನ್ನು ನೀಡುವುದಲ್ಲದೆ, ಪರಿಹಾರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಎರಡು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ:
- ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಬಳಸುವುದು
- ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸುವುದು (ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ).

ಇದಲ್ಲದೆ, ಉತ್ತರವನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದಾಜು ಅಲ್ಲ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, \(81x^2-16x-1=0\) ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಉತ್ತರವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ ಮತ್ತು ಈ ರೀತಿ ಅಲ್ಲ: \(x_1 = 0.247; \quad x_2 = -0.05\)

ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು ಮತ್ತು ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಿಗೆ ತಯಾರಿ ನಡೆಸುವಾಗ, ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಮೊದಲು ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸುವಾಗ ಮತ್ತು ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿನ ಅನೇಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಿಸಲು ಪೋಷಕರಿಗೆ ಈ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಶಿಕ್ಷಣ ಶಾಲೆಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರೌಢಶಾಲಾ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಅಥವಾ ನೀವು ಬೋಧಕರನ್ನು ನೇಮಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಅಥವಾ ಹೊಸ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳನ್ನು ಖರೀದಿಸಲು ಇದು ತುಂಬಾ ದುಬಾರಿಯಾಗಿದೆಯೇ? ಅಥವಾ ನಿಮ್ಮ ಗಣಿತ ಅಥವಾ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮನೆಕೆಲಸವನ್ನು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಬೇಗ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು ನೀವು ಬಯಸುವಿರಾ? ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನೀವು ನಮ್ಮ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮಗಳನ್ನು ವಿವರವಾದ ಪರಿಹಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಳಸಬಹುದು.

ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ, ನಿಮ್ಮ ಸ್ವಂತ ತರಬೇತಿ ಮತ್ತು/ಅಥವಾ ನಿಮ್ಮ ಕಿರಿಯ ಸಹೋದರರು ಅಥವಾ ಸಹೋದರಿಯರ ತರಬೇತಿಯನ್ನು ನೀವು ನಡೆಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಶಿಕ್ಷಣದ ಮಟ್ಟವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಬಹುಪದವನ್ನು ನಮೂದಿಸುವ ನಿಯಮಗಳ ಬಗ್ಗೆ ನಿಮಗೆ ಪರಿಚಯವಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅವರೊಂದಿಗೆ ನೀವೇ ಪರಿಚಿತರಾಗಿರಲು ನಾವು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಬಹುಪದವನ್ನು ನಮೂದಿಸುವ ನಿಯಮಗಳು

ಯಾವುದೇ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಅಕ್ಷರವು ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), ಇತ್ಯಾದಿ.

ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಥವಾ ಭಾಗಶಃ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ನಮೂದಿಸಬಹುದು.
ಇದಲ್ಲದೆ, ಭಾಗಶಃ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ದಶಮಾಂಶದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಗದ ರೂಪದಲ್ಲಿಯೂ ನಮೂದಿಸಬಹುದು.

ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ನಮೂದಿಸುವ ನಿಯಮಗಳು.
ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಲ್ಲಿ, ಭಾಗಶಃ ಭಾಗವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣ ಭಾಗದಿಂದ ಒಂದು ಅವಧಿ ಅಥವಾ ಅಲ್ಪವಿರಾಮದಿಂದ ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದು.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೀವು ಈ ರೀತಿಯ ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ನಮೂದಿಸಬಹುದು: 2.5x - 3.5x^2

ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ನಮೂದಿಸುವ ನಿಯಮಗಳು.
ಒಂದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಮಾತ್ರ ಭಾಗದ ಅಂಶ, ಛೇದ ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಭಾಗವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ.

ಛೇದವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬಾರದು.

ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಭಾಗವನ್ನು ನಮೂದಿಸುವಾಗ, ಅಂಶವನ್ನು ವಿಭಾಗ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಛೇದದಿಂದ ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: /
ಇಡೀ ಭಾಗವನ್ನು ಭಾಗದಿಂದ ಆಂಪರ್ಸಂಡ್ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ: &
ಇನ್‌ಪುಟ್: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
ಫಲಿತಾಂಶ: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ನಮೂದಿಸುವಾಗ ನೀವು ಆವರಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಪರಿಚಯಿಸಲಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಮೊದಲು ಸರಳೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

ನಿರ್ಧರಿಸಿ

ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ಕೆಲವು ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್‌ಗಳನ್ನು ಲೋಡ್ ಮಾಡಲಾಗಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸದೇ ಇರಬಹುದು ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಯಿತು.
ನೀವು AdBlock ಅನ್ನು ಸಕ್ರಿಯಗೊಳಿಸಿರಬಹುದು.
ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅದನ್ನು ನಿಷ್ಕ್ರಿಯಗೊಳಿಸಿ ಮತ್ತು ಪುಟವನ್ನು ರಿಫ್ರೆಶ್ ಮಾಡಿ.

ನಿಮ್ಮ ಬ್ರೌಸರ್‌ನಲ್ಲಿ JavaScript ಅನ್ನು ನಿಷ್ಕ್ರಿಯಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ.
ಪರಿಹಾರವು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು, ನೀವು JavaScript ಅನ್ನು ಸಕ್ರಿಯಗೊಳಿಸಬೇಕು.
ನಿಮ್ಮ ಬ್ರೌಸರ್‌ನಲ್ಲಿ ಜಾವಾಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಅನ್ನು ಹೇಗೆ ಸಕ್ರಿಯಗೊಳಿಸುವುದು ಎಂಬುದರ ಕುರಿತು ಸೂಚನೆಗಳು ಇಲ್ಲಿವೆ.

ಏಕೆಂದರೆ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಜನರು ಸಿದ್ಧರಿದ್ದಾರೆ, ನಿಮ್ಮ ವಿನಂತಿಯನ್ನು ಸರದಿಯಲ್ಲಿ ಇರಿಸಲಾಗಿದೆ.
ಕೆಲವು ಸೆಕೆಂಡುಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರವು ಕೆಳಗೆ ಕಾಣಿಸುತ್ತದೆ.
ದಯಮಾಡಿ ನಿರೀಕ್ಷಿಸಿ ಸೆಕೆಂಡ್...

ನೀನೇನಾದರೂ ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ ದೋಷ ಕಂಡುಬಂದಿದೆ, ನಂತರ ನೀವು ಇದರ ಬಗ್ಗೆ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ ಫಾರ್ಮ್‌ನಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು.
ಮರೆಯಬೇಡ ಯಾವ ಕೆಲಸವನ್ನು ಸೂಚಿಸಿನೀವು ಏನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೀರಿ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ನಮೂದಿಸಿ.

ನಮ್ಮ ಆಟಗಳು, ಒಗಟುಗಳು, ಎಮ್ಯುಲೇಟರ್‌ಗಳು:

ಸ್ವಲ್ಪ ಸಿದ್ಧಾಂತ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣ ಮತ್ತು ಅದರ ಬೇರುಗಳು. ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮೀಕರಣಗಳು
\(-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
ತೋರುತ್ತಿದೆ
\(ax^2+bx+c=0, \)
ಇಲ್ಲಿ x ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, a, b ಮತ್ತು c ಸಂಖ್ಯೆಗಳು.
ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ a = -1, b = 6 ಮತ್ತು c = 1.4, ಎರಡನೆಯದು a = 8, b = -7 ಮತ್ತು c = 0, ಮೂರನೇ a = 1, b = 0 ಮತ್ತು c = 4/9. ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.
ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣ ax 2 +bx+c=0 ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲಿ x ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದೆ, a, b ಮತ್ತು c ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು \(a \neq 0 \).

ಎ, ಬಿ ಮತ್ತು ಸಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಗುಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ. ಸಂಖ್ಯೆ a ಅನ್ನು ಮೊದಲ ಗುಣಾಂಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಸಂಖ್ಯೆ b ಎರಡನೇ ಗುಣಾಂಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು c ಸಂಖ್ಯೆಯು ಉಚಿತ ಪದವಾಗಿದೆ.

ax 2 +bx+c=0 ರೂಪದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ, \(a\neq 0\), ವೇರಿಯೇಬಲ್ x ನ ದೊಡ್ಡ ಶಕ್ತಿಯು ಒಂದು ಚೌಕವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಹೆಸರು: ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಎರಡನೇ ಪದವಿಯ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದರ ಎಡಭಾಗವು ಎರಡನೇ ಪದವಿಯ ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ.

x 2 ರ ಗುಣಾಂಕವು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೀಡಲಾದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿವೆ
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಕೊಡಲಿ 2 +bx+c=0 ಗುಣಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು b ಅಥವಾ c ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣ. ಹೀಗಾಗಿ, -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 ಸಮೀಕರಣಗಳು ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿವೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದರಲ್ಲಿ b=0, ಎರಡನೆಯದರಲ್ಲಿ c=0, ಮೂರನೆಯದರಲ್ಲಿ b=0 ಮತ್ತು c=0.

ಮೂರು ವಿಧದ ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿವೆ:
1) ಕೊಡಲಿ 2 +c=0, ಅಲ್ಲಿ \(c \neq 0 \);
2) ಕೊಡಲಿ 2 +bx=0, ಅಲ್ಲಿ \(b \neq 0 \);
3) ಕೊಡಲಿ 2 =0.

ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪ್ರಕಾರದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

\(c \neq 0 \) ಗಾಗಿ ax 2 +c=0 ರೂಪದ ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಅದರ ಮುಕ್ತ ಪದವನ್ನು ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ಸರಿಸಿ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಭಾಗಿಸಿ:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

\(c \neq 0 \), ನಂತರ \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

\(-\frac(c)(a)>0\), ಆಗ ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

\(-\frac(c)(a) ax 2 +bx=0 ರೂಪದ ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು \(b \neq 0 \) ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ ಅದರ ಎಡಭಾಗವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಲು
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \rightarrow \left\( \begin (ಅರೇ)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right.

ಇದರರ್ಥ \(b \neq 0 \) ಗಾಗಿ ax 2 +bx=0 ರೂಪದ ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು ಯಾವಾಗಲೂ ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಕೊಡಲಿ 2 =0 ರೂಪದ ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು x 2 =0 ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಒಂದೇ ಮೂಲ 0 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರ

ಅಜ್ಞಾತ ಮತ್ತು ಮುಕ್ತ ಪದಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುವ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕೆಂದು ನಾವು ಈಗ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ನಾವು ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನಂತರ ಯಾವುದೇ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಕೊಡಲಿ 2 +bx+c=0 ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು a ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಸಮಾನವಾದ ಕಡಿಮೆಯಾದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

ದ್ವಿಪದದ ವರ್ಗವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \ರೈಟ್‌ಟಾರೋ \ಎಡ(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2 -4ac) )(2a) \Rightarrow \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ತಾರತಮ್ಯ ax 2 +bx+c=0 (ಲ್ಯಾಟಿನ್‌ನಲ್ಲಿ "ತಾರತಮ್ಯ" - ತಾರತಮ್ಯಕಾರ). ಇದನ್ನು ಡಿ ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ.
\(D = b^2-4ac\)

ಈಗ, ತಾರತಮ್ಯದ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), ಅಲ್ಲಿ \(D= b^2-4ac \)

ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ:
1) D>0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.
2) D=0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದು ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) D ಆಗಿದ್ದರೆ, ತಾರತಮ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಒಂದು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು (D > 0 ಗೆ), ಒಂದು ಮೂಲ (D = 0 ಗಾಗಿ) ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ (D ಗಾಗಿ ಇದನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಸೂತ್ರ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮಾಡಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ:
1) ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಶೂನ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿ;
2) ತಾರತಮ್ಯವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ತಾರತಮ್ಯವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಮೂಲ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಂತರ ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ ಎಂದು ಬರೆಯಿರಿ.

ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯ

ನೀಡಲಾದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಕೊಡಲಿ 2 -7x+10=0 ಬೇರುಗಳು 2 ಮತ್ತು 5. ಬೇರುಗಳ ಮೊತ್ತವು 7 ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನವು 10 ಆಗಿದೆ. ಬೇರುಗಳ ಮೊತ್ತವು ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಎರಡನೇ ಗುಣಾಂಕಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಚಿಹ್ನೆ, ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಉಚಿತ ಪದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಕಡಿಮೆ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು ಈ ಗುಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಮೇಲಿನ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ಮೊತ್ತವು ವಿರುದ್ಧ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾದ ಎರಡನೇ ಗುಣಾಂಕಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಉಚಿತ ಪದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಆ. ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯವು ಕಡಿಮೆಯಾದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ x 1 ಮತ್ತು x 2 ಮೂಲಗಳು x 2 +px+q=0 ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)

ನಾವು ವಿಷಯವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತೇವೆ " ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು" ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಿತರಾಗಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಪರಿಚಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತಿದ್ದೇವೆ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

ಮೊದಲಿಗೆ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದರೇನು, ಅದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಹೇಗೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಿತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ. ಇದರ ನಂತರ, ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ನಾವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಮುಂದೆ, ನಾವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತೇವೆ, ಮೂಲ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ತಾರತಮ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ವಿಶಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಬೇರುಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಾಂಕಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

ಪುಟ ಸಂಚರಣೆ.

ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದರೇನು? ಅವರ ಪ್ರಕಾರಗಳು

ಮೊದಲು ನೀವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣ ಏನು ಎಂಬುದನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದೊಂದಿಗೆ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಸಂಭಾಷಣೆಯನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುವುದು ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿದೆ, ಜೊತೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು. ಇದರ ನಂತರ, ನೀವು ಮುಖ್ಯ ವಿಧದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು: ಕಡಿಮೆ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸದ, ಹಾಗೆಯೇ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮತ್ತು ಅಪೂರ್ಣ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ a x 2 +b x+c=0, ಇಲ್ಲಿ x ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್, a, b ಮತ್ತು c ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು a ಶೂನ್ಯವಲ್ಲ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಎರಡನೇ ಪದವಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಈಗಿನಿಂದಲೇ ಹೇಳೋಣ. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು ಇದಕ್ಕೆ ಕಾರಣ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಎರಡನೇ ಪದವಿ.

ಹೇಳಲಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ 2 x 2 +6 x+1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0, ಇತ್ಯಾದಿ. ಇವು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.

ಸಂಖ್ಯೆಗಳು a, b ಮತ್ತು c ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಗುಣಾಂಕಗಳು a·x 2 +b·x+c=0, ಮತ್ತು ಗುಣಾಂಕ a ಅನ್ನು ಮೊದಲ, ಅಥವಾ ಅತ್ಯಧಿಕ ಅಥವಾ x 2 ನ ಗುಣಾಂಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, b ಎಂಬುದು ಎರಡನೇ ಗುಣಾಂಕ, ಅಥವಾ x ನ ಗುಣಾಂಕ, ಮತ್ತು c ಎಂಬುದು ಉಚಿತ ಪದವಾಗಿದೆ .

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 5 x 2 -2 x -3=0 ರೂಪದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ, ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಾಂಕ 5 ಆಗಿದೆ, ಎರಡನೇ ಗುಣಾಂಕವು −2 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮುಕ್ತ ಪದವು -3 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಗುಣಾಂಕಗಳು b ಮತ್ತು/ಅಥವಾ c ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವಾಗ, ಈಗ ನೀಡಿರುವ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿರುವಂತೆ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಕಿರು ರೂಪವು 5 x 2 +(-2 ) ಬದಲಿಗೆ 5 x 2 -2 x-3=0 ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ. ·x+(-3)=0 .

ಗುಣಾಂಕಗಳು a ಮತ್ತು/ಅಥವಾ b 1 ಅಥವಾ -1 ಗೆ ಸಮಾನವಾದಾಗ, ಅವುಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುವುದಿಲ್ಲ, ಇದು ಅಂತಹ ಬರವಣಿಗೆಯ ವಿಶಿಷ್ಟತೆಗಳ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ y 2 -y+3=0 ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಾಂಕವು ಒಂದಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು y ನ ಗುಣಾಂಕವು −1 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಕಡಿಮೆಯಾದ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಾಂಕದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಕಡಿಮೆ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡದ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಅನುಗುಣವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.

ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಾಂಕ 1 ಆಗಿರುವ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು ಮುಟ್ಟದ.

ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು x 2 -3·x+1=0, x 2 -x−2/3=0, ಇತ್ಯಾದಿ. - ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲೂ ಮೊದಲ ಗುಣಾಂಕವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. A 5 x 2 -x−1=0, ಇತ್ಯಾದಿ. - ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ಅವುಗಳ ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಾಂಕಗಳು 1 ರಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಯಾವುದೇ ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ, ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಾಂಕದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನೀವು ಕಡಿಮೆಯಾದ ಒಂದಕ್ಕೆ ಹೋಗಬಹುದು. ಈ ಕ್ರಿಯೆಯು ಸಮಾನವಾದ ರೂಪಾಂತರವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಕಡಿಮೆಯಾದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು ಮೂಲ ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದಂತೆಯೇ ಅದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅಥವಾ ಅದರಂತೆ ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ.

ಕಡಿಮೆ ಮಾಡದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಕಡಿಮೆಯಾದ ಒಂದಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆ ಹೇಗೆ ನಡೆಯುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ.

3 x 2 +12 x−7=0 ಸಮೀಕರಣದಿಂದ, ಅನುಗುಣವಾದ ಕಡಿಮೆಯಾದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಹೋಗಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ನಾವು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಾಂಕ 3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ, ಅದು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಈ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, ಇದು ಒಂದೇ, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, ಮತ್ತು ನಂತರ (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, ಎಲ್ಲಿಂದ . ಈ ರೀತಿ ನಾವು ಕಡಿಮೆಯಾದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ, ಇದು ಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉತ್ತರ:

ಸಂಪೂರ್ಣ ಮತ್ತು ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು a≠0 ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಈ ಸ್ಥಿತಿಯು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ a x 2 + b x + c = 0 ಸಮೀಕರಣವು ಚತುರ್ಭುಜವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ a = 0 ಅದು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ b x + c = 0 ರೂಪದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವಾಗುತ್ತದೆ.

ಬಿ ಮತ್ತು ಸಿ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಅವು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಮತ್ತು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅಪೂರ್ಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು a x 2 +b x+c=0 ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಪೂರ್ಣ, ಗುಣಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು b, c ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ.

ಅದರ ತಿರುವಿನಲ್ಲಿ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿಎಲ್ಲಾ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ.

ಅಂತಹ ಹೆಸರುಗಳನ್ನು ಆಕಸ್ಮಿಕವಾಗಿ ನೀಡಲಾಗಿಲ್ಲ. ಮುಂದಿನ ಚರ್ಚೆಗಳಿಂದ ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ.

ಗುಣಾಂಕ b ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು a·x 2 +0·x+c=0 ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು a·x 2 +c=0 ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. c=0, ಅಂದರೆ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು a·x 2 +b·x+0=0 ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು a·x 2 +b·x=0 ಎಂದು ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು. ಮತ್ತು b=0 ಮತ್ತು c=0 ನೊಂದಿಗೆ ನಾವು a·x 2 =0 ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅವುಗಳ ಎಡ-ಬದಿಗಳು ವೇರಿಯಬಲ್ x ಅಥವಾ ಮುಕ್ತ ಪದ ಅಥವಾ ಎರಡನ್ನೂ ಒಳಗೊಂಡಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ ಅವರ ಹೆಸರು - ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

ಆದ್ದರಿಂದ x 2 +x+1=0 ಮತ್ತು -2 x 2 -5 x+0.2=0 ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ, ಮತ್ತು x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , -x 2 -5 x=0 ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಮಾಹಿತಿಯಿಂದ ಅದು ಇದೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಮೂರು ವಿಧದ ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು:

• a·x 2 =0, ಗುಣಾಂಕಗಳು b=0 ಮತ್ತು c=0 ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ;
• a x 2 +c=0 ಯಾವಾಗ b=0 ;
• ಮತ್ತು a·x 2 +b·x=0 ಯಾವಾಗ c=0.

ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪ್ರಕಾರದ ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ.

a x 2 =0

ಗುಣಾಂಕಗಳು b ಮತ್ತು c ಸೊನ್ನೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದರೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ, ಅಂದರೆ x 2 =0 ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ. a·x 2 =0 ಸಮೀಕರಣವು x 2 =0 ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಮೂಲದಿಂದ ಎರಡೂ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, x 2 =0 ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ 0 2 =0. ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಯಾವುದೇ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ p 2 >0 ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ p≠0 ಗೆ ಸಮಾನತೆ p 2 =0 ಅನ್ನು ಎಂದಿಗೂ ಸಾಧಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು a·x 2 =0 ಒಂದೇ ಮೂಲ x=0 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ, ನಾವು ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ -4 x 2 =0. ಇದು x 2 =0 ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದರ ಏಕೈಕ ಮೂಲವು x=0 ಆಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದೇ ಮೂಲ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು:
−4 x 2 =0 ,
x 2 =0,
x=0

a x 2 +c=0

ಗುಣಾಂಕ b ಸೊನ್ನೆ ಮತ್ತು c≠0 ಆಗಿರುವ ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಈಗ ನೋಡೋಣ, ಅಂದರೆ x 2 +c=0 ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳು. ಒಂದು ಪದವನ್ನು ಸಮೀಕರಣದ ಒಂದು ಬದಿಯಿಂದ ಇನ್ನೊಂದು ಬದಿಗೆ ವಿರುದ್ಧ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಚಲಿಸುವುದು, ಹಾಗೆಯೇ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು ಸಮಾನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು x 2 +c=0 ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಬಹುದು:

• c ಅನ್ನು ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ಸರಿಸಿ, ಇದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು x 2 =-c ನೀಡುತ್ತದೆ,
• ಮತ್ತು ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು a ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ .

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣವು ಅದರ ಬೇರುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ತೀರ್ಮಾನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. a ಮತ್ತು c ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬಹುದು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, a=1 ಮತ್ತು c=2 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ) ಅಥವಾ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬಹುದು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, a=-2 ಮತ್ತು c=6, ನಂತರ ), ಇದು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲ , ಏಕೆಂದರೆ ಷರತ್ತು c≠0. ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ನೋಡೋಣ.

ಒಂದು ವೇಳೆ, ಸಮೀಕರಣವು ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗವು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಈ ಹೇಳಿಕೆಯು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಯಾವಾಗ , ನಂತರ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ p ಗೆ ಸಮಾನತೆ ನಿಜವಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ವೇಳೆ, ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗಿನ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಬಗ್ಗೆ ನೆನಪಿಸಿಕೊಂಡರೆ, ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವು ತಕ್ಷಣವೇ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ . ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸುವುದು ಸುಲಭ, ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, . ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವಿರೋಧಾಭಾಸದಿಂದ ತೋರಿಸಬಹುದು. ಅದನ್ನು ಮಾಡೋಣ.

x 1 ಮತ್ತು −x 1 ಎಂದು ಘೋಷಿಸಲಾದ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳನ್ನು ನಾವು ಸೂಚಿಸೋಣ. ಸಮೀಕರಣವು ಸೂಚಿಸಲಾದ x 1 ಮತ್ತು −x 1 ಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾದ ಇನ್ನೊಂದು ಮೂಲ x 2 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಅದರ ಬೇರುಗಳನ್ನು x ಬದಲಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುವುದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸರಿಯಾದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಮಾನತೆಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. x 1 ಮತ್ತು −x 1 ಗಾಗಿ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು x 2 ಗಾಗಿ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಮಾನತೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಸರಿಯಾದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಮಾನತೆಗಳ ಪದದಿಂದ-ಅವಧಿಯ ವ್ಯವಕಲನವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ನಮಗೆ ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಮಾನತೆಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಕಳೆಯುವುದರಿಂದ x 1 2 -x 2 2 =0 ಸಿಗುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು (x 1 -x 2)·(x 1 +x 2)=0 ಎಂದು ಪುನಃ ಬರೆಯಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಇದು x 1 -x 2 =0 ಮತ್ತು/ಅಥವಾ x 1 +x 2 =0 ಅನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಅದು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, x 2 =x 1 ಮತ್ತು/ಅಥವಾ x 2 =-x 1. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಒಂದು ವಿರೋಧಾಭಾಸಕ್ಕೆ ಬಂದಿದ್ದೇವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ನಾವು x 2 ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವು x 1 ಮತ್ತು −x 1 ಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಿದ್ದೇವೆ. ಸಮೀಕರಣವು ಮತ್ತು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಇದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ.

ಈ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ನಾವು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸೋಣ. ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು a x 2 +c=0 ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ

• ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ,
• ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು , ವೇಳೆ .

a·x 2 +c=0 ರೂಪದ ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

9 x 2 +7=0 ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ. ಮುಕ್ತ ಪದವನ್ನು ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ಸರಿಸಿದ ನಂತರ, ಅದು 9 x 2 =-7 ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು 9 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ, ನಾವು ತಲುಪುತ್ತೇವೆ. ಬಲಭಾಗವು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೂಲ ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು 9 x 2 +7 = 0 ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

ಮತ್ತೊಂದು ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ -x 2 +9=0. ನಾವು ಒಂಬತ್ತನ್ನು ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ಸರಿಸುತ್ತೇವೆ: -x 2 =-9. ಈಗ ನಾವು ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು −1 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಾವು x 2 = 9 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೆ, ಇದರಿಂದ ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ ಅಥವಾ . ನಂತರ ನಾವು ಅಂತಿಮ ಉತ್ತರವನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ: ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು −x 2 +9=0 ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ x=3 ಅಥವಾ x=-3.

a x 2 +b x=0

c=0 ಗಾಗಿ ಕೊನೆಯ ವಿಧದ ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಎದುರಿಸಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ. x 2 + b x = 0 ರೂಪದ ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ನಿಮಗೆ ಪರಿಹರಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ ಅಪವರ್ತನ ವಿಧಾನ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ನಾವು ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರಬಹುದು, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶ x ಅನ್ನು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ಹೊರತೆಗೆಯಲು ಸಾಕು. ಇದು ನಮಗೆ ಮೂಲ ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ x·(a·x+b)=0 ರೂಪದ ಸಮಾನ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಚಲಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಈ ಸಮೀಕರಣವು x=0 ಮತ್ತು a·x+b=0 ಎಂಬ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ಎರಡನೆಯದು ರೇಖೀಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು x=−b/a ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು a·x 2 +b·x=0 x=0 ಮತ್ತು x=−b/a ಎಂಬ ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ವಸ್ತುವನ್ನು ಕ್ರೋಢೀಕರಿಸಲು, ನಾವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ x ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಇದು x=0 ಮತ್ತು ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಾವು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ: ಮತ್ತು ಮಿಶ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಗದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು x=0 ಮತ್ತು .

ಅಗತ್ಯ ಅಭ್ಯಾಸವನ್ನು ಪಡೆದ ನಂತರ, ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು:

ಉತ್ತರ:

x=0, .

ತಾರತಮ್ಯ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರ

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಒಂದು ಮೂಲ ಸೂತ್ರವಿದೆ. ಅದನ್ನು ಬರೆಯೋಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರ:, ಎಲ್ಲಿ D=b 2 -4 a c- ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ತಾರತಮ್ಯ. ಪ್ರವೇಶವು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಅರ್ಥವಾಗಿದೆ.

ಮೂಲ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಹೇಗೆ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಿಳಿಯಲು ಇದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರದ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ

ನಾವು a·x 2 +b·x+c=0 ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಕೆಲವು ಸಮಾನ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಮಾಡೋಣ:

• ನಾವು ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆ a ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು, ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಕೆಳಗಿನ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ.
• ಈಗ ಸಂಪೂರ್ಣ ಚೌಕವನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿಅದರ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ: . ಇದರ ನಂತರ, ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ.
• ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಕೊನೆಯ ಎರಡು ಪದಗಳನ್ನು ವಿರುದ್ಧ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ .
• ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸಹ ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ: .

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು a·x 2 +b·x+c=0 ಮೂಲ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಮನಾದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತೇವೆ.

ನಾವು ಪರಿಶೀಲಿಸಿದಾಗ ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಪರಿಹರಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ತೀರ್ಮಾನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಇದು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ:

• ಒಂದು ವೇಳೆ, ಸಮೀಕರಣವು ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ;
• ಒಂದು ವೇಳೆ, ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಅದರ ಏಕೈಕ ಮೂಲವು ಗೋಚರಿಸುತ್ತದೆ;
• ಒಂದು ವೇಳೆ , ನಂತರ ಅಥವಾ , ಇದು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ , ಅಂದರೆ, ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ಉಪಸ್ಥಿತಿ ಅಥವಾ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಮೂಲ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಚಿಹ್ನೆಯು ಅಂಶದ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಛೇದ 4·a 2 ಯಾವಾಗಲೂ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ b 2 −4·a·c. ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ b 2 -4 a c ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗಿದೆ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ತಾರತಮ್ಯಮತ್ತು ಪತ್ರದಿಂದ ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಡಿ. ಇಲ್ಲಿಂದ ತಾರತಮ್ಯದ ಸಾರವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ - ಅದರ ಮೌಲ್ಯ ಮತ್ತು ಚಿಹ್ನೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವು ನಿಜವಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಯೇ ಎಂದು ಅವರು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, ಅವುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಏನು - ಒಂದು ಅಥವಾ ಎರಡು.

ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ ಮತ್ತು ತಾರತಮ್ಯ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯೋಣ: . ಮತ್ತು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

• ಒಂದು ವೇಳೆ ಡಿ<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• D=0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದೇ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ;
• ಅಂತಿಮವಾಗಿ, D>0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಅಥವಾ ಅದನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು ಅಥವಾ, ಮತ್ತು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿದ ನಂತರ ಮತ್ತು ನಾವು ಪಡೆಯುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕೆ ತಂದ ನಂತರ.

ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ, ಅವುಗಳು ನಂತೆ ಕಾಣುತ್ತವೆ, ಅಲ್ಲಿ D=b 2 −4·a·c ಸೂತ್ರದಿಂದ ತಾರತಮ್ಯ D ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅವರ ಸಹಾಯದಿಂದ, ಧನಾತ್ಮಕ ತಾರತಮ್ಯದೊಂದಿಗೆ, ನೀವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ನೈಜ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ತಾರತಮ್ಯವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದಾಗ, ಎರಡೂ ಸೂತ್ರಗಳು ರೂಟ್ನ ಒಂದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ, ಇದು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಅನನ್ಯ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ತಾರತಮ್ಯದೊಂದಿಗೆ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುವಾಗ, ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವುದನ್ನು ನಾವು ಎದುರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಶಾಲೆಯ ಪಠ್ಯಕ್ರಮದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಮೀರಿ ನಮ್ಮನ್ನು ಕರೆದೊಯ್ಯುತ್ತದೆ. ಋಣಾತ್ಮಕ ತಾರತಮ್ಯದೊಂದಿಗೆ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು ನಿಜವಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಜೋಡಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯೋಜಕಬೇರುಗಳು, ನಾವು ಪಡೆದ ಅದೇ ಮೂಲ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.

ಮೂಲ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನೀವು ತಕ್ಷಣವೇ ಮೂಲ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಆದರೆ ಇದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಶಾಲೆಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಕೋರ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಂಕೀರ್ಣದ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣದ ನೈಜ ಬೇರುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತೇವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೊದಲು, ಮೊದಲು ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಅದು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ (ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಸಮೀಕರಣವು ನಿಜವಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು), ಮತ್ತು ನಂತರ ಮಾತ್ರ ಬೇರುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ.

ಮೇಲಿನ ತರ್ಕವು ನಮಗೆ ಬರೆಯಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು a x 2 +b x+c=0, ನಿಮಗೆ ಇವುಗಳ ಅಗತ್ಯವಿದೆ:

• ತಾರತಮ್ಯದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು D=b 2 −4·a·c, ಅದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ;
• ತಾರತಮ್ಯವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವು ನಿಜವಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸಿ;
• D=0 ವೇಳೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣದ ಏಕೈಕ ಮೂಲವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ;
• ತಾರತಮ್ಯವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಮೂಲ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡು ನೈಜ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ತಾರತಮ್ಯವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಗೆ ನೀವು ಹೋಗಬಹುದು.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಧನಾತ್ಮಕ, ಋಣಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯ ತಾರತಮ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಮೂರು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಅವರ ಪರಿಹಾರದೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸಿದ ನಂತರ, ಸಾದೃಶ್ಯದ ಮೂಲಕ ಯಾವುದೇ ಇತರ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಆರಂಭಿಸೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ.

x 2 +2·x−6=0 ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: a=1, b=2 ಮತ್ತು c=−6. ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಪ್ರಕಾರ, ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು ನೀವು ಮೊದಲು ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕು, ನಾವು ಸೂಚಿಸಿದ a, b ಮತ್ತು c ಅನ್ನು ತಾರತಮ್ಯದ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. 28>0 ರಿಂದ, ಅಂದರೆ, ತಾರತಮ್ಯವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ನೈಜ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಮೂಲ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅವುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ , ಇಲ್ಲಿ ನೀವು ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಬಹುದು ಮೂಲ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಮೀರಿ ಗುಣಕವನ್ನು ಚಲಿಸುತ್ತದೆಭಾಗದ ಕಡಿತದ ನಂತರ:

ಉತ್ತರ:

ಮುಂದಿನ ವಿಶಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಹೋಗೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ −4 x 2 +28 x−49=0 .

ಪರಿಹಾರ.

ನಾವು ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದೇ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅದನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ,

ಉತ್ತರ:

x=3.5.

ಋಣಾತ್ಮಕ ತಾರತಮ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ.

5·y 2 +6·y+2=0 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಇಲ್ಲಿವೆ: a=5, b=6 ಮತ್ತು c=2. ನಾವು ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತಾರತಮ್ಯದ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ D=b 2 −4·a·c=6 2 -4·5·2=36−40=−4. ತಾರತಮ್ಯವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವು ನಿಜವಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

ನೀವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಬೇಕಾದರೆ, ನಾವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು:

ಉತ್ತರ:

ಯಾವುದೇ ನಿಜವಾದ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಬೇರುಗಳು: .

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ತಾರತಮ್ಯವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಅವರು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ತಕ್ಷಣವೇ ಉತ್ತರವನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ನಿಜವಾದ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಬೇರುಗಳು ಕಂಡುಬರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಗಮನಿಸೋಣ.

ಎರಡನೇ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ರೂಟ್ ಫಾರ್ಮುಲಾ

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ಫಾರ್ಮುಲಾ, ಅಲ್ಲಿ D=b 2 -4·a·c ನಿಮಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಂದ್ರವಾದ ರೂಪದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು x ಗಾಗಿ ಸಮ ಗುಣಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ (ಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿ a ನೊಂದಿಗೆ 2·n ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗುಣಾಂಕ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಥವಾ 14· ln5=2·7·ln5 ). ಅವಳನ್ನು ಹೊರಹಾಕೋಣ.

ನಾವು x 2 +2 n x+c=0 ರೂಪದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ. ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದರ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ D=(2 n) 2 -4 a c=4 n 2 -4 a c=4 (n 2 -a c), ಮತ್ತು ನಂತರ ನಾವು ಮೂಲ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

ನಾವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ n 2 -a c ಅನ್ನು D 1 ಎಂದು ಸೂಚಿಸೋಣ (ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಇದನ್ನು D " ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ) ನಂತರ ಎರಡನೇ ಗುಣಾಂಕ 2 n ನೊಂದಿಗೆ ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ಸೂತ್ರವು ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. , ಅಲ್ಲಿ D 1 =n 2 -a·c.

D=4·D 1, ಅಥವಾ D 1 =D/4 ಎಂದು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಡಿ 1 ತಾರತಮ್ಯದ ನಾಲ್ಕನೇ ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಡಿ 1 ರ ಚಿಹ್ನೆಯು ಡಿ ಚಿಹ್ನೆಯಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಡಿ 1 ಚಿಹ್ನೆಯು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ಉಪಸ್ಥಿತಿ ಅಥವಾ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿಯ ಸೂಚಕವಾಗಿದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಎರಡನೇ ಗುಣಾಂಕ 2·n ನೊಂದಿಗೆ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ನಿಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿದೆ

• D 1 =n 2 -a·c ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ;
• ಡಿ 1 ಆಗಿದ್ದರೆ<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• D 1 =0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣದ ಏಕೈಕ ಮೂಲವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ;
• D 1 >0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಎರಡು ನೈಜ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಈ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಮೂಲ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ.

5 x 2 -6 x -32=0 ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡನೇ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು 2·(−3) ಎಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಅಂದರೆ, ನೀವು ಮೂಲ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, ಇಲ್ಲಿ a=5, n=-3 ಮತ್ತು c=−32 ನಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ಭಾಗವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ತಾರತಮ್ಯ: D 1 =n 2 -a·c=(-3) 2 −5·(-32)=9+160=169. ಅದರ ಮೌಲ್ಯವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ನೈಜ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಸೂಕ್ತವಾದ ಮೂಲ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅವುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಆದರೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಕೆಲಸವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಉತ್ತರ:

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ರೂಪವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುವುದು

ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ, ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುವ ಮೊದಲು, ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಕೇಳಲು ಅದು ನೋಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ: "ಈ ಸಮೀಕರಣದ ರೂಪವನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವೇ?" ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ 1100 x 2 -400 x-600=0 ಗಿಂತ 11 x 2 -4 x−6=0 ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸುಲಭವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳಿ.

ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ರೂಪವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುವುದು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಅಥವಾ ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು 100 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ 1100 x 2 -400 x -600=0 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಅಲ್ಲ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅದರ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 12 x 2 −42 x+48=0 ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಅದರ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳು: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. ಮೂಲ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು 6 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಸಮಾನವಾದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣ 2 x 2 -7 x+8=0 ಅನ್ನು ತಲುಪುತ್ತೇವೆ.

ಮತ್ತು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಭಾಗಶಃ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಅದರ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಛೇದದಿಂದ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು LCM(6, 3, 1)=6 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ, ಅದು ಸರಳವಾದ ರೂಪ x 2 +4·x−18=0 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಈ ಹಂತದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ಅವರು ಯಾವಾಗಲೂ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಗುಣಾಂಕದಲ್ಲಿ ಮೈನಸ್ ಅನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು −1 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಲು (ಅಥವಾ ಭಾಗಿಸಲು) ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಒಂದು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ -2 x 2 -3 x+7=0 ಪರಿಹಾರ 2 x 2 +3 x−7=0 ಗೆ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಾಂಕಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧ

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ಸೂತ್ರವು ಅದರ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮೂಲಕ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಮೂಲ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ನೀವು ಬೇರುಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಾಂಕಗಳ ನಡುವಿನ ಇತರ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.

ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾದ ಮತ್ತು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಸೂತ್ರಗಳು ರೂಪ ಮತ್ತು . ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನೀಡಿರುವ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ, ಬೇರುಗಳ ಮೊತ್ತವು ವಿರುದ್ಧ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಎರಡನೇ ಗುಣಾಂಕಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಉಚಿತ ಪದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 3 x 2 -7 x + 22 = 0 ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ರೂಪವನ್ನು ನೋಡುವ ಮೂಲಕ, ಅದರ ಬೇರುಗಳ ಮೊತ್ತವು 7/3 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು 22 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ತಕ್ಷಣ ಹೇಳಬಹುದು. /3.

ಈಗಾಗಲೇ ಬರೆದ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನೀವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಾಂಕಗಳ ನಡುವೆ ಹಲವಾರು ಇತರ ಸಂಪರ್ಕಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೀವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಅದರ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು: .

ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ.

• ಬೀಜಗಣಿತ:ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ 8 ನೇ ತರಗತಿಗೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆಗಳು / [ಯು. N. ಮಕರಿಚೆವ್, N. G. Mindyuk, K. I. ನೆಶ್ಕೋವ್, S. B. ಸುವೊರೊವಾ]; ಸಂಪಾದಿಸಿದ್ದಾರೆ S. A. ಟೆಲ್ಯಕೋವ್ಸ್ಕಿ. - 16 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ. - ಎಂ.: ಶಿಕ್ಷಣ, 2008. - 271 ಪು. : ಅನಾರೋಗ್ಯ. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• ಮೊರ್ಡ್ಕೊವಿಚ್ ಎ.ಜಿ.ಬೀಜಗಣಿತ. 8 ನೇ ತರಗತಿ. 2 ಗಂಟೆಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗ 1. ಸಾಮಾನ್ಯ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆಗಳ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ / A. G. ಮೊರ್ಡ್ಕೋವಿಚ್. - 11 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ, ಅಳಿಸಲಾಗಿದೆ. - ಎಂ.: ಮೆನೆಮೊಸಿನ್, 2009. - 215 ಪು.: ಅನಾರೋಗ್ಯ. ISBN 978-5-346-01155-2.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು 8 ನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಏನೂ ಇಲ್ಲ. ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪ ಕೊಡಲಿ 2 + bx + c = 0 ರ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಗುಣಾಂಕಗಳು a, b ಮತ್ತು c ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು a ≠ 0.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಮೊದಲು, ಎಲ್ಲಾ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮೂರು ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ:

1. ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ;
2. ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರಿ;
3. ಅವು ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ರೇಖೀಯ ಪದಗಳಿಗಿಂತ ಇದು ಪ್ರಮುಖ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಮೂಲವು ಯಾವಾಗಲೂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಅನನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಸಮೀಕರಣವು ಎಷ್ಟು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಹೇಗೆ? ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಅದ್ಭುತವಾದ ವಿಷಯವಿದೆ - ತಾರತಮ್ಯ.

ತಾರತಮ್ಯ

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕೊಡಲಿ 2 + bx + c = 0 ನಂತರ ತಾರತಮ್ಯವು ಕೇವಲ ಸಂಖ್ಯೆ D = b 2 - 4ac ಆಗಿದೆ.

ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೀವು ಹೃದಯದಿಂದ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಅದು ಎಲ್ಲಿಂದ ಬರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಈಗ ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ. ಇನ್ನೊಂದು ವಿಷಯ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ: ತಾರತಮ್ಯದ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ನೀವು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವು ಎಷ್ಟು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು. ಅವುಗಳೆಂದರೆ:

1. ಒಂದು ವೇಳೆ ಡಿ< 0, корней нет;
2. D = 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಮೂಲವಿದೆ;
3. D > 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಎರಡು ಬೇರುಗಳಿರುತ್ತವೆ.

ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ: ತಾರತಮ್ಯವು ಬೇರುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವರ ಎಲ್ಲಾ ಚಿಹ್ನೆಗಳಲ್ಲಿ ಅಲ್ಲ, ಕೆಲವು ಕಾರಣಗಳಿಂದಾಗಿ ಅನೇಕ ಜನರು ನಂಬುತ್ತಾರೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ ಮತ್ತು ನೀವು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ನೀವೇ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವಿರಿ:

ಕಾರ್ಯ. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಎಷ್ಟು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 - 6x + 9 = 0.

ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಬರೆಯೋಣ ಮತ್ತು ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (-8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16

ಆದ್ದರಿಂದ ತಾರತಮ್ಯವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ನಾವು ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತೇವೆ:
a = 5; ಬಿ = 3; c = 7;
D = 3 2 - 4 5 7 = 9 - 140 = -131.

ತಾರತಮ್ಯವು ನಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ, ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ. ಉಳಿದಿರುವ ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣ ಹೀಗಿದೆ:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (-6) 2 - 4 1 9 = 36 - 36 = 0.

ತಾರತಮ್ಯ ಶೂನ್ಯ - ಮೂಲವು ಒಂದಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪ್ರತಿ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ. ಹೌದು, ಇದು ಉದ್ದವಾಗಿದೆ, ಹೌದು, ಇದು ಬೇಸರದ ಸಂಗತಿಯಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ನೀವು ಆಡ್ಸ್ ಅನ್ನು ಬೆರೆಸುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಅವಿವೇಕಿ ತಪ್ಪುಗಳನ್ನು ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ. ನಿಮಗಾಗಿ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ: ವೇಗ ಅಥವಾ ಗುಣಮಟ್ಟ.

ಮೂಲಕ, ನೀವು ಹ್ಯಾಂಗ್ ಅನ್ನು ಪಡೆದರೆ, ಸ್ವಲ್ಪ ಸಮಯದ ನಂತರ ನೀವು ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಬರೆಯುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ನಿಮ್ಮ ತಲೆಯಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ನೀವು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೀರಿ. 50-70 ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದ ನಂತರ ಹೆಚ್ಚಿನ ಜನರು ಇದನ್ನು ಎಲ್ಲೋ ಮಾಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತಾರೆ - ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಅಷ್ಟು ಅಲ್ಲ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು

ಈಗ ಸ್ವತಃ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಹೋಗೋಣ. ತಾರತಮ್ಯ D > 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು:

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಮೂಲ ಸೂತ್ರ

ಯಾವಾಗ D = 0, ನೀವು ಈ ಯಾವುದೇ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು - ನೀವು ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ, ಅದು ಉತ್ತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಒಂದು ವೇಳೆ ಡಿ< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣ:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (-2) 2 - 4 1 (-3) = 16.

D > 0 ⇒ ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣ:
15 - 2x - x 2 = 0 ⇒ a = -1; b = -2; c = 15;
D = (-2) 2 - 4 · (-1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ ಸಮೀಕರಣವು ಮತ್ತೆ ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಅವರನ್ನು ಹುಡುಕೋಣ

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \ಅಂತ್ಯ(ಅಲೈನ್)\]

ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣ:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; ಬಿ = 12; c = 36;
D = 12 2 - 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದು ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೊದಲನೆಯದು:

ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಂದ ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಎಲ್ಲವೂ ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ. ನೀವು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಎಣಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ಯಾವುದೇ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಲ್ಲ. ಹೆಚ್ಚಾಗಿ, ಋಣಾತ್ಮಕ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಬದಲಿಸಿದಾಗ ದೋಷಗಳು ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ. ಇಲ್ಲಿ ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ, ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ತಂತ್ರವು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ: ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅಕ್ಷರಶಃ ನೋಡಿ, ಪ್ರತಿ ಹಂತವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ - ಮತ್ತು ಶೀಘ್ರದಲ್ಲೇ ನೀವು ತಪ್ಪುಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕುತ್ತೀರಿ.

ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದದ್ದಕ್ಕಿಂತ ಸ್ವಲ್ಪ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 - 16 = 0.

ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಪದಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಂಡಿರುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದು ಸುಲಭ. ಅಂತಹ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಪದಗಳಿಗಿಂತ ಪರಿಹರಿಸಲು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ: ಅವುಗಳಿಗೆ ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಹೊಸ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ:

ax 2 + bx + c = 0 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ b = 0 ಅಥವಾ c = 0, ಅಂದರೆ. ವೇರಿಯಬಲ್ x ಅಥವಾ ಮುಕ್ತ ಅಂಶದ ಗುಣಾಂಕವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸಹಜವಾಗಿ, ಈ ಎರಡೂ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದಾಗ ಬಹಳ ಕಷ್ಟಕರವಾದ ಪ್ರಕರಣವು ಸಾಧ್ಯ: b = c = 0. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಮೀಕರಣವು ಕೊಡಲಿ 2 = 0 ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದೇ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ: x = 0.

ಉಳಿದ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. b = 0 ಆಗಿರಲಿ, ನಂತರ ನಾವು ಕೊಡಲಿ 2 + c = 0 ರೂಪದ ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಅದನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ಮಾರ್ಪಡಿಸೋಣ:

ಅಂಕಗಣಿತದ ವರ್ಗಮೂಲವು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಮಾತ್ರ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆಯಾದ್ದರಿಂದ, ಕೊನೆಯ ಸಮಾನತೆಯು (-c /a) ≥ 0 ಗೆ ಮಾತ್ರ ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ.

1. ax 2 + c = 0 ರೂಪದ ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಅಸಮಾನತೆ (-c /a) ≥ 0 ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ, ಎರಡು ಬೇರುಗಳು ಇರುತ್ತವೆ. ಸೂತ್ರವನ್ನು ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ;
2. ಒಂದು ವೇಳೆ (-c /a)< 0, корней нет.

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ತಾರತಮ್ಯದ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ - ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸಂಕೀರ್ಣ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಲ್ಲ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅಸಮಾನತೆ (-ಸಿ / ಎ) ≥ 0 ಅನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸಹ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. x 2 ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಮತ್ತು ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯ ಇನ್ನೊಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಏನಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡಲು ಸಾಕು. ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದ್ದರೆ, ಎರಡು ಬೇರುಗಳಿರುತ್ತವೆ. ಅದು ನಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳು ಇರುವುದಿಲ್ಲ.

ಈಗ ಕೊಡಲಿ 2 + ಬಿಎಕ್ಸ್ = 0 ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ, ಇದರಲ್ಲಿ ಉಚಿತ ಅಂಶವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವೂ ಸರಳವಾಗಿದೆ: ಯಾವಾಗಲೂ ಎರಡು ಬೇರುಗಳು ಇರುತ್ತವೆ. ಬಹುಪದವನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸಲು ಸಾಕು:

ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು

ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಅಂಶವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿಂದ ಬೇರುಗಳು ಬರುತ್ತವೆ. ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ಈ ಕೆಲವು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ:

ಕಾರ್ಯ. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:

1. x 2 - 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 - 9 = 0.

x 2 - 7x = 0 ⇒ x · (x - 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = -(-7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಒಂದು ಚೌಕವು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರಬಾರದು.

4x 2 - 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 = -1.5.