ಒಂದೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಇರದ ಬಿಂದುಗಳು? ಎ) ಛೇದಕ; ಬಿ) ಏನನ್ನೂ ಹೇಳಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ; ಸಿ) ಛೇದಿಸಬೇಡಿ; ಡಿ) ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ; ಇ) ಮೂರು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.
2. ಕೆಳಗಿನ ಹೇಳಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದು ನಿಜ? ಎ) ವೃತ್ತದ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇದ್ದರೆ, ಇಡೀ ವೃತ್ತವು ಈ ಸಮತಲದಲ್ಲಿದೆ; ಬಿ) ತ್ರಿಕೋನದ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇರುವ ನೇರ ರೇಖೆಯು ಅದರ ಎರಡು ಬದಿಗಳನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ; ಸಿ) ಯಾವುದೇ ಎರಡು ವಿಮಾನಗಳು ಕೇವಲ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ; ಡಿ) ವಿಮಾನವು ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಒಂದು; ಇ) ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎರಡು ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಛೇದಿಸಿದರೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ತ್ರಿಕೋನದ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಒಂದು ರೇಖೆ ಇರುತ್ತದೆ.
3. ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ವಿಮಾನಗಳು ಕೇವಲ ಎರಡು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಬಹುದೇ? ಎ) ಎಂದಿಗೂ; ಬಿ) ನಾನು ಮಾಡಬಹುದು, ಆದರೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ; ಸಿ) ಯಾವಾಗಲೂ ಹೊಂದಿರಿ; ಡಿ) ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ; ಡಿ) ಇನ್ನೊಂದು ಉತ್ತರ.
4. ಅಂಕಗಳು K, L, M ಒಂದೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ, ಪಾಯಿಂಟ್ N ಅದರ ಮೇಲೆ ಇರುವುದಿಲ್ಲ. ಪ್ರತಿ ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಒಂದು ವಿಮಾನವನ್ನು ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಎಷ್ಟು ವಿಭಿನ್ನ ವಿಮಾನಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು? a) 1; ಬಿ) 2; 3 ನಲ್ಲಿ; ಡಿ) 4; ಡಿ) ಅನಂತ ಅನೇಕ.
5. ಸರಿಯಾದ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಆರಿಸಿ. ಎ) ಸಮತಲವು ಯಾವುದೇ ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಒಂದು; ಬಿ) ಒಂದು ರೇಖೆಯ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇದ್ದರೆ, ರೇಖೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳು ಈ ಸಮತಲದಲ್ಲಿವೆ; ಸಿ) ಎರಡು ವಿಮಾನಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅವು ಛೇದಿಸುವುದಿಲ್ಲ; ಡಿ) ಒಂದು ಸಮತಲ, ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಒಂದು, ಒಂದು ರೇಖೆಯ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಒಂದು ಬಿಂದು; ಇ) ಎರಡು ಛೇದಿಸುವ ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ಮೂಲಕ ಸಮತಲವನ್ನು ಸೆಳೆಯುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ.
6. PBM ಮತ್ತು MAB ವಿಮಾನಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಹೆಸರಿಸಿ. a) PM; ಬಿ) ಎಬಿ; ಸಿ) ಪಿಬಿ; ಡಿ) ಬಿಎಂ; ಇ) ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.
7. A ಮತ್ತು b ರೇಖೆಗಳು M. ಲೈನ್ c ನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ, ಪಾಯಿಂಟ್ M ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವುದಿಲ್ಲ, a ಮತ್ತು b ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ. ಎ, ಬಿ ಮತ್ತು ಸಿ ರೇಖೆಗಳ ಸಂಬಂಧಿತ ಸ್ಥಾನಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಏನು ಹೇಳಬಹುದು? ಎ) ಎಲ್ಲಾ ನೇರ ರೇಖೆಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ವಿಮಾನಗಳಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತವೆ; ಬಿ) ನೇರ ರೇಖೆಗಳು a ಮತ್ತು b ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ; ಸಿ) ಎಲ್ಲಾ ಸರಳ ರೇಖೆಗಳು ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿವೆ; ಡಿ) ಏನನ್ನೂ ಹೇಳಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ; ಇ) ಸಿ ಸಾಲು ಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ: ಎ ಅಥವಾ ಬಿ.
8. A ಮತ್ತು b ರೇಖೆಗಳು O. A € a, B € b, Y € AB ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ. ಸರಿಯಾದ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಆರಿಸಿ. a) O ಮತ್ತು Y ಅಂಕಗಳು ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇರುವುದಿಲ್ಲ; ಬೌ) OY ಮತ್ತು a ನೇರ ರೇಖೆಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ; ಸಿ) ನೇರ ರೇಖೆಗಳು a, b ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್ Y ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ; ಡಿ) O ಮತ್ತು Y ಅಂಕಗಳು ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ; ಇ) ವೈ ಮತ್ತು ಎ ಅಂಕಗಳು ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ.
ಆಯ್ಕೆ 2.1. ಒಂದೇ ಸರಳ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಇರದ ಮೂರು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎರಡು ವಿಮಾನಗಳ ಸಂಬಂಧಿತ ಸ್ಥಾನದ ಬಗ್ಗೆ ಏನು ಹೇಳಬಹುದು?
ಎ) ಛೇದಕ; ಬಿ) ಏನನ್ನೂ ಹೇಳಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ; ಸಿ) ಛೇದಿಸಬೇಡಿ; ಡಿ) ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ; ಇ) ಮೂರು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.
2. ಕೆಳಗಿನ ಹೇಳಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದು ನಿಜ?
ಎ) ವೃತ್ತದ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇದ್ದರೆ, ಇಡೀ ವೃತ್ತವು ಈ ಸಮತಲದಲ್ಲಿದೆ; ಬಿ) ತ್ರಿಕೋನದ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇರುವ ನೇರ ರೇಖೆಯು ಅದರ ಎರಡು ಬದಿಗಳನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ; ಸಿ) ಯಾವುದೇ ಎರಡು ವಿಮಾನಗಳು ಕೇವಲ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ; ಡಿ) ವಿಮಾನವು ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಒಂದು; ಇ) ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎರಡು ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಛೇದಿಸಿದರೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ತ್ರಿಕೋನದ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಒಂದು ರೇಖೆ ಇರುತ್ತದೆ.
3. ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ವಿಮಾನಗಳು ಕೇವಲ ಎರಡು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಬಹುದೇ?
ಎ) ಎಂದಿಗೂ; ಬಿ) ನಾನು ಮಾಡಬಹುದು, ಆದರೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ; ಸಿ) ಯಾವಾಗಲೂ ಹೊಂದಿರಿ; ಡಿ) ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ; ಡಿ) ಇನ್ನೊಂದು ಉತ್ತರ.
4. ಅಂಕಗಳು K, L, M ಒಂದೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ, ಪಾಯಿಂಟ್ N ಅದರ ಮೇಲೆ ಇರುವುದಿಲ್ಲ. ಪ್ರತಿ ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಒಂದು ವಿಮಾನವನ್ನು ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಎಷ್ಟು ವಿಭಿನ್ನ ವಿಮಾನಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು?
a) 1; ಬಿ) 2; 3 ನಲ್ಲಿ; ಡಿ) 4; ಡಿ) ಅನಂತ ಅನೇಕ.
5. ಸರಿಯಾದ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಆರಿಸಿ.
ಎ) ಸಮತಲವು ಯಾವುದೇ ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಒಂದು; ಬಿ) ಒಂದು ರೇಖೆಯ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇದ್ದರೆ, ರೇಖೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳು ಈ ಸಮತಲದಲ್ಲಿವೆ; ಸಿ) ಎರಡು ವಿಮಾನಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅವು ಛೇದಿಸುವುದಿಲ್ಲ; ಡಿ) ಒಂದು ಸಮತಲ, ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಒಂದು, ಒಂದು ರೇಖೆಯ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಒಂದು ಬಿಂದು; ಇ) ಎರಡು ಛೇದಿಸುವ ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ಮೂಲಕ ಸಮತಲವನ್ನು ಸೆಳೆಯುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ.
6. PBM ಮತ್ತು MAB ವಿಮಾನಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಹೆಸರಿಸಿ.
a) PM; ಬಿ) ಎಬಿ; ಸಿ) ಪಿಬಿ; ಡಿ) ಬಿಎಂ; ಇ) ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.
7. ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ವಿಮಾನಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವ ನೇರ ರೇಖೆ RM ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 1)?
a) DD1C; ಬಿ) D1PM; ಸಿ) B1PM; ಡಿ) ಎಬಿಸಿ; ಇ) ಸಿಡಿಎ
B1 C1
8.ಎರಡು ವಿಮಾನಗಳು ಸರಳ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ c. ಪಾಯಿಂಟ್ M ಕೇವಲ ಒಂದು ವಿಮಾನದಲ್ಲಿದೆ. ಪಾಯಿಂಟ್ M ಮತ್ತು ಲೈನ್ c ನ ಸಂಬಂಧಿತ ಸ್ಥಾನದ ಬಗ್ಗೆ ಏನು ಹೇಳಬಹುದು?
ಎ) ಯಾವುದೇ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ; ಬೌ) ಸರಳ ರೇಖೆ ಸಿ ಪಾಯಿಂಟ್ ಎಂ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ; ಸಿ) ಪಾಯಿಂಟ್ ಎಂ ಸಿ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿದೆ; ಡಿ) ನೇರ ರೇಖೆ ಸಿ ಪಾಯಿಂಟ್ ಎಂ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವುದಿಲ್ಲ; ಡಿ) ಇನ್ನೊಂದು ಉತ್ತರ.
9. A ಮತ್ತು b ರೇಖೆಗಳು M. ಲೈನ್ c ನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ, ಪಾಯಿಂಟ್ M ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವುದಿಲ್ಲ, a ಮತ್ತು b ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ. ಎ, ಬಿ ಮತ್ತು ಸಿ ರೇಖೆಗಳ ಸಂಬಂಧಿತ ಸ್ಥಾನಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಏನು ಹೇಳಬಹುದು?
ಎ) ಎಲ್ಲಾ ನೇರ ರೇಖೆಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ವಿಮಾನಗಳಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತವೆ; ಬಿ) ನೇರ ರೇಖೆಗಳು a ಮತ್ತು b ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ; ಸಿ) ಎಲ್ಲಾ ಸರಳ ರೇಖೆಗಳು ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿವೆ; ಡಿ) ಏನನ್ನೂ ಹೇಳಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ; ಇ) ಸಿ ಸಾಲು ಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ: ಎ ಅಥವಾ ಬಿ.
10. A ಮತ್ತು b ರೇಖೆಗಳು O. A € a, B € b, Y € AB ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ. ಸರಿಯಾದ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಆರಿಸಿ.
a) O ಮತ್ತು Y ಅಂಕಗಳು ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇರುವುದಿಲ್ಲ; ಬೌ) OY ಮತ್ತು a ನೇರ ರೇಖೆಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ; ಸಿ) ನೇರ ರೇಖೆಗಳು a, b ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್ Y ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ; ಡಿ) O ಮತ್ತು Y ಅಂಕಗಳು ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ; ಇ) ವೈ ಮತ್ತು ಎ ಅಂಕಗಳು ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ.
ಕಿರಣಗಳು AB ಮತ್ತು AC ಅದರ ಅಂಚಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿದೆಯೇ? 2. AB ಮತ್ತು AC ಕಿರಣಗಳು ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಕೋನದ ಮುಖಗಳ ಮೇಲೆ ಬಿದ್ದರೆ ರೇಖೀಯ ಕೋನ BAC ದ್ವಿಮುಖ ಕೋನವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ನಿಜವೇ? 3. AB ಮತ್ತು AC ಕಿರಣಗಳು ಅದರ ಅಂಚಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಕೋನದ ಮುಖಗಳ ಮೇಲೆ E ಮತ್ತು C ಬಿಂದುಗಳು ಮಲಗಿದ್ದರೆ ಕೋನ BAC ದ್ವಿಮುಖ ಕೋನದ ರೇಖೀಯ ಕೋನವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ನಿಜವೇ? 4. ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಕೋನದ ರೇಖೀಯ ಕೋನವು 80 ಡಿಗ್ರಿ. ಕೋನದ ಒಂದು ಮುಖದಲ್ಲಿ ಇನ್ನೊಂದು ಮುಖಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ನೇರ ರೇಖೆ ಇದೆಯೇ? 5. ಆಂಗಲ್ ಎಬಿಸಿ ಆಲ್ಫಾ ಅಂಚಿನೊಂದಿಗೆ ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಕೋನದ ರೇಖೀಯ ಕೋನವಾಗಿದೆ. ನೇರ ರೇಖೆ ಆಲ್ಫಾ ಎಬಿಸಿ ಪ್ಲೇನ್‌ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿದೆಯೇ? ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೇಖೆಯನ್ನು ಛೇದಿಸುವ ಎಲ್ಲಾ ರೇಖೆಗಳು ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿವೆ ಎಂಬುದು ನಿಜವೇ?
ಪ್ಲಾನಿಮೆಟ್ರಿಯಲ್ಲಿ, ವಿಮಾನವು ಮುಖ್ಯ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ತಿಳುವಳಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯ. ಈ ವಿಷಯವನ್ನು ಒಳಗೊಳ್ಳಲು ಈ ಲೇಖನವನ್ನು ರಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಸಮತಲದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ, ಅದರ ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವಿಮಾನಗಳ ಪದನಾಮಗಳನ್ನು ತೋರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮುಂದೆ, ಸಮತಲವನ್ನು ಒಂದು ಬಿಂದು, ಸರಳ ರೇಖೆ ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು ಸಮತಲದೊಂದಿಗೆ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ಸಂಬಂಧಿತ ಸ್ಥಾನಗಳಿಂದ ಆಯ್ಕೆಗಳು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ. ಲೇಖನದ ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ಪ್ಯಾರಾಗಳಲ್ಲಿ, ಎರಡು ವಿಮಾನಗಳು, ನೇರ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲ, ಹಾಗೆಯೇ ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ಸಮತಲಗಳ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಸ್ಥಾನಕ್ಕಾಗಿ ಎಲ್ಲಾ ಆಯ್ಕೆಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮೂಲ ತತ್ವಗಳು ಮತ್ತು ಗ್ರಾಫಿಕ್ ವಿವರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ವಿಮಾನವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮುಖ್ಯ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ.
ಪುಟ ಸಂಚರಣೆ.
ಪ್ಲೇನ್ - ಮೂಲ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು, ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಮತ್ತು ಚಿತ್ರಗಳು.
ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಸರಳ ಮತ್ತು ಮೂಲಭೂತ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಒಂದು ಬಿಂದು, ನೇರ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದು ಮತ್ತು ರೇಖೆಯ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸಿದ ಸಮತಲವನ್ನು ನಾವು ಇರಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಅಂಕಗಳು ಮತ್ತು ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ವಿಮಾನದ ಕಲ್ಪನೆಯು ನಮಗೆ ಪಡೆಯಲು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಟೇಬಲ್ ಅಥವಾ ಗೋಡೆಯ ಮೇಲ್ಮೈ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಟೇಬಲ್ ಅಥವಾ ಗೋಡೆಯು ಸೀಮಿತ ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು ವಿಮಾನವು ಅದರ ಗಡಿಗಳನ್ನು ಮೀರಿ ಅನಂತತೆಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ.
ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿನ ಅಂಕಗಳು ಮತ್ತು ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿಯೇ ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ - ಕ್ರಮವಾಗಿ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಸಣ್ಣ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಅಕ್ಷರಗಳಲ್ಲಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಂಕಗಳು A ಮತ್ತು Q, ಸಾಲುಗಳು a ಮತ್ತು d. ಒಂದು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಮಲಗಿರುವ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಈ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಎರಡು ಅಕ್ಷರಗಳಿಂದ ರೇಖೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, AB ಅಥವಾ BA ಸರಳ ರೇಖೆಯು A ಮತ್ತು B ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ. ವಿಮಾನಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಗ್ರೀಕ್ ಅಕ್ಷರಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವಿಮಾನಗಳು, ಅಥವಾ.
ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ವಿಮಾನಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸಲು ಇದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಮತಲವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ಅಥವಾ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸರಳ ಮುಚ್ಚಿದ ಪ್ರದೇಶವಾಗಿ ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಸಮತಲವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಿಂದುಗಳು, ಸರಳ ರೇಖೆಗಳು ಅಥವಾ ಇತರ ಸಮತಲಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಂಬಂಧಿತ ಸ್ಥಾನಗಳಿಗೆ ವಿವಿಧ ಆಯ್ಕೆಗಳು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ. ಅವರ ವಿವರಣೆಗೆ ಹೋಗೋಣ.
ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಸ್ಥಾನ.
ಮೂಲತತ್ವದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ: ಪ್ರತಿ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳಿವೆ. ಅದರಿಂದ ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಸಂಬಂಧಿತ ಸ್ಥಾನಕ್ಕಾಗಿ ಮೊದಲ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ - ಪಾಯಿಂಟ್ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸೇರಿರಬಹುದು. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ವಿಮಾನವು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗಬಹುದು. ಒಂದು ಬಿಂದುವು ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲು, "" ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವಿಮಾನವು ಪಾಯಿಂಟ್ A ಮೂಲಕ ಹಾದು ಹೋದರೆ, ನೀವು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು.
ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಅನಂತ ಅನೇಕ ಬಿಂದುಗಳಿವೆ ಎಂದು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು.
ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮತಲವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಮೂಲತತ್ವವು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ: ಒಂದೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಇರದ ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ, ಒಂದು ಸಮತಲವು ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಒಂದು. ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ಈ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಮೂರು ಅಕ್ಷರಗಳಿಂದ ಸಮತಲವನ್ನು ಸೂಚಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ವಿಮಾನವು A, B ಮತ್ತು C ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದು ಹೋದರೆ, ಅದನ್ನು ABC ಎಂದು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಬಹುದು.
ನಾವು ಮತ್ತೊಂದು ಮೂಲತತ್ವವನ್ನು ರೂಪಿಸೋಣ, ಇದು ಸಮತಲದ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಸ್ಥಾನ ಮತ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಎರಡನೇ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ: ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ನಾಲ್ಕು ಬಿಂದುಗಳಿವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿನ ಒಂದು ಬಿಂದುವು ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸೇರಿರುವುದಿಲ್ಲ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಹಿಂದಿನ ಮೂಲತತ್ವದ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ಒಂದು ಸಮತಲವು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ಬಿಂದುವು ಈ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇರಬಹುದು ಅಥವಾ ಇರಬಹುದು. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಬರೆಯುವಾಗ, "" ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿ, ಇದು "ಸೇರಿಲ್ಲ" ಎಂಬ ಪದಗುಚ್ಛಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪಾಯಿಂಟ್ A ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇರದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಸಣ್ಣ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸಿ.
ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ವಿಮಾನ.
ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ನೇರ ರೇಖೆಯು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಮಲಗಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಈ ಸಾಲಿನ ಕನಿಷ್ಠ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತವೆ. ಇದನ್ನು ಮೂಲತತ್ವದಿಂದ ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ: ಒಂದು ರೇಖೆಯ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇದ್ದರೆ, ಈ ರೇಖೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳು ಸಮತಲದಲ್ಲಿವೆ. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೇಖೆಯನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ದಾಖಲಿಸಲು, "" ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಂಕೇತ ಎಂದರೆ ನೇರ ರೇಖೆಯು ಸಮತಲದಲ್ಲಿದೆ.
ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ನೇರ ರೇಖೆಯು ಸಮತಲವನ್ನು ಛೇದಿಸಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನೇರ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲವು ಒಂದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ನೇರ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ಛೇದನದ ಬಿಂದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಬರೆಯುವಾಗ, ನಾನು "" ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಛೇದಕವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇನೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಂಕೇತವು ಎಂದರೆ ನೇರ ರೇಖೆಯು ಸಮತಲವನ್ನು M ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ. ಸಮತಲವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಛೇದಿಸಿದಾಗ, ನೇರ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ.
ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ, ಸಮತಲವನ್ನು ಛೇದಿಸುವ ಮತ್ತು ಈ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಯಾವುದೇ ನೇರ ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ರೇಖೆಯನ್ನು ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಲಂಬವಾಗಿರುವಿಕೆಯನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ದಾಖಲಿಸಲು, "" ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿ. ವಸ್ತುವಿನ ಹೆಚ್ಚು ಆಳವಾದ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕಾಗಿ, ನೀವು ನೇರ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ಲಂಬವಾದ ಲೇಖನವನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಬಹುದು.
ವಿಮಾನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯು ವಿಮಾನದ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಸಮತಲದ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಈ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಯಾವುದೇ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ.
ಮೂರನೆಯದಾಗಿ, ನೇರ ರೇಖೆಯು ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರಬಹುದು, ಅಂದರೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುಗಳಿಲ್ಲದಿರಬಹುದು. ಏಕಕಾಲಿಕವನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಬರೆಯುವಾಗ, "" ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಾಲು a ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಬರೆಯಬಹುದು. ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ಸಮಾನಾಂತರ ಲೇಖನವನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುವ ಮೂಲಕ ಈ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ನಾವು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.
ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇರುವ ನೇರ ರೇಖೆಯು ಈ ಸಮತಲವನ್ನು ಎರಡು ಅರ್ಧ ಸಮತಲಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಬೇಕು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಅರ್ಧ-ವಿಮಾನಗಳ ಗಡಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದೇ ಅರ್ಧ ಸಮತಲದ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳು ರೇಖೆಯ ಒಂದೇ ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲಗಳ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳು ಗಡಿ ರೇಖೆಯ ವಿರುದ್ಧ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತವೆ.
ವಿಮಾನಗಳ ಪರಸ್ಪರ ವ್ಯವಸ್ಥೆ.
ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವಿಮಾನಗಳು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅವರು ಕನಿಷ್ಟ ಮೂರು ಅಂಕಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೊಂದಿರುತ್ತಾರೆ.
ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವಿಮಾನಗಳು ಛೇದಿಸಬಹುದು. ಎರಡು ಸಮತಲಗಳ ಛೇದಕವು ಸರಳ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಮೂಲತತ್ವದಿಂದ ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ: ಎರಡು ವಿಮಾನಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಅದರ ಮೇಲೆ ಈ ವಿಮಾನಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುಗಳು ಇರುತ್ತವೆ.
ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಛೇದಿಸುವ ವಿಮಾನಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ. ವಿಮಾನಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ತೊಂಬತ್ತು ಡಿಗ್ರಿಗಳಾಗಿದ್ದಾಗ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಸಕ್ತಿಯ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ವಿಮಾನಗಳನ್ನು ಲಂಬ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಮಾನಗಳ ಲಂಬತೆಯ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ನಾವು ಅವರ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡಿದ್ದೇವೆ.
ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವಿಮಾನಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರಬಹುದು, ಅಂದರೆ, ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುಗಳಿಲ್ಲ. ವಿಮಾನಗಳ ಸಾಪೇಕ್ಷ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಾಗಿ ಈ ಆಯ್ಕೆಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ತಿಳುವಳಿಕೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ವಿಮಾನಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಯ ಲೇಖನವನ್ನು ನೀವು ಓದಬೇಕೆಂದು ನಾವು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.
ವಿಮಾನವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳು.
ಈಗ ನಾವು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮತಲವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಮುಖ್ಯ ಮಾರ್ಗಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.
ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಒಂದೇ ಸರಳ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಇರದ ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಸರಿಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಮತಲವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಈ ವಿಧಾನವು ಮೂಲತತ್ವವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ: ಒಂದೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಇರದ ಯಾವುದೇ ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ, ಒಂದೇ ಸಮತಲವಿದೆ.
ಒಂದು ಸಮತಲವು ಒಂದೇ ಸರಳ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಇರದ ಅದರ ಮೂರು ವಿಭಿನ್ನ ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದರೆ, ನಂತರ ನಾವು ಮೂರು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸಮತಲದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು.
ಸಮತಲವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮುಂದಿನ ಎರಡು ವಿಧಾನಗಳು ಹಿಂದಿನ ಒಂದು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ. ಅವು ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸಮತಲದ ಬಗ್ಗೆ ಮೂಲತತ್ವದ ಅನುಬಂಧಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿವೆ:
- ಒಂದು ಸಮತಲವು ಒಂದು ರೇಖೆಯ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ಬಿಂದು ಅದರ ಮೇಲೆ ಮಲಗಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಒಂದು (ಒಂದು ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸಮತಲದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ);
- ಎರಡು ಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆಗಳ ಮೂಲಕ ಕೇವಲ ಒಂದು ಸಮತಲವು ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ (ಲೇಖನದಲ್ಲಿನ ವಿಷಯವನ್ನು ನೀವು ಓದಬೇಕೆಂದು ನಾವು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ: ಎರಡು ಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸಮತಲದ ಸಮೀಕರಣ).
ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಸಮತಲವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ನಾಲ್ಕನೇ ಮಾರ್ಗವು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದರ ಮೇಲೆ ಆಧಾರಿತವಾಗಿದೆ. ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಮಲಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಛೇದಿಸದಿದ್ದರೆ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಸಮಾನಾಂತರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಹೀಗಾಗಿ, ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಈ ರೇಖೆಗಳು ಇರುವ ಏಕೈಕ ಸಮತಲವನ್ನು ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ.
ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಲಾದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಮತಲವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ನಂತರ ನಾವು ಎರಡು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು.
ಪ್ರೌಢಶಾಲಾ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಪಾಠಗಳಲ್ಲಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ: ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಒಂದೇ ಸಮತಲವನ್ನು ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ವಿಮಾನವು ಹಾದುಹೋಗುವ ಬಿಂದುವನ್ನು ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ರೇಖೆಯನ್ನು ನಾವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದರೆ ನಾವು ಅದನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು.
ಒಂದು ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ನಿಗದಿಪಡಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲವನ್ನು ಸೂಚಿಸಿದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದರೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸರಳ ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ.
ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ರೇಖೆಯ ಬದಲಿಗೆ, ಈ ಸಮತಲದ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ನೀವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಬರೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ
ಸ್ಟೀರಿಯೊಮೆಟ್ರಿಯ ಮೂಲತತ್ವಗಳು.
A1. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಮಲಗದ ಯಾವುದೇ ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ, ಒಂದು ವಿಮಾನವು ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಒಂದು;
Sl.1.ನೇರ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೇಲೆ ಮಲಗದ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಒಂದು ಸಮತಲವನ್ನು ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಒಂದು;
Sl.2.ಒಂದು ವಿಮಾನವು ಎರಡು ಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಒಂದು;
Sl.3.ಒಂದು ವಿಮಾನವು ಎರಡು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಒಂದು.
A2. ಒಂದು ರೇಖೆಯ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇದ್ದರೆ, ರೇಖೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳು ಈ ಸಮತಲದಲ್ಲಿವೆ;
A3. ಎರಡು ಸಮತಲಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಅದರ ಮೇಲೆ ಈ ವಿಮಾನಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುಗಳು ಇರುತ್ತವೆ.
ಸ್ಟೀರಿಯೊಮೆಟ್ರಿಯ ಮೂಲ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು- ಅಂಕಗಳು (ಎ, ಬಿ, ಸಿ...), ನೇರ (ಎ, ಬಿ, ಸಿ...), ವಿಮಾನ ( …) , ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾ ಮತ್ತು ಕ್ರಾಂತಿಯ ದೇಹಗಳು.
ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಕತ್ತರಿಸುವ ವಿಮಾನಮೂರು ಆಯಾಮದ ಆಕೃತಿಯನ್ನು ಸಮತಲವಾಗಿ ಅರ್ಥೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಈ ಆಕೃತಿಯ ಬಿಂದುಗಳಿವೆ.
ಹಿಂದೆ ದೂರದ ಅಳತೆಒಂದು ಬಿಂದು, ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ನಡುವೆ ನಾವು ಅವುಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಲಂಬದ ಉದ್ದವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.
2. ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ರೇಖೆಗಳ ಸಂಬಂಧಿತ ಸ್ಥಾನ.
ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ, ಛೇದಿಸಿ ಅಥವಾ ಅಡ್ಡ.
| 1A | ಡೆಫ್. ಸಮಾನಾಂತರಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿನ ರೇಖೆಗಳು ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇರುವ ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ಛೇದಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಮುಂದಿನ ಪ್ರಕಾರ 3. ಒಂದು ವಿಮಾನವು ಎರಡು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಒಂದು. | |
| 1B | T 1 (ಟ್ರಾನ್ಸಿಟಿವಿಟಿ ಬಗ್ಗೆ).ಮೂರನೆಯದಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ. | |
| 2A | ಮುಂದಿನ ಪ್ರಕಾರ 2. ಎರಡು ನಂತರ ಛೇದಿಸುತ್ತಿದೆಒಂದು ವಿಮಾನವು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಒಂದು | |
| 3A | ಡೆಫ್. ಎರಡು ನೇರ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಂತಾನೋತ್ಪತ್ತಿ, ಅವರು ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಮಲಗದಿದ್ದರೆ. | |
| T 2 (ಸಾಲುಗಳನ್ನು ದಾಟುವ ಚಿಹ್ನೆ).ಎರಡು ಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮತಲದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ರೇಖೆಯು ಈ ಸಮತಲವನ್ನು ಮೊದಲ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರದ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಿದರೆ, ಅಂತಹ ಸಾಲುಗಳು ಓರೆಯಾಗಿರುತ್ತವೆ. | ||
| 3B | ಡೆಫ್. ಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನಛೇದಿಸುವ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. | |
| 3B | ಡೆಫ್. ಎರಡು ಓರೆ ರೇಖೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಲಂಬವು ಈ ರೇಖೆಗಳ ಮೇಲೆ ತುದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮತ್ತು ಅವುಗಳಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಒಂದು ವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ. (ಕ್ರಾಸಿಂಗ್ ಲೈನ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರ). |
- ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ವಿಮಾನಗಳ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಸ್ಥಾನ.
ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ, ನೇರ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ವಿಮಾನವು ಆಗಿರಬಹುದು ಸಮಾನಾಂತರ, ಛೇದಕಅಥವಾ ನೇರವಾಗಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿಮಾನದಲ್ಲಿ ಮಲಗಬಹುದು.
| 1A | ಡೆಫ್. ನೇರಎಂದು ಕರೆದರು ವಿಮಾನಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ, ಇದು ಈ ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಯಾವುದೇ ರೇಖೆಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ. | |
| 1B | T 3 (ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ನಡುವಿನ ಸಮಾನಾಂತರತೆಯ ಚಿಹ್ನೆ). ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇರುವ ನೇರ ರೇಖೆಯು ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಈ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಕೆಲವು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. | |
| 2A | ಡೆಫ್. ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿ, ಈ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಯಾವುದೇ ಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಇದು ಲಂಬವಾಗಿದ್ದರೆ. | |
| 2B | T 4 (ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ಲಂಬತೆಯ ಸಂಕೇತ)ಸಮತಲವನ್ನು ಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆಯು ಈ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಈ ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮೂರನೇ ಸಾಲಿಗೂ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ. | |
| 2B | T 5 (ಮೂರನೆಯ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಸುಮಾರು ಎರಡು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳು).ಎರಡು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿದ್ದರೆ, ಇನ್ನೊಂದು ರೇಖೆಯು ಈ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ. | |
| 2ಜಿ | ಡೆಫ್. ಒಂದು ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೇಖೆಯ ನಡುವಿನ ಕೋನ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ ಅದರ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವಾಗಿದೆ. | |
| 2D | ಡೆಫ್. ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಮತ್ತು ಛೇದಿಸುವ ಸಮತಲದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಯಾವುದೇ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಒಲವುಈ ವಿಮಾನಕ್ಕೆ (ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರ ನೋಡಿ). ಡೆಫ್. ಇಳಿಜಾರಾದ ಸಮತಲದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣಲಂಬ ಮತ್ತು ಇಳಿಜಾರಿನ ತಳವನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ವಿಭಾಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. T 6 (ಲಂಬ ಮತ್ತು ಇಳಿಜಾರಿನ ಉದ್ದದ ಬಗ್ಗೆ). 1) ಈ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಇಳಿಜಾರಾದ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಚಿಕ್ಕದಾದ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; 2) ಸಮಾನ ಓರೆಗಳು ಸಮಾನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ; 3) ಎರಡು ಒಲವುಳ್ಳವುಗಳಲ್ಲಿ, ಅದರ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ. | |
| 2E | T 7 (ಸುಮಾರು ಮೂರು ಲಂಬಗಳು).ಅದರ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಇಳಿಜಾರಾದ ಸಮತಲದ ತಳದ ಮೂಲಕ ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ ಎಳೆಯಲಾದ ನೇರ ರೇಖೆಯು ಸಹ ಇಳಿಜಾರಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ. T 8 (ರಿವರ್ಸ್).ಇಳಿಜಾರಾದ ಸಮತಲದ ತಳದ ಮೂಲಕ ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ ಎಳೆಯಲಾದ ನೇರ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಈ ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ ಇಳಿಜಾರಾದ ಸಮತಲದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ. | |
| 3A | ಮೂಲತತ್ವ 2. ಒಂದು ರೇಖೆಯ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇದ್ದರೆ, ರೇಖೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳು ಈ ಸಮತಲದಲ್ಲಿವೆ |
- ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ವಿಮಾನಗಳ ಪರಸ್ಪರ ವ್ಯವಸ್ಥೆ.
ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ, ವಿಮಾನಗಳು ಇರಬಹುದು ಸಮಾನಾಂತರಅಥವಾ ಅಡ್ಡ
| 1A | ಡೆಫ್. ಎರಡು ವಿಮಾನಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ಸಮಾನಾಂತರ, ಅವರು ಛೇದಿಸದಿದ್ದರೆ. | |
| T 9 (ಸಮಾನಾಂತರ ವಿಮಾನಗಳ ಸಂಕೇತ).ಒಂದು ಸಮತಲದ ಎರಡು ಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಮತ್ತೊಂದು ಸಮತಲದ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ವಿಮಾನಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ. | ||
| 1B | T 10 ಎರಡು ಸಮಾನಾಂತರ ಸಮತಲಗಳು ಮೂರನೇ ಸಮತಲದಿಂದ ಛೇದಿಸಿದರೆ, ಛೇದನದ ನೇರ ರೇಖೆಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ (ಸಮಾನಾಂತರ ವಿಮಾನಗಳ ಆಸ್ತಿ 1). | |
| 1B | T 11 ಸಮಾನಾಂತರ ಸಮತಲಗಳ ನಡುವೆ ಸುತ್ತುವರಿದ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ವಿಭಾಗಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಸಮಾನಾಂತರ ವಿಮಾನಗಳ ಆಸ್ತಿ 2). | |
| 2A | ಮೂಲತತ್ವ 3 ರ ಪ್ರಕಾರ. ಎರಡು ವಿಮಾನಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಈ ವಿಮಾನಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುಗಳು ಇರುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ( ವಿಮಾನಗಳು ನೇರ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ). | |
| 2B | ಟಿ 12 (ವಿಮಾನಗಳ ಲಂಬತೆಯ ಸಂಕೇತ).ಒಂದು ವಿಮಾನವು ಮತ್ತೊಂದು ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ರೇಖೆಯ ಮೂಲಕ ಹಾದು ಹೋದರೆ, ಈ ವಿಮಾನಗಳು ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ. | |
| 2B | ಡೆಫ್. ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಕೋನಒಂದು ಸರಳ ರೇಖೆಯಿಂದ ಹೊರಹೊಮ್ಮುವ ಎರಡು ಅರ್ಧ ಸಮತಲಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಆಕೃತಿಯಾಗಿದೆ. ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಕೋನದ ಅಂಚಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಸಮತಲವು ಅದರ ಮುಖಗಳನ್ನು ಎರಡು ಕಿರಣಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಕಿರಣಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಕೋನವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಕೋನದ ರೇಖೀಯ ಕೋನ.ಹಿಂದೆ ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಕೋನ ಅಳತೆಅನುಗುಣವಾದ ರೇಖೀಯ ಕೋನದ ಅಳತೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. |
I5 ಒಂದೇ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇರದಿರುವ ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳು ಏನೇ ಇರಲಿ, ಈ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹೆಚ್ಚು ಒಂದು ಸಮತಲವು ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ.
I6 ಒಂದು ರೇಖೆಯ A ಮತ್ತು B ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳು a ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇದ್ದರೆ, ರೇಖೆಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವು a ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ. (ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ರೇಖೆಯು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಆ ವಿಮಾನವು ರೇಖೆಯ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ.
I7 a ಮತ್ತು b ಎರಡು ಸಮತಲಗಳು A ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅವು ಕನಿಷ್ಟ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದು B ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ.
I8 ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇರದ ಕನಿಷ್ಠ ನಾಲ್ಕು ಬಿಂದುಗಳಿವೆ.
ಈಗಾಗಲೇ ಈ 8 ಮೂಲತತ್ವಗಳಿಂದ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗಳ ಹಲವಾರು ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಅದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಶಾಲೆಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಕೋರ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತಾಗಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ, ತಾರ್ಕಿಕ ಕಾರಣಗಳಿಗಾಗಿ, ಒಂದು ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು ಶಾಲೆಯ ಮೂಲತತ್ವಗಳಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕೋರ್ಸ್
ಉದಾಹರಣೆಗೆ:
1. ಎರಡು ಸಾಲುಗಳು ಹೆಚ್ಚೆಂದರೆ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ.
2. ಎರಡು ಸಮತಲಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಈ ಎರಡು ವಿಮಾನಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುಗಳು ಇರುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ.
ಪುರಾವೆ: (ಪ್ರದರ್ಶನಕ್ಕಾಗಿ):
I 7 $ B ಮೂಲಕ, ಇದು a ಮತ್ತು b ಗೆ ಸೇರಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ A,B "a, ನಂತರ I 6 AB "b ಪ್ರಕಾರ. ಇದರರ್ಥ ಎಬಿ ನೇರ ರೇಖೆಯು ಎರಡು ವಿಮಾನಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ.
3. ಒಂದು ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೇಲೆ ಮಲಗದ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ, ಹಾಗೆಯೇ ಎರಡು ಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆಗಳ ಮೂಲಕ, ಒಂದು ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಸಮತಲವನ್ನು ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ.
4. ಪ್ರತಿ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಇರದ ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳಿವೆ.
ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ: ಈ ಮೂಲತತ್ವಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನೀವು ಕೆಲವು ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನವು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅಂಶಗಳ ಸೆಟ್ ಅನಂತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಈ ಮೂಲತತ್ವಗಳಿಂದ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ.
ಗುಂಪು II ಆದೇಶದ ಮೂಲತತ್ವಗಳು.
ಮೂರು ಅಂಕಗಳನ್ನು ಸರಳ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ನೀಡಿದರೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು "ನಡುವೆ ಇರುವ" ಸಂಬಂಧದಲ್ಲಿ ಇತರ ಎರಡಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿರಬಹುದು, ಇದು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮೂಲತತ್ವಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ:
II1 A ಮತ್ತು C ನಡುವೆ B ಇದ್ದರೆ, A, B, C ಒಂದೇ ಸಾಲಿನ ವಿಭಿನ್ನ ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು B C ಮತ್ತು A ನಡುವೆ ಇರುತ್ತದೆ.
II2 A ಮತ್ತು B ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳು ಏನೇ ಇರಲಿ, AB ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಬಿಂದು C ಇರುತ್ತದೆ ಅಂದರೆ B A ಮತ್ತು C ನಡುವೆ ಇರುತ್ತದೆ.
II3 ಒಂದು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿರುವ ಯಾವುದೇ ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ, ಉಳಿದ ಎರಡರ ನಡುವೆ ಹೆಚ್ಚೆಂದರೆ ಒಂದು ಬಿಂದು ಇರುತ್ತದೆ
ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಪ್ರಕಾರ, AB(BA) ವಿಭಾಗದ ಮೇಲೆ ನಾವು A ಮತ್ತು B ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳ ಜೋಡಿಯನ್ನು ಅರ್ಥೈಸುತ್ತೇವೆ. A ಮತ್ತು B ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳನ್ನು ವಿಭಾಗದ ತುದಿಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು A ಮತ್ತು B ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವೆ ಇರುವ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವನ್ನು ವಿಭಾಗದ ಆಂತರಿಕ ಬಿಂದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಬಿ(ಬಿಎ).
ಕಾಮೆಂಟ್:ಆದರೆ II 1-II 3 ರಿಂದ ಪ್ರತಿ ವಿಭಾಗವು ಆಂತರಿಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಇನ್ನೂ ಅನುಸರಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ II 2 ರಿಂದ, Þ ವಿಭಾಗವು ಬಾಹ್ಯ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.
II4 (Pasch's axiom) A, B, C ಒಂದೇ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇರದ ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ABC ಸಮತಲದಲ್ಲಿ A, B, C ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗದ ಸರಳ ರೇಖೆಯಾಗಿರಲಿ. ಒಂದು ನೇರ ರೇಖೆಯು AB ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದು ಹೋದರೆ, ಅದು AC ಅಥವಾ BC ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ.
Sl.1: A ಮತ್ತು C ಬಿಂದುಗಳು ಏನೇ ಇರಲಿ, A ಮತ್ತು C ನಡುವೆ ಇರುವ AC ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಪಾಯಿಂಟ್ D ಇರುತ್ತದೆ.
ಡಾಕ್ಯುಮೆಂಟ್: ನಾನು 3 Þ$ ಅಂದರೆ ಲೈನ್ AC ಮೇಲೆ ಮಲಗಿಲ್ಲ
Sl.2. A ಮತ್ತು C ನಡುವಿನ AD ಮತ್ತು B ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ C ಇದ್ದರೆ, ನಂತರ B A ಮತ್ತು D ನಡುವೆ ಇರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು C B ಮತ್ತು D ನಡುವೆ ಇರುತ್ತದೆ.ಈಗ ನಾವು ಎರಡು ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು
DC3ಎ, ಬಿ ಮತ್ತು ಸಿ ಬಿಂದುಗಳು ಒಂದೇ ನೇರ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಹೇಳಿಕೆ II 4 ಸಹ ಹೊಂದಿದೆ.
ಮತ್ತು ಅತ್ಯಂತ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ವಿಷಯ.
ಹಂತ 4 . ಒಂದು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವೆ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಇತರ ಬಿಂದುಗಳಿವೆ (ಸ್ವಯಂ).
ಆದಾಗ್ಯೂ, ಒಂದು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ .
I ಮತ್ತು II ಗುಂಪುಗಳ ಮೂಲತತ್ವಗಳು ಅಂತಹ ಪ್ರಮುಖ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲು ನಮಗೆ ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತವೆ ಅರ್ಧ ವಿಮಾನ, ಕಿರಣ, ಅರ್ಧ ಜಾಗ ಮತ್ತು ಕೋನ. ಮೊದಲು ನಾವು ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ.
Th1. ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಬಿದ್ದಿರುವ ಒಂದು ರೇಖೆಯು ಈ ಸಮತಲದ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ, ಅದು ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಬಿಂದುಗಳು ಒಂದೇ ಉಪವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ್ದರೆ, ಎಬಿ ವಿಭಾಗವು ಸಾಮಾನ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. a ರೇಖೆಯೊಂದಿಗೆ ಅಂಕಗಳು; ಈ ಬಿಂದುಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಉಪವಿಭಾಗಗಳಿಗೆ ಸೇರಿದ್ದರೆ, AB ವಿಭಾಗವು a ರೇಖೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.
ಕಲ್ಪನೆ: ಒಂದು ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ, A ಮತ್ತು BÏ ಎ AB ವಿಭಾಗವು ರೇಖೆಯೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ Δ ಸಂಬಂಧದಲ್ಲಿದೆ ಎಅಥವಾ ಈ ಅಂಶಗಳು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ. ನಂತರ Δ ಸಂಬಂಧಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗಗಳ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸರಳವಾದ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ಮಾತ್ರ ಇವೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.
Odr1ಹಿಂದಿನ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಬಿಂದುಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಉಪವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಗಡಿ a ಯೊಂದಿಗೆ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಅಂತೆಯೇ, ನಾವು ಕಿರಣ ಮತ್ತು ಅರ್ಧ-ಜಾಗದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಬಹುದು.
ರೇ- ಗಂ, ಮತ್ತು ನೇರ ರೇಖೆಯು .
Odr2ಕೋನವು ಒಂದು ಜೋಡಿ ಕಿರಣಗಳು h ಮತ್ತು k ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಸರಳ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಇರುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ O ಅನ್ನು ಕೋನದ ಶೃಂಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು h ಮತ್ತು k ಕಿರಣಗಳು ಕೋನದ ಬದಿಗಳಾಗಿವೆ. ನಾವು ಅದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ: Ðhk.
ಪಾಯಿಂಟ್ M ಮತ್ತು ರೇ k ಒಂದೇ ಅರ್ಧ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಬೌಂಡರಿ ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್ M ಮತ್ತು ರೇ k ಒಂದೇ ಅರ್ಧ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಬೌಂಡರಿಯೊಂದಿಗೆ ಇದ್ದರೆ ಪಾಯಿಂಟ್ M ಅನ್ನು ಕೋನ hk ನ ಆಂತರಿಕ ಬಿಂದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಆಂತರಿಕ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಕೋನದ ಆಂತರಿಕ ಪ್ರದೇಶ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಮೂಲೆಯ ಹೊರ ಪ್ರದೇಶವು ಅನಂತ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಕೋನದ ವಿವಿಧ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ತುದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಿಭಾಗದ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳು ಆಂತರಿಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಕ್ರಮಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕಾರಣಗಳಿಗಾಗಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮೂಲತತ್ವಗಳಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಆಸ್ತಿ: ಕಿರಣವು ಕೋನದ ಶೃಂಗದಿಂದ ಬಂದರೆ ಮತ್ತು ಈ ಕೋನದ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಆಂತರಿಕ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದು ಹೋದರೆ, ಅದು ಕೋನದ ವಿವಿಧ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ತುದಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ. (ಸ್ವಯಂ ನಿರ್ಮಾಣ)
ಗುಂಪು III. ಸಮಾನತೆಯ ತತ್ವಗಳು (ಸಮಾನತೆ)
ವಿಭಾಗಗಳು ಮತ್ತು ಕೋನಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ, ಸಮಾನತೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ ("=" ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ), ಮೂಲತತ್ವಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ:
III 1 ವಿಭಾಗ AB ಮತ್ತು A / ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಹೊರಹೊಮ್ಮುವ ಕಿರಣವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, $ t.B / ಈ ಕಿರಣಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ AB = A / B / .
III 2 A / B / =AB ಮತ್ತು A // B // =AB, ನಂತರ A / B / =A // B // .
III 3 A-B-C, A / -B / -C /, AB=A / B / ಮತ್ತು BC=B / C /, ನಂತರ AC=A / C / ಎಂದು ಬಿಡಿ
Odr3 O / ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿದ್ದರೆ, h / ಈ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಹೊರಹೊಮ್ಮುವ ಕಿರಣ, ಮತ್ತು l / ಗಡಿಯೊಂದಿಗೆ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲವಾಗಿದ್ದರೆ, O / ,h / ಮತ್ತು l / ವಸ್ತುಗಳ ಟ್ರಿಪಲ್ ಅನ್ನು ಧ್ವಜ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (O / ,h /,ಎಲ್ /).
III 4 Ðhk ಮತ್ತು ಫ್ಲ್ಯಾಗ್ (О / ,h / ,l /) ಅನ್ನು ನೀಡೋಣ. ನಂತರ ಅರ್ಧ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ l / O / ಬಿಂದುವಿನಿಂದ Ðhk = Ðh / k / ನಿಂದ ಹೊರಹೊಮ್ಮುವ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಿರಣ k / ಇರುತ್ತದೆ.
III 5 A, B ಮತ್ತು C ಒಂದೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಇರದ ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳಾಗಿರಲಿ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, AB = A / B / , AC = A / C / , ÐB / A / C / = ÐBAC, ಆಗ ÐABC = ÐA / B / C / .
1. ಪಾಯಿಂಟ್ B/B III 1 ಮಾತ್ರ ಈ ಕಿರಣದ ಮೇಲೆ (ಸ್ವಯಂ)
2. ವಿಭಾಗಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವು ವಿಭಾಗಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ.
3. ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ, ತಳದಲ್ಲಿರುವ ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. (III 5 ರ ಪ್ರಕಾರ).
4. ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳು.
5. ಕೋನ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವು ಕೋನಗಳ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ. (ವರದಿ)
6. ತ್ರಿಕೋನದ ಬಾಹ್ಯ ಕೋನವು ಅದರ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿಲ್ಲದ ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕೋನಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ.
7. ಪ್ರತಿ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ, ದೊಡ್ಡ ಕೋನವು ದೊಡ್ಡ ಬದಿಯ ಎದುರು ಇರುತ್ತದೆ.
8. ಯಾವುದೇ ವಿಭಾಗವು ಒಂದು ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಒಂದು ಮಧ್ಯಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ
9. ಯಾವುದೇ ಕೋನವು ಒಂದು ಮತ್ತು ಒಂದೇ ದ್ವಿಭಾಜಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ
ಕೆಳಗಿನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಬಹುದು:
Odr4ಅದರ ಪಕ್ಕದ ಕೋನಕ್ಕೆ ಸಮನಾದ ಕೋನವನ್ನು ಲಂಬ ಕೋನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ನೀವು ಲಂಬ ಕೋನಗಳು, ಲಂಬ ಮತ್ತು ಓರೆಯಾದ, ಇತ್ಯಾದಿಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು.
^ ನ ವಿಶಿಷ್ಟತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ನೀವು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಬಹುದು > ಮತ್ತು< для отрезков и углов:
Odr5 AB ಮತ್ತು A / B / ಮತ್ತು $ t.C ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅಂದರೆ A / -C-B / ಮತ್ತು A / C = AB, ನಂತರ A / B / >AB.
Odr6Ðhk ಮತ್ತು Ðh / k / ಎಂಬ ಎರಡು ಕೋನಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಮತ್ತು ಆಂತರಿಕ ವಲಯದ ಮೂಲಕ Ðhk ಮತ್ತು ಅದರ ಶೃಂಗದ ಮೂಲಕ ಒಂದು ಕಿರಣವನ್ನು ಎಳೆಯಬಹುದು ಅಂದರೆ Ðh / k / = Ðhl, ನಂತರ Ðhk > Ðh / k / .
ಮತ್ತು ಅತ್ಯಂತ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ವಿಷಯವೆಂದರೆ I-III ಗುಂಪುಗಳ ಮೂಲತತ್ವಗಳ ಸಹಾಯದಿಂದ ಒಬ್ಬರು ಚಲನೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಬಹುದು (ಸೂಪರ್ಪೊಸಿಷನ್).
ಇದನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ:
p ಮತ್ತು p / ಎಂಬ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ.ಈ ಸೆಟ್‌ಗಳ ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವೆ ಒಂದರಿಂದ ಒಂದು ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸೋಣ. P ಸೆಟ್‌ನ M ಮತ್ತು N ಬಿಂದುಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಜೋಡಿ MN ವಿಭಾಗವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. M / ಮತ್ತು N / ಸೆಟ್‌ನ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿರಲಿ p / MN ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. MN ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ M / N / ವಿಭಾಗವನ್ನು ಕರೆಯಲು ನಾವು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳೋಣ.
Odr7 p ಮತ್ತು p / ನಡುವಿನ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವು ಅನುಗುಣವಾದ ವಿಭಾಗಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಪರಸ್ಪರ ಸರ್ವಸಮಾನವಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮುವಂತಿದ್ದರೆ, ಆಗ ಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ p ಮತ್ತು p / ಅನ್ನು ಸರ್ವಸಮಾನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ . ಇದಲ್ಲದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸೆಟ್ p ಮತ್ತು p / ಅನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅವರು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ ಚಳುವಳಿಇನ್ನೊಂದರಿಂದ ಅಥವಾ ಈ ಸೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಇನ್ನೊಂದರ ಮೇಲೆ ಹೇರಬಹುದು. ಸೆಟ್ p ಮತ್ತು p / ನ ಅನುಗುಣವಾದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಅತಿಕ್ರಮಿಸುವಿಕೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಅನುಮೋದನೆ 1: ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಬಿದ್ದಿರುವ ಬಿಂದುಗಳು, ಚಲಿಸುವಾಗ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ.
Utv2 ಒಂದು ಸೆಟ್‌ನ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಅದರ ಇತರ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಎರಡು ವಿಭಾಗಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ಸರ್ವಸಮಾನ ಸೆಟ್‌ನ ಅನುಗುಣವಾದ ಭಾಗಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ನೀವು ತಿರುಗುವಿಕೆ, ಶಿಫ್ಟ್, ಚಲನೆಗಳ ಸಂಯೋಜನೆ ಇತ್ಯಾದಿಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಬಹುದು.
ಗುಂಪು IV. ಮೂಲತತ್ವಗಳ ನಿರಂತರತೆ ಮತ್ತು.
IV 1 (ಆರ್ಕಿಮಿಡೀಸ್ನ ಮೂಲತತ್ವ). AB ಮತ್ತು CD ಕೆಲವು ವಿಭಾಗಗಳಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ AB ನೇರ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ A 1, A 2, ..., A n ಬಿಂದುಗಳ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಸೆಟ್ ಇದೆ, ಅದು ಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ:
1. A-A 1 -A 2, A 1 -A 2 -A 3, ..., A n -2 -A n -1 -A n
2. AA 1 = A 1 A 2 = ... = A n-1 A n = CD
3. ಎ-ಬಿ-ಎ ಎನ್
IV2 (Cantor's Axiom) A1B1, A2B2,... ವಿಭಾಗಗಳ ಅನಂತ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ನೀಡೋಣ, ಅದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ನಂತರದವು ಹಿಂದಿನದರಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ವಿಭಾಗದ CD ಗಾಗಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಇರುತ್ತದೆ. n ಅಂತಹ AnBn< СD. Тогда на прямой а существует т.М, принадлежащая каждому из отрезков данной последовательности.
