ಉದಾಹರಣೆ 8

ವಾಹಕಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಈ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಎಂದು ತೋರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:ಮೊದಲಿಗೆ, ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ನಿಭಾಯಿಸೋಣ. ಷರತ್ತಿನ ಮೂಲಕ, ನಾಲ್ಕು ವೆಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು, ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಅವುಗಳು ಈಗಾಗಲೇ ಕೆಲವು ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಈ ಆಧಾರವು ನಮಗೆ ಆಸಕ್ತಿಯಿಲ್ಲ. ನಿಮಗೆ ಆಸಕ್ತಿ ಇದೆಯೇ? ಮುಂದಿನ ವಿಷಯ: ಮೂರು ವಾಹಕಗಳು ಚೆನ್ನಾಗಿ ರೂಪುಗೊಳ್ಳಬಹುದು ಹೊಸ ಆಧಾರ. ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಹಂತವು ಉದಾಹರಣೆ 6 ರ ಪರಿಹಾರದೊಂದಿಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ವಾಹಕಗಳು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿವೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ:

ವೆಕ್ಟರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:

, ಅಂದರೆ ವಾಹಕಗಳು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದ ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ.

! ಪ್ರಮುಖ: ವೆಕ್ಟರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಅಗತ್ಯವಾಗಿಬರೆಯಿರಿ ಕಾಲಮ್ಗಳಾಗಿನಿರ್ಣಾಯಕ, ತಂತಿಗಳಲ್ಲಿ ಅಲ್ಲ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತಷ್ಟು ಪರಿಹಾರ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನಲ್ಲಿ ಗೊಂದಲ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ.

ಈಗ ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಭಾಗ: ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಆಧಾರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಯಾವುದೇ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿರಬಹುದು ಏಕೈಕ ಮಾರ್ಗನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವಿಸ್ತರಿಸಿ: , ಆಧಾರದಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ.

ನಮ್ಮ ವಾಹಕಗಳು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದ ಆಧಾರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ (ಇದು ಈಗಾಗಲೇ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ), ಈ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ವಿಶಿಷ್ಟ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು:
, ಆಧಾರದಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ.

ಸ್ಥಿತಿಯ ಪ್ರಕಾರ ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ವಿವರಣೆಯ ಸುಲಭಕ್ಕಾಗಿ, ನಾನು ಭಾಗಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇನೆ: . ಅದನ್ನು ಹುಡುಕಲು, ನೀವು ಈ ಸಮಾನತೆಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವನ್ನು ಬರೆಯಬೇಕು:

ಯಾವ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಸಲಾಗಿದೆ? ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ನಿರ್ಣಾಯಕದಿಂದ ವರ್ಗಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ , ವೆಕ್ಟರ್ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ.

ಇದು ಹೊರಹೊಮ್ಮಿತು ಮೂರು ವ್ಯವಸ್ಥೆ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳುಮೂವರು ಅಪರಿಚಿತರೊಂದಿಗೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಇದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಕ್ರಾಮರ್ ಸೂತ್ರಗಳು, ಆಗಾಗ್ಗೆ ಸಮಸ್ಯೆ ಹೇಳಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಸಹ ಅಂತಹ ಅವಶ್ಯಕತೆ ಇರುತ್ತದೆ.

ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮುಖ್ಯ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗಿದೆ:
, ಅಂದರೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ವಿಶಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಕೆಳಗಿನವು ತಂತ್ರದ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ:

ಹೀಗೆ:
- ಆಧಾರದ ಪ್ರಕಾರ ವೆಕ್ಟರ್ನ ವಿಭಜನೆ.

ಉತ್ತರ:

ನಾನು ಈಗಾಗಲೇ ಗಮನಿಸಿದಂತೆ, ಸಮಸ್ಯೆ ಪ್ರಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ. ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎಳೆಯಬಹುದಾದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಲ್ಲ, ಆದರೆ, ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಅಮೂರ್ತ ಕೋರ್ಸ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ. ಎರಡು ಆಯಾಮದ ವಾಹಕಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಇದೇ ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರವು ಹೆಚ್ಚು ಸರಳವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ನಾನು ಅಂತಹ ಕೆಲಸವನ್ನು ಎಂದಿಗೂ ಎದುರಿಸಲಿಲ್ಲ, ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ನಾನು ಅದನ್ನು ಹಿಂದಿನ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಬಿಟ್ಟುಬಿಟ್ಟೆ.

ಮೂರು ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳೊಂದಿಗಿನ ಅದೇ ಸಮಸ್ಯೆ ಸ್ವತಂತ್ರ ನಿರ್ಧಾರ:

ಉದಾಹರಣೆ 9

ವಾಹಕಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಈ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಎಂದು ತೋರಿಸಿ. ಕ್ರೇಮರ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರಮತ್ತು ಅಂದಾಜು ಮಾದರಿಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಮುಗಿಸುವುದು.

ಅಂತೆಯೇ, ನಾವು ನಾಲ್ಕು ಆಯಾಮಗಳು, ಐದು ಆಯಾಮಗಳು ಇತ್ಯಾದಿಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಥಳಗಳು, ಅಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ 4, 5 ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಈ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ, ರೇಖೀಯ ಅವಲಂಬನೆ, ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ರೇಖೀಯ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯೂ ಇದೆ, ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಆಧಾರವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಒಂದು ಆಧಾರವಿದೆ, ಆಧಾರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ವಿಸ್ತರಣೆ. ಹೌದು, ಅಂತಹ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ಎಳೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಎರಡು ಮತ್ತು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಪ್ರಕರಣಗಳ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳು, ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ - ಶುದ್ಧ ಬೀಜಗಣಿತ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಓ ತಾತ್ವಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳುಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಮಾತನಾಡಲು ನಾನು ಈಗಾಗಲೇ ಪ್ರಚೋದಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದ್ದೇನೆ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಮೂರು ಕಾರ್ಯಗಳುಅಸ್ಥಿರ, ಇದು ಈ ಪಾಠಕ್ಕಿಂತ ಮುಂಚೆಯೇ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿದೆ.

ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಪ್ರೀತಿಸಿ, ಮತ್ತು ವಾಹಕಗಳು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಪ್ರೀತಿಸುತ್ತವೆ!

ಪರಿಹಾರಗಳು ಮತ್ತು ಉತ್ತರಗಳು:

ಉದಾಹರಣೆ 2: ಪರಿಹಾರ: ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಮಾಡೋಣ:

ಉತ್ತರ: ನಲ್ಲಿ

ಉದಾಹರಣೆ 4: ಪುರಾವೆ: ಟ್ರೆಪೆಜ್ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನು ಚತುರ್ಭುಜ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಎರಡು ಬದಿಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಇತರ ಎರಡು ಬದಿಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.
1) ವಿರುದ್ಧ ಬದಿಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ ಮತ್ತು .
ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:


, ಅಂದರೆ ಈ ವಾಹಕಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಅಲ್ಲ ಮತ್ತು ಬದಿಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.
2) ವಿರುದ್ಧ ಬದಿಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ ಮತ್ತು .
ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ವೆಕ್ಟರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:
, ಅಂದರೆ ಈ ವಾಹಕಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್, ಮತ್ತು .
ತೀರ್ಮಾನ: ಚತುರ್ಭುಜದ ಎರಡು ಬದಿಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಇತರ ಎರಡು ಬದಿಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ ಇದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ಆಗಿದೆ. ಕ್ಯೂ.ಇ.ಡಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 5: ಪರಿಹಾರ:
b) ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಗೆ ಅನುಪಾತದ ಗುಣಾಂಕವಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ:

ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ ವಾಹಕಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಅಲ್ಲ.
ಸರಳ ವಿನ್ಯಾಸ:
- ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ ವಾಹಕಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಅಲ್ಲ.
ಉತ್ತರ: ವಾಹಕಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಅಲ್ಲ.
ಸಿ) ನಾವು ಕೊಲಿನಿಯರಿಟಿಗಾಗಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತೇವೆ . ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರಚಿಸೋಣ:

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ
ಇಲ್ಲಿ "ಫೋಪಿಶ್" ವಿನ್ಯಾಸ ವಿಧಾನವು ವಿಫಲಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.
ಉತ್ತರ:

ಉದಾಹರಣೆ 6: ಪರಿಹಾರ: ಬಿ) ವೆಕ್ಟರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ (ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಮೊದಲ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಬಹಿರಂಗಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ):

, ಅಂದರೆ ವಾಹಕಗಳು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದ ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದಿಲ್ಲ.
ಉತ್ತರ : ಈ ವಾಹಕಗಳು ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದಿಲ್ಲ

ಉದಾಹರಣೆ 9: ಪರಿಹಾರ:ವೆಕ್ಟರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:


ಹೀಗಾಗಿ, ವಾಹಕಗಳು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ.
ಆಧಾರ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸೋಣ:

ಸಮನ್ವಯವಾಗಿ:

ಕ್ರಾಮರ್ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ:
, ಅಂದರೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ವಿಶಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಉತ್ತರ:ವಾಹಕಗಳು ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ,

ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಉನ್ನತ ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ >>>

(ಮುಖ್ಯ ಪುಟಕ್ಕೆ ಹೋಗಿ)

ವೆಕ್ಟರ್ ಕಲಾಕೃತಿವಾಹಕಗಳು.
ವಾಹಕಗಳ ಮಿಶ್ರ ಉತ್ಪನ್ನ

ಈ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಇನ್ನೂ ಎರಡು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ: ವಾಹಕಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನಮತ್ತು ಮಿಶ್ರ ಕೆಲಸವಾಹಕಗಳು. ಇದು ಸರಿ, ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂತೋಷಕ್ಕಾಗಿ, ಜೊತೆಗೆ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ ವಾಹಕಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನ, ಹೆಚ್ಚು ಹೆಚ್ಚು ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಇದು ವೆಕ್ಟರ್ ಚಟ. ನಾವು ಕಾಡಿಗೆ ಹೋಗುತ್ತಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿ. ಇದು ತಪ್ಪು. IN ಈ ವಿಭಾಗ ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಾಕಷ್ಟು ಉರುವಲು ಇಲ್ಲ, ಬಹುಶಃ ಪಿನೋಚ್ಚಿಯೋಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ವಸ್ತುವು ತುಂಬಾ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸರಳವಾಗಿದೆ - ಅದೇ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿಲ್ಲ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನ, ಕಡಿಮೆ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸಹ ಇರುತ್ತದೆ. ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯವೆಂದರೆ, ಅನೇಕರಿಗೆ ಮನವರಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಈಗಾಗಲೇ ಮನವರಿಕೆಯಾಗಿದೆ, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಲ್ಲಿ ತಪ್ಪುಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಾರದು. ಕಾಗುಣಿತದಂತೆ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿ ಮತ್ತು ನೀವು ಸಂತೋಷವಾಗಿರುತ್ತೀರಿ =)

ವಾಹಕಗಳು ಎಲ್ಲೋ ದೂರದಲ್ಲಿ ಮಿಂಚಿದರೆ, ದಿಗಂತದಲ್ಲಿ ಮಿಂಚಿನಂತೆ, ಅದು ಅಪ್ರಸ್ತುತವಾಗುತ್ತದೆ, ಪಾಠದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ ಡಮ್ಮೀಸ್‌ಗಾಗಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳುಪುನಃಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಅಥವಾ ಮರುಪಡೆಯಲು ಮೂಲಭೂತ ಜ್ಞಾನವಾಹಕಗಳ ಬಗ್ಗೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಿದ್ಧಪಡಿಸಿದ ಓದುಗರು ಆಯ್ದ ಮಾಹಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು; ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಕೆಲಸ

ಏನು ತಕ್ಷಣವೇ ನಿಮಗೆ ಸಂತೋಷವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ? ನಾನು ಚಿಕ್ಕವನಿದ್ದಾಗ, ನಾನು ಎರಡು ಮತ್ತು ಮೂರು ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಕಣ್ಕಟ್ಟು ಮಾಡಬಲ್ಲೆ. ಇದು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದೆ. ಈಗ ನೀವು ಕಣ್ಕಟ್ಟು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ ಕೇವಲ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ವಾಹಕಗಳು, ಮತ್ತು ಎರಡು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಫ್ಲಾಟ್ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ಬಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಏಕೆ? ಈ ಕ್ರಿಯೆಗಳು ಹುಟ್ಟಿದ್ದು ಹೀಗೆ - ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ಮಿಶ್ರ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಈಗಾಗಲೇ ಸುಲಭವಾಗಿದೆ!

ರೇಖೀಯ ಅವಲಂಬನೆಮತ್ತು ವಾಹಕಗಳ ರೇಖೀಯ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ.
ವಾಹಕಗಳ ಆಧಾರ. ಅಫೈನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ

ಸಭಾಂಗಣದಲ್ಲಿ ಚಾಕೊಲೇಟ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಟ್ ಇದೆ, ಮತ್ತು ಇಂದು ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬ ಸಂದರ್ಶಕನು ಸಿಹಿ ಜೋಡಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಾನೆ - ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದೊಂದಿಗೆ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತ. ಈ ಲೇಖನವು ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಎರಡು ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವು ಒಂದು ಹೊದಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಹೇಗೆ ಸಹಬಾಳ್ವೆ ನಡೆಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ವಿರಾಮ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ, ಟ್ವಿಕ್ಸ್ ತಿನ್ನಿರಿ! ... ಡ್ಯಾಮ್, ಎಂತಹ ಅಸಂಬದ್ಧತೆಯ ಗುಂಪೇ. ಆದರೂ, ಸರಿ, ನಾನು ಸ್ಕೋರ್ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ, ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ನೀವು ಅಧ್ಯಯನದ ಬಗ್ಗೆ ಸಕಾರಾತ್ಮಕ ಮನೋಭಾವವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು.

ವಾಹಕಗಳ ರೇಖೀಯ ಅವಲಂಬನೆ, ರೇಖೀಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ, ವಾಹಕಗಳ ಆಧಾರಮತ್ತು ಇತರ ಪದಗಳು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಎಲ್ಲಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ, ಬೀಜಗಣಿತದ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ "ವೆಕ್ಟರ್" ಎಂಬ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಯಾವಾಗಲೂ ನಾವು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಿಸಬಹುದಾದ "ಸಾಮಾನ್ಯ" ವೆಕ್ಟರ್ ಅಲ್ಲ. ಪುರಾವೆಗಾಗಿ ನೀವು ದೂರ ನೋಡಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ, ಐದು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸೆಳೆಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ . ಅಥವಾ ಹವಾಮಾನ ವೆಕ್ಟರ್, ನಾನು ಜಿಸ್ಮೆಟಿಯೊಗೆ ಹೋಗಿದ್ದೇನೆ: - ತಾಪಮಾನ ಮತ್ತು ವಾತಾವರಣದ ಒತ್ತಡಕ್ರಮವಾಗಿ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಉದಾಹರಣೆಯು ತಪ್ಪಾಗಿದೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್, ಆದರೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿ ಔಪಚಾರಿಕಗೊಳಿಸುವುದನ್ನು ಯಾರೂ ನಿಷೇಧಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಶರತ್ಕಾಲದ ಉಸಿರು ...

ಇಲ್ಲ, ನಾನು ನಿಮಗೆ ಥಿಯರಿ, ಲೀನಿಯರ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್‌ಗಳಿಂದ ಬೇಸರವನ್ನುಂಟು ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ, ಇದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಿವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಮೇಯಗಳು. ಹೊಸ ಪದಗಳು (ರೇಖೀಯ ಅವಲಂಬನೆ, ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ, ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆ, ಆಧಾರ, ಇತ್ಯಾದಿ) ಬೀಜಗಣಿತದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಎಲ್ಲವೂ ಸರಳ, ಪ್ರವೇಶಿಸಬಹುದಾದ ಮತ್ತು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ನಾವು ಕೆಲವನ್ನು ಸಹ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಗಳುಬೀಜಗಣಿತ ವಸ್ತುವನ್ನು ಸದುಪಯೋಗಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು, ಪಾಠಗಳೊಂದಿಗೆ ನೀವೇ ಪರಿಚಿತರಾಗಿರುವುದು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ ಡಮ್ಮೀಸ್‌ಗಾಗಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳುಮತ್ತು ಡಿಟರ್ಮಿನಂಟ್ ಅನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು?

ಸಮತಲ ವಾಹಕಗಳ ರೇಖೀಯ ಅವಲಂಬನೆ ಮತ್ತು ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ.
ಪ್ಲೇನ್ ಬೇಸ್ ಮತ್ತು ಅಫೈನ್ ಕೋಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಸಿಸ್ಟಮ್

ನಿಮ್ಮ ವಿಮಾನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಮೇಜು(ಕೇವಲ ಟೇಬಲ್, ಹಾಸಿಗೆಯ ಪಕ್ಕದ ಮೇಜು, ನೆಲ, ಸೀಲಿಂಗ್, ನೀವು ಇಷ್ಟಪಡುವದು). ಕಾರ್ಯವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ:

1) ಪ್ಲೇನ್ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ. ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಟೇಬಲ್‌ಟಾಪ್ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಅಗಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಆಧಾರವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ ಎಂಬುದು ಅರ್ಥಗರ್ಭಿತವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಮೂರು ವೆಕ್ಟರ್ಗಳು ತುಂಬಾ ಹೆಚ್ಚು.

2) ಆಯ್ದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ(ಕೋಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಗ್ರಿಡ್) ಮೇಜಿನ ಮೇಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ವಸ್ತುಗಳಿಗೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸಲು.

ಆಶ್ಚರ್ಯಪಡಬೇಡಿ, ಮೊದಲಿಗೆ ವಿವರಣೆಗಳು ಬೆರಳುಗಳ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತವೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ನಿಮ್ಮ ಮೇಲೆ. ದಯವಿಟ್ಟು ಇರಿಸಿ ತೋರುಬೆರಳುಎಡಗೈಟೇಬಲ್ಟಾಪ್ನ ಅಂಚಿನಲ್ಲಿ ಅವನು ಮಾನಿಟರ್ ಅನ್ನು ನೋಡುತ್ತಾನೆ. ಇದು ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಈಗ ಇರಿಸಿ ಕಿರು ಬೆರಳು ಬಲಗೈ ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮೇಜಿನ ಅಂಚಿನಲ್ಲಿ - ಇದು ಮಾನಿಟರ್ ಪರದೆಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಇದು ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಸ್ಮೈಲ್, ನೀವು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಕಾಣುತ್ತೀರಿ! ವಾಹಕಗಳ ಬಗ್ಗೆ ನಾವು ಏನು ಹೇಳಬಹುದು? ಡೇಟಾ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಕೊಲಿನಿಯರ್, ಅಂದರೆ ರೇಖೀಯಪರಸ್ಪರ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ:
, ಚೆನ್ನಾಗಿ, ಅಥವಾ ಪ್ರತಿಯಾಗಿ: , ಇಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಯು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ.

ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಈ ಕ್ರಿಯೆಯ ಚಿತ್ರವನ್ನು ನೀವು ನೋಡಬಹುದು. ಡಮ್ಮೀಸ್‌ಗಾಗಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು, ಅಲ್ಲಿ ನಾನು ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ನಿಯಮವನ್ನು ವಿವರಿಸಿದೆ.

ನಿಮ್ಮ ಬೆರಳುಗಳು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಮೇಜಿನ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಆಧಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆಯೇ? ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಅಲ್ಲ. ಕೊಲಿನಿಯರ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಅಡ್ಡಲಾಗಿ ಹಿಂದಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಮುಂದಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುತ್ತವೆ ಒಬ್ಬಂಟಿಯಾಗಿದಿಕ್ಕು, ಮತ್ತು ಸಮತಲವು ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಅಗಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಅಂತಹ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ.

ಉಲ್ಲೇಖ: "ರೇಖೀಯ", "ರೇಖೀಯ" ಪದಗಳು ಇನ್ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ ಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಚೌಕಗಳು, ಘನಗಳು, ಇತರ ಶಕ್ತಿಗಳು, ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು, ಸೈನ್‌ಗಳು ಇತ್ಯಾದಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವುದಿಲ್ಲ. ರೇಖೀಯ (1 ನೇ ಪದವಿ) ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಮತ್ತು ಅವಲಂಬನೆಗಳು ಮಾತ್ರ ಇವೆ.

ಎರಡು ವಿಮಾನ ವಾಹಕಗಳು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆಒಂದು ವೇಳೆ ಮತ್ತು ಅವು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ.

ಮೇಜಿನ ಮೇಲೆ ನಿಮ್ಮ ಬೆರಳುಗಳನ್ನು ದಾಟಿಸಿ ಇದರಿಂದ ಅವುಗಳ ನಡುವೆ 0 ಅಥವಾ 180 ಡಿಗ್ರಿಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಯಾವುದೇ ಕೋನವಿದೆ. ಎರಡು ವಿಮಾನ ವಾಹಕಗಳುರೇಖೀಯ ಅಲ್ಲಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅವು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಆಧಾರವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆಧಾರವು ವಿಭಿನ್ನ ಉದ್ದಗಳ ಲಂಬವಲ್ಲದ ವಾಹಕಗಳೊಂದಿಗೆ "ಓರೆಯಾಗಿ" ಹೊರಹೊಮ್ಮಿದೆ ಎಂದು ಮುಜುಗರಪಡುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. 90 ಡಿಗ್ರಿ ಕೋನವು ಅದರ ನಿರ್ಮಾಣಕ್ಕೆ ಸೂಕ್ತವಲ್ಲ ಮತ್ತು ಸಮಾನ ಉದ್ದದ ಘಟಕ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಮಾತ್ರವಲ್ಲ ಎಂದು ಶೀಘ್ರದಲ್ಲೇ ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ.

ಯಾವುದಾದರುಪ್ಲೇನ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಏಕೈಕ ಮಾರ್ಗಆಧಾರದ ಪ್ರಕಾರ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗಿದೆ:
, ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ. ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವೆಕ್ಟರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳುಈ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ.

ಎಂದೂ ಹೇಳಲಾಗಿದೆ ವೆಕ್ಟರ್ಎಂದು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳು. ಅಂದರೆ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವೆಕ್ಟರ್ ವಿಭಜನೆಆಧಾರದ ಮೂಲಕಅಥವಾ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳು.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಮತಲದ ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ವಿಘಟಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು ಅಥವಾ ಅದನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು.

ರೂಪಿಸೋಣ ಆಧಾರದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ: ವಿಮಾನದ ಆಧಾರರೇಖೀಯ ಸ್ವತಂತ್ರ (ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಅಲ್ಲದ) ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಜೋಡಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, , ಇದರಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರುಪ್ಲೇನ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಅತ್ಯಗತ್ಯ ಅಂಶವೆಂದರೆ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ ವಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ . ಆಧಾರಗಳು - ಇವು ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ನೆಲೆಗಳು! ಅವರು ಹೇಳಿದಂತೆ, ನಿಮ್ಮ ಬಲಗೈಯ ಸಣ್ಣ ಬೆರಳಿನ ಬದಲಿಗೆ ನಿಮ್ಮ ಎಡಗೈಯ ಸಣ್ಣ ಬೆರಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

ನಾವು ಆಧಾರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ, ಆದರೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಗ್ರಿಡ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸಲು ಮತ್ತು ನಿಮ್ಮ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಡೆಸ್ಕ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಐಟಂಗೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸಲು ಇದು ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಇದು ಏಕೆ ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ? ವಾಹಕಗಳು ಮುಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಇಡೀ ಸಮತಲದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಅಲೆದಾಡುತ್ತವೆ. ಹಾಗಾದರೆ ಕಾಡು ವಾರಾಂತ್ಯದಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿರುವ ಮೇಜಿನ ಮೇಲಿನ ಸಣ್ಣ ಕೊಳಕು ತಾಣಗಳಿಗೆ ನೀವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿಯೋಜಿಸುತ್ತೀರಿ? ಒಂದು ಆರಂಭದ ಬಿಂದು ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಹೆಗ್ಗುರುತು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಪರಿಚಿತವಾಗಿರುವ ಅಂಶವಾಗಿದೆ - ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲ. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳೋಣ:

ನಾನು "ಶಾಲೆ" ವ್ಯವಸ್ಥೆಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇನೆ. ಈಗಾಗಲೇ ಪರಿಚಯಾತ್ಮಕ ಪಾಠದಲ್ಲಿದೆ ಡಮ್ಮೀಸ್‌ಗಾಗಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳುನಾನು ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಮತ್ತು ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಆಧಾರದ ನಡುವಿನ ಕೆಲವು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಿದ್ದೇನೆ. ಪ್ರಮಾಣಿತ ಚಿತ್ರ ಇಲ್ಲಿದೆ:

ಅವರು ಮಾತನಾಡುವಾಗ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ, ನಂತರ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಅವರು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲವನ್ನು ಅರ್ಥೈಸುತ್ತಾರೆ, ಸಮನ್ವಯ ಅಕ್ಷಗಳುಮತ್ತು ಅಕ್ಷಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಅಳೆಯಿರಿ. ಸರ್ಚ್ ಇಂಜಿನ್‌ನಲ್ಲಿ "ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ" ಅನ್ನು ಟೈಪ್ ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ ಮತ್ತು 5 ನೇ -6 ನೇ ತರಗತಿಯಿಂದ ಪರಿಚಿತವಾಗಿರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳು ಮತ್ತು ವಿಮಾನದಲ್ಲಿ ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಹಾಕುವುದು ಎಂಬುದರ ಕುರಿತು ಅನೇಕ ಮೂಲಗಳು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ನೀವು ನೋಡುತ್ತೀರಿ.

ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಅದು ತೋರುತ್ತದೆ ಆಯತಾಕಾರದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಆಧಾರದ ಮೂಲಕ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು. ಮತ್ತು ಇದು ಬಹುತೇಕ ನಿಜ. ಪದಗಳು ಧ್ವನಿಸುತ್ತದೆ ಕೆಳಗಿನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ:

ಮೂಲ, ಮತ್ತು ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ಆಧಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿಸಲಾಗಿದೆ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಆಯತಾಕಾರದ ಸಮತಲ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ . ಅಂದರೆ, ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂಒಂದು ಬಿಂದು ಮತ್ತು ಎರಡು ಘಟಕ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ನಾನು ಮೇಲೆ ನೀಡಿದ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ನೀವು ನೋಡುತ್ತೀರಿ - ಇನ್ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳುಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ (ಆದರೆ ಯಾವಾಗಲೂ ಅಲ್ಲ) ವಾಹಕಗಳು ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪಾಯಿಂಟ್ (ಮೂಲ) ಮತ್ತು ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಆಧಾರವನ್ನು ಬಳಸುವುದನ್ನು ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ ವಿಮಾನದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದು ಮತ್ತು ವಿಮಾನದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ವೆಕ್ಟರ್ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸಬಹುದು. ಸಾಂಕೇತಿಕವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, "ವಿಮಾನದಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಎಣಿಸಬಹುದು."

ಅವರು ಬಾಧ್ಯತೆ ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆಯೇ ಸಮನ್ವಯ ವಾಹಕಗಳುಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿರಬೇಕೆ? ಇಲ್ಲ, ಅವರು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಬಹುದು. ಪಾಯಿಂಟ್ ಮತ್ತು ಎರಡನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ವೆಕ್ಟರ್ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಉದ್ದ:

ಅಂತಹ ಆಧಾರವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್. ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳೊಂದಿಗಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲವನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಗ್ರಿಡ್‌ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದು, ಯಾವುದೇ ವೆಕ್ಟರ್ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಥವಾ. ಸ್ಪಷ್ಟ ಅನಾನುಕೂಲವೆಂದರೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವಾಹಕಗಳು ವಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣ ಏಕತೆಯನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ವಿಭಿನ್ನ ಉದ್ದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಉದ್ದಗಳು ಏಕತೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಆಧಾರವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

! ಸೂಚನೆ : ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಹಾಗೆಯೇ ಕೆಳಗೆ ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಜಾಗದ ಅಫೈನ್ ಬೇಸ್‌ಗಳಲ್ಲಿ, ಅಕ್ಷಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಇರುವ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, x- ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಒಂದು ಘಟಕವು 4 cm ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಒಂದು ಘಟಕವು 2 cm ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ, "ಪ್ರಮಾಣಿತವಲ್ಲದ" ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು "ನಮ್ಮ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೆಂಟಿಮೀಟರ್ಗಳು" ಆಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಲು ಈ ಮಾಹಿತಿಯು ಸಾಕು.

ಮತ್ತು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಈಗಾಗಲೇ ಉತ್ತರಿಸಿರುವ ಎರಡನೇ ಪ್ರಶ್ನೆ, ಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು 90 ಡಿಗ್ರಿಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು? ಇಲ್ಲ! ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಹೇಳುವಂತೆ, ಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳು ಇರಬೇಕು ಕೇವಲ ನಾನ್-ಕೊಲಿನಿಯರ್. ಅಂತೆಯೇ, ಕೋನವು 0 ಮತ್ತು 180 ಡಿಗ್ರಿಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಯಾವುದಾದರೂ ಆಗಿರಬಹುದು.

ವಿಮಾನದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಯಿತು ಮೂಲ, ಮತ್ತು ಕೋಲಿನಿಯರ್ ಅಲ್ಲದವಾಹಕಗಳು, , ಸೆಟ್ ಅಫೈನ್ ಪ್ಲೇನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ :

ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಅಂತಹ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಓರೆಯಾದವ್ಯವಸ್ಥೆ. ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ, ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ವಾಹಕಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ:

ನೀವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡಂತೆ, ಅಫೈನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಇನ್ನೂ ಕಡಿಮೆ ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ, ನಾವು ಪಾಠದ ಎರಡನೇ ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಿದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ವಿಭಾಗಗಳ ಉದ್ದದ ಸೂತ್ರಗಳು ಅದರಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ; ಡಮ್ಮೀಸ್‌ಗಾಗಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು, ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಅನೇಕ ರುಚಿಕರವಾದ ಸೂತ್ರಗಳು ವಾಹಕಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನ. ಆದರೆ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ನಿಯಮಗಳು, ಈ ಸಂಬಂಧದಲ್ಲಿ ವಿಭಾಗವನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವ ಸೂತ್ರಗಳು, ಹಾಗೆಯೇ ನಾವು ಶೀಘ್ರದಲ್ಲೇ ಪರಿಗಣಿಸುವ ಇತರ ಕೆಲವು ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಮತ್ತು ತೀರ್ಮಾನವೆಂದರೆ ಅಫೈನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಅತ್ಯಂತ ಅನುಕೂಲಕರವಾದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವೆಂದರೆ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಆಯತಾಕಾರದ ವ್ಯವಸ್ಥೆ. ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ನೀವು ಅವಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ನೋಡಬೇಕು, ನನ್ನ ಪ್ರಿಯ. ...ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವೂ ಸಾಪೇಕ್ಷವಾಗಿದೆ - ಓರೆಯಾದ ಕೋನ (ಅಥವಾ ಬೇರೆ ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಹಲವಾರು ಸಂದರ್ಭಗಳಿವೆ. ಧ್ರುವೀಯ) ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ. ಮತ್ತು ಹುಮನಾಯ್ಡ್‌ಗಳು ಅಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಇಷ್ಟಪಡಬಹುದು =)

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಹೋಗೋಣ. ಈ ಪಾಠದಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಫೈನ್ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಇಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಏನೂ ಇಲ್ಲ; ಶಾಲಾ ಮಗುವಿಗೆ ಸಹ ಎಲ್ಲಾ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಪ್ರವೇಶಿಸಬಹುದು.

ಪ್ಲೇನ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಕೋಲಿನಿಯರಿಟಿಯನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು?

ವಿಶಿಷ್ಟ ವಿಷಯ. ಎರಡು ವಿಮಾನ ವಾಹಕಗಳ ಸಲುವಾಗಿ ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿದ್ದವು, ಅವುಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆಮೂಲಭೂತವಾಗಿ, ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಸಂಬಂಧದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದಿಂದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದ ವಿವರವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1

ಎ) ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ .
ಬಿ) ವಾಹಕಗಳು ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆಯೇ? ?

ಪರಿಹಾರ:
a) ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಗೆ ಇದೆಯೇ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ ಅನುಪಾತದ ಗುಣಾಂಕ, ಅಂದರೆ ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಈ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ "ಫೋಪಿಶ್" ಆವೃತ್ತಿಯ ಬಗ್ಗೆ ನಾನು ಖಂಡಿತವಾಗಿ ಹೇಳುತ್ತೇನೆ, ಇದು ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಸಾಕಷ್ಟು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ತಕ್ಷಣವೇ ಅನುಪಾತವನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಅದು ಸರಿಯಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ನೋಡುವುದು ಕಲ್ಪನೆ:

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಅನುಪಾತದಿಂದ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಮಾಡೋಣ:

ಕಡಿಮೆ ಮಾಡೋಣ:
, ಹೀಗಾಗಿ ಅನುಗುಣವಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ,

ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮಾಡಬಹುದು; ಇದು ಸಮಾನವಾದ ಆಯ್ಕೆಯಾಗಿದೆ:

ಸ್ವಯಂ-ಪರೀಕ್ಷೆಗಾಗಿ, ಕಾಲಿನಿಯರ್ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ನೀವು ಬಳಸಬಹುದು. IN ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿಸಮಾನತೆಗಳಿವೆ . ವಾಹಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಮೂಲಕ ಅವುಗಳ ಸಿಂಧುತ್ವವನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು:

ಬಿ) ಎರಡು ಸಮತಲ ವಾಹಕಗಳು ಕೊಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರದಿದ್ದರೆ (ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರ) ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ನಾವು ಕೊಲಿನಿಯರಿಟಿಗಾಗಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತೇವೆ . ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರಚಿಸೋಣ:

ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ನಿಂದ ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣಅದರ ಅರ್ಥವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅಸಮಂಜಸವಾಗಿದೆ(ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳಿಲ್ಲ). ಹೀಗಾಗಿ, ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ತೀರ್ಮಾನ: ವಾಹಕಗಳು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ.

ಪರಿಹಾರದ ಸರಳೀಕೃತ ಆವೃತ್ತಿಯು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಮಾಡೋಣ :
, ಅಂದರೆ ಈ ವಾಹಕಗಳು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಈ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ವಿಮರ್ಶಕರು ತಿರಸ್ಕರಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಕೆಲವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಹೀಗೆ: . ಅಥವಾ ಈ ರೀತಿ: . ಅಥವಾ ಈ ರೀತಿ: . ಇಲ್ಲಿ ಅನುಪಾತದ ಮೂಲಕ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದು ಹೇಗೆ? (ನಿಜವಾಗಿಯೂ, ನೀವು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಾಗಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ). ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ ನಾನು ಸರಳೀಕೃತ ಪರಿಹಾರವನ್ನು "ಫೋಪಿಶ್" ಎಂದು ಕರೆದಿದ್ದೇನೆ.

ಉತ್ತರ: a) , b) ರೂಪ.

ಚಿಕ್ಕದು ಸೃಜನಶೀಲ ಉದಾಹರಣೆಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ:

ಉದಾಹರಣೆ 2

ನಿಯತಾಂಕದ ಯಾವ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿವೆ ಅವರು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರುತ್ತಾರೆಯೇ?

ಮಾದರಿ ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ, ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಅನುಪಾತದ ಮೂಲಕ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕೊಲಿನಿಯರಿಟಿಗಾಗಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಸೊಗಸಾದ ಬೀಜಗಣಿತ ಮಾರ್ಗವಿದೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಐದನೇ ಅಂಶವಾಗಿ ಸೇರಿಸೋಣ:

ಎರಡು ಪ್ಲೇನ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹೇಳಿಕೆಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ:

2) ವಾಹಕಗಳು ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ;
3) ವಾಹಕಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಅಲ್ಲ;

+ 5) ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲ.

ಕ್ರಮವಾಗಿ, ಕೆಳಗಿನ ವಿರುದ್ಧ ಹೇಳಿಕೆಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ:
1) ವಾಹಕಗಳು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿವೆ;
2) ವಾಹಕಗಳು ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದಿಲ್ಲ;
3) ವಾಹಕಗಳು ಕೊಲಿನಿಯರ್;
4) ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು;
+ 5) ಈ ವಾಹಕಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದ ನಿರ್ಣಾಯಕ, ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮ .

ನಾನು ನಿಜವಾಗಿಯೂ, ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಆಶಿಸುತ್ತೇನೆ ಈ ಕ್ಷಣನೀವು ಕಾಣುವ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ನೀವು ಈಗಾಗಲೇ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡಿದ್ದೀರಿ.

ಹೊಸ, ಐದನೇ ಅಂಶವನ್ನು ಹತ್ತಿರದಿಂದ ನೋಡೋಣ: ಎರಡು ವಿಮಾನ ವಾಹಕಗಳು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಕೋಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ:. ಈ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು, ಸಹಜವಾಗಿ, ನೀವು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ ನಿರ್ಣಾಯಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ನಿರ್ಧರಿಸೋಣಉದಾಹರಣೆ 1 ಎರಡನೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ:

a) ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ನಾವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ :
, ಅಂದರೆ ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ.

ಬಿ) ಎರಡು ಸಮತಲ ವಾಹಕಗಳು ಕೊಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರದಿದ್ದರೆ (ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರ) ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ವೆಕ್ಟರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ :
, ಅಂದರೆ ವಾಹಕಗಳು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ.

ಉತ್ತರ: a) , b) ರೂಪ.

ಇದು ಪ್ರಮಾಣದೊಂದಿಗೆ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಂದ್ರವಾಗಿ ಮತ್ತು ಸುಂದರವಾಗಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ.

ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ವಸ್ತುವಿನ ಸಹಾಯದಿಂದ, ವಾಹಕಗಳ ಕೋಲಿನಿಯರಿಟಿಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಆದರೆ ವಿಭಾಗಗಳು ಮತ್ತು ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸಹ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಕಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಂದೆರಡು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 3

ಚತುರ್ಭುಜದ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಚತುರ್ಭುಜವು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.

ಪುರಾವೆ: ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ರಚಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಪರಿಹಾರವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೆನಪಿಸೋಣ:
ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ಎದುರು ಬದಿಗಳು ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ:
1) ವಿರುದ್ಧ ಬದಿಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆ ಮತ್ತು;
2) ವಿರುದ್ಧ ಬದಿಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆ ಮತ್ತು.

ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ:

1) ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

2) ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ಫಲಿತಾಂಶವು ಅದೇ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ ("ಶಾಲಾ ಶೈಲಿ" - ಸಮಾನ ವಾಹಕಗಳು) Colinearity ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ಧಾರವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಔಪಚಾರಿಕಗೊಳಿಸುವುದು ಉತ್ತಮ. ವೆಕ್ಟರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:
, ಅಂದರೆ ಈ ವಾಹಕಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್, ಮತ್ತು .

ತೀರ್ಮಾನ: ವಿರುದ್ಧ ಬದಿಗಳುಚತುರ್ಭುಜಗಳು ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ಇದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವಾಗಿದೆ. ಕ್ಯೂ.ಇ.ಡಿ.

ಇನ್ನಷ್ಟು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳುಉತ್ತಮ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನ:

ಉದಾಹರಣೆ 4

ಚತುರ್ಭುಜದ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಚತುರ್ಭುಜವು ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.

ಪುರಾವೆಯ ಹೆಚ್ಚು ಕಠಿಣವಾದ ಸೂತ್ರೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ, ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಅದು ಹೇಗೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಕು.

ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರ.

ಮತ್ತು ಈಗ ನಿಧಾನವಾಗಿ ವಿಮಾನದಿಂದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುವ ಸಮಯ:

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ವಾಹಕಗಳ ಕೋಲಿನಿಯರಿಟಿಯನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು?

ನಿಯಮವು ತುಂಬಾ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ವಾಹಕಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಬೇಕಾದರೆ, ಅವುಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 5

ಕೆಳಗಿನ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ವಾಹಕಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

ಎ) ;
b)
ವಿ)

ಪರಿಹಾರ:
ಎ) ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಗೆ ಅನುಪಾತದ ಗುಣಾಂಕವಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ:

ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ ವಾಹಕಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಅಲ್ಲ.

"ಸರಳೀಕೃತ" ಅನುಪಾತವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಔಪಚಾರಿಕಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ:
- ಅನುಗುಣವಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ ವಾಹಕಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಅಲ್ಲ.

ಉತ್ತರ:ವಾಹಕಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಅಲ್ಲ.

b-c) ಇವು ಸ್ವತಂತ್ರ ನಿರ್ಧಾರಕ್ಕೆ ಅಂಕಗಳಾಗಿವೆ. ಇದನ್ನು ಎರಡು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ.

ಥರ್ಡ್-ಆರ್ಡರ್ ಡಿಟರ್ಮಿನೆಂಟ್ ಮೂಲಕ ಕೋಲಿನಿಯರಿಟಿಗಾಗಿ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಒಂದು ವಿಧಾನವಿದೆ, ಈ ವಿಧಾನಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ವಾಹಕಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನ.

ಪ್ಲೇನ್ ಪ್ರಕರಣದಂತೆಯೇ, ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ವಿಭಾಗಗಳು ಮತ್ತು ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಸಾಧನಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.

ಎರಡನೇ ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಸ್ವಾಗತ:

ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ವಾಹಕಗಳ ರೇಖೀಯ ಅವಲಂಬನೆ ಮತ್ತು ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ.
ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಆಧಾರ ಮತ್ತು ಅಫೈನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ

ನಾವು ವಿಮಾನದಲ್ಲಿ ಪರೀಕ್ಷಿಸಿದ ಹಲವು ಮಾದರಿಗಳು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶಕ್ಕೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ನಾನು ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಸಿಂಹಪಾಲುಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ಅಗಿಯಲಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಹೊಸ ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ ನೀವು ಪರಿಚಯಾತ್ಮಕ ಭಾಗವನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಓದಬೇಕೆಂದು ನಾನು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

ಈಗ, ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಡೆಸ್ಕ್ನ ಪ್ಲೇನ್ ಬದಲಿಗೆ, ನಾವು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗವನ್ನು ಅನ್ವೇಷಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮೊದಲಿಗೆ, ಅದರ ಆಧಾರವನ್ನು ರಚಿಸೋಣ. ಯಾರೋ ಈಗ ಮನೆಯೊಳಗೆ ಇದ್ದಾರೆ, ಯಾರಾದರೂ ಹೊರಾಂಗಣದಲ್ಲಿದ್ದಾರೆ, ಆದರೆ ಯಾವುದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳಿಂದ ತಪ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ: ಅಗಲ, ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಎತ್ತರ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಆಧಾರವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಇದು ಮೂರು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ವಾಹಕಗಳು. ಒಂದು ಅಥವಾ ಎರಡು ವಾಹಕಗಳು ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ನಾಲ್ಕನೆಯದು ಅತಿಯಾದದ್ದು.

ಮತ್ತು ಮತ್ತೆ ನಾವು ನಮ್ಮ ಬೆರಳುಗಳ ಮೇಲೆ ಬೆಚ್ಚಗಾಗುತ್ತೇವೆ. ದಯವಿಟ್ಟು ನಿಮ್ಮ ಕೈಯನ್ನು ಮೇಲಕ್ಕೆತ್ತಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಹರಡಿ ವಿವಿಧ ಬದಿಗಳು ಹೆಬ್ಬೆರಳು, ತೋರುಬೆರಳು ಮತ್ತು ಮಧ್ಯದ ಬೆರಳು. ಇವುಗಳು ವಾಹಕಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅವು ವಿಭಿನ್ನ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣುತ್ತವೆ, ಅವುಗಳು ಹೊಂದಿವೆ ವಿವಿಧ ಉದ್ದಗಳುಮತ್ತು ಹೊಂದಿವೆ ವಿವಿಧ ಕೋನಗಳುತಮ್ಮ ನಡುವೆ. ಅಭಿನಂದನೆಗಳು, ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದ ಆಧಾರವು ಸಿದ್ಧವಾಗಿದೆ! ಅಂದಹಾಗೆ, ಇದನ್ನು ಶಿಕ್ಷಕರಿಗೆ ಪ್ರದರ್ಶಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ, ನಿಮ್ಮ ಬೆರಳುಗಳನ್ನು ನೀವು ಎಷ್ಟೇ ತಿರುಗಿಸಿದರೂ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಿಂದ ತಪ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ =)

ಮುಂದೆ, ಕೇಳೋಣ ಪ್ರಮುಖ ಸಮಸ್ಯೆ, ಯಾವುದೇ ಮೂರು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದ ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ? ದಯವಿಟ್ಟು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಡೆಸ್ಕ್‌ನ ಮೇಲ್ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಮೂರು ಬೆರಳುಗಳನ್ನು ದೃಢವಾಗಿ ಒತ್ತಿರಿ. ಏನಾಯಿತು? ಮೂರು ವಾಹಕಗಳು ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನೆಲೆಗೊಂಡಿವೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನಾವು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ - ಎತ್ತರ. ಅಂತಹ ವಾಹಕಗಳು ಕೋಪ್ಲಾನರ್ಮತ್ತು, ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದ ಆಧಾರವನ್ನು ರಚಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.

ಕಾಪ್ಲಾನಾರ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು ಸಮಾನಾಂತರ ವಿಮಾನಗಳು(ನಿಮ್ಮ ಬೆರಳುಗಳಿಂದ ಇದನ್ನು ಮಾಡಬೇಡಿ, ಸಾಲ್ವಡಾರ್ ಡಾಲಿ ಮಾತ್ರ ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಎಳೆದಿದ್ದಾರೆ =)).

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ: ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕೋಪ್ಲಾನರ್, ಅವರು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ವಿಮಾನವಿದ್ದರೆ. ಅಂತಹ ಒಂದು ಸಮತಲವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ವಾಹಕಗಳು ಕೋಪ್ಲಾನಾರ್ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಇಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸುವುದು ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿದೆ.

ಮೂರು coplanar ವೆಕ್ಟರ್ಯಾವಾಗಲೂ ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಅವರು ಪರಸ್ಪರ ಮೂಲಕ ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತಾರೆ. ಸರಳತೆಗಾಗಿ, ಅವರು ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಮಲಗಿದ್ದಾರೆ ಎಂದು ನಾವು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಊಹಿಸೋಣ. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ವಾಹಕಗಳು ಕಾಪ್ಲಾನಾರ್ ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಅವು ಕೊಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರಬಹುದು, ನಂತರ ಯಾವುದೇ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಯಾವುದೇ ವೆಕ್ಟರ್ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಎರಡನೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಮೂರನೇ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಅವುಗಳ ಮೂಲಕ ವಿಶಿಷ್ಟ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: (ಮತ್ತು ಹಿಂದಿನ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿನ ವಸ್ತುಗಳಿಂದ ಊಹಿಸುವುದು ಏಕೆ ಸುಲಭ).

ಸಂವಾದವೂ ನಿಜ: ಮೂರು ಕೋಪ್ಲಾನಾರ್ ಅಲ್ಲದ ವಾಹಕಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ, ಅವರು ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಮತ್ತು, ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಅಂತಹ ವಾಹಕಗಳು ಮಾತ್ರ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದ ಆಧಾರವನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ: ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದ ಆಧಾರರೇಖೀಯ ಸ್ವತಂತ್ರ (ನಾನ್-ಕೊಪ್ಲಾನಾರ್) ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಟ್ರಿಪಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಜಾಗದ ಯಾವುದೇ ವೆಕ್ಟರ್ ಏಕೈಕ ಮಾರ್ಗನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಕೊಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಈ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ

ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು ಎಂದು ನಾನು ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳು.

ಒಂದು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಒಂದು ಬಿಂದು ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಮೂರು ರೇಖೀಯ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾಗಿ ಪರಿಚಯಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಸ್ವತಂತ್ರ ವಾಹಕಗಳು:

ಮೂಲ, ಮತ್ತು ಕೋಪ್ಲಾನರ್ ಅಲ್ಲದವಾಹಕಗಳು, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ, ಸೆಟ್ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದ ಅಫೈನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ :

ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಗ್ರಿಡ್"ಓರೆಯಾದ" ಮತ್ತು ಅನಾನುಕೂಲ, ಆದರೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ನಿರ್ಮಿಸಿದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂಯಾವುದೇ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ. ಸಮತಲದಂತೆಯೇ, ನಾನು ಈಗಾಗಲೇ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿರುವ ಕೆಲವು ಸೂತ್ರಗಳು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ಅಫೈನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಎಲ್ಲರೂ ಊಹಿಸಿದಂತೆ ಅಫೈನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಅತ್ಯಂತ ಪರಿಚಿತ ಮತ್ತು ಅನುಕೂಲಕರ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣ ಆಯತಾಕಾರದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ:

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮೂಲ, ಮತ್ತು ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ಆಧಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿಸಲಾಗಿದೆ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಆಯತಾಕಾರದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ . ಪರಿಚಿತ ಚಿತ್ರ:

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಹೋಗುವ ಮೊದಲು, ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಮತ್ತೆ ವ್ಯವಸ್ಥಿತಗೊಳಿಸೋಣ:

ಫಾರ್ ಮೂರು ವಾಹಕಗಳುಸ್ಪೇಸ್ ಕೆಳಗಿನ ಹೇಳಿಕೆಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ:
1) ವಾಹಕಗಳು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿವೆ;
2) ವಾಹಕಗಳು ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ;
3) ವಾಹಕಗಳು ಕೋಪ್ಲಾನಾರ್ ಅಲ್ಲ;
4) ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ;
5) ಈ ವಾಹಕಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ವಿರುದ್ಧ ಹೇಳಿಕೆಗಳು ಅರ್ಥವಾಗುವಂತಹದ್ದಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ.

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ವಾಹಕಗಳ ರೇಖೀಯ ಅವಲಂಬನೆ/ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವನ್ನು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ ಡಿಟರ್ಮಿನಂಟ್ (ಪಾಯಿಂಟ್ 5) ಬಳಸಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉಳಿದ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳುಒಂದು ಉಚ್ಚಾರಣಾ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪಾತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಬೇಸ್‌ಬಾಲ್ ಬ್ಯಾಟ್ ಅನ್ನು ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಸ್ಟಿಕ್ ಅನ್ನು ಸ್ಥಗಿತಗೊಳಿಸುವ ಸಮಯ:

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ಮೂರು ವಾಹಕಗಳುಕೊಟ್ಟಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ರಚಿತವಾದ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಕೋಪ್ಲಾನಾರ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ: .

ನಾನು ನಿಮ್ಮ ಗಮನವನ್ನು ಸಣ್ಣ ತಾಂತ್ರಿಕ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸೆಳೆಯಲು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ: ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಾಲಮ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಬರೆಯಬಹುದು (ನಿರ್ಣಾಯಕದ ಮೌಲ್ಯವು ಈ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ - ನಿರ್ಣಾಯಕಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನೋಡಿ). ಆದರೆ ಕಾಲಮ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಕೆಲವು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಯೋಜನಕಾರಿಯಾಗಿದೆ.

ನಿರ್ಣಾಯಕಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ಮರೆತಿರುವ ಅಥವಾ ಅವುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ತಿಳುವಳಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಓದುಗರಿಗೆ, ನನ್ನ ಹಳೆಯ ಪಾಠಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ನಾನು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ: ಡಿಟರ್ಮಿನಂಟ್ ಅನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು?

ಉದಾಹರಣೆ 6

ಕೆಳಗಿನ ವಾಹಕಗಳು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದ ಆಧಾರವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ:

ಪರಿಹಾರ: ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರವು ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಬರುತ್ತದೆ.

ಎ) ವೆಕ್ಟರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ (ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಮೊದಲ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ):

, ಅಂದರೆ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ (ಕೋಪ್ಲಾನಾರ್ ಅಲ್ಲ) ಮತ್ತು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ.

ಉತ್ತರ: ಈ ವಾಹಕಗಳು ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ

ಬಿ) ಇದು ಸ್ವತಂತ್ರ ನಿರ್ಧಾರಕ್ಕೆ ಒಂದು ಹಂತವಾಗಿದೆ. ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಉತ್ತರ.

ಭೇಟಿ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಸೃಜನಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳು:

ಉದಾಹರಣೆ 7

ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್‌ನ ಯಾವ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಕಾಪ್ಲಾನಾರ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ?

ಪರಿಹಾರ: ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಕಾಪ್ಲಾನಾರ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ:

ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ, ನೀವು ನಿರ್ಣಾಯಕದೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ನಾವು ಜರ್ಬೋಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಗಾಳಿಪಟಗಳಂತಹ ಸೊನ್ನೆಗಳ ಮೇಲೆ ಇಳಿಯುತ್ತೇವೆ - ಎರಡನೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ತೆರೆಯುವುದು ಮತ್ತು ತಕ್ಷಣವೇ ಮೈನಸಸ್‌ಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆ:

ನಾವು ಮತ್ತಷ್ಟು ಸರಳೀಕರಣಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ವಿಷಯವನ್ನು ಸರಳವಾದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಉತ್ತರ: ನಲ್ಲಿ

ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು ಇಲ್ಲಿ ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಸುಲಭ, ನೀವು ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮೂಲ ನಿರ್ಧಾರಕಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು , ಅದನ್ನು ಮತ್ತೆ ತೆರೆಯಲಾಗುತ್ತಿದೆ.

ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ಇನ್ನೊಂದನ್ನು ನೋಡೋಣ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯ, ಇದು ಪ್ರಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಕೋರ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದು ತುಂಬಾ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಅದು ತನ್ನದೇ ಆದ ವಿಷಯಕ್ಕೆ ಅರ್ಹವಾಗಿದೆ:

3 ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ
ಮತ್ತು ಈ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ 4 ನೇ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ಉದಾಹರಣೆ 8

ವಾಹಕಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಈ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಎಂದು ತೋರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ: ಮೊದಲಿಗೆ, ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ನಿಭಾಯಿಸೋಣ. ಷರತ್ತಿನ ಮೂಲಕ, ನಾಲ್ಕು ವೆಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು, ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಅವುಗಳು ಈಗಾಗಲೇ ಕೆಲವು ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಈ ಆಧಾರವು ನಮಗೆ ಆಸಕ್ತಿಯಿಲ್ಲ. ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ವಿಷಯವು ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದೆ: ಮೂರು ವಾಹಕಗಳು ಹೊಸ ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸಬಹುದು. ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಹಂತವು ಉದಾಹರಣೆ 6 ರ ಪರಿಹಾರದೊಂದಿಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ವಾಹಕಗಳು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿವೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ:

ವೆಕ್ಟರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:

, ಅಂದರೆ ವಾಹಕಗಳು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದ ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ.

! ಪ್ರಮುಖ : ವೆಕ್ಟರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಅಗತ್ಯವಾಗಿಬರೆಯಿರಿ ಕಾಲಮ್ಗಳಾಗಿನಿರ್ಣಾಯಕ, ತಂತಿಗಳಲ್ಲಿ ಅಲ್ಲ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತಷ್ಟು ಪರಿಹಾರ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನಲ್ಲಿ ಗೊಂದಲ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ.

ಜಾಗದ ಆಧಾರಅಂತಹ ವಾಹಕಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಅವರು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಆಧಾರದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು.
ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಇದೆಲ್ಲವನ್ನೂ ಸರಳವಾಗಿ ಅಳವಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆಧಾರವನ್ನು ನಿಯಮದಂತೆ, ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದಕ್ಕಾಗಿ ನೀವು ವೆಕ್ಟರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದ ಎರಡನೇ, ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಕೆಳಗೆ ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ ವಾಹಕಗಳು ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು

ಗೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಿ ಅನ್ನು ಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಿ
e,e...,e[n] ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ x, ..., x[n] ಇದಕ್ಕಾಗಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯು e,e...,e[n] ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಿ:
x1*e+ ... + x[n]*e[n] = b.
ಇದಕ್ಕಾಗಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಸಮೀಕರಣರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಬೇಕು. ಇದನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಲು ಸಹ ಸಾಕಷ್ಟು ಸರಳವಾಗಿದೆ.
ಕಂಡುಬರುವ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು x, ..., x[n] ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಆಧಾರದಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ b ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳುಇ,ಇ...,ಇ[ಎನ್].
ವಿಷಯದ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಹೋಗೋಣ.

ಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳಾಗಿ ವೆಕ್ಟರ್ ವಿಘಟನೆ

ಕಾರ್ಯ 1. ವಾಹಕಗಳು a1, a2 ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಆಧಾರವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ

1) a1 (3; 5), a2 (4; 2)
ಪರಿಹಾರ: ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ

ಡಿಟರ್ಮಿನೆಂಟ್ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ವಾಹಕಗಳು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿವೆ, ಅಂದರೆ ಅವು ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ.

2) a1 (2;-3), a2 (5;-1)
ಪರಿಹಾರ: ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ನಾವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ

ನಿರ್ಣಾಯಕವು 13 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ) - ಇದರಿಂದ ವಾಹಕಗಳು a1, a2 ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

---=================---

"ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ" ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ MAUP ಪ್ರೋಗ್ರಾಂನಿಂದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಕಾರ್ಯ 2. ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು a1, a2, a3 ಮೂರು ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದ ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಈ ಆಧಾರದ ಪ್ರಕಾರ ವೆಕ್ಟರ್ b ಅನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ (ರೇಖೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳುಕ್ರಾಮರ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿ).
1) a1 (3; 1; 5), a2 (3; 2; 8), a3 (0; 1; 2), b (-3; 1; 2).
ಪರಿಹಾರ: ಮೊದಲು, ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ a1, a2, a3 ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಯ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ

ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವಾಹಕಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಒಂದು ಶೂನ್ಯ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಮೊದಲ ಕಾಲಮ್ ಅಥವಾ ಮೂರನೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ವೇಳಾಪಟ್ಟಿಯಂತೆ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ.

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ ವಾಹಕಗಳು a1, a2, a3 ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿವೆ.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಂತೆ, ವಾಹಕಗಳು R3 ನಲ್ಲಿ ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ವೆಕ್ಟರ್ b ಯ ವೇಳಾಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಬರೆಯೋಣ

ಅವುಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುವಾಗ ವಾಹಕಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ.
ಆದ್ದರಿಂದ, ವೆಕ್ಟರ್ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಾವು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

SLAE ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ ಕ್ರಾಮರ್ ವಿಧಾನ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಬರೆಯೋಣ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಎಂದು

SLAE ಯ ಮುಖ್ಯ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಯಾವಾಗಲೂ ಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದ ನಿರ್ಣಾಯಕಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಇದನ್ನು ಎರಡು ಬಾರಿ ಎಣಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಸಹಾಯಕ ನಿರ್ಣಾಯಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು ಮುಖ್ಯ ನಿರ್ಣಾಯಕದ ಪ್ರತಿ ಕಾಲಮ್ನ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಉಚಿತ ಪದಗಳ ಕಾಲಮ್ ಅನ್ನು ಹಾಕುತ್ತೇವೆ. ತ್ರಿಕೋನ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿರ್ಣಾಯಕಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ



ಕ್ರೇಮರ್ನ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ನಿರ್ಣಾಯಕಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸೋಣ



ಆದ್ದರಿಂದ, ಆಧಾರದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ b ನ ವಿಸ್ತರಣೆಯು b=-4a1+3a2-a3 ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. a1, a2, a3 ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ b ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು (-4,3, 1) ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

2)a1 (1; -5; 2), a2 (2; 3; 0), a3 (1; -1; 1), b (3; 5; 1).
ಪರಿಹಾರ: ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಆಧಾರವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತೇವೆ - ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ವಾಹಕಗಳು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಆಧಾರದ ಮೂಲಕ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಿ ವೇಳಾಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಉಳಿದಿದೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ

ಮತ್ತು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ರೂಪಾಂತರ

ಅದನ್ನು ಬರೆಯೋಣ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣ

ಮುಂದೆ, ಕ್ರಾಮರ್ನ ಸೂತ್ರಗಳಿಗಾಗಿ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಸಹಾಯಕ ಅರ್ಹತೆಗಳು



ನಾವು ಕ್ರಾಮರ್ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ



ಆದ್ದರಿಂದ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್ b ಎರಡು ಆಧಾರದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೂಲಕ ವೇಳಾಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ b=-2a1+5a3, ಮತ್ತು ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು b (-2,0, 5) ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

1 (1, 2, 0, 1) , 2 (0, 1, 2, 3) , 3 (1, 3, 2, 2) , 4 (0, 1, 3, 1) , (1, 0, 1, 5).

ಪರಿಹಾರ. ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು 1 (1, 2, 0, 1) , 2 (0, 1, 2, 3) , 3 (1, 3, 2, 2) , 4 (0, 1, 3, 1) ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸೋಣ ಒಂದು ಆಧಾರ. ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

ನಾವು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ:

(-1) ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ 3 ಸಾಲು 1 ರಿಂದ ಕಳೆಯಿರಿ

3 ನೇ ಸಾಲಿನಿಂದ 2 ನೇ ಸಾಲನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ, ಸಾಲಿನಿಂದ 2 ನೇ ಸಾಲಿನಿಂದ ಕಳೆಯಿರಿ

3 ಮತ್ತು 4 ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸೋಣ.

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಅದರ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ:

ಏಕೆಂದರೆ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ, ವಾಹಕಗಳು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ.

ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ಗಳಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸೋಣ ಆಧಾರವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ: , ಇಲ್ಲಿ, ? ಆಧಾರದಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು, . ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ, ಈ ಸಮೀಕರಣವು (1, 2, 0, 1) + (0, 1, 2, 3) + (1, 3, 2, 2) + (0, 1, 3, 1) = (1, 0, 1, 5) ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ:

ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ:

ನಾವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯೋಣ

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಸುಲಭತೆಗಾಗಿ, ನಾವು ಸಾಲುಗಳನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳೋಣ:

3 ನೇ ಸಾಲನ್ನು (-1) ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ 3 ನೇ ಸಾಲನ್ನು 2 ನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿಸೋಣ. 3 ನೇ ಸಾಲನ್ನು 2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ. 4 ನೇ ಸಾಲನ್ನು 3 ನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿಸಿ:

1 ನೇ ಸಾಲನ್ನು 3 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ. 2 ನೇ ಸಾಲನ್ನು (-2) ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ. 2 ನೇ ಸಾಲನ್ನು 1 ನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿಸೋಣ:

2 ನೇ ಸಾಲನ್ನು 5 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ. 3 ನೇ ಸಾಲನ್ನು 3 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ. 3 ನೇ ಸಾಲನ್ನು 2 ನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿಸಿ:

2 ನೇ ಸಾಲನ್ನು (-2) ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ 2 ನೇ ಸಾಲನ್ನು 1 ನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿಸೋಣ:

1 ನೇ ಸಾಲಿನಿಂದ ನಾವು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ?4

ನಾವು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ 2 ನೇ ಸಾಲಿನಿಂದ? 3

ನಾವು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ 3 ನೇ ಸಾಲಿನಿಂದ? 2