ಬರ್ನೌಲಿಯ ಸಮೀಕರಣಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾದದ್ದು ಮೊದಲ ಕ್ರಮದ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು. ಇದನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ

ಎಲ್ಲಿ ಎ(X) ಮತ್ತು ಬಿ(X) ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ ಮೀ= 0, ನಂತರ ಬರ್ನೌಲಿಯ ಸಮೀಕರಣವು ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಯಾವಾಗ ಮೀ= 1, ಸಮೀಕರಣವು ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಸಮೀಕರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಯಾವಾಗ ಮೀ≠ 0.1, ಬರ್ನೌಲಿಯ ಸಮೀಕರಣವು ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ

ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಹೊಸ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ z(X) ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

ಮತ್ತು ಪುಟದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

ಬರ್ನೌಲಿ ವಿಧಾನ.

ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರ್ನೌಲಿಯ ವಿಧಾನದಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ: ಅಲ್ಲಿ ಯು, ವಿ- ನಿಂದ ಕಾರ್ಯಗಳು X. ವ್ಯತ್ಯಾಸ: ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ (1): (2) ಹಾಗೆ vಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ: (3) ಸಮೀಕರಣ (3) ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಅದರ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡ ನಂತರ v = v(x), ಅದನ್ನು (2) ಗೆ ಬದಲಿಸಿ. ಇದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (3) ಪೂರೈಸುವುದರಿಂದ, ಆವರಣದಲ್ಲಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಶೂನ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: ಇದು ಕೂಡ ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದರೊಂದಿಗೆ ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ y = uv.

64. ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣ. ಇಂಟಿಗ್ರೇಟಿಂಗ್ ಅಂಶ. ಪರಿಹಾರ ವಿಧಾನಗಳು

ರೂಪದ ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ

ಎಂದು ಕರೆದರು ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣ, ಅದರ ಎಡಭಾಗವು ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯದ ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿದರೆ, ಅಂದರೆ.

ಪ್ರಮೇಯ.ಸಮೀಕರಣ (1) ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣವಾಗಲು, ಅಸ್ಥಿರ ಬದಲಾವಣೆಯ ಕೆಲವು ಸರಳ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ

ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ (1) ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಅಥವಾ

ಉದಾಹರಣೆ 1. ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ. ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಒಟ್ಟು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ:

ಆದ್ದರಿಂದ ಅದು ಷರತ್ತು (2) ತೃಪ್ತಿಗೊಂಡಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು

ಆದ್ದರಿಂದ, ಇನ್ನೂ ವಿವರಿಸಲಾಗದ ಕಾರ್ಯ ಎಲ್ಲಿದೆ.

ಸಂಯೋಜಿಸುವುದು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಕಂಡುಬರುವ ಕ್ರಿಯೆಯ ಭಾಗಶಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು, ಅದು ಎಲ್ಲಿಂದ ನೀಡುತ್ತದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಹೀಗೆ,.

ಮೂಲ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ.

ಕೆಲವು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಏಕೀಕರಿಸುವಾಗ, ಪದಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದಾದ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಗುಂಪು ಮಾಡಬಹುದು.

65. ಹೆಚ್ಚಿನ ಆದೇಶಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು: ಏಕರೂಪದ ಮತ್ತು ಅಸಮಂಜಸ. ಲೀನಿಯರ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಆಪರೇಟರ್, ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು (ಪುರಾವೆಯೊಂದಿಗೆ).

ಲೀನಿಯರ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಆಪರೇಟರ್ ಮತ್ತು ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ ( ಎ , ಬಿ ) ಕಡಿಮೆ ಇಲ್ಲ ಎನ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು, ರೇಖೀಯ ಜಾಗವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಎಲ್ ಎನ್ (ವೈ ), ಇದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ ವೈ (X ) ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ, ಹೊಂದಿರುವ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಕೆ - ಎನ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು.

1 ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು
ಮತ್ತು ಬರ್ನೌಲಿಯ ಸಮೀಕರಣ

ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವು ಅಜ್ಞಾತ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ರೇಖೀಯವಾಗಿರುವ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಹಾಗೆ ಕಾಣುತ್ತಿದೆ

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x),

ಇಲ್ಲಿ p(x) ಮತ್ತು q(x) ಗೆ x ನ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಸಮೀಕರಣ (1) ಅನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಬೇಕಾದ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

q(x)\equiv0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸಮೀಕರಣ (1) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ. ಇದು ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

y=C\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\right)\!,

ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕದ ಬದಲಾವಣೆಯ ವಿಧಾನ, ಇದು ಸಮೀಕರಣದ (1) ಪರಿಹಾರವನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಹುಡುಕಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ

y=C(x)\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\right), ಇಲ್ಲಿ C(x) ಎಂಬುದು x ನ ಹೊಸ ಅಜ್ಞಾತ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1.ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ y"+2xy=2xe^(-x^2).

ಪರಿಹಾರ.ಸ್ಥಿರ ಬದಲಾವಣೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸೋಣ. ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು y"+2xy=0 ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಈ ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಇದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು y=Ce^(-x^2) ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ನಾವು y=C(x)e^(-x^2) ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ, ಅಲ್ಲಿ C(x) x ನ ಅಜ್ಞಾತ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಬದಲಿಯಾಗಿ, ನಾವು C"(x)=2x ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಎಲ್ಲಿಂದ C(x)=x^2+C. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ಹೀಗಿರುತ್ತದೆ y=(x^2+C)e^(-x^2), ಇಲ್ಲಿ C ಎಂಬುದು ಏಕೀಕರಣದ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ.ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣವು y ಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ x ನಲ್ಲಿ ರೇಖೀಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗಬಹುದು. ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪ

\frac(dx)(dy)+r(y)x=\varphi(y).

ಉದಾಹರಣೆ 2.ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ \frac(dy)(dx)=\frac(1)(x\cos(y)+\sin2y).

ಪರಿಹಾರ.ನಾವು x ಅನ್ನು y ನ ಕಾರ್ಯವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ ಈ ಸಮೀಕರಣವು ರೇಖೀಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=\sin(2y).

ನಾವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕದ ಬದಲಾವಣೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಮೊದಲು ನಾವು ಅನುಗುಣವಾದ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=0,

ಇದು ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಇದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ x=Ce^(\sin(y)),~C=\text(const).

ನಾವು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ, ಅಲ್ಲಿ C(y) ಎಂಬುದು y ನ ಅಜ್ಞಾತ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಬದಲಿಯಾಗಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

C"(y)e^(\sin(y))=\sin2yಅಥವಾ C"(y)=e^(-\sin(y))\sin2y.

ಇಲ್ಲಿಂದ, ಭಾಗಗಳ ಮೂಲಕ ಸಂಯೋಜಿಸುವುದು, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

\begin(aligned)C(y)&=\int(e^(-\sin(y))\sin2y)\,dy=2\int(e^(-\sin(y))\cos(y) \sin(y))\,dy=2\int\sin(y)\,d(-e^(-\sin(y)))=\\ &=-2\sin(y)\,e^ (-\sin(y))+2\int(e^(-\sin(y))\cos(y)\,dy=C-2(\sin(y)+1)e^(-\ sin(y)),\end(aligned)

C(y)=-2e^(-\sin(y))(1+\sin(y))+C.

ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬದಲಿಸುವುದು x=C(y)e^(\sin(y)), ನಾವು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ:

x=Ce^(\sin(y))-2(1+\sin(y))

ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು. ನಾವು ನಂಬುತ್ತೇವೆ

y=u(x)v(x),

ಅಲ್ಲಿ u(x) ಮತ್ತು v(x) x ನ ಅಜ್ಞಾತ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ v(x), ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು.

y=u(x)v(x) ಅನ್ನು , ರೂಪಾಂತರದ ನಂತರ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

vu"+(pv+v")u=q(x).

v"+pv=0 ಷರತ್ತಿನಿಂದ v(x) ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು, ನಾವು ನಂತರ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ vu"+(pv+v")u=q(x)ಕಾರ್ಯ u(x) ಮತ್ತು, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ y=uv ಪರಿಹಾರ \frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x). v(x) ನಂತೆ ನಾವು ಸಮೀಕರಣದ ಯಾವುದೇ ಆಗಾಗ್ಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು v"+pv=0,~v\n\equiv0.

ಉದಾಹರಣೆ 3.ಕೌಶಿ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: x(x-1)y"+y=x^2(2x-1),~y|_(x=2)=4.

ಪರಿಹಾರ.ನಾವು y=u(x)v(x) ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತಿದ್ದೇವೆ; ನಾವು y"=u"v+uv" ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ y ಮತ್ತು y" ಗಾಗಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

x(x-1)(u"v+uv")+uv=x^2(2x-1)ಅಥವಾ x(x-1)vu"+u=x^2(2x-1)

ನಾವು x(x-1)v"+v=0 ಷರತ್ತಿನಿಂದ v=v(x) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣದ ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ v=\frac(x)(x-1) ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು u"=2x-1 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇದರಿಂದ ನಾವು u(x)=x^2-x+C ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ x(x-1)y"+y=x^2(2x-1)ತಿನ್ನುವೆ

y=uv=(x^2-x+C)\frac(x)(x-1),ಅಥವಾ y=\frac(Cx)(x-1)+x^2.

ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು y|_(x=2)=4, ನಾವು C ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ 4=\frac(2C)(2-1)+2^2, ಎಲ್ಲಿಂದ C=0 ; ಆದ್ದರಿಂದ ಹೇಳಲಾದ ಕೌಚಿ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಪರಿಹಾರವು y=x^2 ಕಾರ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 4.ಪ್ರತಿರೋಧ R ಮತ್ತು ಸ್ವಯಂ-ಇಂಡಕ್ಟನ್ಸ್ L ಹೊಂದಿರುವ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತ i ಮತ್ತು ಎಲೆಕ್ಟ್ರೋಮೋಟಿವ್ ಫೋರ್ಸ್ E ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. E=Ri+L\frac(di)(dt), ಇಲ್ಲಿ R ಮತ್ತು L ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ. ನಾವು E ಅನ್ನು ಸಮಯದ t ನ ಕಾರ್ಯವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ಪ್ರಸ್ತುತ ಶಕ್ತಿಗೆ ನಾವು ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ i:

\frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E(t))(L).

ಯಾವಾಗ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತ ಶಕ್ತಿ i(t) ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ E=E_0=\text(const)ಮತ್ತು i(0)=I_0 .

ಪರಿಹಾರ.ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ \frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E_0)(L),~i(0)=I_0. ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ i(t)=\frac(E_0)(R)+Ce^(-(R/L)t). ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು (13) ಬಳಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ C=I_0-\frac(E_0)(R), ಆದ್ದರಿಂದ ಬಯಸಿದ ಪರಿಹಾರ ಇರುತ್ತದೆ

i(t)=\frac(E_0)(R)+\left(I_0-\frac(E_0)(R)\right)\!e^(-(R/L)t).

ಇದು t\to+\infty ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತ ಶಕ್ತಿ i(t) ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ \frac(E_0)(R) .

ಉದಾಹರಣೆ 5.ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣದ y"+p(x)y=q(x) ನ ಸಮಗ್ರ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಕುಟುಂಬ C_\ ಆಲ್ಫಾವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ C_\ ಆಲ್ಫಾ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿ (ಚಿತ್ರ 13).

ಪರಿಹಾರ. M(x,y) ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ವಕ್ರರೇಖೆ C_\alpha ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. M(x,y) ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

\eta-q(x)(\xi-x)=y, ಇಲ್ಲಿ \xi,\eta ಗಳು ಸ್ಪರ್ಶ ಬಿಂದುವಿನ ಪ್ರಸ್ತುತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಅನುಗುಣವಾದ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ x ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು y ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿದೆ. ಅನುಗುಣವಾದ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ C_\alpha ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ಅವುಗಳ ಛೇದನದ S ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

\xi=x+\frac(1)(p(x)), \quad \eta=x+\frac(q(x))(p(x)).

ಅನುಗುಣವಾದ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ (x ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ) C_\alpha ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು ಒಂದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಇದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ

ಎಸ್\!\ಎಡ(x+\frac(1)(p(x));\,x+\frac(q(x))(p(x))\ಬಲ).

ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ x ವಾದವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಬಿಂದುಗಳ ಸ್ಥಳದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ S\colon f(\xi,\eta)=0.

ಉದಾಹರಣೆ 6.ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕಿ y"-y=\cos(x)-\sin(x), ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವುದು: y y\to+\infty ನಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ.

ಪರಿಹಾರ.ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ y=Ce^x+\sin(x) . C\ne0 ಗಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದಿಂದ ಪಡೆದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರವು ಅನಿಯಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ x\to+\infty ಗಾಗಿ ಕಾರ್ಯ \sin(x) ಮತ್ತು e^x\to+\infty . ಈ ಸಮೀಕರಣವು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ y=\sin(x) , x\to+\infty ಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು C=0 ನಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಬರ್ನೌಲಿಯ ಸಮೀಕರಣ

ಬರ್ನೌಲಿಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣತೋರುತ್ತಿದೆ

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x)y^n, ಅಲ್ಲಿ n\ne0;1 (n=0 ಮತ್ತು n=1 ಗಾಗಿ ಈ ಸಮೀಕರಣವು ರೇಖೀಯವಾಗಿದೆ).

ವೇರಿಯಬಲ್ ಬದಲಿಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು z=\frac(1)(y^(n-1))ಬರ್ನೌಲಿಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 7.ಬರ್ನೌಲಿಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ y"-xy=-xy^3.

ಪರಿಹಾರ.ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು y^3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ:

\frac(y")(y^3)-\frac(x)(y^2)=-x

ವೇರಿಯಬಲ್ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಮಾಡುವುದು \frac(1)(y^2)=z\Rightarrow-\frac(2y")(y^3)=z", ಎಲ್ಲಿ \frac(y")(y^3)=-\frac(z")(2). ಪರ್ಯಾಯದ ನಂತರ, ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣವು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ

-\frac(z")(2)-xz=-xಅಥವಾ z"+2xz=2x, ಇದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ z=1+Ce^(-x^2).

ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮಗ್ರತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

\frac(1)(y^2)=1+Ce^(-x^2)ಅಥವಾ y^2(1+Ce^(-x^2))=1.

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ.ಬರ್ನೌಲಿಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣದಂತಹ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಬದಲಾವಣೆಯ ವಿಧಾನದಿಂದ ಮತ್ತು ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ y(x)=u(x)v(x) ಬಳಸಿ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ 8.ಬರ್ನೌಲಿಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ xy"+y=y^2\ln(x). .

ಪರಿಹಾರ.ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕದ ಬದಲಾವಣೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ನಾವು ಅನ್ವಯಿಸೋಣ. ಅನುಗುಣವಾದ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದ xy"+y=0 ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು y=\frac(C)(x) ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ನಾವು y=\frac(C(x)) ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ. (x) , ಅಲ್ಲಿ C(x) - ಹೊಸ ಅಜ್ಞಾತ ಕಾರ್ಯ. ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಯಾಗಿ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

C"(x)=C^2(x)\frac(\ln(x))(x^2).

C(x) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇದರಿಂದ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

\frac(1)(C(x))=\frac(\ln(x))(x)+\frac(1)(x)+C~\Rightarrow~C(x)=\frac(x)( 1+Cx+\ln(x)).

ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ y=\frac(1)(1+Cx+\ln(x)).

ಕೆಲವು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಅಥವಾ ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿದ ಅಸ್ಥಿರ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ 9.ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ y"+\sin(y)+x\cos(y)+x=0.

ಪರಿಹಾರ.ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯೋಣ y"+2\sin\frac(y)(2)\cos\frac(y)(2)+2x\cos^2\frac(y)(2)=0..

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಭಾಗಿಸುವುದು 2\cos^2\frac(y)(2), ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ \frac(y")(2\cos^2\dfrac(y)(2))+\ಆಪರೇಟರ್ ಹೆಸರು(tg)\frac(y)(2)+x=0.

ಬದಲಿ \operatorname(tg)\frac(y)(2)=z\Rightarrow\frac(dz)(dx)=\frac(y")(\cos^2\dfrac(y)(2))ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೇಖೀಯಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸುತ್ತದೆ \frac(dz)(dx)+z=-x, ಇದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ z=1-x+Ce^(-x) .

y ನ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ z ಅನ್ನು ಅದರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ \ ಆಪರೇಟರ್ ಹೆಸರು(tg)\frac(y)(2)=1-x+Ce^(-x).

ಕೆಲವು ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ, ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಕಾರ್ಯ y(x) ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿರಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ಮೂಲಕ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸಲು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 10.ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ x\int\limits_(x)^(0)y(t)\,dt=(x+1)\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt,~x>0.

ಪರಿಹಾರ. x ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

\int\limits_(0)^(x)y(t)\,dt+xy(x)=\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt+x(x+1)y (X)ಅಥವಾ \int\limits_(0)^(x)y(t)\,dx=\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt+x^2y(x).

x ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮಾಡುವುದರಿಂದ, y(x)\colon ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ನಾವು ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

y(x)=xy(x)+x^2y"(x)+2xy(x)ಅಥವಾ x^2y"(x)+(3x-1)y(x)=0.

ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜಿಸುವುದು, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ y=\frac(C)(x^3)e^(-1/x). ಈ ಪರಿಹಾರವು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದಾದಂತೆ, ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ.

ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವು ಅಜ್ಞಾತ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ರೇಖೀಯವಾಗಿರುವ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಹಾಗೆ ಕಾಣುತ್ತಿದೆ

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x),

ಇಲ್ಲಿ p(x) ಮತ್ತು q(x) ಗೆ x ನ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಸಮೀಕರಣ (1) ಅನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಬೇಕಾದ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

q(x)\equiv0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸಮೀಕರಣ (1) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ. ಇದು ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

Y=C\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\right)\!,

ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕದ ಬದಲಾವಣೆಯ ವಿಧಾನ, ಇದು ಸಮೀಕರಣದ (1) ಪರಿಹಾರವನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಹುಡುಕಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ

Y=C(x)\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\right), ಇಲ್ಲಿ C(x) ಎಂಬುದು x ನ ಹೊಸ ಅಜ್ಞಾತ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1. y"+2xy=2xe^(-x^2) ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ.ಸ್ಥಿರ ಬದಲಾವಣೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸೋಣ. ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು y"+2xy=0 ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಈ ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಇದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು y=Ce^(-x^2) ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ನಾವು y=C(x)e^(-x^2) ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ, ಅಲ್ಲಿ C(x) x ನ ಅಜ್ಞಾತ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ನಾವು C"(x)=2x ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಎಲ್ಲಿಂದ C(x)=x^2+C. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು y=(x^2+C)e^(-x^ 2) , ಅಲ್ಲಿ ಸಿ - ಏಕೀಕರಣದ ಸ್ಥಿರ.

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ.ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣವು y ಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ x ನಲ್ಲಿ ರೇಖೀಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗಬಹುದು. ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪ

\frac(dx)(dy)+r(y)x=\varphi(y).

ಉದಾಹರಣೆ 2.ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ \frac(dy)(dx)=\frac(1)(x\cos(y)+\sin2y).

ಪರಿಹಾರ.ನಾವು x ಅನ್ನು y ನ ಕಾರ್ಯವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ ಈ ಸಮೀಕರಣವು ರೇಖೀಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=\sin(2y).

ನಾವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕದ ಬದಲಾವಣೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಮೊದಲು ನಾವು ಅನುಗುಣವಾದ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=0,

ಇದು ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಇದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ x=Ce^(\sin(y)),~C=\text(const).

ನಾವು x=C(y)e^(\sin(y)) ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ, ಅಲ್ಲಿ C(y) y ನ ಅಜ್ಞಾತ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಬದಲಿಯಾಗಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

C"(y)e^(\sin(y))=\sin2yಅಥವಾ C"(y)=e^(-\sin(y))\sin2y.

ಇಲ್ಲಿಂದ, ಭಾಗಗಳ ಮೂಲಕ ಸಂಯೋಜಿಸುವುದು, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

\begin(aligned)C(y)&=\int(e^(-\sin(y))\sin2y)\,dy=2\int(e^(-\sin(y))\cos(y) \sin(y))\,dy=2\int\sin(y)\,d(-e^(-\sin(y)))=\\ &=-2\sin(y)\,e^ (-\sin(y))+2\int(e^(-\sin(y))\cos(y)\,dy=C-2(\sin(y)+1)e^(-\ sin(y)),\end(aligned)

ಆದ್ದರಿಂದ,

C(y)=-2e^(-\sin(y))(1+\sin(y))+C.

ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು x=C(y)e^(\sin(y)) ಗೆ ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ:

X=Ce^(\sin(y))-2(1+\sin(y))

ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು. ನಾವು ನಂಬುತ್ತೇವೆ

Y=u(x)v(x),

ಅಲ್ಲಿ u(x) ಮತ್ತು v(x) x ನ ಅಜ್ಞಾತ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ v(x), ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು.

y=u(x)v(x) ಅನ್ನು , ರೂಪಾಂತರದ ನಂತರ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

Vu"+(pv+v")u=q(x).

v"+pv=0 ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ v(x) ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು, ನಂತರ ನಾವು vu"+(pv+v")u=q(x) ಕಾರ್ಯವನ್ನು u(x) ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, y=uv ಆಫ್ ಸಮೀಕರಣ \frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x). v(x) ನಂತೆ ನಾವು ಸಮೀಕರಣದ ಯಾವುದೇ ಆಗಾಗ್ಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು v"+pv=0,~v\n\equiv0.

ಉದಾಹರಣೆ 3.ಕೌಶಿ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: x(x-1)y"+y=x^2(2x-1),~y|_(x=2)=4.

ಪರಿಹಾರ.ನಾವು y=u(x)v(x) ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತಿದ್ದೇವೆ; ನಾವು y"=u"v+uv" ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ y ಮತ್ತು y" ಗಾಗಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

X(x-1)(u"v+uv")+uv=x^2(2x-1)ಅಥವಾ x(x-1)vu"+u=x^2(2x-1)

ನಾವು x(x-1)v"+v=0 ಷರತ್ತಿನಿಂದ v=v(x) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣದ ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ v=\frac(x)(x-1) ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು u"=2x-1 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇದರಿಂದ ನಾವು u(x)=x^2-x+C ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ x(x-1)y"+y=x^2(2x-1)ತಿನ್ನುವೆ

Y=uv=(x^2-x+C)\frac(x)(x-1),ಅಥವಾ y=\frac(Cx)(x-1)+x^2.

ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು y|_(x=2)=4, ನಾವು C ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ 4=\frac(2C)(2-1)+2^2, ಎಲ್ಲಿಂದ C=0 ; ಆದ್ದರಿಂದ ಹೇಳಲಾದ ಕೌಚಿ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಪರಿಹಾರವು y=x^2 ಕಾರ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 4.ಪ್ರತಿರೋಧ R ಮತ್ತು ಸ್ವಯಂ-ಇಂಡಕ್ಟನ್ಸ್ L ಹೊಂದಿರುವ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತ i ಮತ್ತು ಎಲೆಕ್ಟ್ರೋಮೋಟಿವ್ ಫೋರ್ಸ್ E ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. E=Ri+L\frac(di)(dt), ಇಲ್ಲಿ R ಮತ್ತು L ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ. ನಾವು E ಅನ್ನು ಸಮಯದ t ನ ಕಾರ್ಯವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ಪ್ರಸ್ತುತ ಶಕ್ತಿಗೆ ನಾವು ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ i:

\frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E(t))(L).

ಯಾವಾಗ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತ ಶಕ್ತಿ i(t) ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ E=E_0=\text(const)ಮತ್ತು i(0)=I_0 .

ಪರಿಹಾರ.ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ \frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E_0)(L),~i(0)=I_0. ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ i(t)=\frac(E_0)(R)+Ce^(-(R/L)t). ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು (13) ಬಳಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ C=I_0-\frac(E_0)(R), ಆದ್ದರಿಂದ ಬಯಸಿದ ಪರಿಹಾರ ಇರುತ್ತದೆ

I(t)=\frac(E_0)(R)+\left(I_0-\frac(E_0)(R)\right)\!e^(-(R/L)t).

ಇದು t\to+\infty ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತ ಶಕ್ತಿ i(t) ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ \frac(E_0)(R) .

ಉದಾಹರಣೆ 5.ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣದ y"+p(x)y=q(x) ನ ಸಮಗ್ರ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಕುಟುಂಬ C_\ ಆಲ್ಫಾವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ C_\ ಆಲ್ಫಾ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿ (ಚಿತ್ರ 13).

ಪರಿಹಾರ. M(x,y) ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ವಕ್ರರೇಖೆ C_\alpha ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. M(x,y) ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

\eta-q(x)(\xi-x)=y, ಇಲ್ಲಿ \xi,\eta ಗಳು ಸ್ಪರ್ಶ ಬಿಂದುವಿನ ಪ್ರಸ್ತುತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಅನುಗುಣವಾದ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ x ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು y ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿದೆ. ಅನುಗುಣವಾದ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ C_\alpha ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ಅವುಗಳ ಛೇದನದ S ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

\xi=x+\frac(1)(p(x)), \quad \eta=x+\frac(q(x))(p(x)).

ಅನುಗುಣವಾದ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ (x ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ) C_\alpha ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು ಒಂದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಇದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ

ಎಸ್\!\ಎಡ(x+\frac(1)(p(x));\,x+\frac(q(x))(p(x))\ಬಲ).

ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ x ವಾದವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಬಿಂದುಗಳ ಸ್ಥಳದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ S\colon f(\xi,\eta)=0.

ಉದಾಹರಣೆ 6.ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕಿ y"-y=\cos(x)-\sin(x), ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವುದು: y y\to+\infty ನಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ.

ಪರಿಹಾರ.ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ y=Ce^x+\sin(x) . C\ne0 ಗಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದಿಂದ ಪಡೆದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರವು ಅನಿಯಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ x\to+\infty ಗಾಗಿ ಕಾರ್ಯ \sin(x) ಮತ್ತು e^x\to+\infty . ಈ ಸಮೀಕರಣವು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ y=\sin(x) , x\to+\infty ಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು C=0 ನಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಬರ್ನೌಲಿಯ ಸಮೀಕರಣ

ಬರ್ನೌಲಿಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣತೋರುತ್ತಿದೆ

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x)y^n, ಅಲ್ಲಿ n\ne0;1 (n=0 ಮತ್ತು n=1 ಗಾಗಿ ಈ ಸಮೀಕರಣವು ರೇಖೀಯವಾಗಿದೆ).

ವೇರಿಯಬಲ್ ಬದಲಿಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು z=\frac(1)(y^(n-1))ಬರ್ನೌಲಿಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 7.ಬರ್ನೌಲಿಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ y"-xy=-xy^3.

ಪರಿಹಾರ.ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು y^3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ:

\frac(y")(y^3)-\frac(x)(y^2)=-x

ವೇರಿಯಬಲ್ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಮಾಡುವುದು \frac(1)(y^2)=z\Rightarrow-\frac(2y")(y^3)=z", ಎಲ್ಲಿ \frac(y")(y^3)=-\frac(z")(2). ಪರ್ಯಾಯದ ನಂತರ, ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣವು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ

-\frac(z")(2)-xz=-xಅಥವಾ z"+2xz=2x, ಇದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ z=1+Ce^(-x^2).

ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮಗ್ರತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

\frac(1)(y^2)=1+Ce^(-x^2)ಅಥವಾ y^2(1+Ce^(-x^2))=1.

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ.ಬರ್ನೌಲಿಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣದಂತಹ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಬದಲಾವಣೆಯ ವಿಧಾನದಿಂದ ಮತ್ತು ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ y(x)=u(x)v(x) ಬಳಸಿ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ 8.ಬರ್ನೌಲಿಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ xy"+y=y^2\ln(x). .

ಪರಿಹಾರ.ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕದ ಬದಲಾವಣೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ನಾವು ಅನ್ವಯಿಸೋಣ. ಅನುಗುಣವಾದ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದ xy"+y=0 ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು y=\frac(C)(x) ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ನಾವು y=\frac(C(x)) ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ. (x) , ಅಲ್ಲಿ C(x) - ಹೊಸ ಅಜ್ಞಾತ ಕಾರ್ಯ. ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಯಾಗಿ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

C"(x)=C^2(x)\frac(\ln(x))(x^2).

C(x) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇದರಿಂದ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

\frac(1)(C(x))=\frac(\ln(x))(x)+\frac(1)(x)+C~\Rightarrow~C(x)=\frac(x)( 1+Cx+\ln(x)).

ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ y=\frac(1)(1+Cx+\ln(x)).

ಕೆಲವು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಅಥವಾ ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿದ ಅಸ್ಥಿರ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ 9.ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ y"+\sin(y)+x\cos(y)+x=0.

ಪರಿಹಾರ.ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯೋಣ y"+2\sin\frac(y)(2)\cos\frac(y)(2)+2x\cos^2\frac(y)(2)=0..

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಭಾಗಿಸುವುದು 2\cos^2\frac(y)(2), ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ \frac(y")(2\cos^2\dfrac(y)(2))+\ಆಪರೇಟರ್ ಹೆಸರು(tg)\frac(y)(2)+x=0.

ಬದಲಿ \operatorname(tg)\frac(y)(2)=z\Rightarrow\frac(dz)(dx)=\frac(y")(\cos^2\dfrac(y)(2))ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೇಖೀಯಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸುತ್ತದೆ \frac(dz)(dx)+z=-x, ಇದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ z=1-x+Ce^(-x) .

y ನ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ z ಅನ್ನು ಅದರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ \ ಆಪರೇಟರ್ ಹೆಸರು(tg)\frac(y)(2)=1-x+Ce^(-x).

ಕೆಲವು ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ, ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಕಾರ್ಯ y(x) ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿರಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ಮೂಲಕ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸಲು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 10.ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ x\int\limits_(x)^(0)y(t)\,dt=(x+1)\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt,~x>0.

ಪರಿಹಾರ. x ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

\int\limits_(0)^(x)y(t)\,dt+xy(x)=\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt+x(x+1)y (X)ಅಥವಾ ಮಾಹಿತಿಯ ಮೂಲ

ಬರ್ನೌಲಿಯ ಸಮೀಕರಣದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1

$y"+P\left(x\right)\cdot y=Q\left(x\right)\cdot y^(n)$, ಇಲ್ಲಿ $P\left(x\right) ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ )$ ಮತ್ತು $Q\left(x\right)$ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳು, ಮತ್ತು $n$ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆ, ಇದನ್ನು ಜಾಕೋಬ್ ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, $n$ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ವಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

• $n\ne 0$, $n = 0$ ನಲ್ಲಿ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವು ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ವಿಶೇಷ ಪರಿಹಾರ ವಿಧಾನದ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ;
• $n\ne 1$, ಏಕೆಂದರೆ ನಾವು $n$ ಎಂದು ಒಂದನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣವು ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ್ದಾಗಿದೆ, ಅದರ ಪರಿಹಾರ ವಿಧಾನವೂ ತಿಳಿದಿದೆ.

ಇದರ ಜೊತೆಗೆ, ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣದ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಪರಿಹಾರವನ್ನು $y=0$ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಜಾಕೋಬ್ ಬರ್ನೌಲ್ಲಿಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರ್ನೌಲಿಯ ಕಾನೂನಿನೊಂದಿಗೆ ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸಬಾರದು, ಡೇನಿಯಲ್ ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಅವನ ಸೋದರಳಿಯ ಚಿಕ್ಕಪ್ಪನ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ.

ಗಮನಿಸಿ 1

ಡೇನಿಯಲ್ ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ, ದ್ರವ ಹರಿವಿನ ವೇಗ ಮತ್ತು ಒತ್ತಡದ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಅವನು ಕಂಡುಕೊಂಡ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಮಾದರಿ. ಬರ್ನೌಲಿಯ ನಿಯಮವು ಲ್ಯಾಮಿನಾರ್ ಅನಿಲ ಹರಿವುಗಳಿಗೆ ಸಹ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೈಡ್ರಾಲಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ದ್ರವ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸತೆಗೆ ಕಡಿತಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರ

ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮುಖ್ಯ ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಮೂಲಕ ಅದನ್ನು ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸತೆಗೆ ಇಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಕೆಳಕಂಡಂತಿವೆ:

1. ನಾವು $y^(-n) $ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು $y^(-n) \cdot y"+P\left(x\right)\cdot y^(1-n) =Q\ಎಡವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (x\ ಬಲ)$.
2. ನಾವು ಬದಲಿ $z=y^(1-n) $ ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಈ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ಶಕ್ತಿಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತೇವೆ; ನಾವು $z"=\left(1-n\right)\cdot y^(-n) \cdot y"$, ಎಲ್ಲಿಂದ $\frac(z")(1-n) =y^(-n) \ cdot y"$.
3. ನಾವು $y^(1-n) $ ಮತ್ತು $y^(-n) \cdot y"$ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಈ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು $\frac(z")(1-n) +P\left ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (x\right )\cdot z=Q\left(x\right)$ ಅಥವಾ $z"+\left(1-n\right)\cdot P\left(x\right)\cdot z=\left(1 -n\right )\cdot Q\left(x\right)$.

ಫಲಿತಾಂಶದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವು $z$ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸವಾಗಿದೆ, ಅದನ್ನು ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ:

1. ನಾವು ಅವಿಭಾಜ್ಯ $I_(1) =\int \left(1-n\right)\cdot P\left(x\right)\cdot dx $ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು $v\left(x\) ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ ಬಲ)=e ^(-I_(1) ) $, ನಾವು ಸರಳಗೊಳಿಸುವ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು $v\left(x\right)$ ಗಾಗಿ ಸರಳವಾದ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.
2. ನಾವು ಅವಿಭಾಜ್ಯ $I_(2) =\int \frac(\left(1-n\right)\cdot Q\left(x\right))(v\left(x\right)) \cdot dx $, ಅದರ ನಂತರ ನಾವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು $u\left(x,C\right)=I_(2) +C$ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ.
3. ನಾವು $z=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$ ರೂಪದಲ್ಲಿ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ.
4. ನಾವು $y$ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗುತ್ತೇವೆ, $z$ ಅನ್ನು $y^(1-n)$ ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ, ಸರಳಗೊಳಿಸುವ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ:

ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕಿ $\frac(dy)(dx) +\frac(y)(x) =y^(2) \cdot \left(4-x^(2) \right)$. $x=1$ ಗೆ $y=1$ ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾದ ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ.

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, $n=2$, $P\left(x\right)=\frac(1)(x) $, $Q\left(x\right)=4-x^(2) $.

ಬದಲಿ $z$ ಕುರಿತು ನಾವು ಅದನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ:

$z"+\left(1-2\right)\cdot \frac(1)(x) \cdot z=\left(1-2\right)\cdot \left(4-x^(2) \right )$ ಅಥವಾ $z"-\frac(1)(x) \cdot z=-\left(4-x^(2) \right)$.

ಫಲಿತಾಂಶದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವು $z$ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ನಾವು ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ನಾವು ಅವಿಭಾಜ್ಯ $I_(1) =\int \left(1-n\right)\cdot P\left(x\right)\cdot dx $ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ.

ನಾವು $I_(1) =\int \left(1-2\right)\cdot \frac(1)(x) \cdot dx =-\ln \left|x\right|$.

ನಾವು $v\left(x\right)=e^(-I_(1) ) $ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸರಳಗೊಳಿಸುವ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ: $v\left(x\right)=e^(\ln \left |x\ ಬಲ|)$; $\ln v\left(x\right)=\ln \left|x\right|$; $v\left(x\right)=\left|x\right|$.

$v\left(x\right)$ ಗಾಗಿ ನಾವು ಸರಳವಾದ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: $v\left(x\right)=x$.

ನಾವು $I_(2) =\int \frac(\left(1-n\right)\cdot Q\left(x\right))(v\left(x\right)) \cdot dx $ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ.

ನಾವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು $u\left(x,C\right)=I_(2) +C$, ಅಂದರೆ $u\left(x,C\right)=\frac(x^(2) ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. )(2) -4\cdot \ln \left|x\right|+C$.

ನಾವು $z$ ಫಂಕ್ಷನ್‌ಗಾಗಿ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು $z=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ, $z=\frac(x^ (3) )(2) -4\cdot x\cdot \ln \left|x\right|+C\cdot x$.

ಈಗ ನಾವು $y$ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗುತ್ತೇವೆ, $z$ ಅನ್ನು $y^(1-n)$ ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ:

$y^(1-2) =\frac(x^(3) )(2) -4\cdot x\cdot \ln \left|x\right|+C\cdot x$ ಅಥವಾ $\frac(1) (y) =\frac(x^(3) )(2) -4\cdot x\cdot \ln \left|x\right|+C\cdot x$.

ಇದು ಈ ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಸೂಚ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು ಈ ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು $x=1$ ಗೆ $y=1$ ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

ಆದ್ದರಿಂದ, ಭಾಗಶಃ ಪರಿಹಾರವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: $\frac(1)(y) =\frac(x^(3) )(2) -4\cdot x\cdot \ln \left|x\right|+\frac (x )(2) $.

ಬದಲಿ ವಿಧಾನದಿಂದ ಬರ್ನೌಲಿಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

ಬರ್ನೌಲಿಯ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಎರಡನೆಯ ಸಂಭವನೀಯ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನ.

ಉದಾಹರಣೆ:

ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನದ ಮೂಲಕ $y"+\frac(y)(x) =y^(2) \cdot \left(4-x^(2) \right)$ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ನಾವು ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ $y=u\cdot v$ ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ.

ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಂತರ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

$v"+\frac(v)(x) =0$ ಎಂಬ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಾವು $v\left(x\right)$ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ; ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಎರಡನೇ ಪದವನ್ನು ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ಸರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

$\frac(dv)(dx) =-\frac(v)(x) $;

$\frac(dv)(v) =-\frac(dx)(x) $ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿ;

$\ln \left|v\right|=-\ln \left|x\right|$, ಎಲ್ಲಿಂದ $v=\frac(1)(x) $ ಅನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಿ.

$u\left(x\right)$ ಕಾರ್ಯವು $u"\cdot \frac(1)(x) =u^(2) \cdot \frac(1)(x^(2) ) ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. \cdot \ left(4-x^(2) \right)$, ಇದು ಖಾತೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ $v=\frac(1)(x) $ ಮತ್ತು $v"+\frac(v)(x) =0$.

ಸರಳ ರೂಪಾಂತರಗಳ ನಂತರ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: $u"=u^(2) \cdot \frac(1)(x) \cdot \left(4-x^(2) \right)$.

ನಾವು ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತೇವೆ: $\frac(du)(u^(2) ) =\frac(1)(x) \cdot \left(4-x^(2) \right)\cdot dx$.

ನಾವು ಏಕೀಕರಿಸೋಣ: $-\frac(1)(u) =4\cdot \ln \ln \left|x\right|-\frac(x^(2) )(2) +C$ ಅಥವಾ $\frac(1)( u ) =\frac(x^(2) )(2) -4\cdot \ln \ln \left|x\right|+C$.

ಹಳೆಯ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗೆ ಹಿಂತಿರುಗೋಣ. ನಾವು $y=u\cdot v$ ಅಥವಾ $y=u\cdot \frac(1)(x) $, ಎಲ್ಲಿಂದ $u=x\cdot y$ ಎಂದು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಈ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: $\frac(1)(y) =\frac(x^(3) )(2) -4\cdot x\cdot \ln \left|x\right|+C \cdot x $.