ವ್ಯವಸ್ಥೆ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳುಎರಡು ಅಪರಿಚಿತರೊಂದಿಗೆ - ಇವು ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿವೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರಗಳು. ಎರಡು ಅಜ್ಞಾತಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಎರಡು ಅಪರಿಚಿತರೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ನೋಟವನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ:

( a1*x + b1*y = c1,
( a2*x + b2*y = c2

ಇಲ್ಲಿ x ಮತ್ತು y ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳು, a1, a2, b1, b2, c1, c2 ಕೆಲವು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ. ಎರಡು ಅಜ್ಞಾತಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ ಒಂದು ಜೋಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು (x,y) ಅಂದರೆ ನಾವು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿ ಬದಲಿಸಿದರೆ, ನಂತರ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮೀಕರಣಗಳು ನಿಜವಾದ ಸಮಾನತೆಯಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ. ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಹಲವಾರು ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ. ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ಸೇರ್ಪಡೆ ವಿಧಾನ.

ಸೇರ್ಪಡೆ ವಿಧಾನದಿಂದ ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್

ಸೇರ್ಪಡೆ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಎರಡು ಅಪರಿಚಿತರೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್.

1. ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ, ಮೂಲಕ ಸಮಾನ ರೂಪಾಂತರಗಳುಎರಡೂ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಿಸಿ.

2. ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಅಥವಾ ಕಳೆಯುವ ಮೂಲಕ, ಒಂದು ಅಜ್ಞಾತದೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಿ

3. ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಒಂದು ಅಜ್ಞಾತದೊಂದಿಗೆ ಪರಿಹರಿಸಿ ಮತ್ತು ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

4. ಸಿಸ್ಟಂನ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬದಲಿಸಿ ಮತ್ತು ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ, ಹೀಗಾಗಿ ಎರಡನೇ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಿ.

5. ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.

ಸೇರ್ಪಡೆ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹಾರದ ಉದಾಹರಣೆ

ಹೆಚ್ಚಿನ ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ, ಸೇರ್ಪಡೆ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಎರಡು ಅಜ್ಞಾತಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಳಗಿನ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ:

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

ಯಾವುದೇ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಕಾರಣ, ನಾವು y ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಮೂರರಿಂದ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಎರಡರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ.

(3*x+2*y=10 |*3
(5*x + 3*y = 12 |*2

ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ:

(9*x+6*y = 30;
(10*x+6*y=24;

ಈಗ ನಾವು ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಕಳೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳುಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

10*x+6*y - (9*x+6*y) = 24-30; x=-6;

ನಾವು ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಮ್ಮ ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ.

(3*(-6) + 2*y =10;
(2*y=28; y =14;

ಫಲಿತಾಂಶವು x=6 ಮತ್ತು y=14 ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಜೋಡಿಯಾಗಿದೆ. ನಾವು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆ. ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಮಾಡೋಣ.

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;

{10 = 10;
{12=12;

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ನಾವು ಎರಡು ಸರಿಯಾದ ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಸರಿಯಾದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ.

ಸೂಚನೆಗಳು

ಸೇರ್ಪಡೆ ವಿಧಾನ.
ನೀವು ಎರಡು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಪರಸ್ಪರ ಕೆಳಗೆ ಬರೆಯಬೇಕಾಗಿದೆ:

549+45y+4y=-7, 45y+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, y≈11.
ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ (ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನಿಂದ) ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ, ಈಗಾಗಲೇ ಕಂಡುಬರುವ "ಆಟ" ಬದಲಿಗೆ 11 ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸಿ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಅಜ್ಞಾತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ:

X=61+5*11, x=61+55, x=116.
ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಉತ್ತರ x=116, y=11.

ಗ್ರಾಫಿಕ್ ವಿಧಾನ.
ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಗಣಿತೀಯವಾಗಿ ಬರೆಯಲಾದ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದನ್ನು ಇದು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಎರಡೂ ಸಾಲುಗಳ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಎಳೆಯಬೇಕು. ಸಾಮಾನ್ಯ ನೋಟ: – y=khx+b. ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು, ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸಾಕು, ಮತ್ತು x ಅನ್ನು ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ನೀಡೋಣ: 2x – y=4

Y=-3x+1.
ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅನುಕೂಲಕ್ಕಾಗಿ ಅದನ್ನು ಬರೆಯಬೇಕು: y=2x-4. x ಗಾಗಿ (ಸುಲಭ) ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಬನ್ನಿ, ಅದನ್ನು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ, ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ ಮತ್ತು y ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ನಾವು ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅದರೊಂದಿಗೆ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ. (ಚಿತ್ರ ನೋಡಿ)
x 0 1

y -4 -2
ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ: y=-3x+1.
ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಸಹ ನಿರ್ಮಿಸಿ. (ಚಿತ್ರ ನೋಡಿ)

y 1 -5
ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ಎರಡು ನಿರ್ಮಿಸಿದ ರೇಖೆಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ (ರೇಖೆಗಳು ಛೇದಿಸದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಹೊಂದಿಲ್ಲ - ಆದ್ದರಿಂದ).

ವಿಷಯದ ಕುರಿತು ವೀಡಿಯೊ

ಉಪಯುಕ್ತ ಸಲಹೆ

ಅದೇ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಮೂರರಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಿದರೆ ವಿವಿಧ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಉತ್ತರ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ (ಪರಿಹಾರ ಸರಿಯಾಗಿದ್ದರೆ).

ಮೂಲಗಳು:

• 8ನೇ ತರಗತಿ ಬೀಜಗಣಿತ
• ಆನ್‌ಲೈನ್‌ನಲ್ಲಿ ಎರಡು ಅಪರಿಚಿತರೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ
• ಎರಡರೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಸಮೀಕರಣಗಳುಗಣಿತದ ದಾಖಲೆಗಳ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಹಲವಾರು ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಹಲವಾರು ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ.

ನಿಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ

• - ಆಡಳಿತಗಾರ ಮತ್ತು ಪೆನ್ಸಿಲ್;
• -ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್.

ಸೂಚನೆಗಳು

ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ, ಇದು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ: a1x + b1y = c1 ಮತ್ತು a2x + b2y = c2. ಅಲ್ಲಿ x ಮತ್ತು y ಅಪರಿಚಿತ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳು ಮತ್ತು b,c ಉಚಿತ ಪದಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವಾಗ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಪ್ರತಿ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರಾರಂಭಿಸಲು, ಪ್ರತಿ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಇನ್ನೊಂದರ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ. ನಂತರ ವೇರಿಯಬಲ್ x ಅನ್ನು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಸಿ. ಎರಡು ಸಾಕು. ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಮತ್ತು y ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ, ಅದರ ಮೇಲೆ ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮೂಲಕ ರೇಖೆಯನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಇತರ ಭಾಗಗಳಿಗೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಬೇಕು.

ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಹೊಂದಿದೆ ಕೇವಲ ನಿರ್ಧಾರ, ನಿರ್ಮಿಸಿದ ರೇಖೆಗಳು ಛೇದಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದು. ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಮತ್ತು ಸಾಲುಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ವಿಲೀನಗೊಂಡಾಗ ಅದು ಅನಂತವಾದ ಅನೇಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಈ ವಿಧಾನಬಹಳ ದೃಶ್ಯ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮುಖ್ಯ ಅನನುಕೂಲವೆಂದರೆ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿದ ಅಪರಿಚಿತರು ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಬೀಜಗಣಿತ ವಿಧಾನಗಳು.

ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಿ. ಹಲವಾರು ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನೀವು ಅದರ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸಹ ಕಾಣಬಹುದು. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಹಾರವು ಸರಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಎಲ್ಲರೂ ಒಂದೇ ಆಗಿರಬೇಕು.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಒಂದು ಪದವು ತಿಳಿದಿಲ್ಲದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿವೆ. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ನೀವು ಅದನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಮಾಡಬೇಕು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸೆಟ್ಕ್ರಮಗಳು.

ನಿಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ

• - ಕಾಗದ;
• - ಪೆನ್ ಅಥವಾ ಪೆನ್ಸಿಲ್.

ಸೂಚನೆಗಳು

ನಿಮ್ಮ ಮುಂದೆ 8 ಮೊಲಗಳು ಇವೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಿ, ಮತ್ತು ನೀವು ಕೇವಲ 5 ಕ್ಯಾರೆಟ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೀರಿ. ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ಯೋಚಿಸಿ, ನೀವು ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕ್ಯಾರೆಟ್ಗಳನ್ನು ಖರೀದಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ ಇದರಿಂದ ಪ್ರತಿ ಮೊಲವು ಒಂದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ.

ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸಮೀಕರಣದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸೋಣ: 5 + x = 8. x ನ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆ 3 ಅನ್ನು ಬದಲಿಸೋಣ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, 5 + 3 = 8.

ನೀವು x ಗಾಗಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬದಲಿಸಿದಾಗ, ನೀವು 8 ರಿಂದ 5 ಅನ್ನು ಕಳೆಯುವಾಗ ಅದೇ ಕೆಲಸವನ್ನು ಮಾಡಿದ್ದೀರಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಅಜ್ಞಾತಪದ, ಮೊತ್ತದಿಂದ ತಿಳಿದಿರುವ ಪದವನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ.

ನಿಮ್ಮ ಬಳಿ 20 ಮೊಲಗಳು ಮತ್ತು ಕೇವಲ 5 ಕ್ಯಾರೆಟ್ಗಳಿವೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ. ಅದನ್ನು ರೂಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದು ಸಮಾನತೆಯಾಗಿದ್ದು ಅದು ಅದರಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅಕ್ಷರಗಳ ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿದೆ. ಅರ್ಥಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾದ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಅಜ್ಞಾತ ಜೊತೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ, ಅದನ್ನು x ಎಂದು ಕರೆಯಿರಿ. ನಮ್ಮ ಮೊಲದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: 5 + x = 20.

20 ಮತ್ತು 5 ರ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಕಳೆಯುವಾಗ, ಅದನ್ನು ಕಳೆಯುವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಳೆಯುತ್ತಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ , ಮತ್ತು ಅಂತಿಮ ಫಲಿತಾಂಶವ್ಯತ್ಯಾಸ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, x = 20 - 5; x = 15. ನೀವು ಮೊಲಗಳಿಗೆ 15 ಕ್ಯಾರೆಟ್ಗಳನ್ನು ಖರೀದಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.

ಪರಿಶೀಲಿಸಿ: 5 + 15 = 20. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಹಜವಾಗಿ, ಯಾವಾಗ ನಾವು ಮಾತನಾಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆಅಂತಹ ಸರಳವಾದವುಗಳ ಬಗ್ಗೆ, ಚೆಕ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವುದು ಅನಿವಾರ್ಯವಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನೀವು ಮೂರು-ಅಂಕಿಯ, ನಾಲ್ಕು-ಅಂಕಿಯ, ಇತ್ಯಾದಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ, ನಿಮ್ಮ ಕೆಲಸದ ಫಲಿತಾಂಶದ ಬಗ್ಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಖಚಿತವಾಗಿರಲು ನೀವು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಪರಿಶೀಲಿಸಬೇಕು.

ವಿಷಯದ ಕುರಿತು ವೀಡಿಯೊ

ಉಪಯುಕ್ತ ಸಲಹೆ

ಅಜ್ಞಾತ ಮಿನುಯೆಂಡ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸಬ್‌ಟ್ರಾಹೆಂಡ್ ಅನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

ಹುಡುಕಲು ಅಜ್ಞಾತ ಉಪಗ್ರಹ, ನೀವು ಸೂಕ್ಷ್ಮದಿಂದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಳೆಯಬೇಕಾಗಿದೆ.

ಸಲಹೆ 4: ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಮೂರು ಸಮೀಕರಣಗಳುಮೂವರು ಅಪರಿಚಿತರೊಂದಿಗೆ

ಸಾಕಷ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಹೊರತಾಗಿಯೂ ಮೂರು ಅಪರಿಚಿತರೊಂದಿಗೆ ಮೂರು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಬದಲಿ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಥವಾ ಕ್ರಾಮರ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನೀವು ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಬಹುದು. ಕ್ರಾಮರ್ ವಿಧಾನ, ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದರ ಜೊತೆಗೆ, ಅಪರಿಚಿತರ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಮೊದಲು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದೇ ಎಂದು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.

ಸೂಚನೆಗಳು

ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನವು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಒಂದು ಅಜ್ಞಾತವನ್ನು ಎರಡು ಇತರರ ಮೂಲಕ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿ ಬದಲಿಸುತ್ತದೆ. ಮೂರು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನೀಡೋಣ ಸಾಮಾನ್ಯ ನೋಟ:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ x ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ: x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಬದಲಿಯಾಗಿ, ನಂತರ ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ y ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ ಮತ್ತು ಮೂರನೆಯದಕ್ಕೆ ಬದಲಿಯಾಗಿ. ನೀವು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ ರೇಖೀಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಸಿಸ್ಟಮ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮೂಲಕ z ಗಾಗಿ. ಈಗ "ಹಿಂದಕ್ಕೆ" ಹೋಗಿ: ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ z ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿ ಮತ್ತು y ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ, ತದನಂತರ z ಮತ್ತು y ಅನ್ನು ಮೊದಲನೆಯದಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ ಮತ್ತು x ಗಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಿ. z ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಮೊದಲು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಮತ್ತಷ್ಟು ಬರೆಯುವುದು ತುಂಬಾ ತೊಡಕಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಬದಲಿಯಾಗಿ, ನೀವು ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.

ಕ್ರೇಮರ್‌ನ ವಿಧಾನವು ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು, ಹಾಗೆಯೇ ಇನ್ನೂ ಮೂರು ಸಹಾಯಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್. ಸಿಸ್ಟಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಅಜ್ಞಾತ ಪದಗಳಿಗೆ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದೆ. ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಕಾಲಮ್, ಬಲಭಾಗದ ಕಾಲಮ್. ಇದನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವಿಷಯದ ಕುರಿತು ವೀಡಿಯೊ

ಸೂಚನೆ

ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಇತರ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಒದಗಿಸಬೇಕು. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ದುರ್ಬಲಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಿಸ್ಸಂದಿಗ್ಧವಾದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಉಪಯುಕ್ತ ಸಲಹೆ

ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದ ನಂತರ, ಕಂಡುಬರುವ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಬದಲಿಸಿ ಮತ್ತು ಅವರು ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತಾರೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.

ಸ್ವತಃ ಸಮೀಕರಣಮೂರು ಜೊತೆ ಅಜ್ಞಾತಅನೇಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಇದು ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳು ಅಥವಾ ಷರತ್ತುಗಳಿಂದ ಪೂರಕವಾಗಿದೆ. ಆರಂಭಿಕ ಡೇಟಾ ಏನೆಂಬುದನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ನಿರ್ಧಾರದ ಕೋರ್ಸ್ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನಿಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ

• - ಮೂರು ಅಪರಿಚಿತರೊಂದಿಗೆ ಮೂರು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ.

ಸೂಚನೆಗಳು

ಮೂರು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ಮೂರು ಅಜ್ಞಾತಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಕೆಲವು ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಇತರರ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ ಸಮೀಕರಣಮೂರು ಜೊತೆ ಅಜ್ಞಾತ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಿಮ್ಮ ಗುರಿ ಅದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಕ್ಕೆ ತಿರುಗಿಸುವುದು ಸಮೀಕರಣಅಪರಿಚಿತ ವ್ಯಕ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ. ಇದು ಇದ್ದರೆ, ಮುಂದಿನ ಪರಿಹಾರವು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ - ಕಂಡುಬರುವ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಇತರ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿ ಬದಲಿಸಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಅಜ್ಞಾತಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಕೆಲವು ಸಮೀಕರಣ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಒಂದು ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಇನ್ನೊಂದರಿಂದ ಕಳೆಯಬಹುದು. ಎರಡು ಅಜ್ಞಾತಗಳನ್ನು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ರದ್ದುಗೊಳಿಸುವಂತೆ ಒಂದು ಅಥವಾ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಗುಣಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವೇ ಎಂದು ನೋಡಿ. ಅಂತಹ ಅವಕಾಶವಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಲಾಭವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಿ; ಹೆಚ್ಚಾಗಿ, ನಂತರದ ಪರಿಹಾರವು ಕಷ್ಟಕರವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವಾಗ ನೀವು ಅದರಂತೆ ಗುಣಿಸಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ಮರೆಯಬೇಡಿ ಎಡಬದಿ, ಮತ್ತು ಸರಿಯಾದದು. ಅಂತೆಯೇ, ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಕಳೆಯುವಾಗ, ಬಲಭಾಗವನ್ನು ಸಹ ಕಳೆಯಬೇಕು ಎಂದು ನೀವು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು.

ಹಿಂದಿನ ವಿಧಾನಗಳು ಸಹಾಯ ಮಾಡದಿದ್ದರೆ, ಬಳಸಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೀತಿಯಲ್ಲಿಮೂರರೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳು ಅಜ್ಞಾತ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3 ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯಿರಿ. ಈಗ x (A), ಅಜ್ಞಾತಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ (X) ಮತ್ತು ಉಚಿತ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ (B) ಗಾಗಿ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ರಚಿಸಿ. ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಅಪರಿಚಿತರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನೀವು ಉಚಿತ ಪದಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ, ಅಂದರೆ, A*X=B.

ಮೊದಲು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಮೂಲಕ ಶಕ್ತಿ (-1) ಗೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ, ಅದು ಇರಬಾರದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮ. ಇದರ ನಂತರ, ಫಲಿತಾಂಶದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಬಿ ಮೂಲಕ ಗುಣಿಸಿ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ನೀವು ಬಯಸಿದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತೀರಿ, ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಕ್ರಾಮರ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮೂರು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ನೀವು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸಹ ಕಾಣಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಸಿಸ್ಟಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ನಿರ್ಧಾರಕ ∆ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ನಂತರ ಅನುಗುಣವಾದ ಕಾಲಮ್‌ಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಉಚಿತ ಪದಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಿ, ∆1, ∆2 ಮತ್ತು ∆3 ಮೂರು ನಿರ್ಣಾಯಕಗಳನ್ನು ಸತತವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಈಗ x ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

ಮೂಲಗಳು:

• ಮೂರು ಅಪರಿಚಿತರೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳು

ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದಾಗ, ಅವು ಯಾವ ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ. ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಕೇವಲ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳಿವೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ವೈಯಕ್ತಿಕವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪರಿಹಾರ ತಂತ್ರಗಳ ಅಧ್ಯಯನವು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗಬೇಕು. ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅಲ್ಗಾರಿದಮಿಕ್ ಆಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು.

ಕಂಡುಬರುವ ಅಪರಿಚಿತರ ಛೇದಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಹೌದು, ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ತಮ್ಮ ನಿರ್ಮಾಣದಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತವೆ. ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಆಯಾಮವು ಎರಡಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ, ಎಲಿಮಿನೇಷನ್ ವಿಧಾನವು ತುಂಬಾ ತೊಡಕಿನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು, ಅವುಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ ಅಲ್ಗಾರಿದಮಿಕ್ ವಿಧಾನಗಳುಪರಿಹಾರಗಳು. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಸರಳವಾದದ್ದು ಕ್ರಾಮರ್‌ನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ (ಕ್ರಾಮರ್‌ನ ಸೂತ್ರಗಳು). ಏಕೆಂದರೆ ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆ n ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

ಸಿಸ್ಟಮ್ ಎನ್ ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳು n ಜೊತೆ ಅಜ್ಞಾತರು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ (ಚಿತ್ರ 1a ನೋಡಿ). ಅದರಲ್ಲಿ, aij ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಗುಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ,
xj – ಅಪರಿಚಿತರು, ದ್ವಿ – ಉಚಿತ ಪದಗಳು (i=1, 2, ... , n; j=1, 2, ... , n). ಅಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು AX=B ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ A ಎಂಬುದು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್, X ಎಂಬುದು ಅಜ್ಞಾತಗಳ ಕಾಲಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್, B ಎಂಬುದು ಉಚಿತ ಪದಗಳ ಕಾಲಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ (ಚಿತ್ರ 1b ನೋಡಿ). ಕ್ರೇಮರ್ ವಿಧಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಪ್ರತಿ ಅಜ್ಞಾತ xi =∆i/∆ (i=1,2…,n). ಗುಣಾಂಕದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ನಿರ್ಣಾಯಕ ∆ ಅನ್ನು ಮುಖ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ∆i ಅನ್ನು ಸಹಾಯಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಅಜ್ಞಾತಕ್ಕೆ, ಮುಖ್ಯ ನಿರ್ಣಾಯಕದ i-th ಕಾಲಮ್ ಅನ್ನು ಉಚಿತ ಪದಗಳ ಕಾಲಮ್ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಹಾಯಕ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಕ್ರಾಮರ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ ವಿವರವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. 2.

ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಮಾನತೆಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಒಳಗೆ ಬಳಸಲಾಗುವ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಎರಡು ಮುಖ್ಯ ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ ಶಾಲಾ ಪಠ್ಯಕ್ರಮ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ವಿಧಾನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇನ್ನೊಂದು - ಸೇರ್ಪಡೆ ವಿಧಾನ.

ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪ

ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವು a1*x+b1*y=c1 ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಎರಡನೆಯ ಸಮೀಕರಣವು a2*x+b2*y=c2 ಮತ್ತು ಹೀಗೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಎರಡು ಭಾಗಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಎ1, a2, b1, b2, c1, c2 ನೀಡಲಾದ ಎರಡೂ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ. ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, x ಮತ್ತು y ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, ಅವರ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕು. ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಎರಡೂ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತವೆ ನಿಜವಾದ ಸಮಾನತೆಗಳು.

ಸೇರ್ಪಡೆ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಅಂದರೆ, x ಮತ್ತು y ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಅವುಗಳನ್ನು ನಿಜವಾದ ಸಮಾನತೆಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಲು, ನೀವು ಹಲವಾರು ಸರಳ ಹಂತಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು ಆದ್ದರಿಂದ ಎರಡೂ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿನ ವೇರಿಯಬಲ್ x ಅಥವಾ y ಗಾಗಿ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಒಂದೇ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಚಿಹ್ನೆಯಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದು 2x+4y=8 ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಎರಡನೆಯದು 6x+2y=6 ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವ ಆಯ್ಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾದ -2 ರ ಗುಣಾಂಕದಿಂದ ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು, ಅದು -12x-4y=-12 ರೂಪಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಗುಣಾಂಕದ ಸರಿಯಾದ ಆಯ್ಕೆಯು ಒಂದಾಗಿದೆ ಪ್ರಮುಖ ಕಾರ್ಯಗಳುಸೇರ್ಪಡೆಯ ಮೂಲಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ, ಅದು ಸಂಪೂರ್ಣವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತಷ್ಟು ಚಲನೆಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ಹುಡುಕುವ ವಿಧಾನಗಳು.

ಈಗ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾದ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಪರಸ್ಪರ ನಾಶವು ಚಿಹ್ನೆಯಲ್ಲಿ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ -10x=-4 ರೂಪಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರ ನಂತರ, ಈ ಸರಳ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ, ಇದರಿಂದ ಅದು x = 0.4 ಅನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ಪರಿಹಾರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಕೊನೆಯ ಹಂತವೆಂದರೆ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರ ಕಂಡುಬರುವ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಲಭ್ಯವಿರುವ ಯಾವುದೇ ಮೂಲ ಸಮಾನತೆಗಳಿಗೆ ಬದಲಿಸುವುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ x=0.4 ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿದರೆ, ನೀವು 2*0.4+4y=8 ಎಂಬ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು, ಇದರಿಂದ y=1.8. ಹೀಗಾಗಿ, x=0.4 ಮತ್ತು y=1.8 ಉದಾಹರಣೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೂಲಗಳಾಗಿವೆ.

ಬೇರುಗಳು ಸರಿಯಾಗಿ ಕಂಡುಬಂದಿವೆಯೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು, ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕಂಡುಬರುವ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಇದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ರಲ್ಲಿ ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿನಾವು 0.4*6+1.8*2=6 ರೂಪದ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇದು ನಿಜ.

ವಿಷಯದ ಕುರಿತು ವೀಡಿಯೊ

ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿನ ವಸ್ತುವು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಮೊದಲ ಪರಿಚಯಕ್ಕಾಗಿ ಉದ್ದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಪರಿಹಾರಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೀತಿಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಸಹ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಎಂದಿನಂತೆ, ನಾವು ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ.

ಪುಟ ಸಂಚರಣೆ.

ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಎಂದರೇನು?

ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಕ್ರಮೇಣವಾಗಿ ಸಮೀಪಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮೊದಲಿಗೆ, ಎರಡು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅದನ್ನು ನೀಡಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ: ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ರೆಕಾರ್ಡಿಂಗ್ ಪ್ರಕಾರ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಈ ರೆಕಾರ್ಡಿಂಗ್‌ನಲ್ಲಿ ಹುದುಗಿರುವ ಅರ್ಥ. ಅವುಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ ನೋಡೋಣ, ತದನಂತರ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸೋಣ.

ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ನಮ್ಮ ಮುಂದೆ ಇರಲಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 2 x+y=−3 ಮತ್ತು x=5 ಎಂಬ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಅವುಗಳನ್ನು ಒಂದರ ಕೆಳಗೆ ಒಂದರಂತೆ ಬರೆಯೋಣ ಮತ್ತು ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕರ್ಲಿ ಬ್ರೇಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸೋಣ:

ಈ ಪ್ರಕಾರದ ದಾಖಲೆಗಳು, ಒಂದು ಕಾಲಮ್‌ನಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಲಾದ ಹಲವಾರು ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಕರ್ಲಿ ಬ್ರೇಸ್‌ನಿಂದ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗುತ್ತವೆ, ಅವು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ದಾಖಲೆಗಳಾಗಿವೆ.

ಅಂತಹ ನಮೂದುಗಳ ಅರ್ಥವೇನು? ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೂ ಪರಿಹಾರವಾಗಿರುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಅಂತಹ ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಹಾರಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಅವರು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತಾರೆ.

ಇದನ್ನು ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲು ನೋಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕೆಲವು ಪರಿಹಾರಗಳು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ. ಆದ್ದರಿಂದ ಸಿಸ್ಟಮ್ ರೆಕಾರ್ಡ್ ಕೇವಲ ಅವುಗಳನ್ನು ಅರ್ಥೈಸುತ್ತದೆ.

ಈಗ ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಸಮರ್ಪಕವಾಗಿ ಸ್ವೀಕರಿಸಲು ಸಿದ್ಧರಿದ್ದೇವೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.

ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳುಕಾಲ್ ರೆಕಾರ್ಡ್‌ಗಳು ಒಂದರ ಕೆಳಗೆ ಒಂದರ ಕೆಳಗೆ ಇರುವ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿವೆ, ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕರ್ಲಿ ಬ್ರೇಸ್‌ನಿಂದ ಒಂದಾಗುತ್ತವೆ, ಇದು ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೂ ಪರಿಹಾರವಾಗಿರುವ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಹಾರಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ಇದೇ ರೀತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಅದನ್ನು ಅಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿಲ್ಲ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣ, ಮತ್ತು ಇಬ್ಬರಿಗೆ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಮೀಕರಣಗಳುಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ.

ಮುಖ್ಯ ವಿಧಗಳು

ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯಿದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ, ಅವುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಕಲಿಸಲಾದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಮತ್ತು ಕೆಲಸ ಮಾಡುವ ಅನುಕೂಲಕ್ಕಾಗಿ, ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಅವುಗಳನ್ನು ಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಪ್ರಕಾರಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಮುಂದುವರಿಯಿರಿ.

ಮೊದಲ ವಿಭಾಗವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಸ್ವತಃ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು, ಮೂರು ಇದ್ದರೆ, ನಂತರ ಮೂರು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಒಂದು ಸಮೀಕರಣದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುವುದರಲ್ಲಿ ಅರ್ಥವಿಲ್ಲ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ, ನಾವು ಸಮೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯೊಂದಿಗೆ ಅಲ್ಲ.

ಮುಂದಿನ ವಿಭಾಗವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬರೆಯುವಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಇದ್ದರೆ, ನಾವು ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತೇವೆ (ಅವರು ಒಂದು ಅಪರಿಚಿತರೊಂದಿಗೆ ಸಹ ಹೇಳುತ್ತಾರೆ), ಎರಡು ಇದ್ದರೆ, ನಂತರ ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ (ಎರಡು ಅಪರಿಚಿತರೊಂದಿಗೆ) ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯೊಂದಿಗೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, x ಮತ್ತು y ಎಂಬ ಎರಡು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದೆ.

ಇದು ರೆಕಾರ್ಡಿಂಗ್‌ನಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ವಿಭಿನ್ನ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಸಮೀಕರಣದ ದಾಖಲೆಯಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಒಂದೇ ಬಾರಿಗೆ ಸೇರಿಸಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ; ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಅವರ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾ, x, y ಮತ್ತು z ಎಂಬ ಮೂರು ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದೆ. ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ, ವೇರಿಯೇಬಲ್ x ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಇರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು y ಮತ್ತು z ಸೂಚ್ಯವಾಗಿದೆ (ಈ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸಬಹುದು), ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ x ಮತ್ತು z ಇವೆ, ಆದರೆ ವೇರಿಯೇಬಲ್ y ಅನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೀಗೆ ನೋಡಬಹುದು , ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು – x+0·y−3·z=0 ಎಂದು.

ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಮೂರನೇ ಅಂಶವೆಂದರೆ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪ್ರಕಾರ.

ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ, ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಅಧ್ಯಯನವು ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ ಎರಡು ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು. ಅಂದರೆ, ಅಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಎರಡು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಇಲ್ಲಿ ಒಂದೆರಡು ಉದಾಹರಣೆಗಳಿವೆ: ಮತ್ತು . ಅವರು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವ ಮೂಲಭೂತ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಕಲಿಯುತ್ತಾರೆ.

ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ಧರಿಸುವಾಗ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯಗಳುನೀವು ಮೂರು ಅಪರಿಚಿತರೊಂದಿಗೆ ಮೂರು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಸಹ ಎದುರಿಸಬಹುದು.

9 ನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ, ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಎರಡನೇ ಪದವಿಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ಕಡಿಮೆ ಬಾರಿ - ಹೆಚ್ಚು ಉನ್ನತ ಪದವಿಗಳು. ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ, ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಅಜ್ಞಾತಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಿ. ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಅಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನಾವು ತೋರಿಸೋಣ: ಮತ್ತು .

ತದನಂತರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಸಹ ಇವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, . ಯಾವ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸದೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಅಂಶವೆಂದರೆ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ "ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ" ಎಂದು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಸ್ಪಷ್ಟೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ರೌಢಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ, ವಸ್ತುವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದಂತೆ, ಅಭಾಗಲಬ್ಧ, ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ, ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಮತ್ತು ಘಾತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು : , , .

ನಾವು ಮೊದಲ ವರ್ಷದ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯದ ಪಠ್ಯಕ್ರಮವನ್ನು ಇನ್ನಷ್ಟು ನೋಡಿದರೆ, ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ (SLAEs) ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಅಧ್ಯಯನ ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರದ ಮೇಲೆ ಮುಖ್ಯ ಒತ್ತು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಎಡಭಾಗವು ಮೊದಲ ಪದವಿಯ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಅಲ್ಲಿ, ಶಾಲೆಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಅವರು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ. ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಅಸ್ಥಿರಗಳು, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರವೇನು?

"ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಹಾರ" ಎಂಬ ಪದವು ನೇರವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ, ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ :

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.

ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದುಈ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಜೋಡಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಅದು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ, ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಪ್ರತಿ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಜೋಡಿ ವೇರಿಯಬಲ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು x=5, y=2 (ಇದನ್ನು (5, 2) ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಮೂಲಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ಯಾವಾಗ x= 5, y=2 ಅನ್ನು ಅವುಗಳೊಳಗೆ ಬದಲಿಯಾಗಿ ಇರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಸರಿಯಾಗಿದೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಮಾನತೆಗಳು 5+2=7 ಮತ್ತು 5−2=3 ಕ್ರಮವಾಗಿ. ಆದರೆ x=3, y=0 ಜೋಡಿ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರವಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿ ಬದಲಿಸಿದಾಗ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದು ತಪ್ಪಾದ ಸಮಾನತೆ 3+0=7 ಆಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಹೊಂದಿರುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ, ಹಾಗೆಯೇ ಮೂರು, ನಾಲ್ಕು, ಇತ್ಯಾದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಬಹುದು. ಅಸ್ಥಿರ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.

ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದುವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಮೂಲವಾಗಿರುವ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಮೌಲ್ಯ ಇರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸರಿಯಾದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಮಾನತೆಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ ಕೊಡೋಣ. ರೂಪದ ಒಂದು ವೇರಿಯಬಲ್ t ನೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ . ಸಂಖ್ಯೆ -2 ಅದರ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ (-2) 2 =4 ಮತ್ತು 5·(−2+2)=0 ಎರಡೂ ನಿಜವಾದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಮಾನತೆಗಳಾಗಿವೆ. ಮತ್ತು t=1 ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರವಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬದಲಿಸುವುದರಿಂದ ಎರಡು ತಪ್ಪಾದ ಸಮಾನತೆಗಳು 1 2 =4 ಮತ್ತು 5·(1+2)=0 ನೀಡುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.

ಮೂರು, ನಾಲ್ಕು, ಇತ್ಯಾದಿಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು. ಅಸ್ಥಿರಮೂರು, ನಾಲ್ಕು, ಇತ್ಯಾದಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನಿಜವಾದ ಸಮಾನತೆಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳ ಟ್ರಿಪಲ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು x=1, y=2, z=0 ಸಿಸ್ಟಮ್‌ಗೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ , 2·1=2 ರಿಂದ, 5·2=10 ಮತ್ತು 1+2+0=3 ನಿಜವಾದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಮಾನತೆಗಳಾಗಿವೆ. ಮತ್ತು (1, 0, 5) ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರವಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳ ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿ ಬದಲಿಸಿದಾಗ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡನೆಯದು ತಪ್ಪಾದ ಸಮಾನತೆ 5 · 0 = 10 ಮತ್ತು ಮೂರನೆಯದು ತುಂಬಾ 1+0+5=3.

ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿರಬಹುದು, ಅವುಗಳು ಹೊಂದಿರಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ ಅಂತಿಮ ಸಂಖ್ಯೆಪರಿಹಾರಗಳು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು, ಎರಡು, ..., ಆದರೆ ಅನಂತ ಅನೇಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಬಹುದು. ನೀವು ವಿಷಯವನ್ನು ಆಳವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ ನೀವು ಇದನ್ನು ನೋಡುತ್ತೀರಿ.

ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರವು ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರಗಳ ಸೆಟ್ಗಳ ಛೇದನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು.

ತೀರ್ಮಾನಿಸಲು, ಇಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಸಂಬಂಧಿತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಿವೆ:

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.

ಜಂಟಿ ಅಲ್ಲದ, ಇದು ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, in ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಜಂಟಿ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.

ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅನಿಶ್ಚಿತ, ಇದು ಅನಂತ ಅನೇಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ನಿಶ್ಚಿತ, ಇದು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಅವುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ.

ಈ ಪದಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ, ಆದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ವಿರಳವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ಉನ್ನತ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಕೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ.

1. ಬೀಜಗಣಿತ:ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ 7 ನೇ ತರಗತಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆಗಳು / [ಯು. N. ಮಕರಿಚೆವ್, N. G. Mindyuk, K. I. ನೆಶ್ಕೋವ್, S. B. ಸುವೊರೊವಾ]; ಸಂಪಾದಿಸಿದ್ದಾರೆ S. A. ಟೆಲ್ಯಕೋವ್ಸ್ಕಿ. - 17 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ. - ಎಂ.: ಶಿಕ್ಷಣ, 2008. - 240 ಪು. : ಅನಾರೋಗ್ಯ. - ISBN 978-5-09-019315-3.
2. ಬೀಜಗಣಿತ: 9 ನೇ ತರಗತಿ: ಶೈಕ್ಷಣಿಕ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಶಿಕ್ಷಣಕ್ಕಾಗಿ ಸಂಸ್ಥೆಗಳು / [ಯು. N. ಮಕರಿಚೆವ್, N. G. Mindyuk, K. I. ನೆಶ್ಕೋವ್, S. B. ಸುವೊರೊವಾ]; ಸಂಪಾದಿಸಿದ್ದಾರೆ S. A. ಟೆಲ್ಯಕೋವ್ಸ್ಕಿ. - 16 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ. - ಎಂ.: ಶಿಕ್ಷಣ, 2009. - 271 ಪು. : ಅನಾರೋಗ್ಯ. - ISBN 978-5-09-021134-5.
3. ಮೊರ್ಡ್ಕೊವಿಚ್ ಎ.ಜಿ.ಬೀಜಗಣಿತ. 7 ನೇ ತರಗತಿ. ಮಧ್ಯಾಹ್ನ 2 ಗಂಟೆಗೆ ಭಾಗ 1. ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಸಂಸ್ಥೆಗಳು/ ಎ.ಜಿ. ಮೊರ್ಡ್ಕೋವಿಚ್. - 17 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ., ಸೇರಿಸಿ. - ಎಂ.: ಮೆನೆಮೊಸಿನ್, 2013. - 175 ಪು.: ಅನಾರೋಗ್ಯ. ISBN 978-5-346-02432-3.
4. ಮೊರ್ಡ್ಕೊವಿಚ್ ಎ.ಜಿ.ಬೀಜಗಣಿತ. 9 ನೇ ತರಗತಿ. 2 ಗಂಟೆಗಳಲ್ಲಿ. ಭಾಗ 1. ಸಾಮಾನ್ಯ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆಗಳ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ / A. G. ಮೊರ್ಡ್ಕೊವಿಚ್, P. V. ಸೆಮೆನೋವ್. - 13 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ, ಅಳಿಸಲಾಗಿದೆ. - ಎಂ.: ಮೆನೆಮೊಸಿನ್, 2011. - 222 ಪು.: ಅನಾರೋಗ್ಯ. ISBN 978-5-346-01752-3.
5. ಮೊರ್ಡ್ಕೊವಿಚ್ ಎ.ಜಿ.ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಆರಂಭಗಳು ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ. ಗ್ರೇಡ್ 11. ಮಧ್ಯಾಹ್ನ 2 ಗಂಟೆಗೆ ಭಾಗ 1. ಸಾಮಾನ್ಯ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆಗಳ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ ( ಪ್ರೊಫೈಲ್ ಮಟ್ಟ) / A. G. ಮೊರ್ಡ್ಕೋವಿಚ್, P. V. ಸೆಮೆನೋವ್. - 2 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ., ಅಳಿಸಲಾಗಿದೆ. - ಎಂ.: ಮೆನೆಮೊಸಿನ್, 2008. - 287 ಪು.: ಅನಾರೋಗ್ಯ. ISBN 978-5-346-01027-2.
6. ಬೀಜಗಣಿತಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಆರಂಭ: ಪ್ರೊ. 10-11 ಶ್ರೇಣಿಗಳಿಗೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆಗಳು / ಎ.ಎನ್. ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್, ಎ.ಎಂ. ಅಬ್ರಮೊವ್, ಯು.ಪಿ. ಡುಡ್ನಿಟ್ಸಿನ್ ಮತ್ತು ಇತರರು; ಸಂ. A. N. ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ - 14 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ - M.: ಶಿಕ್ಷಣ, 2004. - 384 pp.: ill. - ISBN 5-09-013651-3.
7. A. G. ಕುರೋಶ್. ಉನ್ನತ ಬೀಜಗಣಿತ ಕೋರ್ಸ್.
8. ಇಲಿನ್ ವಿ.ಎ., ಪೊಜ್ನ್ಯಾಕ್ ಇ.ಜಿ. ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತ: ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ: ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯಗಳಿಗೆ. - 5 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ. - ಎಂ.: ವಿಜ್ಞಾನ. ಫಿಜ್ಮಾಟ್ಲಿಟ್, 1999. - 224 ಪು. - (ಸರಿ ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಮತ್ತು ಚಾಪೆ. ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ). – ISBN 5-02-015234 – X (ಸಂಚಿಕೆ 3)

ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾದಾಗ ನಾವು ಮೊದಲು ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ, ಅಂದರೆ. m = n. ನಂತರ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಚೌಕವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದರ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವಿಧಾನ

ಕ್ಷೀಣಗೊಳ್ಳದ AX = B ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಚದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಎ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಇದೆ ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಎ -1. ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಎ -1 ರಿಂದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸೋಣ. ನಾವು A -1 AX = A -1 B ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ EX = A -1 B ಮತ್ತು

ಕೊನೆಯ ಸಮಾನತೆಯು ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸೂತ್ರವಾಗಿದೆ. ಈ ಸೂತ್ರದ ಬಳಕೆಯನ್ನು ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವಿಧಾನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸೋಣ:

;

ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ಸಿಸ್ಟಮ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ನೀವು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು. ಹಾಗೆ ಮಾಡುವಾಗ, ಅವರು ನಿಜವಾದ ಸಮಾನತೆಗಳಾಗಿ ಬದಲಾಗಬೇಕು.

ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಉದಾಹರಣೆಗಾಗಿ, ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ:

ಕ್ರೇಮರ್ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಚೌಕದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನ

n= 2 ಆಗಿರಲಿ:

ನಾವು ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು 22 ರಿಂದ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು (-a 12) ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ, ನಂತರ ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಸಿಸ್ಟಮ್ನಿಂದ ವೇರಿಯಬಲ್ x 2 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುತ್ತೇವೆ. ಅಂತೆಯೇ, ನೀವು ವೇರಿಯಬಲ್ x 1 ಅನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಬಹುದು (ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು (-a 21) ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು 11 ರಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ). ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿದೆ

ಸೂಚಿಸೋಣ

ನಂತರ ಸಿಸ್ಟಮ್ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ:

ಸಿಸ್ಟಂನ ನಿರ್ಧಾರಕವು 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸಿಸ್ಟಮ್ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರ ಏಕೈಕ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಬಹುದು:

= 0, a 1 0 ಮತ್ತು/ಅಥವಾ  2 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸಿಸ್ಟಮ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು 0*x 1 = 2 ಮತ್ತು/ಅಥವಾ 0*x 1 = 2 ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅಸಮಂಜಸವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

= 1 = 2 = 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ), ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ:

ಕ್ರೇಮರ್ ಪ್ರಮೇಯ(ನಾವು ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡುತ್ತೇವೆ). ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದನ್ನು ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

,

ಇಲ್ಲಿ  j ಎನ್ನುವುದು ಉಚಿತ ಪದಗಳ ಕಾಲಮ್‌ನೊಂದಿಗೆ j-th ಕಾಲಮ್ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ನಿಂದ ಪಡೆದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿದೆ.

ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕ್ರೇಮರ್ ಸೂತ್ರಗಳು.

ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ, ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹಿಂದೆ ಪರಿಹರಿಸಲಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸೋಣ:

ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ವಿಧಾನಗಳ ಅನಾನುಕೂಲಗಳು:

1) ಗಮನಾರ್ಹ ಕಾರ್ಮಿಕ ತೀವ್ರತೆ (ನಿರ್ಣಾಯಕಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಮತ್ತು ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು);

2) ಸೀಮಿತ ವ್ಯಾಪ್ತಿ (ಚದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಹೊಂದಿರುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ).

ನೈಜ ಆರ್ಥಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಂದ ಮಾದರಿಯಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಾಕಷ್ಟು ಮಹತ್ವದ್ದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳಿವೆ.ಆದ್ದರಿಂದ, ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಕೆಳಗಿನ ವಿಧಾನವು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನ (ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಅನುಕ್ರಮ ನಿರ್ಮೂಲನ ವಿಧಾನ)

ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ n ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ m ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರ ಸಾರವು ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ರೂಪಾಂತರಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ, ಅದರ ಸಹಾಯದಿಂದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಅದರ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸುಲಭವಾಗುವ ರೂಪಕ್ಕೆ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ (ಯಾವುದಾದರೂ ಇದ್ದರೆ).

ಎಡಪಂಥೀಯರೂ ಇದೇ ರೀತಿ ಮೇಲಿನ ಭಾಗಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಒಂದು ಹಂತದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಒಂದು ಹಂತದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಬಳಸಿದ ಅದೇ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಇದನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗೆ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಮಾನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರ ನಂತರ, ವಿಸ್ತರಿತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ:

ಅಂತಹ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುವುದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ನೇರವಾಗಿ ಮುಂದಕ್ಕೆಗಾಸ್ ವಿಧಾನ.

ಅನುಗುಣವಾದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಅಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಹಿಮ್ಮುಖವಾಗಿಗಾಸ್ ವಿಧಾನ. ಅದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಕೊನೆಯ (m - r) ಸಮೀಕರಣಗಳು ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ:

ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದಾದರೂ ಇದ್ದರೆ
ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆಗ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಮಾನತೆಯು ತಪ್ಪಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅಸಮಂಜಸವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಯಾವುದೇ ಜಂಟಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ
. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಕೊನೆಯ (m - r) ಸಮೀಕರಣಗಳು ಗುರುತುಗಳು 0 = 0 ಆಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಅವುಗಳನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಬಹುದು (ಅನುಗುಣವಾದ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸಿ).

ಅದರ ನಂತರ, ಸಿಸ್ಟಮ್ ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

r=n ಎಂದಾಗ ನಾವು ಮೊದಲು ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ನಂತರ ಸಿಸ್ಟಮ್ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ:

ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ, x r ಅನ್ನು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ಕಾಣಬಹುದು.

x r ಅನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಂಡು, ನಾವು ಅದರಿಂದ x r -1 ಅನ್ನು ನಿಸ್ಸಂದಿಗ್ಧವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ನಂತರ ಹಿಂದಿನ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ, x r ಮತ್ತು x r -1 ಅನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಂಡು, ನಾವು x r -2, ಇತ್ಯಾದಿಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. x 1 ವರೆಗೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಜಂಟಿ ಮತ್ತು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ.

ಈಗ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಯಾವಾಗ ಆರ್ ಮೂಲಭೂತ(ಮುಖ್ಯ), ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಎಲ್ಲಾ - ಮೂಲಭೂತವಲ್ಲದ(ನಾನ್-ಕೋರ್, ಉಚಿತ). ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣವು ಹೀಗಿರುತ್ತದೆ:

ಈ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಾವು ಮೂಲ ವೇರಿಯೇಬಲ್ x r ಅನ್ನು ಮೂಲಭೂತವಲ್ಲದ ಪದಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು:

ಅಂತಿಮ ಸಮೀಕರಣವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

x r ಬದಲಿಗೆ ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಅದರೊಳಗೆ ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಮೂಲಭೂತ ವೇರಿಯಬಲ್ x r -1 ಅನ್ನು ಮೂಲಭೂತವಲ್ಲದ ಪದಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಇತ್ಯಾದಿ. ವೇರಿಯಬಲ್ಕ್ಸ್ 1 ಗೆ. ಸಿಸ್ಟಮ್ಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ನೀವು ಮೂಲವಲ್ಲದ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಮೀಕರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮೂಲ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ).

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ:

ನಾವು ಮೂಲಭೂತ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ ಆಧಾರದವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು. ನಾವು ಅವರಿಗೆ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಕಾಲಮ್ಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಸಹ ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ ಆಧಾರದ(ಮೂಲ ಕಾಲಮ್ಗಳು), ಅಥವಾ ಮೂಲಭೂತ ಮೈನರ್ಸಿಸ್ಟಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್. ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲವಲ್ಲದ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮೂಲ ಪರಿಹಾರ.

ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಮೂಲ ಪರಿಹಾರವು (4/5; -17/5; 0; 0) ಆಗಿರುತ್ತದೆ (ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳು x 3 ಮತ್ತು x 4 (c 1 ಮತ್ತು c 2) ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಮೂಲ ಅಸ್ಥಿರಗಳು x 1 ಮತ್ತು x 2 ಅನ್ನು ಅವುಗಳ ಮೂಲಕ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ) . ಮೂಲವಲ್ಲದ ಪರಿಹಾರದ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀಡಲು, ನಾವು x 3 ಮತ್ತು x 4 (c 1 ಮತ್ತು c 2) ಅನ್ನು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಮೀಕರಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮೂಲಕ ಉಳಿದ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, c 1 = 1 ಮತ್ತು c 2 = 0 ನೊಂದಿಗೆ, ನಾವು ಮೂಲಭೂತವಲ್ಲದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ - (4/5; -12/5; 1; 0). ಪರ್ಯಾಯದ ಮೂಲಕ ಎರಡೂ ಪರಿಹಾರಗಳು ಸರಿಯಾಗಿವೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಸುಲಭ.

ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೂಲವಲ್ಲದ ಪರಿಹಾರಗಳು ಇರಬಹುದು ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಎಷ್ಟು ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಹಾರಗಳು ಇರಬಹುದು? ರೂಪಾಂತರಗೊಂಡ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಾಲು ಒಂದು ಆಧಾರ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗಬೇಕು. ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ n ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಆರ್ ಬೇಸ್ ಲೈನ್‌ಗಳಿವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೂಲಭೂತ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಸೆಟ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು n ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು 2 ರಿಂದ ಮೀರಬಾರದು. ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರಬಹುದು , ಏಕೆಂದರೆ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಅಂತಹ ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಲು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಈ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಸ್ಥಿರ ಸೆಟ್ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ.

ಇದು ಯಾವ ರೀತಿಯದ್ದು? ಈ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳಿಗೆ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಕಾಲಮ್‌ಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಹೆಜ್ಜೆ ಹಾಕಿದಾಗ ಇದು ಪ್ರಕಾರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ r ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಆ. ಈ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳಿಗೆ ಗುಣಾಂಕದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಯು r ಗೆ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು. ಕಾಲಮ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಇದು ಹೆಚ್ಚಿರಬಾರದು. ಇದು r ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ, ಇದು ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳ ಮೇಲಿನ ಕಾಲಮ್‌ಗಳ ರೇಖೀಯ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಅಂಕಣಗಳು ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಮೇಲೆ ಚರ್ಚಿಸಿದ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಯಾವ ಇತರ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾಲ್ಕು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಪ್ರತಿ ಎರಡು ಮೂಲಭೂತ ಪದಗಳಿಗಿಂತ. ಅಂತಹ ಸಂಯೋಜನೆಗಳು ಇರುತ್ತವೆ
, ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು (x 1 ಮತ್ತು x 2) ಈಗಾಗಲೇ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ.

x 1 ಮತ್ತು x 3 ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಅವರಿಗೆ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ಇದು ಎರಡಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅವು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿರಬಹುದು. x 2 ಮತ್ತು x 4 ಅನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸೋಣ: x 2 = x 4 = 0. ನಂತರ x 1 = 4/5 – (1/5)*x 4 ಸೂತ್ರದಿಂದ x 1 = 4 /5, ಮತ್ತು x 2 = -17/5 + x 3 - - (7/5)*x 4 = -17/5 + x 3 ಸೂತ್ರದಿಂದ x 3 = x 2 +17/5 = 17/ 5. ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಮೂಲ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (4/5; 0; 17/5; 0).

ಅಂತೆಯೇ, ನೀವು ಮೂಲ ಅಸ್ಥಿರ x 1 ಮತ್ತು x 4 - (9/7; 0; 0; -17/7) ಗಾಗಿ ಮೂಲ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು; x 2 ಮತ್ತು x 4 – (0; -9; 0; 4); x 3 ಮತ್ತು x 4 - (0; 0; 9; 4).

ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿನ ಅಸ್ಥಿರ x 2 ಮತ್ತು x 3 ಅನ್ನು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಶ್ರೇಣಿಯು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಎರಡಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ:

.

ಕೆಲವು ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಂದ ಆಧಾರವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು ಸಾಧ್ಯವೇ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಇನ್ನೊಂದು ವಿಧಾನವೂ ಸಾಧ್ಯ. ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಸಿಸ್ಟಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಹಂತ ಹಂತದ ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಅದು ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿತು:

ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ, ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಅನುಗುಣವಾದ ಮೈನರ್‌ಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು. x 2 ಮತ್ತು x 3 ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲಾ ಜೋಡಿಗಳಿಗೆ ಅವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಸುಲಭ, ಅಂದರೆ. ಕಾಲಮ್‌ಗಳು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿವೆ. ಮತ್ತು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳು x 2 ಮತ್ತು x 3 ಇರುವ ಕಾಲಮ್‌ಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ
, ಇದು ಅವರ ರೇಖೀಯ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ

ಆದ್ದರಿಂದ, ಕೊನೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಮೂರನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಮೀಕರಣವು ವಿರೋಧಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ - ಇದು ತಪ್ಪಾದ ಸಮಾನತೆಗೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು 0 = -1, ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅಸಮಂಜಸವಾಗಿದೆ.

ಜೋರ್ಡಾನ್-ಗಾಸ್ ವಿಧಾನ 3 ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದ ಬೆಳವಣಿಗೆಯಾಗಿದೆ. ಇದರ ಮೂಲತತ್ವವೆಂದರೆ ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಒಂದು ರೂಪಕ್ಕೆ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಸಾಲುಗಳು ಅಥವಾ ಕಾಲಮ್‌ಗಳ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯವರೆಗೆ ಗುರುತಿನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ (ಇಲ್ಲಿ r ಸಿಸ್ಟಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿ).

ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ:

ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:

ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ನಾವು ಘಟಕ ಅಂಶವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೂರನೇ ನಿರ್ಬಂಧದಲ್ಲಿ x 2 ಗೆ ಗುಣಾಂಕ 5 ಆಗಿದೆ. ಈ ಕಾಲಮ್‌ನಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿರುವ ಸಾಲುಗಳು ಸೊನ್ನೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ, ಅಂದರೆ. ಕಾಲಮ್ ಅನ್ನು ಸಿಂಗಲ್ ಮಾಡೋಣ. ರೂಪಾಂತರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಇದನ್ನು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ ಕಾಲಮ್ಅನುಮತಿ(ಪ್ರಮುಖ, ಕೀ). ಮೂರನೇ ಮಿತಿ (ಮೂರನೇ ಸಾಲು) ನಾವು ಸಹ ಕರೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಅನುಮತಿ. ನಾನೇ ಅಂಶ, ಇದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಾಲು ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್‌ನ ಛೇದಕದಲ್ಲಿ ನಿಂತಿದೆ (ಇಲ್ಲಿ ಅದು ಒಂದಾಗಿದೆ), ಇದನ್ನು ಸಹ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅನುಮತಿ.

ಮೊದಲ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಈಗ ಗುಣಾಂಕ (-1) ಇದೆ. ಅದರ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಮೂರನೇ ಸಾಲನ್ನು (-1) ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಮೊದಲ ಸಾಲಿನಿಂದ ಕಳೆಯಿರಿ (ಅಂದರೆ ಮೊದಲ ಸಾಲನ್ನು ಮೂರನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿಸಿ).

ಎರಡನೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಗುಣಾಂಕ 2. ಅದರ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಮೂರನೇ ಸಾಲನ್ನು 2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಮೊದಲ ಸಾಲಿನಿಂದ ಕಳೆಯಿರಿ.

ರೂಪಾಂತರದ ಫಲಿತಾಂಶವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಿಂದ ಮೊದಲ ಎರಡು ನಿರ್ಬಂಧಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ದಾಟಬಹುದೆಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಗೋಚರಿಸುತ್ತದೆ (ಅನುಗುಣವಾದ ಸಾಲುಗಳು ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ). ನಾವು ದಾಟೋಣ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎರಡನೆಯದು:

ಆದ್ದರಿಂದ, ಹೊಸ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಒಂದೇ ಕಾಲಮ್ (ಎರಡನೇ) ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ ಘಟಕವು ಎರಡನೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಹೊಸ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣವು ಮೂಲ ವೇರಿಯೇಬಲ್ x 2 ಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಮೊದಲ ಸಾಲಿಗೆ ಬೇಸ್ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡೋಣ. ಇದು x 3 ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಯಾವುದೇ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿರಬಹುದು (ಏಕೆಂದರೆ x 3 ಗೆ ಮೊದಲ ನಿರ್ಬಂಧವು ಶೂನ್ಯ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ x 2 ಮತ್ತು x 3 ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳ ಸೆಟ್ ಇಲ್ಲಿ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ). ನೀವು ಮೊದಲ ಅಥವಾ ನಾಲ್ಕನೇ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

x 1 ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡೋಣ. ನಂತರ ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಂಶವು 5 ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಸಾಲಿನ ಮೊದಲ ಕಾಲಮ್‌ನಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಐದರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಉಳಿದ ಸಾಲುಗಳು (ಅಂದರೆ, ಎರಡನೇ ಸಾಲು) ಮೊದಲ ಕಾಲಮ್‌ನಲ್ಲಿ ಸೊನ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ. ಈಗ ಎರಡನೇ ಸಾಲು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲ, ಆದರೆ 3 ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಎರಡನೇ ಸಾಲಿನಿಂದ ರೂಪಾಂತರಗೊಂಡ ಮೊದಲ ಸಾಲಿನ ಅಂಶಗಳನ್ನು 3 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಕಳೆಯಬೇಕಾಗಿದೆ:

ಫಲಿತಾಂಶದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಿಂದ, ಮೂಲವಲ್ಲದ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಒಂದು ಮೂಲ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಹೊರತೆಗೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು ಮೂಲವನ್ನು ಅನುಗುಣವಾದ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿನ ಉಚಿತ ಪದಗಳಿಗೆ: (0.8; -3.4; 0; 0). ಮೂಲಭೂತವಲ್ಲದವುಗಳ ಮೂಲಕ ಮೂಲಭೂತ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಸಹ ನೀವು ಪಡೆಯಬಹುದು: x 1 = 0.8 - 1.2 x 4; x 2 = -3.4 + x 3 + 1.6x 4. ಈ ಸೂತ್ರಗಳು ಸಿಸ್ಟಮ್‌ಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಅನಂತ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ (x 3 ಮತ್ತು x 4 ಅನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಮೀಕರಿಸುವುದು, ನೀವು x 1 ಮತ್ತು x 2 ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು).

ಜೋರ್ಡಾನ್-ಗಾಸ್ ವಿಧಾನದ ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲಿ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಸಾರವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ:

1) ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ರೇಖೆಯನ್ನು ಅದರ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಘಟಕವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಅಂಶದಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗಿದೆ,

2) ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಸಾಲುಗಳಿಂದ, ರೂಪಾಂತರಗೊಂಡ ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಂಶವನ್ನು ಕಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಈ ಅಂಶದ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಪರಿಹರಿಸುವ ಕಾಲಮ್‌ನಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿರುವ ಅಂಶದಿಂದ ಗುಣಿಸಿ.

ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ರೂಪಾಂತರಗೊಂಡ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:

ಈ ದಾಖಲೆಯಿಂದ ಸಿಸ್ಟಮ್ A ನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಯು r ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ.

ನಮ್ಮ ತಾರ್ಕಿಕ ಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸಹಕಾರಿಯಾಗುವುದಾದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರವೇ ಎಂದು ನಾವು ಸ್ಥಾಪಿಸಿದ್ದೇವೆ
. ಇದರರ್ಥ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

ಶೂನ್ಯ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ತ್ಯಜಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಶ್ರೇಣಿಯು r ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಕ್ರೋನೆಕರ್-ಕ್ಯಾಪೆಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯ. ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಯು ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಗೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ.

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಯು ಅದರ ರೇಖೀಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ಸಾಲುಗಳ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಯು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ, ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಸಮೀಕರಣಗಳು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನದನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಹೊರಗಿಡಬಹುದು (ಅವುಗಳು ರೇಖೀಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಇತರರ ಸಂಯೋಜನೆ). ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಯು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಇದಲ್ಲದೆ, ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಏಕಕಾಲಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಶ್ರೇಣಿಯು ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ಸಿಸ್ಟಮ್ ಒಂದು ಅನನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಎಂದು ವಾದಿಸಬಹುದು. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅನಂತ ಅನೇಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

1ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಐದು ಸಾಲುಗಳು ಇರಲಿ (ಮೂಲ ಸಾಲು ಕ್ರಮವು 12345 ಆಗಿದೆ). ನಾವು ಎರಡನೇ ಸಾಲು ಮತ್ತು ಐದನೆಯದನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಎರಡನೇ ಸಾಲು ಐದನೇ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಮತ್ತು ಕೆಳಕ್ಕೆ "ಸರಿಸಲು", ನಾವು ಪಕ್ಕದ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಮೂರು ಬಾರಿ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ: ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ (13245), ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ (13425) ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಐದನೇ (13452) ) ನಂತರ, ಐದನೇ ಸಾಲು ಮೂಲ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಎರಡನೆಯ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಐದನೇ ಸಾಲನ್ನು ಕೇವಲ ಎರಡು ಸತತ ಬದಲಾವಣೆಗಳಿಂದ ಮೇಲಕ್ಕೆ "ಶಿಫ್ಟ್" ಮಾಡುವುದು ಅವಶ್ಯಕ: ಐದನೇ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ಸಾಲುಗಳು (13542) ಮತ್ತು ಐದನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ (15342)

2 n ನಿಂದ r ಗೆ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಅವರು ಎನ್-ಎಲಿಮೆಂಟ್ ಸೆಟ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ವಿಭಿನ್ನ ಆರ್-ಎಲಿಮೆಂಟ್ ಉಪವಿಭಾಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ (ಅಂಶಗಳ ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವವುಗಳನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ ಸೆಟ್‌ಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ಆಯ್ಕೆಯ ಕ್ರಮವು ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ). ಇದನ್ನು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ:
. "!" ಚಿಹ್ನೆಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ನಾವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ (ಅಪವರ್ತನೀಯ):
0!=1.)

3 ಈ ವಿಧಾನವು ಹಿಂದೆ ಚರ್ಚಿಸಿದ ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದ ಮುಂದಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಹಿಂದುಳಿದ ಹಂತಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಹೆಸರಿನ ಮೊದಲ ಭಾಗವನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡುತ್ತದೆ.

4 ಉದಾಹರಣೆಗೆ,
.

5ಸಿಸ್ಟಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಘಟಕಗಳಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಎರಡರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಮೊದಲ ಗುಣಾಂಕವು ಏಕತೆಯಾಗುತ್ತದೆ; ಅಥವಾ ಹಾಗೆ

ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾದ ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹವಾಗಿದೆ.

ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನ

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಾವು 7 ನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದೇವೆ. 7 ನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾದ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ x ಮತ್ತು y ಎಂಬ ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ (ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ರೇಖೀಯವಲ್ಲ) ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ (ಸಹಜವಾಗಿ, ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಇತರ ಅಕ್ಷರಗಳಿಂದ ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಬಹುದು, ಅದು ಅಪ್ರಸ್ತುತವಾಗುತ್ತದೆ). ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ನಾವು ಈ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದೇವೆ, ಎರಡು-ಅಂಕಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಗೆ ಕಾರಣವಾದಾಗ, ಇದು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದೆ. ನಾವು ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದ್ದೇವೆ (§ 4 ರಿಂದ ಉದಾಹರಣೆ 1 ನೋಡಿ).

x, y ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್.

1. ಸಿಸ್ಟಂನ ಒಂದು ಸಮೀಕರಣದಿಂದ x ನ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ y ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ.
2. ಸಿಸ್ಟಂನ ಮತ್ತೊಂದು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ y ಬದಲಿಗೆ ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬದಲಿಸಿ.
3. x ಗಾಗಿ ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.
4. ಮೊದಲ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಪಡೆದ x ಯ ಮೂಲಕ x ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ x ಬದಲಿಗೆ ಮೂರನೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ ಬದಲಿಸಿ.
5. ಉತ್ತರವನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಮೂರನೇ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಜೋಡಿ ಮೌಲ್ಯಗಳ (x; y) ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ.

4) y ಯ ಕಂಡುಬರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು x = 5 - 3 ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಒಂದೊಂದಾಗಿ ಬದಲಿಸಿ. ಆಗಿದ್ದರೆ
5) ಜೋಡಿಗಳು (2; 1) ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣಗಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳು.

ಉತ್ತರ: (2; 1);

ಬೀಜಗಣಿತ ಸೇರ್ಪಡೆ ವಿಧಾನ

ಈ ವಿಧಾನವು ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನದಂತೆ, 7 ನೇ ತರಗತಿಯ ಬೀಜಗಣಿತ ಕೋರ್ಸ್‌ನಿಂದ ನಿಮಗೆ ಪರಿಚಿತವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು. ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿಧಾನದ ಸಾರವನ್ನು ನಾವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 2.ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳನ್ನು 3 ರಿಂದ ಗುಣಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬದಲಾಗದೆ ಬಿಡಿ:
ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅದರ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಕಳೆಯಿರಿ:

ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನೀಡಿದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗಿಂತ ಸರಳವಾದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಯಿತು. ಈ ಸರಳವಾದ ಸಮೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ ನಾವು ನೀಡಿದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಯಾವುದೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಹಕ್ಕನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಎರಡನೆಯದು. ನಂತರ ಸಮೀಕರಣಗಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಸರಳವಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ y ಬದಲಿಗೆ ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

x ನ ಕಂಡುಬರುವ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ

x = 2 ಆಗಿದ್ದರೆ

ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಎರಡು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ:

ಹೊಸ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ವಿಧಾನ

8 ನೇ ತರಗತಿಯ ಬೀಜಗಣಿತ ಕೋರ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ವೇರಿಯಬಲ್‌ನೊಂದಿಗೆ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಹೊಸ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ನೀವು ಪರಿಚಯಿಸಿದ್ದೀರಿ. ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಈ ವಿಧಾನದ ಸಾರವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ತಾಂತ್ರಿಕ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸುವ ಕೆಲವು ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳಿವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 3.ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

ಹೊಸ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ ನಂತರ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸರಳವಾದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು: ವೇರಿಯಬಲ್ t ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ:

ಈ ಎರಡೂ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ವೇರಿಯಬಲ್ t ನೊಂದಿಗೆ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳಾಗಿವೆ. ಆದರೆ ಇದರರ್ಥ ನಾವು x = 2y ಅನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಅಥವಾ
ಹೀಗಾಗಿ, ಹೊಸ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು "ಶ್ರೇಣೀಕರಿಸಲು" ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆ, ಇದು ನೋಟದಲ್ಲಿ ಸಾಕಷ್ಟು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿತ್ತು, ಎರಡು ಸರಳ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿ:

x = 2 y; y - 2x.

ಮುಂದೇನು? ಮತ್ತು ನಂತರ ಪಡೆದ ಎರಡು ಸರಳ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ x 2 - y 2 = 3 ಸಮೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕು, ಅದು ನಮಗೆ ಇನ್ನೂ ನೆನಪಿಲ್ಲ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸಮಸ್ಯೆಯು ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಬರುತ್ತದೆ:

ನಾವು ಮೊದಲ ಸಿಸ್ಟಮ್, ಎರಡನೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಮತ್ತು ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಜೋಡಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕು. ಸಮೀಕರಣಗಳ ಮೊದಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ:

ಬದಲಿ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸೋಣ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಇಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವೂ ಸಿದ್ಧವಾಗಿದೆ: ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ x ಬದಲಿಗೆ 2y ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬದಲಿಸೋಣ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

x = 2y ರಿಂದ, ನಾವು ಕ್ರಮವಾಗಿ, x 1 = 2, x 2 = 2 ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ನೀಡಿರುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಎರಡು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ: (2; 1) ಮತ್ತು (-2; -1). ಸಮೀಕರಣಗಳ ಎರಡನೇ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ:

ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಬಳಸೋಣ: ಸಿಸ್ಟಂನ ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ y ಬದಲಿಗೆ 2x ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬದಲಿಸಿ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಹೀಗಾಗಿ, ಮೊದಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.

ಉತ್ತರ: (2; 1); (-2;-1).

ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಹೊಸ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಎರಡು ಆವೃತ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೊದಲ ಆಯ್ಕೆ: ಒಂದು ಹೊಸ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಒಂದು ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ 3 ರಲ್ಲಿ ಇದು ನಿಖರವಾಗಿ ಏನಾಯಿತು. ಎರಡನೇ ಆಯ್ಕೆ: ಎರಡು ಹೊಸ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಎರಡೂ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಉದಾಹರಣೆ 4 ರಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 4.ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

ಎರಡು ಹೊಸ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ:

ನಂತರ ಅದನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸರಳವಾದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯಲು ಇದು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಹೊಸ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ a ಮತ್ತು b:

a = 1 ರಿಂದ, ನಂತರ a + 6 = 2 ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: 1 + 6 = 2; 6=1. ಹೀಗಾಗಿ, a ಮತ್ತು b ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ನಾವು ಒಂದು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ:

ಅಸ್ಥಿರ x ಮತ್ತು y ಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ, ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಬೀಜಗಣಿತದ ಸೇರ್ಪಡೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ನಾವು ಅನ್ವಯಿಸೋಣ:

ಅಂದಿನಿಂದ 2x + y = 3 ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:
ಹೀಗಾಗಿ, x ಮತ್ತು y ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ನಾವು ಒಂದು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ:

ಈ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಆದರೆ ಗಂಭೀರವಾದ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಸಂಭಾಷಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಮುಕ್ತಾಯಗೊಳಿಸೋಣ. ವಿವಿಧ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ನೀವು ಈಗಾಗಲೇ ಕೆಲವು ಅನುಭವವನ್ನು ಪಡೆದಿದ್ದೀರಿ: ರೇಖೀಯ, ಚತುರ್ಭುಜ, ತರ್ಕಬದ್ಧ, ಅಭಾಗಲಬ್ಧ. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮುಖ್ಯ ಆಲೋಚನೆಯು ಒಂದು ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಕ್ರಮೇಣವಾಗಿ ಚಲಿಸುವುದು ಎಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ, ಸರಳವಾದ, ಆದರೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ನಾವು ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಸಮಾನತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಸಹ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.

x ಮತ್ತು y ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಎರಡು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಎರಡೂ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಸಮಾನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾವು ಚರ್ಚಿಸಿದ ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ವಿಧಾನಗಳು (ಬದಲಿ, ಬೀಜಗಣಿತ ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು ಹೊಸ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವುದು) ಸಮಾನತೆಯ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸರಿಯಾಗಿವೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಈ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಒಂದು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ, ಸರಳವಾದ ಆದರೆ ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನ

ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನ, ಬೀಜಗಣಿತ ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು ಹೊಸ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಪರಿಚಯದಂತಹ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮತ್ತು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕೆಂದು ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ. ಹಿಂದಿನ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ನೀವು ಈಗಾಗಲೇ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಈಗ ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ. ಅಂದರೆ, ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರ ವಿಧಾನದ ಬಗ್ಗೆ ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವುದನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸೋಣ.

ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿದೆ, ಹಾಗೆಯೇ ಈ ಬಿಂದುಗಳ ಛೇದಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ. ಗ್ರಾಫ್ಗಳು. ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಈ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು (x; y).

ಸಮೀಕರಣಗಳ ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಒಂದೇ ಸರಿಯಾದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದು ಅಥವಾ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದು ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರದಿರುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಡಬೇಕು.

ಈಗ ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ನೋಡೋಣ. ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ರೇಖೆಗಳು ಛೇದಿಸಿದರೆ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅನನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಾಲುಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ನೇರ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಹೊಂದಿಕೆಯಾದರೆ, ಅಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅನೇಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ.

ಸರಿ, ಈಗ ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು 2 ಅಪರಿಚಿತರೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ನೋಡೋಣ:

ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಮೊದಲು ನಾವು 1 ನೇ ಸಮೀಕರಣದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತೇವೆ;
ಎರಡನೇ ಹಂತವು ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು;
ಮೂರನೆಯದಾಗಿ, ನಾವು ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಛೇದಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.
ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ಪ್ರತಿ ಛೇದಕ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ನೋಡೋಣ. ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನಮಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

1. ಮೊದಲಿಗೆ, ನಾವು ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತೇವೆ: x2+y2=9.

ಆದರೆ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಈ ಗ್ರಾಫ್ ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವೃತ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ತ್ರಿಜ್ಯವು ಮೂರು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು.

2. ನಮ್ಮ ಮುಂದಿನ ಹಂತವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಗ್ರಾಫ್ ಮಾಡುವುದು: y = x – 3.

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಅಂಕಗಳನ್ನು (0;-3) ಮತ್ತು (3;0) ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

3. ನಮಗೆ ಏನು ಸಿಕ್ಕಿತು ಎಂದು ನೋಡೋಣ. ಸರಳ ರೇಖೆಯು ವೃತ್ತವನ್ನು ಅದರ ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ.

ಈಗ ನಾವು ಈ ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತಿದ್ದೇವೆ. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು (3;0) ಪಾಯಿಂಟ್ A ಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು (0;-3) ಪಾಯಿಂಟ್ B ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುವುದನ್ನು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ.

ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ನಾವು ಏನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ?

ರೇಖೆಯು ವೃತ್ತವನ್ನು ಛೇದಿಸಿದಾಗ ಪಡೆದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು (3;0) ಮತ್ತು (0;-3) ನಿಖರವಾಗಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಎರಡೂ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳಾಗಿವೆ. ಮತ್ತು ಇದರಿಂದ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ಅಂದರೆ, ಈ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಉತ್ತರವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು: (3;0) ಮತ್ತು (0;-3).