ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಹಳೆಯ ಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಈಗಾಗಲೇ 2 ನೇ ಸಹಸ್ರಮಾನದ BC ಯ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ. ಇ. ಬ್ಯಾಬಿಲೋನಿಯನ್ನರು ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕೆಂದು ತಿಳಿದಿದ್ದರು. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಈ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಸ್‌ನಲ್ಲಿ ತನ್ನ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಏಳಿಗೆಯನ್ನು ತಲುಪಿತು. ನಮ್ಮ ಮುಖ್ಯ ಮೂಲವು ಡಯೋಫಾಂಟಸ್‌ನ ಅಂಕಗಣಿತವಾಗಿದೆ, ಇದು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಅದರಲ್ಲಿ, ಡಯೋಫಾಂಟಸ್ (ಅವನ ಹೆಸರಿನ ನಂತರ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಹೆಸರು ಡಯೋಫಾಂಟೈನ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು) 2 ನೇ ಮತ್ತು 3 ನೇ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಹಲವಾರು ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ನಿರೀಕ್ಷಿಸುತ್ತಾನೆ, ಇದು 19 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗೊಂಡಿತು.

ಸರಳವಾದ ಡಯೋಫಾಂಟೈನ್ ಸಮೀಕರಣಗಳೆಂದರೆ ಕೊಡಲಿ + y = 1 (ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣ, ಮೊದಲ ಪದವಿ) x2 + y2 = z2 (ಮೂರು ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣ, ಎರಡನೇ ಪದವಿ)

ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ; ಅವುಗಳ ಪರಿಹಾರವು 16 ಮತ್ತು 17 ನೇ ಶತಮಾನಗಳಲ್ಲಿ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮುಖ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ.

19 ನೇ ಶತಮಾನದ ಆರಂಭದ ವೇಳೆಗೆ, P. ಫೆರ್ಮಾಟ್, L. ಯೂಲರ್, K. ಗೌಸ್ ಅವರ ಕೃತಿಗಳು ರೂಪದ ಡಯೋಫಾಂಟೈನ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತನಿಖೆ ಮಾಡಿತು: ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, ಅಲ್ಲಿ a, b, c , d, e, f ಸಂಖ್ಯೆಗಳು; x, y ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳು.

ಇದು ಎರಡು ಅಪರಿಚಿತರೊಂದಿಗೆ 2 ನೇ ಹಂತದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ.

ಕೆ.ಗಾಸ್ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ರೂಪಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು, ಇದು ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲವು ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಆಧಾರವಾಗಿದೆ (ಡಯೋಫಾಂಟೈನ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು). ಪ್ರಾಥಮಿಕ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಡಯೋಫಾಂಟೈನ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿವೆ. /p>

ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ವಸ್ತು.

ಕೆಲಸದ ಈ ಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಮೂಲಭೂತ ಗಣಿತದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಪದಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವಿಸ್ತರಣಾ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುಣಾಂಕಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೂಪಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಅಧ್ಯಯನ ಮತ್ತು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1: ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣ, ಇಲ್ಲಿ a, b, c, d, e, f ಸಂಖ್ಯೆಗಳು; x, y ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡನೇ ಹಂತದ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಶಾಲೆಯ ಗಣಿತದ ಕೋರ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ, ax2 + bx + c = 0 ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ a, b, c ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ x ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿದ್ದು, ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್. ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಹಲವು ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ:

1. ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು;

2. ರಲ್ಲಿ ಸಮ ಗುಣಾಂಕದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು (D1= ಪ್ರಕಾರ);

3. ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು;

4. ದ್ವಿಪದದ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಚೌಕವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ಮೂಲಕ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು.

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಎಂದರೆ ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅಥವಾ ಅವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2: ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು, ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ನಿಜವಾದ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3: ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗಿನ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಯಾಗಿ ಮಾಡಿದಾಗ ಜೋಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ (x, y) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು ನಿಜವಾದ ಸಮಾನತೆಯಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಮಾನವಾದ ಸಮೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ ಬದಲಿಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಪರಿಹರಿಸಲು ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಮಾನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 4: ಒಂದು ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪರಿಹಾರವು ಇನ್ನೊಂದು ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಮತ್ತು ಎರಡೂ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಮಾನವೆಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಸಂಪೂರ್ಣ ಚೌಕಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಣದ ವಿಭಜನೆಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿ (ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುಣಾಂಕಗಳ ವಿಧಾನದಿಂದ).

ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 (1), ವಿಸ್ತರಣೆ a(x + py + q)2 + r(y + s)2 + h (2) ನಡೆಯುತ್ತದೆ

ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಮೀಕರಣ (1) ಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಣೆ (2) ನಡೆಯುವ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ನಾವು ರೂಪಿಸೋಣ.

ಪ್ರಮೇಯ: a, b, c ಸಮೀಕರಣದ ಗುಣಾಂಕಗಳು (1) a0 ಮತ್ತು 4ab - c20 ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ, ನಂತರ ವಿಸ್ತರಣೆ (2) ಅನ್ನು ವಿಶಿಷ್ಟ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪ್ರಮೇಯದ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುಣಾಂಕಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗಿನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (2) ರೂಪಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಬಹುದು.

ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುಣಾಂಕಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಹೇಗೆ ಅಳವಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದರ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ವಿಧಾನ ಸಂಖ್ಯೆ 1. ನಿರ್ಧರಿಸದ ಗುಣಾಂಕಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.

1. ಪ್ರಮೇಯದ ಷರತ್ತುಗಳ ನೆರವೇರಿಕೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ, a=2, b=1, c=2, ಅಂದರೆ a=2.4av – c2= 4∙2∙1- 22= 40.

2. ಪ್ರಮೇಯದ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಲಾಗಿದೆ; ಅವುಗಳನ್ನು ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು (2).

3. 2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 2(x + py + q)2 + r(y + s)2 +h, ಪ್ರಮೇಯದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಗುರುತಿನ ಎರಡೂ ಭಾಗಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಗುರುತಿನ ಬಲಭಾಗವನ್ನು ನಾವು ಸರಳಗೊಳಿಸೋಣ.

4. 2(x + py + q)2 + r(y +s)2 +h =

2(x2+ p2y2 + q2 + 2pxy + 2pqy + 2qx) + r(y2 + 2sy + s2) + h =

2x2+ 2p2y2 + 2q2 + 4pxy + 4pqy + 4qx + ry2 + 2rsy + rs2 + h =

X2(2) + y2(2p2 + r) + xy(4p) + x(4q) + y(4pq + 2rs) + (2q2 + rs2 + h).

5. ನಾವು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಶಕ್ತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ.

x2 2 = 2 y21 = 2p2 + r) xy2 = 4p x2 = 4q y0 = 4pq + 2rs x01 = 2q2 + rs2 + h

6. ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯೋಣ, ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ ಮತ್ತು ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

7. ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು (2) ಗೆ ಬದಲಿಸಿ, ನಂತರ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ

2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 2(x + 0.5y + 0.5)2 + 0.5(y -1)2 +0

ಹೀಗಾಗಿ, ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣವು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ

2(x + 0.5y + 0.5)2 + 0.5(y -1)2 = 0 (3), ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉತ್ತರ: (-1; 1).

ನೀವು ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು (3) ಗಮನಿಸಿದರೆ, ಒಂದು ವೇರಿಯಬಲ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಚೌಕವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಆಗಿರುವುದನ್ನು ನೀವು ಗಮನಿಸಬಹುದು: ax2 + inx + c = a(x +)2 +.

ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಈ ತಂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸೋಣ. ಸಂಪೂರ್ಣ ಚೌಕದ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಪರಿಹರಿಸೋಣ, ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗಿನ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ವಿಧಾನ ಸಂಖ್ಯೆ 2: 2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ: 1. 2x2 ಅನ್ನು x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0 ಎಂಬ ಎರಡು ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಊಹಿಸೋಣ.

2. ಸಂಪೂರ್ಣ ಚೌಕದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಪದರ ಮಾಡುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪದಗಳನ್ನು ಗುಂಪು ಮಾಡೋಣ.

(x2 + y2 + 2xy) + (x2 + 2x +1) = 0.

3. ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ.

(x + y)2 + (x + 1)2 = 0.

4. ಈ ಸಮೀಕರಣವು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉತ್ತರ: (-1;1).

ನೀವು ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡಿದರೆ, ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿಧಾನ ಸಂಖ್ಯೆ 1 ರ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಲಾದ ಸಮೀಕರಣ ಮತ್ತು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುಣಾಂಕಗಳ ವಿಧಾನ ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣ ಚೌಕದ ಹೊರತೆಗೆಯುವಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿಧಾನ ಸಂಖ್ಯೆ 2 ರಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಲಾದ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನೀವು ನೋಡಬಹುದು.

ತೀರ್ಮಾನ: ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಎರಡು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು:

➢ ಮೊದಲ ವಿಧಾನವು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುಣಾಂಕಗಳ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ, ಇದು ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ (2).

➢ ಎರಡನೆಯ ಮಾರ್ಗವು ಗುರುತಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು ನಿಮಗೆ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.

ಸಹಜವಾಗಿ, ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಎರಡನೆಯ ವಿಧಾನವು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ವಿಸ್ತರಣೆ (2) ಮತ್ತು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಮೂರು ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಸಹ ಬಳಸಬಹುದು. ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಚೌಕವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಶ್ರಮದಾಯಕವಾಗಿದೆ. ಮುಂದಿನ ವರ್ಷ ನಾನು ಈ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇನೆ.

ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾಗಿದೆ: f(x,y) = ax2 + vxy + cy2 + dx + ey + f ಅನ್ನು ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗಣಿತದ ವಿವಿಧ ಶಾಖೆಗಳಲ್ಲಿ ಚತುರ್ಭುಜ ಕಾರ್ಯಗಳು ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರವಹಿಸುತ್ತವೆ:

ಗಣಿತದ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್‌ನಲ್ಲಿ (ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್)

ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ (ಚತುರ್ಭುಜ ರೂಪಗಳು)

ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ (ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸುವುದು).

ಈ ವಿವಿಧ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಒಂದು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ (ಒಂದು, ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಸ್ಥಿರಗಳು) ಸಂಪೂರ್ಣ ಚೌಕವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಇದು ವೃತ್ತ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತ, ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ.

ಈ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವಾಗ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಚೌಕವನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಪೂರ್ಣ ಚೌಕವನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ವಿಧಾನವು ಹೇಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಭಾಗ.

ಸಂಪೂರ್ಣ ಚೌಕವನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

1. 2x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0; x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0;

(x +1)2 + (x + y)2 = 0;

ಉತ್ತರ:(-1;1).

2. x2 + 5y2 + 2xy + 4y + 1 = 0; x2 + 4y2 + y2 + 2xy + 4y + 1 = 0;

(x + y)2 + (2y + 1)2 = 0;

ಉತ್ತರ: (0.5; - 0.5).

3. 3x2 + 4y2 - 6xy - 2y + 1 = 0;

3x2 + 3y2 + y2 - 6xy - 2y +1 = 0;

3x2 +3y2 – 6xy + y2 –2y +1 = 0;

3(x2 - 2xy + y2) + y2 - 2y + 1 = 0;

3(x2 - 2xy + y2)+(y2 - 2y + 1)=0;

3(x-y)2 + (y-1)2 = 0;

ಉತ್ತರ:(-1;1).

ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:

1. 2x2 + 3y2 – 4xy + 6y +9 =0

(ಫಾರ್ಮ್‌ಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿ: 2(x-y)2 + (y +3)2 = 0)

ಉತ್ತರ: (-3; -3)

2. – 3x2 – 2y2 – 6xy –2y + 1=0

(ಫಾರ್ಮ್‌ಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿ: -3(x+y)2 + (y –1)2= 0)

ಉತ್ತರ: (-1; 1)

3. x2 + 3y2+2xy + 28y +98 =0

(ಫಾರ್ಮ್‌ಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿ: (x+y)2 +2(y+7)2 =0)

ಉತ್ತರ: (7; -7)

ತೀರ್ಮಾನ.

ಈ ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಕೆಲಸದಲ್ಲಿ, ಎರಡನೇ ಪದವಿಯ ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಯಿತು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕಾರ್ಯವು ಪೂರ್ಣಗೊಂಡಿದೆ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಚೌಕವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಮಾನವಾದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯೊಂದಿಗೆ ಬದಲಿಸುವ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಪರಿಹಾರದ ಒಂದು ಚಿಕ್ಕ ವಿಧಾನವನ್ನು ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವು ಸರಳೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಕೆಲಸದ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶವೆಂದರೆ, ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ತಂತ್ರವನ್ನು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ವಿವಿಧ ಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವಾಗ ಮತ್ತು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ದೊಡ್ಡ (ಚಿಕ್ಕ) ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾಗ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗಿನ ಎರಡನೇ-ಕ್ರಮದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಚೌಕಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ವಿಭಜಿಸುವ ತಂತ್ರವು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ವಿಷಯ:ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯ

ಪಾಠ:ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣ ಮತ್ತು ಅದರ ಗ್ರಾಫ್

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷ ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಪರಿಚಿತರಾಗಿದ್ದೇವೆ. ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವು ಒಂದು ಜೋಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು (x; y) ಅನನ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ, ಮೊದಲ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಬಿಂದುವಿನ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಎದುರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅದರ ಪರಿಹಾರವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದಾದ ಜೋಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು.

ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣ:

ಅಲ್ಲಿ a, b, c ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಮತ್ತು

ಇದನ್ನು x ಮತ್ತು y ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವು ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ ಜೋಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ x ಮತ್ತು y ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದನ್ನು ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ನಾವು ಸರಿಯಾದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಒಂದು ಜೋಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಬಿಂದುವಾಗಿ ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ನಾವು ಅನೇಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ, ಅನೇಕ ಜೋಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಅನುಗುಣವಾದ ಬಿಂದುಗಳು ಒಂದೇ ನೇರ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತವೆ.

ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ:

ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನೀವು x ಮತ್ತು y ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ:

ಲೆಟ್ , ನಂತರ ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದು ಅಜ್ಞಾತದೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ:

,

ಅಂದರೆ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (0; 3) ಪರಿಹಾರವಾಗಿರುವ ಮೊದಲ ಜೋಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ನಮಗೆ ಪಾಯಿಂಟ್ A (0; 3) ಸಿಕ್ಕಿತು

ಅವಕಾಶ . ನಾವು ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನೊಂದಿಗೆ ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: , ಇಲ್ಲಿಂದ, ನಮಗೆ ಪಾಯಿಂಟ್ ಬಿ (3; 0) ಸಿಕ್ಕಿತು

ಜೋಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಇಡೋಣ:

ಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ಸೆಳೆಯೋಣ:

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವು ನೀಡಿದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ - ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಎರಡನೇ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿ. ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಈ ಜೋಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸೋಣ. ನಾವು 0=0 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ - ಸರಿಯಾದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಮಾನತೆ, ಅಂದರೆ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಬಿಂದುವು ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.

ಸದ್ಯಕ್ಕೆ, ನಿರ್ಮಿಸಿದ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಇದನ್ನು ನಿಜವೆಂದು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2 - ಸಮೀಕರಣದ ಗ್ರಾಫ್:

ನಾವು ಟೇಬಲ್ ತಯಾರಿಸೋಣ; ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ನಮಗೆ ಕೇವಲ ಎರಡು ಅಂಕಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ನಿಯಂತ್ರಣಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಮೂರನೆಯದನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ಮೊದಲ ಕಾಲಮ್ನಲ್ಲಿ ನಾವು ಅನುಕೂಲಕರವಾದ ಒಂದನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

, ,

ಎರಡನೇ ಕಾಲಮ್ನಲ್ಲಿ ನಾವು ಅನುಕೂಲಕರವಾದ ಒಂದನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ, ನಾವು x ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

, , ,

ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

, ,

ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ:

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಎರಡರಿಂದ ಗುಣಿಸೋಣ:

ಅಂತಹ ರೂಪಾಂತರದಿಂದ, ಪರಿಹಾರಗಳ ಸೆಟ್ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಗ್ರಾಫ್ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ತೀರ್ಮಾನ: ನಾವು ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ, ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣದ ಗ್ರಾಫ್ ಸರಳ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಈ ಸಾಲಿನ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ.

1. ಡೊರೊಫೀವ್ ಜಿ.ವಿ., ಸುವೊರೊವಾ ಎಸ್.ಬಿ., ಬುನಿಮೊವಿಚ್ ಇ.ಎ. ಮತ್ತು ಇತರರು ಬೀಜಗಣಿತ 7. 6ನೇ ಆವೃತ್ತಿ. ಎಂ.: ಜ್ಞಾನೋದಯ. 2010

2. ಮೆರ್ಜ್ಲ್ಯಾಕ್ ಎ.ಜಿ., ಪೊಲೊನ್ಸ್ಕಿ ವಿ.ಬಿ., ಯಾಕಿರ್ ಎಂ.ಎಸ್. ಬೀಜಗಣಿತ 7. M.: VENTANA-GRAF

3. ಕೊಲಿಯಾಗಿನ್ ಯು.ಎಂ., ಟ್ಕಾಚೆವಾ ಎಂ.ವಿ., ಫೆಡೋರೊವಾ ಎನ್.ಇ. ಮತ್ತು ಇತರರು ಬೀಜಗಣಿತ 7.M.: ಜ್ಞಾನೋದಯ. 2006

2. ಕುಟುಂಬ ವೀಕ್ಷಣೆಗಾಗಿ ಪೋರ್ಟಲ್ ().

ಕಾರ್ಯ 1: ಮೆರ್ಜ್ಲ್ಯಾಕ್ ಎ.ಜಿ., ಪೊಲೊನ್ಸ್ಕಿ ವಿ.ಬಿ., ಯಾಕಿರ್ ಎಂ.ಎಸ್. ಬೀಜಗಣಿತ 7, ಸಂಖ್ಯೆ 960, ಕಲೆ 210;

ಕಾರ್ಯ 2: ಮೆರ್ಜ್ಲ್ಯಾಕ್ ಎ.ಜಿ., ಪೊಲೊನ್ಸ್ಕಿ ವಿ.ಬಿ., ಯಾಕಿರ್ ಎಂ.ಎಸ್. ಬೀಜಗಣಿತ 7, ಸಂಖ್ಯೆ 961, ಕಲೆ 210;

ಕಾರ್ಯ 3: ಮೆರ್ಜ್ಲ್ಯಾಕ್ ಎ.ಜಿ., ಪೊಲೊನ್ಸ್ಕಿ ವಿ.ಬಿ., ಯಾಕಿರ್ ಎಂ.ಎಸ್. ಬೀಜಗಣಿತ 7, ಸಂಖ್ಯೆ 962, ಕಲೆ 210;

7 ನೇ ತರಗತಿಯ ಗಣಿತ ಕೋರ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ, ನಾವು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಎದುರಿಸುತ್ತೇವೆ ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ಆದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಎರಡು ಅಜ್ಞಾತಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಸಮೀಕರಣದ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮೇಲೆ ಕೆಲವು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸರಣಿಯು ದೃಷ್ಟಿಗೆ ಬೀಳುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, "ನೈಸರ್ಗಿಕ ಅಥವಾ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ" ನಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಸಹ ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೂ ಈ ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷಾ ಸಾಮಗ್ರಿಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಪ್ರವೇಶ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ.

ಯಾವ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ?

ಆದ್ದರಿಂದ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20, ಅಥವಾ xy = 12 ಸಮೀಕರಣಗಳು ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿವೆ.

2x - y = 1 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಇದು x = 2 ಮತ್ತು y = 3 ಆಗಿದ್ದಾಗ ನಿಜವಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಜೋಡಿ ವೇರಿಯಬಲ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಪ್ರಶ್ನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗಿನ ಯಾವುದೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವು ಆದೇಶಿಸಿದ ಜೋಡಿಗಳ ಒಂದು ಗುಂಪಾಗಿದೆ (x; y), ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಿಜವಾದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಮಾನತೆಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು.

ಎರಡು ಅಪರಿಚಿತರೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣವು ಹೀಗಿರಬಹುದು:

ಎ) ಒಂದು ಪರಿಹಾರವಿದೆ.ಉದಾಹರಣೆಗೆ, x 2 + 5y 2 = 0 ಸಮೀಕರಣವು ವಿಶಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (0; 0);

b) ಬಹು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ.ಉದಾಹರಣೆಗೆ, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 4 ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

ವಿ) ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.ಉದಾಹರಣೆಗೆ, x 2 + y 2 + 1 = 0 ಸಮೀಕರಣವು ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ;

ಜಿ) ಅನಂತ ಅನೇಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ.ಉದಾಹರಣೆಗೆ, x + y = 3. ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅದರ ಮೊತ್ತವು 3 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ (k; 3 - k) ಬರೆಯಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ k ಯಾವುದೇ ನೈಜವಾಗಿದೆ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮುಖ್ಯ ವಿಧಾನಗಳೆಂದರೆ ಅಪವರ್ತನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವಿಧಾನಗಳು, ಸಂಪೂರ್ಣ ಚೌಕವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವುದು, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು, ಸೀಮಿತ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಮತ್ತು ಅಂದಾಜು ವಿಧಾನಗಳು. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಒಂದು ರೂಪವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರಿಂದ ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.

ಅಪವರ್ತನ

ಉದಾಹರಣೆ 1.

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: xy – 2 = 2x – y.

ಪರಿಹಾರ.

ಅಪವರ್ತನೀಕರಣದ ಉದ್ದೇಶಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಗುಂಪು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:

(xy + y) - (2x + 2) = 0. ಪ್ರತಿ ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ನಿಂದ ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y - 2) = 0. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

y = 2, x – ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ ಅಥವಾ x = -1, y – ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಉತ್ತರವು ರೂಪದ ಎಲ್ಲಾ ಜೋಡಿಗಳು (x; 2), x € R ಮತ್ತು (-1; y), y € R.

ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಮಾನತೆ

ಉದಾಹರಣೆ 2.

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

ಪರಿಹಾರ.

ಗುಂಪುಗಾರಿಕೆ:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. ಈಗ ಪ್ರತಿ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಅನ್ನು ವರ್ಗ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ ಮಡಚಬಹುದು.

(3x - 2) 2 + (2y - 3) 2 = 0.

ಎರಡು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಮೊತ್ತವು 3x – 2 = 0 ಮತ್ತು 2y – 3 = 0 ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಇದರರ್ಥ x = 2/3 ಮತ್ತು y = 3/2.

ಉತ್ತರ: (2/3; 3/2).

ಅಂದಾಜು ವಿಧಾನ

ಉದಾಹರಣೆ 3.

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.

ಪರಿಹಾರ.

ಪ್ರತಿ ಬ್ರಾಕೆಟ್ನಲ್ಲಿ ನಾವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಚೌಕವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:

((x + 1) 2 + 1)((y - 2) 2 + 2) = 2. ಅಂದಾಜು ಮಾಡೋಣ ಆವರಣದಲ್ಲಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಅರ್ಥ.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 ಮತ್ತು (y - 2) 2 + 2 ≥ 2, ನಂತರ ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗವು ಯಾವಾಗಲೂ ಕನಿಷ್ಠ 2 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಮಾನತೆ ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ:

(x + 1) 2 + 1 = 1 ಮತ್ತು (y - 2) 2 + 2 = 2, ಅಂದರೆ x = -1, y = 2.

ಉತ್ತರ: (-1; 2).

ಎರಡನೇ ಪದವಿಯ ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಇನ್ನೊಂದು ವಿಧಾನದೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳೋಣ. ಈ ವಿಧಾನವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಕೆಲವು ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಚೌಕ.

ಉದಾಹರಣೆ 4.

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

ಪರಿಹಾರ.

x ಗಾಗಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸೋಣ. ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . ಸಮೀಕರಣವು D = 0 ಆಗಿರುವಾಗ ಮಾತ್ರ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ y = 4. ನಾವು y ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು x = 3 ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ.

ಉತ್ತರ: (3; 4).

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಎರಡು ಅಪರಿಚಿತರೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಅವರು ಸೂಚಿಸುತ್ತಾರೆ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೇಲಿನ ನಿರ್ಬಂಧಗಳು.

ಉದಾಹರಣೆ 5.

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಿ: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

ಪರಿಹಾರ.

x 2 = -5y 2 + 20x + 2 ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯೋಣ. 5 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗವು 2 ರ ಶೇಷವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, x 2 ಅನ್ನು 5 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದರೆ a ನ ವರ್ಗ 5 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗದ ಸಂಖ್ಯೆಯು 1 ಅಥವಾ 4 ರ ಶೇಷವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಸಮಾನತೆ ಅಸಾಧ್ಯ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳಿಲ್ಲ.

ಉತ್ತರ: ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ.

ಉದಾಹರಣೆ 6.

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

ಪರಿಹಾರ.

ಪ್ರತಿ ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ನಲ್ಲಿನ ಸಂಪೂರ್ಣ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡೋಣ:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗವು ಯಾವಾಗಲೂ 3 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಮಾನತೆ ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ ಒದಗಿಸಲಾಗಿದೆ |x| – 2 = 0 ಮತ್ತು y + 3 = 0. ಹೀಗಾಗಿ, x = ± 2, y = -3.

ಉತ್ತರ: (2; -3) ಮತ್ತು (-2; -3).

ಉದಾಹರಣೆ 7.

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಪ್ರತಿ ಜೋಡಿ ಋಣಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ (x;y).
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, ಮೊತ್ತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ (x + y). ದಯವಿಟ್ಟು ನಿಮ್ಮ ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ ಚಿಕ್ಕ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸೂಚಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ಸಂಪೂರ್ಣ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡೋಣ:

(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. x ಮತ್ತು y ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅವುಗಳ ವರ್ಗಗಳು ಸಹ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ. ನಾವು 1 + 36 ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಿದರೆ 37 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಎರಡು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ:

(x – y) 2 = 36 ಮತ್ತು (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 ಮತ್ತು (y + 2) 2 = 36.

ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಮತ್ತು x ಮತ್ತು y ಋಣಾತ್ಮಕವೆಂದು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ನಾವು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

ಉತ್ತರ:-17.

ಎರಡು ಅಪರಿಚಿತರೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಕಷ್ಟವಾಗಿದ್ದರೆ ಹತಾಶೆ ಮಾಡಬೇಡಿ. ಸ್ವಲ್ಪ ಅಭ್ಯಾಸದೊಂದಿಗೆ, ನೀವು ಯಾವುದೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಿಭಾಯಿಸಬಹುದು.

ಇನ್ನೂ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿವೆಯೇ? ಎರಡು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಎಂದು ತಿಳಿದಿಲ್ಲವೇ?
ಬೋಧಕರಿಂದ ಸಹಾಯ ಪಡೆಯಲು -.
ಮೊದಲ ಪಾಠ ಉಚಿತ!

blog.site, ವಸ್ತುವನ್ನು ಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅಥವಾ ಭಾಗಶಃ ನಕಲಿಸುವಾಗ, ಮೂಲ ಮೂಲಕ್ಕೆ ಲಿಂಕ್ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

ಎರಡು ಅಪರಿಚಿತರೊಂದಿಗೆ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1. A ಕೆಲವು ಆಗಿರಲಿ ಜೋಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ (X; ವೈ) ಎ ಸೆಟ್ ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅವರು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ ಸಂಖ್ಯಾ ಕಾರ್ಯ z ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಂದ x ಮತ್ತು y , ಒಂದು ನಿಯಮವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದರೆ ಅದರ ಸಹಾಯದಿಂದ A ಸೆಟ್‌ನಿಂದ ಪ್ರತಿ ಜೋಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿವೆ.

x ಮತ್ತು y ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯ z ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆಆದ್ದರಿಂದ:

ಎಲ್ಲಿ f (X , ವೈ) - ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯ

f (X , ವೈ) = ಕೊಡಲಿ+ಮೂಲಕ+ಸಿ ,

ಅಲ್ಲಿ a, b, c ಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು (2)ಒಂದು ಜೋಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಕರೆ ಮಾಡಿ ( X; ವೈ), ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಸೂತ್ರ (2) ನಿಜವಾದ ಸಮಾನತೆಯಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗವು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಕಾರಣ, ಅಜ್ಞಾತ x ಮತ್ತು y ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಸೂತ್ರವನ್ನು (4) ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ

ಒಂದು ಜೋಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪರಿಹಾರ (6; 3).

ಉತ್ತರ: (6; 3)

ಉದಾಹರಣೆ 2. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರ (6) ಆಗಿದೆ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಜೋಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳುರೀತಿಯ

(1 + ವೈ ; ವೈ) ,

ಅಲ್ಲಿ y ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ.

ರೇಖೀಯ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 4. ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

ಒಂದು ಜೋಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಕರೆ ಮಾಡಿ ( X; ವೈ), ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಿದಾಗ, ಸರಿಯಾದ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ರೇಖೀಯ, ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ

ಜಿ(X , ವೈ)

ಉದಾಹರಣೆ 4. ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

ಪರಿಹಾರ . ಅಜ್ಞಾತ y ಅನ್ನು ಸಿಸ್ಟಂನ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ (7) ಅಜ್ಞಾತ x ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸೋಣ:

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

X 1 = - 1 , X 2 = 9 .

ಆದ್ದರಿಂದ,

ವೈ 1 = 8 - X 1 = 9 ,
ವೈ 2 = 8 - X 2 = - 1 .

ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಏಕರೂಪವಾಗಿದೆ

ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಏಕರೂಪವಾಗಿದೆ, ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ

ಅಲ್ಲಿ a, b, c ಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಜಿ(X , ವೈ) - x ಮತ್ತು y ಎಂಬ ಎರಡು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ಕಾರ್ಯ.

ಉದಾಹರಣೆ 6. ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

ಪರಿಹಾರ . ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ

3X 2 + 2xy - ವೈ 2 = 0 ,

3X 2 + 17xy + 10ವೈ 2 = 0 ,

ಅಜ್ಞಾತ x ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಇದನ್ನು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸುವುದು:

.

ಒಂದು ವೇಳೆ X = - 5ವೈ, ಸಿಸ್ಟಮ್ (11) ನ ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

5ವೈ 2 = - 20 ,

ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲದ.

ಒಂದು ವೇಳೆ

ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ (11) ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

,

ಅವರ ಬೇರುಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ ವೈ 1 = 3 , ವೈ 2 = - 3 . ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ y ಅನುಗುಣವಾದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು x, ನಾವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಎರಡು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3) .

ಉತ್ತರ: (- 2 ; 3), (2 ; - 3)

ಇತರ ಪ್ರಕಾರಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಉದಾಹರಣೆ 8. ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ (MIPT)

ಪರಿಹಾರ . ಸೂತ್ರಗಳ ಪ್ರಕಾರ x ಮತ್ತು y ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾದ ಹೊಸ ಅಪರಿಚಿತ u ಮತ್ತು v ಅನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ:

ಸಿಸ್ಟಮ್ (12) ಅನ್ನು ಹೊಸ ಅಪರಿಚಿತರ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯಲು, ನಾವು ಮೊದಲು u ಮತ್ತು v ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಅಜ್ಞಾತ x ಮತ್ತು y ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ (13) ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ

ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವೇರಿಯಬಲ್ x ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಮೂಲಕ ರೇಖೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು (14) ಪರಿಹರಿಸೋಣ. ಈ ಉದ್ದೇಶಕ್ಕಾಗಿ, ನಾವು ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ (14):

• ನಾವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬದಲಾಗದೆ ಬಿಡುತ್ತೇವೆ;
• ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಾವು ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಳೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸದೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಸಿಸ್ಟಮ್ (14) ಸಮಾನವಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ

ಅದರಿಂದ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು (13) ಮತ್ತು (15) ಬಳಸಿ, ನಾವು ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು (12) ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ

ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವು (16) ರೇಖೀಯವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಅದರಿಂದ ಅಜ್ಞಾತ u ಅನ್ನು ಅಜ್ಞಾತ v ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಬಹುದು.

ಸೂಚನೆಗಳು

ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನ ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಎಕ್ಸ್‌ಪ್ರೆಸ್ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಇನ್ನೊಂದು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ. ನಿಮ್ಮ ವಿವೇಚನೆಯಿಂದ ನೀವು ಯಾವುದೇ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ y ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ:
x-y=2 => y=x-2ನಂತರ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ:
2x+(x-2)=10 “x” ಇಲ್ಲದೆಯೇ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ಸರಿಸಿ ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ:
2x+x=10+2
3x=12 ಮುಂದೆ, x ಅನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು 3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ:
x=4. ಆದ್ದರಿಂದ, ನೀವು "x" ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೀರಿ. "y" ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನೀವು "y" ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ "x" ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿ:
y=x-2=4-2=2
y=2.

ಒಂದು ಚೆಕ್ ಮಾಡಿ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿ ಬದಲಿಸಿ:
2*4+2=10
4-2=2
ಅಪರಿಚಿತರು ಸರಿಯಾಗಿ ಕಂಡುಬಂದಿದ್ದಾರೆ!

ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲು ಅಥವಾ ಕಳೆಯಲು ಒಂದು ಮಾರ್ಗವು ಯಾವುದೇ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ತೊಡೆದುಹಾಕಲು. ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ “y.
"y" ನಲ್ಲಿ "+" ಚಿಹ್ನೆ ಇರುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದರಲ್ಲಿ "-", ನಂತರ ನೀವು ಸೇರ್ಪಡೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು, ಅಂದರೆ. ಎಡಭಾಗವನ್ನು ಎಡದಿಂದ ಮತ್ತು ಬಲದಿಂದ ಬಲದಿಂದ ಮಡಿಸಿ:
2x+y+(x-y)=10+2ಪರಿವರ್ತಿಸಿ:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4ಯಾವುದೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ "x" ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿ ಮತ್ತು "y" ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:
2*4+y=10
8+y=10
y=10-8
y=2 1 ನೇ ವಿಧಾನದಿಂದ ಅವು ಸರಿಯಾಗಿ ಕಂಡುಬಂದಿವೆ ಎಂದು ನೀವು ನೋಡಬಹುದು.

ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.
ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ನಾವು "2x" ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದರಲ್ಲಿ ನಾವು ಸರಳವಾಗಿ "x" ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ x ಅನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು, ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು 2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ:
x-y=2
2x-2y=4ನಂತರ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ:
2x+y-(2x-2y)=10-4 ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ನ ಮೊದಲು ಮೈನಸ್ ಇದ್ದರೆ, ತೆರೆದ ನಂತರ ಅದನ್ನು ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸಿ:
2x+y-2x+2y=6
3у=6
ಯಾವುದೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ y=2x ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ, ಅಂದರೆ.
x=4

ವಿಷಯದ ಕುರಿತು ವೀಡಿಯೊ

ಸಲಹೆ 2: ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು

ಸಮೀಕರಣ, ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ax+bу+c=0 ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಎರಡು ಜೊತೆ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಸ್ಥಿರ. ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣವು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ ಯಾವುದನ್ನಾದರೂ ಪೂರಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ - ಮತ್ತೊಂದು ಸಮೀಕರಣ ಅಥವಾ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು. ಸಮಸ್ಯೆಯಿಂದ ಒದಗಿಸಲಾದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಎರಡು ಜೊತೆ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ ಅಸ್ಥಿರವಿವಿಧ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ನಿಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ

• - ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣ;
• - ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣ ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಷರತ್ತುಗಳು.

ಸೂಚನೆಗಳು

ಎರಡು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಅದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪರಿಹರಿಸಿ. ಗುಣಾಂಕಗಳು ಇರುವ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಆರಿಸಿ ಅಸ್ಥಿರಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, x. ನಂತರ y ಹೊಂದಿರುವ ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ y ಇರುತ್ತದೆ, ಎಲ್ಲಾ ಭಾಗಗಳನ್ನು y ನೊಂದಿಗೆ ಎಡಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಮುಕ್ತವಾದವುಗಳನ್ನು ಬಲಕ್ಕೆ ಸರಿಸಿ. y ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು x ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಯಾವುದೇ ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ.

ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಇನ್ನೊಂದು ಮಾರ್ಗವಿದೆ. ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಇದರಿಂದ x ನಂತಹ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳ ಗುಣಾಂಕವು ಎರಡೂ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಇನ್ನೊಂದರಿಂದ ಕಳೆಯಿರಿ (ಬಲಭಾಗವು 0 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಬಲಭಾಗದ ಬದಿಗಳನ್ನು ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಕಳೆಯಲು ಮರೆಯದಿರಿ). x ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಒಂದು y ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಉಳಿದಿದೆ ಎಂದು ನೀವು ನೋಡುತ್ತೀರಿ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ, ಮತ್ತು y ಯ ಕಂಡುಬರುವ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಯಾವುದೇ ಮೂಲ ಸಮಾನತೆಗೆ ಬದಲಿಸಿ. x ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಎರಡು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಮೂರನೇ ಮಾರ್ಗವು ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ನಿಮ್ಮ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾದ ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಗ್ರಾಫ್ ಮಾಡಿ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಯಾವುದೇ ಎರಡು x ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ y ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ - ಇವುಗಳು ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿದ ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳೊಂದಿಗೆ ಛೇದಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಅತ್ಯಂತ ಅನುಕೂಲಕರ ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ x=0 ಮತ್ತು y=0 ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಬದಲಿಸುವುದು. ಈ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ.

ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ಒಂದು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವಿದ್ದರೆ, ನಿಮಗೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಅದರ ಮೂಲಕ ನೀವು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಓದಿ. ಒಂದು ವೇಳೆ ಅಸ್ಥಿರ x ಮತ್ತು y ದೂರ, ವೇಗ, ತೂಕವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ - x≥0 ಮತ್ತು y≥0 ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿಸಲು ಹಿಂಜರಿಯಬೇಡಿ. x ಅಥವಾ y ಸೇಬುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮರೆಮಾಡುತ್ತದೆ, ಇತ್ಯಾದಿ. - ನಂತರ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮಾತ್ರ ಆಗಿರಬಹುದು. x ಮಗನ ವಯಸ್ಸು ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅವನು ತನ್ನ ತಂದೆಗಿಂತ ದೊಡ್ಡವನಾಗಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಸೂಚಿಸಿ.

ಮೂಲಗಳು:

• ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು

ಸ್ವತಃ ಸಮೀಕರಣಮೂರು ಜೊತೆ ಅಜ್ಞಾತಅನೇಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಇದು ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳು ಅಥವಾ ಷರತ್ತುಗಳಿಂದ ಪೂರಕವಾಗಿದೆ. ಆರಂಭಿಕ ಡೇಟಾ ಏನೆಂಬುದನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ನಿರ್ಧಾರದ ಕೋರ್ಸ್ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನಿಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ

• - ಮೂರು ಅಪರಿಚಿತರೊಂದಿಗೆ ಮೂರು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ.

ಸೂಚನೆಗಳು

ಮೂರು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ಮೂರು ಅಜ್ಞಾತಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಕೆಲವು ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಇತರರ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ ಸಮೀಕರಣಮೂರು ಜೊತೆ ಅಜ್ಞಾತ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಿಮ್ಮ ಗುರಿ ಅದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಕ್ಕೆ ತಿರುಗಿಸುವುದು ಸಮೀಕರಣಅಪರಿಚಿತ ವ್ಯಕ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ. ಇದು ಇದ್ದರೆ, ಮುಂದಿನ ಪರಿಹಾರವು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ - ಕಂಡುಬರುವ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಇತರ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿ ಬದಲಿಸಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಅಜ್ಞಾತಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಕೆಲವು ಸಮೀಕರಣ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಒಂದು ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಇನ್ನೊಂದರಿಂದ ಕಳೆಯಬಹುದು. ಎರಡು ಅಜ್ಞಾತಗಳನ್ನು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ರದ್ದುಗೊಳಿಸುವಂತೆ ಒಂದು ಅಥವಾ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಗುಣಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವೇ ಎಂದು ನೋಡಿ. ಅಂತಹ ಅವಕಾಶವಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಲಾಭವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಿ; ಹೆಚ್ಚಾಗಿ, ನಂತರದ ಪರಿಹಾರವು ಕಷ್ಟಕರವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವಾಗ, ನೀವು ಎಡಭಾಗ ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗ ಎರಡನ್ನೂ ಗುಣಿಸಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ. ಅಂತೆಯೇ, ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಕಳೆಯುವಾಗ, ಬಲಭಾಗವನ್ನು ಸಹ ಕಳೆಯಬೇಕು ಎಂದು ನೀವು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು.

ಹಿಂದಿನ ವಿಧಾನಗಳು ಸಹಾಯ ಮಾಡದಿದ್ದರೆ, ಮೂರರೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿ ಅಜ್ಞಾತ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3 ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯಿರಿ. ಈಗ x (A), ಅಪರಿಚಿತರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ (X) ಮತ್ತು ಉಚಿತ ಪದಗಳಿಗಿಂತ (B) ಗಾಗಿ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ರಚಿಸಿ. ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಅಪರಿಚಿತರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನೀವು ಉಚಿತ ಪದಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ, ಅಂದರೆ, A*X=B.

ಮೊದಲು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಮೂಲಕ ಶಕ್ತಿ (-1) ಗೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ, ಅದು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರಬಾರದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಇದರ ನಂತರ, ಫಲಿತಾಂಶದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಬಿ ಮೂಲಕ ಗುಣಿಸಿ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ನೀವು ಬಯಸಿದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತೀರಿ, ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಕ್ರಾಮರ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮೂರು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ನೀವು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸಹ ಕಾಣಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಸಿಸ್ಟಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ನಿರ್ಧಾರಕ ∆ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ನಂತರ ಅನುಗುಣವಾದ ಕಾಲಮ್‌ಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಉಚಿತ ಪದಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಿ, ∆1, ∆2 ಮತ್ತು ∆3 ಮೂರು ನಿರ್ಣಾಯಕಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಈಗ x ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

ಮೂಲಗಳು:

• ಮೂರು ಅಪರಿಚಿತರೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳು

ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಸವಾಲಿನ ಮತ್ತು ಉತ್ತೇಜಕವಾಗಿದೆ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ, ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಹೆಚ್ಚು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಮಾಧ್ಯಮಿಕ ಶಾಲಾ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಅಜ್ಞಾತಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿವೆ, ಆದರೆ ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಅಸ್ಥಿರಗಳಿರಬಹುದು. ಹಲವಾರು ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು.

ಸೂಚನೆಗಳು

ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಪರ್ಯಾಯ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನೀವು ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಇನ್ನೊಂದರ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಎರಡನೆಯದಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಬೇಕು ಸಮೀಕರಣವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು, ಹೀಗೆ ಮುನ್ನಡೆಸುತ್ತವೆ ಸಮೀಕರಣಒಂದು ವೇರಿಯಬಲ್ ಗೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ: 2x-3y-1=0;x+y-3=0.

ಎರಡನೇ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ, ಉಳಿದೆಲ್ಲವನ್ನೂ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ, ಗುಣಾಂಕದ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಲು ಮರೆಯುವುದಿಲ್ಲ: x = 3-y.

ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯಿರಿ: 6-2y-3y-1=0;-5y+5=0;y=1. ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೌಲ್ಯ y ಅನ್ನು ನಾವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ: x=3-y;x=3-1;x=2 .

ಮೊದಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳು 2 ಆಗಿದ್ದು, ನೀವು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ನಿಂದ ಗುಣಾಕಾರದ ವಿತರಣಾ ಆಸ್ತಿಗೆ 2 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು: 2*(2x-y-3)=0. ಈಗ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಎರಡೂ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು ಮತ್ತು ನಂತರ y ಎಂದು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಅದರ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಗುಣಾಂಕವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ: -y = 3-2x ಅಥವಾ y = 2x-3.

ಮೊದಲ ಪ್ರಕರಣದಂತೆ, ನಾವು ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಎರಡನೆಯದಕ್ಕೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ ಸಮೀಕರಣಮತ್ತು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: 3x+2*(2x-3)-8=0;3x+4x-6-8=0;7x-14=0;7x=14;x=2. ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಬದಲಿಸಿ: y=2x -3;y=4-3=1.

y ಗಾಗಿ ಗುಣಾಂಕವು ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಚಿಹ್ನೆಯಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿದರೆ, ನಾವು y ಅನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ತೊಡೆದುಹಾಕುತ್ತೇವೆ: 4x+3x-2y+2y-6-8=0; 7x- 14=0; x=2. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೂ x ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬದಲಿಸಿ ಮತ್ತು y=1 ಪಡೆಯಿರಿ.

ವಿಷಯದ ಕುರಿತು ವೀಡಿಯೊ

ಬಿಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಸಮೀಕರಣನಾಲ್ಕನೇ ಪದವಿ, ಇದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವನ್ನು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ax^4 + bx^2 + c = 0 ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರ ಪರಿಹಾರವು ಅಪರಿಚಿತರ ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನದ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, x^2 ಅನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು ವೇರಿಯಬಲ್‌ನಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಫಲಿತಾಂಶವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಚೌಕವಾಗಿದೆ ಸಮೀಕರಣ, ಇದು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.

ಸೂಚನೆಗಳು

ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ ಸಮೀಕರಣ, ಬದಲಿ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಮೊದಲು ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ: D = b^2? 4ac. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, a, b, c ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳು ನಮ್ಮ ಸಮೀಕರಣದ ಗುಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ.

ದ್ವಿಚಕ್ರ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಪಡೆದ ಪರಿಹಾರಗಳ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಒಂದು ಪರಿಹಾರವಿದ್ದರೆ, ಎರಡು ಇರುತ್ತದೆ - ವರ್ಗಮೂಲದ ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯ. ಎರಡು ಪರಿಹಾರಗಳಿದ್ದರೆ, ದ್ವಿಚಕ್ರ ಸಮೀಕರಣವು ನಾಲ್ಕು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ವಿಷಯದ ಕುರಿತು ವೀಡಿಯೊ

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಇದು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ಅನುಕ್ರಮ ನಿರ್ಮೂಲನೆಯಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಸರಳ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಹಂತಹಂತವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಿದಾಗ, ಎಲ್ಲಾ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ, ಕೊನೆಯವುಗಳಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ.

ಸೂಚನೆಗಳು

ಮೊದಲಿಗೆ, ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಅಪರಿಚಿತರು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಒಂದು ರೂಪಕ್ಕೆ ತರಲು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎಲ್ಲಾ ಅಜ್ಞಾತ X ಗಳು ಪ್ರತಿ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಮೊದಲು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಎಲ್ಲಾ Y ಗಳು X ನ ನಂತರ ಬರುತ್ತವೆ, ಎಲ್ಲಾ Z ಗಳು Y ಗಳ ನಂತರ ಬರುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಹೀಗೆ. ಪ್ರತಿ ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಅಪರಿಚಿತರು ಇರಬಾರದು. ಪ್ರತಿ ಅಜ್ಞಾತದ ಮುಂದೆ ಇರುವ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಿ, ಹಾಗೆಯೇ ಪ್ರತಿ ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.