ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಭೌತಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅಥವಾ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ವಿಧಾನಗಳ ಜ್ಞಾನವಿಲ್ಲದೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅಸಾಧ್ಯ. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಇಂದಿನ ಲೇಖನವನ್ನು ಈ ಮೂಲಭೂತ ವಿಷಯಕ್ಕೆ ವಿನಿಯೋಗಿಸಲು ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸಿದ್ದೇವೆ. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಎಂದರೇನು, ಅದರ ಭೌತಿಕ ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥವೇನು, ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು? ಈ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಒಂದಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು: ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೇಗೆ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು?

ಉತ್ಪನ್ನದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮತ್ತು ಭೌತಿಕ ಅರ್ಥ

ಒಂದು ಕಾರ್ಯ ನಡೆಯಲಿ f(x) , ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ (ಎ, ಬಿ) . x ಮತ್ತು x0 ಅಂಕಗಳು ಈ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಸೇರಿವೆ. x ಬದಲಾದಾಗ, ಕಾರ್ಯವು ಸ್ವತಃ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಾದವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದು - ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ x-x0 . ಈ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ ಡೆಲ್ಟಾ x ಮತ್ತು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಇನ್ಕ್ರಿಮೆಂಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯದ ಬದಲಾವಣೆ ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಳವು ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ. ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ:

ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಹೆಚ್ಚಳದ ಅನುಪಾತದ ಮಿತಿಯಾಗಿದ್ದು, ಎರಡನೆಯದು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರಿದಾಗ ವಾದದ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ.

ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಇದನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯಬಹುದು:

ಅಂತಹ ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದರಲ್ಲಿ ಏನು ಪ್ರಯೋಜನ? ಮತ್ತು ಅದು ಏನು ಎಂಬುದು ಇಲ್ಲಿದೆ:

ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು OX ಅಕ್ಷದ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉತ್ಪನ್ನದ ಭೌತಿಕ ಅರ್ಥ: ಸಮಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಮಾರ್ಗದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ರೆಕ್ಟಿಲಿನಿಯರ್ ಚಲನೆಯ ವೇಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಶಾಲಾ ದಿನಗಳಿಂದಲೂ ವೇಗವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಾರ್ಗವೆಂದು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ತಿಳಿದಿದೆ x=f(t) ಮತ್ತು ಸಮಯ ಟಿ . ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಸರಾಸರಿ ವೇಗ:

ಒಂದು ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಚಲನೆಯ ವೇಗವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು t0 ನೀವು ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕು:

ನಿಯಮ ಒಂದು: ಸ್ಥಿರವನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸ್ಥಿರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಇದಲ್ಲದೆ, ಇದನ್ನು ಮಾಡಬೇಕು. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಅದನ್ನು ನಿಯಮದಂತೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ - ನೀವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಬಹುದಾದರೆ, ಅದನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಲು ಮರೆಯದಿರಿ .

ಉದಾಹರಣೆ. ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:

ನಿಯಮ ಎರಡು: ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಈ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಇದು ನಿಜವಾಗಿದೆ.

ನಾವು ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ, ಬದಲಿಗೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ನಿಯಮ ಮೂರು: ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನ

ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಉದಾಹರಣೆ: ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

ಪರಿಹಾರ:

ಇಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುವುದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಮಧ್ಯಂತರ ವಾದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಈ ಕ್ರಿಯೆಯ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಮಧ್ಯಂತರ ವಾದದ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ.

ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ:

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮಧ್ಯಂತರ ವಾದವು ಐದನೇ ಶಕ್ತಿಗೆ 8x ಆಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ನಾವು ಮೊದಲು ಮಧ್ಯಂತರ ವಾದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಬಾಹ್ಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಮಧ್ಯಂತರ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದಿಂದ ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ.

ನಿಯಮ ನಾಲ್ಕು: ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಂಶದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಂಶದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಸೂತ್ರ:

ನಾವು ಮೊದಲಿನಿಂದ ಡಮ್ಮೀಸ್‌ಗಾಗಿ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕುರಿತು ಮಾತನಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಈ ವಿಷಯವು ತೋರುತ್ತಿರುವಷ್ಟು ಸರಳವಾಗಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಎಚ್ಚರಿಕೆ: ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಆಗಾಗ್ಗೆ ಮೋಸಗಳಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ ಜಾಗರೂಕರಾಗಿರಿ.

ಈ ಮತ್ತು ಇತರ ವಿಷಯಗಳ ಕುರಿತು ಯಾವುದೇ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿದ್ದರೆ, ನೀವು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಸೇವೆಯನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸಬಹುದು. ಕಡಿಮೆ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ನೀವು ಹಿಂದೆಂದೂ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಮಾಡದಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಅತ್ಯಂತ ಕಷ್ಟಕರವಾದ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ನಾವು ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು. ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಉತ್ಪನ್ನ.
ಶಕ್ತಿ-ಘಾತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

ನಾವು ನಮ್ಮ ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ತಂತ್ರವನ್ನು ಸುಧಾರಿಸುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ಪಾಠದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ವಿಷಯವನ್ನು ನಾವು ಕ್ರೋಢೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದೊಂದಿಗೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಹೊಸ ತಂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ತಂತ್ರಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಕಡಿಮೆ ಮಟ್ಟದ ಸಿದ್ಧತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಓದುಗರು ಲೇಖನವನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಬೇಕು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ? ಪರಿಹಾರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು, ಇದು ನಿಮ್ಮ ಕೌಶಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬಹುತೇಕ ಮೊದಲಿನಿಂದಲೂ ಹೆಚ್ಚಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಮುಂದೆ, ನೀವು ಪುಟವನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ, ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಿ ಮತ್ತು ಪರಿಹರಿಸಿ ಎಲ್ಲಾನಾನು ನೀಡಿದ ಉದಾಹರಣೆಗಳು. ಈ ಪಾಠವು ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿ ಸತತವಾಗಿ ಮೂರನೆಯದು, ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಮಾಸ್ಟರಿಂಗ್ ಮಾಡಿದ ನಂತರ ನೀವು ಸಾಕಷ್ಟು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ವಿಶ್ವಾಸದಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತೀರಿ. “ಬೇರೆ ಎಲ್ಲಿ? ಅದು ಸಾಕು!", ಏಕೆಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ನೈಜ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಎದುರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪುನರಾವರ್ತನೆಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ. ಪಾಠದಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಿವರವಾದ ಕಾಮೆಂಟ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಹಲವಾರು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡಿದ್ದೇವೆ. ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಇತರ ಶಾಖೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ, ನೀವು ಆಗಾಗ್ಗೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ವಿವರಿಸಲು ಯಾವಾಗಲೂ ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿಲ್ಲ (ಮತ್ತು ಯಾವಾಗಲೂ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ). ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಮೌಖಿಕವಾಗಿ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದನ್ನು ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಅತ್ಯಂತ ಸೂಕ್ತವಾದ "ಅಭ್ಯರ್ಥಿಗಳು" ಸರಳವಾದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಾಗಿವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ :

ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ ಇತರ ಮತನ್ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ, ಅಂತಹ ವಿವರವಾದ ದಾಖಲೆಯು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ; ಆಟೋಪೈಲಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂದು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ. ಬೆಳಗಿನ ಜಾವ 3 ಗಂಟೆಗೆ ಫೋನ್ ರಿಂಗಾಯಿತು ಮತ್ತು ಆಹ್ಲಾದಕರ ಧ್ವನಿ ಕೇಳಿತು: "ಎರಡು X ಗಳ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಏನು?" ಇದನ್ನು ಬಹುತೇಕ ತಕ್ಷಣದ ಮತ್ತು ಸಭ್ಯ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸಬೇಕು: .

ಮೊದಲ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಉದ್ದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1

ಕೆಳಗಿನ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಮೌಖಿಕವಾಗಿ ಹುಡುಕಿ, ಒಂದು ಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ: . ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು ನೀವು ಮಾತ್ರ ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ(ನಿಮಗೆ ಇನ್ನೂ ನೆನಪಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ). ನಿಮಗೆ ಯಾವುದೇ ತೊಂದರೆಗಳಿದ್ದರೆ, ಪಾಠವನ್ನು ಮರು-ಓದಲು ನಾನು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಉತ್ತರಗಳು

ಸಂಕೀರ್ಣ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು

ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಫಿರಂಗಿ ತಯಾರಿಕೆಯ ನಂತರ, 3-4-5 ಗೂಡುಕಟ್ಟುವ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಕಡಿಮೆ ಭಯಾನಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಎರಡು ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಕೆಲವರಿಗೆ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿ ಕಾಣಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ನೀವು ಅವುಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡರೆ (ಯಾರಾದರೂ ಬಳಲುತ್ತಿದ್ದಾರೆ), ನಂತರ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಉಳಿದೆಲ್ಲವೂ ಮಗುವಿನ ಹಾಸ್ಯದಂತೆ ತೋರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2

ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಈಗಾಗಲೇ ಗಮನಿಸಿದಂತೆ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾಗ, ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಇದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ ಸರಿನಿಮ್ಮ ಹೂಡಿಕೆಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಿ. ಸಂದೇಹಗಳಿರುವ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ನಾನು ನಿಮಗೆ ಉಪಯುಕ್ತ ತಂತ್ರವನ್ನು ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ: ನಾವು "x" ನ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮತ್ತು ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು "ಭಯಾನಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ" ಗೆ ಬದಲಿಸಲು (ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ಅಥವಾ ಡ್ರಾಫ್ಟ್ನಲ್ಲಿ) ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ.

1) ಮೊದಲು ನಾವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಮೊತ್ತವು ಆಳವಾದ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಆಗಿದೆ.

2) ನಂತರ ನೀವು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕು:

4) ನಂತರ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ಘನಗೊಳಿಸಿ:

5) ಐದನೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ:

6) ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಹೊರಗಿನ ಕಾರ್ಯವು ವರ್ಗಮೂಲವಾಗಿದೆ:

ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ಸೂತ್ರ ಹೊರಗಿನ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಒಳಗಿನವರೆಗೆ ಹಿಮ್ಮುಖ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಯಾವುದೇ ದೋಷಗಳಿಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ ...

(1) ವರ್ಗಮೂಲದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ.

(2) ನಾವು ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

(3) ಟ್ರಿಪಲ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎರಡನೇ ಪದದಲ್ಲಿ ನಾವು ಪದವಿಯ (ಕ್ಯೂಬ್) ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

(4) ಕೊಸೈನ್‌ನ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ.

(5) ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ.

(6) ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ನಾವು ಆಳವಾದ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಇದು ತುಂಬಾ ಕಷ್ಟಕರವೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇದು ಅತ್ಯಂತ ಕ್ರೂರ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕುಜ್ನೆಟ್ಸೊವ್ ಅವರ ಸಂಗ್ರಹವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿದ ಉತ್ಪನ್ನದ ಎಲ್ಲಾ ಸೌಂದರ್ಯ ಮತ್ತು ಸರಳತೆಯನ್ನು ನೀವು ಪ್ರಶಂಸಿಸುತ್ತೀರಿ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡಿದ್ದಾನೆಯೇ ಅಥವಾ ಅರ್ಥವಾಗುತ್ತಿಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಅವರು ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಇದೇ ರೀತಿಯ ವಿಷಯವನ್ನು ನೀಡಲು ಇಷ್ಟಪಡುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ನಾನು ಗಮನಿಸಿದ್ದೇನೆ.

ಈ ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯು ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಲು.

ಉದಾಹರಣೆ 3

ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಸುಳಿವು: ಮೊದಲು ನಾವು ರೇಖಾತ್ಮಕತೆಯ ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ

ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಉತ್ತರ.

ಚಿಕ್ಕದಾದ ಮತ್ತು ಒಳ್ಳೆಯದಕ್ಕೆ ಹೋಗಲು ಇದು ಸಮಯ.
ಎರಡಲ್ಲ, ಮೂರು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೋರಿಸಲು ಉದಾಹರಣೆಗಾಗಿ ಇದು ಅಸಾಮಾನ್ಯವೇನಲ್ಲ. ಮೂರು ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ?

ಉದಾಹರಣೆ 4

ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಮೊದಲು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಮೂರು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವೇ? ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಉತ್ಪನ್ನದಲ್ಲಿ ನಾವು ಎರಡು ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯಬಹುದು. ಆದರೆ ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ: ಪದವಿ, ಘಾತಾಂಕ ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮ್.

ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ಅವಶ್ಯಕ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿಉತ್ಪನ್ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ ಎರಡು ಬಾರಿ

ಟ್ರಿಕ್ ಏನೆಂದರೆ “y” ಮೂಲಕ ನಾವು ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ: ಮತ್ತು “ve” ಮೂಲಕ ನಾವು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ: . ಇದನ್ನು ಏಕೆ ಮಾಡಬಹುದು? ಇದು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಇದೆಯೇ - ಇದು ಎರಡು ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಲ್ಲ ಮತ್ತು ನಿಯಮವು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವುದಿಲ್ಲವೇ?! ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಏನೂ ಇಲ್ಲ:

ಈಗ ಎರಡನೇ ಬಾರಿಗೆ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಉಳಿದಿದೆ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗೆ:

ನೀವು ತಿರುಚಬಹುದು ಮತ್ತು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ಏನನ್ನಾದರೂ ಹಾಕಬಹುದು, ಆದರೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಉತ್ತರವನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬಿಡುವುದು ಉತ್ತಮ - ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಸುಲಭವಾಗುತ್ತದೆ.

ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಎರಡನೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು:

ಎರಡೂ ಪರಿಹಾರಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 5

ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಇದು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ; ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಮೊದಲ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 6

ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ನೀವು ಇಲ್ಲಿಗೆ ಹೋಗಬಹುದಾದ ಹಲವಾರು ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ:

ಅಥವಾ ಈ ರೀತಿ:

ಆದರೆ ನಾವು ಮೊದಲು ಅಂಶದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಂದ್ರವಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ , ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ:

ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ, ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಹಾಗೆಯೇ ಬಿಟ್ಟರೆ, ಅದು ದೋಷವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ನಿಮಗೆ ಸಮಯವಿದ್ದರೆ, ಉತ್ತರವನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಬಹುದೇ ಎಂದು ನೋಡಲು ಡ್ರಾಫ್ಟ್ ಅನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ? ನಾವು ಅಂಶದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಮೂರು ಅಂತಸ್ತಿನ ಭಾಗವನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕೋಣ:

ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸರಳೀಕರಣಗಳ ಅನನುಕೂಲವೆಂದರೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾಗ ತಪ್ಪನ್ನು ಮಾಡುವ ಅಪಾಯವಿದೆ, ಆದರೆ ನೀರಸ ಶಾಲಾ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಸಮಯದಲ್ಲಿ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಶಿಕ್ಷಕರು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಿಯೋಜನೆಯನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು "ಮನಸ್ಸಿಗೆ ತರಲು" ಕೇಳುತ್ತಾರೆ.

ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಲು ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 7

ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ನಾವು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಈಗ ನಾವು "ಭಯಾನಕ" ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ವಿಭಿನ್ನತೆಗಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದಾಗ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ

ಉದಾಹರಣೆ 8

ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಇಲ್ಲಿ ನೀವು ಬಹಳ ದೂರ ಹೋಗಬಹುದು:

ಆದರೆ ಮೊದಲ ಹಂತವು ತಕ್ಷಣವೇ ನಿಮ್ಮನ್ನು ನಿರಾಶೆಯಲ್ಲಿ ಮುಳುಗಿಸುತ್ತದೆ - ನೀವು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಶಕ್ತಿಯಿಂದ ಅಹಿತಕರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಮತ್ತು ನಂತರ ಒಂದು ಭಾಗದಿಂದ ಕೂಡ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು.

ಅದಕ್ಕೇ ಮೊದಲು"ಅತ್ಯಾಧುನಿಕ" ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೇಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು, ಇದನ್ನು ಮೊದಲು ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಶಾಲಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸರಳೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ:

! ನಿಮ್ಮ ಕೈಯಲ್ಲಿ ಅಭ್ಯಾಸ ನೋಟ್‌ಬುಕ್ ಇದ್ದರೆ, ಈ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಅಲ್ಲಿ ನಕಲಿಸಿ. ನಿಮ್ಮ ಬಳಿ ನೋಟ್‌ಬುಕ್ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಕಾಗದದ ತುಂಡು ಮೇಲೆ ನಕಲಿಸಿ, ಏಕೆಂದರೆ ಪಾಠದ ಉಳಿದ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಈ ಸೂತ್ರಗಳ ಸುತ್ತ ಸುತ್ತುತ್ತವೆ.

ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯಬಹುದು:

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ:

ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು:

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪೂರ್ವ-ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು ಸ್ವತಃ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸರಳಗೊಳಿಸಿತು. ಹೀಗಾಗಿ, ವಿಭಿನ್ನತೆಗಾಗಿ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದಾಗ, "ಅದನ್ನು ಒಡೆಯಲು" ಯಾವಾಗಲೂ ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಮತ್ತು ಈಗ ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಲು ಕೆಲವು ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

ಉದಾಹರಣೆ 9

ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಉದಾಹರಣೆ 10

ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಎಲ್ಲಾ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಮತ್ತು ಉತ್ತರಗಳು ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿವೆ.

ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಉತ್ಪನ್ನ

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಅಂತಹ ಸಿಹಿ ಸಂಗೀತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಪ್ರಶ್ನೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ: ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಕೃತಕವಾಗಿ ಸಂಘಟಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವೇ? ಮಾಡಬಹುದು! ಮತ್ತು ಅಗತ್ಯ ಕೂಡ.

ಉದಾಹರಣೆ 11

ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ನಾವು ಇತ್ತೀಚೆಗೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡಿದ್ದೇವೆ. ಏನ್ ಮಾಡೋದು? ನೀವು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಅಂಶದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ನಂತರ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ಈ ವಿಧಾನದ ಅನನುಕೂಲವೆಂದರೆ ನೀವು ದೊಡ್ಡ ಮೂರು ಅಂತಸ್ತಿನ ಭಾಗದೊಂದಿಗೆ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತೀರಿ, ಅದನ್ನು ನೀವು ಎದುರಿಸಲು ಬಯಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಆದರೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಉತ್ಪನ್ನದಂತಹ ಅದ್ಭುತ ವಿಷಯವಿದೆ. ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ "ನೇತಾಡುವ" ಮೂಲಕ ಕೃತಕವಾಗಿ ಆಯೋಜಿಸಬಹುದು:

ಸೂಚನೆ : ಏಕೆಂದರೆ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ನಂತರ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನೀವು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ: , ಇದು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪ್ರಸ್ತುತ ವಿನ್ಯಾಸವು ಸಹ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಪೂರ್ವನಿಯೋಜಿತವಾಗಿ ಅದನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಂಕೀರ್ಣಅರ್ಥಗಳು. ಆದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಕಠಿಣತೆಯಲ್ಲಿ, ನಂತರ ಎರಡೂ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಮೀಸಲಾತಿ ಮಾಡಬೇಕು.

ಈಗ ನೀವು ಬಲಭಾಗದ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು "ವಿಘಟನೆ" ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ (ನಿಮ್ಮ ಕಣ್ಣುಗಳ ಮುಂದೆ ಸೂತ್ರಗಳು?). ನಾನು ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ವಿವರಿಸುತ್ತೇನೆ:

ವ್ಯತ್ಯಾಸದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ.
ನಾವು ಎರಡೂ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಕ್ತಾಯಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಬಲಭಾಗದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ; ನಾನು ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ನೀವು ಈ ಪಠ್ಯವನ್ನು ಓದುತ್ತಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಅದನ್ನು ಆತ್ಮವಿಶ್ವಾಸದಿಂದ ನಿಭಾಯಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ.

ಎಡಭಾಗದ ಬಗ್ಗೆ ಏನು?

ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯ. ನಾನು ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಮುನ್ಸೂಚಿಸುತ್ತೇನೆ: "ಏಕೆ, ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ "Y" ಎಂಬ ಒಂದು ಅಕ್ಷರವಿದೆಯೇ?"

ಸತ್ಯವೆಂದರೆ ಈ "ಒಂದು ಅಕ್ಷರದ ಆಟ" - ಇಸ್ ಸೆಲ್ಫ್ ಎ ಫಂಕ್ಷನ್(ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಲೇಖನವನ್ನು ನೋಡಿ). ಆದ್ದರಿಂದ, ಲಾಗರಿಥಮ್ ಬಾಹ್ಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು "y" ಆಂತರಿಕ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ನಾವು ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ :

ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಮ್ಯಾಜಿಕ್ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಮುಂದೆ, ಅನುಪಾತದ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ, ನಾವು "y" ಅನ್ನು ಎಡಭಾಗದ ಛೇದದಿಂದ ಬಲಭಾಗದ ಮೇಲ್ಭಾಗಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಮತ್ತು ಈಗ ನಾವು ಯಾವ ರೀತಿಯ "ಪ್ಲೇಯರ್"-ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಮಾತನಾಡಿದ್ದೇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಸೋಣ? ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ನೋಡೋಣ:

ಅಂತಿಮ ಉತ್ತರ:

ಉದಾಹರಣೆ 12

ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ರೀತಿಯ ಉದಾಹರಣೆಯ ಮಾದರಿ ವಿನ್ಯಾಸವು ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿದೆ.

ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಯಾವುದೇ ಉದಾಹರಣೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ 4-7 ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು, ಇನ್ನೊಂದು ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಅಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸರಳವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಬಹುಶಃ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸಮರ್ಥಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ.

ಶಕ್ತಿ-ಘಾತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

ನಾವು ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಇನ್ನೂ ಪರಿಗಣಿಸಿಲ್ಲ. ಶಕ್ತಿ-ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಪದವಿ ಮತ್ತು ಬೇಸ್ ಎರಡೂ "x" ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ ಅಥವಾ ಉಪನ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ ನಿಮಗೆ ನೀಡಲಾಗುವ ಒಂದು ಶ್ರೇಷ್ಠ ಉದಾಹರಣೆ:

ಪವರ್-ಘಾತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು?

ಈಗ ಚರ್ಚಿಸಿದ ತಂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ - ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಉತ್ಪನ್ನ. ನಾವು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಥಗಿತಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ:

ನಿಯಮದಂತೆ, ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಪದವಿಯನ್ನು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾವು ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಅದನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ .

ನಾವು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ; ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಎರಡೂ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಸ್ಟ್ರೋಕ್‌ಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸುತ್ತುವರಿಯುತ್ತೇವೆ:

ಮುಂದಿನ ಕ್ರಮಗಳು ಸರಳವಾಗಿದೆ:

ಅಂತಿಮವಾಗಿ:

ಯಾವುದೇ ಪರಿವರ್ತನೆಯು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ದಯವಿಟ್ಟು ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 11 ರ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಪುನಃ ಓದಿ.

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ, ವಿದ್ಯುತ್-ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯವು ಯಾವಾಗಲೂ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಉಪನ್ಯಾಸ ಉದಾಹರಣೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 13

ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ನಾವು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.

ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾವು ಸ್ಥಿರ ಮತ್ತು ಎರಡು ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ - "x" ಮತ್ತು "ಲಾಗರಿಥಮ್ x" (ಮತ್ತೊಂದು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಲಾಗರಿದಮ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನೆಸ್ಟ್ ಆಗಿದೆ). ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮಾಡುವಾಗ, ನಮಗೆ ನೆನಪಿರುವಂತೆ, ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸ್ಥಿರವನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ಸರಿಸಲು ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಅದು ದಾರಿಯಲ್ಲಿ ಸಿಗುವುದಿಲ್ಲ; ಮತ್ತು, ಸಹಜವಾಗಿ, ನಾವು ಪರಿಚಿತ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ :

ನೆನಪಿಡುವುದು ತುಂಬಾ ಸುಲಭ.

ಸರಿ, ನಾವು ದೂರ ಹೋಗಬಾರದು, ತಕ್ಷಣವೇ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಘಾತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ವಿಲೋಮವು ಯಾವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ? ಲಾಗರಿಥಮ್:

ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಆಧಾರವು ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ:

ಅಂತಹ ಲಾಗರಿಥಮ್ (ಅಂದರೆ, ಬೇಸ್ ಹೊಂದಿರುವ ಲಾಗರಿಥಮ್) ಅನ್ನು "ನೈಸರ್ಗಿಕ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ವಿಶೇಷ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ: ನಾವು ಬದಲಿಗೆ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಇದು ಯಾವುದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ? ಖಂಡಿತವಾಗಿ, .

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಉತ್ಪನ್ನವು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ:

ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

1. ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
2. ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಯಾವುದು?

ಉತ್ತರಗಳು: ಘಾತೀಯ ಮತ್ತು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ಸರಳವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. ಯಾವುದೇ ಬೇಸ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಘಾತೀಯ ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಅದನ್ನು ನಾವು ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ನಿಯಮಗಳ ಮೂಲಕ ಹೋದ ನಂತರ ನಾವು ನಂತರ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತೇವೆ.

ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮಗಳು

ಯಾವುದರ ನಿಯಮಗಳು? ಮತ್ತೆ ಹೊಸ ಪದ, ಮತ್ತೆ?!...

ವ್ಯತ್ಯಾಸಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ.

ಅಷ್ಟೇ. ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಒಂದೇ ಪದದಲ್ಲಿ ಬೇರೆ ಏನು ಕರೆಯಬಹುದು? ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಲ್ಲ... ಗಣಿತಜ್ಞರು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಅನ್ನು ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಅದೇ ಇನ್ಕ್ರಿಮೆಂಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಈ ಪದವು ಲ್ಯಾಟಿನ್ ವ್ಯತ್ಯಾಸದಿಂದ ಬಂದಿದೆ - ವ್ಯತ್ಯಾಸ. ಇಲ್ಲಿ.

ಈ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಪಡೆದಾಗ, ನಾವು ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮತ್ತು. ಅವರ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕಾಗಿ ನಮಗೆ ಸೂತ್ರಗಳು ಸಹ ಅಗತ್ಯವಿದೆ:

ಒಟ್ಟು 5 ನಿಯಮಗಳಿವೆ.

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸ್ಥಿರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವೇಳೆ - ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆ (ಸ್ಥಿರ), ನಂತರ.

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಈ ನಿಯಮವು ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕಾಗಿ ಸಹ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ: .

ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತು ಮಾಡೋಣ. ಅದು ಇರಲಿ, ಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿರಲಿ.

ಉದಾಹರಣೆಗಳು.

ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

1. ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ;
2. ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ;
3. ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ;
4. ಹಂತದಲ್ಲಿ.

ಪರಿಹಾರಗಳು:

1. (ಉತ್ಪನ್ನವು ಎಲ್ಲಾ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ನೆನಪಿಡಿ?);

ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

ಇಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವೂ ಹೋಲುತ್ತದೆ: ಹೊಸ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಅದರ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ಉತ್ಪನ್ನ:

ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

1. ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು;
2. ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರಗಳು:

ಘಾತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

ಈಗ ನಿಮ್ಮ ಜ್ಞಾನವು ಯಾವುದೇ ಘಾತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಕಲಿಯಲು ಸಾಕು, ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಘಾತಾಂಕಗಳಲ್ಲ (ನೀವು ಇನ್ನೂ ಏನೆಂದು ಮರೆತಿದ್ದೀರಾ?).

ಆದ್ದರಿಂದ, ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆ ಎಲ್ಲಿದೆ.

ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿದ್ದೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಮ್ಮ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಸ ಬೇಸ್‌ಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ:

ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಸರಳ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ: . ನಂತರ:

ಸರಿ, ಇದು ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದೆ. ಈಗ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ, ಮತ್ತು ಈ ಕಾರ್ಯವು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಮರೆಯಬೇಡಿ.

ಸಂಭವಿಸಿದ?

ಇಲ್ಲಿ, ನಿಮ್ಮನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ:

ಸೂತ್ರವು ಘಾತಾಂಕದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ: ಅದು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಒಂದು ಅಂಶ ಮಾತ್ರ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿತು, ಅದು ಕೇವಲ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ, ಆದರೆ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅಲ್ಲ.

ಉದಾಹರಣೆಗಳು:
ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ಉತ್ತರಗಳು:

ಇದು ಕೇವಲ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಇಲ್ಲದೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲಾಗದ ಸಂಖ್ಯೆ, ಅಂದರೆ, ಅದನ್ನು ಸರಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬಿಡುತ್ತೇವೆ.

ಇಲ್ಲಿ ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಂಶವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಅನುಗುಣವಾದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ:

ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

ಇದು ಇಲ್ಲಿ ಹೋಲುತ್ತದೆ: ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನೀವು ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿದ್ದೀರಿ:

ಆದ್ದರಿಂದ, ವಿಭಿನ್ನ ಬೇಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

ನಾವು ಈ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಬೇಸ್ಗೆ ತಗ್ಗಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಮೂಲವನ್ನು ನೀವು ಹೇಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೀರಿ? ನೀವು ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಿ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ:

ಈಗ ಮಾತ್ರ ನಾವು ಬದಲಿಗೆ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಛೇದವು ಕೇವಲ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆ, ವೇರಿಯಬಲ್ ಇಲ್ಲದೆ). ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಘಾತೀಯ ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಎಂದಿಗೂ ಕಂಡುಬರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಅತಿಯಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ.

"ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯ" ಎಂದರೇನು? ಇಲ್ಲ, ಇದು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅಲ್ಲ ಮತ್ತು ಆರ್ಕ್ಟಜೆಂಟ್ ಅಲ್ಲ. ಈ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಕಷ್ಟವಾಗಬಹುದು (ನೀವು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಕಷ್ಟಕರವೆಂದು ಕಂಡುಕೊಂಡರೆ, "ಲಾಗರಿಥಮ್ಸ್" ವಿಷಯವನ್ನು ಓದಿ ಮತ್ತು ನೀವು ಚೆನ್ನಾಗಿರುತ್ತೀರಿ), ಆದರೆ ಗಣಿತದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, "ಸಂಕೀರ್ಣ" ಎಂಬ ಪದವು "ಕಷ್ಟ" ಎಂದರ್ಥವಲ್ಲ.

ಸಣ್ಣ ಕನ್ವೇಯರ್ ಬೆಲ್ಟ್ ಅನ್ನು ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ: ಇಬ್ಬರು ಜನರು ಕುಳಿತು ಕೆಲವು ವಸ್ತುಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲವು ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದಾರೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೊದಲನೆಯದು ಚಾಕೊಲೇಟ್ ಬಾರ್ ಅನ್ನು ಹೊದಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಸುತ್ತುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ಅದನ್ನು ರಿಬ್ಬನ್ನೊಂದಿಗೆ ಕಟ್ಟುತ್ತದೆ. ಫಲಿತಾಂಶವು ಸಂಯೋಜಿತ ವಸ್ತುವಾಗಿದೆ: ಚಾಕೊಲೇಟ್ ಬಾರ್ ಅನ್ನು ಸುತ್ತುವ ಮತ್ತು ರಿಬ್ಬನ್ನೊಂದಿಗೆ ಕಟ್ಟಲಾಗುತ್ತದೆ. ಚಾಕೊಲೇಟ್ ಬಾರ್ ಅನ್ನು ತಿನ್ನಲು, ನೀವು ಹಿಮ್ಮುಖ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಹಿಮ್ಮುಖ ಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಇದೇ ರೀತಿಯ ಗಣಿತದ ಪೈಪ್‌ಲೈನ್ ಅನ್ನು ರಚಿಸೋಣ: ಮೊದಲು ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಮಗೆ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ (ಚಾಕೊಲೇಟ್), ನಾನು ಅದರ ಕೊಸೈನ್ (ಹೊದಿಕೆ) ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇನೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ನಾನು ಪಡೆದದ್ದನ್ನು ನೀವು ಚೌಕಾಕಾರ ಮಾಡಿ (ಅದನ್ನು ರಿಬ್ಬನ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಕಟ್ಟಿಕೊಳ್ಳಿ). ಏನಾಯಿತು? ಕಾರ್ಯ. ಇದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯದ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ: ಯಾವಾಗ, ಅದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು ಮೊದಲ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಮೊದಲನೆಯದರಿಂದ ಫಲಿತಾಂಶದೊಂದಿಗೆ ಎರಡನೇ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

ಬೇರೆ ಪದಗಳಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅದರ ವಾದವು ಮತ್ತೊಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ: .

ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಗಾಗಿ, .

ನಾವು ಅದೇ ಹಂತಗಳನ್ನು ಹಿಮ್ಮುಖ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಸುಲಭವಾಗಿ ಮಾಡಬಹುದು: ಮೊದಲು ನೀವು ಅದನ್ನು ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಮಾಡಿ, ಮತ್ತು ನಂತರ ನಾನು ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇನೆ: . ಫಲಿತಾಂಶವು ಯಾವಾಗಲೂ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸುವುದು ಸುಲಭ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯಗಳ ಪ್ರಮುಖ ಲಕ್ಷಣ: ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಕ್ರಮವು ಬದಲಾದಾಗ, ಕಾರ್ಯವು ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಎರಡನೇ ಉದಾಹರಣೆ: (ಅದೇ ವಿಷಯ). .

ನಾವು ಕೊನೆಯದಾಗಿ ಮಾಡುವ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ "ಬಾಹ್ಯ" ಕಾರ್ಯ, ಮತ್ತು ಮೊದಲು ಮಾಡಿದ ಕ್ರಿಯೆ - ಅದರ ಪ್ರಕಾರ "ಆಂತರಿಕ" ಕಾರ್ಯ(ಇವು ಅನೌಪಚಾರಿಕ ಹೆಸರುಗಳು, ನಾನು ಅವುಗಳನ್ನು ಸರಳ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವಿಷಯವನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಮಾತ್ರ ಬಳಸುತ್ತೇನೆ).

ಯಾವ ಕಾರ್ಯವು ಬಾಹ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದು ಆಂತರಿಕವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವೇ ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ:

ಉತ್ತರಗಳು:ಆಂತರಿಕ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸುವುದು ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ: ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ

1. ನಾವು ಮೊದಲು ಯಾವ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ? ಮೊದಲಿಗೆ, ಸೈನ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಅದನ್ನು ಘನಗೊಳಿಸಿ. ಇದರರ್ಥ ಇದು ಆಂತರಿಕ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಬಾಹ್ಯವಾಗಿದೆ.
   ಮತ್ತು ಮೂಲ ಕಾರ್ಯವು ಅವುಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ: .
2. ಆಂತರಿಕ:; ಬಾಹ್ಯ: .
   ಪರೀಕ್ಷೆ: .
3. ಆಂತರಿಕ:; ಬಾಹ್ಯ: .
   ಪರೀಕ್ಷೆ: .
4. ಆಂತರಿಕ:; ಬಾಹ್ಯ: .
   ಪರೀಕ್ಷೆ: .
5. ಆಂತರಿಕ:; ಬಾಹ್ಯ: .
   ಪರೀಕ್ಷೆ: .

ನಾವು ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಸರಿ, ಈಗ ನಾವು ನಮ್ಮ ಚಾಕೊಲೇಟ್ ಬಾರ್ ಅನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ. ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವು ಯಾವಾಗಲೂ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ: ಮೊದಲು ನಾವು ಬಾಹ್ಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ, ನಂತರ ನಾವು ಆಂತರಿಕ ಕ್ರಿಯೆಯ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮೂಲ ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಇದು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆ:

ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಅಧಿಕೃತ ನಿಯಮವನ್ನು ರೂಪಿಸೋಣ:

ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್:

ಇದು ಸರಳವೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆ, ಸರಿ?

ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ:

ಪರಿಹಾರಗಳು:

1) ಆಂತರಿಕ:;

ಬಾಹ್ಯ:;

2) ಆಂತರಿಕ:;

(ಇದೀಗ ಅದನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಬೇಡಿ! ಕೊಸೈನ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಏನೂ ಹೊರಬರುವುದಿಲ್ಲ, ನೆನಪಿದೆಯೇ?)

3) ಆಂತರಿಕ:;

ಬಾಹ್ಯ:;

ಇದು ಮೂರು ಹಂತದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯ ಎಂದು ತಕ್ಷಣವೇ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ: ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ಇದು ಈಗಾಗಲೇ ಸ್ವತಃ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ನಾವು ಅದರಿಂದ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ, ನಾವು ಮೂರನೇ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ (ಚಾಕೊಲೇಟ್ ಅನ್ನು ಹೊದಿಕೆಗೆ ಇರಿಸಿ ಮತ್ತು ಬ್ರೀಫ್ಕೇಸ್ನಲ್ಲಿ ರಿಬ್ಬನ್ನೊಂದಿಗೆ). ಆದರೆ ಭಯಪಡಲು ಯಾವುದೇ ಕಾರಣವಿಲ್ಲ: ನಾವು ಇನ್ನೂ ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಎಂದಿನಂತೆ ಅದೇ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ "ಅನ್ಪ್ಯಾಕ್" ಮಾಡುತ್ತೇವೆ: ಅಂತ್ಯದಿಂದ.

ಅಂದರೆ, ಮೊದಲು ನಾವು ಮೂಲವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಂತರ ಕೊಸೈನ್, ಮತ್ತು ನಂತರ ಮಾತ್ರ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ. ತದನಂತರ ನಾವು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆ ಮಾಡಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವುದನ್ನು ಊಹಿಸೋಣ. ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಾವು ಯಾವ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಕ್ರಮಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ? ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ:

ನಂತರ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಹೆಚ್ಚು "ಬಾಹ್ಯ" ಅನುಗುಣವಾದ ಕಾರ್ಯವು ಇರುತ್ತದೆ. ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮವು ಮೊದಲಿನಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ:

ಇಲ್ಲಿ ಗೂಡುಕಟ್ಟುವಿಕೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ 4-ಹಂತವಾಗಿದೆ. ಕ್ರಿಯೆಯ ಕೋರ್ಸ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ.

1. ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ. .

2. ರೂಟ್. .

3. ಸೈನ್. .

4. ಚೌಕ. .

5. ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಒಟ್ಟಿಗೆ ಸೇರಿಸುವುದು:

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ. ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ

ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ- ವಾದದ ಅಪರಿಮಿತ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕಾಗಿ ವಾದದ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ಕ್ರಿಯೆಯ ಹೆಚ್ಚಳದ ಅನುಪಾತ:

ಮೂಲ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು:

ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮಗಳು:

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸ್ಥಿರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ:

ಮೊತ್ತದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ:

ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನ:

ಅಂಶದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ:

ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ:

ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್:

1. ನಾವು "ಆಂತರಿಕ" ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ.
2. ನಾವು "ಬಾಹ್ಯ" ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ.
3. ನಾವು ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಅಂಕಗಳ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಫಿರಂಗಿ ತಯಾರಿಕೆಯ ನಂತರ, 3-4-5 ಗೂಡುಕಟ್ಟುವ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಕಡಿಮೆ ಭಯಾನಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಎರಡು ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಕೆಲವರಿಗೆ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿ ಕಾಣಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ನೀವು ಅವುಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡರೆ (ಯಾರಾದರೂ ಬಳಲುತ್ತಿದ್ದಾರೆ), ನಂತರ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಉಳಿದೆಲ್ಲವೂ ಮಗುವಿನ ಹಾಸ್ಯದಂತೆ ತೋರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2

ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಈಗಾಗಲೇ ಗಮನಿಸಿದಂತೆ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾಗ, ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಇದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ ಸರಿನಿಮ್ಮ ಹೂಡಿಕೆಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಿ. ಸಂದೇಹಗಳಿರುವ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ನಾನು ನಿಮಗೆ ಉಪಯುಕ್ತ ತಂತ್ರವನ್ನು ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ: ನಾವು "x" ನ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮತ್ತು ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು "ಭಯಾನಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ" ಗೆ ಬದಲಿಸಲು (ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ಅಥವಾ ಡ್ರಾಫ್ಟ್ನಲ್ಲಿ) ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ.

1) ಮೊದಲು ನಾವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಮೊತ್ತವು ಆಳವಾದ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಆಗಿದೆ.

2) ನಂತರ ನೀವು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕು:

4) ನಂತರ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ಘನಗೊಳಿಸಿ:

5) ಐದನೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ:

6) ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಹೊರಗಿನ ಕಾರ್ಯವು ವರ್ಗಮೂಲವಾಗಿದೆ:

ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ಸೂತ್ರ ಹೊರಗಿನ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಒಳಗಿನವರೆಗೆ ಹಿಮ್ಮುಖ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಇದು ದೋಷಗಳಿಲ್ಲದೆ ತೋರುತ್ತದೆ:

1) ವರ್ಗಮೂಲದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ.

2) ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ

3) ಟ್ರಿಪಲ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎರಡನೇ ಪದದಲ್ಲಿ ನಾವು ಪದವಿಯ (ಕ್ಯೂಬ್) ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

4) ಕೊಸೈನ್‌ನ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ.

6) ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ನಾವು ಆಳವಾದ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ನ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಇದು ತುಂಬಾ ಕಷ್ಟಕರವೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇದು ಅತ್ಯಂತ ಕ್ರೂರ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕುಜ್ನೆಟ್ಸೊವ್ ಅವರ ಸಂಗ್ರಹವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿದ ಉತ್ಪನ್ನದ ಎಲ್ಲಾ ಸೌಂದರ್ಯ ಮತ್ತು ಸರಳತೆಯನ್ನು ನೀವು ಪ್ರಶಂಸಿಸುತ್ತೀರಿ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡಿದ್ದಾನೆಯೇ ಅಥವಾ ಅರ್ಥವಾಗುತ್ತಿಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಅವರು ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಇದೇ ರೀತಿಯ ವಿಷಯವನ್ನು ನೀಡಲು ಇಷ್ಟಪಡುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ನಾನು ಗಮನಿಸಿದ್ದೇನೆ.

ಈ ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯು ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಲು.

ಉದಾಹರಣೆ 3

ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಸುಳಿವು: ಮೊದಲು ನಾವು ರೇಖಾತ್ಮಕತೆಯ ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ

ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಉತ್ತರ.

ಚಿಕ್ಕದಾದ ಮತ್ತು ಒಳ್ಳೆಯದಕ್ಕೆ ಹೋಗಲು ಇದು ಸಮಯ.
ಎರಡಲ್ಲ, ಮೂರು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೋರಿಸಲು ಉದಾಹರಣೆಗಾಗಿ ಇದು ಅಸಾಮಾನ್ಯವೇನಲ್ಲ. ಮೂರು ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ?

ಉದಾಹರಣೆ 4

ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಮೊದಲು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಮೂರು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವೇ? ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಉತ್ಪನ್ನದಲ್ಲಿ ನಾವು ಎರಡು ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯಬಹುದು. ಆದರೆ ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ: ಪದವಿ, ಘಾತಾಂಕ ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮ್.

ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ಅವಶ್ಯಕ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿಉತ್ಪನ್ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ ಎರಡು ಬಾರಿ

ಟ್ರಿಕ್ ಏನೆಂದರೆ “y” ಮೂಲಕ ನಾವು ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ: ಮತ್ತು “ve” ಮೂಲಕ ನಾವು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ: . ಇದನ್ನು ಏಕೆ ಮಾಡಬಹುದು? ಇದು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಇದೆಯೇ - ಇದು ಎರಡು ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಲ್ಲ ಮತ್ತು ನಿಯಮವು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವುದಿಲ್ಲವೇ?! ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಏನೂ ಇಲ್ಲ:

ಈಗ ಎರಡನೇ ಬಾರಿಗೆ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಉಳಿದಿದೆ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗೆ:

ನೀವು ತಿರುಚಬಹುದು ಮತ್ತು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ಏನನ್ನಾದರೂ ಹಾಕಬಹುದು, ಆದರೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಉತ್ತರವನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬಿಡುವುದು ಉತ್ತಮ - ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಸುಲಭವಾಗುತ್ತದೆ.

ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಎರಡನೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು:

ಎರಡೂ ಪರಿಹಾರಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 5

ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಇದು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ; ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಮೊದಲ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 6

ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ನೀವು ಇಲ್ಲಿಗೆ ಹೋಗಬಹುದಾದ ಹಲವಾರು ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ:

ಅಥವಾ ಈ ರೀತಿ:

ಆದರೆ ನಾವು ಮೊದಲು ಅಂಶದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಂದ್ರವಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ , ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ:

ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ, ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಹಾಗೆಯೇ ಬಿಟ್ಟರೆ, ಅದು ದೋಷವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ನಿಮಗೆ ಸಮಯವಿದ್ದರೆ, ಉತ್ತರವನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಬಹುದೇ ಎಂದು ನೋಡಲು ಡ್ರಾಫ್ಟ್ ಅನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ?

ಅಂಶದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಮೂರು ಅಂತಸ್ತಿನ ರಚನೆಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕೋಣ:

ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸರಳೀಕರಣಗಳ ಅನನುಕೂಲವೆಂದರೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾಗ ತಪ್ಪನ್ನು ಮಾಡುವ ಅಪಾಯವಿದೆ, ಆದರೆ ನೀರಸ ಶಾಲಾ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಸಮಯದಲ್ಲಿ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಶಿಕ್ಷಕರು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಿಯೋಜನೆಯನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು "ಮನಸ್ಸಿಗೆ ತರಲು" ಕೇಳುತ್ತಾರೆ.

ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಲು ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 7

ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ನಾವು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಈಗ ನಾವು "ಭಯಾನಕ" ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ವಿಭಿನ್ನತೆಗಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದಾಗ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ

ಪವರ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಸೂತ್ರದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ (ಎಕ್ಸ್‌ನಿಂದ ಎ ಪವರ್‌ಗೆ). x ನ ಮೂಲಗಳಿಂದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೈಯರ್ ಆರ್ಡರ್ ಪವರ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಸೂತ್ರ. ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಉದಾಹರಣೆಗಳು.

ವಿಷಯ

ಸಹ ನೋಡಿ: ಶಕ್ತಿ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳು, ಸೂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಗ್ರಾಫ್
ಪವರ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು

ಮೂಲ ಸೂತ್ರಗಳು

x ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು a ನ ಶಕ್ತಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ x ಒಂದು ಮೈನಸ್ ಒಂದರ ಶಕ್ತಿಗೆ:
(1) .

x ನ n ನೇ ಮೂಲದಿಂದ mth ಶಕ್ತಿಗೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ:
(2) .

ಪವರ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಸೂತ್ರದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

ಕೇಸ್ x > 0

ಘಾತ a ನೊಂದಿಗೆ ವೇರಿಯಬಲ್ x ನ ವಿದ್ಯುತ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:
(3) .
ಇಲ್ಲಿ a ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಮೊದಲು ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು (3), ನಾವು ಪವರ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತೇವೆ:
.

ಈಗ ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ:
;
.
ಇಲ್ಲಿ .

ಫಾರ್ಮುಲಾ (1) ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

x ನ ಡಿಗ್ರಿ n ನ ಮೂಲದಿಂದ m ಡಿಗ್ರಿಗೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಸೂತ್ರದ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ

ಈಗ ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪದ ಮೂಲವಾದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:
(4) .

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು ಮೂಲವನ್ನು ವಿದ್ಯುತ್ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತೇವೆ:
.
ಸೂತ್ರ (3) ನೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ನಾವು ಅದನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ
.
ನಂತರ
.

ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ (1) ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:
(1) ;
;
(2) .

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ (2). ಮೊದಲು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಪವರ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ಗಳಿಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ, ತದನಂತರ ಸೂತ್ರವನ್ನು (1) ಬಳಸಿ ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ (ಪುಟದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡಿ).

ಕೇಸ್ x = 0

ಒಂದು ವೇಳೆ, x = ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಪವರ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ 0 . x = ನಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ (3) ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ 0 . ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:
.

x = ಅನ್ನು ಬದಲಿಸೋಣ 0 :
.
ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೂಲಕ ನಾವು ಬಲಗೈ ಮಿತಿಯನ್ನು ಅರ್ಥೈಸುತ್ತೇವೆ .

ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ:
.
ಇದರಿಂದ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ , .
ನಲ್ಲಿ, .
ನಲ್ಲಿ, .
ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದಲೂ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ (1):
(1) .
ಆದ್ದರಿಂದ, ಫಾರ್ಮುಲಾ (1) x = ಗೆ ಸಹ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ 0 .

ಪ್ರಕರಣ x< 0

ಕಾರ್ಯ (3) ಅನ್ನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಪರಿಗಣಿಸಿ:
(3) .
ಸ್ಥಿರವಾದ a ನ ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ, ಇದನ್ನು ವೇರಿಯಬಲ್ x ನ ಋಣಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಹ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅವುಗಳೆಂದರೆ, ಒಂದು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಅದನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗದ ಭಾಗವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು:
,
ಇಲ್ಲಿ m ಮತ್ತು n ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ.

n ಬೆಸವಾಗಿದ್ದರೆ, ವೇರಿಯಬಲ್ x ನ ಋಣಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ವಿದ್ಯುತ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಹ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಯಾವಾಗ n = 3 ಮತ್ತು ಮೀ = 1 ನಾವು x ನ ಘನಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:
.
ವೇರಿಯೇಬಲ್ x ನ ಋಣಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಹ ಇದನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಇದನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ a ಸ್ಥಿರಾಂಕದ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ಮತ್ತು ಶಕ್ತಿಯ ಕ್ರಿಯೆಯ (3) ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿ x ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸೋಣ:
.
ನಂತರ,
.
ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಯ ಹೊರಗೆ ಸ್ಥಿರವನ್ನು ಇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

.
ಇಲ್ಲಿ . ಆದರೆ
.
ಅಂದಿನಿಂದ
.
ನಂತರ
.
ಅಂದರೆ, ಫಾರ್ಮುಲಾ (1) ಸಹ ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ:
(1) .

ಹೆಚ್ಚಿನ ಆದೇಶದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು

ಈಗ ಪವರ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಉನ್ನತ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ
(3) .
ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಮೊದಲ ಆದೇಶದ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ:
.

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಯ ಹೊರಗಿನ ಸ್ಥಿರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ನಾವು ಎರಡನೇ-ಕ್ರಮದ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:
.
ಅಂತೆಯೇ, ನಾವು ಮೂರನೇ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ಆದೇಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:
;

.

ಇದರಿಂದ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ n ನೇ ಕ್ರಮದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಕೆಳಗಿನ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:
.

ಅದನ್ನು ಗಮನಿಸು a ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ n ನೇ ಉತ್ಪನ್ನವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ:
.
ನಂತರ ಎಲ್ಲಾ ನಂತರದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:
,
ನಲ್ಲಿ.

ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಉದಾಹರಣೆ

ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:
.

ಬೇರುಗಳನ್ನು ಶಕ್ತಿಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ:
;
.
ನಂತರ ಮೂಲ ಕಾರ್ಯವು ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ:
.

ಅಧಿಕಾರಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು:
;
.
ಸ್ಥಿರಾಂಕದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ:
.