ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ನಿರಂತರತೆಯ ಮೂರು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು. ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯವು "ಜಿಗಿತಗಳು" ಇಲ್ಲದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ: ವಾದದಲ್ಲಿನ ಸಣ್ಣ ಬದಲಾವಣೆಗಳನ್ನು ಕಾರ್ಯದ ಅನುಗುಣವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಸಣ್ಣ ಬದಲಾವಣೆಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ನಯವಾದ ಅಥವಾ ನಿರಂತರ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿದೆ.

ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸೆಟ್‌ಗೆ ಮಿತಿಯ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರತೆಯನ್ನು ಮಿತಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಅವುಗಳೆಂದರೆ: ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು ಅದು ಮಿತಿ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದರ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಈ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲಂಘಿಸಿದರೆ, ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಸ್ಥಗಿತಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅವರು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ, ಅಂದರೆ, ಅದರ ನಿರಂತರತೆಯನ್ನು ಉಲ್ಲಂಘಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮಿತಿಗಳ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಬ್ರೇಕ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಅನ್ನು ಬ್ರೇಕ್ ಪಾಯಿಂಟ್‌ನಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿ (ಅದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ) ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಎಂದು ವಿವರಿಸಬಹುದು.

ಬ್ರೇಕ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆಯಬಹುದು; ಇದಕ್ಕಾಗಿ, ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿಯ ಅಸ್ತಿತ್ವವು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಇದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದರ ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು "ಸರಿಪಡಿಸಬಹುದು", ಅಂದರೆ, ಇದು ನಿರಂತರತೆಗೆ ಮತ್ತಷ್ಟು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು.
ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಮಿತಿಯಿದ್ದರೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನವಾದ ಚಿತ್ರವು ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಸಂಭವನೀಯ ಬ್ರೇಕ್ಪಾಯಿಂಟ್ ಆಯ್ಕೆಗಳಿವೆ:

ಮೊದಲ ವಿಧದ - ಎರಡೂ ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮಿತಿಗಳು ಲಭ್ಯವಿದೆ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತವಾಗಿವೆ, ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಥವಾ ಎರಡರ ಮೌಲ್ಯವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ;
ಎರಡನೆಯ ರೀತಿಯ, ಒಂದು ಅಥವಾ ಎರಡೂ ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮಿತಿಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದಿರುವಾಗ ಅಥವಾ ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಅನಂತವಾಗಿರುವಾಗ.

ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಪಡೆದ ಕಾರ್ಯ, ಹಾಗೆಯೇ ಅವುಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸೂಪರ್‌ಪೋಸಿಷನ್ ಸಹ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ನಿಮಗೆ ಕೆಲವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಧನಾತ್ಮಕವಾದ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅದರ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಉಳಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಸಾಕಷ್ಟು ಸಣ್ಣ ನೆರೆಹೊರೆಯನ್ನು ನೀವು ಯಾವಾಗಲೂ ಕಾಣಬಹುದು.
ಅಂತೆಯೇ, A ಮತ್ತು B ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ a ಮತ್ತು b ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು a b ಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಮಧ್ಯಂತರ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಅದು ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ (a; b). ಇದರಿಂದ ನಾವು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು: ನೀವು ವಿಸ್ತರಿಸಿದ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ ಬ್ಯಾಂಡ್ ಅನ್ನು ಕುಗ್ಗಿಸದಂತೆ ಸಂಕುಚಿತಗೊಳಿಸಿದರೆ (ನೇರವಾಗಿ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ), ನಂತರ ಅದರ ಒಂದು ಬಿಂದು ಚಲನರಹಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ, ಇದರರ್ಥ A ಮತ್ತು B ನಡುವಿನ ಯಾವುದೇ ಮಧ್ಯಂತರ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ನೇರ ರೇಖೆಯು ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ.

ಕೆಲವು ನಿರಂತರ (ಅವುಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ) ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನಾವು ಗಮನಿಸೋಣ:

ನಿರಂತರ;
ತರ್ಕಬದ್ಧ;
ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ.

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ನಡುವೆ ಅವಿನಾಭಾವ ಸಂಬಂಧವಿದೆ - ನಿರಂತರತೆ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನತೆ. ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರಲು ಅದು ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಎಂದು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸಾಕು.

ಕಾರ್ಯವು ಕೆಲವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಅಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ನಿರಂತರವಾಗಿರುವುದು ಅನಿವಾರ್ಯವಲ್ಲ.

ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕಾರ್ಯವು ಮೃದುವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಇದು ನಿರಂತರವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸ್ಥಗಿತ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ (ಮೊದಲ ವಿಧದ ಮಾತ್ರ), ನಂತರ ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪೀಸ್‌ವೈಸ್ ಸ್ಮೂತ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರಮುಖ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯೆಂದರೆ ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಏಕರೂಪದ ನಿರಂತರತೆ, ಅಂದರೆ, ಅದರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ. ಹೀಗಾಗಿ, ಇದು ಅನೇಕ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಲ್ಪಡುವ ಆಸ್ತಿಯಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅಲ್ಲ.

ನಾವು ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಿದರೆ, ನಾವು ನಿರಂತರತೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚೇನೂ ಪಡೆಯುವುದಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ, ಏಕರೂಪದ ನಿರಂತರತೆಯ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ನಾವು ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸಂವಾದವು ನಿಜವಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕ್ಯಾಂಟರ್‌ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಒಂದು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ, ಮುಚ್ಚಿದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ, ಅದು ಅದರ ಮೇಲೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ನಿರಂತರತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು
ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಫ್ (X)ಎಂದು ಕರೆದರು ಬಿಂದು x ನಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ 0 ನೆರೆಹೊರೆಯ ಯು (x0)ಈ ಹಂತ, ಮತ್ತು x ನ ಮಿತಿಯು x ಗೆ ಒಲವು ತೋರಿದರೆ 0 ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು x ನಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ 0 :
.

ಇದು x ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ 0 - ಇದು ಅಂತಿಮ ಹಂತವಾಗಿದೆ. ಅದರಲ್ಲಿರುವ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಬಹುದು.

ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ (ಎಡ) ನಿರಂತರತೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ
ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಫ್ (X)ಎಂದು ಕರೆದರು x ಪಾಯಿಂಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ (ಎಡ) ನಿರಂತರ 0 , ಈ ಬಿಂದುವಿನ ಕೆಲವು ಬಲ-ಬದಿಯ (ಎಡ-ಬದಿಯ) ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು x ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಬಲ (ಎಡ) ಮಿತಿಯಿದ್ದರೆ 0 x ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ 0 :
.

ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಉದಾಹರಣೆ 1

ಹೈನ್ ಮತ್ತು ಕೌಚಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಎಲ್ಲಾ x ಗಾಗಿ ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.

ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಖ್ಯೆ ಇರಲಿ. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಕಾರ್ಯವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಎಲ್ಲಾ x ಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಇದನ್ನು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಯಾವುದೇ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ.

ನಾವು ಹೈನ್ ಅವರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ

ಬಳಸೋಣ. ಒಂದು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಅನುಕ್ರಮವು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲಿ : . ನಾವು ಹೊಂದಿರುವ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮಿತಿಯ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದು:
.
ಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತಿರುವ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಅನುಕ್ರಮ ಇರುವುದರಿಂದ, ನಂತರ
.
ನಿರಂತರತೆ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ನಾವು ಕೌಚಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ

ಬಳಸೋಣ.
ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಬಿಂದುವಿನ ಯಾವುದೇ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಹಕ್ಕನ್ನು ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಅದನ್ನು ಊಹಿಸುತ್ತೇವೆ
(A1.1) .

ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸೋಣ:
.
ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು (A1.1), ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಂದಾಜನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:

;
(A1.2) .

ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ (A1.2), ನಾವು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:
;
(A1.3) .
.
ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಪ್ರಕಾರ, (A1.3) ತೃಪ್ತವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ವೇಳೆ , ನಂತರ .

ಈಗ ಪಾಯಿಂಟ್ ನೋಡೋಣ. ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ
.
.

.
ಇದರರ್ಥ ಕಾರ್ಯವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, n ಒಂದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುವ ಕಾರ್ಯವು ಸಂಪೂರ್ಣ ನೈಜ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ 2

ಕಾರ್ಯವು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದನ್ನು ಬಳಸಿ.

ನೀಡಿರುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಅದು ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ.

ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.
ಬಿಂದುವಿನ ಯಾವುದೇ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಹಕ್ಕನ್ನು ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಅದನ್ನು ಊಹಿಸುತ್ತೇವೆ
(A2.1) .

ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸೋಣ:
(A2.2) .
ಅದನ್ನು ಹಾಕೋಣ. ನಂತರ
.

ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು (A2.1), ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಂದಾಜನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:

.
ಆದ್ದರಿಂದ,
.

ಈ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ ಮತ್ತು (A2.2) ಬಳಸಿ, ನಾವು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:

.
ಆದ್ದರಿಂದ,
(A2.3) .

ನಾವು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು , ಅವುಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸುತ್ತೇವೆ:
.
ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಪ್ರಕಾರ, (A2.3) ತೃಪ್ತವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ವೇಳೆ , ನಂತರ .

ಇದರರ್ಥ ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕತೆಗೆ ಯಾವಾಗಲೂ ಒಂದು ಇರುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಎಲ್ಲಾ x ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲು, ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆಯು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ತೃಪ್ತಿಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ:
.
ಇದರರ್ಥ ಕಾರ್ಯವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಈಗ ಪಾಯಿಂಟ್ ನೋಡೋಣ. ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನೀಡಿರುವ ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ತೋರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ
.
ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಮೂದಿಸಿ ಮತ್ತು:
.

ಯಾವುದೇ ಸಕಾರಾತ್ಮಕತೆ ಯಾವಾಗಲೂ ಇರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಇದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಎಲ್ಲಾ x ಗಾಗಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆ ಇರುತ್ತದೆ:
.
ಅದರ ಅರ್ಥ . ಅಂದರೆ, ಕಾರ್ಯವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, n ಒಂದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುವ ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು.

ಉಲ್ಲೇಖಗಳು:
O.I. ಬೆಸೊವ್. ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಕುರಿತು ಉಪನ್ಯಾಸಗಳು. ಭಾಗ 1. ಮಾಸ್ಕೋ, 2004.
ಎಲ್.ಡಿ. ಕುದ್ರಿಯಾವ್ಟ್ಸೆವ್. ಗಣಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಕೋರ್ಸ್. ಸಂಪುಟ 1. ಮಾಸ್ಕೋ, 2003.
ಸಿಎಂ ನಿಕೋಲ್ಸ್ಕಿ. ಗಣಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಕೋರ್ಸ್. ಸಂಪುಟ 1. ಮಾಸ್ಕೋ, 1983.

1. ಪರಿಚಯ.

2. ಕಾರ್ಯದ ನಿರಂತರತೆಯ ನಿರ್ಣಯ.

3. ಬ್ರೇಕ್ ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣ

4. ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.

5. ನಿರಂತರತೆಯ ಆರ್ಥಿಕ ಅರ್ಥ.

6. ತೀರ್ಮಾನ.

10.1 ಪರಿಚಯ

ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ನಮ್ಮ ಸುತ್ತಲಿನ ಪ್ರಪಂಚದಲ್ಲಿನ ಅನಿವಾರ್ಯ ಬದಲಾವಣೆಗಳನ್ನು ನಾವು ನಿರ್ಣಯಿಸಿದಾಗ, ನಡೆಯುತ್ತಿರುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಅತ್ಯಂತ ಮಹತ್ವದ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಲು ನಾವು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ಹಾದಿಯಲ್ಲಿ ಉದ್ಭವಿಸುವ ಮೊದಲ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು: ಹೇಗೆಈ ವಿದ್ಯಮಾನದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಬದಲಾವಣೆಗಳು ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ - ನಿರಂತರವಾಗಿಅಥವಾ ವಿವೇಚನೆಯಿಂದ, ಅಂದರೆ ಸ್ಪಾಸ್ಮೊಡಿಕ್ ಆಗಿ. ಕರೆನ್ಸಿ ದರವು ಸಮವಾಗಿ ಕುಸಿಯುತ್ತಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ಕುಸಿಯುತ್ತಿದೆಯೇ, ಕ್ರಮೇಣ ವಿಕಾಸವಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ಕ್ರಾಂತಿಕಾರಿ ಅಧಿಕವಾಗಿದೆಯೇ? ಏನಾಗುತ್ತಿದೆ ಎಂಬುದರ ಗುಣಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಗಳನ್ನು ಏಕೀಕರಿಸುವ ಸಲುವಾಗಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಷಯದಿಂದ ಅಮೂರ್ತಗೊಳಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಅವಲಂಬನೆಯ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಬೇಕು. ನಾವು ಕೊನೆಯ ಉಪನ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಿದ ಮಿತಿಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ ಇದನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು.

10.2 ಕಾರ್ಯದ ನಿರಂತರತೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ

ಕಾರ್ಯದ ನಿರಂತರತೆಯು ಅದರ ಗ್ರಾಫ್ ನಿರಂತರ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿದ್ದು ಅದು ಎಲ್ಲಿಯೂ ಮುರಿಯುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ನಮ್ಮ ಪೆನ್ನನ್ನು ಕಾಗದದಿಂದ ಎತ್ತದೆಯೇ ನಾವು ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಸೆಳೆಯುತ್ತೇವೆ. ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ನೀಡಿದರೆ, ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅದರ ನಿರಂತರತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಟೇಬಲ್ ಹಂತಕ್ಕೆ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿನ ಕ್ರಿಯೆಯ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ವಾಸ್ತವದಲ್ಲಿ, ನಿರಂತರತೆಯೊಂದಿಗೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸನ್ನಿವೇಶವು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ: ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುವ ನಿಯತಾಂಕಗಳು ಸ್ವಲ್ಪನಂತರ ಬದಲಾಯಿಸಿ ಸ್ವಲ್ಪಪರಿಸ್ಥಿತಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯವಾದ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಪರಿಸ್ಥಿತಿ ಬದಲಾಗುವುದು ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅದು "ಸ್ವಲ್ಪ" ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಏರಿಕೆಗಳ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ನಾವು ನಿರಂತರತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸೋಣ. ಕೆಲವು ವಿದ್ಯಮಾನಗಳನ್ನು ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ವಿವರಿಸೋಣ ಎಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ಗೆ ಸೇರಿದೆ. ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವಾದ ಹೆಚ್ಚಳಹಂತದಲ್ಲಿ ಎ, ವ್ಯತ್ಯಾಸ - ಕಾರ್ಯ ಹೆಚ್ಚಳಹಂತದಲ್ಲಿ ಎ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 10.1.ಕಾರ್ಯ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ a, ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ವಾದದಲ್ಲಿನ ಅನಂತವಾದ ಹೆಚ್ಚಳವು ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿನ ಅನಂತವಾದ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 10.1.ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ನಿರಂತರತೆಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ.ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೇಲೆ ಇನ್ಕ್ರಿಮೆಂಟ್ D ಅನ್ನು ಗುರುತಿಸೋಣ Xಮತ್ತು ಡಿ ವೈ(ಚಿತ್ರ 10.1).

ಗ್ರಾಫ್ ಚಿಕ್ಕದಾದ ಹೆಚ್ಚಳ D ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ X, ಕಡಿಮೆ ಡಿ ವೈ. ಇದನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ತೋರಿಸೋಣ. ವಾದದ ಹೆಚ್ಚಳವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಹೆಚ್ಚಳವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಇದರಿಂದ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ ವೇಳೆ , ನಂತರ ಮತ್ತು:

ಕಾರ್ಯದ ನಿರಂತರತೆಯ ಇನ್ನೊಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡೋಣ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 10.2.ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ನಿರಂತರಒಂದು ವೇಳೆ ಹಂತದಲ್ಲಿ:

1) ಇದನ್ನು ಪಾಯಿಂಟ್ a ಮತ್ತು ಅದರ ಕೆಲವು ಸುತ್ತಮುತ್ತಲಿನ ಪ್ರದೇಶಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ;

2) ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮಿತಿಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ ಮತ್ತು ಅವು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ:

;

3) x ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿ® a ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಈ ಷರತ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದನ್ನು ಉಲ್ಲಂಘಿಸಿದರೆ, ನಂತರ ಕಾರ್ಯವು ಒಳಗಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಂತರ.

ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರತೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಅವರ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳು ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಯ ನಡುವಿನ ಕಾಕತಾಳೀಯತೆಗಳು ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2 ರಲ್ಲಿ, ನಾವು ಮಿತಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದಾಗ ಸಾಮೀಪ್ಯದ ಕಲ್ಪನೆಯು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತದೆ. ವಾದದ ಅನಿಯಮಿತ ಅಂದಾಜಿನೊಂದಿಗೆ Xಮಿತಿ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಎ, ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ ಎಕಾರ್ಯ f(X) ಮಿತಿಗೊಳಿಸುವ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ ಸಮೀಪಿಸುತ್ತದೆ f(ಎ).

10.3 ಬ್ರೇಕ್ ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣ

ಕಾರ್ಯದ ನಿರಂತರತೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲಂಘಿಸುವ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಬ್ರೇಕ್ ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳುಈ ಕಾರ್ಯ. ಒಂದು ವೇಳೆ X 0 ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಬ್ರೇಕ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಆಗಿದೆ; ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ನಿರಂತರತೆಗೆ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಷರತ್ತು ತೃಪ್ತಿ ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

1. ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಎ, ಆದರೆ ಹಂತದಲ್ಲಿಯೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ ಎ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹಂತದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ ಎ=2, ಆದ್ದರಿಂದ ಸ್ಥಗಿತಗೊಳಿಸುವಿಕೆಗೆ ಒಳಗಾಗುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 10.2 ನೋಡಿ).

ಅಕ್ಕಿ. 10.2 ಚಿತ್ರ 10.3

2. ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಮತ್ತು ಅದರ ಕೆಲವು ನೆರೆಹೊರೆಗಳಲ್ಲಿ, ಅದರ ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮಿತಿಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ, ಆದರೆ ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ: , ನಂತರ ಕಾರ್ಯವು ಸ್ಥಗಿತಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕಾರ್ಯ

ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಗಿತವನ್ನು ಅನುಭವಿಸುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 10.3 ನೋಡಿ), ಏಕೆಂದರೆ

ಮತ್ತು ().

3. ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಮತ್ತು ಅದರ ಕೆಲವು ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ, ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿ ಇದೆ, ಆದರೆ ಈ ಮಿತಿಯು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಎ:

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕಾರ್ಯ (ಚಿತ್ರ 10.4 ನೋಡಿ)

ಬ್ರೇಕಿಂಗ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಇಲ್ಲಿದೆ:

ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಥಗಿತದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ತೆಗೆಯಬಹುದಾದ ಸ್ಥಗಿತ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ವಿಧದ ಸ್ಥಗಿತ ಬಿಂದುಗಳು.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 10.1.ಬ್ರೇಕ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಅನ್ನು ಪಾಯಿಂಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸರಿಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಅಂತರ , ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಸೀಮಿತ ಮಿತಿಗಳಿದ್ದರೆ, ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಆದರೆ ಮಿತಿ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ (ಮಿತಿ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ), ಅಥವಾ ಮಿತಿ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ. 10.4 ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರತೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲಂಘಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವು ಸ್ಥಗಿತಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ ಪಾಯಿಂಟ್ (0; 1) ಹೊರತೆಗೆದರು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಅಂತರವನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ತೆಗೆದುಹಾಕಬಹುದು - ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಮರು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಸಾಕು, ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದರ ಮಿತಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಹಾಕಿದೆ . ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಂತಹ ಅಂತರವನ್ನು ತೆಗೆಯಬಹುದಾದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 10.2.ಬ್ರೇಕಿಂಗ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ 1 ನೇ ವಿಧದ ಸ್ಥಗಿತ ಬಿಂದು , ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಸೀಮಿತ ಮಿತಿಗಳಿದ್ದರೆ, ಆದರೆ ಅವು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲ:

ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅನುಭವಿಸಲು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ ನೆಗೆಯಿರಿ.

ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ. 10.3 ಕಾರ್ಯವು ಹಂತದಲ್ಲಿ 1 ನೇ ವಿಧದ ಸ್ಥಗಿತವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಮಿತಿಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಮತ್ತು .

ಸ್ಥಗಿತದ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಜಂಪ್ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಿರಂತರ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ. ಗ್ರಾಫ್ ಜಂಪ್ನಿಂದ ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾದ ಎರಡು ಅರ್ಧ-ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 10.3.ಬ್ರೇಕಿಂಗ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ 2 ನೇ ವಿಧದ ಸ್ಥಗಿತ ಬಿಂದು , ಕಾರ್ಯದ ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾದರೂ (ಎಡ ಅಥವಾ ಬಲ) ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಅನಂತತೆಗೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ.

ಚಿತ್ರ 10.3 ರಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು 2 ನೇ ವಿಧದ ಸ್ಥಗಿತವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ನಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯವು ಅನಂತವಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಬಲ ಅಥವಾ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಂತಹ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಉದಾಹರಣೆ 10.2.ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ ಮತ್ತು ಬ್ರೇಕ್ ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ:

ಪರಿಹಾರ.ಕಾರ್ಯವನ್ನು ರೂಪಿಸೋಣ f(X) (ಚಿತ್ರ 10.5).

ಮೂಲ ಕಾರ್ಯವು ಮೂರು ಸ್ಥಗಿತ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಅಂಕಿ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ: X 2 = 1,
X 3 = 3. ಅವುಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಆದ್ದರಿಂದ ಪಾಯಿಂಟ್ ಹೊಂದಿದೆ 2 ನೇ ವಿಧದ ಛಿದ್ರ.

ಎ) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ: f(1) = –1.

b) , ,

ಆ. ಹಂತದಲ್ಲಿ X 2 = 1 ಲಭ್ಯವಿದೆ ಸರಿಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಅಂತರ. ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮರು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮೂಲಕ: f(1) = 5, ಸ್ಥಗಿತವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗುತ್ತದೆ.

ಎ) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ: f(3) = 1.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಹಂತದಲ್ಲಿ X 1 = 3 ಲಭ್ಯವಿದೆ 1 ನೇ ವಿಧದ ಛಿದ್ರ. ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು D ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಜಿಗಿತವನ್ನು ಅನುಭವಿಸುತ್ತದೆ ವೈ= –2–1 = –3.

10.4 ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಮಿತಿಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾ, ಅದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಫಲಿತಾಂಶದ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸಹ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸೂಚನೆ:

1) ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ ಎ, ನಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳು , ಮತ್ತು (ಒದಗಿಸಿದರೆ) ಸಹ ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ;

2) ಕಾರ್ಯವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ ಎಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಮತ್ತು

ಆ. ಮಿತಿ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನಿರಂತರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಇರಿಸಬಹುದು.

ಎಂದು ಅವರು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ ಈ ಸೆಟ್‌ನ ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲಿಯೂ ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ ಕೆಲವು ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ನಿರಂತರ ರೇಖೆಯಾಗಿದ್ದು ಅದನ್ನು ಪೆನ್ನ ಒಂದು ಹೊಡೆತದಿಂದ ದಾಟಬಹುದು.

ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಮುಖ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳು ಅವುಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಎಲ್ಲಾ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಕಾರ್ಯಗಳು, ನಿರಂತರ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಹಲವಾರು ಪ್ರಮುಖ ವಿಶಿಷ್ಟ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಈ ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ನಾವು ರೂಪಿಸೋಣ.

ಪ್ರಮೇಯ 10.1 (ವೈರ್‌ಸ್ಟ್ರಾಸ್ ಪ್ರಮೇಯ ). ಒಂದು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಅದರ ಕನಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 10.2 (ಕೌಚಿಯ ಪ್ರಮೇಯ ). ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಚಿಕ್ಕ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ಎಲ್ಲಾ ಮಧ್ಯಂತರ ಮೌಲ್ಯಗಳು.

ಕೌಚಿಯ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮುಖ ಆಸ್ತಿ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 10.3. ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ವಿಭಾಗದ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, a ಮತ್ತು b ನಡುವೆ ಕಾರ್ಯವು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವ ಒಂದು ಬಿಂದು ಸಿ ಇರುತ್ತದೆ:.

ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ: ನಿರಂತರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಕೆಳಗಿನ ಅರ್ಧ ಸಮತಲದಿಂದ ಮೇಲಿನ ಅರ್ಧ ಸಮತಲಕ್ಕೆ (ಅಥವಾ ಪ್ರತಿಯಾಗಿ) ಹೋದರೆ, ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದು ಅಕ್ಷವನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ. ಎತ್ತು(ಚಿತ್ರ 10.6).

ಉದಾಹರಣೆ 10.3.ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಿ

, (ಅಂದರೆ ಸರಿಸುಮಾರು ಬದಲಿಸಿ) ಅನುಗುಣವಾದ ಪದವಿಯ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ.

ಇದು ಅಭ್ಯಾಸಕ್ಕಾಗಿ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳ ಬಹಳ ಮುಖ್ಯವಾದ ಆಸ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಆಗಾಗ್ಗೆ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕಗಳಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ವೀಕ್ಷಣಾ ಅಥವಾ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಡೇಟಾ). ನಂತರ, ಕೆಲವು ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನೀವು ಬಹುಪದದೊಂದಿಗೆ ಕೋಷ್ಟಕ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು. ಪ್ರಮೇಯ 10.3 ಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ, ಇದನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಾಕಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚಿನ ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಮಾಡಬಹುದು. ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯದೊಂದಿಗೆ (ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ) ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದು ತುಂಬಾ ಸುಲಭ.

10.5 ನಿರಂತರತೆಯ ಆರ್ಥಿಕ ಅರ್ಥ

ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕಾರ್ಯಗಳು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಇದು ಆರ್ಥಿಕ ವಿಷಯದ ಸಾಕಷ್ಟು ಮಹತ್ವದ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ.

ವಿವರಿಸಲು, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

ತೆರಿಗೆ ದರ ಎನ್ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿರುವಂತೆಯೇ ಸರಿಸುಮಾರು ಅದೇ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. 10.7ಅ.

ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಅಂತ್ಯದಲ್ಲಿ ಇದು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಸ್ಥಗಿತಗಳು 1 ನೇ ವಿಧವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಆದಾಯ ತೆರಿಗೆಯ ಮೊತ್ತವು ಸ್ವತಃ ಪ(Fig. 10.7b) ವಾರ್ಷಿಕ ಆದಾಯದ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಪ್ರ. ಇಲ್ಲಿಂದ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಇಬ್ಬರು ಜನರ ವಾರ್ಷಿಕ ಆದಾಯವು ಅತ್ಯಲ್ಪವಾಗಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವರು ಪಾವತಿಸಬೇಕಾದ ಆದಾಯ ತೆರಿಗೆಯ ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೂ ಅತ್ಯಲ್ಪವಾಗಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರಬೇಕು. ಬಹುಪಾಲು ಜನರು ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನೈಸರ್ಗಿಕವೆಂದು ಗ್ರಹಿಸುತ್ತಾರೆ ಎಂಬುದು ಕುತೂಹಲಕಾರಿಯಾಗಿದೆ, ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ಅವರು ಯೋಚಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

10.6. ತೀರ್ಮಾನ

ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ನಾವೇ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಹಿಮ್ಮೆಟ್ಟುವಿಕೆಯನ್ನು ಅನುಮತಿಸೋಣ.

ಪ್ರಾಚೀನರ ದುಃಖದ ಅವಲೋಕನವನ್ನು ಸಚಿತ್ರವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವುದು ಹೇಗೆ ಎಂಬುದು ಇಲ್ಲಿದೆ:

ಸಿಕ್ ಟ್ರಾನ್ಸಿಟ್ ಗ್ಲೋರಿಯಾ ಮುಂಡಿ...

(ಐಹಿಕ ವೈಭವವು ಹೀಗೆ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ …)

ಕೆಲಸದ ಅಂತ್ಯ -

ಈ ವಿಷಯವು ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ:

ಕಾರ್ಯದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ

ಕಾರ್ಯದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ.. ಎಲ್ಲವೂ ಹರಿಯುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲವೂ ಹೆರಾಕ್ಲಿಟಸ್ ಅನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ.. ಟೇಬಲ್ x x x x y y y y..

ಈ ವಿಷಯದ ಕುರಿತು ನಿಮಗೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ವಿಷಯ ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ನೀವು ಹುಡುಕುತ್ತಿರುವುದನ್ನು ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯದಿದ್ದರೆ, ನಮ್ಮ ಕೃತಿಗಳ ಡೇಟಾಬೇಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಹುಡುಕಾಟವನ್ನು ಬಳಸಲು ನಾವು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:

ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ ವಸ್ತುಗಳೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಏನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:

ಈ ವಸ್ತುವು ನಿಮಗೆ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಅದನ್ನು ಸಾಮಾಜಿಕ ನೆಟ್ವರ್ಕ್ಗಳಲ್ಲಿ ನಿಮ್ಮ ಪುಟಕ್ಕೆ ಉಳಿಸಬಹುದು:

ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರತೆಗಾಗಿ ಕಾರ್ಯದ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾದ ವಾಡಿಕೆಯ ಯೋಜನೆಯ ಪ್ರಕಾರ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ನಿರಂತರತೆಯ ಮೂರು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತದೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 1

ನಿರಂತರತೆಗಾಗಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ. ಕಾರ್ಯ ಸ್ಥಗಿತಗೊಳಿಸುವಿಕೆಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಅವುಗಳ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ. ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:

1) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸದಿರುವ ಏಕೈಕ ಅಂಶವೆಂದರೆ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯೊಳಗೆ.

ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮಿತಿಗಳು ಸೀಮಿತ ಮತ್ತು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ತೆಗೆದುಹಾಕಬಹುದಾದ ಸ್ಥಗಿತವನ್ನು ಅನುಭವಿಸುತ್ತದೆ.

ಈ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಹೇಗೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ?

ನಾನು ಸರಳೀಕರಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ , ಮತ್ತು ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾವನ್ನು ಪಡೆದಂತೆ ತೋರುತ್ತದೆ. ಆದರೆಮೂಲ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹಂತದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತು ಅಗತ್ಯವಿದೆ:

ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಮಾಡೋಣ:

ಉತ್ತರ: ಕಾರ್ಯವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದು ತೆಗೆದುಹಾಕಬಹುದಾದ ಸ್ಥಗಿತವನ್ನು ಅನುಭವಿಸುವ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ.

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಉತ್ತಮ ಅಥವಾ ಉತ್ತಮ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಸ್ಥಿತಿಯ ಪ್ರಕಾರ ಇದು ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಇದು ದೂರದ ಉದಾಹರಣೆ ಎಂದು ನೀವು ಹೇಳುತ್ತೀರಾ? ಇಲ್ಲವೇ ಇಲ್ಲ. ಇದು ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಹತ್ತಾರು ಬಾರಿ ಸಂಭವಿಸಿದೆ. ಸೈಟ್ನ ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಗಳು ನಿಜವಾದ ಸ್ವತಂತ್ರ ಕೆಲಸ ಮತ್ತು ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಿಂದ ಬರುತ್ತವೆ.

ನಮ್ಮ ನೆಚ್ಚಿನ ಮಾಡ್ಯೂಲ್‌ಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕೋಣ:

ಉದಾಹರಣೆ 2

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅನ್ವೇಷಿಸಿ ನಿರಂತರತೆಗಾಗಿ. ಕಾರ್ಯ ಸ್ಥಗಿತಗೊಳಿಸುವಿಕೆಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಅವುಗಳ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ. ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ: ಕೆಲವು ಕಾರಣಗಳಿಗಾಗಿ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಭಯಪಡುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಇಷ್ಟಪಡುವುದಿಲ್ಲ, ಆದಾಗ್ಯೂ ಅವರ ಬಗ್ಗೆ ಏನೂ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿಲ್ಲ. ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ಸ್ಪರ್ಶಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ರೂಪಾಂತರಗಳು. ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಕಾರಣ, ಅದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗಿದೆ: , ಅಲ್ಲಿ "ಆಲ್ಫಾ" ಕೆಲವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ತುಂಡುಗಳಾಗಿ ಬರೆಯಬೇಕು:

ಆದರೆ ಎರಡೂ ತುಣುಕುಗಳ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬೇಕು. ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಕಡಿತವು ಪರಿಣಾಮಗಳಿಲ್ಲದೆ ನಡೆಯುವುದಿಲ್ಲ. ಛೇದವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹೋಗುವುದರಿಂದ ಮೂಲ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಿಸ್ಟಮ್ ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಮಾಡಬೇಕು:

ಈಗ ಬಹಳ ಉಪಯುಕ್ತ ನಿರ್ಧಾರ ತಂತ್ರದ ಬಗ್ಗೆ: ಡ್ರಾಫ್ಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅಂತಿಮಗೊಳಿಸುವ ಮೊದಲು, ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಮಾಡುವುದು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ (ಅದು ಷರತ್ತುಗಳಿಂದ ಅಗತ್ಯವಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆ). ಇದು ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ನಿರಂತರತೆಯ ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ಥಗಿತದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ನೋಡಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾಗ ಇದು 100% ದೋಷಗಳಿಂದ ನಿಮ್ಮನ್ನು ರಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ.

ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ಮಾಡೋಣ. ನಮ್ಮ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ, ಪಾಯಿಂಟ್‌ನ ಎಡಕ್ಕೆ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ (ನೀಲಿ ಬಣ್ಣ) ತುಣುಕನ್ನು ಸೆಳೆಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ, ಮತ್ತು ಬಲಕ್ಕೆ - ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ತುಂಡು (ಕೆಂಪು ಬಣ್ಣ), ಆದರೆ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ ಸ್ವತಃ ಸೂಚಿಸಿ:

ಸಂದೇಹವಿದ್ದರೆ, ಕೆಲವು x ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅವುಗಳನ್ನು ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಪ್ಲಗ್ ಮಾಡಿ (ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಸಂಭವನೀಯ ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನಾಶಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ) ಮತ್ತು ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.

ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ನಿರಂತರತೆಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಾವು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ:

1) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹಂತದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಅದರಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ತಕ್ಷಣವೇ ಹೇಳಬಹುದು.

2) ಸ್ಥಗಿತದ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸೋಣ; ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ:

ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮಿತಿಗಳು ಸೀಮಿತವಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ, ಅಂದರೆ ಕಾರ್ಯವು 1 ನೇ ವಿಧದ ಸ್ಥಗಿತವನ್ನು ಅನುಭವಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಜಂಪ್ ಆಗುತ್ತದೆ. ಬ್ರೇಕ್ ಪಾಯಿಂಟ್‌ನಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದು ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.

ಈಗ ಉಳಿದಿರುವುದು ಡ್ರಾಫ್ಟ್‌ನಿಂದ ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ಅನ್ನು ವರ್ಗಾಯಿಸುವುದು (ಅದನ್ನು ಸಂಶೋಧನೆಯ ಸಹಾಯದಿಂದ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ ;-)) ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿ:

ಉತ್ತರ: ಜಂಪ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಮೊದಲ ರೀತಿಯ ಸ್ಥಗಿತವನ್ನು ಅನುಭವಿಸುವ ಹಂತವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಅವರಿಗೆ ಸ್ಥಗಿತದ ಜಂಪ್‌ನ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸೂಚನೆಯ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ - ಬಲ ಮಿತಿಯಿಂದ ನೀವು ಎಡ ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಳೆಯಬೇಕಾಗಿದೆ: , ಅಂದರೆ, ವಿರಾಮದ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಮ್ಮ ಕಾರ್ಯವು 2 ಘಟಕಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಜಿಗಿದಿದೆ (ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯು ನಮಗೆ ಹೇಳುವಂತೆ).

ಉದಾಹರಣೆ 3

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅನ್ವೇಷಿಸಿ ನಿರಂತರತೆಗಾಗಿ. ಕಾರ್ಯ ಸ್ಥಗಿತಗೊಳಿಸುವಿಕೆಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಅವುಗಳ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ. ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ಮಾಡಿ.

ನಿಮ್ಮದೇ ಆದ ಮೇಲೆ ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ, ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಮಾದರಿ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.

ಕಾರ್ಯವು ಮೂರು ಭಾಗಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವಾಗ ಕಾರ್ಯದ ಅತ್ಯಂತ ಜನಪ್ರಿಯ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಪಕ ಆವೃತ್ತಿಗೆ ಹೋಗೋಣ:

ಉದಾಹರಣೆ 4

ನಿರಂತರತೆಗಾಗಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸಿ

ಪರಿಹಾರ: ಕಾರ್ಯದ ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಭಾಗಗಳು ಅನುಗುಣವಾದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ತುಣುಕುಗಳ ನಡುವೆ "ಜಂಕ್ಷನ್" ನ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ. ಮೊದಲಿಗೆ, ಡ್ರಾಫ್ಟ್ ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ಮಾಡೋಣ; ಲೇಖನದ ಮೊದಲ ಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾನು ನಿರ್ಮಾಣ ತಂತ್ರದ ಬಗ್ಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ವಿವರವಾಗಿ ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿದ್ದೇನೆ. ಒಂದೇ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ನಾವು ನಮ್ಮ ಏಕವಚನ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಅನುಸರಿಸಬೇಕು: ಅಸಮಾನತೆಯಿಂದಾಗಿ, ಮೌಲ್ಯವು ಸರಳ ರೇಖೆಗೆ (ಹಸಿರು ಚುಕ್ಕೆ) ಸೇರಿದೆ ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಯ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಮೌಲ್ಯವು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ (ಕೆಂಪು ಚುಕ್ಕೆ) ಗೆ ಸೇರಿದೆ:

ಸರಿ, ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ, ಎಲ್ಲವೂ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ =) ನಿರ್ಧಾರವನ್ನು ಔಪಚಾರಿಕಗೊಳಿಸುವುದು ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಎರಡು "ಸೇರುವ" ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ, ನಾವು 3 ನಿರಂತರತೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮಿತಿಗಳು ಸೀಮಿತವಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ, ಅಂದರೆ ಕಾರ್ಯವು 1 ನೇ ವಿಧದ ಸ್ಥಗಿತವನ್ನು ಅನುಭವಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಜಂಪ್ ಆಗುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಸ್ಥಗಿತದ ಜಂಪ್ ಅನ್ನು ಬಲ ಮತ್ತು ಎಡ ಮಿತಿಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:
, ಅಂದರೆ, ಗ್ರಾಫ್ ಒಂದು ಘಟಕವನ್ನು ಎಳೆದಿದೆ.

II)ನಾವು ನಿರಂತರತೆಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತೇವೆ

1) - ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ.

2) ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

- ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮಿತಿಗಳು ಸೀಮಿತ ಮತ್ತು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮಿತಿ ಇದೆ.

ಅಂತಿಮ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಅಂತಿಮ ಆವೃತ್ತಿಗೆ ವರ್ಗಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅದರ ನಂತರ ನಾವು ಅಂತಿಮ ಸ್ವರಮೇಳವನ್ನು ಹಾಕುತ್ತೇವೆ:

ಉತ್ತರ: ಕಾರ್ಯವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಜಂಪ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಮೊದಲ ರೀತಿಯ ಸ್ಥಗಿತವನ್ನು ಅನುಭವಿಸುವ ಹಂತವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 5

ನಿರಂತರತೆಗಾಗಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ .

ಇದು ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ, ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಅಂದಾಜು ಮಾದರಿ.

ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದರಲ್ಲಿ ಸ್ಥಗಿತಗೊಳ್ಳಬೇಕು ಎಂಬ ಅನಿಸಿಕೆ ನಿಮಗೆ ಬರಬಹುದು. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ ಅಲ್ಲ. ಉಳಿದ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸದಿರಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ - ಹಲವಾರು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಮತ್ತು ಪ್ರಮುಖ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳಿವೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 6

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ . ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ನಿರಂತರತೆಗಾಗಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ತನಿಖೆ ಮಾಡಿ. ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ: ಮತ್ತು ಮತ್ತೆ ತಕ್ಷಣವೇ ಡ್ರಾಫ್ಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಿ:

ಈ ಗ್ರಾಫ್‌ನ ವಿಶಿಷ್ಟತೆಯೆಂದರೆ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ತುಂಡು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಈ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಹಸಿರು ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ನೋಟ್ಬುಕ್ನಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸರಳ ಪೆನ್ಸಿಲ್ನೊಂದಿಗೆ ದಪ್ಪದಲ್ಲಿ ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು, ಸಹಜವಾಗಿ, ನಮ್ಮ ರಾಮ್ಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮರೆಯಬೇಡಿ: ಮೌಲ್ಯವು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಶಾಖೆಗೆ (ಕೆಂಪು ಚುಕ್ಕೆ) ಸೇರಿದೆ, ಮತ್ತು ಮೌಲ್ಯವು ನೇರ ರೇಖೆಗೆ ಸೇರಿದೆ.

ರೇಖಾಚಿತ್ರದಿಂದ ಎಲ್ಲವೂ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ - ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಔಪಚಾರಿಕಗೊಳಿಸುವುದು ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆ, ಇದನ್ನು 3-4 ರೀತಿಯ ಉದಾಹರಣೆಗಳ ನಂತರ ಅಕ್ಷರಶಃ ಪೂರ್ಣ ಯಾಂತ್ರೀಕೃತಗೊಳಿಸುವಿಕೆಗೆ ತರಲಾಗುತ್ತದೆ:

I)ನಾವು ನಿರಂತರತೆಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತೇವೆ

2) ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:

, ಅಂದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮಿತಿ ಇದೆ.

ಇಲ್ಲಿ ಸ್ವಲ್ಪ ತಮಾಷೆಯ ಸಂಗತಿ ನಡೆದಿದೆ. ಸತ್ಯವೆಂದರೆ ನಾನು ಬಹಳಷ್ಟು ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ರಚಿಸಿದ್ದೇನೆ ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ, ಮತ್ತು ಹಲವಾರು ಬಾರಿ ನಾನು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ, ಆದರೆ ಹಲವಾರು ಬಾರಿ ನಾನು ಒಂದು ಸರಳ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಮರೆತಿದ್ದೇನೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಇಚ್ಛೆಯ ನಂಬಲಾಗದ ಪ್ರಯತ್ನದಿಂದ, ನಾನು ಆಲೋಚನೆಯನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳದಂತೆ ನನ್ನನ್ನು ಒತ್ತಾಯಿಸಿದೆ =) ಹೆಚ್ಚಾಗಿ, ಕೆಲವು "ಡಮ್ಮೀಸ್" ಓದುಗರು ಅನುಮಾನಿಸುತ್ತಾರೆ: ಸ್ಥಿರಾಂಕದ ಮಿತಿ ಏನು?ಸ್ಥಿರಾಂಕದ ಮಿತಿಯು ಸ್ಥಿರಾಂಕಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಶೂನ್ಯದ ಮಿತಿಯು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಎಡಗೈ ಮಿತಿ).

3) - ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿಯು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಈ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ನಿರಂತರತೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

II)ನಾವು ನಿರಂತರತೆಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತೇವೆ

1) - ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ.

2) ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ, ಬಲಗೈ ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಏಕತೆಯ ಮಿತಿಯು ಏಕತೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

- ಸಾಮಾನ್ಯ ಮಿತಿ ಇದೆ.

ಎಂದಿನಂತೆ, ಸಂಶೋಧನೆಯ ನಂತರ ನಾವು ನಮ್ಮ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಅಂತಿಮ ಆವೃತ್ತಿಗೆ ವರ್ಗಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಉತ್ತರ: ಕಾರ್ಯವು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಈ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ನಾವು ನಿರಂತರತೆಗಾಗಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಬಗ್ಗೆ ಏನನ್ನೂ ಕೇಳಲಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಉತ್ತಮ ಗಣಿತದ ರೂಪವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ. ನಿಖರ ಮತ್ತು ಸ್ಪಷ್ಟಕೇಳಿದ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರ. ಮೂಲಕ, ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ನಿಮಗೆ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸದಿರಲು ನಿಮಗೆ ಎಲ್ಲ ಹಕ್ಕಿದೆ (ಆದರೂ ನಂತರ ಶಿಕ್ಷಕರು ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಒತ್ತಾಯಿಸಬಹುದು).

ಅದನ್ನು ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಣ್ಣ ಗಣಿತದ "ನಾಲಿಗೆ ಟ್ವಿಸ್ಟರ್":

ಉದಾಹರಣೆ 7

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ .

ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ನಿರಂತರತೆಗಾಗಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ತನಿಖೆ ಮಾಡಿ. ಬ್ರೇಕ್‌ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳು ಯಾವುದಾದರೂ ಇದ್ದರೆ ವರ್ಗೀಕರಿಸಿ. ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಿ.

ಎಲ್ಲಾ "ಪದಗಳನ್ನು" ಸರಿಯಾಗಿ "ಉಚ್ಚರಿಸಲು" ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ =) ಮತ್ತು ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ಸೆಳೆಯಿರಿ, ನಿಖರತೆ, ಅದು ಎಲ್ಲೆಡೆ ಅತಿಯಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ;-)

ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿರುವಂತೆ, ಡ್ರಾಫ್ಟ್‌ನಂತೆ ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ಅನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು ನಾನು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡಿದ್ದೇನೆ, ಆದರೆ ಕಾಲಕಾಲಕ್ಕೆ ನೀವು ಗ್ರಾಫ್ ಹೇಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ತಕ್ಷಣ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತೀರಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಮೊದಲು ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಮಾತ್ರ, ಅಧ್ಯಯನದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಶಾಖೆಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತಿಮ ಎರಡು ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಕೆಲವು ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ತಂತ್ರವನ್ನು ಸಹ ಕಲಿಯುತ್ತೇವೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 8

ನಿರಂತರತೆಗಾಗಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಸ್ಕೀಮ್ಯಾಟಿಕ್ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ: ಕೆಟ್ಟ ಅಂಕಗಳು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿವೆ: (ಘಾತದ ಛೇದವನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸುತ್ತದೆ) ಮತ್ತು (ಇಡೀ ಭಾಗದ ಛೇದವನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸುತ್ತದೆ). ಈ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಹೇಗೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ ಮೊದಲು ಕೆಲವು ಸಂಶೋಧನೆ ಮಾಡುವುದು ಉತ್ತಮ:

I)ನಾವು ನಿರಂತರತೆಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತೇವೆ

2) ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ಗಮನ ಕೊಡಿ ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ವಿಶಿಷ್ಟ ವಿಧಾನ: "x" ಬದಲಿಗೆ ನಾವು ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ . ಛೇದದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಅಪರಾಧವಿಲ್ಲ: "ಸೇರ್ಪಡೆ" "ಮೈನಸ್ ಶೂನ್ಯ" ಒಂದು ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶವು "ನಾಲ್ಕು" ಆಗಿದೆ. ಆದರೆ ಅಂಶದಲ್ಲಿ ಸ್ವಲ್ಪ ಥ್ರಿಲ್ಲರ್ ನಡೆಯುತ್ತಿದೆ: ಮೊದಲು ನಾವು ಸೂಚಕದ ಛೇದದಲ್ಲಿ -1 ಮತ್ತು 1 ಅನ್ನು ಕೊಲ್ಲುತ್ತೇವೆ, ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ . ಘಟಕದಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗಿದೆ , "ಮೈನಸ್ ಇನ್ಫಿನಿಟಿ" ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ: . ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ, "ಎರಡು" ಇನ್ ಅನಂತ ದೊಡ್ಡ ಋಣಾತ್ಮಕ ಪದವಿಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮ: . ಅಥವಾ, ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿರಲು: .

ಬಲಗೈ ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:

ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ - "X" ಬದಲಿಗೆ ನಾವು ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ . ಛೇದದಲ್ಲಿ, "ಸಂಯೋಜಕ" ಮತ್ತೆ ಒಂದು ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ: . ಅಂಶದಲ್ಲಿ, ಹಿಂದಿನ ಮಿತಿಗೆ ಹೋಲುವ ಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ: ನಾವು ವಿರುದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಾಶಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಒಂದನ್ನು ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ :

ಬಲಗೈ ಮಿತಿಯು ಅನಂತವಾಗಿದೆ, ಇದರರ್ಥ ಕಾರ್ಯವು ಹಂತದಲ್ಲಿ 2 ನೇ ವಿಧದ ಸ್ಥಗಿತವನ್ನು ಅನುಭವಿಸುತ್ತದೆ.

II)ನಾವು ನಿರಂತರತೆಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತೇವೆ

1) ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ.

2) ಎಡ-ಬದಿಯ ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:

ವಿಧಾನವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ: ನಾವು "X" ಅನ್ನು ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅಂಶದಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಏನೂ ಇಲ್ಲ - ಇದು ಸೀಮಿತ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಛೇದದಲ್ಲಿ ನಾವು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುತ್ತೇವೆ, "ಮೂರು" ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿ, ಮತ್ತು "ಸಂಯೋಜಕ" ನಿರ್ಣಾಯಕ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತದೆ.

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಅಂತಿಮ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಭಾಗಿಸಿ ಅಪರಿಮಿತ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ, "ಪ್ಲಸ್ ಇನ್ಫಿನಿಟಿ" ನೀಡುತ್ತದೆ: .

ಬಲಗೈ ಮಿತಿಯು ಅವಳಿ ಸಹೋದರನಂತಿದೆ, ಇದು ಛೇದದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಏಕೈಕ ವಿನಾಯಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಅಪರಿಮಿತ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ:

ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮಿತಿಗಳು ಅನಂತವಾಗಿವೆ, ಅಂದರೆ ಕಾರ್ಯವು ಹಂತದಲ್ಲಿ 2 ನೇ ರೀತಿಯ ಸ್ಥಗಿತವನ್ನು ಅನುಭವಿಸುತ್ತದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಎರಡು ಬ್ರೇಕ್ ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು, ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಗ್ರಾಫ್ನ ಮೂರು ಶಾಖೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಪ್ರತಿ ಶಾಖೆಗೆ, ಪಾಯಿಂಟ್-ಬೈ-ಪಾಯಿಂಟ್ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಹಲವಾರು "x" ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅವುಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿ . ಸ್ಕೀಮ್ಯಾಟಿಕ್ ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ನಿರ್ಮಾಣಕ್ಕೆ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ, ಮತ್ತು ಅಂತಹ ವಿಶ್ರಾಂತಿ ಹಸ್ತಚಾಲಿತ ಕೆಲಸಕ್ಕೆ ನೈಸರ್ಗಿಕವಾಗಿದೆ. ನಾನು ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತೇನೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನನಗೆ ಅಂತಹ ತೊಂದರೆಗಳಿಲ್ಲ, ಇಲ್ಲಿ ಸಾಕಷ್ಟು ನಿಖರವಾದ ಚಿತ್ರವಿದೆ:

ನೇರ ಇವೆ ಲಂಬವಾದ ರೋಗಲಕ್ಷಣಗಳುಈ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ಗಾಗಿ.

ಉತ್ತರ: ಕಾರ್ಯವು 2 ನೇ ವಿಧದ ಸ್ಥಗಿತಗಳನ್ನು ಅನುಭವಿಸುವ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಲು ಸರಳವಾದ ಕಾರ್ಯ:

ಉದಾಹರಣೆ 9

ನಿರಂತರತೆಗಾಗಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ ಮತ್ತು ಸ್ಕೀಮ್ಯಾಟಿಕ್ ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ಮಾಡಿ.

ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರದ ಅಂದಾಜು ಉದಾಹರಣೆ ಗಮನಿಸದೆ ಹರಿದಾಡಿತು.

ಶೀಘ್ರದಲ್ಲೇ ನಿಮ್ಮನ್ನು ನೋಡೋಣ!

ಪರಿಹಾರಗಳು ಮತ್ತು ಉತ್ತರಗಳು:

ಉದಾಹರಣೆ 3:ಪರಿಹಾರ : ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸಿ: . ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುವಿಕೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಮತ್ತು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ , ನಾವು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ತುಂಡು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:

ನಿರಂತರತೆಗಾಗಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ.

1) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹಂತದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ .

ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮಿತಿಗಳು ಸೀಮಿತ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ, ಇದರರ್ಥ ಕಾರ್ಯವು 1 ನೇ ವಿಧದ ಸ್ಥಗಿತವನ್ನು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಜಿಗಿತವನ್ನು ಅನುಭವಿಸುತ್ತದೆ . ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಮಾಡೋಣ:

ಉತ್ತರ: ಪಾಯಿಂಟ್ ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ , ಇದರಲ್ಲಿ ಇದು ಜಂಪ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಮೊದಲ ರೀತಿಯ ಸ್ಥಗಿತವನ್ನು ಅನುಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಜಂಪ್ ಗ್ಯಾಪ್: (ಎರಡು ಘಟಕಗಳು ಮೇಲಕ್ಕೆ).

ಉದಾಹರಣೆ 5:ಪರಿಹಾರ : ಕಾರ್ಯದ ಮೂರು ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ತನ್ನದೇ ಆದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
I)
1)

2) ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:

, ಅಂದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮಿತಿ ಇದೆ.
3) - ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿಯು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಈ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಆದ್ದರಿಂದ ಕಾರ್ಯ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ನಿರಂತರತೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮೂಲಕ.
II) ನಾವು ನಿರಂತರತೆಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತೇವೆ

1) - ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕಾರ್ಯವು ಹಂತದಲ್ಲಿ 2 ನೇ ವಿಧದ ಸ್ಥಗಿತವನ್ನು ಅನುಭವಿಸುತ್ತದೆ

ಕಾರ್ಯದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು?

ಪರಿಹಾರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಎಲ್ಲೋ ಏನೋ ಕಾಣೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದರೆ ಎಲ್ಲೋ ಏನೋ ಇದೆ ಎಂದರ್ಥ

ನಾವು "ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳು" ವಿಭಾಗವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ಪ್ರಯಾಣದ ಮುಂದಿನ ನಿಲ್ದಾಣವಾಗಿದೆ ಕಾರ್ಯ ಡೊಮೇನ್. ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಸಕ್ರಿಯ ಚರ್ಚೆಯು ಮೊದಲ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭವಾಯಿತು. ಕಾರ್ಯ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳ ಬಗ್ಗೆ, ಅಲ್ಲಿ ನಾನು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಅವುಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ಗಳನ್ನು ನೋಡಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಡಮ್ಮೀಸ್ ವಿಷಯದ ಮೂಲಭೂತ ವಿಷಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಲು ನಾನು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ನಾನು ಮತ್ತೆ ಕೆಲವು ಮೂಲಭೂತ ಅಂಶಗಳ ಮೇಲೆ ವಾಸಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ರೇಖೀಯ, ಚತುರ್ಭುಜ, ಘನ ಕಾರ್ಯಗಳು, ಬಹುಪದಗಳು, ಘಾತೀಯ, ಲಾಗರಿಥಮ್, ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್: ಮೂಲ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ಗಳನ್ನು ಓದುಗರಿಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್‌ಗಳು, ಆರ್ಕ್‌ಸೈನ್‌ಗಳು, ಹಾಗಿರಲಿ, ನಾನು ನಿನ್ನನ್ನು ಕ್ಷಮಿಸುತ್ತೇನೆ =) ಅಪರೂಪದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳು ತಕ್ಷಣವೇ ನೆನಪಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಸರಳವಾದ ವಿಷಯವೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ತಾರ್ಕಿಕ ಪ್ರಶ್ನೆಯು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ: ಲೇಖನವು ಯಾವುದರ ಬಗ್ಗೆ ಇರುತ್ತದೆ? ಈ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ನಾನು ಕಾರ್ಯದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇನೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ನಾವು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುತ್ತೇವೆ ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನೊಂದಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆಗಳು, ಹೆಚ್ಚಿನ ಗಣಿತದ ಇತರ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರ ಕೌಶಲ್ಯಗಳು ಸಹ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ವಸ್ತು, ಮೂಲಕ, ಎಲ್ಲಾ ಶಾಲಾ ವಸ್ತುವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಸಹ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮಾಹಿತಿಯು ಸಹಜವಾಗಿ, ಎನ್ಸೈಕ್ಲೋಪೀಡಿಕ್ ಎಂದು ನಟಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಇಲ್ಲಿ ದೂರದ "ಸತ್ತ" ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಹುರಿದ ಚೆಸ್ಟ್ನಟ್ಗಳು, ಇವುಗಳನ್ನು ನಿಜವಾದ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಕೃತಿಗಳಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ.

ವಿಷಯಕ್ಕೆ ತ್ವರಿತ ಡೈವ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ. ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯದ ಬಗ್ಗೆ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ: ನಾವು ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಕಾರ್ಯದ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆ. ಇದರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಆಗಿದೆ "x" ನ ಅನೇಕ ಅರ್ಥಗಳು, ಯಾವುದಕ್ಕಾಗಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ"ಆಟಗಾರರು" ಅರ್ಥಗಳು. ಒಂದು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ:

ಈ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿದೆ:
(ಮರೆತವರಿಗೆ: - ಏಕೀಕರಣ ಐಕಾನ್). ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನೀವು ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ "x" ನ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ , ಅಥವಾ ಇಂದ , ಅಥವಾ ನಿಂದ , ಅಂತಹ ಪ್ರತಿಯೊಂದು "x" ಗೆ "y" ಮೌಲ್ಯವಿರುತ್ತದೆ.

ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಇರುವಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಇರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಅರ್ಧ-ಮಧ್ಯಂತರ ಮತ್ತು "tse" ಪಾಯಿಂಟ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಗ್ರಾಫ್ ಇಲ್ಲ.

ಹೌದು, ಮೂಲಕ, ಮೊದಲ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್‌ಗಳ ಪರಿಭಾಷೆ ಮತ್ತು/ಅಥವಾ ವಿಷಯದಿಂದ ಏನಾದರೂ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಲೇಖನಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗುವುದು ಉತ್ತಮ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ
ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಫ್ (X)ಎಂದು ಕರೆದರು ಬಿಂದು x ನಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ 0 ಈ ಹಂತದ ನೆರೆಹೊರೆ, ಮತ್ತು x ನಂತೆ ಮಿತಿಯು x ಗೆ ಒಲವು ತೋರಿದರೆ 0 x ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ 0 :
.

ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಮಿತಿಯ ಕೌಚಿ ಮತ್ತು ಹೈನ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ನೀಡಬಹುದು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ನಿರಂತರತೆಯ ವಿಸ್ತೃತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು .

ನಾವು ನಿರಂತರತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸಬಹುದು ಏರಿಕೆಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಹೊಸ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದನ್ನು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ವೇರಿಯಬಲ್ x ನ ಹೆಚ್ಚಳ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಕಾರ್ಯವು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ
.
ಹೊಸ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ:
.
ಅವರು ಅವಳನ್ನು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ಕಾರ್ಯ ಹೆಚ್ಚಳಹಂತದಲ್ಲಿ. ನಂತರ ಕಾರ್ಯವು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ
.

ನಿರಂತರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿಯ ಪ್ರಮೇಯ
ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಫ್ (X)ಬಿಂದು x ನಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ 0 . ನಂತರ ನೆರೆಹೊರೆ ಯು ಇದೆ (x0), ಅದರ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯವು ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ.

ನಿರಂತರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯ ಸಂರಕ್ಷಣೆಯ ಪ್ರಮೇಯ
ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯ ನಿರಂತರವಾಗಿರಲಿ. ಮತ್ತು ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಧನಾತ್ಮಕ (ಋಣಾತ್ಮಕ) ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿ:
.
ನಂತರ ಕಾರ್ಯವು ಧನಾತ್ಮಕ (ಋಣಾತ್ಮಕ) ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆ ಇದೆ:
ನಲ್ಲಿ.

ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು
ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರಲಿ.
ನಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳು , ಮತ್ತು ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ .
ಒಂದು ವೇಳೆ, ಕಾರ್ಯವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಎಡ-ಬಲ ನಿರಂತರತೆಯ ಆಸ್ತಿ
ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಬಲ ಮತ್ತು ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು "ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು" ಪುಟದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ನಿರಂತರತೆ

ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ನಿರಂತರತೆಯ ಪ್ರಮೇಯ
ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯ ನಿರಂತರವಾಗಿರಲಿ. ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರಲಿ.
ನಂತರ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿ

ಒಂದು ಕ್ರಿಯೆಯ ನಿರಂತರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿಯ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಮೇಯ
ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿ ಇರಲಿ, ಮತ್ತು ಇದು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:
.
ಇಲ್ಲಿ ಪಾಯಿಂಟ್ ಟಿ 0 ಸೀಮಿತವಾಗಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಅನಂತ ದೂರದಲ್ಲಿರಬಹುದು: .
ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರಲಿ.
ನಂತರ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿ ಇದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:
.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿಯ ಪ್ರಮೇಯ
ಕಾರ್ಯವು ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿ ಮತ್ತು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆಯನ್ನು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆಯ ಮೇಲೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡಿ. ಈ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೇಲೆ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿ.
ಅಂತಿಮ ಅಥವಾ ಅನಂತ ದೂರದ ಅಂಕಗಳು ಇಲ್ಲಿವೆ: . ನೆರೆಹೊರೆಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಮಿತಿಗಳು ಎರಡು-ಬದಿಯ ಅಥವಾ ಏಕಪಕ್ಷೀಯವಾಗಿರಬಹುದು.
ನಂತರ ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿ ಇದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:
.

ಬ್ರೇಕ್ ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳು

ಬ್ರೇಕ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು
ಪಾಯಿಂಟ್‌ನ ಕೆಲವು ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ. ಪಾಯಿಂಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಫಂಕ್ಷನ್ ಬ್ರೇಕ್ ಪಾಯಿಂಟ್, ಎರಡು ಷರತ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ:
1) ರಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ;
2) ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅಲ್ಲ.

1 ನೇ ವಿಧದ ಸ್ಥಗಿತದ ಬಿಂದುವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು
ಪಾಯಿಂಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮೊದಲ ರೀತಿಯ ಸ್ಥಗಿತದ ಬಿಂದು, ಬ್ರೇಕ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತ ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮಿತಿಗಳಿದ್ದರೆ:
.

ಫಂಕ್ಷನ್ ಜಂಪ್‌ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ
ಜಂಪ್ Δ ಕಾರ್ಯಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಬಲ ಮತ್ತು ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಮಿತಿಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ
.

ಬ್ರೇಕ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು
ಪಾಯಿಂಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ತೆಗೆಯಬಹುದಾದ ಬ್ರೇಕ್ ಪಾಯಿಂಟ್, ಮಿತಿ ಇದ್ದರೆ
,
ಆದರೆ ಪಾಯಿಂಟ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ ಅಥವಾ ಮಿತಿ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ: .

ಹೀಗಾಗಿ, ತೆಗೆಯಬಹುದಾದ ಸ್ಥಗಿತದ ಬಿಂದುವು 1 ನೇ ವಿಧದ ಸ್ಥಗಿತದ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಜಂಪ್ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

2 ನೇ ವಿಧದ ಸ್ಥಗಿತದ ಬಿಂದುವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು
ಪಾಯಿಂಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎರಡನೇ ರೀತಿಯ ಸ್ಥಗಿತದ ಬಿಂದು, ಇದು 1 ನೇ ವಿಧದ ಸ್ಥಗಿತದ ಬಿಂದುವಲ್ಲದಿದ್ದರೆ. ಅಂದರೆ, ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು-ಬದಿಯ ಮಿತಿ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅಥವಾ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು-ಬದಿಯ ಮಿತಿಯು ಅನಂತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ
ಮುಕ್ತ ಮಧ್ಯಂತರದ (at) ಮತ್ತು ಕ್ರಮವಾಗಿ a ಮತ್ತು b ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (at) ನಿರಂತರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವಿಯರ್‌ಸ್ಟ್ರಾಸ್‌ನ ಮೊದಲ ಪ್ರಮೇಯವು ಒಂದು ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಬೌಂಡೆಡ್‌ನೆಸ್‌ನ ಇಂಟರ್ವಲ್‌ನಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ
ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಗರಿಷ್ಠ (ಕನಿಷ್ಠ) ಸಾಧಿಸುವಿಕೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು
ವಾದವಿದ್ದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಅದರ ಗರಿಷ್ಠ (ಕನಿಷ್ಠ) ಅನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ
ಎಲ್ಲರಿಗೂ .

ಮೇಲಿನ (ಕೆಳಗಿನ) ಮುಖದ ತಲುಪುವಿಕೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು
ಒಂದು ಫಂಕ್ಷನ್‌ಗೆ ವಾದವಿದ್ದಲ್ಲಿ ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಅದರ ಮೇಲಿನ (ಕೆಳಗಿನ) ಬೌಂಡ್ ಅನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ
.

ನಿರಂತರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠದ ಮೇಲೆ ವೈರ್‌ಸ್ಟ್ರಾಸ್‌ನ ಎರಡನೇ ಪ್ರಮೇಯ
ಒಂದು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾದ ಕಾರ್ಯವು ಅದರ ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಅದರ ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ.

ಬೊಲ್ಜಾನೊ-ಕೌಚಿ ಮಧ್ಯಂತರ ಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯ
ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿರಲಿ. ಮತ್ತು C ವಿಭಾಗದ ತುದಿಯಲ್ಲಿರುವ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಡುವೆ ಇರುವ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಲಿ: ಮತ್ತು . ನಂತರ ಒಂದು ಅಂಶವಿದೆ
.

ಫಲಿತಾಂಶ 1
ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿರಲಿ. ಮತ್ತು ವಿಭಾಗದ ತುದಿಯಲ್ಲಿರುವ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿ: ಅಥವಾ . ನಂತರ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಒಂದು ಹಂತವಿದೆ:
.

ಫಲಿತಾಂಶ 2
ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿರಲಿ. ಹೋಗಲಿ ಬಿಡಿ . ನಂತರ ಕಾರ್ಯವು ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ ಮಾತ್ರ:
ನಲ್ಲಿ.

ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯಗಳು

ವಿಲೋಮ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ
ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು X ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಮತ್ತು Y ಮೌಲ್ಯಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿ. ಮತ್ತು ಅದು ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿ:
ಎಲ್ಲರಿಗೂ .
ನಂತರ Y ಸೆಟ್‌ನಿಂದ ಯಾವುದೇ ಅಂಶಕ್ಕೆ X ಸೆಟ್‌ನ ಒಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು. ಈ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವು ಎಂಬ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯಗೆ . ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ
;
ಎಲ್ಲರಿಗೂ ;
ಎಲ್ಲರಿಗೂ .

ನೇರ ಮತ್ತು ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯಗಳ ಪರಸ್ಪರ ಏಕತಾನತೆಯ ಮೇಲೆ ಲೆಮ್ಮಾ
ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದ್ದರೆ (ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ), ನಂತರ ಒಂದು ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವಿದೆ, ಅದು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ (ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ).

ನೇರ ಮತ್ತು ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಆಸ್ತಿ
ನೇರ ಮತ್ತು ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ನೇರ ರೇಖೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವಿಲೋಮ ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಸ್ತಿತ್ವ ಮತ್ತು ನಿರಂತರತೆಯ ಪ್ರಮೇಯ
ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಮತ್ತು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರಲಿ (ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ). ನಂತರ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ (ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ).

ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ. ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು - .

ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವಿಲೋಮ ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಸ್ತಿತ್ವ ಮತ್ತು ನಿರಂತರತೆಯ ಪ್ರಮೇಯ
ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಮುಕ್ತ ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಅನಂತ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ (ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ). ನಂತರ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ (ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ).

ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ.
ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು: .

ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ಅರ್ಧ-ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವಿಲೋಮ ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಸ್ತಿತ್ವ ಮತ್ತು ನಿರಂತರತೆಯ ಮೇಲೆ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ರೂಪಿಸಬಹುದು.

ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ನಿರಂತರತೆ

ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ವಿಲೋಮಗಳು ಅವುಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಕೆಳಗೆ ನಾವು ಅನುಗುಣವಾದ ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಪುರಾವೆಗಳಿಗೆ ಲಿಂಕ್ಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯ

ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯ f (x) = a x, ಬೇಸ್ ಎ ಜೊತೆ > 0 ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ
,
x ಗೆ ಒಲವು ತೋರುವ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಅನುಕ್ರಮ ಎಲ್ಲಿದೆ:
.

ಪ್ರಮೇಯ. ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು
ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:
(ಪಿ.0)ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಫಾರ್ , ಎಲ್ಲರಿಗೂ ;
(ಪಿ.1)ಒಂದು ≠ ಗಾಗಿ 1 ಅನೇಕ ಅರ್ಥಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ;
(P.2)ನಲ್ಲಿ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ, ನಲ್ಲಿ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ನಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ;
(P.3) ;
(P.3*) ;
(P.4) ;
(P.5) ;
(ಪಿ.6) ;
(ಪಿ.7) ;
(ಪಿ.8)ಎಲ್ಲರಿಗೂ ನಿರಂತರ;
(ಪಿ.9)ನಲ್ಲಿ;
ನಲ್ಲಿ.

ಲಾಗರಿಥಮ್

ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್, ಅಥವಾ ಲಾಗರಿಥಮ್, ವೈ = ಲಾಗ್ ಕೊಡಲಿ, ಬೇಸ್ ಎ ಜೊತೆಬೇಸ್ a ನೊಂದಿಗೆ ಘಾತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ವಿಲೋಮವಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ. ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು
ಆಧಾರ a, y = ಜೊತೆಗೆ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಲಾಗ್ ಎ x, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:
(L.1)ವಾದದ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನಿರಂತರ;
(L.2)ಅನೇಕ ಅರ್ಥಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ;
(L.3)ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ, ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ;
(L.4)ನಲ್ಲಿ;
ನಲ್ಲಿ;
(L.5) ;
(L.6)ನಲ್ಲಿ;
(L.7)ನಲ್ಲಿ;
(L.8)ನಲ್ಲಿ;
(L.9)ನಲ್ಲಿ.

ಘಾತ ಮತ್ತು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್

ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಲ್ಲಿ, ಸ್ಥಿರವು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಶಕ್ತಿಯ ಬೇಸ್ ಅಥವಾ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಬೇಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ, ಬಹುಪಾಲು ಪ್ರಕರಣಗಳಲ್ಲಿ, ಇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಆಧಾರವಾಗಿ ಬಳಸಿದರೆ ಸರಳವಾದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:
.
ಬೇಸ್ e ನೊಂದಿಗೆ ಘಾತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಘಾತಾಂಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ: ಮತ್ತು ಬೇಸ್ e ಯೊಂದಿಗೆ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಘಾತಾಂಕ ಮತ್ತು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪುಟಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ
"ಘಾತ, ಇ ಟು ದಿ ಪವರ್ ಆಫ್ x",
"ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್, ಎಲ್ಎನ್ ಎಕ್ಸ್ ಫಂಕ್ಷನ್"

ಪವರ್ ಕಾರ್ಯ

ಘಾತಾಂಕ p ಜೊತೆ ಪವರ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಫಂಕ್ಷನ್ f ಆಗಿದೆ (x) = x ಪು, ಪಾಯಿಂಟ್ x ನಲ್ಲಿನ ಮೌಲ್ಯವು ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಪಾಯಿಂಟ್ p ನಲ್ಲಿ ಬೇಸ್ x ನೊಂದಿಗೆ ಇರುತ್ತದೆ.
ಜೊತೆಗೆ, ಎಫ್ (0) = 0 p = 0 p > ಗಾಗಿ 0 .

ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ವಾದದ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ y = x p ಪವರ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಭಾಗಲಬ್ಧಗಳಿಗೆ, ಬೆಸ m ಗಾಗಿ, ಋಣಾತ್ಮಕ x ಗಾಗಿ ವಿದ್ಯುತ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಹ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸಮ ಅಥವಾ ಬೆಸ ಬಳಸಿ ಪಡೆಯಬಹುದು.
ಈ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು "ಪವರ್ ಫಂಕ್ಷನ್, ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಗ್ರಾಫ್ಗಳು" ಪುಟದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ. ವಿದ್ಯುತ್ ಕಾರ್ಯದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು (x ≥ 0)
ಪವರ್ ಫಂಕ್ಷನ್, y = x p, ಘಾತ p ಯೊಂದಿಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:
(C.1)ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನಿರಂತರ
ನಲ್ಲಿ,
ನಲ್ಲಿ ".

ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು

ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ನಿರಂತರತೆಯ ಪ್ರಮೇಯ
ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು: ಸೈನ್ ( ಪಾಪ x), ಕೊಸೈನ್ ( cos x), ಸ್ಪರ್ಶಕ ( tg x) ಮತ್ತು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ ( ctg x

ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ನಿರಂತರತೆಯ ಪ್ರಮೇಯ
ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು: ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ( ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ x), ಆರ್ಕ್ ಕೊಸೈನ್ ( ಆರ್ಕೋಸ್ ಎಕ್ಸ್), ಆರ್ಕ್ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ( ಆರ್ಕ್ಟಾನ್ x) ಮತ್ತು ಆರ್ಕ್ ಸ್ಪರ್ಶಕ ( arcctg x), ಅವುಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ.