ಎದುರು ಭಾಗದ ಸಂಬಂಧ. ಬಲ ತ್ರಿಕೋನ: ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್, ಸ್ಪರ್ಶಕ, ಕೋನದ ಕೋಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್

ಸೂಚನೆಗಳು

ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನವು ಅದರ ಒಂದು ಕೋನವು 90 ಡಿಗ್ರಿಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಬಲ-ಕೋನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಎರಡು ಕಾಲುಗಳು ಮತ್ತು ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ದೊಡ್ಡ ಭಾಗಈ ತ್ರಿಕೋನ. ಇದು ಲಂಬ ಕೋನದ ವಿರುದ್ಧ ಇರುತ್ತದೆ. ಕಾಲುಗಳು, ಅದರ ಪ್ರಕಾರ, ಅದರ ಸಣ್ಣ ಬದಿಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತವೆ. ಅವರು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಹೊಂದಬಹುದು ವಿವಿಧ ಗಾತ್ರಗಳು. ನೀವು ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನದೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದೀರಿ ಎಂಬುದು ಕಾಲುಗಳ ಸಮಾನತೆಯಾಗಿದೆ. ಇದರ ಸೌಂದರ್ಯವೆಂದರೆ ಅದು ಎರಡು ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ: ಆಯತಾಕಾರದ ಮತ್ತು ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಭುಜ. ಕಾಲುಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ತ್ರಿಕೋನವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮೂಲ ಕಾನೂನನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ: ದೊಡ್ಡ ಕೋನ, ಅದರ ಎದುರು ಬಿದ್ದಿರುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಉರುಳುತ್ತದೆ.

ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಅನ್ನು ಮತ್ತು ಕೋನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಹಲವಾರು ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ. ಆದರೆ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೊದಲು, ಯಾವ ಕೋನವು ತಿಳಿದಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕು. ನಿಮಗೆ ಕೋನ ಮತ್ತು ಅದರ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬದಿಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ. ಕೊಸೈನ್ ತೀವ್ರ ಕೋನ(cos a) ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಅನುಪಾತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪಕ್ಕದ ಕಾಲುಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ಗೆ. ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ (ಸಿ) ಪಕ್ಕದ ಲೆಗ್ (ಬಿ) ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್‌ಗೆ a (ಕಾಸ್ ಎ) ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯಬಹುದು: cos a=b/c => c=b/cos a.

ಒಂದು ಕೋನ ಮತ್ತು ವಿರುದ್ಧ ಲೆಗ್ ನೀಡಿದರೆ, ನಂತರ ನೀವು ಕೆಲಸ ಮಾಡಬೇಕು. ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ತೀವ್ರವಾದ ಕೋನದ (ಸಿನ್ ಎ) ಸೈನ್ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ ಎದುರು ಕಾಲು(ಎ) ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್‌ಗೆ (ಸಿ). ಇಲ್ಲಿ ತತ್ವವು ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ, ಕೊಸೈನ್ ಕಾರ್ಯದ ಬದಲಿಗೆ ಸೈನ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪಾಪ a=a/c => c=a/sin a.

ನೀವು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಬಹುದು. ಆದರೆ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ತೀವ್ರವಾದ ಕೋನದ (tg a) ಸ್ಪರ್ಶಕವು ವಿರುದ್ಧ ಕಾಲಿನ (a) ಪಕ್ಕದ ಕಾಲು (b) ಗೆ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ. ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡ ನಂತರ, ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ (ಹೈಪೋಟೆನ್ಯೂಸ್ನ ಚೌಕ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆಕಾಲುಗಳ ಚೌಕಗಳು) ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡದು ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ.

ಸೂಚನೆ

ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವಾಗ, ನೀವು ಪದವಿಯೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತಿರುವಿರಿ ಎಂದು ನೆನಪಿಡಿ. ಕಾಲುಗಳ ಚೌಕಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡ ನಂತರ, ಅಂತಿಮ ಉತ್ತರವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ನೀವು ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಮೂಲಗಳು:

ಕಾಲು ಮತ್ತು ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಅನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು

90 ಡಿಗ್ರಿ ಕೋನಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿರುವ ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಪಾರ್ಶ್ವವಾಗಿದೆ. ಅದರ ಉದ್ದವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ಒಂದು ಕಾಲುಗಳ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನದ ತೀವ್ರ ಕೋನಗಳ ಗಾತ್ರವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸಾಕು.

ಸೂಚನೆಗಳು

ತಿಳಿದಿರುವ ಮತ್ತು ತೀಕ್ಷ್ಣವಾದ ಆಯತಾಕಾರದ ಕೋನವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಈ ಕೋನವು ಅದರ ವಿರುದ್ಧ/ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ನ ಗಾತ್ರವು ಈ ಕೋನಕ್ಕೆ ಲೆಗ್ನ ಅನುಪಾತವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

h = C1(ಅಥವಾ C2)/sinα;

h = C1 (ಅಥವಾ C2)/cosα.

ಉದಾಹರಣೆ: ಎಬಿಸಿ ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ AB ಮತ್ತು C ಅನ್ನು ನೀಡೋಣ. ಕೋನ B 60 ಡಿಗ್ರಿ ಮತ್ತು ಕೋನ A 30 ಡಿಗ್ರಿ ಆಗಿರಲಿ. ಲೆಗ್ BC ಯ ಉದ್ದವು 8 ಸೆಂ.ಮೀ ಹೈಪೋಟೆನ್ಯೂಸ್ AB ನ ಉದ್ದದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನೀವು ಮೇಲೆ ಸೂಚಿಸಿದ ಯಾವುದೇ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು:

AB = BC/cos60 = 8 cm.

AB = BC/sin30 = 8 cm.

ಪದ " ಕಾಲು"ನಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ ಗ್ರೀಕ್ ಪದಗಳು"ಲಂಬವಾಗಿ" ಅಥವಾ "ಪ್ಲಂಬ್" - ಇದು ತೊಂಬತ್ತು ಡಿಗ್ರಿ ಕೋನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಏಕೆ ಕರೆಯಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಕಾಲುಪಕ್ಕದ ಕೋನದ ಮೌಲ್ಯ ಮತ್ತು ಇತರ ಯಾವುದೇ ನಿಯತಾಂಕಗಳು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ov ಕಷ್ಟವೇನಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಕೋನಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು ನಿಜವಾಗಿ ತಿಳಿಯಲ್ಪಡುತ್ತವೆ.

ಸೂಚನೆಗಳು

ಪಕ್ಕದ ಕೋನದ (β) ಮೌಲ್ಯದ ಜೊತೆಗೆ, ಎರಡನೆಯ ಉದ್ದ ಕಾಲು a (b), ನಂತರ ಉದ್ದ ಕಾಲುಮತ್ತು (ಎ) ತಿಳಿದಿರುವ ಉದ್ದದ ಅಂಶವೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ಕಾಲುಮತ್ತು ತಿಳಿದಿರುವ ಕೋನದಲ್ಲಿ: a=b/tg(β). ಈ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ನೀವು ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ ನೀವು ಸ್ಪರ್ಶಕವಿಲ್ಲದೆ ಮಾಡಬಹುದು. ತಿಳಿದಿರುವ ಉದ್ದದ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧ ಕೋನದ ಸೈನ್‌ಗೆ ಬಯಸಿದ ಉದ್ದವು ಅದರಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಕಾಲುಮತ್ತು ತಿಳಿದಿರುವ ಕೋನದ ಸೈನ್ಗೆ. ಅಪೇಕ್ಷಿತ ವಿರುದ್ಧ ಕಾಲು y ತೀವ್ರ ಕೋನವನ್ನು 180°-90°-β = 90°-β ಎಂದು ತಿಳಿದಿರುವ ಕೋನದ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಯಾವುದೇ ತ್ರಿಕೋನದ ಎಲ್ಲಾ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 180° ಆಗಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ಅದರ ಒಂದು ಕೋನವು 90° ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಉದ್ದ ಕಾಲುಮತ್ತು a=sin(90°-β)∗b/sin(β) ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು.

ಪಕ್ಕದ ಕೋನದ ಮೌಲ್ಯ (β) ಮತ್ತು ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ (ಸಿ) ಉದ್ದವು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಉದ್ದ ಕಾಲುಮತ್ತು (a) ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್‌ನ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ತಿಳಿದಿರುವ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್‌ನ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು: a=c∗cos(β). ಇದು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಕೊಸೈನ್‌ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ನೀವು ಹಿಂದಿನ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಸೈನ್‌ಗಳ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಮತ್ತು ನಂತರ ಬಯಸಿದ ಉದ್ದವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು ಕಾಲು a 90° ಮತ್ತು ನಡುವಿನ ಸೈನ್‌ನ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ತಿಳಿದಿರುವ ಕೋನಲಂಬ ಕೋನದ ಸೈನ್‌ಗೆ ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್‌ನ ಉದ್ದದ ಅನುಪಾತ. ಮತ್ತು ಸೈನ್ 90 ° ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನ, ನಂತರ ನಾವು ಇದನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯಬಹುದು: a=sin(90°-β)∗c.

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಓಎಸ್ ಬಳಸಿ ವಿಂಡೋಸ್ ಸಾಫ್ಟ್‌ವೇರ್ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್. ಇದನ್ನು ಚಲಾಯಿಸಲು, ನೀವು "ಪ್ರಾರಂಭಿಸು" ಬಟನ್‌ನಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯ ಮೆನುವಿನಿಂದ "ರನ್" ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು, ಕ್ಯಾಲ್ಕ್ ಆಜ್ಞೆಯನ್ನು ಟೈಪ್ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು "ಸರಿ" ಕ್ಲಿಕ್ ಮಾಡಿ. ಪೂರ್ವನಿಯೋಜಿತವಾಗಿ ತೆರೆಯುವ ಈ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂನ ಇಂಟರ್ಫೇಸ್ನ ಸರಳ ಆವೃತ್ತಿಯಲ್ಲಿ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳುಒದಗಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅದನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದ ನಂತರ ನೀವು ಮೆನುವಿನಲ್ಲಿ "ವೀಕ್ಷಿಸು" ವಿಭಾಗವನ್ನು ಕ್ಲಿಕ್ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು "ವೈಜ್ಞಾನಿಕ" ಅಥವಾ "ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್" (ಬಳಸಿದ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ) ಸಾಲನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ ಆಪರೇಟಿಂಗ್ ಸಿಸ್ಟಮ್).

ವಿಷಯದ ಕುರಿತು ವೀಡಿಯೊ

"ಕ್ಯಾಥೆಟ್" ಎಂಬ ಪದವು ಗ್ರೀಕ್ನಿಂದ ರಷ್ಯನ್ ಭಾಷೆಗೆ ಬಂದಿತು. IN ನಿಖರವಾದ ಅನುವಾದಇದರರ್ಥ ಪ್ಲಂಬ್ ಲೈನ್, ಅಂದರೆ ಭೂಮಿಯ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಕಾಲುಗಳು ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದ ಲಂಬ ಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಬದಿಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ಕೋನದ ಎದುರು ಬದಿಯನ್ನು ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. "ಕ್ಯಾಥೆಟ್" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ವಾಸ್ತುಶಿಲ್ಪ ಮತ್ತು ತಂತ್ರಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿಯೂ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ವೆಲ್ಡಿಂಗ್ ಕೆಲಸ.

ಬಲ ತ್ರಿಕೋನ DIA ಅನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ. ಅದರ ಕಾಲುಗಳನ್ನು a ಮತ್ತು b ಎಂದು ಲೇಬಲ್ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಅನ್ನು c ಎಂದು ಲೇಬಲ್ ಮಾಡಿ. ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನದ ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ಕೋನಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್‌ಗೆ ತೀವ್ರವಾದ ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಎದುರಾಗಿರುವ ಕಾಲಿನ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಸೈನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಕೋನ. IN ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ sinCAB=a/c. ಕೊಸೈನ್ ಎಂಬುದು ಪಕ್ಕದ ಕಾಲಿನ ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್‌ಗೆ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ cosCAB=b/c. ವಿಲೋಮ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಸೆಕೆಂಟ್ ಮತ್ತು ಕೋಸೆಕ್ಯಾಂಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈ ಕೋನದ ಸೆಕೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಅನ್ನು ಪಕ್ಕದ ಕಾಲಿನಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಸೆಕ್‌ಸಿಎಬಿ = ಸಿ / ಬಿ. ಫಲಿತಾಂಶವು ಕೊಸೈನ್‌ನ ಪರಸ್ಪರವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಇದನ್ನು secCAB=1/cosSAB ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು.
ಕೋಸೆಕ್ಯಾಂಟ್ ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ನ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎದುರು ಭಾಗದಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣ ಸೈನ್ ವಿಲೋಮ. ಇದನ್ನು cosecCAB=1/sinCAB ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು

ಎರಡೂ ಕಾಲುಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಮತ್ತು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ ಮೂಲಕ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿವೆ. IN ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿಸ್ಪರ್ಶಕವು ಬದಿಯ a ಗೆ ಬದಿಯ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಪಕ್ಕದ ಬದಿಗೆ ವಿರುದ್ಧ ಭಾಗ. ಈ ಸಂಬಂಧವನ್ನು tgCAB=a/b ಸೂತ್ರದಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಕ್ರಮವಾಗಿ, ವಿಲೋಮ ಸಂಬಂಧಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ ಇರುತ್ತದೆ: ctgCAB=b/a.

ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಮತ್ತು ಎರಡೂ ಕಾಲುಗಳ ಗಾತ್ರಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಕ್ ಪೈಥಾಗರಸ್ ನಿರ್ಧರಿಸಿದರು. ಜನರು ಇನ್ನೂ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ. ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ನ ವರ್ಗವು ಕಾಲುಗಳ ಚೌಕಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅದು ಹೇಳುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, c2 = a2 + b2. ಅಂತೆಯೇ, ಪ್ರತಿ ಕಾಲು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ವರ್ಗ ಮೂಲಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಮತ್ತು ಇತರ ಕಾಲಿನ ಚೌಕಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದಿಂದ. ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು b=√(c2-a2) ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.

ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವ ಸಂಬಂಧಗಳ ಮೂಲಕ ಕಾಲಿನ ಉದ್ದವನ್ನು ಸಹ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಸೈನ್ಸ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ಗಳ ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಪ್ರಕಾರ, ಲೆಗ್ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆಈ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್. ಇದನ್ನು ಮತ್ತು ಅಥವಾ ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ ಎಂದು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಲೆಗ್ a ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, a = b*tan CAB ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ. ನಿಖರವಾಗಿ ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ನೀಡಿದ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಅಥವಾ , ಎರಡನೇ ಲೆಗ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

"ಕ್ಯಾಥೆಟ್" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ವಾಸ್ತುಶಿಲ್ಪದಲ್ಲಿಯೂ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಅಯಾನಿಕ್ ಬಂಡವಾಳ ಮತ್ತು ಅದರ ಹಿಂಭಾಗದ ಮಧ್ಯದ ಮೂಲಕ ಪ್ಲಂಬ್ಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಈ ಪದವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಾಲಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ವೆಲ್ಡಿಂಗ್ ತಂತ್ರಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ "ಫಿಲೆಟ್ ವೆಲ್ಡ್ ಲೆಗ್" ಇದೆ. ಇತರ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಇದು ಕಡಿಮೆ ಅಂತರವಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಮಾತನಾಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆಒಂದು ಭಾಗದ ನಡುವಿನ ಅಂತರವನ್ನು ಇತರ ಭಾಗದ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿರುವ ಸೀಮ್ನ ಗಡಿಗೆ ಬೆಸುಗೆ ಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವಿಷಯದ ಕುರಿತು ವೀಡಿಯೊ

ಮೂಲಗಳು:

2019 ರಲ್ಲಿ ಲೆಗ್ ಮತ್ತು ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಎಂದರೇನು

ಸೈನಸ್ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದ ತೀವ್ರ ಕೋನ α ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ ವಿರುದ್ದಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ಗೆ ಕಾಲು.
ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ಪಾಪ α.

ಕೊಸೈನ್ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದ α ತೀವ್ರ ಕೋನವು ಪಕ್ಕದ ಕಾಲಿನ ಹೈಪೋಟೆನ್ಯೂಸ್‌ನ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ.
ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ: cos α.

ಸ್ಪರ್ಶಕತೀವ್ರ ಕೋನ α ಎಂಬುದು ಎದುರು ಭಾಗದ ಪಕ್ಕದ ಬದಿಯ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ.
ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ: tg α.

ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ತೀವ್ರ ಕೋನ α ಎಂಬುದು ಪಕ್ಕದ ಬದಿಯ ಎದುರು ಭಾಗದ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ.
ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ: ctg α.

ಕೋನದ ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್, ಸ್ಪರ್ಶಕ ಮತ್ತು ಕೋಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಕೋನದ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ.

ನಿಯಮಗಳು:

ಮೂಲಭೂತ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಗುರುತುಗಳುಬಲ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ:

(α - ಕಾಲಿಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾದ ತೀವ್ರ ಕೋನ ಬಿ ಮತ್ತು ಕಾಲಿನ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿದೆ ಎ . ಬದಿ ಜೊತೆಗೆ - ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್. β - ಎರಡನೇ ತೀವ್ರ ಕೋನ).

ಬಿ ಪಾಪ α = - ಸಿ	sin 2 α + cos 2 α = 1
ಎ cos α = - ಸಿ	1 1 + ಟ್ಯಾನ್ 2 α = -- ಕಾಸ್ 2 α
ಬಿ ತನ್ α = - ಎ	1 1 + ctg 2 α = -- ಪಾಪ 2 α
ಎ ctg α = - ಬಿ	1 1 1 + -- = -- ತನ್ 2 α ಪಾಪ 2 α
ಪಾಪ α tg α = -- cos α

ತೀವ್ರ ಕೋನವು ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆಪಾಪ α ಮತ್ತುತನ್ α ಹೆಚ್ಚಳ, ಮತ್ತುcos α ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಯಾವುದೇ ತೀವ್ರ ಕೋನಕ್ಕೆ α:

ಪಾಪ (90° – α) = cos α

cos (90° – α) = sin α

ಉದಾಹರಣೆ-ವಿವರಣೆ:

ಬಲ ತ್ರಿಕೋನ ABC ಯಲ್ಲಿ ಬಿಡಿ
AB = 6,
BC = 3,
ಕೋನ A = 30º.

ಕೋನ A ನ ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೋನ B ಯ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

ಪರಿಹಾರ .

1) ಮೊದಲಿಗೆ, ಕೋನ B ಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಇಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವೂ ಸರಳವಾಗಿದೆ: ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ತೀವ್ರ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 90º ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಕೋನ B = 60º:

B = 90º - 30º = 60º.

2) ಪಾಪ A ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕೋಣ. ಆ ಪಾಪ ನಮಗೆ ಗೊತ್ತು ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆಹೈಪೋಟೆನ್ಯೂಸ್‌ಗೆ ಎದುರು ಭಾಗ. ಕೋನ A ಗಾಗಿ, ಎದುರು ಭಾಗವು ಕ್ರಿ.ಪೂ. ಆದ್ದರಿಂದ:

ಕ್ರಿ.ಪೂ. 3 1
ಪಾಪ ಎ = -- = - = -
ಎಬಿ 6 2

3) ಈಗ cos B ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ. ಕೊಸೈನ್ ಪಕ್ಕದ ಲೆಗ್ನ ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಕೋನ B ಗಾಗಿ, ಪಕ್ಕದ ಕಾಲು ಕ್ರಿ.ಪೂ. ಇದರರ್ಥ ನಾವು ಮತ್ತೆ BC ಯನ್ನು AB ಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ - ಅಂದರೆ, A ಕೋನದ ಸೈನ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ ಅದೇ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಿ:

ಕ್ರಿ.ಪೂ. 3 1
cos B = -- = - = -
ಎಬಿ 6 2

ಫಲಿತಾಂಶ ಹೀಗಿದೆ:
ಪಾಪ A = cos B = 1/2.

sin 30º = cos 60º = 1/2.

ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಒಂದು ತೀವ್ರ ಕೋನದ ಸೈನ್ ಎಂದು ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಕೊಸೈನ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆಮತ್ತೊಂದು ತೀವ್ರ ಕೋನ - ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ. ಇದು ನಿಖರವಾಗಿ ನಮ್ಮ ಎರಡು ಸೂತ್ರಗಳ ಅರ್ಥ:
ಪಾಪ (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α

ಇದನ್ನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ:

1) α = 60º ಆಗಿರಲಿ. α ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸೈನ್ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
ಪಾಪ (90º - 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.

2) α = 30º ಆಗಿರಲಿ. α ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕೊಸೈನ್ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
cos (90° – 30º) = sin 30º.
cos 60° = ಪಾಪ 30º.

(ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಾಹಿತಿಗಾಗಿ, ಬೀಜಗಣಿತ ವಿಭಾಗವನ್ನು ನೋಡಿ)

ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ - ವಿಭಾಗ ಗಣಿತ ವಿಜ್ಞಾನ, ಇದು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಪರಿಶೋಧಿಸುತ್ತದೆ. ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಬೆಳವಣಿಗೆಯು ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭವಾಯಿತು. ಮಧ್ಯಯುಗದ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಕೊಡುಗೆಮಧ್ಯಪ್ರಾಚ್ಯ ಮತ್ತು ಭಾರತದ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ಈ ವಿಜ್ಞಾನದ ಬೆಳವಣಿಗೆಗೆ ಕೊಡುಗೆ ನೀಡಿದ್ದಾರೆ.

ಈ ಲೇಖನವನ್ನು ಸಮರ್ಪಿಸಲಾಗಿದೆ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳುಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು. ಇದು ಮೂಲ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುತ್ತದೆ: ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್, ಸ್ಪರ್ಶಕ ಮತ್ತು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್. ಅವುಗಳ ಅರ್ಥವನ್ನು ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ಆರಂಭದಲ್ಲಿ, ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಕೋನದ ವಾದವು ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ.

ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು

ಕೋನದ ಸೈನ್ (ಸಿನ್ α) ಈ ಕೋನದ ಎದುರು ಕಾಲಿನ ಅನುಪಾತವು ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್‌ಗೆ.

ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ (cos α) - ಪಕ್ಕದ ಲೆಗ್ನ ಅನುಪಾತವು ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ಗೆ.

ಕೋನ ಸ್ಪರ್ಶಕ (t g α) - ಪಕ್ಕದ ಬದಿಗೆ ಎದುರು ಭಾಗದ ಅನುಪಾತ.

ಆಂಗಲ್ ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ (ಸಿ ಟಿ ಜಿ α) - ಪಕ್ಕದ ಬದಿಯ ವಿರುದ್ಧದ ಭಾಗದ ಅನುಪಾತ.

ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದ ತೀವ್ರ ಕೋನಕ್ಕೆ ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ!

ಒಂದು ದೃಷ್ಟಾಂತವನ್ನು ನೀಡೋಣ.

ಲಂಬ ಕೋನ C ಯೊಂದಿಗೆ ತ್ರಿಕೋನ ABC ಯಲ್ಲಿ, ಕೋನ A ಯ ಸೈನ್ ಲೆಗ್ BC ಯ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ AB ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್, ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಮತ್ತು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್‌ಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳ ತಿಳಿದಿರುವ ಉದ್ದದಿಂದ ಈ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.

ನೆನಪಿಡುವುದು ಮುಖ್ಯ!

ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್‌ನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು -1 ರಿಂದ 1 ರವರೆಗೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ -1 ರಿಂದ 1 ರವರೆಗೆ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಸ್ಪರ್ಶಕ ಮತ್ತು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್‌ನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಈ ಕಾರ್ಯಗಳು ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ತೀವ್ರ ಕೋನಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ. ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ತಿರುಗುವ ಕೋನದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದರ ಮೌಲ್ಯವು ತೀವ್ರವಾದ ಕೋನಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ 0 ರಿಂದ 90 ಡಿಗ್ರಿಗಳಿಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಡಿಗ್ರಿ ಅಥವಾ ರೇಡಿಯನ್‌ಗಳಲ್ಲಿನ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಕೋನವು ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ - ∞ ನಿಂದ + ∞ ನಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. .

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಪ್ರಮಾಣದ ಕೋನದ ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್, ಸ್ಪರ್ಶಕ ಮತ್ತು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಕಾರ್ಟೀಸಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಅದರ ಕೇಂದ್ರದೊಂದಿಗೆ ಘಟಕ ವೃತ್ತವನ್ನು ನಾವು ಊಹಿಸೋಣ.

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ (1, 0) ಆರಂಭಿಕ ಬಿಂದು A ಅನ್ನು ಕೇಂದ್ರದ ಸುತ್ತಲೂ ತಿರುಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಘಟಕ ವೃತ್ತಕೆಲವು ಕೋನ α ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್ A 1 ಗೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ. ಪಾಯಿಂಟ್ A 1 (x, y) ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ತಿರುಗುವ ಕೋನದ ಸೈನ್ (ಪಾಪ).

ತಿರುಗುವ ಕೋನ α ನ ಸೈನ್ ಎ 1 (x, y) ಬಿಂದುವಿನ ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಆಗಿದೆ. ಪಾಪ α = ವೈ

ತಿರುಗುವ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ (ಕಾಸ್).

ತಿರುಗುವ ಕೋನ α ನ ಕೊಸೈನ್ ಬಿಂದು A 1 (x, y) ನ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಆಗಿದೆ. cos α = x

ತಿರುಗುವ ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕ (tg).

ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕ α ಬಿಂದು A 1 (x, y) ನ ಆರ್ಡಿನೇಟ್‌ನ ಅನುಪಾತವು ಅದರ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾಗೆ. t g α = y x

ತಿರುಗುವ ಕೋನದ ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ (ಸಿಟಿಜಿ).

ತಿರುಗುವ ಕೋನ α ನ ಕೋಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಎ 1 (x, y) ಬಿಂದುವಿನ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾದ ಅನುಪಾತವು ಅದರ ಆರ್ಡಿನೇಟ್‌ಗೆ. c t g α = x y

ಯಾವುದೇ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಕೋನಕ್ಕೆ ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದು ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ನಂತರ ಬಿಂದುವಿನ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಮತ್ತು ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅನ್ನು ಯಾವುದೇ ಕೋನದಲ್ಲಿ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು. ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಮತ್ತು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಪರಿಸ್ಥಿತಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ. ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ನಂತರ ಒಂದು ಬಿಂದುವು ಶೂನ್ಯ abscissa (0, 1) ಮತ್ತು (0, - 1) ನೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಹೋದಾಗ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ವಿವರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಸ್ಪರ್ಶಕ t g α = y x ಗಾಗಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಸರಳವಾಗಿ ಅರ್ಥವಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ನೊಂದಿಗೆ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯು ಹೋಲುತ್ತದೆ. ವ್ಯತ್ಯಾಸವೆಂದರೆ ಬಿಂದುವಿನ ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹೋಗುವ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ನೆನಪಿಡುವುದು ಮುಖ್ಯ!

ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ಯಾವುದೇ ಕೋನಗಳಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ α.

α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲಾ ಕೋನಗಳಿಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ

α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z) ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲಾ ಕೋನಗಳಿಗೆ ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ

ನಿರ್ಧರಿಸುವಾಗ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳು"ಸೈನ್ ಆಫ್ ದಿ ಕೋನ ಆಫ್ ರೊಟೇಶನ್ α" ಎಂದು ಹೇಳಬೇಡಿ. "ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಕೋನ" ಎಂಬ ಪದಗಳನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಚರ್ಚಿಸಲ್ಪಡುತ್ತಿರುವ ಸಂದರ್ಭದಿಂದ ಈಗಾಗಲೇ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಸಂಖ್ಯೆಗಳು

ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್, ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಬಗ್ಗೆ ಏನು, ಮತ್ತು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಕೋನವಲ್ಲ?

ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್, ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್, ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್

ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್, ಸ್ಪರ್ಶಕ ಮತ್ತು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ ಟಿಇದು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್, ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಮತ್ತು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ ಟಿರೇಡಿಯನ್.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 10 π ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸೈನ್ 10 π ರಾಡ್ನ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಕೋನದ ಸೈನ್ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್, ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಮತ್ತು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಮತ್ತೊಂದು ವಿಧಾನವಿದೆ. ಅದನ್ನು ಹತ್ತಿರದಿಂದ ನೋಡೋಣ.

ಯಾರಾದರೂ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ ಟಿಆಯತಾಕಾರದ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಘಟಕದ ವೃತ್ತದ ಮೇಲಿನ ಒಂದು ಬಿಂದುವು ಕೇಂದ್ರದೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್, ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಮತ್ತು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಈ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲಕ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವೃತ್ತದ ಮೇಲಿನ ಆರಂಭಿಕ ಹಂತವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ (1, 0) ಪಾಯಿಂಟ್ A ಆಗಿದೆ.

ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಟಿ

ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಟಿವೃತ್ತದ ಸುತ್ತಲೂ ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ ಚಲಿಸಿದರೆ ಪ್ರಾರಂಭದ ಬಿಂದುವು ಹೋಗುವ ಹಂತಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ದಾರಿಯಲ್ಲಿ ಹೋಗುತ್ತದೆಟಿ.

ಈಗ ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ, ನಾವು ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್, ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಮತ್ತು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್‌ಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತೇವೆ.

t ನ ಸೈನ್ (ಪಾಪ)

ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸೈನ್ ಟಿ- ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಮಾಡಿ ಟಿ. ಪಾಪ ಟಿ = ವೈ

ಕೊಸೈನ್ (ಕಾಸ್) ಆಫ್ ಟಿ

ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕೊಸೈನ್ ಟಿ- ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತದ ಬಿಂದುವಿನ abscissa ಟಿ. ಕಾಸ್ ಟಿ = ಎಕ್ಸ್

T ಯ ಸ್ಪರ್ಶಕ (tg).

ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಟಿ- ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿನ ಬಿಂದುವಿನ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾಗೆ ಆರ್ಡಿನೇಟ್ನ ಅನುಪಾತ ಟಿ. t g t = y x = sin t cos t

ಇತ್ತೀಚಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಈ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ನ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ವಿರೋಧಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಬಿಂದು ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಟಿ, ಕೋನದಿಂದ ತಿರುಗಿದ ನಂತರ ಪ್ರಾರಂಭದ ಬಿಂದುವು ಹೋಗುವ ಬಿಂದುದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಟಿರೇಡಿಯನ್.

ಕೋನೀಯ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾ ವಾದದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು

ಕೋನ α ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮೌಲ್ಯವು ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯಈ ಕೋನದ ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್. α = 90 ° + 180 ° k ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲಾ ಕೋನಗಳಂತೆಯೇ, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z) ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲಾ α ಗೆ ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ ಅನ್ನು ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ.

sin α, cos α, t g α, c t g α ಕೋನ ಆಲ್ಫಾದ ಕಾರ್ಯಗಳು ಅಥವಾ ಕೋನೀಯ ವಾದದ ಕಾರ್ಯಗಳು ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು.

ಅಂತೆಯೇ, ನಾವು ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್, ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಮತ್ತು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿ ಮಾತನಾಡಬಹುದು ಸಂಖ್ಯಾ ವಾದ. ಪ್ರತಿ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ ಟಿಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸೈನ್ ಅಥವಾ ಕೊಸೈನ್‌ನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಟಿ. π 2 + π · k, k ∈ Z ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್, π · k, k ∈ Z ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ.

ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಮೂಲ ಕಾರ್ಯಗಳು

ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್, ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಮತ್ತು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ ಮೂಲಭೂತ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ.

ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕ್ರಿಯೆಯ (ಕೋನೀಯ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಅಥವಾ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಾದ) ಯಾವ ವಾದವನ್ನು ನಾವು ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆ ಎಂಬುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಂದರ್ಭದಿಂದ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಾರಂಭದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಮತ್ತು ಆಲ್ಫಾ ಕೋನಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ ನೋಡೋಣ, ಇದು 0 ರಿಂದ 90 ಡಿಗ್ರಿ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿದೆ. ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳುಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್, ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಮತ್ತು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು, ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದ ಆಕಾರ ಅನುಪಾತಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಅದನ್ನು ತೋರಿಸೋಣ.

ಒಂದು ಆಯತಾಕಾರದ ಕೇಂದ್ರದೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಘಟಕ ವೃತ್ತವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಆರಂಭಿಕ ಬಿಂದು A (1, 0) ಅನ್ನು 90 ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಕೋನದಿಂದ ತಿರುಗಿಸೋಣ ಮತ್ತು A 1 (x, y) ಬಿಂದುವಿನಿಂದ abscissa ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಸೆಳೆಯೋಣ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ, ಕೋನ A 1 O H ಕೋನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆತಿರುಗಿ α, ಲೆಗ್ O H ನ ಉದ್ದವು A 1 (x, y) ಬಿಂದುವಿನ abscissa ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೋನದ ಎದುರು ಕಾಲಿನ ಉದ್ದವು A 1 (x, y) ಬಿಂದುವಿನ ಆರ್ಡಿನೇಟ್‌ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್‌ನ ಉದ್ದವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಘಟಕ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ, ಕೋನ α ನ ಸೈನ್ ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ಗೆ ಎದುರು ಭಾಗದ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

ಇದರರ್ಥ ಆಕಾರ ಅನುಪಾತದ ಮೂಲಕ ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ತೀವ್ರ ಕೋನದ ಸೈನ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ತಿರುಗುವ ಕೋನ α ನ ಸೈನ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆಲ್ಫಾ 0 ರಿಂದ 90 ಡಿಗ್ರಿ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ.

ಅಂತೆಯೇ, ಕೊಸೈನ್, ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಮತ್ತು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್‌ಗಳಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ತೋರಿಸಬಹುದು.

ನೀವು ಪಠ್ಯದಲ್ಲಿ ದೋಷವನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ದಯವಿಟ್ಟು ಅದನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು Ctrl+Enter ಒತ್ತಿರಿ

ಒಂದು ಕೋನದ ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್, ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್, ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ ಯಾವುದು ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳನ್ನು ಏನೆಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ? ಅದು ಸರಿ, ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಮತ್ತು ಕಾಲುಗಳು: ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಬಲ ಕೋನದ ಎದುರು ಇರುವ ಬದಿಯಾಗಿದೆ (ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಇದು ಬದಿ \(AC\)); ಕಾಲುಗಳು ಉಳಿದಿರುವ ಎರಡು ಬದಿಗಳು \(AB\) ಮತ್ತು \(BC\) (ಅವುಗಳ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿದೆ ಬಲ ಕೋನ), ಮತ್ತು, ನಾವು ಕೋನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಕಾಲುಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ \(BC\), ನಂತರ ಲೆಗ್ \(AB\) ಪಕ್ಕದ ಕಾಲು, ಮತ್ತು ಲೆಗ್ \(BC\) ವಿರುದ್ಧವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈಗ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಿಸೋಣ: ಕೋನದ ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್, ಸ್ಪರ್ಶಕ ಮತ್ತು ಕೋಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಎಂದರೇನು?

ಕೋನದ ಸೈನ್– ಇದು ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್‌ಗೆ ವಿರುದ್ಧ (ದೂರದ) ಕಾಲಿನ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ.

ನಮ್ಮ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್- ಇದು ಪಕ್ಕದ (ಹತ್ತಿರ) ಕಾಲಿನ ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್‌ಗೆ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ.

ನಮ್ಮ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕ- ಇದು ಪಕ್ಕದ (ಹತ್ತಿರ) ವಿರುದ್ಧ (ದೂರದ) ಭಾಗದ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ.

ನಮ್ಮ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

ಕೋನದ ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್- ಇದು ಪಕ್ಕದ (ಹತ್ತಿರ) ಕಾಲಿನ ವಿರುದ್ಧ (ದೂರದ) ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ.

ನಮ್ಮ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಅವಶ್ಯಕ ನೆನಪಿರಲಿ! ಯಾವ ಕಾಲನ್ನು ಯಾವುದಕ್ಕೆ ವಿಭಜಿಸಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಲು ಸುಲಭವಾಗಿಸಲು, ನೀವು ಅದನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಸ್ಪರ್ಶಕಮತ್ತು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ಕಾಲುಗಳು ಮಾತ್ರ ಕುಳಿತುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಮಾತ್ರ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಸೈನಸ್ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್. ತದನಂತರ ನೀವು ಸಂಘಗಳ ಸರಪಳಿಯೊಂದಿಗೆ ಬರಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇದು:

ಕೊಸೈನ್→ಟಚ್→ಟಚ್→ಪಕ್ಕದ;

ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್→ಟಚ್→ಟಚ್→ಪಕ್ಕದ.

ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳ ಅನುಪಾತಗಳಂತೆ ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್, ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಮತ್ತು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ ಈ ಬದಿಗಳ ಉದ್ದವನ್ನು (ಅದೇ ಕೋನದಲ್ಲಿ) ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನೀವು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ನಂಬುವುದಿಲ್ಲವೇ? ನಂತರ ಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡುವ ಮೂಲಕ ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ:

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, \(\beta \) ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ತ್ರಿಕೋನದಿಂದ \(ABC\) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), ಆದರೆ ನಾವು ತ್ರಿಕೋನದಿಂದ \(\ಬೀಟಾ \) ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದು \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). ನೀವು ನೋಡಿ, ಬದಿಗಳ ಉದ್ದಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ, ಆದರೆ ಒಂದು ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಮೌಲ್ಯವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್, ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಮತ್ತು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಕೋನದ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ.

ನೀವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡರೆ, ನಂತರ ಮುಂದುವರಿಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಕ್ರೋಢೀಕರಿಸಿ!

ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ತ್ರಿಕೋನ \(ABC \) ಗಾಗಿ, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ \(\sin \\alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \\alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \\alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\\alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\end(array) \)

ಸರಿ, ನೀವು ಅದನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೀರಾ? ನಂತರ ನೀವೇ ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ: ಕೋನ \(\beta \) ಗಾಗಿ ಅದೇ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ.

ಉತ್ತರಗಳು: \(\sin \ \beta =0.6;\ \cos \ \beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

ಘಟಕ (ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ) ವೃತ್ತ

ಡಿಗ್ರಿಗಳು ಮತ್ತು ರೇಡಿಯನ್‌ಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು, ನಾವು \(1\) ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ತ್ರಿಜ್ಯದೊಂದಿಗೆ ವೃತ್ತವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಅಂತಹ ವೃತ್ತವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕ. ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ ಇದು ತುಂಬಾ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅದನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ನೋಡೋಣ.

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ವೃತ್ತವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆಕಾರ್ಟೀಸಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ. ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರವು ಮೂಲದಲ್ಲಿದೆ, ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಾನತ್ರಿಜ್ಯದ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು \(x\) ಅಕ್ಷದ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ (ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಇದು ತ್ರಿಜ್ಯ \(AB\)).

ವೃತ್ತದ ಮೇಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವು ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ: \(x\) ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಮತ್ತು \(y\) ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ. ಈ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಯಾವುವು? ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಅವರು ಕೈಯಲ್ಲಿರುವ ವಿಷಯದೊಂದಿಗೆ ಏನು ಮಾಡಬೇಕು? ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದ ಬಗ್ಗೆ ನಾವು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಮೇಲಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, ನೀವು ಎರಡು ಸಂಪೂರ್ಣ ಬಲ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ನೋಡಬಹುದು. ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ \(ACG\) . ಇದು ಆಯತಾಕಾರವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ \(CG\) \(x\) ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

\(\cos \\alpha \) ತ್ರಿಕೋನದಿಂದ \(ACG \) ಎಂದರೇನು? ಅದು ಸರಿ \(\cos \\alpha =\dfrac(AG)(AC) \). ಜೊತೆಗೆ, \(AC\) ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ, ಇದರರ್ಥ \(AC=1\) . ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕೊಸೈನ್‌ಗಾಗಿ ನಮ್ಮ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸೋಣ. ಏನಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಇಲ್ಲಿದೆ:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

\(\sin \\alpha \) ತ್ರಿಕೋನದಿಂದ \(ACG \) ಯಾವುದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ? ಸರಿ, ಖಂಡಿತ, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! ಈ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ \(AC\) ತ್ರಿಜ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬದಲಿಸಿ ಮತ್ತು ಪಡೆಯಿರಿ:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

ಆದ್ದರಿಂದ, ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ \(C\) ಬಿಂದುವು ಯಾವ ಸಮನ್ವಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನೀವು ಹೇಳಬಲ್ಲಿರಾ? ಸರಿ, ಇಲ್ಲವೇ? \(\cos \\alpha \) ಮತ್ತು \(\sin \alpha \) ಕೇವಲ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಂದು ನೀವು ತಿಳಿದುಕೊಂಡರೆ ಏನು? \(\cos \alpha \) ಯಾವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ? ಸರಿ, ಸಹಜವಾಗಿ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ \(x\)! ಮತ್ತು \(\sin \alpha \) ಯಾವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ? ಅದು ಸರಿ, ಸಂಘಟಿಸಿ \(y\)! ಆದ್ದರಿಂದ ಪಾಯಿಂಟ್ \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

ಹಾಗಾದರೆ \(tg \alpha \) ಮತ್ತು \(ctg \alpha \) ಯಾವುದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ? ಅದು ಸರಿ, ಸ್ಪರ್ಶಕ ಮತ್ತು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್‌ನ ಅನುಗುಣವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸೋಣ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯೋಣ \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), ಎ \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

ಕೋನವು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ ಏನು? ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿರುವಂತೆ:

ಏನು ಬದಲಾಗಿದೆ ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ? ಅದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಮತ್ತೆ ಬಲ ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ ತಿರುಗೋಣ. ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ \((((A)_(1))((C)_(1))G \) : ಕೋನ (ಕೋನದ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುವಂತೆ \(\beta \) ). ಕೋನಕ್ಕೆ ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್, ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಮತ್ತು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್‌ನ ಮೌಲ್ಯ ಏನು \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? ಅದು ಸರಿ, ನಾವು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಿಗೆ ಬದ್ಧರಾಗಿದ್ದೇವೆ:

\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\ cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angle ((C) )_(1))((A)_(1))G=\dfrac((((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\angle ((C)_(1))(A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1) ))G)=\dfrac(x)(y)\end(array) \)

ಸರಿ, ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಕೋನದ ಸೈನ್‌ನ ಮೌಲ್ಯವು ಇನ್ನೂ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ \(y\) ; ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಮೌಲ್ಯ - ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ \(x\) ; ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಅನುಪಾತಗಳಿಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಮತ್ತು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್‌ನ ಮೌಲ್ಯಗಳು. ಹೀಗಾಗಿ, ಈ ಸಂಬಂಧಗಳು ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಯಾವುದೇ ತಿರುಗುವಿಕೆಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ.

ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಾನವು \(x\) ಅಕ್ಷದ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಈಗಾಗಲೇ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ನಾವು ಈ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ ತಿರುಗಿಸಿದ್ದೇವೆ, ಆದರೆ ನಾವು ಅದನ್ನು ಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ ತಿರುಗಿಸಿದರೆ ಏನಾಗುತ್ತದೆ? ಅಸಾಮಾನ್ಯ ಏನೂ ಇಲ್ಲ, ನೀವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯದ ಕೋನವನ್ನು ಸಹ ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ, ಆದರೆ ಅದು ಮಾತ್ರ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ ತಿರುಗಿಸುವಾಗ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಕೋನಗಳು, ಮತ್ತು ಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ ತಿರುಗುವಾಗ - ಋಣಾತ್ಮಕ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ವೃತ್ತದ ಸುತ್ತಲಿನ ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ರಾಂತಿಯು \(360()^\circ \) ಅಥವಾ \(2\pi \) ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು \(390()^\circ \) ಅಥವಾ \(-1140()^\circ \) ಮೂಲಕ ತಿರುಗಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವೇ? ಸರಿ, ಖಂಡಿತ ನೀವು ಮಾಡಬಹುದು! ಮೊದಲ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), ಹೀಗಾಗಿ, ತ್ರಿಜ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಒಂದು ಪೂರ್ಣ ಕ್ರಾಂತಿಯನ್ನು ಮಾಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು \(30()^\circ \) ಅಥವಾ \(\dfrac(\pi )(6) \) ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ನಿಲ್ಲುತ್ತದೆ.

ಎರಡನೇ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), ಅಂದರೆ, ತ್ರಿಜ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಮೂರು ಮಾಡುತ್ತದೆ ಪೂರ್ಣ ಕ್ರಾಂತಿಗಳುಮತ್ತು \(-60()^\circ \) ಅಥವಾ \(-\dfrac(\pi )(3) \) ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ನಿಲ್ಲುತ್ತದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಂದ ನಾವು \(360()^\circ \cdot m \) ಅಥವಾ \(2\pi \cdot m \) (ಇಲ್ಲಿ \(m \) ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ) ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಕೋನಗಳು ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು. ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಅದೇ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರವು ಕೋನವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ \(\beta =-60()^\circ \) . ಅದೇ ಚಿತ್ರವು ಮೂಲೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \)ಇತ್ಯಾದಿ ಈ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಮುಂದುವರಿಸಬಹುದು. ಈ ಎಲ್ಲಾ ಕೋನಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಬರೆಯಬಹುದು \(\beta +360()^\circ \cdot m\)ಅಥವಾ \(\beta +2\pi \cdot m \) (ಇಲ್ಲಿ \(m \) ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)

ಈಗ, ಮೂಲ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಮತ್ತು ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತವನ್ನು ಬಳಸಿ, ಮೌಲ್ಯಗಳು ಏನೆಂದು ಉತ್ತರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ:

\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \\pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)

ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡಲು ಯೂನಿಟ್ ಸರ್ಕಲ್ ಇಲ್ಲಿದೆ:

ತೊಂದರೆಗಳಿವೆಯೇ? ನಂತರ ಅದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ:

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(array)\)

ಇಲ್ಲಿಂದ, ಕೆಲವು ಕೋನ ಅಳತೆಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸರಿ, ಕ್ರಮವಾಗಿ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ: ಮೂಲೆಯಲ್ಲಿ \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \)ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ \(\ಎಡ(0;1 \ಬಲ) \) , ಆದ್ದರಿಂದ:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲ;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

ಮುಂದೆ, ಅದೇ ತರ್ಕಕ್ಕೆ ಬದ್ಧವಾಗಿ, ಮೂಲೆಗಳು ಒಳಗೆ ಇರುವುದನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ )ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \ಬಲ) \), ಕ್ರಮವಾಗಿ. ಇದನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಸುಲಭ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಕಗಳು. ಮೊದಲು ನೀವೇ ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ, ತದನಂತರ ಉತ್ತರಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.

ಉತ್ತರಗಳು:

\(\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \sin \180()^\circ =\sin \\pi =0 \)

\(\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\\pi \)- ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲ

\(\sin \270()^\circ =-1\)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲ

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \360()^\circ =0\)

\(\cos \360()^\circ =1\)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲ

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲ

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು:

ಈ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಡುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿನ ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸಾಕು:

\(\ಎಡ. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(ನೀವು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಅಥವಾ ಅದನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ!! \) !}

ಆದರೆ ಕೋನಗಳ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\)ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ನೀವು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು:

ಭಯಪಡಬೇಡಿ, ಈಗ ನಾವು ನಿಮಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸರಳವಾದ ಕಂಠಪಾಠದ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲು, ಕೋನದ ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಅಳತೆಗಳಿಗೆ ಸೈನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಅತ್ಯಗತ್ಯ ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), ಹಾಗೆಯೇ \(30()^\circ \) ನಲ್ಲಿ ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಮೌಲ್ಯ. ಈ \(4\) ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಟೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಪುನಃಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಇದು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ - ಕೊಸೈನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬಾಣಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ವರ್ಗಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ:

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \\\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \ end(array) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), ಇದನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಂಡು, ನೀವು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮರುಸ್ಥಾಪಿಸಬಹುದು \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). "\(1 \)" ಅಂಶವು \(\text(tg)\ 45()^\circ \\) ಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಛೇದವು "\(\sqrt(\text(3)) \)" ಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ \(\text (tg)\ 60()^\circ \\) . ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಲಾದ ಬಾಣಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ವರ್ಗಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನೀವು ಇದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡರೆ ಮತ್ತು ಬಾಣಗಳೊಂದಿಗೆ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಂಡರೆ, ಟೇಬಲ್ನಿಂದ \(4\) ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಕು.

ವೃತ್ತದ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು

ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು, ಅದರ ತ್ರಿಜ್ಯ ಮತ್ತು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಕೋನವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು (ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು) ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸಾಧ್ಯವೇ? ಸರಿ, ಖಂಡಿತ ನೀವು ಮಾಡಬಹುದು! ಅದನ್ನು ಹೊರಹಾಕೋಣ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇಲ್ಲಿ ನಮ್ಮ ಮುಂದೆ ಒಂದು ವೃತ್ತವಿದೆ:

ನಮಗೆ ಆ ಪಾಯಿಂಟ್ ನೀಡಲಾಗಿದೆ \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರ. ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯವು \(1.5\) . ಪಾಯಿಂಟ್ \(O\) ಅನ್ನು \(\ಡೆಲ್ಟಾ \) ಡಿಗ್ರಿಗಳಿಂದ ತಿರುಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ಪಾಯಿಂಟ್ \(P\) ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಚಿತ್ರದಿಂದ ನೋಡಬಹುದಾದಂತೆ, \(P\) ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ \(x\) \(TP=UQ=UK+KQ\) ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದ \(UK\) ವೃತ್ತದ ಮಧ್ಯಭಾಗದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ \(x\) ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಇದು \(3\) ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. \(KQ\) ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದವನ್ನು ಕೊಸೈನ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು:

\(\cos \ \ delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \\delta \).

ನಂತರ ನಾವು ಪಾಯಿಂಟ್ \(P\) ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಕ್ಕಾಗಿ ಅದನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1.5\cdot \cos \ \delta \).

ಅದೇ ತರ್ಕವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, \(P\) ಬಿಂದುವಿಗೆ y ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಹೀಗಾಗಿ,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1.5\cdot \sin \delta \).

ಆದ್ದರಿಂದ, ರಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ನೋಟಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(array) \), ಎಲ್ಲಿ

\((((x)_(0)),((y)_(0)) \) - ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು,

\(r\) - ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯ,

\(\ಡೆಲ್ಟಾ \) - ವೆಕ್ಟರ್ ತ್ರಿಜ್ಯದ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಕೋನ.

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತಿರುವ ಯುನಿಟ್ ವಲಯಕ್ಕಾಗಿ, ಈ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಕೇಂದ್ರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ತ್ರಿಜ್ಯವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \\delta =0+1\cdot \cos \\delta =\cos \\delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \\delta \end(array) \)

ನಿಮ್ಮ ಬ್ರೌಸರ್‌ನಲ್ಲಿ Javascript ಅನ್ನು ನಿಷ್ಕ್ರಿಯಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ.
ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು, ನೀವು ActiveX ನಿಯಂತ್ರಣಗಳನ್ನು ಸಕ್ರಿಯಗೊಳಿಸಬೇಕು!

ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ನಾವು ಹೇಗೆ ನೀಡಬೇಕೆಂದು ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಕೋನ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್, ಸ್ಪರ್ಶಕ ಮತ್ತು ಕೋಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್‌ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು. ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಸಂಕೇತಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತೇವೆ, ನಮೂದುಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಗ್ರಾಫಿಕ್ ವಿವರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ. ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ ಮತ್ತು ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್, ಸ್ಪರ್ಶಕ ಮತ್ತು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳ ನಡುವೆ ಸಮಾನಾಂತರವನ್ನು ಸೆಳೆಯೋಣ.

ಪುಟ ಸಂಚರಣೆ.

ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್, ಸ್ಪರ್ಶಕ ಮತ್ತು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ

ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್, ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಮತ್ತು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ ಕಲ್ಪನೆಯು ಹೇಗೆ ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡೋಣ ಶಾಲೆಯ ಕೋರ್ಸ್ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ. ರೇಖಾಗಣಿತದ ಪಾಠಗಳಲ್ಲಿ, ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ತೀವ್ರವಾದ ಕೋನದ ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್, ಸ್ಪರ್ಶಕ ಮತ್ತು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್‌ಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ನಂತರ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ತಿರುಗುವಿಕೆ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕೋನದ ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್, ಸ್ಪರ್ಶಕ ಮತ್ತು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತದೆ. ಈ ಎಲ್ಲಾ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸೋಣ, ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ ಮತ್ತು ಅಗತ್ಯ ಕಾಮೆಂಟ್ಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ.

ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ತೀವ್ರ ಕೋನ

ರೇಖಾಗಣಿತದ ಕೋರ್ಸ್‌ನಿಂದ ನಾವು ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ತೀವ್ರವಾದ ಕೋನದ ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್, ಸ್ಪರ್ಶಕ ಮತ್ತು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್‌ಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ತಿಳಿದಿದ್ದೇವೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳ ಅನುಪಾತವಾಗಿ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಅವರ ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.

ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ತೀವ್ರ ಕೋನದ ಸೈನ್ಹೈಪೋಟೆನ್ಯೂಸ್ಗೆ ಎದುರು ಭಾಗದ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.

ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ತೀವ್ರ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ಗೆ ಪಕ್ಕದ ಕಾಲಿನ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.

ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ತೀವ್ರ ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕ- ಇದು ಪಕ್ಕದ ಬದಿಗೆ ಎದುರು ಭಾಗದ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.

ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ತೀವ್ರ ಕೋನದ ಕೋಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್- ಇದು ಪಕ್ಕದ ಬದಿಯ ಎದುರು ಭಾಗದ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ.

ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್, ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಮತ್ತು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್‌ಗಳ ಪದನಾಮಗಳನ್ನು ಸಹ ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ - ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ sin, cos, tg ಮತ್ತು ctg.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ABC ಲಂಬಕೋನ C ಯೊಂದಿಗೆ ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿದ್ದರೆ, ತೀವ್ರ ಕೋನ A ಯ ಸೈನ್ ಎದುರು ಭಾಗದ BC ಯ ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ AB ಗೆ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, sin∠A=BC/AB.

ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳ ತಿಳಿದಿರುವ ಉದ್ದಗಳಿಂದ ತೀವ್ರವಾದ ಕೋನದ ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್, ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಮತ್ತು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ, ಹಾಗೆಯೇ ತಿಳಿದಿರುವ ಮೌಲ್ಯಗಳುಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್, ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್, ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ ಮತ್ತು ಒಂದು ಬದಿಯ ಉದ್ದವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಇತರ ಬದಿಗಳ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಲೆಗ್ AC 3 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು AB ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ 7 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ನಾವು ತೀವ್ರ ಕೋನ A ಯ ಕೊಸೈನ್‌ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಮೂಲಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದು: cos∠A=AC/ AB=3/7.

ತಿರುಗುವ ಕೋನ

ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಅವರು ಕೋನವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ವಿಶಾಲವಾಗಿ ನೋಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತಾರೆ - ಅವರು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಕೋನದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತಾರೆ. ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಕೋನದ ಪ್ರಮಾಣವು ತೀವ್ರ ಕೋನಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ 0 ರಿಂದ 90 ಡಿಗ್ರಿಗಳಿಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿಲ್ಲ; ಡಿಗ್ರಿಗಳಲ್ಲಿ (ಮತ್ತು ರೇಡಿಯನ್‌ಗಳಲ್ಲಿ) ತಿರುಗುವ ಕೋನವನ್ನು -∞ ರಿಂದ +∞ ವರೆಗಿನ ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು.

ಈ ಬೆಳಕಿನಲ್ಲಿ, ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್, ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಮತ್ತು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್‌ಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ತೀವ್ರ ಕೋನದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಗಾತ್ರದ ಕೋನದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ - ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಕೋನ. ಅವುಗಳನ್ನು A 1 ಬಿಂದುವಿನ x ಮತ್ತು y ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದಕ್ಕೆ ಆರಂಭಿಕ ಬಿಂದು A (1, 0) ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಇದು O ಬಿಂದುವಿನ ಸುತ್ತಲೂ α ಕೋನದಿಂದ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ನಂತರ ಹೋಗುತ್ತದೆ - ಆಯತಾಕಾರದ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪ್ರಾರಂಭ ಮತ್ತು ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.

ತಿರುಗುವ ಕೋನದ ಸೈನ್α ಎಂಬುದು ಪಾಯಿಂಟ್ A 1 ರ ಆರ್ಡಿನೇಟ್, ಅಂದರೆ sinα=y.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.

ತಿರುಗುವ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್α ಅನ್ನು A 1 ಪಾಯಿಂಟ್‌ನ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ cosα=x.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.

ತಿರುಗುವ ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕα ಎಂಬುದು ಪಾಯಿಂಟ್ A 1 ರ ಆರ್ಡಿನೇಟ್‌ನ ಅನುಪಾತವು ಅದರ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾಗೆ, ಅಂದರೆ tanα=y/x.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.

ತಿರುಗುವ ಕೋನದ ಕೋಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್α ಎಂಬುದು ಪಾಯಿಂಟ್ A 1 ರ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾದ ಅನುಪಾತವು ಅದರ ಆರ್ಡಿನೇಟ್‌ಗೆ, ಅಂದರೆ ctgα=x/y.

ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ಯಾವುದೇ ಕೋನ α ಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ನಾವು ಯಾವಾಗಲೂ ಬಿಂದುವಿನ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಮತ್ತು ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು, ಇದನ್ನು ಕೋನ α ಮೂಲಕ ಆರಂಭಿಕ ಬಿಂದುವನ್ನು ತಿರುಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಮತ್ತು ಕೋಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಯಾವುದೇ ಕೋನಕ್ಕೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಅನ್ನು α ಕೋನಗಳಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ, ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭದ ಬಿಂದುವು ಶೂನ್ಯ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ (0, 1) ಅಥವಾ (0, -1) ಇರುವ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು 90 °+180 ° k, k∈Z (π) ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. /2+π·k ರಾಡ್). ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅಂತಹ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ, tgα=y/x ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಅರ್ಥವಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಕೋಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್‌ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, α ಕೋನಗಳಿಗೆ ಇದನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ, ಇದರಲ್ಲಿ ಆರಂಭಿಕ ಹಂತವು ಶೂನ್ಯ ಆರ್ಡಿನೇಟ್ (1, 0) ಅಥವಾ (-1, 0) ನೊಂದಿಗೆ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು 180 ° k, k ∈Z ಕೋನಗಳಿಗೆ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ (π·k ರಾಡ್).

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ಯಾವುದೇ ತಿರುಗುವ ಕೋನಗಳಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk ರಾಡ್) ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲಾ ಕೋನಗಳಿಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು 180° ·k ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲಾ ಕೋನಗಳಿಗೆ ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. , k∈Z (π·k ರಾಡ್).

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ನಮಗೆ ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿರುವ sin, cos, tg ಮತ್ತು ctg ಎಂಬ ಪದನಾಮಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್, ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಮತ್ತು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಕೋನದ ಕೋಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲು ಸಹ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ನೀವು ಟ್ಯಾನ್ ಮತ್ತು ಕೋಟ್ಯಾಜೆಂಟ್‌ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಪದನಾಮಗಳನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು) . ಆದ್ದರಿಂದ 30 ಡಿಗ್ರಿಗಳ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಕೋನದ ಸೈನ್ ಅನ್ನು sin30° ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು, ನಮೂದುಗಳು tg(−24°17′) ಮತ್ತು ctgα ತಿರುಗುವ ಕೋನ −24 ಡಿಗ್ರಿ 17 ನಿಮಿಷಗಳ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಮತ್ತು ತಿರುಗುವ ಕೋನದ ಕೋಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ α . ಕೋನದ ರೇಡಿಯನ್ ಅಳತೆಯನ್ನು ಬರೆಯುವಾಗ, "ರಾಡ್" ಎಂಬ ಪದನಾಮವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೂರು ಪೈ ರಾಡ್‌ನ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ cos3·π ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈ ಹಂತದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಕೋನದ ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್, ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಮತ್ತು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುವಾಗ, "ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಕೋನ" ಅಥವಾ "ತಿರುಗುವಿಕೆ" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, "ಸೈನ್ ಆಫ್ ದಿ ರೊಟೇಶನ್ ಆಂಗಲ್ ಆಲ್ಫಾ" ಎಂಬ ಪದಗುಚ್ಛದ ಬದಲಿಗೆ, "ಆಲ್ಫಾ ಕೋನದ ಸೈನ್" ಅಥವಾ ಚಿಕ್ಕದಾದ, "ಸೈನ್ ಆಲ್ಫಾ" ಎಂಬ ಪದಗುಚ್ಛವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅದೇ ಕೊಸೈನ್, ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಮತ್ತು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ.

ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ತೀವ್ರವಾದ ಕೋನದ ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್, ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಮತ್ತು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್‌ಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು 0 ರಿಂದ 90 ಡಿಗ್ರಿಗಳವರೆಗಿನ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಕೋನದ ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್, ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಮತ್ತು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್‌ಗಳಿಗೆ ಈಗ ನೀಡಲಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಇದನ್ನು ಸಮರ್ಥಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಸಂಖ್ಯೆಗಳು

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.

ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್, ಸ್ಪರ್ಶಕ ಮತ್ತು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ t ಎಂಬುದು ಸಂಖ್ಯೆ ಸೈನಿಗೆ ಸಮ, ಕೋಸೈನ್, ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಮತ್ತು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ ಆಫ್ ತಿರುಗುವ ಕೋನವು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಟಿ ರೇಡಿಯನ್‌ಗಳಲ್ಲಿ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಮೂಲಕ ಸಂಖ್ಯೆ 8 π ನ ಕೊಸೈನ್ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ ಕೊಸೈನ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ 8·π ರಾಡ್ ಕೋನ. ಮತ್ತು 8·π ರಾಡ್ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, 8·π ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕೊಸೈನ್ 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್, ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಮತ್ತು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಮತ್ತೊಂದು ವಿಧಾನವಿದೆ. ಪ್ರತಿ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ t ಯು ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತದ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರದೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಇದು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಆಯತಾಕಾರದ ವ್ಯವಸ್ಥೆನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು, ಮತ್ತು ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್, ಸ್ಪರ್ಶಕ ಮತ್ತು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಈ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲಕ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ನೋಡೋಣ.

ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವೆ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ಹೇಗೆ ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ತೋರಿಸೋಣ:

ಸಂಖ್ಯೆ 0 ಅನ್ನು ಆರಂಭಿಕ ಬಿಂದು A (1, 0) ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ;
ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ t ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತದ ಬಿಂದುದೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ನಾವು ಪ್ರಾರಂಭದ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ ವೃತ್ತದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಚಲಿಸಿದರೆ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಹಾದಿಯಲ್ಲಿ ನಡೆಯೋಣಉದ್ದ ಟಿ;
ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ t ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತದ ಬಿಂದುದೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ನಾವು ಪ್ರಾರಂಭದ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ವೃತ್ತದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ ಚಲಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಉದ್ದದ ಹಾದಿಯಲ್ಲಿ ನಡೆದರೆ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ |t| .

ಈಗ ನಾವು t ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್, ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಮತ್ತು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್‌ಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಿಗೆ ಹೋಗುತ್ತೇವೆ. t ಸಂಖ್ಯೆಯು A 1 (x, y) ವೃತ್ತದಲ್ಲಿನ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸೋಣ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, &pi/2; ಸಂಖ್ಯೆಯು A 1 (0, 1) ಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ).

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.

ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸೈನ್ t ಎಂಬುದು t ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತದ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುವಿನ ಆರ್ಡಿನೇಟ್, ಅಂದರೆ, sint=y.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.

ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕೊಸೈನ್ t ಅನ್ನು t ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಘಟಕ ವೃತ್ತದ ಬಿಂದುವಿನ abscissa ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ವೆಚ್ಚ=x.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.

ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸ್ಪರ್ಶಕ t ಎಂಬುದು t ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತದ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುವಿನ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾಗೆ ಆರ್ಡಿನೇಟ್‌ನ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ tgt=y/x. ಮತ್ತೊಂದು ಸಮಾನ ಸೂತ್ರೀಕರಣದಲ್ಲಿ, t ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸೈನ್‌ನ ಕೊಸೈನ್‌ಗೆ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, tgt=sint/cost.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.

ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ t ಎಂಬುದು t ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿನ ಬಿಂದುವಿನ ಆರ್ಡಿನೇಟ್‌ಗೆ abscissa ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ctgt=x/y. ಇನ್ನೊಂದು ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ಹೀಗಿದೆ: t ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸ್ಪರ್ಶಕವು t ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕೊಸೈನ್‌ನ ಅನುಪಾತವು t ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸೈನ್‌ಗೆ: ctgt=cost/sint.

ಈಗ ನೀಡಲಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಈ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್‌ನ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದೊಂದಿಗೆ ಸ್ಥಿರವಾಗಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಇಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, t ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತದ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುವು t ರೇಡಿಯನ್‌ಗಳ ಕೋನದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭದ ಬಿಂದುವನ್ನು ತಿರುಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ಬಿಂದುದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಈ ಅಂಶವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸುವುದು ಇನ್ನೂ ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಪ್ರವೇಶ sin3 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ. ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆ 3 ರ ಸೈನ್ ಅಥವಾ 3 ರೇಡಿಯನ್ಗಳ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಕೋನದ ಸೈನ್ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆಯೇ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಗೆ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು? ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸನ್ನಿವೇಶದಿಂದ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆಇದು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

ಕೋನೀಯ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾ ವಾದದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು

ರಲ್ಲಿ ಡೇಟಾ ಪ್ರಕಾರ ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು, ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಪ್ರತಿ ಕೋನವು α ಉತ್ತಮವಾಗಿ-ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿರುವಂತೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಪಾಪ ಮೌಲ್ಯα, cosα ನ ಮೌಲ್ಯದಂತೆ. ಜೊತೆಗೆ, 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk ರಾಡ್) ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲಾ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಕೋನಗಳು tgα ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ ಮತ್ತು 180°k, k∈Z (πk ರಾಡ್) - ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ctgα ನ. ಆದ್ದರಿಂದ sinα, cosα, tanα ಮತ್ತು ctgα ಕೋನ α ನ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಇವುಗಳು ಕೋನೀಯ ವಾದದ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ.

ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಾದದ ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್, ಸ್ಪರ್ಶಕ ಮತ್ತು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಬಗ್ಗೆ ನಾವು ಇದೇ ರೀತಿ ಮಾತನಾಡಬಹುದು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ t ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯದ ಸಿಂಟ್ ಮತ್ತು ವೆಚ್ಚಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಇದರ ಜೊತೆಗೆ, π/2+π·k, k∈Z ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು tgt ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು π·k, kZ - ಮೌಲ್ಯಗಳು ctgt ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ.

ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್, ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಮತ್ತು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮೂಲ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು.

ನಾವು ಕೋನೀಯ ವಾದ ಅಥವಾ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಾದದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆಯೇ ಎಂಬುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಂದರ್ಭದಿಂದ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಕೋನದ ಅಳತೆ (ಕೋನೀಯ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್) ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಅವರು ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ ಸಂಖ್ಯಾ ಕಾರ್ಯಗಳು, ಅಂದರೆ, ಅವುಗಳ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ಗಳು, ಅವುಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳಂತೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಕಾರ್ಯಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಿದ್ದರೆ, ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಾದಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧ

ನಾವು ತಿರುಗುವ ಕೋನ α ಅನ್ನು 0 ರಿಂದ 90 ಡಿಗ್ರಿಗಳವರೆಗೆ ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ತಿರುಗುವ ಕೋನದ ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್, ಸ್ಪರ್ಶಕ ಮತ್ತು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್‌ಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್, ಸ್ಪರ್ಶಕ ಮತ್ತು ಕೋಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್‌ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ತೀವ್ರ ಕೋನ, ಇದನ್ನು ರೇಖಾಗಣಿತ ಕೋರ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಸಮರ್ಥಿಸೋಣ.

ನಾವು ಆಯತಾಕಾರದ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಆಕ್ಸಿಯಲ್ಲಿ ಘಟಕ ವೃತ್ತವನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸೋಣ. ಆರಂಭಿಕ ಹಂತವನ್ನು ಗುರುತಿಸೋಣ A(1, 0) . 0 ರಿಂದ 90 ಡಿಗ್ರಿಗಳವರೆಗೆ α ಕೋನದಿಂದ ಅದನ್ನು ತಿರುಗಿಸೋಣ, ನಾವು ಪಾಯಿಂಟ್ A 1 (x, y) ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. A 1 ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ A 1 H ಅನ್ನು ಬಿಡೋಣ.

ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ, ಕೋನ A 1 OH ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಕೋನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ α, ಈ ಕೋನದ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುವ ಲೆಗ್ OH ನ ಉದ್ದವು A 1 ಬಿಂದುವಿನ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, |OH |=x, ಕೋನಕ್ಕೆ ಎದುರಾಗಿರುವ ಕಾಲಿನ A 1 H ನ ಉದ್ದವು A 1 ರ ಆರ್ಡಿನೇಟ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, |A 1 H|=y, ಮತ್ತು OA 1 ಹೈಪೋಟೆನ್ಯೂಸ್‌ನ ಉದ್ದವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಘಟಕ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ. ನಂತರ, ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಬಲ ತ್ರಿಕೋನ A 1 OH ನಲ್ಲಿರುವ ತೀವ್ರ ಕೋನ α ನ ಸೈನ್ ವಿರುದ್ಧ ಕಾಲಿನ ಹೈಪೋಟೆನ್ಯೂಸ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ತಿರುಗುವ ಕೋನ α ನ ಸೈನ್ ಪಾಯಿಂಟ್ A 1 ರ ಆರ್ಡಿನೇಟ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, sinα=y. ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ತೀವ್ರ ಕೋನದ ಸೈನ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು α 0 ರಿಂದ 90 ಡಿಗ್ರಿಗಳಷ್ಟು ಇರುವಾಗ ತಿರುಗುವ ಕೋನ α ನ ಸೈನ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಇದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ಅಂತೆಯೇ, α ತೀವ್ರ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್, ಸ್ಪರ್ಶಕ ಮತ್ತು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್‌ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಕೊಸೈನ್, ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಮತ್ತು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ ಆಫ್ ತಿರುಗುವ ಕೋನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳೊಂದಿಗೆ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು.

ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ.

ರೇಖಾಗಣಿತ. 7-9 ಶ್ರೇಣಿಗಳು: ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ ಸಾಮಾನ್ಯ ಶಿಕ್ಷಣಕ್ಕಾಗಿ ಸಂಸ್ಥೆಗಳು / [ಎಲ್. S. ಅಟನಾಸ್ಯನ್, V. F. ಬುಟುಜೋವ್, S. B. ಕಡೋಮ್ಟ್ಸೆವ್, ಇತ್ಯಾದಿ]. - 20 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ. ಎಂ.: ಶಿಕ್ಷಣ, 2010. - 384 ಪು.: ಅನಾರೋಗ್ಯ. - ISBN 978-5-09-023915-8.
ಪೊಗೊರೆಲೋವ್ ಎ.ವಿ.ರೇಖಾಗಣಿತ: ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ. 7-9 ಶ್ರೇಣಿಗಳಿಗೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆಗಳು / A. V. ಪೊಗೊರೆಲೋವ್. - 2 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ - ಎಂ.: ಶಿಕ್ಷಣ, 2001. - 224 ಪು.: ಅನಾರೋಗ್ಯ. - ISBN 5-09-010803-X.
ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳು : ಟ್ಯುಟೋರಿಯಲ್ 9 ನೇ ತರಗತಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಪ್ರೌಢಶಾಲೆ/ E. S. ಕೊಚೆಟ್ಕೋವ್, E. S. ಕೊಚೆಟ್ಕೋವಾ; ಡಾಕ್ಟರ್ ಆಫ್ ಫಿಸಿಕಲ್ ಅಂಡ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಸೈನ್ಸಸ್ O. N. ಗೊಲೋವಿನ್ ಅವರಿಂದ ಸಂಪಾದಿಸಲಾಗಿದೆ - 4 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ. ಎಂ.: ಶಿಕ್ಷಣ, 1969.
ಬೀಜಗಣಿತ:ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ 9 ನೇ ತರಗತಿಗೆ. ಸರಾಸರಿ ಶಾಲೆ/ಯು. N. ಮಕರಿಚೆವ್, N. G. Mindyuk, K. I. ನೆಶ್ಕೋವ್, S. B. ಸುವೊರೊವಾ; ಸಂ. S. A. ಟೆಲ್ಯಕೋವ್ಸ್ಕಿ - M.: ಶಿಕ್ಷಣ, 1990. - 272 pp.: ill. - ISBN 5-09-002727-7
ಬೀಜಗಣಿತಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಆರಂಭ: ಪ್ರೊ. 10-11 ಶ್ರೇಣಿಗಳಿಗೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆಗಳು / ಎ.ಎನ್. ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್, ಎ.ಎಂ. ಅಬ್ರಮೊವ್, ಯು.ಪಿ. ಡುಡ್ನಿಟ್ಸಿನ್ ಮತ್ತು ಇತರರು; ಸಂ. A. N. ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ - 14 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ - M.: ಶಿಕ್ಷಣ, 2004. - 384 pp.: ill. - ISBN 5-09-013651-3.
ಮೊರ್ಡ್ಕೊವಿಚ್ ಎ.ಜಿ.ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಆರಂಭ. ಗ್ರೇಡ್ 10. 2 p. ನಲ್ಲಿ ಭಾಗ 1: ಟ್ಯುಟೋರಿಯಲ್ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಸಂಸ್ಥೆಗಳು (ಪ್ರೊಫೈಲ್ ಮಟ್ಟ)/ A. G. ಮೊರ್ಡ್ಕೊವಿಚ್, P. V. ಸೆಮೆನೋವ್. - 4 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ., ಸೇರಿಸಿ. - ಎಂ.: ಮೆನೆಮೊಸಿನ್, 2007. - 424 ಪು.: ಅನಾರೋಗ್ಯ. ISBN 978-5-346-00792-0.
ಬೀಜಗಣಿತಮತ್ತು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರು ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ. 10 ನೇ ತರಗತಿ: ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಶಿಕ್ಷಣಕ್ಕಾಗಿ ಸಂಸ್ಥೆಗಳು: ಮೂಲ ಮತ್ತು ಪ್ರೊಫೈಲ್. ಮಟ್ಟಗಳು /[ಯು. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. ಫೆಡೋರೊವಾ, M. I. ಶಬುನಿನ್]; ಸಂಪಾದಿಸಿದ್ದಾರೆ A. B. ಝಿಜ್ಚೆಂಕೊ. - 3 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ. - I.: ಶಿಕ್ಷಣ, 2010.- 368 ಪು.: ill.- ISBN 978-5-09-022771-1.
ಬಾಷ್ಮಾಕೋವ್ M. I.ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಆರಂಭಗಳು: ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ. 10-11 ಶ್ರೇಣಿಗಳಿಗೆ. ಸರಾಸರಿ ಶಾಲೆ - 3 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ. - ಎಂ.: ಶಿಕ್ಷಣ, 1993. - 351 ಪು.: ಅನಾರೋಗ್ಯ. - ISBN 5-09-004617-4.
ಗುಸೆವ್ ವಿ.ಎ., ಮೊರ್ಡ್ಕೊವಿಚ್ ಎ.ಜಿ.ಗಣಿತ (ತಾಂತ್ರಿಕ ಶಾಲೆಗಳಿಗೆ ಪ್ರವೇಶಿಸುವವರಿಗೆ ಕೈಪಿಡಿ): ಪ್ರೊ. ಭತ್ಯೆ.- ಎಂ.; ಹೆಚ್ಚಿನ ಶಾಲೆ, 1984.-351 ಪು., ಅನಾರೋಗ್ಯ.