ಕೆಳಗಿನ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಕಾರ್ಯವು ಅದರ ಚಿಕ್ಕ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ತಲುಪಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಎಡ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, ಚಿಕ್ಕ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಾರ್ಯದ ಸ್ಥಳೀಯ ಕನಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸರಿಯಾದ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ - ವಿಭಾಗದ ತುದಿಯಲ್ಲಿ.
ಕಾರ್ಯ ವೇಳೆ ವೈ = f(X) ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ [ ಎ, ಬಿ] , ನಂತರ ಅದು ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ತಲುಪುತ್ತದೆ ಕನಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಅತ್ಯುನ್ನತ ಮೌಲ್ಯಗಳು . ಇದು, ಈಗಾಗಲೇ ಹೇಳಿದಂತೆ, ಎರಡೂ ಸಂಭವಿಸಬಹುದು ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುಗಳು, ಅಥವಾ ವಿಭಾಗದ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಕನಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯದ ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯಗಳು , ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ [ ಎ, ಬಿ], ನೀವು ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಎಲ್ಲದರಲ್ಲೂ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶಗಳುಮತ್ತು ವಿಭಾಗದ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ, ತದನಂತರ ಅವುಗಳಿಂದ ಚಿಕ್ಕದಾದ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡದನ್ನು ಆರಿಸಿ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೀವು ಕಾರ್ಯದ ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತೀರಿ f(X) ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ [ ಎ, ಬಿ] . ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನೀವು ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು [ ಎ, ಬಿ] .
ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಬಿಂದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅವಳ ಉತ್ಪನ್ನಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮ ಅಥವಾ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ. ನಂತರ ನೀವು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕು. ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ವಿಭಾಗದ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಬೇಕು ( f(ಎ) ಮತ್ತು f(ಬಿ)) ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯದ ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯ [ಎ, ಬಿ] .
ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಲ್ಲಿ ತೊಂದರೆಗಳು ಚಿಕ್ಕ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು .
ನಾವು ಒಟ್ಟಾಗಿ ಕಾರ್ಯದ ಚಿಕ್ಕ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ
ಉದಾಹರಣೆ 1. ಕಾರ್ಯದ ಚಿಕ್ಕ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ 
ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ [-1, 2]
.
ಪರಿಹಾರ. ಈ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸೋಣ () ಮತ್ತು ಎರಡು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಪಡೆಯೋಣ: ಮತ್ತು . ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಚಿಕ್ಕ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ವಿಭಾಗದ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸಾಕು, ಏಕೆಂದರೆ ಬಿಂದುವು ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿಲ್ಲ [-1, 2]. ಈ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು: , , . ಅದನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಚಿಕ್ಕ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯ(ಕೆಳಗಿನ ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ಕೆಂಪು ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ), -7 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ವಿಭಾಗದ ಬಲ ತುದಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ - ಹಂತದಲ್ಲಿ , ಮತ್ತು ಶ್ರೇಷ್ಠ(ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ಸಹ ಕೆಂಪು), 9 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ - ನಿರ್ಣಾಯಕ ಹಂತದಲ್ಲಿ.
ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಈ ಮಧ್ಯಂತರವು ಒಂದು ವಿಭಾಗವಲ್ಲ (ಆದರೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮಧ್ಯಂತರ; ಮಧ್ಯಂತರ ಮತ್ತು ವಿಭಾಗದ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ: ಮಧ್ಯಂತರದ ಗಡಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ವಿಭಾಗದ ಗಡಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ), ನಂತರ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಶ್ರೇಷ್ಠವಾಗಿರಬಾರದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ಕಾರ್ಯವು ]-∞, +∞[ ನಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.
ಆದಾಗ್ಯೂ, ಯಾವುದೇ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ (ಮುಚ್ಚಿದ, ತೆರೆದ ಅಥವಾ ಅನಂತ), ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳ ಕೆಳಗಿನ ಆಸ್ತಿ ನಿಜವಾಗಿದೆ.
ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸ್ವಯಂ ಪರಿಶೀಲನೆಗಾಗಿ, ನೀವು ಬಳಸಬಹುದು ಆನ್‌ಲೈನ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ .
ಉದಾಹರಣೆ 4. ಕಾರ್ಯದ ಚಿಕ್ಕ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ [-1, 3] .
ಪರಿಹಾರ. ಈ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನಾವು ಅಂಶದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಕಾಣುತ್ತೇವೆ:
.
ನಾವು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅದು ನಮಗೆ ಒಂದು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ: . ಇದು ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ [-1, 3] . ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಚಿಕ್ಕ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ವಿಭಾಗದ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಕಂಡುಬರುವ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:
ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡೋಣ. ತೀರ್ಮಾನ: -5/13 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಹಂತದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅತ್ಯಧಿಕ ಮೌಲ್ಯಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ನಾವು ಒಟ್ಟಾಗಿ ಕಾರ್ಯದ ಚಿಕ್ಕ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತೇವೆ
ಕಾರ್ಯವೊಂದರ ಚಿಕ್ಕ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ವಿಷಯದ ಮೇಲೆ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಪರಿಹರಿಸಲು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡದ ಶಿಕ್ಷಕರಿದ್ದಾರೆ, ಅದು ಈಗ ಚರ್ಚಿಸಿದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಕಾರ್ಯವು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಅಥವಾ ಒಂದು ಭಿನ್ನರಾಶಿ, ಅದರ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳಾಗಿವೆ. ಆದರೆ ನಾವು ಅಂತಹ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಗೆ ನಮ್ಮನ್ನು ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಶಿಕ್ಷಕರಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಯೋಚಿಸಲು ಒತ್ತಾಯಿಸಲು ಇಷ್ಟಪಡುವವರು ಇದ್ದಾರೆ (ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ). ಆದ್ದರಿಂದ, ಲಾಗರಿಥಮ್ ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 8. ಕಾರ್ಯದ ಚಿಕ್ಕ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ .
ಪರಿಹಾರ. ಈ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನ :
ನಾವು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಒಂದು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ: . ಇದು ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಚಿಕ್ಕ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ವಿಭಾಗದ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಕಂಡುಬರುವ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:
ಎಲ್ಲಾ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಫಲಿತಾಂಶ: ಕಾರ್ಯವು ಅದರ ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ, 0 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಬಿಂದು ಮತ್ತು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅತ್ಯಧಿಕ ಮೌಲ್ಯ, ಸಮಾನ ಇ², ಹಂತದಲ್ಲಿ.
ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸ್ವಯಂ ಪರಿಶೀಲನೆಗಾಗಿ, ನೀವು ಬಳಸಬಹುದು ಆನ್‌ಲೈನ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ .
ಉದಾಹರಣೆ 9. ಕಾರ್ಯದ ಚಿಕ್ಕ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ 
ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ .
ಪರಿಹಾರ. ಈ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:
ನಾವು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ:
ಏಕೈಕ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶವು ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಚಿಕ್ಕ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ವಿಭಾಗದ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಕಂಡುಬರುವ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:
ತೀರ್ಮಾನ: ಕಾರ್ಯವು ಅದರ ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ, ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಹಂತದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅತ್ಯಧಿಕ ಮೌಲ್ಯ, ಸಮಾನ , ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ .
ಅನ್ವಯಿಕ ವಿಪರೀತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಚಿಕ್ಕ (ಗರಿಷ್ಠ) ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು, ನಿಯಮದಂತೆ, ಕನಿಷ್ಠ (ಗರಿಷ್ಠ) ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಲ್ಲಿ ಬರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಆಸಕ್ತಿಯು ಕನಿಷ್ಠ ಅಥವಾ ಗರಿಷ್ಠವಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಸಾಧಿಸಿದ ವಾದದ ಮೌಲ್ಯಗಳು. ಅನ್ವಯಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಹೆಚ್ಚುವರಿ ತೊಂದರೆ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ - ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ವಿದ್ಯಮಾನ ಅಥವಾ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ರಚಿಸುವುದು.
ಉದಾಹರಣೆ 10. 4 ಸಾಮರ್ಥ್ಯದ ಟ್ಯಾಂಕ್, ಒಂದು ಚದರ ಬೇಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾದ ಆಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮತ್ತು ಮೇಲ್ಭಾಗದಲ್ಲಿ ತೆರೆದಿರುತ್ತದೆ, ಟಿನ್ ಮಾಡಬೇಕು. ಟ್ಯಾಂಕ್ ಯಾವ ಗಾತ್ರದಲ್ಲಿರಬೇಕು ಆದ್ದರಿಂದ ಅದನ್ನು ಮುಚ್ಚಲು ಕನಿಷ್ಠ ಪ್ರಮಾಣದ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ?
ಪರಿಹಾರ. ಅವಕಾಶ X- ಬೇಸ್ ಸೈಡ್, ಗಂ- ಟ್ಯಾಂಕ್ ಎತ್ತರ, ಎಸ್- ಕವರ್ ಇಲ್ಲದೆ ಅದರ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ, ವಿ- ಅದರ ಪರಿಮಾಣ. ತೊಟ್ಟಿಯ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಎಸ್ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ, ನಾವು , ಎಲ್ಲಿಂದ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಕಂಡುಬಂದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬದಲಿಸುವುದು ಗಂಫಾರ್ಮುಲಾದಲ್ಲಿ ಎಸ್:
ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅದರ ತೀವ್ರತೆಗೆ ಪರೀಕ್ಷಿಸೋಣ. ಇದನ್ನು ]0, +∞[ , ಮತ್ತು ಎಲ್ಲೆಡೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನಗೊಳಿಸಬಹುದು
.
ನಾವು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೊನ್ನೆ () ಗೆ ಸಮೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದಿದ್ದಾಗ, ಆದರೆ ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ತೀವ್ರ ಬಿಂದುವಾಗಿರಬಾರದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಇದು ಏಕೈಕ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಎರಡನೇ ಸಾಕಷ್ಟು ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ತೀವ್ರತೆಯ ಉಪಸ್ಥಿತಿಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ. ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಎರಡನೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾದಾಗ (). ಇದರರ್ಥ ಕಾರ್ಯವು ಕನಿಷ್ಠವನ್ನು ತಲುಪಿದಾಗ 
. ಇದರಿಂದ ಕನಿಷ್ಠವು ಈ ಕಾರ್ಯದ ಏಕೈಕ ವಿಪರೀತವಾಗಿದೆ, ಇದು ಅದರ ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ತೊಟ್ಟಿಯ ತಳಭಾಗವು 2 ಮೀ ಆಗಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ಅದರ ಎತ್ತರವು ಇರಬೇಕು.
ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸ್ವಯಂ ಪರಿಶೀಲನೆಗಾಗಿ, ನೀವು ಬಳಸಬಹುದು
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ
`ainR` ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕೆಲವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ `y=f(x)` ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ. ಪಾಯಿಂಟ್ `ಎ` ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸ್ಥಳೀಯ ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದು`f` ಕಾರ್ಯಗಳು, `epsilon` ಇದ್ದರೆ - ಈ ನೆರೆಹೊರೆಯಿಂದ ಯಾವುದೇ `x!=a` ಗೆ `a` ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆ `f(x) ಅಸಮಾನತೆ `f(x)>f(a)` ತೃಪ್ತಿಗೊಂಡರೆ, ನಂತರ `a` ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸ್ಥಳೀಯ ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುಕಾರ್ಯಗಳು `f`. ಸ್ಥಳೀಯ ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಸ್ಥಳೀಯ ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಬಿಂದುಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸ್ಥಳೀಯ ವಿಪರೀತ. ಪ್ರಮೇಯ 5.1 (ಫೆರ್ಮಾಟ್) ಪಾಯಿಂಟ್ `a` ಎಂಬುದು `y=f(x)` ಕಾರ್ಯದ ಸ್ಥಳೀಯ ತೀವ್ರ ಬಿಂದುವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು `f` ಕಾರ್ಯವು ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ `f^"(a)=0`. ಭೌತಿಕ ಅರ್ಥ: ರಿಟರ್ನ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಚಲನೆಯೊಂದಿಗೆ, ಗರಿಷ್ಠ ತೆಗೆದುಹಾಕುವಿಕೆಯ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ನಿಲುಗಡೆ ಇರಬೇಕು. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥ: ಸ್ಥಳೀಯ ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುವಿನ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಸಮತಲವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ. ಫೆರ್ಮಾಟ್‌ನ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಪಾಯಿಂಟ್ `ಎ` ನಲ್ಲಿ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, `y=|x|` ಕಾರ್ಯವು `x=0` ಪಾಯಿಂಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ (ಉದಾಹರಣೆ 4.2 ನೋಡಿ). ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ ಮತ್ತು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವ ಅಥವಾ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ನಿರ್ಣಾಯಕ.
ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅವು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವೆ ಇರುತ್ತವೆ (ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುಗಳು ತೀವ್ರತೆಯ "ಸಂಶಯಾಸ್ಪದ"). ನಿರ್ಣಾಯಕ ಹಂತದಲ್ಲಿ ತೀವ್ರತೆಯ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಖಾತ್ರಿಪಡಿಸುವ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಲು, ನಮಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ನಾವು ಮಧ್ಯಂತರ (ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಅನಂತ), ಅರ್ಧ-ಮಧ್ಯಂತರ ಅಥವಾ ಸಂಖ್ಯೆಯ ರೇಖೆಯ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಅರ್ಥೈಸುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ `I` ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ `y=f(x)` ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ. 1) ಕಾರ್ಯ `y=f(x)` ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ 2) ಕಾರ್ಯ `y=f(x)` ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ`I` ಗೆ, ಯಾವುದಾದರೂ `x,yinI`, `x ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು `I` ನಿಂದ ಹೆಚ್ಚಾದರೆ ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆಯಾದರೆ, ನಂತರ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕತಾನತೆಯಮಧ್ಯಂತರ `I` ನಲ್ಲಿ. ಏಕತಾನತೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು. `y=f(x)` ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು `I` ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ `a`, `b`, `(a, b)` ನಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮಾಡಬಹುದು ಮತ್ತು ಅವು `I` ಗೆ ಸೇರಿದ್ದರೆ ಅಂತ್ಯಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. . ನಂತರ 1) `f^"(x)>0` ರಿಂದ `(a, b)` ಆಗಿದ್ದರೆ, ಕಾರ್ಯವು `I` ನಿಂದ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ; 2) ಒಂದು ವೇಳೆ `f^"(x)<0` на `(a, b)`, то функция убывает на `I`. ವಿಪರೀತ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು. `y=f(x)` ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು `(ab)` ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಿ, `x_0 in(a, b)` ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ ಮತ್ತು `(a,x_0) uu (x_0,b) ನಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಲಿ `. ನಂತರ 1) `f^"(x)>0` ರಿಂದ `(a;x_0)` ಮತ್ತು `f^"(x)<0` на `(x_0;b)`, то `x_0` - точка локального максимума функции `f`; 2) ಒಂದು ವೇಳೆ `f^"(x)<0` на `(a;x_0)` и `f^"(x)>0` ರಿಂದ `(x_0;b)`, ನಂತರ `x_0` ಎಂಬುದು `f` ಕಾರ್ಯದ ಸ್ಥಳೀಯ ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆ 5.1 ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ಏಕತಾನತೆ ಮತ್ತು ತೀವ್ರತೆಗಾಗಿ `y=x^3-3x` ಕಾರ್ಯವನ್ನು ತನಿಖೆ ಮಾಡಿ. ಈ ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು `R` ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಪ್ರಮೇಯ 4.2 ರ ಅನುಬಂಧವನ್ನು ನೋಡಿ), ಮತ್ತು `y^"=3(x^2-1)`. ರಿಂದ `y^"<0` при `x in(-1,1)`; `y^">`x in(-oo,-1)uu(1,+oo)` ಗಾಗಿ 0`, ನಂತರ ಕಾರ್ಯವು `(-oo,-1]` ಮತ್ತು `` ಕಿರಣಗಳ ಮೇಲೆ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ಎಕ್ಸ್‌ಟ್ರೀಮ್‌ನ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ =-1` - ಸ್ಥಳೀಯ ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದು, ಮತ್ತು `x=1` ಎಂಬುದು ಸ್ಥಳೀಯ ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. `y^"=0` ಕೇವಲ `x=1` ಮತ್ತು `x=-1` ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಇರುವುದರಿಂದ, ನಂತರ, ಫೆರ್ಮಾಟ್‌ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಕಾರ್ಯವು ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸುವ ಪ್ರಮುಖ ವರ್ಗದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ - ಒಂದು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಮಸ್ಯೆ. ಉದಾಹರಣೆ 5.2 ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ `y=x^3-3x` ಕಾರ್ಯದ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: a) `[-2;0]`; ಬಿ) ``. ಎ) ಉದಾಹರಣೆ 5.1 ರಿಂದ ಕಾರ್ಯವು `(-oo,-1]` ನಿಂದ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು `[-1,1]` ನಿಂದ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ `y(-1)>=y(x)` ಎಲ್ಲಾ `` ಗೆ x in[-2;0]` ಮತ್ತು `y_"max"=y(-1)=2` - `[-2;0]` ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯ. ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ತುದಿಗಳ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. `y(-2)=-2`, ಮತ್ತು `y(0)=0`, ನಂತರ `y_"max"=-2` ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ `[-2;0]` ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯ. ಬಿ) ಕಿರಣದಲ್ಲಿ `` ಇರುವುದರಿಂದ, ಆದ್ದರಿಂದ `y_"naim"=y(1)=-2`, `y_"naib"=y(3)=18`. ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾದ ಕಾರ್ಯವು ಯಾವಾಗಲೂ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಉದಾಹರಣೆ 5.3 `[-4;3]` ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ `y=x^3-12|x+1|` ಕಾರ್ಯದ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ. ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ನಾವು `f_1(x)=x^3+12(x+1)`, `f_2(x)=x^3-12(x+1)` ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ. ನಂತರ `-4 ನಲ್ಲಿ `y=f_1(x)`<=x<=-1` и `y=f_2(x)` при `-1<=x<=3`. Находим `f_1^"(x)=3x^2+12`, `f_2^"(x)=3x^2-12`. Уравнение `f_1^"(x)=0` не имеет действительных корней, а уравнение `f_2^"(x)=0` имеет два действительных корня `x_1=-2`, `x_2=2`, из которых интервалу `(-1;3)` принадлежит только точка `x_2`. В точке `x=-1` функция определена, но не имеет производной (можно, например, провести рассуждения, аналогичные рассуждениям примера 4.2). Итак, имеется две критические точки: `x=-1` и `x=2`. Производная `y^"(x)=f_1^"(x)>0` ರಿಂದ `(-4,-1)`, `y^"(x)=f_2^"(x)<0` на `(-1;2)` и `y^"(x)=f_2^"(x)>0` ರಿಂದ `(2;3)`. ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಅಧ್ಯಯನಗಳನ್ನು ಬರೆಯೋಣ: `y_"naib"=-1`; `y_"ಹೆಸರು"=-100`. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಕಾರ್ಯ ವೇಳೆ f(X) ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ [ a, b], ಮಧ್ಯಂತರದ ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ( a, b), ಹಂತದಲ್ಲಿ ಎಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿ, ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಬಿಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ ನಾವು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ f(X) ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ
[a, b]. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಕಾರ್ಯ f(X) ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ [ a, b], ಮೂರು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ: 1) "X 0 Î( a, b): f(X) = f(X 0); 2) f(X) = f(ಎ); 3) f(X) = f(ಬಿ). ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುವ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ, ನಾವು ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅದನ್ನು ನಾವು ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳದೆಯೇ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ರೂಪಿಸುತ್ತೇವೆ. ಪ್ರಮೇಯ 1. ಕಾರ್ಯ ವೇಳೆ f(X) ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ [ a, b], ನಂತರ ಅದು ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಅದರ ಕನಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯವು ಹೇಳುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 1.15) ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ [ a, b] ಅಂತಹ ಒಂದು ಅಂಶವಿದೆ X 1 ಅದು f(X 1) £ f(X) ಯಾವುದಕ್ಕಾದರೂ Xನಿಂದ [ a, b] ಮತ್ತು ಒಂದು ಅಂಶವಿದೆ X 2 (X 2 ಓ[ a, b]) ಅಂದರೆ " XÎ[ a, b] (f(X 2)³ f(X)). ಅರ್ಥ f(X 1) ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ [ a, b], ಎ f(X 2) - ಚಿಕ್ಕದು. ನಾವು ಸೂಚಿಸೋಣ: f(X 1) = ಎಂ, f(X 2) =ಮೀ. ರಿಂದ f(X) ಅಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ: " XÎ[ a, b] ಮೀ£ f(X) £ ಎಂ, ನಂತರ ನಾವು ಪ್ರಮೇಯ 1 ರಿಂದ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಪರಿಣಾಮ. ಕಾರ್ಯ ವೇಳೆ f(X) ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಅದು ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮೇಯ 2. ಕಾರ್ಯ ವೇಳೆ f(X) ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ [ a,b] ಮತ್ತು ವಿಭಾಗದ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಅಂತಹ ಆಂತರಿಕ ಬಿಂದುವಿದೆ X 0 ವಿಭಾಗ [ a, b], ಇದರಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು 0 ಗೆ ತಿರುಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. $ X 0 Î ( a, b) (f(X 0) = 0). ಈ ಪ್ರಮೇಯವು ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ y = f(X), ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ [ a, b], ಅಕ್ಷವನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ ಎತ್ತುಮೌಲ್ಯಗಳಿದ್ದರೆ ಒಮ್ಮೆಯಾದರೂ f(ಎ) ಮತ್ತು f(ಬಿ) ವಿರುದ್ಧ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, (ಚಿತ್ರ 1.16) f(ಎ) > 0, f(ಬಿ) < 0 и функция f(X) ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ 0 ಆಗುತ್ತದೆ X 1 , X 2 , X 3 . ಪ್ರಮೇಯ 3. ಕಾರ್ಯ ಮಾಡಲಿ f(X) ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ [ a, b], f(ಎ) = ಎ, f(ಬಿ) = ಬಿಮತ್ತು ಎ¹ ಬಿ. (ಚಿತ್ರ 1.17). ನಂತರ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಿ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವೆ ಸುತ್ತುವರಿದಿದೆ ಎಮತ್ತು ಬಿ, ಅಂತಹ ಆಂತರಿಕ ಬಿಂದುವಿದೆ X 0 ವಿಭಾಗ [ a, b], ಏನು f(X 0) = ಸಿ. ಪರಿಣಾಮ. ಕಾರ್ಯ ವೇಳೆ f(X) ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ [ a, b], ಮೀ- ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯ f(X), ಎಂ- ಕಾರ್ಯದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮೌಲ್ಯ f(X) ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ [ a, b], ನಂತರ ಕಾರ್ಯವು (ಕನಿಷ್ಠ ಒಮ್ಮೆಯಾದರೂ) ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮೀ, ನಡುವೆ ತೀರ್ಮಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮೀಮತ್ತು ಎಂ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ವಿಭಾಗ [ ಮೀ, ಎಂ] ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ f(X) ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ [ a, b]. ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ ( a, b) ಅಥವಾ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿದೆ [ a, b] ಸ್ಥಗಿತದ ಅಂಕಗಳು, ನಂತರ ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಪ್ರಮೇಯಗಳು 1, 2, 3 ನಿಜವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ವಿಲೋಮ ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಪ್ರಮೇಯ 4. ಅವಕಾಶ f(X) ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ X, ಮೂಲಕ ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತದೆ (ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ). Xಮತ್ತು ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ವೈ. ನಂತರ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ y = f(X) ಒಂದು ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವಿದೆ X= ಜ(ವೈ), ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ವೈ, ನಿರಂತರ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ (ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆ) ಮೂಲಕ ವೈಬಹು ಅರ್ಥಗಳೊಂದಿಗೆ X. ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ. ಕಾರ್ಯ ಮಾಡಲಿ X= ಜ(ವೈ) ಕಾರ್ಯದ ವಿಲೋಮವಾಗಿದೆ f(X) ವಾದವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸೂಚಿಸುವುದರಿಂದ X, ಮತ್ತು ಮೂಲಕ ಕಾರ್ಯ ವೈ, ನಂತರ ನಾವು ರೂಪದಲ್ಲಿ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ y =ಜ(X). ಉದಾಹರಣೆ 1. ಕಾರ್ಯ y = x 2 (Fig. 1.8, a) ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ X= ಅಕ್ಷಗಳು ಓಹ್, ನಂತರ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯ ನಲ್ಲಿ = φ
(X) ಅನುಗುಣವಾದ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ ಮತ್ತು ಏಕತಾನತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ [ ಸಿ;ಡಿ] ಅಕ್ಷಗಳು OU(ಯಾವುದೇ ಪುರಾವೆ ಇಲ್ಲ). ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುವ ಕಾರ್ಯಗಳು ಹಲವಾರು ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ನೀಡದೆಯೇ ಅವುಗಳನ್ನು ಪ್ರಮೇಯಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ರೂಪಿಸೋಣ. ಪ್ರಮೇಯ (ವೀರ್‌ಸ್ಟ್ರಾಸ್). ಒಂದು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಅದರ ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ. ಚಿತ್ರ 5 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ಕಾರ್ಯ ನಲ್ಲಿ = f(X) ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ [ ಎ; ಬಿ], ಅದರ ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂಹಂತದಲ್ಲಿ X 1 ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕದು ಮೀ-ಹಂತದಲ್ಲಿ X 2. ಯಾರಿಗಾದರೂ X [ಎ; ಬಿ] ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮೀ ≤ f(X) ≤ ಎಂ. ಪರಿಣಾಮ.ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮೇಯ (ಬೊಲ್ಜಾನೊ - ಕೌಚಿ).ಕಾರ್ಯ ವೇಳೆ ನಲ್ಲಿ= f(X) ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ [ ಎ; ಬಿ] ಮತ್ತು ಅದರ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ಅಸಮಾನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ f(ಎ) = ಎಮತ್ತು f(ಬಿ) = =IN, ನಂತರ ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಮಧ್ಯಂತರ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಮತ್ತು IN. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ, ಪ್ರಮೇಯವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ (ಚಿತ್ರ 6 ನೋಡಿ). ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಇದರೊಂದಿಗೆ, ನಡುವೆ ತೀರ್ಮಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಮತ್ತು IN, ಒಂದು ಅಂಶವಿದೆ ಜೊತೆಗೆಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಅಂತಹ f(ಜೊತೆಗೆ) = ಇದರೊಂದಿಗೆ. ನೇರ ನಲ್ಲಿ = ಇದರೊಂದಿಗೆಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ. ಪರಿಣಾಮ.ಕಾರ್ಯ ವೇಳೆ ನಲ್ಲಿ = f(X) ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ [ ಎ; ಬಿ] ಮತ್ತು ಅದರ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ನಂತರ ವಿಭಾಗದ ಒಳಗೆ [ ಎ; ಬಿ] ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಅಂಶವಿದೆ ಜೊತೆಗೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಈ ಕಾರ್ಯ f(X) ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ: f(ಜೊತೆಗೆ) = 0. ಪ್ರಮೇಯದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥ: ನಿರಂತರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಅಕ್ಷದ ಒಂದು ಬದಿಯಿಂದ ಹಾದು ಹೋದರೆ ಓಹ್ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ, ನಂತರ ಅದು ಅಕ್ಷವನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ ಎತ್ತು(ಚಿತ್ರ 7 ನೋಡಿ). ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 4. ಈ ವಿಭಾಗದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿಯೂ ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಒಂದು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಬಿಂದು a ನಲ್ಲಿ ಅದು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಮತ್ತು ಬಿಂದು ಬಿನಲ್ಲಿ ಅದು ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ). ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳು ಅವುಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು: ಕಾರ್ಯ ನಿರಂತರತೆಯ ಬಿಂದು ವಿಭಾಗ ನಿರಂತರತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಈ ಕ್ರಿಯೆಯ ಬ್ರೇಕ್ ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಅಸಂಯಮ ಬಿಂದುವಾಗಿದ್ದರೆ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು 1, 2 ರಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಕಾರ್ಯದ ನಿರಂತರತೆಗೆ ಕನಿಷ್ಠ ಮೂರು ಷರತ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಪೂರೈಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ: 1) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಹಂತದಲ್ಲಿಯೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ ಉದಾಹರಣೆ 2 a) ನಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಗಿತವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದನ್ನು ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. 2) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಸುತ್ತಮುತ್ತಲಿನ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮಿತಿಗಳಿವೆ ಮತ್ತು, ಆದರೆ ಅವು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ: . ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಉದಾಹರಣೆ 2 b) ನಿಂದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಸಮೀಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ, ರಿಂದ a. 3) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಿಂದು ಮತ್ತು ಅದರ ಸುತ್ತಮುತ್ತಲಿನ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮಿತಿಗಳಿವೆ ಮತ್ತು ಅವು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ: . ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯ. ಬ್ರೇಕ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಇಲ್ಲಿದೆ: ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮಿತಿಗಳಿವೆ ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ, ಅಂದರೆ. ಫಂಕ್ಷನ್ ಬ್ರೇಕ್ ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 5. ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತ ಮಿತಿಗಳು ಮತ್ತು, ಆದರೆ ಅವು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಮೊದಲ ರೀತಿಯ ಕಾರ್ಯದ ಸ್ಥಗಿತ ಬಿಂದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ಜಂಪ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 6. ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತ ಮಿತಿಗಳಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಬಹುದಾದ ಸ್ಥಗಿತದ ಬಿಂದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ: , ಆದರೆ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸ್ವತಃ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ, ಅಥವಾ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 7. ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮಿತಿಗಳು (ಅಥವಾ) ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಅನಂತತೆಗೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ಎರಡನೇ ರೀತಿಯ ಕಾರ್ಯದ ಸ್ಥಗಿತ ಬಿಂದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ 3. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕಾರ್ಯಗಳ ಬ್ರೇಕ್‌ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ: a) b) ಪರಿಹಾರ. a) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ನಿರಂತರ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯದ ಬ್ರೇಕ್ ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳು ಕಾರ್ಯವು ಅದರ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿರಬಹುದು, ಅಂದರೆ. ಅಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ: ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮಿತಿಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲದ ಕಾರಣ, ಬಿಂದುವು ಮೊದಲ ರೀತಿಯ ಸ್ಥಗಿತದ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಕಾರ್ಯ ಜಂಪ್: ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವ ಅಂಶಕ್ಕಾಗಿ.
ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ನಾವು ಒಂದು ವಿಭಾಗ ಅಥವಾ ಮಧ್ಯಂತರ ಅಥವಾ ಅರ್ಧ-ಮಧ್ಯಂತರ, ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಅನಂತವನ್ನು ಅರ್ಥೈಸುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ.
ಅಕ್ಕಿ. 7.
ಫಂಕ್ಷನ್ ಬ್ರೇಕ್ ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣ
