ಅಕಿಲ್ಸ್ ಆಮೆಗಿಂತ ಹತ್ತು ಪಟ್ಟು ವೇಗವಾಗಿ ಓಡುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಹಿಂದೆ ಸಾವಿರ ಹೆಜ್ಜೆಗಳಿವೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ. ಈ ದೂರವನ್ನು ಓಡಲು ಅಕಿಲ್ಸ್ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಆಮೆ ಅದೇ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ನೂರು ಹೆಜ್ಜೆಗಳನ್ನು ತೆವಳುತ್ತದೆ. ಅಕಿಲ್ಸ್ ನೂರು ಹೆಜ್ಜೆ ಓಡಿದಾಗ, ಆಮೆ ಇನ್ನೂ ಹತ್ತು ಹೆಜ್ಜೆ ತೆವಳುತ್ತದೆ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಅನಂತವಾಗಿ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ, ಅಕಿಲ್ಸ್ ಎಂದಿಗೂ ಆಮೆಯನ್ನು ಹಿಡಿಯುವುದಿಲ್ಲ.
ಈ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯು ಎಲ್ಲಾ ನಂತರದ ಪೀಳಿಗೆಗೆ ತಾರ್ಕಿಕ ಆಘಾತವಾಯಿತು. ಅರಿಸ್ಟಾಟಲ್, ಡಯೋಜಿನೆಸ್, ಕಾಂಟ್, ಹೆಗೆಲ್, ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್... ಇವರೆಲ್ಲರೂ ಒಂದಲ್ಲ ಒಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಝೆನೋನ ಅಪೋರಿಯಾವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದರು. ಆಘಾತವು ತುಂಬಾ ಪ್ರಬಲವಾಗಿತ್ತು " ... ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳ ಸಾರದ ಬಗ್ಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಭಿಪ್ರಾಯವನ್ನು ತಲುಪಲು ಚರ್ಚೆಗಳು ಇಂದಿಗೂ ಮುಂದುವರೆದಿದೆ ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಸಮುದಾಯಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ಅದು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಲ್ಲ... ನಾವು ಸಮಸ್ಯೆಯ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ತೊಡಗಿದ್ದೇವೆ ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ, ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಹೊಸ ಭೌತಿಕ ಮತ್ತು ತಾತ್ವಿಕ ವಿಧಾನಗಳು; ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೂ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸ್ವೀಕರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಪರಿಹಾರವಾಗಲಿಲ್ಲ ..."[ವಿಕಿಪೀಡಿಯಾ, "ಝೆನೋಸ್ ಅಪೋರಿಯಾ". ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ತಾವು ಮೂರ್ಖರಾಗುತ್ತಿದ್ದಾರೆಂದು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ, ಆದರೆ ವಂಚನೆಯು ಏನನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಯಾರೂ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ.
ಗಣಿತದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಝೆನೋ ತನ್ನ ಅಪೋರಿಯಾದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮಾಣದಿಂದ ವರೆಗಿನ ಪರಿವರ್ತನೆಯನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಿದನು. ಈ ಪರಿವರ್ತನೆಯು ಶಾಶ್ವತವಾದವುಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ನಾನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡಂತೆ, ಗಣಿತದ ಉಪಕರಣಮಾಪನದ ವೇರಿಯಬಲ್ ಘಟಕಗಳ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಇನ್ನೂ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ ಅಥವಾ ಝೆನೋದ ಅಪೋರಿಯಾಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ನಮ್ಮ ಸಾಮಾನ್ಯ ತರ್ಕವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದು ನಮ್ಮನ್ನು ಬಲೆಗೆ ಕೊಂಡೊಯ್ಯುತ್ತದೆ. ನಾವು, ಚಿಂತನೆಯ ಜಡತ್ವದಿಂದಾಗಿ, ಪರಸ್ಪರ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಯದ ನಿರಂತರ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದರೊಂದಿಗೆ ಭೌತಿಕ ಬಿಂದುದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಅಕಿಲ್ಸ್ ಆಮೆಯನ್ನು ಹಿಡಿದ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಅದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿಲ್ಲುವವರೆಗೆ ಸಮಯ ನಿಧಾನವಾಗುತ್ತಿರುವಂತೆ ತೋರುತ್ತಿದೆ. ಸಮಯ ನಿಂತರೆ, ಅಕಿಲ್ಸ್ ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಆಮೆಯನ್ನು ಮೀರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.
ನಾವು ನಮ್ಮ ಸಾಮಾನ್ಯ ತರ್ಕವನ್ನು ತಿರುಗಿಸಿದರೆ, ಎಲ್ಲವೂ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಬೀಳುತ್ತದೆ. ಅಕಿಲ್ಸ್ ಜೊತೆ ಓಡುತ್ತಾನೆ ಸ್ಥಿರ ವೇಗ. ಅವನ ಹಾದಿಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನಂತರದ ವಿಭಾಗವು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಹತ್ತು ಪಟ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಅದನ್ನು ಜಯಿಸಲು ಕಳೆದ ಸಮಯವು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಹತ್ತು ಪಟ್ಟು ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ನಾವು "ಅನಂತ" ಎಂಬ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿದರೆ, "ಅಕಿಲ್ಸ್ ಆಮೆಯನ್ನು ಅನಂತವಾಗಿ ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಹಿಡಿಯುತ್ತಾನೆ" ಎಂದು ಹೇಳುವುದು ಸರಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಈ ತಾರ್ಕಿಕ ಬಲೆ ತಪ್ಪಿಸುವುದು ಹೇಗೆ? ಒಳಗೆ ಇರಿ ಸ್ಥಿರ ಘಟಕಗಳುಸಮಯದ ಅಳತೆಗಳು ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಪ್ರಮಾಣಗಳಿಗೆ ಹೋಗಬೇಡಿ. ಝೆನೋ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಇದು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:
ಅಕಿಲ್ಸ್ ಸಾವಿರ ಹೆಜ್ಜೆಗಳನ್ನು ಓಡಿಸಲು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಆಮೆ ಅದೇ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ನೂರು ಹೆಜ್ಜೆಗಳನ್ನು ತೆವಳುತ್ತದೆ. ಮುಂದಿನ ಸಮಯದ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ, ಮೊದಲನೆಯದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಕಿಲ್ಸ್ ಇನ್ನೂ ಸಾವಿರ ಹೆಜ್ಜೆಗಳನ್ನು ಓಡಿಸುತ್ತಾನೆ, ಮತ್ತು ಆಮೆ ನೂರು ಹೆಜ್ಜೆಗಳನ್ನು ತೆವಳುತ್ತದೆ. ಈಗ ಅಕಿಲ್ಸ್ ಆಮೆಗಿಂತ ಎಂಟು ನೂರು ಹೆಜ್ಜೆ ಮುಂದಿದ್ದಾರೆ.
ಈ ವಿಧಾನವು ಯಾವುದೇ ತಾರ್ಕಿಕ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳಿಲ್ಲದೆ ವಾಸ್ತವವನ್ನು ಸಮರ್ಪಕವಾಗಿ ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಹಾಗಲ್ಲ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರಸಮಸ್ಯೆಗಳು. ಬೆಳಕಿನ ವೇಗದ ಎದುರಿಸಲಾಗದ ಬಗ್ಗೆ ಐನ್‌ಸ್ಟೈನ್ ಹೇಳಿಕೆಯು ಝೆನೋನ ಅಪೋರಿಯಾ "ಅಕಿಲ್ಸ್ ಮತ್ತು ಆಮೆ" ಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ನಾವು ಇನ್ನೂ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಬೇಕು, ಪುನರ್ವಿಮರ್ಶಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕು. ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಅನಂತ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅಳತೆಯ ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ ಹುಡುಕಬೇಕು.
Zeno ನ ಮತ್ತೊಂದು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಅಪೋರಿಯಾ ಹಾರುವ ಬಾಣದ ಬಗ್ಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ:
ಹಾರುವ ಬಾಣವು ಚಲನರಹಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಪ್ರತಿ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ವಿಶ್ರಾಂತಿಯಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಪ್ರತಿ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ವಿಶ್ರಾಂತಿಯಲ್ಲಿರುವುದರಿಂದ ಅದು ಯಾವಾಗಲೂ ವಿಶ್ರಾಂತಿಯಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ.
ಈ ಅಪೋರಿಯಾದಲ್ಲಿ, ತಾರ್ಕಿಕ ವಿರೋಧಾಭಾಸವನ್ನು ಬಹಳ ಸರಳವಾಗಿ ನಿವಾರಿಸಲಾಗಿದೆ - ಪ್ರತಿ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಹಾರುವ ಬಾಣವು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ವಿವಿಧ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ವಿಶ್ರಾಂತಿ ಪಡೆಯುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಲು ಸಾಕು, ಅದು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಚಲನೆಯಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಇನ್ನೊಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು. ರಸ್ತೆಯಲ್ಲಿರುವ ಕಾರಿನ ಒಂದು ಛಾಯಾಚಿತ್ರದಿಂದ ಅದರ ಚಲನೆಯ ಸತ್ಯ ಅಥವಾ ಅದರ ಅಂತರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಅಸಾಧ್ಯ. ಒಂದು ಕಾರು ಚಲಿಸುತ್ತಿದೆಯೇ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ನಿಮಗೆ ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ತೆಗೆದ ಎರಡು ಛಾಯಾಚಿತ್ರಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ ವಿಭಿನ್ನ ಕ್ಷಣಗಳುಸಮಯ, ಆದರೆ ದೂರವನ್ನು ಅವರಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಕಾರಿಗೆ ದೂರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ನಿಮಗೆ ಎರಡು ಛಾಯಾಚಿತ್ರಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ ವಿವಿಧ ಅಂಕಗಳುಒಂದು ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಳಾವಕಾಶ, ಆದರೆ ಅವುಗಳಿಂದ ಚಲನೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಅಸಾಧ್ಯ (ನೈಸರ್ಗಿಕವಾಗಿ, ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಡೇಟಾ ಇನ್ನೂ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಗೆ ಅಗತ್ಯವಿದೆ, ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ). ನಾನು ಏನು ಸೂಚಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ ವಿಶೇಷ ಗಮನ, ಸಮಯದ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳು ಗೊಂದಲಕ್ಕೀಡಾಗಬಾರದು, ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ಸಂಶೋಧನೆಗೆ ವಿಭಿನ್ನ ಅವಕಾಶಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತವೆ.
ಬುಧವಾರ, ಜುಲೈ 4, 2018
ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ಮಲ್ಟಿಸೆಟ್ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ವಿಕಿಪೀಡಿಯಾದಲ್ಲಿ ಚೆನ್ನಾಗಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ನೋಡೋಣ.
ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, "ಒಂದು ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಎರಡು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಅಂಶಗಳು ಇರಬಾರದು" ಆದರೆ ಒಂದು ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಅಂಶಗಳಿದ್ದರೆ, ಅಂತಹ ಗುಂಪನ್ನು "ಮಲ್ಟಿಸೆಟ್" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮಂಜಸವಾದ ಜೀವಿಗಳು ಅಂತಹ ಅಸಂಬದ್ಧ ತರ್ಕವನ್ನು ಎಂದಿಗೂ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. ಇದು ಮಟ್ಟವಾಗಿದೆ ಮಾತನಾಡುವ ಗಿಳಿಗಳುಮತ್ತು ತರಬೇತಿ ಪಡೆದ ಕೋತಿಗಳು, "ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ" ಪದದಿಂದ ಯಾವುದೇ ಬುದ್ಧಿವಂತಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಗಣಿತಜ್ಞರು ಸಾಮಾನ್ಯ ತರಬೇತುದಾರರಂತೆ ವರ್ತಿಸುತ್ತಾರೆ, ಅವರ ಅಸಂಬದ್ಧ ವಿಚಾರಗಳನ್ನು ನಮಗೆ ಬೋಧಿಸುತ್ತಾರೆ.
ಒಂದಾನೊಂದು ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಸೇತುವೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದ ಎಂಜಿನಿಯರ್‌ಗಳು ಸೇತುವೆಯ ಕೆಳಗೆ ದೋಣಿಯಲ್ಲಿ ಸೇತುವೆಯ ಪರೀಕ್ಷೆ ನಡೆಸುತ್ತಿದ್ದರು. ಸೇತುವೆ ಕುಸಿದರೆ, ಸಾಧಾರಣ ಎಂಜಿನಿಯರ್ ತನ್ನ ಸೃಷ್ಟಿಯ ಅವಶೇಷಗಳಡಿಯಲ್ಲಿ ಸತ್ತರು. ಸೇತುವೆಯು ಭಾರವನ್ನು ತಡೆದುಕೊಳ್ಳುವಂತಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಭಾವಂತ ಎಂಜಿನಿಯರ್ ಇತರ ಸೇತುವೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದರು.
ಗಣಿತಜ್ಞರು "ಸ್ಕ್ರೂ ಮಿ, ನಾನು ಮನೆಯಲ್ಲಿದ್ದೇನೆ" ಅಥವಾ "ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಅಧ್ಯಯನಗಳು" ಎಂಬ ಪದಗುಚ್ಛದ ಹಿಂದೆ ಹೇಗೆ ಮರೆಮಾಡಿದರೂ ಪರವಾಗಿಲ್ಲ. ಅಮೂರ್ತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು", ಒಂದು ಹೊಕ್ಕುಳಬಳ್ಳಿಯು ಅವುಗಳನ್ನು ವಾಸ್ತವದೊಂದಿಗೆ ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗದಂತೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಹೊಕ್ಕುಳಬಳ್ಳಿಯು ಹಣವಾಗಿದೆ. ಅನ್ವಯಿಸು ಗಣಿತದ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಣಿತಜ್ಞರಿಗೆ ಸ್ವತಃ ಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ.
ನಾವು ಗಣಿತವನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಈಗ ನಾವು ನಗದು ರಿಜಿಸ್ಟರ್‌ನಲ್ಲಿ ಕುಳಿತು ಸಂಬಳ ನೀಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಒಬ್ಬ ಗಣಿತಜ್ಞ ತನ್ನ ಹಣಕ್ಕಾಗಿ ನಮ್ಮ ಬಳಿಗೆ ಬರುತ್ತಾನೆ. ನಾವು ಅವನಿಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಎಣಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ನಮ್ಮ ಮೇಜಿನ ಮೇಲೆ ವಿವಿಧ ರಾಶಿಗಳಲ್ಲಿ ಇಡುತ್ತೇವೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ನಾವು ಒಂದೇ ಪಂಗಡದ ಬಿಲ್‌ಗಳನ್ನು ಹಾಕುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ ನಾವು ಪ್ರತಿ ಸ್ಟಾಕ್‌ನಿಂದ ಒಂದು ಬಿಲ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ಗಣಿತಜ್ಞರಿಗೆ ನೀಡುತ್ತೇವೆ. ಗಣಿತದ ಸೆಟ್ಸಂಬಳಗಳು." ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಅಂಶಗಳಿಲ್ಲದ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದಾಗ ಮಾತ್ರ ಉಳಿದ ಬಿಲ್‌ಗಳನ್ನು ಅವನು ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತಾನೆ ಎಂದು ನಾವು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ವಿವರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇಲ್ಲಿ ವಿನೋದವು ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ.
ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ನಿಯೋಗಿಗಳ ತರ್ಕವು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ: "ಇದನ್ನು ಇತರರಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ನನಗೆ ಅಲ್ಲ!" ನಂತರ ಅವರು ಒಂದೇ ಪಂಗಡದ ಬಿಲ್‌ಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಬಿಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ಭರವಸೆ ನೀಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತಾರೆ, ಅಂದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಸರಿ, ಸಂಬಳವನ್ನು ನಾಣ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಎಣಿಸೋಣ - ನಾಣ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಲ್ಲ. ಇಲ್ಲಿ ಗಣಿತಜ್ಞನು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಉದ್ರಿಕ್ತವಾಗಿ ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತಾನೆ: ವಿವಿಧ ನಾಣ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಇದೆ ವಿವಿಧ ಪ್ರಮಾಣಗಳುಮಣ್ಣು, ಸ್ಫಟಿಕ ರಚನೆಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ನಾಣ್ಯದಲ್ಲಿನ ಪರಮಾಣುಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿದೆ ...
ಮತ್ತು ಈಗ ನಾನು ಹೆಚ್ಚು ಹೊಂದಿದ್ದೇನೆ ಆಸಕ್ತಿ ಕೇಳಿ: ಮಲ್ಟಿಸೆಟ್‌ನ ಅಂಶಗಳು ಸೆಟ್‌ನ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಬದಲಾಗುವ ರೇಖೆಯು ಎಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ? ಅಂತಹ ಒಂದು ಸಾಲು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ - ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಶಾಮನ್ನರು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತಾರೆ, ವಿಜ್ಞಾನವು ಇಲ್ಲಿ ಸುಳ್ಳು ಹೇಳಲು ಸಹ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿಲ್ಲ.
ಇಲ್ಲಿ ನೋಡು. ನಾವು ಅದೇ ಮೈದಾನ ಪ್ರದೇಶದೊಂದಿಗೆ ಫುಟ್ಬಾಲ್ ಕ್ರೀಡಾಂಗಣಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ - ಇದರರ್ಥ ನಾವು ಮಲ್ಟಿಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಆದರೆ ಇದೇ ಸ್ಟೇಡಿಯಂಗಳ ಹೆಸರುಗಳನ್ನು ನೋಡಿದರೆ ನಮಗೆ ಹಲವು ಸಿಗುತ್ತವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಹೆಸರುಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ. ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಅಂಶಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ಮಲ್ಟಿಸೆಟ್ ಎರಡೂ ಆಗಿದೆ. ಯಾವುದು ಸರಿ? ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ ಗಣಿತಜ್ಞ-ಶಾಮನ್-ಶಾರ್ಪಿಸ್ಟ್ ತನ್ನ ತೋಳಿನಿಂದ ಟ್ರಂಪ್‌ಗಳ ಏಸ್ ಅನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ನಮಗೆ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಅಥವಾ ಮಲ್ಟಿಸೆಟ್ ಬಗ್ಗೆ ಹೇಳಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತಾನೆ. ಯಾವುದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅವರು ಸರಿ ಎಂದು ನಮಗೆ ಮನವರಿಕೆ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ.
ಆಧುನಿಕ ಶಾಮನ್ನರು ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದೊಂದಿಗೆ ಹೇಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತಾರೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ಅದನ್ನು ವಾಸ್ತವಕ್ಕೆ ಜೋಡಿಸಿ, ಒಂದು ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಿಸಲು ಸಾಕು: ಒಂದು ಗುಂಪಿನ ಅಂಶಗಳು ಮತ್ತೊಂದು ಗುಂಪಿನ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಹೇಗೆ ಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ? ನಾನು ನಿಮಗೆ ತೋರಿಸುತ್ತೇನೆ, ಯಾವುದೇ "ಒಂದೇ ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಲ್ಲ" ಅಥವಾ "ಒಂದೇ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ."
ಭಾನುವಾರ, ಮಾರ್ಚ್ 18, 2018
ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕೆಗಳ ಮೊತ್ತವು ತಂಬೂರಿಯೊಂದಿಗೆ ಶಾಮನ್ನರ ನೃತ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದು ಗಣಿತದೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಹೌದು, ಗಣಿತದ ಪಾಠಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಬಳಸಲು ನಮಗೆ ಕಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಅವರು ಶಾಮನ್ನರು, ಅವರ ವಂಶಸ್ಥರಿಗೆ ಅವರ ಕೌಶಲ್ಯ ಮತ್ತು ಬುದ್ಧಿವಂತಿಕೆಯನ್ನು ಕಲಿಸಲು, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಶಾಮನ್ನರು ಸಾಯುತ್ತಾರೆ.
ನಿಮಗೆ ಪುರಾವೆ ಬೇಕೇ? ವಿಕಿಪೀಡಿಯಾವನ್ನು ತೆರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು "ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕೆಗಳ ಮೊತ್ತ" ಪುಟವನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ. ಅವಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ. ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕಿಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸೂತ್ರವಿಲ್ಲ. ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳು, ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯುವ ಸಹಾಯದಿಂದ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಈ ರೀತಿ ಧ್ವನಿಸುತ್ತದೆ: "ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹುಡುಕಿ." ಗಣಿತಜ್ಞರು ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಶಾಮನ್ನರು ಇದನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಮಾಡಬಹುದು.
ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು ಏನು ಮತ್ತು ಹೇಗೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ ನೀಡಿದ ಸಂಖ್ಯೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು 12345 ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದೋಣ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಏನು ಮಾಡಬೇಕು? ಎಲ್ಲಾ ಹಂತಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.
1. ಕಾಗದದ ತುಂಡು ಮೇಲೆ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ. ನಾವೇನು ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ? ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂಕೇತವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಇದು ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಲ್ಲ.
2. ನಾವು ಒಂದು ಫಲಿತಾಂಶದ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಹಲವಾರು ಚಿತ್ರಗಳಾಗಿ ಕತ್ತರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಚಿತ್ರವನ್ನು ಕತ್ತರಿಸುವುದು ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಲ್ಲ.
3. ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಿ. ಇದು ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಲ್ಲ.
4. ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ. ಈಗ ಇದು ಗಣಿತ.
12345 ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕೆಗಳ ಮೊತ್ತವು 15 ಆಗಿದೆ. ಇವು ಗಣಿತಜ್ಞರು ಬಳಸುವ ಶಾಮನ್ನರು ಕಲಿಸುವ "ಕತ್ತರಿಸುವ ಮತ್ತು ಹೊಲಿಗೆ ಕೋರ್ಸ್‌ಗಳು". ಆದರೆ ಇಷ್ಟೇ ಅಲ್ಲ.
ಗಣಿತದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ನಾವು ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ ಎಂಬುದು ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ರಲ್ಲಿ ವಿವಿಧ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳುಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕೆಗಳ ಮೊತ್ತವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಲಕ್ಕೆ ಸಬ್‌ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್‌ನಂತೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆ 12345 ನನ್ನ ತಲೆಯನ್ನು ಮೋಸಗೊಳಿಸಲು ನಾನು ಬಯಸುವುದಿಲ್ಲ, ಬಗ್ಗೆ ಲೇಖನದಿಂದ 26 ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬೈನರಿ, ಅಷ್ಟಮ, ದಶಮಾಂಶ ಮತ್ತು ಹೆಕ್ಸಾಡೆಸಿಮಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಬರೆಯೋಣ. ನಾವು ಪ್ರತಿ ಹಂತವನ್ನು ಸೂಕ್ಷ್ಮದರ್ಶಕದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನೋಡುವುದಿಲ್ಲ; ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಅದನ್ನು ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ. ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೋಡೋಣ.
ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕೆಗಳ ಮೊತ್ತವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಫಲಿತಾಂಶಕ್ಕೂ ಗಣಿತಕ್ಕೂ ಯಾವುದೇ ಸಂಬಂಧವಿಲ್ಲ. ನೀವು ಮೀಟರ್ ಮತ್ತು ಸೆಂಟಿಮೀಟರ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಆಯತದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿದರೆ, ನೀವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ.
ಶೂನ್ಯವು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಂಕೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಇದು ಸತ್ಯದ ಪರವಾಗಿ ಮತ್ತೊಂದು ವಾದವಾಗಿದೆ. ಗಣಿತಜ್ಞರಿಗೆ ಪ್ರಶ್ನೆ: ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲದ ವಿಷಯವನ್ನು ಹೇಗೆ ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ? ಏನು, ಗಣಿತಜ್ಞರಿಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಏನೂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ? ನಾನು ಶಾಮನ್ನರಿಗೆ ಇದನ್ನು ಅನುಮತಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳಿಗೆ ಅಲ್ಲ. ರಿಯಾಲಿಟಿ ಕೇವಲ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಅಲ್ಲ.
ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮಾಪನದ ಘಟಕಗಳು ಎಂದು ಪುರಾವೆಯಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕು. ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ವಿವಿಧ ಘಟಕಗಳುಅಳತೆಗಳು. ಒಂದೇ ಪ್ರಮಾಣದ ಮಾಪನದ ವಿಭಿನ್ನ ಘಟಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಅದೇ ಕ್ರಮಗಳು ಅವುಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಿದ ನಂತರ ವಿಭಿನ್ನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾದರೆ, ಗಣಿತದೊಂದಿಗೆ ಇದಕ್ಕೂ ಯಾವುದೇ ಸಂಬಂಧವಿಲ್ಲ.
ನಿಜವಾದ ಗಣಿತ ಎಂದರೇನು? ಈ ವೇಳೆ ಫಲಿತಾಂಶ ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಸಂಖ್ಯೆಯ ಗಾತ್ರ, ಬಳಸಿದ ಅಳತೆಯ ಘಟಕ ಮತ್ತು ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಯಾರು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತಾರೆ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.
ಓಹ್! ಇದು ಮಹಿಳೆಯರ ಶೌಚಾಲಯವಲ್ಲವೇ?
- ಯುವತಿ! ಸ್ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಆರೋಹಣ ಮಾಡುವಾಗ ಆತ್ಮಗಳ ಅವಿನಾಭಾವ ಪವಿತ್ರತೆಯ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕಾಗಿ ಇದು ಪ್ರಯೋಗಾಲಯವಾಗಿದೆ! ಮೇಲೆ ಹಾಲೋ ಮತ್ತು ಮೇಲಕ್ಕೆ ಬಾಣ. ಬೇರೆ ಯಾವ ಶೌಚಾಲಯ?
ಹೆಣ್ಣು... ಮೇಲಿನ ಪ್ರಭಾವಲಯ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಬಾಣ ಪುರುಷ.
ಅಂತಹ ವಿನ್ಯಾಸದ ಕಲೆಯು ದಿನಕ್ಕೆ ಹಲವಾರು ಬಾರಿ ನಿಮ್ಮ ಕಣ್ಣುಗಳ ಮುಂದೆ ಹೊಳೆಯುತ್ತಿದ್ದರೆ,
ನಿಮ್ಮ ಕಾರಿನಲ್ಲಿ ನೀವು ಇದ್ದಕ್ಕಿದ್ದಂತೆ ವಿಚಿತ್ರ ಐಕಾನ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡರೆ ಆಶ್ಚರ್ಯವೇನಿಲ್ಲ:
ವೈಯಕ್ತಿಕವಾಗಿ, ನಾನು ಪೂಪಿಂಗ್ ವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಮೈನಸ್ ನಾಲ್ಕು ಡಿಗ್ರಿಗಳನ್ನು ನೋಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇನೆ (ಒಂದು ಚಿತ್ರ) (ಹಲವಾರು ಚಿತ್ರಗಳ ಸಂಯೋಜನೆ: ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆ, ಸಂಖ್ಯೆ ನಾಲ್ಕು, ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಪದನಾಮ). ಮತ್ತು ಈ ಹುಡುಗಿ ಮೂರ್ಖ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಇಲ್ಲ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಜ್ಞಾನವುಳ್ಳವರು. ಅವಳು ಕೇವಲ ಗ್ರಹಿಕೆಯ ಕಮಾನು ಸ್ಟೀರಿಯೊಟೈಪ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾಳೆ ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಚಿತ್ರಗಳು. ಮತ್ತು ಗಣಿತಜ್ಞರು ಇದನ್ನು ಸಾರ್ವಕಾಲಿಕ ನಮಗೆ ಕಲಿಸುತ್ತಾರೆ. ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ ಇಲ್ಲಿದೆ.
1A "ಮೈನಸ್ ನಾಲ್ಕು ಡಿಗ್ರಿ" ಅಥವಾ "ಒಂದು a" ಅಲ್ಲ. ಇದು "ಪೂಪಿಂಗ್ ಮ್ಯಾನ್" ಅಥವಾ ಹೆಕ್ಸಾಡೆಸಿಮಲ್ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ "ಇಪ್ಪತ್ತಾರು" ಸಂಖ್ಯೆ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವ ಜನರು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಅಕ್ಷರವನ್ನು ಒಂದು ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಚಿಹ್ನೆಯಾಗಿ ಗ್ರಹಿಸುತ್ತಾರೆ.
ನೀವು ಈಗಾಗಲೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವೃತ್ತದ ಬಗ್ಗೆ ಓದಿದ್ದೀರಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆ ವೃತ್ತ ಎಂದು ಏಕೆ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲವು ಅದರ ಮೇಲೆ ಮತ್ತು ಯಾವ ಭಾಗವು ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಓಡಿ! ಸಹಜವಾಗಿ, ನೀವು ಅಂಕಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಲಿದ್ದರೆ ಸಂಖ್ಯೆ ವೃತ್ತ.
ನಾವು \(2π\), \(π\), \(\frac(π)(2)\), \(-\frac(π)(2)\), \(\frac(3π) ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ (2)\)
ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ ಕೊನೆಯ ಲೇಖನ, ಸಂಖ್ಯೆಯ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯವು \(1\) ಆಗಿದೆ. ಇದರರ್ಥ ಸುತ್ತಳತೆಯು \(2π\) ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಸೂತ್ರವನ್ನು \(l=2πR\) ಬಳಸಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗಿದೆ). ಇದನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ನಾವು \(2π\) ಅನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು, ನಾವು \(0\) ರಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವೃತ್ತದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ \(2π\) ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ದೂರಕ್ಕೆ ಹೋಗಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವೃತ್ತದ ಉದ್ದವು \(2π\) ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ಪೂರ್ಣ ತಿರುವು. ಅಂದರೆ, \(2π\) ಮತ್ತು \(0\) ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. ಚಿಂತಿಸಬೇಡಿ, ಒಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಬಹು ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಯ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ.
ಈಗ ಸಂಖ್ಯೆ ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ \(π\) ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ. \(π\) \(2π\) ನ ಅರ್ಧವಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಈ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು, ನೀವು ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ \(0\) ನಿಂದ ಅರ್ಧ ವೃತ್ತವನ್ನು ಹೋಗಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.
ಬಿಂದುವನ್ನು ಗುರುತಿಸೋಣ \(\frac(π)(2)\) . \(\frac(π)(2)\) \(π\) ನ ಅರ್ಧದಷ್ಟು, ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು, ನೀವು \(0\) ನಿಂದ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ \(ನ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ದೂರಕ್ಕೆ ಹೋಗಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. π\), ಅದು ಕಾಲು ವೃತ್ತವಾಗಿದೆ.
ವೃತ್ತದ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ \(-\)\(\frac(π)(2)\) . ನಾವು ಅದೇ ದೂರವನ್ನು ಚಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಕಳೆದ ಬಾರಿ, ಆದರೆ ನಕಾರಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ.
\(-π\) ಅನ್ನು ಹಾಕೋಣ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ದೂರ ಹೋಗೋಣನಕಾರಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಅರ್ಧ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಈಗ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ. ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ \(\frac(3π)(2)\) ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಗುರುತಿಸೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು \(\frac(3)(2)\) ಅನ್ನು \(\frac(3)(2)\) \(=1\)\(\frac(1)(2)\ ಗೆ ಅನುವಾದಿಸುತ್ತೇವೆ. ), ಅಂದರೆ ಇ. \(\frac(3π)(2)\) \(=π+\)\(\frac(π)(2)\) . ಇದರರ್ಥ ನಮಗೆ \(0\) ನಿಂದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಬದಿಅರ್ಧ ವೃತ್ತ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಕಾಲು ದೂರ ನಡೆಯಿರಿ.
ವ್ಯಾಯಾಮ 1. ಅಂಕಗಳನ್ನು ಅಂಕಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ \(-2π\),\(-\)\(\frac(3π)(2)\) ಸಂಖ್ಯೆಯ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ.
ನಾವು \(\frac(π)(4)\), \(\frac(π)(3)\), \(\frac(π)(6)\) ,\(\frac(7π) ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ (6 )\), \(-\frac(4π)(3)\), \(\frac(7π)(4)\)
ಮೇಲೆ ನಾವು \(x\) ಮತ್ತು \(y\) ಅಕ್ಷಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವೃತ್ತದ ಛೇದನದ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಈಗ ಮಧ್ಯಂತರ ಬಿಂದುಗಳ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ. ಮೊದಲಿಗೆ, \(\frac(π)(4)\) , \(\frac(π)(3)\) ಮತ್ತು \(\frac(π)(6)\) ಅಂಕಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸೋಣ.
\(\frac(π)(4)\) \(\frac(π)(2)\) (ಅಂದರೆ \(\frac(π)(4)\) \(=\)\ ( \frac(π)(2)\) \(:2)\) , ಆದ್ದರಿಂದ ದೂರ \(\frac(π)(4)\) ಅರ್ಧದಷ್ಟು ವೃತ್ತವಾಗಿದೆ.
\(\frac(π)(4)\) \(π\) ನ ಮೂರನೇ ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿದೆ (ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ,\(\frac(π)(3)\) \(=π:3\)), ಆದ್ದರಿಂದ ದೂರ \ (\frac(π)(3)\) ಅರ್ಧವೃತ್ತದ ಮೂರನೇ ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿದೆ.
\(\frac(π)(6)\) \(\frac(π)(3)\) (ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, \(\frac(π)(6)\) \(=\)\( \frac (π)(3)\) \(:2\)) ಆದ್ದರಿಂದ \(\frac(π)(6)\) ದೂರದ ಅರ್ಧದಷ್ಟು \(\frac(π)(3)\) .
ಅವು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧಿಸಿ ಹೇಗೆ ನೆಲೆಗೊಂಡಿವೆ:
ಕಾಮೆಂಟ್:ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಬಿಂದುಗಳ ಸ್ಥಳ \(0\), \(\frac(π)(2)\) ,\(π\), \(\frac(3π)(2)\) , \(\frac(π) (4)\) , \(\frac(π)(3)\) , \(\frac(π)(6)\) ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಉತ್ತಮ. ಅವುಗಳಿಲ್ಲದೆ, ಮಾನಿಟರ್ ಇಲ್ಲದ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್‌ನಂತೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವೃತ್ತವು ಉಪಯುಕ್ತ ವಿಷಯವೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಬಳಸಲು ಅತ್ಯಂತ ಅನಾನುಕೂಲವಾಗಿದೆ.
ಈಗ ವೃತ್ತದ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುವನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ \(\frac(7π)(6)\) , ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ: \(\frac(7π)(6)\) \(=\)\(\ frac(6π + π )(6)\) \(=\)\(\frac(6π)(6)\) \(+\)\(\frac(π)(6)\) \(=π+ \)\(\ frac(π)(6)\) . ಇದರಿಂದ ನಾವು ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯದಿಂದ ನಾವು \(π\) ದೂರವನ್ನು ಪ್ರಯಾಣಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಇನ್ನೊಂದು \(\frac(π)(6)\) .
ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ \(-\)\(\frac(4π)(3)\) ಬಿಂದುವನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ. ರೂಪಾಂತರ: \(-\)\(\frac(4π)(3)\) \(=-\)\(\frac(3π)(3)\) \(-\)\(\frac(π)( 3)\) \(=-π-\)\(\frac(π)(3)\) . ಇದರರ್ಥ \(0\) ನಿಂದ ನಾವು ಋಣಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ದೂರ \(π\) ಮತ್ತು \(\frac(π)(3)\) .
\(\frac(7π)(4)\) ಬಿಂದುವನ್ನು ರೂಪಿಸೋಣ, ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು ನಾವು \(\frac(7π)(4)\) \(=\)\(\frac(8π-π)(4) )\) \ (=\)\(\frac(8π)(4)\) \(-\)\(\frac(π)(4)\) \(=2π-\)\(\frac(π) )(4) \) . ಇದರರ್ಥ \(\frac(7π)(4)\) ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಬಿಂದುವನ್ನು ಇರಿಸಲು, ನೀವು \(2π\) ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಪಾಯಿಂಟ್‌ನಿಂದ ದೂರದಲ್ಲಿ \(\) ಋಣಾತ್ಮಕ ಬದಿಗೆ ಹೋಗಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. frac(π)(4)\) .
ಕಾರ್ಯ 2. \(-\)\(\frac(π)(6)\) ,\(-\)\(\frac(π)(4)\) ,\(-\)\(\frac) ಅಂಕಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ ಸಂಖ್ಯೆ ವೃತ್ತ (π)(3)\) ,\(\frac(5π)(4)\) ,\(-\)\(\frac(7π)(6)\) ,\(\frac(11π) (6) \) , \(\frac(2π)(3)\) ,\(-\)\(\frac(3π)(4)\) .
ನಾವು \(10π\), \(-3π\), \(\frac(7π)(2)\) ,\(\frac(16π)(3)\), \(-\frac(21π) ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ )( 2)\), \(-\frac(29π)(6)\)
\(10π\) ಅನ್ನು \(5 \cdot 2π\) ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯೋಣ. \(2π\) ದೂರ ಎಂದು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆವಲಯಗಳು, ಬಿಂದುವನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು \(10π\), ನೀವು ಶೂನ್ಯದಿಂದ \(5\) ವಲಯಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾದ ದೂರಕ್ಕೆ ಹೋಗಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಕೇವಲ ಐದು ಕ್ರಾಂತಿಗಳನ್ನು ಮಾಡಿ \(0\) ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಾವು ಮತ್ತೆ ನಮ್ಮನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ಊಹಿಸುವುದು ಕಷ್ಟವೇನಲ್ಲ.
ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಿಂದ ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು:
\(2πn\) ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಇಲ್ಲಿ \(n∈Z\) (ಅಂದರೆ \(n\) ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ) ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ.
ಅಂದರೆ, \(2π\) (ಅಥವಾ \(-2π\) ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ) ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹಾಕಲು, ನೀವು ಅದರಿಂದ ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆ \(π\) (\(2π\) ಅನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. \(8π\), \(-10π\)...) ಮತ್ತು ತಿರಸ್ಕರಿಸಿ. ಹೀಗಾಗಿ, ಬಿಂದುವಿನ ಸ್ಥಾನದ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ನಾವು "ಖಾಲಿ ಕ್ರಾಂತಿಗಳನ್ನು" ತೆಗೆದುಹಾಕುತ್ತೇವೆ.
ಇನ್ನೊಂದು ತೀರ್ಮಾನ:
\(0\) ಅನುರೂಪವಾಗಿರುವ ಬಿಂದುವು ಎಲ್ಲಾ ಸಮಪ್ರಮಾಣಗಳು \(π\) (\(±2π\),\(±4π\),\(±6π\)...) ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ.
ಈಗ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ \(-3π\) ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸೋಣ. \(-3π=-π-2π\), ಅಂದರೆ \(-3π\) ಮತ್ತು \(–π\) ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಒಂದೇ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ (ಅವು \(-2π ನಲ್ಲಿ "ಖಾಲಿ ತಿರುವು" ದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ \)).
ಮೂಲಕ, ಎಲ್ಲಾ ಬೆಸ \(π\) ಸಹ ಇರುತ್ತದೆ.
\(π\) ಅನುರೂಪವಾಗಿರುವ ಬಿಂದುವು ಎಲ್ಲಾ ಬೆಸ ಪ್ರಮಾಣಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ \(π\) (\(±π\),\(±3π\),\(±5π\)...).
ಈಗ \(\frac(7π)(2)\) ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ. ಎಂದಿನಂತೆ, ನಾವು ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: \(\frac(7π)(2)\) \(=\)\(\frac(6π)(2)\) \(+\)\(\frac(π)(2) \(=3π+\)\(\frac(π)(2)\) \(=2π+π+\)\(\frac(π)(2)\) . ನಾವು ಎರಡು ಪೈ ಅನ್ನು ತ್ಯಜಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು \(\frac(7π)(2)\) ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲು ನೀವು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ \(π+\)\(\) ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ದೂರಕ್ಕೆ ಹೋಗಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ. frac(π)(2)\ ) (ಅಂದರೆ ಅರ್ಧ ವೃತ್ತ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಕಾಲು).
ನೀವು ಯುನಿಟ್ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಲಯವನ್ನು ಇರಿಸಿದರೆ ಸಮನ್ವಯ ಸಮತಲ, ನಂತರ ಅದರ ಅಂಕಗಳಿಗೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. ಸಂಖ್ಯೆಯ ವೃತ್ತವನ್ನು ಇರಿಸಲಾಗಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಅದರ ಕೇಂದ್ರವು ಸಮತಲದ ಮೂಲದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಪಾಯಿಂಟ್ O (0; 0).
ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಯುನಿಟ್ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ವೃತ್ತದ ಮೂಲಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ
- ಕ್ವಾರ್ಟರ್ಸ್ - 0 ಅಥವಾ 2π, π/2, π, (2π)/3,
- ಮಧ್ಯಮ ಕ್ವಾರ್ಟರ್ಸ್ - π/4, (3π)/4, (5π)/4, (7π)/4,
- ಕ್ವಾರ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೂರನೇ ಭಾಗ - π/6, π/3, (2π)/3, (5π)/6, (7π)/6, (4π)/3, (5π)/3, (11π)/6.
ಅದರ ಮೇಲೆ ಮೇಲಿನ ಸ್ಥಳದೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಘಟಕ ವೃತ್ತವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಈ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನೀವು ಕಾಣಬಹುದು.
ಕ್ವಾರ್ಟರ್ಸ್ ತುದಿಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ತುಂಬಾ ಸುಲಭ. ವೃತ್ತದ ಬಿಂದು 0 ನಲ್ಲಿ, x ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ 1, ಮತ್ತು y ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ 0. ನಾವು ಇದನ್ನು A (0) = A (1; 0) ಎಂದು ಸೂಚಿಸಬಹುದು.
ಮೊದಲ ತ್ರೈಮಾಸಿಕದ ಅಂತ್ಯವು ಧನಾತ್ಮಕ y- ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಇದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಬಿ (π/2) = ಬಿ (0; 1).
ಎರಡನೇ ತ್ರೈಮಾಸಿಕದ ಅಂತ್ಯವು ಋಣಾತ್ಮಕ ಅರೆ-ಅಕ್ಷದಲ್ಲಿದೆ: C (π) = C (-1; 0).
ಮೂರನೇ ತ್ರೈಮಾಸಿಕದ ಅಂತ್ಯ: D ((2π)/3) = D (0; -1).
ಆದರೆ ಕ್ವಾರ್ಟರ್‌ಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ? ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಅವರು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತಾರೆ ಬಲ ತ್ರಿಕೋನ. ಇದರ ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ವೃತ್ತದ ಮಧ್ಯಭಾಗದಿಂದ (ಅಥವಾ ಮೂಲ) ಕ್ವಾರ್ಟರ್ ವೃತ್ತದ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವಿಗೆ ಒಂದು ವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಇದು ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯವಾಗಿದೆ. ವೃತ್ತವು ಘಟಕವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮುಂದೆ, ವೃತ್ತದ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಯಾವುದೇ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಎಳೆಯಿರಿ. ಅದು x ಅಕ್ಷದ ಕಡೆಗೆ ಇರಲಿ. ಫಲಿತಾಂಶವು ಬಲ ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿದೆ, ಅದರ ಕಾಲುಗಳ ಉದ್ದಗಳು ವೃತ್ತದ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುವಿನ x ಮತ್ತು y ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ.
ಕಾಲು ವೃತ್ತವು 90º ಆಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಭಾಗವು 45º ಆಗಿದೆ. ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಅನ್ನು ಚತುರ್ಭುಜದ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವಿಗೆ ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಯಾದ್ದರಿಂದ, ಮೂಲದಿಂದ ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಮತ್ತು ಲೆಗ್ ನಡುವಿನ ಕೋನವು 45º ಆಗಿದೆ. ಆದರೆ ಯಾವುದೇ ತ್ರಿಕೋನದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 180º ಆಗಿದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಕಾಲಿನ ನಡುವಿನ ಕೋನವು 45º ಆಗಿ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ. ಇದು ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ಬಲ ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ.
ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ನಾವು x 2 + y 2 = 1 2 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. x = y ಮತ್ತು 1 2 = 1 ರಿಂದ, ಸಮೀಕರಣವು x 2 + x 2 = 1 ಗೆ ಸರಳಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ನಾವು x = √½ = 1/√2 = √2/2 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.
ಹೀಗಾಗಿ, ಪಾಯಿಂಟ್ M 1 (π/4) = M 1 (√2/2; √2/2) ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು.
ಇತರ ತ್ರೈಮಾಸಿಕಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳ ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ, ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಮಾತ್ರ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಬಲ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಮಾತ್ರ ತಿರುಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
M 2 ((3π)/4) = M 2 (-√2/2; √2/2)
M 3 ((5π)/4) = M 3 (-√2/2; -√2/2)
M 4 ((7π)/4) = M 4 (√2/2; -√2/2)
ವೃತ್ತದ ಕ್ವಾರ್ಟರ್ಸ್ನ ಮೂರನೇ ಭಾಗಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವಾಗ, ಬಲ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಸಹ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಾವು π/6 ಬಿಂದುವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು x- ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಚಿತ್ರಿಸಿದರೆ, ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಮತ್ತು x- ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಕಾಲಿನ ನಡುವಿನ ಕೋನವು 30º ಆಗಿರುತ್ತದೆ. 30º ಕೋನದ ಎದುರು ಕಾಲು ಇದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ ಅರ್ಧಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್. ಇದರರ್ಥ ನಾವು y ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ, ಅದು ½ ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಮತ್ತು ಒಂದು ಕಾಲುಗಳ ಉದ್ದವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಂಡು, ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಇನ್ನೊಂದು ಕಾಲನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:
x 2 + (½) 2 = 1 2
x 2 = 1 - ¼ = ¾
x = √3/2
ಹೀಗೆ T 1 (π/6) = T 1 (√3/2; ½).
ಮೊದಲ ತ್ರೈಮಾಸಿಕದ (π/3) ಎರಡನೇ ಮೂರನೇ ಬಿಂದುವಿಗೆ, y ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಸೆಳೆಯುವುದು ಉತ್ತಮ. ನಂತರ ಮೂಲದ ಕೋನವು 30º ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ x ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವು ಕ್ರಮವಾಗಿ ½ ಮತ್ತು y ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, √3/2: T 2 (π/3) = T 2 (½; √3/2).
ಮೂರನೇ ತ್ರೈಮಾಸಿಕದ ಇತರ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ರಮವು ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. x ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳು ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ x ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು √3/2 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. y ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರವಿರುವ ಆ ಬಿಂದುಗಳು √3/2 ಗೆ ಸಮನಾದ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ y ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.
T 3 ((2π)/3) = T 3 (-½; √3/2)
T 4 ((5π)/6) = T 4 (-√3/2; ½)
T 5 ((7π)/6) = T 5 (-√3/2; -½)
T 6 ((4π)/3) = T 6 (-½; -√3/2)
T 7 ((5π)/3) = T 7 (½; -√3/2)
T 8 ((11π)/6) = T 8 (√3/2; -½)
ವೀಡಿಯೊ ಪಾಠ "ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ" ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತದೆ ದೃಶ್ಯ ವಸ್ತುಸಂಬಂಧಿತ ವಿಷಯದ ಕುರಿತು ಪಾಠಕ್ಕಾಗಿ. ಪಾಠದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತದ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅನೇಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅದು ಎಲ್ಲಿ ಬಳಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆಯೋ ಅಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು. ಪರಿಹಾರಗಳ ಅನುಕೂಲಕರ ಮತ್ತು ಅರ್ಥವಾಗುವ ವಿವರಣೆಗಳು, ತಾರ್ಕಿಕತೆಯ ವಿವರವಾದ ಕೋರ್ಸ್ ಕಲಿಕೆಯ ಗುರಿಗಳನ್ನು ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಸಾಧಿಸಲು ಮತ್ತು ಪಾಠದ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿತ್ವವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.
ವಿಷಯವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ವೀಡಿಯೊ ಪಾಠ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರದರ್ಶನದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ, ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಒಂದು ಘಟಕ ವೃತ್ತವನ್ನು ಪರದೆಯ ಮೇಲೆ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, A, B, C, D ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳೊಂದಿಗೆ ಘಟಕ ವೃತ್ತದ ಛೇದನದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ. ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ, ಅದು ಹೇಳುತ್ತದೆ ಯೂನಿಟ್ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ M ಬಿಂದುವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ t ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಬಿಂದುವಿನ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾವು t ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕೊಸೈನ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು cos t ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಬಿಂದುವಿನ ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು sin t ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಧ್ವನಿಯು ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಪಾಯಿಂಟ್ M ನ ಚಿತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಇರುತ್ತದೆ, ಅದರ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಮತ್ತು ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. M(t)=M(x;y), x= cos t, y= sin t ಎಂಬ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕೊಸೈನ್ ಮತ್ತು ಸೈನ್ ಮೌಲ್ಯದ ಮೇಲೆ ವಿಧಿಸಲಾದ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪರಿಶೀಲಿಸಿದ ಮಾಹಿತಿಯ ಪ್ರಕಾರ, -1<=cos t<=1 и -1<= sin t<=1.
ಬಿಂದುವು ಯಾವ ತ್ರೈಮಾಸಿಕದಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಕಾರ್ಯದ ಚಿಹ್ನೆಯು ಹೇಗೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಚಿತ್ರದಿಂದ ನೋಡುವುದು ಸಹ ಸುಲಭವಾಗಿದೆ. ಪರದೆಯ ಮೇಲೆ ಟೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಸಂಕಲಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಅದರ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ತ್ರೈಮಾಸಿಕವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಾಸ್ ಟಿ ಚಿಹ್ನೆಯು ಮೊದಲ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ತ್ರೈಮಾಸಿಕದಲ್ಲಿ ಪ್ಲಸ್ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ತ್ರೈಮಾಸಿಕದಲ್ಲಿ ಮೈನಸ್ ಆಗಿದೆ. ಸಿನ್ ಟಿ ಚಿಹ್ನೆಯು ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ತ್ರೈಮಾಸಿಕದಲ್ಲಿ ಪ್ಲಸ್ ಆಗಿದೆ, ಮೂರು ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ತ್ರೈಮಾಸಿಕದಲ್ಲಿ ಮೈನಸ್.
ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಯುನಿಟ್ ಸರ್ಕಲ್ ಸಮೀಕರಣ x 2 + y 2 = 1 ಅನ್ನು ನೆನಪಿಸುತ್ತಾರೆ. ಅನುಗುಣವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಿದ ನಂತರ, ನಾವು cos 2 t+ sin 2 t=1 - ಮುಖ್ಯ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಗುರುತನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಯುನಿಟ್ ಸರ್ಕಲ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು sin t ಮತ್ತು cos t ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, 0 ರಿಂದ 2π ವರೆಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ π/4 ಮತ್ತು π/6 ರಿಂದ 11π ವರೆಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ ಮೂಲ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಭರ್ತಿ ಮಾಡಿ. /6 π/6 ಹೆಚ್ಚಳದಲ್ಲಿ. ಈ ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ಪರದೆಯ ಮೇಲೆ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಶಿಕ್ಷಕರು ವಸ್ತುವನ್ನು ಎಷ್ಟು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಂಡಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಪಾಪದ ಮೂಲವನ್ನು ಮತ್ತು ಕಾಸ್ ಟಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಎಷ್ಟು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು.
t=41π/4 ಗಾಗಿ sin t ಮತ್ತು cos t ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕುವ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಅದರ ಕೇಂದ್ರದೊಂದಿಗೆ ಘಟಕ ವೃತ್ತವನ್ನು ತೋರಿಸುವ ಆಕೃತಿಯಿಂದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪಾಯಿಂಟ್ 41π/4 ಅನ್ನು ಅದರ ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಬಿಂದುವು π/4 ಬಿಂದುವಿನ ಸ್ಥಾನದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಭಾಗವನ್ನು ಮಿಶ್ರ ಭಿನ್ನರಾಶಿ 41π/4=π/4+2π·5 ಎಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇದು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. ಕೊಸೈನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು cos π/4=√2/2 ಮತ್ತು sinπ/4=√2/2 ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಪಡೆದ ಮಾಹಿತಿಯಿಂದ ಅದು cos 41π/4=√2/2 ಮತ್ತು sin 41π/4=√2/2 ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.
ಎರಡನೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, t=-25π/3 ಗಾಗಿ sin t ಮತ್ತು cos t ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಪರದೆಯು t=-25π/3 ಬಿಂದುವನ್ನು ಅದರ ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸಿರುವ ಒಂದು ಘಟಕ ವೃತ್ತವನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಸಂಖ್ಯೆ -25π/3 ಅನ್ನು ಮಿಶ್ರ ಭಾಗವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ಸಿನ್ ಟಿ ಮತ್ತು ಕಾಸ್ ಟಿ ಯಾವ ಕೋಷ್ಟಕದ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು. ರೂಪಾಂತರದ ನಂತರ ನಾವು -25π/3=-π/3+2π·(-4) ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, t=-25π/3 ಬಿಂದು -π/3 ಅಥವಾ 5π/3 ನೊಂದಿಗೆ ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ನಾವು ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ ಕಾಸ್ 5π/3=1/2 ಮತ್ತು ಸಿನ್ 5π/3=-√3/2 ನ ಅನುಗುಣವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಪ್ರಶ್ನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸರಿಯಾಗಿರುತ್ತವೆ cos (-25π/3)=1/2 ಮತ್ತು sin (-25π/3)=-√3/2. ಸಮಸ್ಯೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 3 ಅನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ t=37π ಗಾಗಿ sin t ಮತ್ತು cos t ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, 37π ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗಿದೆ, π ಮತ್ತು 2π ಅನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಇದು 37π=π+2π·18 ಎಂದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ, ಪರಿಹಾರದ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಈ ಬಿಂದುವನ್ನು ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷದ ಋಣಾತ್ಮಕ ಭಾಗ ಮತ್ತು ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತದ ಛೇದಕದಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ - ಪಾಯಿಂಟ್ π. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು π ನ ಕೋಷ್ಟಕ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ. ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ನಾವು sin π=-1 ಮತ್ತು cos π=0 ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಇದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಅಪೇಕ್ಷಿತವಾಗಿವೆ, ಅಂದರೆ, sin 37π=-1 ಮತ್ತು cos 37π=0.
ಉದಾಹರಣೆ 4 ರಲ್ಲಿ t=-12π ನಲ್ಲಿ sin t ಮತ್ತು cos t ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತೇವೆ -12π=0+2π·(-6). ಅಂತೆಯೇ, ಪಾಯಿಂಟ್ -12π ಪಾಯಿಂಟ್ 0 ನೊಂದಿಗೆ ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಈ ಬಿಂದುವಿನ ಕೊಸೈನ್ ಮತ್ತು ಸೈನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು sin 0=1 ಮತ್ತು cos 0=0. ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಅಗತ್ಯವಿರುವವುಗಳು sin (-12π)=1 ಮತ್ತು cos (-12π)=0.
ಐದನೇ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ನೀವು sin t=√3/2 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ, ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸೈನ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು M(t) ಬಿಂದುವಿನ ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವುದರಿಂದ, ಆರ್ಡಿನೇಟ್ √3/2 ನೊಂದಿಗೆ ಬಿಂದುವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಪರಿಹಾರದ ಜೊತೆಯಲ್ಲಿರುವ ಚಿತ್ರವು ಆರ್ಡಿನೇಟ್ √3/2 ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ - ಮೊದಲ π/3 ಮತ್ತು ಎರಡನೇ 2π/3. ಕ್ರಿಯೆಯ ಆವರ್ತಕತೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಪೂರ್ಣಾಂಕ k ಗಾಗಿ t=π/3+2πk ಮತ್ತು t= 2π/3+2πk ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 6 ರಲ್ಲಿ, ಕೊಸೈನ್ ಜೊತೆಗಿನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ - cos t=-1/2. ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುವಲ್ಲಿ, ನಾವು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ 2π/3 ನೊಂದಿಗೆ ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಪರದೆಯು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ -1/2 ಅನ್ನು ಗುರುತಿಸಿರುವ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ವೃತ್ತದ ಮೇಲಿನ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ - 2π/3 ಮತ್ತು -2π/3. ಕಾರ್ಯಗಳ ಆವರ್ತಕತೆಯನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ಕಂಡುಕೊಂಡ ಪರಿಹಾರವನ್ನು t=2π/3+2πk ಮತ್ತು t=-2π/3+2πk ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲಿ k ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 7 ರಲ್ಲಿ ಸಿನ್ t-1=0 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಸಮೀಕರಣವನ್ನು sin t=1 ಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸೈನ್ 1 ಸಂಖ್ಯೆ π/2 ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಕಾರ್ಯದ ಆವರ್ತಕತೆಯನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ಕಂಡುಕೊಂಡ ಪರಿಹಾರವನ್ನು t=π/2+2πk ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲಿ k ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಉದಾಹರಣೆ 8 ರಲ್ಲಿ ಕಾಸ್ t+1=0 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು cos t=-1 ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ. ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ -1 ಆಗಿರುವ ಬಿಂದುವು π ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಪಠ್ಯ ಪರಿಹಾರದ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಈ ಬಿಂದುವನ್ನು ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವು t=π+2πk ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ, ಇಲ್ಲಿ k ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ 9 ರಲ್ಲಿ cos t+1=1 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಕಷ್ಟವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದರಿಂದ, ನಾವು cos t=0 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಪರಿಹಾರದ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ, ನಾವು -π/2 ಮತ್ತು -3π/2 ಅಂಕಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಕೊಸೈನ್ ಮೌಲ್ಯ 0 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವು ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸರಣಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ t = π/2+πk, ಇಲ್ಲಿ k ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕ.
ಉದಾಹರಣೆ 10 ರಲ್ಲಿ, sin 2 ಮತ್ತು cos 3 ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಲು, ಅಂಕಗಳು 2 ಮತ್ತು 3 ಅನ್ನು ಗುರುತಿಸಲಾದ ಅಂಕಿಅಂಶವನ್ನು ತೋರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. π/2≈1.57 ಎಂದು ತಿಳಿದುಕೊಂಡು, ನಾವು ಬಿಂದುಗಳ ದೂರವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಅದರಿಂದ. ಅಂಕಿ ಅಂಶವು π/2 ರಿಂದ ಪಾಯಿಂಟ್ 2 0.43 ದೂರದಲ್ಲಿದೆ, ಆದರೆ 3 1.43 ದೂರದಲ್ಲಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಪಾಯಿಂಟ್ 2 ಪಾಯಿಂಟ್ 3 ಗಿಂತ ದೊಡ್ಡ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇದರರ್ಥ ಸಿನ್ 2> ಕಾಸ್ 3.
ಉದಾಹರಣೆ 11 ಸಿನ್ 5π/4 ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. 5π/4 π/4+π ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಕಡಿತ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು - sin π/4 ಆಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು. ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ನಾವು ಅದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ - sin π/4=-√2/2. ಅಂತೆಯೇ, ಉದಾಹರಣೆ 12 ರಲ್ಲಿ cos7π/6 ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವು ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ಅದನ್ನು cos (π/6+π) ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಿ, ನಾವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ - cos π/6. ಕೋಷ್ಟಕ ಮೌಲ್ಯವು π/6=-√3/2 ಆಗಿದೆ. ಈ ಮೌಲ್ಯವು ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.
ಮುಂದೆ, ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಸಹಾಯ ಮಾಡುವ ಪ್ರಮುಖ ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಲು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ - ಇವುಗಳು sin(-t)= -sin t ಮತ್ತು cos (-t)=cos t. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಕೊಸೈನ್ನ ಸಮತೆಯನ್ನು ಮತ್ತು ಸೈನ್‌ನ ವಿಚಿತ್ರತೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುತ್ತದೆ. ಸಮಾನತೆಗಳ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುವ ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತದ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಈ ಸಮಾನತೆಗಳು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಹೇಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ನೋಡಬಹುದು. ಕಾರ್ಯಗಳ ಆವರ್ತಕತೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುವ ಎರಡು ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಹ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ sin(t+2πk)= sin t ಮತ್ತು cos (t+2πk)=cos t. ಯುನಿಟ್ ಸರ್ಕಲ್ sin(t+π)= -sin t ಮತ್ತು cos (t+π)=-cos t ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುಗಳ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಜೋಡಣೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುವ ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮಾನತೆಗಳ ಮುಂದೆ, ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಈ ಬಿಂದುಗಳ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುವ ಚಿತ್ರವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಕೊನೆಯದಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದ ಸಮಾನತೆಗಳು sin(t+π/2)= cos t ಮತ್ತು cos (t+π/2)=- sin t.
ಅದರ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿತ್ವವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಲು ಮತ್ತು ಶಿಕ್ಷಕರ ವಿವರಣೆಯ ಸ್ಪಷ್ಟತೆಯನ್ನು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಶಾಲಾ ಗಣಿತದ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲು "ಯುನಿಟ್ ಸರ್ಕಲ್ನಲ್ಲಿ ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ" ಎಂಬ ವೀಡಿಯೊ ಪಾಠವನ್ನು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಅದೇ ಉದ್ದೇಶಕ್ಕಾಗಿ, ದೂರಶಿಕ್ಷಣದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ವಸ್ತುವನ್ನು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಮಾಸ್ಟರಿಂಗ್ ಮಾಡುವಾಗ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಲ್ಲಿ ಸೂಕ್ತವಾದ ಸಮಸ್ಯೆ-ಪರಿಹರಿಸುವ ಕೌಶಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲು ಕೈಪಿಡಿಯು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ.
ಪಠ್ಯ ಡಿಕೋಡಿಂಗ್:
"ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ."
ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ: ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಘಟಕದ ವೃತ್ತದ M ಬಿಂದುವು t (te) ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದ್ದರೆ, M ಬಿಂದುವಿನ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾವನ್ನು t (te) ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕೊಸೈನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಿದ ವೆಚ್ಚ ಮತ್ತು M ಬಿಂದುವಿನ ಆರ್ಡಿನೇಟ್ t (te) ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸೈನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಸಿಂಟ್ (ಅಂಜೂರ) ಎಂದು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಇದರರ್ಥ M(t) = M (x,y)(em ನಿಂದ te ನಿಂದ em ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ x ಮತ್ತು y ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು), ನಂತರ x = ವೆಚ್ಚ, y= sint (x ಎಂಬುದು te ನ ಕೊಸೈನ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, y ಆಗಿದೆ ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, - 1≤ ವೆಚ್ಚ ≤ 1, -1≤ ಸಿಂಟ್ ≤1 (ಕೊಸೈನ್ ಟೆ ಮೈನಸ್ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಅಥವಾ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಸೈನ್ ಟೆ ಹೆಚ್ಚು ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಮೈನಸ್ ಒಂದಕ್ಕೆ, ಆದರೆ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ).ಸಂಖ್ಯೆಯ ವೃತ್ತದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವು xOy ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ತನ್ನದೇ ಆದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದುಕೊಂಡು, ನೀವು ವೃತ್ತದ ಕಾಲುಭಾಗಗಳ ಮೂಲಕ ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಕೊಸೈನ್ ಮೌಲ್ಯವು ಮೊದಲ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ತ್ರೈಮಾಸಿಕದಲ್ಲಿ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರಕಾರ, ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ತ್ರೈಮಾಸಿಕದಲ್ಲಿ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ತ್ರೈಮಾಸಿಕದಲ್ಲಿ ಸೈನ್ ಮೌಲ್ಯವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರಕಾರ, ಮೂರನೇ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ತ್ರೈಮಾಸಿಕದಲ್ಲಿ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. (ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸು)
ಸಂಖ್ಯೆಯ ವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ x 2 + y 2 = 1 (x ಚದರ ಮತ್ತು y ಚೌಕವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ), ನಂತರ ನಾವು ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
(ಕೊಸೈನ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ಡ್ ಟೆ ಪ್ಲಸ್ ಸೈನ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ಡ್ ಟೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ).
ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಲಯದಲ್ಲಿನ ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವಾಗ ನಾವು ಸಂಕಲಿಸಿದ ಕೋಷ್ಟಕಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ನಾವು ವೆಚ್ಚ ಮತ್ತು ಸಿಂಟ್ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಲಯದಲ್ಲಿನ ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಗಾಗಿ ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ಕಂಪೈಲ್ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.
ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.
ಉದಾಹರಣೆ 1. cos t ಮತ್ತು sin t ಅನ್ನು t = (te ನಾಲ್ಕು ಮೇಲೆ ನಲವತ್ತೊಂದು ಪೈಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ) ಎಂದು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ.
ಪರಿಹಾರ. t = ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಂಖ್ಯೆಯ ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಅದೇ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ = ∙π = (10 +) ∙π = + 2π ∙ 5 (ನಲವತ್ತೊಂದು ಪೈ ಬಾರಿ ನಾಲ್ಕು ಪೈ ಬಾರಿ ನಾಲ್ಕು ಮತ್ತು ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎರಡು ಪೈನ ಗುಣಲಬ್ಧ ಐದು ಬಾರಿ). ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್ t = ಕೋಷ್ಟಕದ ಪ್ರಕಾರ ಕೋಸೈನ್ 1 ರ ಮೌಲ್ಯವು ನಾವು cos = ಮತ್ತು sin = ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ,
ಉದಾಹರಣೆ 2. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ cosಟಿ ಮತ್ತು ಪಾಪ t, ವೇಳೆ t = (te ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮೈನಸ್ ಇಪ್ಪತ್ತೈದು ಪೈ ಮೂರು ಮೇಲೆ).
ಪರಿಹಾರ: ಸಂಖ್ಯೆ t = ಸಂಖ್ಯೆಯ ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಅದೇ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ = ∙ π = - (8 +)∙π = + 2π ∙ (- 4) (ಮೈನಸ್ ಇಪ್ಪತ್ತೈದು ಪೈ ಮೂರು ಮೇಲೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮೂರರ ಮೇಲೆ ಮೈನಸ್ ಪೈ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಎರಡು ಪೈ ಬಾರಿ ಮೈನಸ್ ನಾಲ್ಕು) ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಂಖ್ಯೆಯ ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಅದೇ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್ t = ಕೋಷ್ಟಕ 2 ರ ಪ್ರಕಾರ ನಾವು cos = ಮತ್ತು sin =. ಆದ್ದರಿಂದ, cos () = ಮತ್ತು sin () =.
ಉದಾಹರಣೆ 3. t = 37π ಆಗಿದ್ದರೆ cos t ಮತ್ತು sin t ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ; (te ಮೂವತ್ತೇಳು ಪೈಗೆ ಸಮ).
ಪರಿಹಾರ: 37π = 36π + π = π + 2π ∙ 18. ಇದರರ್ಥ 37π ಸಂಖ್ಯೆಯು π ಸಂಖ್ಯೆಯ ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಅದೇ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್ t = π, ಟೇಬಲ್ 1 ರ ಪ್ರಕಾರ, ನಾವು cos π = -1, sin π = 0. ಇದರರ್ಥ cos37π = -1, sin37π = 0.
ಉದಾಹರಣೆ 4. t = -12π (ಮೈನಸ್ ಹನ್ನೆರಡು pi ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ) ವೇಳೆ cos t ಮತ್ತು sin t ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ.
ಪರಿಹಾರ: - 12π = 0 + 2π ∙ (- 6), ಅಂದರೆ, ಸಂಖ್ಯೆ - 12π ಸಂಖ್ಯೆ ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಶೂನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯಂತೆ ಅದೇ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್ t = 0, ಟೇಬಲ್ 1 ರ ಪ್ರಕಾರ, ನಾವು cos 0 = 1, sin 0 =0 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಇದರರ್ಥ cos(-12π) =1, sin(-12π) =0.
ಉದಾಹರಣೆ 5. sin t = ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.
ಪರಿಹಾರ. sin t ಎಂಬುದು ಅಂಕಿ ವೃತ್ತದ M(t) (em ಇಂದ te) ಬಿಂದುವಿನ ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ನಾವು ಅಂಕಿಗಳ ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಆರ್ಡಿನೇಟ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅವು ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ t ಸಂಬಂಧಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಒಂದು ಬಿಂದುವು ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಫಾರ್ಮ್ನ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ + 2πk. ಎರಡನೆಯ ಬಿಂದುವು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಫಾರ್ಮ್ನ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ + 2πk. ಉತ್ತರ: t = + 2πk, ಅಲ್ಲಿ kϵZ (ka zet ಗೆ ಸೇರಿದೆ), ಟಿ= + 2πk, ಅಲ್ಲಿ kϵZ (ka zet ಗೆ ಸೇರಿದೆ).
ಉದಾಹರಣೆ 6. cos t = ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.
ಪರಿಹಾರ. cos t ಎಂಬುದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ವೃತ್ತದ M(t) (em ಇಂದ te) ಬಿಂದುವಿನ abscissa ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ನಾವು ಅಂಕಿಗಳ ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ abscissa ಹೊಂದಿರುವ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅವು ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ t ಸಂಬಂಧಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಒಂದು ಬಿಂದುವು ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಫಾರ್ಮ್ನ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ + 2πk. ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಬಿಂದುವು ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಅಥವಾ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಫಾರ್ಮ್ನ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ + 2πk ಅಥವಾ + 2πk.
ಉತ್ತರ: t = + 2πk, t=+ 2πk (ಅಥವಾ ± + 2πk (ಪ್ಲಸ್ ಮೈನಸ್ ಎರಡು ಪೈ ಬೈ ಥ್ರೀ ಪ್ಲಸ್ ಟು ಪೈ ಕಾ), ಅಲ್ಲಿ kϵZ (ka zet ಗೆ ಸೇರಿದೆ).
ಉದಾಹರಣೆ 7. cos t = ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.
ಪರಿಹಾರ. ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಂತೆಯೇ, ನೀವು ಸಂಖ್ಯೆಯ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾದೊಂದಿಗೆ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಮತ್ತು ಅವು ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಬರೆಯಬೇಕು.
ಇ ಮತ್ತು ಎಸ್ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ಅಂಕಿ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅವು ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಇನ್ನೂ ಹೇಳಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ನಾವು ನಂತರ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಹಿಂತಿರುಗುತ್ತೇವೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 8. ಸಿನ್ t = - 0.3 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.
ಪರಿಹಾರ. ಸಂಖ್ಯೆಯ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ನಾವು ಆರ್ಡಿನೇಟ್ - 0.3 ನೊಂದಿಗೆ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅವು ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.
ಆರ್ಡಿನೇಟ್ - 0.3 P ಮತ್ತು H ಎಂಬ ಎರಡು ಅಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದರೆ ಅವು ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಇನ್ನೂ ಹೇಳಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ನಾವು ನಂತರ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಹಿಂತಿರುಗುತ್ತೇವೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 9. ಸಿನ್ t -1 =0 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ
ಪರಿಹಾರ. ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ಮೈನಸ್ ಒಂದನ್ನು ಸರಿಸೋಣ, ನಾವು ಸೈನ್ ಟೆ ಸಮಾನವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (ಸಿನ್ ಟಿ = 1). ಸಂಖ್ಯೆಯ ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ನಾವು ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಬಿಂದುವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಈ ಹಂತವು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ರೂಪದ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ + 2πk (ಪೈ ಬಾರಿ ಎರಡು ಜೊತೆಗೆ ಎರಡು ಶಿಖರಗಳು).
ಉತ್ತರ: t = + 2πk, kϵZ(ka zet ಗೆ ಸೇರಿದೆ).
ಉದಾಹರಣೆ 10. t + 1 = 0 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.
ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ಒಂದನ್ನು ಸರಿಸೋಣ, ನಾವು ಕೊಸೈನ್ te ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮೈನಸ್ ಒಂದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (cos t = - 1) abscissa ಮೈನಸ್ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು π ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದರರ್ಥ ಎಲ್ಲಾ π+2πk ರೂಪದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಉತ್ತರ: t = π+ 2πk, kϵZ.
ಉದಾಹರಣೆ 11. t + 1 = 1 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.
ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ಘಟಕವನ್ನು ಸರಿಸೋಣ, ನಾವು ಕೊಸೈನ್ te ಅನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ (cos t = 0) ಅಬ್ಸಿಸಾ ಸೊನ್ನೆಯು ಬಿ ಮತ್ತು ಡಿ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (ಚಿತ್ರ 1), ಇದು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು. ಹಾಗೆ + πk. ಉತ್ತರ: t = + πk, kϵZ.
ಉದಾಹರಣೆ 12. ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದು ದೊಡ್ಡದು, cos 2 ಅಥವಾ cos 3? (ಎರಡರ ಕೊಸೈನ್ ಅಥವಾ ಮೂರರ ಕೊಸೈನ್)
ಪರಿಹಾರ. ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಮರುರೂಪಿಸೋಣ: ಅಂಕಗಳು 2 ಮತ್ತು 3 ಅನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದು ದೊಡ್ಡ ಅಬ್ಸಿಸಾವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ?
ಸಂಖ್ಯೆಯ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ, ಅಂಕಗಳು 2 ಮತ್ತು 3 ಅನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ. ಅದನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ. ಇದರರ್ಥ ಪಾಯಿಂಟ್ 2 ಅನ್ನು ವೃತ್ತದಿಂದ ಸರಿಸುಮಾರು 0.43 (ಶೂನ್ಯ ಬಿಂದು ನಲವತ್ತು-ಮೂರು ನೂರರಷ್ಟು) (2 -≈ 2 - 1.57 = 0.43) ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್ 3 ರಿಂದ ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. 1.43 (ಒಂದು ಪಾಯಿಂಟ್ ನಲವತ್ತು ಮುನ್ನೂರನೇ). ಆದ್ದರಿಂದ, ಪಾಯಿಂಟ್ 2 ಪಾಯಿಂಟ್ 3 ಗಿಂತ ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ದೊಡ್ಡ ಅಬ್ಸಿಸಾವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (ಎರಡೂ ಅಬ್ಸಿಸಾಗಳು ನಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ).
ಉತ್ತರ: cos 2 > cos 3.
ಉದಾಹರಣೆ 13. ಪಾಪವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ (ಸೈನ್ ಐದು ಪೈ ಬಾರಿ ನಾಲ್ಕು)
ಪರಿಹಾರ. sin(+ π) = - sin = (sine five pi over four ನಾಲ್ಕಕ್ಕಿಂತ ಪೈ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು pi ನಾಲ್ಕು ಮೇಲೆ ಮೈನಸ್ ಸೈನ್ ಪೈ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮೈನಸ್ ರೂಟ್ ಎರಡು ಮೇಲೆ ಎರಡು).
ಉದಾಹರಣೆ 14. ಕಾಸ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ (ಆರರಿಂದ ಏಳು ಪೈನ ಕೊಸೈನ್).
cos(+ π) = - cos =. (ನಾವು ಆರು ಮೇಲೆ ಏಳು ಪೈ ಅನ್ನು ಆರು ಮತ್ತು ಪೈ ಮೇಲಿನ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿದ್ದೇವೆ).
ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್‌ಗಾಗಿ ನಾವು ಕೆಲವು ಪ್ರಮುಖ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.
1. ಟಿ ಯ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನತೆಗಳು ನಿಜ:
ಪಾಪ (-ಟಿ) = -ಸಿನ್ ಟಿ
cos (-t) = cos t
ಮೈನಸ್ ಟೆಯ ಸೈನ್ ಟೆಯ ಮೈನಸ್ ಸೈನ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ
ಮಿನು ಟೆಯ ಕೊಸೈನ್ ಟೆಯ ಕೊಸೈನ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುವ ಇ ಮತ್ತು ಎಲ್ ಬಿಂದುಗಳು ಒಂದೇ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ಅಂಕಿ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದರರ್ಥ
cos(-t) = ವೆಚ್ಚ, ಆದರೆ ಆರ್ಡಿನೇಟ್‌ಗಳು ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಚಿಹ್ನೆಯಲ್ಲಿ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿರುತ್ತವೆ (ಇದರರ್ಥ ಪಾಪ(- t) = - sint.
2. ಟಿ ಯ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನತೆಗಳು ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ:
sin (t+2πk) = sin t
cos (t+2πk) = cos t
te ಪ್ಲಸ್ ಟು ಪೈ ನ ಸೈನ್ te ನ ಸೈನ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ
te ಪ್ಲಸ್ ಟು ಪೈ ನ ಕೊಸೈನ್ te ನ ಕೊಸೈನ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ
t ಮತ್ತು t+2πk ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುವುದರಿಂದ ಇದು ನಿಜ.
3. ಟಿ ಯ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನತೆಗಳು ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ:
sin (t+π) = -sin t
cos (t+π) = -cos t
te ಪ್ಲಸ್ ಪೈನ ಸೈನ್ te ನ ಸೈನ್ ಮೈನಸ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ
te ಪ್ಲಸ್ ಪೈನ ಕೊಸೈನ್ te ನ ಮೈನಸ್ ಕೊಸೈನ್‌ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ
ಸಂಖ್ಯೆ t ಸಂಖ್ಯೆ ವೃತ್ತದ E ಬಿಂದುವಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರಲಿ, ನಂತರ t+π ಸಂಖ್ಯೆಯು L ಬಿಂದುವಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಇದು ಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ E ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಮತ್ತು ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಪರಿಮಾಣದಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಚಿಹ್ನೆಯಲ್ಲಿ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅಂಕಿ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ,
cos(t +π)= - ವೆಚ್ಚ;
sin(t +π)= - sint.
4. t ನ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನತೆಗಳು ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ:
sin(t+) = cos t
cos(t+) = -sin t
ಸೈನ್ ಟೆ ಪ್ಲಸ್ ಪೈ ಎರಡರಿಂದ ಕೊಸೈನ್ ಟೆಗೆ ಸಮ
ಕೊಸೈನ್ ಟೆ ಪ್ಲಸ್ ಪೈ ಎರಡರಿಂದ ಮೈನಸ್ ಸೈನ್ ಟೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.