ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಮೀಕರಣಗಳು. ಅಭಾಗಲಬ್ಧ, ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ, ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಮತ್ತು ಇತರ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಲ್ಲದ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಪರಿಹರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಪ್ರಕಟಣೆ ದಿನಾಂಕ: 2016-03-23

ಸಣ್ಣ ವಿವರಣೆ: ...

ಕೆಲವು ಮೂಲ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳು.

1
. ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು.

    1. ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನ.

1.1.1 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ .

ರಾಡಿಕಲ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ x ನ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ನಾವು ಸಂಕೇತವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ

, .

ನಂತರ,

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳ ಪದದಿಂದ-ಅವಧಿಯ ಸೇರ್ಪಡೆಯನ್ನು ಮಾಡೋಣ.

ಮತ್ತು ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

ಏಕೆಂದರೆ a + b = 4, ನಂತರ

ಆದ್ದರಿಂದ: 9 – x = 8  x = 1. ಉತ್ತರ: x = 1.

1.1.2. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ .

ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ: ; , .

ಅರ್ಥ:

ಪದದ ಮೂಲಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ .

ಮತ್ತು ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

a + b = 2, , , ,

ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ ನೋಡೋಣ:

, .

(ab) ಗಾಗಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದ ನಂತರ, ನಾವು ab = 9, ab = -1 (-1 ಬಾಹ್ಯ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಏಕೆಂದರೆ , .).

ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೂ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರವಿಲ್ಲ.

ಉತ್ತರ: ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳಿಲ್ಲ.

      1. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: .

ನಾವು ಸಂಕೇತವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ , ಅಲ್ಲಿ . ನಂತರ, .

, ,

ಮೂರು ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:

1) . 2) . 3) .

A + 1 - a + 2 = 1, a - 1 - a + 2 = 1, a - 1 + a - 2 = 1, a = 1, 1  [ 0;1). [ 1 ; 2) a = 2.

ಪರಿಹಾರ: [ 1 ; 2].

ಒಂದು ವೇಳೆ , ಅದು , .

ಉತ್ತರ: .

1.2. ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವ ವಿಧಾನ (ಪ್ರಮುಖ ವಿಧಾನ).

ಪ್ರಮುಖ ವಿಧಾನವು ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಒಂದು ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ.

ಮೆಜರೈಸೇಶನ್ - ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಮಿತಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು. ಎಂ - ಪ್ರಮುಖ

ನಾವು f(x) = g(x) ಮತ್ತು ODZ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ವೇಳೆ

, , ಅದು

      1. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: .

ODZ: .

ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗವನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ. ಗ್ರಾಫ್ ಎ (3; 2) ಶೃಂಗದೊಂದಿಗೆ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಆಗಿದೆ.

y(3) = 2 ಕಾರ್ಯದ ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯ, ಅಂದರೆ.

ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗವನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, x  (2; 4) ನಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗೊಳ್ಳುವ ಕಾರ್ಯದ ಗರಿಷ್ಠವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಕಷ್ಟವೇನಲ್ಲ.

ನಲ್ಲಿ ,

X=3.

ಜಿ` + -

2 3 4

g(3) = 2.

ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ .

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಂತರ

ಮೇಲಿನ ಷರತ್ತುಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರಚಿಸೋಣ:

ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ನಾವು x = 3 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ, x = 3 ಸಿಸ್ಟಮ್ಗೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ಮನವರಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಉತ್ತರ: x = 3.

1.3. ಫಂಕ್ಷನ್ ಏಕತಾನತೆಯ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್.

1.3.1. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:

DZ ಕುರಿತು: , ಏಕೆಂದರೆ  .

ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಕ್ರಿಯೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ.

ಎಡಭಾಗವು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಬಲಭಾಗವು ರೇಖಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ (k=0). ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಒಂದೇ ಒಂದು ಮೂಲವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಆಯ್ಕೆಯ ಮೂಲಕ ಅದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ, ನಾವು x = 1 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ.

ಪುರಾವೆ:

1 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ x 1 ಮೂಲವಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ

ಏಕೆಂದರೆ x 1 >1,

ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಅಂತೆಯೇ, ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ ಎಂದು ಒಬ್ಬರು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು.

ಇದರರ್ಥ x=1 ಒಂದೇ ಮೂಲವಾಗಿದೆ.

ಉತ್ತರ: x = 1.

1.3.2. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:

DZ ಬಗ್ಗೆ: [ 0.5; +), ಏಕೆಂದರೆ ಆ. .

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ,

ಎಡಭಾಗವು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ (ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ), ಬಲಭಾಗವು ರೇಖಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ (k = 0). ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದೇ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು ಎಂದು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಅದನ್ನು ಆಯ್ಕೆಯಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು, x = 7.

ಪರೀಕ್ಷೆ:

ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು (ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡಿ).

ಉತ್ತರ: x = 7.

2. ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

    1. ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವ ವಿಧಾನ.

2.1.1. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: ಲಾಗ್ 2 (2x - x 2 + 15) = x 2 - 2x + 5.

ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗಕ್ಕೆ ಅಂದಾಜು ನೀಡೋಣ.

2x - x 2 + 15 = - (x 2 - 2x - 15) = - ((x 2 - 2x + 1) - 1 - 15) = - (x - 1) 2 + 16  16.

ನಂತರ ಲಾಗ್ 2 (2x - x 2 + 15)  4.

ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡೋಣ.

x 2 - 2x + 5 = (x 2 - 2x + 1) - 1 + 5 = (x - 1) 2 + 4  4.

ಎರಡೂ ಬದಿಗಳು ನಾಲ್ಕು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣವು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಅರ್ಥ

ಉತ್ತರ: x = 1.

ಸ್ವತಂತ್ರ ಕೆಲಸಕ್ಕಾಗಿ.

2.1.2. ಲಾಗ್ 4 (6x - x 2 + 7) = x 2 - 6x + 11 ಉತ್ತರ: x = 3.

2.1.3. ಲಾಗ್ 5 (8x - x 2 + 9) = x 2 - 8x + 18 ಉತ್ತರ: x = 6.

2.1.4. ಲಾಗ್ 4 (2x - x 2 + 3) = x 2 - 2x + 2 ಉತ್ತರ: x = 1.

2.1.5. ಲಾಗ್ 2 (6x - x 2 - 5) = x 2 - 6x + 11 ಉತ್ತರ: x = 3.

2.2 ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಏಕತಾನತೆಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು, ಬೇರುಗಳನ್ನು ಆರಿಸುವುದು.

2.2.1. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: ಲಾಗ್ 2 (2x - x 2 + 15) = x 2 - 2x + 5.

ಬದಲಿಯನ್ನು 2x - x 2 + 15 = t, t>0 ಮಾಡೋಣ. ನಂತರ x 2 - 2x + 5 = 20 - t, ಅಂದರೆ

ಲಾಗ್ 2 ಟಿ = 20 - ಟಿ .

y = log 2 t ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ ಮತ್ತು y = 20 - t ಕಾರ್ಯವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ. ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದೇ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ನಮಗೆ ಅರ್ಥವಾಗುವಂತೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ, t = 16 ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಕಷ್ಟವೇನಲ್ಲ.

2x - x 2 + 15 = 16 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದ ನಂತರ, ನಾವು x = 1 ಎಂದು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಪರಿಶೀಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ಮೌಲ್ಯವು ಸರಿಯಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ನಾವು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಉತ್ತರ: x = 1.

2.3 ಕೆಲವು "ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ" ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

2.3.1. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ .

ODZ: (x - 15) cosx > 0.

ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಹೋಗೋಣ

, , ,

ಸಮಾನ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಹೋಗೋಣ

(x - 15) (cos 2 x - 1) = 0,

x - 15 = 0, ಅಥವಾ cos 2 x = 1,

x = 15. cos x = 1 ಅಥವಾ cos x = -1,

x = 2  ಕೆ, ಕೆ ಝಡ್. x =  + 2 l, l Z.

ಕಂಡುಬಂದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ODZ ಗೆ ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ.

1) x = 15 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ (15 - 15) cos 15 > 0,

0 > 0, ತಪ್ಪಾಗಿದೆ.

x = 15 ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಲ್ಲ.

2) x = 2 ಆಗಿದ್ದರೆ  k, k Z, ನಂತರ (2  k - 15) l > 0,

2 k > 15, ಗಮನಿಸಿ 15  5 . ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

ಕೆ > 2.5, ಕೆ  Z,

k = 3, 4, 5,… .

3) x = ಆಗಿದ್ದರೆ  + 2 l, l Z, ನಂತರ ( + 2 l - 15) (- 1) > 0,

 + 2  ಎಲ್< 15,

2 ಎಲ್< 15 -  , заметим, что 15  5  .

ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: ಎಲ್< 2,

l = 1, 0, -1, -2,….

ಉತ್ತರ: x = 2  ಕೆ (ಕೆ = 3,4,5,6,...); x =  +2 1(1 = 1.0, -1,- 2,…).

3. ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

3.1. ಸಮೀಕರಣದ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವ ವಿಧಾನ.

4.1.1. cos3x cos2x = -1 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

ಮೊದಲ ದಾರಿ..

0.5 (ಕೋಸ್ X+ ಕಾಸ್ 5 X) = -1, cos X+ ಕಾಸ್ 5 X = -2.

ಕಾಸ್ ರಿಂದ X - 1 , ಕಾಸ್ 5 X - 1, ನಾವು cos ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ X+ ಕಾಸ್ 5 X> -2, ಇಲ್ಲಿಂದ

ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ

ಸಿ ಓಎಸ್ X = -1,

ಕಾಸ್ 5 X = - 1.

cos ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದ ನಂತರ X= -1, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ X=  + 2 ಕೆ, ಅಲ್ಲಿ k Z.

ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳು X cos 5 ಎಂಬ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಹ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ X= -1, ಏಕೆಂದರೆ

ಕಾಸ್ 5 X= cos 5 ( + 2  k) = cos ( + 4  + 10  k) = -1.

ಹೀಗಾಗಿ, X=  + 2 k, ಇಲ್ಲಿ k Z ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಹಾರಗಳು, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣದ.

ಉತ್ತರ: X=  (2k + 1), k Z.

ಎರಡನೇ ದಾರಿ.

ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು

ಕಾಸ್ 2 X = - 1,

ಕಾಸ್ 3 X = 1.

ಕಾಸ್ 2 X = 1,

ಕಾಸ್ 3 X = - 1.

ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದ ನಂತರ, ನಾವು ಬೇರುಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಉತ್ತರ: x = (2  k + 1), k Z.

ಸ್ವತಂತ್ರ ಕೆಲಸಕ್ಕಾಗಿ.

ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:

3.1.2. 2 ಕಾಸ್ 3X + 4 ಪಾಪ x/2 = 7. ಉತ್ತರ: ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳಿಲ್ಲ.

3.1.3. 2 cos 3x + 4 sin x/2 = -8. ಉತ್ತರ: ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳಿಲ್ಲ.

3.1.4. 3 cos 3x + cos x = 4. ಉತ್ತರ: x = 2 ಕೆ, ಕೆ Z.

3.1.5. ಪಾಪ x ಪಾಪ 3 x = -1. ಉತ್ತರ: x = /2 + ಕೆ, ಕೆ Z.

3.1.6. cos 8 x + ಪಾಪ 7 x = 1. ಉತ್ತರ: x = ಮೀ, ಎಂ Z; x = /2 + 2 ಎನ್, ಎನ್ Z.

ಪುರಸಭೆಯ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆ

"ಕ್ಯುಡಿನೋ ಸೆಕೆಂಡರಿ ಸ್ಕೂಲ್ ನಂ. 2"

ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳು

ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿದವರು: ಓಲ್ಗಾ ಎಗೊರೊವಾ,

ಮೇಲ್ವಿಚಾರಕ:

ಶಿಕ್ಷಕ

ಗಣಿತ,

ಅತ್ಯುನ್ನತ ಅರ್ಹತೆ

ಪರಿಚಯ....……………………………………………………………………………………… 3

ವಿಭಾಗ 1. ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳು…………………………………6

1.1 ಭಾಗ C ಯ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

ವಿಭಾಗ 2. ವೈಯಕ್ತಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳು…………………………………………….....………...24

ಉತ್ತರಗಳು………………………………………………………………………………………….25

ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ…….…………………………………………………………………….26

ಪರಿಚಯ

ಸಮಗ್ರ ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಗಣಿತ ಶಿಕ್ಷಣವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಶಿಕ್ಷಣ ಮತ್ತು ಆಧುನಿಕ ಮನುಷ್ಯನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಸ್ಕೃತಿಯ ಅತ್ಯಗತ್ಯ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಆಧುನಿಕ ಮನುಷ್ಯನನ್ನು ಸುತ್ತುವರೆದಿರುವ ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲವೂ ಹೇಗಾದರೂ ಗಣಿತದೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿದೆ. ಮತ್ತು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ, ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಮಾಹಿತಿ ತಂತ್ರಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿನ ಇತ್ತೀಚಿನ ಪ್ರಗತಿಗಳು ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ ವ್ಯವಹಾರಗಳ ಸ್ಥಿತಿಯು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರಲ್ಲಿ ಸಂದೇಹವಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅನೇಕ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ನೀವು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕೆಂದು ಕಲಿಯಬೇಕಾದ ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಬರುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಜ್ಞಾತ (ಅಥವಾ ಅಜ್ಞಾತಕ್ಕೆ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ) ಹೊಂದಿರುವ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಮೀಕರಣ. ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ.

ಯಾವುದೇ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಬೀಜಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು (ಗುಣಾಕಾರ, ವಿಭಜನೆ, ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿಸುವುದು). ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣವು ಮೂಲ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ, ಇದು ಮೂಲ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳಾಗಿರದ "ಹೆಚ್ಚುವರಿ" ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡ ನಂತರ, ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಮೀಕರಣದ ಎಲ್ಲಾ ಬೇರುಗಳು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಯಾವುದೇ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ವಿಧಾನವನ್ನು ಸೂಚಿಸುವುದು ಕಷ್ಟ, ಏಕೆಂದರೆ ಮೂಲ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಮೀಕರಣದ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಫಲಿತಾಂಶವು ಕೇವಲ ಕೆಲವು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಬೀಜಗಣಿತ ಸಮೀಕರಣವಲ್ಲ, ಮೂಲಗಳ ನಡುವೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು ಇರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕ ಮಟ್ಟದ ಬಹುಪದಗಳಿಂದ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ತರ್ಕಬದ್ಧ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾದ ಬಹುಪದಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಆ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಬಯಕೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣದ ಎಲ್ಲಾ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಸ್ವತಃ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಕಷ್ಟಕರವಾದ ಕೆಲಸವಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮಬಹುದು, ಅದನ್ನು ನಾವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಬಹಳ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ.

ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವಿಧಗಳು

ಸಮ ಪದವಿಯ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಯಾವಾಗಲೂ ಬೆಸ ಪದವಿಯ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ. ಬೆಸ ಪದವಿಯ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, OD ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಕೆಳಗೆ ನಾವು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅವರ ಪದವಿ ಸಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ವಿಧಗಳಿವೆ:

2..

ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ODZ ಸಮೀಕರಣಗಳು: f(x)≥ 0. ODZ ನಲ್ಲಿ, ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗವು ಯಾವಾಗಲೂ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ - ಆದ್ದರಿಂದ, ಪರಿಹಾರವು ಯಾವಾಗ ಮಾತ್ರ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ g(X)≥ 0. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲ ಮತ್ತು ಘಾತೀಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ 2 ಎನ್ಸಮಾನವಾದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಎಂಬ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಗಮನ ಕೊಡೋಣ ODZ ಅನ್ನು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ನೀವು ಅದನ್ನು ಬರೆಯಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಸ್ಥಿತಿg(x) ≥ 0 ಅನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಬೇಕು.

ಸೂಚನೆ: ಇದು ಸಮಾನತೆಯ ಬಹಳ ಮುಖ್ಯವಾದ ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆ. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಇದು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯನ್ನು ತನಿಖೆ ಮಾಡುವ ಅಗತ್ಯದಿಂದ ಮುಕ್ತಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡ ನಂತರ, ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ f(x) ≥ 0 - ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ. ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಇದು ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದರ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುತ್ತದೆg(x) ≥ 0 - ಬಲಭಾಗದ ಅಲ್ಲದ ಋಣಾತ್ಮಕತೆ. ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ವರ್ಗೀಕರಣದ ನಂತರ, ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಂದರೆ, ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಆದರೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಕ್ಷದ ವಿವಿಧ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ!):

1. - ಅಲ್ಲಿ g(X)≥ 0 ಮತ್ತು

2. - ಅಲ್ಲಿ g(x) ≤ 0.

ಏತನ್ಮಧ್ಯೆ, ಅನೇಕರು, ODZ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಶಾಲೆಯ ಅಭ್ಯಾಸದ ಹೊರಗೆ, ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ನಿಖರವಾಗಿ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ವರ್ತಿಸುತ್ತಾರೆ:

ಎ) ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡ ನಂತರ, ಅವರು ಅಂಕಗಣಿತದ ದೋಷಗಳನ್ನು ಮಾಡುವಾಗ ಮತ್ತು ತಪ್ಪಾದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ f(x) ≥ 0 (ಇದು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ತೃಪ್ತಿಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ) ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತಾರೆ;

ಬಿ) ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಿg(x) ≥ 0 - ಮತ್ತು ಮತ್ತೆ ಉತ್ತರವು ತಪ್ಪಾಗಿರಬಹುದು.

ಸೂಚನೆ: ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಸಮಾನತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ODZ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಸಮ ಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ g(X)≥ 0 ಮಾಡುವುದು ಯಾವಾಗಲೂ ಸುಲಭವಲ್ಲ.

ಎರಡನೇ ವಿಧದ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡಲಿ . ಅವನ ODZ:

ODZ ನಲ್ಲಿ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲ, ಮತ್ತು ವರ್ಗೀಕರಣವು ಸಮಾನವಾದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ f(x) =g(X).ಆದ್ದರಿಂದ, ODZ ನಲ್ಲಿ ಅಥವಾ

ಪರಿಹಾರದ ಈ ವಿಧಾನದೊಂದಿಗೆ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಋಣಾತ್ಮಕತೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಸಾಕು - ನೀವು ಸರಳವಾದದನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು.

ವಿಭಾಗ 1. ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳು

1 ವಿಧಾನ. ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಅನುಗುಣವಾದ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿಸುವ ಮೂಲಕ ರಾಡಿಕಲ್ಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕುವುದು

ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸುವ ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಸೂಕ್ತವಾದ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಶಕ್ತಿಗೆ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಮೂಲಕ ರಾಡಿಕಲ್ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಬೆಸ ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸಿದಾಗ, ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮೀಕರಣವು ಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಸಮ ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿಸಿದಾಗ, ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮೀಕರಣವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಇರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಮಾತನಾಡುವಾಗ, ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರಬಾರದು. ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಯಾವುದೇ ಸಮ ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು. ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಫಲಿತಾಂಶವು ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ , ಪರಿಹಾರಗಳ ಸಮೂಹವು ಪರಿಹಾರಗಳ ಸೆಟ್‌ಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿದೆ: https://pandia.ru/text/78/021/images/image013_50.gif" width="95" height="21 src=">. ಆದಾಗ್ಯೂ , ಈ ನ್ಯೂನತೆಯ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಕೆಲವು (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಹ) ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವಾಗಿದೆ, ಇದು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸುವ ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ.

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:

ಎಲ್ಲಿ - ಕೆಲವು ಬಹುಪದಗಳು. ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಮೂಲ ಹೊರತೆಗೆಯುವಿಕೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದಾಗಿ, ಅಜ್ಞಾತದ ಅನುಮತಿಸುವ ಮೌಲ್ಯಗಳು https://pandia.ru/text/78/021/images/image017_32.gif" width="123 ಎತ್ತರ =21" height="21">..gif " width="243" height="28 src=">.

ಸಮೀಕರಣ 1 ರ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳು ವರ್ಗವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಸಮೀಕರಣ 2 ರ ಎಲ್ಲಾ ಬೇರುಗಳು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರಗಳಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ; ಬೇರುಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:

https://pandia.ru/text/78/021/images/image021_21.gif" width="137" height="25">

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಘನಗಳು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

https://pandia.ru/text/78/021/images/image024_19.gif" width="195" height="27">(ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣವು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು, ಅದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಮೂಲಗಳಲ್ಲ ಸಮೀಕರಣ ).

ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ನಾವು ಘನಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ: . x3 – x2 = 0 ↔ x1 = 0, x2 = 1 ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯೋಣ. ಪರಿಶೀಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು x1 = 0 ಸಮೀಕರಣದ ಬಾಹ್ಯ ಮೂಲವಾಗಿದೆ (-2 ≠ 1), ಮತ್ತು x2 = 1 ಮೂಲವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣ.

ಉತ್ತರ: x = 1.

ವಿಧಾನ 2. ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಪಕ್ಕದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದು

ಸಮ ಕ್ರಮದ ಆಮೂಲಾಗ್ರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಉತ್ತರಗಳಲ್ಲಿ ಬಾಹ್ಯ ಬೇರುಗಳು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಅದನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಯಾವಾಗಲೂ ಸುಲಭವಲ್ಲ. ಬಾಹ್ಯ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಮತ್ತು ತಿರಸ್ಕರಿಸಲು ಸುಲಭವಾಗುವಂತೆ, ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಅದನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ಪಕ್ಕದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿನ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಅಸಮಾನತೆಗಳು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲ್ಪಡುವ ಸಮೀಕರಣದ ODZ ಅನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ನೀವು ODZ ಅನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು ಮತ್ತು ನಂತರ ಅದನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಆದರೆ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಮಿಶ್ರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ: ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಏನನ್ನಾದರೂ ಮರೆತುಬಿಡುವ ಅಥವಾ ಅದನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳದಿರುವ ಅಪಾಯ ಕಡಿಮೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಮಿಶ್ರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಹೆಚ್ಚು ತರ್ಕಬದ್ಧವಾಗಿದೆ.

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:

ಉತ್ತರ: https://pandia.ru/text/78/021/images/image029_13.gif" width="109 height=27" height="27">

ಈ ಸಮೀಕರಣವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಉತ್ತರ:ಸಮೀಕರಣವು ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

ವಿಧಾನ 3. n ನೇ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು

ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, n ನೇ ಮೂಲದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂಕಗಣಿತದ ಮೂಲ n-ನೇನಡುವೆ ಪದವಿಗಳು ಎಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಕರೆ ಮಾಡಿ n-ನಾನು ಯಾರ ಶಕ್ತಿಯು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎ. ಒಂದು ವೇಳೆ n -ಸಹ ( 2n), ನಂತರ ≥ 0, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಮೂಲವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ. ಒಂದು ವೇಳೆ n -ಬೆಸ( 2 n+1), ನಂತರ a ಯಾವುದಾದರೂ ಮತ್ತು = - ..gif" width="45" height="19"> ನಂತರ:

2.

3.

4.

5.

ಈ ಯಾವುದೇ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವಾಗ, ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ (ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳದೆ), ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದರ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಭಾಗಗಳ VA ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಇದರೊಂದಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ f ≥ 0ಮತ್ತು g ≥ 0, ಮತ್ತು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಹೀಗಿದೆ f ≥ 0ಮತ್ತು g ≥ 0, ಮತ್ತು ಜೊತೆಗೆ f ≤ 0ಮತ್ತು g ≤ 0.

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸೂತ್ರಗಳಿಗೆ 1-5 (ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳದೆ), ಅದರ ಬಲಭಾಗದ ODZ ಎಡಭಾಗದ ODZ ಗಿಂತ ಅಗಲವಾಗಿರುತ್ತದೆ. 1-5 "ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ" (ಅವುಗಳನ್ನು ಬರೆದಂತೆ) ಸೂತ್ರಗಳ ಔಪಚಾರಿಕ ಬಳಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣದ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಮೂಲ ಒಂದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ ಎಂದು ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣದ ಬಾಹ್ಯ ಬೇರುಗಳು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಪರಿಶೀಲನೆಯು ಕಡ್ಡಾಯ ಹಂತವಾಗಿದೆ.

1-5 "ಬಲದಿಂದ ಎಡಕ್ಕೆ" ಸೂತ್ರಗಳ ಔಪಚಾರಿಕ ಬಳಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹವಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣದ OD ಅನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಬೇರುಗಳ ನಷ್ಟ.

https://pandia.ru/text/78/021/images/image041_8.gif" width="247" height="61 src=">,

ಇದು ಮೂಲ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ .

ಈ ಸೆಟ್‌ನ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಾವು https://pandia.ru/text/78/021/images/image044_7.gif" width="89" height="27"> ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಬೇರುಗಳು ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಕೇವಲ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರಬಹುದು ( -1) ಮತ್ತು (-2).ಎರಡೂ ಪತ್ತೆಯಾದ ಬೇರುಗಳು ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.

ಉತ್ತರ: -1,-2.

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: .

ಪರಿಹಾರ: ಗುರುತುಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಮೊದಲ ಪದವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿ. ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಎರಡು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಅನ್ನು "ತೆಗೆದುಹಾಕಿ" ಮತ್ತು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ತಂದ ನಂತರ, ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ. ರಿಂದ, ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಅಂದಿನಿಂದ , ನಂತರ https://pandia.ru/text/78/021/images/image055_6.gif" width="89" height="27 src=">.gif" width="39" height="19 src= " >.gif" width="145" height="21 src=">

ಉತ್ತರ: x = 4.25.

ವಿಧಾನ 4 ಹೊಸ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಪರಿಚಯ

ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಹೊಸ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ವಿಧಾನ, ಇದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸರಳವಾದ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಮೀಕರಣ ಅಥವಾ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅದರ ಪರಿಣಾಮದೊಂದಿಗೆ ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು (ಬೇರುಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವ ಮೂಲಕ) ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಮಾಡಬಹುದು:

1. ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣದ ODZ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

2. ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಅದರ ಪರಿಣಾಮಕ್ಕೆ ಹೋಗಿ.

3. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

4. ಕಂಡುಬರುವ ಬೇರುಗಳು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.

ಚೆಕ್ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ:

ಎ) ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕಂಡುಬರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮೂಲವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ODZ ಗೆ ಸೇರದ ಆ ಬೇರುಗಳು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬಾಹ್ಯವಾಗಿವೆ.

ಬಿ) ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣದ ODZ ನಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮೂಲಕ್ಕೂ, ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಉದ್ಭವಿಸುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಮಬಲಕ್ಕೆ ಏರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಸಮೀಕರಣದ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಸಮ ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿಸಿದ ಆ ಬೇರುಗಳು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಹೊರಗಿನವುಗಳಾಗಿವೆ.

ಸಿ) ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣದ ODZ ಗೆ ಸೇರಿದ ಮೂಲಗಳು ಮತ್ತು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಉದ್ಭವಿಸುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ಸಮ ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿಸಿದ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ನೇರ ಪರ್ಯಾಯದಿಂದ ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣ.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಪರಿಶೀಲನಾ ವಿಧಾನದೊಂದಿಗೆ ಈ ಪರಿಹಾರ ವಿಧಾನವು ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮೂಲವನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಬದಲಿಸುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ತೊಡಕಿನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.

ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:

.

ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಮಾನ್ಯವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್:

ಹಾಕುವುದು, ಪರ್ಯಾಯದ ನಂತರ ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಅಥವಾ ಸಮಾನ ಸಮೀಕರಣ

ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೂಲ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರ ಸೆಟ್ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರ ಸೆಟ್‌ಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿದೆ:

, .

ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಘನಕ್ಕೆ ಏರಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಎರಡು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಬೀಜಗಣಿತ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

, .

ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಈ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದೇ ಮೂಲ x = 2 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ (ಯಾವುದೇ ಪರಿಶೀಲನೆ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ).

ಉತ್ತರ: x = 2.

ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:

2x2 + 5x – 2 = t ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ. ನಂತರ ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ . ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ತರುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಹಿಂದಿನ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಅದರಿಂದ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ t=16.

ಅಜ್ಞಾತ x ಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ, ನಾವು 2x2 + 5x - 2 = 16 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಮೂಲ ಒಂದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ. ಪರಿಶೀಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅದರ ಬೇರುಗಳು x1 = 2 ಮತ್ತು x2 = - 9/2 ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು ಎಂದು ನಮಗೆ ಮನವರಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಉತ್ತರ: x1 = 2, x2 = -9/2.

5 ವಿಧಾನ. ಸಮೀಕರಣದ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರ

ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಸಮೀಕರಣಗಳ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಬಾರದು, ತರ್ಕಬದ್ಧ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಬೇಕು. ಮೊದಲು ನಾವು ಸಮೀಕರಣದ ಕೆಲವು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವೇ ಎಂದು ನೋಡಬೇಕು ಅದು ಅದರ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಸರಳಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ.

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:

ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್: https://pandia.ru/text/78/021/images/image074_1.gif" width="292" height="45"> ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಭಾಗಿಸೋಣ.

.

ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಯಾವಾಗ a = 0 ಸಮೀಕರಣವು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ; ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಯಾವಾಗ ಬರೆಯಬಹುದು

ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಯಾವುದಕ್ಕೂ X, ಸಮೀಕರಣದ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಸೇರಿದ, ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ;

ಸಮೀಕರಣವು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ

ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಪರಿಹಾರಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ನಾವು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಈ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, https://pandia.ru/text/78/021/images/image084_2.gif" width="60" height="19"> ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ Xಸಮೀಕರಣವು ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

ಉದಾಹರಣೆ 10:

ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: https://pandia.ru/text/78/021/images/image086_2.gif" width="381" height="51">

ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ: x1 = 1 ಮತ್ತು x2 = 4. ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೂಲಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ x = 4.

ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು.

1) ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ ನೀವು ಪರಿಶೀಲಿಸದೆಯೇ ಮಾಡಲು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.

2) ಅಸಮಾನತೆ x – 3 ≥0 ಗುರುತಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ಗೆ ಅಲ್ಲ.

3) ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ ಕಾರ್ಯವಿದೆ, ಮತ್ತು ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಕಾರ್ಯವಿದೆ. ಅವುಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ಗಳ ಛೇದಕದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ x = 4 ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಿನ abscissa ಆಗಿದೆ.

ಉತ್ತರ: x = 4.

6 ವಿಧಾನ. ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಕಾರ್ಯಗಳ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವುದು

ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಈ ವಿಧಾನವು ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿದೆ https://pandia.ru/text/78/021/images/image088_2.gif" width="36" height="21 src="> ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರದೇಶದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು (f)..gif" width="53" height="21"> .gif" width="88" height="21 src=">, ನಂತರ ನೀವು ಮಧ್ಯಂತರದ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣವು ಸರಿಯಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಒಂದು ವೇಳೆ< 0, а b >0, ನಂತರ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ (a;0)ಮತ್ತು . E(y) ನಲ್ಲಿ ಚಿಕ್ಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕವು 3 ಆಗಿದೆ.

ಉತ್ತರ: x = 3.

8 ವಿಧಾನ. ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಬಳಸುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಅಂದಾಜು ವಿಧಾನ.

ಉದಾಹರಣೆ 15:

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: (1)

ಪರಿಹಾರ: https://pandia.ru/text/78/021/images/image122_1.gif" width="371" height="29"> ರಿಂದ, ಅಥವಾ (2). ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ..gif" width="400" height="23 src=">.gif" width="215" height="49"> ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಸಮೀಕರಣ ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಾದ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉತ್ತರ:

ಉದಾಹರಣೆ 16:

ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:

ಕಾರ್ಯದ ಡೊಮೇನ್ ಒಂದು ವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ. ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಈ ಕಾರ್ಯದ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ f(X): https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37 height=19" height="19">. ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ f(X)ವಿಭಾಗದ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಹಂತದಲ್ಲಿ: ಆದ್ದರಿಂದ, ಆದರೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮಾನತೆ ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ ಮಾತ್ರ https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37" height= "19 src=" >. ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದರಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆ 3 ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ಉತ್ತರ: x = 3.

9 ವಿಧಾನ. ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ

ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲಿ, ಫಾರ್ಮ್‌ನಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದಾದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅವರು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ನಿಮ್ಮನ್ನು ಕೇಳುತ್ತಾರೆ, ಅಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕೆಲವು ಸಮೀಕರಣಗಳು: 1) 2) . ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಮೊದಲ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ , ಎರಡನೇ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ . ಆದ್ದರಿಂದ, ಕೆಳಗಿನ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದ್ದರೆ Xಮತ್ತು ಯಾವುದಕ್ಕೂ , ನಂತರ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಇತ್ಯಾದಿಗಳು ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ X .

ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: https://pandia.ru/text/78/021/images/image145_1.gif" width="103" height="25"> ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ ಆರ್,ಮತ್ತು https://pandia.ru/text/78/021/images/image153_1.gif" width="45" height="24 src=">..gif" width="104" height="24 src=" > ಇದು ಒಂದೇ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅದಕ್ಕೆ ಸಮನಾದ (1) ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದೇ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

ಉತ್ತರ: x = 3.

ಉದಾಹರಣೆ 18:

ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: (1)

ವರ್ಗಮೂಲದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಸಮೀಕರಣವು (1) ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅವು ಸೆಟ್‌ಗೆ ಸೇರಿವೆ https://pandia.ru/text/78/021/images/image159_0.gif" width=" 163" ಎತ್ತರ="47" >.(2)

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ https://pandia.ru/text/78/021/images/image147_1.gif" width="35" height="21"> ಯಾವುದೇ ..gif" width="100" ಗೆ ಈ ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ ಎತ್ತರ = "41"> ಇದು ಒಂದೇ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಮತ್ತು ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ Xಸಮೀಕರಣ (1) ಒಂದೇ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

ಉತ್ತರ: https://pandia.ru/text/78/021/images/image165_0.gif" width="145" height="27 src=">

ಪರಿಹಾರ: ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಮಿಶ್ರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ

1.1 ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಪ್ರವೇಶ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲಿ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವರ ಸಹಾಯದಿಂದ ಸಮಾನವಾದ ರೂಪಾಂತರಗಳು, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಮತ್ತು ಇತರ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸುವುದು ಸುಲಭ. ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತರ್ಕಬದ್ಧವಾದ ಸಮೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ (ಕೆಲವು ರೂಪಾಂತರಗಳ ಸಹಾಯದಿಂದ) ಬದಲಿಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿವೆ, ಇದು ಮೂಲ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಅದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚಾಗಿ, ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಬೆಸ ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿಸಿದಾಗ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಉಲ್ಲಂಘಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಕಂಡುಕೊಂಡ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಅಥವಾ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಆದರೆ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಬಹುದಾದ ಇತರ ತಂತ್ರಗಳಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನ.

ಉದಾಹರಣೆ 1: ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

ಅಂದಿನಿಂದ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಹಾಕಬಹುದು . ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ

ಹಾಗಾದರೆ ಎಲ್ಲಿ ಇಡೋಣ

.

.

ಉತ್ತರ: .

ಬೀಜಗಣಿತ ಪರಿಹಾರ

ಅಂದಿನಿಂದ . ಅಂದರೆ, , ಆದ್ದರಿಂದ ನೀವು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಅನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು

.

ಉತ್ತರ: .

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲು ಗುರುತಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳುವಲ್ಲಿ ಉತ್ತಮ ಕೌಶಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಸಮಾನ ಪರಿವರ್ತನೆಗಳ ಸಮರ್ಥ ನಿರ್ವಹಣೆ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಎರಡೂ ನಿರ್ಧಾರ ವಿಧಾನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2: ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

.

ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹಾರ

ಸಮೀಕರಣದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಅಸಮಾನತೆಯಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನೀವು ಹಾಕಬಹುದು. ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ

ಅಂದಿನಿಂದ. ಆಂತರಿಕ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಅನ್ನು ತೆರೆಯೋಣ

ಹಾಕೋಣ , ನಂತರ

.

ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಎರಡು ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು .

.

.

ಉತ್ತರ: .

ಬೀಜಗಣಿತ ಪರಿಹಾರ


.

ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೊದಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಪಡೆಯೋಣ

ಅದು ಆಗಿರಲಿ. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೀಗೆ ಪುನಃ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

ಪರಿಶೀಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಮೂಲ ಎಂದು ಸ್ಥಾಪಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಂತರ ಬಹುಪದವನ್ನು ದ್ವಿಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗದ ವಿಘಟನೆಯನ್ನು ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ವೇರಿಯಬಲ್ನಿಂದ ವೇರಿಯಬಲ್ಗೆ ಚಲಿಸೋಣ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

.

ಸ್ಥಿತಿ ಎರಡು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ

.

ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ, ಅದು ಮೂಲ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಮೂಲ ಗುಂಪಿನ ಎರಡನೇ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸುವುದು, ಅದು ಕೂಡ ಒಂದು ಮೂಲವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಉತ್ತರ: .

ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಬಳಸುವ ಪರಿಹಾರವು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಪರ್ಯಾಯದ ಪರಿಹಾರವು ಹೆಚ್ಚು ಲಾಭದಾಯಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ನೀವು ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕು, ಅಂದರೆ, ಅದನ್ನು ಎರಡು ಬಾರಿ ವರ್ಗೀಕರಿಸಿ. ಈ ಅಸಮಾನ ರೂಪಾಂತರದ ನಂತರ, ನಾವು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ನಾಲ್ಕನೇ ಪದವಿಯ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅದನ್ನು ಪರ್ಯಾಯದಿಂದ ತೆಗೆದುಹಾಕಬಹುದು. ಮತ್ತೊಂದು ತೊಂದರೆಯು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುವ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು.

ಉದಾಹರಣೆ 3: ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

.

ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹಾರ

ಅಂದಿನಿಂದ. ಅಜ್ಞಾತದ ಋಣಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯವು ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಪರಿಹಾರವಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಾವು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ

.

ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಆವರಣದಲ್ಲಿರುವ ಅಂಶವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗವು ಸಹ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಅಂಶವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ, ನಂತರ, ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ನೀವು ಹಾಕಬಹುದು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೀಗೆ ಪುನಃ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

ಅಂದಿನಿಂದ , ನಂತರ ಮತ್ತು . ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ

ಅವಕಾಶ . ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಸಮಾನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಹೋಗೋಣ

.

ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳಾಗಿವೆ

.

ಬೀಜಗಣಿತದ ಪರಿಹಾರ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ವರ್ಗ ಮಾಡೋಣ

ಬದಲಿಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ , ನಂತರ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

ಎರಡನೇ ಮೂಲವು ಅತಿಯಾದದ್ದು, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ

.

ಅಂದಿನಿಂದ.

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಬೀಜಗಣಿತದ ಪರಿಹಾರವು ತಾಂತ್ರಿಕವಾಗಿ ಸರಳವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನೀಡಿದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಕಡ್ಡಾಯವಾಗಿದೆ. ಇದು ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಪರ್ಯಾಯದ ಪ್ರಮಾಣಿತವಲ್ಲದ ಸ್ವಭಾವಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗಿದೆ, ಇದು ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಪರ್ಯಾಯದ ಬಳಕೆಯು ಯಾವಾಗ ಮಾತ್ರ ಸಾಧ್ಯ ಎಂಬ ಸ್ಟೀರಿಯೊಟೈಪ್ ಅನ್ನು ನಾಶಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಪರ್ಯಾಯವು ಸಹ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಕಷ್ಟ , ಇದು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ, ಈ ಬದಲಿಯನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತವಲ್ಲದವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಅದರೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಿತತೆಯು ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ತಂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ವಿಧಾನಗಳ ನಿಮ್ಮ ಆರ್ಸೆನಲ್ ಅನ್ನು ಉತ್ಕೃಷ್ಟಗೊಳಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 4: ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

.

ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹಾರ

ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ನಾವು ಹಾಕುತ್ತೇವೆ . ನಂತರ

,

ಏಕೆಂದರೆ .

ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣವು, ನಡೆಸಿದ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ

ನಾವು ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಭಾಗಿಸುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಅವಕಾಶ , ನಂತರ . ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ

.

ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ , ನಾವು ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

.

ಸೆಟ್ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸೋಣ.

.

ವಾದದ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸೈನ್ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿರಬಾರದು.

.

ಏಕೆಂದರೆ ಮತ್ತು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ . ಅದರಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ .

ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ರಿಂದ .

ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದೇ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

.

ಬೀಜಗಣಿತ ಪರಿಹಾರ

ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಎಂಟನೇ ಪದವಿಯ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸುಲಭವಾಗಿ "ರೂಪಾಂತರ" ಮಾಡಬಹುದು. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಕಷ್ಟ, ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ನಿಭಾಯಿಸಲು ನೀವು ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಟ್ಟದ ಜಾಣ್ಮೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಕಡಿಮೆ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಪರಿಹಾರದ ಇನ್ನೊಂದು ಮಾರ್ಗವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, I. F. ಶಾರಿಗಿನ್ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದ ಪರ್ಯಾಯ.

ಹಾಕೋಣ , ನಂತರ

ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗವನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ :

ರೂಪಾಂತರಗಳು, ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ

.

ಬದಲಿಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ, ನಂತರ

.

ಎರಡನೇ ಮೂಲವು ಅತಿಯಾದದ್ದು, ಆದ್ದರಿಂದ, ಮತ್ತು .

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಕಲ್ಪನೆಯು ಮುಂಚಿತವಾಗಿ ತಿಳಿದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ , ನಂತರ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಸಮಸ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಫಲಿತಾಂಶವು ಎಂಟನೇ ಪದವಿಯ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ, ಅದರ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ತುಂಬಾ ಕಷ್ಟ. ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಬಳಸುವ ಪರಿಹಾರವು ತೊಡಕಾಗಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣವು ಪರಸ್ಪರ ಎಂದು ನೀವು ಗಮನಿಸದಿದ್ದರೆ ಅದರ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಕಷ್ಟವಾಗಬಹುದು. ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವು ಬೀಜಗಣಿತದ ಉಪಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರಸ್ತಾವಿತ ಪರಿಹಾರವು ಸಂಯೋಜಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು. ಅದರಲ್ಲಿ, ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಮಾಹಿತಿಯು ಒಂದು ಗುರಿಗಾಗಿ ಒಟ್ಟಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತದೆ - ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯಲು. ಅಲ್ಲದೆ, ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಎರಡು ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಪರಿಗಣಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಬಳಸುವುದಕ್ಕಿಂತ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಪರಿಹಾರವು ತಾಂತ್ರಿಕವಾಗಿ ಸರಳವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಸುಂದರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಈ ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ತಿಳಿದಿರುವುದು ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅದನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ.

ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಪರ್ಯಾಯದ ಬಳಕೆಯು ಜಾಗೃತವಾಗಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ಸಮರ್ಥನೀಯವಾಗಿರಬೇಕು ಎಂದು ನಾವು ಒತ್ತಿಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಮತ್ತೊಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರವು ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟಕರವಾದ ಅಥವಾ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅಸಾಧ್ಯವಾದ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಬಳಸಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀಡೋಣ, ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸುಲಭವಾಗಿ ಮತ್ತು ವೇಗವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು.

ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಸೀಮಿತ ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿಂದ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂದಾಜು.

ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ, ಅಥವಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ, ಸುತ್ತಮುತ್ತಲಿನ ಪ್ರಪಂಚದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮತ್ತು ಭೌತಿಕ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಅಳೆಯುವ ಅಗತ್ಯದಿಂದ ಉದ್ಭವಿಸಿದ ಗಣಿತದ ಅಮೂರ್ತತೆಯಾಗಿದೆ, ಜೊತೆಗೆ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವುದು, ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಮುಂತಾದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳುವುದು. ಎಣಿಕೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡರೆ, ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು - ಸಂಪೂರ್ಣ ಭಾಗಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಅಗತ್ಯದಿಂದ, ನಂತರ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ನಿರಂತರ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಅಳೆಯಲು ಉದ್ದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಗ್ರಹದ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು, ಇದು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಇತರ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು .

ಸಂಪೂರ್ಣ ದೋಷ ಮತ್ತು ಅದರ ಮಿತಿ.

ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯವಿರಲಿ, ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯದ ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ದೋಷ (ತಪ್ಪು) ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯದ ನಿಖರ ಮತ್ತು ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯದ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಿ: ದೋಷವು ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ತಿಳಿದಿರುವ ಅಂದಾಜುಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪರಿಮಾಣದ ನಿಖರವಾದ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ - ನಿಖರವಾದ ಮೌಲ್ಯದ ಬದಲಿಗೆ ಬಳಸಲಾಗುವ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ. ದೋಷದ ಸರಳವಾದ ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ಅಳತೆಯು ಸಂಪೂರ್ಣ ದೋಷವಾಗಿದೆ. ಸಂಪೂರ್ಣ ದೋಷಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯವು ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿದಿರುವ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದೆ: ಸಾಪೇಕ್ಷ ದೋಷ ಮತ್ತು ಅದರ ಮಿತಿ.

ಅಂದಾಜಿನ ಗುಣಮಟ್ಟವು ಅಂಗೀಕರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಅಳತೆಯ ಘಟಕಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಮೇಲೆ ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರಮಾಣ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೌಲ್ಯದ ದೋಷವನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧಿಸಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಸಾಪೇಕ್ಷ ದೋಷದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಾಪೇಕ್ಷ ದೋಷಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯವು ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿದಿರುವ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದೆ: . ಸಾಪೇಕ್ಷ ದೋಷವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಶೇಕಡಾವಾರು ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಪೇಕ್ಷ ದೋಷಗಳ ಬಳಕೆ ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಅವರು ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಪ್ರಮಾಣ ಮತ್ತು ಅಳತೆಯ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಮೂಲ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ವೇರಿಯಬಲ್ ಹೊಂದಿರುವ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಫಲಿತಾಂಶದ ಪರಿಹಾರಗಳಿಗೆ ಪರಿಶೀಲನೆ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವರ್ಗ ಮಾಡುವಾಗ ತಪ್ಪಾದ ಸಮಾನತೆಯು ಸರಿಯಾದ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ವರ್ಗೀಕರಿಸಿದಾಗ ತಪ್ಪಾದ ಸಮಾನತೆಯು ಸರಿಯಾದ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ 1 2 = (-1) 2, 1=1. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಸಮಾನ ಪರಿವರ್ತನೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ.

ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ವರ್ಗ ಮಾಡೋಣ; ರೂಪಾಂತರಗಳ ನಂತರ ನಾವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತೇವೆ; ಮತ್ತು ಬದಲಿ ಮಾಡೋಣ.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಔಪಚಾರಿಕ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು X + iy, ಎಲ್ಲಿ Xಮತ್ತು ವೈ- ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, i- ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಘಟಕ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿ ಮುಚ್ಚಿದ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ - ಇದರರ್ಥ ಪದವಿಯ ಬಹುಪದ ಎನ್ಸಂಕೀರ್ಣ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಹೊಂದಿದೆ ಎನ್ಸಂಕೀರ್ಣ ಬೇರುಗಳು, ಅಂದರೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯ ನಿಜ. ಗಣಿತ ಸಂಶೋಧನೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವ್ಯಾಪಕ ಬಳಕೆಗೆ ಇದು ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಕಾರಣವಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಳಕೆಯು ಗಣಿತದ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಿಜ್ಞಾನಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಅನೇಕ ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿ ಮತ್ತು ಸಾಂದ್ರವಾಗಿ ರೂಪಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ - ಎಲೆಕ್ಟ್ರಿಕಲ್ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್, ಹೈಡ್ರೊಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್, ಕಾರ್ಟೋಗ್ರಫಿ, ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್, ಕಂಪನ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಇನ್ನೂ ಅನೇಕ.

ಹೋಲಿಕೆ ಎ + ದ್ವಿ = ಸಿ + ಡಿಎಂದು ಅರ್ಥ ಎ = ಸಿಮತ್ತು ಬಿ = ಡಿ(ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನೈಜ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ).

ಸೇರ್ಪಡೆ ( ಎ + ದ್ವಿ) + (ಸಿ + ಡಿ) = (ಎ + ಸಿ) + (ಬಿ + ಡಿ) i .

ವ್ಯವಕಲನ ( ಎ + ದ್ವಿ) − (ಸಿ + ಡಿ) = (ಎ − ಸಿ) + (ಬಿ − ಡಿ) i .

ಗುಣಾಕಾರ

ಸಂಖ್ಯಾ ಕಾರ್ಯ. ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳು

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಡೊಮೇನ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸಂಖ್ಯಾ ಸೆಟ್‌ಗಳ ಉಪವಿಭಾಗಗಳಾಗಿವೆ-ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್.

ಮೌಖಿಕ: ನೈಸರ್ಗಿಕ ಭಾಷೆಯನ್ನು ಬಳಸುವುದರಿಂದ, Y ಎಂಬುದು X ನ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ: ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವುದು f (X) = X !

ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗ್ರಾಫ್‌ನ ಗ್ರಾಫ್ ತುಣುಕನ್ನು ಬಳಸುವುದು.

ಕೋಷ್ಟಕ: ಮೌಲ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಬಳಸುವುದು

ಕಾರ್ಯದ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

1) ಫಂಕ್ಷನ್ ಡೊಮೇನ್ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯ ಶ್ರೇಣಿ . ಕಾರ್ಯ ಡೊಮೇನ್ X(ವೇರಿಯಬಲ್ X), ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಕಾರ್ಯ y = f(x)ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಯ ಶ್ರೇಣಿ ವೈ, ಕಾರ್ಯವು ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ.2 ) ಶೂನ್ಯ ಕಾರ್ಯ) ಕಾರ್ಯದ ಏಕತಾನತೆ . ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವುದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸುವುದು . ಸಹ ಕಾರ್ಯ X f(-x) = f(x). ಬೆಸ ಕಾರ್ಯ- ಮೂಲ ಮತ್ತು ಯಾವುದಕ್ಕೂ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುವ ಒಂದು ಕಾರ್ಯ X f (-x) = - f (x. ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸೀಮಿತ ಅನಿಯಮಿತ .7) ಕಾರ್ಯದ ಆವರ್ತಕತೆ. ಫಂಕ್ಷನ್ f(x) - ಆವರ್ತಕ ಕಾರ್ಯದ ಅವಧಿ

ಕಾರ್ಯ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು. ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳ ಸರಳ ರೂಪಾಂತರಗಳು

ಕಾರ್ಯವೊಂದರ ಗ್ರಾಫ್- ಅಬ್ಸಿಸಾಗಳು ಮಾನ್ಯ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಮೌಲ್ಯಗಳಾಗಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಸೆಟ್ X, ಮತ್ತು ಆರ್ಡಿನೇಟ್‌ಗಳು ಕಾರ್ಯದ ಅನುಗುಣವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳಾಗಿವೆ ವೈ .

ಸರಳ ರೇಖೆ- ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ y = ಕೊಡಲಿ + ಬಿ. y ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು > 0 ಗೆ ಏಕತಾನವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು a ಗಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ< 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т.0 (y = ax - прямая пропорциональность)

ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ- ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗ್ರಾಫ್ y = ಕೊಡಲಿ 2 + ಬಿಎಕ್ಸ್ + ಸಿ. ಇದು ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಲಂಬ ಅಕ್ಷವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ > 0, ಒಂದು ವೇಳೆ ಕನಿಷ್ಠವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ< 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего квадратного уравнения ಕೊಡಲಿ 2 + ಬಿಎಕ್ಸ್ + ಸಿ =0

ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ- ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್. a > O ಅದು I ಮತ್ತು III ಕ್ವಾರ್ಟರ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ನೆಲೆಗೊಂಡಿರುವಾಗ, a< 0 - во II и IV. Асимптоты - оси координат. Ось симметрии - прямая у = х (а >0) ಅಥವಾ y - x (a< 0).

ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್ y = ಲಾಗ್ ಎ x(a > 0)

ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು.ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವಾಗ ನಾವು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ ರೇಡಿಯನ್ಕೋನಗಳ ಅಳತೆ. ನಂತರ ಕಾರ್ಯ ವೈ= ಪಾಪ Xಗ್ರಾಫ್ನಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 19). ಈ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸೈನುಸಾಯ್ಡ್ .


ಕಾರ್ಯವೊಂದರ ಗ್ರಾಫ್ ವೈ= ಕಾಸ್ Xಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. 20; ಇದು ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಚಲಿಸುವುದರಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಸೈನ್ ತರಂಗವಾಗಿದೆ ವೈ= ಪಾಪ Xಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ X/2 ಗೆ ಬಿಡಲಾಗಿದೆ.

ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು. ಏಕತಾನತೆ, ಸಮತೆ, ವಿಚಿತ್ರತೆ, ಕಾರ್ಯಗಳ ಆವರ್ತಕತೆ.

ಫಂಕ್ಷನ್ ಡೊಮೇನ್ ಮತ್ತು ಫಂಕ್ಷನ್ ಡೊಮೇನ್ . ಕಾರ್ಯ ಡೊಮೇನ್ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಮಾನ್ಯ ಮಾನ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ X(ವೇರಿಯಬಲ್ X), ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಕಾರ್ಯ y = f(x)ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಯ ಶ್ರೇಣಿಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ ವೈ, ಕಾರ್ಯವು ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ.2 ) ಶೂನ್ಯ ಕಾರ್ಯ- ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುವ ವಾದದ ಮೌಲ್ಯ.3 ) ಕಾರ್ಯದ ಸ್ಥಿರ ಚಿಹ್ನೆಯ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು- ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಕೇವಲ ಧನಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಕೇವಲ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವಂತಹ ವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್‌ಗಳು.4 ) ಕಾರ್ಯದ ಏಕತಾನತೆ .

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವುದು(ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ) - ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ವಾದದ ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯವು ಕಾರ್ಯದ ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುವ ಒಂದು ಕಾರ್ಯ.

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸುವುದು(ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ) - ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ನ ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯವು ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಸಣ್ಣ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುವ ಕಾರ್ಯ.5 ) ಸಮ (ಬೆಸ) ಕಾರ್ಯ . ಸಹ ಕಾರ್ಯ- ಮೂಲ ಮತ್ತು ಯಾವುದಕ್ಕೂ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುವ ಒಂದು ಕಾರ್ಯ Xಸಮಾನತೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಕ್ಷೇತ್ರದಿಂದ f(-x) = f(x).ಸಮ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಬಗ್ಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ. ಬೆಸ ಕಾರ್ಯ- ಮೂಲ ಮತ್ತು ಯಾವುದಕ್ಕೂ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುವ ಒಂದು ಕಾರ್ಯ Xವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಕ್ಷೇತ್ರದಿಂದ ಸಮಾನತೆ ನಿಜ f (-x) = - f (x) ಬೆಸ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಮೂಲದ ಬಗ್ಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ.6 ) ಸೀಮಿತ ಮತ್ತು ಅನಿಯಮಿತ ಕಾರ್ಯಗಳು. ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸೀಮಿತ, ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ M ಇದ್ದರೆ ಅಂತಹ |f (x) | x ನ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ≤ M. ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಆಗ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಅನಿಯಮಿತ .7) ಕಾರ್ಯದ ಆವರ್ತಕತೆ. ಫಂಕ್ಷನ್ f(x) - ಆವರ್ತಕ, ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆ T ಇದ್ದರೆ, ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನಿಂದ ಯಾವುದೇ x ಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ: f (x+T) = f (x). ಈ ಚಿಕ್ಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕಾರ್ಯದ ಅವಧಿ. ಎಲ್ಲಾ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು ಆವರ್ತಕ. (ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸೂತ್ರಗಳು).

ಆವರ್ತಕ ಕಾರ್ಯಗಳು. ಕಾರ್ಯದ ಮುಖ್ಯ ಅವಧಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ನಿಯಮಗಳು.

ಆವರ್ತಕ ಕಾರ್ಯ- ಕೆಲವು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅವಧಿಯ ನಂತರ ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವ ಕಾರ್ಯ, ಅಂದರೆ, ಸ್ಥಿರ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು (ಅವಧಿ) ವಾದಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸಿದಾಗ ಅದು ಅದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಎಲ್ಲಾ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು ಆವರ್ತಕ. ವಿಶ್ವಾಸದ್ರೋಹಿಗಳಾಗಿದ್ದಾರೆಆವರ್ತಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಹೇಳಿಕೆಗಳು: ಅನುಗುಣವಾದ (ಮೂಲಭೂತ) ಅವಧಿಗಳೊಂದಿಗೆ 2 ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತ ಟಿ 1 ಮತ್ತು ಟಿ 2 LCM ಅವಧಿಯೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ( ಟಿ 1 ,ಟಿ 2) ಲೆಕ್ಕಿಸಲಾಗದ (ಮೂಲಭೂತವಾದ) ಅವಧಿಗಳೊಂದಿಗೆ 2 ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವು ಆವರ್ತಕವಲ್ಲದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಆವರ್ತಕ ಕಾರ್ಯಗಳಿಲ್ಲ, ಅದು ಸ್ಥಿರಾಂಕಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಅದರ ಅವಧಿಗಳು ಅಸಂಖ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ.

ವಿದ್ಯುತ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಪ್ಲಾಟಿಂಗ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು.

ಪವರ್ ಕಾರ್ಯ. ಇದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ: y = ಕೊಡಲಿ n, ಎಲ್ಲಿ a, n- ಶಾಶ್ವತ. ನಲ್ಲಿ ಎನ್= 1 ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ನೇರ ಅನುಪಾತ : ವೈ =ಕೊಡಲಿ; ನಲ್ಲಿ ಎನ್ = 2 - ಚದರ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ; ನಲ್ಲಿ ಎನ್ = 1 - ವಿಲೋಮ ಅನುಪಾತಅಥವಾ ಅತಿಶಯ. ಹೀಗಾಗಿ, ಈ ಕಾರ್ಯಗಳು ವಿದ್ಯುತ್ ಕಾರ್ಯದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳಾಗಿವೆ. ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶೂನ್ಯ ಶಕ್ತಿಯು 1 ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಯಾವಾಗ ಎನ್= 0 ವಿದ್ಯುತ್ ಕಾರ್ಯವು ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ: ವೈ =ಎ, ಅಂದರೆ ಅದರ ಗ್ರಾಫ್ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾದ ನೇರ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ X, ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ (ದಯವಿಟ್ಟು ಏಕೆ ವಿವರಿಸಿ?). ಈ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಕರಣಗಳು (ಜೊತೆ ಎ= 1) ಚಿತ್ರ 13 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ ( ಎನ್ 0) ಮತ್ತು ಚಿತ್ರ 14 ( ಎನ್ < 0). Отрицательные значения Xಇಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿಲ್ಲ, ಅಂದಿನಿಂದ ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯಗಳು:

ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯ

ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯ- ಈ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಹಿಮ್ಮುಖಗೊಳಿಸುವ ಕಾರ್ಯ. ಕೆಳಗಿನ ಗುರುತುಗಳು ತೃಪ್ತವಾಗಿದ್ದರೆ ಕಾರ್ಯವು ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ವಿಲೋಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ: ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಎಲ್ಲರಿಗೂ

ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿ. ಮಿತಿಯ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.

n ನೇ ಮೂಲ ಮತ್ತು ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.

ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ n ನೇ ಮೂಲವು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು, ಅದರ n ನೇ ಶಕ್ತಿಯು a ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ: a ನ n ನೇ ಶಕ್ತಿಯ ಅಂಕಗಣಿತದ ಮೂಲವು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು, ಅದರ n ನೇ ಶಕ್ತಿಯು a ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಬೇರುಗಳ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:


ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ನೈಜ ಘಾತ ಮತ್ತು ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಶಕ್ತಿ.

ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡಲಿ. ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಶಕ್ತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಸಂಖ್ಯೆಯು ಶಕ್ತಿಯ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಯು ಘಾತವಾಗಿದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಅವರು ನಂಬುತ್ತಾರೆ:

ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ:

.

.

ಪವರ್ ಕಾರ್ಯ, ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಗ್ರಾಫ್ಗಳು

ಪವರ್ ಕಾರ್ಯಸಂಕೀರ್ಣ ವೇರಿಯಬಲ್ f (z) = z nಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ನೈಜ ವಾದದ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮುಂದುವರಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಉದ್ದೇಶಕ್ಕಾಗಿ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯುವ ಘಾತೀಯ ರೂಪವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪೂರ್ಣಸಂಖ್ಯೆಯ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಶಕ್ತಿ ಕಾರ್ಯವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಗುರುತಿನ ನಕ್ಷೆಯ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನಿದರ್ಶನಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ f (z) = z. ಅನನ್ಯತೆಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಫಲಿತಾಂಶದ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮುಂದುವರಿಕೆಯ ಅನನ್ಯತೆಗೆ ಈ ಎರಡು ಮಾನದಂಡಗಳು ಸಾಕಾಗುತ್ತವೆ. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಸಂಕೀರ್ಣ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಶಕ್ತಿಯ ಕಾರ್ಯವು ಅದರ ನೈಜ ಪ್ರತಿರೂಪದಿಂದ ಗಮನಾರ್ಹ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ತಕ್ಷಣ ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು.

ಇದು ರೂಪದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, . ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಎ) ಒಂದು ವೇಳೆ, ಆಗ. ನಂತರ ,; ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಮವಾಗಿದ್ದರೆ, ಕಾರ್ಯವು ಸಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ ಎಲ್ಲರ ಮುಂದೆ); ಸಂಖ್ಯೆಯು ಬೆಸವಾಗಿದ್ದರೆ, ಕಾರ್ಯವು ಬೆಸವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ ಎಲ್ಲರ ಮುಂದೆ).

ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯ, ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳು

ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯ- ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯ.

ನೈಜ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪದವಿಯ ಆಧಾರವು ಕೆಲವು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯದ ವಾದವು ನಿಜವಾದ ಘಾತವಾಗಿದೆ.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಮತ್ತು ಘಾತವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದಾಗ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ - ಯು ವಿ 1695 ರಲ್ಲಿ ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು

ಇ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಪದವಿಯ ಆಧಾರವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಿದಾಗ ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಘಾತೀಯ (ನೈಜ ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು; ; .

ಘಾತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

ನಾವು ನೇರವಾಗಿ ಘಾತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಹೋಗೋಣ. ಘಾತೀಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ನೀವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಬೇಕು: ಶಕ್ತಿಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಬೇಸ್‌ಗಳು ಸಮಾನ, ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ಘಾತಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ: a>1 ಮತ್ತು a x =a y.

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ x=y ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ಸಾಬೀತು ಮಾಡಬೇಕಾದುದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ನಾವು ಊಹಿಸೋಣ, ಅಂದರೆ. ನಾವು x>y ಅಥವಾ x ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ<у. Тогда получим по свойству показательной функции, что либо a х ಆಯ್. ಈ ಎರಡೂ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಪ್ರಮೇಯದ ಷರತ್ತುಗಳಿಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, x = y, ಇದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕಾದದ್ದು.

0 ಆಗಿರುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯವು ಸಹ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ 0 ಮತ್ತು a≠1.

ಘಾತೀಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳು

ನಲ್ಲಿ ರೂಪದ ಅಸಮಾನತೆಗಳು (ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆ). a(x) >0ಮತ್ತು ಘಾತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ಫಾರ್ 0 < а (х) < 1 ಹೋಲಿಸಿದಾಗ f(x)ಮತ್ತು g(x)ಅಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯು ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಯಾವಾಗ a(x) > 1- ಉಳಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅತ್ಯಂತ ಕಷ್ಟಕರವಾದ ಪ್ರಕರಣ a(x)< 0 . ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂಚನೆಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ನೀಡಬಹುದು: ಯಾವ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲು Xಸೂಚಕಗಳು f(x)ಮತ್ತು g(x)ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳಿಂದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವಂತಹವುಗಳನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಮೂಲ ಅಸಮಾನತೆ ಇದ್ದರೆ a(x) = 0ಅಥವಾ a(x) = 1(ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಇಲ್ಲದಿದ್ದಾಗ), ನಂತರ ಈ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಸಹ ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಲಾಗರಿಥಮ್ಸ್ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಸಂಖ್ಯೆಯ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಬಿಆಧಾರಿತ ಎ (ಗ್ರೀಕ್ ಭಾಷೆಯಿಂದ λόγος - "ಪದ", "ಸಂಬಂಧ" ಮತ್ತು ἀριθμός - "ಸಂಖ್ಯೆ") ಆಧಾರವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಬೇಕಾದ ಶಕ್ತಿಯ ಸೂಚಕವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಬಿ. ಹುದ್ದೆ: . ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಇದು ದಾಖಲೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ: , ಏಕೆಂದರೆ . ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಮೂಲ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಗುರುತು:

ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಕಾರ್ಯ, ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಗ್ರಾಫ್ಗಳು.

ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಕಾರ್ಯವು ರೂಪದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ f (X) = ಲಾಗ್ ಒಂದು x, ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ

ಡೊಮೇನ್:

ವ್ಯಾಪ್ತಿ:

ಯಾವುದೇ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ (1; 0)

ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಲಾಗರಿಥಮ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ವೇರಿಯಬಲ್ ಹೊಂದಿರುವ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಸಮೀಕರಣ ಲಾಗ್ a x = b (ಇಲ್ಲಿ a > 0, a 1). ಅವನ ನಿರ್ಧಾರ x = a b .

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ Eq. ಲಾಗ್ a x = b (a > 0, a 1)ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ x = a b .

ಸಾಮರ್ಥ್ಯ ವಿಧಾನ. ಸಾಮರ್ಥ್ಯದ ಮೂಲಕ ನಾವು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಅವುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಸಮಾನತೆಗೆ ಪರಿವರ್ತನೆ ಎಂದರ್ಥ:

ಒಂದು ವೇಳೆ log a f (x) = log a g (x),ಅದು f(x) = g(x), f(x)>0 ,g(x)>0 ,a > 0 , a 1 .

ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಒಂದಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ವಿಧಾನ.

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ವಿಧಾನ.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಬೇಸ್‌ಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ವಿಧಾನ.

ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಅಸಮಾನತೆಗಳು.

ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್ ಹೊಂದಿರುವ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ: log a f (x) > log a g (x).

ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು, ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ಏಕತಾನತೆಯ ಆಸ್ತಿ ಮತ್ತು ಅದರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಅಸಮಾನತೆ log a f (x) > log a g (x)ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ a > 1 ಗೆ f (x) > g (x) > 0ಮತ್ತು ವ್ಯವಸ್ಥೆ 0 < f (x) < g (x) при 0 < а < 1 .

ಕೋನಗಳು ಮತ್ತು ಚಾಪಗಳ ರೇಡಿಯನ್ ಮಾಪನ. ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್, ಸ್ಪರ್ಶಕ, ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್.

ಪದವಿ ಅಳತೆ. ಇಲ್ಲಿ ಅಳತೆಯ ಘಟಕವಾಗಿದೆ ಪದವಿ (ಹುದ್ದೆ ) - ಇದು ಒಂದು ಪೂರ್ಣ ಕ್ರಾಂತಿಯ 1/360 ರ ಕಿರಣದ ತಿರುಗುವಿಕೆಯಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಕಿರಣದ ಪೂರ್ಣ ತಿರುಗುವಿಕೆಯು 360 ಆಗಿದೆ. ಒಂದು ಪದವಿ 60 ರಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ನಿಮಿಷಗಳು (ಅವರ ಪದನಾಮ '); ಒಂದು ನಿಮಿಷ - ಕ್ರಮವಾಗಿ 60 ರಲ್ಲಿ ಸೆಕೆಂಡುಗಳು (") ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ರೇಡಿಯನ್ ಅಳತೆ. ಪ್ಲಾನಿಮೆಟ್ರಿಯಿಂದ ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ ("ಬಿಂದುಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸ್ಥಳ. ವೃತ್ತ ಮತ್ತು ವೃತ್ತ" ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ "ಆರ್ಕ್ ಉದ್ದ" ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನೋಡಿ), ಆರ್ಕ್ ಉದ್ದ ಎಲ್,ತ್ರಿಜ್ಯ ಆರ್ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಕೇಂದ್ರ ಕೋನವು ಸಂಬಂಧದಿಂದ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ: =l/r.

ಈ ಸೂತ್ರವು ಕೋನಗಳ ರೇಡಿಯನ್ ಅಳತೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ವೇಳೆ ಎಲ್ = ಆರ್,ನಂತರ = 1, ಮತ್ತು ನಾವು  ಕೋನವು 1 ರೇಡಿಯನ್‌ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ: = 1 ಸಂತೋಷವಾಯಿತು. ಹೀಗಾಗಿ, ಮಾಪನದ ರೇಡಿಯನ್ ಘಟಕದ ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

ರೇಡಿಯನ್ ಕೇಂದ್ರ ಕೋನವಾಗಿದೆ ಅವರ ಆರ್ಕ್ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ತ್ರಿಜ್ಯ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ(ಎ ಮೀ B = AO, ಚಿತ್ರ 1). ಆದ್ದರಿಂದ, ಕೋನದ ರೇಡಿಯನ್ ಅಳತೆಯು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ ಚಿತ್ರಿಸಲಾದ ಚಾಪದ ಉದ್ದದ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಈ ಕೋನದ ಬದಿಗಳ ನಡುವೆ ಚಾಪದ ತ್ರಿಜ್ಯಕ್ಕೆ ಸುತ್ತುವರಿದಿದೆ.

ತೀವ್ರ ಕೋನಗಳ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಅನುಪಾತ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು.

ಸೈನಸ್:


ಕೊಸೈನ್:

ಸ್ಪರ್ಶಕ:

ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್:

ಸಂಖ್ಯಾ ವಾದದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ .

x ನ ಸೈನ್ ಎಂಬುದು x ರೇಡಿಯನ್‌ಗಳಲ್ಲಿನ ಕೋನದ ಸೈನ್‌ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. x ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕೊಸೈನ್ x ರೇಡಿಯನ್‌ಗಳಲ್ಲಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್‌ಗೆ ಸಮನಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ .

ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಾದದ ಇತರ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ X .

ಭೂತ ಸೂತ್ರಗಳು.

ಸೇರ್ಪಡೆ ಸೂತ್ರಗಳು. ಎರಡು ಮತ್ತು ಅರ್ಧ ವಾದಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರಗಳು.

ಡಬಲ್.

( ; .

ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳು. ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.

ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು- ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಪ್ರಕಾರ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅವು ಸೇರಿವೆ ಸೈನಸ್ (ಪಾಪ x), ಕೊಸೈನ್ (cos x), ಸ್ಪರ್ಶಕ (ಟಿಜಿ ಎಕ್ಸ್), ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ (ctg x), ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತಗಳ ಮೂಲಕ ಅಥವಾ ಕೆಲವು ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಇದು ಈ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.

ಫಂಕ್ಷನ್ y sinx ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಗ್ರಾಫ್

ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:

2. ಇ (ವೈ) = [-1; 1].

3. y = sinx ಕಾರ್ಯವು ಬೆಸವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಕೋನದ ಸೈನ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಪಾಪ(- X)= - ವೈ/ಆರ್ = - ಸಿಂಕ್ಸ್, ಇಲ್ಲಿ R ಎಂಬುದು ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯವಾಗಿದೆ, y ಬಿಂದುವಿನ ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಆಗಿದೆ (ಚಿತ್ರ).

4. T = 2l - ಚಿಕ್ಕ ಧನಾತ್ಮಕ ಅವಧಿ. ನಿಜವಾಗಿಯೂ,

sin(x+p) = sinx.

ಎತ್ತು ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ: ಸಿಂಕ್ಸ್= 0; x = pn, nОZ;

Oy ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ: x = 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ y = 0.6. ಚಿಹ್ನೆ ಸ್ಥಿರ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು:

sinx > 0, xО ವೇಳೆ (2pn; p + 2pn), nОZ;

ಸಿಂಕ್ಸ್< 0 , xО ವೇಳೆ (p + 2pn; 2p+pn), nОZ.

ಕ್ವಾರ್ಟರ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಸೈನ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳು

ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ತ್ರೈಮಾಸಿಕಗಳ ಕೋನಗಳಿಗೆ y > 0.

ನಲ್ಲಿ< 0 для углов ее третьей и четвертой четвертей.

7. ಏಕತಾನತೆಯ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು:

y = ಸಿಂಕ್ಸ್ಪ್ರತಿ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ [-p/2 + 2pn; p/2 + 2pn],

nÎz ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ , nÎz.

8. ಕಾರ್ಯದ ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ತೀವ್ರತೆ:

xmax= p/2 + 2pn, nÎz; ವೈ ಗರಿಷ್ಠ = 1;

ymax= - p/2 + 2pn, nÎz; y ನಿಮಿಷ = - 1.

ಕಾರ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು y = cosxಮತ್ತು ಅವಳ ವೇಳಾಪಟ್ಟಿ:

ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:

2. ಇ (ವೈ) = [-1; 1].

3. ಕಾರ್ಯ y = cosx- ಸಹ, ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್‌ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ cos (-a) = x/R = ಕೋಸಾ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ (ಚಿತ್ರ)

4. T = 2p - ಚಿಕ್ಕ ಧನಾತ್ಮಕ ಅವಧಿ. ನಿಜವಾಗಿಯೂ,

cos(x+2pn) = cosx.

5. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳೊಂದಿಗೆ ಛೇದನದ ಬಿಂದುಗಳು:

ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ: cosx = 0;

x = p/2 + pn, nÎZ;

Oy ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ: x = 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ y = 1.

6. ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು:

cosx > 0, xО ವೇಳೆ (-p/2+2pn; p/2 + 2pn), nОZ;

cosx< 0 , xО ವೇಳೆ (p/2 + 2pn; 3p/2 + 2pn), nОZ.

ಇದು ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ (ಚಿತ್ರ). ಕ್ವಾರ್ಟರ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಕೊಸೈನ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳು:

ಮೊದಲ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ತ್ರೈಮಾಸಿಕಗಳ ಕೋನಗಳಿಗೆ x > 0.

X< 0 для углов a второй и третей четвертей.

7. ಏಕತಾನತೆಯ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು:

y = cosxಪ್ರತಿ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ [-p + 2pn; 2pn],

nÎz ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ , nÎz.

ಕಾರ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು y = tgxಮತ್ತು ಅದರ ಗ್ರಾಫ್: ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು -

1. D (y) = (xÎR, x ¹ p/2 + pn, nÎZ).

3. ಫಂಕ್ಷನ್ y = tgx - ಬೆಸ

tgx > 0

tgx< 0 xО ಗಾಗಿ (-p/2 + pn; pn), nОZ.


ಕ್ವಾರ್ಟರ್ಸ್‌ಗಾಗಿ ಸ್ಪರ್ಶ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡಿ.

6. ಏಕತಾನತೆಯ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು:

y = tgxಪ್ರತಿ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ

(-p/2 + pn; p/2 + pn),

7. ಎಕ್ಸ್‌ಟ್ರೀಮಮ್ ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಎಕ್ಸ್‌ಟ್ರೀಮ:

8. x = p/2 + pn, nÎz - ಲಂಬ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟ್‌ಗಳು

ಕಾರ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು y = ctgxಮತ್ತು ಅವಳ ವೇಳಾಪಟ್ಟಿ:

ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:

1. D (y) = (xÎR, x ¹ pn, nÎZ). 2. ಇ (ವೈ) = ಆರ್.

3. ಕಾರ್ಯ y = ctgx- ಬೆಸ.

4. T = p - ಚಿಕ್ಕ ಧನಾತ್ಮಕ ಅವಧಿ.

5. ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು:

ctgx > 0 xО ಗಾಗಿ (pn; p/2 + pn;), nОZ;

ctgx< 0 xО ಗಾಗಿ (-p/2 + pn; pn), nОZ.


ಕ್ವಾರ್ಟರ್ಸ್ ಮೂಲಕ ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳಿಗಾಗಿ ಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡಿ.

6. ಕಾರ್ಯ ನಲ್ಲಿ= ctgxಪ್ರತಿ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ (pn; p + pn), nÎZ.

7. ಎಕ್ಸ್‌ಟ್ರೀಮಮ್ ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಎಕ್ಸ್‌ಟ್ರೀಮ y = ctgxಸಂ.

8. ಫಂಕ್ಷನ್ ಗ್ರಾಫ್ y = ctgxಇದೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ, ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ y= tgxಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಎಡಕ್ಕೆ p/2 ಮತ್ತು (-1) ರಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು (ಅಂಜೂರ)

ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು, ಅವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳು

ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು (ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಕಾರ್ಯಗಳು , ಆರ್ಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳು) - ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ವಿಲೋಮವಾಗಿರುವ ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಗಳು. ಆರು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿ ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ: ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ , ಆರ್ಕ್ ಕೊಸೈನ್ , ಆರ್ಕ್ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ,ಆರ್ಕೋಟಾಂಜ್ಗಳು."ಆರ್ಕ್-" ಪೂರ್ವಪ್ರತ್ಯಯವನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅನುಗುಣವಾದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯದ ಹೆಸರಿನಿಂದ ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯದ ಹೆಸರನ್ನು ರಚಿಸಲಾಗಿದೆ (ಲ್ಯಾಟ್. ಚಾಪ- ಆರ್ಕ್). ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ, ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮೌಲ್ಯವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತದ (ಅಥವಾ ಈ ಆರ್ಕ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಳ್ಳುವ ಕೋನ) ಚಾಪದ ಉದ್ದದೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದಾಗಿ ಇದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಸಾಂದರ್ಭಿಕವಾಗಿ ವಿದೇಶಿ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ, ಸಿನ್ −1 ನಂತಹ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ಇತ್ಯಾದಿಗಳಿಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸರಿಯಲ್ಲ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಪವರ್ −1 ಗೆ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವುದರೊಂದಿಗೆ ಗೊಂದಲವಿರಬಹುದು. ಮೂಲ ಅನುಪಾತ


ಕಾರ್ಯ y=arcsinX, ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳು.

ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮೀಈ ಕೋನವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ X, ಯಾವ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ವೈ= ಪಾಪ X ವೈ= ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ Xಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ. (ಕಾರ್ಯವು ಬೆಸವಾಗಿದೆ).

ಕಾರ್ಯ y=arccosX, ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳು.

ಆರ್ಕ್ ಕೊಸೈನ್ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮೀಈ ಕೋನವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ X, ಯಾವುದಕ್ಕಾಗಿ

ಕಾರ್ಯ ವೈ= ಕಾಸ್ Xನಿರಂತರ ಮತ್ತು ಅದರ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ. ಕಾರ್ಯ ವೈ= ಆರ್ಕೋಸ್ Xಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ. cos(ಆರ್ಕೋಸ್ X) = Xನಲ್ಲಿ ಆರ್ಕೋಸ್ (cos ವೈ) = ವೈನಲ್ಲಿ ಡಿ(ಆರ್ಕೋಸ್ X) = [- 1; 1], (ಡೊಮೇನ್), ಇ(ಆರ್ಕೋಸ್ X) = . (ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿ). ಆರ್ಕೋಸ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು (ಕಾರ್ಯವು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಕೇಂದ್ರೀಯವಾಗಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ

ಕಾರ್ಯ y=arctgX, ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳು.

ಆರ್ಕ್ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮೀα ಕೋನವಾಗಿದ್ದು, ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಸಂಪೂರ್ಣ ನೈಜ ರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯವು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ.

ನಲ್ಲಿ

arctg ಕಾರ್ಯದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

,

.

ಕಾರ್ಯ y=arcctg, ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳು.

ಆರ್ಕೋಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮೀಈ ಕೋನವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ X, ಯಾವುದಕ್ಕಾಗಿ

ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ.

ಕಾರ್ಯವು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ. 0 ನಲ್ಲಿ< ವೈ < π Свойства функции arcctg (график функции центрально-симметричен относительно точки ಯಾವುದಕ್ಕಾದರೂ X .

.

ಸರಳವಾದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.ವಾಡಾ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಪಾಪ x = a ; cos x = a ; ತನ್ x = a ; ctg x = a, ಎಲ್ಲಿ X

ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳು

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.ವಾಡಾ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಪಾಪ x = a ; cos x = a ; ತನ್ x = a ; ctg x = a, ಎಲ್ಲಿ X- ವೇರಿಯೇಬಲ್, aR, ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸರಳವಾದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು


ಸ್ಟೀರಿಯೊಮೆಟ್ರಿಯ ಮೂಲತತ್ವಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳಿಂದ ಪರಿಣಾಮಗಳು

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿನ ಮೂಲ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು: ಅಂಕಗಳು, ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ವಿಮಾನಗಳು. ಅವುಗಳ ಸಂಬಂಧಿತ ಸ್ಥಾನಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಬಿಂದುಗಳು, ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಮತಲಗಳ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಮೂಲತತ್ವಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

A1.ಒಂದೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಇರದ ಯಾವುದೇ ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ, ಒಂದು ಸಮತಲವನ್ನು ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಒಂದು. A2.ಒಂದು ರೇಖೆಯ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇದ್ದರೆ, ರೇಖೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳು ಈ ಸಮತಲದಲ್ಲಿವೆ

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ.ಒಂದು ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲವು ಒಂದೇ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಛೇದಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ.


A3.ಎರಡು ಸಮತಲಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಅದರ ಮೇಲೆ ಈ ವಿಮಾನಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುಗಳು ಇರುತ್ತವೆ.

ಎ ಮತ್ತು ನೇರ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಿ a.

ಫಲಿತಾಂಶ 1.ಒಂದು ಸಮತಲವು ಒಂದು ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ಬಿಂದುವು ಅದರ ಮೇಲೆ ಮಲಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಅದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ವಿಮಾನ ಮಾತ್ರ. ಫಲಿತಾಂಶ 2.ಒಂದು ವಿಮಾನವು ಎರಡು ಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಒಂದು.

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಸ್ಥಾನ

ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ

ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ಸಮಾನಾಂತರತೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2.3ಒಂದು ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಸಮಾನಾಂತರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನೇರ ರೇಖೆ a ಸಮತಲ α ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಬರೆಯಿರಿ || α. ಪ್ರಮೇಯ 2.4 ಒಂದು ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ಸಮಾನಾಂತರತೆಗಾಗಿ ಪರೀಕ್ಷೆ.ಸಮತಲದ ಹೊರಗಿನ ರೇಖೆಯು ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಕೆಲವು ರೇಖೆಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ರೇಖೆಯು ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪುರಾವೆ ಬಿ α, a || b ಮತ್ತು a α (ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ 2.2.1). ನಾವು ವಿರೋಧಾಭಾಸದಿಂದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ. a α ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರಬಾರದು, ನಂತರ ನೇರ ರೇಖೆ a ಸಮತಲವನ್ನು α ಅನ್ನು ಕೆಲವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ. ಮೇಲಾಗಿ, A b, ರಿಂದ a || ಬಿ. ಓರೆ ರೇಖೆಗಳ ಮಾನದಂಡದ ಪ್ರಕಾರ, a ಮತ್ತು b ಸಾಲುಗಳು ಓರೆಯಾಗಿರುತ್ತವೆ. ನಾವು ಒಂದು ವಿರೋಧಾಭಾಸಕ್ಕೆ ಬಂದಿದ್ದೇವೆ. ಪ್ರಮೇಯ 2.5ಸಮತಲ β ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ರೇಖೆಯ ಮೂಲಕ ಹಾದು ಹೋದರೆ ಮತ್ತು ಈ ಸಮತಲವನ್ನು b ರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಛೇದಿಸಿದರೆ, ನಂತರ b || ಎ. ಪುರಾವೆ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, a ಮತ್ತು b ಗೆರೆಗಳು ಓರೆಯಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವು β ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತವೆ. ಜೊತೆಗೆ, ಈ ಸಾಲುಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಒಂದು || α. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2.4ನೇರ ರೇಖೆ b ಅನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ α ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ β ಸಮತಲದ ಕುರುಹು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸರಳ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ದಾಟುವುದು. ದಾಟುವ ರೇಖೆಗಳ ಚಿಹ್ನೆ

ಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಛೇದಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ: ಒಂದು ಸಾಲು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸಿದರೆ, ಇನ್ನೊಂದು ಸಾಲು ಈ ಸಮತಲವನ್ನು ಮೊದಲ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರದ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಗೆರೆಗಳು ಅವುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಯಾವುದೇ ಸಮತಲವಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ. ಸರಳವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಪ್ರಮೇಯ (1): ಎರಡು ರೇಖೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮತಲದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ರೇಖೆಯು ಈ ಸಮತಲವನ್ನು ಮೊದಲ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಇರದ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಿದರೆ, ಈ ಸಾಲುಗಳು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ.

ಪ್ರಮೇಯ (2): ಪ್ರತಿ ಎರಡು ಓರೆ ರೇಖೆಗಳ ಮೂಲಕ ಇನ್ನೊಂದು ರೇಖೆಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಸಮತಲವನ್ನು ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮೇಲಾಗಿ ಕೇವಲ ಒಂದು.

ಪ್ರಮೇಯ (3): ಎರಡು ಕೋನಗಳ ಬದಿಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಜೋಡಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದ್ದರೆ, ಅಂತಹ ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆ. ಸಮಾನಾಂತರ ವಿಮಾನಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.

ಸಮಾನಾಂತರ (ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಸಮಬಾಹು) ರೇಖೆಗಳುಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇರುವ ನೇರ ರೇಖೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳು ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಅಥವಾ ಛೇದಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಕೆಲವು ಶಾಲಾ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಲ್ಲಿ, ಕಾಕತಾಳೀಯ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ; ಅಂತಹ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಸಮಾನಾಂತರತೆಯು ಬೈನರಿ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಾಲುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ರೇಖೆಗಳ ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ನೀವು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ಸೆಳೆಯಬಹುದು. ಇದು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ರೇಖಾಗಣಿತದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ; ಇತರ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆ 1 ಅನ್ನು ಇತರರು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತಾರೆ (ಲೋಬಚೆವ್ಸ್ಕಿಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಎರಡು ಅಂತಹ ರೇಖೆಗಳಿವೆ) ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ 2 ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳು ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿವೆ. b 2 ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳು ಮೂರನೆಯದರೊಂದಿಗೆ ಛೇದಿಸಿದಾಗ, ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸೆಕೆಂಟ್: ಒಂದು ಸೆಕೆಂಟ್ ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಎರಡೂ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ. ಛೇದಿಸುವಾಗ, 8 ಕೋನಗಳು ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ವಿಶಿಷ್ಟ ಜೋಡಿಗಳು ವಿಶೇಷ ಹೆಸರುಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ: ಅಡ್ಡಲಾಗಿ ಮಲಗಿದೆಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಂಬಂಧಿತಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಏಕಪಕ್ಷೀಯಕೋನಗಳು 180 ° ವರೆಗೆ ಸೇರಿಸುತ್ತವೆ.

ಒಂದು ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ಲಂಬತೆ.

ಸಮತಲವನ್ನು ಛೇದಿಸುವ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವಈ ಸಮತಲವು ಈ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸರಳ ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ.

ನೇರ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ಪರ್ಪೆಂಡಿಕ್ಯುಲಾರಿಟಿಯ ಚಿಹ್ನೆ.

ಸಮತಲವನ್ನು ಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆಯು ಈ ರೇಖೆಯ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಈ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಎರಡು ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪರ್ಪೆಂಡಿಕ್ಯುಲರ್ ಸ್ಟ್ರೈಟ್ ಮತ್ತು ಪ್ಲೇನ್‌ನ 1 ನೇ ಆಸ್ತಿ .

ಸಮತಲವು ಎರಡು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪರ್ಪೆಂಡಿಕ್ಯುಲರ್ ಸ್ಟ್ರೈಟ್ ಮತ್ತು ಪ್ಲೇನ್‌ನ 2 ನೇ ಆಸ್ತಿ .

ಒಂದೇ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಮೂರು ಲಂಬ ಪ್ರಮೇಯ

ಅವಕಾಶ ಎಬಿ- ಸಮತಲ α ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ, ಎ.ಸಿ.- ಒಲವು ಮತ್ತು ಸಿ- ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ α ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆ ಸಿಮತ್ತು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಬಿ.ಸಿ.. ನೇರವಾಗಿ ಮಾಡೋಣ ಸಿ.ಕೆರೇಖೆಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಎಬಿ. ನೇರ ಸಿ.ಕೆಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ α (ಇದು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಎಬಿ), ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಸಮತಲದ ಯಾವುದೇ ನೇರ ರೇಖೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಿ.ಕೆನೇರ ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಸಿ ಎಬಿಮತ್ತು ಸಿ.ಕೆಸಮತಲ β (ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳು ಸಮತಲವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಒಂದು). ನೇರ ಸಿβ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಎರಡು ಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ, ಇದು ಬಿ.ಸಿ.ಸ್ಥಿತಿಯ ಪ್ರಕಾರ ಮತ್ತು ಸಿ.ಕೆನಿರ್ಮಾಣದ ಮೂಲಕ, ಇದು ಈ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ ಯಾವುದೇ ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಅದು ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎ.ಸಿ. .

ಮೂರು ಲಂಬ ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಸಂಭಾಷಣೆ

ಇಳಿಜಾರಾದ ರೇಖೆಯ ತಳದ ಮೂಲಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಎಳೆಯಲಾದ ನೇರ ರೇಖೆಯು ಇಳಿಜಾರಾದ ಒಂದಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಅದರ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಅವಕಾಶ ಎಬಿ- ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಎ , ಎಸಿ- ಒಲವು ಮತ್ತು ಜೊತೆಗೆ- ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆ ಎ, ಇಳಿಜಾರಿನ ತಳಹದಿಯ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ ಇದರೊಂದಿಗೆ. ನೇರವಾಗಿ ಮಾಡೋಣ ಎಸ್.ಕೆ, ರೇಖೆಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಎಬಿ. ನೇರ ಎಸ್.ಕೆಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಎ(ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಇದು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಎಬಿ), ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಸಮತಲದ ಯಾವುದೇ ನೇರ ರೇಖೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಎಸ್.ಕೆನೇರ ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಜೊತೆಗೆ. ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ಮೂಲಕ ಸೆಳೆಯೋಣ ಎಬಿಮತ್ತು ಎಸ್.ಕೆವಿಮಾನ ಬಿ(ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳು ಸಮತಲವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಒಂದು). ನೇರ ಜೊತೆಗೆಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಬಿ, ಇದು ಎಸಿಸ್ಥಿತಿಯ ಪ್ರಕಾರ ಮತ್ತು ಎಸ್.ಕೆನಿರ್ಮಾಣದ ಮೂಲಕ, ಇದು ಈ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ ಯಾವುದೇ ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದರ್ಥ, ಅಂದರೆ ಅದು ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಸೂರ್ಯ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಸೂರ್ಯನೇರ ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಜೊತೆಗೆ, ವಿಮಾನದಲ್ಲಿ ಮಲಗಿದೆ ಎ .

ಲಂಬ ಮತ್ತು ಓರೆಯಾದ.

ಲಂಬವಾಗಿರುವ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಕೆಳಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಸಮತಲದ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುದೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಮತ್ತು ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಒಂದು ವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಮಲಗಿರುವ ಈ ವಿಭಾಗದ ಅಂತ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಲಂಬವಾದ ಆಧಾರ .

ಒಲವುಕೊಟ್ಟಿರುವ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಎಳೆದಿರುವುದು ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರದ ಸಮತಲದ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುದೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಯಾವುದೇ ವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಒಂದು ವಿಭಾಗದ ಅಂತ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಇಳಿಜಾರಾದ ಬೇಸ್. ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಎಳೆದ ಇಳಿಜಾರಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಬೇಸ್‌ಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಓರೆಯಾದ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ .

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಒಂದು ರೇಖೆಯ ಭಾಗವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದು ಅವುಗಳ ಛೇದನದ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದರ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಒಂದು ವಿಭಾಗದ ಅಂತ್ಯವನ್ನು ಲಂಬವಾದ ಆಧಾರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೇಖೆಗೆ ಎಳೆಯಲಾದ ಇಳಿಜಾರಿನ ರೇಖೆಯು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವನ್ನು ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಒಂದು ವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ, ಅದು ಅದೇ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೇಖೆಗೆ ಎಳೆಯುವ ಲಂಬದ ಆಧಾರವಲ್ಲ. AB ಸಮತಲ α ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

AC - ಓರೆಯಾದ, CB - ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್.

C ಎಂಬುದು ಇಳಿಜಾರಿನ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ, B ಎಂಬುದು ಲಂಬವಾದ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ.

ನೇರ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ನಡುವಿನ ಕೋನ.

ನೇರ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ನಡುವಿನ ಕೋನಈ ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ ನೇರ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣದ ನಡುವಿನ ಯಾವುದೇ ಕೋನವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಕೋನ.

ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಕೋನ- ಒಂದು ನೇರ ರೇಖೆಯಿಂದ ಹೊರಹೊಮ್ಮುವ ಎರಡು ಅರ್ಧ ಸಮತಲಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಕೃತಿ, ಹಾಗೆಯೇ ಈ ಅರ್ಧ-ವಿಮಾನಗಳಿಂದ ಸೀಮಿತವಾದ ಜಾಗದ ಒಂದು ಭಾಗ. ಅರ್ಧ-ವಿಮಾನಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಂಚುಗಳುಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಕೋನ, ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ನೇರ ರೇಖೆ ಅಂಚು. ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಕೋನಗಳನ್ನು ರೇಖೀಯ ಕೋನದಿಂದ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಅದರ ಅಂಚಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಸಮತಲದೊಂದಿಗೆ ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಕೋನದ ಛೇದಕದಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಕೋನ. ಪ್ರತಿ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್, ನಿಯಮಿತ ಅಥವಾ ಅನಿಯಮಿತ, ಪೀನ ಅಥವಾ ಕಾನ್ಕೇವ್, ಪ್ರತಿ ಅಂಚಿನಲ್ಲಿ ದ್ವಿಮುಖ ಕೋನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಎರಡು ವಿಮಾನಗಳ ಲಂಬತೆ.

ವಿಮಾನಗಳ ಪರ್ಪೆಂಡಿಕ್ಯುಲಾರಿಟಿಯ ಚಿಹ್ನೆ.

ಒಂದು ವಿಮಾನವು ಮತ್ತೊಂದು ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ರೇಖೆಯ ಮೂಲಕ ಹಾದು ಹೋದರೆ, ಈ ವಿಮಾನಗಳು ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ.