ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು. ಲಾಗರಿಥಮ್

ಆದಿಮ ಮಟ್ಟದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಒಂದು ಅಂಶವೆಂದರೆ ಲಾಗರಿಥಮ್. ಈ ಹೆಸರು ಗ್ರೀಕ್ ಭಾಷೆಯಿಂದ "ಸಂಖ್ಯೆ" ಅಥವಾ "ಶಕ್ತಿ" ಎಂಬ ಪದದಿಂದ ಬಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಅಂತಿಮ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ತಳದಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಬೇಕಾದ ಶಕ್ತಿ ಎಂದರ್ಥ.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ವಿಧಗಳು

• ಲಾಗ್ a b - a ಗೆ ಆಧಾರವಾಗಿ b ಸಂಖ್ಯೆಯ ಲಾಗರಿಥಮ್ (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
• ಲಾಗ್ ಬಿ - ದಶಮಾಂಶ ಲಾಗರಿಥಮ್ (ಲಾಗರಿದಮ್ ಟು ಬೇಸ್ 10, a = 10);
• ln b - ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ (ಲಾಗರಿದಮ್ ಟು ಬೇಸ್ e, a = e).

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು?

a ಬೇಸ್‌ಗೆ b ನ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಒಂದು ಘಾತವಾಗಿದ್ದು, ಇದಕ್ಕೆ b ಅನ್ನು ಬೇಸ್‌ಗೆ ಏರಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಉಚ್ಚರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: "ಬಿ ಯ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಟು ಬೇಸ್ ಎ." ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ ನೀವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ನೀಡಿದ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಅಥವಾ ಪರಿಹರಿಸಲು ಕೆಲವು ಮೂಲಭೂತ ನಿಯಮಗಳಿವೆ, ಹಾಗೆಯೇ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಸ್ವತಃ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ, ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅನೇಕ ಇತರ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ, ಲಾಗರಿಥಮ್ಗೆ ಪರಿಹಾರವು ಅದರ ಸರಳೀಕೃತ ಸಂಕೇತವಾಗಿದೆ. ಮೂಲ ಸೂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

ಯಾವುದೇ ಒಂದು; a > 0; a ≠ 1 ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ x ಗೆ; y > 0.

• a log a b = b - ಮೂಲ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಗುರುತು
• ಲಾಗ್ a 1 = 0
• ಲೋಗಾ ಎ = 1
• ಲಾಗ್ a (x y) = ಲಾಗ್ ಎ x + ಲಾಗ್ ಎ ವೈ
• log a x/ y = log a x – log a y
• ಲಾಗ್ a 1/x = -log a x
• log a x p = p log a x
• ಲಾಗ್ a k x = 1/k ಲಾಗ್ a x , k ≠ 0 ಗಾಗಿ
• ಲಾಗ್ ಎ x = ಲಾಗ್ ಎ ಸಿ x ಸಿ
• log a x = log b x/ log b a – ಹೊಸ ನೆಲೆಗೆ ಚಲಿಸುವ ಸೂತ್ರ
• ಲಾಗ್ a x = 1/log x a

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು - ಪರಿಹರಿಸಲು ಹಂತ-ಹಂತದ ಸೂಚನೆಗಳು

• ಮೊದಲು, ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ: ಮೂಲ ಲಾಗರಿಥಮ್ 10 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಮೂದನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ದಶಮಾಂಶ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಇ ಇದ್ದರೆ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅದನ್ನು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗೆ ಇಳಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದರರ್ಥ ಎಲ್ಲಾ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಫಲಿತಾಂಶವು ಬಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಮೂಲ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ.

ನೇರವಾಗಿ, ಈ ಪದವಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರವಿದೆ. ಲಾಗರಿಥಮ್ನೊಂದಿಗೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೊದಲು, ಅದನ್ನು ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ಸರಳಗೊಳಿಸಬೇಕು, ಅಂದರೆ, ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ. ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಸ್ವಲ್ಪ ಹಿಂದಕ್ಕೆ ಹೋಗುವ ಮೂಲಕ ನೀವು ಮುಖ್ಯ ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು.

ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಆದರೆ ಒಂದೇ ಬೇಸ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವಾಗ ಮತ್ತು ಕಳೆಯುವಾಗ, ಕ್ರಮವಾಗಿ b ಮತ್ತು c ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ ಅಥವಾ ವಿಭಜನೆಯೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನೀವು ಇನ್ನೊಂದು ಬೇಸ್ಗೆ ಚಲಿಸುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು (ಮೇಲೆ ನೋಡಿ).

ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಲು ನೀವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ, ಪರಿಗಣಿಸಲು ಕೆಲವು ಮಿತಿಗಳಿವೆ. ಮತ್ತು ಅದು: ಲಾಗರಿಥಮ್ a ನ ಮೂಲವು ಕೇವಲ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಸಂಖ್ಯೆ ಬಿ, a ನಂತೆ, ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರಬೇಕು.

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನೀವು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದ ಸಂದರ್ಭಗಳಿವೆ. ಅಂತಹ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಅರ್ಥವಿಲ್ಲ ಎಂದು ಅದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅನೇಕ ಶಕ್ತಿಗಳು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಆಗಿ ಬಿಡಿ.

ಅದರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಬಿಆಧಾರಿತ ಎಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಬೇಕಾದ ಘಾತ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಬಿ(ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಲಾಗರಿದಮ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ).

ಈ ಸೂತ್ರೀಕರಣದಿಂದ ಅದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ x=log a b, ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ a x =b.ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಲಾಗ್ 2 8 = 3ಏಕೆಂದರೆ 8 = 2 3 . ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ಅದನ್ನು ಸಮರ್ಥಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ b=a c, ನಂತರ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಬಿಆಧಾರಿತ ಎಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಜೊತೆಗೆ. ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ವಿಷಯವು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶಕ್ತಿಗಳ ವಿಷಯಕ್ಕೆ ನಿಕಟವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ, ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಂತೆ, ನೀವು ಮಾಡಬಹುದು ಸಂಕಲನ, ವ್ಯವಕಲನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳುಮತ್ತು ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ರೂಪಾಂತರ. ಆದರೆ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲ ಎಂಬ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ತಮ್ಮದೇ ಆದ ವಿಶೇಷ ನಿಯಮಗಳು ಇಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ, ಅದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮುಖ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಕಳೆಯುವುದು.

ಒಂದೇ ಬೇಸ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ: ಲಾಗ್ ಎ xಮತ್ತು ಲಾಗ್ ಎ ವೈ. ನಂತರ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ:

ಲಾಗ್ a x+ log a y= log a (x·y);

log a x - log a y = log a (x:y).

ಲಾಗ್ ಎ(X 1 . X 2 . X 3 ... x ಕೆ) = ಲಾಗ್ ಎ x 1 + ಲಾಗ್ ಎ x 2 + ಲಾಗ್ ಎ x 3 + ... + ಲಾಗ್ ಎ x ಕೆ.

ಇಂದ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅಂಶ ಪ್ರಮೇಯಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಇನ್ನೂ ಒಂದು ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಲಗ್ಗೆ ಇಡುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಜ್ಞಾನ ಎ 1= 0, ಆದ್ದರಿಂದ

ಲಾಗ್ ಎ 1 /ಬಿ= ಲಾಗ್ ಎ 1 - ಲಾಗ್ ಒಂದು ಬಿ= -ಲಾಗ್ ಒಂದು ಬಿ.

ಇದರರ್ಥ ಸಮಾನತೆ ಇದೆ:

ಲಾಗ್ ಎ 1 / ಬಿ = - ಲಾಗ್ ಎ ಬಿ.

ಎರಡು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳುಅದೇ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ ಕೇವಲ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಪರಸ್ಪರ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ:

ಲಾಗ್ 3 9= - ಲಾಗ್ 3 1 / 9 ; ಲಾಗ್ 5 1 / 125 = -ಲಾಗ್ 5 125.

ಸಮಸ್ಯೆ B7 ಸರಳೀಕರಿಸಬೇಕಾದ ಕೆಲವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಫಲಿತಾಂಶವು ನಿಮ್ಮ ಉತ್ತರ ಪತ್ರಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದಾದ ನಿಯಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಬೇಕು. ಎಲ್ಲಾ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ ಮೂರು ವಿಧಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ:

1. ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್,
2. ಸೂಚಕ,
3. ಸಂಯೋಜಿತ.

ಘಾತೀಯ ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಅವುಗಳ ಶುದ್ಧ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುವುದಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅವುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಸಮಸ್ಯೆ B7 ಅನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ ಪದವೀಧರರ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಕಷ್ಟು ಇರುತ್ತದೆ. ಸ್ಪಷ್ಟ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳ ಕೊರತೆಯನ್ನು ಅದರ ಪ್ರಮಾಣೀಕರಣ ಮತ್ತು ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಸರಿದೂಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಕಷ್ಟು ತರಬೇತಿಯ ಮೂಲಕ ನೀವು ಅಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಕಲಿಯಬಹುದು.

ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು

ಬಹುಪಾಲು B7 ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಒಂದಲ್ಲ ಒಂದು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ. ಈ ವಿಷಯವನ್ನು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ ಕಷ್ಟಕರವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದರ ಅಧ್ಯಯನವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ 11 ನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ - ಅಂತಿಮ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಿಗೆ ಸಾಮೂಹಿಕ ತಯಾರಿಯ ಯುಗ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಅನೇಕ ಪದವೀಧರರು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಬಹಳ ಅಸ್ಪಷ್ಟ ತಿಳುವಳಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ.

ಆದರೆ ಈ ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ ಯಾರಿಗೂ ಆಳವಾದ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಜ್ಞಾನದ ಅಗತ್ಯವಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಸರಳವಾದ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಮತ್ತು ಸುಲಭವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಮಾಸ್ಟರಿಂಗ್ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಸರಳವಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ನಾವು ಎದುರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ನಿಭಾಯಿಸಲು ನೀವು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾದ ಮೂಲ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ನೀವು ಬೇರುಗಳು ಮತ್ತು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಶಕ್ತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಲು ಶಕ್ತರಾಗಿರಬೇಕು, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಕೆಲವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಹೊರತೆಗೆಯಲು ಏನೂ ಇರುವುದಿಲ್ಲ. ಬದಲಿ ಸೂತ್ರಗಳು:

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:
ಲಾಗ್ 6 270 - ಲಾಗ್ 6 7.5
ಲಾಗ್ 5 775 - ಲಾಗ್ 5 6.2

ಮೊದಲ ಎರಡು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
ಲಾಗ್ 6 270 - ಲಾಗ್ 6 7.5 = ಲಾಗ್ 6 (270: 7.5) = ಲಾಗ್ 6 36 = 2;
ಲಾಗ್ 5 775 - ಲಾಗ್ 5 6.2 = ಲಾಗ್ 5 (775: 6.2) = ಲಾಗ್ 5 125 = 3.

ಮೂರನೇ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ನೀವು ಅಧಿಕಾರಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬೇಕು - ಬೇಸ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಎರಡರಲ್ಲೂ. ಮೊದಲಿಗೆ, ಆಂತರಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ನಂತರ - ಬಾಹ್ಯ:

ಲಾಗ್ ಎ ಲಾಗ್ ಬಿ ಎಕ್ಸ್‌ನ ಫಾರ್ಮ್‌ನ ನಿರ್ಮಾಣಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿ ತೋರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅನೇಕರಿಗೆ ತಪ್ಪಾಗಿ ಅರ್ಥೈಸಲಾಗಿದೆ. ಏತನ್ಮಧ್ಯೆ, ಇದು ಕೇವಲ ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಲಾಗ್ ಎ (ಲಾಗ್ ಬಿ ಎಕ್ಸ್). ಮೊದಲಿಗೆ, ಆಂತರಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ (ಲಾಗ್ ಬಿ x = ಸಿ ಅನ್ನು ಹಾಕಿ), ಮತ್ತು ನಂತರ ಬಾಹ್ಯ ಒಂದು: ಲಾಗ್ ಎ ಸಿ.

ಪ್ರದರ್ಶನಾತ್ಮಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು

ನಾವು ರೂಪದ ಯಾವುದೇ ರಚನೆಯನ್ನು ಘಾತೀಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅಲ್ಲಿ a ಮತ್ತು k ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು a > 0. ಅಂತಹ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವ ವಿಧಾನಗಳು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು 8 ನೇ ತರಗತಿಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪಾಠಗಳಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ.

ನೀವು ಖಂಡಿತವಾಗಿ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾದ ಮೂಲಭೂತ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಈ ಸೂತ್ರಗಳ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್, ನಿಯಮದಂತೆ, ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ.

1. a n · a m = a n + m ;
2. a n / a m = a n - m ;
3. (a n) m = a n · m;
4. (a · b ) n = a n · b n ;
5. (ಎ: ಬಿ) ಎನ್ = ಎ ಎನ್: ಬಿ ಎನ್.

ನೀವು ಶಕ್ತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಎದುರಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಸಮೀಪಿಸಬೇಕೆಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ತಂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ - ಸರಳ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ವಿಭಜನೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಅಧಿಕಾರಗಳ ನೆಲೆಗಳಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸರಳ ಮತ್ತು ಅರ್ಥವಾಗುವ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆ - ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುವುದು.

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ: 7 9 · 3 11: 21 8, 24 7: 3 6: 16 5, 30 6: 6 5: 25 2.

ಪರಿಹಾರ. ಅಧಿಕಾರಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಆಧಾರಗಳನ್ನು ಸರಳ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸೋಣ:
7 9 3 11: 21 8 = 7 9 3 11: (7 3) 8 = 7 9 3 11: (7 8 3 8) = 7 9 3 11: 7 8: 3 8 = 7 3 3 = 189.
24 7: 3 6: 16 5 = (3 2 3) 7: 3 6: (2 4) 5 = 3 7 2 21: 3 6: 2 20 = 3 2 = 6.
30 6: 6 5: 25 2 = (5 3 2) 6: (3 2) 5: (5 2) 2 = 5 6 3 6 2 6: 3 5: 2 5: 5 4 = 5 2 3 2 = 150 .

ಸಂಯೋಜಿತ ಕಾರ್ಯಗಳು

ನೀವು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಘಾತೀಯ ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಅಕ್ಷರಶಃ ಒಂದೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಮಸ್ಯೆ B7 ನಲ್ಲಿ ಶಕ್ತಿಗಳು ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಿ ಸಾಕಷ್ಟು ಬಲವಾದ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಬಹುದು.

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್, ಗ್ರಾಫ್, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್, ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್, ಮೂಲ ಸೂತ್ರಗಳು, ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ, ಅವಿಭಾಜ್ಯ, ಶಕ್ತಿ ಸರಣಿಯ ವಿಸ್ತರಣೆ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ln x ಕ್ರಿಯೆಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಮೂಲಭೂತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ y = ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಲ್ಎನ್ ಎಕ್ಸ್, ಘಾತೀಯ ವಿಲೋಮ, x = e y, ಮತ್ತು e ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆಧಾರಕ್ಕೆ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಆಗಿದೆ: ln x = ಲಾಗ್ ಇ x.

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಸರಳವಾದ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: (ln x)′ = 1/ x.

ಆಧಾರಿತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಆಧಾರವು ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ ಇ:
ಇ ≅ 2.718281828459045...;
.

ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ y = ಎಲ್ಎನ್ ಎಕ್ಸ್.

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಗ್ರಾಫ್ (ಕಾರ್ಯಗಳು y = ಎಲ್ಎನ್ ಎಕ್ಸ್ y = x ನೇರ ರೇಖೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಕನ್ನಡಿ ಪ್ರತಿಫಲನದಿಂದ ಘಾತೀಯ ಗ್ರಾಫ್‌ನಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ವೇರಿಯಬಲ್ x ನ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದು ಅದರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ.

x → ನಲ್ಲಿ 0 ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಮಿತಿಯು ಮೈನಸ್ ಇನ್ಫಿನಿಟಿ (-∞) ಆಗಿದೆ.

x → + ∞ ನಂತೆ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಮಿತಿಯು ಅನಂತತೆ (+ ∞) ಆಗಿದೆ. ದೊಡ್ಡ x ಗಾಗಿ, ಲಾಗರಿಥಮ್ ನಿಧಾನವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಪವರ್ ಫಂಕ್ಷನ್ x a ಧನಾತ್ಮಕ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಿಂತ ವೇಗವಾಗಿ ಬೆಳೆಯುತ್ತದೆ.

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್, ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್, ವಿಪರೀತ, ಹೆಚ್ಚಳ, ಇಳಿಕೆ

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಯಾವುದೇ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಮುಖ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ.

ln x ಮೌಲ್ಯಗಳು

ln 1 = 0

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳಿಗೆ ಮೂಲ ಸೂತ್ರಗಳು

ವಿಲೋಮ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರಗಳು:

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಮುಖ್ಯ ಆಸ್ತಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಪರಿಣಾಮಗಳು

ಮೂಲ ಬದಲಿ ಸೂತ್ರ

ಯಾವುದೇ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಮೂಲ ಪರ್ಯಾಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು:

ಈ ಸೂತ್ರಗಳ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು "ಲಾಗರಿಥಮ್" ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ.

ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯ

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ವಿಲೋಮವು ಘಾತವಾಗಿದೆ.

ವೇಳೆ, ನಂತರ

ಒಂದು ವೇಳೆ, ಆಗ.

ಉತ್ಪನ್ನ ln x

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ:
.
ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ x ನ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ:
.
n ನೇ ಕ್ರಮದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ:
.
ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತಿದೆ >>>

ಅವಿಭಾಜ್ಯ

ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಭಾಗಗಳ ಮೂಲಕ ಏಕೀಕರಣದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ:
.
ಆದ್ದರಿಂದ,

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು

ಸಂಕೀರ್ಣ ವೇರಿಯಬಲ್ z ನ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:
.
ಸಂಕೀರ್ಣ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸೋಣ zಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಮೂಲಕ ಆರ್ಮತ್ತು ವಾದ φ :
.
ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:
.
ಅಥವಾ
.
ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ φ ಅನ್ನು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ನೀವು ಹಾಕಿದರೆ
, ಇಲ್ಲಿ n ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕ,
ಇದು ವಿಭಿನ್ನ n ಗೆ ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್, ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ, ಏಕ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯವಲ್ಲ.

ಪವರ್ ಸರಣಿ ವಿಸ್ತರಣೆ

ವಿಸ್ತರಣೆ ಯಾವಾಗ ನಡೆಯುತ್ತದೆ:

ಉಲ್ಲೇಖಗಳು:
ಐ.ಎನ್. ಬ್ರಾನ್‌ಸ್ಟೈನ್, ಕೆ.ಎ. ಸೆಮೆಂಡ್ಯಾವ್, ಇಂಜಿನಿಯರ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಕಾಲೇಜು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಕೈಪಿಡಿ, "ಲ್ಯಾನ್", 2009.

ಪರಿಹಾರ ಯಾರ ಕಾರ್ಯಗಳು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು, ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಸಾಕಷ್ಟು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಕನಿಷ್ಠ ಸಮಯದೊಂದಿಗೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ನಿಭಾಯಿಸಲು, ಮೂಲಭೂತ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಗುರುತುಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ನೀವು ಇನ್ನೂ ಕೆಲವು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಮತ್ತು ಸರಿಯಾಗಿ ಬಳಸಬೇಕು.

ಇದು: ಲಾಗ್ a b = b, ಅಲ್ಲಿ a, b > 0, a ≠ 1 (ಇದು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ನೇರವಾಗಿ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ).

ಲಾಗ್ ಎ ಬಿ = ಲಾಗ್ ಸಿ ಬಿ / ಲಾಗ್ ಸಿ ಎ ಅಥವಾ ಲಾಗ್ ಎ ಬಿ = 1/ಲಾಗ್ ಬಿ ಎ
ಅಲ್ಲಿ a, b, c > 0; a, c ≠ 1.

log a m b n = (m/n) ಲಾಗ್ |a| |b|
ಅಲ್ಲಿ a, b > 0, a ≠ 1, m, n Є R, n ≠ 0.

a log c b = b log c a
ಅಲ್ಲಿ a, b, c > 0 ಮತ್ತು a, b, c ≠ 1

ನಾಲ್ಕನೇ ಸಮಾನತೆಯ ಸಿಂಧುತ್ವವನ್ನು ತೋರಿಸಲು, ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಆಧಾರವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ನಾವು ಲಾಗ್ ಎ (ಬಿ ಜೊತೆ ಲಾಗ್) = ಲಾಗ್ ಎ (ಬಿ ಲಾಗ್ ಜೊತೆಗೆ ಎ) ಅಥವಾ ಲಾಗ್ ಬಿ = ಲಾಗ್ ವಿತ್ ಎ · ಲಾಗ್ ಎ ಬಿ; ಲಾಗ್ ಸಿ ಬಿ = ಲಾಗ್ ಸಿ ಎ · (ಲಾಗ್ ಸಿ ಬಿ / ಲಾಗ್ ಸಿ ಎ); ಬಿ ಜೊತೆ ಲಾಗ್ = ಬಿ ಜೊತೆ ಲಾಗ್.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ, ಅಂದರೆ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಸಹ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಫಾರ್ಮುಲಾ 4 ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1.

81 ಲಾಗ್ 27 5 ಲಾಗ್ 5 4 ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ.

ಪರಿಹಾರ.

81 = 3 4 , 27 = 3 3 .

ಲಾಗ್ 27 5 = 1/3 ಲಾಗ್ 3 5, ಲಾಗ್ 5 4 = ಲಾಗ್ 3 4 / ಲಾಗ್ 3 5. ಆದ್ದರಿಂದ,

ಲಾಗ್ 27 5 ಲಾಗ್ 5 4 = 1/3 ಲಾಗ್ 3 5 (ಲಾಗ್ 3 4 / ಲಾಗ್ 3 5) = 1/3 ಲಾಗ್ 3 4.

ನಂತರ 81 ಲಾಗ್ 27 5 ಲಾಗ್ 5 4 = (3 4) 1/3 ಲಾಗ್ 3 4 = (3 ಲಾಗ್ 3 4) 4/3 = (4) 4/3 = 4 3 √4.

ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕೆಲಸವನ್ನು ನೀವೇ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಬಹುದು.

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ (8 ಲಾಗ್ 2 3 + 3 1/ ಲಾಗ್ 2 3) - ಲಾಗ್ 0.2 5.

ಸುಳಿವಿನಂತೆ, 0.2 = 1/5 = 5 -1 ; ಲಾಗ್ 0.2 5 = -1.

ಉತ್ತರ: 5.

ಉದಾಹರಣೆ 2.

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ (√11) ಲಾಗ್ √3 9- ಲಾಗ್ 121 81

ಪರಿಹಾರ.

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸೋಣ: 9 = 3 2, √3 = 3 1/2, ಲಾಗ್ √3 9 = 4,

121 = 11 2, 81 = 3 4, ಲಾಗ್ 121 81 = 2 ಲಾಗ್ 11 3 (ಸೂತ್ರ 3 ಅನ್ನು ಬಳಸಲಾಗಿದೆ).

ನಂತರ (√11) ಲಾಗ್ √3 9- ಲಾಗ್ 121 81 = (11 1/2) 4-2 ಲಾಗ್ 11 3 = (11) 2- ಲಾಗ್ 11 3 = 11 2 / (11) ಲಾಗ್ 11 3 = 11 2 / ( 11 ಲಾಗ್ 11 3) = 121/3.

ಉದಾಹರಣೆ 3.

ಲಾಗ್ 2 24 / ಲಾಗ್ 96 2 - ಲಾಗ್ 2 192 / ಲಾಗ್ 12 2 ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ನಾವು ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಬೇಸ್ 2 ನೊಂದಿಗೆ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಲಾಗ್ 96 2 = 1/ಲಾಗ್ 2 96 = 1/ಲಾಗ್ 2 (2 5 3) = 1/(ಲಾಗ್ 2 2 5 + ಲಾಗ್ 2 3) = 1/(5 + ಲಾಗ್ 2 3);

ಲಾಗ್ 2 192 = ಲಾಗ್ 2 (2 6 3) = (ಲಾಗ್ 2 2 6 + ಲಾಗ್ 2 3) = (6 + ಲಾಗ್ 2 3);

ಲಾಗ್ 2 24 = ಲಾಗ್ 2 (2 3 3) = (ಲಾಗ್ 2 2 3 + ಲಾಗ್ 2 3) = (3 + ಲಾಗ್ 2 3);

ಲಾಗ್ 12 2 = 1/ಲಾಗ್ 2 12 = 1/ಲಾಗ್ 2 (2 2 3) = 1/(ಲಾಗ್ 2 2 2 + ಲಾಗ್ 2 3) = 1/(2 + ಲಾಗ್ 2 3).

ನಂತರ ಲಾಗ್ 2 24 / ಲಾಗ್ 96 2 – ಲಾಗ್ 2 192 / ಲಾಗ್ 12 2 = (3 + ಲಾಗ್ 2 3) / (1/(5 + ಲಾಗ್ 2 3)) – ((6 + ಲಾಗ್ 2 3) / (1/( 2 + ಲಾಗ್ 2 3)) =

= (3 + ಲಾಗ್ 2 3) · (5 + ಲಾಗ್ 2 3) - (6 + ಲಾಗ್ 2 3) (2 + ಲಾಗ್ 2 3).

ಆವರಣಗಳನ್ನು ತೆರೆದ ನಂತರ ಮತ್ತು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ತಂದ ನಂತರ, ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆ 3 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. (ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುವಾಗ, ನಾವು ಲಾಗ್ 2 3 ಅನ್ನು n ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಬಹುದು

(3 + ಎನ್) · (5 + ಎನ್) - (6 + ಎನ್) (2 + ಎನ್)).

ಉತ್ತರ: 3.

ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀವೇ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಬಹುದು:

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ (ಲಾಗ್ 3 4 + ಲಾಗ್ 4 3 + 2) ಲಾಗ್ 3 16 ಲಾಗ್ 2 144 3.

ಇಲ್ಲಿ ಬೇಸ್ 3 ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳಿಗೆ ಪರಿವರ್ತನೆ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಪವರ್ತನವನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಮಾಡುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಉತ್ತರ: 1/2

ಉದಾಹರಣೆ 4.

ಮೂರು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ A = 1/(ಲಾಗ್ 3 0.5), B = 1/(ಲಾಗ್ 0.5 3), C = ಲಾಗ್ 0.5 12 - ಲಾಗ್ 0.5 3. ಅವುಗಳನ್ನು ಆರೋಹಣ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ.

A = 1/(ಲಾಗ್ 3 0.5) = ಲಾಗ್ 0.5 3 ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ; ಸಿ = ಲಾಗ್ 0.5 12 - ಲಾಗ್ 0.5 3 = ಲಾಗ್ 0.5 12/3 = ಲಾಗ್ 0.5 4 = -2.

ಅವುಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡೋಣ

ಲಾಗ್ 0.5 3 > ಲಾಗ್ 0.5 4 = -2 ಮತ್ತು ಲಾಗ್ 0.5 3< -1 = log 0,5 2, так как функция у = log 0,5 х – убывающая.

ಅಥವಾ 2< log 0,5 3 < -1. Тогда -1 < 1/(log 0,5 3) < -1/2.

ಉತ್ತರ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಇರಿಸುವ ಕ್ರಮವು: ಸಿ; ಎ; IN.

ಉದಾಹರಣೆ 5.

ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿವೆ (ಲಾಗ್ 3 1 / 16 ; ಲಾಗ್ 2 6 48).

ಪರಿಹಾರ.

ಸಂಖ್ಯೆ 3 ರ ಯಾವ ಶಕ್ತಿಗಳ ನಡುವೆ 1/16 ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ. ನಾವು 1/27 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ< 1 / 16 < 1 / 9 .

y = log 3 x ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತಿರುವುದರಿಂದ, ಲಾಗ್ 3 (1 / 27)< log 3 (1 / 16) < log 3 (1 / 9); -3 < log 3 (1 / 16) < -2.

ಲಾಗ್ 6 48 = ಲಾಗ್ 6 (36 4 / 3) = ಲಾಗ್ 6 36 + ಲಾಗ್ 6 (4 / 3) = 2 + ಲಾಗ್ 6 (4 / 3). ಲಾಗ್ 6 (4/3) ಮತ್ತು 1/5 ಅನ್ನು ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡೋಣ. ಮತ್ತು ಇದಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು 4/3 ಮತ್ತು 6 1/5 ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸುತ್ತೇವೆ. ಎರಡೂ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು 5 ನೇ ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸೋಣ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (4 / 3) 5 = 1024 / 243 = 4 52 / 243< 6. Следовательно,

ಲಾಗ್ 6 (4/3)< 1 / 5 . 2 < log 6 48 < 2 1 / 5 . Числа, входящие в двойное неравенство, положительные. Их можно возводить в квадрат. Знаки неравенства при этом не изменятся. Тогда 4 < log 6 2 48 < 4 21 / 25.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಮಧ್ಯಂತರವು (ಲಾಗ್ 3 1 / 16 ; ಲಾಗ್ 6 48) ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ [-2; 4] ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು -2 ಅನ್ನು ಅದರ ಮೇಲೆ ಇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; -1; 0; 1; 2; 3; 4.

ಉತ್ತರ: 7 ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು.

ಉದಾಹರಣೆ 6.

3 lglg 2/ lg 3 - lg20 ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ.

ಪರಿಹಾರ.

3 lg lg 2/ lg 3 = (3 1/ lg3) lg lg 2 = (3 lо g 3 10) lg lg 2 = 10 lg lg 2 = lg2.

ನಂತರ 3 lglg2/lg3 - lg 20 = lg 2 – lg 20 = lg 0.1 = -1.

ಉತ್ತರ:-1.

ಉದಾಹರಣೆ 7.

ಲಾಗ್ 2 (√3 + 1) + ಲಾಗ್ 2 (√6 – 2) = A. ಲಾಗ್ 2 (√3 –1) + ಲಾಗ್ 2 (√6 + 2) ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ಸಂಖ್ಯೆಗಳು (√3 + 1) ಮತ್ತು (√3 - 1); (√6 – 2) ಮತ್ತು (√6 + 2) ಸಂಯೋಜಿತವಾಗಿವೆ.

ನಾವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳೋಣ

√3 – 1 = (√3 – 1) · (√3 + 1)) / (√3 + 1) = 2/(√3 + 1);

√6 + 2 = (√6 + 2) · (√6 – 2)) / (√6 – 2) = 2/(√6 – 2).

ನಂತರ ಲಾಗ್ 2 (√3 – 1) + ಲಾಗ್ 2 (√6 + 2) = ಲಾಗ್ 2 (2/(√3 + 1)) + ಲಾಗ್ 2 (2/(√6 – 2)) =

ಲಾಗ್ 2 2 – ಲಾಗ್ 2 (√3 + 1) + ಲಾಗ್ 2 2 – ಲಾಗ್ 2 (√6 – 2) = 1 – ಲಾಗ್ 2 (√3 + 1) + 1 – ಲಾಗ್ 2 (√6 – 2) =

2 – ಲಾಗ್ 2 (√3 + 1) – ಲಾಗ್ 2 (√6 – 2) = 2 – A.

ಉತ್ತರ: 2 - ಎ.

ಉದಾಹರಣೆ 8.

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಿ ಮತ್ತು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ (ಲಾಗ್ 3 2 ಲಾಗ್ 4 3 ಲಾಗ್ 5 4 ಲಾಗ್ 6 5 ... ಲಾಗ್ 10 9.

ಪರಿಹಾರ.

ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬೇಸ್ 10 ಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡೋಣ.

(ಲಾಗ್ 3 2 ಲಾಗ್ 4 3 ಲಾಗ್ 5 4 ಲಾಗ್ 6 5 ... ಲಾಗ್ 10 9 = (lg 2 / lg 3) (lg 3 / lg 4) (lg 4 / lg 5) (lg 5 / lg 6) · … · (lg 8 / lg 9) · lg 9 = lg 2 ≈ 0.3010 (lg 2 ನ ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಟೇಬಲ್, ಸ್ಲೈಡ್ ನಿಯಮ ಅಥವಾ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಬಳಸಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು).

ಉತ್ತರ: 0.3010.

ಉದಾಹರಣೆ 9.

ಲಾಗ್ √ a b 3 = 1 ಆಗಿದ್ದರೆ ಲಾಗ್ a 2 b 3 √(a 11 b -3) ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ. (ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, a 2 b 3 ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ).

ಪರಿಹಾರ.

ಲಾಗ್ √ a b 3 = 1 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ 3/(0.5 log a b = 1. ಮತ್ತು ಲಾಗ್ a b = 1/6.

ನಂತರ ಲಾಗ್ a 2 b 3√(a 11 b -3) = 1/2 log a 2 b 3 (a 11 b -3) = log a (a 11 b -3) / (2log a (a 2 b 3) ) = (log a 11 + log a b -3) / (2(log a a 2 + log a b 3)) = (11 – 3log a b) / (2(2 + 3log a b)) ಆ ಲಾಗ್ a b = 1/ 6 ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (11 - 3 1 / 6) / (2(2 + 3 1 / 6)) = 10.5/5 = 2.1.

ಉತ್ತರ: 2.1.

ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀವೇ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಬಹುದು:

ಲಾಗ್ √3 6 √2.1 ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ ಲಾಗ್ 0.7 27 = a.

ಉತ್ತರ: (3 + ಎ) / (3 ಎ).

ಉದಾಹರಣೆ 10.

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ 6.5 4/ ಲಾಗ್ 3 169 · 3 1/ ಲಾಗ್ 4 13 + ಲಾಗ್125.

ಪರಿಹಾರ.

6.5 4/ ಲಾಗ್ 3 169 · 3 1/ ಲಾಗ್ 4 13 + ಲಾಗ್ 125 = (13/2) 4/2 ಲಾಗ್ 3 13 · 3 2/ ಲಾಗ್ 2 13 + 2 ಲಾಗ್ 5 5 3 = (13/2) 2 ಲಾಗ್ 13 3 3 2 ಲಾಗ್ 13 2 + 6 = (13 ಲಾಗ್ 13 3 / 2 ಲಾಗ್ 13 3) 2 (3 ಲಾಗ್ 13 2) 2 + 6 = (3/2 ಲಾಗ್ 13 3) 2 (3 ಲಾಗ್ 13 2) 2 + 6 = ( 3 2 /(2 ಲಾಗ್ 13 3) 2) · (2 ​​ಲಾಗ್ 13 3) 2 + 6.

(2 ಲಾಗ್ 13 3 = 3 ಲಾಗ್ 13 2 (ಸೂತ್ರ 4))

ನಾವು 9 + 6 = 15 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಉತ್ತರ: 15.

ಇನ್ನೂ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿವೆಯೇ? ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂದು ಖಚಿತವಾಗಿಲ್ಲವೇ?
ಬೋಧಕರಿಂದ ಸಹಾಯ ಪಡೆಯಲು -.
ಮೊದಲ ಪಾಠ ಉಚಿತ!

blog.site, ವಸ್ತುವನ್ನು ಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅಥವಾ ಭಾಗಶಃ ನಕಲಿಸುವಾಗ, ಮೂಲ ಮೂಲಕ್ಕೆ ಲಿಂಕ್ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.