ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಮತ್ತು ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು. ಕ್ರಿಯೆಯ ವಿರೋಧಿ

ಉತ್ಪನ್ನವು ಹಲವಾರು ಉಪಯೋಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡಿದ್ದೇವೆ: ಉತ್ಪನ್ನವು ಚಲನೆಯ ವೇಗವಾಗಿದೆ (ಅಥವಾ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ವೇಗ); ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ ಇಳಿಜಾರುಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ; ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನೀವು ಏಕತಾನತೆ ಮತ್ತು ತೀವ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು; ಉತ್ಪನ್ನವು ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಆದರೆ ಒಳಗೆ ನಿಜ ಜೀವನವಿಲೋಮ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಹ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ: ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ತಿಳಿದಿರುವ ಚಲನೆಯ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ವೇಗವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಜೊತೆಗೆ, ತಿಳಿದಿರುವ ವೇಗದ ಪ್ರಕಾರ ಚಲನೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಮರುಸ್ಥಾಪಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಯೂ ಇದೆ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 1.ನೇರ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ ವಸ್ತು ಬಿಂದು, t ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಅದರ ಚಲನೆಯ ವೇಗವನ್ನು u = tg ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಚಲನೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ. s = s(t) ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಚಲನೆಯ ನಿಯಮವಾಗಿರಲಿ. s"(t) = u"(t) ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ಇದರರ್ಥ ನೀವು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬೇಕಾದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಕಾರ್ಯ s = s(t), ಇದರ ಉತ್ಪನ್ನವು tg ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎಂದು ಊಹಿಸುವುದು ಕಷ್ಟವೇನಲ್ಲ

ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಅಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ತಕ್ಷಣ ಗಮನಿಸೋಣ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಸಮಸ್ಯೆಯು ಅನಂತ ಅನೇಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ: ರೂಪದ ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕವು ಚಲನೆಯ ನಿಯಮವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಮಾಡಲು, ನಾವು ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ: ಕೆಲವು ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುವ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವನ್ನು ಸೂಚಿಸಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, t=0 ನಲ್ಲಿ. s(0) = s 0 ಎಂದು ಹೇಳಿದರೆ, ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ನಾವು s(0) = 0 + C, ಅಂದರೆ S 0 = C ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಈಗ ಚಲನೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ:
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಪರಸ್ಪರ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ವಿವಿಧ ಹೆಸರುಗಳು, ವಿಶೇಷ ಸಂಕೇತಗಳೊಂದಿಗೆ ಬನ್ನಿ: ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವರ್ಗೀಕರಣ (x 2) ಮತ್ತು ಹೊರತೆಗೆಯುವಿಕೆ ವರ್ಗ ಮೂಲಸೈನ್(ಸಿನ್ಹೆಚ್) ಮತ್ತು ಆರ್ಕ್ಸೈನ್(ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ x), ಇತ್ಯಾದಿ. ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆವಿಭಿನ್ನತೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆ, ಅಂದರೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ - ಏಕೀಕರಣ.
"ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು "ದೈನಂದಿನ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ" ಸಮರ್ಥಿಸಬಹುದು: ಕಾರ್ಯ y - f(x) "ಅಸ್ತಿತ್ವಕ್ಕೆ ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ" ನವೀನ ಲಕ್ಷಣಗಳು y"= f"(x) y = f(x) ಕಾರ್ಯವು "ಪೋಷಕ" ವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಗಣಿತಜ್ಞರು, ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ, ಇದನ್ನು "ಪೋಷಕ" ಅಥವಾ "ನಿರ್ಮಾಪಕ" ಎಂದು ಕರೆಯುವುದಿಲ್ಲ, ಅವರು ಅದನ್ನು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ ಕಾರ್ಯ y"=f"(x), ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಚಿತ್ರ, ಅಥವಾ, ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ, ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1. y = F(x) ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು y = f(x) ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಒಂದು ವೇಳೆ X ನಿಂದ ಎಲ್ಲಾ x ಗೆ ಸಮಾನತೆ F"(x)=f(x) ಅನ್ನು ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಮಧ್ಯಂತರ X ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಡೊಮೇನ್ ಆಗಿ).

ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಇಲ್ಲಿವೆ:

1) y = x 2 ಕಾರ್ಯವು y = 2x ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಆಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ x ಸಮಾನತೆ (x 2)" = 2x ನಿಜವಾಗಿದೆ.
2) y - x 3 ಕಾರ್ಯವು y-3x 2 ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಆಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ x ಸಮಾನತೆ (x 3)" = 3x 2 ನಿಜವಾಗಿದೆ.
3) y-sinх ಕಾರ್ಯವು y = cosx ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಆಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ x ಸಮಾನತೆ (ಸಿಂಕ್ಸ್)" = cosx ನಿಜವಾಗಿದೆ.
4) ಎಲ್ಲಾ x > 0 ಗೆ ಸಮಾನತೆಯು ನಿಜವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಕಾರ್ಯವು ವಿರೋಧಿಯಾಗಿದೆ
ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು, ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಸೂತ್ರಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಕಂಪೈಲ್ ಮಾಡುವುದು ಕಷ್ಟವೇನಲ್ಲ.

ಈ ಟೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಹೇಗೆ ಸಂಕಲಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡಿದ್ದೀರಿ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ: ಎರಡನೇ ಕಾಲಮ್‌ನಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾದ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಮೊದಲ ಕಾಲಮ್‌ನ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾದ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಇದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ, ಸೋಮಾರಿಯಾಗಬೇಡಿ, ಇದು ತುಂಬಾ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ). ಉದಾಹರಣೆಗೆ, y = x 5 ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್, ನೀವು ಸ್ಥಾಪಿಸಿದಂತೆ, ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ (ಟೇಬಲ್ನ ನಾಲ್ಕನೇ ಸಾಲನ್ನು ನೋಡಿ).

ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು: 1. ಕೆಳಗೆ ನಾವು y = F(x) ಎಂಬುದು y = f(x) ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, y = f(x) ಕಾರ್ಯವು ಅನಂತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಅವೆಲ್ಲವೂ y = ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂಬ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ. F(x ) + C. ಆದ್ದರಿಂದ, ಟೇಬಲ್‌ನ ಎರಡನೇ ಕಾಲಮ್‌ನಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲೆಡೆ C ಪದವನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಸರಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ C ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.
2. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತತೆಯ ಸಲುವಾಗಿ, ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಪದಗುಚ್ಛದ ಬದಲಿಗೆ "y = F(x) ಕಾರ್ಯವು y = f(x) ಕ್ರಿಯೆಯ ಪ್ರತಿಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ," F(x) ಎಂಬುದು f(x) ನ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ. ."

2. ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ನಿಯಮಗಳು

ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾಗ, ಹಾಗೆಯೇ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾಗ, ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಅವುಗಳನ್ನು ಪುಟ 196 ರಲ್ಲಿ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ), ಆದರೆ ಕೆಲವು ನಿಯಮಗಳು. ಅವು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ನಿಯಮಗಳಿಗೆ ನೇರವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ.

ಮೊತ್ತದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಈ ನಿಯಮವು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಅನುಗುಣವಾದ ನಿಯಮವನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತದೆ.

ನಿಯಮ 1.ಮೊತ್ತದ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಈ ಸೂತ್ರೀಕರಣದ ಸ್ವಲ್ಪ "ಲಘುತೆ" ಗೆ ನಾವು ನಿಮ್ಮ ಗಮನವನ್ನು ಸೆಳೆಯುತ್ತೇವೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಒಬ್ಬರು ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ರೂಪಿಸಬೇಕು: y = f(x) ಮತ್ತು y = g(x) ಕಾರ್ಯಗಳು X ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಕ್ರಮವಾಗಿ y-F(x) ಮತ್ತು y-G(x), ನಂತರ y ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತ = f(x)+g(x) ಮಧ್ಯಂತರ X ನಲ್ಲಿ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು ಈ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ y = F(x)+G(x) ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ನಿಯಮಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುವಾಗ (ಮತ್ತು ಪ್ರಮೇಯಗಳಲ್ಲ), ಅವರು ಮಾತ್ರ ಬಿಡುತ್ತಾರೆ ಕೀವರ್ಡ್ಗಳು- ಇದು ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಉದಾಹರಣೆ 2. y = 2x + cos x ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ. 2x ಗಾಗಿ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ x" ಆಗಿದೆ; ಕಾಕ್ಸ್‌ಗೆ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಎಂದರೆ sin x. ಇದರರ್ಥ y = 2x + cos x ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ y = x 2 + sin x (ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ರೂಪದ ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ Y = x 1 + sinx + C) .
ಅದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ ಸ್ಥಿರ ಅಂಶವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಹೊರತೆಗೆಯಬಹುದು. ಈ ನಿಯಮವು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಅನುಗುಣವಾದ ನಿಯಮವನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತದೆ.

ನಿಯಮ 2.ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸ್ಥಿರ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ 3.

ಪರಿಹಾರ. a) ಸಿನ್ x ಗೆ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಎಂದರೆ -soz x; ಇದರರ್ಥ y = 5 sin x ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಫಂಕ್ಷನ್ y = -5 cos x ಕಾರ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

b) cos x ಗಾಗಿ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಎಂದರೆ sin x; ಇದರರ್ಥ ಕ್ರಿಯೆಯ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ
c) x 3 ಗಾಗಿ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ x ಗಾಗಿ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಆಗಿದೆ, y = 1 ಫಂಕ್ಷನ್‌ಗೆ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ y = x ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದರಿಂದ, y = 12x 3 + 8x-1 ಕ್ರಿಯೆಯ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.
ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ.ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ (ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ವಿಭಿನ್ನಗೊಳಿಸುವ ನಿಯಮವು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ) ಮತ್ತು ಅಂಶದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಉತ್ಪನ್ನದ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಅಥವಾ ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಂಶದ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಯಾವುದೇ ನಿಯಮಗಳಿಲ್ಲ. ಜಾಗರೂಕರಾಗಿರಿ!
ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು ಇನ್ನೊಂದು ನಿಯಮವನ್ನು ಪಡೆಯೋಣ. y = f(kx+m) ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ

ಈ ನಿಯಮವು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಅನುಗುಣವಾದ ನಿಯಮವನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತದೆ.
ನಿಯಮ 3. y = F(x) ಎಂಬುದು y = f(x) ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ y=f(kx+m) ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ,

ಇದರರ್ಥ ಇದು y = f(kx+m) ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಆಗಿದೆ.
ಮೂರನೆಯ ನಿಯಮದ ಅರ್ಥವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ. y = f(x) ಕ್ರಿಯೆಯ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಎಂಬುದು y = F(x) ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ನೀವು y = f(kx+m) ಕ್ರಿಯೆಯ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾದರೆ, ಈ ರೀತಿ ಮುಂದುವರಿಯಿರಿ: ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ ಅದೇ ಫಂಕ್ಷನ್ F, ಆದರೆ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ x ಬದಲಿಗೆ, kx+m ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬದಲಿಸಿ; ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಕಾರ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯ ಮೊದಲು "ತಿದ್ದುಪಡಿ ಅಂಶ" ಬರೆಯಲು ಮರೆಯಬೇಡಿ
ಉದಾಹರಣೆ 4.ನೀಡಿರುವ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ಪರಿಹಾರ, a) sin x ಗಾಗಿ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ -soz x ಆಗಿದೆ; ಇದರರ್ಥ y = sin2x ಫಂಕ್ಷನ್‌ಗೆ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ
b) cos x ಗಾಗಿ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಸಿನ್ x ಆಗಿದೆ; ಇದರರ್ಥ ಕ್ರಿಯೆಯ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ

c) x 7 ಗಾಗಿ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಎಂದರೆ y = (4-5x) 7 ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ

3. ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ y = f(x) ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಮೇಲೆ ಗಮನಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ಚರ್ಚಿಸೋಣ.

ಪುರಾವೆ. 1. X ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ y = f(x) ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ y = F(x) ಪ್ರತಿಉತ್ಪನ್ನವಾಗಲಿ. ಇದರರ್ಥ X ನಿಂದ ಎಲ್ಲಾ x ಗೆ ಸಮಾನತೆ x"(x) = f(x) ಹೊಂದಿದೆ. ನಾವು y = F(x)+C ರೂಪದ ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:
(F(x) +C) = F"(x) +C = f(x) +0 = f(x).

ಆದ್ದರಿಂದ, (F(x)+C) = f(x). ಇದರರ್ಥ y = F(x) + C ಎಂಬುದು y = f(x) ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಒಂದು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಆಗಿದೆ.
ಹೀಗಾಗಿ, y = f(x) ಕಾರ್ಯವು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ y=F(x) ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಕಾರ್ಯವು (f = f(x) ಅನಂತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, y = ರೂಪದ ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯ F(x) +C ಒಂದು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಆಗಿದೆ.
2. ಈಗ ನಾವು ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಪ್ರಕಾರಕಾರ್ಯಗಳು, ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸೆಟ್ ದಣಿದಿದೆ.

X ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ Y = f(x) ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ y=F 1 (x) ಮತ್ತು y=F(x) ಎರಡು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳಾಗಿರಲಿ. ಇದರರ್ಥ X ಮಧ್ಯಂತರ X ನಿಂದ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧಗಳು ಹಿಡಿದಿರುತ್ತವೆ: F^ ( x) = f (X); F"(x) = f(x).

y = F 1 (x) -.F(x) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ: (F, (x) -F(x))" = F[(x)-F(x) = f(x ) - f(x) = 0.
ಮಧ್ಯಂತರ X ನಲ್ಲಿನ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಕಾರ್ಯವು ಮಧ್ಯಂತರ X ನಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ (§ 35 ರಿಂದ ಪ್ರಮೇಯ 3 ಅನ್ನು ನೋಡಿ). ಇದರರ್ಥ F 1 (x) - F (x) = C, ಅಂದರೆ. Fx) = F(x)+C.

ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 5.ಸಮಯದೊಂದಿಗೆ ವೇಗದ ಬದಲಾವಣೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ: v = -5sin2t. t=0 ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವು ಸಂಖ್ಯೆ 1.5 (ಅಂದರೆ s(t) = 1.5) ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ಚಲನೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಹುಡುಕಿ s = s(t).

ಪರಿಹಾರ.ವೇಗವು ಸಮಯದ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಮೊದಲು ವೇಗದ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು, ಅಂದರೆ. v = -5sin2t ಫಂಕ್ಷನ್‌ಗಾಗಿ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್. ಅಂತಹ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳ ಸೆಟ್ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ಹುಡುಕಲು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅರ್ಥಸ್ಥಿರ ಸಿ, ಬಳಸೋಣ ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು, ಅದರ ಪ್ರಕಾರ, s(0) = 1.5. t=0, S = 1.5 ಅನ್ನು ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ (1) ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

C ಯ ಕಂಡುಬರುವ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ (1) ಬದಲಿಸಿ, ನಮಗೆ ಆಸಕ್ತಿಯಿರುವ ಚಲನೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2.ಒಂದು ಫಂಕ್ಷನ್ y = f(x) ಒಂದು ಮಧ್ಯಂತರ X ನಲ್ಲಿ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ y = F(x) ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಎಲ್ಲಾ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳ ಸೆಟ್, ಅಂದರೆ. y = F(x) + C ರೂಪದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಂಪನ್ನು y = f(x) ಕಾರ್ಯದ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ:

(ಓದಿ:" ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ef ನಿಂದ x de x").
ಮುಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ನಾವು ಏನೆಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ ಗುಪ್ತ ಅರ್ಥಸೂಚಿಸಿದ ಪದನಾಮ.
ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಲಭ್ಯವಿರುವ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ನಾವು ಮುಖ್ಯ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಕಂಪೈಲ್ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:

ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಮೇಲಿನ ಮೂರು ನಿಯಮಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ನಾವು ಅನುಗುಣವಾದ ಏಕೀಕರಣ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಬಹುದು.

ನಿಯಮ 1.ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆಈ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು:

ನಿಯಮ 2.ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸ್ಥಿರ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು:

ನಿಯಮ 3.ಒಂದು ವೇಳೆ

ಉದಾಹರಣೆ 6.ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ಪರಿಹಾರ, ಎ) ಏಕೀಕರಣದ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಈಗ ನಾವು 3 ನೇ ಮತ್ತು 4 ನೇ ಏಕೀಕರಣ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸೋಣ:

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಬಿ) ಏಕೀಕರಣದ ಮೂರನೇ ನಿಯಮ ಮತ್ತು ಸೂತ್ರ 8 ಅನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಸಿ) ಫಾರ್ ತಕ್ಷಣದ ಸ್ಥಳನೀಡಿರುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ, ನಾವು ಅನುಗುಣವಾದ ಸೂತ್ರ ಅಥವಾ ಅನುಗುಣವಾದ ನಿಯಮವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಪೂರ್ವ ಮರಣದಂಡನೆ ಗುರುತಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳುಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ.

ಪ್ರಯೋಜನ ಪಡೆಯೋಣ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸೂತ್ರಪದವಿ ಕಡಿತ:

ನಂತರ ನಾವು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ಎ.ಜಿ. ಮೊರ್ಡ್ಕೊವಿಚ್ ಆಲ್ಜೀಬ್ರಾ 10 ನೇ ತರಗತಿ

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಕ್ಯಾಲೆಂಡರ್-ವಿಷಯಾಧಾರಿತ ಯೋಜನೆ, ವೀಡಿಯೊಗಣಿತ ಆನ್‌ಲೈನ್‌ನಲ್ಲಿ, ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಗಣಿತ

ಗುರಿ:

ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ರಚನೆ.
ಸಮಗ್ರತೆಯ ಗ್ರಹಿಕೆಗೆ ತಯಾರಿ.
ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್ ಕೌಶಲ್ಯಗಳ ರಚನೆ.
ಸೌಂದರ್ಯದ ಪ್ರಜ್ಞೆಯನ್ನು ಬೆಳೆಸುವುದು (ಅಸಾಧಾರಣವಾಗಿ ಸೌಂದರ್ಯವನ್ನು ನೋಡುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ).

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಮೀಸಲಾದ ಗಣಿತದ ಶಾಖೆಗಳ ಒಂದು ಗುಂಪಾಗಿದೆ.

ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ನಾವು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ಎಂಬ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಶಾಖೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ, ಅದರ ಸಾರವು "ಸಣ್ಣ" ದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಧ್ಯಯನವಾಗಿದೆ.

ಆ. ಪ್ರತಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಬಿಂದುವಿನ ಸಾಕಷ್ಟು ಸಣ್ಣ ನೆರೆಹೊರೆಗಳಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯದ ಅಧ್ಯಯನ. ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ವ್ಯತ್ಯಾಸ - ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದುವ್ಯುತ್ಪನ್ನ (ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್) ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್.

ಕಡಿಮೆ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆ ಇಲ್ಲ ವಿಲೋಮ ಸಮಸ್ಯೆ. ಅದರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಸಮೀಪದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ನಡವಳಿಕೆಯು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ಒಬ್ಬನು ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೇಗೆ ಪುನರ್ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ. ಅದರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಸಂಪೂರ್ಣ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಅಧ್ಯಯನದ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ.

ಏಕೀಕರಣವು ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ವಿಲೋಮ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ. ಅಥವಾ ನೀಡಲಾದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ f`(x) ನಿಂದ f(x) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಮರುಸ್ಥಾಪಿಸುವುದು. ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಪದ"ಇಂಟೆಗ್ರೊ" ಎಂದರೆ ಪುನಃಸ್ಥಾಪನೆ.

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 1.

ಲೆಟ್ (x)`=3x 2.
ಎಫ್ (x) ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

ಪರಿಹಾರ:

ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ನಿಯಮದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, f(x) = x 3 ಎಂದು ಊಹಿಸಲು ಕಷ್ಟವಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ (x 3)` = 3x 2
ಆದಾಗ್ಯೂ, f(x) ಅನನ್ಯವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನೀವು ಸುಲಭವಾಗಿ ಗಮನಿಸಬಹುದು.
f(x) ಎಂದು ನಾವು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು
f(x)= x 3 +1
f(x)= x 3 +2
f(x)= x 3 -3, ಇತ್ಯಾದಿ.

ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು 3x 2 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. (ಸ್ಥಿರದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು 0 ಆಗಿದೆ). ಈ ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸ್ಥಿರ ಪದದಿಂದ ಪರಸ್ಪರ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಅದಕ್ಕೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿರ್ಧಾರಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು f(x)= x 3 +C ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು, ಇಲ್ಲಿ C ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿರ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.

ಕಂಡುಬರುವ ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು f(x) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪ್ರಿಮೋಡಿಯಮ್ F`(x)= 3x 2 ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಈ ಮಧ್ಯಂತರ F`(x)= f(x) ನಿಂದ ಎಲ್ಲಾ x ಗಾಗಿ ನೀಡಲಾದ ಮಧ್ಯಂತರ J ನಲ್ಲಿ F(x) ಫಂಕ್ಷನ್‌ಗೆ F(x) ಅನ್ನು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ F(x)=x 3 ಕಾರ್ಯವು f(x)=3x 2 ರಂದು (- ∞ ; ∞) ಗಾಗಿ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಆಗಿದೆ.
ಎಲ್ಲಾ x ~R ಸಮಾನತೆ ನಿಜವಾಗಿರುವುದರಿಂದ: F`(x)=(x 3)`=3x 2

ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಗಮನಿಸಿದಂತೆ, ಈ ಕಾರ್ಯಇದು ಹೊಂದಿದೆ ಅನಂತ ಸೆಟ್ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ಸ್ (ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 1 ನೋಡಿ).

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 2. F(x)=x ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಲ್ಲಾ f(x)= 1/x ಗೆ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಆಗಿದ್ದು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (0; +), ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ಎಲ್ಲಾ x ಗೆ ಸಮಾನತೆ ಇರುತ್ತದೆ.
F`(x)= (x 1/2)`=1/2x -1/2 =1/2x

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 3. F(x)=tg3x ಕಾರ್ಯವು f(x)=3/cos3x ಗಾಗಿ ಮಧ್ಯಂತರ (-n/ 2; ಪ/ 2),
ಏಕೆಂದರೆ F`(x)=(tg3x)`= 3/cos 2 3x

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 4. F(x)=3sin4x+1/x-2 ಕಾರ್ಯವು f(x)=12cos4x-1/x 2 ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (0;∞)
ಏಕೆಂದರೆ F`(x)=(3sin4x)+1/x-2)`= 4cos4x-1/x 2

ಉಪನ್ಯಾಸ 2.

ವಿಷಯ: ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್. ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮುಖ್ಯ ಆಸ್ತಿ.

ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಅನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸುತ್ತೇವೆ. ಕ್ರಿಯೆಯ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಚಿಹ್ನೆ: ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ J ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ Ψ(x) 0 ಗೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ Ψ(x) ಕಾರ್ಯವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಈ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಬಹುದು.

Ψ`(x)=tgα, γde α ಎಂಬುದು abscissa x 0 ಇರುವ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ Ψ(x) ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. J ಮಧ್ಯಂತರದ ಯಾವುದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ Ψ`(υ)=0 ಆಗಿದ್ದರೆ, Ψ(x) ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಯಾವುದೇ ಸ್ಪರ್ಶಕಕ್ಕೆ tanα=0 δ ಇದರರ್ಥ ಯಾವುದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಆನ್ ನಿಗದಿತ ಮಧ್ಯಂತರΨ(x) ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ನೇರ ರೇಖೆಯ ವಿಭಾಗ y=C ನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, f(x)=c ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ f`(x)=0 ಆಗಿದ್ದರೆ J ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಮಧ್ಯಂತರ J ಯಿಂದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ x 1 ಮತ್ತು x 2 ಗಾಗಿ, ಕ್ರಿಯೆಯ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದ ಮೇಲೆ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಬರೆಯಬಹುದು:
f(x 2) - f(x 1) = f`(c) (x 2 - x 1), ಏಕೆಂದರೆ f`(c)=0, ನಂತರ f(x 2)= f(x 1)

ಪ್ರಮೇಯ: (ವಿರೋಧಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮುಖ್ಯ ಆಸ್ತಿ)

J ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ f(x) ಫಂಕ್ಷನ್‌ಗೆ F(x) ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಕ್ರಿಯೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳ ಸೆಟ್ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ: F(x)+C, ಇಲ್ಲಿ C ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಪುರಾವೆ:

x Є J ಗಾಗಿ F`(x) = f (x), ನಂತರ (F(x)+C)`= F`(x)+C`= f (x), ಎಂದು ಬಿಡಿ.
Φ(x) ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ - ಮಧ್ಯಂತರ J ನಲ್ಲಿ f (x) ಗಾಗಿ ಮತ್ತೊಂದು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್, ಅಂದರೆ. Φ`(x) = f (x),
ನಂತರ (Φ(x) - F(x))` = f (x) – f (x) = 0, x Є J ಗಾಗಿ.
ಇದರರ್ಥ Φ(x) - F(x) ಮಧ್ಯಂತರ J ನಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಆದ್ದರಿಂದ, Φ(x) - F(x) = C.
ಎಲ್ಲಿಂದ Φ(x)= F(x)+C.
ಇದರರ್ಥ J ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ f (x) ಫಂಕ್ಷನ್‌ಗೆ F(x) ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಕಾರ್ಯದ ಎಲ್ಲಾ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳ ಸೆಟ್ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ: F(x)+C, ಇಲ್ಲಿ C ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ.
ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ರಿಯೆಯ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳು ಸ್ಥಿರ ಪದದಿಂದ ಪರಸ್ಪರ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ: f (x) = cos x ಕ್ರಿಯೆಯ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಹುಡುಕಿ. ಮೊದಲ ಮೂರರ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:ಸಿನ್ x ಎಂಬುದು f (x) = cos x ಕ್ರಿಯೆಯ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ
F(x) = Sin x+C – ಎಲ್ಲಾ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳ ಸೆಟ್.

ಎಫ್ 1 (x) = ಸಿನ್ x-1
ಎಫ್ 2 (x) = ಸಿನ್ x
ಎಫ್ 3 (x) = ಸಿನ್ x+1

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿವರಣೆ:ಯಾವುದೇ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ F(x)+C ನ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು r (0;c) ನ ಸಮಾನಾಂತರ ವರ್ಗಾವಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ F(x) ನ ಗ್ರಾಫ್‌ನಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ: f (x) = 2x ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ, t.M (1;4) ಮೂಲಕ ಗ್ರಾಫ್ ಹಾದುಹೋಗುವ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಪರಿಹಾರ: F(x)=x 2 +C – ಎಲ್ಲಾ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳ ಸೆಟ್, F(1)=4 - ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಪ್ರಕಾರ.
ಆದ್ದರಿಂದ, 4 = 1 2 + ಸಿ
C = 3
F(x) = x 2 +3

ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.

ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (a; b) ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ f(x) ನ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಒಂದು ಫಂಕ್ಷನ್ F(x) ಆಗಿದ್ದು, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ಯಾವುದೇ x ಗೆ ಸಮಾನತೆ ಇರುತ್ತದೆ.

ಸ್ಥಿರ C ಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ನಾವು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ಸಮಾನತೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ . ಹೀಗಾಗಿ, f(x) ಕ್ರಿಯೆಯು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರ C ಗಾಗಿ F(x)+C ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಈ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಪರಸ್ಪರ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.

ಎಫ್(x) ಕ್ರಿಯೆಯ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗುಂಪನ್ನು ಈ ಕಾರ್ಯದ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ .

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಮಗ್ರ, ಮತ್ತು f(x) - ಸಮಗ್ರ ಕಾರ್ಯ. ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ ಎಫ್(x) ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ.

ಅಜ್ಞಾತ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅದರ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ನೀಡುವ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅನಿಶ್ಚಿತಏಕೀಕರಣ, ಏಕೆಂದರೆ ಏಕೀಕರಣದ ಫಲಿತಾಂಶವು ಒಂದು ಕಾರ್ಯ F(x) ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅದರ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ಸ್ F(x)+C.

ಉತ್ಪನ್ನದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ಒಬ್ಬರು ರೂಪಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು(ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು).

ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯತೆಯ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಮಧ್ಯಂತರ ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಮೂರನೇ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, ಸಮಾನತೆಗಳ ಬಲಭಾಗದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸಾಕು:

ಈ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳು ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್‌ಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಮೊದಲ ಆಸ್ತಿಯ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಪುರಾವೆಯಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಕೊನೆಯ ಪರಿವರ್ತನೆಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಏಕೀಕರಣದ ಸಮಸ್ಯೆಯು ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯ ವಿಲೋಮವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ನಡುವೆ ಬಹಳ ನಿಕಟ ಸಂಪರ್ಕವಿದೆ:

ಮೊದಲ ಆಸ್ತಿ ಏಕೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ನಡೆಸಿದ ಏಕೀಕರಣದ ಸರಿಯಾದತೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು, ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸಾಕು. ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಪಡೆದ ಕಾರ್ಯವು ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್‌ಗೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ಏಕೀಕರಣವನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ನಡೆಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಇದರರ್ಥ;
ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯತೆಯ ಎರಡನೆಯ ಗುಣವು ಒಂದು ಕ್ರಿಯೆಯ ತಿಳಿದಿರುವ ವ್ಯತ್ಯಾಸದಿಂದ ಅದರ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಆಸ್ತಿಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನೇರ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು.

ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ.

x = 1 ನಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ನಿಂದ ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ, ಏನು (ಮೂಲಭೂತ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ನೋಡಿ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳು) ಹೀಗಾಗಿ, . ಎರಡನೇ ಆಸ್ತಿಯಿಂದ . ಅಂದರೆ, ನಮ್ಮಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳಿವೆ. x = 1 ಗಾಗಿ ನಾವು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ, ಈ ಮೌಲ್ಯವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು, ಆದ್ದರಿಂದ, C = 1. ಬಯಸಿದ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಮೂಲಕ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ಸೈನ್ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ ಎರಡು ಕೋನತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯಿಂದ , ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ

ಹಿಂದೆ, ನೀಡಿದ ಕಾರ್ಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಮಾರ್ಗದರ್ಶನ ವಿವಿಧ ಸೂತ್ರಗಳುಮತ್ತು ನಿಯಮಗಳು, ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡವು. ಉತ್ಪನ್ನವು ಹಲವಾರು ಉಪಯೋಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: ಇದು ಚಲನೆಯ ವೇಗವಾಗಿದೆ (ಅಥವಾ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ವೇಗ); ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕ; ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನೀವು ಏಕತಾನತೆ ಮತ್ತು ತೀವ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು; ಇದು ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಆದರೆ ತಿಳಿದಿರುವ ಚಲನೆಯ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ವೇಗವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಜೊತೆಗೆ, ವಿಲೋಮ ಸಮಸ್ಯೆಯೂ ಇದೆ - ತಿಳಿದಿರುವ ವೇಗದ ಪ್ರಕಾರ ಚಲನೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಮರುಸ್ಥಾಪಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 1.ವಸ್ತು ಬಿಂದುವು ಸರಳ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ, t ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಅದರ ವೇಗವನ್ನು v=gt ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಚಲನೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
ಪರಿಹಾರ. s = s(t) ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಚಲನೆಯ ನಿಯಮವಾಗಿರಲಿ. s"(t) = v(t) ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ಇದರರ್ಥ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನೀವು s = s(t) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನವು gt ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಊಹಿಸಲು ಕಷ್ಟವೇನಲ್ಲ. ಅದು $s(t) = \frac(gt^ 2)(2) $.ವಾಸ್ತವವಾಗಿ
$s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt$
ಉತ್ತರ: $s(t) = \frac(gt^2)(2) $

ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಅಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ತಕ್ಷಣ ಗಮನಿಸೋಣ. ನಮಗೆ $s(t) = \frac(gt^2)(2) $ ಸಿಕ್ಕಿತು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಸಮಸ್ಯೆಯು ಅನಂತ ಅನೇಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: ರೂಪದ ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯವು $s(t) = \frac(gt^2)(2) + C$, ಅಲ್ಲಿ C ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ನಿಯಮವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಚಲನೆ, ರಿಂದ $\ಎಡ (\frac(gt^2)(2) +C \right)" = gt $

ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಮಾಡಲು, ನಾವು ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಬೇಕಾಗಿತ್ತು: ಕೆಲವು ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುವ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವನ್ನು ಸೂಚಿಸಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ t = 0 ನಲ್ಲಿ, ಹೇಳುವುದಾದರೆ, s(0) = s 0, ನಂತರ ಸಮಾನತೆ s(t) = (gt 2)/2 + C ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: s(0) = 0 + C, ಅಂದರೆ C = s 0. ಈಗ ಚಲನೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಪರಸ್ಪರ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಿಗೆ ವಿವಿಧ ಹೆಸರುಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ವಿಶೇಷ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ: ಸ್ಕ್ವೇರ್ (x 2) ಮತ್ತು ವರ್ಗಮೂಲ ($\sqrt(x) $), ಸೈನ್ (ಸಿನ್ x) ಮತ್ತು ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ (ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ x) ಮತ್ತು ಇತ್ಯಾದಿ. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸ, ಮತ್ತು ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆ, ಅಂದರೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಏಕೀಕರಣ.

"ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು "ದೈನಂದಿನ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ" ಸಮರ್ಥಿಸಬಹುದು: y = f(x) ಕಾರ್ಯವು ಹೊಸ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ y" = f"(x) "ಜನ್ಮ ನೀಡುತ್ತದೆ". y = f(x) ಕಾರ್ಯವು "ಪೋಷಕ" ಆಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಗಣಿತಜ್ಞರು, ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ, ಇದನ್ನು "ಪೋಷಕ" ಅಥವಾ "ನಿರ್ಮಾಪಕ" ಎಂದು ಕರೆಯುವುದಿಲ್ಲ; ಅವರು ಅದನ್ನು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ, y" = f"( x) , ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಚಿತ್ರ, ಅಥವಾ ಪ್ರಾಚೀನ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. F"(x) = f(x) ಸಮಾನತೆಯು $x \in X$ ಗಾಗಿ ಹೊಂದಿದ್ದಲ್ಲಿ X ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ y = F(x) ಕಾರ್ಯವನ್ನು y = f(x) ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ.
1) y = x 2 ಕಾರ್ಯವು y = 2x ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಆಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಯಾವುದೇ x ಗೆ ಸಮಾನತೆ (x 2)" = 2x ನಿಜ
2) y = x 3 ಕಾರ್ಯವು y = 3x 2 ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಪ್ರತಿ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಯಾವುದೇ x ಗೆ ಸಮಾನತೆ (x 3)" = 3x 2 ನಿಜ
3) y = sin(x) ಕಾರ್ಯವು y = cos(x) ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಆಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಯಾವುದೇ x ಗೆ ಸಮಾನತೆ (sin(x))" = cos(x) ನಿಜ

ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾಗ, ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಕೆಲವು ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ನಿಯಮಗಳಿಗೆ ನೇರವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ.

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸ್ಥಿರ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಈ ನಿಯಮವು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಅನುಗುಣವಾದ ನಿಯಮವನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತದೆ.

ನಿಯಮ 2. F(x) ಎಂಬುದು f(x) ಗೆ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, kF(x) ಎಂಬುದು kf(x) ಗೆ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 1. y = F(x) ಎಂಬುದು y = f(x) ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, y = f(kx + m) ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಪ್ರತಿ ಉತ್ಪನ್ನವು $y=\frac(1)(k)F ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. (kx+m) $

ಪ್ರಮೇಯ 2. X ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ y = F(x) ಕ್ರಿಯೆಗೆ y = f(x) ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, y = f(x) ಕಾರ್ಯವು ಅನಂತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವೆಲ್ಲವೂ y = F(x) ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. + ಸಿ.

ಏಕೀಕರಣ ವಿಧಾನಗಳು

ವೇರಿಯಬಲ್ ಬದಲಿ ವಿಧಾನ (ಬದಲಿ ವಿಧಾನ)

ಪರ್ಯಾಯದ ಮೂಲಕ ಏಕೀಕರಣದ ವಿಧಾನವು ಹೊಸದನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಏಕೀಕರಣ ವೇರಿಯಬಲ್(ಅಂದರೆ, ಪರ್ಯಾಯಗಳು). ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಹೊಸ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು ಕೋಷ್ಟಕ ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸಬಹುದು. ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನಗಳುಪರ್ಯಾಯಗಳ ಆಯ್ಕೆ ಇಲ್ಲ. ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಅಭ್ಯಾಸದ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಅವಿಭಾಜ್ಯ $\textstyle \int F(x)dx $ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿರಲಿ. $x= \varphi(t) $ ಅನ್ನು ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಮಾಡೋಣ, ಅಲ್ಲಿ $\varphi(t) $ ಒಂದು ನಿರಂತರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.
ನಂತರ $dx = \varphi " (t) \cdot dt $ ಮತ್ತು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಏಕೀಕರಣ ಸೂತ್ರದ ಅಸ್ಥಿರತೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ನಾವು ಪರ್ಯಾಯದ ಮೂಲಕ ಏಕೀಕರಣ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
$\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi "(t) dt $

$\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx $ ರೂಪದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಏಕೀಕರಣ

m ಬೆಸವಾಗಿದ್ದರೆ, m > 0, ನಂತರ ಪರ್ಯಾಯ ಪಾಪವನ್ನು x = t ಮಾಡಲು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ.
n ಬೆಸವಾಗಿದ್ದರೆ, n > 0, ಆಗ ಪರ್ಯಾಯ cos x = t ಮಾಡಲು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ.
n ಮತ್ತು m ಸಮವಾಗಿದ್ದರೆ, ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ tg x = t ಮಾಡಲು ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಭಾಗಗಳ ಮೂಲಕ ಏಕೀಕರಣ

ಭಾಗಗಳ ಮೂಲಕ ಏಕೀಕರಣ - ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರಏಕೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ:
$\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du $
ಅಥವಾ:
$\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx $

ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯಗಳ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ (ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ಸ್) ಕೋಷ್ಟಕ

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$$$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$

ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು (ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್) ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ.

ವಿಲೋಮ ಸಮಸ್ಯೆ ಕಡಿಮೆ ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ. ಅದರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಸಮೀಪದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ನಡವಳಿಕೆಯು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ಒಬ್ಬನು ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೇಗೆ ಪುನರ್ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ. ಅದರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಸಂಪೂರ್ಣ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಅಧ್ಯಯನದ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ.

ಏಕೀಕರಣವು ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ವಿಲೋಮ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ. ಅಥವಾ ನೀಡಲಾದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ f`(x) ನಿಂದ f(x) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಮರುಸ್ಥಾಪಿಸುವುದು. ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಪದ "ಇಂಟೆಗ್ರೊ" ಎಂದರೆ ಪುನಃಸ್ಥಾಪನೆ.

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 1.

ಲೆಟ್ (f(x))’ = 3x 2. ಎಫ್ (x) ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

ಪರಿಹಾರ:

ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, f(x) = x 3 ಎಂದು ಊಹಿಸುವುದು ಕಷ್ಟವೇನಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ

(x 3)' = 3x 2 ಆದಾಗ್ಯೂ, f(x) ಅನನ್ಯವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನೀವು ಸುಲಭವಾಗಿ ಗಮನಿಸಬಹುದು. f(x) ನಂತೆ, ನೀವು f(x)= x 3 +1 f(x)= x 3 +2 f(x)= x 3 -3, ಇತ್ಯಾದಿಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು 3x 2 ಆಗಿದೆ. (ಸ್ಥಿರದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು 0 ಆಗಿದೆ). ಈ ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸ್ಥಿರ ಪದದಿಂದ ಪರಸ್ಪರ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು f(x) = x 3 + C ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ C ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿರ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.

ಕಂಡುಬರುವ ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು f(x) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವಿರೋಧಿ ಉತ್ಪನ್ನ F`(x)= 3x 2 ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.

ಈ ಮಧ್ಯಂತರ F`(x)= f(x) ನಿಂದ ಎಲ್ಲಾ x ಗಾಗಿ ನೀಡಲಾದ ಮಧ್ಯಂತರ J ನಲ್ಲಿ F(x) ಫಂಕ್ಷನ್‌ಗೆ F(x) ಅನ್ನು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ F(x)=x 3 ಕಾರ್ಯವು f(x)=3x 2 ರಂದು (- ∞ ; ∞) ಗಾಗಿ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಆಗಿದೆ. ಎಲ್ಲಾ x ~R ಸಮಾನತೆ ನಿಜವಾಗಿರುವುದರಿಂದ: F`(x)=(x 3)`=3x 2

ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಗಮನಿಸಿದಂತೆ, ಈ ಕಾರ್ಯವು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 2.

ಕಾರ್ಯವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (0; +∞) ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಆಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ಎಲ್ಲಾ h ಗೆ, ಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ.

ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಏಕೀಕರಣದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರಕೆಳಗಿನ ಹೇಳಿಕೆಯು ಆಡುತ್ತದೆ:

ಕಾರ್ಯದ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಸಂಕೇತ. ಕೆಲವು ಮಧ್ಯಂತರ I ನಲ್ಲಿ F"(x) = 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ F ಕಾರ್ಯವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪುರಾವೆ.

ನಾವು ಮಧ್ಯಂತರ I ನಿಂದ ಕೆಲವು x 0 ಅನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸೋಣ. ನಂತರ ಅಂತಹ ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ x ಗೆ, ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಸೂತ್ರದ ಮೂಲಕ, ನಾವು x ಮತ್ತು x 0 ನಡುವೆ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು c ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸಬಹುದು

F(x) - F(x 0) = F"(c)(x-x 0).

ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ, ಎಫ್' (ಸಿ) = 0, ಸಿ ∈1 ರಿಂದ, ಆದ್ದರಿಂದ,

F(x) - F(x 0) = 0.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಎಲ್ಲಾ x ಗೆ ಮಧ್ಯಂತರ I

ಅಂದರೆ, ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಫ್ ಸಂಗ್ರಹಿಸುತ್ತದೆ ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯ.

ಎಲ್ಲಾ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ಗಳನ್ನು f ಅನ್ನು ಒಂದು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ ಬರೆಯಬಹುದು, ಇದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕ್ರಿಯೆಗಾಗಿ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪ f. ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯವು ನಿಜವಾಗಿದೆ ( ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳ ಮುಖ್ಯ ಆಸ್ತಿ):

ಪ್ರಮೇಯ. ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ f ಫಂಕ್ಷನ್‌ಗೆ ಯಾವುದೇ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಅನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು

F(x) + C, (1) ಇಲ್ಲಿ F (x) ಎಂಬುದು ಮಧ್ಯಂತರ I ನಲ್ಲಿರುವ f (x) ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಪ್ರತಿ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು C ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಈ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ನಾವು ವಿವರಿಸೋಣ, ಇದರಲ್ಲಿ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ನ ಎರಡು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ:

ನಾವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ (1) ಸಿ ಬದಲಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹಾಕುತ್ತೇವೆ, ನಾವು ಮಧ್ಯಂತರ I ನಲ್ಲಿ f ಗಾಗಿ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ;
I ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ f ಗಾಗಿ ಯಾವ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ Ф ಇರಲಿ, C ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಅಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ x ಗೆ ಮಧ್ಯಂತರ I ಸಮಾನತೆ

ಪುರಾವೆ.

ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ, F ಫಂಕ್ಷನ್ ಮಧ್ಯಂತರ I ಮೇಲೆ f ಗೆ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಆಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಯಾವುದೇ x∈1 ಗೆ F"(x)= f (x), ಆದ್ದರಿಂದ (F(x) + C)" = F"(x) + C"= f(x)+0=f(x), ಅಂದರೆ F(x) + C ಎಂಬುದು f ಫಂಕ್ಷನ್‌ಗೆ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಆಗಿದೆ.
ಎಲ್ಲಾ x∈I ಗಾಗಿ ಅದೇ ಮಧ್ಯಂತರ I, ಅಂದರೆ Ф "(x) = f (х) ಫಂಕ್ಷನ್‌ಗೆ Ф (x) ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿರಲಿ.

ನಂತರ (Ф(x) - F (x))" = Ф"(x)-F' (x) = f(x)-f(x)=0.

ಇಲ್ಲಿಂದ ಇದು ಸಿ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಕ್ರಿಯೆಯ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯ ಶಕ್ತಿ, Ф(х) - F(х) ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಮಧ್ಯಂತರ I ನಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಮಧ್ಯಂತರ I ನಿಂದ ಎಲ್ಲಾ x ಗೆ ಸಮಾನತೆ Ф(x) - F(x)=С ನಿಜ, ಇದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕಾದದ್ದು. ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ನ ಮುಖ್ಯ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ನೀಡಬಹುದು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥ: f ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಮಾನಾಂತರ ವರ್ಗಾವಣೆ Oy ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ

ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳಿಗೆ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು

F(x) ಫಂಕ್ಷನ್ f(x) ಕ್ರಿಯೆಯ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಆಗಿದೆ. f(x)=9x2 - 6x + 1 ಮತ್ತು F(-1) = 2 ಆಗಿದ್ದಲ್ಲಿ F(1) ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಎಲ್ಲಾ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ

(x) = cos2 * sin2x ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ, F(0) = 0 ಆಗಿದ್ದರೆ F(x) ನ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಒಂದು ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ, ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಗ್ರಾಫ್ ಹಾದುಹೋಗುವ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ