ಗಣಿತ ಎಂಬ ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಏಕೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಏಕೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಕೆಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು ಭೌತಿಕ ಪ್ರಮಾಣಗಳು: ಪ್ರದೇಶ, ಪರಿಮಾಣ, ದೇಹಗಳ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು.
ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಥವಾ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿರಬಹುದು. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ರೂಪವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ ಭೌತಿಕ ಅರ್ಥ. ಇದನ್ನು ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗಿದೆ: $$ \int ^a _b f(x) dx $$. ವಿಶಿಷ್ಟ ಲಕ್ಷಣಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯತೆಯ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಬರೆಯುವುದು ಎಂದರೆ a ಮತ್ತು b ಗಳ ಏಕೀಕರಣದ ಮಿತಿಗಳಿವೆ. ಅವು ಏಕೆ ಬೇಕು ಮತ್ತು ಅದರ ಅರ್ಥವೇನೆಂದು ಈಗ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ. IN ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥಅಂತಹ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆಕರ್ವ್ f(x), a ಮತ್ತು b ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷದಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಆಕೃತಿ.
ಚಿತ್ರ 1 ರಿಂದ ಖಚಿತವಾದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಮಬ್ಬಾದ ಅದೇ ಪ್ರದೇಶವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ ಬೂದು. ಇದನ್ನು ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ. ಏಕೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿನ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ, ತದನಂತರ ಅದನ್ನು ಅಗಲದಿಂದ ಉದ್ದವನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ.
ಚಿತ್ರ 2 ರಿಂದ $ y=f(x)=3 $, $ a=1, b=2 $ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಈಗ ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಸಮಗ್ರತೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಾವು $$ S=\int _a ^b f(x) dx = \int _1 ^2 3 dx = $$ $$ =(3x) \Big|_1 ^2 ಎಂದು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ =(3 \ cdot 2)-(3 \cdot 1)=$$ $$=6-3=3 \text(units)^2 $$ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಚೆಕ್ ಮಾಡೋಣ. ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಉದ್ದ = 3, ಆಕೃತಿಯ ಅಗಲ = 1. $$ S = \text(ಉದ್ದ) \cdot \text(ಅಗಲ) = 3 \cdot 1 = 3 \text(units)^2 $$ ನಿಮಗೆ ಸಾಧ್ಯ ನೋಡಿ, ಎಲ್ಲವೂ ಸರಿಯಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ.
ಪ್ರಶ್ನೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ: ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅರ್ಥವೇನು? ಅಂತಹ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು. ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಇರುವುದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿಉತ್ಪನ್ನ. ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಮ್ಮ ಸಹಾಯವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು, ಅಥವಾ ನೀವು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಸರಳವಾದ ಏಕೀಕರಣದ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳು. ಅನ್ವೇಷಣೆಯು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ: $$ \int f(x) dx = F(x) + C \text(ಅಲ್ಲಿ) F(x) $ ಎಂಬುದು $ f(x), C = const $ನ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಆಗಿದೆ.
ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ನೀವು ಫಂಕ್ಷನ್ $ f(x) $ ಅನ್ನು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಮೇಲೆ ಸಂಯೋಜಿಸಬೇಕು. ಕಾರ್ಯವು ಕೋಷ್ಟಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಉತ್ತರವನ್ನು ಸರಿಯಾದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಪಡೆಯುವವರೆಗೆ ಬರುತ್ತದೆ ಟೇಬಲ್ ಕಾರ್ಯಟ್ರಿಕಿ ಗಣಿತದ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಮೂಲಕ $ f(x) $ ಕಾರ್ಯದಿಂದ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಇದೆ ವಿವಿಧ ವಿಧಾನಗಳುಮತ್ತು ನಾವು ಮತ್ತಷ್ಟು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.
ಆದ್ದರಿಂದ, ಈಗ ಡಮ್ಮೀಸ್‌ಗಾಗಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ರಚಿಸೋಣವೇ?
ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್
- ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.
- ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸದಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಕಾರ್ಯ$ f(x) $ ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ $ f(x) $ ನಿಂದ ಗಣಿತದ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು $ f(x) $ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಕೋಷ್ಟಕ ರೂಪಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ.
- ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ, ನಂತರ ನೀವು ಹಂತ 2 ಅನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಬೇಕು, ತದನಂತರ $ a $ ಮತ್ತು $ b $ ಮಿತಿಗಳನ್ನು $ ಎಫ್(x) $ ಗೆ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ಗೆ ಬದಲಿಸಿ. "ನ್ಯೂಟನ್-ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಫಾರ್ಮುಲಾ" ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು ಯಾವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಬೇಕೆಂದು ನೀವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಿ.
ಪರಿಹಾರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು
ಆದ್ದರಿಂದ, ಡಮ್ಮೀಸ್‌ಗಾಗಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕೆಂದು ನೀವು ಕಲಿತಿದ್ದೀರಿ, ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಾವು ಅವರ ಭೌತಿಕ ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ. ಪರಿಹಾರ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಇತರ ಲೇಖನಗಳಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗುವುದು.
ಹಿಂದೆ ನಾವು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಮಾರ್ಗದರ್ಶನ ವಿವಿಧ ಸೂತ್ರಗಳುಮತ್ತು ನಿಯಮಗಳು, ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡವು. ಉತ್ಪನ್ನವು ಹಲವಾರು ಉಪಯೋಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: ಇದು ಚಲನೆಯ ವೇಗವಾಗಿದೆ (ಅಥವಾ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ವೇಗ); ಇಳಿಜಾರುಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ; ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನೀವು ಏಕತಾನತೆ ಮತ್ತು ತೀವ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು; ಇದು ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.
ಆದರೆ ತಿಳಿದಿರುವ ಚಲನೆಯ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ವೇಗವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಜೊತೆಗೆ, ಸಹ ಇದೆ ವಿಲೋಮ ಸಮಸ್ಯೆ- ತಿಳಿದಿರುವ ವೇಗದಿಂದ ಚಲನೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಮರುಸ್ಥಾಪಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.
ಉದಾಹರಣೆ 1.ವಸ್ತು ಬಿಂದುವು ಸರಳ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ, t ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಅದರ ವೇಗವನ್ನು v=gt ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಚಲನೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
ಪರಿಹಾರ. s = s(t) ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಚಲನೆಯ ನಿಯಮವಾಗಿರಲಿ. s"(t) = v(t) ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ಇದರರ್ಥ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನೀವು s = s(t) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನವು gt ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಊಹಿಸಲು ಕಷ್ಟವೇನಲ್ಲ. ಅದು \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2) \).ವಾಸ್ತವವಾಗಿ
\(s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt\)
ಉತ್ತರ: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)
ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಅಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ತಕ್ಷಣ ಗಮನಿಸೋಣ. ನಮಗೆ \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \) ಸಿಕ್ಕಿತು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಸಮಸ್ಯೆಯು ಅನಂತ ಅನೇಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: ರೂಪದ ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯವು \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\), ಅಲ್ಲಿ C ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ನಿಯಮವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಚಲನೆ, ರಿಂದ \(\ಎಡ (\frac(gt^2)(2) +C \right)" = gt \)
ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಮಾಡಲು, ನಾವು ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಬೇಕಾಗಿತ್ತು: ಕೆಲವು ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುವ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವನ್ನು ಸೂಚಿಸಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ t = 0 ನಲ್ಲಿ, ಹೇಳುವುದಾದರೆ, s(0) = s 0, ನಂತರ ಸಮಾನತೆ s(t) = (gt 2)/2 + C ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: s(0) = 0 + C, ಅಂದರೆ C = s 0. ಈಗ ಚಲನೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಪರಸ್ಪರ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ವಿವಿಧ ಹೆಸರುಗಳು, ವಿಶೇಷ ಸಂಕೇತಗಳೊಂದಿಗೆ ಬನ್ನಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ: ವರ್ಗೀಕರಣ (x 2) ಮತ್ತು ವರ್ಗಮೂಲ (\(\sqrt(x)\)), ಸೈನ್ (ಸಿನ್ x) ಮತ್ತು ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ (ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ x), ಇತ್ಯಾದಿ. ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸ, ಮತ್ತು ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆ, ಅಂದರೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಏಕೀಕರಣ.
"ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು "ದೈನಂದಿನ ಜೀವನದಲ್ಲಿ" ಸಮರ್ಥಿಸಬಹುದು: y = f(x) "ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ" ನವೀನ ಲಕ್ಷಣಗಳು y" = f"(x). y = f(x) ಕಾರ್ಯವು "ಪೋಷಕ" ಆಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಗಣಿತಜ್ಞರು, ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ, ಇದನ್ನು "ಪೋಷಕ" ಅಥವಾ "ನಿರ್ಮಾಪಕ" ಎಂದು ಕರೆಯುವುದಿಲ್ಲ; ಅವರು ಅದನ್ನು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ, y" = f"( x) , ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಚಿತ್ರ, ಅಥವಾ ಪ್ರಾಚೀನ.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. F"(x) = f(x) ಸಮಾನತೆಯು \(x \in X\) ಗಾಗಿ ಹೊಂದಿದ್ದಲ್ಲಿ X ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ y = F(x) ಕಾರ್ಯವನ್ನು y = f(x) ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಮಧ್ಯಂತರ X ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಡೊಮೇನ್ ಆಗಿ).
ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ.
1) y = x 2 ಕಾರ್ಯವು y = 2x ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಆಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಯಾವುದೇ x ಗೆ ಸಮಾನತೆ (x 2)" = 2x ನಿಜ
2) y = x 3 ಕಾರ್ಯವು y = 3x 2 ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಪ್ರತಿ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಯಾವುದೇ x ಗೆ ಸಮಾನತೆ (x 3)" = 3x 2 ನಿಜ
3) y = sin(x) ಕಾರ್ಯವು y = cos(x) ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಆಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಯಾವುದೇ x ಗೆ ಸಮಾನತೆ (sin(x))" = cos(x) ನಿಜ
ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾಗ, ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಕೆಲವು ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ನಿಯಮಗಳಿಗೆ ನೇರವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ.
ಮೊತ್ತದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಈ ನಿಯಮವು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಅನುಗುಣವಾದ ನಿಯಮವನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತದೆ.
ನಿಯಮ 1.ಮೊತ್ತದ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಅದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ ಸ್ಥಿರ ಅಂಶವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಹೊರತೆಗೆಯಬಹುದು. ಈ ನಿಯಮವು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಅನುಗುಣವಾದ ನಿಯಮವನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತದೆ.
ನಿಯಮ 2. F(x) ಎಂಬುದು f(x) ಗೆ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, kF(x) ಎಂಬುದು kf(x) ಗೆ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.
ಪ್ರಮೇಯ 1. y = F(x) ಎಂಬುದು y = f(x) ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, y = f(kx + m) ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಪ್ರತಿ ಉತ್ಪನ್ನವು \(y=\frac(1)(k)F ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. (kx+m) \)
ಪ್ರಮೇಯ 2. X ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ y = F(x) ಕ್ರಿಯೆಗೆ y = f(x) ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, y = f(x) ಕಾರ್ಯವು ಅನಂತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವೆಲ್ಲವೂ y = F(x) ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. + ಸಿ.
ಏಕೀಕರಣ ವಿಧಾನಗಳು
ವೇರಿಯಬಲ್ ಬದಲಿ ವಿಧಾನ (ಬದಲಿ ವಿಧಾನ)
ಪರ್ಯಾಯದ ಮೂಲಕ ಏಕೀಕರಣದ ವಿಧಾನವು ಹೊಸ ಏಕೀಕರಣ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ, ಪರ್ಯಾಯ). ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಹೊಸ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು ಕೋಷ್ಟಕ ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸಬಹುದು. ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನಗಳುಪರ್ಯಾಯಗಳ ಆಯ್ಕೆ ಇಲ್ಲ. ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಅಭ್ಯಾಸದ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಅವಿಭಾಜ್ಯ \(\textstyle \int F(x)dx \) ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿರಲಿ. \(x= \varphi(t) \) ಅನ್ನು ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಮಾಡೋಣ, ಅಲ್ಲಿ \(\varphi(t) \) ಒಂದು ನಿರಂತರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.
ನಂತರ \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) ಮತ್ತು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಏಕೀಕರಣ ಸೂತ್ರದ ಅಸ್ಥಿರತೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ನಾವು ಪರ್ಯಾಯದ ಮೂಲಕ ಏಕೀಕರಣ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi "(t) dt \)
\(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \) ರೂಪದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಏಕೀಕರಣ
m ಬೆಸವಾಗಿದ್ದರೆ, m > 0, ನಂತರ ಪರ್ಯಾಯ ಪಾಪವನ್ನು x = t ಮಾಡಲು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ.
n ಬೆಸವಾಗಿದ್ದರೆ, n > 0, ಆಗ ಪರ್ಯಾಯ cos x = t ಮಾಡಲು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ.
n ಮತ್ತು m ಸಮವಾಗಿದ್ದರೆ, ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ tg x = t ಮಾಡಲು ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಭಾಗಗಳ ಮೂಲಕ ಏಕೀಕರಣ
ಭಾಗಗಳ ಮೂಲಕ ಏಕೀಕರಣ - ಏಕೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದು:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
ಅಥವಾ:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)
ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯಗಳ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ (ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ಸ್) ಕೋಷ್ಟಕ
$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$$$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು (ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಅಥವಾ "ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳು") ಎಂದರೆ ಈ ಕ್ರಿಯೆಯ ತಿಳಿದಿರುವ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದಿಂದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಮರುನಿರ್ಮಾಣ ಮಾಡುವುದು. ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಮರುಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಫ್(X) + ಜೊತೆಗೆ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ f(X) ಏಕೀಕರಣ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಸಿ. ಚಲನೆಯ ವೇಗದಿಂದ ವಸ್ತು ಬಿಂದು(ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ) ಈ ಬಿಂದುವಿನ ಚಲನೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು (ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್) ಪುನಃಸ್ಥಾಪಿಸಬಹುದು; ಬಿಂದುವಿನ ಚಲನೆಯ ವೇಗವರ್ಧನೆಯ ಪ್ರಕಾರ - ಅದರ ವೇಗ ಮತ್ತು ಚಲನೆಯ ನಿಯಮ. ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಷರ್ಲಾಕ್ ಹೋಮ್ಸ್‌ನ ಚಟುವಟಿಕೆಗಳಿಗೆ ಏಕೀಕರಣವು ವಿಶಾಲ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಅನೇಕ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೂಲಕ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಯದಲ್ಲಿ (ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ) ಕಾರ್ಮಿಕ ಉತ್ಪಾದಕತೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅನುಗುಣವಾದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಪುನಃಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ.
ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಕಡಿಮೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೂಲಭೂತ ಏಕೀಕರಣ ಸೂತ್ರಗಳ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಆದರೆ ಈ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದಕ್ಕಿಂತ ಅದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯು ಏಕೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಲಾದ ಮೂಲ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವಂತೆ ಮಾಡುವ ಒಂದು ರೂಪಕ್ಕೆ ಸಮಗ್ರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ತರುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ಏಕೀಕರಣದ ಅಭ್ಯಾಸವನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಲು, ನೀವು ಕಲಿತದ್ದನ್ನು ನೀವು ಸಕ್ರಿಯಗೊಳಿಸಬೇಕು ಪ್ರೌಢಶಾಲೆಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ರೂಪಾಂತರ ಕೌಶಲ್ಯಗಳು.
ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು ಕಲಿಯುತ್ತೇವೆ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕಈ ವಿಷಯದ ಮೂಲ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಪಾಠದಿಂದ (ಹೊಸ ವಿಂಡೋದಲ್ಲಿ ತೆರೆಯುತ್ತದೆ).
ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಹಲವಾರು ವಿಧಾನಗಳಿವೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ವೇರಿಯಬಲ್ ಬದಲಿ ವಿಧಾನಮತ್ತು ಭಾಗಗಳ ವಿಧಾನದಿಂದ ಏಕೀಕರಣ- ಉನ್ನತ ಗಣಿತವನ್ನು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಉತ್ತೀರ್ಣರಾದ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರಿಗೂ ಕಡ್ಡಾಯ ಸಂಭಾವಿತ ಸೆಟ್. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಮೇಲಿನ ಕೆಳಗಿನ ಎರಡು ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವಿಸ್ತರಣೆ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮಾಸ್ಟರಿಂಗ್ ಏಕೀಕರಣವನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಲು ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಉಪಯುಕ್ತ ಮತ್ತು ಆನಂದದಾಯಕವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ನಾವು ಅನುಕೂಲಕ್ಕಾಗಿ ಇಲ್ಲಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸುತ್ತೇವೆ.
ಪ್ರಮೇಯ 3.ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ನಲ್ಲಿನ ಸ್ಥಿರ ಅಂಶವನ್ನು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಅಂದರೆ.
ಪ್ರಮೇಯ 4.ಬೀಜಗಣಿತ ಮೊತ್ತದ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಕಾರ್ಯಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೊತ್ತಈ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು, ಅಂದರೆ.
(2)
ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ನಿಯಮವು ಏಕೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಬಹುದು: ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್‌ನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಸ್ಥಿರ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಸ್ಥಿರ ಅಂಶದ ವಿಲೋಮದಿಂದ ಗುಣಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ
(3)
ಏಕೀಕರಣದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಈ ಪಾಠವು ಪರಿಚಯಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಈಗಾಗಲೇ ಎರಡು ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ ಆರಂಭಿಕ ಹಂತ, ಅಥವಾ ಸ್ವಲ್ಪ ಸಮಯದ ನಂತರ ಅವರು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಆಶ್ಚರ್ಯಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಏಕೀಕರಣವು ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ "ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್" ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದಾಗಿ ಆಶ್ಚರ್ಯವಾಗಿದೆ.
ಸಂಯೋಜಿಸುವಾಗ ನೀವು ಆಶ್ಚರ್ಯಪಡಬೇಕಾದ ಮೊದಲನೆಯದು.ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಕೋಷ್ಟಕ ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸಾದೃಶ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಸೂತ್ರಗಳಿವೆ . ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರಗಳು:
ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಸೂತ್ರಗಳ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಯೋಜನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ ಎಂದು ನೀವು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು.
ಸಂಯೋಜಿಸುವಾಗ ಆಶ್ಚರ್ಯಪಡಬೇಕಾದ ಎರಡನೆಯ ವಿಷಯ. ಯಾವುದೇ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವೂ ಸಹ ಒಂದು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದ್ದರೂ, ಕೆಲವು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ . ಅಂತಹ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರಬಹುದು:
ಏಕೀಕರಣ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲು, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕೌಶಲ್ಯಗಳು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗುತ್ತವೆ: ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದು, ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಅಂಶದಲ್ಲಿ ಬಹುಪದವನ್ನು ಛೇದದಲ್ಲಿನ ಏಕಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು (ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಪಡೆಯಲು), ಬೇರುಗಳನ್ನು ಶಕ್ತಿಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು, ಏಕಪದವನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ, ಒಂದು ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿಸುವುದು. ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್‌ನ ರೂಪಾಂತರಗಳಿಗೆ ಈ ಕೌಶಲ್ಯಗಳು ಅಗತ್ಯವಿದೆ, ಇದು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ.
ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು
ಉದಾಹರಣೆ 1.ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ
.
ಪರಿಹಾರ. ನಾವು ಇಂಟಿಗ್ರಾಂಡ್‌ನ ಛೇದದಲ್ಲಿ x ವರ್ಗವಾಗಿರುವ ಬಹುಪದವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ನೀವು ಟೇಬಲ್ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ 21 ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಇದು ಬಹುತೇಕ ಖಚಿತವಾದ ಸಂಕೇತವಾಗಿದೆ (ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಆರ್ಕ್ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ನೊಂದಿಗೆ). ನಾವು ಛೇದದಿಂದ ಅಂಶ-ಎರಡನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುತ್ತೇವೆ (ಅವಿಭಾಜ್ಯತೆಯ ಅಂತಹ ಒಂದು ಆಸ್ತಿ ಇದೆ - ಸ್ಥಿರ ಅಂಶವನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಮೀರಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು; ಇದನ್ನು ಪ್ರಮೇಯ 3 ಎಂದು ಮೇಲೆ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾಗಿದೆ). ಇದೆಲ್ಲದರ ಫಲಿತಾಂಶ:
ಈಗ ಛೇದವು ಚೌಕಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ, ಇದರರ್ಥ ನಾವು ನಮೂದಿಸಿದ ಟೇಬಲ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ಅಂತಿಮವಾಗಿ ನಾವು ಉತ್ತರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
.
ಉದಾಹರಣೆ 2.ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ
ಪರಿಹಾರ. ನಾವು ಮತ್ತೆ ಪ್ರಮೇಯ 3 ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ - ಅವಿಭಾಜ್ಯತೆಯ ಆಸ್ತಿ, ಅದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸ್ಥಿರ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು:
ನಾವು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ (ಪವರ್‌ಗೆ ವೇರಿಯಬಲ್) ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ಗೆ ಸೂತ್ರ 7 ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ:
.
ನಾವು ಫಲಿತಾಂಶದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಮಗೆ ಅಂತಿಮ ಉತ್ತರವಿದೆ:
ಉದಾಹರಣೆ 3.ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ
ಪರಿಹಾರ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಮೇಲೆ ಮೊದಲ ಪ್ರಮೇಯ 4 ಮತ್ತು ನಂತರ ಪ್ರಮೇಯ 3 ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ, ನಾವು ಈ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಮೂರು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:
ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಪಡೆದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಕೋಷ್ಟಕಗಳಾಗಿವೆ. ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು (7) ಬಳಸುತ್ತೇವೆ ಎನ್ = 1/2, ಎನ್= 2 ಮತ್ತು ಎನ್= 1/5, ಮತ್ತು ನಂತರ
ಮೂರು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾಗ ಪರಿಚಯಿಸಲಾದ ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಇದೇ ರೀತಿಯ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಕೇವಲ ಒಂದು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಏಕೀಕರಣ ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಬೇಕು.
ಉದಾಹರಣೆ 4.ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ
ಪರಿಹಾರ. ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್‌ನ ಛೇದವು ಏಕಪದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ, ನಾವು ಛೇದದ ಪದದಿಂದ ಪದದ ಮೂಲಕ ಅಂಶವನ್ನು ಭಾಗಿಸಬಹುದು. ಮೂಲ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಎರಡು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ತಿರುಗಿತು:
.
ಟೇಬಲ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು, ನಾವು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಶಕ್ತಿಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅಂತಿಮ ಉತ್ತರ ಇಲ್ಲಿದೆ:
ನಾವು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಹುಡುಕುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತೇವೆ
ಉದಾಹರಣೆ 7.ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ
ಪರಿಹಾರ. ನಾವು ದ್ವಿಪದವನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಅಂಶವನ್ನು ಛೇದದ ಪದದಿಂದ ಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಮಗ್ರತೆಯನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸಿದರೆ, ಮೂಲ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಮೂರು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗುತ್ತದೆ.
ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ವಿಧಾನಗಳ ವಿಮರ್ಶೆಯನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಏಕೀಕರಣದ ಮುಖ್ಯ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವುದು, ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯ ಹೊರಗೆ ಸ್ಥಿರವನ್ನು ಇರಿಸುವುದು, ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಭಾಗಗಳ ಮೂಲಕ ಸಂಯೋಜಿಸುವುದು. ಸಹ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ ವಿಶೇಷ ವಿಧಾನಗಳುಮತ್ತು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು, ಬೇರುಗಳು, ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜಿಸುವ ತಂತ್ರಗಳು ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳು.
ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಮತ್ತು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ
f(x) ಕ್ರಿಯೆಯ ಒಂದು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ F(x) ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನವು f(x) ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:
F′(x) = f(x), x ∈ Δ,
ಎಲ್ಲಿ Δ
- ಅದನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಅವಧಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ.
ಎಲ್ಲಾ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:
,
ಇಲ್ಲಿ C ಎಂಬುದು ವೇರಿಯಬಲ್ x ನಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಮೂಲ ಸೂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಏಕೀಕರಣದ ವಿಧಾನಗಳು
ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ
ಅಂತಿಮ ಗುರಿಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ - ರೂಪಾಂತರಗಳ ಮೂಲಕ, ನೀಡಿದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಸರಳವಾದ ಅಥವಾ ಕೋಷ್ಟಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿ.
ಸಮಗ್ರಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ನೋಡಿ >>>
ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವ ನಿಯಮ (ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು)
ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯ ಹೊರಗೆ ಸ್ಥಿರವನ್ನು ಚಲಿಸುವುದು
c x ನಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಅದನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು:
ವೇರಿಯಬಲ್ ಬದಲಿ
x ವೇರಿಯೇಬಲ್ t, x = φ(t) ನ ಕಾರ್ಯವಾಗಲಿ, ನಂತರ
.
ಅಥವಾ ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, t = φ(x) ,
.
ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನೀವು ಸರಳವಾದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದು, ಆದರೆ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದವುಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಬಹುದು.
ಭಾಗಗಳ ನಿಯಮದಿಂದ ಏಕೀಕರಣ
ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಏಕೀಕರಣ (ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯಗಳು)
ನಾವು ಸಂಕೇತವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ. P k (x), Q m (x), R n (x) ವೇರಿಯೇಬಲ್ x ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಕ್ರಮವಾಗಿ k, m, n ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.
ಬಹುಪದಗಳ ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ (ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯ):
k ≥ n ಆಗಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಮೊದಲು ಭಾಗದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಭಾಗವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ:
.
ಬಹುಪದದ S k-n (x) ನ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಉಳಿದಿದೆ:
, ಅಲ್ಲಿ ಎಂ< n
.
ಅದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ಸಮಗ್ರತೆಯನ್ನು ಸರಳ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಬೇಕು.
ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನೀವು ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು:
Q n (x) = 0 .
ಪಡೆದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನೀವು ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಛೇದವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ:
Q n (x) = s (x-a) n a (x-b) n b ... (x 2 +ex+f) n e (x 2 +gx+k) n g ....
ಇಲ್ಲಿ s ಎಂಬುದು x n, x 2 + ex + f > 0, x 2 + gx + k > 0, .... ಗೆ ಗುಣಾಂಕವಾಗಿದೆ.
ಇದರ ನಂತರ, ಭಾಗವನ್ನು ಅದರ ಸರಳ ರೂಪಕ್ಕೆ ವಿಭಜಿಸಿ:
ಸಂಯೋಜಿಸುವುದರಿಂದ, ಹೆಚ್ಚಿನದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಸರಳ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು.
ರೂಪದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು
ಕೋಷ್ಟಕ ಪರ್ಯಾಯ t = x - a ಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ.
ಸಮಗ್ರತೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:
ನಾವು ಅಂಶವನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ:
.
ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್‌ಗೆ ಬದಲಿಯಾಗಿ, ನಾವು ಎರಡು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
,
.
ಮೊದಲನೆಯದು, ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ t = x 2 + ex + f ಅನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಕಡಿತ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ:
ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ
ಅದರ ಛೇದವನ್ನು ಚೌಕಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡೋಣ:
.
ನಂತರ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಅವಿಭಾಜ್ಯ
ಸಹ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ.
ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಕಾರ್ಯಗಳ ಏಕೀಕರಣ
ನಾವು ಸಂಕೇತವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ. R(u 1, u 2, ..., u n) ಎಂದರೆ u 1, u 2, ..., u n ಅಸ್ಥಿರಗಳ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯ ಎಂದರ್ಥ. ಅದು
,
ಇಲ್ಲಿ P, Q ಗಳು u 1, u 2, ..., u n ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಬಹುಪದಗಳಾಗಿವೆ.
ಭಾಗಶಃ ರೇಖೀಯ ಅಭಾಗಲಬ್ಧತೆ
ರೂಪದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:
,
ಎಲ್ಲಿ - ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, m 1 , n 1 , ..., m s , n s - ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು.
ಲೆಟ್ ಎನ್ - ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಸಂಖ್ಯೆಗಳು r 1, ..., r s.
ನಂತರ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
.
ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ದ್ವಿಪದಗಳಿಂದ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ಸ್
ಸಮಗ್ರತೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:
,
ಇಲ್ಲಿ m, n, p ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, a, b - ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು.
ಅಂತಹ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಮೂರು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತವೆ.
1) p ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದ್ದರೆ. ಪರ್ಯಾಯ x = t N, ಇಲ್ಲಿ N ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ m ಮತ್ತು n ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದವಾಗಿದೆ.
2) ವೇಳೆ - ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕ. ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ a x n + b = t M, ಇಲ್ಲಿ M ಎಂಬುದು p ಸಂಖ್ಯೆಯ ಛೇದವಾಗಿದೆ.
3) ವೇಳೆ - ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕ. ಪರ್ಯಾಯ a + b x - n = t M, ಇಲ್ಲಿ M ಎಂಬುದು p ಸಂಖ್ಯೆಯ ಛೇದವಾಗಿದೆ.
ಮೂರು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೂ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಚೆಬಿಶೇವ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಈ ಪ್ರಕಾರದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸೀಮಿತ ಸಂಯೋಜನೆಯಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.
ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಇದು ಮೊದಲು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ m ಮತ್ತು p. ಕಡಿತ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಇದನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು:
;
.
ಚೌಕ ತ್ರಿಪದಿಯ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು
ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ರೂಪದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ:
,
ಯೂಲರ್ ಪರ್ಯಾಯಗಳು
ಅಂತಹ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಮೂರು ಯೂಲರ್ ಪರ್ಯಾಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು:
, ಒಂದು > 0 ಗಾಗಿ;
, ಸಿ > 0 ಗಾಗಿ;
, ಇಲ್ಲಿ x 1 ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಾಗಿದೆ a x 2 + b x + c = 0. ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ನಿಜವಾದ ಬೇರುಗಳು.
ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಪರ್ಯಾಯಗಳು
ನೇರ ವಿಧಾನಗಳು
ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಯೂಲರ್ ಪರ್ಯಾಯಗಳು ನೇರ ವಿಧಾನಗಳಿಗಿಂತ ದೀರ್ಘವಾದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ. ನೇರ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ರೂಪಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ.
ಟೈಪ್ I
ರೂಪದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ:
,
ಇಲ್ಲಿ P n (x) ಪದವಿ n ನ ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ.
ಅಂತಹ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ವಿಧಾನದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅನಿಶ್ಚಿತ ಗುಣಾಂಕಗಳು, ಗುರುತನ್ನು ಬಳಸುವುದು:
ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಿಸುವುದು, ನಾವು A i ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.
ಟೈಪ್ II
ರೂಪದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ:
,
ಇಲ್ಲಿ P m (x) ಎಂಬುದು ಡಿಗ್ರಿ m ನ ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ.
ಪರ್ಯಾಯ t = (x - α) -1ಈ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಹಿಂದಿನ ಪ್ರಕಾರಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. m ≥ n ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಭಾಗವು ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು.
III ವಿಧ
ಮೂರನೇ ಮತ್ತು ಅತ್ಯಂತ ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರಕಾರ:
.
ಇಲ್ಲಿ ನೀವು ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ:
.
ಅದರ ನಂತರ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ:
.
ಮುಂದೆ, α, β ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬೇಕು ಅಂದರೆ t ಗಾಗಿ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಶೂನ್ಯವಾಗುತ್ತವೆ:
ಬಿ = 0, ಬಿ 1 = 0.
ನಂತರ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಎರಡು ವಿಧಗಳ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ವಿಭಜನೆಯಾಗುತ್ತದೆ:
;
,
ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಪರ್ಯಾಯಗಳ ಮೂಲಕ ಸಂಯೋಜಿಸಲಾಗಿದೆ:
z 2 = A 1 t 2 + C 1 ;
y 2 = A 1 + C 1 t -2.
ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣ
ಅತೀಂದ್ರಿಯ (ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಮತ್ತು ಘಾತೀಯ) ಕಾರ್ಯಗಳ ಏಕೀಕರಣ
ಅನ್ವಯವಾಗುವ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ನಾವು ಮುಂಚಿತವಾಗಿ ಗಮನಿಸೋಣ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು, ಗೆ ಸಹ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳು. ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ, ನಾವು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಏಕೀಕರಣವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸುವುದಿಲ್ಲ.
cos x ಮತ್ತು sin x ನ ತರ್ಕಬದ್ಧ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಏಕೀಕರಣ
ರೂಪದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:
,
ಅಲ್ಲಿ R ಒಂದು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇದು ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್‌ಗಳನ್ನು ಸಹ ಒಳಗೊಂಡಿರಬಹುದು, ಇವುಗಳನ್ನು ಸೈನ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್‌ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬೇಕು.
ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವಾಗ, ಮೂರು ನಿಯಮಗಳನ್ನು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ:
1) ಆರ್ ( cos x, sin x)ಪ್ರಮಾಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಮೊದಲು ಚಿಹ್ನೆ ಬದಲಾವಣೆಯಿಂದ -1 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ cos xಅಥವಾ ಪಾಪ x, ನಂತರ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಇತರವನ್ನು ಟಿ ಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಲು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ.
2) ಆರ್ ( cos x, sin x)ಮೊದಲು ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಚಿಹ್ನೆಯ ಬದಲಾವಣೆಯಿಂದಾಗಿ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ cos xಮತ್ತು ಪಾಪ x, ನಂತರ ಹಾಕಲು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ tg x = tಅಥವಾ cot x = t.
3) ಎಲ್ಲಾ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಪರ್ಯಾಯವು ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಭಾಗ. ದುರದೃಷ್ಟವಶಾತ್, ಈ ಪರ್ಯಾಯವು ಅನ್ವಯಿಸಿದರೆ ಹಿಂದಿನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಗಿಂತ ದೀರ್ಘವಾದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ.
cos x ಮತ್ತು sin x ನ ಶಕ್ತಿ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ
ರೂಪದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:
m ಮತ್ತು n ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಪರ್ಯಾಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು t = ಪಾಪ xಅಥವಾ t = cos xಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಭೇದಾತ್ಮಕ ದ್ವಿಪದದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ.
m ಮತ್ತು n ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಭಾಗಗಳ ಮೂಲಕ ಏಕೀಕರಣದಿಂದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕಡಿತ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ:
;
;
;
.
ಭಾಗಗಳ ಮೂಲಕ ಏಕೀಕರಣ
ಯೂಲರ್ ಸೂತ್ರದ ಅನ್ವಯ
ಒಂದು ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಇಂಟಿಗ್ರಾಂಡ್ ರೇಖೀಯವಾಗಿದ್ದರೆ
cos ಕೊಡಲಿಅಥವಾ ಸಿನಾಕ್ಸ್, ನಂತರ ಯೂಲರ್ನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ:
ಇ IAx = cos ax + isin ಕೊಡಲಿ(ಅಲ್ಲಿ i 2 = - 1
),
ಇದರೊಂದಿಗೆ ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದು ಇ ಐಎಕ್ಸ್ಮತ್ತು ನೈಜವಾದುದನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡುವುದು (ಬದಲಿಸುವಾಗ cos ಕೊಡಲಿ) ಅಥವಾ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗ (ಬದಲಿ ಮಾಡುವಾಗ ಸಿನಾಕ್ಸ್) ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶದಿಂದ.
ಉಲ್ಲೇಖಗಳು:
ಎನ್.ಎಂ. ಗುಂಟರ್, ಆರ್.ಓ. ಕುಜ್ಮಿನ್, ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಸಂಗ್ರಹ ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ, "ಲ್ಯಾನ್", 2003.
ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು - ಸುಲಭ ಕಾರ್ಯ, ಆದರೆ ಆಯ್ದ ಕೆಲವರಿಗೆ ಮಾತ್ರ. ಈ ಲೇಖನವು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಕಲಿಯಲು ಬಯಸುವವರಿಗೆ, ಆದರೆ ಅವುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಏನೂ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ ಅಥವಾ ಬಹುತೇಕ ಏನೂ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಅವಿಭಾಜ್ಯ... ಏಕೆ ಬೇಕು? ಅದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಹೇಗೆ? ಯಾವುದು ನಿಶ್ಚಿತ ಮತ್ತು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯರು? ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವ ಏಕೈಕ ಬಳಕೆಯೆಂದರೆ, ತಲುಪಲು ಕಷ್ಟಕರವಾದ ಸ್ಥಳಗಳಿಂದ ಉಪಯುಕ್ತವಾದದ್ದನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಐಕಾನ್‌ನ ಆಕಾರದ ಕ್ರೋಚೆಟ್ ಹುಕ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವುದು, ನಂತರ ಸ್ವಾಗತ! ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಅದು ಇಲ್ಲದೆ ನೀವು ಏಕೆ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ನಾವು "ಅವಿಭಾಜ್ಯ" ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ
ಏಕೀಕರಣವು ಹಿಂದೆ ತಿಳಿದಿತ್ತು ಪ್ರಾಚೀನ ಈಜಿಪ್ಟ್. ಖಂಡಿತವಾಗಿ ಒಳಗೆ ಇಲ್ಲ ಆಧುನಿಕ ರೂಪ, ಆದರೂ ಕೂಡ. ಅಂದಿನಿಂದ, ಗಣಿತಜ್ಞರು ಈ ವಿಷಯದ ಬಗ್ಗೆ ಅನೇಕ ಪುಸ್ತಕಗಳನ್ನು ಬರೆದಿದ್ದಾರೆ. ವಿಶೇಷವಾಗಿ ತಮ್ಮನ್ನು ಗುರುತಿಸಿಕೊಂಡರು ನ್ಯೂಟನ್ ಮತ್ತು ಲೀಬ್ನಿಜ್ , ಆದರೆ ವಸ್ತುಗಳ ಸಾರವು ಬದಲಾಗಿಲ್ಲ. ಮೊದಲಿನಿಂದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಹೇಗೆ? ಅಸಾದ್ಯ! ಈ ವಿಷಯವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ನಿಮಗೆ ಇನ್ನೂ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ ಮೂಲಭೂತ ಜ್ಞಾನಮೂಲಭೂತ ಅಂಶಗಳು ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ. ಇದು ನಮ್ಮ ಬ್ಲಾಗ್‌ನಲ್ಲಿ ನೀವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವ ಈ ಮೂಲಭೂತ ಮಾಹಿತಿಯಾಗಿದೆ.
ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ
ನಾವು ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದೋಣ f(x) .
ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕಾರ್ಯ f(x) ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ F(x) , ಇದರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ f(x) .
ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಹಿಮ್ಮುಖ ಅಥವಾ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ನಲ್ಲಿನ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಮೂಲಕ, ನಮ್ಮ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಹೇಗೆ ಓದಿ.
ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳು. ಅಲ್ಲದೆ, ಸ್ಥಿರ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಸ್ಥಿರದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಏಕೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆ:
ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳನ್ನು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡದಿರಲು, ಅವುಗಳನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಲು ಮತ್ತು ಸಿದ್ಧ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ:
ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ
ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುವಾಗ, ನಾವು ಅಪರಿಮಿತ ಪ್ರಮಾಣಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಆಕೃತಿಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ, ಅಸಮಂಜಸ ದೇಹದ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ, ಪ್ರಯಾಣದ ದೂರವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಅಸಮ ಚಲನೆಮಾರ್ಗ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು. ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಅನಂತ ಮೊತ್ತ ಎಂದು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಡಬೇಕು ದೊಡ್ಡ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿಅಪರಿಮಿತ ಪದಗಳು.
ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ, ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಊಹಿಸಿ. ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು, ವೇಳಾಪಟ್ಟಿಯಿಂದ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆಕಾರ್ಯಗಳು?
ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಬಳಸುವುದು! ಅದನ್ನು ಒಡೆಯೋಣ ಬಾಗಿದ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ನಿಂದ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅನಂತ ಸಣ್ಣ ಭಾಗಗಳಾಗಿ. ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ ಆಕೃತಿಯನ್ನು ತೆಳುವಾದ ಕಾಲಮ್ಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಾಲಮ್ಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಮೊತ್ತವು ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ನ ಪ್ರದೇಶವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಅಂತಹ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವು ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೆನಪಿಡಿ ಅಂದಾಜು ಫಲಿತಾಂಶ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಣ್ಣ ಮತ್ತು ಕಿರಿದಾದ ಭಾಗಗಳು, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವು ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದ್ದವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುವ ಮಟ್ಟಿಗೆ ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿದರೆ, ವಿಭಾಗಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಮೊತ್ತವು ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ. ಇದು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ:
ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳನ್ನು ಏಕೀಕರಣದ ಮಿತಿಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಬರಿ ಅಲಿಬಾಸೊವ್ ಮತ್ತು ಗುಂಪು "ಅವಿಭಾಜ್ಯ"
ಅಂದಹಾಗೆ! ನಮ್ಮ ಓದುಗರಿಗೆ ಈಗ 10% ರಿಯಾಯಿತಿ ಇದೆ
ಡಮ್ಮೀಸ್‌ಗಾಗಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ನಿಯಮಗಳು
ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು
ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು? ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಇದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
- ಅವಿಭಾಜ್ಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:
- ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು:
- ಮೊತ್ತದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು. ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೂ ಇದು ನಿಜ:
ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು
- ರೇಖೀಯತೆ:
- ಏಕೀಕರಣದ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಬದಲಾವಣೆಗಳ ಚಿಹ್ನೆ:
- ನಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರುಅಂಕಗಳು ಎ, ಬಿಮತ್ತು ಜೊತೆಗೆ:
ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಮೊತ್ತದ ಮಿತಿ ಎಂದು ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಆದರೆ ಹೇಗೆ ಪಡೆಯುವುದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅರ್ಥಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ? ಇದಕ್ಕಾಗಿ ನ್ಯೂಟನ್-ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಸೂತ್ರವಿದೆ:
ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳು
ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಹಲವಾರು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನಾವು ಕೆಳಗೆ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಪರಿಹಾರದ ಜಟಿಲತೆಗಳನ್ನು ನೀವೇ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಾವು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಆಹ್ವಾನಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಏನಾದರೂ ಅಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದ್ದರೆ, ಕಾಮೆಂಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಕೇಳಿ.
ವಸ್ತುವನ್ನು ಬಲಪಡಿಸಲು, ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರ ಕುರಿತು ವೀಡಿಯೊವನ್ನು ವೀಕ್ಷಿಸಿ. ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ನೀಡದಿದ್ದರೆ ಹತಾಶೆ ಮಾಡಬೇಡಿ. ಕೇಳಿ ಮತ್ತು ಅವರು ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ಸ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿದಿರುವ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ನಿಮಗೆ ತಿಳಿಸುತ್ತಾರೆ. ನಮ್ಮ ಸಹಾಯದಿಂದ, ಯಾವುದೇ ಟ್ರಿಪಲ್ ಅಥವಾ ಸಾಲಿನ ಅವಿಭಾಜ್ಯಮುಚ್ಚಿದ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ನೀವು ಅದನ್ನು ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ.