ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸ್ಥಿರ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

"Get an A" ವೀಡಿಯೊ ಕೋರ್ಸ್ ನಿಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಯಶಸ್ವಿ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆ 60-65 ಅಂಕಗಳಿಗೆ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆ. ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಎಲ್ಲಾ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು 1-13 ಪ್ರೊಫೈಲ್ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಮೂಲ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಉತ್ತೀರ್ಣರಾಗಲು ಸಹ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ. ನೀವು 90-100 ಅಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಉತ್ತೀರ್ಣರಾಗಲು ಬಯಸಿದರೆ, ನೀವು ಭಾಗ 1 ಅನ್ನು 30 ನಿಮಿಷಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ತಪ್ಪುಗಳಿಲ್ಲದೆ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ!

10-11 ಶ್ರೇಣಿಗಳಿಗೆ, ಹಾಗೆಯೇ ಶಿಕ್ಷಕರಿಗೆ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ತಯಾರಿ ಕೋರ್ಸ್. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಭಾಗ 1 (ಮೊದಲ 12 ಸಮಸ್ಯೆಗಳು) ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯೆ 13 (ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ) ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಬೇಕಾಗಿರುವುದು. ಮತ್ತು ಇದು ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ 70 ಅಂಕಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು, ಮತ್ತು 100-ಪಾಯಿಂಟ್ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಅಥವಾ ಮಾನವಿಕ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಅವರಿಲ್ಲದೆ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಎಲ್ಲಾ ಅಗತ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ. ತ್ವರಿತ ಮಾರ್ಗಗಳುಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳು, ಮೋಸಗಳು ಮತ್ತು ರಹಸ್ಯಗಳು. FIPI ಟಾಸ್ಕ್ ಬ್ಯಾಂಕ್‌ನಿಂದ ಭಾಗ 1 ರ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಸ್ತುತ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕೋರ್ಸ್ 2018 ರ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ಕೋರ್ಸ್ 5 ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ದೊಡ್ಡ ವಿಷಯಗಳು, 2.5 ಗಂಟೆಗಳ ಪ್ರತಿ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಿಷಯವನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಮತ್ತು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಮೊದಲಿನಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ನೂರಾರು ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಕಾರ್ಯಗಳು. ಪದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳುಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ. ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸರಳ ಮತ್ತು ಸುಲಭವಾಗಿ ನೆನಪಿಡುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗಳು. ರೇಖಾಗಣಿತ. ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಉಲ್ಲೇಖ ವಸ್ತು, ಎಲ್ಲಾ ರೀತಿಯ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ. ಸ್ಟೀರಿಯೊಮೆಟ್ರಿ. ಟ್ರಿಕಿ ಪರಿಹಾರಗಳು, ಉಪಯುಕ್ತ ಚೀಟ್ ಹಾಳೆಗಳು, ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಕಲ್ಪನೆ. ಮೊದಲಿನಿಂದ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ 13. ಕ್ರ್ಯಾಮಿಂಗ್ ಬದಲಿಗೆ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು. ದೃಶ್ಯ ವಿವರಣೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು. ಬೀಜಗಣಿತ. ಬೇರುಗಳು, ಶಕ್ತಿಗಳು ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು, ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನ. ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಆಧಾರ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯಗಳುಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯ 2 ಭಾಗಗಳು.

ನೀವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿದರೆ, ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಕ್ರಿಯೆಯ ಹೆಚ್ಚಳದ ಅನುಪಾತದ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ Δ ವೈಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ Δ X:

ಎಲ್ಲವೂ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ f(X) = X 2 + (2X+ 3) · ಇ Xಪಾಪ X. ನೀವು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಮಾಡಿದರೆ, ಒಂದೆರಡು ಪುಟಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ನಂತರ ನೀವು ಸುಮ್ಮನೆ ನಿದ್ರಿಸುತ್ತೀರಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸರಳ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ.

ಮೊದಲಿಗೆ, ಸಂಪೂರ್ಣ ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ಕಾರ್ಯಗಳಿಂದ ನಾವು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಸಾಪೇಕ್ಷವಾಗಿದೆ ಸರಳ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು, ಇವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ದೀರ್ಘಕಾಲದವರೆಗೆ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ತುಂಬಾ ಸುಲಭ - ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳೊಂದಿಗೆ.

ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು

ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಎಲ್ಲಾ. ಈ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳು ಹೃದಯದಿಂದ ತಿಳಿದಿರಬೇಕು. ಇದಲ್ಲದೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಕಷ್ಟವೇನಲ್ಲ - ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಅವು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿವೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳು:

ಹೆಸರು	ಕಾರ್ಯ	ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
ನಿರಂತರ	f(X) = ಸಿ, ಸಿ ∈ ಆರ್	0 (ಹೌದು, ಶೂನ್ಯ!)
ತರ್ಕಬದ್ಧ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಶಕ್ತಿ	f(X) = X ಎನ್	ಎನ್ · X ಎನ್ − 1
ಸೈನಸ್	f(X) = ಪಾಪ X	cos X
ಕೊಸೈನ್	f(X) = cos X	- ಪಾಪ X(ಮೈನಸ್ ಸೈನ್)
ಸ್ಪರ್ಶಕ	f(X) = ಟಿಜಿ X	1/ಕಾಸ್ 2 X
ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್	f(X) = ctg X	- 1/ಪಾಪ 2 X
ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್	f(X) = ಲಾಗ್ X	1/X
ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಲಾಗರಿಥಮ್	f(X) = ಲಾಗ್ ಎ X	1/(Xಎಲ್ಎನ್ ಎ)
ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯ	f(X) = ಇ X	ಇ X(ಏನೂ ಬದಲಾಗಿಲ್ಲ)

ಒಂದು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ, ಹೊಸ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸಹ ಸುಲಭವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ:

(ಸಿ · f)’ = ಸಿ · f ’.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

(2X 3)' = 2 · ( X 3)' = 2 3 X 2 = 6X 2 .

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸೇರಿಸಬಹುದು, ಗುಣಿಸಬಹುದು, ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು - ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು. ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ ಹೊಸ ಕಾರ್ಯಗಳು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಕೆಲವು ನಿಯಮಗಳು. ಈ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡಲಿ f(X) ಮತ್ತು ಜಿ(X), ಇದರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೇಲೆ ಚರ್ಚಿಸಿದ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನೀವು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ನಂತರ ನೀವು ಈ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು:

1. (f + ಜಿ)’ = f ’ + ಜಿ ’
2. (f − ಜಿ)’ = f ’ − ಜಿ ’

ಆದ್ದರಿಂದ, ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತದ (ವ್ಯತ್ಯಾಸ) ಉತ್ಪನ್ನವು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ (ವ್ಯತ್ಯಾಸ) ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ನಿಯಮಗಳು ಇರಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ( f + ಜಿ + ಗಂ)’ = f ’ + ಜಿ ’ + ಗಂ ’.

ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ "ವ್ಯವಕಲನ" ಎಂಬ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಇಲ್ಲ. ಒಂದು ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಇದೆ " ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಅಂಶ" ಆದ್ದರಿಂದ ವ್ಯತ್ಯಾಸ f − ಜಿಮೊತ್ತವಾಗಿ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು f+ (-1) ಜಿ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಕೇವಲ ಒಂದು ಸೂತ್ರವು ಉಳಿದಿದೆ - ಮೊತ್ತದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ.

f(X) = X 2 + ಪಾಪ x; ಜಿ(X) = X 4 + 2X 2 − 3.

ಕಾರ್ಯ f(X) ಎರಡು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ:

f ’(X) = (X 2 + ಪಾಪ X)’ = (X 2)' + (ಪಾಪ X)’ = 2X+ ಕಾಸ್ ಎಕ್ಸ್;

ನಾವು ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಇದೇ ಕಾರಣವನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ ಜಿ(X) ಈಗಾಗಲೇ ಮೂರು ಪದಗಳಿವೆ (ಬೀಜಗಣಿತದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ):

ಜಿ ’(X) = (X 4 + 2X 2 − 3)’ = (X 4 + 2X 2 + (−3))’ = (X 4)’ + (2X 2)’ + (−3)’ = 4X 3 + 4X + 0 = 4X · ( X 2 + 1).

ಉತ್ತರ:
f ’(X) = 2X+ ಕಾಸ್ ಎಕ್ಸ್;
ಜಿ ’(X) = 4X · ( X 2 + 1).

ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

ಗಣಿತವು ತಾರ್ಕಿಕ ವಿಜ್ಞಾನವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅನೇಕ ಜನರು ಒಂದು ಮೊತ್ತದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಂಬುತ್ತಾರೆ. ಮುಷ್ಕರ">ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಸ್ಕ್ರೂ ಯು! ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳೆಂದರೆ:

(f · ಜಿ) ’ = f ’ · ಜಿ + f · ಜಿ ’

ಸೂತ್ರವು ಸರಳವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಅದನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಮರೆತುಬಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಶಾಲಾ ಮಕ್ಕಳು ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳೂ ಸಹ. ಫಲಿತಾಂಶವು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ತಪ್ಪಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಕಾರ್ಯ. ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ: f(X) = X 3 cos x; ಜಿ(X) = (X 2 + 7X- 7) · ಇ X .

ಕಾರ್ಯ f(X) ಎರಡು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಎಲ್ಲವೂ ಸರಳವಾಗಿದೆ:

f ’(X) = (X 3 ಕಾಸ್ X)’ = (X 3) ವೆಚ್ಚ X + X 3 (ಕೋಸ್ X)’ = 3X 2 ಕಾಸ್ X + X 3 (- ಪಾಪ X) = X 2 (3ಕೋಸ್ X − Xಪಾಪ X)

ಕಾರ್ಯ ಜಿ(X) ಮೊದಲ ಅಂಶವು ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಯೋಜನೆಇದು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಕಾರ್ಯದ ಮೊದಲ ಅಂಶ ಜಿ(X) ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಮೊತ್ತದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

ಜಿ ’(X) = ((X 2 + 7X- 7) · ಇ X)’ = (X 2 + 7X− 7)’ · ಇ X + (X 2 + 7X− 7) · ( ಇ X)’ = (2X+ 7) · ಇ X + (X 2 + 7X- 7) · ಇ X = ಇ X· (2 X + 7 + X 2 + 7X −7) = (X 2 + 9X) · ಇ X = X(X+ 9) · ಇ X .

ಉತ್ತರ:
f ’(X) = X 2 (3ಕೋಸ್ X − Xಪಾಪ X);
ಜಿ ’(X) = X(X+ 9) · ಇ X .

ಕೊನೆಯ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ. ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಇದನ್ನು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ತಮ್ಮದೇ ಆದ ಮೇಲೆ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು. ಇದರರ್ಥ ಮತ್ತಷ್ಟು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸುವುದು ಉತ್ತಮ.

ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳಿದ್ದರೆ f(X) ಮತ್ತು ಜಿ(X), ಮತ್ತು ಜಿ(X) ನಾವು ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿರುವ ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ≠ 0, ನಾವು ಹೊಸ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ಗಂ(X) = f(X)/ಜಿ(X) ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ನೀವು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸಹ ಕಾಣಬಹುದು:

ದುರ್ಬಲವಾಗಿಲ್ಲ, ಹೌದಾ? ಮೈನಸ್ ಎಲ್ಲಿಂದ ಬಂತು? ಏಕೆ ಜಿ 2? ಮತ್ತು ಈ ರೀತಿ! ಇದು ಅತ್ಯಂತ ಒಂದಾಗಿದೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸೂತ್ರಗಳು- ಬಾಟಲ್ ಇಲ್ಲದೆ ನೀವು ಅದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅದನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದು ಉತ್ತಮ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳು.

ಕಾರ್ಯ. ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ಪ್ರತಿ ಭಾಗದ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಮಗೆ ಬೇಕಾಗಿರುವುದು ಅಂಶದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಸೂತ್ರವಾಗಿದೆ:

ಸಂಪ್ರದಾಯದ ಪ್ರಕಾರ, ನಾವು ಅಂಶವನ್ನು ಅಂಶೀಕರಿಸೋಣ - ಇದು ಉತ್ತರವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸರಳಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ:

ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವು ಅರ್ಧ ಕಿಲೋಮೀಟರ್ ಉದ್ದದ ಸೂತ್ರವಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕಾರ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಕು f(X) = ಪಾಪ Xಮತ್ತು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿ X, ಹೇಳು, ಆನ್ X 2 + ಎಲ್ಎನ್ X. ಇದು ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತದೆ f(X) = ಪಾಪ ( X 2 + ಎಲ್ಎನ್ X) - ಇದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇದು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿದೆ, ಆದರೆ ಮೇಲೆ ಚರ್ಚಿಸಿದ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ನಾನು ಏನು ಮಾಡಲಿ? ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಮತ್ತು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬದಲಿಸುವುದು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯ:

f ’(X) = f ’(ಟಿ) · ಟಿ', ವೇಳೆ Xಮೂಲಕ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಟಿ(X).

ನಿಯಮದಂತೆ, ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯು ಅಂಶದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ದುಃಖಕರವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಇದನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿವರಿಸುವುದು ಉತ್ತಮ ವಿವರವಾದ ವಿವರಣೆಪ್ರತಿ ಹೆಜ್ಜೆ.

ಕಾರ್ಯ. ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ: f(X) = ಇ 2X + 3 ; ಜಿ(X) = ಪಾಪ ( X 2 + ಎಲ್ಎನ್ X)

ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ f(X) ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ 2 ಬದಲಿಗೆ X+ 3 ಸುಲಭವಾಗುತ್ತದೆ X, ನಂತರ ನಾವು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ f(X) = ಇ X. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಬದಲಿಯನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ: ಅವಕಾಶ 2 X + 3 = ಟಿ, f(X) = f(ಟಿ) = ಇ ಟಿ. ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ:

f ’(X) = f ’(ಟಿ) · ಟಿ ’ = (ಇ ಟಿ)’ · ಟಿ ’ = ಇ ಟಿ · ಟಿ ’

ಮತ್ತು ಈಗ - ಗಮನ! ನಾವು ರಿವರ್ಸ್ ಬದಲಿಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ: ಟಿ = 2X+ 3. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

f ’(X) = ಇ ಟಿ · ಟಿ ’ = ಇ 2X+ 3 (2 X + 3)’ = ಇ 2X+ 3 2 = 2 ಇ 2X + 3

ಈಗ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೋಡೋಣ ಜಿ(X) ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಅದನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ X 2 + ಎಲ್ಎನ್ X = ಟಿ. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

ಜಿ ’(X) = ಜಿ ’(ಟಿ) · ಟಿ’ = (ಪಾಪ ಟಿ)’ · ಟಿ’ = cos ಟಿ · ಟಿ ’

ರಿವರ್ಸ್ ಬದಲಿ: ಟಿ = X 2 + ಎಲ್ಎನ್ X. ನಂತರ:

ಜಿ ’(X) = cos ( X 2 + ಎಲ್ಎನ್ X) · ( X 2 + ಎಲ್ಎನ್ X)' = cos ( X 2 + ಎಲ್ಎನ್ X) · (2 X + 1/X).

ಅಷ್ಟೇ! ನಿಂದ ನೋಡಬಹುದು ಕೊನೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ, ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಇಡೀ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಲಾಯಿತು.

ಉತ್ತರ:
f ’(X) = 2 · ಇ 2X + 3 ;
ಜಿ ’(X) = (2X + 1/X) ಕಾಸ್ ( X 2 + ಎಲ್ಎನ್ X).

ಆಗಾಗ್ಗೆ ನನ್ನ ಪಾಠಗಳಲ್ಲಿ, "ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ" ಪದದ ಬದಲಿಗೆ, ನಾನು "ಪ್ರಧಾನ" ಪದವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇನೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೊತ್ತದಿಂದ ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆಪಾರ್ಶ್ವವಾಯು. ಅದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆಯೇ? ಸರಿ, ಅದು ಒಳ್ಳೆಯದು.

ಹೀಗಾಗಿ, ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಮೇಲೆ ಚರ್ಚಿಸಿದ ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಇದೇ ಸ್ಟ್ರೋಕ್‌ಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ಬರುತ್ತದೆ. ಅಂತೆ ಕೊನೆಯ ಉದಾಹರಣೆತರ್ಕಬದ್ಧ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಶಕ್ತಿಗೆ ಹಿಂತಿರುಗೋಣ:

(X ಎನ್)’ = ಎನ್ · X ಎನ್ − 1

ಪಾತ್ರದಲ್ಲಿ ಅದು ಕೆಲವೇ ಜನರಿಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ ಎನ್ಉತ್ತಮವಾಗಿ ನಿರ್ವಹಿಸಬಹುದು ಒಂದು ಭಾಗಶಃ ಸಂಖ್ಯೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೂಲವು X 0.5 ಮೂಲ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಏನಾದರೂ ಅಲಂಕಾರಿಕ ಇದ್ದರೆ ಏನು? ಮತ್ತೆ, ಫಲಿತಾಂಶವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ - ಅವರು ಅಂತಹ ನಿರ್ಮಾಣಗಳನ್ನು ನೀಡಲು ಇಷ್ಟಪಡುತ್ತಾರೆ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳುಮತ್ತು ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು.

ಕಾರ್ಯ. ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ಮೊದಲಿಗೆ, ತರ್ಕಬದ್ಧ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಮೂಲವನ್ನು ಶಕ್ತಿಯಾಗಿ ಪುನಃ ಬರೆಯೋಣ:

f(X) = (X 2 + 8X − 7) 0,5 .

ಈಗ ನಾವು ಬದಲಿ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ: ಅವಕಾಶ X 2 + 8X − 7 = ಟಿ. ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

f ’(X) = f ’(ಟಿ) · ಟಿ ’ = (ಟಿ 0.5)’ · ಟಿ= 0.5 · ಟಿ−0.5 · ಟಿ ’.

ರಿವರ್ಸ್ ಬದಲಿ ಮಾಡೋಣ: ಟಿ = X 2 + 8X− 7. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

f ’(X) = 0.5 · ( X 2 + 8X− 7) -0.5 · ( X 2 + 8X- 7)' = 0.5 · (2 X+ 8) ( X 2 + 8X − 7) −0,5 .

ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ:

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ವಿಭಿನ್ನತೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವಾದದ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚಳದ ಅನುಪಾತದ ಮಿತಿಯಾಗಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸರಳವಾದ (ಮತ್ತು ತುಂಬಾ ಸರಳವಲ್ಲ) ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವು ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿತು ಮತ್ತು ನಿಖರವಾಗಿ ಕೆಲವು ನಿಯಮಗಳುವ್ಯತ್ಯಾಸ. ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುವ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಮೊದಲು ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದವರು ಐಸಾಕ್ ನ್ಯೂಟನ್ (1643-1727) ಮತ್ತು ಗಾಟ್ಫ್ರೈಡ್ ವಿಲ್ಹೆಲ್ಮ್ ಲೀಬ್ನಿಜ್ (1646-1716).

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಮ್ಮ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಮೇಲಿನ-ಸೂಚಿಸಲಾದ ಮಿತಿಯನ್ನು ನೀವು ವಾದದ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ಕ್ರಿಯೆಯ ಹೆಚ್ಚಳದ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ನೀವು ಟೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮಗಳು. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಕೆಳಗಿನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ.

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಿಮಗೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಅಗತ್ಯವಿದೆ ಘಟಕಗಳಾಗಿ ಡಿಸ್ಅಸೆಂಬಲ್ ಮಾಡಿ ಸರಳ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಯಾವ ಕ್ರಮಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ (ಉತ್ಪನ್ನ, ಮೊತ್ತ, ಅಂಶ)ಈ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. ಮುಂದೆ, ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಸೂತ್ರಗಳು, ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಅಂಶ - ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣುತ್ತೇವೆ.ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಕೋಷ್ಟಕ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಮೊದಲ ಎರಡು ಉದಾಹರಣೆಗಳ ನಂತರ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1.ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಪರಿಹಾರ. ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ನಿಯಮಗಳಿಂದ ನಾವು ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ.

ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ನಾವು "X" ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸೈನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಕೊಸೈನ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 2.ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಪರಿಹಾರ. ಎರಡನೇ ಪದವು ಸ್ಥಿರವಾದ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮೊತ್ತದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ನಾವು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತೇವೆ; ಇದನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು:

ಏನಾದರೂ ಎಲ್ಲಿಂದ ಬರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು ಇನ್ನೂ ಉದ್ಭವಿಸಿದರೆ, ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ಸರಳ ನಿಯಮಗಳೊಂದಿಗೆ ನೀವೇ ಪರಿಚಿತರಾದ ನಂತರ ಅವುಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ತೆರವುಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಇದೀಗ ಅವರ ಕಡೆಗೆ ಹೋಗುತ್ತಿದ್ದೇವೆ.

ಸರಳ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ

ನಿಯಮ 1. ಕಾರ್ಯಗಳು ವೇಳೆ

ಕೆಲವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ನಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳು ಒಂದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ

ಆ. ಉತ್ಪನ್ನ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೊತ್ತಕಾರ್ಯಗಳು ಈ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಬೀಜಗಣಿತ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪರಿಣಾಮ. ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸ್ಥಿರ ಪದದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ

ನಿಯಮ 2. ಕಾರ್ಯಗಳು ವೇಳೆ

ಕೆಲವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ನಂತರ ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಆ. ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನವು ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಫಲಿತಾಂಶ 1. ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸ್ಥಿರ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು:

ಫಲಿತಾಂಶ 2. ಹಲವಾರು ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಪ್ರತಿ ಅಂಶದ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಇತರವುಗಳು.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೂರು ಗುಣಕಗಳಿಗೆ:

ನಿಯಮ 3. ಕಾರ್ಯಗಳು ವೇಳೆ

ಕೆಲವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು , ನಂತರ ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ಅಂಶವು ಸಹ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ u/v, ಮತ್ತು

ಆ. ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಂಶದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಒಂದು ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದರ ಅಂಶವು ಛೇದದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅಂಶದ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಛೇದನ ಮತ್ತು ಛೇದದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಛೇದವು ವರ್ಗವಾಗಿದೆ ಹಿಂದಿನ ಅಂಶ.

ಇತರ ಪುಟಗಳಲ್ಲಿ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ನೋಡಬೇಕು

ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಅಂಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾಗ ನಿಜವಾದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳುಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ವಿಭಿನ್ನ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಯಾವಾಗಲೂ ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳುಈ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗಾಗಿ - ಲೇಖನದಲ್ಲಿ "ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಂಶ".

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ.ನೀವು ಸ್ಥಿರವನ್ನು (ಅಂದರೆ, ಸಂಖ್ಯೆ) ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರ ಅಂಶವಾಗಿ ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸಬಾರದು! ಒಂದು ಪದದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರ ಅಂಶದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅದನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಶಿಷ್ಟ ತಪ್ಪು, ಇದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ ಆರಂಭಿಕ ಹಂತಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಅಧ್ಯಯನ, ಆದರೆ ಅವರು ಹಲವಾರು ಒಂದು ಮತ್ತು ಎರಡು ಭಾಗಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತಾರೆ, ಸರಾಸರಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಈ ತಪ್ಪನ್ನು ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ.

ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನ ಅಥವಾ ಅಂಶವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವಾಗ, ನೀವು ಒಂದು ಪದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತೀರಿ ಯು‘v, ಯಾವುದರಲ್ಲಿ ಯು- ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 2 ಅಥವಾ 5, ಅಂದರೆ, ಸ್ಥಿರ, ನಂತರ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಪದವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಈ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಉದಾಹರಣೆ 10 ರಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ).

ಇತರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ತಪ್ಪು — ಯಾಂತ್ರಿಕ ಪರಿಹಾರಸರಳ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ. ಅದಕ್ಕೇ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಪ್ರತ್ಯೇಕ ಲೇಖನವನ್ನು ಮೀಸಲಿಡಲಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಮೊದಲು ನಾವು ಸರಳ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಕಲಿಯುತ್ತೇವೆ.

ದಾರಿಯುದ್ದಕ್ಕೂ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸದೆ ನೀವು ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನೀವು ಹೊಸ ವಿಂಡೋಗಳಲ್ಲಿ ಕೈಪಿಡಿಯನ್ನು ತೆರೆಯಬೇಕಾಗಬಹುದು. ಶಕ್ತಿಗಳು ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗೆ ಕ್ರಿಯೆಗಳುಮತ್ತು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು.

ನೀವು ಶಕ್ತಿಗಳು ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ, ಕಾರ್ಯವು ತೋರುತ್ತಿರುವಾಗ , ನಂತರ "ಅಧಿಕಾರಗಳು ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಮೊತ್ತಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ" ಪಾಠವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ.

ನೀವು ಅಂತಹ ಕೆಲಸವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ , ನಂತರ ಪಾಠಕ್ಕಾಗಿ “ಸರಳದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು».

ಹಂತ-ಹಂತದ ಉದಾಹರಣೆಗಳು - ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು

ಉದಾಹರಣೆ 3.ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಪರಿಹಾರ. ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಭಾಗಗಳನ್ನು ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ: ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಅಂಶಗಳು ಮೊತ್ತಗಳಾಗಿವೆ, ಎರಡನೆಯದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪದವು ಸ್ಥಿರ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ: ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನವು ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಮುಂದೆ, ನಾವು ಮೊತ್ತದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ: ಕಾರ್ಯಗಳ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೊತ್ತದ ಉತ್ಪನ್ನವು ಈ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಬೀಜಗಣಿತ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ಪದವು ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿ ನಾವು ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್ ಎರಡನ್ನೂ ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರ (ಸಂಖ್ಯೆ), ಇದರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, "X" ಒಂದಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಮೈನಸ್ 5 ಶೂನ್ಯವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡನೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ, "x" ಅನ್ನು 2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು "x" ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದಂತೆ ಅದೇ ಘಟಕದಿಂದ ಎರಡನ್ನು ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಉತ್ಪನ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 4.ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಪರಿಹಾರ. ನಾವು ಅಂಶದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಅಂಶವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ: ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಂಶದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಒಂದು ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದರ ಅಂಶವು ಛೇದದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅಂಶದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ. ಛೇದ, ಮತ್ತು ಛೇದವು ಹಿಂದಿನ ಅಂಶದ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಉದಾಹರಣೆ 2 ರಲ್ಲಿ ಅಂಶಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಪ್ರಸ್ತುತ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ನ್ಯೂಮರೇಟರ್‌ನಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ಅಂಶವಾಗಿರುವ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಮರೆಯಬಾರದು:

ನೀವು ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತಿದ್ದರೆ, ಅಲ್ಲಿ ಬೇರುಗಳು ಮತ್ತು ಶಕ್ತಿಗಳ ನಿರಂತರ ರಾಶಿ ಇರುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, , ನಂತರ ತರಗತಿಗೆ ಸ್ವಾಗತ "ಅಧಿಕಾರಗಳು ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಮೊತ್ತಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ".

ನೀವು ಸೈನ್‌ಗಳು, ಕೊಸೈನ್‌ಗಳು, ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು ಮತ್ತು ಇತರ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕುರಿತು ಇನ್ನಷ್ಟು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾದರೆ, ಅಂದರೆ, ಕಾರ್ಯವು ಹೇಗೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ , ನಂತರ ನಿಮಗೊಂದು ಪಾಠ "ಸರಳ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು".

ಉದಾಹರಣೆ 5.ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಪರಿಹಾರ. ಈ ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಂಶವೆಂದರೆ ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನ ವರ್ಗಮೂಲವಾಗಿದೆ, ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ನಮಗೆ ಪರಿಚಿತವಾಗಿದೆ. ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನದ ಕೋಷ್ಟಕ ಮೌಲ್ಯದ ಪ್ರಕಾರ ವರ್ಗ ಮೂಲನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 6.ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಪರಿಹಾರ. ಈ ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ ನಾವು ಒಂದು ಅಂಶವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ ಅದರ ಲಾಭಾಂಶವು ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವರ್ಗಮೂಲವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿದ ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆ 4 ರಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸಿದ ಅಂಶಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮವನ್ನು ಮತ್ತು ವರ್ಗಮೂಲದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಕೋಷ್ಟಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಅಂಶದಲ್ಲಿನ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು, ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಈ ಮೂಲಕ ಗುಣಿಸಿ:

ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ನೀವೇ ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು ನಂತರ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ನೋಡಿ

ಉದಾಹರಣೆ 7.ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಉದಾಹರಣೆ 8.ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

.

ಒಟ್ಟಿಗೆ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸೋಣ

ಉದಾಹರಣೆ 9.ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಪರಿಹಾರ. ಕಾರ್ಯಗಳ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೊತ್ತದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದು, ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಯ ಹೊರಗೆ ಸ್ಥಿರ ಅಂಶವನ್ನು ಇರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನ ಶಕ್ತಿಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು (ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ - ಸಂಖ್ಯೆ 3 ಅಡಿಯಲ್ಲಿ), ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

.

ಉದಾಹರಣೆ 10.ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಪರಿಹಾರ. ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸೋಣ, ತದನಂತರ ಅಂಶಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ ಹಿಂದಿನ ಕಾರ್ಯ, ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ಸೂತ್ರ 3 ಅನ್ನು ಬಳಸುವುದು. ನಂತರ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಉದಾಹರಣೆ 11.ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಪರಿಹಾರ. ಉದಾಹರಣೆ 4 ಮತ್ತು 6 ರಂತೆ, ನಾವು ಅಂಶಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಈಗ ನಾವು ನ್ಯೂಮರೇಟರ್‌ನಲ್ಲಿನ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು ನಾವು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 12.ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಹಂತ 1. ಮೊತ್ತವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ನಾವು ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಹಂತ 2. ಮೊದಲ ಪದದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಇದು ವರ್ಗಮೂಲದ ಕೋಷ್ಟಕ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ (ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆ 5):

ಹಂತ 3. ಅಂಶದಲ್ಲಿ, ಛೇದವು ಸಹ ಮೂಲವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಚೌಕವಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಈ ಮೂಲವನ್ನು ಶಕ್ತಿಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತೇವೆ:

ನೀವು ಊಹಿಸಿದಂತೆ ಸ್ಥಿರಾಂಕದ ಮೂಲವು ಸಹ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ ಸ್ಥಿರದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯೆ ಹೇಳಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಉತ್ಪನ್ನ:

33 ಉದಾಹರಣೆ ಪರಿಹಾರಗಳೊಂದಿಗೆ PDF ಕೈಪಿಡಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಿರಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: ಸರಳ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉದಾಹರಣೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್, ಉಚಿತ

ನಾವು ನಿಮಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು ನೆನಪಿಸುತ್ತೇವೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಉದಾಹರಣೆಗಳುಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಅಂಶದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಮೇಲೆ - "ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಂಶ" ಮತ್ತು "ಅಧಿಕಾರಗಳು ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಮೊತ್ತದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ" ಲೇಖನಗಳಲ್ಲಿ.

ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮಗಳು. ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನ.

ವ್ಯತ್ಯಾಸ- ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಮತ್ತು ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಆದೇಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ನಿರ್ಣಯ, ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಪೂರ್ಣ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳುಹೆಚ್ಚಿನ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ.

2 ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ನಿಯಮದ ಪುರಾವೆ:

ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಹೆಚ್ಚಳದ ಅನುಪಾತದ ಮಿತಿಯನ್ನು ವಾದದ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ನಾವು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಅದನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

(ವಾದದ ಹೆಚ್ಚಳವು 0 ಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರಿದಾಗ ಕ್ರಿಯೆಯ ಹೆಚ್ಚಳವು 0 ಗೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ).

ಈಗ ಹಲವಾರು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮೇಲಿನ ನಿಯಮವನ್ನು ನೋಡೋಣ.

.

ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ. ಉತ್ಪನ್ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸೋಣ:

ನಾವು ಮುಖ್ಯ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

IN ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ . ಅರ್ಥ:

ಈಗ 3 ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, 4, 5 ಮತ್ತು 25 ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲಾಗಿದೆ.

ನಾವು 2 ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮದಿಂದ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತೇವೆ. ಕಾರ್ಯ f(x)ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಎಣಿಸಿ (1+x)ಸಿಂಕ್ಸ್, ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯ g(x)ತಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ ಎಲ್ಎನ್ಎಕ್ಸ್:

ನಿರ್ಧರಿಸಲು ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ನಿಯಮವನ್ನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ:

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಮೊತ್ತ ನಿಯಮ ಮತ್ತು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಬಳಸೋಣ:

ನಾವು ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬದಲಿಸೋಣ:

ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ, ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ಒಂದು ನಿಯಮಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನದನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ನಿರಂತರವಾಗಿ ಮತ್ತು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಮಾಡುವುದು ಮುಖ್ಯ.

ಕಾರ್ಯವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದರರ್ಥ:

ಮೊದಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ನಾವು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ 2 ನೇದನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು 2 ನೇ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂದರೇನು?

ಉತ್ಪನ್ನವು ಮುಖ್ಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ. ಈ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ನಾವು ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಗಣಿತದ ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಪುರಾವೆಗಳಿಲ್ಲದೆ ಪರಸ್ಪರ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಈ ಪರಿಚಯವು ನಿಮಗೆ ಇದನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ:

- ಉತ್ಪನ್ನಗಳೊಂದಿಗೆ ಸರಳ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಾರವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಿ;

- ಇವುಗಳನ್ನು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಿ ಅಲ್ಲ ಕಷ್ಟಕರವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳು;

- ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕುರಿತು ಹೆಚ್ಚು ಗಂಭೀರವಾದ ಪಾಠಗಳಿಗೆ ತಯಾರಿ.

ಮೊದಲನೆಯದು - ಆಹ್ಲಾದಕರ ಆಶ್ಚರ್ಯ.)

ಉತ್ಪನ್ನದ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಮಿತಿಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ ಮತ್ತು ವಿಷಯವು ತುಂಬಾ ಜಟಿಲವಾಗಿದೆ. ಇದು ಅಸಮಾಧಾನ ತಂದಿದೆ. ಆದರೆ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್, ನಿಯಮದಂತೆ, ಅಂತಹ ವ್ಯಾಪಕ ಮತ್ತು ಆಳವಾದ ಜ್ಞಾನದ ಅಗತ್ಯವಿರುವುದಿಲ್ಲ!

ಫಾರ್ ಯಶಸ್ವಿ ಅನುಷ್ಠಾನಶಾಲೆ ಮತ್ತು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಕು ಕೆಲವೇ ನಿಯಮಗಳು- ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಕೆಲವು ನಿಯಮಗಳು- ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು. ಅಷ್ಟೇ. ಇದು ನನಗೆ ಸಂತೋಷ ತಂದಿದೆ.

ಪರಿಚಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣವೇ?)

ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಪದನಾಮಗಳು.

ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಹಲವು ವಿಷಯಗಳಿವೆ ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು. ಸಂಕಲನ, ವ್ಯವಕಲನ, ಗುಣಾಕಾರ, ಘಾತ, ಲಾಗರಿಥಮ್, ಇತ್ಯಾದಿ. ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಿಗೆ ನಾವು ಇನ್ನೊಂದನ್ನು ಸೇರಿಸಿದರೆ, ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಗಣಿತಅತ್ಯುನ್ನತವಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಹೊಸ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸ.ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ಅರ್ಥವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಪಾಠಗಳಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗುವುದು.

ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಕೇವಲ ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಮೇಲೆ ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಇಲ್ಲಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಅದನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತೇವೆ. ಫಲಿತಾಂಶ ಇರುತ್ತದೆ ನವೀನ ಲಕ್ಷಣಗಳು. ಈ ಹೊಸ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ: ಉತ್ಪನ್ನ.

ವ್ಯತ್ಯಾಸ- ಕಾರ್ಯದ ಮೇಲೆ ಕ್ರಿಯೆ.

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ- ಈ ಕ್ರಿಯೆಯ ಫಲಿತಾಂಶ.

ಹಾಗೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೊತ್ತಸೇರ್ಪಡೆಯ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ. ಅಥವಾ ಖಾಸಗಿ- ವಿಭಜನೆಯ ಫಲಿತಾಂಶ.

ನಿಯಮಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ನೀವು ಕನಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು.) ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳು ಕೆಳಕಂಡಂತಿವೆ: ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ; ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ; ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿ; ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿಮತ್ತು ಇತ್ಯಾದಿ. ಇದೆಲ್ಲವೂ ಆಗಿದೆ ಅದೇ.ಸಹಜವಾಗಿ, ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸಹ ಇವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು (ವ್ಯತ್ಯಾಸ) ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ.

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಮೇಲಿನ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಡ್ಯಾಶ್‌ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗೆ: ವೈ'ಅಥವಾ f"(x)ಅಥವಾ ಎಸ್"(ಟಿ)ಮತ್ತು ಇತ್ಯಾದಿ.

ಓದುವುದು ಇಗ್ರೆಕ್ ಸ್ಟ್ರೋಕ್, ಎಫ್ ಸ್ಟ್ರೋಕ್ ನಿಂದ ಎಕ್ಸ್, ಎಸ್ ಸ್ಟ್ರೋಕ್ ಟೆ,ಸರಿ, ನೀವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡಿದ್ದೀರಿ.)

ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸಹ ಸೂಚಿಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ: (2x+3)’, (X 3 )’ , (ಸಿಂಕ್ಸ್)'ಇತ್ಯಾದಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಬಳಸಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಈ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ನಾವು ಅಂತಹ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ನಾವು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಅವುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕೆಂದು ಕಲಿಯುವುದು ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆ.) ನಾನು ನಿಮಗೆ ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ: ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಕೆಲವು ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಕ್ರಿಯೆಯ ರೂಪಾಂತರ.ಆಶ್ಚರ್ಯಕರವಾಗಿ, ಈ ನಿಯಮಗಳಲ್ಲಿ ಬಹಳ ಕಡಿಮೆ ಇವೆ.

ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ಕೇವಲ ಮೂರು ವಿಷಯಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಎಲ್ಲಾ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ನಿಂತಿರುವ ಮೂರು ಕಂಬಗಳು. ಇಲ್ಲಿ ಅವರು ಈ ಮೂರು ಕಂಬಗಳು:

1. ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ (ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸೂತ್ರಗಳು).

3. ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ.

ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ. ಈ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ.

ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ.

ಜಗತ್ತಿನಲ್ಲಿ - ಅನಂತ ಸೆಟ್ಕಾರ್ಯಗಳು. ಈ ವೈವಿಧ್ಯತೆಯ ನಡುವೆ, ಪ್ರಮುಖವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳಿವೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್. ಈ ಕಾರ್ಯಗಳು ಪ್ರಕೃತಿಯ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ. ಈ ಕಾರ್ಯಗಳಿಂದ, ಇಟ್ಟಿಗೆಗಳಿಂದ, ನೀವು ಇತರ ಎಲ್ಲವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ಈ ವರ್ಗದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳು.ಈ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ - ರೇಖೀಯ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್, ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ, ಇತ್ಯಾದಿ.

"ಮೊದಲಿನಿಂದ" ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ, ಅಂದರೆ. ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ಮಿತಿಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಶ್ರಮದಾಯಕ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಗಣಿತಜ್ಞರು ಸಹ ಜನರು, ಹೌದು, ಹೌದು!) ಆದ್ದರಿಂದ ಅವರು ತಮ್ಮ (ಮತ್ತು ನಮಗೆ) ಜೀವನವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಿದರು. ಅವರು ನಮ್ಮ ಮುಂದೆ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದರು. ಫಲಿತಾಂಶವು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವೂ ಸಿದ್ಧವಾಗಿದೆ.)

ಇಲ್ಲಿ ಇದು, ಅತ್ಯಂತ ಜನಪ್ರಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ಈ ಪ್ಲೇಟ್. ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯವಿದೆ, ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ.

ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸೂತ್ರಗಳು

ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸ.

$y'$ ಅಥವಾ $\frac$ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೂಚಿಸಿ.

ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಅದನ್ನು ಕೆಲವು ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಮತ್ತೊಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ. ಕಾರ್ಯಗಳು, ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡ ನಂತರ, ಇತರ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಎಂಬ ಅಂಶಕ್ಕೆ ನಾವು ಗಮನ ಹರಿಸೋಣ.

ಕೇವಲ ಒಂದು ಅಪವಾದವೆಂದರೆ $y=e^x$, ಅದು ತಾನಾಗಿಯೇ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮಗಳು

ಹೆಚ್ಚಾಗಿ, ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾಗ, ನೀವು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಮಾತ್ರ ನೋಡಬಾರದು, ಆದರೆ ಮೊದಲು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ನಂತರ ಮಾತ್ರ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಬಳಸಿ.

1. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸ್ಥಿರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮಾಡಿ $y=7x^4$.

ನಾವು $y'=(7x^4)'$ ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಉತ್ಪನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ $7$ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಬಳಸಿ ಮತ್ತು ವಿದ್ಯುತ್ ಕಾರ್ಯದ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ:

2. ಮೊತ್ತದ (ವ್ಯತ್ಯಾಸ) ಉತ್ಪನ್ನವು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ (ವ್ಯತ್ಯಾಸ) ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

$y=7+x-5x^3+4 \sin ⁡x-9\sqrt +\frac -11\cot x$ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿ.

ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮಾಡುವಾಗ, ಎಲ್ಲಾ ಶಕ್ತಿಗಳು ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳನ್ನು $x^>$ ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ;

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ:

ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡ ನಂತರ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕೊನೆಯ ಎರಡರಂತೆ) ದೀರ್ಘವಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯುವುದನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ;

ನಾವು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳಿಂದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ; ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಬಳಸೋಣ:

ಅದನ್ನು ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ:

$=1-25x^4+4 \cos ⁡x-\frac >+\frac +\frac $. ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಹುಡುಕುವಾಗ, ಇದರೊಂದಿಗೆ ನಿಯಮಗಳು ಎಂಬುದನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ ಭಾಗಶಃ ಶಕ್ತಿಗಳುಬೇರುಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕವಾದವುಗಳೊಂದಿಗೆ - ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಿ.

ಏನೂ ಅರ್ಥವಾಗುತ್ತಿಲ್ಲವೇ?

ಸಹಾಯಕ್ಕಾಗಿ ನಿಮ್ಮ ಶಿಕ್ಷಕರನ್ನು ಕೇಳಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

3. ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನದ ಸೂತ್ರ:

$y=x^ \ln⁡x$ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿ.

ಮೊದಲಿಗೆ, ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಾವು ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

4. ಅಂಶ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಸೂತ್ರ:

$y=\frac $ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿ.

ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಆದ್ಯತೆಯ ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ, ನಾವು ಮೊದಲು ವಿಭಾಗವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನವನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಮೊದಲು ಅಂಶದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸೋಣ, ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸೋಣ:

$y=\frac $ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸೋಣ.

y ಕಾರ್ಯವು ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಂಶವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನೀವು ಅಂಶದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನೀವು ತೊಡಕಿನ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ. ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಲು, ನೀವು ಅಂಶವನ್ನು ಛೇದದ ಪದದಿಂದ ಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು:

ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಸರಳೀಕೃತ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ನಾವು ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸೋಣ.