ಸಂಕೀರ್ಣ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು. ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಉತ್ಪನ್ನ.
ಶಕ್ತಿ-ಘಾತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

ನಾವು ನಮ್ಮ ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ತಂತ್ರವನ್ನು ಸುಧಾರಿಸುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ಪಾಠದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ವಿಷಯವನ್ನು ನಾವು ಕ್ರೋಢೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಉತ್ಪನ್ನದೊಂದಿಗೆ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಹೊಸ ತಂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ತಂತ್ರಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಹೊಂದಿರುವ ಓದುಗರಿಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಟ್ಟದತಯಾರಿ, ನೀವು ಲೇಖನವನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಬೇಕು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ? ಪರಿಹಾರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು, ಇದು ನಿಮ್ಮ ಕೌಶಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬಹುತೇಕ ಮೊದಲಿನಿಂದಲೂ ಹೆಚ್ಚಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಮುಂದೆ, ನೀವು ಪುಟವನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ, ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಿ ಮತ್ತು ಪರಿಹರಿಸಿ ಎಲ್ಲಾನಾನು ನೀಡಿದ ಉದಾಹರಣೆಗಳು. ಈ ಪಾಠವು ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿ ಸತತವಾಗಿ ಮೂರನೆಯದು, ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಮಾಸ್ಟರಿಂಗ್ ಮಾಡಿದ ನಂತರ ನೀವು ಸಾಕಷ್ಟು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ವಿಶ್ವಾಸದಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತೀರಿ. “ಬೇರೆ ಎಲ್ಲಿ? ಹೌದು, ಅದು ಸಾಕು! ”, ಏಕೆಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ನೈಜತೆಯಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳುಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಎದುರಾಗುತ್ತವೆ.

ಪುನರಾವರ್ತನೆಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ. ಪಾಠದಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಿವರವಾದ ಕಾಮೆಂಟ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಹಲವಾರು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡಿದ್ದೇವೆ. ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಇತರ ವಿಭಾಗಗಳ ಅಧ್ಯಯನದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ- ನೀವು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ವಿವರಿಸಲು ಯಾವಾಗಲೂ ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿಲ್ಲ (ಮತ್ತು ಯಾವಾಗಲೂ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ). ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಮೌಖಿಕವಾಗಿ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದನ್ನು ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಅತ್ಯಂತ ಸೂಕ್ತವಾದ "ಅಭ್ಯರ್ಥಿಗಳು" ಸರಳವಾದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಾಗಿವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯ :

ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ ಇತರ ಮತನ್ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ, ಅಂತಹ ವಿವರವಾದ ದಾಖಲೆಯು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ; ಆಟೋಪೈಲಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂದು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅಂದು ಬೆಳಗಿನ ಜಾವ 3 ಗಂಟೆಗೆ ಅ ದೂರವಾಣಿ ಕರೆ, ಮತ್ತು ಆಹ್ಲಾದಕರ ಧ್ವನಿಕೇಳಿದರು: "ಎರಡು X ಗಳ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಯಾವುದು?" ಇದನ್ನು ಬಹುತೇಕ ತ್ವರಿತ ಮತ್ತು ಸಭ್ಯ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸಬೇಕು: .

ಮೊದಲ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ಉದ್ದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ ಸ್ವತಂತ್ರ ನಿರ್ಧಾರ.

ಉದಾಹರಣೆ 1

ಕೆಳಗಿನ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಮೌಖಿಕವಾಗಿ ಹುಡುಕಿ, ಒಂದು ಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ: . ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು ನೀವು ಮಾತ್ರ ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ(ನಿಮಗೆ ಇನ್ನೂ ನೆನಪಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ). ನಿಮಗೆ ಯಾವುದೇ ತೊಂದರೆಗಳಿದ್ದರೆ, ಪಾಠವನ್ನು ಮರು-ಓದಲು ನಾನು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಉತ್ತರಗಳು

ಸಂಕೀರ್ಣ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು

ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಫಿರಂಗಿ ತಯಾರಿಕೆಯ ನಂತರ, 3-4-5 ಗೂಡುಕಟ್ಟುವ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಕಡಿಮೆ ಭಯಾನಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಬಹುಶಃ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಎರಡು ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಕೆಲವರಿಗೆ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿ ಕಾಣಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ನೀವು ಅವುಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡರೆ (ಯಾರಾದರೂ ಬಳಲುತ್ತಿದ್ದಾರೆ), ನಂತರ ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲವೂ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರಇದು ಮಗುವಿನ ತಮಾಷೆಯಂತೆ ತೋರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2

ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಈಗಾಗಲೇ ಗಮನಿಸಿದಂತೆ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾಗ, ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಇದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ ಸರಿನಿಮ್ಮ ಹೂಡಿಕೆಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಿ. ಸಂದೇಹಗಳಿರುವ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ನಾನು ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ ಉಪಯುಕ್ತ ಟ್ರಿಕ್: ನಾವು "x" ನ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮತ್ತು ಬದಲಿಯಾಗಿ (ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ಅಥವಾ ಡ್ರಾಫ್ಟ್‌ನಲ್ಲಿ) ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ"ಭಯಾನಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ" ಆಗಿ.

1) ಮೊದಲು ನಾವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಮೊತ್ತವು ಆಳವಾದ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಆಗಿದೆ.

2) ನಂತರ ನೀವು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕು:

4) ನಂತರ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ಘನಗೊಳಿಸಿ:

5) ಐದನೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ:

6) ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಹೊರಗಿನ ಕಾರ್ಯವು ವರ್ಗಮೂಲವಾಗಿದೆ:

ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ಸೂತ್ರ ನಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುವುದು ಹಿಮ್ಮುಖ ಕ್ರಮ, ಹೊರಗಿನ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಅಂತರಂಗದವರೆಗೆ. ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಯಾವುದೇ ದೋಷಗಳಿಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ ...

(1) ವರ್ಗಮೂಲದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ.

(2) ನಾವು ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

(3) ಟ್ರಿಪಲ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎರಡನೇ ಪದದಲ್ಲಿ ನಾವು ಪದವಿಯ (ಕ್ಯೂಬ್) ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

(4) ಕೊಸೈನ್‌ನ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ.

(5) ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ.

(6) ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ನಾವು ಆಳವಾದ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಇದು ತುಂಬಾ ಕಷ್ಟಕರವೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇದು ಅತ್ಯಂತ ಕ್ರೂರ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕುಜ್ನೆಟ್ಸೊವ್ ಅವರ ಸಂಗ್ರಹವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿದ ಉತ್ಪನ್ನದ ಎಲ್ಲಾ ಸೌಂದರ್ಯ ಮತ್ತು ಸರಳತೆಯನ್ನು ನೀವು ಪ್ರಶಂಸಿಸುತ್ತೀರಿ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡಿದ್ದಾನೆಯೇ ಅಥವಾ ಅರ್ಥವಾಗುತ್ತಿಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಅವರು ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಇದೇ ರೀತಿಯ ವಿಷಯವನ್ನು ನೀಡಲು ಇಷ್ಟಪಡುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ನಾನು ಗಮನಿಸಿದ್ದೇನೆ.

ಈ ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯು ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಲು.

ಉದಾಹರಣೆ 3

ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಸುಳಿವು: ಮೊದಲು ನಾವು ರೇಖಾತ್ಮಕತೆಯ ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ

ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಉತ್ತರ.

ಚಿಕ್ಕದಾದ ಮತ್ತು ಒಳ್ಳೆಯದಕ್ಕೆ ಹೋಗಲು ಇದು ಸಮಯ.
ಎರಡಲ್ಲದ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೋರಿಸಲು ಉದಾಹರಣೆಗಾಗಿ ಇದು ಅಸಾಮಾನ್ಯವೇನಲ್ಲ, ಆದರೆ ಮೂರು ಕಾರ್ಯಗಳು. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ ಮೂರು ಉತ್ಪನ್ನಗಳುಗುಣಕಗಳು?

ಉದಾಹರಣೆ 4

ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಮೊದಲು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಮೂರು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವೇ? ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಉತ್ಪನ್ನದಲ್ಲಿ ನಾವು ಎರಡು ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯಬಹುದು. ಆದರೆ ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ: ಪದವಿ, ಘಾತಾಂಕ ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮ್.

ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ಅವಶ್ಯಕ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿಉತ್ಪನ್ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ ಎರಡು ಬಾರಿ

ಟ್ರಿಕ್ ಏನೆಂದರೆ “y” ಮೂಲಕ ನಾವು ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ: ಮತ್ತು “ve” ಮೂಲಕ ನಾವು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ: . ಇದನ್ನು ಏಕೆ ಮಾಡಬಹುದು? ಇದು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಇದೆಯೇ - ಇದು ಎರಡು ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಲ್ಲ ಮತ್ತು ನಿಯಮವು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವುದಿಲ್ಲವೇ?! ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಏನೂ ಇಲ್ಲ:

ಈಗ ಎರಡನೇ ಬಾರಿಗೆ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಉಳಿದಿದೆ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗೆ:

ನೀವು ಇನ್ನೂ ವಿಕೃತರಾಗಬಹುದು ಮತ್ತು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ಏನನ್ನಾದರೂ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಆದರೆ ಒಳಗೆ ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಉತ್ತರವನ್ನು ಬಿಡುವುದು ಉತ್ತಮ - ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಸುಲಭವಾಗುತ್ತದೆ.

ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಎರಡನೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು:

ಎರಡೂ ಪರಿಹಾರಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 5

ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಇದು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ; ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಮೊದಲ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 6

ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ನೀವು ಇಲ್ಲಿಗೆ ಹೋಗಬಹುದಾದ ಹಲವಾರು ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ:

ಅಥವಾ ಈ ರೀತಿ:

ಆದರೆ ನಾವು ಮೊದಲು ಅಂಶದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಂದ್ರವಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ , ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ:

ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ, ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಹಾಗೆಯೇ ಬಿಟ್ಟರೆ, ಅದು ದೋಷವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ನಿಮಗೆ ಸಮಯವಿದ್ದರೆ, ಉತ್ತರವನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಬಹುದೇ ಎಂದು ನೋಡಲು ಡ್ರಾಫ್ಟ್ ಅನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ? ನಾವು ಅಂಶದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡೋಣ ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಮತ್ತು ಮೂರು ಅಂತಸ್ತಿನ ಭಾಗವನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕೋಣ:

ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸರಳೀಕರಣಗಳ ಅನನುಕೂಲವೆಂದರೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾಗ ತಪ್ಪನ್ನು ಮಾಡುವ ಅಪಾಯವಿದೆ, ಆದರೆ ನೀರಸ ಶಾಲಾ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಸಮಯದಲ್ಲಿ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಶಿಕ್ಷಕರು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಿಯೋಜನೆಯನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು "ಮನಸ್ಸಿಗೆ ತರಲು" ಕೇಳುತ್ತಾರೆ.

ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಲು ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 7

ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ನಾವು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಈಗ ನಾವು "ಭಯಾನಕ" ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ವಿಭಿನ್ನತೆಗಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದಾಗ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ

ಉದಾಹರಣೆ 8

ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಇಲ್ಲಿ ನೀವು ಬಹಳ ದೂರ ಹೋಗಬಹುದು:

ಆದರೆ ಮೊದಲ ಹೆಜ್ಜೆ ತಕ್ಷಣವೇ ನಿಮ್ಮನ್ನು ಹತಾಶೆಗೆ ದೂಡುತ್ತದೆ - ನೀವು ಅಹಿತಕರ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಭಾಗಶಃ ಶಕ್ತಿ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಭಾಗದಿಂದ ಕೂಡ.

ಅದಕ್ಕೇ ಮೊದಲು"ಅತ್ಯಾಧುನಿಕ" ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೇಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು, ಇದನ್ನು ಮೊದಲು ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಶಾಲಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸರಳೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ:

! ನಿಮ್ಮ ಕೈಯಲ್ಲಿ ಅಭ್ಯಾಸ ನೋಟ್‌ಬುಕ್ ಇದ್ದರೆ, ಈ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಅಲ್ಲಿ ನಕಲಿಸಿ. ನಿಮ್ಮ ಬಳಿ ನೋಟ್‌ಬುಕ್ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಕಾಗದದ ತುಂಡು ಮೇಲೆ ನಕಲಿಸಿ, ಏಕೆಂದರೆ ಪಾಠದ ಉಳಿದ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಈ ಸೂತ್ರಗಳ ಸುತ್ತ ಸುತ್ತುತ್ತವೆ.

ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯಬಹುದು:

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ:

ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು:

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪೂರ್ವ-ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು ಸ್ವತಃ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸರಳಗೊಳಿಸಿತು. ಹೀಗಾಗಿ, ವಿಭಿನ್ನತೆಗಾಗಿ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದಾಗ, "ಅದನ್ನು ಒಡೆಯಲು" ಯಾವಾಗಲೂ ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಮತ್ತು ಈಗ ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಲು ಕೆಲವು ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

ಉದಾಹರಣೆ 9

ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಉದಾಹರಣೆ 10

ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಎಲ್ಲಾ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಮತ್ತು ಉತ್ತರಗಳು ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿವೆ.

ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಉತ್ಪನ್ನ

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಅಂತಹ ಸಿಹಿ ಸಂಗೀತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಪ್ರಶ್ನೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ: ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಕೃತಕವಾಗಿ ಸಂಘಟಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವೇ? ಮಾಡಬಹುದು! ಮತ್ತು ಅಗತ್ಯ ಕೂಡ.

ಉದಾಹರಣೆ 11

ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ನಾವು ಇತ್ತೀಚೆಗೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡಿದ್ದೇವೆ. ಏನ್ ಮಾಡೋದು? ನೀವು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಅಂಶದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ನಂತರ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ಈ ವಿಧಾನದ ಅನನುಕೂಲವೆಂದರೆ ನೀವು ದೊಡ್ಡ ಮೂರು ಅಂತಸ್ತಿನ ಭಾಗದೊಂದಿಗೆ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತೀರಿ, ಅದನ್ನು ನೀವು ಎದುರಿಸಲು ಬಯಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಆದರೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಉತ್ಪನ್ನದಂತಹ ಅದ್ಭುತ ವಿಷಯವಿದೆ. ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ "ನೇತಾಡುವ" ಮೂಲಕ ಕೃತಕವಾಗಿ ಆಯೋಜಿಸಬಹುದು:

ಈಗ ನೀವು ಬಲಭಾಗದ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು "ವಿಘಟನೆ" ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ (ನಿಮ್ಮ ಕಣ್ಣುಗಳ ಮುಂದೆ ಸೂತ್ರಗಳು?). ನಾನು ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ವಿವರಿಸುತ್ತೇನೆ:

ವ್ಯತ್ಯಾಸದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ.
ನಾವು ಎರಡೂ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಕ್ತಾಯಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಬಲಭಾಗದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ; ನಾನು ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ನೀವು ಈ ಪಠ್ಯವನ್ನು ಓದುತ್ತಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಅದನ್ನು ಆತ್ಮವಿಶ್ವಾಸದಿಂದ ನಿಭಾಯಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ.

ಎಡಭಾಗದ ಬಗ್ಗೆ ಏನು?

ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯ. ನಾನು ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಮುನ್ಸೂಚಿಸುತ್ತೇನೆ: "ಏಕೆ, ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ "Y" ಎಂಬ ಒಂದು ಅಕ್ಷರವಿದೆಯೇ?"

ಸತ್ಯವೆಂದರೆ ಈ "ಒಂದು ಅಕ್ಷರದ ಆಟ" - ಇಸ್ ಸೆಲ್ಫ್ ಎ ಫಂಕ್ಷನ್(ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಲೇಖನವನ್ನು ನೋಡಿ). ಆದ್ದರಿಂದ, ಲಾಗರಿಥಮ್ ಬಾಹ್ಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು "y" ಆಗಿದೆ ಆಂತರಿಕ ಕಾರ್ಯ. ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ನಾವು ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ :

ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಮಾಂತ್ರಿಕನಂತೆ ಮಂತ್ರ ದಂಡನಾವು ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಮುಂದೆ, ಅನುಪಾತದ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ, ನಾವು "y" ಅನ್ನು ಎಡಭಾಗದ ಛೇದದಿಂದ ಬಲಭಾಗದ ಮೇಲ್ಭಾಗಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಮತ್ತು ಈಗ ನಾವು ಯಾವ ರೀತಿಯ "ಪ್ಲೇಯರ್"-ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಮಾತನಾಡಿದ್ದೇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಸೋಣ? ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ನೋಡೋಣ:

ಅಂತಿಮ ಉತ್ತರ:

ಉದಾಹರಣೆ 12

ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆ ವಿನ್ಯಾಸ ಉದಾಹರಣೆ ಈ ಪ್ರಕಾರದಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ.

ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಯಾವುದೇ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಸಂಖ್ಯೆ 4-7 ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು, ಇನ್ನೊಂದು ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಅಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸರಳವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಬಹುಶಃ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸಮರ್ಥಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ.

ಶಕ್ತಿ-ಘಾತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

ನಾವು ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಇನ್ನೂ ಪರಿಗಣಿಸಿಲ್ಲ. ಶಕ್ತಿ-ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಪದವಿ ಮತ್ತು ಬೇಸ್ ಎರಡೂ "x" ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಕ್ಲಾಸಿಕ್ ಉದಾಹರಣೆ, ಯಾವುದೇ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ಉಪನ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ ನಿಮಗೆ ನೀಡಲಾಗುವುದು:

ಪವರ್-ಘಾತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು?

ಈಗ ಚರ್ಚಿಸಿದ ತಂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ - ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಉತ್ಪನ್ನ. ನಾವು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಥಗಿತಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ:

ನಿಯಮದಂತೆ, ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಪದವಿಯನ್ನು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾವು ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಅದು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸೂತ್ರ .

ನಾವು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ; ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಎರಡೂ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಸ್ಟ್ರೋಕ್‌ಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸುತ್ತುವರಿಯುತ್ತೇವೆ:

ಮುಂದಿನ ಕ್ರಮಗಳು ಸರಳವಾಗಿದೆ:

ಅಂತಿಮವಾಗಿ:

ಯಾವುದೇ ಪರಿವರ್ತನೆಯು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ದಯವಿಟ್ಟು ಉದಾಹರಣೆ #11 ರ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಪುನಃ ಓದಿ.

IN ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳುಉಪನ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಿದ ಉದಾಹರಣೆಗಿಂತ ಶಕ್ತಿ-ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯವು ಯಾವಾಗಲೂ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 13

ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ನಾವು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.

ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾವು ಸ್ಥಿರ ಮತ್ತು ಎರಡು ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ - "x" ಮತ್ತು "ಲಾಗರಿಥಮ್ x" (ಮತ್ತೊಂದು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಲಾಗರಿದಮ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನೆಸ್ಟ್ ಆಗಿದೆ). ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮಾಡುವಾಗ, ನಮಗೆ ನೆನಪಿರುವಂತೆ, ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸ್ಥಿರವನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ಸರಿಸಲು ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಅದು ದಾರಿಯಲ್ಲಿ ಸಿಗುವುದಿಲ್ಲ; ಮತ್ತು, ಸಹಜವಾಗಿ, ನಾವು ಪರಿಚಿತ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ :

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಳಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಯಾವುದೇ ವಿಶೇಷ ತಂತ್ರಗಳು ಅಥವಾ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ವಿದ್ಯುತ್-ಘಾತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ "ಯಾತನೆ" ಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ ಕೆಳಗಿನ ಕಾರ್ಯಗಳು:
; ; ; ; .

ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದಾದರೆ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪ:
,
ನಂತರ ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
.
ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ, ನಾವು ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:
.
ಎಲ್ಲಿ .
ಇಲ್ಲಿ, ಸಬ್‌ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್‌ಗಳು ಅಥವಾ , ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಇದೆ, ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕಗಳಲ್ಲಿ, ವೇರಿಯಬಲ್ x ನಿಂದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, x ಒಂದು ಔಪಚಾರಿಕ ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿದೆ. ವೇರಿಯಬಲ್ x ಅನ್ನು ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನಿಂದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವಾಗ, ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ವೇರಿಯಬಲ್ x ಅನ್ನು ವೇರಿಯೇಬಲ್ u ಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಉದಾಹರಣೆ 1

ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ
.

ಪರಿಹಾರ

ಅದನ್ನು ಬರೆಯೋಣ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆಸಮಾನ ರೂಪದಲ್ಲಿ:
.
ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:
;
.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:
.
ಇಲ್ಲಿ .

ಉತ್ತರ

ಉದಾಹರಣೆ 2

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ
.

ಪರಿಹಾರ

ನಾವು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸ್ಥಿರವಾದ 5 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:
.

.
ಇಲ್ಲಿ .

ಉತ್ತರ

ಉದಾಹರಣೆ 3

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ
.

ಪರಿಹಾರ

ನಾವು ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುತ್ತೇವೆ -1 ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಗಾಗಿ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:
;
ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:
.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ:
.
ಇಲ್ಲಿ .

ಉತ್ತರ

ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಹೆಚ್ಚು ರಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಉದಾಹರಣೆಗಳುಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿಭಿನ್ನಗೊಳಿಸುವ ನಿಯಮವನ್ನು ನಾವು ಹಲವಾರು ಬಾರಿ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಅಂತ್ಯದಿಂದ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಅಂದರೆ, ನಾವು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅದರ ಘಟಕ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಬಳಸುವ ಸರಳ ಭಾಗಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ. ನಾವೂ ಬಳಸುತ್ತೇವೆ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ನಿಯಮಗಳು, ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಮತ್ತು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು. ನಂತರ ನಾವು ಪರ್ಯಾಯಗಳನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಕ್ಕಾಗಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 4

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ
.

ಪರಿಹಾರ

ಹೆಚ್ಚಿನದನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡೋಣ ಸರಳ ಭಾಗಸೂತ್ರ ಮತ್ತು ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. .

.
ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದೇವೆ
.

ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮೂಲ ಕಾರ್ಯದ ಮುಂದಿನ ಭಾಗದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಮೊತ್ತವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ನಾವು ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ:
.

ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ನಾವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ.

.
ಇಲ್ಲಿ .

ಉತ್ತರ

ಉದಾಹರಣೆ 5

ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ
.

ಪರಿಹಾರ

ಸೂತ್ರದ ಸರಳವಾದ ಭಾಗವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. .

ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮವನ್ನು ನಾವು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ.
.
ಇಲ್ಲಿ
.

ನಿರ್ಧರಿಸಿ ಭೌತಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳುಅಥವಾ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ವಿಧಾನಗಳ ಜ್ಞಾನವಿಲ್ಲದೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅಸಾಧ್ಯ. ಉತ್ಪನ್ನವು ಒಂದು ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಮುಖ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳುಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ. ಈ ಮೂಲಭೂತ ವಿಷಯಇಂದಿನ ಲೇಖನವನ್ನು ಅರ್ಪಿಸಲು ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸಿದ್ದೇವೆ. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಎಂದರೇನು, ಅದರ ಭೌತಿಕ ಯಾವುದು ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು? ಈ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಒಂದಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು: ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೇಗೆ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು?

ಉತ್ಪನ್ನದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮತ್ತು ಭೌತಿಕ ಅರ್ಥ

ಒಂದು ಕಾರ್ಯ ನಡೆಯಲಿ f(x) , ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ (ಎ, ಬಿ) . x ಮತ್ತು x0 ಅಂಕಗಳು ಈ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಸೇರಿವೆ. x ಬದಲಾದಾಗ, ಕಾರ್ಯವು ಸ್ವತಃ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಾದವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದು - ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ x-x0 . ಈ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ ಡೆಲ್ಟಾ x ಮತ್ತು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಇನ್ಕ್ರಿಮೆಂಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯದ ಬದಲಾವಣೆ ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಳವು ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ. ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ:

ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಹೆಚ್ಚಳದ ಅನುಪಾತದ ಮಿತಿಯಾಗಿದ್ದು, ಎರಡನೆಯದು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರಿದಾಗ ವಾದದ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ.

ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಇದನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯಬಹುದು:

ಅಂತಹ ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದರಲ್ಲಿ ಏನು ಪ್ರಯೋಜನ? ಮತ್ತು ಅದು ಏನು ಎಂಬುದು ಇಲ್ಲಿದೆ:

ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು OX ಅಕ್ಷದ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಭೌತಿಕ ಅರ್ಥಉತ್ಪನ್ನ: ಸಮಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಮಾರ್ಗದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ರೆಕ್ಟಿಲಿನಿಯರ್ ಚಲನೆಯ ವೇಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಶಾಲಾ ದಿನಗಳಿಂದಲೂ ವೇಗವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಾರ್ಗವೆಂದು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ತಿಳಿದಿದೆ x=f(t) ಮತ್ತು ಸಮಯ ಟಿ . ಸರಾಸರಿ ವೇಗಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಧಿಗೆ:

ಒಂದು ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಚಲನೆಯ ವೇಗವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು t0 ನೀವು ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕು:

ನಿಯಮ ಒಂದು: ಸ್ಥಿರವನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸ್ಥಿರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಇದಲ್ಲದೆ, ಇದನ್ನು ಮಾಡಬೇಕು. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಅದನ್ನು ನಿಯಮದಂತೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ - ನೀವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಬಹುದಾದರೆ, ಅದನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಲು ಮರೆಯದಿರಿ .

ಉದಾಹರಣೆ. ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:

ನಿಯಮ ಎರಡು: ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಈ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಇದು ನಿಜವಾಗಿದೆ.

ನಾವು ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ, ಬದಲಿಗೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ನಿಯಮ ಮೂರು: ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನ

ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಉದಾಹರಣೆ: ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

ಪರಿಹಾರ:

ಇಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುವುದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಮಧ್ಯಂತರ ವಾದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಈ ಕ್ರಿಯೆಯ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಮಧ್ಯಂತರ ವಾದದ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ.

ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ:

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮಧ್ಯಂತರ ವಾದವು ಐದನೇ ಶಕ್ತಿಗೆ 8x ಆಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ನಾವು ಮೊದಲು ಮಧ್ಯಂತರ ವಾದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಬಾಹ್ಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಮಧ್ಯಂತರ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದಿಂದ ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ.

ನಿಯಮ ನಾಲ್ಕು: ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಂಶದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಂಶದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಸೂತ್ರ:

ನಾವು ಮೊದಲಿನಿಂದ ಡಮ್ಮೀಸ್‌ಗಾಗಿ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕುರಿತು ಮಾತನಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಈ ವಿಷಯವು ತೋರುತ್ತಿರುವಷ್ಟು ಸರಳವಾಗಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಎಚ್ಚರಿಕೆ: ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಆಗಾಗ್ಗೆ ಮೋಸಗಳಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ ಜಾಗರೂಕರಾಗಿರಿ.

ಈ ಮತ್ತು ಇತರ ವಿಷಯಗಳ ಕುರಿತು ಯಾವುದೇ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿದ್ದರೆ, ನೀವು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಸೇವೆಯನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸಬಹುದು. ಹಿಂದೆ ಅಲ್ಪಾವಧಿನೀವು ಹಿಂದೆಂದೂ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಮಾಡದಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಅತ್ಯಂತ ಕಷ್ಟಕರವಾದ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಾವು ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.\(y = f(x) \) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ \(x_0\) ಬಿಂದುವನ್ನು ಅದರೊಳಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ. ಈ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಬಿಡದಂತೆ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ \(\ಡೆಲ್ಟಾ x \) ಅನ್ನು ನೀಡೋಣ. ಕಾರ್ಯದ ಅನುಗುಣವಾದ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ \(\Delta y \) (ಬಿಂದು \(x_0 \) ನಿಂದ \(x_0 + \Delta x \) ಗೆ ಚಲಿಸುವಾಗ) ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧವನ್ನು ರಚಿಸೋಣ \(\frac(\Delta y)(\ಡೆಲ್ಟಾ x) \). \(\Delta x \rightarrow 0\) ನಲ್ಲಿ ಈ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಮಿತಿ ಇದ್ದರೆ, ನಂತರ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ\(x_0 \) ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ \(y=f(x) \) ಮತ್ತು \(f"(x_0) \) ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು y ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ." y" = f(x) ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ ನವೀನ ಲಕ್ಷಣಗಳು, ಆದರೆ ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ y = f(x) ಕಾರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯು ಇರುವ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ x ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ: y = f(x) ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ.

ಉತ್ಪನ್ನದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥಈ ಕೆಳಕಂಡಂತೆ. y-ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿಲ್ಲದ abscissa x=a ನೊಂದಿಗೆ ಹಂತದಲ್ಲಿ y = f(x) ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಸೆಳೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, f(a) ಸ್ಪರ್ಶದ ಇಳಿಜಾರನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ :
\(k = f"(a)\)

\(k = tg(a) \), ನಂತರ ಸಮಾನತೆ \(f"(a) = tan(a) \) ನಿಜ.

ಈಗ ಅಂದಾಜು ಸಮಾನತೆಗಳ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ. ಕಾರ್ಯವು \(y = f(x)\) ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿ \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
ಇದರರ್ಥ x ಬಿಂದುವಿನ ಬಳಿ ಅಂದಾಜು ಸಮಾನತೆ \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x)\), ಅಂದರೆ \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ ಡೆಲ್ಟಾ x\). ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಂದಾಜು ಸಮಾನತೆಯ ಅರ್ಥಪೂರ್ಣ ಅರ್ಥವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ: ಕಾರ್ಯದ ಹೆಚ್ಚಳವು ವಾದದ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ "ಬಹುತೇಕ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ" ಮತ್ತು ಅನುಪಾತದ ಗುಣಾಂಕವು ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ ಪಾಯಿಂಟ್ ನೀಡಲಾಗಿದೆ X. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ \(y = x^2\) ಅಂದಾಜು ಸಮಾನತೆ \(\Delta y \ approx 2x \cdot \Delta x \) ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿದರೆ, ಅದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಅದು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಅದನ್ನು ರೂಪಿಸೋಣ.

y = f(x) ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ?

1. \(x\) ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಿ, \(f(x)\) ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ
2. ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ \(x\) ಒಂದು ಇನ್ಕ್ರಿಮೆಂಟ್ ನೀಡಿ \(\Delta x\), ಗೆ ಹೋಗಿ ಹೊಸ ಪಾಯಿಂಟ್\(x+ \Delta x \), ಹುಡುಕಿ \(f(x+ \Delta x) \)
3. ಕಾರ್ಯದ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. ಸಂಬಂಧವನ್ನು ರಚಿಸಿ \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
ಈ ಮಿತಿಯು ಪಾಯಿಂಟ್ x ನಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ.

ಒಂದು ಫಂಕ್ಷನ್ y = f(x) x ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು x ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಡಿಫರೆನ್ಸಿಬಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. y = f(x) ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕಾರ್ಯಗಳು y = f(x).

ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಚರ್ಚಿಸೋಣ: ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ನಿರಂತರತೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಹೇಗೆ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ?

x ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ y = f(x) ಕಾರ್ಯವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ M(x; f(x)) ಪಾಯಿಂಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಎಳೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ, ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕವು f "(x) ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಗ್ರಾಫ್ "ಮುರಿಯಲು" ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಪಾಯಿಂಟ್ M ನಲ್ಲಿ, ಅಂದರೆ ಕ್ರಿಯೆಯು ಪಾಯಿಂಟ್ x ನಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರಬೇಕು.

ಇವು "ಹ್ಯಾಂಡ್-ಆನ್" ವಾದಗಳಾಗಿವೆ. ನಾವು ಹೆಚ್ಚು ಕಠಿಣವಾದ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯನ್ನು ನೀಡೋಣ. x ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ y = f(x) ಕಾರ್ಯವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂದಾಜು ಸಮಾನತೆ \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \) ಹೊಂದಿದೆ. ಈ ಸಮಾನತೆಯಲ್ಲಿ \(\Delta x \) ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ, ನಂತರ \(\Delta y \) ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ನಿರಂತರತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, x ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ರಿವರ್ಸ್ ಹೇಳಿಕೆ ನಿಜವಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ: ಕಾರ್ಯ y = |x| ಎಲ್ಲೆಡೆ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ x = 0 ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ, ಆದರೆ "ಜಂಕ್ಷನ್ ಪಾಯಿಂಟ್" (0; 0) ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ. ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಎಳೆಯಲಾಗದಿದ್ದರೆ, ಆ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ.

ಇನ್ನೂ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ. \(y=\sqrt(x)\) ಕಾರ್ಯವು x = 0 ಬಿಂದುವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವು x = 0 ಬಿಂದುವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಯಾವುದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕವು y-ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಇದು abscissa ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದರ ಸಮೀಕರಣವು x = 0 ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಇಳಿಜಾರು ಗುಣಾಂಕಅಂತಹ ಸಾಲು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ \(f"(0) \) ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಹೊಸ ಆಸ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಯವಾಯಿತು - ವಿಭಿನ್ನತೆ. ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ನಿಂದ ಅದು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಗೆ ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು?

ಉತ್ತರವನ್ನು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಕೆಲವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರದ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಸೆಳೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಅದು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮಗಳು

ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸ. ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವಾಗ, ನೀವು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಭಾಗಗಳು, ಮೊತ್ತಗಳು, ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು, ಹಾಗೆಯೇ "ಕಾರ್ಯಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳು", ಅಂದರೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ಈ ಕೆಲಸವನ್ನು ಸುಲಭಗೊಳಿಸುವ ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಸಿ ವೇಳೆ - ಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆಮತ್ತು f=f(x), g=g(x) ಕೆಲವು ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳು, ನಂತರ ಕೆಳಗಿನವುಗಳು ನಿಜ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ನಿಯಮಗಳು:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಸೂತ್ರದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ಅಥವಾ ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವ ಸಂದರ್ಭಗಳನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಅಸ್ಥಿರ.

ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರಗಳುಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಕ್ಕಾಗಿ.
ವೇಳೆ, ನಂತರ
.
ವೇಳೆ, ನಂತರ
.
ವೇಳೆ, ನಂತರ
.

ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನಿಂದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

ವೇರಿಯಬಲ್ x ನ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸೋಣ:
,
ಅಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯಗಳಿವೆ. ವೇರಿಯಬಲ್ x ನ ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಕಾರ್ಯವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯವು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.
ನಂತರ ಸಂಕೀರ್ಣ (ಸಂಯೋಜಿತ) ಕಾರ್ಯವು ಪಾಯಿಂಟ್ x ನಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
(1) .

ಫಾರ್ಮುಲಾ (1) ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು:
;
.

ಪುರಾವೆ

ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ.
;
.
ಇಲ್ಲಿ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯವಿದೆ ಮತ್ತು , ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯವಿದೆ ಮತ್ತು . ಆದರೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಅಸ್ತವ್ಯಸ್ತಗೊಳಿಸದಂತೆ ನಾವು ಈ ಕಾರ್ಯಗಳ ವಾದಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡುತ್ತೇವೆ.

ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ರಮವಾಗಿ x ಮತ್ತು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಈ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಈ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿವೆ, ಅವುಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮಿತಿಗಳಾಗಿವೆ:
;
.

ಕೆಳಗಿನ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:
.
ವೇರಿಯೇಬಲ್ u ನ ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಾಗಿ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟ
.
ನಂತರ
.

ಕಾರ್ಯವು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅದು ಆ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅದಕ್ಕೇ
.
ನಂತರ
.

ಈಗ ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

.

ಸೂತ್ರವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಪರಿಣಾಮ

ವೇರಿಯಬಲ್ x ನ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿದರೆ
,
ನಂತರ ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ
.
ಇಲ್ಲಿ , ಮತ್ತು ಕೆಲವು ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳಿವೆ.

ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.
ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ
.
ಇದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
.
ಮೂಲ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ
.
ಇದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
.

ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಂದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

ಈಗ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವು ಹಲವಾರು ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರಲಿ. ಮೊದಲು ನೋಡೋಣ ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ಪ್ರಕರಣ.

ವೇರಿಯಬಲ್ x ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸೋಣ:
,
ಎಲ್ಲಿ
ಮತ್ತು ವೇರಿಯಬಲ್ x ನ ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳಿವೆ;
- ಎರಡು ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳ ಕಾರ್ಯ, ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮಾಡಬಹುದು , . ನಂತರ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
(2) .

ಪುರಾವೆ

ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಹಂತದಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅವುಗಳನ್ನು ಈ ಹಂತದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮಿತಿಗಳಾಗಿವೆ:
;
.
ಇಲ್ಲಿ
;
.
ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಈ ಕಾರ್ಯಗಳ ನಿರಂತರತೆಯಿಂದಾಗಿ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:
;
.

ಕಾರ್ಯವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಈ ಹಂತದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು:
(3) .
ಇಲ್ಲಿ

- ಅದರ ವಾದಗಳನ್ನು ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ ಹೆಚ್ಚಿಸಿದಾಗ ಕಾರ್ಯದ ಹೆಚ್ಚಳ ಮತ್ತು ;
;

- ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಕಾರ್ಯದ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಮತ್ತು .
ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು , ಮತ್ತು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು . ಅವರು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು:
;
.
ರಿಂದ ಮತ್ತು, ನಂತರ
;
.

ಕಾರ್ಯ ಹೆಚ್ಚಳ:

. :
.
ಬದಲಿ ಮಾಡೋಣ (3):



.

ಸೂತ್ರವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಹಲವಾರು ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಂದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎರಡಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾದಾಗ ಮೇಲಿನ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, f ಆಗಿದ್ದರೆ ಮೂರು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯ, ಅದು
,
ಎಲ್ಲಿ
, ಮತ್ತು ವೇರಿಯಬಲ್ x ನ ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳಿವೆ;
- ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಮೂರು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯ, , .
ನಂತರ, ಕಾರ್ಯದ ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:
(4)
.
ಏಕೆಂದರೆ, ನಿರಂತರತೆಯಿಂದಾಗಿ,
; ; ,
ಅದು
;
;
.

(4) ಅನ್ನು ಭಾಗಿಸಿ ಮತ್ತು ಮಿತಿಗೆ ಹಾದುಹೋಗುವಾಗ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
.

ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣ .
ವೇರಿಯೇಬಲ್ x ನ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿ n ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸೋಣ:
,
ಎಲ್ಲಿ
ವೇರಿಯಬಲ್ x ನ ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳಿವೆ;
- ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ n ಅಸ್ಥಿರಗಳ ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯ
, , ... , .
ನಂತರ
.