ಮೊದಲ ಹಂತ

ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ. ಸಮಗ್ರ ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿ (2019)

ಗುಡ್ಡಗಾಡು ಪ್ರದೇಶದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ನೇರವಾದ ರಸ್ತೆಯನ್ನು ಊಹಿಸೋಣ. ಅಂದರೆ, ಅದು ಮೇಲಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಕೆಳಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಬಲಕ್ಕೆ ಅಥವಾ ಎಡಕ್ಕೆ ತಿರುಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅಕ್ಷವನ್ನು ರಸ್ತೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಮತ್ತು ಲಂಬವಾಗಿ ಅಡ್ಡಲಾಗಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸಿದರೆ, ರಸ್ತೆ ರೇಖೆಯು ಕೆಲವು ನಿರಂತರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ:

ಅಕ್ಷವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಟ್ಟದ ಶೂನ್ಯ ಎತ್ತರವಾಗಿದೆ; ನಾವು ಸಮುದ್ರ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಅದರಂತೆ ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.

ಅಂತಹ ರಸ್ತೆಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಮುಂದೆ ಸಾಗುವಾಗ, ನಾವು ಮೇಲಕ್ಕೆ ಅಥವಾ ಕೆಳಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಸಹ ಹೇಳಬಹುದು: ವಾದವು ಬದಲಾದಾಗ (ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಚಲನೆ), ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವು ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ (ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಚಲನೆ). ಈಗ ನಮ್ಮ ರಸ್ತೆಯ "ಕಡಿದಾದ" ಯನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಎಂದು ಯೋಚಿಸೋಣ? ಇದು ಯಾವ ರೀತಿಯ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿರಬಹುದು? ಇದು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ: ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದೂರವನ್ನು ಮುಂದಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುವಾಗ ಎತ್ತರವು ಎಷ್ಟು ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ಆನ್ ವಿವಿಧ ಪ್ರದೇಶಗಳುರಸ್ತೆಗಳು, ಒಂದು ಕಿಲೋಮೀಟರ್ ಮುಂದೆ (x- ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ) ಚಲಿಸುವಾಗ, ನಾವು ಏರುತ್ತೇವೆ ಅಥವಾ ಬೀಳುತ್ತೇವೆ ವಿವಿಧ ಪ್ರಮಾಣಗಳುಸಮುದ್ರ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಮೀಟರ್ (ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ).

ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ ("ಡೆಲ್ಟಾ x" ಓದಿ).

ಗ್ರೀಕ್ ಅಕ್ಷರವನ್ನು (ಡೆಲ್ಟಾ) ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ "ಬದಲಾವಣೆ" ಎಂಬರ್ಥದ ಪೂರ್ವಪ್ರತ್ಯಯವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ - ಇದು ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಬದಲಾವಣೆ, - ಬದಲಾವಣೆ; ಹಾಗಾದರೆ ಅದು ಏನು? ಅದು ಸರಿ, ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಬದಲಾವಣೆ.

ಪ್ರಮುಖ: ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಒಂದೇ ಸಂಪೂರ್ಣ, ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದೆ. "ಡೆಲ್ಟಾ" ಅನ್ನು "x" ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ಇತರ ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಎಂದಿಗೂ ಬೇರ್ಪಡಿಸಬೇಡಿ! ಅಂದರೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, .

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಮುಂದೆ, ಅಡ್ಡಲಾಗಿ, ಮೂಲಕ. ನಾವು ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ನೊಂದಿಗೆ ರಸ್ತೆಯ ರೇಖೆಯನ್ನು ಹೋಲಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಏರಿಕೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ? ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ, . ಅಂದರೆ, ನಾವು ಮುಂದೆ ಹೋದಂತೆ, ನಾವು ಎತ್ತರಕ್ಕೆ ಏರುತ್ತೇವೆ.

ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಸುಲಭ: ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ಎತ್ತರದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಚಲಿಸಿದ ನಂತರ ನಾವು ಎತ್ತರದಲ್ಲಿ ಕಾಣುತ್ತೇವೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಆರಂಭಿಕಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ, ಅದು ನಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ - ಇದರರ್ಥ ನಾವು ಆರೋಹಣವಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅವರೋಹಣ.

ನಾವು "ಕಡಿದಾದ" ಗೆ ಹಿಂತಿರುಗೋಣ: ಇದು ದೂರದ ಒಂದು ಘಟಕವನ್ನು ಮುಂದಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುವಾಗ ಎತ್ತರವು ಎಷ್ಟು (ಕಡಿದಾದ) ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುವ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ:

ರಸ್ತೆಯ ಕೆಲವು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಕಿಲೋಮೀಟರ್ ಮುಂದೆ ಚಲಿಸುವಾಗ, ರಸ್ತೆಯು ಒಂದು ಕಿಲೋಮೀಟರ್ ಏರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ ಈ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಇಳಿಜಾರು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ರಸ್ತೆ, ಮೀ ಮೂಲಕ ಮುಂದಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುವಾಗ, ಕಿಮೀಯಿಂದ ಕೈಬಿಟ್ಟರೆ? ನಂತರ ಇಳಿಜಾರು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಈಗ ಬೆಟ್ಟದ ತುದಿಯನ್ನು ನೋಡೋಣ. ನೀವು ಶಿಖರಕ್ಕೆ ಅರ್ಧ ಕಿಲೋಮೀಟರ್ ಮೊದಲು ವಿಭಾಗದ ಆರಂಭವನ್ನು ಮತ್ತು ಅದರ ನಂತರ ಅರ್ಧ ಕಿಲೋಮೀಟರ್ ಅಂತ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ಎತ್ತರವು ಬಹುತೇಕ ಒಂದೇ ಆಗಿರುವುದನ್ನು ನೀವು ನೋಡಬಹುದು.

ಅಂದರೆ, ನಮ್ಮ ತರ್ಕದ ಪ್ರಕಾರ, ಇಲ್ಲಿ ಇಳಿಜಾರು ಬಹುತೇಕ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ, ಅದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ನಿಜವಲ್ಲ. ಕೇವಲ ಕಿಲೋಮೀಟರ್ ದೂರದಲ್ಲಿ ಬಹಳಷ್ಟು ಬದಲಾಗಬಹುದು. ಸಣ್ಣ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸಮರ್ಪಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ನಿಖರವಾದ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಕಡಿದಾದ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೀವು ಒಂದು ಮೀಟರ್ ಅನ್ನು ಚಲಿಸುವಾಗ ಎತ್ತರದಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ನೀವು ಅಳತೆ ಮಾಡಿದರೆ, ಫಲಿತಾಂಶವು ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಈ ನಿಖರತೆ ಕೂಡ ನಮಗೆ ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ - ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ರಸ್ತೆಯ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಕಂಬವಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಹಾದುಹೋಗಬಹುದು. ನಂತರ ನಾವು ಯಾವ ದೂರವನ್ನು ಆರಿಸಬೇಕು? ಸೆಂಟಿಮೀಟರ್? ಮಿಲಿಮೀಟರ್? ಕಡಿಮೆ ಉತ್ತಮ!

IN ನಿಜ ಜೀವನಹತ್ತಿರದ ಮಿಲಿಮೀಟರ್‌ಗೆ ದೂರವನ್ನು ಅಳೆಯುವುದು ಸಾಕಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚು. ಆದರೆ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಯಾವಾಗಲೂ ಪರಿಪೂರ್ಣತೆಗಾಗಿ ಶ್ರಮಿಸುತ್ತಾರೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಯಿತು ಅಪರಿಮಿತ, ಅಂದರೆ, ನಾವು ಹೆಸರಿಸಬಹುದಾದ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವು ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೀವು ಹೇಳುತ್ತೀರಿ: ಒಂದು ಟ್ರಿಲಿಯನ್! ಎಷ್ಟು ಕಡಿಮೆ? ಮತ್ತು ನೀವು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಭಾಗಿಸಿ - ಮತ್ತು ಅದು ಇನ್ನೂ ಕಡಿಮೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಇತ್ಯಾದಿ. ಒಂದು ಪ್ರಮಾಣವು ಅಪರಿಮಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಬರೆಯಲು ಬಯಸಿದರೆ, ನಾವು ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ: (ನಾವು "x ಸೊನ್ನೆಗೆ ಒಲವು" ಎಂದು ಓದುತ್ತೇವೆ). ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯ ಈ ಸಂಖ್ಯೆ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲ ಎಂದು!ಆದರೆ ಅದಕ್ಕೆ ತುಂಬಾ ಹತ್ತಿರ. ಇದರರ್ಥ ನೀವು ಅದರ ಮೂಲಕ ಭಾಗಿಸಬಹುದು.

ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಅನಂತವಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ (). ನೀವು ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಮೇಲೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವಾಗ ನೀವು ಬಹುಶಃ ಈಗಾಗಲೇ ಅದನ್ನು ನೋಡಿದ್ದೀರಿ: ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯು ನೀವು ಯೋಚಿಸಬಹುದಾದ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ನೀವು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಬಂದರೆ, ಅದನ್ನು ಎರಡರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ನೀವು ಇನ್ನೂ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ. ಮತ್ತು ಇನ್ನೂ ಅನಂತ ಇದಲ್ಲದೆಏನಾಗುವುದೆಂದು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅನಂತವಾಗಿ ದೊಡ್ಡದು ಮತ್ತು ಅನಂತ ಚಿಕ್ಕದು ಪರಸ್ಪರ ವಿಲೋಮವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ನಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ: at.

ಈಗ ನಾವು ನಮ್ಮ ರಸ್ತೆಗೆ ಹಿಂತಿರುಗೋಣ. ಆದರ್ಶಪ್ರಾಯವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿದ ಇಳಿಜಾರು ಮಾರ್ಗದ ಅಪರಿಮಿತ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿದ ಇಳಿಜಾರು, ಅಂದರೆ:

ಅನಂತವಾದ ಸ್ಥಳಾಂತರದೊಂದಿಗೆ, ಎತ್ತರದಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಯು ಸಹ ಅನಂತವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾನು ಗಮನಿಸುತ್ತೇನೆ. ಆದರೆ ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮ ಎಂದರೆ ಅರ್ಥವಲ್ಲ ಎಂದು ನಾನು ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮ. ನೀವು ಅಪರಿಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ವಿಭಜಿಸಿದರೆ, ನೀವು ಸಾಕಷ್ಟು ಪಡೆಯಬಹುದು ನಿಯಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, . ಅಂದರೆ, ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಮೌಲ್ಯವು ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕಿಂತ ನಿಖರವಾಗಿ ಪಟ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಇದೆಲ್ಲ ಯಾವುದಕ್ಕಾಗಿ? ರಸ್ತೆ, ಕಡಿದಾದ ... ನಾವು ಕಾರ್ ರ್ಯಾಲಿಯಲ್ಲಿ ಹೋಗುತ್ತಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ನಾವು ಗಣಿತವನ್ನು ಕಲಿಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆ. ಮತ್ತು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವೂ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಮಾತ್ರ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉತ್ಪನ್ನದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ

ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ನ ಇನ್‌ಕ್ರಿಮೆಂಟ್‌ನ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ನ ಇನ್‌ಕ್ರಿಮೆಂಟ್‌ನ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ.

ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವಂತೆಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಅವರು ಬದಲಾವಣೆ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ () ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಚಲಿಸುವಾಗ ಎಷ್ಟು ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವಾದ ಹೆಚ್ಚಳಮತ್ತು ದೂರದಿಂದ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಚಲಿಸುವಾಗ ಕಾರ್ಯ (ಎತ್ತರ) ಎಷ್ಟು ಬದಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಕಾರ್ಯ ಹೆಚ್ಚಳಮತ್ತು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಯಾವಾಗ ಎಂಬ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ. ನಾವು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಾರ್ಯದಂತೆಯೇ ಅದೇ ಅಕ್ಷರದೊಂದಿಗೆ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ, ಮೇಲಿನ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ: ಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬರೆಯೋಣ:

ರಸ್ತೆಯೊಂದಿಗಿನ ಸಾದೃಶ್ಯದಂತೆ, ಇಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾದಾಗ, ಉತ್ಪನ್ನವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಕಡಿಮೆಯಾದಾಗ ಅದು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರಬಹುದೇ? ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾವು ಸಮತಟ್ಟಾದ ಸಮತಲ ರಸ್ತೆಯಲ್ಲಿ ಚಾಲನೆ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದರೆ, ಕಡಿದಾದವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಇದು ನಿಜ, ಎತ್ತರವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದೊಂದಿಗೆ: ಸ್ಥಿರ ಕ್ರಿಯೆಯ (ಸ್ಥಿರ) ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಏಕೆಂದರೆ ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯದ ಹೆಚ್ಚಳವು ಯಾವುದಕ್ಕೂ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಬೆಟ್ಟದ ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ. ವಿಭಾಗದ ತುದಿಗಳನ್ನು ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಜೋಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ ಎಂದು ಅದು ಬದಲಾಯಿತು ವಿವಿಧ ಬದಿಗಳುಮೇಲಿನಿಂದ, ಆದ್ದರಿಂದ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿನ ಎತ್ತರವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ವಿಭಾಗವು ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಆದರೆ ದೊಡ್ಡ ಭಾಗಗಳು ತಪ್ಪಾದ ಅಳತೆಯ ಸಂಕೇತವಾಗಿದೆ. ನಾವು ನಮ್ಮ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಂತರ ಅದರ ಉದ್ದವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ನಾವು ಮೇಲ್ಭಾಗಕ್ಕೆ ಅನಂತವಾಗಿ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದ್ದಾಗ, ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದವು ಅನಂತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಅದು ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಉಳಿಯಿತು, ಅಂದರೆ, ಅದರ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ಎತ್ತರದಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಇದು ಒಲವು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ). ಆದ್ದರಿಂದ ಉತ್ಪನ್ನ

ಇದನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು: ನಾವು ಅತ್ಯಂತ ಮೇಲ್ಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಿಂತಾಗ, ಎಡಕ್ಕೆ ಅಥವಾ ಬಲಕ್ಕೆ ಸಣ್ಣ ಶಿಫ್ಟ್ ನಮ್ಮ ಎತ್ತರವನ್ನು ನಗಣ್ಯವಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ.

ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ವಿವರಣೆಯೂ ಇದೆ: ಶೃಂಗದ ಎಡಕ್ಕೆ ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬಲಕ್ಕೆ ಅದು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಮೊದಲೇ ಕಂಡುಕೊಂಡಂತೆ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾದಾಗ, ಉತ್ಪನ್ನವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಕಡಿಮೆಯಾದಾಗ ಅದು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಇದು ಜಿಗಿತಗಳಿಲ್ಲದೆ ಸರಾಗವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ (ರಸ್ತೆ ಎಲ್ಲಿಯೂ ತನ್ನ ಇಳಿಜಾರನ್ನು ತೀವ್ರವಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ). ಆದ್ದರಿಂದ, ಋಣಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ನಡುವೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳುಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಇರಬೇಕು. ಇದು ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ - ಶೃಂಗದ ಹಂತದಲ್ಲಿ.

ತೊಟ್ಟಿಗೆ ಇದು ನಿಜವಾಗಿದೆ (ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಕಾರ್ಯವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ ಪ್ರದೇಶ ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ):

ಏರಿಕೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು.

ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ವಾದವನ್ನು ಪರಿಮಾಣಕ್ಕೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಯಾವ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಬದಲಾಗುತ್ತೇವೆ? ಅದು (ವಾದ) ಈಗ ಏನಾಯಿತು? ನಾವು ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು, ಮತ್ತು ಈಗ ನಾವು ಅದರಿಂದ ನೃತ್ಯ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಅದರಲ್ಲಿರುವ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ ನಾವು ಅದೇ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ: ನಾವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈಗ ವಾದವೇನು? ಬಹಳ ಸುಲಭ: . ಈಗ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯ ಏನು? ವಾದವು ಎಲ್ಲಿಗೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ, ಕಾರ್ಯವೂ ಸಹ ಹೋಗುತ್ತದೆ: . ಕಾರ್ಯ ಹೆಚ್ಚಳದ ಬಗ್ಗೆ ಏನು? ಹೊಸದೇನೂ ಇಲ್ಲ: ಇದು ಇನ್ನೂ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬದಲಿಸಿದ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ:

ಏರಿಕೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಿ:

1. ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ನ ಹೆಚ್ಚಳವು ಸಮಾನವಾದಾಗ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
2. ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೂ ಅದೇ ಹೋಗುತ್ತದೆ.

ಪರಿಹಾರಗಳು:

IN ವಿವಿಧ ಅಂಕಗಳುಅದೇ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಇನ್ಕ್ರಿಮೆಂಟ್ ಜೊತೆಗೆ, ಫಂಕ್ಷನ್ ಇನ್ಕ್ರಿಮೆಂಟ್ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲಿನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ನಾವು ಇದನ್ನು ಆರಂಭದಲ್ಲಿಯೇ ಚರ್ಚಿಸಿದ್ದೇವೆ - ರಸ್ತೆಯ ಕಡಿದಾದವು ವಿಭಿನ್ನ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ). ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬರೆಯುವಾಗ, ಯಾವ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಾವು ಸೂಚಿಸಬೇಕು:

ಪವರ್ ಕಾರ್ಯ.

ಪವರ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಎನ್ನುವುದು ವಾದವು ಸ್ವಲ್ಪ ಮಟ್ಟಿಗೆ ಇರುವ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ (ತಾರ್ಕಿಕ, ಸರಿ?).

ಇದಲ್ಲದೆ - ಯಾವುದೇ ಮಟ್ಟಿಗೆ: .

ಸರಳವಾದ ಪ್ರಕರಣ- ಇದು ಘಾತವಾದಾಗ:

ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ:

ಆದ್ದರಿಂದ ವಾದವು ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯದ ಹೆಚ್ಚಳ ಏನು?

ಹೆಚ್ಚಳ ಇದು. ಆದರೆ ಯಾವುದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಅದರ ವಾದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ:

ಉತ್ಪನ್ನವು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಇದರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಬಿ) ಈಗ ಪರಿಗಣಿಸಿ ಚತುರ್ಭುಜ ಕಾರ್ಯ (): .

ಈಗ ಅದನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ. ಇದರರ್ಥ ಹೆಚ್ಚಳದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಅಪರಿಮಿತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಇತರ ಪದದ ಹಿನ್ನೆಲೆಯಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಲ್ಪವಾಗಿದೆ:

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಇನ್ನೊಂದು ನಿಯಮವನ್ನು ತಂದಿದ್ದೇವೆ:

ಸಿ) ನಾವು ತಾರ್ಕಿಕ ಸರಣಿಯನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸರಳಗೊಳಿಸಬಹುದು: ಮೊತ್ತದ ಘನದ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕಾಗಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮೊದಲ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಅನ್ನು ತೆರೆಯಿರಿ ಅಥವಾ ಘನಗಳ ಸೂತ್ರದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸಿ. ಸೂಚಿಸಲಾದ ಯಾವುದೇ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ನೀವೇ ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾನು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇನೆ:

ಮತ್ತು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಅದನ್ನು ನೆನಪಿಸೋಣ. ಇದರರ್ಥ ನಾವು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಬಹುದು:

ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: .

ಡಿ) ದೊಡ್ಡ ಅಧಿಕಾರಗಳಿಗೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು:

ಇ) ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ವಿದ್ಯುತ್ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಈ ನಿಯಮವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು, ಪೂರ್ಣಾಂಕವೂ ಅಲ್ಲ:

(2)

ನಿಯಮವನ್ನು ಪದಗಳಲ್ಲಿ ರೂಪಿಸಬಹುದು: "ಪದವಿಯನ್ನು ಗುಣಾಂಕವಾಗಿ ಮುಂದಕ್ಕೆ ತರಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ."

ನಾವು ಈ ನಿಯಮವನ್ನು ನಂತರ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ (ಬಹುತೇಕ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ). ಈಗ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

1. (ಎರಡು ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ: ಸೂತ್ರದ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸುವುದು - ಕಾರ್ಯದ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ);

1. . ಇದನ್ನು ನಂಬಿರಿ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲ, ಇದು ಶಕ್ತಿಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ನೀವು ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ "ಇದು ಹೇಗೆ? ಪದವಿ ಎಲ್ಲಿದೆ?”, ವಿಷಯ ನೆನಪಿರಲಿ “”!
   ಹೌದು, ಹೌದು, ಮೂಲವು ಸಹ ಒಂದು ಪದವಿಯಾಗಿದೆ, ಕೇವಲ ಭಾಗಶಃ: .
   ಆದ್ದರಿಂದ ನಮ್ಮದು ವರ್ಗ ಮೂಲ- ಇದು ಸೂಚಕದೊಂದಿಗೆ ಕೇವಲ ಪದವಿಯಾಗಿದೆ:
   .
   ಇತ್ತೀಚೆಗೆ ಕಲಿತ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ:

   ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದು ಮತ್ತೆ ಅಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದ್ದರೆ, ವಿಷಯವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿ ""!!! (ಸುಮಾರು ಪದವಿಯೊಂದಿಗೆ ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಸೂಚಕ)

2. . ಈಗ ಘಾತ:

   ಮತ್ತು ಈಗ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಮೂಲಕ (ನೀವು ಇನ್ನೂ ಮರೆತಿದ್ದೀರಾ?):
   ;
   .
   ಈಗ, ಎಂದಿನಂತೆ, ನಾವು ಹೊಂದಿರುವ ಪದವನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸುತ್ತೇವೆ:
   .

3. . ಹಿಂದಿನ ಪ್ರಕರಣಗಳ ಸಂಯೋಜನೆ: .

ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು.

ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಉನ್ನತ ಗಣಿತದಿಂದ ಒಂದು ಸತ್ಯವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ.

ಇನ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಟ್ನ ಮೊದಲ ವರ್ಷದಲ್ಲಿ ನೀವು ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಕಲಿಯುವಿರಿ (ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿಗೆ ಹೋಗಲು, ನೀವು ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಉತ್ತೀರ್ಣರಾಗಬೇಕು). ಈಗ ನಾನು ಅದನ್ನು ಸಚಿತ್ರವಾಗಿ ತೋರಿಸುತ್ತೇನೆ:

ಕಾರ್ಯವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದಿದ್ದಾಗ ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ - ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿನ ಬಿಂದುವನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರವಾದಷ್ಟೂ ಕಾರ್ಯವು "ಗುರಿ" ಆಗಿದೆ.

ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ನೀವು ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಬಳಸಿ ಈ ನಿಯಮವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು. ಹೌದು, ಹೌದು, ನಾಚಿಕೆಪಡಬೇಡ, ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ, ನಾವು ಇನ್ನೂ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿಲ್ಲ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ: ;

ನಿಮ್ಮ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಅನ್ನು ರೇಡಿಯನ್ಸ್ ಮೋಡ್‌ಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಲು ಮರೆಯಬೇಡಿ!

ಇತ್ಯಾದಿ ಕಡಿಮೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ದಿ ಹತ್ತಿರದ ಮೌಲ್ಯಗೆ ಸಂಬಂಧ

ಎ) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಎಂದಿನಂತೆ, ಅದರ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ಸೈನ್‌ಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ ("" ವಿಷಯವನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ): .

ಈಗ ಉತ್ಪನ್ನ:

ಬದಲಿ ಮಾಡೋಣ: . ಅನಂತರ ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮಕ್ಕೆ ಅದು ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮವೂ ಆಗಿದೆ: . ಗಾಗಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ:

ಮತ್ತು ಈಗ ನಾವು ಅದನ್ನು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಮತ್ತು, ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿ (ಅಂದರೆ, ನಲ್ಲಿ) ಅಪರಿಮಿತ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಿದರೆ ಏನು.

ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಮುಂದಿನ ನಿಯಮ:ಸೈನ್‌ನ ಉತ್ಪನ್ನವು ಕೊಸೈನ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಇವು ಮೂಲ ("ಕೋಷ್ಟಕ") ಉತ್ಪನ್ನಗಳಾಗಿವೆ. ಇಲ್ಲಿ ಅವರು ಒಂದು ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿದ್ದಾರೆ:

ನಂತರ ನಾವು ಅವರಿಗೆ ಇನ್ನೂ ಕೆಲವನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಆದರೆ ಇವುಗಳು ಅತ್ಯಂತ ಮುಖ್ಯವಾದವು, ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಭ್ಯಾಸ:

1. ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ;
2. ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರಗಳು:

1. ಮೊದಲಿಗೆ, ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ ಸಾಮಾನ್ಯ ನೋಟ, ತದನಂತರ ಅದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬದಲಿಸಿ:
   ;
   .
2. ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಇದೇ ರೀತಿಯದ್ದನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಶಕ್ತಿ ಕಾರ್ಯ. ಅವಳನ್ನು ಕರೆತರಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ
   ಸಾಮಾನ್ಯ ನೋಟ:
   .
   ಅದ್ಭುತವಾಗಿದೆ, ಈಗ ನೀವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು:
   .
   .
3. . Eeeeeee..... ಏನಿದು????

ಸರಿ, ನೀವು ಹೇಳಿದ್ದು ಸರಿ, ಅಂತಹ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂದು ನಮಗೆ ಇನ್ನೂ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಹಲವಾರು ರೀತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಅವರೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು, ನೀವು ಇನ್ನೂ ಕೆಲವು ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಕಲಿಯಬೇಕು:

ಘಾತ ಮತ್ತು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್.

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಿದೆ, ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು "ಘಾತ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ

ಈ ಕಾರ್ಯದ ಆಧಾರವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ - ಇದು ಅನಂತವಾಗಿದೆ ದಶಮಾಂಶ, ಅಂದರೆ, ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ). ಇದನ್ನು "ಯೂಲರ್ ಸಂಖ್ಯೆ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಇದನ್ನು ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಿಯಮ:

ನೆನಪಿಡುವುದು ತುಂಬಾ ಸುಲಭ.

ಸರಿ, ನಾವು ದೂರ ಹೋಗಬಾರದು, ಅದನ್ನು ತಕ್ಷಣ ನೋಡೋಣ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯ. ಯಾವ ಕಾರ್ಯವು ವಿಲೋಮವಾಗಿದೆ ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯ? ಲಾಗರಿಥಮ್:

ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಆಧಾರವು ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ:

ಅಂತಹ ಲಾಗರಿಥಮ್ (ಅಂದರೆ, ಬೇಸ್ ಹೊಂದಿರುವ ಲಾಗರಿಥಮ್) ಅನ್ನು "ನೈಸರ್ಗಿಕ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ವಿಶೇಷ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ: ನಾವು ಬದಲಿಗೆ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಇದು ಯಾವುದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ? ಖಂಡಿತವಾಗಿ, .

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಉತ್ಪನ್ನವು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ:

ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

1. ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
2. ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಯಾವುದು?

ಉತ್ತರಗಳು: ಪ್ರದರ್ಶಕ ಮತ್ತು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್- ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಗಳು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಬೇಸ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಘಾತೀಯ ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಅದನ್ನು ನಾವು ನಂತರ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಿಯಮಗಳ ಮೂಲಕ ಹೋಗೋಣವ್ಯತ್ಯಾಸ.

ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮಗಳು

ಯಾವುದರ ನಿಯಮಗಳು? ಮತ್ತೆ ಹೊಸ ಪದ, ಮತ್ತೆ?!...

ವ್ಯತ್ಯಾಸಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ.

ಅಷ್ಟೇ. ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಒಂದೇ ಪದದಲ್ಲಿ ಬೇರೆ ಏನು ಕರೆಯಬಹುದು? ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಲ್ಲ... ಗಣಿತಜ್ಞರು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಅನ್ನು ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಅದೇ ಇನ್ಕ್ರಿಮೆಂಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಈ ಪದವು ಲ್ಯಾಟಿನ್ ವ್ಯತ್ಯಾಸದಿಂದ ಬಂದಿದೆ - ವ್ಯತ್ಯಾಸ. ಇಲ್ಲಿ.

ಈ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಪಡೆದಾಗ, ನಾವು ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮತ್ತು. ಅವರ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕಾಗಿ ನಮಗೆ ಸೂತ್ರಗಳು ಸಹ ಅಗತ್ಯವಿದೆ:

ಒಟ್ಟು 5 ನಿಯಮಗಳಿವೆ.

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸ್ಥಿರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವೇಳೆ - ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆ(ಸ್ಥಿರ), ನಂತರ.

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಈ ನಿಯಮವು ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕಾಗಿ ಸಹ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ: .

ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತು ಮಾಡೋಣ. ಅದು ಇರಲಿ, ಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿರಲಿ.

ಉದಾಹರಣೆಗಳು.

ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

1. ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ;
2. ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ;
3. ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ;
4. ಹಂತದಲ್ಲಿ.

ಪರಿಹಾರಗಳು:

1. (ಇದರಿಂದ ಉತ್ಪನ್ನವು ಎಲ್ಲಾ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯ, ನೆನಪಿದೆಯೇ?);

ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

ಇಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವೂ ಹೋಲುತ್ತದೆ: ಪ್ರವೇಶಿಸೋಣ ನವೀನ ಲಕ್ಷಣಗಳುಮತ್ತು ಅದರ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

ಉತ್ಪನ್ನ:

ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

1. ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು;
2. ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರಗಳು:

ಘಾತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

ಈಗ ನಿಮ್ಮ ಜ್ಞಾನವು ಯಾವುದೇ ಘಾತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಕಲಿಯಲು ಸಾಕು, ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಘಾತಾಂಕಗಳಲ್ಲ (ನೀವು ಇನ್ನೂ ಏನೆಂದು ಮರೆತಿದ್ದೀರಾ?).

ಆದ್ದರಿಂದ, ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆ ಎಲ್ಲಿದೆ.

ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿದ್ದೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಮ್ಮ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಸ ಬೇಸ್‌ಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ:

ಇದಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ ಸರಳ ನಿಯಮ: . ನಂತರ:

ಸರಿ, ಇದು ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದೆ. ಈಗ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ, ಮತ್ತು ಈ ಕಾರ್ಯವು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಮರೆಯಬೇಡಿ.

ಸಂಭವಿಸಿದ?

ಇಲ್ಲಿ, ನಿಮ್ಮನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ:

ಸೂತ್ರವು ಘಾತಾಂಕದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ: ಅದು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಒಂದು ಅಂಶ ಮಾತ್ರ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿತು, ಅದು ಕೇವಲ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ, ಆದರೆ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅಲ್ಲ.

ಉದಾಹರಣೆಗಳು:
ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ಉತ್ತರಗಳು:

ಇದು ಕೇವಲ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಇಲ್ಲದೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲಾಗದ ಸಂಖ್ಯೆ, ಅಂದರೆ, ಇದನ್ನು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಬರೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಸರಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬಿಡುತ್ತೇವೆ.

ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

ಇದು ಇಲ್ಲಿ ಹೋಲುತ್ತದೆ: ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನೀವು ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿದ್ದೀರಿ:

ಆದ್ದರಿಂದ, ವಿಭಿನ್ನ ಬೇಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

ನಾವು ಈ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಬೇಸ್ಗೆ ತಗ್ಗಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಮೂಲವನ್ನು ನೀವು ಹೇಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೀರಿ? ನೀವು ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಿ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ:

ಈಗ ಮಾತ್ರ ನಾವು ಬದಲಿಗೆ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಛೇದವು ಕೇವಲ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆ, ವೇರಿಯಬಲ್ ಇಲ್ಲದೆ). ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಘಾತೀಯ ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳುಯುನಿಫೈಡ್ ಸ್ಟೇಟ್ ಎಕ್ಸಾಮಿನೇಷನ್‌ನಲ್ಲಿ ಬಹುತೇಕ ಎಂದಿಗೂ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ನೋಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ.

"ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯ" ಎಂದರೇನು? ಇಲ್ಲ, ಇದು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅಲ್ಲ ಮತ್ತು ಆರ್ಕ್ಟಜೆಂಟ್ ಅಲ್ಲ. ಈ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಕಷ್ಟವಾಗಬಹುದು (ನೀವು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಕಷ್ಟಕರವೆಂದು ಕಂಡುಕೊಂಡರೆ, "ಲಾಗರಿಥಮ್ಸ್" ವಿಷಯವನ್ನು ಓದಿ ಮತ್ತು ನೀವು ಚೆನ್ನಾಗಿರುತ್ತೀರಿ), ಆದರೆ ಗಣಿತದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, "ಸಂಕೀರ್ಣ" ಪದವು "ಕಷ್ಟ" ಎಂದರ್ಥವಲ್ಲ.

ಸಣ್ಣ ಕನ್ವೇಯರ್ ಬೆಲ್ಟ್ ಅನ್ನು ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ: ಇಬ್ಬರು ಜನರು ಕುಳಿತು ಕೆಲವು ವಸ್ತುಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲವು ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದಾರೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೊದಲನೆಯದು ಚಾಕೊಲೇಟ್ ಬಾರ್ ಅನ್ನು ಹೊದಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಸುತ್ತುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ಅದನ್ನು ರಿಬ್ಬನ್ನೊಂದಿಗೆ ಕಟ್ಟುತ್ತದೆ. ಫಲಿತಾಂಶವು ಸಂಯೋಜಿತ ವಸ್ತುವಾಗಿದೆ: ಚಾಕೊಲೇಟ್ ಬಾರ್ ಅನ್ನು ಸುತ್ತುವ ಮತ್ತು ರಿಬ್ಬನ್ನೊಂದಿಗೆ ಕಟ್ಟಲಾಗುತ್ತದೆ. ಚಾಕೊಲೇಟ್ ತಿನ್ನಲು, ನೀವು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ ಹಿಮ್ಮುಖ ಕ್ರಮಗಳುವಿ ಹಿಮ್ಮುಖ ಕ್ರಮ.

ಇದೇ ರೀತಿಯ ಗಣಿತದ ಪೈಪ್‌ಲೈನ್ ಅನ್ನು ರಚಿಸೋಣ: ಮೊದಲು ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಮಗೆ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ (ಚಾಕೊಲೇಟ್), ನಾನು ಅದರ ಕೊಸೈನ್ (ಹೊದಿಕೆ) ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇನೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ನಾನು ಪಡೆದದ್ದನ್ನು ನೀವು ಚೌಕಾಕಾರ ಮಾಡಿ (ಅದನ್ನು ರಿಬ್ಬನ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಕಟ್ಟಿಕೊಳ್ಳಿ). ಏನಾಯಿತು? ಕಾರ್ಯ. ಇದೊಂದು ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯ: ಯಾವಾಗ, ಅದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು ಮೊದಲ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನೊಂದಿಗೆ ನೇರವಾಗಿ ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಮೊದಲನೆಯ ಫಲಿತಾಂಶದೊಂದಿಗೆ ಎರಡನೇ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

ನಾವು ಅದೇ ಹಂತಗಳನ್ನು ಹಿಮ್ಮುಖ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಸುಲಭವಾಗಿ ಮಾಡಬಹುದು: ಮೊದಲು ನೀವು ಅದನ್ನು ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಮಾಡಿ, ಮತ್ತು ನಂತರ ನಾನು ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇನೆ: . ಫಲಿತಾಂಶವು ಯಾವಾಗಲೂ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸುವುದು ಸುಲಭ. ಪ್ರಮುಖ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯಗಳು: ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಕ್ರಮವು ಬದಲಾದಾಗ, ಕಾರ್ಯವು ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಬೇರೆ ಪದಗಳಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅದರ ವಾದವು ಮತ್ತೊಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ: .

ಮೊದಲ ಉದಾಹರಣೆಗಾಗಿ, .

ಎರಡನೇ ಉದಾಹರಣೆ: (ಅದೇ ವಿಷಯ). .

ನಾವು ಕೊನೆಯದಾಗಿ ಮಾಡುವ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ "ಬಾಹ್ಯ" ಕಾರ್ಯ, ಮತ್ತು ಮೊದಲು ಮಾಡಿದ ಕ್ರಿಯೆ - ಅದರ ಪ್ರಕಾರ "ಆಂತರಿಕ" ಕಾರ್ಯ(ಇವು ಅನೌಪಚಾರಿಕ ಹೆಸರುಗಳು, ನಾನು ಅವುಗಳನ್ನು ಸರಳ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವಿಷಯವನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಮಾತ್ರ ಬಳಸುತ್ತೇನೆ).

ಯಾವ ಕಾರ್ಯವು ಬಾಹ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದು ಆಂತರಿಕವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವೇ ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ:

ಉತ್ತರಗಳು:ಆಂತರಿಕ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸುವುದು ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ: ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ

1. ನಾವು ಮೊದಲು ಯಾವ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ? ಮೊದಲಿಗೆ, ಸೈನ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಅದನ್ನು ಘನಗೊಳಿಸಿ. ಇದರರ್ಥ ಇದು ಆಂತರಿಕ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಬಾಹ್ಯವಾಗಿದೆ.
   ಮತ್ತು ಮೂಲ ಕಾರ್ಯವು ಅವುಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ: .
2. ಆಂತರಿಕ:; ಬಾಹ್ಯ: .
   ಪರೀಕ್ಷೆ: .
3. ಆಂತರಿಕ:; ಬಾಹ್ಯ: .
   ಪರೀಕ್ಷೆ: .
4. ಆಂತರಿಕ:; ಬಾಹ್ಯ: .
   ಪರೀಕ್ಷೆ: .
5. ಆಂತರಿಕ:; ಬಾಹ್ಯ: .
   ಪರೀಕ್ಷೆ: .

ನಾವು ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಸರಿ, ಈಗ ನಾವು ನಮ್ಮ ಚಾಕೊಲೇಟ್ ಬಾರ್ ಅನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ. ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವು ಯಾವಾಗಲೂ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿದೆ: ಮೊದಲು ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ ಬಾಹ್ಯ ಕಾರ್ಯ, ನಂತರ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಆಂತರಿಕ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದಿಂದ ಗುಣಿಸಿ. ಮೂಲ ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಇದು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆ:

ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಅಧಿಕೃತ ನಿಯಮವನ್ನು ರೂಪಿಸೋಣ:

ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್:

ಇದು ಸರಳವೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆ, ಸರಿ?

ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ:

ಪರಿಹಾರಗಳು:

1) ಆಂತರಿಕ:;

ಬಾಹ್ಯ:;

2) ಆಂತರಿಕ:;

(ಇದೀಗ ಅದನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಬೇಡಿ! ಕೊಸೈನ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಏನೂ ಹೊರಬರುವುದಿಲ್ಲ, ನೆನಪಿದೆಯೇ?)

3) ಆಂತರಿಕ:;

ಬಾಹ್ಯ:;

ಇದು ಮೂರು ಹಂತದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯ ಎಂದು ತಕ್ಷಣವೇ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ: ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ಇದು ಈಗಾಗಲೇ ಸ್ವತಃ ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ನಾವು ಅದರಿಂದ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ, ನಾವು ಮೂರನೇ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ (ನಾವು ಚಾಕೊಲೇಟ್ ಅನ್ನು ಹಾಕುತ್ತೇವೆ ಹೊದಿಕೆ ಮತ್ತು ಬ್ರೀಫ್ಕೇಸ್ನಲ್ಲಿ ರಿಬ್ಬನ್ನೊಂದಿಗೆ). ಆದರೆ ಭಯಪಡಲು ಯಾವುದೇ ಕಾರಣವಿಲ್ಲ: ನಾವು ಇನ್ನೂ ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಎಂದಿನಂತೆ ಅದೇ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ "ಅನ್ಪ್ಯಾಕ್" ಮಾಡುತ್ತೇವೆ: ಅಂತ್ಯದಿಂದ.

ಅಂದರೆ, ಮೊದಲು ನಾವು ಮೂಲವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಂತರ ಕೊಸೈನ್, ಮತ್ತು ನಂತರ ಮಾತ್ರ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ. ತದನಂತರ ನಾವು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆ ಮಾಡಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವುದನ್ನು ಊಹಿಸೋಣ. ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಾವು ಯಾವ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಕ್ರಮಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ? ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ:

ನಂತರ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಹೆಚ್ಚು "ಬಾಹ್ಯ" ಅನುಗುಣವಾದ ಕಾರ್ಯವು ಇರುತ್ತದೆ. ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮವು ಮೊದಲಿನಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ:

ಇಲ್ಲಿ ಗೂಡುಕಟ್ಟುವಿಕೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ 4-ಹಂತವಾಗಿದೆ. ಕ್ರಿಯೆಯ ಕೋರ್ಸ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ.

1. ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ. .

2. ರೂಟ್. .

3. ಸೈನ್. .

4. ಚೌಕ. .

5. ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಒಟ್ಟಿಗೆ ಸೇರಿಸುವುದು:

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ. ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ

ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ- ವಾದದ ಅಪರಿಮಿತ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕಾಗಿ ವಾದದ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ಕ್ರಿಯೆಯ ಹೆಚ್ಚಳದ ಅನುಪಾತ:

ಮೂಲ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು:

ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮಗಳು:

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸ್ಥಿರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ:

ಮೊತ್ತದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ:

ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನ:

ಅಂಶದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ:

ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ:

ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್:

1. ನಾವು "ಆಂತರಿಕ" ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ.
2. ನಾವು "ಬಾಹ್ಯ" ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ.
3. ನಾವು ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಅಂಕಗಳ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಫಿರಂಗಿ ತಯಾರಿಕೆಯ ನಂತರ, 3-4-5 ಗೂಡುಕಟ್ಟುವ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಕಡಿಮೆ ಭಯಾನಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಬಹುಶಃ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಎರಡು ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಕೆಲವರಿಗೆ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿ ಕಾಣಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ನೀವು ಅವುಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡರೆ (ಯಾರಾದರೂ ಬಳಲುತ್ತಿದ್ದಾರೆ), ನಂತರ ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲವೂ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರಇದು ಮಗುವಿನ ತಮಾಷೆಯಂತೆ ತೋರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2

ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಈಗಾಗಲೇ ಗಮನಿಸಿದಂತೆ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾಗ, ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಇದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ ಸರಿನಿಮ್ಮ ಹೂಡಿಕೆಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಿ. ಸಂದೇಹಗಳಿರುವ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ನಾನು ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ ಉಪಯುಕ್ತ ಟ್ರಿಕ್: ನಾವು "x" ನ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮತ್ತು ಬದಲಿಯಾಗಿ (ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ಅಥವಾ ಡ್ರಾಫ್ಟ್‌ನಲ್ಲಿ) ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ"ಭಯಾನಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ" ಆಗಿ.

1) ಮೊದಲು ನಾವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಮೊತ್ತವು ಆಳವಾದ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಆಗಿದೆ.

2) ನಂತರ ನೀವು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕು:

4) ನಂತರ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ಘನಗೊಳಿಸಿ:

5) ಐದನೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ:

6) ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಹೊರಗಿನ ಕಾರ್ಯವು ವರ್ಗಮೂಲವಾಗಿದೆ:

ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ಸೂತ್ರ ಹೊರಗಿನ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಒಳಗಿನವರೆಗೆ ಹಿಮ್ಮುಖ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಇದು ದೋಷಗಳಿಲ್ಲದೆ ತೋರುತ್ತದೆ:

1) ವರ್ಗಮೂಲದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ.

2) ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ

3) ಟ್ರಿಪಲ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎರಡನೇ ಪದದಲ್ಲಿ ನಾವು ಪದವಿಯ (ಕ್ಯೂಬ್) ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

4) ಕೊಸೈನ್‌ನ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ.

6) ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ನಾವು ಆಳವಾದ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ನ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಇದು ತುಂಬಾ ಕಷ್ಟಕರವೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇದು ಅತ್ಯಂತ ಕ್ರೂರ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕುಜ್ನೆಟ್ಸೊವ್ ಅವರ ಸಂಗ್ರಹವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿದ ಉತ್ಪನ್ನದ ಎಲ್ಲಾ ಸೌಂದರ್ಯ ಮತ್ತು ಸರಳತೆಯನ್ನು ನೀವು ಪ್ರಶಂಸಿಸುತ್ತೀರಿ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡಿದ್ದಾನೆಯೇ ಅಥವಾ ಅರ್ಥವಾಗುತ್ತಿಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಅವರು ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಇದೇ ರೀತಿಯ ವಿಷಯವನ್ನು ನೀಡಲು ಇಷ್ಟಪಡುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ನಾನು ಗಮನಿಸಿದ್ದೇನೆ.

ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ನಿರ್ಧಾರ.

ಉದಾಹರಣೆ 3

ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಸುಳಿವು: ಮೊದಲು ನಾವು ರೇಖಾತ್ಮಕತೆಯ ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ

ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಉತ್ತರ.

ಚಿಕ್ಕದಾದ ಮತ್ತು ಒಳ್ಳೆಯದಕ್ಕೆ ಹೋಗಲು ಇದು ಸಮಯ.
ಎರಡಲ್ಲದ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೋರಿಸಲು ಉದಾಹರಣೆಗಾಗಿ ಇದು ಅಸಾಮಾನ್ಯವೇನಲ್ಲ, ಆದರೆ ಮೂರು ಕಾರ್ಯಗಳು. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ ಮೂರು ಉತ್ಪನ್ನಗಳುಗುಣಕಗಳು?

ಉದಾಹರಣೆ 4

ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಮೊದಲು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಮೂರು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವೇ? ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಉತ್ಪನ್ನದಲ್ಲಿ ನಾವು ಎರಡು ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯಬಹುದು. ಆದರೆ ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ: ಪದವಿ, ಘಾತಾಂಕ ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮ್.

ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ಅವಶ್ಯಕ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ ಎರಡು ಬಾರಿ

ಟ್ರಿಕ್ ಏನೆಂದರೆ “y” ಮೂಲಕ ನಾವು ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ: ಮತ್ತು “ve” ಮೂಲಕ ನಾವು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ: . ಇದನ್ನು ಏಕೆ ಮಾಡಬಹುದು? ಇದು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಇದೆಯೇ - ಇದು ಎರಡು ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಲ್ಲ ಮತ್ತು ನಿಯಮವು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವುದಿಲ್ಲವೇ?! ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಏನೂ ಇಲ್ಲ:

ಈಗ ಎರಡನೇ ಬಾರಿಗೆ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಉಳಿದಿದೆ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗೆ:

ನೀವು ಇನ್ನೂ ವಿಕೃತರಾಗಬಹುದು ಮತ್ತು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ಏನನ್ನಾದರೂ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಆದರೆ ಒಳಗೆ ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಉತ್ತರವನ್ನು ಬಿಡುವುದು ಉತ್ತಮ - ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಸುಲಭವಾಗುತ್ತದೆ.

ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಎರಡನೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು:

ಎರಡೂ ಪರಿಹಾರಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 5

ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಇದು ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ, ಇದು ಮೊದಲ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ.

ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 6

ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ನೀವು ಇಲ್ಲಿಗೆ ಹೋಗಬಹುದಾದ ಹಲವಾರು ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ:

ಅಥವಾ ಈ ರೀತಿ:

ಆದರೆ ನಾವು ಮೊದಲು ಅಂಶದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಂದ್ರವಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ , ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ:

ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ, ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಹಾಗೆಯೇ ಬಿಟ್ಟರೆ, ಅದು ದೋಷವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ನಿಮಗೆ ಸಮಯವಿದ್ದರೆ, ಉತ್ತರವನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಬಹುದೇ ಎಂದು ನೋಡಲು ಡ್ರಾಫ್ಟ್ ಅನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ?

ನಾವು ಅಂಶದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡೋಣ ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಮತ್ತು ಮೂರು ಅಂತಸ್ತಿನ ಭಾಗವನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು:

ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸರಳೀಕರಣಗಳ ಅನನುಕೂಲವೆಂದರೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾಗ ತಪ್ಪನ್ನು ಮಾಡುವ ಅಪಾಯವಿದೆ, ಆದರೆ ನೀರಸ ಶಾಲಾ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಸಮಯದಲ್ಲಿ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಶಿಕ್ಷಕರು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಿಯೋಜನೆಯನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು "ಮನಸ್ಸಿಗೆ ತರಲು" ಕೇಳುತ್ತಾರೆ.

ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಲು ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 7

ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ನಾವು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಈಗ ನಾವು "ಭಯಾನಕ" ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ವಿಭಿನ್ನತೆಗಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದಾಗ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ

ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಪ್ರಮೇಯ, ಅದರ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ:

1) ಫಂಕ್ಷನ್ $u=\varphi (x)$ ಕೆಲವು ಹಂತದಲ್ಲಿ $x_0$ $u_(x)"=\varphi"(x_0)$, 2) ಕಾರ್ಯ $y=f(u)$ ನಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿವೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಬಿಂದು$u_0=\varphi (x_0)$ ಉತ್ಪನ್ನ $y_(u)"=f"(u)$. ನಂತರ ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಕಾರ್ಯ $y=f\left(\varphi (x) \right)$ ಸೂಚಿಸಲಾದ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸಹ ಒಂದು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ$f(u)$ ಮತ್ತು $\varphi (x)$ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು:

$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \right)\cdot \varphi"(x_0) $$

ಅಥವಾ, ಚಿಕ್ಕ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.

ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಗಳು $y=f(x)$ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ (ಅಂದರೆ, ನಾವು ಒಂದು ವೇರಿಯಬಲ್ $x$ನ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ). ಅಂತೆಯೇ, ಎಲ್ಲಾ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ $y"$ ಅನ್ನು ವೇರಿಯೇಬಲ್ $x$ ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. $x$ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಒತ್ತಿಹೇಳಲು, $y ಬದಲಿಗೆ $y"_x$ ಅನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. "$.

ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಸಂಖ್ಯೆ 1, ಸಂಖ್ಯೆ 2 ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆ 3 ಔಟ್ಲೈನ್ ವಿವರವಾದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು. ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 4 ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಕೋಷ್ಟಕದ ಸಂಪೂರ್ಣ ತಿಳುವಳಿಕೆಗಾಗಿ ಉದ್ದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರೊಂದಿಗೆ ನೀವೇ ಪರಿಚಿತರಾಗಿರುವುದು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 1-3 ರಲ್ಲಿ ವಸ್ತುವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ನಂತರ, ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 5, ಸಂಖ್ಯೆ 6 ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆ 7 ಕ್ಕೆ ತೆರಳಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಸಂಖ್ಯೆ 5, ಸಂಖ್ಯೆ 6 ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆ 7 ಒಳಗೊಂಡಿವೆ ಸಣ್ಣ ಪರಿಹಾರಇದರಿಂದ ಓದುಗ ತನ್ನ ಫಲಿತಾಂಶದ ಸರಿಯಾದತೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 1

$y=e^(\cos x)$ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ನಾವು $y"$ನ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾಗಿದೆ. $y=e^(\cos x)$, ನಂತರ $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$. ಗೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ $ \left(e^(\cos x)\right)"$ ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ಸೂತ್ರ ಸಂಖ್ಯೆ 6 ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಸೂತ್ರ ಸಂಖ್ಯೆ 6 ಅನ್ನು ಬಳಸಲು, ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ $u=\cos x$ ಎಂದು ನಾವು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಮುಂದಿನ ಪರಿಹಾರವು ಸೂತ್ರ ಸಂಖ್ಯೆ 6 ರಲ್ಲಿ $u$ ಬದಲಿಗೆ $\cos x$ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಬದಲಿಸುತ್ತದೆ:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$

ಈಗ ನಾವು $(\cos x)"$ ಎಂಬ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾಗಿದೆ. ನಾವು ಮತ್ತೆ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕಕ್ಕೆ ತಿರುಗುತ್ತೇವೆ, ಅದರಿಂದ ಸೂತ್ರ ಸಂಖ್ಯೆ 10 ಅನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. $u=x$ ಅನ್ನು ಸೂತ್ರ ಸಂಖ್ಯೆ 10 ಗೆ ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$ ಈಗ ನಾವು ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸೋಣ (1.1), ಇದು ಕಂಡುಬಂದ ಫಲಿತಾಂಶದೊಂದಿಗೆ ಪೂರಕವಾಗಿದೆ:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \tag (1.2) $$

$x"=1$ ರಿಂದ, ನಾವು ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತೇವೆ (1.2):

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮಾನತೆಯಿಂದ (1.3) ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$. ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ, ವಿವರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಂತರ ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಅನ್ವೇಷಣೆಯನ್ನು ಒಂದು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಸಮಾನತೆಯಲ್ಲಿ (1.3) ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗಿದೆ, ಉತ್ತರವನ್ನು ಬರೆಯುವುದು ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆ.

ಉತ್ತರ: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 2

$y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ನಾವು $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ. ಮೊದಲಿಗೆ, ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸ್ಥಿರ (ಅಂದರೆ ಸಂಖ್ಯೆ 9) ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \ಬಲ)" \tag (2.1) $$

ಈಗ ನಾವು $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$ ಎಂಬ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ತಿರುಗೋಣ. ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸೂತ್ರಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ಇದು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ, ನಾನು ಪ್ರಶ್ನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತೇನೆ: $\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. ಈಗ ಸೂತ್ರ ಸಂಖ್ಯೆ 2 ಅನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$ u=\arctg(4) ಅನ್ನು ಈ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ \cdot \ln x)$ ಮತ್ತು $\alpha=12$:

ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶದೊಂದಿಗೆ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು (2.1) ಪೂರಕವಾಗಿ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \tag (2.2) $$

ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಮೊದಲ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರಕಾರನು ಸೂತ್ರದ ಬದಲಿಗೆ $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಆರಿಸಿದಾಗ ತಪ್ಪು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. $\left(u^\ alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಬಾಹ್ಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಮೊದಲು ಬರಬೇಕು. $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಯಾವ ಕಾರ್ಯವು ಬಾಹ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ನೀವು $\arctg^(12)(4\cdot 5^ ಎಂಬ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದೀರಿ ಎಂದು ಊಹಿಸಿ. x)$ ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ $x$. ಮೊದಲು ನೀವು $5^x$ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೀರಿ, ನಂತರ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು 4 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ, $4\cdot 5^x$ ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ. ಈಗ ನಾವು ಈ ಫಲಿತಾಂಶದಿಂದ ಆರ್ಕ್ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, $\arctg(4\cdot 5^x)$ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ ನಾವು ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹನ್ನೆರಡನೆಯ ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತೇವೆ, $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಕೊನೆಯ ಕ್ರಿಯೆ, - ಅಂದರೆ. 12 ರ ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿಸುವುದು ಬಾಹ್ಯ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಇದರಿಂದಲೇ ನಾವು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಬೇಕು, ಅದನ್ನು ಸಮಾನತೆಯಲ್ಲಿ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ (2.2).

ಈಗ ನಾವು $(\arctg(4\cdot \ln x))"$ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾಗಿದೆ. ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದ ಸೂತ್ರ ಸಂಖ್ಯೆ 19 ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ, ಅದರೊಳಗೆ $u=4\cdot \ln x$ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ:

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

$(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$ ಅನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ಸರಳಗೊಳಿಸೋಣ.

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

ಸಮಾನತೆ (2.2) ಈಗ ಆಗುತ್ತದೆ:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" \tag (2.3) $$

ಇದು $(4\cdot \ln x)"$ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಉಳಿದಿದೆ. ನಾವು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸ್ಥಿರ (ಅಂದರೆ 4) ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x)" $(\ln x)"$ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು ಸೂತ್ರ ಸಂಖ್ಯೆ 8 ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ, ಅದರೊಳಗೆ $u=x$ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿ: $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x "$. $x"=1$ ರಿಂದ, ನಂತರ $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x ) $ ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ (2.3) ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x) $

ಕೊನೆಯ ಸಮಾನತೆಯಲ್ಲಿ ಬರೆದಂತೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಒಂದು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾನು ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರಮಾಣಿತ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ತಯಾರಿಸುವಾಗ ಅಥವಾ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳುಅಂತಹ ವಿವರವಾಗಿ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಇದು ಅನಿವಾರ್ಯವಲ್ಲ.

ಉತ್ತರ: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 3

$y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$ ಕಾರ್ಯದ $y"$ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಮೊದಲಿಗೆ, $y$ ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ಮಾರ್ಪಡಿಸೋಣ, ಮೂಲಭೂತ (ಮೂಲ) ಅನ್ನು ಶಕ್ತಿಯಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸೋಣ: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9 ^x) \ಬಲಕ್ಕೆ)^(\frac(3)(7))$. ಈಗ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ. $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$ ರಿಂದ, ನಂತರ:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)" \tag (3.1) $$

ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ಸೂತ್ರ ಸಂಖ್ಯೆ 2 ಅನ್ನು ಬಳಸೋಣ, ಅದರೊಳಗೆ $u=\sin(5\cdot 9^x)$ ಮತ್ತು $\alpha=\frac(3)(7)$ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿ:

$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\ಬಲ)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$

ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮಾನತೆಯನ್ನು (3.1) ಮುಂದುವರಿಸೋಣ:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$

ಈಗ ನಾವು $(\sin(5\cdot 9^x))"$ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾಗಿದೆ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ಸೂತ್ರ ಸಂಖ್ಯೆ 9 ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ, ಅದರೊಳಗೆ $u=5\cdot 9^x$ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿ:

$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$

ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶದೊಂದಿಗೆ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು (3.2) ಪೂರಕಗೊಳಿಸಿದ ನಂತರ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)" \tag (3.3) $$

ಇದು $(5\cdot 9^x)"$ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಉಳಿದಿದೆ. ಮೊದಲಿಗೆ, ನಾವು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಯ ಹೊರಗೆ ಸ್ಥಿರ ($5$) ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ, ಅಂದರೆ $(5\cdot 9^x)"=5\cdot (9 $(9^x) $ )"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. $x"=1$ ರಿಂದ, ನಂತರ $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. ಈಗ ನಾವು ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸಬಹುದು (3.3):

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\ಬಲ) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$

ನಾವು ಮತ್ತೆ ಶಕ್ತಿಗಳಿಂದ ರಾಡಿಕಲ್‌ಗಳಿಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಬಹುದು (ಅಂದರೆ, ಬೇರುಗಳು), $\ಎಡ(\ಸಿನ್(5\cdot 9^x)\ಬಲ)^(-\frac(4)(7))$ ರೂಪದಲ್ಲಿ $\ frac(1)(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\\ cdot 9^x)))$. ನಂತರ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))).

ಉತ್ತರ: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^x)))$.

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 4

ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದ ಸಂಖ್ಯೆ 3 ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆ 4 ಸೂತ್ರಗಳು ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸಿ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಈ ಕೋಷ್ಟಕದ ಸೂತ್ರಗಳು ಸಂಖ್ಯೆ 2.

ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದ ಫಾರ್ಮುಲಾ ಸಂಖ್ಯೆ 2 $u^\alpha$ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಫಾರ್ಮುಲಾ ಸಂಖ್ಯೆ 2 ಗೆ $\alpha=-1$ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$

$u^(-1)=\frac(1)(u)$ ಮತ್ತು $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$, ನಂತರ ಸಮಾನತೆ (4.1) ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು: $ \left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. ಇದು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದ ಸೂತ್ರ ಸಂಖ್ಯೆ 3 ಆಗಿದೆ.

ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದ ಸೂತ್ರ ಸಂಖ್ಯೆ 2 ಗೆ ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ತಿರುಗೋಣ. ಅದರೊಳಗೆ $\alpha=\frac(1)(2)$ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸೋಣ:

$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$

ರಿಂದ $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ ಮತ್ತು $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1) )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, ನಂತರ ಸಮಾನತೆ (4.2) ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು:

$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮಾನತೆ $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದ ಸೂತ್ರ ಸಂಖ್ಯೆ 4 ಆಗಿದೆ. ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಅನುಗುಣವಾದ $\alpha$ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಕೋಷ್ಟಕದ No. 3 ಮತ್ತು No. 4 ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಸೂತ್ರ ಸಂಖ್ಯೆ 2 ರಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ನಾವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯದಂತಹ ಪ್ರಮುಖ ಗಣಿತದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂದು ಕಲಿಯುತ್ತೇವೆ.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಕಲಿಯುವ ಮೊದಲು, ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳೋಣ, ಅದು ಏನು, "ಅದನ್ನು ಏನು ತಿನ್ನಲಾಗುತ್ತದೆ" ಮತ್ತು "ಅದನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಬೇಯಿಸುವುದು ಹೇಗೆ."

ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಕಾರ್ಯ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ರೀತಿ:

ಫಂಕ್ಷನ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬಲ ಮತ್ತು ಎಡ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿನ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆ ಅಥವಾ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.

ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಬದಲಿಗೆ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಹಾಕಬಹುದು: . ತದನಂತರ ನಾವು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಮಧ್ಯಂತರ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯೋಣ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊರಗಿನ ಕಾರ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯೋಣ. ಇದು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿಲ್ಲ ಗಣಿತದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು, ಆದರೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಅವರು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಈ ರೀತಿ ಧ್ವನಿಸುತ್ತದೆ:

ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಒಂದು ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಈ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ ಆಗಿರಲಿ. ಸೆಟ್ (ಅಥವಾ ಅದರ ಉಪವಿಭಾಗ) ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಆಗಿರಲಿ. ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸೋಣ. ಹೀಗಾಗಿ, ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಕಾರ್ಯ ಸಂಯೋಜನೆ ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ, ನಾವು ನಮ್ಮ ಪರಿಭಾಷೆಯನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ, ಬಾಹ್ಯ ಕಾರ್ಯವು ಮಧ್ಯಂತರ ವಾದವಾಗಿದೆ.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ:

ಇದನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಲು, ನಾನು ಈ ನಿಯಮವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಲು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ:

ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ, ಬಳಸುವುದು ಮಧ್ಯಂತರ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಿಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿದೆ

1. ಯಾವ ಕಾರ್ಯವು ಬಾಹ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ಅನುಗುಣವಾದ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

2. ಮಧ್ಯಂತರ ವಾದವನ್ನು ವಿವರಿಸಿ.

ಈ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನದಲ್ಲಿ, ಬಾಹ್ಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ದೊಡ್ಡ ತೊಂದರೆಯಾಗಿದೆ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಸರಳ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಎ. ಕ್ರಿಯೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ಬಿ. x ನ ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ನೀವು ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕು ಎಂದು ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನೀವು x ನ ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಾರ್ಯದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ ಮತ್ತು ಉತ್ಪಾದಿಸಿ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು. ನೀವು ಮಾಡುವ ಕೊನೆಯ ಕ್ರಿಯೆಯು ಬಾಹ್ಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ

ಕೊನೆಯ ಕ್ರಿಯೆಯು ಘಾತವಾಗಿದೆ.

ಈ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಮಧ್ಯಂತರ ವಾದವನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ

ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ ಕೆಳಗಿನ ಕಾರ್ಯಗಳು:
; ; ; ; .

ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದಾದರೆ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪ:
,
ನಂತರ ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
.
ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ, ನಾವು ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:
.
ಎಲ್ಲಿ .
ಇಲ್ಲಿ, ಸಬ್‌ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್‌ಗಳು ಅಥವಾ , ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಇದೆ, ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕಗಳಲ್ಲಿ, ವೇರಿಯಬಲ್ x ನಿಂದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, x ಒಂದು ಔಪಚಾರಿಕ ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿದೆ. ವೇರಿಯಬಲ್ x ಅನ್ನು ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನಿಂದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವಾಗ, ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ವೇರಿಯಬಲ್ x ಅನ್ನು ವೇರಿಯೇಬಲ್ u ಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಉದಾಹರಣೆ 1

ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ
.

ಪರಿಹಾರ

ಅದನ್ನು ಬರೆಯೋಣ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆಸಮಾನ ರೂಪದಲ್ಲಿ:
.
ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:
;
.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:
.
ಇಲ್ಲಿ .

ಉತ್ತರ

ಉದಾಹರಣೆ 2

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ
.

ಪರಿಹಾರ

ನಾವು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸ್ಥಿರವಾದ 5 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:
.

.
ಇಲ್ಲಿ .

ಉತ್ತರ

ಉದಾಹರಣೆ 3

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ
.

ಪರಿಹಾರ

ನಾವು ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುತ್ತೇವೆ -1 ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಗಾಗಿ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:
;
ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:
.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ:
.
ಇಲ್ಲಿ .

ಉತ್ತರ

ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಹೆಚ್ಚು ರಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಉದಾಹರಣೆಗಳುಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿಭಿನ್ನಗೊಳಿಸುವ ನಿಯಮವನ್ನು ನಾವು ಹಲವಾರು ಬಾರಿ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಅಂತ್ಯದಿಂದ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಅಂದರೆ, ನಾವು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅದರ ಘಟಕ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಬಳಸುವ ಸರಳ ಭಾಗಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ. ನಾವೂ ಬಳಸುತ್ತೇವೆ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ನಿಯಮಗಳು, ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಮತ್ತು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು. ನಂತರ ನಾವು ಪರ್ಯಾಯಗಳನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಕ್ಕಾಗಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 4

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ
.

ಪರಿಹಾರ

ಹೆಚ್ಚಿನದನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡೋಣ ಸರಳ ಭಾಗಸೂತ್ರ ಮತ್ತು ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. .

.
ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದೇವೆ
.

ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮೂಲ ಕಾರ್ಯದ ಮುಂದಿನ ಭಾಗದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಮೊತ್ತವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ನಾವು ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ:
.

ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ನಾವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ.

.
ಇಲ್ಲಿ .

ಉತ್ತರ

ಉದಾಹರಣೆ 5

ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ
.

ಪರಿಹಾರ

ಸೂತ್ರದ ಸರಳವಾದ ಭಾಗವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. .

ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮವನ್ನು ನಾವು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ.
.
ಇಲ್ಲಿ
.