ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ವಿಭಿನ್ನತೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸರಳವಾದ (ಮತ್ತು ತುಂಬಾ ಸರಳವಲ್ಲದ) ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದವಾದದ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚಳದ ಅನುಪಾತದ ಮಿತಿಯಾಗಿ, ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವು ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿತು ಮತ್ತು ನಿಖರವಾಗಿ ಕೆಲವು ನಿಯಮಗಳುವ್ಯತ್ಯಾಸ. ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುವ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಮೊದಲು ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದವರು ಐಸಾಕ್ ನ್ಯೂಟನ್ (1643-1727) ಮತ್ತು ಗಾಟ್ಫ್ರೈಡ್ ವಿಲ್ಹೆಲ್ಮ್ ಲೀಬ್ನಿಜ್ (1646-1716).

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಮ್ಮ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಮೇಲಿನ-ಸೂಚಿಸಲಾದ ಮಿತಿಯನ್ನು ನೀವು ವಾದದ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ಕ್ರಿಯೆಯ ಹೆಚ್ಚಳದ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ನೀವು ಟೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮಗಳು. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಕೆಳಗಿನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ.

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಿಮಗೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಅಗತ್ಯವಿದೆ ಸರಳ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಘಟಕಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಿಮತ್ತು ಯಾವ ಕ್ರಮಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ (ಉತ್ಪನ್ನ, ಮೊತ್ತ, ಅಂಶ)ಈ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. ಮತ್ತಷ್ಟು ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳುನಾವು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಕಾಣುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನ, ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಅಂಶದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಸೂತ್ರಗಳು ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ನಿಯಮಗಳಲ್ಲಿವೆ. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಕೋಷ್ಟಕ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಮೊದಲ ಎರಡು ಉದಾಹರಣೆಗಳ ನಂತರ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1.ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಪರಿಹಾರ. ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ನಿಯಮಗಳಿಂದ ನಾವು ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ.

ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ನಾವು "x" ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸೈನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಕೊಸೈನ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 2.ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಪರಿಹಾರ. ಎರಡನೇ ಪದವು ಸ್ಥಿರವಾದ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮೊತ್ತದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ನಾವು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತೇವೆ; ಇದನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು:

ಏನಾದರೂ ಎಲ್ಲಿಂದ ಬರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು ಇನ್ನೂ ಉದ್ಭವಿಸಿದರೆ, ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ಸರಳ ನಿಯಮಗಳೊಂದಿಗೆ ನೀವೇ ಪರಿಚಿತರಾದ ನಂತರ ಅವುಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ತೆರವುಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಇದೀಗ ಅವರ ಕಡೆಗೆ ಹೋಗುತ್ತಿದ್ದೇವೆ.

ಸರಳ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ

1. ಸ್ಥಿರ (ಸಂಖ್ಯೆ) ಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ. ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿರುವ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ (1, 2, 5, 200...). ಯಾವಾಗಲೂ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ
2. ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ. ಹೆಚ್ಚಾಗಿ "ಎಕ್ಸ್". ಯಾವಾಗಲೂ ಒಬ್ಬರಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ದೀರ್ಘಕಾಲ ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸಹ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ
3. ಪದವಿಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ. ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ನೀವು ಚದರ-ಅಲ್ಲದ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಶಕ್ತಿಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬೇಕು.
4. ಪವರ್ -1 ಗೆ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
5. ವರ್ಗಮೂಲದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
6. ಸೈನ್ ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
7. ಕೊಸೈನ್ ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
8. ಸ್ಪರ್ಶಕ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
9. ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ನ ಉತ್ಪನ್ನ
10. ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
11. ಆರ್ಕೋಸಿನ್ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
12. ಆರ್ಕ್ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
13. ಆರ್ಕ್ ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ನ ಉತ್ಪನ್ನ
14. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
15. ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
16. ಘಾತದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
17. ಉತ್ಪನ್ನ ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯ

ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮಗಳು

1. ಮೊತ್ತ ಅಥವಾ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
2. ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
2a. ಸ್ಥಿರ ಅಂಶದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
3. ಅಂಶದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
4. ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

ನಿಯಮ 1.ಕಾರ್ಯಗಳು ವೇಳೆ

ಕೆಲವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ನಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳು ಒಂದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ

ಮತ್ತು

ಆ. ಕಾರ್ಯಗಳ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೊತ್ತದ ಉತ್ಪನ್ನವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೊತ್ತಈ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು.

ಪರಿಣಾಮ. ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸ್ಥಿರ ಪದದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ

ನಿಯಮ 2.ಕಾರ್ಯಗಳು ವೇಳೆ

ಕೆಲವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ನಂತರ ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಮತ್ತು

ಆ. ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನವು ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಫಲಿತಾಂಶ 1. ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸ್ಥಿರ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು:

ಫಲಿತಾಂಶ 2. ಹಲವಾರು ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಪ್ರತಿ ಅಂಶದ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಇತರವುಗಳು.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೂರು ಗುಣಕಗಳಿಗೆ:

ನಿಯಮ 3.ಕಾರ್ಯಗಳು ವೇಳೆ

ಕೆಲವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು , ನಂತರ ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ಅಂಶವು ಸಹ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆu/v, ಮತ್ತು

ಆ. ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಂಶದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಒಂದು ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದರ ಅಂಶವು ಛೇದದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅಂಶದ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಛೇದನ ಮತ್ತು ಛೇದದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಛೇದವು ವರ್ಗವಾಗಿದೆ ಹಿಂದಿನ ಅಂಶ.

ಇತರ ಪುಟಗಳಲ್ಲಿ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ನೋಡಬೇಕು

ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಅಂಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾಗ ನಿಜವಾದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳುಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ವಿಭಿನ್ನ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಯಾವಾಗಲೂ ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳುಈ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗಾಗಿ - ಲೇಖನದಲ್ಲಿ"ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಂಶ " .

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ.ನೀವು ಸ್ಥಿರವನ್ನು (ಅಂದರೆ, ಸಂಖ್ಯೆ) ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರ ಅಂಶವಾಗಿ ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸಬಾರದು! ಒಂದು ಪದದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರ ಅಂಶಇದನ್ನು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಹೊರತೆಗೆಯಲಾಗಿದೆ. ಈ ವಿಶಿಷ್ಟ ತಪ್ಪು, ಇದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ ಆರಂಭಿಕ ಹಂತಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಅಧ್ಯಯನ, ಆದರೆ ಅವರು ಹಲವಾರು ಒಂದು ಮತ್ತು ಎರಡು ಭಾಗಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತಾರೆ, ಸರಾಸರಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಈ ತಪ್ಪನ್ನು ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ.

ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನ ಅಥವಾ ಅಂಶವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವಾಗ, ನೀವು ಒಂದು ಪದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತೀರಿ ಯು"v, ಯಾವುದರಲ್ಲಿ ಯು- ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 2 ಅಥವಾ 5, ಅಂದರೆ, ಸ್ಥಿರ, ನಂತರ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಪದವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಈ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಉದಾಹರಣೆ 10 ರಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ).

ಇತರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ತಪ್ಪು- ಸರಳ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ಉತ್ಪನ್ನದ ಯಾಂತ್ರಿಕ ಪರಿಹಾರ. ಅದಕ್ಕೇ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಪ್ರತ್ಯೇಕ ಲೇಖನವನ್ನು ಮೀಸಲಿಡಲಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಮೊದಲು ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಕಲಿಯುತ್ತೇವೆ ಸರಳ ಕಾರ್ಯಗಳು.

ದಾರಿಯುದ್ದಕ್ಕೂ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸದೆ ನೀವು ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನೀವು ಹೊಸ ವಿಂಡೋಗಳಲ್ಲಿ ಕೈಪಿಡಿಯನ್ನು ತೆರೆಯಬೇಕಾಗಬಹುದು. ಶಕ್ತಿಗಳು ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗೆ ಕ್ರಿಯೆಗಳುಮತ್ತು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು.

ನೀವು ಶಕ್ತಿಗಳು ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ, ಕಾರ್ಯವು ತೋರುತ್ತಿರುವಾಗ , ನಂತರ ತರಗತಿಗೆ ಅನುಸರಿಸಿ " ಶಕ್ತಿಗಳು ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಮೊತ್ತದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ".

ನೀವು ಅಂತಹ ಕೆಲಸವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ , ನಂತರ ನಿಮಗೆ ಪಾಠವಿದೆ "ಸರಳ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು."

ಹಂತ-ಹಂತದ ಉದಾಹರಣೆಗಳು - ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು

ಉದಾಹರಣೆ 3.ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಪರಿಹಾರ. ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಭಾಗಗಳನ್ನು ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ: ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಅಂಶಗಳು ಮೊತ್ತಗಳಾಗಿವೆ, ಎರಡನೆಯದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪದವು ಸ್ಥಿರ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ: ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನವು ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಮುಂದೆ, ನಾವು ಮೊತ್ತದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ: ಕಾರ್ಯಗಳ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೊತ್ತದ ಉತ್ಪನ್ನವು ಈ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಬೀಜಗಣಿತ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ಪದವು ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿ ನಾವು ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್ ಎರಡನ್ನೂ ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರ (ಸಂಖ್ಯೆ), ಇದರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, "X" ಒಂದಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಮೈನಸ್ 5 ಶೂನ್ಯವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡನೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ, "x" ಅನ್ನು 2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು "x" ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದಂತೆ ಒಂದೇ ಘಟಕದಿಂದ ಎರಡನ್ನು ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಉತ್ಪನ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 4.ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಪರಿಹಾರ. ನಾವು ಅಂಶದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಅಂಶವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ: ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಂಶದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಒಂದು ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದರ ಅಂಶವು ಛೇದದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅಂಶದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ. ಛೇದ, ಮತ್ತು ಛೇದವು ಹಿಂದಿನ ಅಂಶದ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಉದಾಹರಣೆ 2 ರಲ್ಲಿ ಅಂಶಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಪ್ರಸ್ತುತ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ನ್ಯೂಮರೇಟರ್‌ನಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ಅಂಶವಾಗಿರುವ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಮರೆಯಬಾರದು:

ನೀವು ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತಿದ್ದರೆ, ಅಲ್ಲಿ ಬೇರುಗಳು ಮತ್ತು ಶಕ್ತಿಗಳ ನಿರಂತರ ರಾಶಿ ಇರುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, , ನಂತರ ತರಗತಿಗೆ ಸ್ವಾಗತ "ಅಧಿಕಾರಗಳು ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಮೊತ್ತಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ".

ನೀವು ಸೈನ್‌ಗಳು, ಕೊಸೈನ್‌ಗಳು, ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು ಮತ್ತು ಇತರರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕುರಿತು ಇನ್ನಷ್ಟು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾದರೆ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು, ಅಂದರೆ, ಕಾರ್ಯವು ತೋರುತ್ತಿರುವಾಗ , ನಂತರ ನಿಮಗೊಂದು ಪಾಠ "ಸರಳ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು".

ಉದಾಹರಣೆ 5.ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಪರಿಹಾರ. ಈ ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಂಶವಾಗಿದೆ ವರ್ಗ ಮೂಲಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನಿಂದ, ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ನೋಡಿದ ಉತ್ಪನ್ನ. ವರ್ಗಮೂಲದ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಕೋಷ್ಟಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 6.ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಪರಿಹಾರ. ಈ ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ ನಾವು ಒಂದು ಅಂಶವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ ಅದರ ಲಾಭಾಂಶವು ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವರ್ಗಮೂಲವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿದ ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆ 4 ರಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸಿದ ಅಂಶಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮವನ್ನು ಮತ್ತು ವರ್ಗಮೂಲದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಕೋಷ್ಟಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಅಂಶದಲ್ಲಿನ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು, ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಗುಣಿಸಿ.

ನಿರ್ಧರಿಸುವಾಗ ವಿವಿಧ ಕಾರ್ಯಗಳುಜ್ಯಾಮಿತಿ, ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರ, ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಜ್ಞಾನದ ಇತರ ಶಾಖೆಗಳು ಈ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಅದೇ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಗತ್ಯವಾಯಿತು y=f(x)ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತಾರೆ ನವೀನ ಲಕ್ಷಣಗಳುಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಕಾರ್ಯ(ಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ f(x)ಮತ್ತು ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ f(x)ಹೊಸ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಿರಿ f" (x), ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸಮತ್ತು ಇದು ಕೆಳಗಿನ ಮೂರು ಹಂತಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ: 1) ವಾದವನ್ನು ನೀಡಿ Xಹೆಚ್ಚಳ  Xಮತ್ತು ಕಾರ್ಯದ ಅನುಗುಣವಾದ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ  y = f(x+ x) -f(x); 2) ಸಂಬಂಧವನ್ನು ರೂಪಿಸಿ

3) ಎಣಿಕೆ Xಸ್ಥಿರ ಮತ್ತು  X0, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ
, ಇದನ್ನು ನಾವು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ f" (x), ಫಲಿತಾಂಶದ ಕಾರ್ಯವು ಮೌಲ್ಯದ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಒತ್ತಿಹೇಳುವಂತೆ X, ಇದರಲ್ಲಿ ನಾವು ಮಿತಿಗೆ ಹೋಗುತ್ತೇವೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ: ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ y " =f " (x) ನೀಡಿದ ಕಾರ್ಯ y=f(x) ಕೊಟ್ಟಿರುವ x ಗೆವಾದದ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ಕ್ರಿಯೆಯ ಹೆಚ್ಚಳದ ಅನುಪಾತದ ಮಿತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ವಾದದ ಹೆಚ್ಚಳವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರಿದರೆ, ಸಹಜವಾಗಿ, ಈ ಮಿತಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ. ಸೀಮಿತ. ಹೀಗಾಗಿ,
, ಅಥವಾ

ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ X, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಯಾವಾಗ x=a, ವರ್ತನೆ
ನಲ್ಲಿ  X0 ಒಲವು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಸೀಮಿತ ಮಿತಿ, ನಂತರ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅವರು ಕಾರ್ಯ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ f(x)ನಲ್ಲಿ x=a(ಅಥವಾ ಹಂತದಲ್ಲಿ x=a) ಯಾವುದೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಅಥವಾ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ x=a.

2. ಉತ್ಪನ್ನದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥ.

ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ y = f (x), ಪಾಯಿಂಟ್ x 0 ರ ಸಮೀಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗೊಳ್ಳಬಹುದು

f(x)

ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ - ಪಾಯಿಂಟ್ A(x 0, f (x 0)) ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಛೇದಿಸುವುದು B(x;f(x)). ಅಂತಹ ರೇಖೆಯನ್ನು (AB) ಸೆಕೆಂಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ∆ABC ಯಿಂದ: AC = ∆x; ВС =∆у; tgβ=∆y/∆x.

AC ರಿಂದ || ಎತ್ತು, ನಂತರ ALO = BAC = β (ಸಮಾನಾಂತರಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ). ಆದರೆ ALO ಎಂಬುದು ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷದ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿಗೆ ಸೆಕೆಂಟ್ AB ಯ ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನವಾಗಿದೆ. ಇದರರ್ಥ tanβ = k ಎಂಬುದು AB ನೇರ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು.

ಈಗ ನಾವು ∆х ಅನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ. ∆х→ 0. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪಾಯಿಂಟ್ B ಗ್ರಾಫ್ ಪ್ರಕಾರ ಪಾಯಿಂಟ್ A ಅನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸೆಕೆಂಟ್ AB ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ∆x→ 0 ನಲ್ಲಿ ಸೆಕ್ಯಾಂಟ್ AB ಯ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ಸ್ಥಾನವು ನೇರ ರೇಖೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ (a), ಪಾಯಿಂಟ್ A ನಲ್ಲಿ y = f (x) ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಮಾನತೆ tgβ =∆y/∆x ನಲ್ಲಿ ನಾವು ∆x → 0 ಎಂದು ಮಿತಿಗೆ ಹೋದರೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ortg =f "(x 0), ರಿಂದ
-ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷದ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನ
, ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ. ಆದರೆ tg = k ಎಂಬುದು ಸ್ಪರ್ಶದ ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕವಾಗಿದೆ, ಇದರರ್ಥ k = tg = f "(x 0).

ಆದ್ದರಿಂದ, ಉತ್ಪನ್ನದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ:

ಪಾಯಿಂಟ್ x ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ 0 ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಇಳಿಜಾರು abscissa x ನೊಂದಿಗೆ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಿಸಿದ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ 0 .

3. ಉತ್ಪನ್ನದ ಭೌತಿಕ ಅರ್ಥ.

ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಚಲನೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಯಾವುದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವನ್ನು x(t) ನೀಡಲಿ. ಒಂದು ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಸರಾಸರಿ ವೇಗವು ಈ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಯಾಣಿಸಿದ ದೂರದ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು (ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಕೋರ್ಸ್‌ನಿಂದ) ತಿಳಿದಿದೆ, ಅಂದರೆ.

ವಾವ್ = ∆x/∆t. ಕೊನೆಯ ಸಮಾನತೆಯ ಮಿತಿಗೆ ∆t → 0 ಎಂದು ಹೋಗೋಣ.

ಲಿಮ್ ವಾವ್ (ಟಿ) = (ಟಿ 0) - ತತ್ಕ್ಷಣದ ವೇಗಸಮಯದಲ್ಲಿ t 0, ∆t → 0.

ಮತ್ತು ಲಿಮ್ = ∆x/∆t = x"(t 0) (ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ).

ಆದ್ದರಿಂದ, (t) =x"(t).

ಉತ್ಪನ್ನದ ಭೌತಿಕ ಅರ್ಥವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ: ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವೈ = f(X) ಹಂತದಲ್ಲಿX 0 ಕಾರ್ಯದ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರವಾಗಿದೆf(x) ಹಂತದಲ್ಲಿX 0

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಸಮಯಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ತಿಳಿದಿರುವ ಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ವೇಗವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ವೇಗ ವರ್ಸಸ್ ಸಮಯದ ತಿಳಿದಿರುವ ಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ವೇಗವರ್ಧನೆ.

(t) = x"(t) - ವೇಗ,

a(f) = "(t) - ವೇಗವರ್ಧನೆ, ಅಥವಾ

ವೃತ್ತದಲ್ಲಿನ ವಸ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಚಲನೆಯ ನಿಯಮವು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ಕೋನೀಯ ವೇಗವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು ಮತ್ತು ಕೋನೀಯ ವೇಗವರ್ಧನೆತಿರುಗುವ ಚಲನೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ:

φ = φ(t) - ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ಕೋನದಲ್ಲಿ ಬದಲಾವಣೆ,

ω = φ"(ಟಿ) - ಕೋನೀಯ ವೇಗ,

ε = φ"(t) - ಕೋನೀಯ ವೇಗವರ್ಧನೆ, ಅಥವಾ ε = φ"(t).

ಏಕರೂಪದ ರಾಡ್ನ ಸಾಮೂಹಿಕ ವಿತರಣೆಯ ನಿಯಮವು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ಅಸಮಂಜಸ ರಾಡ್ನ ರೇಖೀಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು:

m = m(x) - ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ,

x  , l - ರಾಡ್‌ನ ಉದ್ದ,

p = m"(x) - ರೇಖೀಯ ಸಾಂದ್ರತೆ.

ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕತ್ವ ಮತ್ತು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಂಪನಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಹುಕ್ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ

F = -kx, x - ವೇರಿಯಬಲ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ, k - ವಸಂತ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ ಗುಣಾಂಕ. ω 2 =k/m ಅನ್ನು ಹಾಕಿದರೆ, ನಾವು ಸ್ಪ್ರಿಂಗ್ ಲೋಲಕದ x"(t) + ω 2 x(t) = 0 ನ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಅಲ್ಲಿ ω = √k/√m ಆಂದೋಲನ ಆವರ್ತನ (l/c), k - ಸ್ಪ್ರಿಂಗ್ ಠೀವಿ (H/m).

y" + ω 2 y = 0 ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಂದೋಲನಗಳ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಯಾಂತ್ರಿಕ, ವಿದ್ಯುತ್, ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ) ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರವು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.

y = Asin(ωt + φ 0) ಅಥವಾ y = Acos(ωt + φ 0), ಅಲ್ಲಿ

A - ಆಂದೋಲನಗಳ ವೈಶಾಲ್ಯ, ω - ಚಕ್ರ ಆವರ್ತನ,

φ 0 - ಆರಂಭಿಕ ಹಂತ.

ಒಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿಯು ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ತನ್ನ ಮೊದಲ ಸ್ವತಂತ್ರ ಹೆಜ್ಜೆಗಳನ್ನು ಯಾವಾಗ ತೆಗೆದುಕೊಂಡನು ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಮತ್ತು ಕೇಳಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತಾನೆ ವಿಚಿತ್ರವಾದ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು, ನಂತರ ಈ ಪದಗುಚ್ಛದಿಂದ ಹೊರಬರಲು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಅಷ್ಟು ಸುಲಭವಲ್ಲ " ಭೇದಾತ್ಮಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರಎಲೆಕೋಸಿನಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ." ಆದ್ದರಿಂದ, ಜನ್ಮ ರಹಸ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಮತ್ತು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುವ ಸಮಯ ಬಂದಿದೆ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕಗಳು ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ನಿಯಮಗಳು. ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಲಾಗಿದೆ ಉತ್ಪನ್ನದ ಅರ್ಥದ ಬಗ್ಗೆ, ನಾನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಹೆಚ್ಚು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅಲ್ಲಿ ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನೋಡಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ವಿಷಯದ ಮೇಲಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕ್ಲಿಕ್ ಮಾಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಇದೇ ಪಾಠವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ದೃಷ್ಟಿಕೋನ, ಮೇಲಾಗಿ,

ಕೆಳಗೆ ಚರ್ಚಿಸಲಾದ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ, ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಮಾಸ್ಟರಿಂಗ್ ಮಾಡಬಹುದು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಸಾರವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಸಮಯ / ಬಯಕೆ ಇಲ್ಲದಿದ್ದಾಗ). "ಸಾಮಾನ್ಯ" ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಅಪೇಕ್ಷಣೀಯವಾಗಿದೆ (ಆದರೆ ಮತ್ತೆ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ) - ಕನಿಷ್ಠ ಎರಡು ಮೂಲಭೂತ ಪಾಠಗಳ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ:ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ? ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ.

ಆದರೆ ಈಗ ನಾವು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲದ ಒಂದು ವಿಷಯವಿದೆ, ಅದು ಕಾರ್ಯ ಮಿತಿಗಳು. ಮಿತಿ ಏನೆಂದು ನೀವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಸರಾಸರಿ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಏಕೆಂದರೆ ಉತ್ಪನ್ನ

ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಪದನಾಮಗಳು ಮತ್ತು ನಿಯಮಗಳನ್ನು ನಾನು ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ: ಅವರು ಕರೆ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ ವಾದ ಹೆಚ್ಚಳ;

- ಕಾರ್ಯ ಹೆಚ್ಚಳ;

- ಇದು UNITED ಚಿಹ್ನೆಗಳು("ಡೆಲ್ಟಾ" ಅನ್ನು "X" ಅಥವಾ "Y" ನಿಂದ "ಹರಿದುಹಾಕಲು" ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ).

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, "ಡೈನಾಮಿಕ್" ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಯಾವುದು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ - ಸಂಖ್ಯೆ (ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ - "ಪ್ಲಸ್" ಅಥವಾ "ಮೈನಸ್" ಅನಂತ).

ಒಂದು ಹಂತವಾಗಿ, ನೀವು ಸೇರಿದ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ಒಂದು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಕಾರ್ಯ.

ಗಮನಿಸಿ: "ಉತ್ಪನ್ನವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ" ಎಂಬ ಷರತ್ತು - ವಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣಗಮನಾರ್ಹ! ಆದ್ದರಿಂದ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗಿದ್ದರೂ, ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

ಅಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ ಸೂತ್ರ

ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ

ಮತ್ತು ಮೀಸಲಾತಿ ಇಲ್ಲದೆ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ತಪ್ಪಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದೇ ಸತ್ಯಗಳುಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ "ಬ್ರೇಕ್‌ಗಳು" ಹೊಂದಿರುವ ಇತರ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಕೋಸಿನ್‌ಗೆ ಸಹ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಬದಲಿಸಿದ ನಂತರ, ನಾವು ಎರಡನೇ ಕೆಲಸದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಟೀಪಾಟ್ ಅನ್ನು ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸಬಹುದಾದ ಕಪಟ ಸನ್ನಿವೇಶಕ್ಕೆ ಗಮನ ಕೊಡಿ: ಈ ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, "x", ಸ್ವತಃ ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅಂಕಿ ಅಂಶದ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು "ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್" ಅನ್ನು ಮತ್ತೆ ಏರಿಕೆಯಿಂದ ಹೊಂದಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಫಲಿತಾಂಶ

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಮೇಲಿನದನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ನಾವು ಎರಡು ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತೇವೆ:

- ಹುಡುಕಿ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನ, ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸುವುದು.

- ಹುಡುಕಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಕಾರ್ಯ, ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸುವುದು. ಈ ಆವೃತ್ತಿ, ನನ್ನ ಅವಲೋಕನಗಳ ಪ್ರಕಾರ, ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಮುಖ್ಯ ಗಮನವನ್ನು ನೀಡಲಾಗುವುದು.

ಕಾರ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೆಂದರೆ ಮೊದಲ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನೀವು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು (ಐಚ್ಛಿಕವಾಗಿ, ಅನಂತ), ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದರಲ್ಲಿ -

ಕಾರ್ಯ ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಉತ್ಪನ್ನವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದಿರಬಹುದು.

ಹೇಗೆ ?

ಅನುಪಾತವನ್ನು ರಚಿಸಿ ಮತ್ತು ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ.

ಎಲ್ಲಿಂದ ಬಂತು?ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ನಿಯಮಗಳು ? ಏಕೈಕ ಮಿತಿಗೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳು

ಇದು ಮ್ಯಾಜಿಕ್ ತೋರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ

ವಾಸ್ತವದಲ್ಲಿ - ಕೈ ಚಳಕ ಮತ್ತು ವಂಚನೆ ಇಲ್ಲ. ಪಾಠದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂದರೇನು?ನಾನು ನೋಡತೊಡಗಿದೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳು, ಅಲ್ಲಿ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾನು ರೇಖೀಯ ಮತ್ತು ಚತುರ್ಭುಜ ಕ್ರಿಯೆಯ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇನೆ. ಅರಿವಿನ ಅಭ್ಯಾಸದ ಉದ್ದೇಶಕ್ಕಾಗಿ, ನಾವು ತೊಂದರೆಯನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತೇವೆ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ, ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಗೌರವಿಸುವುದು ಮತ್ತು ತಂತ್ರಪರಿಹಾರಗಳು:

ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ, ನೀವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಪವರ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ: .

ಪರಿಹಾರವನ್ನು ತಾಂತ್ರಿಕವಾಗಿ ಎರಡು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಔಪಚಾರಿಕಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮೊದಲ, ಈಗಾಗಲೇ ಪರಿಚಿತ ವಿಧಾನದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ: ಏಣಿಯು ಹಲಗೆಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನದ ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ.

ಸೇರಿದ ಕೆಲವು (ನಿರ್ದಿಷ್ಟ) ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನ ಇರುವ ಕಾರ್ಯ. ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಇನ್ಕ್ರಿಮೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸೋಣ (ಸಹಜವಾಗಿ, ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿ o/o -ya) ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯದ ಅನುಗುಣವಾದ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ರಚಿಸಿ:

ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:

ಅನಿಶ್ಚಿತತೆ 0:0 ಅನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ತಂತ್ರದಿಂದ ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಮೊದಲ ಶತಮಾನ BC ಯಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ. ಗುಣಿಸೋಣ

ಸಂಯೋಜಿತ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದ :

ಅಂತಹ ಮಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ತಂತ್ರವನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ವಿವರವಾಗಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ ಪರಿಚಯಾತ್ಮಕ ಪಾಠ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮಿತಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ.

ನೀವು ಮಧ್ಯಂತರದ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು

ನಂತರ, ಬದಲಿ ಮಾಡಿದ ನಂತರ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಲಾಗರಿಥಮ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಹಿಗ್ಗು ಮಾಡೋಣ:

ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ಪರಿಹಾರ: ಒಂದೇ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಉತ್ತೇಜಿಸಲು ವಿಭಿನ್ನ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಇದು ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದೇ, ಆದರೆ ವಿನ್ಯಾಸದ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ತರ್ಕಬದ್ಧವಾಗಿದೆ. ಹೋಗಲಾಡಿಸುವ ಯೋಚನೆ ಇದೆ

ಚಂದಾದಾರಿಕೆ ಮತ್ತು ಅಕ್ಷರದ ಬದಲಿಗೆ ಅಕ್ಷರವನ್ನು ಬಳಸಿ.

ಸೇರಿದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದುವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ಕಾರ್ಯ (ಮಧ್ಯಂತರ), ಮತ್ತು ಅದರಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ. ಆದರೆ ಇಲ್ಲಿ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ನೀವು ಯಾವುದೇ ಮೀಸಲಾತಿ ಇಲ್ಲದೆ ಮಾಡಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಕಾರ್ಯವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನಂತರ ಕಾರ್ಯದ ಅನುಗುಣವಾದ ಹೆಚ್ಚಳ:

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ವಿನ್ಯಾಸದ ಸರಳತೆಯು ಗೊಂದಲದಿಂದ ಸಮತೋಲಿತವಾಗಿದೆ

ಆರಂಭಿಕರಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ (ಮತ್ತು ಮಾತ್ರವಲ್ಲ). ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, "X" ಅಕ್ಷರವು ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶಕ್ಕೆ ನಾವು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ! ಆದರೆ ಇಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವೂ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ: - ಪುರಾತನ ಪ್ರತಿಮೆ, ಮತ್ತು - ಜೀವಂತ ಸಂದರ್ಶಕ, ವಸ್ತುಸಂಗ್ರಹಾಲಯದ ಕಾರಿಡಾರ್ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಚುರುಕಾಗಿ ನಡೆಯುತ್ತಿದ್ದಾರೆ. ಅಂದರೆ, "x" ಎಂಬುದು "ಸ್ಥಿರದಂತಿದೆ."

ಹಂತ ಹಂತವಾಗಿ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ನಿವಾರಣೆಯ ಕುರಿತು ನಾನು ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡುತ್ತೇನೆ:

(1) ಲಾಗರಿಥಮ್ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು.

(2) ಆವರಣದಲ್ಲಿ, ಅಂಶವನ್ನು ಛೇದದ ಪದದಿಂದ ಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.

(3) ಛೇದದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಕೃತಕವಾಗಿ ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು "x" ನಿಂದ ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ

ಅದ್ಭುತ ಮಿತಿಯ ಲಾಭವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಿ , ಹಾಗೆಯೇ ಅಪರಿಮಿತಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ.

ಉತ್ತರ: ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ:

ಅಥವಾ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ:

ಇನ್ನೂ ಎರಡು ಟೇಬಲ್ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ನೀವೇ ನಿರ್ಮಿಸಲು ನಾನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸುತ್ತೇನೆ:

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

IN ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿಸಂಯೋಜನೆಗೊಂಡ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ಮುನ್ನಡೆಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದ. ಅಂದಾಜು ಮಾದರಿಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ನಿಯೋಜನೆಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವುದು (ಮೊದಲ ವಿಧಾನ).

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬೇಕು. ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಎರಡನೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಔಪಚಾರಿಕಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಇತರ ಹಲವಾರು ಕೋಷ್ಟಕ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು. ಪೂರ್ಣ ಪಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು ಶಾಲಾ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ, ಅಥವಾ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, Fichtenholtz ನ 1 ನೇ ಸಂಪುಟ. ನನಗೆ ಕಾಣಿಸುತ್ತಿಲ್ಲ ವಿಶೇಷ ಅರ್ಥಪುಸ್ತಕಗಳಿಂದ ನಕಲು ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ನಿಯಮಗಳ ಪುರಾವೆಗಳು - ಅವುಗಳನ್ನು ಸಹ ರಚಿಸಲಾಗಿದೆ

ಸೂತ್ರ

ನಿಜವಾಗಿ ಎದುರಿಸಿದ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಹೋಗೋಣ: ಉದಾಹರಣೆ 5

ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ , ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸುವುದು

ಪರಿಹಾರ: ಮೊದಲ ವಿನ್ಯಾಸ ಶೈಲಿಯನ್ನು ಬಳಸಿ. ಕೆಲವು ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಸೇರಿದ ಅಂಶವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಅದರಲ್ಲಿ ವಾದದ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಹೊಂದಿಸೋಣ. ನಂತರ ಕಾರ್ಯದ ಅನುಗುಣವಾದ ಹೆಚ್ಚಳ:

ಪ್ರಾಯಶಃ ಕೆಲವು ಓದುಗರು ಇನ್ನೂ ಯಾವುದೇ ಏರಿಕೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಬೇಕಾದ ತತ್ವವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡಿಲ್ಲ. ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು (ಸಂಖ್ಯೆ) ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅದರಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ: , ಅಂದರೆ, ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ

"X" ಬದಲಿಗೆ ನೀವು ಬದಲಿಸಬೇಕು. ಈಗ ಅದನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ

ಕಂಪೈಲ್ಡ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಇನ್ಕ್ರಿಮೆಂಟ್ ತಕ್ಷಣವೇ ಸರಳಗೊಳಿಸುವುದು ಪ್ರಯೋಜನಕಾರಿಯಾಗಿದೆ. ಯಾವುದಕ್ಕಾಗಿ? ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ಮಿತಿಗೆ ಸುಗಮಗೊಳಿಸಿ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿ.

ನಾವು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ, ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:

ಟರ್ಕಿ ಜೀರ್ಣಗೊಂಡಿದೆ, ಹುರಿದ ಯಾವುದೇ ಸಮಸ್ಯೆ ಇಲ್ಲ:

ಅಂತಿಮವಾಗಿ:

ನೀವು ಯಾವುದೇ ಗುಣಮಟ್ಟದ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು ರಿಂದ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ, ನಂತರ ನಾವು ಬದಲಿ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ .

ಉತ್ತರ: a-priory.

ಪರಿಶೀಲನೆ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗಾಗಿ, ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ

ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಕೋಷ್ಟಕಗಳು:

ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರವನ್ನು ಮುಂಚಿತವಾಗಿ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಯಾವಾಗಲೂ ಉಪಯುಕ್ತ ಮತ್ತು ಆಹ್ಲಾದಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಪರಿಹಾರದ ಪ್ರಾರಂಭದಲ್ಲಿಯೇ ಉದ್ದೇಶಿತ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ಅಥವಾ ಡ್ರಾಫ್ಟ್‌ನಲ್ಲಿ "ತ್ವರಿತ" ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವುದು ಉತ್ತಮ.

ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ಇದು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ ಸ್ವತಂತ್ರ ನಿರ್ಧಾರ. ಫಲಿತಾಂಶವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ:

ಶೈಲಿ #2 ಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ ನೋಡೋಣ: ಉದಾಹರಣೆ 7

ಏನಾಗಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ತಕ್ಷಣ ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಮೂಲಕ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮ:

ಪರಿಹಾರ: ಪರಿಗಣಿಸಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದು, ಸೇರಿದ್ದು, ಅದರಲ್ಲಿ ವಾದದ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ ಮತ್ತು ಇನ್ಕ್ರಿಮೆಂಟ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸಿ

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

(1) ನಾವು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ

(2) ಸೈನ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುತ್ತೇವೆ, ಕೊಸೈನ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ.

(3) ಸೈನ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನಾವು ನಿಯಮಗಳನ್ನು ರದ್ದುಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ, ಕೊಸೈನ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಅಂಶವನ್ನು ಛೇದದ ಪದದಿಂದ ಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ.

(4) ಸೈನ್ನ ವಿಚಿತ್ರತೆಯಿಂದಾಗಿ, ನಾವು "ಮೈನಸ್" ಅನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುತ್ತೇವೆ. ಕೊಸೈನ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ

ನಾವು ಪದವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ.

(5) ಬಳಕೆಗಾಗಿ ನಾವು ಛೇದದಲ್ಲಿ ಕೃತಕ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಪ್ರಥಮ ಅದ್ಭುತ ಮಿತಿ . ಹೀಗಾಗಿ, ಅನಿಶ್ಚಿತತೆ ನಿವಾರಣೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಅಚ್ಚುಕಟ್ಟಾಗಿ ಮಾಡೋಣ.

ಉತ್ತರ: ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಮುಖ್ಯ ತೊಂದರೆಯು ನಿಂತಿದೆ

ಅತ್ಯಂತ ಮಿತಿಯ ಸಂಕೀರ್ಣತೆ + ಪ್ಯಾಕೇಜಿಂಗ್ನ ಸ್ವಲ್ಪ ಸ್ವಂತಿಕೆ. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ವಿನ್ಯಾಸದ ಎರಡೂ ವಿಧಾನಗಳು ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾನು ಎರಡೂ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ವಿವರವಾಗಿ ವಿವರಿಸುತ್ತೇನೆ. ಅವು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ, ಆದರೆ ಇನ್ನೂ, ನನ್ನ ವ್ಯಕ್ತಿನಿಷ್ಠ ಅನಿಸಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ, "X-ಶೂನ್ಯ" ದೊಂದಿಗೆ ಆಯ್ಕೆ 1 ಕ್ಕೆ ಅಂಟಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಡಮ್ಮೀಸ್‌ಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಮಾದರಿಯನ್ನು ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಂತೆಯೇ ಅದೇ ಉತ್ಸಾಹದಲ್ಲಿ ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಸಮಸ್ಯೆಯ ಅಪರೂಪದ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ನೋಡೋಣ:

ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಬಾಟಮ್ ಲೈನ್ ಏನಾಗಿರಬೇಕು? ಸಂಖ್ಯೆ ಉತ್ತರವನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:

ಪರಿಹಾರ: ಸ್ಪಷ್ಟತೆಯ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಈ ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚು ಸರಳವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ, ಬದಲಿಗೆ

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಹೊಂದಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯದ ಅನುಗುಣವಾದ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ರಚಿಸೋಣ:

ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:

ನಾವು ಅಪರೂಪದ ಸ್ಪರ್ಶ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ನಾವು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಮೊದಲನೆಯದಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸುತ್ತೇವೆ

ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿ:

ಉತ್ತರ: ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ.

ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ತುಂಬಾ ಕಷ್ಟವಲ್ಲ ಮತ್ತು "ಇನ್ ಸಾಮಾನ್ಯ ನೋಟ"- ಉಗುರು ಬದಲಿಸಲು ಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿ ವಿನ್ಯಾಸ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಸಾಕು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಫಲಿತಾಂಶವು ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲ, ಆದರೆ ಪಡೆದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 10 ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಹಂತದಲ್ಲಿ

ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ.

ಅಂತಿಮ ಬೋನಸ್ ಕಾರ್ಯವು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಉದ್ದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ ಆಳವಾದ ಅಧ್ಯಯನಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ, ಆದರೆ ಇದು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ನೋವುಂಟು ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ:

ಕಾರ್ಯವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆಯೇ? ಹಂತದಲ್ಲಿ?

ಪರಿಹಾರ: ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ತುಣುಕಾಗಿ ನೀಡಲಾದ ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಅಲ್ಲಿ ಅದು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆಯೇ?

ಪರಿಹಾರ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್, ಮತ್ತು ಕೇವಲ ತುಣುಕು ಕಾರ್ಯಗಳು, ಇದೆ:

1) ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಎಡಗೈ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

2) ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಬಲಗೈ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

3) ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಕಾಕತಾಳೀಯವಾಗಿದ್ದರೆ:

, ನಂತರ ಕಾರ್ಯವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ, ಇಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಪರ್ಶಕವಿದೆ (ನೋಡಿ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಭಾಗಪಾಠ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ಅರ್ಥ).

ಎರಡು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದರೆ ವಿಭಿನ್ನ ಅರ್ಥಗಳು: (ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅನಂತವಾಗಿರಬಹುದು), ನಂತರ ಕಾರ್ಯವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಎರಡೂ ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಅನಂತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ

(ಅವರು ವಿಭಿನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೂ ಸಹ), ನಂತರ ಕಾರ್ಯವು ಅಲ್ಲ

ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಅನಂತ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಲಂಬ ಸ್ಪರ್ಶಕವಿದೆ (ಉದಾಹರಣೆ ಪಾಠ 5 ನೋಡಿಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣ) .

ಮೊದಲ ಹಂತ

ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ. ಸಮಗ್ರ ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿ (2019)

ಗುಡ್ಡಗಾಡು ಪ್ರದೇಶದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ನೇರವಾದ ರಸ್ತೆಯನ್ನು ಊಹಿಸೋಣ. ಅಂದರೆ, ಅದು ಮೇಲಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಕೆಳಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಬಲಕ್ಕೆ ಅಥವಾ ಎಡಕ್ಕೆ ತಿರುಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅಕ್ಷವನ್ನು ರಸ್ತೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಮತ್ತು ಲಂಬವಾಗಿ ಅಡ್ಡಲಾಗಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸಿದರೆ, ರಸ್ತೆ ರೇಖೆಯು ಕೆಲವು ನಿರಂತರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ:

ಅಕ್ಷವು ಶೂನ್ಯ ಎತ್ತರದ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಟ್ಟವಾಗಿದೆ; ಜೀವನದಲ್ಲಿ ನಾವು ಸಮುದ್ರ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.

ಅಂತಹ ರಸ್ತೆಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಮುಂದೆ ಸಾಗುವಾಗ, ನಾವು ಮೇಲಕ್ಕೆ ಅಥವಾ ಕೆಳಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಸಹ ಹೇಳಬಹುದು: ವಾದವು ಬದಲಾದಾಗ (ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಚಲನೆ), ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವು ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ (ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಚಲನೆ). ಈಗ ನಮ್ಮ ರಸ್ತೆಯ "ಕಡಿದಾದ" ಯನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಎಂದು ಯೋಚಿಸೋಣ? ಇದು ಯಾವ ರೀತಿಯ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿರಬಹುದು? ಇದು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ: ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದೂರವನ್ನು ಮುಂದಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುವಾಗ ಎತ್ತರವು ಎಷ್ಟು ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ಆನ್ ವಿವಿಧ ಪ್ರದೇಶಗಳುರಸ್ತೆಗಳು, ಒಂದು ಕಿಲೋಮೀಟರ್ ಮುಂದೆ (x- ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ) ಚಲಿಸುವಾಗ, ನಾವು ಏರುತ್ತೇವೆ ಅಥವಾ ಬೀಳುತ್ತೇವೆ ವಿವಿಧ ಪ್ರಮಾಣಗಳುಸಮುದ್ರ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಮೀಟರ್ (ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ).

ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ ("ಡೆಲ್ಟಾ x" ಓದಿ).

ಗ್ರೀಕ್ ಅಕ್ಷರವನ್ನು (ಡೆಲ್ಟಾ) ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ "ಬದಲಾವಣೆ" ಎಂಬರ್ಥದ ಪೂರ್ವಪ್ರತ್ಯಯವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ - ಇದು ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಬದಲಾವಣೆ, - ಬದಲಾವಣೆ; ಹಾಗಾದರೆ ಅದು ಏನು? ಅದು ಸರಿ, ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಬದಲಾವಣೆ.

ಪ್ರಮುಖ: ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಒಂದೇ ಸಂಪೂರ್ಣ, ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದೆ. "ಡೆಲ್ಟಾ" ಅನ್ನು "x" ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ಇತರ ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಎಂದಿಗೂ ಬೇರ್ಪಡಿಸಬೇಡಿ! ಅಂದರೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, .

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಮುಂದೆ, ಅಡ್ಡಲಾಗಿ, ಮೂಲಕ. ನಾವು ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ನೊಂದಿಗೆ ರಸ್ತೆಯ ರೇಖೆಯನ್ನು ಹೋಲಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಏರಿಕೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ? ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ, . ಅಂದರೆ, ನಾವು ಮುಂದೆ ಹೋದಂತೆ, ನಾವು ಎತ್ತರಕ್ಕೆ ಏರುತ್ತೇವೆ.

ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಸುಲಭ: ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ಎತ್ತರದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಚಲಿಸಿದ ನಂತರ ನಾವು ಎತ್ತರದಲ್ಲಿ ಕಾಣುತ್ತೇವೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಆರಂಭಿಕಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ, ಅದು ನಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ - ಇದರರ್ಥ ನಾವು ಆರೋಹಣವಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅವರೋಹಣ.

ನಾವು "ಕಡಿದಾದ" ಗೆ ಹಿಂತಿರುಗೋಣ: ಇದು ದೂರದ ಒಂದು ಘಟಕವನ್ನು ಮುಂದಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುವಾಗ ಎತ್ತರವು ಎಷ್ಟು (ಕಡಿದಾದ) ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುವ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ:

ರಸ್ತೆಯ ಕೆಲವು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಕಿಲೋಮೀಟರ್ ಮುಂದೆ ಚಲಿಸುವಾಗ, ರಸ್ತೆಯು ಒಂದು ಕಿಲೋಮೀಟರ್ ಏರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ ಈ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಇಳಿಜಾರು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ರಸ್ತೆ, ಮೀ ಮೂಲಕ ಮುಂದಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುವಾಗ, ಕಿಮೀಯಿಂದ ಕೈಬಿಟ್ಟರೆ? ನಂತರ ಇಳಿಜಾರು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಈಗ ಬೆಟ್ಟದ ತುದಿಯನ್ನು ನೋಡೋಣ. ನೀವು ಶಿಖರಕ್ಕೆ ಅರ್ಧ ಕಿಲೋಮೀಟರ್ ಮೊದಲು ವಿಭಾಗದ ಪ್ರಾರಂಭವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಮತ್ತು ಅದರ ನಂತರ ಅರ್ಧ ಕಿಲೋಮೀಟರ್ ಅಂತ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ಎತ್ತರವು ಬಹುತೇಕ ಒಂದೇ ಆಗಿರುವುದನ್ನು ನೀವು ನೋಡಬಹುದು.

ಅಂದರೆ, ನಮ್ಮ ತರ್ಕದ ಪ್ರಕಾರ, ಇಲ್ಲಿ ಇಳಿಜಾರು ಬಹುತೇಕ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ, ಅದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ನಿಜವಲ್ಲ. ಕೇವಲ ಕಿಲೋಮೀಟರ್ ದೂರದಲ್ಲಿ ಬಹಳಷ್ಟು ಬದಲಾಗಬಹುದು. ಸಣ್ಣ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸಮರ್ಪಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ನಿಖರವಾದ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಕಡಿದಾದ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೀವು ಒಂದು ಮೀಟರ್ ಅನ್ನು ಚಲಿಸುವಾಗ ಎತ್ತರದಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ನೀವು ಅಳತೆ ಮಾಡಿದರೆ, ಫಲಿತಾಂಶವು ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಈ ನಿಖರತೆ ಕೂಡ ನಮಗೆ ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ - ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ರಸ್ತೆಯ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಕಂಬವಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಹಾದುಹೋಗಬಹುದು. ನಂತರ ನಾವು ಯಾವ ದೂರವನ್ನು ಆರಿಸಬೇಕು? ಸೆಂಟಿಮೀಟರ್? ಮಿಲಿಮೀಟರ್? ಕಡಿಮೆ ಉತ್ತಮ!

IN ನಿಜ ಜೀವನಹತ್ತಿರದ ಮಿಲಿಮೀಟರ್‌ಗೆ ದೂರವನ್ನು ಅಳೆಯುವುದು ಸಾಕಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚು. ಆದರೆ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಯಾವಾಗಲೂ ಪರಿಪೂರ್ಣತೆಗಾಗಿ ಶ್ರಮಿಸುತ್ತಾರೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಯಿತು ಅಪರಿಮಿತ, ಅಂದರೆ, ನಾವು ಹೆಸರಿಸಬಹುದಾದ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವು ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೀವು ಹೇಳುತ್ತೀರಿ: ಒಂದು ಟ್ರಿಲಿಯನ್! ಎಷ್ಟು ಕಡಿಮೆ? ಮತ್ತು ನೀವು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಭಾಗಿಸಿ - ಮತ್ತು ಅದು ಇನ್ನೂ ಕಡಿಮೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಇತ್ಯಾದಿ. ಒಂದು ಪ್ರಮಾಣವು ಅಪರಿಮಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಬರೆಯಲು ಬಯಸಿದರೆ, ನಾವು ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ: (ನಾವು "x ಸೊನ್ನೆಗೆ ಒಲವು" ಎಂದು ಓದುತ್ತೇವೆ). ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯ ಈ ಸಂಖ್ಯೆ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲ ಎಂದು!ಆದರೆ ಅದಕ್ಕೆ ತುಂಬಾ ಹತ್ತಿರ. ಇದರರ್ಥ ನೀವು ಅದರ ಮೂಲಕ ಭಾಗಿಸಬಹುದು.

ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಅನಂತವಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ (). ನೀವು ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಮೇಲೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವಾಗ ನೀವು ಬಹುಶಃ ಈಗಾಗಲೇ ಅದನ್ನು ನೋಡಿದ್ದೀರಿ: ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯು ನೀವು ಯೋಚಿಸಬಹುದಾದ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ನೀವು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಬಂದರೆ, ಅದನ್ನು ಎರಡರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ನೀವು ಇನ್ನೂ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ. ಮತ್ತು ಇನ್ನೂ ಅನಂತ ಇದಲ್ಲದೆಏನಾಗುವುದೆಂದು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅನಂತವಾಗಿ ದೊಡ್ಡದು ಮತ್ತು ಅನಂತ ಚಿಕ್ಕದು ಪರಸ್ಪರ ವಿಲೋಮವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ನಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ: at.

ಈಗ ನಾವು ನಮ್ಮ ರಸ್ತೆಗೆ ಹಿಂತಿರುಗೋಣ. ಆದರ್ಶಪ್ರಾಯವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿದ ಇಳಿಜಾರು ಮಾರ್ಗದ ಅಪರಿಮಿತ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿದ ಇಳಿಜಾರು, ಅಂದರೆ:

ಅನಂತವಾದ ಸ್ಥಳಾಂತರದೊಂದಿಗೆ, ಎತ್ತರದಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಯು ಸಹ ಅನಂತವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾನು ಗಮನಿಸುತ್ತೇನೆ. ಆದರೆ ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮ ಎಂದರೆ ಅರ್ಥವಲ್ಲ ಎಂದು ನಾನು ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮ. ನೀವು ಅಪರಿಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ವಿಭಜಿಸಿದರೆ, ನೀವು ಸಾಕಷ್ಟು ಪಡೆಯಬಹುದು ನಿಯಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, . ಅಂದರೆ, ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಮೌಲ್ಯವು ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕಿಂತ ನಿಖರವಾಗಿ ಪಟ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಇದೆಲ್ಲ ಯಾವುದಕ್ಕಾಗಿ? ರಸ್ತೆ, ಕಡಿದಾದ ... ನಾವು ಕಾರ್ ರ್ಯಾಲಿಯಲ್ಲಿ ಹೋಗುತ್ತಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ನಾವು ಗಣಿತವನ್ನು ಕಲಿಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆ. ಮತ್ತು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವೂ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಮಾತ್ರ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉತ್ಪನ್ನದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ

ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ನ ಇನ್‌ಕ್ರಿಮೆಂಟ್‌ನ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ನ ಇನ್‌ಕ್ರಿಮೆಂಟ್‌ನ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ.

ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವಂತೆಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಅವರು ಬದಲಾವಣೆ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ () ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಚಲಿಸುವಾಗ ಎಷ್ಟು ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವಾದ ಹೆಚ್ಚಳಮತ್ತು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ದೂರದಿಂದ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಚಲಿಸುವಾಗ ಕಾರ್ಯ (ಎತ್ತರ) ಎಷ್ಟು ಬದಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕಾರ್ಯ ಹೆಚ್ಚಳಮತ್ತು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಯಾವಾಗ ಎಂಬ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ. ನಾವು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಾರ್ಯದಂತೆಯೇ ಅದೇ ಅಕ್ಷರದೊಂದಿಗೆ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ, ಮೇಲಿನ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ: ಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬರೆಯೋಣ:

ರಸ್ತೆಯೊಂದಿಗಿನ ಸಾದೃಶ್ಯದಂತೆ, ಇಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾದಾಗ, ಉತ್ಪನ್ನವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಕಡಿಮೆಯಾದಾಗ ಅದು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರಬಹುದೇ? ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾವು ಸಮತಟ್ಟಾದ ಸಮತಲ ರಸ್ತೆಯಲ್ಲಿ ಚಾಲನೆ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದರೆ, ಕಡಿದಾದವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಇದು ನಿಜ, ಎತ್ತರವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದೊಂದಿಗೆ: ಸ್ಥಿರ ಕ್ರಿಯೆಯ (ಸ್ಥಿರ) ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಏಕೆಂದರೆ ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯದ ಹೆಚ್ಚಳವು ಯಾವುದಕ್ಕೂ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಬೆಟ್ಟದ ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ. ವಿಭಾಗದ ತುದಿಗಳನ್ನು ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಜೋಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ ಎಂದು ಅದು ಬದಲಾಯಿತು ವಿವಿಧ ಬದಿಗಳುಮೇಲಿನಿಂದ, ಆದ್ದರಿಂದ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿನ ಎತ್ತರವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ವಿಭಾಗವು ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಆದರೆ ದೊಡ್ಡ ಭಾಗಗಳು ತಪ್ಪಾದ ಅಳತೆಯ ಸಂಕೇತವಾಗಿದೆ. ನಾವು ನಮ್ಮ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಂತರ ಅದರ ಉದ್ದವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ನಾವು ಮೇಲ್ಭಾಗಕ್ಕೆ ಅನಂತವಾಗಿ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದ್ದಾಗ, ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದವು ಅನಂತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಅದು ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಉಳಿಯಿತು, ಅಂದರೆ, ಅದರ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ಎತ್ತರದಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಇದು ಒಲವು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ). ಆದ್ದರಿಂದ ಉತ್ಪನ್ನ

ಇದನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು: ನಾವು ಅತ್ಯಂತ ಮೇಲ್ಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಿಂತಾಗ, ಎಡಕ್ಕೆ ಅಥವಾ ಬಲಕ್ಕೆ ಸಣ್ಣ ಶಿಫ್ಟ್ ನಮ್ಮ ಎತ್ತರವನ್ನು ನಗಣ್ಯವಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ.

ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ವಿವರಣೆಯೂ ಇದೆ: ಶೃಂಗದ ಎಡಕ್ಕೆ ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬಲಕ್ಕೆ ಅದು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಮೊದಲೇ ಕಂಡುಕೊಂಡಂತೆ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾದಾಗ, ಉತ್ಪನ್ನವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಕಡಿಮೆಯಾದಾಗ ಅದು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಇದು ಜಿಗಿತಗಳಿಲ್ಲದೆ ಸರಾಗವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ (ರಸ್ತೆ ಎಲ್ಲಿಯೂ ತನ್ನ ಇಳಿಜಾರನ್ನು ತೀವ್ರವಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ). ಆದ್ದರಿಂದ, ಋಣಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ನಡುವೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳುಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಇರಬೇಕು. ಇದು ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ - ಶೃಂಗದ ಹಂತದಲ್ಲಿ.

ತೊಟ್ಟಿಗೆ ಇದು ನಿಜವಾಗಿದೆ (ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಕಾರ್ಯವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ ಪ್ರದೇಶ ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ):

ಏರಿಕೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು.

ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ವಾದವನ್ನು ಪರಿಮಾಣಕ್ಕೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಯಾವ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಬದಲಾಗುತ್ತೇವೆ? ಅದು (ವಾದ) ಈಗ ಏನಾಯಿತು? ನಾವು ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು, ಮತ್ತು ಈಗ ನಾವು ಅದರಿಂದ ನೃತ್ಯ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಅದರಲ್ಲಿರುವ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ ನಾವು ಅದೇ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ: ನಾವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈಗ ವಾದವೇನು? ಬಹಳ ಸುಲಭ: . ಈಗ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯ ಏನು? ವಾದವು ಎಲ್ಲಿಗೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ, ಕಾರ್ಯವೂ ಸಹ ಹೋಗುತ್ತದೆ: . ಕಾರ್ಯ ಹೆಚ್ಚಳದ ಬಗ್ಗೆ ಏನು? ಹೊಸದೇನೂ ಇಲ್ಲ: ಇದು ಇನ್ನೂ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬದಲಿಸಿದ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ:

ಏರಿಕೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಿ:

1. ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ನ ಹೆಚ್ಚಳವು ಸಮಾನವಾದಾಗ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
2. ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೂ ಅದೇ ಹೋಗುತ್ತದೆ.

ಪರಿಹಾರಗಳು:

IN ವಿವಿಧ ಅಂಕಗಳುಅದೇ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಇನ್ಕ್ರಿಮೆಂಟ್ ಜೊತೆಗೆ, ಫಂಕ್ಷನ್ ಇನ್ಕ್ರಿಮೆಂಟ್ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲಿನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ನಾವು ಇದನ್ನು ಆರಂಭದಲ್ಲಿಯೇ ಚರ್ಚಿಸಿದ್ದೇವೆ - ರಸ್ತೆಯ ಕಡಿದಾದವು ವಿಭಿನ್ನ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ). ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬರೆಯುವಾಗ, ಯಾವ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಾವು ಸೂಚಿಸಬೇಕು:

ಪವರ್ ಕಾರ್ಯ.

ಪವರ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಎನ್ನುವುದು ವಾದವು ಸ್ವಲ್ಪ ಮಟ್ಟಿಗೆ ಇರುವ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ (ತಾರ್ಕಿಕ, ಸರಿ?).

ಇದಲ್ಲದೆ - ಯಾವುದೇ ಮಟ್ಟಿಗೆ: .

ಸರಳವಾದ ಪ್ರಕರಣ- ಇದು ಘಾತವಾದಾಗ:

ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ:

ಆದ್ದರಿಂದ ವಾದವು ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯದ ಹೆಚ್ಚಳ ಏನು?

ಹೆಚ್ಚಳ ಇದು. ಆದರೆ ಯಾವುದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಅದರ ವಾದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ:

ಉತ್ಪನ್ನವು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಇದರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಬಿ) ಈಗ ಪರಿಗಣಿಸಿ ಚತುರ್ಭುಜ ಕಾರ್ಯ (): .

ಈಗ ಅದನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ. ಇದರರ್ಥ ಹೆಚ್ಚಳದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಅಪರಿಮಿತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಇತರ ಪದದ ಹಿನ್ನೆಲೆಯಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಲ್ಪವಾಗಿದೆ:

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಇನ್ನೊಂದು ನಿಯಮವನ್ನು ತಂದಿದ್ದೇವೆ:

ಸಿ) ನಾವು ತಾರ್ಕಿಕ ಸರಣಿಯನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸರಳಗೊಳಿಸಬಹುದು: ಮೊತ್ತದ ಘನದ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕಾಗಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮೊದಲ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಅನ್ನು ತೆರೆಯಿರಿ ಅಥವಾ ಘನಗಳ ಸೂತ್ರದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸಿ. ಸೂಚಿಸಲಾದ ಯಾವುದೇ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ನೀವೇ ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾನು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇನೆ:

ಮತ್ತು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಅದನ್ನು ನೆನಪಿಸೋಣ. ಇದರರ್ಥ ನಾವು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಬಹುದು:

ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: .

ಡಿ) ದೊಡ್ಡ ಅಧಿಕಾರಗಳಿಗೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು:

ಇ) ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ವಿದ್ಯುತ್ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಈ ನಿಯಮವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು, ಪೂರ್ಣಾಂಕವೂ ಅಲ್ಲ:

(2)

ನಿಯಮವನ್ನು ಪದಗಳಲ್ಲಿ ರೂಪಿಸಬಹುದು: "ಪದವಿಯನ್ನು ಗುಣಾಂಕವಾಗಿ ಮುಂದಕ್ಕೆ ತರಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ."

ನಾವು ಈ ನಿಯಮವನ್ನು ನಂತರ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ (ಬಹುತೇಕ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ). ಈಗ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

1. (ಎರಡು ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ: ಸೂತ್ರದ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸುವುದು - ಕಾರ್ಯದ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ);

1. . ಇದನ್ನು ನಂಬಿರಿ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲ, ಇದು ಶಕ್ತಿಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ನೀವು ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ "ಇದು ಹೇಗೆ? ಪದವಿ ಎಲ್ಲಿದೆ?”, ವಿಷಯ ನೆನಪಿರಲಿ “”!
   ಹೌದು, ಹೌದು, ಮೂಲವು ಸಹ ಒಂದು ಪದವಿಯಾಗಿದೆ, ಕೇವಲ ಭಾಗಶಃ: .
   ಇದರರ್ಥ ನಮ್ಮ ವರ್ಗಮೂಲವು ಘಾತವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ:
   .
   ಇತ್ತೀಚೆಗೆ ಕಲಿತ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ:

   ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದು ಮತ್ತೆ ಅಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದ್ದರೆ, ವಿಷಯವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿ ""!!! (ಸುಮಾರು ಪದವಿಯೊಂದಿಗೆ ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಸೂಚಕ)

2. . ಈಗ ಘಾತ:

   ಮತ್ತು ಈಗ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಮೂಲಕ (ನೀವು ಇನ್ನೂ ಮರೆತಿದ್ದೀರಾ?):
   ;
   .
   ಈಗ, ಎಂದಿನಂತೆ, ನಾವು ಹೊಂದಿರುವ ಪದವನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸುತ್ತೇವೆ:
   .

3. . ಹಿಂದಿನ ಪ್ರಕರಣಗಳ ಸಂಯೋಜನೆ: .

ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು.

ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಉನ್ನತ ಗಣಿತದಿಂದ ಒಂದು ಸತ್ಯವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ.

ಇನ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಟ್ನ ಮೊದಲ ವರ್ಷದಲ್ಲಿ ನೀವು ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಕಲಿಯುವಿರಿ (ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿಗೆ ಹೋಗಲು, ನೀವು ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಉತ್ತೀರ್ಣರಾಗಬೇಕು). ಈಗ ನಾನು ಅದನ್ನು ಸಚಿತ್ರವಾಗಿ ತೋರಿಸುತ್ತೇನೆ:

ಕಾರ್ಯವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದಿದ್ದಾಗ ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ - ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿನ ಬಿಂದುವನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರವಾದಷ್ಟೂ ಕಾರ್ಯವು ಹತ್ತಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.ಇದೇ "ಗುರಿ".

ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ನೀವು ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಬಳಸಿ ಈ ನಿಯಮವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು. ಹೌದು, ಹೌದು, ನಾಚಿಕೆಪಡಬೇಡ, ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ, ನಾವು ಇನ್ನೂ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿಲ್ಲ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ: ;

ನಿಮ್ಮ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಅನ್ನು ರೇಡಿಯನ್ಸ್ ಮೋಡ್‌ಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಲು ಮರೆಯಬೇಡಿ!

ಇತ್ಯಾದಿ ಕಡಿಮೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ದಿ ಹತ್ತಿರದ ಮೌಲ್ಯಗೆ ಸಂಬಂಧ

ಎ) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಎಂದಿನಂತೆ, ಅದರ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ಸೈನ್‌ಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ ("" ವಿಷಯವನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ): .

ಈಗ ಉತ್ಪನ್ನ:

ಬದಲಿ ಮಾಡೋಣ: . ಅನಂತರ ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮಕ್ಕೆ ಅದು ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮವೂ ಆಗಿದೆ: . ಗಾಗಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ:

ಮತ್ತು ಈಗ ನಾವು ಅದನ್ನು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಮತ್ತು, ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿ (ಅಂದರೆ, ನಲ್ಲಿ) ಅಪರಿಮಿತ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಿದರೆ ಏನು.

ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಮುಂದಿನ ನಿಯಮ:ಸೈನ್‌ನ ಉತ್ಪನ್ನವು ಕೊಸೈನ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಇವು ಮೂಲ ("ಕೋಷ್ಟಕ") ಉತ್ಪನ್ನಗಳಾಗಿವೆ. ಇಲ್ಲಿ ಅವರು ಒಂದು ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿದ್ದಾರೆ:

ನಂತರ ನಾವು ಅವರಿಗೆ ಇನ್ನೂ ಕೆಲವನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಆದರೆ ಇವುಗಳು ಅತ್ಯಂತ ಮುಖ್ಯವಾದವು, ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಭ್ಯಾಸ:

1. ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ;
2. ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರಗಳು:

1. ಮೊದಲಿಗೆ, ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ, ತದನಂತರ ಅದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬದಲಿಸಿ:
   ;
   .
2. ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಇದೇ ರೀತಿಯದ್ದನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಶಕ್ತಿ ಕಾರ್ಯ. ಅವಳನ್ನು ಕರೆತರಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ
   ಸಾಮಾನ್ಯ ನೋಟ:
   .
   ಅದ್ಭುತವಾಗಿದೆ, ಈಗ ನೀವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು:
   .
   .
3. . Eeeeeee..... ಏನಿದು????

ಸರಿ, ನೀವು ಹೇಳಿದ್ದು ಸರಿ, ಅಂತಹ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂದು ನಮಗೆ ಇನ್ನೂ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಹಲವಾರು ರೀತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಅವರೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು, ನೀವು ಇನ್ನೂ ಕೆಲವು ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಕಲಿಯಬೇಕು:

ಘಾತ ಮತ್ತು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್.

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಿದೆ, ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು "ಘಾತ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ

ಈ ಕಾರ್ಯದ ಆಧಾರವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ - ಇದು ಅನಂತವಾಗಿದೆ ದಶಮಾಂಶ, ಅಂದರೆ, ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ). ಇದನ್ನು "ಯೂಲರ್ ಸಂಖ್ಯೆ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಇದನ್ನು ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಿಯಮ:

ನೆನಪಿಡುವುದು ತುಂಬಾ ಸುಲಭ.

ಸರಿ, ನಾವು ದೂರ ಹೋಗಬಾರದು, ಅದನ್ನು ತಕ್ಷಣ ನೋಡೋಣ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯ. ಘಾತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ವಿಲೋಮವು ಯಾವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ? ಲಾಗರಿಥಮ್:

ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಆಧಾರವು ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ:

ಅಂತಹ ಲಾಗರಿಥಮ್ (ಅಂದರೆ, ಬೇಸ್ ಹೊಂದಿರುವ ಲಾಗರಿಥಮ್) ಅನ್ನು "ನೈಸರ್ಗಿಕ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ವಿಶೇಷ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ: ನಾವು ಬದಲಿಗೆ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಇದು ಯಾವುದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ? ಖಂಡಿತವಾಗಿ, .

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಉತ್ಪನ್ನವು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ:

ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

1. ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
2. ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಯಾವುದು?

ಉತ್ತರಗಳು: ಪ್ರದರ್ಶಕ ಮತ್ತು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್- ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಗಳು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಬೇಸ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಘಾತೀಯ ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಅದನ್ನು ನಾವು ನಂತರ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಿಯಮಗಳ ಮೂಲಕ ಹೋಗೋಣವ್ಯತ್ಯಾಸ.

ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮಗಳು

ಯಾವುದರ ನಿಯಮಗಳು? ಮತ್ತೆ ಹೊಸ ಪದ, ಮತ್ತೆ?!...

ವ್ಯತ್ಯಾಸಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ.

ಅಷ್ಟೇ. ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಒಂದೇ ಪದದಲ್ಲಿ ಬೇರೆ ಏನು ಕರೆಯಬಹುದು? ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಲ್ಲ... ಗಣಿತಜ್ಞರು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಅನ್ನು ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಅದೇ ಇನ್ಕ್ರಿಮೆಂಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಈ ಪದವು ಲ್ಯಾಟಿನ್ ವ್ಯತ್ಯಾಸದಿಂದ ಬಂದಿದೆ - ವ್ಯತ್ಯಾಸ. ಇಲ್ಲಿ.

ಈ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಪಡೆದಾಗ, ನಾವು ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮತ್ತು. ಅವರ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕಾಗಿ ನಮಗೆ ಸೂತ್ರಗಳು ಸಹ ಅಗತ್ಯವಿದೆ:

ಒಟ್ಟು 5 ನಿಯಮಗಳಿವೆ.

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸ್ಥಿರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವೇಳೆ - ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆ(ಸ್ಥಿರ), ನಂತರ.

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಈ ನಿಯಮವು ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕಾಗಿ ಸಹ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ: .

ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತು ಮಾಡೋಣ. ಅದು ಇರಲಿ, ಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿರಲಿ.

ಉದಾಹರಣೆಗಳು.

ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

1. ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ;
2. ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ;
3. ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ;
4. ಹಂತದಲ್ಲಿ.

ಪರಿಹಾರಗಳು:

1. (ಇದರಿಂದ ಉತ್ಪನ್ನವು ಎಲ್ಲಾ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯ, ನೆನಪಿದೆಯೇ?);

ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

ಇಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವೂ ಹೋಲುತ್ತದೆ: ಹೊಸ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಅದರ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ಉತ್ಪನ್ನ:

ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

1. ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು;
2. ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರಗಳು:

ಘಾತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

ಈಗ ನಿಮ್ಮ ಜ್ಞಾನವು ಯಾವುದೇ ಘಾತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಕಲಿಯಲು ಸಾಕು, ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಘಾತಾಂಕಗಳಲ್ಲ (ನೀವು ಇನ್ನೂ ಏನೆಂದು ಮರೆತಿದ್ದೀರಾ?).

ಆದ್ದರಿಂದ, ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆ ಎಲ್ಲಿದೆ.

ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿದ್ದೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಮ್ಮ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಸ ಬೇಸ್‌ಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ:

ಇದಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ ಸರಳ ನಿಯಮ: . ನಂತರ:

ಸರಿ, ಇದು ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದೆ. ಈಗ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ, ಮತ್ತು ಈ ಕಾರ್ಯವು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಮರೆಯಬೇಡಿ.

ಸಂಭವಿಸಿದ?

ಇಲ್ಲಿ, ನಿಮ್ಮನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ:

ಸೂತ್ರವು ಘಾತಾಂಕದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ: ಅದು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಒಂದು ಅಂಶ ಮಾತ್ರ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿತು, ಅದು ಕೇವಲ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ, ಆದರೆ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅಲ್ಲ.

ಉದಾಹರಣೆಗಳು:
ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ಉತ್ತರಗಳು:

ಇದು ಕೇವಲ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಇಲ್ಲದೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲಾಗದ ಸಂಖ್ಯೆ, ಅಂದರೆ, ಇದನ್ನು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಬರೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಸರಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬಿಡುತ್ತೇವೆ.

ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

ಇದು ಇಲ್ಲಿ ಹೋಲುತ್ತದೆ: ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನೀವು ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿದ್ದೀರಿ:

ಆದ್ದರಿಂದ, ವಿಭಿನ್ನ ಬೇಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

ನಾವು ಈ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಬೇಸ್ಗೆ ತಗ್ಗಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಮೂಲವನ್ನು ನೀವು ಹೇಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೀರಿ? ನೀವು ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಿ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ:

ಈಗ ಮಾತ್ರ ನಾವು ಬದಲಿಗೆ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಛೇದವು ಕೇವಲ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆ, ವೇರಿಯಬಲ್ ಇಲ್ಲದೆ). ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಘಾತೀಯ ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳುಯುನಿಫೈಡ್ ಸ್ಟೇಟ್ ಎಕ್ಸಾಮಿನೇಷನ್‌ನಲ್ಲಿ ಬಹುತೇಕ ಎಂದಿಗೂ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ನೋಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ.

ಏನಾಯಿತು " ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯ"? ಇಲ್ಲ, ಇದು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅಲ್ಲ ಮತ್ತು ಆರ್ಕ್ಟಜೆಂಟ್ ಅಲ್ಲ. ಈ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಕಷ್ಟವಾಗಬಹುದು (ನೀವು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಕಷ್ಟಕರವೆಂದು ಕಂಡುಕೊಂಡರೂ, "ಲಾಗರಿಥಮ್ಸ್" ವಿಷಯವನ್ನು ಓದಿ ಮತ್ತು ನೀವು ಚೆನ್ನಾಗಿರುತ್ತೀರಿ), ಆದರೆ ಗಣಿತದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, "ಸಂಕೀರ್ಣ" ಪದವು "ಕಷ್ಟ" ಎಂದರ್ಥವಲ್ಲ.

ಸಣ್ಣ ಕನ್ವೇಯರ್ ಬೆಲ್ಟ್ ಅನ್ನು ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ: ಇಬ್ಬರು ಜನರು ಕುಳಿತು ಕೆಲವು ವಸ್ತುಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲವು ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದಾರೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೊದಲನೆಯದು ಚಾಕೊಲೇಟ್ ಬಾರ್ ಅನ್ನು ಹೊದಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಸುತ್ತುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ಅದನ್ನು ರಿಬ್ಬನ್ನೊಂದಿಗೆ ಕಟ್ಟುತ್ತದೆ. ಫಲಿತಾಂಶವು ಸಂಯೋಜಿತ ವಸ್ತುವಾಗಿದೆ: ಚಾಕೊಲೇಟ್ ಬಾರ್ ಅನ್ನು ಸುತ್ತುವ ಮತ್ತು ರಿಬ್ಬನ್ನೊಂದಿಗೆ ಕಟ್ಟಲಾಗುತ್ತದೆ. ಚಾಕೊಲೇಟ್ ತಿನ್ನಲು, ನೀವು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ ಹಿಮ್ಮುಖ ಕ್ರಮಗಳುವಿ ಹಿಮ್ಮುಖ ಕ್ರಮ.

ಇದೇ ರೀತಿಯ ಗಣಿತದ ಪೈಪ್‌ಲೈನ್ ಅನ್ನು ರಚಿಸೋಣ: ಮೊದಲು ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಮಗೆ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ (ಚಾಕೊಲೇಟ್), ನಾನು ಅದರ ಕೊಸೈನ್ (ಹೊದಿಕೆ) ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇನೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ನಾನು ಪಡೆದದ್ದನ್ನು ನೀವು ಚೌಕಾಕಾರ ಮಾಡಿ (ಅದನ್ನು ರಿಬ್ಬನ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಕಟ್ಟಿಕೊಳ್ಳಿ). ಏನಾಯಿತು? ಕಾರ್ಯ. ಇದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯದ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ: ಯಾವಾಗ, ಅದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು ಮೊದಲ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಮೊದಲನೆಯದರಿಂದ ಫಲಿತಾಂಶದೊಂದಿಗೆ ಎರಡನೇ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

ನಾವು ಅದೇ ಹಂತಗಳನ್ನು ಹಿಮ್ಮುಖ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಸುಲಭವಾಗಿ ಮಾಡಬಹುದು: ಮೊದಲು ನೀವು ಅದನ್ನು ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಮಾಡಿ, ಮತ್ತು ನಂತರ ನಾನು ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇನೆ: . ಫಲಿತಾಂಶವು ಯಾವಾಗಲೂ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸುವುದು ಸುಲಭ. ಪ್ರಮುಖ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯಗಳು: ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಕ್ರಮವು ಬದಲಾದಾಗ, ಕಾರ್ಯವು ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಬೇರೆ ಪದಗಳಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅದರ ವಾದವು ಮತ್ತೊಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ: .

ಮೊದಲ ಉದಾಹರಣೆಗಾಗಿ, .

ಎರಡನೇ ಉದಾಹರಣೆ: (ಅದೇ ವಿಷಯ). .

ನಾವು ಕೊನೆಯದಾಗಿ ಮಾಡುವ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ "ಬಾಹ್ಯ" ಕಾರ್ಯ, ಮತ್ತು ಮೊದಲು ಮಾಡಿದ ಕ್ರಿಯೆ - ಅದರ ಪ್ರಕಾರ "ಆಂತರಿಕ" ಕಾರ್ಯ(ಇವು ಅನೌಪಚಾರಿಕ ಹೆಸರುಗಳು, ನಾನು ಅವುಗಳನ್ನು ಸರಳ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವಿಷಯವನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಮಾತ್ರ ಬಳಸುತ್ತೇನೆ).

ಯಾವ ಕಾರ್ಯವು ಬಾಹ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದು ಆಂತರಿಕವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವೇ ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ:

ಉತ್ತರಗಳು:ಆಂತರಿಕ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸುವುದು ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ: ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ

1. ನಾವು ಮೊದಲು ಯಾವ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ? ಮೊದಲಿಗೆ, ಸೈನ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಅದನ್ನು ಘನಗೊಳಿಸಿ. ಇದರರ್ಥ ಇದು ಆಂತರಿಕ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಬಾಹ್ಯವಾಗಿದೆ.
   ಮತ್ತು ಮೂಲ ಕಾರ್ಯವು ಅವುಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ: .
2. ಆಂತರಿಕ:; ಬಾಹ್ಯ: .
   ಪರೀಕ್ಷೆ: .
3. ಆಂತರಿಕ:; ಬಾಹ್ಯ: .
   ಪರೀಕ್ಷೆ: .
4. ಆಂತರಿಕ:; ಬಾಹ್ಯ: .
   ಪರೀಕ್ಷೆ: .
5. ಆಂತರಿಕ:; ಬಾಹ್ಯ: .
   ಪರೀಕ್ಷೆ: .

ನಾವು ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಸರಿ, ಈಗ ನಾವು ನಮ್ಮ ಚಾಕೊಲೇಟ್ ಬಾರ್ ಅನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ. ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವು ಯಾವಾಗಲೂ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ: ಮೊದಲು ನಾವು ಬಾಹ್ಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ, ನಂತರ ನಾವು ಆಂತರಿಕ ಕ್ರಿಯೆಯ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮೂಲ ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಇದು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆ:

ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಅಧಿಕೃತ ನಿಯಮವನ್ನು ರೂಪಿಸೋಣ:

ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್:

ಇದು ಸರಳವೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆ, ಸರಿ?

ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ:

ಪರಿಹಾರಗಳು:

1) ಆಂತರಿಕ:;

ಬಾಹ್ಯ:;

2) ಆಂತರಿಕ:;

(ಇದೀಗ ಅದನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಬೇಡಿ! ಕೊಸೈನ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಏನೂ ಹೊರಬರುವುದಿಲ್ಲ, ನೆನಪಿದೆಯೇ?)

3) ಆಂತರಿಕ:;

ಬಾಹ್ಯ:;

ಇದು ಮೂರು ಹಂತದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯ ಎಂದು ತಕ್ಷಣವೇ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ: ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ಇದು ಈಗಾಗಲೇ ಸ್ವತಃ ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ನಾವು ಅದರಿಂದ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ, ನಾವು ಮೂರನೇ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ (ನಾವು ಚಾಕೊಲೇಟ್ ಅನ್ನು ಹಾಕುತ್ತೇವೆ ಹೊದಿಕೆ ಮತ್ತು ಬ್ರೀಫ್ಕೇಸ್ನಲ್ಲಿ ರಿಬ್ಬನ್ನೊಂದಿಗೆ). ಆದರೆ ಭಯಪಡಲು ಯಾವುದೇ ಕಾರಣವಿಲ್ಲ: ನಾವು ಇನ್ನೂ ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಎಂದಿನಂತೆ ಅದೇ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ "ಅನ್ಪ್ಯಾಕ್" ಮಾಡುತ್ತೇವೆ: ಅಂತ್ಯದಿಂದ.

ಅಂದರೆ, ಮೊದಲು ನಾವು ಮೂಲವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಂತರ ಕೊಸೈನ್, ಮತ್ತು ನಂತರ ಮಾತ್ರ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ. ತದನಂತರ ನಾವು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆ ಮಾಡಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವುದನ್ನು ಊಹಿಸೋಣ. ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಾವು ಯಾವ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಕ್ರಮಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ? ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ:

ನಂತರ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಹೆಚ್ಚು "ಬಾಹ್ಯ" ಅನುಗುಣವಾದ ಕಾರ್ಯವು ಇರುತ್ತದೆ. ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮವು ಮೊದಲಿನಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ:

ಇಲ್ಲಿ ಗೂಡುಕಟ್ಟುವಿಕೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ 4-ಹಂತವಾಗಿದೆ. ಕ್ರಿಯೆಯ ಕೋರ್ಸ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ.

1. ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ. .

2. ರೂಟ್. .

3. ಸೈನ್. .

4. ಚೌಕ. .

5. ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಒಟ್ಟಿಗೆ ಸೇರಿಸುವುದು:

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ. ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ

ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ- ವಾದದ ಅಪರಿಮಿತ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕಾಗಿ ವಾದದ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ಕ್ರಿಯೆಯ ಹೆಚ್ಚಳದ ಅನುಪಾತ:

ಮೂಲ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು:

ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮಗಳು:

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸ್ಥಿರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ:

ಮೊತ್ತದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ:

ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನ:

ಅಂಶದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ:

ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ:

ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್:

1. ನಾವು "ಆಂತರಿಕ" ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ.
2. ನಾವು "ಬಾಹ್ಯ" ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.
3. ನಾವು ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಅಂಕಗಳ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ.