ಈ ಕ್ರಿಯೆಯ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ನ ಉತ್ಪನ್ನವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ವಿಪರೀತಕ್ಕೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿ

ಪಾಠ 29 ಗಾಗಿ ಫೈಲ್.

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ. ಉತ್ಪನ್ನದ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್. ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್.

abscissa x ನೊಂದಿಗೆ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕ 0 ಪಾಯಿಂಟ್ x ನಲ್ಲಿನ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ 0. .

ಆ. x 0 ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿರುವ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಪಾಯಿಂಟ್‌ನಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಎಳೆಯಲಾದ ಸ್ಪರ್ಶ ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (x 0 ; f(x 0)).

ವ್ಯಾಯಾಮ 1. ಚಿತ್ರವು y=f(x) ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾದೊಂದಿಗೆ ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗಿದೆ X X 0 .

ಉತ್ತರ: 0.25

ವ್ಯಾಯಾಮ 2. ಚಿತ್ರವು y=f(x) ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾದೊಂದಿಗೆ ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗಿದೆ X 0 ಹಂತದಲ್ಲಿ f(x) ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ X 0 ಉತ್ತರ: 0.6

ವ್ಯಾಯಾಮ 3. ಚಿತ್ರವು y=f(x) ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾದೊಂದಿಗೆ ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗಿದೆ X 0 ಹಂತದಲ್ಲಿ f(x) ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ X 0 ಉತ್ತರ: -0.25

ವ್ಯಾಯಾಮ 4. ಚಿತ್ರವು y=f(x) ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾದೊಂದಿಗೆ ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗಿದೆ X 0 ಹಂತದಲ್ಲಿ f(x) ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ X 0 ಉತ್ತರ: -0.2.

ಯಾಂತ್ರಿಕ ಪ್ರಜ್ಞೆ ಉತ್ಪನ್ನ.

v ( ಟಿ 0 ) = x' ( ಟಿ 0 )

ವೇಗವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ ಮೂಲಕ ಸಮಯ. ಅಂತೆಯೇ, ವೇಗವರ್ಧನೆಯು ಸಮಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವೇಗದ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ :

ಎ = v' ( ಟಿ ).

ವ್ಯಾಯಾಮ 5 . ಒಂದು ವಸ್ತು ಬಿಂದುವು x(t)=12 t 2 +4 t+27 ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ರೆಕ್ಟಿಲಿನಾರ್ ಆಗಿ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲಿ x ಎಂಬುದು ಮೀಟರ್‌ಗಳಲ್ಲಿನ ಉಲ್ಲೇಖ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ದೂರವಾಗಿದೆ, t ಎಂಬುದು ಸೆಕೆಂಡುಗಳಲ್ಲಿ ಸಮಯ, ಚಲನೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾದ ಕ್ಷಣದಿಂದ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. t=2 s ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಅದರ ವೇಗವನ್ನು (ಸೆಕೆಂಡಿಗೆ ಮೀಟರ್‌ಗಳಲ್ಲಿ) ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಉತ್ತರ: 52

ಕಾರ್ಯ 6. ವಸ್ತು ಬಿಂದುವು ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ ರೆಕ್ಟಿಲಿನಾರ್ ಆಗಿ ಚಲಿಸುತ್ತದೆx (t )= 16 t 3 + t 2 - 8 t + 180, ಎಲ್ಲಿ X- ಮೀಟರ್‌ನಲ್ಲಿ ಉಲ್ಲೇಖಿತ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ದೂರ,ಟಿ- ಚಲನೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾದ ಕ್ಷಣದಿಂದ ಸೆಕೆಂಡುಗಳಲ್ಲಿ ಸಮಯವನ್ನು ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾವ ಸಮಯದಲ್ಲಿ (ಸೆಕೆಂಡುಗಳಲ್ಲಿ) ಅದರ ವೇಗವು 42 m/s ಗೆ ಸಮನಾಗಿತ್ತು? ಉತ್ತರ: 1

ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ (ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ) ಕಾರ್ಯದ ಸಾಕಷ್ಟು ಚಿಹ್ನೆ

1. ಮಧ್ಯಂತರದ ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲಿ f `(x) ಆಗಿದ್ದರೆ (, ನಂತರ ಕಾರ್ಯವು (.

2. ಮಧ್ಯಂತರದ ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲಿ f `(x) ಆಗಿದ್ದರೆ (, ನಂತರ ಕಾರ್ಯವು (.

ಪೂರ್ವಾಪೇಕ್ಷಿತವಿಪರೀತ

ಪಾಯಿಂಟ್ x ಆಗಿದ್ದರೆ 0 ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನವಿದೆ, ನಂತರ f `( X 0 )=0

ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿವಿಪರೀತ

ಒಂದು ವೇಳೆ f `( X 0 X 0 "+" ನಿಂದ "-" ಗೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಬದಲಾವಣೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯ ಮೌಲ್ಯ, ನಂತರ X 0 ಕಾರ್ಯದ ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ.

ಒಂದು ವೇಳೆ f `( X 0 ) = 0 ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವಾಗ X 0 ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಮೌಲ್ಯವು "-" ನಿಂದ "+" ಗೆ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ, ನಂತರ X 0 ಕಾರ್ಯದ ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ.

ಕಾರ್ಯ 7.ಫಿಗರ್ ಕಾರ್ಯದ ಉತ್ಪನ್ನದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ f(x), ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ (-7; 10). ಕಾರ್ಯದ ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ f(x)ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ [-3; 8].

ಪರಿಹಾರ.ಕನಿಷ್ಠ ಅಂಕಗಳು ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಯು ಮೈನಸ್‌ನಿಂದ ಪ್ಲಸ್‌ಗೆ ಬದಲಾಗುವ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುತ್ತವೆ. ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ [-3; 8] ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ X= 4. ಆದ್ದರಿಂದ ಅಂತಹ ಪಾಯಿಂಟ್ 1. ಉತ್ತರ: 1.

ಕಾರ್ಯ 8. ಚಿತ್ರವು ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯದ y=f(x) ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಏಳು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ: x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಎಫ್(x) ಋಣಾತ್ಮಕ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ? ಉತ್ತರ: 3

ಕಾರ್ಯ 9. ಅಂಕಿ-ಅಂಶವು y=f(x) ಎಂಬ ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ (- 11 ; -− 1). ವಿಭಾಗದಿಂದ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಹುಡುಕಿ [- 7 ; − 2], ಇದರಲ್ಲಿ f(x) ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು 0 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉತ್ತರ: -4

ಕಾರ್ಯ 10. ಅಂಕಿ ಅಂಶವು y=f′(x) ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ - f(x) ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ, ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ (2 ; 13). ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗರಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ f(x). ಉತ್ತರ: 9

ಕಾರ್ಯ 11. ಫಿಗರ್ ಗ್ರಾಫ್ y=f′(x) ಫಂಕ್ಷನ್ f(x) ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ (- 3; 8). ವಿಭಾಗದ ಯಾವ ಹಂತದಲ್ಲಿ [- 2; 3] ಫಂಕ್ಷನ್ f(x) ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯ? ಉತ್ತರ:-2

ಕಾರ್ಯ 12.ಚಿತ್ರವು ಗ್ರಾಫ್ y=f "(x) ಅನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ - ಫಂಕ್ಷನ್ f(x) ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ, ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ (− 2 ; 11) ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಬಿಂದುವಿನ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ y=f(x) abscissa ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದೆ ಅಥವಾ ಅವಳ ಉತ್ತರ: 3

ಕಾರ್ಯ 13.ಚಿತ್ರವು y=f "(x) ನ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ - f(x) ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ, ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ (- 4 ; 6). y=f(x) ಕಾರ್ಯವು y=3x ನೇರ ರೇಖೆಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದೆ ಅಥವಾ ಅದರೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಉತ್ತರ: 5

ಕಾರ್ಯ 14. ಅಂಕಿ y=f "(x) ನ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ - ಫಂಕ್ಷನ್ f(x) ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ, ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ (- 4 ; 13) ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. y=f(x) ನೇರ ರೇಖೆಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ y=− 2x−10 ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಉತ್ತರ: 5

ಕಾರ್ಯ 15.ನೇರ ರೇಖೆ y =5x -8 4x 2 -15x +c ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹುಡುಕಿ ಸಿ. ಓ ಉತ್ತರ: 17.

ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್

ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಕಾರ್ಯ F(x) ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ f(x) ಒಂದು ಕಾರ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಉತ್ಪನ್ನ ಇದು ಮೂಲ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎಫ್ " ( X )= f ( X ).

ಕಾರ್ಯ 16.ಚಿತ್ರವು ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ y=F (X) ಕೆಲವು ಕ್ರಿಯೆಯ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ f(X), ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ (1;13). ಆಕೃತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿ, ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ f (X)=0 ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ. ಉತ್ತರ: 4

ಕಾರ್ಯ 17.ಅಂಕಿಅಂಶವು ಗ್ರಾಫ್ y=F(x) ಅನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಕೆಲವು ಫಂಕ್ಷನ್ f(x) ನ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ (- 7; 8). ಅಂಕಿಅಂಶವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿನ ಎಫ್(x)=0 ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ. ಉತ್ತರ: 1

ಕಾರ್ಯ 18. ಚಿತ್ರವು ಕೆಲವು ಫಂಕ್ಷನ್ f(x) ನ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾದ y=F(x) ನ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾದಲ್ಲಿ ಎಂಟು ಅಂಕಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಫಂಕ್ಷನ್ f(x) ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ? ಉತ್ತರ: 3

ಕಾರ್ಯ 19.ಚಿತ್ರವು ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ y=f(x). F(x)=12x 3 -3x 2 +152x-92 ಕಾರ್ಯವು f(x) ಕ್ರಿಯೆಯ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಮಬ್ಬಾದ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಹುಡುಕಿ. ಉತ್ತರ: 592

ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್

ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ f "( X)

ಇರುವ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ f "( X) = 0.

ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನದ ಎಲ್ಲಾ ಸೊನ್ನೆಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಿ.

ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ ಉತ್ಪನ್ನಪ್ರತಿ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ. (ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, "ಅನುಕೂಲಕರ" ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬದಲಿಸಿ X ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ f "( X)).

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯದ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ ಮತ್ತು ತೀವ್ರತೆಯ ಉಪಸ್ಥಿತಿ ಅಥವಾ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಸ್ವಭಾವದ ಬಗ್ಗೆ ತೀರ್ಮಾನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ ( ಗರಿಷ್ಠ ಅಥವಾನಿಮಿಷ ) ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ.

ಕಾರ್ಯ 20.ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ (0 ; π/2) ಸೇರಿದ y=(2x−1)cosx−2sinx+5 ಕಾರ್ಯದ ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹುಡುಕಿ. ಉತ್ತರ: 0.5

ಕಾರ್ಯ 21.ಕಾರ್ಯದ ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹುಡುಕಿy=.ಉತ್ತರ: 6

ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಒಂದು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯದ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯ

ಕಾರ್ಯ 22.ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ y =x -6x +1 ಕಾರ್ಯದ ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಉತ್ತರ: -31

ಕಾರ್ಯ 23. y=8cosx+30x/π+19 ಕಾರ್ಯದ ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ [- 2π/3; 0]. ಉತ್ತರ:-5

ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ. 1. y=(x−11) 2 ⋅e x− 7 ಕಾರ್ಯದ ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

2. ಹುಡುಕಿ ಅತ್ಯಧಿಕ ಮೌಲ್ಯಕಾರ್ಯಗಳು y=x 5 -5x 3 -20x ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ [- 9 ; 1]. ಉತ್ತರ: 48

ವೇಳಾಪಟ್ಟಿ ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯಕಿಂಕ್ಸ್ ಇಲ್ಲದೆ ಬಾಗಿದ, ನಯವಾದ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ, ಅದರ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಎಳೆಯಬಹುದು. ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಎಳೆಯಬಹುದಾದರೆ, ಅದರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸುವುದು ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿದೆ.

ನಾವು ಕೆಲವು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತೇವೆ ಸಮನ್ವಯ ಅಕ್ಷಗಳುಕಾರ್ಯದ ಹಲವಾರು ಗ್ರಾಫ್ಗಳು y = x a, For a = 2; a = 2.3; a = 3; a = 3.4.

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ (0;1). ಈ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ಕೋನಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಸರಿಸುಮಾರು 35, 40, 48 ಮತ್ತು 51 ಡಿಗ್ರಿಗಳಾಗಿರುತ್ತದೆ. 2 ರಿಂದ 3 ರವರೆಗಿನ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶದ ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನವು 45 ಡಿಗ್ರಿಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸುವುದು ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿದೆ.

ನಾವು ಈ ಹೇಳಿಕೆಯ ನಿಖರವಾದ ಸೂತ್ರೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡೋಣ: 2 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮತ್ತು 3 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಸಂಖ್ಯೆಯಿದೆ, ಇ ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ 0 ನಲ್ಲಿ ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯ y = e x 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. (e ∆x -1) / ∆x 1 ಗೆ ಒಲವು ತೋರಿದಂತೆ ∆x ಸೊನ್ನೆಗೆ ಒಲವು.

ಈ ಸಂಖ್ಯೆ ಇಅಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅನಂತ ಆವರ್ತಕವಲ್ಲದ ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗವಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ:

ಇ = 2.7182818284…

ಇ ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಕಾರಣ, e ಅನ್ನು ಆಧಾರವಾಗಿಸಲು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಇದೆ. ಈ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ . ln(x) = ಲಾಗ್ ಇ (x) ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಘಾತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

ಪ್ರಮೇಯ: e x ಕಾರ್ಯವು ಅದರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನ ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು (e x)’ = e x .

ಎಕ್ಸ್‌ಪೋನೆನ್ಷಿಯಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್ a x ಅದರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನ ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು (a x)' = (a x)*ln(a).
ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯವು ಅದರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ಒಂದು ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ: y = 2 x ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಘಾತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

(2 x)' = (2 x)*ln(2).

ಉತ್ತರ: (2 x)*ln (2).

ಘಾತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್

ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ x ಅನ್ನು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಕಾರ್ಯ (a x)/(ln(a)) ಆಗಿರುತ್ತದೆ.
ln(a) ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ (a x / ln(a))'= (1 / ln(a)) * (a x) * ln(a) = a x ಯಾವುದೇ x. ನಾವು ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ.

ಘಾತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ: f(x) = 5 x ಕ್ರಿಯೆಯ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಮತ್ತು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಬಳಸೋಣ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: F(x) = (5 x) / (ln(5)) +C.

ನೇರ ರೇಖೆ y=3x+2 y=-12x^2+bx-10 ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಪಾಯಿಂಟ್‌ನ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುವುದರಿಂದ b ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ ತೋರಿಸು

ಪರಿಹಾರ

ಈ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಹಾದುಹೋಗುವ y=-12x^2+bx-10 ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿನ ಬಿಂದುವಿನ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ x_0 ಆಗಿರಲಿ.

ಪಾಯಿಂಟ್ x_0 ನಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೌಲ್ಯ ಇಳಿಜಾರುಸ್ಪರ್ಶಕ, ಅಂದರೆ, y"(x_0)=-24x_0+b=3. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಸ್ಪರ್ಶ ಬಿಂದುವು ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಎರಡಕ್ಕೂ ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಸೇರಿದೆ, ಅಂದರೆ -12x_0^2+bx_0- 10=3x_0+2. ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ \begin(ಪ್ರಕರಣಗಳು) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \ಅಂತ್ಯ(ಪ್ರಕರಣಗಳು)

ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ನಾವು x_0^2=1 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ x_0=-1 ಅಥವಾ x_0=1. ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಸ್ಥಿತಿಯ ಪ್ರಕಾರ, ಸ್ಪರ್ಶ ಬಿಂದುಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ x_0=-1, ನಂತರ b=3+24x_0=-21.

ಉತ್ತರ

ಸ್ಥಿತಿ

ಚಿತ್ರವು y=f(x) ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ (ಇದು ಮೂರು ನೇರ ಭಾಗಗಳಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ಮುರಿದ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ). ಫಿಗರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿ, F(9)-F(5) ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ, ಇಲ್ಲಿ F(x) ಎಂಬುದು f(x) ಕ್ರಿಯೆಯ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ.

ಪರಿಹಾರ ತೋರಿಸು

ಪರಿಹಾರ

ನ್ಯೂಟನ್-ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ, F(9)-F(5) ವ್ಯತ್ಯಾಸವು F(x) ಎಫ್(x) ಕ್ರಿಯೆಯ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ, ಇದು ಕರ್ವಿಲಿನಿಯರ್ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್‌ನ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ವೇಳಾಪಟ್ಟಿಯಿಂದ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆಕಾರ್ಯಗಳು y=f(x), ನೇರ ರೇಖೆಗಳು y=0, x=9 ಮತ್ತು x=5. ವೇಳಾಪಟ್ಟಿಯ ಪ್ರಕಾರ, ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ ಬಾಗಿದ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ 4 ಮತ್ತು 3 ಮತ್ತು ಎತ್ತರ 3 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಬೇಸ್ ಹೊಂದಿರುವ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ಆಗಿದೆ.

ಅದರ ಪ್ರದೇಶವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ \frac(4+3)(2)\cdot 3=10.5.

ಉತ್ತರ

ಮೂಲ: "ಗಣಿತ. 2017 ರ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ತಯಾರಿ. ಪ್ರೊಫೈಲ್ ಮಟ್ಟ" ಸಂ. F. F. ಲೈಸೆಂಕೊ, S. Yu. ಕುಲಾಬುಖೋವಾ.

ಸ್ಥಿತಿ

ಅಂಕಿ y=f"(x) ನ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ - f(x) ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ, ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ (-4; 10). ನಿಮ್ಮ ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ, ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡದಾದ ಉದ್ದವನ್ನು ಸೂಚಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ ತೋರಿಸು

ಪರಿಹಾರ

ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ f"(x) ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಹಂತದಲ್ಲೂ ಆ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ f(x) ಕಾರ್ಯವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡದಾದ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಅಂತಹ ಮೂರು ಮಧ್ಯಂತರಗಳು ಆಕೃತಿಯಿಂದ ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲಾಗಿದೆ: (-4; -2) ; (0; 3); (5; 9).

ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡದಾದ ಉದ್ದ - (5; 9) 4 ಆಗಿದೆ.

ಉತ್ತರ

ಮೂಲ: "ಗಣಿತ. 2017 ರ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ತಯಾರಿ. ಪ್ರೊಫೈಲ್ ಮಟ್ಟ." ಸಂ. F. F. ಲೈಸೆಂಕೊ, S. Yu. ಕುಲಾಬುಖೋವಾ.

ಸ್ಥಿತಿ

ಅಂಕಿ y=f"(x) ನ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ - f(x) ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ, ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ (-8; 7). f(x) ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ [-6; -2].

ಪರಿಹಾರ ತೋರಿಸು

ಪರಿಹಾರ

f(x) ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ f"(x) ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಪ್ಲಸ್‌ನಿಂದ ಮೈನಸ್‌ಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ (ಅಂತಹ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠ ಇರುತ್ತದೆ) ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ (-5 ಮತ್ತು -4 ರ ನಡುವೆ) [ -6; -2 ] ಆದ್ದರಿಂದ, ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ [-6; -2] ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದು ಇರುತ್ತದೆ.

ಉತ್ತರ

ಸ್ಥಿತಿ

ಚಿತ್ರವು y=f(x) ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ (-2; 8). ಎಫ್(x) ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು 0 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ ತೋರಿಸು

ಪರಿಹಾರ

ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಸಮಾನತೆ ಎಂದರೆ ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಿಸಿದ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಆನ್ ಈ ಚಾರ್ಟ್ಅಂತಹ ಬಿಂದುಗಳು ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ (ಗರಿಷ್ಠ ಅಥವಾ ಕನಿಷ್ಠ ಅಂಕಗಳು). ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, 5 ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುಗಳಿವೆ.

ಉತ್ತರ

ಸ್ಥಿತಿ

ನೇರ ರೇಖೆ y=-3x+4 y=-x^2+5x-7 ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸ್ಪರ್ಶ ಬಿಂದುವಿನ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ ತೋರಿಸು

ಪರಿಹಾರ

y=-x^2+5x-7 ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದು x_0 y"(x_0) ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ y"=-2x+5, ಅಂದರೆ y"(x_0)=-2x_0+5. ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ y=-3x+4 ಸಾಲಿನ ಇಳಿಜಾರು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ -3. ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳು ಒಂದೇ ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು =-2x_0 +5=-3 x_0 ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: x_0 = 4.

ಉತ್ತರ

ಸ್ಥಿತಿ

ಚಿತ್ರವು y=f(x) ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಂಕಗಳು -6, -1, 1, 4 ಅನ್ನು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾದಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಯಾವ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ? ದಯವಿಟ್ಟು ನಿಮ್ಮ ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ ಈ ಅಂಶವನ್ನು ಸೂಚಿಸಿ.

ಈ ಪಾಠವು ಏಕೀಕರಣದ ವೀಡಿಯೊಗಳ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದು. ಅದರಲ್ಲಿ ನಾವು ಏನೆಂದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಕ್ರಿಯೆಯ ವಿರೋಧಿ, ಮತ್ತು ಈ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಸಹ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿ.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಇಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಏನೂ ಇಲ್ಲ: ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಇದು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗೆ ಬರುತ್ತದೆ, ಅದು ನಿಮಗೆ ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿರಬೇಕು. :)

ಇದು ನಮ್ಮ ಮೊದಲ ಪಾಠವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ನಾನು ಈಗಿನಿಂದಲೇ ಗಮನಿಸುತ್ತೇನೆ ಹೊಸ ವಿಷಯ, ಇಂದು ಯಾವುದೂ ಇರುವುದಿಲ್ಲ ಸಂಕೀರ್ಣ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳುಮತ್ತು ಸೂತ್ರಗಳು, ಆದರೆ ನಾವು ಇಂದು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ವಿಷಯವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಮತ್ತು ನಿರ್ಮಾಣಗಳಿಗೆ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳುಮತ್ತು ಚೌಕಗಳು.

ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಏಕೀಕರಣ ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದಾಗ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಈಗಾಗಲೇ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಕನಿಷ್ಠ ಪರಿಚಿತನಾಗಿದ್ದಾನೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಮೂಲಭೂತ ಕೌಶಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾನೆ ಎಂದು ನಾವು ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ ಊಹಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದರ ಸ್ಪಷ್ಟ ತಿಳುವಳಿಕೆಯಿಲ್ಲದೆ, ಏಕೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಮಾಡಲು ಏನೂ ಇಲ್ಲ.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮತ್ತು ಕಪಟ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಸತ್ಯವೆಂದರೆ, ತಮ್ಮ ಮೊದಲ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದಾಗ, ಅನೇಕ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಅವುಗಳನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನಗಳೊಂದಿಗೆ ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸುತ್ತಾರೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರ ಕೆಲಸಮೂರ್ಖ ಮತ್ತು ಆಕ್ರಮಣಕಾರಿ ತಪ್ಪುಗಳನ್ನು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಈಗ ನಾನು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ನ ಸ್ಪಷ್ಟ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ. ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಸರಳವಾದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡಲು ನಾನು ನಿಮಗೆ ಸಲಹೆ ನೀಡುತ್ತೇನೆ.

ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಎಂದರೇನು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ?

ನಮಗೆ ಈ ಸೂತ್ರ ತಿಳಿದಿದೆ:

\[((\left((((x))^(n))) ಬಲ))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

ಈ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ:

\[(f)"\left(x \right)=((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ))=3((x)^(2))\ ]

ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ನೋಡೋಣ ಮತ್ತು $((x)^(2))$ ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸೋಣ:

\[((x)^(2))=\frac((\ಎಡ(((x)^(3)) \ಬಲ))^(\ಪ್ರೈಮ್ )))(3)\]

ಆದರೆ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ ನಾವು ಇದನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯಬಹುದು:

\[((x)^(2))=((\left(\frac(((x))^(3))))(3) \ಬಲಕ್ಕೆ))^(\ಪ್ರೈಮ್ ))\]

ಮತ್ತು ಈಗ ಗಮನ: ನಾವು ಈಗ ಬರೆದದ್ದು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಅದನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಬರೆಯಲು, ನೀವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಬೇಕು:

ಕೆಳಗಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯೋಣ:

ನಾವು ಈ ನಿಯಮವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು:

\[((x)^(n))\to \frac((((x)^(n+1)))(n+1)\]

ಈಗ ನಾವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ರೂಪಿಸಬಹುದು.

ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಎಂಬುದು ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಮೂಲ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು

ಇದು ಸಾಕಷ್ಟು ಸರಳ ಮತ್ತು ಅರ್ಥವಾಗುವ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ತೋರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅದನ್ನು ಕೇಳಿದ ನಂತರ, ಗಮನಹರಿಸುವ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ತಕ್ಷಣವೇ ಹಲವಾರು ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತಾನೆ:

ಸರಿ, ಈ ಸೂತ್ರವು ಸರಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, $n=1$ ನೊಂದಿಗೆ, ನಮಗೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿವೆ: "ಶೂನ್ಯ" ಛೇದದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಾವು "ಶೂನ್ಯ" ದಿಂದ ಭಾಗಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.
ಸೂತ್ರವು ಡಿಗ್ರಿಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ. ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಅನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಇತರ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ, ಹಾಗೆಯೇ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು.
ಅಸ್ತಿತ್ವವಾದದ ಪ್ರಶ್ನೆ: ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಾಧ್ಯವೇ? ಹೌದಾದರೆ, ಮೊತ್ತ, ವ್ಯತ್ಯಾಸ, ಉತ್ಪನ್ನ ಇತ್ಯಾದಿಗಳ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಬಗ್ಗೆ ಏನು?

ಆನ್ ಕೊನೆಯ ಪ್ರಶ್ನೆನಾನು ತಕ್ಷಣ ಉತ್ತರಿಸುತ್ತೇನೆ. ದುರದೃಷ್ಟವಶಾತ್, ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್, ಉತ್ಪನ್ನದಂತಲ್ಲದೆ, ಯಾವಾಗಲೂ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅಂಥದ್ದೇನೂ ಇಲ್ಲ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಸೂತ್ರ, ಯಾವುದೇ ಆರಂಭಿಕ ನಿರ್ಮಾಣದಿಂದ ನಾವು ಇದೇ ರೀತಿಯ ನಿರ್ಮಾಣಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಶಕ್ತಿಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ನಾವು ಈಗ ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತೇವೆ.

ವಿದ್ಯುತ್ ಕಾರ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

\[((x)^(-1))\to \frac(((x)^(-1+1)))(-1+1)=\frac(1)(0)\]

ನಾವು ನೋಡುವಂತೆ, ಈ ಸೂತ್ರ$((x)^(-1))$ ಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ. ಪ್ರಶ್ನೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ: ನಂತರ ಏನು ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತದೆ? ನಾವು $((x)^(-1))$ ಅನ್ನು ಎಣಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲವೇ? ಖಂಡಿತ ನಾವು ಮಾಡಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಮೊದಲು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ:

\[(((x)^(-1))=\frac(1)(x)\]

ಈಗ ನಾವು ಯೋಚಿಸೋಣ: ಯಾವ ಕಾರ್ಯದ ಉತ್ಪನ್ನವು $\frac(1)(x)$ ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಈ ವಿಷಯವನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ಯಾವುದೇ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ:

\[(\left(\ln x \right))^(\prime ))=\frac(1)(x)\]

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ವಿಶ್ವಾಸದಿಂದ ಬರೆಯಬಹುದು:

\[\frac(1)(x)=((x)^(-1))\ to \ln x\]

ಪವರ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಉತ್ಪನ್ನದಂತೆಯೇ ನೀವು ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು.

ಆದ್ದರಿಂದ ನಮಗೆ ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ಏನು ತಿಳಿದಿದೆ:

ವಿದ್ಯುತ್ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ - $((x)^(n))\frac(((x)^(n+1)))(n+1)$
ಸ್ಥಿರಕ್ಕಾಗಿ - $=const\ to \cdot x$
ಪವರ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವೆಂದರೆ $\frac(1)(x)\to \ln x$

ಮತ್ತು ನಾವು ಸರಳವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಲು ಮತ್ತು ಭಾಗಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನ ಅಥವಾ ಅಂಶದ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಅನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ದುರದೃಷ್ಟವಶಾತ್, ಉತ್ಪನ್ನ ಅಥವಾ ಅಂಶದ ಉತ್ಪನ್ನದೊಂದಿಗೆ ಸಾದೃಶ್ಯಗಳು ಇಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಯಾವುದಾದರು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸೂತ್ರಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲ. ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಟ್ರಿಕಿ ವಿಶೇಷ ಸೂತ್ರಗಳಿವೆ - ಭವಿಷ್ಯದ ವೀಡಿಯೊ ಪಾಠಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಅವರೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ನೆನಪಿಡಿ: ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರ, ಅಂಶ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಸೂತ್ರವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ.

ನಿಜವಾದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

ಕಾರ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 1

ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ನೋಡೋಣ ಶಕ್ತಿ ಕಾರ್ಯಗಳುಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:

\[((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)\]

ನಮ್ಮ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ, ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಸಮಸ್ಯೆ ಸಂಖ್ಯೆ 2

ನಾನು ಈಗಾಗಲೇ ಹೇಳಿದಂತೆ, ಕೃತಿಗಳ ಮೂಲಮಾದರಿಗಳುಮತ್ತು ಖಾಸಗಿ "ಬಲದ ಮೂಲಕ" ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇಲ್ಲಿ ನೀವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು:

ನಾವು ಭಾಗವನ್ನು ಎರಡು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ವಿಭಜಿಸಿದ್ದೇವೆ.

ಗಣಿತವನ್ನು ಮಾಡೋಣ:

ಒಳ್ಳೆಯ ಸುದ್ದಿ ಏನೆಂದರೆ, ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ನೀವು ಈಗಾಗಲೇ ಹೆಚ್ಚಿನದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿನ್ಯಾಸಗಳು. ಹೇಗಾದರೂ, ನಾವು ಮುಂದೆ ಹೋಗೋಣ ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು ವಿಸ್ತರಿಸೋಣ. ಸಂಗತಿಯೆಂದರೆ, ಮೊದಲ ನೋಟದಲ್ಲಿ $((x)^(n))$ ನೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಬಂಧವಿಲ್ಲದ ಅನೇಕ ನಿರ್ಮಾಣಗಳು ಮತ್ತು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಶಕ್ತಿಯಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸೂಚಕ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\]

\[\sqrt[n](x)=((x)^(\frac(1)(n)))\]

\[\frac(1)((((x)^(n)))=((x)^(-n))\]

ಈ ಎಲ್ಲಾ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜಿಸಬೇಕು. ಶಕ್ತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳುಮಾಡಬಹುದು

ಗುಣಿಸಿ (ಡಿಗ್ರಿ ಸೇರಿಸಿ);
ಭಾಗಿಸಿ (ಡಿಗ್ರಿಗಳನ್ನು ಕಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ);
ಸ್ಥಿರದಿಂದ ಗುಣಿಸಿ;
ಇತ್ಯಾದಿ

ತರ್ಕಬದ್ಧ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಶಕ್ತಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

ಉದಾಹರಣೆ #1

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮೂಲವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2))\ to \frac(((x)^(\frac(1)(2)+1)))(\ frac(1)(2)+1)=\frac(((x)^(\frac(3)(2))))(\frac(3)(2))=\frac(2\cdot ((( x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(4))\ to \frac(((x)^(\frac(1)(4)))(\frac( 1)(4)+1)=\frac(((x)^(\frac(5)(4))))(\frac(5)(4))=\frac(4\cdot ((x) ^(\frac(5)(4))))(5)\]

ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ, ನಮ್ಮ ಸಂಪೂರ್ಣ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು:

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 2

\[\frac(1)(\sqrt(x))=(\left(\sqrt(x) \right))^(-1))=(\left(((x)^(\frac(\frac(\sqrt(x)\right)) 1)(2))) \ಬಲ))^(-1))=((x)^(-\frac(1)(2)))\]

ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

\[\frac(1)(((x)^(3)))=((x)^(-3))\frac(((x)^(-3+1)))(-3 +1)=\frac((((x)^(-2)))(-2)=-\frac(1)(2((x)^(2)))\]

ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ, ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಒಂದು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿ ಸಂಗ್ರಹಿಸಿ, ನಾವು ಬರೆಯಬಹುದು:

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 3

ಪ್ರಾರಂಭಿಸಲು, ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ $\sqrt(x)$ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ:

\[\sqrt(x)\to \frac(4((x)^(\frac(5)(4))))(5)\]

\[((x)^(\frac(3)(2))\ to \frac((((x)^(\frac(3)(2)+1)))(\frac(3)(2 )+1)=\frac(2\cdot ((x)^(\frac(5)(2)))(5)\]

ಪುನಃ ಬರೆಯೋಣ:

ನಾವು ಈಗ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿರುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಎಂದು ನಾನು ಹೇಳಿದರೆ ನಾನು ಯಾರಿಗೂ ಆಶ್ಚರ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ ಸರಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳುಪ್ರಾಚೀನ, ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರಚನೆಗಳು. ಈಗ ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು ನೋಡೋಣ ಸಂಕೀರ್ಣ ಉದಾಹರಣೆಗಳು, ಇದರಲ್ಲಿ, ಕೋಷ್ಟಕ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ನೀವು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಶಾಲಾ ಪಠ್ಯಕ್ರಮ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ, ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರಗಳು.

ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

ಕಾರ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 1

ವರ್ಗ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನಾವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ:

\[((\left(a-b \right))^(2))=((a)^(2))-ab+((b)^(2))\]

ನಮ್ಮ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯೋಣ:

ನಾವು ಈಗ ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯದ ಮೂಲಮಾದರಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು:

\[((x)^(\frac(2)(3))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(5)(3))))(5)\]

\[((x)^(\frac(1)(3))\ to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(4)(3))))(4)\]

ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿನ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸೋಣ:

ಸಮಸ್ಯೆ ಸಂಖ್ಯೆ 2

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಘನವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳೋಣ:

\[((\left(a-b \right))^(3))=((a)^(3))-3((a)^(2))\cdot b+3a\cdot ((b)^ (2))-((ಬಿ)^(3))\]

ಈ ಅಂಶವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ನಾವು ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯಬಹುದು:

ನಮ್ಮ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ಮಾರ್ಪಡಿಸೋಣ:

ನಾವು ಯಾವಾಗಲೂ ಎಣಿಸುತ್ತೇವೆ - ಪ್ರತಿ ಅವಧಿಗೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ:

\[((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-2)))(-2)\]

\[((x)^(-2))\to \frac((((x)^(-1)))(-1)\]

\[((x)^(-1))\ to \ln x\]

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಬರೆಯೋಣ:

ಕಾರ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 3

ಮೇಲ್ಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾವು ಮೊತ್ತದ ವರ್ಗವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಅದನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸೋಣ:

\[\frac((\left(x+\sqrt(x) \right))^(2))(x)=\frac(((x)^(2))+2x\cdot \sqrt(x )+((\ಎಡ(\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\]

\[=\frac(((x)^(2))(x)+\frac(2x\sqrt(x))(x)+\frac(x)(x)=x+2((x) ^(\frac(1)(2)))+1\]

\[((x)^(\frac(1)(2))\to \frac(2\cdot ((x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

ಅಂತಿಮ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಬರೆಯೋಣ:

ಈಗ ಗಮನ! ತುಂಬಾ ಪ್ರಮುಖ ವಿಷಯ, ಅದರೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿದೆ ಸಿಂಹಪಾಲುದೋಷಗಳು ಮತ್ತು ತಪ್ಪುಗ್ರಹಿಕೆಗಳು. ಸಂಗತಿಯೆಂದರೆ, ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ, ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳನ್ನು ಎಣಿಸುವುದು ಮತ್ತು ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ತರುವುದು, ಸ್ಥಿರತೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಯಾವುದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರ ಕುರಿತು ನಾವು ಯೋಚಿಸಲಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ಸ್ಥಿರಾಂಕದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು "ಶೂನ್ಯ" ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ನೀವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಆಯ್ಕೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು:

$((x)^(2))\to \frac((((x)^(3)))(3)$
$((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)+1$
$((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)+C$

ಇದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯ: ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಯಾವಾಗಲೂ ಒಂದೇ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದೇ ಕಾರ್ಯವು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ನಾವು ನಮ್ಮ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಸೇರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಹೊಸದನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.

ನಾವು ಪರಿಹರಿಸಿದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ವಿವರಣೆಯಲ್ಲಿ "ಬರೆದುಕೊಳ್ಳಿ" ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಕಾಕತಾಳೀಯವಲ್ಲ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪಆದಿಮಗಳು." ಆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಲ್ಲ, ಆದರೆ ಇಡೀ ಬಹುಸಂಖ್ಯೆಯಿದೆ ಎಂದು ಈಗಾಗಲೇ ಮುಂಚಿತವಾಗಿ ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆದರೆ, ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅವರು ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾದ $C $ ನಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಮ್ಮ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸದಿರುವುದನ್ನು ನಾವು ಸರಿಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ನಾವು ನಮ್ಮ ನಿರ್ಮಾಣಗಳನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ನೀವು $C$ ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೇರಿಸಬೇಕು - $C=const$.

ನಮ್ಮ ಎರಡನೇ ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಮತ್ತು ಕೊನೆಯದು:

ಮತ್ತು ಈಗ ನಾವು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಮೂಲ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ನಮಗೆ ಬೇಕಾದುದನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನೊಂದಿಗೆ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

ಈಗ ನಾವು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳನ್ನು ಬರೆಯುವ ವಿಶಿಷ್ಟತೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿದಿದ್ದೇವೆ, ಇದು ಸಾಕಷ್ಟು ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿದೆ ಮುಂದಿನ ಪ್ರಕಾರಎಲ್ಲಾ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ, ಹಾದುಹೋಗುವ ಒಂದೇ ಒಂದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಅಗತ್ಯವಿರುವಾಗ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಪಾಯಿಂಟ್ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಈ ಕಾರ್ಯವೇನು?

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ರಿಯೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಲಂಬವಾಗಿ ವರ್ಗಾಯಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಮತ್ತು ಇದರ ಅರ್ಥವೇನೆಂದರೆ, ಯಾವುದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿಲ್ಲ ಸಮನ್ವಯ ಸಮತಲನಾವು ಅದನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಿಲ್ಲ, ಒಂದು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮೇಲಾಗಿ ಕೇವಲ ಒಂದು.

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಈಗ ಪರಿಹರಿಸುವ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ ಕೆಳಗಿನಂತೆ: ಮೂಲ ಕ್ರಿಯೆಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು, ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸುಲಭವಲ್ಲ, ಆದರೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು, ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಸಮಸ್ಯೆ ಹೇಳಿಕೆಯಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ #1

ಮೊದಲಿಗೆ, ಪ್ರತಿ ಪದವನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಎಣಿಸೋಣ:

\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((x)^(3))\to \frac((((x)^(4)))(4)\]

ಈಗ ನಾವು ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ನಮ್ಮ ನಿರ್ಮಾಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಈ ಕಾರ್ಯವು $M\left(-1;4 \right)$ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದು ಹೋಗಬೇಕು. ಇದು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ ಎಂದರೆ ಏನು? ಇದರರ್ಥ ನಾವು $x$ ಬದಲಿಗೆ $-1$ ಅನ್ನು ಎಲ್ಲೆಡೆ ಹಾಕಿದರೆ ಮತ್ತು $F\left(x \right)$ ಬದಲಿಗೆ $-4$ ಅನ್ನು ಹಾಕಿದರೆ, ನಾವು ಸರಿಯಾಗಿ ಪಡೆಯಬೇಕು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಮಾನತೆ. ನಾವಿದನ್ನು ಮಾಡೋಣ:

ನಾವು $C$ ಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ:

ನಾವು ಹುಡುಕುತ್ತಿರುವ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಬರೆಯೋಣ:

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 2

ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವರ್ಗವನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ:

\[((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)\]

ಮೂಲ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಈಗ ನಾವು $C$ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ: ಪಾಯಿಂಟ್ $M$ ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಿ:

\[-1=\frac(8)(3)-12+18+C\]

ನಾವು $C$ ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಅಂತಿಮ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ:

ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

ಅಂತೆ ಅಂತಿಮ ಸ್ವರಮೇಳನಾವು ಈಗ ಚರ್ಚಿಸಿದ ವಿಷಯಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ಇನ್ನೆರಡನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ನಾನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸುತ್ತೇನೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯಗಳು, ಇದು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ, ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ನೀವು ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು, ನಂತರ ಈ ಸೆಟ್‌ನಿಂದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ $ M$ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಏಕೈಕ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಆರಿಸಿ.

ಮುಂದೆ ನೋಡುತ್ತಿರುವಾಗ, ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು ಈಗ ಬಳಸುವ ತಂತ್ರವನ್ನು ನಾನು ಗಮನಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು, ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಸ್ವಯಂ ಪರೀಕ್ಷೆಗಾಗಿ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ತಂತ್ರವಾಗಿದೆ.

ಕಾರ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 1

ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳೋಣ:

\[((\left(\text(tg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)((\cos )^(2))x)\]

ಇದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ನಾವು ಬರೆಯಬಹುದು:

ಪಾಯಿಂಟ್ $M$ ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಮ್ಮ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಬದಲಿಸೋಣ:

\[-1=\text(tg)\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+C\]

ಈ ಸಂಗತಿಯನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯೋಣ:

ಸಮಸ್ಯೆ ಸಂಖ್ಯೆ 2

ಇದು ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಏಕೆ ಎಂದು ಈಗ ನೀವು ನೋಡುತ್ತೀರಿ.

ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳೋಣ:

\[(\left(\text(ctg)x \right))^(\prime ))=-\frac(1)((\sin )^(2))x)\]

"ಮೈನಸ್" ಅನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು, ನೀವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ:

\[((\left(-\text(ctg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)((\sin )^(2))x)\]

ನಮ್ಮ ವಿನ್ಯಾಸ ಇಲ್ಲಿದೆ

ಪಾಯಿಂಟ್ $M$ ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸೋಣ:

ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ, ನಾವು ಅಂತಿಮ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಇಂದು ನಾನು ನಿಮಗೆ ಹೇಳಲು ಬಯಸಿದ್ದೆ ಅಷ್ಟೆ. ನಾವು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ಸ್ ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಸ್ವತಃ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಎಣಿಸುವುದು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳು, ಹಾಗೆಯೇ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಅನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು.

ಇದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಈ ಪಾಠವು ನಿಮಗೆ ಸ್ವಲ್ಪವಾದರೂ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಷಯ. ಯಾವುದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಇದು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮತ್ತು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತದೆ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳನ್ನು ಎಣಿಸಲು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅವಶ್ಯಕ. ನನಗೂ ಅಷ್ಟೆ. ಮತ್ತೆ ಭೇಟಿ ಆಗೋಣ!

$\DeclareMathOperator(\tg)(tg)$$\DeclareMathOperator(\ctg)(ctg)$$\DeclareMathOperator(\arctg)(arctg)$$\DeclareMathOperator(\arcctg)(arcctg) $

ವಿಷಯ

ವಿಷಯ ಅಂಶಗಳು

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ, ಸ್ಪರ್ಶಕ, ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್, ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳು.

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ$f(x)$ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಿಂದುವಿನ ಕೆಲವು ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ $x_0$.

$x_0$ ಹಂತದಲ್ಲಿ $f$ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಮಿತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

$f"(x_0)=\lim_(x\rightarrow x_0)\dfrac(f(x)-f(x_0))(x-x_0),$

ಈ ಮಿತಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ.

ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಈ ಕ್ರಿಯೆಯ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ.

ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ

ಕಾರ್ಯ	ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
$const$	$0$
$X$	$1$
$x^n$	$n\cdot x^(n-1)$
$\dfrac(1)(x)$	$-\dfrac(1)(x^2)$
$\sqrt(x)$	$\dfrac(1)(2\sqrt(x))$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^x\cdot \ln(a)$
$\ln(x)$	$\dfrac(1)(x)$
$\log_a(x)$	$\dfrac(1)(x\ln(a))$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$
$\tg x$	$\dfrac(1)(\cos^2 x)$
$\ctg x$	$-\dfrac(1)(\sin^2x)$

ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮಗಳು$f$ ಮತ್ತು $g$ ವೇರಿಯೇಬಲ್ $x$ ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ; $c$ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ.

2) $(c\cdot f)"=c\cdot f"$

3) $(f+g)"= f"+g"$

4) $(f\cdot g)"=f"g+g"f$

5) $\ಎಡ(\dfrac(f)(g)\right)"=\dfrac(f"g-g"f)(g^2)$

6) $\left(f\left(g(x)\right)\right)"=f"\left(g(x)\right)\cdot g"(x)$ - ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

ಉತ್ಪನ್ನದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥ ಒಂದು ಸಾಲಿನ ಸಮೀಕರಣ- ಇಲ್ಲ ಸಮಾನಾಂತರ ಅಕ್ಷ$Oy$ ಅನ್ನು $y=kx+b$ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಈ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ $k$ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು. ಅವನು ಸ್ಪರ್ಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನಈ ನೇರ ರೇಖೆ.

ನೇರ ಕೋನ- $ಆಕ್ಸ್$ ಅಕ್ಷದ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನ ನಡುವಿನ ಕೋನ ಮತ್ತು ಈ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಧನಾತ್ಮಕ ಕೋನಗಳ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ, $ಆಕ್ಸ್$ ಅಕ್ಷದಿಂದ \ ಗೆ ಚಿಕ್ಕ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ (Oy\) ಅಕ್ಷ).

$x_0$ ಪಾಯಿಂಟ್‌ನಲ್ಲಿನ $f(x)$ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಇಳಿಜಾರಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ: $f"(x_0)=\tg\ ಆಲ್ಫಾ.$

$f"(x_0)=0$, ಆಗ $x_0$ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ $f(x)$ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವು $X_0$ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮೀಕರಣ

$x_0$ ಹಂತದಲ್ಲಿ $f(x)$ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಸಮೀಕರಣ:

$y=f(x_0)+f"(x_0)(x-x_0)$

ಕಾರ್ಯದ ಏಕತಾನತೆಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಮಧ್ಯಂತರದ ಎಲ್ಲಾ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ.

ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಮಧ್ಯಂತರದ ಎಲ್ಲಾ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ನಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಕನಿಷ್ಠ, ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಇನ್ಫ್ಲೆಕ್ಷನ್ ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳು ಧನಾತ್ಮಕಮೇಲೆ ಋಣಾತ್ಮಕಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ನಂತರ $x_0$ ಕಾರ್ಯದ ಗರಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ $f$.

$f$ ಕಾರ್ಯವು $x_0$ ನಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಈ ಕಾರ್ಯದ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೌಲ್ಯವು $f"$ ಬದಲಾದರೆ ಋಣಾತ್ಮಕಮೇಲೆ ಧನಾತ್ಮಕಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ನಂತರ $x_0$ ಕಾರ್ಯದ ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ $f$.

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ $f"$ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಅಥವಾ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶಗಳು ಕಾರ್ಯಗಳು $f$.

ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನ ಆಂತರಿಕ ಬಿಂದುಗಳು $f(x)$, ಇದರಲ್ಲಿ $f"(x)=0$ ಕನಿಷ್ಠ, ಗರಿಷ್ಠ ಅಥವಾ ವಿಭಕ್ತಿ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿರಬಹುದು.

ಉತ್ಪನ್ನದ ಭೌತಿಕ ಅರ್ಥವಸ್ತು ಬಿಂದುವು ರೆಕ್ಟಿಲಿನೀಯರ್ ಆಗಿ ಚಲಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವು ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ ಸಮಯಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಬದಲಾದರೆ $x=x(t)$, ಆಗ ಈ ಬಿಂದುವಿನ ವೇಗವು ಸಮಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ವೇಗವರ್ಧನೆ ವಸ್ತು ಬಿಂದುಸಮಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಈ ಬಿಂದುವಿನ ವೇಗದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ:

$a(t)=v"(t).$

ಕಾರ್ಯ	ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
\(const\)	\(0\)
\(X\)	\(1\)
\(x^n\)	\(n\cdot x^(n-1)\)
\(\dfrac(1)(x)\)	\(-\dfrac(1)(x^2)\)
\(\sqrt(x)\)	\(\dfrac(1)(2\sqrt(x))\)
\(e^x\)	\(e^x\)
\(a^x\)	\(a^x\cdot \ln(a)\)
\(\ln(x)\)	\(\dfrac(1)(x)\)
\(\log_a(x)\)	\(\dfrac(1)(x\ln(a))\)
\(\sin x\)	\(\cos x\)
\(\cos x\)	\(-\sin x\)
\(\tg x\)	\(\dfrac(1)(\cos^2 x)\)
\(\ctg x\)	\(-\dfrac(1)(\sin^2x)\)