ಮಿತಿಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಶಾಖೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಪ್ರಶ್ನೆಯು ಸಾಕಷ್ಟು ವಿಸ್ತಾರವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ವಿವಿಧ ಪ್ರಕಾರಗಳ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಡಜನ್ಗಟ್ಟಲೆ ವಿಧಾನಗಳಿವೆ. ಈ ಅಥವಾ ಆ ಮಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುವ ಡಜನ್ಗಟ್ಟಲೆ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಮತ್ತು ತಂತ್ರಗಳಿವೆ. ಅದೇನೇ ಇದ್ದರೂ, ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಎದುರಾಗುವ ಮಿತಿಗಳ ಮುಖ್ಯ ಪ್ರಕಾರಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ನಾವು ಇನ್ನೂ ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇವೆ.
ಮಿತಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ. ಆದರೆ ಮೊದಲು, ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಐತಿಹಾಸಿಕ ಹಿನ್ನೆಲೆ. 19 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಫ್ರೆಂಚ್‌ನ ಆಗಸ್ಟಿನ್ ಲೂಯಿಸ್ ಕೌಚಿ ವಾಸಿಸುತ್ತಿದ್ದರು, ಅವರು ಮಾತನ್‌ನ ಅನೇಕ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಿಗೆ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರು ಮತ್ತು ಅದರ ಅಡಿಪಾಯವನ್ನು ಹಾಕಿದರು. ಈ ಗೌರವಾನ್ವಿತ ಗಣಿತಜ್ಞನು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಗಣಿತ ವಿಭಾಗದ ಎಲ್ಲಾ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ದುಃಸ್ವಪ್ನಗಳಲ್ಲಿ ಇದ್ದಾನೆ ಮತ್ತು ಇರುತ್ತಾನೆ ಎಂದು ಹೇಳಬೇಕು, ಏಕೆಂದರೆ ಅವರು ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ಪ್ರಮೇಯವು ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮಾರಕವಾಗಿದೆ. ಈ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ, ನಾವು ಇನ್ನೂ ಪರಿಗಣಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಕೌಚಿ ಮಿತಿಯ ನಿರ್ಣಯ, ಆದರೆ ಎರಡು ಕೆಲಸಗಳನ್ನು ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ:
1. ಮಿತಿ ಏನು ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಿ.
2. ಮುಖ್ಯ ವಿಧದ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ತಿಳಿಯಿರಿ.
ಕೆಲವು ಅವೈಜ್ಞಾನಿಕ ವಿವರಣೆಗಳಿಗಾಗಿ ನಾನು ಕ್ಷಮೆಯಾಚಿಸುತ್ತೇನೆ, ವಸ್ತುವು ಟೀಪಾಟ್ಗೆ ಸಹ ಅರ್ಥವಾಗುವಂತಹದ್ದಾಗಿದೆ, ಇದು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಯೋಜನೆಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.
ಹಾಗಾದರೆ ಮಿತಿ ಏನು?
ಮತ್ತು ಅಜ್ಜಿಯನ್ನು ಏಕೆ ಶಾಗ್ಗಿ ಮಾಡಬೇಕು ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ....
ಯಾವುದೇ ಮಿತಿಯು ಮೂರು ಭಾಗಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ:
1) ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಮಿತಿ ಐಕಾನ್.
2) ಮಿತಿ ಐಕಾನ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನಮೂದುಗಳು, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ . ನಮೂದು "X ಒಲವು ಒಂದು" ಎಂದು ಓದುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚಾಗಿ - ನಿಖರವಾಗಿ, ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ "X" ಬದಲಿಗೆ ಇತರ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿವೆ. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ, ಒಬ್ಬರ ಸ್ಥಳವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಬಹುದು, ಹಾಗೆಯೇ ಅನಂತ ().
3) ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮಿತಿ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಗಳು .
ರೆಕಾರ್ಡಿಂಗ್ ಸ್ವತಃ 
ಈ ರೀತಿ ಓದುತ್ತದೆ: "x ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿಯು ಏಕತೆಗೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ."
ಮುಂದಿನ ಪ್ರಮುಖ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ - "x" ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಅರ್ಥವೇನು? ಶ್ರಮಿಸುತ್ತದೆಒಬ್ಬರಿಗೆ"? ಮತ್ತು "ಪ್ರಯತ್ನ" ಎಂದರೆ ಏನು?
ಮಿತಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಒಂದು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಮಾತನಾಡಲು, ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ. ನಾವು ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ: ಮೊದಲು , ನಂತರ , , ..., 
, ….
ಅಂದರೆ, “x ಶ್ರಮಿಸುತ್ತದೆಒಂದಕ್ಕೆ" ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು: "x" ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಇದು ಏಕತೆಯನ್ನು ಅನಂತವಾಗಿ ಮುಚ್ಚುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಅದರೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ.
ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು? ಮೇಲಿನದನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ನೀವು ಮಿತಿ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಒಂದನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ:
ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೊದಲ ನಿಯಮ: ಯಾವುದೇ ಮಿತಿಯನ್ನು ನೀಡಿದಾಗ, ಮೊದಲು ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಪ್ಲಗ್ ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇವೆ.
ನಾವು ಸರಳವಾದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದೇವೆ, ಆದರೆ ಇವುಗಳು ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅಪರೂಪವಾಗಿ ಅಲ್ಲ!
ಅನಂತತೆಯೊಂದಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆ:
ಅದು ಏನೆಂದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ? ಇದು ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದೆ ಹೆಚ್ಚಾದಾಗ ಇದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ: ಮೊದಲು, ನಂತರ, ನಂತರ, ನಂತರ, ಮತ್ತು ಜಾಹೀರಾತು ಅನಂತ.
ಈ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಏನಾಗುತ್ತದೆ?
, , 
, …
ಆದ್ದರಿಂದ: ವೇಳೆ , ನಂತರ ಕಾರ್ಯವು ಮೈನಸ್ ಅನಂತಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ:
ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನಮ್ಮ ಮೊದಲ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ, "X" ಬದಲಿಗೆ ನಾವು ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ ಅನಂತತೆಯನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಉತ್ತರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.
ಅನಂತತೆಯ ಮತ್ತೊಂದು ಉದಾಹರಣೆ:
ಮತ್ತೆ ನಾವು ಅನಂತಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚಾಗಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯದ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ: 
ತೀರ್ಮಾನ: ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದೆ ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾದಾಗ:
ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆಗಳ ಮತ್ತೊಂದು ಸರಣಿ:
ದಯವಿಟ್ಟು ನಿಮಗಾಗಿ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ ಮತ್ತು ಸರಳ ರೀತಿಯ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ:
, , , , 
, , , , 
,
ನಿಮಗೆ ಎಲ್ಲಿಯಾದರೂ ಸಂದೇಹವಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಅನ್ನು ಎತ್ತಿಕೊಂಡು ಸ್ವಲ್ಪ ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಬಹುದು.
ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ , . ಒಂದು ವೇಳೆ , ಆಗ , , .
! ಸೂಚನೆ: ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಹಲವಾರು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಈ ವಿಧಾನವು ತಪ್ಪಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಸರಳವಾದ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಇದು ಸಾಕಷ್ಟು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ.
ಕೆಳಗಿನ ವಿಷಯಕ್ಕೂ ಗಮನ ಕೊಡಿ. ಮೇಲ್ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಮಿತಿಯನ್ನು ನೀಡಿದ್ದರೂ ಅಥವಾ ಮಿಲಿಯನ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಸಹ: , ಆಗ ಅದು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ 
, ಬೇಗ ಅಥವಾ ನಂತರ "X" ಅಂತಹ ದೈತ್ಯಾಕಾರದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತದೆ, ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಒಂದು ಮಿಲಿಯನ್ ನಿಜವಾದ ಸೂಕ್ಷ್ಮಜೀವಿಯಾಗಿದೆ.
ಮೇಲಿನಿಂದ ನೀವು ಏನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಮತ್ತು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು?
1) ಯಾವುದೇ ಮಿತಿಯನ್ನು ನೀಡಿದಾಗ, ಮೊದಲು ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇವೆ.
2) ನೀವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಮತ್ತು ತಕ್ಷಣವೇ ಸರಳವಾದ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕು 
,, ಇತ್ಯಾದಿ.
ಇದಲ್ಲದೆ, ಮಿತಿಯು ಉತ್ತಮ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ವಿಷಯದ ಉತ್ತಮ ತಿಳುವಳಿಕೆಗಾಗಿ, ನೀವು ಬೋಧನಾ ಸಾಮಗ್ರಿಯನ್ನು ಓದಬೇಕೆಂದು ನಾನು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು. ಈ ಲೇಖನವನ್ನು ಓದಿದ ನಂತರ, ಮಿತಿ ಏನೆಂದು ನೀವು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವಿರಿ, ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿಯು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಪ್ರಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲ!
ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ, ದುರದೃಷ್ಟವಶಾತ್, ಕೆಲವು ಉಡುಗೊರೆಗಳಿವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತೇವೆ. ಮೂಲಕ, ಈ ವಿಷಯದ ಮೇಲೆ ಇದೆ ತೀವ್ರವಾದ ಕೋರ್ಸ್ pdf ರೂಪದಲ್ಲಿ, ನೀವು ತಯಾರಿಸಲು ಬಹಳ ಕಡಿಮೆ ಸಮಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಇದು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಸೈಟ್ ವಸ್ತುಗಳು, ಸಹಜವಾಗಿ, ಕೆಟ್ಟದ್ದಲ್ಲ:
ಈಗ ನಾವು ಯಾವಾಗ ಮಿತಿಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವು ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ
ಉದಾಹರಣೆ:
ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ 
ನಮ್ಮ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ, ನಾವು ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ ಅನಂತವನ್ನು ಬದಲಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಮೇಲ್ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಏನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ? ಅನಂತ. ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆ ಏನಾಗುತ್ತದೆ? ಹಾಗೆಯೇ ಅನಂತ. ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಜಾತಿಯ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಎಂದು ಒಬ್ಬರು ಯೋಚಿಸಬಹುದು , ಮತ್ತು ಉತ್ತರ ಸಿದ್ಧವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಅಲ್ಲ, ಮತ್ತು ನಾವು ಈಗ ಪರಿಗಣಿಸುವ ಕೆಲವು ಪರಿಹಾರ ತಂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಅವಶ್ಯಕತೆಯಿದೆ.
ಈ ಪ್ರಕಾರದ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು?
ಮೊದಲು ನಾವು ಅಂಶವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ: 
ಅಂಶದಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮುಖ ಶಕ್ತಿ ಎರಡು.
ಈಗ ನಾವು ಛೇದವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿನ ಶಕ್ತಿಗೆ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: 
ಛೇದದ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಪದವಿ ಎರಡು.
ನಂತರ ನಾವು ನ್ಯೂಮರೇಟರ್ ಮತ್ತು ಛೇದದ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಅವು ಒಂದೇ ಮತ್ತು ಎರಡಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ.
ಆದ್ದರಿಂದ, ಪರಿಹಾರ ವಿಧಾನವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ: ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುವ ಸಲುವಾಗಿ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಶಕ್ತಿಯಿಂದ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.
ಇಲ್ಲಿ ಅದು ಉತ್ತರ, ಮತ್ತು ಅನಂತವಲ್ಲ.
ನಿರ್ಧಾರದ ವಿನ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಯಾವುದು ಮುಖ್ಯ?
ಮೊದಲಿಗೆ, ಯಾವುದಾದರೂ ಇದ್ದರೆ ನಾವು ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ.
ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಮಧ್ಯಂತರ ವಿವರಣೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಅಡ್ಡಿಪಡಿಸಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇನೆ, ಇದು ಯಾವುದೇ ಗಣಿತದ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಮಧ್ಯಂತರ ವಿವರಣೆಗಾಗಿ ಪರಿಹಾರವು ಅಡಚಣೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದರ್ಥ.
ಮೂರನೆಯದಾಗಿ, ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಿಗೆ ಹೋಗುತ್ತಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಲಸವನ್ನು ಕೈಯಿಂದ ಚಿತ್ರಿಸಿದಾಗ, ಅದನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಮಾಡಲು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ: 
ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳಿಗೆ ಸರಳವಾದ ಪೆನ್ಸಿಲ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಉತ್ತಮ.
ಸಹಜವಾಗಿ, ನೀವು ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದನ್ನೂ ಮಾಡಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ನಂತರ, ಬಹುಶಃ, ಶಿಕ್ಷಕರು ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿನ ನ್ಯೂನತೆಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತಾರೆ ಅಥವಾ ನಿಯೋಜನೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಕೇಳಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತಾರೆ. ನಿಮಗೆ ಇದು ಅಗತ್ಯವಿದೆಯೇ?
ಉದಾಹರಣೆ 2
ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ 
ಮತ್ತೆ ನ್ಯೂಮರೇಟರ್ ಮತ್ತು ಛೇದದಲ್ಲಿ ನಾವು ಅತ್ಯುನ್ನತ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಕಾಣುತ್ತೇವೆ: 
ನ್ಯೂಮರೇಟರ್‌ನಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠ ಪದವಿ: 3
ಛೇದದಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠ ಪದವಿ: 4
ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ ಶ್ರೇಷ್ಠಮೌಲ್ಯ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕು.
ನಮ್ಮ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಪ್ರಕಾರ, ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸಲು, ನಾವು ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ.
ಸಂಪೂರ್ಣ ನಿಯೋಜನೆಯು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣಿಸಬಹುದು:
ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಭಾಗಿಸಿ
ಉದಾಹರಣೆ 3
ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ 
ಅಂಶದಲ್ಲಿ "X" ನ ಗರಿಷ್ಠ ಪದವಿ: 2
ಛೇದದಲ್ಲಿ "X" ನ ಗರಿಷ್ಠ ಪದವಿ: 1 (ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು)
ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸಲು, ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಅಂತಿಮ ಪರಿಹಾರವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣಿಸಬಹುದು:
ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಭಾಗಿಸಿ
ಸಂಕೇತವು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದಿಲ್ಲ (ನೀವು ಸೊನ್ನೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ), ಆದರೆ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು.
ಹೀಗಾಗಿ, ಜಾತಿಯ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಸಾಧ್ಯವಾಗಬಹುದು ಅಂತಿಮ ಸಂಖ್ಯೆ, ಶೂನ್ಯ ಅಥವಾ ಅನಂತ.
ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಬಗೆ ಮತ್ತು ವಿಧಾನದ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯೊಂದಿಗೆ ಮಿತಿಗಳು
ಮುಂದಿನ ಗುಂಪಿನ ಮಿತಿಗಳು ಈಗ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಮಿತಿಗಳಿಗೆ ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ಹೋಲುತ್ತವೆ: ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವು ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ "x" ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಅನಂತತೆಗೆ ಒಲವು ತೋರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 4
ಮಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ 
ಮೊದಲಿಗೆ, ಭಾಗಕ್ಕೆ -1 ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ: 
ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿಯಮ: ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ರೂಪದ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸಲು ನೀವು ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಅಂಶೀಕರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.
ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ನೀವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು/ಅಥವಾ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಷಯಗಳು ಮರೆತಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಪುಟಕ್ಕೆ ಭೇಟಿ ನೀಡಿ ಗಣಿತದ ಸೂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಕೋಷ್ಟಕಗಳುಮತ್ತು ಬೋಧನಾ ಸಾಮಗ್ರಿಯನ್ನು ಓದಿ ಶಾಲಾ ಗಣಿತ ಕೋರ್ಸ್‌ಗೆ ಬಿಸಿ ಸೂತ್ರಗಳು. ಮೂಲಕ, ಅದನ್ನು ಮುದ್ರಿಸುವುದು ಉತ್ತಮ; ಇದು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಕಾಗದದಿಂದ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಹೀರಿಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಆದ್ದರಿಂದ, ನಮ್ಮ ಮಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ 
ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸಿ
ಅಂಶವನ್ನು ಅಂಶೀಕರಿಸಲು, ನೀವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ: 
ಮೊದಲಿಗೆ ನಾವು ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:
ಮತ್ತು ಅದರ ವರ್ಗಮೂಲ: .
ತಾರತಮ್ಯವು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ 361, ನಾವು ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ; ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವ ಕಾರ್ಯವು ಸರಳವಾದ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್‌ನಲ್ಲಿದೆ.
! ಮೂಲವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಹೊರತೆಗೆಯದಿದ್ದರೆ (ಅಲ್ಪವಿರಾಮದೊಂದಿಗೆ ಭಾಗಶಃ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ), ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ತಪ್ಪಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗಿದೆ ಅಥವಾ ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ ಮುದ್ರಣದೋಷವಿದೆ.
ಮುಂದೆ ನಾವು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: 
ಹೀಗೆ:
ಎಲ್ಲಾ. ಅಂಶವನ್ನು ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ.
ಛೇದಕ. ಛೇದವು ಈಗಾಗಲೇ ಸರಳವಾದ ಅಂಶವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಲು ಯಾವುದೇ ಮಾರ್ಗವಿಲ್ಲ.
ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಇದನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸಬಹುದು:
ಈಗ ನಾವು ಮಿತಿ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ -1 ಅನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ:
ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ, ಪರೀಕ್ಷೆ, ಪರೀಕ್ಷೆ ಅಥವಾ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ, ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಎಂದಿಗೂ ವಿವರವಾಗಿ ವಿವರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅಂತಿಮ ಆವೃತ್ತಿಯಲ್ಲಿ, ವಿನ್ಯಾಸವು ಈ ರೀತಿ ಇರಬೇಕು:
ಅಂಶವನ್ನು ಅಂಶೀಕರಿಸೋಣ. 
ಉದಾಹರಣೆ 5
ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ 
ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಪರಿಹಾರದ "ಮುಕ್ತಾಯ" ಆವೃತ್ತಿ
ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಅಂಶ ಮಾಡೋಣ.
ಸಂಖ್ಯೆ:
ಛೇದ: 
, 
ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದು ಮುಖ್ಯ?
ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಅಂಶವನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರ ಕುರಿತು ನೀವು ಉತ್ತಮ ತಿಳುವಳಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು, ಮೊದಲು ನಾವು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ 2 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಚೌಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕಾಗಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದೇವೆ. ನೀವು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾದ ಮತ್ತು ನೋಡಬೇಕಾದ ಸೂತ್ರ ಇದು.
ಶಿಫಾರಸು: ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ (ಬಹುತೇಕ ಯಾವುದೇ ಪ್ರಕಾರದ) ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ನಾವು ಯಾವಾಗಲೂ ಅದನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.
ಇದಲ್ಲದೆ, ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮಿತಿ ಐಕಾನ್ ಮೀರಿ ಸರಿಸಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾವುದಕ್ಕಾಗಿ? ಹೌದು, ಅವರು ದಾರಿಯಲ್ಲಿ ಹೋಗಬಾರದು ಎಂದು. ಪರಿಹಾರದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ನಂತರ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳದಿರುವುದು ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯ.
ಪರಿಹಾರದ ಅಂತಿಮ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ನಾನು ಮಿತಿ ಐಕಾನ್‌ನಿಂದ ಎರಡನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇನೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಮೈನಸ್ ಎಂದು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ.
! ಪ್ರಮುಖ
ಪರಿಹಾರದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ವಿಧದ ತುಣುಕು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಭಾಗವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿಅದನ್ನು ನಿಷೇಧಿಸಲಾಗಿದೆ
. ಮೊದಲು ನೀವು ಅಂಶ ಅಥವಾ ಛೇದದ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ (ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ -1 ಅನ್ನು ಹಾಕಿ).
, ಅಂದರೆ, ಒಂದು ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ ಅದನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ.
ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಈ ಪ್ರಕಾರದ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಲ್ಲಿ ನೀವು ಎರಡು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕು ಎಂದು ನಾನು ಗಮನಿಸಿದ್ದೇನೆ, ಅಂದರೆ, ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದ ಎರಡೂ ಚತುರ್ಭುಜ ತ್ರಿಪದಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ.
ಸಂಯೋಗದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ವಿಧಾನ
ನಾವು ರೂಪದ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತೇವೆ
ಮುಂದಿನ ವಿಧದ ಮಿತಿಗಳು ಹಿಂದಿನ ಪ್ರಕಾರಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತವೆ. ಒಂದೇ ವಿಷಯ, ಬಹುಪದಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ನಾವು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 6
ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ 
ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ.
ಮೊದಲು ನಾವು ಮಿತಿ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ 3 ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇವೆ
ನಾನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಪುನರಾವರ್ತಿಸುತ್ತೇನೆ - ಯಾವುದೇ ಮಿತಿಗೆ ನೀವು ಮಾಡಬೇಕಾದ ಮೊದಲ ವಿಷಯ ಇದು. ಈ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ಅಥವಾ ಕರಡು ರೂಪದಲ್ಲಿ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ರೂಪದ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ, ಅದನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಬೇಕಾಗಿದೆ. 
ನೀವು ಬಹುಶಃ ಗಮನಿಸಿದಂತೆ, ನಮ್ಮ ಅಂಶವು ಬೇರುಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಮತ್ತು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ ಬೇರುಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ರೂಢಿಯಾಗಿದೆ. ಯಾವುದಕ್ಕಾಗಿ? ಮತ್ತು ಅವರಿಲ್ಲದೆ ಜೀವನವು ಸುಲಭವಾಗುತ್ತದೆ.
ನಾವು ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ.
ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರಕಾರದ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಚಲಿಸುವಾಗ, ಅರ್ಥವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ನೋಟವನ್ನು ನಾವು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಎದುರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅಂತಹ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಗಳು.
ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡೋಣ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ಮುಖ್ಯ ವಿಧಗಳು: ಸೊನ್ನೆಯನ್ನು ಸೊನ್ನೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ (0 ರಿಂದ 0), ಅನಂತವನ್ನು ಅನಂತದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ, ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಅನಂತದಿಂದ ಗುಣಿಸಿ, ಅನಂತವನ್ನು ಕಳೆದು ಅನಂತ, ಒಂದು ಅನಂತತೆಯ ಶಕ್ತಿಗೆ, ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಶೂನ್ಯದ ಶಕ್ತಿಗೆ, ಅನಂತವು ಶೂನ್ಯದ ಶಕ್ತಿಗೆ.
ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಅಲ್ಲ ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಅನಂತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ.
ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸಿಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ:
- ಕ್ರಿಯೆಯ ಪ್ರಕಾರದ ಸರಳೀಕರಣ (ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರಗಳು, ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ರೂಪಾಂತರ, ಸಂಯೋಜಿತ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿಂದ ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ನಂತರ ಕಡಿತ, ಇತ್ಯಾದಿ);
- ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿಗಳ ಬಳಕೆ;
- L'Hopital ನಿಯಮದ ಅನ್ವಯ;
- ಅಪರಿಮಿತ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಅದರ ಸಮಾನದೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವುದು (ಸಮಾನವಾದ ಅನಂತಸೂಚಕಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಬಳಸುವುದು).
ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಗಳನ್ನು ಗುಂಪು ಮಾಡೋಣ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ಕೋಷ್ಟಕ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ರೀತಿಯ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಗೆ ನಾವು ಅದರ ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುವಿಕೆಗಾಗಿ ಒಂದು ವಿಧಾನವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತೇವೆ (ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ವಿಧಾನ).
ಈ ಟೇಬಲ್, ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮಿತಿಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದೊಂದಿಗೆ, ಯಾವುದೇ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಲ್ಲಿ ನಿಮ್ಮ ಮುಖ್ಯ ಸಾಧನವಾಗಿದೆ.
ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬದಲಿಸಿದ ತಕ್ಷಣ ಎಲ್ಲವೂ ಕಾರ್ಯರೂಪಕ್ಕೆ ಬಂದಾಗ ಮತ್ತು ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯು ಉದ್ಭವಿಸದಿದ್ದಾಗ ಒಂದೆರಡು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ.
ಉದಾಹರಣೆ.
ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ 
ಪರಿಹಾರ.
ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬದಲಿಸಿ: 
ಮತ್ತು ನಾವು ತಕ್ಷಣ ಉತ್ತರವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ್ದೇವೆ.
ಉತ್ತರ:
ಉದಾಹರಣೆ.
ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ 
ಪರಿಹಾರ.
ನಾವು x=0 ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಮ್ಮ ಘಾತೀಯ ಶಕ್ತಿಯ ಕಾರ್ಯದ ಆಧಾರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ: 
ಅಂದರೆ, ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೀಗೆ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು 
ಈಗ ಸೂಚಕವನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಇದು ಶಕ್ತಿಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಋಣಾತ್ಮಕ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ವಿದ್ಯುತ್ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ನಾವು ಮಿತಿಗಳ ಕೋಷ್ಟಕಕ್ಕೆ ತಿರುಗೋಣ. ಅಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ 
ಮತ್ತು 
ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಬರೆಯಬಹುದು 
.
ಇದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ನಮ್ಮ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ: 
ನಾವು ಮತ್ತೆ ಮಿತಿಗಳ ಕೋಷ್ಟಕಕ್ಕೆ ತಿರುಗುತ್ತೇವೆ, ಆದರೆ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಬೇಸ್ ಹೊಂದಿರುವ ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:
ಉತ್ತರ:
ವಿವರವಾದ ಪರಿಹಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಗಳನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುವುದು.
ಆಗಾಗ್ಗೆ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ಮಿತಿ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಸ್ವಲ್ಪ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ.
ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ
ಪರಿಹಾರ.
ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬದಲಿಸಿ: 
ನಾವು ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಗೆ ಬಂದಿದ್ದೇವೆ. ಪರಿಹಾರ ವಿಧಾನವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು ನಾವು ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ. 
ಉತ್ತರ:
ಉದಾಹರಣೆ.
ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ 
ಪರಿಹಾರ.
ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬದಲಿಸಿ: 
ನಾವು ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಗೆ ಬಂದಿದ್ದೇವೆ (0 ರಿಂದ 0). ಪರಿಹಾರ ವಿಧಾನವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು ನಾವು ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಛೇದಕ್ಕೆ ಸಂಯೋಗದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದ ಎರಡನ್ನೂ ಗುಣಿಸೋಣ.
ಛೇದಕ್ಕಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿತ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಇರುತ್ತದೆ 
ನಾವು ಛೇದವನ್ನು ಗುಣಿಸಿದ್ದೇವೆ ಇದರಿಂದ ನಾವು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು - ಚೌಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ನಂತರ ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು. 
ರೂಪಾಂತರಗಳ ಸರಣಿಯ ನಂತರ, ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯು ಕಣ್ಮರೆಯಾಯಿತು.
ಉತ್ತರ:
ಕಾಮೆಂಟ್:ಈ ಪ್ರಕಾರದ ಮಿತಿಗಳಿಗಾಗಿ, ಸಂಯೋಜಿತ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ವಿಧಾನವು ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅದನ್ನು ಬಳಸಲು ಹಿಂಜರಿಯಬೇಡಿ.
ಉದಾಹರಣೆ.
ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ 
ಪರಿಹಾರ.
ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬದಲಿಸಿ: 
ನಾವು ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಗೆ ಬಂದಿದ್ದೇವೆ. ಪರಿಹಾರ ವಿಧಾನವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು ನಾವು ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದ ಎರಡೂ x = 1 ನಲ್ಲಿ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವುದರಿಂದ, ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಿದರೆ (x-1) ಮತ್ತು ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ.
ನ್ಯೂಮರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸೋಣ: 
ಛೇದವನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸೋಣ: 
ನಮ್ಮ ಮಿತಿಯು ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ: 
ರೂಪಾಂತರದ ನಂತರ, ಅನಿಶ್ಚಿತತೆ ಬಹಿರಂಗವಾಯಿತು.
ಉತ್ತರ:
ಶಕ್ತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿಂದ ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಶಕ್ತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಘಾತಗಳು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅನಂತತೆಯ ಮಿತಿಯು ಅನಂತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಪದವಿ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ; ಉಳಿದವುಗಳನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸಬಹುದು.
ಉದಾಹರಣೆ.
ಉದಾಹರಣೆ.
ಮಿತಿ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದ ಎರಡೂ ಶಕ್ತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಾಗಿದ್ದರೆ (m ಎಂಬುದು ಅಂಶದ ಶಕ್ತಿ ಮತ್ತು n ಛೇದದ ಶಕ್ತಿ), ನಂತರ ರೂಪದ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯು ಅನಂತಕ್ಕೆ ಅನಂತವಾದಾಗ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆ ಬಹಿರಂಗವಾಗಿದೆಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದ ಎರಡನ್ನೂ ಭಾಗಿಸುವುದು
ಉದಾಹರಣೆ.
ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ 
ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು.
ಮುಖ್ಯ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳೆಂದರೆ: ಪವರ್ ಫಂಕ್ಷನ್, ಘಾತೀಯ ಕ್ರಿಯೆ, ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್, ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು, ಹಾಗೆಯೇ ಎರಡು ಬಹುಪದಗಳ ಅನುಪಾತವಾಗಿರುವ ಬಹುಪದ ಮತ್ತು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯ.
ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮೂಲ ನಾಲ್ಕು ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳಿಂದ ಪಡೆದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸಹ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ.
ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು
| ಸರಳ ರೇಖೆ- ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ y = ಕೊಡಲಿ + ಬಿ. y ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು > 0 ಗೆ ಏಕತಾನವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು a ಗಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ< 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т. 0 (y = ax - прямая пропорциональность) | |
| ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ- ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗ್ರಾಫ್ y = ಕೊಡಲಿ 2 + ಬಿಎಕ್ಸ್ + ಸಿ. ಇದು ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಲಂಬ ಅಕ್ಷವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ > 0, ಒಂದು ವೇಳೆ ಕನಿಷ್ಠವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ< 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего квадратного уравнения ಕೊಡಲಿ 2 + ಬಿಎಕ್ಸ್ + ಸಿ =0 | |
 | ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ- ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್. a > O ಅದು I ಮತ್ತು III ಕ್ವಾರ್ಟರ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ನೆಲೆಗೊಂಡಿರುವಾಗ, a< 0 - во II и IV. Асимптоты - оси координат. Ось симметрии - прямая у = х(а >0) ಅಥವಾ y - - x(a< 0). |
 | ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯ. ಪ್ರದರ್ಶಕ(ಆಧಾರ e ಗೆ ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯ) y = e x. (ಇನ್ನೊಂದು ಕಾಗುಣಿತ y = ಎಕ್ಸ್ (x)) ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟ್ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷವಾಗಿದೆ. |
 | ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್ y = ಲಾಗ್ ಎ x(a > 0) |
 | y = sinx. ಸೈನ್ ತರಂಗ- ಅವಧಿ T = 2π ಜೊತೆ ಆವರ್ತಕ ಕಾರ್ಯ |
ಕಾರ್ಯ ಮಿತಿ.
y=f(x) ಕಾರ್ಯವು A ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮಿತಿಯಾಗಿ ಹೊಂದಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ x a ಗೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ, ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ε › 0 ಇದ್ದರೆ δ › 0 ಅಂತಹ | y – A | ‹ ε ವೇಳೆ |x - a| ‹ δ,
ಅಥವಾ ಲಿಮ್ ವೈ = ಎ
ಕಾರ್ಯದ ನಿರಂತರತೆ.
y=f(x) ಕಾರ್ಯವು x = a ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ if lim f(x) = f(a), i.e.
ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿ x = a ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಕಾರ್ಯಗಳ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು.
ಕಾರ್ಯಗಳ ಮಿತಿಗಳ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯಗಳು.
1. ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯದ ಮಿತಿಯು ಈ ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:
2. ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೊತ್ತದ ಮಿತಿಯು ಈ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮಿತಿಗಳ ಬೀಜಗಣಿತ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ:
lim (f + g - h) = lim f + lim g - lim h
3. ಹಲವಾರು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮಿತಿಯು ಈ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮಿತಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:
lim (f * g * h) = lim f * lim g * lim h
4. ಛೇದದ ಮಿತಿಯು 0 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗದಿದ್ದರೆ ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಂಶದ ಮಿತಿಯು ಈ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮಿತಿಗಳ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:
ಲಿಮ್ ------- = ----------
ಮೊದಲ ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿ: ಲಿಮ್ --------- = 1
ಎರಡನೇ ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿ: ಲಿಮ್ (1 + 1/x) x = ಇ (ಇ = 2, 718281..)
ಕಾರ್ಯಗಳ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳು.
5.1. ಉದಾಹರಣೆ:
ಯಾವುದೇ ಮಿತಿಯು ಮೂರು ಭಾಗಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ:
1) ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಮಿತಿ ಐಕಾನ್.
2) ಮಿತಿ ಐಕಾನ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನಮೂದುಗಳು. ನಮೂದು "X ಒಲವು ಒಂದು" ಎಂದು ಓದುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಇದು x ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೂ "x" ಬದಲಿಗೆ ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ವೇರಿಯಬಲ್ ಇರಬಹುದು. ಒಂದರ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ ಇರಬಹುದು, ಹಾಗೆಯೇ ಅನಂತ 0 ಅಥವಾ .
3) ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮಿತಿ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಗಳು .
ರೆಕಾರ್ಡಿಂಗ್ ಸ್ವತಃ ಈ ರೀತಿ ಓದುತ್ತದೆ: "x ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿಯು ಏಕತೆಗೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ."
ಬಹಳ ಮುಖ್ಯವಾದ ಪ್ರಶ್ನೆ - "x" ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಅರ್ಥವೇನು? ಶ್ರಮಿಸುತ್ತದೆಒಬ್ಬರಿಗೆ"? ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ "x" ಶ್ರಮಿಸುತ್ತದೆಒಂದಕ್ಕೆ" ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು: "x" ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಇದು ಏಕತೆಯನ್ನು ಅನಂತವಾಗಿ ಮುಚ್ಚುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಅದರೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ.
ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು? ಮೇಲಿನದನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ನೀವು ಮಿತಿ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಒಂದನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ:
ಆದ್ದರಿಂದ ಮೊದಲ ನಿಯಮ : ಮಿತಿಯನ್ನು ನೀಡಿದಾಗ, ನೀವು ಮೊದಲು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಪ್ಲಗ್ ಮಾಡಿ.
5.2 ಅನಂತತೆಯೊಂದಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆ:
ಅದು ಏನೆಂದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ? ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದೆ ಹೆಚ್ಚಾದಾಗ ಇದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ.
ಆದ್ದರಿಂದ: ವೇಳೆ , ನಂತರ ಕಾರ್ಯ ಮೈನಸ್ ಅನಂತಕ್ಕೆ ಒಲವು:
ನಮ್ಮ ಮೊದಲ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ, "X" ಬದಲಿಗೆ ನಾವು ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಅನಂತ ಮತ್ತು ನಾವು ಉತ್ತರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.
5.3 ಅನಂತತೆಯ ಮತ್ತೊಂದು ಉದಾಹರಣೆ:
ಮತ್ತೆ ನಾವು ಅನಂತಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯದ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ.
ತೀರ್ಮಾನ: ಕಾರ್ಯವು ಅನಿಯಮಿತವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ
5.4 ಉದಾಹರಣೆಗಳ ಸರಣಿ:
ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀವೇ ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ ಮತ್ತು ಸರಳ ರೀತಿಯ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:
, , , , 
, , , , 
,
ಮೇಲಿನಿಂದ ನೀವು ಏನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಮತ್ತು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು?
ಯಾವುದೇ ಮಿತಿಯನ್ನು ನೀಡಿದಾಗ, ಮೊದಲು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಪ್ಲಗ್ ಮಾಡಿ. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ನೀವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಮತ್ತು ತಕ್ಷಣವೇ ಸರಳವಾದ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕು , , ಇತ್ಯಾದಿ
6. ಪ್ರಕಾರದ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯೊಂದಿಗೆ ಮಿತಿಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನ.
ಈಗ ನಾವು ಯಾವಾಗ ಮಿತಿಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.
6.1. ಉದಾಹರಣೆ:
ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ 
ನಮ್ಮ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ, ನಾವು ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ ಅನಂತವನ್ನು ಬದಲಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಮೇಲ್ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಏನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ? ಅನಂತ. ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆ ಏನಾಗುತ್ತದೆ? ಹಾಗೆಯೇ ಅನಂತ. ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಜಾತಿಯ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಒಬ್ಬರು = 1 ಎಂದು ಭಾವಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಉತ್ತರವು ಸಿದ್ಧವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಇದು ಅಲ್ಲ, ಮತ್ತು ನೀವು ಕೆಲವು ಪರಿಹಾರ ತಂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ, ಅದನ್ನು ನಾವು ಈಗ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ.
ಈ ಪ್ರಕಾರದ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು?
ಮೊದಲು ನಾವು ಅಂಶವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ: 
ಅಂಶದಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮುಖ ಶಕ್ತಿ ಎರಡು.
ಈಗ ನಾವು ಛೇದವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿನ ಶಕ್ತಿಗೆ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: 
ಛೇದದ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಪದವಿ ಎರಡು.
ನಂತರ ನಾವು ನ್ಯೂಮರೇಟರ್ ಮತ್ತು ಛೇದದ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಅವು ಒಂದೇ ಮತ್ತು ಎರಡಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ.
ಆದ್ದರಿಂದ, ಪರಿಹಾರ ವಿಧಾನ ಹೀಗಿದೆ: ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸಲು ನೀವು ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಭಾಗಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ ಹಿರಿಯ ಪದವಿಯಲ್ಲಿ.
ಹೀಗಾಗಿ, ಉತ್ತರ 1 ಅಲ್ಲ.
ಉದಾಹರಣೆ
ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ 
ಮತ್ತೆ ನ್ಯೂಮರೇಟರ್ ಮತ್ತು ಛೇದದಲ್ಲಿ ನಾವು ಅತ್ಯುನ್ನತ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಕಾಣುತ್ತೇವೆ:
ನ್ಯೂಮರೇಟರ್‌ನಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠ ಪದವಿ: 3
ಛೇದದಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠ ಪದವಿ: 4
ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ ಶ್ರೇಷ್ಠಮೌಲ್ಯ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕು.
ನಮ್ಮ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಪ್ರಕಾರ, ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸಲು, ನಾವು ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ.
ಉದಾಹರಣೆ
ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ 
ಅಂಶದಲ್ಲಿ "X" ನ ಗರಿಷ್ಠ ಪದವಿ: 2
ಛೇದದಲ್ಲಿ "X" ನ ಗರಿಷ್ಠ ಪದವಿ: 1 (ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು)
ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸಲು, ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಅಂತಿಮ ಪರಿಹಾರವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣಿಸಬಹುದು:
ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಭಾಗಿಸಿ
ನೀವು ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಅಂಶೀಕರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ
ಈಗ ನಾವು ಮಿತಿ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ -1 ಅನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ:
ಉದಾಹರಣೆ
ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ 
ಮೊದಲಿಗೆ, ಪರಿಹಾರದ "ಓಕ್" ಆವೃತ್ತಿ, ನಾವು x=2 ಅನ್ನು ಬದಲಿಸೋಣ:
ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಅಂಶ ಮಾಡೋಣ.
ಸಂಖ್ಯೆ:
ಛೇದ: 
, 
ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ, ಒಬ್ಬರು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಕೆಳಗಿನ ಮೂಲಭೂತ ನಿಯಮಗಳು:
1. ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತದ (ವ್ಯತ್ಯಾಸ) ಮಿತಿಯು ನಿಯಮಗಳ ಮಿತಿಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ (ವ್ಯತ್ಯಾಸ) ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:
2. ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮಿತಿಯು ಅಂಶಗಳ ಮಿತಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:
3. ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಅನುಪಾತದ ಮಿತಿಯು ಈ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮಿತಿಗಳ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:
.
4. ಸ್ಥಿರ ಅಂಶವನ್ನು ಮಿತಿ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಮೀರಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು:
.
5. ಸ್ಥಿರದ ಮಿತಿಯು ಸ್ಥಿರಾಂಕಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:
6. ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ, ಮಿತಿ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು:
.
ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಬೇಕು. ಇದಲ್ಲದೆ, ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯ 0 ಅಥವಾ ¥ ಅನ್ನು ಪಡೆದರೆ, ನಂತರ ಬಯಸಿದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 2.1.ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ.
ಪರಿಹಾರ.
.
ರೂಪದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು , , , , ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಗಳು.
ನೀವು ಫಾರ್ಮ್‌ನ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಪಡೆದರೆ, ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನೀವು ಈ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸಲು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.
ಎರಡು ಬಹುಪದಗಳ ಅನುಪಾತದ ಮಿತಿಯನ್ನು ನೀಡಿದಾಗ ರೂಪದ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸಲು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶದಿಂದ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಗುಣಕವು ಮಿತಿ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ X .
ಉದಾಹರಣೆ 2.2.ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ.
ಪರಿಹಾರ.
ಬದಲಿಯಾಗಿ, ನಾವು ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
.
ನಾವು ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:
;
ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶದಿಂದ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು ಪಡೆಯೋಣ
ಎರಡು ಬಹುಪದಗಳ ಅನುಪಾತದ ಮಿತಿಯನ್ನು ನಲ್ಲಿ ನೀಡಿದಾಗ ರೂಪದ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ಎರಡೂ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಭಾಗಿಸಲು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ X ಹಿರಿಯ ಪದವಿಯಲ್ಲಿ.
ಉದಾಹರಣೆ 2.3.ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ.
ಪರಿಹಾರ.∞ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸುವಾಗ, ನಾವು ರೂಪದ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ x 3.
.
ಎಂಬುದನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ.
ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ, ಅದರ ಸಂಯೋಗದಿಂದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಗುಣಿಸಲು ಮತ್ತು ಭಾಗಿಸಲು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 2.4.ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ
ಪರಿಹಾರ.
ರೂಪದ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸಲು ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ ಅಥವಾ (1) ∞, ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
ಕೆಲವು ಪ್ರಮಾಣದ ನಿರಂತರ ಬೆಳವಣಿಗೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಅನೇಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಎರಡನೇ ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ.
ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡುವ Ya. I. ಪೆರೆಲ್ಮನ್ ಅವರ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಇಸಂಯುಕ್ತ ಬಡ್ಡಿ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ. ಉಳಿತಾಯ ಬ್ಯಾಂಕುಗಳಲ್ಲಿ, ಬಡ್ಡಿ ಹಣವನ್ನು ವಾರ್ಷಿಕವಾಗಿ ಸ್ಥಿರ ಬಂಡವಾಳಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರವೇಶವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಮಾಡಿದರೆ, ಬಂಡವಾಳವು ವೇಗವಾಗಿ ಬೆಳೆಯುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮೊತ್ತವು ಆಸಕ್ತಿಯ ರಚನೆಯಲ್ಲಿ ತೊಡಗಿದೆ. ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ, ಸರಳೀಕೃತ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ.
100 ನಿರಾಕರಣೆದಾರರು ಬ್ಯಾಂಕಿನಲ್ಲಿ ಠೇವಣಿ ಇಡಲಿ. ಘಟಕಗಳು ವಾರ್ಷಿಕ 100% ಆಧರಿಸಿ. ಒಂದು ವರ್ಷದ ನಂತರ ಮಾತ್ರ ಬಡ್ಡಿ ಹಣವನ್ನು ಸ್ಥಿರ ಬಂಡವಾಳಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸಿದರೆ, ನಂತರ ಈ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ 100 ಡೆನ್. ಘಟಕಗಳು 200 ವಿತ್ತೀಯ ಘಟಕಗಳಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ.
ಈಗ 100 ಡೆನಿಜ್ ಏನಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೋಡೋಣ. ಪ್ರತಿ ಆರು ತಿಂಗಳಿಗೊಮ್ಮೆ ಸ್ಥಿರ ಬಂಡವಾಳಕ್ಕೆ ಬಡ್ಡಿ ಹಣವನ್ನು ಸೇರಿಸಿದರೆ ಘಟಕಗಳು. ಆರು ತಿಂಗಳ ನಂತರ, 100 ಡೆನ್. ಘಟಕಗಳು 100 × 1.5 = 150, ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಆರು ತಿಂಗಳ ನಂತರ - 150 × 1.5 = 225 (ಡೆನ್. ಘಟಕಗಳು) ಮೂಲಕ ಬೆಳೆಯುತ್ತದೆ. ಪ್ರವೇಶವನ್ನು ವರ್ಷದ ಪ್ರತಿ 1/3 ಮಾಡಿದರೆ, ನಂತರ ಒಂದು ವರ್ಷದ ನಂತರ 100 ಡೆನ್. ಘಟಕಗಳು 100 × (1 +1/3) 3 "237 (ಡೆನ್. ಘಟಕಗಳು) ಆಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ.
ನಾವು ಬಡ್ಡಿ ಹಣವನ್ನು 0.1 ವರ್ಷಕ್ಕೆ, 0.01 ವರ್ಷಕ್ಕೆ, 0.001 ವರ್ಷಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸುವ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ 100 ಡೆನ್ ಹೊರಗೆ. ಘಟಕಗಳು ಒಂದು ವರ್ಷದ ನಂತರ ಅದು ಹೀಗಿರುತ್ತದೆ:
100 × (1 +1/10) 10 » 259 (ಡೆನ್. ಘಟಕಗಳು),
100 × (1+1/100) 100 »270 (ಡೆನ್. ಘಟಕಗಳು),
100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (ಡೆನ್. ಘಟಕಗಳು).
ಬಡ್ಡಿಯನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ನಿಯಮಗಳಲ್ಲಿ ಅನಿಯಮಿತ ಕಡಿತದೊಂದಿಗೆ, ಸಂಚಿತ ಬಂಡವಾಳವು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಬೆಳೆಯುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅಂದಾಜು 271 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಿತಿಯನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತದೆ. ವಾರ್ಷಿಕವಾಗಿ 100% ಠೇವಣಿ ಮಾಡಿದ ಬಂಡವಾಳವು 2.71 ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚು ಹೆಚ್ಚಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಸಂಚಿತ ಬಡ್ಡಿಯು ಸಹ ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ರತಿ ಸೆಕೆಂಡಿಗೆ ರಾಜಧಾನಿಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಯಿತು
ಉದಾಹರಣೆ 2.5.ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ
ಪರಿಹಾರ.
ಉದಾಹರಣೆ 2.6.ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ 
.
ಪರಿಹಾರ.ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ನಾವು ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
.
ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಅಂಶವನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತೇವೆ:
ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಇಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿಯನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 2.7.ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ
ಪರಿಹಾರ.
.
ರೂಪದ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸಲು ಅಥವಾ, ನೀವು L'Hopital ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು, ಇದು ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ.
ಪ್ರಮೇಯ.ಎರಡು ಅಪರಿಮಿತ ಅಥವಾ ಅನಂತ ದೊಡ್ಡ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅನುಪಾತದ ಮಿತಿಯು ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಅನುಪಾತದ ಮಿತಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ
ಈ ನಿಯಮವನ್ನು ಸತತವಾಗಿ ಹಲವಾರು ಬಾರಿ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.
ಉದಾಹರಣೆ 2.8.ಹುಡುಕಿ
ಪರಿಹಾರ.ಬದಲಿ ಮಾಡುವಾಗ, ನಾವು ರೂಪದ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. L'Hopital ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಕಾರ್ಯದ ನಿರಂತರತೆ
ಕ್ರಿಯೆಯ ಪ್ರಮುಖ ಆಸ್ತಿ ನಿರಂತರತೆ.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ನಿರಂತರ, ವಾದದ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿನ ಸಣ್ಣ ಬದಲಾವಣೆಯು ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಸಣ್ಣ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡಿದರೆ.
ಗಣಿತದ ಪ್ರಕಾರ ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ: ಯಾವಾಗ 
ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಎಂದರೆ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ಹೆಚ್ಚಳ, ಅಂದರೆ, ನಂತರದ ಮತ್ತು ಹಿಂದಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ: , (ಚಿತ್ರ 2.3)
 ಚಿತ್ರ 2.3 - ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಹೆಚ್ಚಳ |
ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾದ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ 
. ಈ ಸಮಾನತೆಯು ಮೂರು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ ಎಂದರ್ಥ: 
ಪರಿಹಾರ.ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಬಿಂದುವು ಸ್ಥಗಿತಕ್ಕೆ ಅನುಮಾನಾಸ್ಪದವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ
ಆದ್ದರಿಂದ, 
, ಅರ್ಥ - ಬ್ರೇಕ್ ಪಾಯಿಂಟ್
ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ